La velocidad v de un paracaidista que cae esta dada por
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v = gm/c ((1−e−(c/m)t )) donde g = 9.8 m/s2. Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg/s, calcule la masa m de modo que la velo- cidad sea v = 35 m/s en t = 9s. Utilice el me todo de la falsa po- sicio n para determinar m a un nivel de es = 0.1%.
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v = ((m g)/c) * (1 - e^(-(c/m) t)) Esto representa la solución de la ecuación diferencial de la caída libre con resistencia proporcional (constante c) a la velocidad. Cuando el tiempo crece, la velocidad se acerca a vo = (m g)/c que, físicamente, se obtiene cuando el peso (m g) iguala a la resistencia (c vo)
La ecuación diferencial es ma-cv=0 ó (dv/dt) - (c/m) v = 0 con condiciones iniciales vo = 0 ao = (dv/dt)o = g ***************************************... La ecuación planteada es v = ((m g)/c) * (1 - e^(-(c/m) t)) v = ((m 9.8)/15) * (1 - e^(-(15/m) *9) ) = 35 m * (1 - e(-135/m)) = 35 * 15 / 9.8 Analizamos las unidades 15 kg/s * 9 s = 135 kg así que el exponente queda adimensional con m en kg (35 m/s) * (15 kg/s) / (9.8 m/s^2) = 53.57 kg
así que el resultado queda coherente con m en kg Nos queda la ecuación trascendente f(m) = m * (1 - e(-135/m)) - 53.57 = 0 Con ayuda de Excel Trabajamos con 5 decimales Para m1 = 50 f(50) = -6.93027 Para m2 = 60 f(60) = 0.10604 Como hay cambio de signo, podemos establecer que hay una raíz intermedia Pendiente de la secante entre f(50) y f(60) Pend1 = (f(60) - f(50))/(60-50) Pend1 = (0.10604 - (-6.93027))/10 Pend1 = (7.03632)/10 Pend1 = 0.70363 ******************** Encontramos la raíz intermedia m11 = 50 - ((-6.93027)/Pend1) m11 = 50 - ((-6.93027)/0.70363) m11 = 50 - (-9.84929) m11 = 59.84929 Para m11 f(m11) = 0.00686 ********************** Establecemos el nuevo intervalo con valores opuestos Para m1 = 50 f(m1) = -6.93027 Para m11 = 59.84929 f(m11) = 0.00686 Como hay cambio de signo, podemos establecer que hay una raíz intermedia
Pendiente de la secante entre f(m1) y f(m11) Pend2 = (f(m11) - f(m1))/(m11-m1) Pend2 = (0.00686 - (-6.93027))/9.84929 Pend2 = (6.93713)/9.84929 Pend2 = 0.70432 ******************** Encontramos la raíz intermedia m12 = 50 - ((-6.93713)/Pend2) m12 = 50 - ((-6.93713)/0.70432) m12 = 50 - (-9.83954) m12 = 59.83954 Para m12 f(m12) = 0.00044 **********************
Establecemos el nuevo intervalo con valores opuestos Para m1 = 50 f(m1) = -6.93027 Para m12 = 59.83954 f(m12) = 0.00044 Como hay cambio de signo, podemos establecer que hay una raíz intermedia Pendiente de la secante entre f(m1) y f(m12) Pend3 = (f(m12) - f(m1))/(m12-m1) Pend3 = (0.00044 - (-6.93027))/9.83954 Pend3 = (6.93072)/9.83955 Pend3 = 0.70437 ******************** Encontramos la raíz intermedia m13 = 50 - ((-6.93072)/Pend3) m13 = 50 - ((-6.93072)/0.70437) m13 = 50 - (-9.83892) m13 = 59.83892 Para m13 f(m13) = 0.0000286 ********************** Hemos llegado cerca de los 5 decimales
con lo que podemos tomar exactamente 4 decimales Con 4 decimales m = 59.8389 ==============
