Prof. Graciela Slekis Riffel - La Academia – PToros CURSO: Física - Cinemática
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Si alguna vez te piden que escribas una ecuación horaria tenés que escribir alguna expresión que contenga x y que contenga t . NO LAS REEMPLACES por nada, ni por ningún número ni por ninguna otra letra, ni por guita. Escribí la x y la t con la caligrafía que quieras, pero la expresión DEBE contener una equis y una te . Si no las contiene, lo que escribiste puede ser cualquier cosa, menos una ecuación horaria. A modo de ejemplo, te muestro el modelo de ecuación horaria del MRU: x = x o + v ( t – to ) x y t son las variables. Si no aparecen, fuiste; no hay ecuación horaria. El resto: x o , v y t o , son constantes, o sea números. Con suerte te dan el valor de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar o quizás los puedas decidir vos. ¡Pero no son variables, son constantes! Es decir, una vez que te los dan, o que los encontrás, o que los decidís, ya está, son constantes, no cambian, valen siempre lo mismo... cómo querés que te lo diga...
Pongamos un ejemplo: x = 3 m – 4 m/s m/s ( t – 5 s )
eso es una ecuación horaria, no cabe duda, porque contiene x y contiene t . Además te puedo asegurar que x o = 3m, v = – 4m/s y t o = 5 s.
Otro ejemplo: x = 4 m/s m/s ( t + 2 s )
En este ejemplo x o = 0 m, v = 4 m/s y t o = – 2 s . Fijate que casi siempre se puede distinguir qué es una constante y qué es una variable por la presencia de subíndice. El instante llamado 0, t o , es único e irrepetible, a eso le decimos constante. En cambio t es el símbolo de un conjunto infinito, representa a cualquier instante de tiempo, puede representar a t o , t 1 , t A , el minuto 34 o la hora 78. Una ecuación horaria es una expresión capaz de decirte en qué posición se encuentra un móvil en cualquier instante de tiempo. Es un almacén de información cinemática, guarda infinitos pares de información posicióntiempo. Si de un movimiento cualquiera, vos conocés la ecuación horaria, ya está, ese movimiento no tiene más secretos para vos. Es una masa. Acá te pongo otra ecuación horaria, pero de un movimiento que es de otro tipo que el anterior. Esta es de un MRUV: x = 10 10 m + 3 m/s ( t – 5 s ) + 4 m/s² m/s² . ( t – 5 s )² )²
Viste, tiene x y t , igual que antes. Bueno, t aparece dos veces, no es drama. La cuestión es que tenga x y t . Si no, no describe un movimiento, no describe un pito.
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In order to print this document from Scribd, you'll El modelo de este tipo de movimiento es: to download it. first need
x = x o + vo ( t – t o ) + ½ a . ( t – t o )²
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en este tipo de movimiento no sólo cambia la posición del móvil, también varía su velocidad. Por eso también existe una ecuación que llamamos segunda ecuación horaria, que describe justamente cómo cambia la x y t , tiene v y t . En el ejemplo que te di ahí velocidad a medida que transcurre el tiempo. En lugar de tener x arriba la 2da ecuación horaria sería: 2
v = 3 m/s + 8 m/s . t
Y no me hagas enojar.
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A las ecuaciones horarias también se las llama ecuaciones de movimiento. Las ecuaciones horarias son funciones. El motivo de esto, bueno, hay que preguntárselo al universo.
