CIRCUITOS ELÉTRICOS I Laboratório 2: Teoremas Teoremas de Thévenin e Norton
Prof. Dr. Fernando Silva de Moura
Carolina Marques Velho- R.A.: 11058611 Karina Kaori Nakama- R.A.: 11047807 Larissa Moura- R.A.: 11046508 Lívia Bomediano- R.A.: 11049407 Wellington H. Matsumoto - R.A.: 11101808
Santo André 2014
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Sumário 1. Introdução ...................................................................................................................... 3 2. Objetivo .......................................................................................................................... 4 3. Metodologia .................................................................................................................... 4 3.1 Lista de materiais ................................................................................................................ 4 3.2 Montagem dos circuitos ..................................................................................................... 4
4. Resultados e Discussão.......................... ............ ........................... .......................... ......................... .......................... ........................... .................. ..... 6 5. Conclusão .................................................................................................................... 11 6. Questões ...................................................................................................................... 12 7. Teorema de Thévenin em regime permanente senoidal ......................... ............ .......................... .................. ..... 17 8. Referências Bibliográficas .......................................................................................... 21
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1. Introdução Os teoremas de Thévenin e de Norton são métodos que possibilitam a redução no número de componentes de um sistema complexo, através da substituição por um equivalente mais simples com as mesmas características nos terminais de saída. Além disso, estes dois teoremas são utilizados para analisar os efeitos que a mudança de um componente específico causa sobre o circuito sem ter a necessidade de estudar o circuito completo depois de cada mudança realizada[1]. O Teorema de Thévenin diz que qualquer circuito de dois terminais que possua corrente contínua pode ser trocado por um circuito equivalente composto apenas por uma fonte de tensão em série com um resistor, como mostrado na Figura 1[1].
Figura 1: Circuito equivalente de Thévenin
O teorema de Norton é uma extensão do teorema de Thévenin e foi enunciado em 1926 separadamente por Hans Ferdinand Mayer, e Edward Lawry Norton. Este teorema diz que qualquer circuito com corrente contínua e dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente composto somente por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor, como mostra a Figura 2[1].
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Figura 2: Circuito equivalente de Norton
2. Objetivo O objetivo deste experimento é comprovar experimentalmente o teorema de Thévenin e Norton através da montagem de circuitos específicos e medições de valores de tensão e corrente para verificar os valores da resistência de Thevénin e a resistência de Norton.
3. Metodologia
3.1 Lista de materiais
1 Protoboard
Resistores de 1k Ω
Resistores de 100 kΩ
Potenciômetros de 1kΩ
Fonte de tensão DC
Multímetros digitais (bancada de portátil)
3.2 Montagem dos circuitos Primeiramente, foram medidos os valores reais dos resistores fornecidos e montado o circuito apresentado na Figura 3, no qual havia resistores de 1kΩ, 100kΩ, uma fonte DC de 10V e um potenciômetro de 1kΩ.
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Figura 3: Circuito para verificação do teorema de T hévenin
Variou-se o potenciômetro para que a tensão medida VL fosse de 2,9V a 3,5, com intervalos de 0,1V. Os valores medidos no amperímetro em I L foram anotados para estes intervalos de VL.
Após esta etapa, os resistores de carga foram retirados (potenciômetro de 1kΩ e o resistor ligado em série com o mesmo, com valor também de 1kΩ ) e o valor de tensão equivalente de Thévenin foi obtido através do multímetro posicionado em Vth e valor da corrente de Norton Ino (corrente de curto-circuito) foi obtido através de um amperímetro, conforme mostrado na figura 4a e 4b, respectivamente.
Figura 4: Circuito para obter o valor da tensão equivalente de Thévenin
Após a medição do valor Vth,foi montado um circuito com uma fonte DC de 6V e um amperímetro, como mostrado na figura 5a. Assim, foi medida a tensão V1 e a corrente I1. A resistência equivalente de Thévenin (Rth) foi calculada e também medida com o ohmimetro conforme a Figura 5b para que fosse possível comparar os valores.
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Figura 5: Circuito para obter V 1, I1 e Rth
Por último, variou-se novamente o valor do potenciômetro de 1kΩ e mediu se a tensão VL para que tivesse variação entre valores de 2,9V a 3,5V com passos de 0,1V e as respectivas correntes em IL correspondentes.
Figura 6: Circuito para obter os valores de tensão (V L) e corrente (I L)
4. Resultados e Discussão Antes de iniciar a montagem do circuito, foram medidos os valores reais dos resistores fornecidos, os quais são apresentados na Tabela 1. Tabela 1: Valor dos resistores
Resistor R1 R2 R3 R4 Rc1 Rc2
Valor nominal (Ω) 1k 1k 100 1k 1k 1k
Valor medido (Ω) 0,981k 0,983k 97,9 0,984k Potenciômetro 0,983k
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Após essa medição, foi montado o circuito da Figura 7 para obter os dados para a verificação do Teorema de Thévenin.
