La sezione aurea: Dio è un matematico?
Lara Carlin A. a 2009- 2010
2
Indice
1
2
Origini e costruzioni Una pietra preziosa: le origini del nome
1.2
Riga e compasso: la divisione di un segmento
2.2
. . . . . . . . . . .
13
Metaponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Un mistero che dura da tremila anni: il pentagramma pitagorico
15
2.2.1
Salute a te: l'irrazionalità del pentagramma . . . . . . . .
15
2.2.2
La stella a cinque punte: la sezione aurea e il pentagono .
16
19
Dunque tirate i dadi e sceglietevi la vostra teoria : la sezione
aurea nell'antichità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Steli tavolette e bassorilievi: l'antica babilonia . . . . . . . . . . .
20
3.3
Bassorilievi, gerogli ci e piramidi: l'antico Egitto
20
3.3.1
. . . . . . . . .
Una scala per giganti: la piramide di Cheope
. . . . . . .
Pieno titolo ai greci 4.1
22
25
L'oro degli sciocchi: i solidi platonici
. . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Usata dalla divinità per ricamare le costellazioni sull'in-
4.1.2
Dio geometrizza sempre: il rapporto con
sieme dei cieli: il dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
7 10
Per l'essere razionale solo l'irrazionale è intollerabile: Ippaso di
Tra la sabbia del deserto 3.1
4
. . . . . . . . . . . . .
L'incommensurabilità e il pentagramma 2.1
3
7
1.1
φ
. . . . . . . . .
25 26 26
4.2
Il luogo della Vergine: il Partenone e il rettangolo aureo. . . . . .
4.3
Un ponte tra la geometria e l'algebra: il valore numerico di
4.4
Giocando con la calcolatrice e non solo: rappresentazioni e proprietà 31
φ
. .
Figli di una buona disposizione
35
5.1
Estraiamo il coniglio dal cappello: la serie di Fibonacci
5.2
Questa proporzione che gli odierni studiosi di geometria chiamano divina: le scoperte di Keplero
5.3 5.4
27 29
. . . . .
35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Eadem mutato resurgo: spira mirabilis . . . . . . . . . . . . . . .
39
Scorgo un certo ordine nell'universo e la matematica è un modo di renderlo visibile : la formula di Eulero- Binet- de Moivre . . . 3
41
6
De Divina Proportione
43
6.1
Dove non c'è ordine c'è caos: la vita
6.2
Questa nostra proportione: De Divina Proportione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1
Reverentia alla turba duodena e del suo sanctissimo Capo
6.2.2
Laddove non si può applicare una delle scienze matema-
Nostro Redemptore Christo Iesu: i 13 eetti
. . . . . . .
43 44 44
tiche, non si può avere la certezza: l'uomo misura di ogni
cosa e Leonardo da Vinci
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3
De corpi: i poliedri e Piero della Francesca
6.2.4
La matematica, la più precisa, logica e gra camente costruttiva delle scienze: Albrecht Dürer
7
8
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
In viaggio verso l'Alhambra
48 49
51
7.1
Incontro con l'artista: Maurits Cornelius Escher
. . . . . . . . .
51
7.2
Questa è follia, se pure c'è del nesso: Dart e Kite . . . . . . . . .
52
7.3
Non è solo un gioco di puzzle: i quasicristalli
55
. . . . . . . . . . .
Un canone di bellezza 8.1
57
L'arte non consiste nel rappresentare cose nuove, bensì nel rappresentare con novità: il rapporto con l'arte . . . . . . . . . . . . . 8.1.1
8.2
9
47
Le opere umane più belle: da Leonardo a Le Corbusier . .
Il rettangolo più bello?: indagini psicologiche
. . . . . . . . . . .
Innumerevoli sono le meraviglie del mondo 9.1
63
Riconosce questa?
65
E' un Nautilus, aveva detto la diplomata
in biologia: una spirale alquanto speciale . . . . . . . . . . . . . . 9.3
57 60
Non ha mai studiato il rapporto tra femmine e maschi in un alveare?: la vita dei fuchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
57
66
I semi di girasole crescono secondo spirali opposte. Chi sa dire il rapporto tra una rotazione e la successiva?: girasoli, pigne, rose
e foglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4
rapporto aureo e il corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5
68
La prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro.: il 70
L'irragionevole e cacia della matematica: il mondo è veramente
scritto con i caratteri della matematica? . . . . . . . . . . . . . .
10 Sei personaggi in cerca d'autore
71
73
10.1 Pitagora, il numerologo: l'ordine del cosmo
. . . . . . . . . . . .
73
10.1.1 Ipse dixit: la vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
10.1.2 Tutto è numero:
74
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2.1
i numeri come principio: la musica, l'intelligen-
10.1.2.2
l'origine del numero per i pitagorici: la tetraktys
za, la scienza etc...
. . . . . . . . . . . . . . . .
