curso de circuitos eletricos

Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 1 Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos

L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :

Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres

Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.1

CURSO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Volume 1 1. Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos 2. Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff Kirchho ff 3. A Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas 4. Redução de Redes e Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas 5. Estudo de Redes de Primeira Ordem 6. Estudo de Redes de Segunda Ordem 7. Introdução à Transformação de Laplace 8. Transformação de Laplace e Funções de Rede

Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

ENGENHARIA ELÉTRICA

INFORMAÇÃO ENERGIA

A Engenharia Elétrica visa essencialmente prover materiais, dispositivos

RECURSOS

processos físicos e químicos

MÉTODOS

análise e síntese

para promover: • Produção • Transmissão • Distribuição • Armazenagem • Transformação • Processamento

de

ENERGIA

e


INFORMAÇÃO

Engenharia Elétrica Aplicações práticas de fenômenos eletromagnéticos Eletromagnetismo

- Oersted - Gauss / Ampère - Faraday - Henry - Siemens - Maxwell - Hertz - Landell de Moura - Marconi


1820

~ 1825 1831

~ 1850 1864 1888 1894 1901

interação de campos Teoria

Eletromagnética

Restrições

Leis de Kirchhoff

Teoria das Redes Elétricas


tensões e correntes campos dentro de condutores

Eletromag x Circuitos Teoria Clássica de Eletromagnetismo Equações de Maxwell Leis que relacionam campos elétricos e magnéticos grandezas vetoriais Métodos de solução complicados

aproximações

Teoria Clássica de Circuitos Leis de Kirchhoff Relações entre tensões e correntes em elementos simples ideais: R L C grandezas escalares Métodos de solução bem estabelecidos Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

Exemplos a) Rede de distribuição de energia Elétrica: 60 Hz a 5 harmônica: 300 Hz 8

c 3.10 6 λ = = = 10 metros f 300 Sistema contido em um raio de 10 km Vale a Teoria dos Circuitos

b) Receptor FM: 100 MHz 8

3.10 = 3 metros λ = 8 10 λ /4 = 0,75 m

Dimensões do circuito << 75 cm Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

TABELA DE UNIDADES SISTEMAS CONSISTENTES GRANDEZA

S.I.

A.F.

R.F.

U.H.F.

Tensão

V

V

V

V

Corrente

A

mA

mA

mA

Resistência

Ω

kΩ

kΩ

kΩ

Condutância

S

mS

mS

mS

Capacitância

F

µF

nF

pF

Indutância

H

H

mH

µH

Tempo

s

ms

µs

ns

Freq. angular

rad/s

krad/s

Mrad/s

Grad/s

Frequência

Hz

kHz

MHz

GHz

T

Tera

1012

G

Giga

109

M

Mega

106

k

Quilo

103

m

Mili

10 -3

µ

Micro

10-6

n

Nano

10-9

p

Pico

10-12


SISTEMAS DE UNIDADES CONSISTENTES GRANDEZA

S.I.

ÁUDIO FREQ.

Tempo

seg

mseg

µseg

Frequência

Hz

kHz

MHz

Tensão

V

V

V

Corrente

A

mA

mA

Resistência

Ω

kΩ

kΩ

Condutância

S

mS

mS

Capacitância

F

µF

nF

Indutância

H

H

mH


RÁDIO FREQ.

MODELAMENTO Lanterna: lâmpada

R

l

pilhas

chave

3V

mola

R1

capa

Rc

Modelo : R

3V R1

Rc


l

TEORIAS

MODELOS

INTERPRETAÇÃO DOS FENÔMENOS

SÍNTESE


PROJETO

CIRCUITOS ELÉTRICOS I : CONCEITOS BÁSICOS: • CARGA ELÉTRICA

q (t) :

Múltiplo inteiro de 1,602 . 10 -19 coulombs • CORRENTE ELÉTRICA ATRAVÉS DE

UMA SUPERFÍCIE: - VALOR MÉDIO:

∆q(t) im = ∆t

(AMPÈRES)

- VALOR INSTANTÂNEO:

dq(t) i(t) = dt


( AMPÈRES )

Carga elétrica • Conservativa

Quantizada • Bipolar •

1,6 . 10-19 C

+

Atração e Repulsão •

Móvel ou Fixa

• Materiais:

