LAPORAN PRAKTIKUM PERCOBAAN 3 ALJABAR BOOLEAN & DE MORGAN
Kelompok 7 Nama Praktikan: Tatiana Ranadipura Nama Rekan Kerja: - Angga Moshanto P. - Faisal Dandi
POLITEKNIK NEGERI JAKARTA 2012
PERCOBAAN 3 ALJABAR BOOLEAN & DE MORGAN 1. TUJUAN -
Memahami operasi dasar dari aljabar boolean pada percobaan-percobaan rangkaian logika.
-
Menyelidiki ekivalen persamaan boolean secara eksperimental.
-
Membuat persamaan logika dengan bentuk SOP (Sum of Product) dan POS (Product of Sum).
2. DASAR TEORI
Aljabar Boolean adalah salah satu aljabar yang berkaitan dengan variabelvariabel biner dan operasi-operasi logika. Variabel-variabel dalam aljabar boole dinyatakan dengan huruf-huruf seperti : A, B, C, …, X, Y, Z.
Sedangkan dalam
aljabar Boolean terdapat 3 operasi logika dasar yaitu : AND, OR dan NOT. Aljabar Boolean adalah suatu teknik matematika yang dipakai untuk menyelesaikan masalah-masalah logika. Aljabar boolean mendasari operasi-operasi aritmatika yang dilakukan oleh komputer dan juga bermanfaat menganalisis dan mendesain rangkaian yang menjadi dasar bagi pembentukan komputer sendiri. Kegunaan dari aljabar Boolean adalah memberikan fasilitas penulisan dalam perancangan rangkaian digital. Aljabar Boolean menyediakan alat untuk dibuat : 1. Mengekspresikan dalam bentuk aljabar sebuah tabel kebenaran yang merupakan hubungan antara variabel-variabel. 2. Mengekspresikan dalam bentuk aljabar hubungan input dan output diagram logika. 3. Mendapatkan rangkaian-rangkaian yang lebih sederhana untuk fungsi yang sama. 2.1. Operasi-operasi dasar Aljabar Boolean Tiga operasi dasar dari aljabar boolean adalah operasi inverse (complement), operasi AND (multiplication) dan OR (addition). Ketiga
operasi ini dinyatakan dalam sistem digital sebagai gerbang INVERTER, AND dan OR. 1. Operasi Inverse yaitu operasi logika yang mengubah logika 1 menjadi logika 0 atau sebaliknya. Jika suatu variabel A, maka inverse A = (Ā) Tabel kebenaran Ā: A
Ā
0
1
1
0
2. Operasi AND yaitu operasi AND antara 2 variabel A dan B ditulis A.B. Tabel kebenaran A.B: A
B
A.B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A.B bernilai 1, hanya jika A dan B bernilai 1.
3. Operasi OR yaitu operasi OR antar 2 variabel A dan B ditulis A+B. Tabel kebenaran A+B: A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
A+B bernilai 0, hanya jika A dan B bernilai 0
2.2. Hukum dan Teorema Aljabar Boolean
Operasi 0 dan 1 a. 0 + A = A b. 1 . A = A c. 1 + A = 1 d. 0 . A = 0
Hukum Identitas (Idempotent Laws) a. A . A = A b. A + A = A
Hukum Negasi (Involution Laws) a.(Ā)=Ā b.(Ā)=A
Hukum Komplemen (Laws of Complementarity) a. Ā + A = 1 b. Ā . A = 0
Hukum Komutatif (Commutative Laws) a. A + B = B + A b. A . B = B . A
Hukum Asosiatif (Associative Laws) a. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C b. ( A . B) . C = A . ( B . C ) = A . B . C
Hukum Distributif (Distributive Laws) a. A. ( B + C ) = A . B + A . C b. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )
Hukum Redundansi (Redundant Laws) a. A + A. B = A
b. A .( A + B) = A
Teorema Penyederhanaan(Simplification Theorems) a. A+ Ā.B=A+B b. A.( Ā + B)=A.
Hukum De Morgan (De Morgan’s Laws)
Teorema Perkalian dan Pemfaktoran (Theorem for Multiplying Out and Factoring) a. ( A + B ) (Ā + C) = A . C + Ā . B b. A . B + Ā . C = (A + C ) (Ā + B)
Teorema Konsesus a. A . B + B . C + Ā . C = A . B + Ā . C b. ( A + B) (B + C) ( Ā + C) = (A + B) ( Ā + C )
2.3. Hubungan Tabel Kebenaran dengan Rangkaian Logika
Salah satu cara untuk menguji kebenaran dari teorema Aljabar Boolean.
Dalam tabel kebenaran, setiap kombinasi variabel yang ada hatus didaftarkan juga hasil output untuk setiap kombinasi input. Membentuk Persamaan dari Tabel Kebenaran
Ekspresi SOP dibentuk dari dua atau lebih fungsi AND yang di OR kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bias terdiri dari dua atau lebih variable. Jika yang dilihat adalah output 1 pada tabel kebenaran, maka persamaan mempunyai bentuk “Sum Of Product (SOP)”.