COMO SE ARMAN LAS ECUACIONES HORARIAS
Para resolver los problemas de cinemática, la principal herramienta es la ecuación horaria que describe el movimiento que aparece en el problema. Si aparece más de un movimiento, pues bien, ecuaciones para cada uno de ellos. Pero la ecuación no te la van a dar, la vas a tener que armar vos. Es muy fácil: primero tenés que saber de qué tipo de movimiento se trata, por ejemplo MRU, o MRUV, o el que sea. Una vez que sabés eso buscás el modelo de ecuación para ese tipo de movimiento. A modo de ejemplo, supongamos que se trata de un MRU. Buscás el modelo correspondiente y es éste: x = x o + v ( t – t o ) x o , v y t o ) y Además de signos matemáticos, las ecuaciones ec uaciones horarias tienen dos componentes: constantes ( x variables ( x y t ). Mirá, para que las distingas bien te vuelvo a copiar la ecuación, pero en tecnicolor: x = x o + v ( t – to )
las azules son las constantes y las rojas, las variables. Las variables, o sea las rojas, no las toques: si las tocás se puede romper la ecuación y después no sirve para nada. Si no aparecen, fuiste: no hay ecuación horaria. ARMAR UNA ECUACION HORARIA SIGNIFICA REEMPLAZAR LAS CONSTANTES
Vos lo que tenés que hacer es encontrar (o a veces decidir) quiénes van a ser o cuánto valen las constantes, las x o , v y t o ). que están en azul ( x Con suerte te dan los valores de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar o quizás los puedas decidir vos. ¡Pero no son variables, son constantes! Es decir, una vez que te los dan, o que los encontrás, o que los decidís, ya está: son constantes, no cambian, valen siempre lo mismo hasta que termines el problema,
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In order to print this document from Scribd, you'll hasta que te enfrentes con otro movimiento otro problema en otra clase, en otro país... cómo querés que te lo first need toen download it.
diga... NO CAMBIAN.
Cancel Download Print no tienen más secretos para vos. Toda Después de armar las ecuaciones horarias, los movimientos queAnd describen la información está almacenada ahí dentro. Podés hacerles todas las preguntas que quieras, y ellas van a contestar. Son muy dóciles. Dicho en otras palabras, una vez que las tenés ahí... las podés usar.
NOTA: Hay algunos movimientos que se describen con más de una ecuación, pero funciona todo igual: armar las ecuaciones es reemplazar las constantes. A modo de ejemplo te muestro las ecuaciones que describen los tiros oblicuos, que son siempre tres para cada disparo: x = x o + v x ( t – to ) y = yo + voy ( t – to ) + ½ g ( t – t o )² v y = voy + g ( t – to )
Cuando escribas las ecuaciones de un tiro oblicuo, tené cuidado: no le vayas a pegar a alguien en un ojo.
EJERCICI JERCICIOO- Los siguient sigui entes es diagramas diagramas correspo corresponden nden a distint dist intos os móv móviles, il es, que realizan movimientos rectilíneos. Hallar las ecuaciones horarias para cada uno de ellos, y en qué instantes pasarán (o pasaron) por la posición tomada como origen de coordenadas.
Empecemos con el 1. La consigna es armar la ecuación horaria. Busquemos el modelo de ecuación que tenemos que armar... Se trata de un MRU, no cabe duda... Acá está: x = x o + v ( t – t o )
Para armarla tenemos que buscar las tres constantes: t o, x o y v. ¿Nos da el gráfico esa información? A ver si nos ponemos de acuerdo en qué información nos da el gráfico exactamente. Volquémosla a una tabla de valores.
Para hallar usaremos el concepto de velocidad media, ya que para el velocidad y velocidad media coinciden perfectamente: Δ / Δ . Esto implica que tenemos que tener un desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente. correspondiente. Justo lo que tenemos.
Prof. Graciela Slekis Riffel - La Academia – PToros Print document CURSO: Física - Cinemática ΔX = Δt =
24 m – 6 m = 18 m
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6 s– 0 s= 6s
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vm = ΔX / Δt = 18 m / 6 s = v = vm = 3 m/s
¿Quiénes serán t o y x o?, parecen ser 0 s y 6 m. Pero también podrían ser 6 s y 24 m. Qué dilema... ninguno de los dos pares es el "inicial" del movimiento; tal como figura en el gráfico, parece haber comenzado en el instante -1 s, más o menos. No discutamos más, hagamos de las dos maneras. Entonces por un lado tenemos la terna de constantes t o= 0 s, x o= 6 m y v= 3 m/s; la ecuación quedaría así:
x = 6 m + 3 m/s . t
versión 1
La segunda terna posible es t o= 6 s, x o= 24 m y v= 3 m/s que nos da esta otra ecuación horaria
x = 24 m + 3 m/s . ( t – 6 s )
versión 2
¡Qué problema! ¿Será posible que haya dos ecuaciones diferentes para un mismo movimiento? ¿Habrá algún error? Tengo una idea: formulémosle a ambas ecuaciones las mismas preguntas... dónde estaba el móvil en el instante ... A ver si contestan lo mismo.
