Laboratorio - Carga Especifica Del Electron

´ EXPERIMENTAL DE LA CARGA ESPECIFICA DETERMINACION DEL ELECTRON.

J. Garc´ Garc´ıa, D. Pacheco, Pachec o, A. Carrill C arrillo. o. Universidad Universida d Distrital Dis trital Francisco rancisc o José de Caldas. Caldas . [email protected]

Resumen El experimento de rayos filiformes nos permite estudiar el movimiento de los electrones emitidos por un tubo de rayos catódicos odicos y sometidos a un campo camp o magnético etico uniforme unif orme creado por un par de bobinas de Helmholtz. Mediante la diferencia de potencial suministrada por la fuente y el radio descrito por los electrones en su movimiento en el interior del tubo de rayos catódicos odicos podremos calcular la relación entre la carga y la masa del elec´ tr´ on on conocida tambi´ también en como la relación on (carga espec´ espec´ıfica del electrón). on).Esta relación on se realiz´ o por p or vez primera en la década ecada de los a˜ a ños nos ochenta del siglo XIX, constituyendo un acontecimiento acontecimiento de gran importancia para el desarrollo ulterior de la F´ısica.

Palabras claves. Relaci´ on Carga-masa del electr´ on on, potencial acelerador, bobinas de Helmholtz, on, rayos filiformes.

1.

Fun unda dame men nto Te´ orico . orico

Cuando un electr´ on on de carga q se se mueve con velocidad uniforme  uniforme v en un campo magnético etico  uniforme B , act´ ua ua sobre él el una fuerza magnética etica cuya expresión on es:  F  m = q = qv × B  es perpendicular a v y a B  . Para estudiar el movimiento resultante del electr´ Donde F F on on al salir del ca˜ n´ nón on de electrones, puede plantearse su ecuaci´ on de movimiento sin m´ on as as que considerar la ecuación on fundamental de la din´ amica: amica:  dv F m = m = m dt De donde resulta considerando las fuerzas sobre la carga:  dv  = m qv × B = m dt Considerand Considerandoo que el electr´ electron oń tiene tiene una velocid velocidad ad inicial inicial v , entonces su energ´ıa ıa cinética etica mv Ec = 2 cuando cuando el electr´ electr´ on on entra en la regi´ on on donde existe el campo magnético, etico, la fuerza magn´ mag nética eti ca que act´ actua uá sobre el, por ser perpendicular a la trayectoria, no realiza ning´ un un trabajo, por lo l o tanto ni consume ni le da energ´ energ´ıa al electr´ on con lo cual su energ´ıa ıa cinética etica permanece perm anece inalterable y no cambia el modulo de la velocidad. El resultado de la acci´ on on de esta fuerza es que el electrón on adquiere una aceleraci´ on constante en modulo y perpendicular en todo on momento a la trayectoria. Al decir esto, lo que se esta describiendo es un movimiento circular uniforme, de radio R y velocidad constante v. La aceleración on centr´ centr´ıpeta ıpet a correspondiente corresp ondiente es v a = R . Si aplicamos ahora la ecuaci´ on fundamental de la din´ on amica, amica, se tiene: 2

2

1

v2 (1) R Por otra parte, se debe calcular la velocidad v del electrón. El electr´ on es acelerado por una diferencia de potencial ∆V = V . La energ´ıa que adquiere el electr´ on por acci´ on de esta diferencia de potencial es qV . En el momento en que el electrón abandona la regi´ o n de aceleraci´ on lo hace con la velocidad v, que es la velocidad inicial con la que penetra en el campo magnético. Justo en ese momento, se cumple que : qvB = m

mv2 = qV 2 De las ecuaciones (1) y (2) se deduce que :

(2)

q 2V = 2 2 (3) m R B donde V es la diferencia de potencial suministrada por la fuente de tensi´ on, R el radio de la trayectoria del electr´ on y B el campo magnético que crean las bobinas. De estas tres magnitudes, V se lee directamente de la fuente de tensi´ on. R tiene cuatro valores posibles, 2, 3, 4 y 5 cm y, por último, el valor del campo magnético B , no se leyo directamente, sino que se determina en base a las consideraciones que figuran a continuaci´ on. 1.1.