Ekspresi POS dibentuk dari dua atau lebih fungsi OR yang di AND kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bisa terdiri dari dua atau lebih variable. Jika yang dilihat adalah output 0 pada tabel kebenaran, maka persamaan mempunyai bentuk “ Product Of Sum (POS)”.
Jika nilai A, B atau C = 1, maka tetap dituliskan A, B atau C. Tetapi jika nilai A, B atau C = 0, maka dituliskan Ā, B’ atau C’. Contoh: A B C = 0 0 0, ditulis : Ā B C A B C = 1 1 1, ditulis A B C
3. PERALATAN YANG DIPERGUNAKAN Alat – Alat dan Komponen
No. 1
Jumlah
IC 7400 (Quad 2 Input NAND Gate)
1
IC 7404 (Hex Inverter)
1
IC 7408 (Quad 2 Input AND Gate)
1
IC 7432 (Quad 2 Input OR Gate)
1
2
Power Supply DC Pascal
1
3
Multimeter SANWA
1
4
Logic Probe
1
5
Resistor 220 Ω
1
6
LED
1
7
Protoboard MCP ML-35B
1
8
Kabel – kabel penghubung
Secukupnya
4. LANGKAH PERCOBAAN Langkah – langkah dalam melakukan percobaan adalah sebagai berikut: 1. Melihat data sheet untuk masing – masing IC yang digunakan, catat kaki – kaki input, output, serta kaki Vcc dan Ground. 2. Mengatur tegangan power supply sebesar 5 Volt dengan cara menghubungkan terminal-terminal pada power supply dengan terminal yang ada pada multimeter. Kabel hitam hubungkan pada kutub negatif, sedangkan kabel merah hubungkan pada kutub positif. 3. Membuat rangkaian seperti gambar 4.1.
4. Hubungkan kabel hitam pada ground (kaki 7), kabel merah pada VCC (kaki 14) pada setiap IC. 5. Berikan logik 0 dan/atau logik 1 pada masing – masing input A dan input B sesuai tabel 6.1. Tes rangkaian menggunakan logic probe. Mengamati LED dan mengukur tegangan pada output Y, mencatat hasilnya pada tabel 6.1. 6. Membuat rangkaian seperti gambar 4.2.
7. Berikan logik 0 dan/atau logik 1 pada masing – masing input A dan input B sesuai tabel 6.2. Tes rangkaian menggunakan logic probe. Mengamati LED dan mengukur tegangan pada output Y, mencatat hasilnya pada tabel 6.2. 8. Membuat rangkaian seperti gambar 4.3 dan gambar 4.4.
Gambar 4.3
Gambar 4.4 9. Berikan logik 0 dan/atau logik 1 pada masing – masing input A, input B, dan input C sesuai tabel 6.3 dan tabel 6.4. Tes rangkaian menggunakan logic probe. Mengamati LED dan mengukur tegangan pada output Y, mencatat hasilnya pada tabel 6.3 dan tabel 6.4. 10. Membuat rangkaian seperti gambar 4.5.
11. Berikan logik 0 dan/atau logik 1 pada masing – masing input A, input B, input C, dan input D sesuai tabel 6.5. Tes rangkaian menggunakan logic probe. Mengamati LED dan mengukur tegangan pada output Y, mencatat hasilnya pada tabel 6.5. 12. Menentukan persamaan output Y dan menggambar rangkaian logikanya dari tabel kebenaran berikut: Tabel Kebenaran 4.1. Desimal
INPUT
OUTPUT
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
0
6
1
1
0
0
7
1
1
1
1
13. Berikan logik 0 dan/atau logik 1 pada masing – masing input A, input B, dan input C sesuai tabel di atas. Tes rangkaian menggunakan logic probe. Mengamati LED dan mengukur tegangan pada output Y, mencatat hasilnya pada tabel 6.6.
5. DATA HASIL PERCOBAAN
6. PEMBAHASAN DAN ANALISA
Aljabar Boolean adalah suatu teknik matematika yang dipakai untuk menyelesaikan masalah-masalah logika. Selain itu Aljabar Boolean mendasari operasi-operasi aritmatika yang dilakukan oleh komputer dan juga bermanfaat menganalisis dan mendisain rangkaian yang menjadi dasar bagi pembentukan komputer sendiri. Dari percobaan yang kami lakukan terbukti dengan memahami hukum dan teorema Aljabar Boolean maka akan memudahkan menganalisis percobaan-percobaan rangkaian logika. Selain itu dari Aljabar Boolean juga dapat menguji tabel kebenaran, hasil dari suatu rangkaian logika yang dibuat. Sehingga kita dapat menyelidiki ekivalen dari persamaan Boolean yang kita dapat dari percobaan ke bentuk persamaan Boolean yang lebih sederhana. Terbukti
dapat
menyederhanakan
suatu
persamaan
logika
dengan
menggunakan teorema aljabar Boolean. Sehingga kedua persamaan tersebut dapat dikatakan ekivalen karena memiliki keluaran yang sama. Seperti persamaan logika dari setiap rangkaian percobaan dapat disederhanakan sehingga pemakaian IC dapat dihemat. Terdapat tiga operasi dasar dari aljabar boolean, yaitu operasi Inverter, operasi AND, dan OR. Jika yang dilihat adalah output 1 pada tabel kebenaran, maka persamaan mempunyai bentuk Sum Of Product (SOP). Jika yang dilihat adalah output 0 pada tabel kebenaran, maka persamaan mempunyai bentuk Product Of Sum (POS).
