La value AT RISK d’un portefeuille d’actions marocaines.PDF

ROYAUME DU MAROC INSTITUT SUPERIEUR DE COMMERCE ET D’ADMINISTRATION D’ ADMINISTRATION DES ENTREPRISES ENTREPRISES

LA VALUE AT RISK D’UN PORTEFEUILLE D’ACTIONS MAROCAINES Réalisé par : Enca Encadr dré é par: par:

 M L L E A B O U E L J I N A N E H I N D

M.BENDRIOUCH ABDELGHANI Profe Profess sseu eurr à l’ISCA l’ISCAE E M.AMRANI MOHAMED Directeur général de la BMCI Bourse

 J U I N 2 0 0 6

Résumé

La remontée des risques à travers le monde, combinée à la volatilité accrue des marchés financiers a donné un regain d’intérêt évident à la gestion des risques. Face à un environnement économique et financier mondialement en état de crise, les mesures habituelles d’appréhension du du risque sont de plus en plus délaissées délaissées par les professionnels. professionnels. Depuis 1997 l’approche Value At Risk s’est imposée au devant de la scène financière comme étant une approche efficace et révolutionnaire en matière de quantification du risque de marché. L’objectif de ce travail, est d’estimer par le biais des des deux approches les plus utilisées utilisées de la VAR, à savoir l’approche de la matrice des variances- covariances appelée communément la méthode analytique, et l’approche de la simulation historique (SH) le risque associé à un  portefeuille « type » d’actions marocaines et déterminer après comparaison et analyse des résultats celle qui serait la plus performante pour appréhender le risque sur le marché marocain des actions. Dans le premier chapitre nous avons essayé de situer le contexte de cette étude, on a commencé par une brève présentation du marché boursier marocain, son organisation, ses acteurs, et son fonctionnement. Ensuite on a procédé à une présentation de la BMCI BOURSE, société de bourse dans l’enceinte de laquelle ce travail a été conduit. A la fin du chapitre nous avons abordé la problématique problématique du risque, ses ses différents types, et on a clôturé  par un aperçu des des méthodes classiques classiques de mesure mesure de ce risque. risque. Dans le deuxième chapitre nous avons présenté l’approche VaR du point de vue théorique en exposant les méthodes de calculs de cette dernière tant pour un actif isolé que pour un  portefeuille d’actions. Ensuite nous avons mis l’accent sur les domaines d’utilisation de la VaR ainsi que sur les précautions qu’il faut prendre lors de son utilisation et les avantages et les inconvénients de cette approche. Enfin de chapitre nous avons étudié le comportement de la VaR dans le cas où les rendements du portefeuille ne sont pas normalement distribués à travers le phénomène des queues épaisses. Dans le dernier chapitre, nous avons constitué un portefeuille « type » d’actions sélectionnées sur le marché boursier marocain. Ce portefeuille a fait l’objet d’études pour le restant de notre

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travail. Nous avons ensuite effectué l’étude des statistiques descriptives des rendements de ce  portefeuille afin de connaître ses caractéristiques. Par la suite nous avons présenté chacune des trois approches classiques d’estimation de la VaR et procéder à l’estimation de la Value At Risk de notre portefeuille par chacune de ces approches. En dernier lieu nous avons comparé les résultats obtenus afin afin de juger de la méthode de mesure la plus performante performante dans le cas d’un portefeuille marocain.

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Je dédie ce travail à mes chers parents, à mon frère, à mes professeurs, à mes amis et à tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à sa réalisation.

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Remerciements

Ce Mémoire de Fin d'Etude n'aurait pu être mené à son terme sans l'aide de plusieurs personnes que je tiens à remercier. Je pense bien entendu en premier lieu au Professeur BENDRIOUCH ABDELGHANI qui, en m’offrant l'opportunité d'être encadré, a grandement contribué à ce que ce mémoire voit le jour. Je tiens à adresser ensuite mes plus sincères remerciements à Mr Mohamed AMRANI, Directeur Général de BMCI Bourse, qui en me  proposant un sujet d'actualité et en m’offrant l'opportunité d'effectuer cette étude au sein de son organisme, m’a permis de mettre en application l'essentiel des connaissances acquises durant ma formation à l’institut supérieur de commerce et d’administration des entreprises et de découvrir un nouveau créneau d’études. J’exprime, également, toute ma gratitude à toute l'équipe  professionnelle de BMCI Bourse qui m’a assuré un cadre idéal et un précieux soutien tout au long de mon séjour au sein de BMCI Bourse. Enfin, je souhaite remercier tous ceux qui m’ont aidé de près ou de loin dans la réalisation de ce travail.

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T A B L E D E S M A TI E R E S

INTRODUCTION 

p.8 p.11

Section I/ Présentation du marché boursier marocain

p.12

I.1 Historique et axes de réformes I.2 organisation du marché I.2.1 Les intervenants du marché I.2.2 Le Fonctionnement du Marché I.3 Réglementation et surveillance du marché I.3.1 Les règles prudentielles I.3.2 Le contrôle des opérations du marché boursier I.4 Le marché boursier en chiffre Section II/ Présentation de la BMCI- Bourse

p.23

II.1 Présentation générale II.2 organisation et fonctionnement II.2.1 Organisation de la BMCI- Bourse II.2.2 Fonctionnement de la BMCI- Bourse II.3 Performances et chiffres clés Section III/ Risques et gestion de portefeuille

p.27

III.1 Notion et typologie du risque III.1.1 Notion du risque financier III.1.2 Typologie du risque de portefeuille III. 2 Mesures du risque III.2.1 La méthode du coefficient β III.2.2 L’écart type et la variance III.2.3 La volatilité boursière III.3 Aperçu de l’évolution et des limites des modèles de gestion de portefeuille

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p.37 Section I/ Présentation de la méthode VAR

p.38

I.1 Aperçu historique I.2 Qu’est ce que la VAR I.2.1 Définition I.2.2 La VAR d’un actif: une action I.2.3 La VAR d’un portefeuille I.2.4 Le choix de l’horizon et du seuil de Confiance I.3 Utilisation de la Value At Risk I.3.1 Utilité de la VAR I.3.2 Contexte d’utilisation de la VAR I.3.3 Réglementation de la VAR I.3.4 Précautions à prendre lors de l’utilisation de la VAR I.4 Avantages et inconvénients de la VAR I.4.1 Avantages de la VAR I.4.2 Inconvénients de la VAR Section II/ Fondements théoriques de la VAR

p.49

II.1 VaR et distribution de rendements II.2 Méthodologies de la VAR II.2.1 Approche générale II.2.2 Approche paramétrique

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p.55 Section I/ Description des données

p.57

I.1 Présentation des indices boursiers I.2 Constitution d’un portefeuille-type I.3 Etudes des rendements du portefeuille choisi Section II/ Estimation de la VAR

p.63

II.1 L’approche analytique: matrice des VC II.1.1 Rappels et notations II.1.2 Principes et hypothèses de base II.1.3 Estimation de la matrice de covariance II.1.4 Principe de diversification de Markowitz II.1.5 Application de l’approche au portefeuille d’étude II.2 L’approche de la simulation historique II.2.1 Méthodologie II.2.2 Application à notre portefeuille II.3 La simulation de Monte-Carlo II.3.1 Concept de base II.3.2 Méthodologie II.3.3 Application à notre portefeuille Section III/ Analyse et perspectives de la VAR

p.87

III.1 Analyse des approches utilisées III.1.1 La méthode Variance-Covariance III.1.2 La méthode de SH III.1.3 La méthode Monte Carlo III.2 Instruments de validité des approches de la VAR III.2.1 Le Backtesting III.2.2 Le Stress test

CONCLUSION  ANNEXES BIBLIOGRAPHIE VALUE AT RISK 

p.93 p.95 p.109

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I n t r o d u ct i o n G é n é r a le

La notion de risque a été depuis toujours intimement liée à celle des probabilités de telle manière à associer à chaque décision une probabilité d’échec ou de réussite. L’apparition du célèbre ouvrage de F.KNIGHT (1921) a affiné ces deux notions en distinguant entre risque  probabilisable et donc mesurable, et l’incertitude, non probabilisable. Ainsi, en finance, les fluctuations estimées du cours des actifs permettent d’évaluer le risque du marché, celles non  prévisibles reflétant plutôt l’incertitude. La volatilité des rendements était jusqu’alors le concept le plus utilisé pour représenter le risque. Néanmoins, face, à un environnement financier de plus en plus risqué, à une complexité et à un volume croissant des produits financiers négociés, le concept de volatilité n’est plus suffisant dans la mesure où il ne fournit  pas une information exacte et complète quant au risque du marché subi par les acteurs financiers. La deuxième moitié de ce siècle a vu la naissance d’une nouvelle science : le Risk Management ou la gestion du risque qui était résultat logique de la prise en conscience générale des effets pervers du risque. Ainsi le Risk Management est la science qui étudie les facteurs quantifiables ou non qui, dans le chef de toute personne, morale ou privée, menacent le rendement produit par l’exploitation rationnelle de son patrimoine, et donc ce patrimoine lui-même. Le Risk Management apporte des solutions stratégiques (organisationnelles et de  procédures) et tactiques (méthodes quantitatives de gestion) afin de combattre ces facteurs. Toute réflexion sur la gestion des risques débute nécessairement par une étape de définition et de catégorisation des différents types de risques courus. Dans ce qui suit nous allons nous en tenir à la typologie des risques selon RiskMetrics développée par la banque américaine JP Morgan. En ce qui concerne les institutions financières, quatre types de risque sont à préciser selon RiskMetrics : le risque de marché, le risque de contrepartie, le risque de liquidité, et le risque opérationnel. Le risque de marché se définit comme l’incertitude des résultats futurs en raison des changements non espérés dans les conditions de marché ; par exemple : le risque de taux et son impact sur l’institution. Le risque de contrepartie ou de crédit a trait aux pertes VALUE AT RISK 

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 potentielles occasionnées par le défaut d’une contrepartie (essentiellement dans le cas d’une  banque). Le risque de liquidité qui est le risque d’avoir d’une manière inattendue, et durant une courte période des cash-flows fortement négatifs, c’est aussi le risque qui englobe l’incapacité d’une institution financières à financer des actifs non liquides , soit pour des raisons propres à l’institution soit à cause d’un effet systématique . Enfin, sous le terme risque opérationnel on trouve les risques de fraudes, d’erreurs de paiement et le risque légale et  juridique résultant d’un environnement réglementaire incertain sujet à des changements imprévus. Dans ce travail, nous allons exclusivement nous intéressé au risque de marché, ce risque concerne aussi bien les activités de négoce (trading) pour le propre compte de la banque, que les titres des portefeuilles des particuliers ayant pris des positions sur les marchés, via la  banque ou non. Depuis le début du siècle, plusieurs méthodes de mesures de risque ont été développées par les chercheurs en gestion de portefeuille depuis la théorie de diversification de portefeuille de Markowitz jusqu'à la méthode de la Value At Risk développée par la banque américaine JP Morgan. Dans ce travail nous allons nous intéressé exclusivement à la méthode de la Value At Risk (VaR). En effet, l’objectif de ce travail est d’estimer à l’aide des trois approches les plus utilisées de la VAR, à savoir l’approche de la matrice des Variances-Covariances appelée communément la méthode analytique, et l’approche de la Simulation Historique (SH),et finalement l’approche Monté Carlo le risque associé à un portefeuille «type» d’actions marocaines et déterminer après comparaison et analyse des résultats celle qui serait la plus performante pour appréhender le risque sur le marché marocain des actions. Ce travail s’articulera autour de trois chapitres. Dans le premier chapitre nous avons essayé de situer le contexte de cette étude, nous avons commencé par une brève présentation du marché  boursier marocain, son organisation, ses acteurs, et son fonctionnement. Ensuite nous avons  procédé à une présentation de la BMCI BOURSE, société de bourse dans l’enceinte de laquelle ce travail a été conduit. A la fin du chapitre nous avons abordé la problématique du risque, ses différents types, et nous avons clôturé par un aperçu des méthodes classiques de mesure de ce risque.

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Dans le deuxième chapitre nous avons présenté l’approche VaR du point de vue théorique en exposant les méthodes de calculs de cette dernière tant pour un actif isolé que pour un  portefeuille d’actions. Ensuite nous avons mis l’accent sur les domaines d’utilisation de la VaR ainsi que sur les précautions qu’il faut prendre lors de son utilisation et les avantages et les inconvénients de cette approche. Enfin de chapitre nous avons étudié le comportement de la VaR dans le cas où les rendements du portefeuille ne sont pas normalement distribués à travers le phénomène des queues épaisses. Dans le dernier chapitre, nous avons constitué un portefeuille «type» d’actions sélectionnées sur le marché boursier marocain. Ce portefeuille a fait l’objet d’études pour le restant de notre travail. Nous avons ensuite effectué l’étude des statistiques descriptives des rendements de ce  portefeuille afin de connaître ces caractéristiques. Par la suite nous avons présenté chacune des trois approches classiques d’estimations de la VaR une fois les concepts théoriques mis en  place nous avons estimer la Value At Risk de notre portefeuille par chacune de ces approches. En dernier lieu nous avons comparé les résultats obtenus afin de juger de la méthode de mesure la plus performante dans le cas d’un portefeuille marocain.

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SECTION I: PRESENTATION DU MARCHE BOURSIER MAROCAIN

I.1 Historique et axes de réformes La Bourse de Casablanca a initié, le 7 novembre 1929, sa première séance de cotation. En 75 années d’existence, elle a connu plusieurs réformes. La première, en 1948, a attribué à la Bourse de Casablanca la personnalité morale. La seconde, en 1967, a permis de la réorganiser,  juridiquement et techniquement, et de la définir comme un établissement public. Enfin, en 1993, la  promulgation d’un ensemble de textes de lois portant réforme du marché financier a donné à la Bourse de Casablanca le cadre réglementaire et technique indispensable à son émergence . La Bourse de Casablanca a connu depuis la réforme de 1993, nombres de réformes importantes auxquelles elle doit son organisation actuelle et qui se présente comme suit : Septembre 1993

• Promulgation de trois textes de loi sur le marché financier : • Dahir portant loi n°1-93-211 relatif à la Bourse des Valeurs. • Dahir portant loi n°1-93-212 relatif au Conseil Déontologique des Valeurs Mobilières et aux informations exigées des personnes morales faisant appel public à l’épargne. • Dahir portant loi n°1-93-213 relatif aux Organismes de Placement Collectif en Valeurs Mobilières. Août 1995

• Création de la Société de la Bourse des Valeurs de Casablanca "SBVC". Janvier 1997

• Promulgation de la loi n°34-96 modifiant et complétant le dahir portant loi n°1-93-211 relatif à la Bourse de Casablanca. • Promulgation de la loi n°35-96 relative à la création d’un dépositaire central et à l’institution d’un régime général de l’inscription en compte de certaines valeurs.

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Mars 1997

• Démarrage du système de cotation électronique. • Inauguration du nouveau siège de la Bourse de Casablanca. Octobre 1998

• Démarrage de l’activité du dépositaire central Maroclear. Novembre 1998

• Mise en place du marché central et du marché de blocs en remplacement du marché officiel et du marché des cessions directes. Décembre 2000

• Adoption par la Bourse de Casablanca de la structure de société anonyme à Conseil de Surveillance et Directoire, conformément à la nouvelle loi sur la S.A., aux statuts de la Bourse de Casablanca et au cahier des charges. Janvier 2001

• Délocalisation de la négociation électronique dans les locaux des sociétés de bourse. Mai 2001

• Réduction du délai de dénouement théorique des opérations réalisées en bourse de J+5 à J+3. Janvier 2002

• Lancement des nouveaux indices de la Bourse de Casablanca : MASI, MADEX, indices sectoriels, indices de rentabilité et indices en devises. Mars 2002

• Démarrage du système de garantie de bonne fin des opérations boursières. • Suppression du marché des pièces d’or cotées en bourse. Avril 2004

• Aménagement des textes de loi régissant la Bourse des Valeurs, avec la loi 52-01 amendant le dahir n° 1-93-211 du 21 septembre 93 relatif à la Bourse des Valeurs. VALUE AT RISK 

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Décembre 2004

• Adoption de la capitalisation boursière flottante dans le calcul des indices. • Amendement du Règlement Général. I.2 Organisation et fonctionnement du marché  I.2.1 Les intervenants du marché

Les principaux acteurs du marché casablancais sont : 

La bourse de Casablanca:

L'organisation et la gestion du marché boursier sont confiées à la Bourse de Casablanca S.A.. Sa gestion est définie par un cahier des charges et concerne principalement l'organisation des introductions en bourse, la gestion des séances de cotation, la diffusion des cours et indices, et l'administration d'un système de compensation et de garantie. Le périmètre et le contenu de ses actions sont définis, sous forme de règles de marché, dans un règlement général. Plus généralement, la Bourse de Casablanca veille à la promotion et au développement du marché boursier. Le capital de la Bourse de Casablanca est détenu exclusivement et à parts égales par les sociétés de bourse. 

Les Sociétés de Bourse :

Les sociétés de bourse sont agréées par le Ministre des Finances et de la privatisation et ont le monopole de la négociation en bourse. Elles ont pour objet, outre la négociation en bourse, la garde des titres, le placement des titres émis par les personnes morales, la gestion de  portefeuille en vertu d’un mandat et le conseil de la clientèle. De par les dispositions de la loi n°29-00, les sociétés de bourse ont pour mission d’assister les  personnes morales faisant appel public à l’épargne pour la préparation des documents d’information destinés au public et d’animer le marché des valeurs mobilières inscrites à la cote de la Bourse de Casablanca.

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

Le Conseil Déontologique des Valeurs Mobilières - CDVM :

Le CDVM est un établissement public doté de la personnalité morale et de l’autonomie financière. En tant qu’autorité de contrôle, il a pour mission de veiller au bon fonctionnement, à la transparence, à l’intégrité et à la pérennité du marché des valeurs mobilières. Il est également chargé d’assurer la protection des épargnants. Le CDVM est administré par un conseil d’administration, présidé par le Ministre des Finances et de la Privatisation et composé du Ministre de la Justice, du Gouverneur de Bank Al-Maghrib ou de leurs représentants. Il comprend également trois personnalités désignées par le Ministre des Finances et de la  privatisation pour leurs compétences dans le domaine économique et financier. 

Le Dépositaire Central - Maroclear :

Maroclear est une société anonyme créée en 1997 en vertu de la loi n° 35-96 afin d'assurer l'administration des titres pour le compte de ses affiliés et de gérer le système de règlementlivraison. Son capital est détenu par l'Etat marocain et la Banque Centrale à hauteur de 45%, des intermédiaires financiers à raison de 25%, et des institutionnels à hauteur de 30%. Ses principales missions consistent à : • Assurer la conservation des valeurs mobilières admises à ses opérations par inscription en compte, en faciliter la circulation et en simplifier l'administration ; • Mettre en pratique les procédures qui assurent aux affiliés l'exercice des droits attachés aux titres ; • Exercer le contrôle sur la tenue de la comptabilité titres des teneurs de compte et vérifier les équilibres comptables ; • Assurer la codification des valeurs admises à ses opérations. Les principes de fonctionnement de Maroclear sont définis dans son règlement général.  I.2.2 Le Fonctionnement du Marché



La Structure du Marché:

La Bourse de Casablanca dispose de deux marchés : VALUE AT RISK 

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• Le Marché Central : marché centralisé, gouverné par les ordres. • Le Marché de Blocs : marché de gré à gré, où sont négociés des blocs de titres de taille importante dans des conditions de cours issues du marché central. Les opérations sur le marché de blocs doivent : - Porter sur un nombre de titres au moins égal à la Taille Minimum de Blocs (TMB), définie  par la Bourse de Casablanca pour chaque valeur, par référence à l’historique du volume de transactions; - Etre conclues à un cours inclus dans la fourchette des prix issue de la feuille de marché (marché central). C'est le règlement général de la Bourse de Casablanca qui précise les règles de fonctionnement des marchés. Il est publié par arrêté du Ministère des Finances et de la Privatisation, et il est opposable aux tiers. En vertu des nouvelles dispositions de la loi 52-01, la Bourse de Casablanca propose, depuis le 26 avril 2004, cinq marchés de cotation : trois marchés actions, un marché obligataire et un marché des fonds. 

