UNIVERSIDAD CATOLICA LOS ANGELES DE CHIMBOTE
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
MONOGRAFIA CURSO: DINAMICA
DE SUELOS II
TEMA:
LA TEORÍA DE TERZAGHI Y LA TEORÍA DE COULOMB EN SUELOS FRICCIONANTES CATEDRATICO: ING: FERNANDO DIAZ LANYI INTEGRANTES:
BOCANEGRA LEON, Abraham Lincol SEMESTRE:
VI SATIPO – PERU
Introducción
La mecánica de suelos, hasta la fecha, no ha sido capaz de realizar una solución completamente satisfactoria en lo que se refiere a la distribución de esfuerzos aplicados en la superficie de una masa de suelo a todos los puntos de esa masa. La mayoría de las soluciones que actualmente se aplican, se basan en la teoría de la elasticidad, teoría que no puede ser aceptada completamente por la Mecánica de Suelos debido principalmente a la rigidez de que adolece al basarse en hipótesis matemáticas. La presión que una estructura ejerce sobre la masa de suelo varia en orden decreciente con la profundidad, de tal manera que esta disminuye hasta hacerse casi nula a una profundidad de aproximadamente 2 veces al ancho mayor de la base de la edificación apoyada sobre el suelo. Así pues, dentro de la Mecánica de Suelos existen varias teorías por medio de las cuales se puede calcular la distribución de presiones dentro de la masa del suelo. Estas teorías demuestran que una carga aplicada al suelo aumenta los esfuerzos verticales en toda la masa; el aumento es mayor debajo de la carga pero se extiende en todas direcciones. A medida que aumenta la profundidad, disminuye la concentración de esfuerzos debajo la carga.
1. La teoría de Terzaghi
Los factores que interviene en la capacidad de carga de una cimentación somera se comprenden fácilmente a través de la ecuación desarrollada por K. Terzaghi para el equilibrio límite de una zapata de longitud infinita y ancho B, que se muestra en la figura 1.6
Figura 1.6.- Mecanismo de falla para una zapata de longitud infinita Este mecanismo de falla se basa en un modelo teórico de Prandtl, desarrollado después por Terzaghi para suelos reales, tomando en cuenta el peso del suelo y la fricción entre el suelo y la zapata. La máxima presión media aplicada en la base de la zapata produce la falla del mecanismo, el cual está formado por las zonas I, II y III, con las siguientes características.
Zona 1.- Es una cuña de suelo que desciende junto con la zapata, en donde el suelo se encuentra en equilibrio elástico y su deformación volumétrica es pequeña; su inclinación está dada por el ángulo
Zona II.- Es una zona de equilibrio plástico radial, donde las superficies de falla de curvas son espirales logarítmicas y las planas son radios de la espiral que pasan por el punto O. Zona III. –En las que las superficies de falla plástica son planas y forman un ángulo de (45°-ϕ/2) con la horizontal. El suelo que se encuentra a los lados de la zapata, sobre su plano de apoyo, ejerce una presión confinante sobre la Zona III, siendo el peso volumétrico del suelo confinante.
El equilibrio límite de este mecanismo se alcanza cuando el desplazamiento vertical de la zapata es suficientemente grande para desarrollar la deformación plástica del suelo en las zonas II y III. Considerando que dentro de estas zonas plásticas el suelo es homogéneo y su resistencia al corte esta dado por la expresión general de Coulomb:
(1.3)
Terzaghi obtuvo la siguiente expresión general de la capacidad de carga última del suelo bajo una zapata de longitud infinita y ancho B:
(1.4)
En la que:
= Capacidad de carga ultima del suelo, en
= Peso volumétrico del suelo bajo la zapata y sobre el nivel de desplante, respectivamente, en
= Ordenada al origen de la envolvente de resistencia al corte del suelo (cohesión), en
= Factores de capacidad de carga, que son función del ángulo de fricción interna del suelo, cuyos valores muestra la figura 3.7. B = Ancho de la zapata, en
= Profundidad del desplante de la zapata, en
Figura 1.7.- Factores de capacidad de carga
De la ecuación 1.4 puede concluirse que la capacidad de carga última de una zapata depende de los siguientes factores:
Peso volumétrico , y resistencia al corte del suelo y Ancho de la zapata B. Profundidad del desplante
Para obtener la capacidad de carga ultima con respecto a falla local de un modo razonablemente aproximado para fines prácticos, Terzaghi corrigió su teoría de un modo sencillo introduciendo nuevos valores de “c” y “ϕ”.