74 75
10.1.3 L' harmonia(accordo) del kosmos(l'ordine delle cose) :
il cosmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Platone, il losofo: Dio geometrizza sempre 4
. . . . . . . . . . . .
76 77
10.2.1 Platone è la loso a e la loso a è Platone. (Ralph Waldo Emerson): la vita del losofo
. . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Dialogo a due voci: nella caverna di Platone
. . . . . . .
77 77
10.3 Archimede di Siracusa, il maestro: la matematica per mezzo della meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
10.3.1 Una vita incerta tramandata dagl'altri: cenni di vita . . .
80
10.3.2
εùρηκα
e
δoς μοι που σvτω και κινω την γην:
aneddoti e realtà
un uomo tra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 I'm afraid, I'm tired of inventing things!
Archimede ingegnere e inventore
81
I need a rest!:
. . . . . . . . . . . . . .
82
10.3.4 Decisamente al di là del con ne della matematica classica:
le scoperte matematiche , l'universo e il metodo
. . . . .
82
10.4 Galileo Galilei, l'eretico. La matematica come grammatica della scienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
?
10.4.1 ...non tutto quello che fa un grand'uomo, è grande... :
la fede nel cannocchiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
10.4.2 ...Ma l'universo nel giro di una notte ha perduto il suo centro, e la mattina dopo ne aveva un'in nità. Da un momento all'altro guarda quanto posto c'è...
?
: L'universo
diventa più grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Un Dio che geometrizza?: Il grande libro dell'universo
. .
10.4.4 ...Ho l'incarico di ammonirvi ad abbandonare tali dottrine... : la condanna da parte della chiesa . . . . . . . . . . . . .
86 87
? 88
10.5 Cartesio, lo scettico: La matematica entra nella conoscenza umana 90 10.5.1 quod vitae sectabor iter? (Ausonio): la vita . . . . . . .
90
10.5.2 Aaa cercasi nuovo tipo di conoscenza della totalità del reale: il Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
10.5.3 Il più gran passo che sia mai stato fatto nel progresso dalle scienze esatte (John Stuart Mill): il piano cartesiano e
la matematica universale
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
10.6 Isaac Newton, il gigante: l'universo scritto sottoforma di formule matematiche
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
10.6.1 Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generis decus (epita o funebre): nasce un gigante
.
93
10.6.2 Cade una mela: nasce la forza di gravità . . . . . . . . . .
93
10.6.3 Posso misurare il moto dei corpi, non l'umana follia: le
leggi del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
10.6.4 I pilastri meta sici che sorreggono la metodologia di Newton: la natura è semplice e uniforme . . . . . . . . . . . .
11 La scienza dell'incertezza
96
97
11.1 Alle cose certe quanto la morte e le tasse si può credere con maggior fermezza: dai bollettini di morte alla statistica . . . . . .
97
11.1.1 Tra bottoni, aghi e tessuti: John Graunt
98
. . . . . . . . .
11.1.2 L'assicurazione sulla vita: Halley e le tavole di mortalità 11.1.3 L'uomo medio: Lambert-Adolphe-Jacques Quételet 5
99
. . . . 100
11.2 Che passione il gioco d'azzardo: la nascita della probabilità. . . . 100 11.2.1 Il gioco dei dadi: Cardano, Pascal e Fermat . . . . . . . . 101 11.2.2 Il più grande tra i fratelli Bernoulli: Jakob Bernoulli . . . 102 11.2.3 Questa ipotesi, signore, in eetti spiega tutto, ma non permette di predire nulla. Come studioso, io devo fornirvi opere che permettono di fare predizioni : Pierre- Simon
Laplace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12 Il mondo cambia forma
105
12.1 Euclide e la costruzione di un edi cio solido: gli Elementi
. . . . 105
12.1.1 Crolla il solido muro di Euclide: il quinto postulato . . . . 107 12.2 La costruzione di nuovi mondi: le geometrie non-euclidee
. . . . 107
12.3 Nuove geometrie: i mille volti della geometria . . . . . . . . . . . 109
13 Tra il vero e il falso
113
13.1 Ri ettere sul ragionamento: gli inizi
. . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.2 Un inglese calcolatore: George Boole
. . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.2.1 La logica proposizionale: simboli e connettori: le tavole
di verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 13.2.2 Ma la logica è solo vero e falso? l'algebra booleana 13.3 Un tedesco sensato: Gottlob Frege
. . . . 115
. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.3.1 La logica predicativa: uno, nessuno e centomila . . . . . . 116 13.3.2 Chiacchierando con Russell: il quinto postulato
. . . . . . 117
13.4 Un tedesco (in)completo: Kurt Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . 118 13.4.1 Questa frase è falsa: il primo teorema
. . . . . . . . . . . 119
13.4.2 Solo i pazzi possono credere di non essere matti: il secondo
teorema
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14 Una storia annodata
121
14.1 La teoria dei nodi: un percorso storico- didattico- matematico . . 121 14.2 Le origini della teoria dei nodi: sbrogliamo la matassa
. . . . . 122
14.3 La chiusura delle trecce: il polinomio Alexander . . . . . . . . . . 123 14.4 I diagrammi piani dei nodi: Kurt Reidemeister
. . . . . . . . . . 123
14.5 L'aritmetica dei nodi: la scomposizione in fattori primi
. . . . . 123
14.6 Piccoli interventi chirurgici: John Conway e il DNA Vaughan Jones 123 14.7 Sviluppi futuri: la teoria dei nodi e la teoria delle stringhe . . . . 124 14.8 Testi di riferimento:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
15 L'irragionevole e cacia della matematica
125
15.1 La sfera di cristallo: accuratezza ed e cacia predittiva della matem-
atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 15.2 La mente umana e la matematica: invenzione o scoperta?