Le Système de Cotation Electronique

Le système de cotation électronique est une plate-forme de gestion automatisée des séances de  bourse. Il permet l’acheminement automatique des ordres de bourse et la conclusion des transactions selon des règles de marché préalablement définies. Toutes les valeurs mobilières cotées à la Bourse de Casablanca sont négociées sur le système de cotation électronique à partir des stations de négociation, mises à la disposition des sociétés de bourse. Les ordres saisis par les négociateurs sont automatiquement classés par limite de cours et par ordre chronologique de leur introduction sur la feuille de marché. L’exécution des ordres se fait par l’application de deux règles de priorité : • Par le prix, d’abord; • Par le temps, ensuite. Deux ordres de même sens à même limite sont exécutés suivant leur ordre de saisie. 

Les Méthodes de Cotation

Sur le marché central, les valeurs mobilières sont négociées en fonction de leur liquidité : • Les valeurs les moins liquides sont cotées au fixing ; VALUE AT RISK 

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• Les valeurs moyennement liquides sont cotées au multifixing ; • Les valeurs les plus liquides sont cotées en continu. Le cours retenu pour le calcul des indices et la diffusion de l’information est le dernier cours traité. La séance de cotation au fixing :

La pré-ouverture : Les ordres s’accumulent sur la feuille de marché sans qu’aucune transaction n’intervienne. L’ouverture : En fonction des ordres présents sur la feuille de marché, le système électronique calcule un  prix d’équilibre ou “prix de fixing“ qui permet, à l’ouverture, l’échange du plus grand nombre de titres. La séance de cotation au multifixing :

C’est la même méthode de cotation que le fixing. A la seule différence que dans le multifixing, il y a éventuellement trois ouvertures, ce qui peut donner lieu à trois cours au plus  par séance de bourse. La séance de cotation en continu  :

La pré-ouverture : Les ordres s’accumulent sur la feuille de marché sans qu’aucune transaction n’intervienne. L’ouverture : En fonction des ordres présents sur la feuille de marché, le système de cotation électronique calcule un prix d’équilibre ou cours d’ouverture, qui permet l’échange du plus grand nombre de titres. La séance : Durant cette phase, tout ordre introduit dans le système peut provoquer instantanément une ou  plusieurs transactions si la feuille de marché le permet. La pré-clôture : Les ordres s’accumulent sur la feuille de marché sans qu’aucune transaction n’intervienne. La clôture : En fonction des ordres présents sur la feuille de marché, le système électronique calcule un  prix d’équilibre ou “prix de fixing“, qui permet à la clôture, l’échange du plus grand nombre de titres. VALUE AT RISK 

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

Le Dénouement des Transactions

La Bourse de Casablanca applique un délai de place normalisé de J+3 qui répond aux standards internationaux. Il s'agit de la durée qui sépare la date de la transaction de celle de son dénouement théorique. 

La Garantie de Bonne Fin des Opérations

La Bourse de Casablanca assure aux sociétés de bourse la garantie de bonne fin des opérations qu’elles initient sur le marché central. Les transactions sont dénouées dans un délai qui ne peut excéder un nombre de jours maximum, préalablement défini. I.3 Réglementation et surveillance du marché Cette surveillance s’exerce à travers: •

Les règles prudentielles;

•

Le contrôle des opérations du marché boursier.  I.3.1 Les règles prudentielles

En vue d’assurer le bon fonctionnement du marché et de prévenir des situations de crises, le CDVM a diffusé plusieurs circulaires explicitant les différents textes légaux auxquels il a d’ailleurs contribué. Il s’agit des: 

Règles déontologiques: applicables respectivement:

•

A la S.B.V.C (circulaire n° 02/96);

•

Aux sociétés de bourse (circulaire n° 03/96);

•

Aux OPCVM (circulaire n° 04/96);

•

Aux sociétés cotées à la bourse (circulaire n° 05/96).

Elles constituent des règles minimales de bonne conduite que chacune de ces sociétés ou organismes doit établir et respecter au plan interne.

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

Les coefficients de contrôle:

•

Le capital minimum: des sociétés de bourse et des établissements de gestion des fonds communs de placement a été fixé respectivement à 1.000.000 DH. Les fonds propres de ces dernières ne peuvent être inférieurs à ce capital.

•

Le coefficient de division des risques des sociétés de bourse: qui sont au nombre de deux: -

La valeur totale des positions nettes prises par la société de bourse dans le cadre de la contrepartie sur les différentes valeurs relevant d’un même émetteur doit être inférieure à 40% des fonds propres nets de la dite société de  bourse.

-

La valeur total des positions nettes d’un même client doit être inférieure à une  proportion de 10 fois les fonds propres nets de la société de bourse.



La règle de couverture des risques des sociétés de bourse :

Celles- ci sont tenues de respecter un ratio de couverture des risques défini comme étant le rapport entre les 2 éléments suivants: •

Les risques encourus par la société de bourse sur les positions nettes prises dans le cadre de la contrepartie et pour le compte de leurs clients;

•

Leurs fonds propres nets.  I.3.2 Le contrôle des opérations du marché

boursier.

En plus de la surveillance de l’information le CDVM contrôle le marché des valeurs mobilières à travers les opérations suivantes: 

La participation avec les autorités de tutelle aux décisions relatives au marché des valeurs mobilières :

La plupart des décisions du Ministère des Finances concernant le marché boursier ne sont  prises qu’après avis ou proposition du CDVM. C’est le cas notamment pour:

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•

L’agrément ou le retrait d’une société de bourse ;

•

Les modifications des statuts et du capital minimum de la société gestionnaire de la  bourse des valeurs;

•

Les règles prudentielles que doivent respecter les sociétés de bourse et les OPCVM.



Le pouvoir réglementaire:

Que lui confère la loi, lui laisse le soin d’apporter les précisions techniques aux différents textes. •

Au niveau de la S.B.V.C: Le CDVM contrôle le respect des règles de cotation et d’enregistrement des opérations ainsi que des livraisons des titres et de leur règlement dans les délais fixés.

•

La surveillance des sociétés de bourse: Communication obligatoire de leurs documents comptables annuels ainsi que de toute pièces ou renseignements nécessaires à l’accomplissement de sa mission.

•

Le contrôle des sociétés faisant appel public à l’épargne et des OPCVM: s’effectue  principalement grâce au visa des notes d’information par le CDVM qui est exigé  préalablement à toute introduction de titres en bourse et à; toute nouvelle émission de valeurs mobilières d’une société cotée. I.4 Le marché boursier en chiffre



Le volume des transactions :

En 2004, le volume global des transactions a atteint 71,7 milliards MAD contre 53,7 milliards de MAD en 2003, soit une hausse de 34%. Le volume quotidien moyen s’est établit à 281 millions MAD, contre 218 millions MAD en 2003 et 90 millions en 2002. Le marché central a enregistré un volume d’activité de l’ordre de 16,2 milliards de MAD en 2004, soit une augmentation de 24% par rapport à 2003. A l’inverse, le volume enregistré sur le marché de blocs a, quant à lui, régresser de près de 50% par rapport à 2003 pour s’établir à 19,5 milliards de MAD.

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

Le ratio de liquidité :

Le ratio de liquidité s’est situé en 2004 à 7,4%, contre 5,7% un an auparavant, retrouvant ainsi son niveau de 2002. Cette progression est le fruit de la progression marquée des échanges sur le marché central. 

Les indices boursiers :

Le MASI Flottant est un indice de type transversal, calculé sur la base de la capitalisation flottante. Il intègre toutes les valeurs de type actions, cotées à la Bourse de Casablanca. Il est ainsi un indice large, permettant de suivre de façon optimale le développement de l’ensemble de la  population de valeurs de la cote. Le MADEX Flottant, est un indice compact, calculé sur la base de la capitalisation flottante. Il est composé des valeurs les plus actives de la cote, en terme de liquidité mesurée sur le semestre précédent, intégrant donc les valeurs cotées en continu sur la place casablancaise. Ce dernier se révèle être un instrument particulièrement adapté à la gestion de portefeuille. Au terme de l’année 2004, les principaux indices de la Bourse de Casablanca, le MASI Flottant et le MADEX Flottant, ont affiché de bonnes performances pour s’établir respectivement à 4 521,98 points et 3 522,38 points au 31décembre 2004. 

La capitalisation boursière :

Au terme de l’année 2004, la capitalisation boursière a atteint 206,5 milliards MAD, contre 115,5 milliards MAD en 2003, soit une augmentation annuelle de 79%. Cette forte appréciation est essentiellement attribuable à l’introduction en bourse de Itissalat Al-Maghrib et de la Banque Centrale Populaire, ainsi que de la valorisation des cours des autres sociétés cotées. En ce qui concerne la représentativité par secteur, le secteur des télécoms s’accapare dès son entrée à la cote, en décembre 2004, la première place du classement avec 36,9% de la VALUE AT RISK 

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capitalisation totale, suivi par le secteur bancaire, et le secteur du bâtiment, avec respectivement 19,7%, et 13,8%.

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SECTION II: PRESENTATION DE LA BMCI-BOURSE

II.1 Présentation générale Un particulier ne peut pas intervenir directement sur le marché, il doit obligatoirement transmettre ses ordres à un intermédiaire financier (société de bourse, établissement financier). BMCI Bourse est l’une des 13 sociétés de Bourse exerçant dans le royaume. Créée en 1995, BMCI BOURSE, filiale à 100% de la BMCI, est une société de bourse au capital social de 10 MMAD. Elle a pour mission le conseil, l’exécution de transactions sur les valeurs mobilières pour le compte de sa clientèle, le suivi des opérations de contrepartie et la  participation au placement de titres. Elle s'adresse principalement à une clientèle présentant un profil d'épargnant dynamique et spéculateur, mais aussi aux institutionnels, notamment les compagnies d'assurances, les caisses de retraite et les OPCVM. L'organigramme juridique de la société se présente comme suit:

Figure 1: Organigramme de la BMCI BOURSE Source: BMCI BOURSE

II.2 Organisation et fonctionnement  II.2.1 Organisation de la BMCI- BOURSE.

BMCI Bourse est subdivisé en plusieurs départements:

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-

le front office, constitué principalement de commerciaux;

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le département Analyses & recherches financières;

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le back office;

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et le contrôle interne.



Le Front Office:

Il comprend généralement les démarcheurs, les négociateurs, les salesmen et les gestionnaires de portefeuille. Au sein de BMCI Bourse, les fonctions de démarcheurs et salesmen sont occupées par les mêmes personnes. La gestion de portefeuille est quant à elle déléguée à une autre filiale de la BMCI, BMCI Gestion. • Le négociateur  a pour fonction d’exécuter les ordres d’achats et de ventes, que

ces ordres proviennent de clients directs ou par les intermédiaires collecteurs et transmetteurs d’ordres (le réseau).Ces ordres sont effectués par voie électronique et par un système fourni par la Bourse de Casablanca, propre à tous les intermédiaires financiers. • Les salesmen (commerciaux) jouent le rôle d’intermédiaire entre les clients directs

et le négociateur. Ils évoluent dans la salle des marchés et suivent de près les cours  boursiers. Leur tâche consiste à orienter le client vers tel ou tel investissement et de lui permettre ainsi de dynamiser son portefeuille. 

Le département Analyses & recherches financières • L'analyste financier demeure l'un des piliers dans l'investissement en bourse. Son

rôle est d’aider les investisseurs à choisir les valeurs qui correspondent le mieux à leurs objectifs. Il a pour mission d’étudier de nombreuses sources d'informations sur les sociétés et leur secteur d’activité afin de les évaluer et de dégager des idées d’investissements. Les analystes produisent ainsi régulièrement des notes sur la situation du marché pour les clients et le réseau de la BMCI.

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

Le back office • Le responsable back office  gère en pratique l'exécution de l'ordre et la gestion des

titres. Il est chargé du traitement comptable des opérations financières traitées au front office. Il doit s’assurer de la régularité des opérations réalisées et de déclarer les inscriptions en comptes au Dépositaire Central. Il a, en outre, la tâche de fournir aux commerciaux les informations concernant les comptes clients.

 II.2.2 Fonctionnement de la BMCI- BOURSE.

Dépositaire centrale

La Bourse de Casablanca Exécution des ordres

Gestion des transactions Back Office

Négociateur

Département Analyses & Recherches

Transmission des ordres Ordres  groupés

Infos compte clients

Etude des valeurs

Salesmen Conseils

Clients ‐ Réseau

Ordres directs

Clients

Figure 2: Organisation de la BMCI BOURSE Source: BMCI BOURSE

II.3 Performances et chiffres clés Dans un contexte favorable, BMCI Bourse a maintenu son positionnement parmi les «leaders» du marché en grimpant à la 2éme position avec un volume des transactions négociées sur la Bourse de 7,4 milliards de DH, en progression de 32% et une part de marché

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de +10,29% et ce, grâce à une très bonne performance commerciale sur l’ensemble des compartiments de la Bourse. L’évolution de la part de marché et du volume total négocié en Millions de DH se présente comme suit :

Figure 3: Part de marché et volume total négocié en Millions de DH Source: Rapport d’activité de BMCI Bourse 2004

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SECTION III: RISQUES ET GESTION DE PORTEFEUILLE

III.1 Notion et typologie du risque  III.1.1 Notion du risque financier

Le risque financier est définit comme l’incertitude qui a un impact sur le patrimoine de l’investisseur. Le risque d’un actif financier ou d’une transaction ne peut être évalué isolément ou dans l’absolu ; il dépend du cadre de référence. Dans un contexte donné, l’achat ou la vente d’un actif peut augmenter l’exposition au risque de la personne concernée ; dans un autre cas de figure, la même transaction peut conduire à une réduction de risque. La notion de risque est à la base des choix d’investissement, des évaluations et des  performances, aussi un investissement est dit risquer lorsque ses résultats espérés (son rendement espéré) sont incertains. Parce que les rendements espérés reposent sur des  prévisions et des probabilités plutôt que des certitudes, les rendements réalisés peuvent être très différents de ceux qui étaient projetés. Le risque est lié à cette incertitude qui est la résultante d'une multitude de facteurs, connus ou inconnus, toujours difficile a appréhendé. La gestion du risque financier, est le processus qui évalue l’arbitrage entre les gains et les coûts d’une réduction des risques et qui décide de la stratégie à choisir en matière de choix de  portefeuille (Théorie de portefeuille). Le processus de gestion du risque suppose 5 étapes: • L’identification du risque; • L’évaluation et la mesure du risque; • Sélection des techniques de gestion du risque; • Mise en œuvre; • Contrôle.

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 III.1.2 Typologie du risque de portefeuille

En matière de portefeuille, Au lieu de chercher à identifier et travailler directement sur ces facteurs responsables de la volatilité du rendement des titres, on préfère souvent simplifier le  problème en définissant pour chaque titre deux notions de risque : le risque spécifique et le risque systématique. En quoi consistent ces deux types de risque? 

Le risque spécifique:

Le risque spécifique est celui qui est uniquement dépendant du titre lui-même, donc de la manière et des conditions dans lesquelles est gérée la société. Le risque spécifique d’un actif financier, peut être supprimé ou contrôler par la diversification du portefeuille de l’investisseur. Markowitz, inventeur de la théorie moderne du portefeuille, a établi mathématiquement et de manière irréfutable que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres (diversifier ses investissements) permet de diminuer le risque sans perte de rendement. Cette découverte repose sur le fait que les risques spécifiques de chaque titre se compensent et finissent par disparaître complètement à partir d'un certain nombre de titres. Le seul risque qui subsiste pour ce type de portefeuilles, dits portefeuilles bien diversifiés, est la combinaison des risques systématiques des différents titres. 

Le risque systématique :

Le risque systématique d'un titre représente la manière dont ce titre est susceptible d'être influencé par les mouvements de l'ensemble de la Bourse. Il est clair que, si la Bourse baisse, c'est parce que les titres qui y sont cotés ont baissé. Tous ne baissent toutefois pas dans les mêmes proportions, et certains titres ont même tendance à mieux se porter en période de conjoncture difficile. Les mouvements de la Bourse peuvent donc à leur tour soit amplifier, soit diminuer les mouvements des titres. Un titre qui aurait tendance à bouger plus que les mouvements du marché est un titre risqué, et vice versa. VALUE AT RISK 

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L’évaluation et le contrôle relatif du risque systématique, demeure la principale préoccupation des gestionnaires de portefeuille et de tout opérateur financier, c’est dans ce sens, qu’une multitude de théories de gestion de portefeuille on vue le jour et que l’on a assisté à la naissance des produits dérivés qui constitue pour l’investisseur une assurance contre certains types de risques. Dans ce qui suivra nous allons exposer, dans un premier temps, les différentes méthodes d’évaluation du risque systématique et dans un deuxième temps les évolutions qu’a connu la gestion de portefeuille. III. 2 Mesures du risque  III.2.1 La méthode du coefficient

β

La mesure du risque systématique est souvent mesurée par le coefficient bêta de chaque titre. Ce facteur permet de savoir si un titre monte (baisse) plus ou moins que le marché lorsque celui-ci monte (baisse). On parle du modèle bêta ou méthode du  coefficient β. Cette méthode se base sur un calcul de régression entre le prix d'un titre et la performance du marché mesuré par un indice. Elle peut être formulée de la façon suivante : P=βx+a, où x désigne l'indice du marché et P le prix du titre. Le facteur bêta est calculé en mesurant, sur une période historique, le lien statistique existant entre les rendements du marché et ceux de chaque titre, c'est-à-dire la covariance entre les deux rendements. La formule ci-dessous est l'expression mathématique, qui montre comment l'on peut relier les rendements d'un titre à ceux du marché à l’aide d’une simple droite.Cette droite est appelée droite de régression, et sa pente donne la valeur du coefficient bêta. L'utilisation du facteur bêta pour estimer le risque d'un titre à l'avenir, suppose évidemment que ce dernier aura en moyenne le même comportement que par le passé. Cette hypothèse est rarement exacte à moyen terme, ce qui explique que les professionnels recalculent fréquemment les bêtas.

