EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1.
Se selecciona una familia que posee dos automóviles, donde donde para el más nuevo y el más viejo observamos si fue fabricado en los Estados Unidos, Europa o Asia. ¿Cuáles son los posibles resultados de este experimento?
2.
Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. determinado producto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas. b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el evento "al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"? c) Describe el evento contrario de "más de una persona una persona es partidaria de consumir el producto"
3.
Sean A y B dos dos eventos cualquiera de un espacio muestral. Escribir en notación de conjunto y representar gráficamente, los siguientes eventos. a) Ocurre A d) A o B ocurren b) Ocurre sólo A e) Ocurre A y B c) A o B ocurren, pero no ambos f) Ocurre sólo B 4.
Se va entrevistar a un grupo grupo selecto de empleados con respecto respecto a un nuevo plan de pensiones, los empleados empleados se clasificaron como sigue: Clasificación
Supervisores De mantenimiento
a) b) c)
Número
120 50
De producción
1450
Gerencia
302
Secretaría
68
¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada seleccionada sea un empleado de mantenimiento? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada seleccionada sea alguien de gerencia o secretaría? ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que la primera persona seleccionada no sea de producción?
5.
En la Facultad de FACEAC, el 25% de los estudiantes desaprobaron matemática, el 15% desaprobaron desaprobaron Estadística y el 10% desaprobaron las dos asignaturas. Se selecciona un estudiante al azar. a. Si desaprobó desaprobó Estadística, Estadística, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que desaprobara Matemática? Matemática? b. Si desaprobó desaprobó Matemática, Matemática, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que desaprobara Estadística? Estadística? c. ¿Cuál es la probabilidad de que desaprobara Matemática o Estadística?
6.
Un banco tiene 3 sistemas de alarmas independientes, cada uno tiene tiene 0.90 de probabilidad de funcionar. Cuando el sistema es puesto en funcionamiento. a. ¿Cuál es probabilidad de todas funcionen? b. ¿Cuál es probabilidad que ninguna funcione?
7.
Una organización de investigación del consumidor ha estudiado los servicios dentro dentro del período de garantía que ofrecen los 50 distribuidores de automóviles nuevos en cierta ciudad y sus hallazgos se resumen en la tabla que sigue: Buen servicio dentro del Mal servicio dentro del período de garantía período de garantía 10 años o más en el negocio 16 4 Menos de 10 años en el negocio 10 20 a) b)
8.
Si una persona selecciona aleatoriamente uno de estos distribuidores de autos nuevos, ¿Cuál es probabilidad de que elegirá a uno que ofrezca un servicio de garantía adecuado? Si una persona persona selecciona aleatoriamente a uno de los distribuidores que que ha estado en el negocio por 10 años o más, ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre alguno que ofrezca buen servicio de garantía? Supongamos que en urna hay 7 esferas del mismo tamaño, tamaño, de los cuales 4 son blancas y 3 son son rojas. Se extraen sucesivamente cuatro esferas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras sean blancas y las dos siguientes rojas? (Sin reemplazo y con reemplazo). 1
9.
