LA TOPOLOGÍA O MATEMÁTICA RELACIONAL La topología ha sido reconocida como un área particular de la matemáticas en los últimos 50 años y su principal crecimiento se ha originado dentro de los 30 últimos años, es una de las ramas nuevas de la matemáticas que ha demostrado más poder y ha producido fuertes repercusiones en la mayoría de las antiguas ramas de esta ciencia y ha tenido tambin un efecto importante en otras ciencias, incluso en las ciencias sociales! "arti# como una respuesta a la necesidad del análisis clásico del cálculo y de las ecuaciones diferenciales, diferenciales, sin embargo la topología no es una rama del análisis sino una especie de geometría, una geometría más bien de pensamiento geomtrico basado en la prueba de la e$istencia de un cierto teorema, en campos tales como las redes, los grá%cos, los con&untos! 'u aplicaci#n al estudio de las interacciones entre las partes de los sistemas se hace evidente, L! 'pier e$presa e$presa la teoría de los grá%cos como un mtodo para comprender la conducta administrativa! 'eñala que es de gran ayuda para ilustrar las propiedades estructurales de un problema administrativo, o de una estructura organi(acional y las propiedades de las cone$iones entre sus partes!
Aplicaciones
de
la
topología
en
la
ingeniería
La búsque búsqueda da perman permanent ente e por parte parte de los cientí científic ficos os de una repres represent entaci ación ón gráfic gráfica a de los diferentes diferentes fenómenos fenómenos que nos presenta la naturaleza naturaleza día tras día; esto con el fin de comprender comprender mejor ciertos comportamientos, precisa por parte de éstos a recurrir a distintas ciencias con el fin de que se provea de esa representación. ara ello los matemáticos modernos !an lanzado al ruedo una de los más complejas e interesantes postulados que se !a"an formulado en los últimos tiempos a propósito del desarrollo de las matemáticas " su acostumbrado desarrollo de la mano con la ciencia.
LA TOPOLOGÍA La topología se !a constituido en una ciencia #derivada de las matemáticas$ que está modelando el mund mundo o most mostrá ránd ndol olo o tal tal " como como es, es, con con la vent ventaj aja a de que que sus figur figuras as " repr repres esen enta taci cione oness topológicas traen consigo una e%presión matemática que permite comprender mejor su estructura " como ésta puede ser sometida a cambios sin que se llegue alterar la forma de los objetos de la realidad.&no de los campos más prolíficos en los que los matemáticos !an !ec!o su auge " que "a constitu"e una de las ma"ores aportaciones a la ciencia, tiene que ver con el rocesamiento de 'mágenes (igitales )(.rocesamiento de imágenes digitales )(. *omo se sabe en éste caso se requiere que un objeto )( sea representado en términos de características que transmitan información esencial acerca de la estructura, forma " geometría de este objeto, sin embargo, éste simple !ec!o !ace que se pierda o se reduzca la información propia del objeto " esto constitu"e una limitante en las muc!as aplicaciones en las que se podría requerir esta tecnología #más adelante se mencionará algunos de los campos que necesitan de éstas !erramientas$. Las caract caracterí erísti sticas cas geomét geométric ricas as a bajo bajo nivel nivel que permit permiten en compre comprende nderr " disting distinguir uir formas formas " volúmenes salvo deformación fle%ible #por ejemplo, torcimientos " estiramientos sin creación de roturas o uniones de objetos "a e%istentes$ nos lo proporciona, sin lugar a dudas, la +opología. n el marco de la +opología (igital #es decir, la +opología combinatoria adaptada al conte%to discreto fuertemente estructurado de la imagen digital$, pocas son las propiedades topológicas que !an sido algo ritmizadas con é%ito- fundamentalmente, los grupos de !omología o números de etti #número