6
. . . . 126
Capitolo 1 Origini e costruzioni La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio e estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d'oro e de nire il secondo una pietra preziosa. Keplero (1571-1630)
1.1
Una pietra preziosa: le origini del nome άκρος
καì μέσvος λόγος 1 Euclide, Elementi, libro XIII 2
Parlando della costruzione del pentagono, Euclide
fornisce - circa tre secoli
prima di Cristo - quella che possiamo prendere come la più antica testimonianza scritta riguardante la divisione di un segmento in media e ultima ragione, ovvero in quello che noi oggi chiamiamo con il nome di rapporto aureo. Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l'intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore.
3
In altre parole, se osserviamo l'immagine qui sopra riportata, il segmento AB è diviso in media e ultima ragione dal punto
C0
se vale la seguente relazione:
AB : AC 0 = AC 0 : C 0 B . 1 Traduzione: media e ultima ragione 2 Ritorneremo a parlare della vita di
questo matematico greco fondatore della geometria
nel capitolo 12.1
3 Euclide,
Elementi
7
Nella letteratura matematica il simbolo che inizialmente indicava il rapporto aureo era la lettera greca tau (τ ), in quanto iniziale del nome greco tomé, che signi ca taglio o sezione. Fu il matematico americano Mark Barr che introdusse all'inizio del XX secolo l'uso della lettera
φ
(phi), dall'iniziale dello scultore
greco Fidia (Φειδίας) vissuto tra il 490 e il 430 a.C. Si reputa infatti che Fidia 4
avesse usato il rapporto aureo per creare le sculture del Partenone e Barr volle rendergli omaggio indicando tale rapporto con Non solo il simbolo cambiò da
τ
a
lo stesso nome subì dei mutamenti.
φ,
φ.
ma durante lo scorrere dei secoli anche
Conosciuto originariamente come pro-
porzione estrema e media grazie alla de nizione datagli da Euclide, l'interesse per il numero aureo ricomparve in epoca rinascimentale con il nome di divi-
na proportione . L'aggettivo divina è dovuto al matematico Fra Luca Pacioli (1445-1517) che nel
5°
capitolo della sua opera De divina proportione elenca 5
ragioni per cui utilizza questo aggettivo. 1. Il valore unico del rapporto aureo è paragonabile al fatto che l'unità è il supremo epiteto di Dio stesso. La prima e che lei a una sola e non più. E non e possibile di lei asegnare altre specie ne dierentie. La quale unita a el supremo epiteto de epso idio secondo tutta la scola theologica e anche phylosophica. 2. Il rapporto aureo evidenzia tre lunghezze (AB, AC', BC') che possono essere confrontate con la de nizione di Dio come Uno e Trino. La
2a
convenientia e dela sancta trinita. Cioe commo indivinis
una medesima substantia a fra tre persone, padre glio e spirito sancto. Cosi una medesima ppor de questa sorte sempre conven se trovi fra termini.
E mai ne in piu ne in mancho se pore trovare
commo se dira. 3. Le proprietà di irrazionalità del numero (inesprimibile per mezzo di frazione) sono paragonate all'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana. La
3a
convenientia e che si commo idio propriamente non se po
di nire, ne per parolle a noi intendere, cosi questa nostra propor non se po mai per numero intendibile asegnare ne per
q ta
alchuna ratio-
nale exprimere, ma sempre a occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrazionale. 4. L'autosimilitudine del rapporto aureo (non dipendente dalla lunghezza del segmento da dividere) rinvierebbe all'onnipresenza e invariabilità di Dio La
4a
convenientia e che si commo idio mai non se po mutare
e a tutto in tutto e tutto in ogni parte. ppor sempre in ogni
q ta
cosi la presente nostra
continua e disereta:osienno grandi osienno
piccole a una medesima: e sempre invariabile. E per verunmodo se
4 Ritorneremo
a parlare nello speci co di questo argomento nel capitolo 4
8
po mutare ne ancho per intellecto altramente a prender commo el nostro processo demonstrara. 5.