En definitiva, la capacidad de carga última respecto a falla local queda dada por la expresión
(1.5)
Toda la teoría arriba expuesta se refiere únicamente a cimientos continuos, es decir, de longitud infinita normal al plano del papel. Para cimientos cuadrados o circulares (Tan frecuentes en la práctica, por otra parte), no existe ninguna teoría, ni aun aproximada. Las siguientes formulas han sido propuestas por el propio Terzaghi y son modificaciones de la expresión fundamental, basadas en resultados experimentales Zapata cuadrada
Zapata circular
(1.6)
(1.7)
1.1 Aplicación de la teoría de Terzaghi a suelos puramente cohesivos
Como puede verse en la figura 3.7, para un suelo puramente cohesivo y en el caso de un cimiento de base rugosa, los factores de capacidad de carga resultan
0.0
Con estos valores, la ecuación 4.4 queda
(1.8)
Es costumbre escribir la ecuación 4.8 como
(1.9)
Que se visualiza de inmediato teniendo en cuenta que, en los suelos ahora tratados, , donde es la resistencia a la compresión simple del material. La ecuación 3.9 es válida para cimientos de longitud finita. Su equivalente para un cimiento cuadrado y circular se obtiene de inmediato a partir de las ecuaciones 3.8 y 3.9 vale
(1.10)
En la práctica es frecuente utilizar la siguiente formula aproximada, cuya justificación descansa en las dos expresiones anteriores
(1.11)
En efecto para el cimiento infinitamente largo B/L=0 y resulta la ecuación 1.10; para el cimiento cuadrado, B/L =1 y la ecuación 1.10 deviene en la 1.9. En rigor, la aproximación de la ecuación 1.11 consiste en establecer una interpolación lineal entre ambos casos extremos, para cimientos largos, pero de longitud finita.
2.
Teoría de Coulomb en suelos friccionantes.
En 1977 C.A. Coulomb publicó la primera teoría racional para calcular los empujes en muros de retención. En la teoría se considera que el empuje sobre el muro se debe a una cuña de suelo limitada por el paramento del muro, la superficie del relleno y una superficie de falla desarrollada dentro del relleno. A la que se supone plana, figura 2.13.
Figura 2.12.-Mecanismo de empuje de suelos “friccionantes” según Coulomb La cuña OAB tiende a deslizar bajo el efecto de su peso y por esa tendencia se producen esfuerzos de fricción tanto en el respaldo del muro como a lo largo del plano OB. Supuesto que las tendencias friccionantes se desarrollan por completo, las fuerzas y F resultan inclinadas respecto a las normales correspondientes los ángulos y , de fricción entre muro y relleno y entresuelo y suelo respectivamente. El valor numérico del ángulo numérico del ángulo evidentemente está acotado, de modo que:
En efecto, corresponde al muro liso y es inconcebible un valor menor para un ángulo de fricción.Por otra parte, si , lo cual en principio es posible, la falla se representaría en la inmediata vecindad del respaldo del muro, pero entre suelo y suelo; este caso es prácticamente igual a que el deslizamiento ocurriese entre muro y suelo, por lo que el máximo valor práctico que puede tomarse en cuenta para es precisamente . Siguiendo indicaciones de Terzaghi, el valor de puede tomarse en práctica como:
Para el caso de un relleno friccionante limitado por un plano, aunque sea inclinado y de un muro de respaldo plano puede darse un tratamiento matemático a la hipótesis de Coulomb y llegar a una fórmula concreta para el empuje máximo. Esta fórmula se deduce y se presenta a continuación:
() ( )*√ ()() +
(2.10)
( )()
Donde:
*√ ()() + *√ () + á
ú
í
=ángulo de fricción interna de la arena
=ángulo formado entre el respaldo del muro y la vertical
=Ángulo formado entre la superficie plana del terreno y la horizontal
Las demás letras tienen el significado usual en este capítulo. Si el muro es de respaldo vertical,
Si además el relleno es horizontal
y la fórmula se reduce a: (2.11)
de la anterior expresión se obtiene: (2.12)
Debe notarse que si o sea si no hay fricción entre el muro y el relleno, la ecuación (6.12) conduce a la fórmula: (2.13)
De manera que, para este caso, las teorías de Rankine y Coulomb coinciden.
También es interesante hacer notar que si en la formula (5.11) se considera , se obtiene la expresión (5.3) de la Teoría de Rankine; es decir, que la Teoría de Coulomb coincide con la de Rankine si el empuje se considera paralelo a la superficie del terreno. Históricamente Coulomb no consideró el estado pasivo de esfuerzos, pero sus hipótesis se han aplicado en este caso, siendo posible obtener fórmulas similares a las presentadas para el caso activo. De hecho la fórmula para el caso pasivo es la misma (5.10), pero cambiando en ella por - , por y cambiando el signo del radical del denominador; la fórmula resulta:
() ()[ √ () () () ()]
(2.14)
2.2
Método gráfico de Culmann.
