LAS ESTADISTICAS Y SUS DISTRIBUCIONES TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
1. Una compañía mantiene tres oficinas en cierta región, cada una manejada por dos empleados. La información de salarios anuales (miles de dólares) es la siguiente: 1 1 19.7
Oficina Empleado Salario
1 2 23.6
2 3 20.2
2 4 23.6
3 5 15.8
3 6 19.7
a.
Suponga que dos empleados se seleccionan al azar de entre los seis (sin reemplazo). Determine la distribución muestral del salario medio muestral X . b. Suponga que una de las tres oficinas se selecciona al azar y denote por X 1 y X 2 los salarios de los dos empleados. Determine la distribución muestral de X . poblacional ? c. ¿Cómo se compara E ( X ) de los incisos (a) y (b) con el salario medio poblacional Solución: a.
Empl.
X
p ( X )
Empl.
Empl.
X
p ( X )
1
2
21.65
1 15
2
6
21.65
1 15
1
3
19.95
1 15
3
4
21.9
1 15
1
4
21.65
1 15
3
5
18.0
1 15
1
5
17.75
1 15
3
6
19.95
1 15
1
6
19.7
1 15
4
5
19.7
1 15
2
3
21.9
1 15
4
6
21.65
1 15
2
4
23.6
1 15
5
6
17.75
1 15
2
5
19.7
1 15
Empl.
Entonces, la distribución de la media muestral del salario será: x p( x )
17.75
18.0
19.7
19.95
21.65
21.9
23.6
2 15
1 15
3 15
2 15
4 15
2 15
1 15
b.
x
17.75
21.65
21.9
p( x )
1 3
1 3
1 3
c. E ( X )
20.4333 en tres casos
2. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un especímen seleccionado al azar, en cierta región, está normalmente distribuida con media 2.65 y desviación estándar 0.85 (sugerida en “Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants”, Water Research, 1984, pp 1169 – 1174). a. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 especímenes, ¿cuál es la probabilidad de que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y ¿entre 2.65 y 3.00?
b.
¿Qué tan grande se requeriría un tamaño muestral para asegurar que la primera probabilidad del inciso (a) sea por lo menos 0.99? Solución: 0.85 a. 2.65, 0.85, n 25, 0.17 X X 25 3.00 2.65 P( X 3.00) P Z P( X 3.00) (2.058) 0.9803 0.9803 0.17 P(2.65
X
3.00)
P
2.65 2.65 0.17
0.9803 0.5000
P( X
3.00)
P Z
b.
3.00 2.65 0.85
3.00 2.65
Z
0.4803
0.99,
n
(2.058)
0.17
0.35
P(2.65
(2.33)
2.33 0.85
2.33, despejando n, n 0.85 n Entonces con n = 33 será suficiente
(0) X
3.00)
0.4803
0.99 2
32.02
0.35
3. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal, con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población y las medias se registran al décimo de centímetro mas cercano, determine: a.
la media y la desviación estándar de la distribución muestral de X , b. el número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 ce ntímetros inclusive. c. el número de medias muestrales que caen por debajo de 172.0 cm. Solución: a.
174.5,
6.9
1.38, 174.5, X X 25 b. La distribución es binomial y haciendo la aproximación a normal. 172.45 174.5 175.85 174.5 (0.978) P (172.5 X 175.8) P Z 1.38 1.38 X
X
n
1.38
( 1.485)
0.8365 0.0681 0.7684 Entonces el número de medias muestrales que están entre 172.5 y 175.8 inclusive es: (0.7684)(200) = 153.64 154 N = 154 171.95 174.5 ( 1.85) 0.0322 c. P( X 172) P Z 1.38 El número de muestras por debajo de 172 es (0.0322)(200)= 6.44, N=6
4. Si cierta máquina fabrica resistores eléctricos que tienen una resistencia media de 40 y una desviación estándar de 2 , ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 de estos resistores tenga una resistencia combinada de más de 1458 ? Solución:
= 40,
Por tanto
= 2 y n = 36,
X
40,
P( X
40.5) 1 P( X
P( X
40.5) 1 0.9332
X
2
1
36
3
40.5) 1 P Z 0.0668
, además la resistencia es 40.5 40
13
1
1458 36
40.5
(1.5) P( X
40.5) 0.0668
