Chapter 10
La Interacción electrón-fonón Como ya mencioné, de importancia central es la interacción entre electrones y iones los cuales intercambian intercambian energía destruyendo destruyendo o creando fonones. Esto quiere decir que mientras el conjunto de iones pasa de un estado vibracional a otro, un electrón pasa de un estado a otro (de una banda a otra) agregando o restando energía y momento de tal manera que la energía total del sistema permanezca constante. Es exactamen exactamente te igual a cuando cuando un papá le da dinero dinero a su hijo. Antes Antes de la operación operación el papá tenía tenía 10 y el hijo 0. Si le da 1, el papá papá pasa su billetera billetera al estado estado 9 y el hijo la suya al estado estado 1. En total, entre entre ambos, siguen teniendo teniendo 10 como al principio principio.. Pero estarás de acuerdo que los dos estados no son lo mismo, verdad? Vamos ahora a ver cómo podemos agregar a la Ec. ?? el término que describe el intercambio de energía entre electrones y iones, es decir, la destrucción y creación de fonones.
10.1 10 .1
Inter Interac acció ción n entr entre e iones iones y electr electrone oness
Como acabo de decir, para describir los procesos físicos en los metales usando la conservación de la energía, falta aún introducir en la Ec.??, la interacción entre los electrone electroness negativ negativos os y los iones positivos positivos.. Iteractú Iteractúan an en tanto tanto que dos partícula partículass independientes por medio de la Ley de Coulomb, la fuerza entre las cargas que conocemos conocemos bien Por Por ser de signo contrari contrarioo se van van a atraer. atraer. Como chicos chicos y chicas! chicas! Hay Hay atracción atracción porque hay atracción! atracción! Así es el mundo. mundo. Y la interac interacción ción entre entre los electrones y los iones va a abrir el camino para que pase energía de un lado hacia el otro y viceversa. viceversa. Sólo vamos vamos a hablar de electrone electroness y iones! iones! Aprov Aprovech echoo para mostrar una analogía. Una pareja en una manifestación paci fista puede adoptar un comportamiento comportamiento inducido por el colectivo que puede ser diferente diferente al que suelen tener cuando están solos. Es un hallazgo de la sociología. Sucede igual con los electrones. En un ambiente ambiente colectivo1 , su comportamiento puede obedecer a la interacción con much muchos os cuerpos y ser diferente. diferente. La Mecánica Mecánica Cuántica Cuántica de Muchos Muchos Cuerpos es la disciplina que estudia estos comportamientos mucho mucho más complejos que dan lugar a fenómenos muy interesantes. interesantes. Dos electrones que, individualmente, individualmente, tienen una masa determinada y siempre se repelen, en colectivo, por acción de una interacción de much muchos os cuerpos, pueden pueden cambiar cambiar su masa e, incluso, incluso, llegar a atraerse atraerse.. Es el caso de la superconductividad. Más tarde regresaremos a ésto. Ramoncito: Pero Pero si un elect electró rónn cam cambia bia su masa, masa, de dónde dónde la toma toma?? ¿Se ¿Se conserva la masa en un metal? Don Don Kan Kan Dido Dido: Siemp Siempre re con sus fantas fantasías ías!! Hay Hay que contár contársel seloo al tio de Josefina. Tiene Tiene un rancho rancho y le encantaría encantaría que las vacas que vende ganaran ganaran masa 1 Un
ambiente colectivo es el resultante de la presencia de muchos electrones y de muchos iones interactuando entre sí. Es el ambiente de un metal.
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CHAPTER 10.
LA
Y e
INTERACCIÓN ELECTRÓN-FONÓN
io n
r ' e
-
l r
O
Figure 10.1: Tomamos un origen arbitrario en O¨ . Un ión, en la posición Y , medida desde su posición de equilibrio, l , interactúa con un electrón ubicado en la posición r.
cada vez que va al mercado a venderlas. Allá hay muchas vacas para interactuar y nunca han ganado peso! Dr. Wolter: ¿Te acuerdas de la renormalización de la masa? Lo vimos en ??. Puedes revisar esos conceptos, Kan Dido y todo te va a quedar claro. Aquí se trata de lo mismo. Ya lo verás. El fenómeno es cuántico pero tiene símiles clásicos. Cuando tu te mueves dentro de una multitud no puedes correr como quisieras por la oposición a tu movimiento que representa la presencia de los demás. Puedes representar ese movimiento como si te estuvieras moviendo en una plaza donde tú estás solo pero tienes un peso mayor y, por ello, tu desplazamiento no es tan rápido. Es, en ese sentido, equivalente a que huvieses ganado peso. Sin embargo debo confesarte que no creo que le sirva mucho al tío de Jose fina. Don Kan Dido: ¿No son cuánticas? ¿ Nunca pueden ser cuánticas? Prof. Bogno Dan: Conceptualmente reviste interés un efecto cuántico macroscópico. Dr. Wolter: Es cierto porque separa lo microscópico del concepto de lo cuántico. En realidad, es el caso de la superconductividad. Tenemos que hablar más de ésto.
