ESTADISTICA Y PROBABILIDAD PROBABIL IDAD 3° LABORATORIO
DISTRIBUCIONES DE ESTIMADORES E INTERVALOS CONFIDENCIALES
1. Solo el 22% de de todas las las firmas en la industria industria de bienes bienes de consumo consumo comerciali comercializa za sus productos directamente con el consumidor final. Si una muestra de 250 firmas revela una proporción de más de 20% que se compromete en el mercadeo directo, usted planea hacer su siuiente compra a las firmas de esta industria !"u# tan probable es que usted aste su dinero bien anado en otra parte$ P=0.22 n =250 ara quedarse en esta firma se necesita que&
(
−0.22 0.22∗0.78
0.2
P ( P P > 0.2 )= P Z >
√
250
)
P ( Z >−0.76 )=1 − P ( Z <− <− 0.76 )
¿ 1−0.22 =0.78 'a( un )*% de probabilidades de mi siuiente compra sea en las firmas de esta industria. 2. Se tiene tiene el peso peso de los art+c art+culo ulos s producid producidos os por cierta cierta máquin máquina a de la fábrica fábrica l Sol, Sol, con - / 110r (
2
σ
/100. Se selecciona selecciona una m.a de 25 art+culos ( se desea calcular
la probabilidad de que& a. x´ sea menor que 100 rs.
µ =110 g 2
σ =100 g n =25
´ < 100 ) P ( X
(
P Z <
)
−110 = P ( Z <−5 )=0 10 / √ 25 25
100
b.
x´ sea más de 100 rs.
´ > 100 )=1 − P ( Z >−5 )=1− 0=1 P ( X c.
x´ sea menos que 100 rs. ( más de *0 rs.
´ < 100 ) = P ( Z < 0 ) − P (Z < 0 )= 0−0 =0 P ( 80 < X . n un estu estudi dio o para para esti estima marr la prop propor orci ción ón de resist resisten ente tes s de cier cierta ta ciud ciudad ad ( sus sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de ener+a en cierta compa+a minera, se encuentra que * de 100 residentes suburbanos lo favorecen. 3onstru(a un intervalo confidencial para la proporción de residentes suburbanos que favorecen la construcción de la planta de ener+a. P=0.68
Z
1−
∝
=1.96
2
n =100
( 0.588570674 ; 0.771429326 ) 4a proporción de residentes suburbanos que favorecen la construcción de la planta de ener+a se encuentra entre& 0.5* ( 0.))1 6. Se quiere quiere determinar determinar el porcenta porcenta7e 7e de habitantes habitantes de de cierta ciudad ciudad que que están a favor favor de un pro(ecto de fluorización del aua, !"u# tan rande se requiere que sea la muestra para estimar el porcenta7e de habitantes de cierta ciudad que están a favor de tener aua fluorada si se desea tener al menos el % de confianza de que la estimación será dentro del 1% del porcenta7e real. n =?
φ =0.99 ∝
=0.01 2
∝
/¿ ∝= z ( 0.005 )= 2.58 z ¿
n=
pq z d
2
2
=
0.05 × 0.95 × 2.58 0.01
2
2
=316.179
Se requiere una muestra de tamao 1 para estimar el porcenta7e de habitantes que están a favor de tener aua fluorada, teniendo el % de confianza de que la estimación será dentro del 1% del porcenta7e real.
5. 8e una muestra aleatoria de 60 participantes en un eamen de selección, se obtiene una media muestral de )2. 3onstru(a un intervalo de
confianza para la media
poblacional de los calificativos, si la varianza es de 1.
