Latihan : 1. Diketahui himpunan B dengan tiga buah nilai (0,1,2) dan dua buah operator , + dan . kaidah operasi dengan operator + dan didefinisikan pada tabel di bawah ini : + 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 1
2 0 1 2
0 1 2
0 0 1 2
1 1 1 2
2 2 2 2
(a) Dari keempat aksioma dasar (komutatif, asosiatif, identitas dan komplemen), aksioma manakah yang dipenuhi oleh kedua tabel di atas ? Apakah elemen identitas untuk masing-masing operator + dan tersebut ? (b) Apakah himpunan B dengan dua buah operator di atas membentuk aljabar Boolean ? jelaskan jawaban anda! Peyelesaian : (a) Aksioma yang sesuai : Identitas Elemen + untuk Elemen untuk + (b)
2. Buktikan hukum assosiatif a+(b+c)=(a+b)+c dan a(bc)=(ab) c. Penyelesaian : a+(b+c)=(a+b)+c a.(bc)=(ab).c 1+(1+1)=(1+1)+1 1+1=1+1 1=1 0.(0.1)=(0.0).1 0.0=0.1 0=0 3. Nyatakan fungsi boolean f(x,y) = x’(x+y’+z’) , hanya dengan menggunakan operator + dan komplemen (‘) saja. Penyelesaian : F(x,y) = x’(x+y’+z’) = x’x+x’y’+x’z’ = 0+x’y’+x’z’ = x’y’+x’z’ = (x+y)’ + (x+z)’
4. Nyatakan f(a,b,c) = (ab)’c)’((a’+c)(b’+c’))’ dalam bentuk baku SOP dan bentuk kanonik SOP. Penyelesaian : f(a,b,c) = (ab)’c)’((a’+c)(b’+c’))’ tabel kebenaran : a B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
A’ 1 1 1 1 0 0 0 0
B’ 1 1 0 0 1 1 0 0
C’ 1 0 1 0 1 0 1 0
((ab)’c)’ 1 0 1 0 1 0 1 1
(a’+c) 1 1 1 1 0 1 0 1
(b’+c’) 1 1 1 0 1 1 1 0
((a’+c)(b’+c’))’ 0 0 0 1 1 0 1 1
F 0 0 0 0 1 0 1 1
SOP = (4,6,7) = m4+m6+m7 = (ab’c’)+(abc’)+(abc) = (abc’)+(ab) = (ab)(c’+1) = ab 5. Perlihatkan bahwa dual dari ekspresi XOR berikut : (xy) sama dengan komplemennya (petunjuk : nyatakan ekspresi Xor dalam bentuk operator + dan ). Penyelesaian : ( ⨁ ) ( + ) = . ′ Dualnya ( .
)=
+
6. Carilah komplemen dari fungsi f(w,x,y,z) = x’z + w’xy + wyz +w’xy Penyelesaian: F(w,x,y,z) = x’z + w’xy + wyz +w’xy = (x’z + w’xy + wyz +w’xy)’ = x+z’ w+x’+y’ w’+y’+z’w+x’+y’
menggunakan hukum de Morgan
