LAS PROPOSICIONES PROPOSICIONES Las proposiciones constituyen los elementos de inferencia, es decir, son parte de todo proceso de razonamiento lógico, por eso es preciso estudiar todo lo concerniente a ellas. Consideremos en primer lugar, que a toda expresión u oración del lenguaje se le denomina enunciado LÓGICA PROPOSICIONAL Es un sistema lógico que trata la clase de argumentos cuya validez exclusivamente dependen de cómo están conectados los enunciados. PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS: Una proposición o enunciado es una oración diofántica !ivalente" que puede ser # o $, pero no puede tener estos dos valores de verdad al tiempo. La proposición es un elemento fundamental de la lógica preposicional ya que cada proposición tiene una forma lógica la cual se expresa con un nom!re o varia!le preposicional y se distinguen cuatro tipos de proposiciones% • • • •
Enunciados &!iertos Enunciados Enunciados Cerrados 'roposiciones 'roposiciones (imples 'roposiciones 'roposiciones Compuestas
a) ENUNCIADOS ABIERTOS: Un enunciado a!ierto es una oración donde el sujeto de la acción no se identifica claramente. Ejemplo: ) es un n*mero par y primo + es un da de la semana. Un enunciado a!ierto que involucra una igualdad y en la que se desconocen uno o varios de sus t-rminos se llama ECU&C/0. Nota: Nota:
b) ENUNCIADOS CERRADOS: Es un enun enunci ciad ado o que que pued puede e ser ser #E1& #E1&2E 2E13 13 o $&L( $&L(3, 3, cuan cuando do iden identitififica camo moss claramente el sujeto que realiza la acción. Un enunciado a!ierto, puede convertirse en un enunciado cerrado, verdadero o falso, al sustituir el t-rmino varia!le por un t-rmino constante elegido de un conjunto referencial.
Ejemplo: 4 es un n*mero par y primo #erdadero" 5 es un n*mero par y primo $also" Carlos es un da de la semana $also" 6ueves es un da de la semana #erdadero" c) PROPOSICIONES SIMPLES: Una proposición se considera simple si en ella no intervienen conectores lógicos o t-rminos de enlace. Las proposiciones simples se representan mediante las letras del alfa!eto espa7ol p, q, r, s, t, usadas com*nmente. & las cuales se les denomina como va!able" popo"!c!o#ale"$ Ejemplo: p% Camila estudia 8edicina q% Laura estudia Comunicación (ocial ENLACES LÓGICOS: Los conectores son las contrapartidas formales de las conjunciones gramaticales, mediante las cuales formamos de enunciados simples, otros llamados compuestos. 9y: se representa 9 9 ˄
9o: se representa 9 : ˅
9(i;entonces;: se representa 9 9;si y sólo si;9 se representa 9 90o;, ni;: se representa. 9
ℶ
⇒
⟺
:o9 : o 9
→
⟷
: :
, <:
%) PROPOSICIONES COMPUESTAS: Una proposición compuesta es un enunciado de verdad que está compuesto por dos o más proposiciones simples, unidas mediante conectores lógicos, formando una nueva oración. Una proposición se considera compuesta o molecular si se juntan dos o más proposiciones simples con t-rminos de enlace o conectores. Los conectores o t-rminos de enlace 9 9, 9 :, 9(i; entonces:, 9(i y solo si:= se usan para ligar dos proposiciones, el t-rmino 9 :se agrega a una sola proposición. no Ejemplo": p% >oy es da mi-rcoles.
q% >ay clase de lógica matemática. Estas proposiciones son simples, y con ellas se pueden formar o construir proposiciones compuestas. Como% a. >oy es da mi-rcoles y ?ay clase de lógica matemática. + se presenta sim!ólicamente as% 9p y q: En notación lógica% q
˄
p
!. >oy es da mi-rcoles o ?ay clase de lógica matemática. + se presenta sim!ólicamente as% 9p o q: En notación lógica% q
˅
p
c. (i ?oy es da mi-rcoles entonces ?ay clase de lógica matemática. + se presenta sim!ólicamente as% 9(i p entonces q: ⟹
En notación lógica% q
p
d. >oy es da mi-rcoles si y sólo si ?ay clase de lógica matemática. + se presenta sim!ólicamente as% 9p si y sólo si q: ⟺
En notación lógica% q
p
e. >oy no es da mi-rcoles, ni ?ay clase de lógica matemática. + se presenta sim!ólicamente as% 9no p, ni q: En notación lógica% 9 @ p @ q En algunos casos se puede presentar am!igAedades en proposiciones compuestas. &eamo" '# ejemplo: (i ?ace calor, entonces +o?an no sale y toca el piano. Es fácil o!servar que lo podemos interpretar de dos maneras el enunciado molecular. a" Cuando ?ace calor +o?an no sale y además estudia, ?aga fro o calor. !" +o?an solo estudia cuando ?ace fro y no sale. Se po%(a epe"e#a: p% >ace fro. q% +o?an sale. r% +o?an estudia. En (m!olos% p
−¿
⟶
q r
'ero se presentara una am!igAedad, como en el lenguaje natural. Entonces aplicando los signos de agrupación de!emos decidir cómo traducirla%
a"
SIGNOS DE AGRUPACION:
Con estos elementos del voca!ulario, varia!les, conectivos y signos de agrupación se puede presentar la sintaxis de la lógica, podemos explicitar las reglas sintácticas mediante las cuales podemos formar proposiciones moleculares a partir de otras fórmulas o proposiciones atómicas. &ALORES DE &ERDAD DE UNA PROPOSICIÓN Una proporción puede tener un solo valor de verdad, as este conformando una proposición compuesta. 'ueden suceder las siguientes pro!a!ilidades de acuerdo a cada opción de tra!ajo% (i es una proporción simple% ' $ # (i
son
proposiciones
compuestas,
depende del n*mero de proposiciones
compuestas% S! "o# * popo"!c!o#e" popo"!c!o#e"
S! So# +