R Condutores | | Semi − condutores S | |T Isolantes

Corrente Elétrica ( física ) • Condução lâmpada incandescente • Convecção íons em eletrólitos → luz néon • Difusão semicondutores • Deslocamento dielétricos

i(t) = dq/dt

q btg =

z ibτg dτ + qbt g t

t0


0

CORRENTE ELÉTRICA

+ Q1

Q2

Sentido de Referência

+ Q3

im

Q4

∆Q + Q1 − Q2 + Q3 − Q4 = = ∆t ∆t


i

t

i t

Contínua CC DC

Alternativa CA AC Ex.: senoidal - Periódica, média nula num período

i

Não-periódica t

Ex.: exponencial

i t

Pulsada Ex.: triangular


A i

Amperímetro Ideal curto-circuito

–3A

A


3A

A

CONCEITO DE TENSÃO ELÉTRICA ( ddp )

i

ε

B

R

i a) Circuito elétrico

b) Analogia mecânica Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

i

d w(t) = v(t) dq(t) d w(t) → energia ( trabalho ) necessária

para separar cargas positivas de cargas negativas ( J )

dq(t) → quantidade de carga a ser separada ( C )

v(t) → tensão elétrica ( V )


Tensão Elétrica Q

Q

d

Q

v=0

E v = Ed

Q Elemento

v

V

Q

Q

v = Ed

v = Ed

Q

Q

A vAB = vA - vB

B

Polaridade de referência

A vA

Referência de Potencial


FONTES DE TENSÃO •

Ação Química

Baterias, Pilhas

•

Magnetismo

Geradores

•

Luz → Fotoeletricidade Célula Solar

•

Calor → Termo-eletricidade Par termoelétrico

• Pressão Mecânica → Piezoeletricidade

Cristal piezoelétrico •

Fricção


A pilha inventada por Alessandro Volta

Volta apresenta a Napoleão e a cientistas franceses sua grande invenção (1799)


PILHA VOLTAICA corrente de elétrons

Zinco

Cobre

água sulfato de cobre íons de cobre íons de zinco


Pilha Seca Alcalina

Células Primárias


BIPOLOS ELÉTRICOS - SÍMBOLOS:

i

A

i

v

A

v

i’

i’ B

B

- PROPRIEDADES:

R i btg | S | v btg T

= i' b t g ,

∀t

= vA b t g − v B btg , ∀ t


i a

i = v

r

z J

r

x dS

S

v=

b

a r

r

z E x d

l

b

dq i = dt dw v = dq

( CAMPO POTENCIAL )

AMPERÍMETRO i

A

VOLTÍMETRO V

i


v

IMPORTANTE: AS FLECHAS DE REFERÊNCIA DE TENSÃO E DE CORRENTE SÃO - REGRAS PARA LIGAR

VOLTÍMETROS E AMPERÍMETROS AO CIRCUITO !


Potência instantânea :

d w(t) p(t) = dt

(W)

Mas : e

d w(t) = v(t) . d q(t) d q(t) = i(t) . dt p(t) = v(t) . i(t)


dw(t) v(t) = dq(t)

( VOLTS )

- É MEDIDA PELOS VOLTÍMETROS

- POTÊNCIA INSTANTÂNEA:

p(t) = v(t) . i(t) ( WATTS ) - PARA SABER SE A POTÊNCIA ESTÁ SENDO RECEBIDA OU FORNECIDA É PRECISO FIXAR

CONVENÇÕES ! Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

CONVENÇÕES Gerador

i

A V

v i

A V

v

Receptor

i

A V

v i

A V


v

SENTIDOS DE REFERÊNCIA NOS BIPOLOS Convenção do Receptor (SPICE) i

A

v

V

Convenção do Gerador i

A

v


V

- CONVENÇÃO DO GERADOR:

v.i > 0

BIPOLO FORNECE POTÊNCIA

- CONVENÇÃO DO RECEPTOR:

v.i > 0

BIPOLO RECEBE POTÊNCIA


1 P= . t2 − t1

z pb t g.dt ( WATTS ) t2

t1

CONVENÇÃO DE NOTAÇÃO: - LETRAS MINÚSCULAS PARA FUNÇÕES DO TEMPO. - LETRAS MAIÚSCULAS PARA GRANDEZAS INDEPENDENTES DO TEMPO. - CASO DE v E i PERIÓDICOS COM PERÍODO T :

