FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Física II
Laboratorio N° 02
OSCILACIONES DOCENTE
:
JOSE LUIS CARHUARICA ALCA
Grupo Nº2 Código
Apellidos y nombres
2012100151
Carhuallo Vila, Carlos Medina Polo, Irene Pezo Zuta, Henry Machado Condori, Alexander Machado Condori, Melissa
FECHA DE ENTREGA
NOTA LETRAS
NÚMEROS
09/05/17
Semestre académico – 2017-I
LIMA – PERÚ
0
ÍNDICE
Introducción 1. Objetivos 1.1.
Objetivos Generales
1.2.
Objetivos Específicos
2. Fundamento Teórico 3. Especificaciones de Equipos, Instrumentos y Materiales 3.1.
Equipos
3.2.
Materiales
3.3.
Instrumentos
4. Procedimiento 5. Cálculos y Resultados 6. Conclusión, Observaciones y Recomendaciones 7. Anexos 8. Bibliografía
1
INTRODUCCION El presente informe describe los objetivos, procedimientos, cálculos, resultados, conclusiones y recomendaciones del experimento de Oscilaciones realizado en el laboratorio de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Católica Sedes Sapientiae Dicha experimentación tiene como fin complementar los temas estudiados en clase en relación a la parte práctica para su mejor comprensión. Por teoría sabemos que el movimiento armónico simple sirve para idealizar lo que en nuestro alrededor son los movimientos repetitivos, ya sea el de un reloj, un péndulo. En este modelo ideal que plantea la física hay ausencia de rozamiento, por lo tanto, no hay pérdida de energía, en realidad si hay rozamiento, pero al ser mínimo este se desprecia. En la primera parte se plantea el objetivo principal el cual es identificar las características principales de un movimiento armónico simple y los objetivos específicos como determinar la constante K del resorte, determinar sus ecuaciones entre otras. La segunda parte describe el fundamento teórico del tema estudiado resaltando los puntos más importantes para su comprensión. En la tercera parte se describen los instrumentos, equipos y materiales utilizados. En la cuarta parte se muestra el trabajo desarrollado, describiendo el procedimiento realizado. Por consiguiente, se muestran los cálculos, así como también los resultados y finalmente, se presenta las conclusiones y recomendaciones de la experiencia realizada I.
OBJETIVOS 1.1 Objetivo principal Determinar la constante k de un resorte en espiral mediante el método de regresión lineal. Identificar y describir las características principales de un movimiento armónico simple Determinar las ecuaciones cinemáticas del movimiento armónico simple.
1.2 Objetivo secundario Conocer la metodología para determinar la constante k del resorte. Conocer el fundamento físico del movimiento armónico simple. Resolver ecuaciones del movimiento armónico simple para casos particulares
II.
FUNDAMENTOS TEORICOS a) Sistema masa resorte Se considera un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior. Se llama movimiento periódico del sistema masa resorte a aquel que se repite continuamente en intervalos iguales de tiempo. Siempre tiene una posición de equilibrio. Un movimiento oscilatorio periódico se dice que es armónico cuando la información que se obtiene en cada oscilación es la misma. 2
b) Movimiento armónico simple (M.A.S) Una partícula describe un MAS cuando se mueve a lo largo del eje x , estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación X = A.sen (ωt + φ) Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
Derivando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
Este resultado se puede expresar en forma de ecuación diferencial
c) Ley de Hooke La ley de Hooke establece que el alargamiento de un resorte es directamente proporcional al modulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho resorte. F = k. (x - 0) Donde: F es el modulo de la fuerza que se aplica sobre el resorte K es la constante elástica del resorte, que relaciona fuerza y alargamiento. Cuanto mayor es su valor más trabajo costará estirar el resorte. 0 es la longitud del resorte sin aplicar la fuerza es la longitud del resorte con la fuerza aplicada
Si al aplicar la fuerza, deformamos permanentemente el muelle decimos que hemos superado su límite de elasticidad. 3
III.
ESPECIFICACIONES DE EQUIPOS, INSTRUMENTOS Y MATERIALES 3.1 Instrumentos Balanza electrónica
Cronometro
Regla metálica milimetrada
4
3.2 Materiales Resorte de acero
Juego de pesas más porta pesas
2 sujetadores (nuez o clamp)
5
IV.