de componentes cone%as, número de asas o túneles " número de cavidades$ " la característica de uler. stos invariantes topológicos son descriptores importantes para muc!as aplicaciones como son el análisis de imágenes de estructuras óseas o vasculares en 'magen /édica, el análisis de estructuras de !ormigón en ingeniería civil o en dise0o asistido por computador. La característica de uler es uno de los invariantes topológicos más ampliamente usados en rocesamiento de 'magen " 1olumen (igitales.ara el cálculo de estas magnitudes se utilizan !erramientas propias de la +opología 2lgebraica " el 3lgebra 4omológica. 2unque el término 5algebraico6 se traduce frecuentemente en 'ngeniería como 5método computacionalmente caro6. Los algoritmos que se utilizan para el cálculo de aspectos co!omológicos en imágenes digitales n( son de complejidad polinomial ", en el caso concreto del cálculo de números de etti, es de la misma complejidad que el algoritmo puramente combinatorio e%istente. 7o es el objetivo de este artículo adentarse en como !allar números de etti, ecuaciones de uler, redes de superficies, teoría de /orse, grafos de 8eeb o características de uler, entre otros invariantes topológicos en una superficie topológica. 9ino comprender como estos a"udan, #incorporados como !eurística en sistemas de proceso asistido$ a la mejor descripción real de las características de por ejemplo un tejido canceroso, imagen tomográfica, estructuras óseas, estructuras vasculares entre otras superficies topológicas.ste procesamiento debe estar ligado a las salidas del sistema de rocesamiento de 1olúmenes (igitales " de imágenes en )( de tal manera que sean comprensibles a la visión !umana, es decir, que las imágenes obtenidas puedan ser reconocidas " comprendidas a cabalidad en una interfaz !umano : computador, este proceso en el que la información #del objeto topológico$ se lleva al pi%elado también es tarea de la +opología 2lgebraica *omputacional, una rama que se utiliza para clarificar aspectos de salida a interfaz !umana.
*omparación entre una radiografía tradicional " una imagen generada por computador utilizando algoritmos topológicos. #til en la detección temprana de la osteoporosis$. 'magen tomográfica en la que se detalla una anormalidad en el área occipital, que en términos generales no !ubiera podido ser detectada en una radiografía convencional.
Síntesis La aplicación descrita involucra al lector en la necesidad del conocimiento de ciertas áreas de la matemática para poder modelar problemas del mundo real. 2l formular los distintos modelos se logra que como es el caso anteriormente descrito la medicina se vea beneficiada de estos adelantos, obviamente de la mano con las *iencias de la *omputación, entre otras ciencias.
ALGO MAS SOBRE TOPOLOGIA TOPOLOGIA EN LAS MATEMATICAS !" es la Topología# La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. n
contrastecon el álgebra, la geometría " la teoría de los números, cu"as genealogías datan de tiemposantiguos, la topología aparece en el siglo diecisiete, con el nombre de anal"sis situs, éstoes, análisis de la posición.(e manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permaneceninvariantes, cuando dic!as figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, demodo que no aparezcan nuevos puntos, o se !agan coincidir puntos diferentes. ara el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo- se dice que la bola" el cubo son objetos topológicamente equivalentes, porque se pasa de uno al otro medianteuna transformación continua " reversible. l objetivo de este te%to es indicar algunos de los problemas que estudia la topología " lanoción de invarianza topológica. +ras una breve revisión !istórica de los !ec!os cruciales enla evolución de la topología, se estudian de manera mu" intuitiva tres teorías topológicas- la teoría de grafos, insistiendo en dos ejemplos clásicos, el problema de los siete puentes de<=nisberg ", el teorema de los cuatro colores que parecen un juego de ni0os, pero que involucranen su resolución complicadas teorías matemáticas la teoría de nudos, con sorprendentes aplicaciones en iología /olecular, >ísica,... la teoría de superficies, apartado desarrollado con más rigor matemático que los anteriores:se trata aquí de clasificar todas las superficies compactas... y clasificar es el objeto central de la Topología
La teoria de grafos: El estudio de grafos está ligado habitualmente a la topología. Un grafo es sencillamente unconjunto de puntos, los !rtices, algunos de los cuales están ligados entre ellos por medio delíneas, las aristas. La naturale"a geom!trica de estos arcos no tiene importancia, s#lo cuentala manera en la que los !rtices están conectados. 1.