Campo magn´ etico producido por las bobinas de Helmholtz.

La caracter´ıstica esencial de las bobinas de Helmholtz es que producen un campo magnético casi uniforme en una zona determinada del espacio, en nuestro caso en la regi´ on donde se mueven los electrones. Esta particularidad se debe exclusivamente a su especial configuraci´ on geométrica, en la que se verifica que el di´ ametro del par de bobinas que lo constituyen es justamente igual a la distancia de separaci´ on entre ambas. La expresi´ o n que da el campo magnético producido por el par de bobinas Helmholtz es: 4 N espiras B = ( )3/2 µo I 5 Rbobina

(4)

En este montaje experimental concreto, N espiras = 154 y N espiras y Rbobina = 0,2 m. Si se tiene en cuenta que el valor de la permeabilidad magnética del vac´ıo es µ o = 4π × 10−7 N . A 2

1.2.

Emisi´ on del haz de electrones en el tubo de rayos cat´ odicos. .

Como se emiten los electrones en el tubo de rayos cat´ odicos, es una de las consideraciones fundamentales en el experimento. Los electrones son emitidos por el c´ atodo calentado, debido a al efecto de termoemisi´ on del filamento de tungsteno. Posteriormente pasan a un segmento del TRC denominado ca˜ noń de electrones (ver Fig.1), el cual consta de un ańodo preacelerador, de enfoque, y de aceleraci´ on. El anodo preacelerador es un cilindro hueco que esta a un voltaje mas pasivo que el c´ atodo, el ańodo de enfoque es colocado poco antes del ańodo pre acelerador siendo este tambi´ en un cilindro, posteriormente esta el ańodo acelerador, el cual da al haz de electrones el ultimo suministro de energ´ıa. Esta configuraci´ on de peque˜ nos cilindros como se observa en la (Fig. 1), permite dar el enfoque al haz, asiendo las veces de lentes electrost´ aticas, de tal forma que el haz converja a un punto. Las lentes para electrón requieren que el elemento central este a un potencial mas bajo que los otros dos exteriores. Cada uni´ on entre los cilindros contiene l´ıneas semejantes a una lente c´ oncava, el haz de electrones pasa por la primera lente electrost´ atica y tiende a alinearse hacia el eje del tubo de rayos cat´ odicos, y despu´ es de pasar por una segunda lente se habr´ a enfocado . 2

Grafica 1: Juego de Lentes eletrostáticas para enfoque y colimaci´ on del haz de electrones.

2.

MONTAJE EXPERIMENTAL.

El aspecto general del montaje es el de la figura (1) en el cual disponemos de 2 mult´ımetros que se usaran como volt´ımetro y amper´ımetro y de dos fuentes de tensi´ on junto con las bobinas de Helmholtz y el tubo de rayos catódicos.

3.

PROCEDIMIENTO.

En el procedimiento que se debe seguir para determinar la carga espec´ıfica del electr´ on se debe tener cuidado con las conexiones que se requieren en el tubo de rayos catódicos y las bobinas respectivamente. Se conecta las dos fuentes de tensi´ on y ajuste el voltaje de la fuente de tensi´ on del potencial acelerador comenzando a 80 voltios. De igual forma, ajustamos la fuente de tensión que controla la intensidad de corriente I de las bobinas introduciendo una I = 0 A, estas bobbinas son conectadas en serie entre s´ı. Al cabo de unos instantes se observara un haz rectil´ıneo azulado de electrones emergiendo del c´ atodo. El color azulado se debe al efecto de fluorescencia que se produce al colisionar los electrones con los átomos del gas contenido en la ampolla de vac´ıo (ver Fig.2). A continuaci´ on incremente la intensidad de corriente que pasa por las bobinas y podr´ a comprobar como la trayectoria de los electrones puede curvarse a voluntad, . Manipule con precauci´ on y comprobara como con distintas intensidades y distintos voltajes se obtienen distintas trayectorias circulares. Describiendo un movimiento circular con radios de 2, 3, 4, 5cm. Cabe destacar que los radios son medidos en el filamento, donde cada divisi´ on del filamento equivale a 2cm, y el espacio entre el primer filamento y la salida del electr´ on es de 4cm. Variando la diferencia de potencial en el tubo de rayos cat´ odicos entre 80 y 321 voltios, se

3

Grafica 2: Montaje con el equipo de Phywe para el experimento de Rayos Filiformes

Grafica 3: Trayectoria circular del haz de electrones sometido a un campo magnético uniforme 4

busca el radio o los radios que describa en la trayectoria los electrones en el interior del tubo y se anotan los valores correspondientes de intensidad de corriente I contemplados en el amper´ımetro.