PROCEDIMIENTO 4.1 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE K DEL RESORTE. Para encontrar la constante elástica del resorte, el experimento se debe desarrollar de la siguiente manera: Formar el equipo experimental como se indica en la figura:
a) Sujetar el resorte verticalmente por uno de sus extremos a la pinza del soporte universal, medir la distancia (L0) que hay entre las espiras de los extremos.
b) Después, en el extremo inferior del resorte colgar una masa conocida (m) calcular su peso. Medir la nueva longitud del resorte (L), calcular la elongación ∆L que sufre; anotar los datos: peso de la masa conocida (en Newton) y la elongación ∆L,
en cada caso.
6
c) Repetir el experimento 6 veces, utilizando una cantidad de masa diferente cada vez, debe formar una tabla de datos de la forma siguiente y colocar los datos experimentales (los datos que se muestran son referenciales):
d) Construir una tabla de datos utilizando los resultados experimentales, graficar los datos (nube de puntos) en el papel milimetrado o en el Excel y en base a este gráfico, se determina el valor de la constante elástica k del resorte. El valor de la constante k, es igual a la pendiente de la recta que mejor se aproxime a la nube de puntos.
4.2 DETERMINACIÓN DEL PERIODO DE OSCILACIÓN (T).
7
Considerando la masa del resorte en la ecuación del periodo
T
2
m k
la siguiente ecuación permite hallar el periodo T en forma experimental m T 2
mr
k
3
.
a) Colocar el porta pesas una pesa pequeña.
b) Anotar su masa más la masa de la porta pesas en la tabla 1. La distancia a su anterior posición de equilibrio es:
x
1
c) Como prueba, desplace verticalmente esta pesa una distancia pequeña
A = 10 cm y déjela oscilar libremente (evite que se produzcan movimientos laterales y perturbaciones).
8
d) Colocar el cronómetro a cero. Repetir el paso d, luego mida el tiempo para diez oscilaciones empezando a contar desde cero y determine el periodo de oscilación (T = t/10). Anote sus datos en las tablas.
e) Repita los 2 últimos pasos utilizando cada vez pesas de mayor valor.
Anote los datos en las columnas correspondientes y complete la Tabla 1. Haga los siguientes gráficos: T versus m, T2 versus m. Use el Excel para tal fin.
9
f) Reemplace el porta pesas, colocar en el extremo inferior del resorte, una pesa (de masa 1/2 kg o 1 kg). Suéltela cuidadosamente desde diferentes posiciones y observe su movimiento en cada caso, explique lo siguiente:
10
V.
CALCULOS Y RESULTADOS 5.1 DETERMINACION DE LA CONSTANTE K DEL RESORTE
Muestra A medidas 1 2 3 4 5
m(kg) 50 75 100 120 145
Fuerza peso(N) 500 750 1000 1200 1450
L(m) 69.9 72.6 75.8 78.1 80.7
∆x=L-Lo
9.9 12.6 15.8 18.1 20.7
Muestra A 2000
1450 1200
e 1500 l t i T 1000 s i x A 500
1000 750 500
k = 63 N/m
0 0
50
100
150
200
Axis Title
Muestra B medidas 1 2 3 4 5
m(kg) 50 55 60 70 80
Fuerza peso(N) 500 550 600 700 800
L(m) 88.1 90.1 92 95.9 99.7
∆x=L-Lo
8.1 10.1 12 15.9 19.7
Muestra B 1000 800 600
k = 47 N/m
400 200 0 0
20
40
60
80
100
11
Muestra C medidas 1 2 3 4 5
m(kg) 50 70 95 115 160
Fuerza peso(N) 500 700 950 1150 1600
L(m) 73.1 74.5 76.1 77.5 80.5
∆x=L-Lo
3.1 4.5 6.1 7.5 10.5
MUESTRA C 2000
1500
1000
k = 154 N/m
500
0 0
50
100
150
200
Muestra D medidas 1 2 3 4 5
m(kg) 90 155 200 250 280
Fuerza peso(N) 900 1550 2000 2500 2800
L(m) 73.4 76.2 78.2 80.3 81.5
∆x=L-Lo
3.4 6.2 8.2 10.3 11.5
MUESTRA D 3000 2500 2000 1500 1000 500
12
k = 246 N/m
Muestra E medidas 1 2 3 4 5
Fuerza peso(N) 1100 1700 2150 2300 2700
m(kg) 110 170 215 230 270
L(m) 73.3 75.6 77 77.3 78.5
∆x=L-Lo
2.3 4.6 6 6.3 7.5
MUESTRA E 3000
2000
k = 335 N/m
1000
0 0
VI.