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âi=Cov(Ri,Rm)/Var(Rm)

Avec : âi: bêta du titre i Ri: le rendement du titre i Rm: le rendement du marché Cov(Ri, Rm): covariance entre Ri, et Rm Var(Rm): variance de Rm  III.2.2 L’écart type et la variance

La mesure du risque est donnée par l'écart des différentes possibilités de gains ou de pertes, sur une certaine période, autour de la valeur espérée. Si vous estimez qu'un investissement vous rapportera 40% dans un cas sur deux, et vous fera  perdre 10% dans l'autre cas, son rendement espéré est de 25%. Ce chiffre est une moyenne, ce qui signifie que vous pouvez aussi bien être au-dessus qu'au-dessous à la fin du projet. Si les gains ou les pertes maximum possibles sont loin de cette moyenne, on dit qu'ils sont très dispersés autour d'elle. C'est cette dispersion qui vous donne la mesure du risque de votre investissement. La mesure qui résume ce risque est l'écart type, ou son carré, la variance. L'écart type donne l'ampleur de la dispersion des résultats possibles autour du résultat espéré. Plus l’écart type est grand plus les résultats probables de l'investissement seront distribués sur un espace large comprenant des possibilités de perte majeures.  III.2.3 La volatilité boursière



Le concept de volatilité boursière:

L’écart type des rendements des titres, appelé «volatilité historique» et généralement calculé sur une période glissante,elle peut alors être utilisé comme indicateur de risque. Les cours les VALUE AT RISK 

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 plus fréquemment utilisés sont les cours de clôture, mais Parkinson (1980) suggère que le recours aux prix le plus haut et le plus bas d’une même journée donne une meilleure estimation de la véritable volatilité. On peut également affiner l’analyse lorsqu’on dispose de données de haute fréquence (le cours le plus bas–le cours le plus haut) qui permettent d’éviter des biais dus à la prise en compte du cours de clôture (d’ouverture), mais de telles données sont relativement non disponibles. La longueur de l’échantillonnage dans le calcul de la volatilité, demeure également un sujet encore débattu : en particulier, il n’existe pas de critère permettant de conclure que l’écart type calculée à partir d’une série des rendements sur 20 jours ouverts (soit un mois), puis annualisée, est plus ou moins pertinente que celle calculée sur 130 jours (six mois), puis annualisée, ou que celle calculée directement sur 250 jours (un an). Cependant, Nous  proposons dans ce chapitre de nous inscrire dans le cadre conventionnel, en cherchant à déterminer, la volatilité des rendements des actifs boursier sur la période de 20 jours, et 250  jours. Ainsi que sur la période de trois jours. 

La définition de volatilité boursière:

La volatilité boursière est, une grandeur qui mesure la dispersion de la valeur de l’action d’une société cotée en bourse. En particulier, cette grandeur varie d’une société à l’autre. Cette mesure de la variabilité de l’action, théoriquement devrait être instantanée. Mais il est impossible de la connaître de manière certaine. 

Principe de la volatilité historique:

Une première approche est de considérer l’outil le plus connu pour mesurer une dispersion: l’écart type des rendements de l’action pendant les N derniers jours, N étant fixé à l’avance et assez grand pour que cela ait un sens. Soit p t   le cours de l’action, à l’instant t. L’idée est alors de substituer au cours de l’action, sa variation : ∆ p t  =p t  -p t −1

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∆ pt 

Et mieux encore sa variation relative

 pt 

 insensible, en particulier au choix d’unités.

Or pour les variations faibles on sait que: ∆ pt   pt 

≈ Ln ( pt  ) –Ln ( pt −1 )=Ln(

Par convention la variation relative

∆ pt   pt 

 pt   pt −1

)= ∆ Ln( pt  ).

 , est dite «Evolution», théoriquement cette variation

du cours de l’action exprimées en base logarithmique ∆ ln( pt  ), définit le rendement quotidien  R t  de l’action en question.

Pour le rendement du marché, il s’agit tout simplement de déterminer la variation de l’indice général du marché entre la date t-1 et date t:

 R mt  =

 I t  −  I t −1

≈  Ln (

 I t 

 I t 

 I t −1

)

• La volatilité d’une période élémentaire.

La volatilité d’une période élémentaire (en général quotidienne) est alors l’écart type de cette valeur Rt  . Soit R , la moyenne de N dernières valeurs de Rt :  R =

1  N 

 N 

∑ 1  R

t  − k  +

1

k  =

L’estimation, de la volatilité élémentaire est obtenue par: σ t =(

1  N  − 1

 N 

∑ ( Rt − k +1 − R ) 2 ) 1 / 2

k =1

On corrige enfin cette volatilité élémentaire en l’annualisant, c’est á dire en la multipliant par le nombre de périodes élémentaires dans l’année. Si les observations sont par exemple les cours de clôture quotidiens, le nombre moyen de jours ouvrables dans l’année étant de 250, il convient de multiplier la variance par 250, et la volatilité annuelle est:

σ t  *

250

Par convention cette volatilité est appelée volatilité à long terme. Et de court terme si N=20  jours.

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

Calcul pratique de la volatilité:

•

Présentation des données :

 Notre date de référence est le 15/02/2006 qui correspond à t , et notre objectif est de calculer la volatilité historique des valeurs cotées à la Bourse de Casablanca. On considère l’historique des cours de clôture de toutes les valeurs, sur trois périodes différentes à savoir 3 ,20 et 250 séances. • La volatilité historique des valeurs cotées au continu: Tableau1: la volatilité historique des valeurs cotées au continu

VALEURS

Volatilité 3J

ATW BCP BCE BCI SBM CIH CMA HOL IBMC LAC LES MNG MLZ IAM ONA SAM SNI SID WAA Valeur MAX Valeur MIN

8,01% 4,29% 6,42% 1,77% 6,34% 5,39% 5,33% 6,24% 5,30% 2,05% 4,07% 7,78% 4,73% 2,45% 7,14% 6,54% 3,12% 5,52% 4,23% 8,01% 1,77%

Volatilité CT

11,03% 11,25% 9,98% 8,73% 417,79% 18,94% 12,67 13,58 15,88% 13,23% 6,58% 12,74% 14,47% 8,77% 9,49% 13,78% 10,28% 10,31% 12,08% 417,79% 6,58%

Volatilité LT

24,66% 14,82% 12,77% 21,16% 514,61% 42,53% 28,83% 22,58% 34,19% 25,68% 22,65% 39,87% 32,84% 15,32% 21,61% 25,09% 24,90% 21% 26,07% 514,61% 12,77%

V3J: volatilité de trois jours VCT: volatilité de court terme VLT: volatilité de long terme Source: Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

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•

La volatilité historique des valeurs cotées au Multi fixing: Tableau2: la volatilité historique des valeurs cotées au multi fixing

VALEURS

Volatilité 3J

GAZ AGM ALM ATH NEJ BER CLT CSR CDM CTM EQD DIS MAV MOX MAB NEX SMI SOTA UNIMER Valeur MAX Valeur MIN V3J: volatilité de trois jours VCT: volatilité de court terme VLT: volatilité de long terme

Volatilité CT

7,36% 4,90% 5,63% 4,33% 4,73% 5,32% 5,74% 1,34% 4,17% 6,14% 5,04% 1,80% 1,15% 6,23% 2,64% 4,13% 0,68% 3,34% 5,42% 7,36% 0,68%

Volatilité LT

17,29% 9,68% 14,67% 9,83% 13,88% 13,36% 8,28% 5,70% 13,49% 12,92% 15,09% 12,31% 11,09% 13,48% 14,46% 13,30% 13,51% 13,70% 6,94% 17,29% 5,70%

33,35% 24,22% 31,44% 29,39% 43,42% 39,52% 31,52% 19,35% 29,28% 27,47% 34,39% 40,19% 40,11% 42,48% 45,43% 47,98% 45,74% 49,49% 15,65% 49,49% 15,65%

Source: Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

•

La volatilité historique des valeurs cotées au fixing: Tableau3: la volatilité historique des valeurs cotées au fixing

VALEURS

ACR BAL BNM CRN DIE FRT LCT LGM OUL PDT

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Volatilité 3J

5,71% 0,01% 6,51% 3,62% 1,57% 4,65% 0,41% 1,43% 0 6,16%

35

Volatilité CT

18,31% 22,12% 14,52% 14,23% 6,21% 15,31% 23,59% 14,72% 0,08% 13,13%

Volatilité LT

64,75% 78,22% 46,96% 44,07% 18,25% 44,73% 83,41% 60,03% 0,87% 51,82%

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REB SCE SOF TSF ZDJ Valeur MAX Valeur MIN

11,77% 7,33% 10,17% 5,98% 4,49% 11,77% 0

20,23% 14,48% 20,28% 15,03% 13,60% 23,59% 0,08%

59,88% 43,06% 65,97% 44,63% 45,72% 83,41% 0,87%

V3J: volatilité de trois jours VCT: volatilité de court terme VLT: volatilité de long terme Source: Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

III.3 Aperçu de l’évolution et des limites des modèles de calcul du risque de portefeuille. Les mesures de risque ont bien évolué depuis que Markowitz a avancé sa célèbre théorie de diversification de portefeuille à la fin des années 50, théorie qui avait révolutionné la gestion de portefeuille moderne. L’écart type, vu précédemment, était alors la mesure du risque d’un  portefeuille efficient. Mais pour un titre cette mesure n’est pas appropriée. En effet, dans le cas d’un titre individuel, le risque est représenté par la covariance de son rendement avec celui des autres titres qui constituent un portefeuille bien diversifié. L’écart type du rendement d’un titre comprend les risques diversifiable et non diversifiable. Or, seul le risque non diversifiable est rémunéré par le marché. Ce risque est représenté par la covariance entre le rendement du titre et les rendements des titres qui constituent un portefeuille hautement diversifié. Les théories du risque qui ont suivi celle de Markowitz se sont attachées aux facteurs qui déterminent le risque d’un titre de même qu’à l’équilibre des marchés financiers. Durant les années 60, Sharpe a proposé le model d’évaluation des actifs financiers, soit le MEDAF ou le CAPM en anglais. Ce modèle ne distingue qu’un seul facteur explicatif du risque d’un titre, soit la corrélation entre le rendement de ce titre et celui du portefeuille du marché. C’est ce qu’on appelle le risque systématique ou encore risque de marché du titre, catégorie du risque qui n’est pas diversifiable. Le risque non systématique ou spécifique d’un titre équivaut à son bêta qui est une mesure relative du risque établie en comparaison avec le bêta du portefeuille du marché qui, lui, est égal à un.

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Le modèle CAPM ainsi que la méthode du coefficient β ont fait l’objet de plusieurs critiques en effet: • La méthode CAPM présuppose que tous les investisseurs peuvent emprunter et prêter

au taux d'intérêt de l'actif sans risque. Cela est manifestement irréaliste puisque la défaillance de certains emprunteurs est toujours possible, ce qui fait que ces emprunts ne sont plus exempts de risques pour le prêteur. • L'un des points les plus faibles de la méthode CAPM a été mis en évidence par

Richard Roll. Roll a montré que le véritable indice de marché applicable au modèle CAPM n'est pas un indice boursier, mais un indice de tous les actifs risqués dans le monde. Le marché, au sens du modèle CAPM, n'inclut donc pas seulement l'ensemble des valeurs mobilières à revenu variable et à revenu fixe, mais également la propriété immobilière, le capital humain et tous autres actifs corporels ou incorporels qui contribuent à l'ensemble des actifs risqués. • Le modèle de CAPM est un modèle qui ne reflète pas la réalité. En effet d'après le

modèle CAPM, un portefeuille constitué de valeurs à bêta élevé doit sur performer un  portefeuille comportant des valeurs à faible bêta. Dans la réalité, il semble que les investisseurs qui achètent des valeurs à bêta élevé n'obtiennent pas de rendements  plus intéressants que ceux qui achètent des valeurs à faible bêta. Au milieu des années 70 est apparu un autre modèle du risque basé sur l’absence d’arbitrage : l’APT, acronyme de l’expression : Arbitrage Pricing Theory. Ce modèle reconnaît que le risque est un phénomène multidimensionnel qui s’explique par plusieurs facteurs. Le bêta d’un titre pour un facteur donné est la sensibilité relative du rendement du titre à ce facteur.  Néanmoins et comme il a été le cas pour le CAPM, l’APT présente certaines faiblesses, l’une d’elle est que ce modèle est reste muet quant à l’identité des facteurs qui déterminent les rendements des titres. Etant donné les limites que présente les différents modèles cités, et l’accroissement de la volatilité des marchés financiers, ces derniers ont assisté à la naissance d’une mesure absolue du risque: la VAR. VALUE AT RISK 

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SECTION I:PRESENTATION DE LA METHODE VAR

I.1 Aperçu historique Paul Glasserman, affirme que deux événements ont été à l’origine de l’adoption généralisée de la Value At Risk par le secteur financier et un troisième a favorisé son développement  parmi les entreprises américaines. Ces trois événements clés se présente comme suit: Le premier date de 1995. Réunis en comité à la Banque des règlements internationaux à Bâle, les représentants des banques centrales de dix grandes économies de l'Ouest ont proposé de nouvelles règles (amendant l'accord de Bâle de 1988) , imposant aux établissements financiers un niveau de fonds propres proportionnel aux risques résultant de leurs engagements . Officiellement adoptée en 1996, cette proposition a incité les banques à développer des systèmes internes sophistiqués pour calculer leurs VaR. En effet, elles pouvaient ainsi espérer une diminution des fonds propres qu'elles devraient détenir par rapport aux banques qui se fondaient sur les normes édictées par les autorités de tutelle pour déterminer leurs besoins. Ainsi, dès le départ, la recherche d'un allègement des obligations réglementaires a été un important facteur de croissance de la VaR. Le deuxième événement s'est produit sur Internet. En 1994, la banque américaine JP Morgan a mis gratuitement son système RiskMetrics à la disposition de tous sur Internet. RiskMetrics (depuis repris dans une société commune avec Reuters, le groupe d'information financière) fournissait les données financières et la méthodologie nécessaire au calcul de la VaR d'un  portefeuille. Les autres établissements financiers et les entreprises pouvaient utiliser le calculateur de VaR de RiskMetrics ou télécharger les données sur leurs propres systèmes de gestion des risques. Très vite sont apparus de nouveaux fournisseurs de programmes de gestion des risques exploitant RiskMetrics, transformant cette méthodologie en référence incontournable. Le troisième événement a probablement eu moins d'impact à ce jour, mais c'est l'un des grands facteurs d'expansion de la VaR parmi les entreprises américaines. En 1997 aux EtatsUnis, la Securities and Exchange Commission (SEC), préoccupée des risques cachés derrière VALUE AT RISK 

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les instruments hors bilan, a émis des règles de communication relatives aux produits dérivés employés par les entreprises : celles-ci ont trois solutions pour faire état des risques associés aux instruments dérivés : tableau des valeurs de marché, mesure de sensibilité ou VaR. C'est la raison pour laquelle les rapports annuels de Microsoft, de Philip Morris et de bien d'autres grandes sociétés présentent maintenant des calculs de la VaR. I.2 Qu’est ce que la VAR  I.2.1 Définition

D’après A.Louis Calvet [2000], la VaR d’un portefeuille d’actifs financiers correspond au montant de pertes maximum sur un horizon de temps donné, si l’on exclut un ensemble d’évènements défavorables (worst case scenarios) ayant une faible probabilité de se produire. Berdin et Hyde [2001] apporte une définition plus exhaustive au concept de VaR. En effet, Berdin et Hyde définissent la VaR comme étant la mesure qui fourni une estimation de la  perte potentielle sur un actif ou un portefeuille qui peut survenir avec une probabilité donnée suite à des mouvements de prix ou de taux relativement adverses, sous l’hypothèse que  pendant une période de temps (l’horizon de la VaR) la composition du portefeuille reste inchangée. A l’aide du concept VaR, on peut ainsi exprimer en un seul chiffre le montant à risque d’un  portefeuille, même si celui-ci est composé de plusieurs classes d’actifs (actions, obligations, options, devises, etc.). On pourra alors dire si le portefeuille est trop risqué ou non, en fonction du chiffre obtenu, de la valeur du portefeuille et de l’aversion au risque de l’investisseur. Pour éclaircir cette notion, examinons, l’exemple ci-dessous: Supposons, qu’un investisseur x détenant un portefeuille d’actions soit averti par son conseiller bancaire que sur le mois dernier la valeur de son portefeuille à enregistrer une  baisse et que celui ci maintenant vaut 50000 DHS; la question qui se posera alors à l’esprit de cet investisseur est: quelle serait la perte maximal que mon portefeuille pourrait enregistrer d’ici la fin du mois? VALUE AT RISK 

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La réponse que le conseiller pourra apporter est que l’investisseur pourra perdre toutes ses économies. Or cette réponse n’est pas satisfaisante parce qu’elle ne lui apporte rien de nouveau et, surtout, parce que le scénario de perte totale a trop peu de chances de se produire. Il serait plus réaliste et plus professionnel de dire: «En l’absence d’événements exceptionnels, il y a 95% de chances que le portefeuille reparte à la hausse ou qu’il perde 10000 DHS ou moins d’ici la fin du mois.» C’est le genre de réponse que la méthode VaR permet de donner. C’est ainsi que la VAR mesure le montant maximum qu’une institution ou un investisseur  peut perdre avec un certain seuil de probabilité et dans les conditions normales du marché. D’une manière plus simple la Value At Risk d’un actif financier ou d’un portefeuille représente le montant maximal des pertes exprimées en unité monétaire sur une période et à un niveau de confiance donné et sous les conditions normales du marché. La VAR mesure le risque inhérent à tous les types d’instruments financiers (actions, obligations, option) mais pour les besoins de l’étude nous allons nous limité dans ce qui suivra au seul cas des actions et au seul facteur de risque du cours boursier.  I.2.2 La VAR d’un actif:une action

L’action est un actif financier représentant une part de propriété du capital d’une société. Le  prix d’acquisition ou de vente de cet actif est déterminé par la loi de l’offre et de la demande sur le marché boursier et c’est ce paramètre qui donne le caractère risqué de l’action. Selon la théorie de portefeuille de Markowitz, une action est caractérisée d’une part par son rendement espéré qui est estimé par l’espérance (valeur moyenne de l’action en question), et d’autre par sa volatilité qui est calculé par le à l’aide de l’écart type (dispersion des valeurs de l’action autour de sa moyenne). Pour pouvoir calculer la VAR d’une action il est donc nécessaire de connaître ces deux paramètres. Pour mieux comprendre la méthode de calcul de la VAR D’une action soit l’exemple numérique suivant:

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Soit l’action ATW avec un rendement espéré au 15/02/2006 de l’ordre de 0,25% et une déviation (écart type) de l’ordre de 1,55% ceci nous permet de calculer la VAR de la manière suivante:

VaRq=E(Pt)+zq.(Pt) VaR0,95=0,25+(1,6449.1,55)=2,79% VaR0,975=0,25+(1,9600.1,55)=3,28% VaR0,99=0,25+(2,3263.1,55)=3,85%

 I.2.3 La VAR d’un portefeuille

Pour calculer la VAR d’un portefeuille d’action, nous devons spécifier les facteurs du marché qui affectent la valeur de celui-ci. Le calcul de la VAR dépend alors de la méthodologie utilisée. On à le choix entre trois méthodes. •

La VAR Analytique ou (paramétrique)

•

La VAR Historique ou (non paramétrique)

• La VAR Monté Carlo

Les deux premières méthodes utilisent les données du passé pour estimer les variations  potentielles de la valeur du portefeuille. On suppose que le futur et la réplique du passé: il faut donc faire l’hypothèse que la série temporelle des valeurs du portefeuille est stationnaire. C’est la raison pour laquelle l’approche Value At Risk n’est utilisée que dans les conditions normales du marché hors chocs macroéconomiques ou politiques. Le calcul de la VAR d’un portefeuille fera l’objet du troisième chapitre, afin d’expliciter chacune des méthodes et d’en déduire après comparaison celle qui s’applique au mieux aux  portefeuille d’actions marocaines.