4.

´ ANALISIS DE RESULTADOS.

4.1.

Datos registrados .

Los datos medidos experimentalmente fueron: la corriente que circula a través de las bobinas de Helmholtz, y la tensi´ on (voltaje) con la cual se acelera el haz de electrones. En la expresi´ on (3) se obtuvo la relaci´ on para la carga espec´ıfica del electr´ on, en donde basta con reemplazar los valores de potencial acelerador (la tensi´ on medida), el campo m´ agnetico calculado (de acuerdo con la expresi´ on (4), en donde I es la corriente eléctrica medida con el amper´ımetro), ´ y el radio de la trayectoria circular descrita por el haz de electrones. Estos valores (corriente q I , campo m´ agnetico inducido por las bobinas B,y relaci´ on carga masa m ) se muestran en éste orden (de arriba hacia aba jo respectivamente)(Ver Tabla 1) para cada dato de potencial acelerador y para cada radio de la trayectoria. En total se registraron 17 datos de diferencia de potencial, para 4 valores de los radios del haz. A partir de la Tabla 1, se construye la Tabla 2, en la cual se muestran los valores de B 2 y 2RV , para R = 0,03m, R = 0,03m y R = 0,03m, con los cuales se realizan las respectivas gr´ aficas, 2V 2 (de R VS B ) (Ver Gráficas 4,5, y 6)en donde la pendiente de la funci´ on lineal obtenida es q la relaci´ on m de acuerdo con la expresi´ on (3); adicionalmente se realizar´ on las respectivas regresiones lineales utilizando el método de los m´ınimos cuadrados, obteniendo tres valores (uno para cada Gr´ afica) para la carga espec´ıfica del electr´ on; la regresi´ on para R = 0,03m se aprecia en (5) con un coeficiente de correlación R = 0,85; para R = 0,04m en (6) con un coeficiente de correlaci´ on R = 0,98; y para para R = 0,05m en (7) con un coeficiente de correlaci´ on R = 0,99. 2

2

2V = (13,38 ± 6,39) × 1010B 2 + (13,57 ± 6,39) × 104 R2

(5)

2V = (141639,39 ± 1, 46) × 106 B 2 + (7,31 ± 0,76) × 104 2 R

(6)

2V = (16,62 ± 4,63) × 1010B 2 + (3,80 ± 3,64) × 104 R2

(7)

q De (5), (6) y (7) se tiene la relaci´ on m para tres radios distintos; al promediar éstos valores q y sumar las incertidumbres se obtiene que la relaci´ on carga-masa para el electr´ on es: m = 11 11 (1,47 ± 1, 10) × 10 C/Kg que en relación con el valor aceptado (1,77 × 10 C/Kg) tiene un porcentaje de error del 16 %. Una de las razones por la cual el punto de corte en la ordenada es distinto de cero, en las ecuaciones (5),(6) y (7), es porque existen corrientes par´ asitas las cuales crean un remanente de campo mágnetico (no tenido en cuenta), adem´ as de que se debe tener en cuenta la proapagaci´ on de las incertidumbres, aspecto que se realiza en la sección 4.2.

5

Diferencia de Potencial (V) 80,00 90,00 100,00 115,00 120,00 129,00 142,00 151,00 162,00 180,00 198,00 222,00 240,00 259,00 282,00