No cabe duda, responden de la misma manera. Se ve que ambas describen el mismo movimiento. La verdad... te lo voy a confesar... se se trata de la misma ecuación, no hay diferencia. Fijate que son exactamente la misma, parecen diferentes... pero no. Una de las preguntas que hice para armar esa tabla de valores (penúltimo renglón), es -de casualidad- la que pregunta el enunciado: en qué instante el móvil pasa por la posición 0 m. Yo le había preguntado a la ecuación horaria dónde estaba el móvil en el instante -2 s, la respuesta fue x (-2s) (-2s) = 0 m, de modo que t (0m) (0m) = -2 s
el paso por el origen
Ahora, si el "paso por el origen" hubiera querido encontrarlo ex profeso y no de casualidad, ¿cómo habría hecho? Fácil: en cualquiera de las dos versiones de ecuación, reemplazo la variable x por 0 m; luego, operando algebraicamente, despejo t -que ahora será t (0m) (0m)- que será el que se corresponde con 0 m.
USAR UNA ECUACION HORARIA
Arranquemos con la misma ecuación horaria que inventé como ejemplo cuando te explicaba qué es una ecuación horaria. x = 3 m – 4 m/s m/s ( t – 5 s )
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In order to print this document from Scribd, you'll Así como armar la ecuación horaria reemplazar las constantes... usar una ecuación horaria significa firstsignifica need to download it.
reemplazar las variables: x y t . De esa manera podemos saber dónde estuvo el móvil en el instante de tiempo que se te ocurra. Por ejemplo: ¿dónde estuvo el móvil en el instante 74,26 s? Aunque la pregunta te parezca Cancel La ecuación Download And Print ridícula la respuesta está dentro de la ecuación. siempre responde dócilmente, nunca se ofende. Para hacer que la ecuación responda se reemplaza la variable t por el instante que a vos te interesa ( 74,26 s ), luego se hace la cuentita, y del otro lado del igual aparece la respuesta, o sea la posición del móvil en el instante ese. Se le puede preguntar por cualquier instante. La ecuación responde puntualmente. Las preguntas y las respuestas se pueden ir anotando en una tabla de valores.
Usar o (como dicen los físicos) especializar una ecuación horaria significa reemplazar las variables: x y t . t (s)
x (m)
5
3
7
-5
2
15
74,25
-274,04
-1
27
Por los instantes 5; 7; 2; 74,25 y -1 segundo se me ocurrió preguntar a mí. Vos podés preguntar por los instantes que quieras. La ecuación va a responder. Y así podemos seguir pidiendo posiciones para los i nstantes que se nos cante. Todas las respuestas están guardadas dentro de la ecuación. A propósito... ¿cuántos pares posición-tiempo que pertenecen al movimiento que describe esa ecuación pensás que hay almacenados en ella? ¡Bien! (pensaste infinito , ¿no?). Habrás visto también que yo pregunté por el instante -1 segundo. ¿Me habré equivocado? ¿Existen los tiempos negativos? Claro que sí, nada tienen de malo, no contagian ninguna enfermedad, ni tienen menos derechos civiles que los tiempos ti empos positivos. Ya que tenemos varios pares posición-tiempo podríamos hacer un gráfico del movimiento.