´ 9 X −Z 1−α / 2 :
σ
´ + Z 1−α /2 X ; ; : √ n
σ
√ n < / 1 = >
Se obtiene los siuientes medidas estad+sticas& ´ ?uestra de tamao n/ 60@ X / )2@ A / 6
72 − Z
P
≤ µ ≤ 72 + Z 40
4
= (70.7604;73.2396)
= (72 − 1.96( 40
4
4 40
)≤
µ
≤ 72 + 1.96
40
4
. l contenido promedio de los envases de miel de abe7a es de 10 litros. Si los contenidos de una nuestra aleatoria de 10 envases son& 10,2@ 10,)@ 10@1@ 10,@ 10,1@ ,*@ ,@ 10,6@ 10, ( ,* litros. Btilizando un nivel de sinificancia de 0.01, constru(a un intervalo confidencial para la media poblacional del contenido de los envases. µ =10 L n / 10 ´ X / 10.1 ∝
S x
t
/
∝
( 1− ) 2
√ /
C X D
=0.01
2
( X − X ) / 0.2* n−1 t
∝
(φ+ ) 2
/
t ( 0.995)
/
t ( 0.995,9)=3.25
S X F ( 1− ) √ n E - E 2
t
∝
S ( 1− ) √ n G / 0. 2
t
∗
√ 10
∝
∗
3.95 0.2836
C10.1 D
φ =0.99
3.95 0.2836
E - E 10.1 D
C.**5 E - E 10.6515G / 0.
√ 10
G / 0.
). 3onstru(a un intervalo de confianza % para la varianza poblacional del contenido de los envases, seHn los datos del e7ercicio .
2
2
X =
( n −1 ) S
2
δ =
δ 2
( n −1) S 2 2
E - E
( ) 2
(
9 0.2836
C
2
X
(n −1) S 2
X ∝
C
(n −1) S 2
2
X
G / 0.
( 1+ ∝ ) 2
2
)
1.73
(
9 0.2836
E - E
2
)
23.6
G / 0.
C0.01 E - E 0.61*G / 0.
8. 8e qu# tamao se requiere que sea la muestra para estimar la media poblacional de
los volHmenes de ventas anuales de vendedores de una empresa, si se desea tener una la confianza del % de que el error estimación no eceda a 100 unidades, si se sabe que la varianza poblacional de los volHmenes de ventas anuales de vendedores es de 50000 unidades cuadradas.
φ =99 =0.99 2
σ =5000 Z ( 0.99)=2.33
2
δ < 10000
Z=
δ σ √ n
2
2
Z σ n=
2
δ
2.33
2
δ
< 10000
n>
2
( 5000)
10000
n > 27.1445
PRUEBA DE HIPOTESIS
1. Suponamos que los costos de coleiaturas de 20 estudiantes universitarios entrevistados tienen una media ( una desviación estándar de 210 ( 611.5 soles respectivamente. robar que la media verdadera del costo de coleiatura de los estudiantes universitarios es más de 210 soles, con una confianza del %. n / 20 - / 210 S / 611.5 1G 'o& X / 210 'o& X I 210 2G
δ =0.9 ∝
=0.01
G t/
X − µ S √ n
6G
t ( 1−∝) =t ( 0.99)
/ 2.56
5G
t 0=
2910 −2910 411.95
/ 0
√ 20
G
t 0 ϵ R . A .
)G
Elcosto detodos los estud!ntes noes"!#o$ de 2910
'o se acepta
2. Se afirma que, en cierta ciudad vecina, el nivel de las rentas de casas habitación tiene una media de J60.00 ( una desviación estándar de J65.00. ara demostrar esto se obtiene una muestra obtenida en esta ciudad que se presenta a continuación& 5 0 6
2 2 25
1)0 20 1*
252 56 )
252 55 6
Suponiendo un nivel de sinificancia de 0.05. ruebe tal afirmación para la varianza poblacional las rentas de casas habitación. σ =45 - / 60
X =307.4 2
X − X ¿ S/
¿ ¿ ¿
∑¿ √ ¿
¿
1G 'o&
2
σ /
2
45
/ 5.6
2
σ K
'o& 2G
∝
2
45
=0.05
G 2
X =
( n− 1 ) S 2 2
σ
6G
t ∝ =5.65
() 2
t
(+) δ
65.49
5G
∝
=26.1
2
2
¿
¿ (15−1 )¿ / 2.5 X =¿ 2
0
G
X 0 ϵ R . R .