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 I.2.4

Le choix de l’horizon et du seuil de

confiance La définition du concept VaR souligne que cette mesure dépend fortement du choix de l’horizon de temps considéré et du niveau de confiance. Le choix de ces deux paramètres doit être fait en fonction de divers critères, notamment l’objectif poursuivi par l’institution lorsqu’elle calcule la VaR et sa volonté de supporter un certain niveau de risque. 

L’horizon de la VAR:

L’estimation de la VaR nécessite la détermination de l’horizon du risque sur la base duquel les résultats défavorables sont mesurés. Différents facteurs affectent le choix de l’horizon de la VaR. On identifie 4 facteurs pouvant influencer ce choix: •

la VaR doit correspondre à la période de détention de l’actif objet de l’estimation. La  période de détention appropriée pour tout marché doit correspondre à l’intervalle de temps nécessaire pour assurer la liquidation des positions sur ce marché.

• Le calcul du nombre Var suppose implicitement que la composition du portefeuille

reste inchangée durant la période de détention choisie. Cette hypothèse est donc d’autant plus plausible que l’horizon considéré est court puisque, en réalité, les  positions peuvent varier fréquemment, notamment pour couvrir le risque; •

Une mesure fiable de la VaR requiert un grand nombre de données. Or, plus la période de détention est longue, plus il faut disposer de beaucoup d’observations. Ce problème de fiabilité du calcul de la VaR pousse donc à l’utilisation d’un horizon de risque relativement court.

•

Le choix de l’horizon de risque dépend également du degré d’aversion du détenteur du  portefeuille au risque. Dans le cas des banques, ce choix peut être aussi fixée par les réglementations en vigueur.

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Ces différentes contraintes concernant le choix de la période de détention, notamment les rapides changements des compositions des portefeuilles, expliquent la raison pour laquelle les  banques commerciales utilisent l’horizon d’un jour pour leur gestion interne alors que les entreprises d’investissements choisissent plutôt l’horizon d’un mois. 

Le niveau de confiance :

Le deuxième paramètre dans le calcul de la VAR: le seuil de confiance (niveau de  probabilité), On note généralement trois facteurs pouvant intervenir dans le choix du niveau de confiance à savoir : • si l’institution poursuit un objectif de fiabilité du système interne de gestion du risque,

mieux vaut qu’elle ne choisisse pas un niveau de confiance trop élevé sans quoi une  perte supérieure à la VaR s’observera rarement. Dans ce cas, une période d’observation plus longue est nécessaire à fin d’accumuler suffisamment de données et ainsi d’obtenir des résultats plus fiables. Il est donc nécessaire de choisir un niveau de confiance permettant la vérification régulière des estimations; •

Lorsque la VaR constitue la base du calcul d’exigences internes de fonds propres, le niveau de confiance doit refléter le degré d’aversion des gestionnaires aux risques associés à des événements extrêmes, il dépend donc de l’appétit des ces derniers au risque. Plus cette aversion est élevée, plus les gestionnaires désirent détenir suffisamment de fonds propres pour couvrir des rendements très bas et donc plus ils choisiront un degré élevé de confiance dans le calcul de la VaR.

•

La VaR peut également être utilisée pour comparer les risques de différentes institutions ou de différents marchés, elle peut aussi être utilisée dans le choix de  portefeuille. Dans ces cas, le degré de confiance en lui même n’a pas d’importance du moment qu’il est identique. En effet, cela n’a aucun sens de comparer deux nombres VaR calculés à des niveaux différents de probabilité.

Dans la pratique, la VaR est estimée sur base d’un niveau de confiance allant de 90 à 99%.  Notons toutefois que du point de vue réglementaire, la commission de Bâle exige que la VaR soit calculée avec un niveau de confiance de 99% pour le cas des banques. VALUE AT RISK 

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La plupart des institutions financières choisissent d’ailleurs, pour leur gestion interne, un horizon d’un jour et un degré de confiance de 95%. I.3 Utilisation de la Value At Risk  I.3.1 Utilité de la VAR

La VAR représente comme nous l’avons vue précédemment un moyen de prévisions des  pertes maximales que pourrai enregistrer un portefeuille, néanmoins la VAR représente aux vues des investisseurs et de leurs banquiers un moyen de prise de décision: si l’investisseur  juge que la VAR est trop élevé par rapport à son appétit pour le risque ou sa capacité à y faire face, il peut réduire sa position (vente d’une partie des titres) et par conséquent la réduction de la VAR. La VaR constitue donc et avant tout un outil d’aide à la gestion du risque et permet de quantifier les différentes expositions sur les marchés. Aussi elle permet: 

L’évaluation des performances:

Ce concept permet en effet d’ajuster les performances au risque qui suggère par conséquent une rémunération plus objective. Une performance ne sera réellement meilleure que si en terme de risque elle a conservé des niveaux comparables. 

L’adéquation au capital :

Les accords de Bâle ont édicté une série de règlements permettant de guider les banques dans leur adéquation de capital. Les calculs devenant souvent très complexes, le comité a toléré dans certains cas l’utilisation des modèles internes à la banque ce qui les a amené pour la  plus part à l’application de la notion de Value At Risk des capitaux gérés avec l’aide notamment des pondérations ajustées. De se fait, la VaR donne une base rationnelle pour déterminer le capital qu’il faut mettre en réserve pour absorber les pertes non anticipées.

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

Le choix du placement :

La VaR peut être utilisé pour permettre de choisir lequel, d’entre deux placements, offrira le rendement espéré le plus élevé pour un niveau de risque fixé. Dans ce cadre, la VaR aide dans l’élaboration d’une stratégie de placement.  I.3.2 Contexte d’utilisation de la VAR:

Le concept de la VaR provient du fait qu’il est nécessaire de réévaluer des positions au prix de marché qui sont à l’origine de pertes ou de profits. Si les prix de marchés changent, la réévaluation se trouve donc affectée. La réévaluation des positions à ces nouveaux prix donne une idée de la sensibilité des portefeuilles de la banque en terme de pertes et profits à une variation des prix de marché. Ces prix peuvent varier de manière inégale, parfois même de manière dramatique et imprévue, d’où la nécessité de réévaluer les positions en se fixant des scénarios de marché. A partir de cette réévaluation, on peut calculer le montant de pertes  potentielles donc la VaR. Bien que la VaR puisse en théorie être utilisée pour la quantification des risques de marché, des risques de crédit, des risques de liquidité et des risques opérationnels, seule son application aux risques du marché est aujourd’hui réellement opérationnelle .  I.3.3 Réglementation de la VAR:

Deux organismes de contrôle font autorité dans le domaine de la réglementation du Risk Management et par suite concernant la solvabilité des banques en tant que principales gestionnaires de portefeuilles. Ces deux organismes sont : le Comité de Bâle et la Banque des Règlements Internationaux (BRI). Les règles actuelles concernant le calcul de la VaR pour une institution financière sont les suivantes : la VaR doit être calculée sur un horizon de dix jours pour un niveau de probabilité de 1%. On doit recourir à au moins une année d’observations pour calculer cette VaR. L’institution financière doit prendre en compte plusieurs catégories de risques.

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La BRI et le Comité de Bâle recommandent de multiplier la valeur de la Value At Risk pour une période de 10 jours par un multiple pour déterminer le capital nécessaire permettant de couvrir les engagements. Ainsi, la formule suivante indique le montant des capitaux requis  pour exercer selon les normes prudentielles prudentielles : Capitaux requis =3xVaR+minimum fixé  I.3.4 Précautions Précautions à prendre prendre lors de l’utilisation l’utilisation de la VAR:

Lors de l’utilisation de la méthode VAR, il faut garder à l’esprit les indications suivantes: • Pour un même portefeuille, les institutions financières peuvent trouver des VAR

différentes à cause de l’utilisation de paramètres divergents, particulièrement en ce qui concerne l’intervalle de confiance et les périodes de détention du portefeuille. rendements/risques • Certains modèles d’analyse se basant sur des relations linéaires rendements/risques sont écartés dans la pratique pour des raisons de simplification et pour que la modélisation soit acceptable. • La notion de VAR ne prend pas en considération le décalage qui existe entre le

moment de la prise de décision de liquidation des positions et le moment ou cette dernière survient effectivement. Conclusion, il est important lors des analyses basées sur la VaR , de considérer ces mises en garde afin de ne pas interpréter de manière trop hasardeuse les résultats qu'une analyse de Value at Risk pourrait générer. I.4 Avantages et inconvénients de la value at Risk  I.4.1 Avantages Avantages de la VAR: VAR:

La value At Risk présente certains avantages et qui se résument comme suit:

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•

Les mesures traditionnelles du risque tel que la variance ou la déviation standard ( σ) et le degré de sensibilité ( β) ne donne pas une perception de l’envergure des pertes  possibles, mais simplement une information sur le pourcentage de la déviation du prix ou du rendement de l’actif par rapport à sa moyenne. Par contre la mesure VaR donne une perception du montant des pertes dans un horizon de planification donné avec une  probabilité associée à ces pertes.

• Le second avantage de la VAR est qu’elle n’est pas associée à une distribution

normale ce qui n’est pas le cas de l’écart type et du bêta qui sont des mesures de risque liées à la loi normale. Il est bien connu que les rendements des titres n’obtempèrent  pas à une loi normale. D’où l’avantage indéniable de la VaR sur les mesures de risques classiques qui sont enchâssées dans la distribution normale. • La Value At Risk présente l’avantage d’être plus facile à comprendre par des

investisseurs qui ne sont pas forcément des spécialistes en techniques de gestion de  portefeuille ou de Risk Management.  I.4.2 Inconvénients Inconvénients de la VAR

La VAR demeure selon JP MORGAN un outil d’analyse qui ne remplacera jamais le  jugement professionnel dans la gestion des risques, aussi la VAR présente certains inconvénients que nous pouvons exposer ainsi: • Jorion [1996] considère la VaR obtenue par les méthodes conventionnelles comme

étant une approximation du premier ordre. Il préconise une bonne compréhension des méthodes statistiques qui sont à la base des calculs car l'utilisation de paramètres estimés avec biais entraîne un risque ri sque d'estimation de la VaR. Par conséquent, ce risque d'estimation implique que la VaR devrait être accompagnée d'un intervalle de confiance. •

McKay et Keefer [1996], la VaR est une statistique qui aveugle les gestionnaires. En effet, selon eux, la VaR ignore les asymétries de marché, un portefeuille peut être plus exposé aux profits qu'aux pertes ou l'inverse. Ils sont d'avis que le remodelage du

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risque (risk-reshaping), complément à la gestion du risque, a été oublié. Deux  portefeuilles peuvent avoir la même VaR mais présenter une configuration de risque différente, un dont le risque peut être facilement éliminé alors que ce n'est pas le cas  pour l'autre portefeuille. Enfin, ils avancent que la VaR renforce la notion populaire que les institutions financières font de l'argent en s'exposant aux risques de marché. Alors qu'en réalité la VaR, selon eux, devrait tendre vers zéro et tous les risques de marché devraient être couverts. •

Christoffersen et Diebold [1997] ont montré qu'avec un horizon de prévision de quelques jours, l'utilisation de prévisions conditionnelles pour estimer la volatilité, où les données les plus récentes ont plus de poids, ne donnaient pas de meilleurs résultats que l'utilisation de distributions inconditionnelles comme distributions de prévisions. La raison est que les données historiques récentes donnent peu d'information sur la  possibilité qu'un événement extrême survienne, spécialement spécialement dans le cas de moyennes mobiles exponentielles de Risk Metrics.

sous-jacentes à la VaR, • Culp, Miller et Neves [1998] soulignent qu'une des hypothèses sous-jacentes soit celle de la stabilité du portefeuille pour l'horizon de la VaR, peut devenir  problématique pour les VaR dont l'horizon est étendu. Selon eux, lorsque l'exposition à un certain niveau de risque est intrinsèque aux activités d'une entreprise, la VaR devrait être accompagnée des profits espérés. Également, la VaR n'est pas utile pour tous les types d'entreprises, particulièrement les firmes commerciales doivent être  prudentes avec la VaR, qui devrait servir d'outil de surveillance et de diagnostic. Ils rappellent également que la VaR n'est pas un substitut à une bonne gestion et un bon système d'information.

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SECTION II: FONDEMENTS THEORIQUES DE LA VAR

II.1 VaR et distribution des rendements Dans la réalité, il est très rare que la distribution des rendements d’un portefeuille de titres soit une distribution normale, ainsi, deux paramètres de la distribution des rendements sont de toute première importance pour calculer la VaR. Le premier paramètre est le coefficient d’asymétrie ou le Skewness et il mesure le degré d’asymétrie de la distribution. Il se définit comme suit :

Ou E(.) est l’espérance et V(.) est la variance. E, dans les petits échantillons est estimée par les moyennes arithmétiques des réalisations de la variable aléatoire:

 _ Où µ est estimée par x et T est le nombre d’observations.

Par ailleurs, on estime ơ   ² par:

Ce qui nous donne le skewness:

Si S=0, alors la distribution est symétrique, à l’instar de la distribution normale. Si S>0, alors la densité de la distribution s’étale vers la droite. Et on a une asymétrie positive.

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Si S<0, alors la densité de la distribution s’étale vers la gauche. Et on est en présence d’asymétrie négative.

Le deuxième paramètre qu’on doit connaître d’une distribution est le coefficient d’aplatissement ou le Kurtosis (k). Comme son nom l’indique, le coefficient d’aplatissement

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d’une distribution mesure son degré d’aplatissement. Il est associé à l’épaisseur des queues (tails) de la distribution. On le définit comme suit:

Dans la pratique on estime ce coefficient de la façon suivante : l’espérance E est estimée par la moyenne de l’échantillon, c’est à dire :

Ainsi, le Kurtosis est :

Si K=3, il n’y a pas de biais leptocurtique. On dit alors que la distribution est mésocurtique comme c’est le cas pour la distribution normale qui sert de point de référence. Par ailleurs, si K>3, on est confronté au cas d’une distribution leptocurtique. Plus communément, on dit qu’une telle distribution présente des queues épaisses ( fat tails) , cela toujours en rapport avec les extrémités d’une distribution normale , comme présenté dans la figure suivante :

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Finalement, si K<3, on parle de distribution platicurtique. Plus communément on dit qu’une telle distribution présente des queues minces ( thin tails) .Cela toujours en rapport avec les extrémités d’une distribution normale. Si les coefficients estimés d’asymétrie et d’aplatissement sont respectivement près de 0 et de 3 pour une distribution donnée, on peut conclure qu’on est en présence d’une loi normale . Comme c’est toujours le cas en statistique, un simple coup d’oeil sur un graphique ne suffit  pas pour mesurer les déviations de ces coefficients par rapport à la normale. Il faut développer un test pour juger du caractère significatif de ces déviations. Le test de Jarque et Bera (1981) est conçue à cette fin. Ce test est défini sur la somme des coefficients d’asymétrie et d’aplatissement élevés au carré. Plus précisément, le test de Jarque et Bera (JB) est basé sur la statistique suivante :

Le test d’hypothèse est le suivant : l’hypothèse nulle H0 est que la distribution est normale alors que l’hypothèse alternative H1 est que la distribution ne l’est pas. La règle consiste à

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rejeter H0 si la statistique JB est plus grande que

avec deux degrés de liberté au seuil de

signification de 5%. II.2 Méthodologies de la VAR Il existe deux méthodologies ou deux approches pour obtenir la VaR à partir des distributions des probabilités ou des rendements d’un portefeuille d’actifs : II.2.1 – Approche générale : La première méthodologie est ce qu’on appelle l’approche générale ou non paramétrique. Cette approche se base sur le fait qu’on connaît déjà la distribution empirique des rendements du portefeuille. Dans ce cas on peut obtenir la VaR à partir du percentile ( zq) correspondant à la probabilité et à la loi de distribution des rendements comme il était le cas dans l’exemple explicatif précédent (q=95%, distribution normale=> zq =1,65) .L’approche générale regroupe deux méthodes d’estimation de la VaR : la méthode de simulation historique, et la méthode de simulation Monté Carlo. II.2.2 Approche paramétrique  : La deuxième approche et l’approche paramétrique, dans laquelle on ne connaît pas la réelle distribution empirique des rendements mais une distribution paramétrique est utilisée, cette distribution s’ajuste le plus possible aux données. Cette approche inclus la méthode analytique de la matrice variance-covariance pour calculer la Value At Risk. La caractéristique clé de l’approche paramétrique est la supposition que la fonction de distribution des rendements présentée plus haut correspond à l’hypothèse la plus facile et la  plus utilisée en pratique et qui considère que cette fonction correspond à une distribution normale. Mais comme cette hypothèse à l’avantage de simplifier considérablement l’estimation de la VaR elle présente aussi l’inconvénient de ne pas être très réaliste empiriquement.

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L’avantage le plus significatif de l’approche générale (non paramétrique) en comparaison avec l’approche paramétrique est qu’elle ne requiert l’imposition d’aucune hypothèse concernant les volatilités et les rendements, ni concernant la corrélation entre eux, ni concernant la distribution elle-même.

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Dans le chapitre précédent nous avons étudié les différents aspects théoriques de l’approche Value At Risk. Notre objectif dans ce chapitre est de quantifier la perte maximale, qui peut survenir à un portefeuille d’actions représentatif, constitué par l’ensemble des ordres exécutés  pour le compte d’un client de BMCI Bourse pour ce faire on appliquera les différente méthodes de la VAR sur le portefeuille représentatif choisi. Il était clair que l’étape critique dans la détermination de la VaR est l’obtention de la distribution des changements de valeur du portefeuille, c'est-à-dire des gains et des pertes  potentiels. Cette distribution peut être obtenue de trois façons. Une première approche consiste à supposer que les variables financières suivent des distributions normales. Le calcul de la VaR se trouve alors simplifié car il dépend uniquement des valeurs espérées et de la matrice variance-covariance des facteurs de risque. L’approche de la matrice variancecovariance est celle qu’a adopté  RiskMetrics pour calculer la VaR.

La deuxième technique utilise la simulation historique, qui consiste à réévaluer le  portefeuille à l’aide des scénarios passés du marché. Une troisième méthode d’estimation dite méthode Monte-Carlo, utilise une modélisation aléatoire des facteurs de risque et simule un grand nombre de trajectoires possibles de ces facteurs. Le portefeuille est ensuite réévalué chaque fois et une distribution des gains et des  pertes est de nouveau obtenue.

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SECTION I: DESCRIPTION DES DONNEES

I.1 Présentation des indices boursiers L’indice boursier est un instrument qui permet de mesurer la variation générale d’un échantillon de valeurs cotées choisies par les spécialistes, et qui sont jugées représentatives de l’ensemble du marché. Le choix de ces valeurs est effectué selon des concepts variés (Fréquence de cotation, importance de la capitalisation boursière, degré du flottant). Les indices permettent aussi de mesurer les performances boursières des investisseurs et des gestionnaires de portefeuilles. Les indices phares de la place de Casablanca sont le MASI et la MADEX. 