Dio ha conferito l'essere all'intero cosmo tramite la quint'essenza, così il
rapporto aureo è alla base dell'esistenza del dodecaedro, gura importante nel periodo greco come vedremo nei prossimi capitoli. Pacioli inoltre aerma che è impossibile confrontare tra loro altri quattro poliedri platonici senza il rapporto aureo La quinta convenientia se po non immeritatamente ale predicte a rogere cioe. Si commo idio lessere conferesci ala virtu celeste per altro nome detta
5a
essentia e mediante quella ali altri 4 corpi semplici
cioè ali quattro elementi: Terra: Aqua: Aire e Fuoco. E per questi l'essere acadauna altra cosa in natura.
Cosi questa nostra sancta
propor lesser formale da secondo lanticho platone in suo mco aepso cielo.
atribuendoli la gura del corpo dentro Duodecedron.
altra-
mente corpo de 12 pentagoni. El quale commo de sotto se mostrata senza la nostra proportione non e possibile poterse formare.
Esi-
milmente aciascuno deli altri elementi propria forma asegna fra loro per niun modo coicidenti cioe al fuoco. la gura pyramidale. detta Tetracedron: ala terra la gura cubica detta exacedron. A l'aire la gura detta octocedron. E la l'aqua quella detta ycocedron La denominazione di rapporto aureo invece compare in epoca più recente e senza spiegazioni: se infatti Luca Pacioli elenca le ragioni per cui il rapporto possa essere inteso come divino, per quanto riguarda l'aggettivo aureo non possediamo notizie certe. Comparve per la prima volta nel 1835 in una nota a piè pagina del libro Die
Reine Elementar-Mathematik di Georg Simon Ohm (1789-1854) che scrisse: Solitamente, questa divisione di una linea arbitraria in due parti cosiatte è chiamata sezione aurea Con queste parole Ohm speci cò di non essere l'ideatore del nome ma di usare un'espressione già discretamente diusa. U cialmente il termine venne accolto dall' Encyclopedia Britannica nel 1875, probabilmente dopo la pubblicazione di un articolo di estetica di James Sully (1842-1923); in questo articolo vennero riportati degli esperimenti eseguiti dal pioniere della psicologica tedesca Gustav Theodor Fechner (1801-1887) sulla presunta superiorità estetica del rettangolo aureo (cfr.
capitolo 8).
Da qui in avanti l'uso divenne sempre più frequente
in tutta Europa: i primi esempi in inglese li troviamo nell'articolo The Gol-
den Section di E. Ackermann - pubblicato nella rivista American Mathematical Monthly nel 1898 - e nel manuale Introdution to Algebra del saggista G. Chrystal (1851-1911). Fu probabilmente il largo utilizzo del nome, prima in Germania poi in Inghilterra, che facilitò l'internazionalizzazione della formula facendola così entrare a pieno titolo nell'ambito culturale accademico. 9
1.2
Riga e compasso: la divisione di un segmento Come dividere un segmento in modo che ha per lati l'intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore. Euclide, Elementi, proposizione 11 libro II
Attraverso l'uso della semplice riga e del compasso è possibile costruire geometricamente la sezione aurea su qualsiasi segmento AB. É lo stesso Euclide a fornire una possibile divisione nella proposizione 30 del libro VI della sua opera gli Elementi. Puotemo seghare qualunque proposta retta linea terminata secondo la proportione hauente il mezzo & duoi estremi. Sia proposta la linea .a.b. laqual uoglio diuidere secondo la propornione hauente il mezzo, & duoi estremi sopra quella descriuerò il quadrato ,b,c, et al lato ,a,c, de quello aggiongo (secondo che insegna la passata) lo paralellogrammo .c.d. equale al quadrato ,b,c, elquale aggionga , ouero. soprauanci al compimento della linea ,a,c, lo paralellogrammo ,a,d, elqual sia simile al ,b,c, e sia lo lato del paralellogrammo ,c,d, che equidista al lato a,c, lo ,d,e, & seghi la linea ,a,b, in ponto ,f, dico la linea ,a,b, essere diuisa in ponto ,f, come era proposto perche ,a,d, è quadrato per questa causa che quello è simile al ,b.c.
onde lo lato .a.f.
