LATIHAN SOAL II FISIKA ZAT PADAT LUCKY PUTRI RAHAYU 1109100012
1. Pend Pendek ekat atan an gelo gelomb mban ang g panj panjan ang g dan dan pend pendek ekat atan an gelo gelomb mban ang g pend pendek ek pada pada penj penjal alar aran an gelombang elastik dalam zat padat akan menghasilkan perbedaan hubungan dispersif kisi. Jelaskan perbedaannya! Jabarkan perumusannya! Jawab : a. Getara Getaran n atom atom dapat dapat pula disebabk disebabkan an oleh oleh gelomb gelombang ang yang merambat merambat pada kristal kristal.. Ditinj Ditinjau au dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang panjang. Pendekatan gelo!ang "endek : pabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang "#$ yang lebih ke%il dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini gelombang akan &melihat' kristal sebagai tersusun oleh atom(atom yang diskrit) sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Pendekatan gelo!ang "an#ang : Gelombang yang panjang gelombangnya "#$ lebih besar dari jarak antar atom kisi akan &nampak' malar "kontinyu$ sebagai suatu media perambatan gelombang. *leh karena itu pendekatan ini sering disbut sebagai pendekatan kisi malar. b. Dala "endekatan gelo!ang "an#ang tinjau sebuah batang berpenampang dengan rapat massa + yang dirambati gelombang mekanik ke arah memanjang batang ,. Pada setiap titik , dalam batang terjadi perubahan panjang u ",$ sebagai akibat adanya tegangan -",$ dari gelombang entuk penyelesaian dari persamaan gelombang dapat dipilih solusi gelombang bidang
Dengan: / bilangan gelombang "0 23#$ 4 frekuensi sudut dan # panjang gelombang
ila persamaan diatas mengabaikan faktor waktu "t$ maka fungsi gelombang bidang dapat ditulis : u(x)
Panjang batang adalah 5 dan fungsi gelombang harus memenuhi syarat periodik sehingga nilai pada ujung kiri ",06$ harus sama dengan nilai pada ujung kanan ",05$ maka
maka
7eadaan 7eadaan di atas atas bila bila dituli dituliska skan n dalam dalam ruang ruang ( / "koord "koordina inatt yang yang menyat menyataka akan n bilanga bilangan n gelombang$. 8itik(titik dalam ruang ( / menyatakan ragam "moda$ gelombang. ndaikan panjang batang %ukup besar "599$ maka jarak "235$ akan mendekati nol dan ini berarti titik(titik dalam ruang ( / makin berdekatan "ruang ( / mendekati malar3kuasi kontinyu$.
Gambar 1: uang ( / satu dimensi : a. diskrit dan b. malar
dapat didefinisikan didefinisikan jumlah jumlah ragam gelombang elastik yang mempunyai mempunyai bilangan bilangan gelombang gelombang antara / dan / ; d/ "dalam inter
Dimana $%2&'L Jumlah ragam gelombang untuk setiap satuan
Gambar . =ubungan "pendekatan
dispersi linier untuk kisi malar gelombang panjang$
Dala "endekatan gelo!ang "endek Perhatikan kisi eka(atom "hanya tersusun oleh satu jenis atom$ satu dimensi. Pada keadaan seimbang atom(atom se%ara rata(rata menduduki menduduki titik kisi. kisi. 7emudi 7emudian an atom(a atom(ato tom m akan akan menyi menyimp mpang ang denga dengan n simpan simpangan gan sebesa sebesarr >.u >.u n(1 un un ............dst.
;1
Gambar ?. 7isi eka(atom satu dimensi dalam keadaan seimbang "atas$ dan dirambati gelombang longitudinal "bawah$.
=ukum @@ Aewton:
Dengan Dimana: n adalah bilangan bulat a adalah tetapan kisi Dengan menggunakan =ubungan Buler didapatkan
Dengan =al ini ini menya menyata taka kan n hubun hubungan gan anta antara ra 4 dan dan / jadi jadi jela jelass bahw bahwaa pers persam amaa aan n ters terseb ebut ut menyatakan hubungan dispersi yang dalam kasus ini berbentuk3bersifat sinusoida. Dalam pembahasan di atas se%ara implisit telah digunakan pendekatan gelombang pendek karena medium &tampak' sebagai deretan atom(atom diskrit. diskrit. Dari hasil dapat dikatakan dikatakan bahwa untuk kisi diskrit atau pendekatan gelombang pendek hubungan dispersinya sinusoida "tidak linier$
Gambar C. =ubungan dispersi 4
. Gelombang Gelombang ultrasoni ultrasoni%% dijalarka dijalarkan n pada batang batang pejal pejal sepanja sepanjang ng 5.