10.1.1
La interacción electrón-ión
Para introducir esta interacción vamos a considerar la Fig. 10.1. O es el orígen del sistema de coordenadas. La malla determina la red. Los puntos de cruce son las posiciones de equilibrio de los iones. El ion (i) se encuentra desplazado de su posición de equilibrio, ubicada en l , a la posición Y e , medida desde la posición de equilibrio del ión que estamos estudiando. Desde allí interactúa con el electrón (e− ) situado a una distancia | r0 | del ión, en un punto r , con respecto al orígen. r 0 es el vector que va de la posición del ión a la posición del electrón. Como la interacción de Coulomb sólo depende de la distancia, lo que queremos calcular es el valor absoluto de este vector.
10.2.
EL HAMILTONIANO DE INTERACCIÓN
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Obviamente, 0 = l + Y e + r 0 − r, de donde r 0 = r − l − Y e. La ecuación de la energía, escrita en forma operacional, es decir, el hamiltoniano, comprende dos partes, una que de fine los componentes del sistema, como nuestra Ec. ?? y otra, que podemos construir, muy fácilmente ahora, en base a lo que ya aprendimos, es decir, a la descripción de los cambios en el sistema debido a la interacción de sus componentes. Dicho de otra manera, el sistema puede estar, globalmente, en muchos estados con la misma energía total debido al hecho de que los electrones y iones intercambien energía, creando y/o destruyendo fonones. A esa parte del hamiltoniano le llamamos, el hamiltoniano de interacción , H I . Vamos a construirlo ahora.
10.2
El Hamiltoniano de Interacción
Suponte que están Pepe y Luis conversando en una esquina. Cada uno tiene 10 pesos. La interacción consiste en que Pepe le pide a Luis prestados dos pesos. Para hacerlo, Luis saca de su cartera, ”desaparece” o ”destruye” en su sistema, en su cartera, los 2 pesos. Pepe toma los dos pesos y los mete en su cartera, o sea ”crea” en su sistema, en su cartera, los 2 pesos. La fortuna total no cambia, pero la ”energía” pasa de un ”sistema” a ”otro”, favorecida por el potencial (aquí el potencial está representado por ”lo bueno” que sea Pepe para pedir prestado un dinero que Luis tiene que tener. Ésto último es muy importante). ¿Cómo escribes esa historieta en operadores?
A ver! Supongamos que los iones le ”robaron” 3 meV (milielectronvoltios) a los electrones. Entonces algunos electrones tuvieron que ”bajar” a un estado energético desocupado, en un cambio que, en total, sume 3 meV. Esto no puede ocurrir si los electrones están en su Estado Base. ( Por qué?2 ) Entonces vamos a: 1- A crear un fonón de 3 meV, 2- A ”destruir” un electrón de un cierto estado electrónico, sea éste k inic , ²inic y 3- A ”crear ” otro en un estado de menor energía, ² final (van a diferir en 3 meV, es decir va a ir a otra banda), y de momento kfinal (que, en general di fiere del anterior, pero no siempre). En el lenguaje de la ecuación ?? , las cosas van a ser así: 1- El operador que crea un fonón de frecuencia ω , de energía ~ ω−q y momento −q, es: ~ ω−q a†−q . Los fonones tienen número cuántico (vector de onda) - q. El término ~ ω−q representa la energía, en este caso, 3 meV. Puse −q (no q ) como número cuántico. Es una convención. Quiere decir que el sistema electrónico cedió momento al fonónico. 2- −εk C k es el operador que destruye el electrón en el estado kinic . El signo menos está porque el sistema electrónico pierde la energía correspondiente a ese estado. † C k 3- + εk , aquí el signo es más porque el sistema gana esa energía. inic
final
2 Porque
inic
final
los estados de menor energía (los que están ”más abajo”) están todos ocupados y el electrón no tiene a donde ir ( Principio de Pauli : Puede existir sólo dos electrones en cada estado energético pero con diferente espín). Por esa razón no puede darse este proceso si el sistema electrónico está en su Estado Base.
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CHAPTER 10.