Hay 90 solicitantes de un empleo con el departamento de noticias de una estación de televisión. Algunos de ellos son graduados universitarios y otros no; algunos de ellos tienen cuando menos tres años de experiencia y otros ninguna, donde la separación exacta es: Graduados No graduados universitarios universitarios Cuando menos tres años de experiencia 18 9 Menos de tres años 36 27 Si el orden en el cual son entrevistados por el gerente de la estación es aleatorio, G es el evento de que el primer aspirante entrevistado sea graduado universitario, y T de que el primer aspirante entrevistado tenga cuando menos tres años de experiencia, determine cada una de las probabilidades siguientes directamente de los registros y de los totales de renglones y columnas de la tabla: a) P(G); b) P(Tc); c) P(GT); c d) P(G T) e) P(T/G) f) P(Gc/Tc)
10. Una compañía privada de paquetería, está preocupado por la posibilidad de que algunos de sus empleados vayan a huelgan. Estima que la probabilidad de que sus pilotos se vayan a huelga es de 0.75 y la probabilidad de que sus choferes hagan huelga es de 0.65, Además, estima que si los choferes se van a huelga, existe 90% de posibilidades de que los pilotos realicen un paro solidario de actividades. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan a huelga? b. Si los pilotos hacen huelga, ¿Cuál es la probabilidad de que los choferes lo hagan también como ac to de solidaridad? 11. Las descomposturas de máquinas son independientes entre sí. Se tienen cuatro máquinas, cuyas respectivas probabilidades son 1%, 2%, 5% y 10% en un día particular, calcule las siguientes probabilidades: a) Todas se descomponen el mismo día. b) Ninguna se descompone 12. Un Economista da conferencias a cierto público por la mañana y otra conferencia a otro público por la tarde. Sea A ={el economista da una mala conferencia matutina} y B ={el conferencista da una mala conferencia vespertina}. Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(AB) = 0.1, calcule las siguientes probabilidades. a) P(B/A) b) P(Bc/A) c) P(B/Ac) d) P(Bc/Ac) 13. En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Si se toma al azar tres artículos uno tras otro. ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean buenos? 14. La probabilidad de que un comerciante, venda dentro de un mes, un lote de refrigeradoras es 1/4 y la probabilidad de vender un lote de cocinas dentro de un mes de 1/3. Hallar la probabilidad de que: a. Vende los dos lotes de artículos dentro de un mes. b. Vende “ninguno” de los lotes dentro de un mes. 15. Calcular la probabilidad de que al tirar un dado dos veces consecutivas, la suma de los puntos obtenidos sea no menor que 8. 16. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra? a) Con reposición b) Sin reposición 17. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia? 18. Al arrojar dos dados, uno blanco y uno negro, calcular la probabilidad de obtener ocho puntos entre los dos. 19. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidad: P1=0.25, P2=0.5 y P3=0.25. Las probabilidades de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo específico son: 0.1; 0.2; 0.4. Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcular la probabilidad de que el tubo elegido al azar funcione correctamente. 2
20. Para armar la siguiente tabla se han tenido en cuenta las clasificaciones: Calificación
sexo Mujer
Varón
TOTAL
A. Buena
7
9
16
B. Regular
10
8
18
2
4
6
C. Deficiente
TOTAL 19 21 40 Si entre los 40 alumnos de dicho curso, se elige 1 al azar, hallar la probabilidad de que: a) Haya obtenido B en la evaluación b) Haya obtenido B sabiendo que el alumno elegido es varón. 21. De una lata que contiene 18 galletitas de salvado y 10 de agua, se extraen 2 galletitas al azar, sucesivamente y sin repetición. Calcular la probabilidad de que la primera galletita extraída sea de salvado y la segunda de agua. 22. El procesador, la placa madre y la memoria tiene un 5%, 10% y 20% de probabilidades de fallar antes de un año respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un computador que presentará fallas antes de un año, en los tres componentes señalados? 23. Según un informe del tiempo, se pronostica para mañana una probabilidad de lluvia de 0.4 y de 0.7 de que haga frío. Si ambos sucesos son independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que mañana No llueva ni tampoco haga frío? 24. De acuerdo a una investigación realizada en una determinada ciudad acerca de mujeres mayores de 20 años se ha comprobado que entre otras cosas el 68% están casadas, de estas el 40 % trabaja fuera del hogar. De las que no están casadas, el 72 % trabajan fuera del hogar: a) ¿Qué porcentaje de mujeres mayores de 20 años trabaja fuera del hogar? b) Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, ¿cuál es la probabilidad de que no esté casada ni trabaje fuera? 25. Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. El programa p 1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0.9 y el programa p2 detecta el virus con una probabilidad de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? 