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Si no cumple la condición, simplemente volvemos al paso 3. Ejemplo: Determine el coeficiente de rozamiento c =? Necesario para que un paracaidista de masa = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s, después de una caída libre de t = 10 seg. La aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2. La ecuación a utilizar es: f(c) = gm/c ( 1 - e-(c/m) t ) - v = 0 Solución analítica: Aproximación gráfica: f(c) = 9.8 (68.1)/c ( 1- e -(c/68.1) ) -40 = 667.38/c ( 1-e(-0.146843) ) - 40 c
f(c)
4
34.115
8
17.653
12
6.067
16
-2.269
20
-8.401
bisección
xi = 12, xs = 16 xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs f(xi) = f(12) = 6.067 f(xr) = f(14) = 1.5687 f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) > 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr n=2 xi = 14, xs = 16 , xr = 15 f(xi) = f(14) = 1.5687 f(xr) = f(15) = -0.4248 f(xi) f(xr) = (1.5687)( -0.4248) < 0, la raíz se encuentra en este subientervalo, xs = xr Ea = {15-14/15} x 100 = 6.667 % n=3 xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5 f(xi) = f(14) = 1.5687 f(xi) =f(14.5)= 0.5523 f(xi) f(xi) > 0, xi = xr Ea = {14.5-15/14.5} x 100 = 3.448 % n=4 xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75 f(xi) = f(14.5) = 0.5523 f(xi) =f(14.75)= 0.05896 f(xi) f(xi) > 0, xi = xr Ea = {14.75-14.5/14.75} x 100 = 1.695 % n=5 xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875 f(xi) = f(14.75) = 0.5896 f(xi) =f(14.87)= -0.1841 f(xi) f(xi) < 0, xs= xr Ea = {14.875-14.75/14.875} x 100= 0.840 % n=6 xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125 Ea = {14.8125-14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %
Ea < 0.422% < 0.5 % xr = 14.8125 iteración
Xi
Xs
Xr
Ea %
1
12
16
14
6.667
2
14
16
12
3.448
3
14
15
14.5
1.695
4
14.5
15
14.75
0.480
5
14.75
15
14.875
0.422
6
14.75
14.875
14.8125
Falsa Posición Este , método utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz. De acuerdo a la siguiente figura:
La intersección de la línea recta con el eje de la x puede estimarse: f(xi ) = f(xs) (2.4) xr - xi xr - xs Reagrupando términos y reordenando f(xi) (xr - xs) = f(xs) (xr - xi) xr { f(xi) - f(xs) } = xs f(xi) - xi f(xs) dividiendo entre
f(xi) - xi f(xs) = xr = xs f(xi) - xi f(xs) (2.5) f(xi) - f(xs) Separando términos: xr = xs + xs f(xi) - xi f(xs) f(xi) - f(xs) f(xi) - f(xs) Sumando y restando xs en el lado derecho xr = xs + xs f(xi) - xs xi f(xs) f(xi) - f(xs) f(xi) - f(xs) Agrupando términos se obtiene: xr = xs + xs f(xs) - xi f(xs) f(xi) - f(xs) f(xi) - f(xs) xr = xs - f(xs) (xi -xs) (2.6) f(xi) - f(xs) El algoritmo es idéntico al de bisección, excepto que la ec. (2.6), se usa en el paso 2.
Ejemplo Use el método de la falsa posición, para determinar la raíz de la ecuación f ( c ) = 667.38/c { (1-e-0.146843 c) } -40 n=1 xi = 12 f(xi) = 6.067 xs = 16 f(xs) = -2.2687 xr = 16 - (-2.2687) (12 -16) = 14.911 6.067 - (-2.2687)
f(xr) = -0.25426 f(xi) f(xr) = 6.067 (-0.25426 ) < 0, xs = xr n=2 xi = 12 f(xi) = 6.067 xs = 14.9112 f(xs) = -0.25426 xr = 14.9113 - (-0.25426) (12 -14.9113) = 14.7942 6.067 - (-0.25426) f(xr) = -0.0.2726 f(xi) f(xr) < 0, xs = xr Ea = {(14.7942-14.9113)/14.7942} x 100% = 0.79 % n=3 xi = 12 f(xi) = 6.067 xs = 14.7942 f(xs) = -0.02726 xr = 14.7942 - (-0.02726) (12 -14.7942) = 14.7816 6.067 - (-0.02726) xr = 14.7816 Ea = {(14.7816-14.7942)/14.7816} x 100% = 0.087 % Ea < 0.087 < 0.5 %