è equale al ,f,d, & lo lato ,f,e, è
equale al a,b, per questo che eglie equale al ,a,c, (per la trigesima quarta del primo) & perche ,c,d, è equale al ,b,c, leuado uia a l'uno e l'altro lo ,c,f, serà lo ,a,d, equale, al ,e,b, & l'angolo ,f, de l'uno all'angolo ,f, dell'altro adonque (per la quartadecima di questo) li lati sono mutui adonque del ,e,f, al ,f,d, serà si come del .a,f, al ,f,b, & perche lo ,e,f, è equale al,a,b, & lo ,f,d, al ,a,f, serà del ,a,b. al ,a,f, si come del ,a,f, al ,f,b, adonque per la di nitione è diuisa come se propone, el medesimo anchora puo esser demostrato (per la undecima del secondo) perche essendo diuisa la ,a,b, in ponto ,f, (secondo che insegna la undecima del secondo) et sia la super cie ,e,b, quella che è contenuta sotto a tutta la ,a,b, & alla parte ,f,b, de quella cioe che la ,e,f, sia equale al ,a,b, & ,a,d, sia il quadrato de .a.f. adonque (per la predetta undecima del secondo) la ,e,b, è equale al ,a,d. Quello che resta arguisse come prima (per la quartadecima di questo) ouer in questo modo conciosia cosa che la ,a,b, sia diuisa in ponto ,f, secondo che insegna la undecima del secondo, quello che, uien fatto della ,a,b, prima in la ,f,b, terza è equale al quadrato della ,a,f, seconda adonque (per la seconda parte della decima settima di questo) la proportione della ,a,b, prima alla ,a,f, seconda è si come della ,a,f, seconda alla ,f,b, terza è per tanto la ,a,b, (per la di nitione) è diuisa come se prepone.
5 traduzione
Niccolò Tartaglia
10
5
Per dividere un segmento lineare AB in media ed estrema ragione, Euclide dapprima costruiva sul segmento AB il quadrato ABCD; poi bisecava AC nel punto E, tracciava il segmento lineare EB , e prolungava il segmento CEA no a F in modo che
EF = EB .
Componendo il quadrato AFGH, il punto H costituirà
il punto desiderato: si può infatti facilmente mostrare che
AB : AH = AH :
HB . Esiste tuttavia un modo più semplice per dividere il segmento date le proporzioni media ed estrema. Dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB,
AB 2 , si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e di raggio pari a
CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB de nendo così il segmento AS medio proporzionale rispetto ad AB e SB.Quindi
AB : AS = AS : SB .
Infatti considerando il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è
AD : AB = AB : AE , che per (AD − AB) : AB = (AB − AE) : AE . AS : AB = SB : AS da cui AB : AS =
medio proporzionale rispetto a AE e AD, cioè le proprietà delle proporzioni diventa Ma sappiamo che
AS : SB .
AE = AS
, quindi
Quella che otteniamo è eettivamente la divisione di in segmento in
sezione aurea.
Capovolgendo il problema e cioè volendo trovare quel segmento di cui la lunghezza AB sia la sezione aurea, si può procedere nel modo seguente: si trova il punto medio M del segmento dato e si costruisce sul lato AB un quadrato che avrà come vertici C e D. Si traccia poi un cerchio di centro M e di raggio MC (=MD) che interseca in S il prolungamento di AB. AS è il segmento cercato, di cui AB è la sezione aurea.
Infatti se consideriamo i
triangoli CAS e SBD essi sono simili perché rettangoli e con gli angoli
α0 uguali 6 e quindi i cateti sono AS : AB = AB : (AS − AB).
6 α = α0
in proporzione:
in quanto i loro complementari
β e β0
che sottendono lo stesso arco DS.
11
AS : DB = CA : BS
α
ed
da cui
sono uguali in quanto angoli alla circonferenza
12
Capitolo 2 L'incommensurabilità e il pentagramma Pitagora ci scosse l'equilibrio mentale gravandoci il cervello del numero irrazionale.
2.1
1
Per l'essere razionale solo l'irrazionale è intollerabile: Ippaso di Metaponto
Sono ben pochi i dati riguardanti la vita di Ippaso di Metaponto (o di Crotone) che visse probabilmente tra il 470 a.C. e il 390 a.C. Ippaso fece parte della setta pitagorica dalla quale fu poi espulso.
Che cosa fece di così terri-
bile per essere allontanato dalla sua stessa comunità?