Le MASI: est un indice nu, de capitalisation. De type transversal, il intègre toutes les

valeurs de type actions, cotées à la Bourse de Casablanca. Il est ainsi un indice large,  permettant de suivre de façon optimale le développement de l’ensemble de la population de valeurs de la côte. Le MASI est ainsi composé de toutes les valeurs de type ACTION inscrites à la côte de la Bourse de Casablanca. Le nombre de valeurs composant son échantillon évoluera ainsi, en fonction des admissions à la côte, des radiations, et des opérations de fusion, absorption. etc. Le Moroccan All Shares Index, comprend à son lancement, au 1er Janvier 2002, 55 valeurs et leurs lignes secondaires, et a pour base 1000, au 31 décembre 1991. 

Le MADEX: indice compact , est composé des valeurs les plus actives de la côte, en

terme de liquidité mesurée sur le semestre précédent, intégrant donc les valeurs cotées en continu sur la place casablancaise. Ce dernier  se révèle ainsi un instrument particulièrement adapté à la gestion de portefeuille, il permet ainsi de bénéficier  d’une vision plus fine de l’évolution des différentes capitalisations inscrites sur la place casablancaise, et de leurs contributions à l’activité du marché. L’échantillon du MADEX est composé des valeurs cotées en continue. Représentatif des valeurs les plus actives, et dont les variations sont fortement corrélées à l’ensemble du marché, le MADEX est destiné à devenir le principal indice de référence. En effet, en offrant VALUE AT RISK 

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une mesure de performance ciblée, cet indice est destiné à servir de référence pour l’indexation des fonds investis en actions. I.2 Constitution d’un portefeuille-type Dans ce paragraphe nous allons constituer un portefeuille type d’un client de la BMCI, qui sera le plus représentatif possible du marché marocain. Dans le respect des règles de gestion de portefeuille, ce portefeuille devra atteindre un niveau de diversification acceptable pour réduire le risque spécifique. Le marché financier marocain est segmenté en plusieurs secteurs comme le montre le tableau (ANNEXE 1); Le choix des titres qui vont faire partie de notre portefeuille fictif tiendra compte de trois critères: •

Le titre doit être présent dans l’un des deux indices de la place le MASI ou le MADEX afin que le portefeuille soit représentatif du marché. (ANNEXE 2);

•

La valeur choisie doit détenir le meilleur coefficient de variation de son secteur afin de sélectionner les titres ayant le meilleur rapport risque/ rentabilité. (ANNEXE 3);

• Chaque titre doit représenter un degré de corrélation faible avec les autres titres des

autres secteurs afin de respecter le critère de diversification. (ANNEXE 4) En raison de la complexité des calculs de la VAR on va limiter notre portefeuille à 3 valeurs. Bien évidemment ce portefeuille ne représente que de manière succincte le marché financier marocain puisqu’il y aura des secteurs qui ne seront aucunement représentés, néanmoins on à respecter les trois critères cité ci- dessus. Ainsi notre portefeuille sera constitué des titres suivants:

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Titres

Raisons du choix

SNI

• Appartenance au deux indices; • Meilleur coefficient de corrélation du

secteur; • Faible corrélation avec les autres

titres. ITTISALAT AL MAGHRIB

• Appartenance au deux indices; • Grand poids dans la capitalisation

 boursière; • Meilleur coefficient de variation; • Faible corrélation avec les autres

titres ATW

• Appartenance au deux indices; • Le premier groupe financier au

Maroc; • Poids du secteur dans la capitalisation

 boursière; • Coefficient de variation important

dans le secteur (après celui de la BCP qui ne peut figuré dans notre  portefeuille : forte corrélation avec SBM); • Peu corrélé avec les autres titres.

Le poids de chaque titre dans le portefeuille sera proportionnel à l’importance de sa capitalisation boursière par rapport aux autres titres sélectionnés. On retiendra pour ceci les cours de clôture de la séance du 15/02/2005  Notre portefeuille sera composé de 2000 actions départagés entre les valeurs choisies comme suit:

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Tableau4: Portefeuille d’étude

Source: élaboré par nous même à partir des données des annexes (II/III/IV)

I.3 Etude des rendements du portefeuille choisi Comme on l’a vu dans le deuxième chapitre la détermination de la distribution des rendements du portefeuille est une étape déterminante dans le calcul de la VAR de celui-ci. Après avoir choisi les valeurs de notre portefeuille et avoir segmenté ce dernier dans le  paragraphe ci-dessus, nous allons procéder maintenant à l’étude des statistiques descriptives de ses rendements afin de préciser leur loi de distribution. Pour ce faire nous allons utiliser le logiciel statistique SPSS (v. 11.5). Les données utilisées sont les rendements journaliers de notre portefeuille, ces derniers sont calculés pour la période allant du 15/02/2005 au 15/02/2006. Le rendement journalier de notre  portefeuille est calculé comme suit:

P  ( C  t  =

*560)+( C   A T W t *1040)+(  CI A M t *400)

 S N I t 

Avec: Pt: valeur du portefeuille à l’instant t; C SNI t: cours de clôture de la valeur SNI à l’instant t; C   ATW t: cours de clôture de la valeur ATW à l’instant t; C   IAM t: cours de clôture de la valeur IAM à l’instant t;

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Une fois les valeurs journalières du portefeuille calculées nous pouvons obtenir les rendements journaliers par le biais de l’équation suivante: R t = ( P t – P t - 1 ) / P t - 1

 NB: Les actions qui constituent notre portefeuille sont considérées sans dividendes pour une raison de simplification des calculs. Les résultats de ces derniers font l’objet d’un tableau (Annexe 5). Le rapport statistique donné par SPSS est qui fait l’objet de l’ (ANNEXE 6), affiche les résultats suivant: SKEWNESS « Asymétrie »

0,186

KURTOSIS « Aplatissement »

2,129

Un skewness quelque peu supérieur à 0, veut dire que nous sommes en présence d’une densité de distribution qui s’étale vers la droite est donc une asymétrie positive (histogramme Annexe 6). Un kurtosis inférieur à 3 démontre que la distribution des rendements de notre portefeuille est  platicurtique, elle représente le phénomène des queues minces par rapport aux extrémités d’une distribution normale.  Néanmoins étant donné que aussi bien le skewness que le kurtosis s’approche de 0 nous  pouvons conclure que nous sommes en présence d’une loi de distribution normale. Pour en être convaincue nous allons procéder au test de JARQUE§BERA: Le test d’hypothèses est le suivant : H0 : la distribution est normale H1 : la distribution n’est pas normale

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La règle consiste à rejeter H0 si la statistique JB est plus grande que

avec deux degrés de

liberté au seuil de signification habituel de 5%. D’après la table statistique de la loi khi deux (5%) =5,9915.  Nous pouvons calculer JB comme nous l’avons vu précédemment par le biais de l’équation suivante:

• JB=[(251*0,186²  )/6]+[(251*(2,129-3)  ²)/24] • JB=9,374112

JB est supérieur à 5,9915, ce qui nous permet de rejeter H0 et d’affirmer que la distribution des rendements du portefeuille dévie la normale.

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SECTION II: ESTIMATION DE LE VAR

Pour le calcul de la VAR et comme nous l’avons cité précédemment nous avons le choix entre trois approches à savoir : •

La VAR analytique (ou paramétrique)

• La VAR historique (ou non paramétrique) • La VAR Monté Carlo

Signalant avant tout approfondissement, que les deux premières méthodes utilisent les données du passé pour estimer les variations potentielles de la valeur du portefeuille. Nous supposons donc que le futur se comporte comme le passé: il faut donc faire l’hypothèse de la stationnarité des rendements du portefeuille. Etant donné cette condition et pour pouvoir menée à bien notre étude on va considéré que les rendements de notre portefeuille et dont nous avons fait l’étude ci- dessus suivent une loi de distribution normale.

II.1 L’approche analytique: Matrice des VC II.1.1 Rappels et notations Dans le cadre de notre étude qui concerne le marché boursier Marocain, le portefeuille est composé uniquement d’actions. On considère un portefeuille constitué de M valeurs indicées par m. On note  pt m le cours (on considère le cours de clôture) de la valeur m à la date t. Et, on définit r t m le rendement de la valeur m à la date t comme suit:  p t  −  p t − 1 m

m t 

r 

=

m

m

 p t − 1

Ainsi, on construit  Rt  le vecteur de dimension M × 1 et de composantes r t m :

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⎡ r t 1 ⎤ ⎢ 2⎥ r   Rt  = ⎢ t  ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢  M  ⎥ ⎢⎣r t  ⎥⎦

Et on note at m le nombre d’actions investies dans la valeur m à la date t. On construit alors le vecteur  At  de dimension M × 1 et de composantes a t m : ⎡ at 1 ⎤ ⎢ 2⎥ a  At  = ⎢ t  ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢  M  ⎥ ⎢⎣at  ⎥⎦

La valeur du portefeuille à la date t sera notée K t  avec:  M 

m m K t  =  ∑ at  ×  pt  m =1

On peut également s’intéresser au rendement global du portefeuille. Dans ce cas nous sommes amenés à introduire le vecteur W t  de dimension M × 1 et de composantes wt m : Soit, wt m le poids de la valeur m dans le portefeuille : at m ×  pt m

w = m t 

 M 

∑ a ×  p m =1

m t 

. m t 

 M 

∑ wt m = 1

 Nous pouvons alors écrire:

m =1

Et on a :  M 

W t   Rt +1 = T 

 M 

 M 

a ×  p m t 

m t 

× ∑ wt m × r t m+1 = ∑  M  m m m =1 m =1 ∑ at  ×  pt 

 p

m =1

m t +1

−  p

 p

m t 

m t 

=

 M 

∑ a ×  p − ∑ at m ×  pt m

m =1

m t 

m t +1

m =1

 M 

∑ at m × pt m

m =1

Supposons, que le vecteur A est constant entre la période t et t+1, le rendement global du  portefeuille s’écrit alors de manière simple:

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W t   Rt +1 = T 

K t +1 − K t  K t 

II.1.2 Principes et hypothèses de base En retenant, que le vecteur des rendements  Rt  suit une loi normale multivariée de moyenne  et de matrice de variance covariance ∑ :  Rt  ~N(

, ∑ ).

Alors on a à la date future t+1. Le rendement global du portefeuille : K t +1 − K t  K t 

Est une variable aléatoire normale de paramètres: N( W t T  µ  , W t  ∑ W t  ). T 

Et la variation du portefeuille entre la période t+1 et la période t, ou encore la fonction de  pertes et profits P&L (profit and lost) est: K t +1 − K t 

Dans ce contexte, la valeur de la VaR pour un niveau de confiance 1- α   est donnée par : P r  ( K t +1 − K t  ≥ -VaR α  )=1- α  (1),

On dit, qu’on est en présence d’une perte si la valeur du portefeuille dans un jour est inférieure à sa valeur d’aujourd’hui.

VALUE AT RISK 

66

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Figure 4: Représentation graphique de la VAR Analytique

Source: Les cahiers de la finance, Akimou Ossé, mai 2002 Généralement, pour une période de T jours, la mesure de la VaR se définit à partir de la relation suivante : Pr ( K t +T  − K t  ≥ -VaR α  )=1- α 

Comme: K t +1 − K t  K t 

,

Est une variable aléatoire normale de moyenne W t T  µ  et de variance W t T  ∑ W t , nous avons alors l’équation suivante : (On rappelle que si  X  ~ N ( , σ )  alors

 X  −

σ 

~ N (0,1)

⎛  K  t  + 1 − K  t  T  − W  t  µ  ⎜ K  t  ≥Φ Pr  ⎜ T  ⎜ W  t  ∑ W  ⎜ ⎝ 

 ⎞ ⎟ −1 ( α  ) ⎟ = 1 − α  ⎟ ⎟  ⎠

Où Φ −1 est l’inverse de la fonction de répartition d’une loi normale centrée et réduite. Or nous savons que:

VALUE AT RISK 

67

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Φ −1 ( α  )=- Φ −1 (1- α  )

Avec Φ −1 ( α  ) le quantile à α   % de la loi gaussienne.  Nous obtenons alors que : T  T  Pr [ K t +1 − K t  ≥ ( W t  µ - Φ −1 (1- α  ) W t  ∑ W t  ) × K t   ]= 1 − α  (2)

On sait que la fonction de répartition de la loi normale est une fonction strictement croissante et continue donc on a :

1 − φ (a ) = 1 − φ (b) ⇔ a = b (3) En appliquant (3) aux relations (1) et (2) on obtient:

VaR α  =( Φ −1 (1- α  ) Posons

W t  ∑ W t  - W t  µ  ) × K t  T 

T 

=0,

La VaR devient : VaR α  = Φ −1 (1- α  ) W t T  ∑ W t  × K t  (4) Cette méthode de calcul de la VaR est appelée aussi la méthode de variance-covariance,  puisqu’elle dérive directement de la matrice de covariance ∑ . Par la suite, on peut interpréter facilement l’équation (4):

Puisque, W t T  ∑ W t  × K t  est l’écart type de la variation du portefeuille (car K t +1 − K t  suit une loi normale de moyenne W t T µ  × K t  et de variance W t T  ∑ W t  × K t 2 ) que nous pouvons l’assimiler à un risque de volatilité. Et Φ −1 (1- α  ) est un coefficient que nous notons  β   , nous obtenons donc une relation linéaire entre le risque de volatilité et la perte potentielle:

VALUE AT RISK 

68

ABOUELJINANE.H

VaR= β  *risque–volatilité. On passe ainsi d’une mesure de risque comme volatilité à une mesure de risque comme quantile. La VaR analytique repose sur deux hypothèses qui permettent de simplifier son calcul: ♦ la normalité des rendements, ♦ la relation linéaire entre les cours des actions et la valeur du portefeuille:  M 

K t  =  ∑ at  ×  pt  m

m

m =1

Cependant, la principale difficulté de cette méthode est d’estimer la matrice de covariance. L’expression de la VaR dans l’équation (4), obtenue pour une période de détention d’un jour  peut se généraliser à une période de détention de T jours. Dans ce cas, ∑ représente la matrice de covariance du vecteur des rendements pour T jours, On a la VaR pour un horizon de 1 jour est égale à: VaR α ,1 = Φ −1 (1- α  ) W t T  ∑ W t  × K t  Il est démontré que: VaR

α  , T 

=

T  .VaR

α  ,1

Ainsi Nous calculerons désormais la VaR sur un jour et celle sur T jours est obtenue en multipliant la première par la racine de T.  Nous notons  Rt 0 − n le vecteur rendement observé correspondant à la date t 0−n avec n=0,.., N-1 et N la taille de l’historique. Avec t 0 la date de référence qui correspond à la date de calcul de la VaR.

VALUE AT RISK 

69

ABOUELJINANE.H

II.1.3 Estimation de la matrice de covariance: les deux méthodes de calculs On a recours en général à deux approches pour estimer la matrice de covariance: L’estimation par moyenne mobile uniformément pondérée ou (Uniformly Weighted



Moving Average Estimates): UWMAE L’estimation moyenne mobile avec pondération exponentielle ou (Exponentially



Weighted Moving Average Estimates): EWMAE 

La méthode UWMAE

Pour estimer ∑ , la méthode UWMAE consiste à considérer { Rt 0 −( N −1) ,…, Rt 0 −1,  Rt 0 } comme une réalisation d’un échantillon, et ensuite appliquer un estimateur de la matrice de covariance. Ainsi on donne le même poids à chacune des observations qu’elles soient récentes ou éloignées. L’estimateur de la matrice de covariance est donné par: ∧

∑=

1

∧

 N −1

∧

∑ ( R t 0 − n − µ )( R t 0 − n − µ ) T 

 N  n = 0

∧

Supposons, que l’estimateur du vecteur moyenne µ  = 0 . Alors, l’estimateur de la matrice de covariance devient : ∧

∑ =

∧

∑ ij =

Où

1

 N  −1

 N 

n =0

∑ r t i0 − n r t 0 j − n  

∧

Et, ∑ ij = σ ij si i  ≠  j

VALUE AT RISK 

∑

 N 

 N  − 1

∑

(  R

n = 0

t 0 − n

)( R

t  0 − n

) T 

avec i,  j ∈ {1,2,.., M }

∧

et

1

ij

= σ 

2 i

sinon.

70

ABOUELJINANE.H



La méthode EWMAE

La méthode EWMAE consiste à varier la volatilité dans le temps, en accordant un plus grand  poids aux données les plus récentes. Ce qui permet de s’adapter plus rapidement aux changements des conditions du marché et de mieux tenir compte des évènements extrêmes. On commence par calculer la volatilité historique σ t 0 , puis on parcourt chronologiquement les rendements historiques en actualisant la volatilité à l’aide de la formule suivante: (σ t i ) 2 = λ (σ t i−1 ) 2 + (1 − λ )(r t i−1 ) 2 σ t ij = λσ t ij−1 + (1 − λ )r t i−1 r t  j−1

Le paramètre λ   appelé facteur de décrépitude (decay factor), obtenue par la maximisation de la fonction de vraisemblance et tel que λ  ≤ 1 . En pratique J.P.Morgan a choisi λ  = 0,94  comme étant le facteur optimal.  Notre estimateur devient:

∧

 N  − 1

∑ = ∑ (1 − λ  ) λ n R t 0 − n R t 0 − n

T 

n=0

On note que:  N  − 1

lim

(1 − λ  ) ∑ λ n = 1

 N   ⎯   ⎯ → ∞

n=0

Or la somme des poids n’est pas égale à 1 pour N finie. Pour y remédier, on modifie l’estimateur:

∧

∑ =

VALUE AT RISK 

1 − λ  1 − λ 

 N 

 N  − 1

∑

n=0

71

n

λ   R t 0 − n R t 0 − n

T 

ABOUELJINANE.H

∧

∑ ij =

∧

On a ∑ ij = σ ij si i ≠  j

1 − λ   N 

1 − λ 

 N  − 1

n i  j ∑ λ  r t 0 − n r t 0 − n   avec i,  j ∈ {1,2,.., M }

n=0

∧

et

2

∑ ij = σ i sinon.

 Nous remarquons aussi que les poids constants sont un cas particulier des poids exponentiels  puisque:

lim (1 − λ )λ n /(1 − λ  N  ) =

λ  ⎯   ⎯→ 1

1  N 

II.1.4 Principe de diversification de Markowitz

Le modèle de Markovitz pour l’analyse des portefeuilles recommande la diversification des sources du risque au sein d’un portefeuille. L’utilité de la diversification peut être illustrée à travers la VaR. Si on note  R p le rendement du portefeuille, on a alors:

2

 R  p = ∑ w m r m m =1

Avec r m le rendement de la valeur m et wm le poids de la valeur m dans le portefeuille.

Et si on considère, pour simplifier, un portefeuille composé de 2 valeurs on a:

2

2

2

2

2

σ  p = w1 σ 1 + w2 σ 2 + 2 w1w2 ρ 12σ 1σ 2

Avec σ  p  l’écart type du rendement du portefeuille, σ 1 ,σ 2  les écarts types respectivement des rendements des valeurs 1et 2 et  ρ 12  la corrélation entre les rendements des deux valeurs.

En remplaçant dans l’équation (4), la VaR du portefeuille est donc:

VALUE AT RISK 

72

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VaR p = φ −

1

(1 − α ) w1 2σ 1 2 + w2 2σ 2 2 + 2w1 w2 ρ 12σ 1σ 2 × K  p

Avec K  p la valeur du portefeuille.