LA
INTERACCIÓN ELECTRÓN-FONÓN
...le dió a Burundanga, Burundanga le dió a Bernabé...¡Qué lio! Ramoncito: La formulación es elegante. Me agrada! Don Kan Dido: Hay si...qué emocionante...ratón baboso... Dr. Wolter: Claro que lo es, Kan Dido. Si pones un poquito más de atención
lo vas a entender y lo vas a disfrutar. Don Kan Dido: (Eso cree Usted...) Bien, bien, me dispongo a disfrutarlo
intensamente... . Estamos incluyendo en el índice k, tanto el vector de Bloch como el espín para no tener tantos índices. Claro que tiene que valer que la diferencia en energía entre los dos estados electrónicos es igual a la energía del fonón. Esto para que la energía se conserve. En el caso del préstamo, lo que se conserva es el dinero total que sigue siendo el mismo, sólo que Pepe tiene 2 pesos más y Luis 2 menos, pero entre ambos siguen teniendo 10, como antes. En la interacción entre iones y electrones que intercambian fonones que son diferencias de energía entre dos estados vibracionales (recuerdas?), vale la conservación de la energía y del momento. El sistema metálico, como un todo, ni gana, ni pierde energía, e, igualmente, ni gana ni pierde momento. Y lo mismo vale para el espín: ¡se conserva! Simplemente se transladan de un sistema a otro dentro del metal.
10.2.1
En segunda cuantización
Ahora es muy sencillo escribir ésto en la notación de segunda cuantización. Lo escribimos así a†−q C k† C k . Es decir, un electrón que estaba en estado ²k pasó al estado ²k , de menor energía. La diferencia en energía y en momento se fueron al sistema iónico en la forma de la creación de un fonón. Los fonones tienen espín 0, por lo tanto no puede pasar espín del sistema electrónico al fonónico. No agregamos energía porque el sistema, en total, ni perdió, ni ganó. Sólo transpasó energía de una parte a otra. Y el todo Hamiltoniano de interacción electrón-fonón queda, entonces, así: 0
0
X k,k
M kk
0
³
´
†
†
a−q + aq C k C k . 0
(10.1)
0
Obsérvalo bien. Hay cosas nuevas aquí. Está el proceso que describimos hace un instante. A ése, le sumamos otro. En el segundo caso, consideramos la posibilidad de que ocurra el proceso contrario donde la energía y el momento pasan del sistema fonónico al electrónico. En este caso hay que ”destruir” un fonón. De describir este proceso se encarga el otro término a q C k† C k Todo está multiplicado por M k,k . Este factor representa, esencialmente, la probabilidad de que los eventos descritos ocurran realmente en el metal concreto descrito. Puede haber eventos más probables que otros. Pero es interesante que la expresión asume explícitamente que la probabilidad de que circule energía y momento es la misma en una dirección que en la otra. ¿Tiene sentido? ¿Si es permitido pasar 0
0
10.2.
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EL HAMILTONIANO DE INTERACCIÓN
una cierta cantidad de energía y de momento de los electrones a los iones (crear un fonón), será igualmente probable que pase la misma energía y el mismo momento de los iones a los electrones (destruir el mismo fonón)? ¿Si un proceso fuese más probable que el otro, qué pasaría? ¡Pensemos! . Don Kan Dido: Bueno si se trata de que sea yo el que siempre esté dando, pues no sé... Ramoncito: Sí, se acumularía la energía de un solo lado, en un solo sistema. Dr. Wolter: Y, despues de un tiempo, la temperatura de uno de los dos sistemas, ya sea la de los electrones o la de los fonones, sería mayor que la del otro. Pero el metal tiene una sola temperatura... Don Kan Dido: ¿Tienen los bancos la misma ”temperatura” que el resto de la sociedad? Ramoncito: Estamos hablando de fonones y electrones, por favor... . El otro proceso que sumamos, como ya te mencioné, es el evento contrario: Luis le pide prestado a Pepe o los electrones le ”roban” un fonón a los iones. Tenemos toda la descripción del hamiltoniano de un metal en segunda cuantización, en el lenguaje que usan los doctores en física. Si te gustó, deberías considerar muy seriamente la posibilidad de estudiar Estado Sólido, como tu especialidad, despues de una carrera de física. La Física de Materiales y la Física Aplicada conducen a un acercamiento entre cientí ficos e industriales que va a ser cada vez más relevante. Finalmente, el hamiltoniano total, que se compone de la energía de los electrones, de los fonones y que describe la interacción entre ellos, H = H 0 + H e−f queda: H =
X k,σ
† ε C k k,σ C k +
X q
† ~ ωq aq aq +
X 0
kσ,k
σ
M kk
0
³
†
´
† kσ
a−q + aq C C k
0
σ
0
(10.2)
0
donde el último término de la Ec.10.2 es H e−f . Además debe valer q = k − k0 , para que el momento se conserve. Aquí volvimos a la notación con vectores porque es la más común. Resolver esta ecuación de operadores, permite estudiar los procesos termodinámicos que ocurren en los metales. Cuando hablamos de procesos termodinámicos, estamos hablando de temperatura. Esta habría que introducirla. La Ec.10.2 vale a 0K. Es sencillo introducir la temperatura, pero no lo haremos por ahora.
Nosotros, como Onnes, el viejo zorro, hemos preparado nuestras baterias para el ataque final. Estamos bien preparados para entender qué es y cómo es la superconductividad. Lo que sigue ya no es para aficionados sin preparación.! Es para gente como tú! !Aquí vamos!