El problema de los siete puentes de $onisberg: En %&'', los habitantes de $(nisberg )hoy en día $aliningrado, *usia+, se preguntaban si eraposible recorrer esta ciudad pasando una e" y s#lo una por cada uno de los puentes sobre elrío regel, y oliendo al punto de partida. En aquella !poca, $(nisberg tenía siete puentes )a,b, c, d, e, f y g en la figura+ uniendo las cuatro partes de la ciudad )-, , / y 0+ separadas porlas aguas, y dispuestas como se indica: 1.1
En %&12 Euler prob# que la respuesta era negatia, usando un grafo: se dibujan sobre una hojade papel cuatro !rtices que simboll"an las cuatro partes separadas de la ciudad, despu!s setra"an entre estos !rtices las aristas, simboli"ando los puentes:Un grafo se llama cone3o si e3iste un camino ligando cada par de !rtices. Un camino sobreun grafo se llama euleriano, si pasa por cada arista e3actamente una e". Un circuito es uncamino cerrado. El grado de un !rtice es el n4mero de aristas que llegan al ! l.
Teniendo encuenta estas definiciones, Euler demuestra:Teorema de Euler. E3iste un circuito euleriano en un grafo si y s#lo si el grafo es cone3o y cada!rtice tiene grado par.Es bastante fácil comprender ahora la ra"#n por la que el problema de los siete puentes de$(nisberg no tiene soluci#n: un paseante que llega a uno de los cuatro barrios de la ciudaddebe for"osamente irse y tomando un puente diferente. En el grafo, !sto se traduce por elhecho de que cada !rtice debe estar asociado a un n4mero par de aristas. ero, la configuraci#nde los puentes de $(nisberg no erifica obiamente esta condici#n, probada por Eulercomo necesaria y suficiente.
El teorema de los cuatro colores 5. 6uthrie )%71%8%799+ plantea en %7; la siguiente conjetura: para colorear cualquier mapageopolítico plano )suponiendo cada país formado por un 1.2
4nico tro"o+, de tal modo que dospaíses con frontera com4n sean de distinto color, basta )como má3imo+ con cuatro colores.
2. La
teoria de nudos: La t!cnica de tejido, que precisa cruces y anudados de hilos, se conoce ya en el neolítico. .. En la !poca actual, los marinos se han apropiado de esta t!cnica, esencial parasu trabajo. Los nudos están presentes en ámbitos tan dispares como la decoraci#n, la industria te3til, lamagia, el alpinismo o la cirugía.
ara el matemático, un nudo es una cura continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curaestá situada en un espacio de dimensi#n tres y se admite que pueda ser deformada, estirada,comprimida, pero está prohibido hacer cortes. /uando se puede, a tra!s de manipulacionesde este tipo )es decir, por medio un homeomorfismo+ pasar de un nudo a otro, se dice que sonequialentes. En general, es muy difícil decidir cuando dos nudos son equialentes, y granparte de la teoría de nudos está precisamente dedicada a intentar resoler esa cuesti#n.
$%& 2plicaciones en biologia molecular- l 2(7, el material genético más importante en la ma"oría de los organismos, se ve !abitualmentecomo una doble !élice, en la que dos cadenas de nucleótidos complementarios seenrollan a lo largo de un eje común. l eje de esta !élice doble no es lineal, sino curvo. $%$ ?tras aplicaciones en *iencia- studios recientes de las ecuaciones que determinan flujos #como el de la atmósfera alrededorde nuestro planeta$ muestran como las partículas pueden moverse en complicados caminosde nudos.*ombinando la teoría de nudos con la teoría física de cuerdas, se !a podido dar una descripciónunificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza- gravedad, electromagnetismo," las interacciones fuertes " débiles entre partículas. '% *lasificacion topologica de superficies compactas- Los topólogos están particularmente interesados en el estudio de variedades, nombre quesugiere multiplicidad de formas. &n balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión@, es topológicamente una esfera 9@- lo podemos manipular como queramos, pero sinromperlo, " seguirá siendo un balón de fútbol.&na superficie topológica es una variedad de dimensión @, es decir, un espacio en el que cada punto posee un entorno !omeomorfo a @ A B#%,"$ e 8@ - %@ C "@ DE LA TOPOLOGIA EN LA IN(ORMATICA *oncepto del término topologias en el area de la informatica - La topología !ace referencia alas redes " la forma en que estan conectados entre si los equipos atravez de líneas de comunicación #cables de red, etc.$ " elementos de !ardFare #adaptadores de red " otros equipos que garantizan que los datos viajen correctamente. La configuración física, es decir la configuración espacial de la red, se denomina topología física. Los diferentes tipos de topología son+opología +opología
de de
bus estrella.