50
100
150
200
250
300
CONCLUSIONES, OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES 6.1 CONCLUSIONES
6.2 OBSERVACIONES
6.3 RECOMENDACIONES Al colocar la regla la regla al equipo en la primera experiencia este debe estar paralelo al sistema. VII.
EJERCICIOS 13
7.1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Un M.A.S. tiene una frecuencia de 15 Hz y una amplitud de 18 mm. En el instante t = 0, el móvil se encuentra en el centro de la vibración y se desplaza en sentido positivo. Expresar su elongación, su velocidad y su aceleración como funciones del tiempo. Escribiendo la elongación de un
MÁS.
en términos de
x(t ) A sen( t 0 )
Tal como hemos hecho nosotros, decir que al tiempo t = 0 s el móvil se halla en el origen y moviéndose en sentido positivo significa que la fase inicial 0 es nula (o vale un número entero de veces 2 , lo que viene a ser lo mismo). Por lo tanto, la ecuación de elongaciones quedaría x(t)
A sen t
y, como sabemos que A = 18 mm y = 15 Hz (de modo que = 2 = 30 rad/s), las ecuaciones de elongación, velocidad y aceleración quedarán x(t )
v(t )
a(t )
0,18 sen 30 t cm dx(t ) dt
18 cos 30 t cm / s
dv(t )
dt
180 2 sen 30 t cm / s 2
con lo que el problema estaría resuelto. Aprovecharemos, sin embargo, para mostrar de nuevo que las ecuaciones de elongación pueden escribirse indistintamente empleando senos o cosenos en su formulación: en efecto, si escribiésemos la elongación del M. A.S. como x(t ) A cos ( t 0 )
entonces las condiciones iniciales de elongación nula y velocidad positiva al tiempo t = 0 s requieren que 0 tome el valor – /2 rad (lo cual no es sino un modo de decir que la función seno está retrasada /2 rad respecto a la función coseno). La respuesta alternativa al problema sería, entonces: x(t )
v(t )
a(t )
0,18 cos (30 t dx(t )
dt dv(t ) dt
2
)
cm
18 sen (30 t
2
180 2 cos (30 t
)
2
cm / s
)
cm / s
2
donde, como es fácil de comprobar, los valores que se obtienen para cualquier valor de tiempo, en particular para el instante inicial t = 0 s, son exactamente los mismos que en las ecuaciones escritas más arriba. 2. ¿Cuál es la máxima fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa 80 g cuando vibra con una frecuencia de 45 Hz y una amplitud de 12 mm? Como se sabe, la fuerza que debe estar aplicada sobre un cuerpo cuando este desarrolla un M. A.S. es del tipo elástico 14
F
K x
(1)
donde x es la distancia del cuerpo al centro de las oscilaciones y K la constante elástica correspondiente, relacionada con la masa m del cuerpo y la pulsación del movimiento según K
2
m
En nuestro caso, ya que la frecuencia es conocida, es inmediato obtener
y, consiguientemente,
K
2
m
2
90 rad / s
0,08. (90 ) 2
6395,5 N / m
Ya que sabemos también el valor de la máxima elongación (amplitud) A = 12 mm, podemos simplemente sustituir en (1), dando a x el máximo valor posible y obteniendo el máximo valor de la fuerza sobre el cuerpo. Prescindimos, en todo caso, del signo de la fuerza y respondemos con su máximo valor absoluto: F máx
6395,5 N / m .1 2 .10
3
m
76,7 N
3. Se hace oscilar verticalmente un cuerpo de masa 120 g que está colgado de un muelle en hélice de constante elástica 5 N/m. Si la amplitud de la oscilación es de 15 cm, ¿cuál será la expresión de su elongación en función del tiempo? En este caso conocemos directamente la constante elástica de recuperación del resorte K = 5 N/m y la masa del cuerpo, m = 0,12 kg, de forma que resultará sencillo obtener , recordando que 5
K
m
0,12
6,45 rad / s
Con lo cual, y conociendo la elongación A = 15 cm, es inmediato escribir la ecuación pedida: x(t) = 15 sen (6,45t + 0) donde la constante de fase inicial, 0, estaría indeterminada por falta de datos acerca de las condiciones iniciales de la oscilación.
4. Al suspender un cuerpo de masa 500 g del extremo de un muelle que está colgado verticalmente, éste se alarga 30 cm. Si se tira del cuerpo 8 cm hacia abajo y se suelta, comienza a oscilar. Calcular el período del movimiento. ¿Cuál será la máxima velocidad que alcanzará?
