I.
LA TE TEORIA DE DE RA RADICACIÓN
I.1 CONCEPTOS DE RADICAL Y SUS COMPONENTES L ar a di c ac i ó ns ed efi n ec omol ao pe r a ci ó ni n v er s adel ap ot e nc i a ci ó n.L ap ot e nc i a ci ó ne su nae x pr e si ó n ma t e má má t i c aqu ei n cl u y ed ost é r mi n osd en omi na do s:b as eaye x po nen t en.Sees c r i b ed el as i g ui en t ef o r ma :
Sel e ec o mo mo ,“ ael e v a d oan”
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. Ejemplos: 42 = 4 x 4 = 16, El número 16 es la segunda potencia de 4 y el número, 4 2 signiica 4 x 4. !a primera potencia de cual"uier número es el número mismo. !a potencia es el número de veces "ue el número mismo de#e ser tomado como actor. $e llama ra%& cuadrada de un número 'algunas veces se a#revia como ra%& a secas( a a"uel otro "ue siendo mayor o igual "ue cero, elevado al cuadrado, es igual al primero. En la radicaci)n El número "ue está dentro de la ra%& se denomina radicando 'a(, el grado de una ra%& se denomina %ndice del radical 'n( el resultado se denomina coeiciente '*(.
!as propiedades de la radicaci)n son #astante parecidas a las propiedades de la potenciaci)n, ya "ue una ra%& es una potencia con exponente racional.
1. LA FORMA DE REPRESENTACION DE LA RAÍZ !a orma de representar la radicaci)n es la siguiente: +ado un radicando , un %ndice radical - y una ra%& , donde se cumple "ue
se indicar%a de la siguiente orma
.
2. /0 /0 +E +E 3 /5+ /5+ 5 5:: !a ra%& de un producto es igual al producto de las ra%ces. 7 si se multiplica dentro del radical, el resultado será el mismo:
Ejemplo:
8. /0 +E 3 59E3E: !a ra%& de un cociente es igual al cociente de las ra%ces, siempre "ue estas existan : Ejemplo:
4. /0 +E 3 /0: ara calcular la ra%& de una ra%& se multiplican los %ndices de las ra%ces y se conserva la cantidad su#radical. Ejemplo:
Esto nos indica "ue si la potencia es igual al %ndice del radical se cancela la ra%& y "ueda la misma cantidad su#radical. ;. 5E39 +E 3 /0: ara elevar una ra%& a una potencia, se conserva el %ndice y es elevado s)lo la cantidad su#radical. Ejemplo:
;. $9<!999>3 +E /+9!E$: onsiste en o#tener un radical con una cantidad su#radical menor. ara ello es necesario expresar la cantidad su#radical como un producto de actores primos 'los números se descomponen y los polinomios se actori&an(. En clase se explicará esta simpliicaci)n. 6. 5E/953E$ E3/E /+9!E$ ? $uma y@o resta: ara sumar y@o restar radicales Astos de#en ser semejantes 'igual %ndice e igual cantidad su#radical(. $i son semejantes entonces se suman y@o restan los coeicientes de los radicales y al resultado se le coloca el mismo radical. En caso de no ser semejantes se mira si se pueden simpliicar para o#tener semejantes y luego de serlo se sigue el procedimiento anterior. I.2 EXTENSION DE LA LEY DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS A DETERMINAR BASES COMO EXPONENTES FRACCIONARIOS. LEYES DE LA POTENCIA APOLICABLIES A LA RADIACION Primera ley: roducto de potencias con la misma #ase. El producto de potencias con la misma #ase 'distinta de cero( es igual a la #ase elevada a la suma de los exponentes. Segunda ley: ociente de potencias con la misma #ase El cociente de potencias con la misma #ase es igual a la #ase elevada a la dierencia de los exponentes. Tercera ley:
otencia de una potencia !a potencia de otra potenciade la misma #ase 'distinta de cero( es igual "ue la #ase elevada al producto de los exponentes. Cuarta ley: otencia de un producto !a potencia de un producto es igual "ue el producto de la misma potencia de los actores. Buinta ley: uando un cociente se eleva a una potencia ara elevar una racci)n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicCo exponente. I.3 EXPONENTE FRACCIONARIO DE LA FORMA 1/M. SU SIGNIFICADO A UN ÍNDICE RADICAL DE ORDEN M, PARA UNA BASE IGUAL A LA CANTIDAD SUB RADICAL.