La causa della rottura
non è nota e il motivo in gran parte lo dobbiamo alle rigide regole di segretezza osservate dalla scuola. Tuttavia le ipotesi più probabili possono essere tre: secondo una prima versione Ippaso sarebbe stato espulso per insubordinazione politica, avendo guidato un movimento democratico alla rivolta contro il governo conservatore; un'altra tradizione attribuisce l'espulsione alla divulgazione di conoscenze pitagoriche riguardanti la geometria del pentagono o del dodecaedro; una terza spiegazione invece vorrebbe Ippolito allontanato dalla comunità in quanto divulgatore dell'esistenza delle grandezze incommensurabili. Quest'ultima rivelazione provocò eetti sconvolgenti alla loso a pitagorica, che reputava la vita umana basata sui numeri interi e i loro rapporti (tutto è numero cfr. capitolo 10.1.2). Riguardo la drammatica reazione della comunità, leggiamo nella Silloge delle dottrine pitagoriche dello storico e losofo siriano Giamblico (Calcide, 245- 325):
1 Steven
Cushing, poesia pubblicata nel 1988 nel Mathematical Magazine
13
Dicono che il primo che divulgò la natura della commensurabilità e incommensurabilità a chi non era degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo che non solo lo si bandì dalla vita in comune a dalle associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua tomba, come se l'ex a liato si fosse posto al di fuori dell'intera comunità dei viventi. La scoperta delle grandezze incommensurabili voleva che all'interno della geometria stessa i numeri interi e i loro rapporti non fossero in grado di spiegare neppure le semplici proprietà fondamentali, come per esempio il rapporto tra diagonale di un quadrato e il suo lato. Per quanto piccola sia l'unità di misura che si sceglie, i segmenti restano comunque incommensurabili. Di solito si assume che il riconoscimento abbia avuto luogo in connessione con il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo isoscele. Aristotele (Stagira, 384 a.C., Calcide, 322 a.C.) fa riferimento alla prova di incommensurabilità della diagonale di un quadrato rispetto al lato, speci cando che essa era basata sulla distinzione tra numeri pari e numeri dispari. La diagonale [del quadrato] è incommensurabile [al lato] perché i numeri dispari risultano uguali anche partendo dall'ipotesi che sia commensurabile
2
In eetti una prova del genere può essere costruita facilmente: siano
d
e
s
la
diagonale e il lato di un quadrato, e per assurdo assumiamo che siano commen-
p d s sia razionale e uguale a q , dove p e q sono numeri interi senza nessun fattore in comune. Ora, in base al teorema di Pitagora si p2 d 2 2 2 2 2 2 2 sa che d = s + s ; pertanto ( ) = 2 = 2, ossia p = 2q . Pertanto p deve s q essere pari e quindi anche p deve esserlo. Di conseguenza, q deve essere dispari. 2 2 Se poniamo p = 2r ed eettuiamo la sostituzione nell'equazione p = 2q , ot2 2 2 2 2 teniamo 4r = 2q , ossia q = 2r . Allora q deve essere pari e pertanto deve surabili, ossia che il rapporto
essere pari anche
q.
Tuttavia, si era precedentemente mostrato che
q
è dispari,
e un intero non può essere al tempo stesso dispari e pari. Ne consegue pertanto, per via indiretta, che l'ipotesi che
d
e
s
siano commensurabili è falsa.
L'interpretazione che invece da Giamblico in relazione alla morte di Ippaso è: si dice di Ippaso che fosse un pitagorico, e che essendo stato il primo a pubblicare e a descrivere la sfera dei dodici pentagoni, sia perito in mare per la sua empietà, ma sia stato creduto l'autore della scoperta, sebbene questa in realtà discendesse da LUI [Pitagora]. Che misteri esistono dietro la gura del pentagono? Come mai la rivelazione di siatta gura suscitò tanto clamore? Cosa c'entra l'incommensurabilità con il pentagono e la sezione aurea? Kurt von Fritz nell'articolo La scoperta dell'incommensurabilità da parte di
Ippaso di Metaponto del 1945 suggerisce che la scoperta del rapporto aureo e dell'incommensurabilità siano da ascrivere ai pitagorici. Infatti l'interesse per
2 Aristotele,
Analitici primi
14
il pentagramma e il pentagono da parte della comunità pitagorica unito alle conoscenze geometriche della metà del V secolo a.C. rendono plausibile che un pitagorico, nello speci co Ippaso di Metaponto, abbia scoperto il rapporto aureo e con questo l'incommensurabilità. Come?
Un mistero che dura da tremila anni: il pen-
2.2
tagramma pitagorico
Mefistofele:
Ti dirò, c'è un minuscolo intoppo, Che mi im-
pedisce di andarmene via: Quel piè di strega sulla soglia....
Faust:
È il pentagramma a darti noia? dimmi, creatura dell'in-
ferno, Se quello ti è d'ostacolo, com'hai fatto ad entrare? Come si è fatto intrappolare Uno spirito come te?
Mefistofele:
Guarda bene. il disegno non è esatto. Uno degli
angoli, volto all'esterno È, come vedi, un po' aperto.
2.2.1
3
Salute a te: l'irrazionalità del pentagramma
Congiungendo tutti i vertici di un pentagono regolare tramite le diagonali, come nell'immagine qui a anco , otteniamo una gura a forma di stella a cinque punte, chiamata pentagramma. Questa gura assume una connotazione magica nella cultura pitagorica, come lo stesso numero 5 somma dei primi due numeri primi:
il numero femminile
(2)
e quello maschile
(3).
Il numero 5 è quindi
simbolo dell'amore e del matrimonio: non a caso oggigiorno nelle bomboniere troviamo 5 confetti. Il pentagramma era il simbolo della confraternita pitagorica ed era chiamata Salute.
In ogni caso la sua [di Pitagora] scuola nella corrispondenza seria tra i suoi membri cominciava subito con un Salute a te, reputandolo l'esordio più appropriato per il corpo e per l'anima, e una sintesi di tutte le fortune umane.
Ed eettivamente il pentagramma, il
triangolo della tripla intersezione che usavano per simbolo della loro setta, era da loro chiamata Salute
4
Ottenuto il pentagramma, le diagonali formano un ulteriore pentagono più piccolo nel suo centro.