7. Sederhanakan fungsi Boolean di bawah ini secara aljabar (menggunakan aksioma/teorema) : (a) Xy+x’z + yz (b) (x+y)(x’+z)(y+z) (dengan memanfaatkan prinsip dualitas dari fungsi (a) di atas) Penyelesaian : (a) xy + x’z + yz xy + z ( x’ + y ) x’z + y (x+z)
8. Diketahui fungsi Boolean berikut : f(w,x,y,z)= (0,1,2,3,7,11,13) d(w,x,y,z)= (5,9,14,15) dengan d(w,x,y,z) adalah fungsi don’t care. Minimisasi fungsi tersebut di atas dengan menggunakan metode Peta Karnaugh. Setelah itu tuliskan fungsi sederhana itu dalam bentuk baku SOP dan bentuk baku POS. Penyelesaian : f(w,x,y,z)= (0,1,2,3,7,11,13) peta Karnaugh: Wx 00 01 10 11
Yz 00 0 1 1 0
01 0 X X 0
10 0 1 1 X
11 0 0 0 X
POS : {kotak biru} (W+x+y+z)(W+x+y+z’)(W+x+y’+z)(W+x+y’+z) = (w+x) (W+x+y+z’)(W+x’+y+z’)(W’+x+y+z’)(W’+x’+y+z’) = (y+z’) (W+x+y’+z’)(W+x’+y’+z’)(W’+x+y’+z’)(W’+x’+y’+z’) = (y’+z’) (W’+x’+y+z) (W’+x’+y+z’) (W’+x’+y’+z) (W’+x’+y’+z’) = (w’+x’) (w+x)(y+z’)(y’+z’)(w’+x’) = (y+z’)(y’+z’) = z’+(yy’) = z’ SOP : {kotak merah} (W’xy’z’)+ (W’xy’z)+ (Wx’y’z’)+ (Wx’y’z) = y’ (W’xyz)+ (Wx’yz’) = y (Wxyz’)+ (Wxyz) = wxy Y’+y+wxy = wxy 9. Temukan fungsi Boolean yang paling sederhana dalam bentuk product of sum (POS) dari fungsi berikut : f(w,x,y,z) = (0,1,2,3,7,8,11,13) dan d(w,x,y,z) = (5,9,14,15) 10. Diberikan 2 fungsi Boolean f dan g. Maka, fungsi h= fg diperoleh dengan meng-AND kan dua buah fungsi, yang hasilnya adalah minterm bersama yang terdapat baik pada f maupun pada g. Jika F = wxy’+y’z+w’yz+x’yz’ Dan G = (w+x+y’+z’)(x’+y’+z)(w’+y+z’) Maka, dengan menggunakan peta karnaugh, temukan bentuk yang paling sederhana dari h = fg.
Penyelesaian : h = (wxy’+y’z+w’yz+x’yz’)( (w+x+y’+z’)(x’+y’+z)(w’+y+z’)) =(
11. Minimisasi fungsi-fungsi Booleanberikut dengan metode peta karnaugh, dalam bentuk baku SOP dan bentuk baku POS : (a) F(x,y,z) = (2,3,6,7) (b) F(x,y,z) = xy+x’y’z’+x’yz’ (c) F(w,x,y,z) = (4,6,7,15) (d) F(w,x,y,z) = (0,1,2,6,8,9,12) (e) Diberikan Tabel kebenaran : X Y Z F(x,y,z) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Penyelesaian : (a) F(x,y,z) = (2,3,6,7) Peta karnaugh : Z
Xy
0 0 1 0 1
00 01 10 11
1 0 1 0 1