'o se Lechaza
)G 4a afirmación es incorrecta debido a que la varianza es diferente a 2025 . l Mefe de admisiones de una universidad afirmó en una reunión con los directivos que el 15% de los estudiantes que inresan, se retiran antes de haber completado cuatro semestres acad#micos. n una revisión de los reistros de los Hltimos aos, mediante una muestra de 00 estudiantes, se encontró que 56 se retiraron antes de haber completado los cuatro semestres !3uál ser+a la conclusión con una sinificancia de 0$ 05$
8atos& •
&0.15
•
"/0.*5
•
n/00
•
p/6N100/0.1*
•
q/0.*2
1. 'o& /0.15 'o& K0.15 2.
>/0.05
Z =
.
p − P
√
P% n Z ( 0.975)=1.96
6.
5.
.
Z ( 0)=
− 0.15 0.15∗0.85 / 1.655
0.18
√
300
R. A # R.R
Z ( 0) ∈ R . A & 'o se !cept!
).
3onclusion& 4a afirmación del 7efe de admisiones de la universidad es correcta.
6. Bna encuesta realizada por la asociación de estudiantes coleiados mostró que los estudiantes de las universidades nacionales astan en promedio astan rnás de )5.00 soles mensuales. Si se puede hallar evidencias para confirmar esta afirmación, podr+a utilizarse para solicitar a una OPQ a(uda monetaria adicional. 8e los 100 estudiantes que se tomó de muestra, se halla una media de *0.2 soles con una desviación estándar de 65.)soles. !R un nivel de sinificancia de 2%, se encuentra 7ustificación para la solicitud$
8atos&
1.
•
n/100
•
-I)5
•
/*0.2
•
S/65.)
•
>/ 0.02
'o& - /0.)5 'o& -I0.)5
2.
>/0.02 t ( n−1)=
.
X −µ
√
2
S n
¿
X − µ
√
2
S n
6.
5. .
Z ( 0)=
−75 45.67 / 10 / 1.655
80.23
(ust)c!con # *ecson :
Z ( 0) ∈ R . A & 'o se !cept!
•
5.
Se rechaza que -I)5.
4os reistros del punta7e de test de aptitudes tomado a los traba7adores de una
empresa revelaron que el punta7e medio era de 110 ( la desviación estándar de 10. Rplicado el test .a los nuevos aspirantes a un puesto laboral se vio que para una muestra de 25 la varianza de la muestra fue de era 11. !'a( razón para creer que la varianza del rendimiento de estos nuevos aspirantes ha aumentado$
8atos& •
n/25
•
-/110
•
T2/11
•
A /10
•
>/ 0.05
1.
'o& A2/100 'o& A2I100
2.
>/0.05
( n−1 ) ¿ δ
2
2
.
X (n −1) =
2
σ
6.
2
5.
X (n −1) =
(25 −1 )∗116 100
=27.84
Z ( 0) ∈ R . A & 'o se !cept!
•
Se rechaza que la varianza ha(a aumentado
. Se afirma que el 60% de los estudiantes de universidades privadas provienen de estrato social medioD ba7o, ara probar lo afirmado selecciona una muestra aleatoria de 1000 estudiantes de universidades privadas encontrando que 0 eran de estrato social medioD ba7o. !Se aceptará afirmación$
8atos& •
/0.60
•
p/0.
•
n/1000
"/0.0
•
1.
'o& / 0.60 'o& K 0.60
2.
>/0.05 Z =
.
p − P
√
P% n Z ( 0.975)=1.96
6.
5.
.
Z ( 0)=
0.36− 0.40
√
0.40 ∗0.60 1000
/ D2.5*
R. A # R.R
Z ( 0) ∈ R . R & 'o se !cept!
).
3onclusión& Se rechaza la afirmación.
).
n una encuesta realizada en cierta ciudad a personas indico que sus inresos
familiares son de 1500.00 en promedio ( que su una varianza de 10000 dólares cuadrados. !Se puede afirmar que la media de sus inresos familiares de todas las personas es de 1500$
8atos&
1.
•
n/
•
/1500
•
T2/600
•
>/ 0.05
'o& - /1500 'o& - K1500
2.