Exponentes raccionarios: D En el ejemplo de arri#a, el exponente es 2, Fpero y si uera DG F)mo uncionar%aG regunta: FBuA es xD G /espuesta: xD = la ra%& cuadrada de x 'o sea xD = Hx( For "uAG or"ue si calculas el cuadrado de xD tienes: 'xD(2 = x1 = x ara entenderlo, sigue esta explicaci)n de dos pasos: PASO 1 rimero, Cay una regla general: 'xm(n = xmIn 'or"ue primero multiplicas x m veces, despuAs tienes "ue Cacer eso n veces, en total mIn veces( Ejemplo: 'x2(8 = 'xx(8 = 'xx('xx('xx( = xxxxxx = x6s% "ue 'x2(8 = x2I8 = x6 PASO 2 Cora, vemos "uA pasa cuando Cacemos el cuadrado de xD: 'xD(2 = xDI2 = x1 = x uando Cacemos el cuadrado de xD sale x, as% xD tiene "ueser la ra%& cuadrada de x ro#amos con otra racci)n Jamos a pro#ar otra ve&, pero con un exponente de un cuarto '1@4(: FBuA es xKG 'xK(4 = xKI4 = x1 = x Entonces, F"uAvalor se puede multiplicar 4 veces para tener xG /espuesta: !a ra%& cuarta de x. s% "ue xK = la ra%& cuarta de x Regla general +e CecCo podemos Cacer una regla general: n exponente raccionario como 1@n signiica Cacer la ra%& nAsima: Ejemplo: Fuánto es 2L1@8 G /espuesta: 2L1@8 = 2L = 8 I.
CONDICIONES A SATISFACER POR UNA RAÍZ CUYO ES PAR O IMPAR. 2. En las ra%ces de %ndice par: 8. ompro#amos con M2: 4. aCora con N 2: ;. si el número de veces "ue multiplicamos un número 'positivo o negativo( por s% mismo es par, el resultado es positivo. 6. or eso decimos "ue no existe ra%& de %ndice par de un número negativo: 3o existe ningún número "ue multiplicado por s% mismo sea N 16. L. En las ra%ces de %ndice impar: O. P. ompro#amos:
1Q. si el número de veces "ue multiplicamos un número negativo por s% mismo es impar, el resultado es negativo. !a ra%& cuadrada exacta de un número entero es igual a otro entero, "ue elevado al cuadrado es igual al número dado. a#e resaltar "ue lo "ue dierencia, de la ra%& cuadrada de los números naturales, es "ue en la ra%& cuadrada de los números enteros, se tiene dos signos: positivo y negativo. 0ndice par , y radicando negativo: !a ra%& de un número negativo, con %ndice parR no existe, ya "ue no existe un número negativo "ue elevado a un %ndice par me reprodu&ca un número positivo. I.! ENGENERAR, ¿ES CIERTO QUÉ ¿TIENE EXCEPCIONES ¿CU!NDO
/a%& de una potencia: ara Callar la ra%& de una potencia, se calcula la ra%& de la #ase y luego se eleva el resultado a la potencia dada. I." SI#P$I%ICACI&' (E RA(ICA$ES. CO'(ICIO'ES )*E (E+E SATIS%ACER.
$e trata de una sencilla operaci)n muy útil en mucCas circunstancias. El valor de una ra%& no var%a si multiplicas o divides por un mismo número al %ndice y al exponente del radicando. uando simplii"ues al %ndice y exponentes "ue Caya dentro de una ra%&de#e ser el m.c.d de todos ellos por el "ue de#as dividir a cada uno de ellos. ara poder sumar o restar radicales es necesario "ue tengan el mismo %ndice y el mismo radicando. $olo cuando esto sucede podemos sumar o restar los coeicientes o parte numArica dejando el mismo radical. $i existe un número natural "ue divida al %ndice y al exponente 'o los exponentes( del radicando, se o#tiene un radical e"uivalente. I., SIMPLIFICACI"N DE UN RADICAL CUYO RADICANDO TIENE FACTORES CON BASES
AFECTADAS POR EXPONENTES DE GRADO MAYOR O IGUAL AL DEL ÍNDICE DE LA RAÍZ . !a actori&aci)n es la clave para simpliicar expresiones radicales. $i entendemos los exponentes como una multiplicaci)n repetida, podemos pensar so#re los radicales de la misma manera S aun"ue la orma en la "ue pensamos so#re una multiplicaci)n repetida #ajo el signo del radical puede serun poco dierente a lo "ue estamos acostum#rados.