SOP : (2,3,6,7) = (x’yz’)+(x’yz)+(xyz’)+(xyz) = x’y(z’+z)+xy(z’+z) = x’y+xy = y(x’+x) =y POS : (0,1,4,5) = (x+y+z) (x+y+z’) (x’+y+z) (x’+y+z’) = (x+y)+(zz’)(x’+y)+(zz’) = (x+y)(x’+y) = y+(x+x’) =y (b) F(x,y,z) = xy+x’y’z’+x’yz’ Tabel kebenaran : X Y
z
xy
X’y’z’
X’yz’
F
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 1
Peta karnaugh : Z
Xy
0 1 1 0 1
00 01 10 11
1 0 0 0 1
SOP : (0,2,5,6) = (x’y’z’) +(x’y’z)+ (xyz’)+ (xyz) = (x’y’)(z’+z)+(xy)(z’+z) = x’y’+xy POS : (1,3,4,5) = (x+y+z’) (x+y’+z’) (x’+y’+z) (x’+y’+z’) = (x+y)+(z’z)(x’+y’)+(z+z’) = (x+y)(x’+y’) (c) F(w,x,y,z) = (4,6,7,15) Peta karnaugh : Wx 00 01 10 11
Yz 00 0 1 0 0
01 0 0 0 0
10 0 1 0 0
11 0 1 0 1
SOP : (4,6,7,15) = (w’xy’z’) (w’xyz’) (w’xyz) (wxyz) = (w’xy’z’)(w’xy)(z’+z)(wxyz) = (w’xy’z’)(w’xy)(wxyz) = (x)(w’y’z’+wxy)(w’xy) = (x)(w’xy) = w’xy POS : (0,1,2,3,5,8,9,10,11,12,13,14) = (w+x+y+z) (w+x+y+z’) (w+x+y’+z) (w+x+y’+z’) (w+x’+y+z’) (w’+x+y+z) (w’+x+y+z’) (w’+x+y’+z) (w’+x+y’+z’) (w’+x’+y+z) (w’+x’+y+z’) (w’+x’+y’+z) = (w+x+y)(w+x+y’)(w’+x+y)(w’+x+y’)(w’+x’+y)(w+x’+y+z’)(w’+x’+y’+z) = (w+x)(w’+x)(w’+x’+y) (w+x’+y+z’)(w’+x’+y’+z) = (x) (w’+x’+y) (w+x’+y+z’)(w’+x’+y’+z)
=(x)(w’+x’)(yy’+z) (w+x’+y+z’) = (x)(w’+x’)(y+z)(w+x’+y+z’) = (x)(w’+x’)(y)+(zw+x’+z’) = (x)(w’+x’)(y+wz+x’z) =(xw’)(y+wz+x’z) = w’xy (d) F(w,x,y,z) = (0,1,2,6,8,9,12) Peta Karnaugh : Wx 00 01 10 11
Yz 00 0 1 0 0
01 0 1 0 1
10 0 0 1 1
11 1 1 1 1
(0,1,2,6,8,9,12) = (w+x+y+z) (w+x+y+z’) (w+x+y’+z) (w+x’+y’+z) (w’+x+y+z) (w’+x+y+z’) (w’+x’+y+z) = (w+x+y)(w+y’+z)(w’+x+y)(w’+x’+y+z) = (x+y)(w+y’+z)(w’+x’+y+z) = (wx+y’x+zx+wy+yz)(w’+x’+y+z) = x(w+y’+z)+y(w+z) (e)
12. Gunakan peta Karnaugh untuk membuat rangkaian logika yang menerima masukan berupa kode biner dari suatu digit desimal dan menghilangkan keluaran 1 jika digit yang berkoresponden dengan masukan tersebut tidak habis dibagi 3 fungsi minimisasi bentuk baku SOP. Penyelesaian :
13. Rancang dan gambarkan rangkaian kombinasional yang menerima masukan bilangan 3-bit dan membangkitkan keluaran bilangan biner yang sama dengan kuadrat dari bilangan masukannya.