1 P = T

z vb t g . ib t g . dt T


a t, t f = z paτf . dτ = t

w

=

0

z t

t0

t0

vb τ g . i b τ g . dτ ( JOULES )

UNIDADE PRÁTICA DE ENERGIA: - QUILOWATT – HORA ( kWh ) 1 kWh = 3,6 . 106 J - MEDIDOR DE ENERGIA: CALCULA

z pb τg . dτ t

t0


ALGUNS VALORES NUMÉRICOS CARGA ELÉTRICA • Carga em uma célula DRAM (quando o bit 1 é

armazenado)

50 fcoulomb

• Carga em um capacitor de potência • Carga em um raio

5 mcoulomb 3000 coulomb

CORRENTE ELÉTRICA • Corrente de fuga em transistores de CIs

fA

• Corrente de sinais em transistores de CIs

µA-mA

• Limite de corrente suportada pelo corpo humano

~10mA • Correntes de alimentação em CIs • LED

100mA-10A 10mA-100mA

• Lâmpadas e eletrodomésticos pequenos • Limite de Corrente residencial • Rede de distribuição residencial • Rede de distribuição comercial ou industrial Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

1A-10A 20A 100A 1000A

ALGUNS VALORES NUMÉRICOS TENSÃO ELÉTRICA • Sinal em uma antena

1µV

• Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa)

1µV

• Sinal de áudio (CD player)

100mV

• Tensão de alimentação de um CI

1,8V a 12V

• Bateria de carro

12V

• Rede de distribuição residencial

10kV

• Monitor a cores

10kV

• Sistema de transmissão de potência

100kV

POTÊNCIA • Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) • CIs • Lâmpada residencial • Aquecedor elétrico

pW

µW a vários W

100W 1kW

• Máximo consumo residencial

25kW

• Sistema de som em show de rock

50kW

• Central transmissora de rádio

100kW

• Sistema de iluminação de show de rock

250kW

• Usina de geração de energia elétrica


1GW

R R RESISTORES | PASSIVOS |S CAPACITORES | |T INDUTORES | | S | | ATIVOS RS GERADORES DE TENSÃO | GERADORES DE CORRENTE T | T

CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RELAÇÃO CORRENTE-TENSÃO:

R − LINEARES S − NÃO LINEARES T Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

v = r(i)

i = g(v)

1 – Linear Fixo i

Ideal v=Ri i=Gv

R v

R G

Ω S

2 2 v i = p = vi = Ri2 = Gv2 = R G

2 – Linear Variável v(t) = R(t) i(t) A

B

A B

reostato controle de corrente potenciômetro controle de tensão

3 – Não-linear Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

George Simon Ohm • Alemão (Erlangen, 1789; Colônia, 1854) • Físico e Matemático • Professor de Física, Univ. de Colônia • 1827 Lei de Ohm (empírica) 22 anos para ser reconhecida • Pesquisas nas áreas de física molecular, acústica e comunicação telegráfica

R = ρ .

l

Aparato Experimental usado por Ohm Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

i

i

v v = r(i)

i = g(v)

Controlado por corrente

Controlado por tensão

Ex: Diodo ideal i

i

curto v

v

aberto λv

Diodo real: i = g(v) = Is ( e – 1 ) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

1 – Carvão

Valor Potência máxima 1/8 1/4 1/2 1 2 watts Tolerância 10 % 5 % 1% 0,5 % 0,1 %

Corrente máxima: Imax =

Resistência varia com 2 – Fio

Pmax R

Tensão Frequência Umidade Temperatura

Potências mais elevadas

Modelo: 3 – Filme Metálico: Circuitos integrados Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

q( t ) = C( v ) 1- Linear , Fixo → Ideal

i

q = Cv

C

dv i = C dt

v

1 v = C1 p

=

t t0

2

i d t + v b t0 g

C

dv2 dt

2 1 1 q W = C dv 2 − v 2 b t0 g i = 2 2 C 0

2 - Linear , Variável q ( t) = C ( t ) v ( t ) i (t) = C

(t)

dv(t)

+ v (t)

d t

3 - Não – linear Ex.: q(t) = C ( v ) . v(t) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

d C(t d t

)

Garrafa de Leyden

Universidade de Leyden ( Holanda )

1746 A↑ C↑ d ↓ Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

A C= ε d

Valores:

µF → pF

Especificações: Ex.: 100 nF / 500V tensão de ruptura do dielétrico

Tipos: de acordo com o dielétrico • cerâmica • mylar • poliestireno • eletrolítico • tântalo