Jamos a explorar esta idea de actori&ar usando la expresi)n radical . odemos leer esto como la ra%& cú#ica de 12;. ara simpliicar esta expresi)n, #uscamos un número "ue, cuando se multipli"ue por s% mismo dos veces 'para un total de tres actores idAnticos(, resulte 12;. ara cumplir con las condiciones "ue las propiedades de los radicales les imponen a estos cuando participan en alguna operaci)n, uno de los mAtodos es la simpliicaci)n de radicales. Jeámoslo con dierentes ejemplos: $impliicar n radical se puede expresar como una potencia de exponente raccionario. En nuestro ejemplo, se puede expresar como . or tanto se puede simpliicar igual "ue una racci)nR o sea se divide el %ndice '12 "ue se coloca como denominador( y el exponente 'P "ue se coloca como numerador( por un mismo número. 'P y 12 son divisi#les por 8, y "uedan como 8 y 4( Cora podemos Cacer el camino inverso y una potencia con exponente raccionario como podemos expresarla como un radical .
am#iAn se puede simpliicar directamente 'cuando es posi#le(, dividiendo el %ndice y el exponente por un mismo número '12 T 8 = 4 y P T 8 = 8(. I.- PROCEDIMIENTO QUE SIGUE LA SIMPLIFICACI"N DE UN RADICAL CON RADICANDO
FRACCIONARIO. Urai&'a@#( = rai&'a(@ rai&'#(
Urai&'aU#( = rai&'a( U rai&'#( ej: Ura%& cu#ica de 1@4 = ra%&cu#ica de 1@ra%& cu#ica de 4 = 1@ra%& cu#ica de 4 U ra%& cuadrada de 'O@2;( = rai& cuadrada de 'O( @ ra%& cuadrada de '2;( = ra%& cuadrada de '4U2( @ ; = rai& cuadrada de '4( U rai& cuadrada de '2( @ ; = 2 U rai& cuadrada de '2( @ ; I. ¿C"MO EXPLICA QUE EL ÍNDICE DE UNA RAÍZ DEBE SER EL MENOR POSIBLE
+e#e ser el menor posi#le para "ue sea más ácil de operar, sin alterar la operaci)n. I.1/ RADIAL SEME#ANTE.
son a"uellos "ue tienen el mismo %ndice y el mismo radicando. ueden dierir únicamente en el coeiciente "ue los multiplica. ara compro#ar si dos radicales son semejantes o no, se simpliican si se puede y se extraen todos los actores "ue sea posi#le, como puedes o#servar en la escena. I.11 ELIMINACI"N DEL DENOMINADOR EN UN RADICANDO FRACCIONARIO. ¿QUÉ NOMBRE
RECIBE ESTE PROCEDIMIENTO
1.12 5/E$ +E /953!99>3 7 $ 9!99>3. El actor racionali&ante de 1@V1 WH'x(X es: '1 M WHx M WHxY( @ '1 M WHx M WHxY(
7a "ue racionali&a el denominador de 1@V1 WH'x(X: = 1@'1 WHx( = '1 M WHx M WHxY( @ V '1 M WHx M WHxY( '1 WHx( X = '1 M WHx M WHxY( @ '1 x( I.12 PROCEDIMIENTO SEGUIDO AL RACIONALIZAR UNA EXPRESI"N CON DENOMINADORES
MONOMIOS QUE POSEEN RADICALES DE GRADO DOS O MAYOR QUE DOS. ¿QUÉ PROCEDE CUANDO SON DENOMINADORES BINOMIOS CON RADICALES DE GRADO DOS ¿CON DENOMINADORES BINOMIOS CON RADICALES DE GRADO MAYOR QUEDOS
I.13 FEN QUÉ CASO SE APLICA LA REDUCCI"N DE DOS O M!S RADICALES SEME#ANTES A
UNO SOLO /educci)n a %ndice común I.1 MÍNIMO COM$N ÍNDICE Y SUS APLICACIONES.
1Zallamos el m%nimo común múltiplo de los %ndices, "ue será el común %ndice 2+ividimos el común %ndice por cada uno de los %ndices y cada resultado o#tenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. I.1! PROCEDIMIENTO QUE SE SIGUE PARA SUMAR O RESTAR RADICALES SEME#ANTES.