Radio de la trayectoria (m) 0.02m 0.03m 0.04m 0.05m 1,62 0,73 . . − − 3 4 1,12 × 10 5,05× 10 . . 11 11 3,18 × 10 6,96 × 10 . . . 0,94 . . . 6,51× 10−4 . . . 4,72 × 1011 . . 2,27 1,47 0,71 0,52 − − − 3 3 3 1,57 × 10 1,02× 10 4,92× 10 3,60 ×10−4 2,02 × 1011 2,15 × 1011 5,17 × 1011 6,17 × 1011 . 1,39 1,07 0,82 − − 4 4 . 9,62× 10 7,41× 10 5,68 ×10−4 . 2,76 × 1011 2,62 × 1011 2,85 × 1011 . 1,5 1,09 0,88 . 1,04× 10−3 7,55× 10−4 6,09 ×10−4 . 2,47 × 1011 2,63 × 1011 2,59 × 1011 . 1,62 1,16 0,94 − − 3 4 . 1,12× 10 8,03× 10 6,51 ×10−4 . 2,28 × 1011 2,50 × 1011 2,44 × 1011 . 1,61 1,29 1,01 − − 3 4 . 1,11× 10 8,93× 10 6,99 ×10−4 . 2,54 × 1011 2,23 × 1011 2,32 × 1011 . . 1,35 1,05 . . 9,35× 10−4 7,27 ×10−4 . . 2,16 × 1011 2,29 × 1011 . 1,61 1,38 1,11 − − 3 4 . 1,11× 10 9,55× 10 7,59 ×10−4 . 2,90 × 1011 2,22 × 1011 2,19 × 1011 . . 1,51 1,2 − 3 . . 1,05× 10 8,31 ×10−4 . . 2,06 × 1011 2,09 × 1011 . . 1,62 1,25 . . 1,12× 10−3 8,65 ×10−4 . . 1,97 × 1011 2,11 × 1011 . . 1,65 1,32 − 3 . . 1,14× 10 9,14 ×10−4 . . 2,13 × 1011 2,13 × 1011 . . . 1,4 . . . 9,69 ×10−4 . . . 2,04 × 1011 . . . 1,46 . . . 1,01 ×10−3 . . . 2,03 × 1011 . . . 1,52 . . . 1,05 ×10−3 . . . 2,04 × 1011

6

. . . . . .

301,00 321,00

. . . . . .

. . . . . .

1,55 1,07 ×10−3 2,09 × 1011 1,66 1,15 ×10−3 1,94 × 1011

Tabla 1. Datos experimentales de Corriente y diferencia de potencial (voltaje acelerador) para cuatro radios distintos; y valores calculados de campo mágnetico y relación q/m para cada pareja de corriente y voltaje

r=0,03m B2 2,55E-07 4,24E-07 1,04E-06 9,26E-07 1,08E-06 1,26E-06 1,24E-06 1,24E-06 . . . . . . .

r=0,04m

2V /r2 B2 2V/r2 1,78E+05 2,42E-07 1,25E+05 2,00E+05 5,49E-07 1,44E+05 2,22E+05 5,70E-07 1,50E+05 2,56E+05 6,45E-07 1,61E+05 2,67E+05 7,98E-07 1,78E+05 2,87E+05 8,74E-07 1,89E+05 3,16E+05 9,13E-07 2,03E+05 3,60E+05 1,09E-06 2,25E+05 . 1,26E-06 2,48E+05 . 1,31E-06 2,78E+05 . . . . . . . . . . . . . . .

r=0,05m B2 1,30E-07 3,22E-07 3,71E-07 4,24E-07 4,89E-07 5,29E-07 5,91E-07 6,90E-07 7,49E-07 8,35E-07 9,40E-07 1,02E-06 1,11E-06 1,15E-06 1,32E-06

2V /r2 8,00E+04 9,20E+04 9,60E+04 1,03E+05 1,14E+05 1,21E+05 1,30E+05 1,44E+05 1,58E+05 1,78E+05 1,92E+05 2,07E+05 2,26E+05 2,41E+05 2,57E+05

Tabla 2. Datos utilizados para las regresiones lineales de las Gráficas 4, 5 y 6. Los valores para B 2 se calcularon mediante (4), y los de 2 V /R2 se realizaron directamente con los valores obtenidos en la Tabla 1.

4.2.

Propagaci´ o n del error .

Al obtener la gr´ afica mostrada, cuya pendiente es la relación carga masa, solo se hace necesario calcular el error para cada eje designado como sigue: y =

2V r2

(8)

Donde se ha simbolizado en el eje y esta funci´ on, con el fin de obtener de ella la propagación del error en dicho eje. Cabe mencionar que V es la diferencia de potencial por medio de la cual se aceleran los electrones que salen del material termoi´ onico [tugsteno]. r es el radio de circunferencia que describe la trayectoria del haz de electrones. Ahora recordando la forma general para el calculo de error. 7

Grafica 4: L´ınea de tendencia para igual a R = 0,03m.