Modelo: C


G

i(t)

i(t) v0

v(t)

v0

v(t)

dv i = C dt 1 v = C

z

i d t + v0

1 v = C

v(t)

v0

v0

z

i d t − v0

v(t)

i(t)

i(t) dv i = −C dt 1 v = − C

z

idt + v0


1 v = − C

z

idt − v 0

ψ ψ = L ( i )

1 – Linear , Fixo → Ideal ψ ψ = L . i

i L

d ψ di = L v = dt dt

v

z

t

i =

1 L

p =

1 di2 L 2 dt

t0

v dt + i b t0

1 2 1 w = Li − L i 02 2 2

2 – Linear, Variável ψ ψ = L ( t ) i ( t ) di(t) dL(t) v = Lb tg + i(t) dt dt

3 – Não-linear Ex.: Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

g

Solenóide com espiras bem afastadas, mostrando as linhas de indução magnética e a sua concentração no interior da bobina.


i(t) i0

i(t) v(t)

i0

v(t)

1 i= L

v dt − i 0

i0

v(t)

di v = L dt 1 i= L

i0

v dt + i 0

v(t)

i(t)

i(t) di v = −L dt −1 i= L

v dt + i0


−1 i= L

z

v dt − i 0

Tensão

Corrente Corrente

Resistência

Condutância

Indutância

Capacitância

Carga elétrica

Fluxo magnético

Aberto

Curto


RESISTOR

CAPACITOR

i

i

i R G

v

C

i = Gv 2

p = Ri 2 Gv 2 v / R 2 i / G

v

L

v

q = Cv

ψ ψ = L i

z

di v=L dt

1 v= C

v = Ri

INDUTOR

idt + v0

dv i=C dt

1 i= L

z

vdt + i0

1 dv2 p= C 2 dt

1 di2 p= L 2 dt

1 2 w = Cv 2

1 2 w = Li 2


i R (G)

v v(t)

i(t)

1

G

t

-1

t

-G

p(t) G

i = Gv

w(t) >0 t 2

p = vi = v G Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

t w=

z t

t0

pb λ gdλ

i

C

v

i(t)

v(t) 1

C

0

2

1

1 vb t g = C

z t

t0

t

i bλg dλ + v bt0 g

1

C / 2

>0

1 <0 2

p = vi

t

w(t)

receb

-C

2

-C

p(t) C

dv i=C dt

dá

0

t

v(t0) = 0 t0 = 0

1

2

t

1 w = Cv 2 2

W > 0 passivo (convenção receptor)


es(t)

E

Gerador Real: Rg

ic

E

vc E

vc

vc ideal E real

ic Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

RC ( carga )

ideal real Rc

FONTES DE ALIMENTAÇÃO AC/DC Tensão AC Retificação e Filtragem Tensão DC

a) Terminais disponíveis b) Tensão positiva em relação ao terra c) Tensão negativa em relação ao terra d) Tensão flutuante


is(t)

I

is(t)

Gerador Real ic I

ic I

Rg

vc

ideal

ic I

RC ( carga )

ideal

real

real

vc

Rc


vc

ic

µvc

µ - ganho de tensão

rm ic

rm - transresistência

Geradores de Tensão

vc

ic

gm vc

gm - transcondutância

β ic

β - ganho de corrente

Geradores de Corrente Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

Aplicação dos geradores vinculados Transistor Bipolar

Estrutura Física

C - Coletor B - Base

Símbolo E - Emissor ib

ic

B

C rπ

β ib

ic = β ib

E

E

Modelo em circuitos Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

H(t) 1

t H ( t ) = u-1 ( t ) = =

R0 S1 T

1( t )

para t < 0 para t ≥ 0


Pulso retangular de duração τ f(t) = E [ H(t) – H ( t – τ ) ] f(t) E 0

τ

t

Pulso senoidal F 2 π I L F f(t) = E m sin G . t J . M H b t g − H G t − H T K N H

f(t) Em 0

T/2


t

T I O P 2 J K Q

Função co-senoidal v btg = d 115 2 cos377t i H btg

v

t Função rampa f (t) = t [ H(t) – H( t – T ) ]

E

t

T

Pulso de radar

+v –v

t0

t0 +∆

t

v(t) = V [ H(t – t0) – -H(t – t0 – ∆)] sen ω(t-t0)