>/0.05 t ( n−1)=
.
X −µ
√
2
S n
Z =
X − µ
√
2
S n
6.
5. .
Z ( 0)=
1500−1500 400 / 6
/ 0
(ust)c!con # *ecson :
Z ( 0) ∈ R . A & 'o se !cept!
•
4a afirmación es correcta.
*. 4a duración de cierta marca de pilas es una variable aleatoria cu(a distribución se supone normal. Unicialmente se estima que la duración media es de 500 horas ( que el 5% duran entre 6*0.6 ( 51. horas. Si se elien pilas al azar ( se encuentra que la duración media es 6*0 horas. Btilizando un intervalo de confianza del 5% para la media -. !se deber+a concluir que la duración media es diferente de 500 horas$ . Bn fabricante estima en 5% la proporción de los ob7etos defectuosos que produce. ara confirmar su estimación prueba una muestra aleatoria de 100 de tales ob7etos ( encuentra 10 de ellos defectuosos. / 0.05 n / 100
'o& /0.05 'o& K0.05 δ =0.05
Z ( 0.975)=1.96 Z ( 0)=
− 0.05 0.05∗0.95 / 2.
0.1
√
10 0
Z ( 0) ∈ R . R & 'o se !cept!
3onclusión& Se acepta que K0.05
10. R partir de los resultados de la muestra, !con qu# rado de confianza se estima entre 2.))% ( 1).2% la proporción de todos los ob7etos defectuosos producidos$
C0.02)) E E 0.1)2G /
pDz
√ pq n
−0.95 0.1∗ 0.9
δ
/ 0.02))
0.1
√
/ 2.61
10 0
11. Bn fabricante afirma que el tiempo promedio que utilizan los obreros para ensamblar cierto tipo de ob7eto, es a lo más 15 minutos. ara comprobar la afirmación se tomó el tiempo de ensambla7e de 1 obreros ( se encontró que en promedio usaban 1 minutos. !Se puede concluir al nivel de sinificación del 5% que el tiempo promedio ha cambiado$ Supona que la población de los tiempos es normal con& aG σ / .2, bG s^ / .2 calculada de la muestra.
'o& - /15 'o& - I 15 > / 0.05
no conocida (
σ
V/
X − µ S √ n
=1.96
Z
(1− ∝ ) 2
Z =
16 −15 3.2 4
Z 0 ϵ R . A .
/ 1.25
'o se acepta
3onclusión& la afirmación es correcta 12. 4a duración de cierto tipo de focos de luz se distribu(e normalmente una media de 600 horas ( una desviación estándar de 20 horas. Se está considerando aumentar la duración promedio con un nuevo proceso. Si la duración promedio aumenta 25 horas, este cambio debe detectarse con probabilidad 0.556. Si no ha( cambio, este debe detectarse con probabilidad 0.*. a. !3uántos focos deben probarse$ b. Si la media muestral es de 60 horas, !debe llearse a la conclusión de que ha aumentado la duración promedio$
aG
- / 600 σ / 20
X =425
δ =0.9554
2
n=
2
Z σ ( X − +)2
2
2 20
=
2
(425 −400 )2
= 2.56 = 3
b)
1. 'o& - /625 'o& - E 625
Z =
2.
− 425
460
20
√ 3 •
/ 1.01
Si ha aumentado la duración
1. l consumidor de un cierto producto se que7ó al fabricante, diciendo que más del 10% de las unidad0es que produce son defectuosas. ara 7ustificar su acusación, el consumidor tomó una muestra aleatoria de 6 unidades del producto ( encontró que * eran defectuosos. !"u# conclusión etrae Bd. al nivel de sinificación del 5%$
8atos& 1 'o& / 0.60 'o& K 0.60 2 >/0.05 Z =
p − P
√
P% n
=1.65
6
5
Z ( 0)=
− 0.1 01∗0.9 / 0.
0.125
√
64
R. A # R.R
Z ( 0) ∈ R . A & Se !cept!
) 3onclusión& Se acepta la informacion