Figura 7: Circuito montado para verificação do Teorema de Thévenin
Ao variar o potenciômetro para que a tensão medida VL fosse de 2,9V a 3,5, com intervalos de 0,1V, os valores medidos no amperímetro em I L foram obtidos para estes intervalos de VL e estes dados estão apresentados na Tabela 2.
Tabela 2: Valores de tensão e correntes medidos
VL (V) Valor nominal Valor medido 2,89 2,9 3,0 3,068 3,135 3,1 3,2 3,282 3,3 3,320 3,4 3,453 3,5 3,531
IL (mA) Valor medido 0,03 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
A partir destes valores, traçou-se o gráfico da característica da rede linear, o qual está apresentado no Gráfico 1.
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Gráfico 1. Corrente IL x Tensão VL dos valores medidos do circuito de verificação do Teorema de Thévenin.
Ao retirar os resistores de carga (potenciômetro de 1kΩ e resistor de 1kΩ) e conectá-los ao voltímetro foi obtido o circuito apresentado na Figura 8.
Figura 8: Circuito para verificação da tensão equivalente de Thévenin (V th)
Com esta configuração, o valor encontrado para Vth foi de 4,386V e para Ino foi de 8,381mA . Depois foi montado o circuito mostrado esquematicamente na Figura 9:
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I1
Figura 9: Circuito para cálculo de V th
A partir deste circuito, mediu-se a tensão V1 e a corrente I1, cujos valores encontrados são, respectivamente, 6,06V e 11,54mA . Com estes valores, calculou-se Rth através da equação 1:
ℎ= =,
(Equação 1)
Para verificação, montou-se o circuito esquematizado na Figura 10 e mediuse o valor de Rth com o ohmimetro.
Figura 10: Circuito para verificação do valor de R th
Para tal, encontrou-se o valor de R th = 531,7Ω. Comparando o valor calculado e o valor medido de R th, obtêm-se os dados apresentados na Tabela 3.
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Tabela 3: Comparação dos resultados de R th
Parâmetro
Cálculos (valores nominais de R)
Rth (Ω) Vth (V) Ino(mA)
521,7 4,781 9,162
Cálculos (valores medidos de R)
Valores obtidos experimentalmente
512 4,792 9,351
531,7 4,386 8,381
Em seguida, montou-se o circuito apresentado na Figura 11:
Figura 11: Circuito para obter os valores de tensão (V L) e corrente (I L)
Com o amperímetro e voltímetro conectados conforme o circuito mostrado na Figura 11,foram obtidos os valores apresentados na Tabela 4. Tabela 4: Valores de tensão correntes medidos
VL (V) Valor nominal Valor medido 2,9 2,87 3,007 3,0 3,1 3,100 3,2 3,205 3,3 3,339 3,4 3,401 3,5 3,557
IL (mA) Valor medido 2,73 2,63 2,45 2,26 1,985 1,89 1,7
A partir destes valores, a característica da rede linear da figura foi traçada como mostrada no gráfico 2:
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Gráfico 2. Corrente IL x Tensão VL dos valores medidos do circuito da Figura 11.
5. Conclusão Através deste experimento pode-se verificar na prática a validade do teorema de Thévenin e do teorema de Norton, ferramentas muito utilizadas na análise de circuitos elétricos. Pode-se comprovar que os resultados práticos medidos se aproximaram bastante dos resultados previstos teoricamente. As pequenas diferenças observada entre os resultados práticos e teóricos se devem ao fato de que os materiais utilizados como, por exemplo, os resistores não possuem exatamente o valor de resistência indicado, mas possui o valor dentro de uma certa faixa de tolerância, e essas pequenas diferenças acabam afetando o resultado final observado. Estes resultados foram muito importantes, pois, comparando-os com os resultados obtidos teoricamente, foi possível verificar a funcionalidade e precisão dos modelos teóricos adotados, aplicando-os em circuitos reais que possuem seu comportamento afetado por diversos fatores como a imprecisão dos materiais, a resistência dos condutores e etc. Além de comprovar nossos modelos teóricos houve a oportunidade de obter mais experiência prática no laboratório.