a. uktikan bahwa gelombang mekanik di dalam batang tersebut merambat dengan laju : s 0 "B3+$13 dimana B dan + masing(masing menyatakan modulus elastisitas dan rapat massa batang. b. 8unjukkan pula bahwa bilangan gelombang / akan terkuantisasi menurut : / 0 "235$n dengan n 0 6 1 ? > Jawab: a. Pada Pada sebua sebuah h batan batang g berp berpen enam ampa pang ng denga dengan n rapa rapatt mass massaa + yang yang dira diramb mbat atii gelom gelomba bang ng mekanik ke arah memanjang batang ,. Pada setiap titik , dalam batang terjadi perubahan panjang u ",$ sebagai akibat adanya tegangan -",$ dari gelombang
egangan batang
8egangan yang memenuhi hukum =o%ke
dengan B menyatakan menyatakan Eodulus Eodulus elastik elastik atau Eodulus Foung. Foung. elanjutnya elanjutnya menurut menurut hukum kedua Aewton tegangan yang bekerja pada elemen batang d,
kan menyebabkan massa elemen batang dm 0
dan mendapatkan per%epatan
: ma0
0
>>."1$
Persamaan diferensial
sehingga persamaan "1$ menjadi
persamaan "$ merupakan persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan persamaan gelombang umum :
ehingga persamaan "$ dan persamaan "?$ digabungkan menjadi
b. entuk penyelesaian dari persamaan gelombang dapat dipilih solusi gelombang bidang
Dengan: / bilangan gelombang "0 23#$ 4 frekuensi sudut dan # panjang gelombang ila persamaan diatas mengabaikan faktor waktu "t$ maka fungsi gelombang bidang dapat ditulis : u(x)
Panjang batang adalah 5 dan fungsi gelombang harus memenuhi syarat periodik sehingga nilai pada ujung kiri ",06$ harus sama dengan nilai pada ujung kanan ",05$ maka
maka
?. Pandang Pandang kisi satu satu dimensi dimensi yang terdiri terdiri dari A buah atom sejenis sejenis.. Jarak antar antar atom yang berdekatan a dan tetapan elestik pada ikatan antar atom adalah H. a. Eulail Eulailah ah dengan dengan menuli menuliska skan n persam persamaan aan gerak gerak atom atom menuru menurutt hokum hokum @@ Aewton Aewton lalu lalu dapatkan hubungan dispersi :
"/$ dari kristal tersebut.
b. 8entukan ke%epatan fasa dan ke%epatan grup bagi gelombang elastik yang menjalar pada kisi tersebut. Jawab: a. 7isi 7isi satu dimensi dimensi yang yang terdiri terdiri dari A buah atom sejeni sejenis. s. Jarak Jarak antar atom yang yang berdekata berdekatan n adalah a dan tetapan elastik pada ikatan antar atom adalah H. =ukum @@ Aewton:
Dengan Dimana: n adalah bilangan bulat a adalah tetapan kisi Dengan menggunakan =ubungan Buler didapatkan
Dengan
"hubungan dispersi berbentuk sinusoidal$
b. 7e%epatan fasa dan ke%epatan grup gelombang elastik yang melewati kisi tersebut 7e%epatan fasa:
7e%epatan grup:
Unt(k k)*) ala+
Panjang gelombang "#$ besar # 99
ehingga menghasilkan / 6 =ubungan dispersi se%ara umum
7arena / 6 maka
ehingga
Unt(k k)*) d)*kt+)t
7arena hubungan dispersinya sinusoida maka ke%epatan rambat gelombang adalah
C. Ilangi Pertany Pertanyaan aan Ao. ? "a$ "a$ dan "b$ untuk untuk gelombang gelombang elasti elastik k yang menjalar menjalar dalam dalam kisi dwi dwi atom satu dimensi! Jawab: .