26. En cierta ciudad, un 40% de la población tiene cabello castaño, 25% de la población tiene ojos castaños y el 15 % tiene cabellos y ojos castaños. Se toma al azar a 1 persona: a) Si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? 27. El 20% de los habitantes de una determinada población son jubilados y otro 20% son estudiantes. La música clásica le gusta al 75% de los jubilados, al 50% de los estudiantes y al 20% del resto de la población. Calcula la probabilidad de que elegida al azar una persona a la que le gusta música clásica sea jubilada. 28. En una encuesta realizada a 250 clientes en un centro comercial, se les preguntó acerca del monto de sus compras y la forma en la cual habían realizado su pago. Se encontró que el 48% clientes hicieron sus pagos en efectivo, que el 32.8% de los cli entes hicieron compras por una cantidad menor a $250, también se encontró que el 80% los clientes que pagaron con tarjeta de crédito hicieron compras por más de $250. a) Si se selecciona a un cliente al azar ¿cuál es la probabilidad de que haya pagado con tarjeta de crédito? b) Si se selecciona un cliente al azar ¿cuál es la probabilidad de que haya gastado más de $250 y haya pagado con tarjeta de crédito? c) Si se selecciona al azar un cliente que pagó en efectivo ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado menos de $250? 29. El principal cliente de una fábrica textil regresó un lote de artículos debido a defectos en la elaboración. En la fábrica se cuenta con tres líneas de producción que elaboran ese artículo y se poseen datos de la tasa de lotes defectuosos en cada línea de producción. Los datos de la proporción de la producción total elaborada por cada línea y su respectiva tasa de lotes defectuosos se muestran a continuación.
3
a) b) c) d) e)
Línea Proporción del total Tasa de lotes defectuosos 1 0.5 2% 2 0.3 5% 3 0.2 6% Calcula la probabilidad de que un lote elegido aleatoriamente sea de la línea 1 y esté defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un lote de la línea 2 y que resulte defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que un lote seleccionado al azar sea de la línea 3 y esté defectuoso? Calcula la probabilidad de que un lote elegido al azar esté defectuoso. Se elaboró un lote que resultó estar defectuoso, ¿cuál línea de producción tiene mayor probabilidad de haberlo elaborado?
30. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? 31. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? 32. Se sabe que en determinado período invernal el 30% de la población escolar que no está vacunado contrae gripe. Una campaña de vacunación alcanza una cobertura del 70% de esta población. Si de los vacunados, solo el 10% contrae gripe, ¿Cuál es la probabilidad de que un escolar contraiga gripe? 33. Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N) y verde (V), también posee dos pantalones, gris (G) y azul (A). a) Trace un diagrama de árbol de este experimento. b) ¿De cuántas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisas o viceversa? 34. Cierta compañía formará un comité de planeación a largo plazo, con el encargo de desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado de un nuevo producto. El presidente ha identificado a siete gerentes capaces como candidatos para el comité. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité de tres miembros? 35. En una determinada ciudad, las aplicaciones de cambio de zonificación siguen un proceso de dos etapas: una revisión por la comisión de planeación, y una decisión final por el consejo ciudadano. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la petición de cambio de zonificación y emite una recomendación positiva o negativa acerca del cambio. En el paso 2 en consejo ciudadano revisa la recomendación de la comisión de planeación y vota aprobándola o rechazándola. En algunos casos el voto del consejo ciudadano concordó con la recomendación de dicha comisión. El constructor de un complejo de viviendas acaba de presentar una solicitud de cambio de zonificación. Considere que el procesamiento de la solicitud es un experimento. a) ¿Cuántos puntos muestrales hay para este experimento? Haga una lista de ellos. b) Trace un diagrama de árbol de este experimento. 36. Sea x el nivel de éxito de un nuevo programa de televisión. En la tabla siguiente se observan las probabilidades subjetivas asignadas a cada x para un nuevo programa particular, según fueron otorgadas por personas que laboran en tres distintos medios de difusión. ¿cuáles de estos conjuntos de probabilidades son inapropiadas? Explique su respuesta. Grado de éxito (x)
Muy exitoso Exitoso Nada exitoso
A 0.5 0.4 0.3
Juez B 0.6 0.5 -0.1
C 0.4 0.3 0.3
37. Entre los 80 directivos de una compañía hay 48 casados, 35 son graduados de escuelas superiores y 22 de los 48 casados también son graduados. Si se elige unos de estos directivos para que asista a una convención ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida no sea casado ni graduado?