14. Diberikan gambar rangkaian logika seperti di bawah ini :
V1 0V V2 5V V3 5V
U3A
U4A U1B
L1 U2A
U4C
U4D
U1C
U4B
(a) Tuliskan fungsi Boolean f(x,y,z) yang mempresentasikan rangkaian di atas (b) Tuliskan fungsi Boolean f(x,y,z) dalam bentuk kanonik POS (c) Sederhanakan rangkaian di atas dengan menggunakan peta Karnaugh, lalu gambarkan rangkaian hasil penyederhanaan. Jawab : (a) ( xyz’ + xy’ + x’z + x’ )’ (b) x Y z f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 X \ yz 0 1
00 0 0
01 0 0
11 0 1
10 0 0
(c) x’y’ + xy’ + x’y + xyz’ x’(y’+y)+x(y’+yz’) x’+xy’+xyz’ x’+x(y’+yz’) 15. Rancanglah rangkaian logika untuk menghitung koin uang logam yang dimasukkan pada pengumpul bea otomatis sebagai penbayar jasa tol. Mesin penghitung ditempatkan pada gerbang tol. Tarif tol adalah 15 sen. Mesin hanya dapat menerima koin 5 sen dan koin 10 sen. Bila mesin telah menerima sejumlah koin senilai 15 sen, maka lampu hijau manyala (arinya boleh lewat gerbang tol), dan jika belum 15 sen, lampu merah tetap menyala (artinya belum boleh lewat gerbang tol). Gambarkan rangkaian logika yang dimaksud! 16. (a) sederhanakan fungsi Boolean f berikut dalam bentuk product of sum dengan menggunakan fungsi don’t care (disimbolkan dengan d) : F(w,x,y,z) = w’x’z+w’yz+w’xy D(w,x,y,z) = w’xy’z+wyz+wx’z’
(b) gambarkan rangkaian logika fungsi yang telah disederhanakan pada jawaban (a) di atas dengna hanya menggunakan gerbang NOT dan NOR saja. 17. Sederahanakan fungsi Boolean berikut dengan menggunakan metode Quine-Mc Cluskey : F(v,w,x,y,z) = (9,11,13,15,17,21,25,27,29,31) 18. Minimisasi fungsi f(x,y,z) = (0,2,4,5,6) dengan metode Quine-Mc Cluskey, lalu gambarkan hasil penyedehanaannya hanya dengan menggunakan gerbang NAND saja. 19. Sederhanakan dan implementasikan fungsi Boolean berikut dalam rangkaian digital : (a) Menggunakan sembarang gerbang F(x,y) = xy’+x’y (b) Menggunakan hanya gerbang NAND F(v,w,x,y,z) = vx’+vxz+vxz’+v’xy’+v’y’z’ Penyelesaian : (a) F(x,y) = xy’+x’y x
U2A U3A L1 U1A U3B
U2B
y
(b) F(v,w,x,y,z) = vx’+vxz+vxz’+v’xy’+v’y’z’ = vx’+vx+v’xy’+v’y’z’ = v+v’xy+v’y’z’ = v+xy+v’yz’ = v+xy+yz’ = v+y(x+z’) 20. Carilah komplemen dari fungsi Boolean berikut : F(w,x,y,z) = x’z+w’xy’+wyz+w’xy Penyelesaian : F(w,x,y,z) = x’z+w’xy’+wyz+w’xy Menggunakan hukum de Morgan : ( x’z+w’xy’+wyz+w’xy) = (x+z’)(w+x’+y)(w’+y’+z’)(w+x’+y’) 21. Gambarkan rangkaian pensaklaran yang menyatakan ekspresi Boolean xy+xy’z+y(x’+z)+y’z’ Penyelesaian : xy+xy’z+y(x’+z)+y’z’ x x
y y’
z x
y z y’
z’
22. Sebuah peraga angka digital disusun oleh tujuh buah segmen (selanjutnya disebut dekoder tujuh-segmen). _ /_ / /_/ /_ / / Dekoder 7-segmen angka 4 Piranti tersebut mengubah masukan 4 bit BCD menjadi keluaran yang dapat menunjukkan angka desimal yangg dinyatakannya (misalnya, jika masukan adalah 0100 (angka 4 dalam desimal) , maka batang /segmen yang menyala adalah a,d,c,dan e). Tulislah fungsi Boolean untuk setiap segmen, dan gambarkan kombinasionalnya. 23. Sebuah instruksi dalam algoritma adalah : If A B then A A + 1 else A A +2 (a) Nilai A dan B yang dibandingkan masing-masing panjangnya dua bit (misalkan a1a2 dan b1b2 ). Buatlah rangkaian logika (yang sudah disederhanakan tentunya) yang menghasilkan keluaran 1 jika A B atau 0 jika tidak. (b) Gambarkan kembali rangkaian logikanya jika hanya menggunakan gerbang NOR saja (petunjuk : gunakan hukum de Morgan)