Onda quadrada

1 -1

T

2T

F H

f b t g = H G sen

t F G π t I J I J − H F G − sen F G π t I J I J H T K K H H T K K


R 0 para || t S τ | i |T 1 para

t≤0

R 0 para || 1 fi' b t g = S | τi |T 0 para t

t≤0

f i(t) fi b t g =

1

f i’(t)

τi τ2

τ1

1/ τi 1/ τ2 1/ τ1

τi τ2

1

τ

0 < t ≤ τi t > τi

t

Função de Dirac: δ(t) = lim f i’(t) τi→0

A função de Dirac é, de fato, uma função generalizada . Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

0 < t ≤ τi t > τi

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO IMPULSIVA • δ(t) = 0,

t≠0

• δ(t-t0) = 0,

t ≠ t0

Representações gráficas da função impulsiva: δ(t)

δ(t-t0)

∞

0

t

z δ (τ ) d τ = 1 t

•

− t 1

0

t0

, ∀ t, t1 > 0

•

d ( ) = δ( t ) dt

•

z f (t − T ).δ (t ) dt = f (T ) ∞

−∞

(para f (.) contínua em T ) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

∞

t

f 1’

f 1 E

(E) t1

t

t2

t2

t1

t

(–E ) ’

f 2 E/ τ

f 2 E

τ

τ

t

t (–E )

f 3’

f 3 E 1

2

t

3

1 2

3E 2E E

3

(–2E )

–E f 4

( 2E )

( 2E )

...

t

(–2E )

’

f 4

(E) (E) (E) ... T 2T 3T

t


T

2T 3T

t

eg E 37 %

13,5 %

τ

2τ st

eg(t) = E e s= –σ

eg(t) = E e

–σt

5%

3τ

t

E, s reais E > 0, σ > 0

= Ee

– t/ τ

σ → freqüência neperiana ( Np/s ) 1 τ = σ

→ constante de tempo ( s )

Para t = τ → eg = E/e Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

EXCITAÇÃO CO-SENOIDAL • Derivada e Integral → Senóides Circuito em Regime Permanente Senoidal • Dispositivos Reais →

geram excitação senoidal • Soma de senóides de mesma freqüência =

senóide •

Análise de Fourier → ∀ função periódica = =soma de senóides harmônicas, da forma

fk(t) =Akm cos (kω0t + θk ) (k = 0, 1, 2, …)

Akm = amplitude ou valor máximo ou valor de pico (real e > 0) da k-ésima harmônica

ω0 = freqüência angular fundamental (real, rd/s) θk = defasagem (real, o ou rd)

fk = freqüência da k-ésima harmônica (real , Hz ou ciclos/s)

T = período (real, s) = 1 / f Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

0

,

ω0 = 2π / T

z = a + jb

y z

b

z = z e

z 

φ

Retangular ou Cartesiana

a

= z  φ

Polar

x

Fórmula de Euler : e

jφ

jφ

= cos φ + j sin φ

Séries de Mac Laurin: x3 x5 x7 + − + ...... sin x = x − 3! 5! 7! x2 x4 x6 cosx = 1 − + − + ...... 2! 4! 6! 2

3

jx g b jx g b jx e = cosx + jsinx = 1 + jx + + + .... 2! 3!

z = z cos φ + j z sin φ = z (cosφ + jsinφ) = = z e j φ Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

jθ

e

= cosθ + j senθ

Seja B = cosθ + j senθ

dB dθ

= − sen θ + j cos θ = j b cos θ + j sen θ g

ou

dB = j B dθ dB = j d θ B

Integrando : lnB = j θ + C ← constante Para θ = 0 → B = 1 → lnB = 0 jθ ⇒ C=0 ⇒ B=e ⇒ e

jθ

= cosθ + j senθ


Fórmulas de Euler : jφ

= cos φ + j sen φ

– jφ

= cos φ – j sen φ

e e

Forma Cartesiana: z = a + jb z = z e

Forma Polar :