+opología +opología +opología de malla
en de
anillo árbol
La topología lógica, a diferencia de la topología física, es la manera en que los datos viajan por las líneas de comunicación. Las topologías lógicas más comunes son t!ernet, 8ed en anillo " >( ('. +opología de busLa topología de bus es la manera más simple en la que se puede organizar una red. n la topología de bus, todos los equipos están conectados a la misma línea de transmisión mediante un cable, generalmente coa%ial. La palabra GbusG !ace referencia a la línea física que une todos los equipos de la red. 1entajas- La topología us requiere de menor cantidad de cables para una ma"or topología; otra de las ventajas de esta topologia es que una falla en una estación en particular no incapacitara el resto de la red. (esventajas- al e%istir un solo canal de comunicación entre las estaciones de la red, si falla el canal o una estación, las restantes quedan incomunicadas. 2lgunos fabricantes resuelven este problema poniendo un bus pararelo alternativo, para casos de fallos o usando algoritmos para aislar las componentes defectuosas. La ventaja de esta topología es su facilidad de implementación " funcionamiento. 9in embargo, esta topología es altamente vulnerable, "a que si una de las cone%iones es defectuosa, esto afecta a toda la red %isten dos mecanismos para la resolución de conflictos en la transmisión de datos- *9/2H*(son redes con escuc!a de colisiones. +odas las estaciones son consideradas igual, por ello compiten por el uso del canal, cada vez que una de ellas desea transmitir debe escuc!ar el canal, si alguien está transmitiendo espera a que termine, caso contrario transmite " se queda escuc!ando posibles colisiones, en este último espera un intervalo de tiempo " reintenta nuevamente. +oIen us- 9e usa un toIen #una trama de datos$ que pasa de estación en estación en forma cíclica, es decir forma un anillo lógico. *uando una estación tiene el toIen, tiene el derec!o e%clusivo del bus para transmitir o recibir datos por un tiempo determinado " luego pasa el toIen a otra estación, previamente designada. Las otras estaciones no pueden transmitir sin el toIen, sólo pueden escuc!ar " esperar su turno. sto soluciona el problema de colisiones que tiene el mecanismo anterior. +oIen 8ing- La estación se conecta al anillo por una unidad de interfaz #8'&$, cada 8'& es responsable de controlar el paso de los datos por ella, así como de regenerar la transmisión " pasarla a la estación siguiente. 9i la dirección de la cabecera de una determinada transmisión indica que los datos son para una estación en concreto, la unidad de interfaz los copia " pasa la información a la estación de trabajo conectada a la misma+opología de estrellan la topología de estrella, los equipos de la red están conectados a un !ardFare denominado concentrador. s una caja que contiene un cierto número de socIets a los cuales se pueden conectar los cables de los equipos. 9u función es garantizar la comunicación entre esos socIets.2 diferencia de las redes construidas con la topología de bus, las redes que usan la topología de estrella son muc!o menos vulnerables, "a que se puede eliminar una de las cone%iones fácilmente desconectándola del concentrador sin paralizar el resto de la red. l punto crítico en esta red es el concentrador, "a que
la ausencia del mismo imposibilita la comunicación entre los equipos de la red.9in embargo, una red con topología de estrella es más cara que una red con topología de bus, dado que se necesita !ardFare adicional #el concentrador$. +opología en anillo- n una red con topología en anillo, los equipos se comunican por turnos " se crea un bucle de equipos en el cual cada uno Gtiene su turno para !ablarG después del otro.n realidad, las redes con topología en anillo no están conectadas en bucles. stán conectadas a un distribuidor #denominado /2&, &nidad de acceso multiestación$ que administra la comunicación entre los equipos conectados a él, lo que le da tiempo a cada uno para G!ablarG.Las dos topologías lógicas principales que usan esta topología física son la red en anillo " la >((' #interfaz de datos distribuidos por fibra$.