Tale procedimento può essere ripetuto in questo pen-
tagono producendo un secondo pentagramma e un terzo pentagono in una progressione che può continuare all'in nito; da qui l'idea di una gura associata all'incommensurabilità.
3 Goethe (1749-1832), Faust 4 Luciano (scrittore e retore greco
del II secolo d.C.), Dell'errore nel salutare
15
Vogliamo infatti dimostrare che la diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili. La dimostrazione appartiene al metodo della reductio ad 5
absurdum .
Chiamiamo l1 il lato del pentagono
ABCDE , e d1
la sua diagonale. Tramite
AB = AH e HC = HJ . F GHIJ , e d2 la sua diagonale. AC = AH + HC = AB + HJ . Perciò d1 = l1 + d2 ovvero
le proprietà dei triangoli isosceli, è facile provare che Chiamiamo poi l2 il lato del piccolo pentagono Evidentemente
d1 − l1 = d2 . l1 sono d1 − l1 , cioè a d2 . In modo simile, le uguaglianze AG = HC = HJ , AH = AB e AH = AG + GH AB = HJ + GH danno l1 = d2 + l2 ovvero l1 − d2 = l2 . Poiché, in base alla nostre ipotesi, la misura comune di l1 e d1 è anche comune a d2 , l'ultima uguaglianza dimostra che è anche comune a l2 . Abbiamo quindi provato che l'unità di misura comune a l1 e d1 è anche comune a l2 e d2 . Dire che
d1 e l1
hanno una misura comune equivale a dire che
d1
e
multipli interi di quella misura. Perciò, tale misura sarà comune anche a
Questo ragionamento può essere ripetuto inde nitamente per pentagoni sempre più piccoli. Di conseguenza, la stessa unità di misura che il lato e la diagonale del pentagono più grande hanno in comune, l'avrebbero in comune anche il lato e la diagonale di tutti gli altri pentagoni. Sebbene la deduzione sia impeccabile, ciò è impossibile. Dobbiamo concludere che l'ipotesi di partenza, che il lato e la diagonale del pentagono abbiano un'unità di misura comune, è falsa; ossia l'incommensurabilità di l1 e
2.2.2
d1
è dimostrata per reductio ad absurdum.
La stella a cinque punte: la sezione aurea e il pen-
tagono Il libro XIII degli Elementi di Euclide riferisce che i pitagorici conoscevano solo tre poliedri regolari:
il tetraedro, il cubo e il dodecaedro.
Dopo la scoperta
presso Padova di un dodecaedro di pietra etrusco risalente a prima del 500 a.C. sembra plausibile che avessero familiarità con quest'ultima gura. Sebbene i pitagorici non conoscessero l'ottaedro e l'icosaedro, non è improbabile che
5 La
dimostrazione per reductio ab absurdum consiste nel iniziare la dimostrazione ipotiz-
zando il contrario di quello che si intende dimostrare, nella dimostrazione poi si arriverà a dimostrare l'impossibilità dell'ipotesi iniziale arrivando quindi all'assurdo.
16
fossero a conoscenza di alcune proprietà del pentagono regolare; se infatti si osserva il magni co incastro tra pentagoni e pentagrammi via via più piccoli si nota che ogni segmento è minore del precedente di un fattore esattamente uguale al rapporto aureo,
φ.
In particolare, osservando la gura, il rapporto
aureo è pari al rapporto tra il lato e
EF
(o
EG)
e tra
EF
e
EG,
BC
e la sua diagonale
e a sua volta
EF e F G,
EB , ma anche tra EB
e un'in nità di relazioni
simili se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte. La divisione di un segmento
AB
in sezione aurea può quindi essere eettuata
costruendo un pentagono regolare del quale
AB
rappresenta una diagonale e
disegnandovi all'interno quello che chiamiamo un triangolo aureo, ossia un triangolo isoscele la cui base corrisponde al lato del pentagono e i lati uguali alle diagonali congiungenti quest'ultimo al vertice opposto; i triangoli adiacenti vengono invece detti gnomoni aurei.
108°6 , ciò signi ca che gli angoli alla base degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano 36° e, per dierenza, quelli alla base del triangolo aureo 72°. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36°, 72°, 72°. Tracciando la bisettrice di un angolo alla base si ricava un altro triangolo DCB con l'angolo in D di 36°, così l'angolo in C sarà a sua volta di 72°. DCB è dunque un altro triangolo aureo. Per il primo criterio di similitudine dei triangoli, ABD e DCB sono triangoli simili; quindi AB : DB = DB : CB , d'altra parte anche il triangolo ACD è isoscele, perché l'angolo in D è di 36° come l'angolo in A. Risulta quindi AC = DC = DB ottenendo così: AB : AC = AC : CB . L'ampiezza dell'angolo interno del pentagono regolare è di
6 La
n lati è in gradi sessagesimali 180 · (n − 2), 540°, che diviso per 5 fa 108°.
somma degli angoli interni di un poligono di
per il pentagono la somma interna degli angoli è
17
18
Capitolo 3 Tra la sabbia del deserto Quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci sia dato di vivere.