NOTA: cuando estás usando una ecuación horaria ni se te ocurra cambiar, ni siquiera tocar las constantes. Si hacés eso, cambiaste de ecuación, ya no describe el movimiento que vos querés. Fuiste.
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In order to print this document from Scribd, you'll Te lo digo una vez más, y en technicolor first need, to download it.
x = 3 m – 4 m/s m/s ( t – 5 s )
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USAR UNA ECUACION HORARIA ES REEMPLAZAR LAS VARIABLES (las rojas; las azules no las toques, caca).
El tiempo negativo Existe un gran mito ampliamente difundido por el cual se piensa que el tiempo no puede ser negativo. Que si digo t = -15 s, entonces algo anda mal, porque t negativa no existe. Veamos. Aún admitiendo que el universo comenzó su existencia en el Big Bang hace más o menos 12.000 millones de años y que no tiene demasiado sentido hablar de instantes de tiempo anteriores a ese evento, no puede escapar a nadie que las escalas de tiempo que se utilizan para estudiar cualquier otro fenómeno que no sea la historia del universo son arbitrarias: arbitrarias las unidades en que se cuentan (años, días, minutos, segundos) y arbitrarios los ceros de las escalas. Por ejemplo: si quiero estudiar la cinemática de la caída de una pelota, me resultaría incómodo fijar el cero de los tiempos en el Big Bang o en el instante de la creación de la pelota. Suelo poner el cero en el instante en que la pelota se suelta. Los profesores de física acostumbran recrear esta idea diciendo: "el cero es cuando disparo el cronómetro". Ahora bien: todo lo que ocurrió antes de apretar el cronómetro... ¿no existió? Sí existió. Y si quiero referirme a esos eventos anteriores al cero utilizando la misma y arbitraria escala de tiempo que utilicé antes, ¿no puedo? Claro que puedo y lo hago de esta manera: a los instantes de tiempo anteriores al cero les pongo números negativos ( ¡qué fácil! ). ). En general se pierde de vista que los números son simplemente nombres que utilizamos para nombrar instantes de tiempo. Bien podríamos llamarlos "el momento de lanzamiento", o "el día del delfín" o "la hora señalada". Pero preferimos números por un motivo: porque hay infinitos instantes, tantos como números reales, que están ordenados, del mismo modo que los números. Que Aristóteles haya nacido en el 384 AC o en el -384 no significa que haya nacido en un año negativo por sus malas cosechas, y menos aún significa que Aristóteles no hubiera nacido. Significa, nada más, que nació 384 años antes que el año cero, al cual arbitrariamente le pusimos cero, para ordenar la historia. Otros profesores me han transmitido que suelen utilizar la palabra tiempo como sinónimo de "intervalo de tiempo", Δt , y que es a este concepto (y no a los instantes de tiempo) al que le niegan la posibilidad de ser negativo porque -dicen- el tiempo fluye en una única dirección, de antes a después y no viceversa. Es otra patraña. Si en un resultado en un problema de cinemática (por ejemplo) se obtiene un intervalo de tiempo negativo, una buena interpretación de éste puede muy bien indicar algo que las leyes del universo permiten. Una vez un osado estudiante objetó esta idea diciéndome: -Maestro, el intervalo de tiempo no puede ser negativo porque el universo no permite viajar hacia el pasado, en cambio sí permite viajar hacia el futuro. -Jovencito -le respondí-, el universo no permite ninguno de los dos viajes. Nos obliga a estar en el presente. Un Δt negativo no indica un viaje al pasado del mismo modo que un Δt positivo no significa un viaje al futuro. -¡Pero al futuro sí que se puede ir ! ! -insistió el incrédulo. -Bueno -lo desafié-, váyase al futuro si puede. Desaparezca del presente y viaje. Ja, ja, ja, pequeño bellaco. Además tiene un cero y quince amonestaciones. Siempre tengo a mano alguna herramienta didáctica. Artículo publicado en la revista EXACTAmente EXACTAmente. Todos los derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Última actualización jun-06