R| a Sb |T

R| S |T

= z cos φ = z sen φ 2

2

z = a +b φ = arctg b a


jφ

1 – Soma e Subtração → Forma Retangular ou Cartesiana z1 = a1 + j b1

z2 = a2 + j b2

z1 ± z2 = ( a1 ± a2 ) + j ( b1 ± b2 ) y z1 + z2

z2 z1

x

2 – Multiplicação e Divisão → Forma Polar z1 = c 1 e

j φ1

z1 z 2 = c 1 c 2 e

z2 = c 2 e j ( φ 1 + φ 2 )

c 1 j ( φ 1 − φ 2 ) z1 z 2 = e c2 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

j φ 2

Propriedades : jφ z = a + j b = z e – jφ z* = a – j b = z e z + z* = 2 a = 2 Re ( z ) jφ

e  = 1

e e

±jπ

± j π /2

= 1 ±π = –1 = 1 ± π /2 = ± j 1

Fórmulas de Moivre : 1 j ω t − jω t cos ω t = e +e d i 2 1 j ω t − jω t −e sen ω t = e d 2j Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

i

Im z

jb r Φ

a

Re

Coordenadas Retangulares:

a, b

Coordenadas Polares:

r, Φ


Im z

jb r Φ

-Φ

a

r -jb

Conjugados


z*

Re

Im j=e ejΦ

senΦ 1 -1= e

-j180

=e

1 = e j0

Φ

j180

cosΦ

-j = e -j90

Círculo Unitário Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

Re

Im j = e j90 ejΦ

senΦ 1

1=e

Φ

Φ

-1= e -cosΦ

Φ

cosΦ

1 sen(-Φ)

e –jΦ -j = e -

Círculo Unitário Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

Re

Am cos ( ωt + θ ) =

R 1 d A$ e j ω t + A$ * e − j ω t i m | 2 m S | R e A$ m e j ω t T Valor instantâneo do sinal → Domínio do tempo → s(t) = Am cos ( ωt + θ ) Fasor associado a sinal senoidal:

S$

jθ

= Am e


= Am θ

CO-SENÓIDES E FASORES Função co-senoidal no domínio do tempo: y(t ) = Ym cos(ω t + θ )

Y m > 0,

>0

Fasor que a representa: • Exprimir a função como parte real do complexo:: complexo

ℜe[Ym e j (ω t +θ ) ] = ℜe [ Ym e j θ . e j ω t ] • O fasor representativo dessa função será definido por: Y$= Ym e

•

j θ

Ym = Y$

Kennely:: Notação de Kennely

 ângulo

, θ = arg Y$

Y$ = Y m ∠ θ

θ pode ser fornecido em graus ou radianos

 freqüência

ω deve ser dada à parte

o

módulo e o ângulo do fasor são, respectivamente, a amplitude e fase da função co-senoidal


CO-SENÓIDES E FASORES Função co-senoidal representada por fasor: Dados um fasor e sua freqüência, determinar a correspondente função do tempo: • Escrever o fasor na forma exponencial: j θ $ Y = Ym e

• Adicionar a informação de freqüência: j ω t j ( ω t + θ ) $ Ye = Ym e

• Tomar a parte real desta expressão: j ( ω t +θ )

y (t ) = ℜe[Ym e

] = Ym cos( ω t + θ )

O módulo e o ângulo do fasor são, respectivamente, a amplitude e a defasagem da função y(t) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

i

v

v

V$ = R I$

i

R

i

v

i

v

t

V$

1 $ I = j ω C

t

C

V$ = j ω LI$

i i

v

t

L

v Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

DIAGRAMAS FASORIAIS NOS ELEMENTOS BÁSICOS DE CIRCUITOS Resistências

- corrente e tensão em fase

i V

R

v

V = R I I

Indutâncias - corrente atrasada de π / 2 i V

L

v

I

V = j ω L I

Capacitâncias - corrente adiantada de π / 2 i V = -j I / (ω C )

I

C

v

V


V–I Resistor

V = RI

Capacitor V = – j 1 I

ωC

Indutor

V = jωLI

I = GV I = jωCV 1 I = – j V ωL

Impedância: Z = V / I Admitância: Y = I / V Resistor

Z=R

Capacitor Z = 1

ωC

Indutor

Z = j ωL


Y=G Y = j ωC 1 Y= ωL

o

f(t) = Amsin(ωt + φ) = Amcos (ωt + φ – 90 ) o

sin a = cos ( a – 90 ) * o sin a = cos ( 90 – a ) a = ωt + φ Co-senóide + DC → vAB t vab

VAB t Componente Contínua DC

Valor Médio

VAB

+

t

Componente incremental

AC ( alternativa )

1 = T


z

T

0

v AB dt

curso de circuitos eletricos

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