PARA MULTIPLICAR O DIVIDIR RADICALES DEL MISMO O DISTINTO ÍNDICE. ¿QUÉ LEYES SON APLICABLES
!a radicaci)n es la 9nversa a la otenciaci)n !eyes de las /adicales ================= [ FH'x\( = x\@[ F
[ FHa# = [ FHa [ FH#
]]]][ FHa [ FHa@# = ]]]][ FH#
\H[ FH# = \[ FH#
!a radicaci)n no es distri#utiva con respecto a la suma y a la resta H'aY M #Y( ^ HaY M H#Y !a radicaci)n es distri#utiva con respecto a la multiplicaci)n y a la divisi)n H'aY U #Y( = HaY U H#Y
Estas son las !eyes de los Expone1111111111ntes
II.
1. CO'CEPTO (E EC*ACI&':
TEORIA (E $A EC*ACI&'
(concepto derivado del latín aequatio)>
Constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebráicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descuierto) vinculados a trav!s de diversas operaciones matem"ticas. PROPIEDADES Estas propiedades se conocen con el nombre de teoremas nos servirán para resolver las ecuaciones. a) Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad la igualdad se mantiene.
b) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene. c) Si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma cantidad la igualdad se mantiene. d) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Los cuatro teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una ecuación, es necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y multiplicación de los números reales y otros teoremas.
#. 0. 5. 6. 8.
C$%&$''S * +' C+C-'/ 1$2% 3'24 * 4 C+C-'/ 2S$4+C-' * 4 C+C-' 4 C$'7+'$ S$4+C-' * 4 C+C-' &2$C*-%-'$ &2 2S$492 C+C-$'S * &2-%2 32*$ 8.: * -&$ 4-'(*e;ínala ) * -&$ 12CC-$'2-(*e;ínala) ".2
Se suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera, efectuando las operaciones que se presenten. Se efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, preferentemente en el primer miembro. plicando las reglas y!o axiomas. Las constantes se pasan al miembro donde no está la variable. Es decir, al segundo miembro. plicando las reglas ya mencionadas. Se reducen los t"rminos seme#antes y se opera las constantes para luego despe#ar la incógnita o variable.
Ejemplo:
Solución $alculamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m.%&'(')* + ) -ultiplicamos a todos los t"rminos de la ecuación por el m.c.m., en este caso ).
,. EC*ACIO'ES (E PRI#ER 0RA(O E' (OS ARIA+$ES. #ETO(OS (E SO$*CIO' *TI$IA(OS ax by + c ....................Ecuación %* dx ey + f .....................Ecuación %)* /n sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve por los m"todos0 reducción, sustitución, igualación, $ramer, 1auss23ordan etc.
Ejemplo:
Soluciones:
A) MÉTODO DE REDUCCIÓN -ultiplicamos a la ecuación %)* por %2)*
B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 4espe#amos la variable 5x6 en la ecuación %)*
Solución: -ultiplicar a los t"rminos de la ecuación %* por el m.c.m.%('7* + )8 -ultiplicar a los t"rminos de la ecuación %)* por el m.c.m.%&'(* + ) Se tiene0
-. . 1/. 11. 12. 13. 1. 1!. 1".
EC*ACIO' C*A(RATICA E' *'A ARIA+$E. %OR#A 0E'ERA$ OTRAS %OR#AS )*E P*E(E' PRESE'TAR $AS EC*ACIO'ES. %OR#A (E SO$*CIO' EC*ACIO'ES +IC*A(RA(AS E' *'A I'CO0'ITA. %OR#A (E RESO$ER$A EC*ACIO' RA(ICA$ (E OR(E' (OS E' *'A I'CO0'ITA. %OR#A (E RESO$ER$A. RA&' (E CO#PRO+AR $AS SO$*CIO'ES (E *'A EC*ACIO' CO' RA(ICA$ES (E OR(E' (OS A$OR A+SO$*TO (E TO(O '*#ERO REA$ PROPIE(A(ES #AS I#PORTA'TES (E$ A$OR A+SO$*TO A CO'SI(ERAR E' *'A EC*ACI&' EC*ACIO'ES (E PRO#ER 0RA(O E' *'A ARIA+$E )*E E'*E$E A$OR A+SO$*TO PROPIE(A(ES A A0RE0ARSE A $AS A CO'OCI(AS PARA RESO$ER *'A EC*ACIO' (E PRI#ER 0RA(O E' *'A ARIA+$E CO' A$OR A+SO$*TO 1,. PROCE(I#IE'TO E' $A SO$*CIO' (E *'A EC*ACIO' (E PRI#ER 0RA(OE' *'A ARIA+$E CO' A$OR A+SO$*TO 1-.