Si la corrélation entre les deux actifs est nulle (  ρ 12 =0) on a: 2

2

2

2

VaR p = φ −1 (1 − α ) w1 σ 1 + w2 σ 2 × K  p = VaR12 + VaR22

On sait que ∀ x, y > 0

2

 x +  y >  x +  y

2

On a alors: VaR p < VaR1 + VaR2



Si les deux actifs sont parfaitement corrélés (  ρ 12 =1) on a alors: 2

2

VaR p = VaR1 + VaR2 + 2VaR1VaR2 = VaR1 + VaR2

En général, la corrélation est imparfaite et la VaR du portefeuille global est inférieure à la somme des VaRs des valeurs qui le composent. Pour diminuer significativement la VaR du portefeuille global il convient d’incorporer des valeurs faiblement corrélées entre eux. C’est ce qu’on doit pratiqué en général quand les limites de la VaR sont dépassées. II.1.5 Application de l’approche au portefeuille d’étude 

Données d’étude:

 Notre date de référence est le 15/02/2006 qui correspond à t  = t 0 et notre objectif est de calculer la VaR du portefeuille d’1 jour pour les quantiles d’ordre 95%, 97,5%, 99% en Dirhams. VALUE AT RISK 

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On considère l’historique des cours de clôture des six valeurs constituant notre portefeuille sur une période N. Dans le but de comparer les résultats on utilisera trois périodes différentes à savoir 30 séances, 60 séances et 120 séances. En général, on suppose, par commodité, que les données sont espacées d’une unité de temps équivalente à la longueur de l’horizon de la VaR. Ce qui revient à dire que nous allons calculer les rendements quotidiens. En pratique, on ne justifie pas empiriquement l’hypothèse de la normalité des rendements. En effet, on invoque la pratique standard en finance à savoir d’accepter la multinormalité du vecteur des rendements si les distributions marginales (les distributions des rendements par valeurs) peuvent être raisonnablement, supposées de loi Normale. 

Résultats et interprétations:

1) Estimation de la matrice de covariance des rendements

 Nous expliciterons dans ce qui suit que les résultats relatifs à un échantillon de 30 jours. ∧

Tableau 5 : Estimation de la matrice de variance covariance des rendements ∑ sur période de 30 jours avec la méthode UWMAE Matrice de covariance estimée par UWMAE 0,00047265 0,00022674 0,0001881 0,00022674 0,00064788 0,00022744 0,0001881 0,00022744 0,00047742

Source : Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006 ∧

Tableau 6 : Estimation de la matrice de variance covariance des rendements ∑  sur une période de 30 jours avec la méthode EWMAE ( λ  =0,94) Matrice de covariance estimée 0,000543942 0,0001688 0,000168804 0,00079716 0,000212978 0,0003264

par EWMAE 0,00021298 0,0003264 0,00047756

Source : Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

VALUE AT RISK 

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2) Calcul de l’écart type du rendement du portefeuille

Tableau 7 : Ecart type estimé du rendement du portefeuille par la méthode UWMAE pour les périodes 30, 60, 120 jours.

Période 30 60 120

Ecart type estimé du rendement du portefeuille 0,02146 0,01817 0,01483

Variation -15,32% -18,39%

Source : Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

Tableau 8 : Ecart type estimés du portefeuille par la méthode EWMAE ( λ  =0,94 ) pour les périodes 30, 60, 120 jours.

Période 30 60 120

Ecart type estimé du rendement du portefeuille 0,02289 0,02176 0,02157

Variation -4,92% -0,87%

Source : Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

En comparant les deux tableaux, on remarque que les variations entre les écarts types estimés du rendement du portefeuille, issus des différentes périodes, ont été considérablement diminuées en utilisant la méthode EWMAE.

3) Calcul de la VaR à 1 jour pour différents niveaux de confiance

Le tableau ci-dessous, présente les résultats pour les quantiles les plus utilisés dans la mesure de la VaR. Tableau 9: différents quantiles de la distribution N (0, 1). 1- α  0,90 0,95 0,975 0,99

Quantile de la distribution N (0,1) 1,282 1,645 1,960 2,362

Source : élaboré par nous même a partir de Excel (la fonction loi normal)

VALUE AT RISK 

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On représente sur le tableau qui suit toutes les VaRs individuelles ainsi que la VaR globale du  portefeuille. La matrice ∑ a été estimée par EWMAE ( λ  =0,94) sur une période de 120 jours. Ce type de tableau est appelé par les professionnelles Rapport de la VaR , car il permet entre autre, de localiser les positions les plus risquées du portefeuille. Tableau 10 : Rapport de la VaR pour le portefeuille, Estimation: méthode EWMAE ( λ  =0,94) sur une période de 120 jours. Position SNI

ATW

IAM

Nombre d’actions 560 1040 400 Valeur actuelle 644000 1768000 49600 en Dhs Ecart type estimé du rendement 0,022477793 0,02638084 0,020294324 VaR Individuelles 1 jour à 95 % en Dhs % de la val.act 1 jour à 97,5 % en Dhs

Portefeuille Globale 2461600 0,021571904 VaR Somme VaRi Portefeuille

23812,52

76724,98

1655,85

102193,36

87351,80

3,70%

4,34%

3,34%

4,15%

3,55%

28372,37

91417,00

1972,93

121762,30

10407874

% de la val.act 1 jour à 99 % en Dhs

4,41%

5,17%

3,98%

4,95%

4,23%

34191,60

110166,81

2377,59

146736,00

125425,50

% de la val.act

5,31%

6,23%

4,79%

5,96%

5,10%

Source : Elaboré par nous même à partir des cours boursiers des valeurs du 15/02/2005 au 15/02/2006

Si on compare la VaR globale du portefeuille à la somme des VaRs individuelles, on remarque que cette somme est toujours supérieure à la VaR global du portefeuille. Ce constat se justifie par le principe de la diversification du portefeuille introduit par Markovitz. II.2 L’approche de la simulation historique II.2.1 Méthodologie La VaR historique est entièrement basée sur les variations historiques de la valeur du  portefeuille. On suppose qu’on dispose d’un historique de taille N. VALUE AT RISK 

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Et on calcule pour chaque date t=(t0-1,...,t-N) la variation du portefeuille. On détermine ainsi  N variations potentielles. Ainsi, on construit d’une façon implicite une distribution empirique à partir de l’historique. Puis, on extrait de cette distribution le quantile à α   %. Pour cela, il faut ordonner les N pertes potentielles par ordre croissant. Ainsi, nous supposons que les pertes potentielles sont ordonnées. Nous obtenons alors un ensemble {L 1 ,………, L n ,………L N } avec L n ≤  Lm  quel que soit n ≤ m On sait que Pr ( L  ≤  Li )=

i  N 

Avec  L = K t +1 − K t 

Pr ( L ≤  Li )= α  =

On cherche  Li tel que

i  N 

Alors si N × α   est un nombre entier, i =  N × α   et on prend la valeur absolue de la N × α  ième plus petite valeur. Exemple: Pour un niveau de confiance de 99 %, la VaR correspond à la première perte  potentielle

 L1

 si N=100.

Lorsque  N × α    n’est pas un nombre entier, il faut alors calculer la VaR par interpolation linéaire:

VaR=

L n* +(N × α  -n * ) (L n*+1 -L n* )

Avec n* = [N × α  ] l’entier inférieur le plus proche de N × α  . Par exemple, si nous considérons un historique de 250 jours et un intervalle de confiance de 99%, nous avons

VaR =

VALUE AT RISK 

L2 + (

77

1 ) (L 3 – L 2 ) 2

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Contrairement à la VaR analytique, la VaR historique n’impose pas d’hypothèses sur la loi de distribution des rendements. Vu que cette méthode est simple et facile à implémenter, elle est très utilisée dans la pratique. Néanmoins, elle présente quelques inconvénients car l’estimation d’un quantile a une vitesse de convergence beaucoup plus faible que les estimateurs de la moyenne, de la variance, de la médiane, etc. Ceci est dû au fait que l’estimation d’un quantile est une estimation locale qui nécessite donc  beaucoup d’observations pour réduire l’erreur d’estimation du quantile. En effet, l’estimation du quantile consiste à trouver la valeur optimale n* = [N × α  ].Cela revient aussi à chercher n* tel que : Pour n*-1 on a

Pr ( L ≤  L

Et pour n*+1

Pr ( L ≤  L

n* −1

*

) < α 

n +1

) > α 

L’erreur d’estimation sur le quantile est faible si ces deux probabilités sont proches de α  . Sinon l’erreur peut être très importante. II.2.2 Application à notre portefeuille On représente dans ce qui suit les résultats de la mesure de la VaR historique à 1 jour pour différents niveaux de confiance et pour un historique de 250 et de 120 jours. Tableau 11 : VaR Historique d’ 1 jour á 0,95% ; 0,975%; en DH du portefeuille sur la base d’un historique de 250 et 120 séances

Val Port

2461600

VaR 1 jour en Dhs

Taille échantillon

0,95%

% Port

0,975%

% Port

0,99%

% Port

250

31888,00

1,30%

37968,00

1,54%

62208,00

2,53%

120

36852,00

1,50%

43944,00

1,79%

61118,40

2,48%

II.3 L’approche Monté Carlo II.3.1 Concept de base

VALUE AT RISK 

78

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La VaR Monté Carlo repose sur la simulation des rendements qui suivent une loi de distribution admissible avec l’historique. Cette méthode consiste à calculer la variation du  portefeuille à partir des rendements simulés. De façon similaire à la VaR historique, on calcule le quantile correspondant. Cependant, ces deux méthodes sont différentes dans la mesure que la VaR historique utilise les rendements  passés, alors que la VaR Monté Carlo utilise les rendements simulés. La puissance de ce modèle dépend d’une part des covariances utilisées pour la simulation des rendements, leur capacité à refléter la réalité, et d’autre part du nombre d’observations simulés car conformément à la théorie des grands nombres, plus le nombre est grand plus il y a une tendance vers les vraies valeurs. II.3.2 Méthodologie 

Génération des nombres pseudo aléatoires:

Dans une application de Monté Carlo, la distribution du vecteur aléatoire est connue. On cherche, alors, à construire une réalisation de ce vecteur pour l’utiliser dans l’analyse. Historiquement, les réalisations sont construites avec un processus physique, par exemple le lancement d’un dé. De nos jours, l’implémentation de la méthode de Monté Carlo se fait par ordinateur en employant des algorithmes spécifiques qui génèrent les réalisations. Théoriquement, une réalisation n’est considérée « aléatoire » que si elle réussit à passer tous les tests empiriques. Il est évident qu’une telle définition est trop rigide pour être utilisée en pratique. Ainsi, on dit qu’une réalisation est pseudo aléatoire si elle passe un certain nombre de tests empiriques que l’utilisateur considère comme étant importants. ⎛  r t 1  ⎞ ⎜ ⎟ On suppose qu’on veut générer N réalisations du vecteur rendement:  Rt  = ⎜ . ⎟ ⎜ r  M  ⎟ ⎝  t   ⎠

Avec r m le rendement de la valeur m.

VALUE AT RISK 

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Dans le contexte de la VaR, on s’intéresse exclusivement aux nombres ui

[ n]

 avec n=1,.,N et i=[(n-1)M]+1,…,nM

Ces nombres sont pseudo aléatoires pour la distribution uniforme U (0,1). De même on utilise des vecteurs pseudo aléatoires u [ n ]  pour la distribution uniforme multivariée U  M [(0,1) M  ] . De tels vecteurs peuvent être construits en générant M nombres pseudo aléatoires. Ainsi, le vecteur u [ n ] a pour composante les nombres u i [ n ] avec: i=[(n-1)M]+1,…, nM En pratique, on a recours pour générer des nombres aléatoires à des algorithmes déterministes implémentés sur ordinateur appelés générateurs de nombres aléatoire. En général, ils fonctionnent en utilisant une ou plusieurs valeurs initiales; ces valeurs peuvent être spécifiées  par l’utilisateur ou par l’horloge interne de l’ordinateur. Ensuite, le générateur calcule les nombres d’une manière récursive en se basant sur la valeur initiale. Dans le cadre de ce travail, on a utilisé exclusivement la fonction  ALEA( ), fournie dans le logiciel Excel, comme générateur de nombres pseudo aléatoires. Ensuite, nous effectuerons le test de Kolmogorov Smirnov pour tester l’adéquation du modèle. Les nombres pseudo aléatoires fournis par Excel sont distribués selon la loi uniforme U (0,1), alors qu’il est plus utile, pour la mesure de la VaR, de générer des nombres pseudo aléatoires de différentes distributions de probabilité. En particulier, la loi normale univariée et multivariée. 

Méthode de transformation inverse:

La méthode de transformation inverse permet de générer des nombres pseudo aléatoires  xi [ n ] (avec n=1..N et i=(n-1) × M+1,…,n × M) de distributions différentes de la loi uniforme à partir des nombres pseudoaléatoires u i [ n ] (avec n=1..N et i=(n-1) × M+1,…,n × M). De même des vecteurs pseudo aléatoires x [ n ] à partir des vecteurs pseudo aléatoires u [ n ].

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On considère une variable aléatoire qui suit la loi normale standard dont la fonction de répartition est φ  avec une fonction inverse φ −1 . Les nombres pseudo aléatoires  xi [ n ] issues de la distribution normale centrée réduite à partir de nombres pseudo aléatoires u i [ n ] sont générés par la transformation suivante:

 xi

[ n]

[n]

= φ −1 (ui )

En appliquant l’inverse de la fonction de répartition cumulée de la loi normale centrée réduite fournie, dans l’Excel, par la fonction  LOI.NORMALE.STANDARD.INVERS, aux nombres  pseudo aléatoires u i [ n ] générés, précédemment par la fonction  ALEA, on génère des nombres issus de la loi normale N (0,1). Et on obtient à partir des nombres pseudo aléatoires  xi [ n ] issus de la loi normale N (0,1) les nombres pseudo aléatoires  yi [ n ] issus de la loi normale N ( µ , σ  2 ) en effectuant la transformation suivante:

 y i

[ n]

= σ  xi [ ] + µ  n

En ce qui concerne, les vecteurs pseudo aléatoires  y

[ n]

, leur génération se fait à partir des

vecteurs pseudo aléatoires  x [ n ]  en utilisant une transformation plus élaborée. En particulier, on a besoin d’une matrice issue d’une factorisation de Cholesky.



Factorisation de cholesky:

Les nombres non négatifs (positifs ou nuls) admettent des racines carrées contrairement aux nombres négatifs. Un raisonnement similaire peut être étendu pour les matrices. Ainsi, toute matrice D semi définie positive peut être factorisée sous la forme:  D = CC T 

VALUE AT RISK 

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Où C est une matrice carrée, qu’on peut considérer, comme étant une «matrice racine carrée» de D. La matrice C n’est pas unique. Ainsi, plusieurs factorisations d’une matrice donnée D sont possibles. Une factorisation D = CC T  , particulièrement simple à exécuter, est connue sous le nom de  factorisation de Cholesky .

Toute matrice semi définie positive admet une factorisation sous la forme  D = GG T  où G est une matrice triangulaire inférieure. De plus la matrice G est unique si la matrice D est définie ∧

 positive. Concernant la mesure de la VaR, notre matrice D d’intérêt n’est autre que ∑ . 

Vecteurs pseudo aléatoires multinormaux :

Pour les vecteurs pseudo aléatoires  y [ n ] issus de la loi multinormale N  M  ( , ∑) , ils sont obtenus à partir des vecteurs pseudo aléatoires  x [ n ] issus de la loi multinormale  N  M  (0,1) en effectuant la transformation suivante:  y [

n]

= Gx [ n ] + µ 

∧

Avec G est la matrice de factorisation de Cholesky de ∑ . II.3.3 Application à notre portefeuille 

Etapes de calcul:

⎛ r t 1 ⎞ ⎜ 2⎟ On suppose que le vecteur des rendements des trois valeurs  Rt  = ⎜ r t  ⎟ du portefeuille étudié ⎜ r 3 ⎟ ⎝  t   ⎠ ∧

∧

∧

est de loi multinormale  Rt  ~  N 3 ( µ , ∑) avec µ  = 0  Notre but est de générer N réalisations { R [1] , R [ 2 ] ...., R [ N ] } afin d’obtenir

VALUE AT RISK 

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{ L[1] , L[ 2 ] ...., L[ N ] } Par Lt [ n ] = W t 0 T  R [ n ] K t 0 qui correspond à la variation du portefeuille, c’est à dire la différence entre la valeur du portefeuille obtenue par chaque scénario de la simulation et la vraie valeur du portefeuille aujourd’hui  L[ n ] = K [ n ] − K t 0 avec n=1…N. Afin de comparer les résultats on a généré trois échantillons de taille respective 100,1000, 10000. Dans ce qui suit, on explicite la procédure pour un échantillon général de taille 10000. 

On génère un échantillon { u [1] , u [ 2] ,...u [10000] } de vecteurs pseudo aléatoires de loi U 3 ((0,1) 3 ) . Ce qui revient à générer 30000 nombres aléatoires pseudo aléatoires. Par conséquent, la feuille d’Excel équivalente est assez volumineuse et lente à manipuler.



On applique la méthode de la transformation inverse sur chacune des 30000 composantes

u i[

n]

de

{ u [1] , u [ 2] ,...u [10000] }

pour

générer

l’échantillon

{ x [1] , x [ 2] ,... x [10000] } où chaque composante  xi[ n ] est de loi normale centrée réduite. Ainsi on obtient un échantillon de vecteurs pseudo aléatoires de loi multinormale N 3 (0,1) . ∧



On effectue la factorisation de Cholesky pour la matrice ∑ estimée par la méthode EWMAE λ  = 0,94  sur la base d’un historique de 120 séances, pour obtenir la matrice de Cholesky associée. Puis on obtient l’échantillon aléatoire des rendements { R [1] , R [ 2] ,... R [10000] }.



Puis on calcule les variations du portefeuille Lt [ n ] = W t 0 T  R [ n ] K t 0 . Dès lors, on peut appliquer notre estimateur pour le quantile d’ordre α  ∈ {0,01; 0,025; 0,05}. Cet estimateur n’est autre que le quantile d’ordre α   des réalisations générées que Excel fournit par la fonction Centile.

Graphiquement ceci revient à chercher le quantile d’ordre α   sur l’histogramme associé aux trois échantillons.

VALUE AT RISK 

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

Résultats et interprétations :

On considère les trois histogrammes, ci-dessous, des réalisations de la variation de la valeur du portefeuille étudié générées, respectivement, par les trois échantillons de taille 100, 1000, 10000, on remarque que l’allure de l’histogramme s’approche de celui d’une loi normale quand la taille de l’échantillon est grande. Ce qui confirme que la méthode de Monté Carlo nécessite un échantillon de taille très grande pour être efficace conformément à la loi des grands nombres.

Figure 5: Histogramme des réalisations de la variation du portefeuille par Monté Carlo pour un échantillon de taille 100 .