PERTANYAAN DAN TUGAS 1. Menuliskan persamaan logika output Y untuk gambar 4.1, gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5. a. Gambar 4.1 Persamaan logika: B + B . A Dengan
menggunakan
teorema
aljabar
Boolean
yang
Teorema
Penyederhanaan, maka persamaan logika tersebut dapat diubah menjadi: B+A Output yang dihasilkan sama dengan persamaan logika sebelumnya. b. Gambar 4.2 Persamaan logika: (Ā + B) . Ā
Dengan
menggunakan
teorema
aljabar
Boolean
yang
Teorema
Penyederhanaan, maka persamaan logika tersebut dapat diubah menjadi: A.B Output yang dihasilkan sama dengan persamaan logika sebelumnya. c. Gambar 4.3 Persamaan logika: (A + B) . C d. Gambar 4.4 Persamaan logika: (Ā . B) + (A . C) Dengan menggunakan teorema aljabar Boolean yang Teorema Perkalian dan Pemfaktoran, maka persamaan logika tersebut dapat diubah menjadi: (A + B) . (Ā + C) Output yang dihasilkan sama dengan persamaan logika sebelumnya. e. Gambar 4.5 Persamaan logika: A ( B . C) + D
2. Menyederhanakan persamaan logika berikut dengan menggunakan teorema aljabar Boolean. Y=A.(B+C)+Ā.B Menggunakan teorema aljabar Boolean diubah menjadi: Y=(A.B)+(A.C)+Ā.B =B+ (A.C) Output yang dihasilkan dari persamaan logika Y = A . ( B + C ) + Ā . B dengan persamaan B + ( A . C ) ekivalen, sehingga kita dapat mempermudah pembuatan rangkaian dengan hanya menggunakan persamaan logika B + ( A . C ). Rangkaian logika sebelum disederhanakan: Y=A.(B+C)+Ā.B
A
B
C
Rangkaian logika setelah disederhanakan: Y=B+ (A.C) A
B
C
Tabel kebenaran yang dihasilkan: INPUT
OUTPUT
C
B
A
Y
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
3. Merancang sebuah rangkaian logika dengan menggunakan operasi dasar logika (minimal 3 variabel input dan membuktikan tabel kebenarannya). Tabel Kebenaran untuk 3 Variabel Desimal
INPUT
OUTPUT
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
0
6
1
1
0
0
7
1
1
1
1
Menuliskan persamaan logika dari tabel kebenaran (mengambil rumus dari semua output logik 1). Persamaan logika menjadi: Y=Ā.B.C+Ā.B.C+A.B.C+A.B.C Dapat disederhanakan dengan cara: Y = Ā . C (B + B) + B . C (Ā + A) =Ā.C+B.C+B(A
C)
=C(Ā+B)+A(B+C) Rangkaian logika sebelum disederhanakan:
Sesudah disederhanakan:
Output rangkaian yang disederhanakan dengan sebelum disederhanakan ekivalen sehingga tabel kebenarannya pun sama.
4. KESIMPULAN Aljabar Boolean adalah suatu teknik matematika yang dipakai untuk menyelesaikan masalah-masalah logika. Dengan menggunakan aljabar Boolean, kita dapat memperoleh rangkaian yang lebih sederhana untuk fungsi yang sama. Sehingga dapat menghemat pemakaian IC. Terdapat tiga operasi dasar dari aljabar boolean, yaitu operasi Inverter, AND,dan OR. Jika yang dilihat adalah output 1 pada tabel kebenaran, maka persamaan mempunyai bentuk Sum Of Product (SOP). Jika yang dilihat adalah output 0 pada tabel kebenaran, maka persamaan mempunyai bentuk Product Of Sum (POS).
DAFTAR PUSTAKA
http://lecturer.eepis-its.edu/~reni/modul%20ajar/praktikum%20ED1/perc3-Aljabar%20Boolean.pdf
(25 Februari 2012 ; 16.10) http://ilkom010.blogspot.com/ (25 Februari 2012 ; 16.13) http://blog.trisakti.ac.id/labkomputer/files/2010/05/modulRLD.pdf (25 Februari 2012 ; 16.14) http://baginda.unsri.ac.id/userfiles/modul-praktikum-teknik-digital.pdf (25 Februari 2012 ; 16.14) http://www.scribd.com/doc/19169080/Aljabar-Boolean1 (25 Februari 2012 ; 16.15)