4
38. Una empresa farmacéutica llevó a cabo un estudio para evaluar el efecto de una medicina para alivio de alergias; 250 pacientes, con síntomas que incluyen ojos irritados y trastornos epidérmicos, recibieron el nuevo medicamento. Los resultados del estudio son como sigue: 90 de los pacientes tratados experimentaron alivio en los ojos, 135 se curaron de su afección cutánea y 45 experimentaron a la vez alivio en los ojos irritados y en la piel. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que toma el medicamento: a) experimente alivio en por lo menos uno de los síntomas? b) solo experimente alivio en los ojos? c) no experimente alivio en los ojos y no se cure de su afección cutánea? d) se cure de su afección cutánea si ha experimentado alivio en los ojos? 39. Un aparato electrónico consta de dos partes. La probabilidad que falle la primera es 0.20, que fallen las dos partes es 0.15 y de que falle sólo la segunda partes 0.45. Calcular la probabilidad que : a) Falle sólo la primera parte b) Falle la primera parte cuando se sabe que falló la segunda 40. Un ensamblador de computadoras usa partes que provienen de 3 proveedores P1, P2 y P3. De 2000 partes recibidas 1000 provienen de P1, 600 de P2 y el resto de P3. De experiencias pasadas el ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen de P1, P2 y P3 son respectivamente 3%, 4% y 5%. Si se elige una computadora al azar, y si contiene una parte defectuosa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza sea defectuosa? b) ¿Cuál es la probabilidad de haya sido proveído por P1? c) ¿Cuál es la probabilidad de haya sido proveído por P2? d) ¿Cuál es la probabilidad de haya sido proveído por P3? 41. Una fábrica de computadoras tiene mil computadoras en stock. Una inspección a la fábrica ha arrojado la información siguiente: hay 600 computadoras nuevas, 590 computadoras con repuestos en buen estado y 330 computadoras usadas tienen repuestos en mal estado (es decir, cada computadora tiene la probabilidad de 1/1000 de ser seleccionada). a) ¿Cuál es la probab. de que una computadora seleccionada al azar sea nueva y tenga repuestos en mal estado? b) Si una computadora seleccionada al azar tiene repuestos en buen estado ¿Cuál es probab. de que sea nueva? 42. En tres plantas, A, B y C, fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 %, respectivamente, del total de los objetos de una empresa. Los porcentajes de producción defectuosa de estas plantas s on, respectivamente, el 3 %, el 4 % y el 5%. a) Si se selecciona un objeto al azar, ¿qué probabilidad tiene de salir defectuoso? b) Suponiendo que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya producido en la planta A? 43. Un determinado club tiene un 75 % de sus miembros que son mujeres y un 25 % que son hombres. De este club tiene teléfono móvil un 25 % de las mujeres y un 50 % de los hombres. a) Calcular el porcentaje de miembros de este club que no tienen teléfono móvil. b) Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. 44. Dos amigos comparten piso. El primero prepara la comida el 40 % de los días y el resto de los días lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5 %, mientras que el del segundo es el 8%. a) Calcular la probabilidad de que un día, elegido al azar, la comida esté quemada. b) Si cierto día se ha quemado, calcular la probabilidad de que haya cocinado el primero. 45. En una pequeña ciudad hay dos cines. En el primero, el 50 % de las películas son de acción mientras que en el segundo lo son el 70 %. Un espectador elige al azar un cine siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir el primero es el triple que la de elegir el segundo. Una vez l lega al. a) Calcular la probabilidad de que la película que vea sea de acción. b) Sabiendo que la película que ha visto es de acción, obtener la probabilidad de que haya acudido al primer cine. 46. En un supermercado, el 70 % de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera los S/. 90, mientras que las compras realizadas por los hombres sólo el 30 % supera esa cantidad. a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los S/. 90? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los S/. 90, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? 5