ÉCH100 20

10

    e     c     n     e     u     q      é     r      F

Sigma = 53972,18 Moyenne = -1927,7 N = 101,00

0

-  1   -  1   -  1   -  1   -  8    -  6    -  4   -  2    0   2    4    6    8    1   1   1   1   ,0   0   0   0   0   0   2    4    6    6    0   0   4    0   2    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   ,0   ,0   ,0   ,0   0   0   0   0   0   0   0   0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   , 0   , 0   , 0   , 0  

VARIATION DU PORTEFEUILLE Source: Elaboré par nous même à l’aide de SPSS

VALUE AT RISK 

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Figure 6: Histogramme des réalisations de la variation du portefeuille par Monté Carlo pour un échantillon de taille 1000 .

ÉCH1000 200

100

    e     c     n     e     u     q      é     r      F

Sigma = 53913,20 Moyenne = -149,0 N = 1001,00

0

-  2    -  1   -  1   -  1   -  6    -  2    2    6    1   1   1   2    8    4    0   0   0   0   0   0   0   0   0   4    0   8    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0  0   0  0   0  0   0  0   0  0   0   0   0   0   0   0   , , 0   0   0   0   0   0   0   , ,0   0   0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   0  

VARIATION DU PORTEFEUILLE Source : Elaboré par nous même à l’aide de SPSS

Figure 7 : Histogramme des réalisations de la variation du portefeuille par Monté Carlo pour un échantillon de taille 10000 .

VALUE AT RISK 

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ÉCH10000 2000

1000

     e      c      n      e      u      q       é      r       F

Sigma = 52537,28 Moyenne = -998,9 N = 10000,00

0

-  2    -  1    -  1    -  1    -  6    -  2    2    6    1    1    1    0    0    4    8    2    8    4    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0     , 0    0    0    0    0    0     ,0     ,0    0     ,0    0     ,0     ,0     ,0     , 0     , 0     , 0     , 0   

VARIATION DU PORTEFEUILLE Source: Elaboré par nous même à l’aide de SPSS

Tableau 12: Les résultats du test de Normalité Kolmogorov Smirnov pour les trois échantillons

Test de Kolmogorov-Smirnov à un échantillon Variation du portefeuill e 101

variation du portefeuill e 1001

Variation du portefeuille 10000

-1927,75

-148,9933

-998,9007

53972,18

53913,20

52537,281

 Absolue

,049

,021

,007

Positive

,049

,021

,005

Négative

-,038

-,020

-,007

,493

,676

,650

,968

,751

,792

N Paramètres normauxa,b

Moyenne Ecart-type

Différences les plus extrêmes Z de Kolmogorov-Smirnov

Signification asymptotique (bilatérale) a. La distribution à tester est gaussienne. b. Calculée à partir des données.

VALUE AT RISK 

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Les résultats de ce test montre que les valeurs du portefeuille suivent la loi normale pour les trois échantillons vu que les niveaux de signification sont élevés. Le tableau ci-dessous, représente les résultats concernant la VaR à 1 jour évaluée par la méthode Monté Carlo, donnée en Dirhams et en pourcentage de la valeur courante du  portefeuille étudié. Tableau 13: VaR d’ 1 jour á 0,95%; 0,975%; 0,99% en Dhs du portefeuille calculée par la méthode de Monté carlo.

Val Port

2461600

VaR 1 jour en DH

Taille échantillon

0,95%

% Port

0,975%

% Port

0,99%

% Port

100

79889,52

3,25%

109797,08

4,46%

121124,90

4,92%

1000

88255,02

3,59%

105402,33

4,28%

122855,38

4,99%

10000

85057,02

3,46%

102468,90

4,16%

120832,76

4,91%

Source: Elaboré par nous même à l’aide de SPSS

VALUE AT RISK 

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SECTION III: ANALYSE ET PERSPECTIVES DE VAR

III.1 Analyse des approches utilisées III.1.1 La méthode Variance- Covariance 

Forces de la méthode :

L’avantage fondamental de la méthode VC par rapport aux autres méthodes réside dans la simplicité de la mise en oeuvre de cette technique surtout pour le cas des actions. •

L’hypothèse de normalité des variations des prix sur laquelle se base cette méthode, simplifie considérablement l’estimation de la VaR .De plus, les données nécessaires  pour calculer la matrice des variances-covariances sont généralement facilement disponibles bien qu’assez volumineuses .Par conséquent, l’estimation de la VaR par la méthode VC s’effectue rapidement et requiert peu de ressources informatiques .

•

En supposant que les changements des prix sont normalement distribués ,la méthode VC permet d’exprimer la VaR pour toutes les combinaisons possibles du niveau de confiance et de l’horizon de calcul , contrairement à la méthode SH qui , en augmentant l’horizon de calcul , on perd une large partie des observations . Cette  possibilité d’ajustement rend la VaR potentiellement riche en informations.

•

Enfin, la méthode VC jouit d’une grande objectivité du fait que la procédure d’estimation est particulièrement intuitive



Faiblesses de la méthode :

Grâce aux hypothèses qu’elle pose, la méthode VC est facilement mise en oeuvre. Toutefois ces hypothèses peuvent s’avérer irréalistes et compromettre les résultats.

VALUE AT RISK 

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•

L’hypothèse de normalité des variations des prix constitue une hypothèse fondamentale formulée par la méthode VC. Comme nous l’avons vu auparavant, elle simplifie énormément la procédure. Cependant, les analyses précédemment faite montre que les rendements du portefeuille ne semblent pas se comporter de manière normale, c’est le cas pour la plus part des actifs financiers. 

Conclusion quant à la méthode:

La méthode VC s’avère simple et relativement intuitive, elle séduit par son aspect pratique. Cependant, elle perd cet avantage majeur lorsque le portefeuille s’éloigne trop des hypothèses  posées. Elle est donc inadaptée au traitement des événements extrêmes et des positions non linéaires. III.1.2 La méthode de Simulation Historique 

Forces de la méthode :

L’avantage majeur de la méthode SH réside dans le fait qu’elle allie simplicité et large application. •

La méthode SH représente manifestement la plus intuitive des techniques de calcul de la VaR. La procédure est en effet simple et fournit des résultats faciles à interpréter.

•

Un autre avantage considérable de la méthode SH est le fait qu’elle ne formule aucune hypothèse quant à la forme des distributions des rendements, ni quant à la linéarité des relations entre les prix et les facteurs de risque. Elle parvient ainsi à s’adapter avec les spécificités des positions traitées et des marchés. Elle convient donc pour gérer tout type de position dans toute condition de marché. 

Faiblesses de la méthode :

Les difficultés liées à l’utilisation de données passées pour prévoir une perte sont  particulièrement problématiques dans le cadre de la méthode SH. VALUE AT RISK 

89

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• La méthode SH construit donc la distribution des rendements futurs du portefeuille

sur base des prix passés. Pour calculer sa VaR sur base de la SH, l’institution financière est donc tenue de récolter et de stocker une quantité importante de données historiques relatives à un grand nombre de facteurs de risque. • Dans le cadre de la SH, les données passées jouent un rôle crucial dans l’estimation

de la VaR. Or elles soulèvent quelques problèmes: Premièrement, la méthode de SH ne tient pas compte des événements extrêmes, puisque le volume des données historiques utilisées est forcément limité pour pouvoir tenir compte de ces événements très rares .De plus , cette méthode , dans sa version la plus répondue assigne le même poids pour toutes les données , anciennes ou récentes . Or on sait que les données les plus récentes jouent un rôle plus important dans l’estimation. 

Conclusion quant à la méthode:

La méthode SH est simple, tant en théorie qu’en pratique. En évitant au maximum de poser des hypothèses restrictives, cette technique parvient à priori à traiter les particularités, tant des  positions que des marchés. Elle parvient ainsi à éviter certains problèmes tel que les fameuses  fat tails ou le risque de modèle. Cependant, cette méthode est particulièrement affaiblie par

sa

grande dépendance aux données qu’elle utilise. Toutefois, la méthode SH peut s’avérer être une méthode puissante pour mesurer le risque associé à tout portefeuille pour lequel des données sont facilement disponibles, dans des conditions relativement stables des marchés financiers. III.1.3 La méthode Monte Carlo 

Forces de la méthode :

La méthode de simulation MC constitue une technique dont les possibilités théoriques semblent illimitées, c’est un outil de gestion du risque très puissant et flexible. En effet elle semble être capable de gérer tout type de position dans toutes les circonstances possibles du marché. La méthode de simulation MC s’accommode avec le phénomène de queues épaisses ainsi qu’avec les positions en options et le problème de non stationnarité des paramètres.

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

Faiblesses de la méthode :

D’un point de vue conceptuel, cette méthode présente l’avantage de posséder des facultés immenses, mais au prix d’une grande complexité théorique et pratique. La lenteur d’exécution et la grande vulnérabilité de cette méthode au risque du modèle sont une conséquence de cette complexité. •

La méthode de simulation MC présente l’inconvénient majeur d’être la plus complexe des approches de calcul de la VaR. En fait, elle rend la VaR peu intuitive, difficile à comprendre et donc inappropriée pour communiquer les résultats d’une institution financière. De ce fait la méthode de simulation MC prive l’approche VaR de ces avantages les plus significatifs. 

Conclusion quant à la méthode:

En théorie, si le risque du modèle est maîtrisé, la méthode possède des capacités illimitées. Cependant, au vu de la complexité des procédures, cette technique s’avère extrêmement coûteuse. En raison de ces coûts importants, la méthode est essentiellement mise en oeuvre lorsque les deux autres techniques ne conviennent manifestement pas, c’est à dire lorsque le portefeuille contient une proportion importante d’instruments dérivés. Dans ce cas, la méthode VC est manifestement inadaptée et la méthode de SH est confrontée à des problèmes de manque de données. Hormis le cas d’un portefeuille contenant une grande proportion de produits dérivés, les deux autres techniques d’estimation de la VaR sont fortement préférables à la méthode de simulation MC. III.2 Instruments de validité des approches de la VAR III.2.1 Le Backtesting La qualité de la mesure de la VaR est primordiale pour la validation de son modèle de calcul. Ce qui requiert la mise en place de tests sur données réelles: Backtesting. Cette manœuvre est essentielle dans la mesure où elle donne, a posteriori, une image de la qualité de la mesure du risque. Le Backtesting repose sur la notion du nombre d’exceptions, c'est-à-dire le nombre de VALUE AT RISK 

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fois où la perte réelle observée est supérieure au montant prévu et calculé par le modèle de la VaR. Ainsi, on juge un modèle invalide, si après Backtesting, le nombre d’exceptions enregistrées dépasse une limite fixée. Le Backtesting est donc une technique pour tester la validité du modèle de calcul de la VaR, il consiste à se baser sur des observations historiques de calcul de la VaR et voir si cette VaR calculée encadrait réellement la perte potentielle réalisée en la comparant à la fonction de  perte et profit P&L (profit and lost).

La fonction de perte et profit de la journée t dans le cas d’un portefeuille d’actions est la différence entre la valeur réelle du portefeuille en t et sa valeur en t-1. Il s’agit donc pour un historique de n jours de comparer pour chaque journée t de cet historique la VaR calculée en t-1 avec la P&L réalisé en t.

Une VaR quotidienne avec un seuil de confiance de 1% donne le niveau de perte qui va être dépassé dans les conditions normales du marché en moyenne une fois dans chaque période de 100 journées. Si le test est fait sur 1000 jours, un modèle de VaR surestimée montrera moins de 10 exceptions (P&L dépassant la VaR en valeur absolue), alors qu’un modèle de VaR sous-estimée donnera plus de 10 exceptions. Le nombre total d’exceptions peut être vu comme une variable aléatoire suivant une loi  binomiale, la probabilité de «succès» (exception ou dépassement de la VaR) est égale à p=1%  pour une VaR de 1% et le nombre d’observations de cette loi est exactement n le nombre de  jours du Backtesting (1000 par exemple). On sait que si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n,p) alors son espérance et sa variance sont:  E ( X ) = np

Et V ( X ) = np(1 −  p )

Donc, le nombre moyen d’exception est donc n × p=10 Et la variance des pertes exceptionnelles est : n × p × (1–p)=9,9 ce qui correspond à un écart type de 3,146.

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On sait que d’après la loi des grands nombres, la loi binomiale converge vers la loi normale  pour un n grand et un p petit. Un intervalle de confiance à 99% du nombre d’exceptions pour un modèle de VaR valide est:

[(np– Φ −1 (0,005) × (np(1–p))1/2) ;(np+ Φ −1 (0,005) × (np(1–p))1/2)]

Avec Φ −1 (0,005) le quantile d’ordre 0,5% de la loi normale centrée réduite. Cet intervalle est égal dans notre exemple à:

[10–2,576 × 3,146;10+2,576 × 3,146]=[1,896;18,104]

Ça veut dire que nous sommes à 99% sûrs d’observer un nombre d’exceptions entre 2 et 18 si notre modèle de calcul de la VaR est valide. Le Backtesting n’est pas à 100% tranchant quant à la validité du modèle puisqu’il dépend souvent de la période considérée.

III.2.2 Le Stress Testing L’analyse des scénarios consiste à étudier les variations de la valeur du portefeuille suite à des  perturbations dans les rendements. Le Stress Testing est une partie de l’analyse de scénarios qui, au lieu de considérer des rendements habituellement enregistrées dans les conditions normales du marché, considère des valeurs totalement extrêmes caractérisant le plus souvent des crises historiquement réalisées ou qui risquent de se réaliser. Le Stress Testing peut prendre l’une des formes suivantes: 

Simuler un événement historique (la crise de 1987 par exemple).



Considérer les volatilités et les corrélations associées à l’événement du Stress Testing.

Il permet de faire des simulations de crises et de voir la réaction du portefeuille en terme de risque dans ce genre de situations particulières.

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C o n c lu s i o n G é n é r a le

L’objectif de ce mémoire était de présenter l’approche value at risk pour la mesure du risque d’un portefeuille d’actifs et d’effectuer une étude comparative entre les trois approches classiques d’estimation de la VaR (VC, SH, MC) à fin de choisir l’approche la plus appropriée pour l’estimation de la VaR d’un portefeuille d’actions cotées sur le marché  boursier Marocain.  Nous avons commencé ce travail par donner un aperçu sur le marché boursier marocain, son organisation, son fonctionnement. Par la suite nous avons présenté la BMCI BOURSE structure au sein de laquelle ce travail a été commandité et avant de conclure la première  partie nous avons introduit la notion de risque financier, ses différentes mesures en mettant l’accent sur le concept de la volatilité boursière et en dernier les limites des modèles de gestion du risque de portefeuille. Dans un deuxième temps, nous avons présenté le concept de la value At Risk, ses objectifs, son contexte d’utilisation ainsi que les précautions à prendre lors de son utilisation de même que ses avantages et ses inconvénients. Par la suite nous avons explicité les fondements théoriques de la VAR en essayant de traiter le problème de la distribution des rendements.  Nous avons procédé, dans une troisième et dernière partie à la constitution d’un portefeuille fictif composé d’actions sélectionnées sur le marché boursier Marocain. Après avoir étudié les statistiques descriptives des rendements du portefeuille et après avoir présenté les trois approches classiques d’estimation de la VaR, nous avons estimé la VaR du portefeuille par chacune de ces approches. Par la suite, nous avons effectué une analyse comparative de ces trois approches tant du point de vue théorique que pratique en présentant les avantages et les inconvénients. Il est important de préciser qu’il n'est pas possible d'identifier une méthodologie universellement acceptée pour estimer la VAR, chacune présentant ses propres limites. L’une des limites fondamentales de n’importe quelle méthodologie est le fait qu’elle soit le reflet des VALUE AT RISK 

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hypothèses sous-jacentes. Toutefois, le plus grand risque dans l’utilisation de la VAR découle de l'incompréhension des limites de la méthodologie utilisée. La VAR demeure malgré tout un puissant outil de gestion de risque, mais aussi faut-il l’utiliser avec beaucoup de précaution quant vient le temps d’interpréter les résultats. La VAR est une valeur qui paraît scientifique et précise mais en fait, elle repose sur plusieurs affirmations qui ne sont que jugements significativement subjectifs. Il ne faut cependant pas oublier que les hypothèses sont inévitables dans la mise en pratique d'une méthode de VAR, à la fois pour des raisons de coûts et de temps. En définitive, ce que nous pouvons retenir est qu'il n'y a pas une seule méthode de VAR.  Nous disposons certainement de repères théoriques qui nous indiquent quels devraient être les résultats. Or, en pratique, il en est autrement. Il est très important de doser les hypothèses et d'étudier les avantages et les désavantages d'une méthode pour toutes les situations  particulières rencontrées par l'institution financière.

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ANNEXE 1: SEGMENTATION DU MARCHE FINANCIER MAROCAIN

TICKER

SOCIETE

SECTEUR

MNG REB SMI GAZ SAM MOX SCE

MINES MINES MINES PETROLE§GAZ PETROLE§GAZ CHIMIE CHIMIE

CMA

MANAGEM REBAB COMPANY SMI AFRIQUIA GAZ SAMIR MAGHREB OXYGENE SOCIETE CHERIFIENNE DES ENGRAIS ALUMINIUM DU MAROC CIMENT DU MAROC

LAC

LAFARGE

SID

SONASID

PAPELERA DE TETOUAN NEX

PDT

ALM

BNM SBM

NEXANS MAROC

OUL CLT

BRANOMA BRASSERIES DU MAROC OULMES CENTRAL LAITIERE

CSR LES

COSUMAR LESIEUR

LGM UMR CRN LCT NEJ ATH BER FRT CTM

LGMC UNIMER CARNAUD LE CARTON AUTO NEJMA AUTO HALL BERLIET MAROC FERTIMA CTM

VALUE AT RISK 

BATIMENT ET MATERIAUX DE CONSTRUCTION BATIMENT ET MATERIAUX DE CONSTRUCTION BATIMENT ET MATERIAUX DE CONSTRUCTION BATIMENT ET MATERIAUX DE CONSTRUCTION SYVICULTURE ET PAPIERS EQUIPEMENTS ELECTRONIQUES ET ELECTRIQUES BOISSONS BOISSONS BOISSONS AGROALIMENTAIRE  /PRODUCTION AGROALMENTAIRE/ PRODUCTION AGROALIMENTAIRE/ PRODUCTION AGROALIMENTAIRE/PRODUCTION AGROALIMENTAIRE/PRODUCTION EMBALLAGE EMBALLAGE DISTRIBUTEURS DISTRIBUTEURS DISTRIBUTEURS DISTRIBUTEURS TRANSPORT

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ATW BCE BCP

BANQUES BANQUES BANQUES

BCI

ATTIJARIWAFABANK BMCE BANQUES CENTRALE POPULAIRE BMCI

CDM

CREDIT DU MAROC

BANQUES

CIH AGM WAA MVA

CIH AGMA LAHLOU TAZI WAFAASSURANCE LA MAROCAINE VIE

BANQUES ASSURANCES ASSURANCES ASSURANCES

ONA

ONA

SNI

SNI

ZDJ

ZELLIDJA

BAL ACR

BALIMA ACRED

EQD

CREDIT EQDOM

DIC

DIAC SALAF

MAB

MAGHREB BAIL

MLE

MAROC LEASING

SOF

SOFAC CREDIT

TSF

TASLIF

IBM

IB MAROC.COM

SOCIETE DE PORTEFEUILLE ET HOLDING SOCIETE DE PORTEFEUILLE ET HOLDING SOCIETE DE PORTEFEUILLE ET HOLDING IMMOBILIER SOCIETE DE FINANCEMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES SOCIETE DE FINANCIMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES SOCIETE DE FINANCEMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES SOCIETE DE FINANCEMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES SOCIETE DE FINANCEMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES SOCIETE DE FINANCEMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES SOCIETE DE FINANCEMENT ET AUTRES ACTIVITES FINANCIERES LOGICIELS ET SERVICES INFORMATIQUES