Con las hipótesis de Coulomb, Culmann ideó un procedimiento expedito para encontrar la superficie que ocasiona el empuje máximo .El procedimiento, refiriéndose a la figura 2.14 es como sigue:
Se traza las rectas b S por el paramento interno del muro, que forme un ángulo con la horizontal. Esta recta se conoce como línea pendiente, ya que representa la pendiente natural del suelo. Se traza luego la línea de los empujes b L, colocada por debajo de la línea pendiente y formando con la misma un ángulo igual al que forma la vertical con la línea de acción de empuje .El ángulo depende del ángulo de fricción entre muro y suelo y de la inclinación del paramento interno del primero.
Para determinar el primer empuje ,que se llamará ,ejercido por el suelo situado dentro de la zona delimitada por un plano de deslizamiento arbitrario bc1 ,es necesario obtener primero, el peso de la cuña del suelo, y se representa en la escala conveniente sobre la línea b S. Se obtiene así el punto , por el cual se traza la recta es semejante al polígono de fuerzas de la figura 2.14, la distancia es igual al empuje correspondiente a la superficie de falla . Para determinar el empuje activo , se repite la construcción para diferentes planos etc., y los puntos etc., se unen por medio de una curva C conocida con el nombre de curva de Culmann.Se traza la tangente a la curva C paralela a b S y la distancia representa el empuje . La superficie real de deslizamiento pasa por el punto y queda representada por la línea .
Figura 2.14.-Método gráfico de Culmann.
2.3.
Método semiempírico de Terzaghi.
Las teorías clásicas, en cierto modo, han resuelto el problema de suelos contra muros de retención, en una forma poco representativa en el caso de los suelos cohesivos. El método semiempírico propuesto por Terzaghi sobre sale entre los demás porque tiene un alto índice de confiabilidad, ya que es el producto de una larga experiencia en la Mecánica de Suelos. Una limitación de este método es que no es representativo para muros de grandes alturas (7 metros como máximo) .Ver figura 2.15. El primer paso de este método consiste en encasillar el relleno con sus características gravimétricas y granulométricas. 1.-Suelo granular, grueso y sin finos 2.-Suelo granular grueso y finos. 3.-Suelo residual con cantos, bloques de piedras y arenas. 4.-Arcillas plásticas blandas, limos orgánicos o arcillas limosas. 5.- Fragmentos de arcilla dura o medianamente dura, protegidos de modo que el agua de cualquier fuente no penetre entre los fragmentos. La segunda clasificación está referida a la inclinación superficial del relleno y a las condiciones de carga sobre él. Cubre 4 situaciones que en la práctica se encuentra con más frecuencia. 1.-La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin ninguna sobrecarga. 2.-La superficie de terreno es inclinada a partir de la corona del muro, hasta un cierto nivel, en que se torna la horizontal. 3.-La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una sobrecarga uniformemente distribuida. 4.- La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una carga lineal, paralela a la corona del muro y uniformemente distribuida. En el 1° y 2° caso de esta última clasificación el problema se resuelve aplicando las fórmulas.
Donde
= Componentes horizontal y vertical del empuje = Constantes obtenidas de las gráficas de la figura 5.15.
(2.15) (2.16)
El empuje horizontal se considera aplicado a un tercio de la altura, medido a partir del paño inferior del muro. Para el 3° caso, cuando el terreno soporta carga uniformemente distribuida , la presión horizontal sobre el plano vertical en que se supone actuante el empuje, deberá incrementarse uniformemente en
Donde:
(2.17)
q=Valor de la sobrecarga repartida c=Cohesión, se obtiene de la tabla, según el tipo de relleno. En el 4° caso, se considera que la carga ejerce sobre el plano vertical en el que se aceptan aplicados los empujes, una carga concentrada que vale
Donde
q´= Valor de la carga lineal uniforme c=se obtiene de la tabla 2.2
Tipo de relleno Valor 1 0.27 2 0.30 3 0.39 4 1.00 5 1.00 Nota: El tipo de relleno corresponde a la primera clasificación de este método.
Tabla 2.2.- Valores de C.
(2.18)
Figura 2.15.- Gráfica del método semi - empírico de Terzaghi (Relleno con superficie plana)
Figura 2.16.- Gráfica del método semi empírico de Terzaghi (Relleno con superficie plana)
Figura 2.17.- Gráfica del método semi empírico de Terzaghi (Relleno en terraplén) En los cálculos para rellenos del tipo V y el valor H que se debe considerar es menor en 1.20 que el real.
Figura 2.21.- Dimensiones tentativas de muros de gravedad y en voladizo.
BIBLIOGRAFIA
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Foundation Analysis and design-Bowles J.E.- Mc Graw Hill-1968. Foundation Engineering for difficult subsoil conditions-Zeevaert Leonardo-Van Nostrand Reinhold-1972.
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