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6. Questões
6.1 Entregue no pré-relatório. 6.2 Determine o gerador equivalente de Thévenin e o gerador equivalente de Norton do circuito representado na Figura 1, à esquerda dos terminais XY . Utilize agora os valores medidos dos resistores. As resistências medidas são mostradas na tabela 1 e são com estes valores que serão calculados os equivalentes de Thévenin e Norton nesta questão. Como queremos só os equivalente à esquerda dos terminais XY, desconsideramos as fontes presentes no lado direito. Primeiro, fazemos Req1 entre os resistores 3 e 2:
Req1 = R3.R2/R3+R2 = 0,0979.0,983/0,0979 + 0,983 = 0,089 kΩ Em seguida, calculamos a Req2, entre os resistores 1 e a Req1 obtida: Req2 = Req1 + R1 = 0,089 + 0,981 = 1,069 kΩ Por fim, calculamos a Rth que será a associação da Req 2 com o resistor R4, em paralelo: Rth = Req2.R4/Req2 + R4 = 1,069.0,984/1,069 + 0,984 = 0,512 kΩ Para calcular a tensão de Thévenin, Vth, voltamos o circuito para o momento antes do cálculo da Rth, ou seja, para a seguinte configuração, valores de resistência em kΩ:
De forma que a Vth será a tensão presente no resistor de 0,984 k Ω. Nesta confirguração, temos um divisor de tensão e ent ão podemos encontrar Vth: Vth = 10.0,984/0,984 + 1,069 = 4,79V E conhecendo as relações entre os equivalentes de Thévenin e Norton, temos: Rth = RN = 0,512 kΩ IN = Vth/Rth = 4,79/0,512 = 9,35 A
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6.3 Desenhe o gerador equivalente de Thévenin e o gerador equivalente de
Norton do circuito à esquerda de XY Figura 1, e complete a tabela 4 (neste caso, em nosso relatório é a tabela 3, já descrita acima) com os valores calculados e determinados experimentalmente. O equivalente de Thévenin é mostrado na figura abaixo, com valor de resistência em kΩ:
O equivalente de Norton é mostrado na figura abaixo, com valor de resistência em kΩ:
6.4 Compare os resultados obtidos nos itens i e j para a resistência equivalente de Thévenin. Avalie as incertezas envolvidas nos dois valores obtidos, conforme a precisão dos multímetros nas grandezas e escalas utilizadas.
Tabela 3: Comparação dos resultados de R th
Cálculos Parâmetro (valores nominais de R) Rth (Ω) 521,7 Vth (V) 4,78 Ino(mA) 9,16
Cálculos (valores medidos de R) 512 4,79 9,35
Cálculo da incerteza envolvida nos valores nominais 521,7 9,7
100% x
x = 1,86%
Valores obtidos experimentalmente 531,7 4,386 8,381
14 A
incerteza nos
valores
nominais da
resistência de
Thévenin é
aproximadamente 1,86%.
Cálculo da incerteza envolvida nos valores medidos 521, 7
100%
10
x
x = 1,92%
Associando a incerteza dos valores medidos à incerteza da precisão do multímetro utilizado no experimento (0,5%), obtemos o valor total da incerteza 2
I=
ue2 u p
Onde: u2e = incerteza dos valores medidos u2p = incerteza da precisão do aparelho I = 1,98% A incerteza nos valores empíricos da resistência de Thévenin é aproximadamente 1,98%.
6.5 Calcule a tensão VL e a corrente IL do circuito da figura 1 considerando
uma carga fixa de 2kΩ, usando Teorema de Thévenin e Norton, com os valores determinados experimentalmente. Qual a potência dissipada nesta carga? Utilizando o equivalente de Thévenin deduzido na questão anterior:
IL = Vth/Rth + 2 kΩ = 4,79/2,512 = 1,91 A
Sendo assim, a VL = 2 kΩ.IL = 2.1,91 = 3,81 V
De forma que a potência dissipada no resistor de 2 k Ω é Pot = VL.IL = 3,81.1,91 = 7,28W.
6.6 Qual deve ser o valor da resistência da carga para se obter a potência máxima do circuito da Figura 1? Qual seria o valor da potência máxima? Para calcular o valor da resistência de carga para obtenção da potência máxima do circuito, utiliza-se o teorema da máxima transferência de potência. Considerando um circuito com um gerador equivalente de Thévenin (V TH), um resistor equivalente de Thévenin (R TH) e a resistência de carga (R c), ligada aos dois terminais do circuito.
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Calcula-se a corrente i do circuito: i=
V TH RTH
RC
(I)
Para calcular a potência: P = RC. i2 (II)
Substituindo (I) em (II), temos: P = VTH2.
RC ( RC RTH ) 2
(III)
Quando RC tende a zero ou ao infinito, a potência tende a zero. O cálculo da potência máxima é obtida derivando a equação (III) e igualando-a a zero.
RC 1 2 . 0 = VTH2. 2 dRC ( RC RTH ) 3 ( RC RTH ) dP
2 RC RC RTH
=1
RL = RTH (IV) Portanto, para obter a máxima potência do circuito, a resistência da carga deve ser igual à resistência do resistor equivalente de Thévenin. A potência máxima do circuito pode ser calculada, substituindo a equação (IV) na equação (III): 2
P = VTH .