15
Hay que empezar por explicar cómo suspendemos el cuerpo del resorte: lo colocamos en el extremo libre y, sujetándolo con la mano, lo dejamos bajar suavemente e impidiendo que gane velocidad, hasta que se alcanza la situación de equilibrio en la que el peso del cuerpo y la fuerza con que el resorte tira de él hacia arriba están igualadas. La figura muestra cómo el resorte está alargado 30 cm y cuál debe ser el equilibrio de fuerzas; al escribir esa igualdad tomamos el valor absoluto de ambas fuerzas para exigir que midan lo mismo. Cuando el sistema se abandona en esa posición, queda en equilibrio y el cuerpo en reposo hasta que se deforme el resorte 8 cm más, como pide el enunciado. Entonces se establece el M. A.S. con amplitud de 8 cm y con el centro de oscilaciones en el lugar en que se alcanzó el equilibrio entre peso y fuerza de recuperación del resorte (no en el que corresponde a la longitud natural del muelle). El equilibrio de fuerzas antes de introducir la deformación de 8 cm es:
K x
mg
de donde podemos obtener el valor de K: K
0,5 . 9,81
m g
0,3
x
16,35 N / m
y, con K, es sencillo hallar el período de las oscilaciones: T
2
m
K
2
0,5
16,35
1,09 s
Por otro lado, la máxima velocidad en un M. A.S. se alcanza en el centro de las oscilaciones, como sabemos bien, y su valor es ± A . Por tanto: vmáx A A
2 T
8
2 1,09
46,115 cm / s
5. Un resorte tiene una longitud de 60 cm. Si se cuelga de él un cuerpo de masa 350 g y se le hace oscilar verticalmente, emplea 8 s en realizar 12 oscilaciones completas. Calcular la constante elástica del resorte y su longitud cuando dicho cuerpo está colgado de él, en reposo. Si se emplean 8 s en realizar 12 oscilaciones, el período T será Por otro lado, recordemos
T
2
T
8
12
0,6 s
m K
donde conoceríamos T = 0,6 s y también m = 0,35 kg. Por tanto, es inmediato obtener K: K
4 2 m T
2
4 2 . 0,35 0,6 2
38,38 N / m
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Para responder a la segunda cuestión podemos referirnos a la figura del problema anterior, ya que se trata exactamente de la misma situación. Podemos utilizar de nuevo
K x
mg
lo que daría esta vez x
3,4335 N
m g
K
38,38 N / m
8,94.10
2
m
8,94 cm
de manera que la longitud del resorte con el cuerpo suspendido será la suma de la longitud normal más el alargamiento 60 cm + 8,94 cm = 39,12 cm 6. La escala de un dinamómetro está graduada en N. Desde la división 0 N hasta la de 40 N hay una distancia de 15 cm. Hacemos oscilar, con una amplitud de 2 cm, a un cuerpo de masa 900 g suspendido del muelle del dinamómetro. Calcular la frecuencia de las oscilaciones y su aceleración máxima. Cuando nos dicen que desde la división 0 N hasta la división 40 N hay una distancia de 15 cm nos están proporcionando la constante K del resorte. En efecto, sabemos que un alargamiento del resorte de valor 15 cm corresponde a una fuerza deformante de 40 N. Como la fuerza F que deforma el resorte (*) y la deformación x resultante están relacionadas según F
K x
es fácil obtener la constante K de recuperación del dinamómetro. Sería K
40 N
F
x
0,2
m
200 N / m
Con este dato podemos discutir cómo serán las oscilaciones de un cuerpo suspendido del resorte del dinamómetro. Bastará recordar que el período de las oscilaciones está dado por T
y la frecuencia, por tanto,
2
1
m
K
1
T
2
0,42
0,9 200
0,42 s
2,37 Hz
Por último, hay que recordar que la aceleración máxima del móvil en un corresponde al paso por las posiciones extremas de la oscilación, y su valor es 2
a máx A A ( 2 )
2
2 cm . (2 . 2,37) 2
443 cm / s
M. A.S. 2
Donde se ha hecho uso de la amplitud dada en el enunciado y de la conocida relación entre frecuencia y pulsación . (*) No se debe confundir con la fuerza que el resorte aplica sobre el objeto sujeto a su extremo, que es F = – Kx (igual y de sentido contrario a la que deforma el resorte, según la ley de acción y reacción).
17
VIII.
BIBLIOGRAFIA
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