Gambar. kisi dwi atom satu dimensi
Pada gambar dibawah ini atom(atom yang berukuran lebih ke%il dengan massa m diberi nomer genap sedangkan atom(atom yang lebih besar dengan massa E diberi nomer ganjil. pabila kisi dirambati gelombang atom(atom akan mengalami penyimpangan sebesar ........ Ir(1 Ir Ir;1 ...........dan seterusnya. Intuk atom bernomer genap
>"1$ Kungsi
gelombangnya
adalah: Ier;1 0 1 e,p Li/a "r;1$ ( i4tM Ir 0 e,p Li/a "r$ ( i4tM
>"$
elanjutnya substitusi pers "1$ dan "$menjadi
Fang dapat ditulis dalam bentuk matrik:
Persamaan Persamaan matri, matri, ini akan mempunyai mempunyai penyelesaia penyelesaian n non(tri
ehingga membarikan hasil
. Debye Debye memodel memodelkan kan bahwa getaran getaran kisi kisi bersif bersifat at kolekt kolektif if dengan frekuen frekuensi si yang terseb tersebar ar antara 4 0 6 dan 4D. a. Jelaskan apa perbedaan antara model Debye ini dengan model klasik maupun model Binstein! b. Jika bentuk ungkapan jumlah ragam gelombang : g"4$ 0 43"2
pabila zat padat penyerap energi panas akan terjadi gejala termal yaitu atom(atom bergetar di sekitar posisi setimbangnya. Eenurut fisika klasik getaran atom(atom zat padat dapat dipanda dipandang ng sebaga sebagaii osilat osilator or harmon harmonik. ik. atu atu getara getaran n atom atom identi identik k dengan dengan sebuah sebuah osilat osilator or harmonik. *silator harmonik merupakan suatu konsep3model yang se%ara makroskopik dapat dibayangkan dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas %. Intuk osilator harmonik satu(dimensi energinya dapat dirumuskan : B0 Bnergi 7inetik ; Bnergi Potensial
Bnergi rata(rata osilator harmonik adalah:
dengan k tetapan oltzmann dan 8 suhu osilator. Kaktor e,p "(O3k8$ disebut bobot oltzmann atau lengkapnya fungsi distribusi Ea,well ( oltzmann. Bnergi rata(rata osilator seperti pada persamaan "$ dapat juga ditentukan melalui prinsip ekuipartisi energi. Eenurut prinsip ini setiap sistem yang mempunyai satu derajad bebas yang berbentuk kuadrat dari besaran gerak "< , 4 ....$ mempunyai energi rata(rata rata(rata yang setara dengan 1k8. 1k8. ehin ehingg ggaa untuk untuk osil osilat ator or harm harmon onik ik satu satu dime dimens nsii yang yang memp mempuny unyai ai dua dera deraja jad d bebas bebas "persamaan1$ mempunyai energi rata(rata :
elanjutnya karena atom(atom dalam kristal membentuk tiga dimensi maka untuk satu mol osilator harmonik tiga dimensi energi dalamnya:
Dari hasil diatas terlihat bahwa menurut model Kisika 7lasik kapasitas panas zat padat tidak bergantung pada perubahan suhu dan selalu berharga ?. Eodel ini hanya berlaku pada suhu tinggi namun jelas tidak dapat digunakan pada suhu yang rendah. ,odel teo+) -)n*te)n tom(atom dianggap sebagai osilator bebas yang bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator yang berada di sekitarnya. Bnergi osilator dirumuskan se%ara kuantum yang berharga diskrit: n061?>
Bnergi osilator berdasarkan anggotanya setiap osilator terisolasi terhadap osilator lainnya. Aamun kenyataannya osilator selalu akan selalu berinteraksi dengan energi di sekitarnya sehingga energi osilator akan selalu berubah. Bnergi rata(rata osilator adalah
Eodel Eodel Binstei Binstein n %o%ok pada pada suhu suhu tinggi tinggi . Aamun pada pada suhu suhu rendah rendah nilai nilai
sangat sangat besar besar
sehingga suhu rendah H< tidak sebanding dengan hasil eksperimen dimana H< sebanding dengan 8?. ,odel De!.e Dalam model Binstein atom(atom dianggap bergetar se%ara terisolasi dari atom di sekitarnya. nggapan ini jelas tidak dapat diterapkan karena gesekan atom(atom menyebabkan adanya interaksi antar atom. eperti pada kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat oleh karena rambatan gelombang tersebut tersebut atom(atom akan bergerak bergerak kolektif. Krekuensi getaran atom ber
adalah energi rata(rata osilator seperti pada model Binstein adalah rapat keadaan sehingga kemudian memenuhi:
b. Krekuensi potong Debye
. Bnergi Bnergi total getaran getaran
%. =asil =asil perumu perumusan san kapasit kapasitas as panas panas
Pada suhu tinggi batas atas integral sangat ke%il demikian pula dengan
S(/( +enda/ odel )n) #(ga een(/) /a*)l ek*"e+)en .a)t( C *e!and)ng dengan T
. pa yang dimaksud dimaksud dengan dengan istilah istilah berikut: berikut: fonon rapat rapat keadaan keadaan fonon moda moda
Konon
: Getaran atom yang dapat dipandang sebagai paket energi
Habang *p *ptik
: Ai Ailai fr frekuensi be berada di di da daerah ge gelombang in inframerah "o "optik$
Haban bang kustik
: Ee Eemiliki si sifat se seper perti ge gelomb ombang ang bun buny yi ke ketika /06 /06 ma maka 40 406
dan ketika / bertambah nilai 4 pun juga bertambah se%ara hamper linier
Krekuensi Krekuensi Potong Potong Debye Debye : atas atas frekuens frekuensii getaran getaran atom atom
apat apat kead keadaan aan fonon fonon
: Jum Jumla lah h kea keadaa daan n "dA "dA$$ tia tiap p ren renta tang ng ener energy gy "dQ$ "dQ$