RTH (2 RTH )
2
=
V TH
2
4 RTH
6.7 Compare as curvas i x v obtidas a partir das tabelas 2 e 3 e comente se
o teorema de Thévenin pode ser comprovado. Explique.
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Gráfico 1 – Diagrama i x v, valores da tabela 2
Gráfico 2 – Diagrama i x v, valores da tabela 4 O Teorema de Thévenin é muito útil para reduzirmos circuitos maiores a um circuito equivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado ponto, onde se deseja, por exemplo, saber as grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência. O teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de tensão em série com uma
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resistência. Portanto, para se afirmar que o Teorema é válido, a curva i x v deve ter um comportamento linear. Analisando as curvas obtidas, vemos que a curva apresentada no gráfico 1 apresenta alguns problemas, talvez por erro nas medidas, e não apresenta um comportamento linear. Já a curva apresentada no gráfico 2 apresenta um comportamento linear e portanto, o uso do teorema de Thévenin pode ser comprovado.
6.8 Proponha um procedimento para se determinar o gerador equivalente
de Thévenin de um circuito desconhecido qualquer, a partir do levantamento da curva
i x v nos
terminais de interesse (onde será
conectada a carga), conforme realizado neste experimento. Explique claramente quais seriam as etapas deste procedimento. 7. Teorema de Thévenin em regime permanente senoidal 7.1 Determinar o circuito equivalente de Thévenin entre os terminais A e B da ponte CA mostrada esquematicamente na figura 10 a seguir.
Sendo os valores do capacitor, indutor e resistores:
= 50Ω ; = 1Ω ; = 40Ω ; = 1Ω ; = 200 ; = 1,6 E a fonte
= 50 sin22000 = 50cos22000 90° = 50∠ 90° Sabendo que em uma ponte de Wheatstone qualquer
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O gerador equivalente de Thévenin é dado ela relação a seguir [A]:
Como o circuito contém indutor e capacitor, é necessário trabalhar com a impedância no lugar da resistência dos componentes, chegando na expressão
) = = × ( + Substituindo os valores dos componentes e utilizando as fórmulas de impedância do capacitor e indutor bem como as relações entre números complexos e fasores, temos:
1000 1000397,89j ) = = 50 ∠ 90° × (20,11j401000 100050397,89j = 50 ∠ 90° × [0,961 ∠ 1,11° 0,958 ∠ 0,95°] ⇒ 0,961∠1,11° 0,958 ∠ 0,95° =2,951×10− 2,733×10− =4,022×10−∠42,8° = 50 ∠ 90° × 4,022 × 10−∠42,8° = 2,011×10−∠ 47,2°
19 Da mesma maneira, sabe-se que a resistência equivalente de Thevenin é dada por
Teremos
= . = 4 50397,891000 . = 20,106401000 104020,106 1050397,89 5000019894,5 = 2010640000 104020,106 1050397,89 53812,5∠21,7° = 44768,86∠26,68° 1040,2∠1,11° 1122,86∠20,75° =43,03∠25,57°47,92∠0,95° = 38,8118,57 47,910,79 =86,7217,78=88,52∠11,58°Ω 7.2 Determine a tensão numa carga
= conectada entre os terminais A e
B. Inserindo uma resistência de 100Ω entre A e B, e realizando a análise nodal do sistema, encontra-se
1 1 1 ) (50× 1 ) = 0 (4020,1 100 1000 100 4020,1 1 ( 1 1 1 ) (50× 1 ) = 0 100 50 100 1000398 50 Resolvendo o sistema, encontra-se os valores aproximados:
20
V A=0,907+ 48,019j e VB=0,830+47,952j
Portanto, V no resistor ent re os pontos A e B
VA−B =0,0770,067j = 0,102∠41,02° 7.3 Utilizar o LTSpice para simular o circuito da figura 10, e obter a tensão numa carga
= conectada entre os terminais A e B. Comparar com o valor
calculado no item 2.
Ao realizar a simulação no programa LTspice, foi gerado o gráfico a seguir, com os valores de V(B), V(A) e V(A)-V(B):
Para realizar a comparação dos resultados da simulação e dos cálculos manuais, é necessário calcular o valor RMS das tensões obtidas na simulação:
21
Calculando o valor RMS da tensão encontrada nos cálculos manuais, chegase a RMS = 0,071V, valor muito próximo do encontrado na simulação.
8. Referências Bibliográficas [1] BOYLESTAD, R. L.; Análise de Circuitos; 12ª ed., Pearson; São Paulo, 2012.
[2] PEREIRA, L. A.; Circuito Equivalente de Thévenin e Norton; Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS; Porto Alegre, 2004. Disponível em: http://www.pessoal.utfpr.edu.br/pichorim/AULA/Fund_Elet_Eletronica/AnCirc_LAPer eira_TheveninNorton.pdf. Acessado em 06 de Novembro de 2014.