2V

V SB 2 con radio de la trayectoria del haz de electrones


2V


R2

R2

8


2V

R2

δy =


 ∂y [

∂V

]2 δV 2 + [

∂y 2 2 ] δr ∂r

(9)

Desarrollando dicha expresi´ on con ayuda de (1), se obtiene que el error es: δy =

 2 [

r

2

]2 δV 2 + [

−4V

r3

]2 δr 2

(10)

Recordando que δr = 0, 02m y δV = 0,1V . Ahora respecto al eje x se tiene que hallar el error de la siguiente forma: 4 µ0 nI B = [ ] 5 R 3 2

(11)

Donde eventualmente: x = B 2

(12)

De esta forma se tiene que:

δx =

 ∂x [

∂x 2 2 ]2 δI 2 + [ ] δR ∂I ∂R

(13)

El radio R = 0, 22m fue medido con ayuda de una regla cuya precisi´ on era de δR = 0, 01m, el

9

Grafica 7: Tabla de Incertidumbres para B 2 y 2V /r2 respectivamendte n´ umero de vueltas de cada bobina era de n = 152 y por otro lado el δI = 0, 01A. Resolviendo (9) con ayuda de (8) y (4) se obtendr´ıa para el error en el eje x la siguiente expresión:

δx =

 4

µ0 n 2 2 4 µ0 nI [2[ ]3 [ ]] δI + [−2[ ]3 [ 2 ]]2 δR 2 5 R 5 R

(14)

El resultado de los errores por cada eje se presenta tabulado a continuación: Lo que es congruente con los valores en cada eje, aproximadamente la segunda cifra significativa es la que tiene un rango para el caso del eje x, entre un ±0, 4 × 10−7 T 2 , que es el valor del campo magnético B al cuadrado. Para el caso del eje y el rango de error obtenido es de 6 V ±0, 1 × 10 , que es el voltaje por metro cuadrado. Cabe aclarar que estos datos fueron m tomados para un u ńico radio r = 0,05m del haz de electrones, dado que fue precisamente con este radio con el que se obtuvo una cantidad apreciable de datos. 2

5.

Conclusiones.

1. Los datos obtenidos de las regresiones lineales que nos relacionan el valor de la carga espec´ıfica del electrón para los radios correspondientes a 3, 4, 5cm se encuentran dentro del intervalo de incertidumbre de los datos experimentales, con lo cual podemos decir que se tratan de unos resultados fiables y que concuerdan con un resultado te´ orico aceptado cient´ıficamente. El promedio del valor encontrado de la relaci´ on carga masa respecto a cada radio y asociado a su respectiva incertidumbre obtenida de las graficas obtenidas nos proporciona q un valor de : m = 1, 47 × 1011 ± 1, 10 × 1011, Valor cercano al te´ orico que corresponde a 11 1, 759 × 10 C/kg. Asociando un error relativo en la medició n de un 16 %.

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Bibliograf´ ıa [1] THOMSON, J.J. Carriers of negative electricity . Nobel Lecture. Deciembre 11 de 1906. p. 4. [2] FRISH , S. y TIMOREVA, A. Curso de f´ısica general . 2. Ed. Mosc´ u: Editorial Mir , 1967. p. 427-433. [3] SERWAY, Raymond A. F´ısica para las cienicas y la ingenier´ıa . 5 Ed. México. Tomo 2 :McGRAW-HILL,1997. p. 918 - 929. [4] RODRIGUEZ, Julian . Manual de praticas de f´ısica . Universidad del Rey Juan Carlos, Madrid;Espa˜ na. Departamento de F´ısica. Disponible en el catologo en l´ınea http : //www.escet.urjc.es/fisica/docencia.html . [5] BAIRD, D.C. Experimentaci´ on :Una introducci´ on a la teor´ıa de mediciones y al dise˜ no exico :Pearson Educaci´ on,1980. p. 38-50. de experimentos . 2 Ed. M´

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