VALUE AT RISK 

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BANQUES

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ANNEXE 2 : Composition des indices MASI et MADEX au 1 JANVIER 2005

Valeurs composant le MASI

Valeurs composant le MADEX

ITTISALAT AL MAGHRIB ONA ATTIJARIWAFA BANK BMCE LAFARGE HOLCIM SNI CIMENT DU MAROC SAMIR BCP BRASSERIES DU MAROC SONASID COSUMAR BMCI CENTRALE LAITIERE CDM MANAGEM LESIEUR CRISTAL WAFA ASSURANCES CREDIT EQDOM AUTO HALL AGMA LAHLOU TAZI BRANOMA CIH OULMES AFRIQUIA GAZ ALIMUNIUM DU MAROC MAGHREB BAIL AUTO NEJMA NEXANS MAROC CTM MAROC LEASING UNIMER FERTIMA MAGHREB OXYGEN SOFAC CREDIT ACRED MAROCAINE VIE

ITTASALAT AL MAGHRIB ONA ATTIJARIWAFA BANK BMCE LAFARGE HOLCIM SNI SAMIR BCP SONASID MANAGEM WAFA ASSURANCES CIH

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BALIMA CARNAUD BERLIET MAROC ZELLIDJA IB MAROC .COM SCE TASLIF DIAC SALAF DIAC EQUIPEMENT LGMC PAPELERA DE TETUAN REBAB COMPANY SMI LE CARTON

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ANNEXE 3 : CALCUL DES COEFFICIENT DE VARIATION SUR LA PERIODE ALLANT DU 15/02/2005 AU 15/02/2006

SECTEUR

TITRE

ECART TYPE

COEFFICIENT DE VARIATION

MOYENNE

MNG MINES REB SMI GAZ SAM PETROL§GAZ MOX CHIMIE SCE  ALM CMA BATIMENT ET MATERIAUX LAC DE CONSTRUCTION SID PDT SYVICULTURE ET PAPIERS NEX EQUIPEMENT ELECTRONIQUE ET ELECTRIQUE BNM BOISSONS SBM OUL CTL  AGROAL IMENT CRS LGMC PRODUCTION UMR CRN LCT EMBALLAGES NEJ  ATH DITRIBUTEURS BER FRT

2,52220179 3,78715407 2,89345485 2,10944589 1,58714025 2,672096796 2,72380828 1,98882919 1,823481978 1,62443547 1,32861424 3,27784654

0,32971193 3,08121212 0,52685714 0,29138242 0,44444444 0,149398907 0,49620482 0,39836601 0,205555556 0,23616505 0,27153226 0,58234043

7,649713464 1,229111766 5,491915418 7,239441178 3,571065598 17,88565157 5,489282188 4,992467078 8,870993387 6,878390642 4,893025381 5,628746299

3,03481067

0,45586207

6,657300244

2,97010657 32,5473026 0,05544338 1,99397732 1,22392884 3,7972517 0,99037792 2,78774781 5,27553744 2,74655115 1,85892406 2,49950148 2,8993265

-0,07777778 2,62795181 0,00944444 0,287592593 0,21825243 1,25028571 0,025625 0,42387097 2,16428571 0,56970588 0,2848 0,42062222 -0,03618557

-38,18708338 12,38504545 5,870478292 6,933340317 5,607858937 3,037107174 38,64889444 6,57687836 2,437542056 4,820998425 6,527120997 5,94239049 -80,12383113

TRANSPORT

CTM  ATW BCE BCI CDM CIH BCP WAA MVA  AGM ONA SNI ZDJ

1,73775789 1,55997454 0,80826928 1,33870813 1,85193598 2,69035896 0,93760185 1,649094058 2,53740568 1,53204266 1,36686735 1,575061397 2,89170148

0,05444444 0,25048458 0,25980159 0,19902062 0,39430939 0,32470852 0,09484127 0,234593496 0,54213018 0,12077465 0,12079832 0,11 0,73383459

31,91800467 6,227826639 3,11110213 6,726479548 4,696657059 8,285458478 9,886011122 7,029581323 4,680436127 12,68513434 11,31528443 14,31873997 3,940535809

BAL

4,94710319

2,965

1,668500233

BANQUES

 ASSURANCES

HOLDINGS IMMOBILER

VALUE AT RISK 

101

ABOUELJINANE.H

SOCIETES DE FIANANCEMENT

LOGICIELS

VALUE AT RISK 

 ACR EQD DIC MAB MLE SOF TSL

4,095493757 2,17506708 2,5424308 2,87349802 2,07706522 4,17282528 2,82269582

0,19235294 0,30054945 0,73486957 0,41040323 0,460265487 1,33630137 0,06552632

21,29155789 7,236969091 3,459703468 7,001645723 4,512754657 3,122667816 43,07728284

IBM

2,16253346

0,35559184

6,081504739

102

ABOUELJINANE.H

ANNEXE 4: MATRICE DE CORRELATION

VALUE AT RISK 

103

ABOUELJINANE.H

ANNEXE 5 : Rendements du portefeuille d’étude.

SEANCE IAM SNI ATW PORTEFEUILLE 15/02/2005 34000 515200 1034800 16/02/2005 34 34000 515200 1034800 17/02/2005 34000 510720 1034800 18/02/2005 34000 510720 1019200 21/02/2005 34400 510720 1029600 22/02/2005 34400 508480 1024400 23/02/2005 34000 508480 1019200 24/02/2005 33 33600 478240 998400 25/02/2005 33600 478800 1024400 28/02/2005 34000 479360 1019200 01/03/2005 34000 470400 1029600 02/03/2005 34 3 4000 473200 998400 03/03/2005 34000 473200 1019200 04/03/2005 34000 474880 1019200 07/03/2005 33 33600 474880 998400 08/03/2005 33 33200 484960 998400 09/03/2005 32 32800 476560 988000 10/03/2005 33 33200 484960 989040 11/03/2005 33600 483840 1008800 14/03/2005 34000 481600 1008800 15/03/2005 34000 484400 1019200 16/03/2005 33600 479920 1000480 17/03/2005 33600 470400 1028560 18/03/2005 33200 493360 1027520 21/03/2005 33600 492800 1019200 22/03/2005 33 33600 492800 1019200 23/03/2005 33600 492800 1027520 24/03/2005 33200 492800 1023360 25/03/2005 33600 470400 1029600 28/03/2005 33600 470400 1034800 29/03/2005 33200 470400 1037920 30/03/2005 33200 464800 1019200 31/03/2005 33200 437360 1020240 01/04/2005 33 33200 437360 1020240 04/04/2005 33 33200 437360 1020240 05/04/2005 33200 437360 1014000 06/04/2005 33200 437360 1018160 07/04/2005 33200 436800 1014000 08/04/2005 33600 436800 1014000 11/04/2005 33200 436800 1014000 12/04/2005 33200 436800 1018160 13/04/2005 33200 437360 1014000 14/04/2005 33200 437360 1019200 15/04/2005 33200 437360 1014000 18/04/2005 33 33200 437360 1014000 19/04/2005 33200 441280 1029600 20/04/2005 33200 443520 1031680 25/04/2005 33200 442400 1033760

VALUE AT RISK 

104

Rendement du Rendement portefeuille 1584000 1584000 1579520 1563920 1574720 1567280 1561680 1510240 1536800 1532560 1534000 1505600 1526400 1528080 1506880 1516560 1497360 1507200 1526240 1524400 1537600 1514000 1532560 1554080 1545600 1545600 1553920 1549360 1533600 1538800 1541520 1517200 1490800 1490800 1490800 1484560 1488720 1484000 1484400 1484000 1488160 1484560 1489760 1484560 1484560 1504080 1508400 1509360

0 -0,002828283 -0,009876418 0,006905724 -0,004724649 -0,003573069 -0,032938886 0,017586609 -0,00275898 0,000939604 -0,01851369 0,01381509 0,001100629 -0,013873619 0,006423869 -0,012660231 0,006571566 0,012632696 -0,001205577 0,008659145 -0,015348595 0,012258917 0,014041865 -0,005456605 0 0,005383023 -0,002934514 -0,010171942 0,003390715 0,001767611 -0,015776636 -0,017400475 0 0 -0,004185672 0,002802177 -0,003170509 0,000269542 -0,000269469 0,002803235 -0,002419095 0,003502721 -0,003490495 0 0,013148677 0,002872188 0,000636436

ABOUELJINANE.H

26/04/2005 27/04/2005 28/04/2005 29/04/2005 02/05/2005 03/05/2005 04/05/2005 05/05/2005 06/05/2005 09/05/2005 10/05/2005 11/05/2005 12/05/2005 13/05/2005 16/05/2005 17/05/2005 18/05/2005 19/05/2005 20/05/2005 23/05/2005 24/05/2005 25/05/2005 26/05/2005 27/05/2005 30/05/2005 31/05/2005 01/06/2005 02/06/2005 03/06/2005 06/06/2005 07/06/2005 08/06/2005 09/06/2005 10/06/2005 13/06/2005 14/06/2005 15/06/2005 16/06/2005 17/06/2005 20/06/2005 21/06/2005 22/06/2005 23/06/2005 24/06/2005 27/06/2005 28/06/2005 29/06/2005 30/06/2005 01/07/2005 04/07/2005 05/07/2005 06/07/2005 07/07/2005 08/07/2005

33200 33200 33200 33600 34000 33600 32400 32800 33200 33200 33600 33200 33200 32800 32400 32400 32800 32800 32800 32800 32800 32800 32400 32800 32800 33200 33 3 3200 33200 32800 32 32800 32 3 2800 32 3 2800 32400 32 3 2800 32400 32 3 2800 32 3 2800 32 3 2800 32800 32 3 2800 32800 33200 33 33200 33 33200 33 3 3200 33200 33200 33 3 3200 33200 33200 33 33200 32800 33200 33200

VALUE AT RISK 

442400 441280 442400 442400 442400 445200 448000 445200 445200 449120 455280 459200 453600 453040 458080 456400 456400 464800 464800 468160 465360 467600 467600 476000 484400 484960 487200 486640 476560 476560 480480 480480 481600 481600 481600 487200 492800 498400 487200 484400 478800 476000 476000 476000 484400 484400 479360 479360 477120 477120 477120 477120 476000 481600

1034800 1036880 1041040 1040000 1040000 1040000 1040000 1045200 1060800 1045200 1060800 1060800 1050400 1045200 1045200 1045200 1045200 1050400 1045200 1060800 1060800 1060800 1060800 1060800 1060800 1076400 1076400 1066000 1061840 1061840 1061840 1062880 1060800 1066000 1066000 1066000 1060800 1060800 1061840 1066000 1066000 1066000 1066000 1066000 1066000 1060800 1060800 1071200 1071200 1034800 1034800 1034800 1004640 1004640

1510400 1511360 1516640 1516000 1516400 1518800 1520400 1523200 1539200 1527520 1549680 1553200 1537200 1531040 1535680 1534000 1534400 1548000 1542800 1561760 1558960 1561200 1560800 1569600 1578000 1594560 1596800 1585840 1571200 1571200 1575120 1576160 1574800 1580400 1580000 1586000 1586400 1592000 1581840 1583200 1577600 1575200 1575200 1575200 1583600 1578400 1573360 1583760 1581520 1545120 1545120 1544720 1513840 1519440

105

0,000689034 0,000635593 0,003493542 -0,000421985 0,000263852 0,001582696 0,001053463 0,001841621 0,010504202 -0,007588358 0,014507175 0,002271437 -0,010301313 -0,004007286 0,00303062 -0,001093978 0,000260756 0,008863399 -0,003359173 0,012289344 -0,001792849 0,001436855 -0,000256213 0,005638134 0,005351682 0,010494297 0,001404776 -0,006863727 -0,009231701 0 0,002494908 0,000660267 -0,000862857 0,003556007 -0,0002531 0,003797468 0,000252207 0,003530005 -0,00638191 0,000859758 -0,00353714 -0,001521298 0 0 0,005332656 -0,003283657 -0,003193107 0,006610057 -0,001414356 -0,023015833 0 -0,00025888 -0,019990678 0,003699202

ABOUELJINANE.H

11/07/2005 12/07/2005 13/07/2005 14/07/2005 15/07/2005 18/07/2005 19/07/2005 20/07/2005 21/07/2005 22/07/2005 25/07/2005 26/07/2005 27/07/2005 28/07/2005 29/07/2005 01/08/2005 02/08/2005 03/08/2005 04/08/2005 05/08/2005 08/08/2005 09/08/2005 10/08/2005 11/08/2005 12/08/2005 15/08/2005 16/08/2005 17/08/2005 18/08/2005 19/08/2005 22/08/2005 23/08/2005 24/08/2005 25/08/2005 26/08/2005 29/08/2005 30/08/2005 31/08/2005 01/09/2005 02/09/2005 05/09/2005 06/09/2005 07/09/2005 08/09/2005 09/09/2005 12/09/2005 13/09/2005 14/09/2005 15/09/2005 16/09/2005 19/09/2005 20/09/2005 21/09/2005 22/09/2005

33200 33200 33 33200 33200 33600 33600 33600 33600 34000 34000 34000 34400 35200 35200 34800 34800 34800 34800 34800 34800 34 34800 35200 34800 34800 35200 36000 36000 35600 35600 35600 35600 35600 35600 35600 35600 35600 35600 35 35600 35 35600 37200 38400 38400 37200 37200 38400 38800 38800 38800 38800 38800 39200 39200 38800 38400

VALUE AT RISK 

481040 481600 481600 492800 493920 495600 494480 498400 509600 509600 509600 501200 492800 498400 498960 504000 498400 500640 498960 498960 498960 498960 501200 496160 498960 504000 515200 517440 540400 540400 540960 551600 548800 537600 513520 532000 529200 529200 529200 532000 537600 537600 522480 512400 504000 518000 520240 519680 521920 523600 524160 526400 526400 524160

1004640 1004640 1004640 1004640 1029600 1019200 1040000 1070160 1076400 1081600 1122160 1144000 1081600 1092000 1092000 1144000 1133600 1092000 1092000 1123200 1123200 1133600 1132560 1132560 1142960 1142960 1142960 1100320 1131520 1133600 1133600 1138800 1134640 1134640 1128400 1128400 1128400 1128400 1128400 1128400 1138800 1128400 1112800 1107600 1071200 1076400 1122160 1121120 1123200 1121120 1118000 1123200 1127360 1123200

1518880 1519440 1519440 1530640 1557120 1548400 1568080 1602160 1620000 1625200 1665760 1679600 1609600 1625600 1625760 1682800 1666800 1627440 1625760 1656960 1656960 1667760 1668560 1663520 1677120 1682960 1694160 1653360 1707520 1709600 1710160 1726000 1719040 1707840 1677520 1696000 1693200 1693200 1693200 1697600 1714800 1704400 1672480 1657200 1613600 1633200 1681200 1679600 1683920 1683520 1681360 1688800 1692560 1685760

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-0,000368557 0,000368693 0 0,007371137 0,017299953 -0,005600082 0,012709894 0,021733585 0,011134968 0,003209877 0,024956928 0,00830852 -0,04167659 0,009940358 9,84252E-05 0,035085129 -0,009507963 -0,023614111 -0,001032296 0,019191025 0 0,006517961 0,000479685 -0,003020569 0,008175435 0,00348216 0,006654941 -0,024082731 0,032757536 0,001218141 0,000327562 0,009262291 -0,004032445 -0,006515264 -0,01775342 0,011016262 -0,001650943 0 0 0,00259863 0,010131951 -0,006064847 -0,018727998 -0,009136133 -0,026309438 0,012146753 0,029390154 -0,000951701 0,002572041 -0,000237541 -0,001283026 0,004424989 0,002226433 -0,004017583

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VALUE AT RISK 

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-0,009301443 0,020262502 -0,012629701 -0,003328578 0 -0,004150763 0 0,015618263 0,000990613 0,001649387 0,000658669 0,007099535 0,003034547 -0,003118455 0,013353254 0,015481017 0,014972777 -0,001341082 -0,002014324 -0,007400763 -0,011748757 -0,001280293 0,005951836 -0,000227562 0,004870943 0,003533569 0,012730228 0,008201836 0,019011407 -0,000780979 -0,000477638 0,002649985 -0,003249567 -0,020647685 -0,000665779 0,026426827 -0,002423193 0,021167693 -0,005607 -0,005083298 0,0109055 0,021533234 -0,001663063 -0,014409462 0,00143666 -0,003375527 -0,020025402 0,011578174 -0,005893658 -0,030802939 0,037677305 -0,019649722 0,017429194 -0,006167024

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1251120 1258400 1266720 1267760 1259440 1268800 1263600 1262560 1258400 1279200 1279200 1288560 1250080 1279200 1279200 1285440 1291680 1320800 1388400 1415440 1414400 1404000 1383200 1393600 1404000 1415440 1430000 1437280 1456000 1508000 1580800 1632800 1610960 1574560 1612000 1678560 1705600 1768000 1788800 1783600 1695200 1768000

1857040 1870320 1883120 1884160 1875120 1883920 1876640 1862160 1853520 1878640 1873600 1882960 1850080 1879600 1890880 1903440 1918480 1959600 2043600 2077280 2054400 2051840 2029520 2042000 2064400 2075440 2091200 2112880 2128000 2197200 2304400 2374400 2342560 2280560 2347840 2414320 2451440 2507920 2530000 2509600 2416240 2461600

108

0,000301646 0,007151165 0,006843749 0,000552275 -0,004797894 0,004693033 -0,003864283 -0,007715918 -0,004639773 0,013552592 -0,002682792 0,00499573 -0,017461869 0,015956067 0,006001277 0,00664241 0,007901484 0,021433635 0,042865891 0,01648072 -0,011014403 -0,001246106 -0,010878041 0,006149237 0,010969638 0,005347801 0,007593571 0,010367253 0,007156109 0,032518797 0,048789368 0,030376671 -0,013409704 -0,026466771 0,029501526 0,028315388 0,01537493 0,02303952 0,008804109 -0,008063241 -0,037201148 0,01877297

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ANNEXE 6 : Rapport statistique des rendements du portefeuille d’étude. Observations

Inclus Pourcentag N e 251 50,0%

RENDPOR

Observations Exclu(s) Pourcentag N e 251 50,0%

Total N 502

Pourcentage 100,0%

Récapitulatif des obs ervations RENDPOR Erreur  Erreur  standard standard N Moyenne Médiane Minimum aximumIntervalle cart-type Kurtosis du Kurtosis symétried'asymétrie 251 ,0018 ,0005 -,04 ,05 ,09 ,01249 2,129 ,306 ,186 ,154

RENDPOR 80

60

40

    e 20     c     n     e     u     q      é     r      F 0

Sigma = ,01 Moyenne = ,002 N = 251,00 -  , -  , -  , -  , -  , -  , -  , -  , -  , ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0   ,0    0   0    0   0    0   0    0   0   0    0   1   1   2    2   3   3    4   4    5    4   3    3   2    2   1   1   0   0    5   0    5   0    5   0   5    0   5    0    0   5    0   5    0   5    0   5   0   

RENDPOR

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