È l'emozione fondamentale situata al centro della
vera arte e della vera scienza.
Da questo punto di vista chi sa e
non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente è simile a un morto, a una candela che non fa più luce Einstein (1879-1955)
3.1
Dunque tirate i dadi e sceglietevi la vostra teoria 1 : la sezione aurea nell'antichità
A livello storico ci si domanda se prima dei greci la sezione aurea fosse o meno conosciuta. I casi più importanti sono quelli legati ai babilonesi e agli egizi. L'autore Mario Livio (nato nel 1945) è molto scettico sul fatto che la sezione fosse conosciuta e quindi applicata presso tali civiltà. Nel suo capitolo Sotto una piramide orientata alle stelle? del libro La sezione aurea cerca di convincere il lettore che sia assurdo pensare ciò e conclude proprio il capitolo con le seguenti parole: Per quanto ci riguarda, ci sentiamo di giudicare altamente improbabile che i babilonesi e gli egizi conoscessero il rapporto aureo e le sue proprietà; onore di questa scoperta fu lasciato ai matematici greci. Questa considerazione deriva principalmente da due obbiezioni che lo stesso Livio fa in collegamento alle misurazioni e agli errori: in primo luogo sostiene che è relativamente facile trovare in un qualsivoglia oggetto due misure di esso che stanno in rapporto aureo, questo in parte deriva dall'arbitrarietà dei punti che vengono considerati nei bassorilievi o nei monumenti. Secondo, tutte le misure
1 Colonnello R. S. Beard di Bekeley,
California 1968 pubblicata nel The Fibonacci Quarterly
19
che rileviamo contengono necessariamente errori dovuti alle imprecisioni degli strumenti e degli uomini. Non va neanche dimenticato che secondo alcuni egittologi, tra cui Kurt Mendelsson (1906-1980), i sistemi di misurazione utilizzati in antichità variassero a seconda della misurazione di una larghezza o un'altezza. Nella teoria mendelssoniana gli egizi usavano corde di bre di palma per le quote (con il cubito come unità di misura) e rulli di un cubito di diametro per le lunghezze. Ritengo che non sia così importante sapere quale sia l'esatta origine della sezione aurea ne se tale rapporto sia stato utilizzato intenzionalmente, ma ritrovarlo in alcune delle opere più belle ed aascinanti della storia raorza quell'alone di mistero di cui parlava Einstein che avvolge anche questo rapporto.
Bisogna forse trovare all'interno dell'uomo stesso la spiegazione al valore
di questo rapporto?
Inconsciamente siamo portati a vedervici l'armonia e la
bellezza?
3.2
Steli tavolette e bassorilievi: l'antica babilo-
nia 1 40 la costante della gura a cinque lati. Nel 1936 nella città iraniana di Susa fu ritrovata questa inscrizione su una tavoletta cuneiforme risalente al II millennio a.C..
Con quest'ultima si può
in parte aermare che i babilonesi conoscessero l'area del pentagono:
questi
usavano il sistema sessagesimale (a base 60) quindi i numeri 1 e 40 si potrebbero
40 60 ovvero 1,6666. Eettivamente, l'area di un pentagono di lato unitario è 1,720, cioè poco più del valore citato.
interpretare come
1+
Nella sua opera A Beginner's Guide to Constructing the Universe, Michael Schneider aerma che nella stele babilonese ra gurante dei sacerdoti che accompagnano un iniziato all'incontro con il dio del Sole conterebbe molti rapporti corrispondenti a quello aureo.
Come dicevamo nel capitolo 1, partendo da
qualsiasi segmento possiamo costruirci la sezione aurea; infatti compiendo tale operazione, sia per quanto riguarda l'altezza che la larghezza, troveremo che il punto che divide due segmenti in rapporto aureo cade in punti particolarmente signi cativi dell'opera.
Per quanto riguarda l'altezza i segmenti si dividono
giusto nel punto in cui termina la gura ed inizia il testo, invece in lunghezza cade davanti al piede della divinità, prima della colonna che separa il divino dall'umano.
3.3
Bassorilievi, gerogli ci e piramidi:
l'antico
Egitto Così, nelle nostre mani abbiamo del materiale concreto, con il quale ci mostra a pieno testo l'altissimo livello d'astrazione pensato dagli antichi intellettuali egiziani. Gli artisti tagliavano i pannelli con 20
sorprendente esattezza, ra natezza da gioielliere e una magistrale ingenuità dimostrando il ruolo della sezione aurea nei più ampi campi di variazione. Come un risultato la sinfonia aurea, rappresentata grazie l'assemblaggio delle più grandi opere nate, che testimoniano non solo l'ingegnoso talento dei loro creatori, ma anche veri cano con convinzione che gli autori erano famigliari con il segreto dell'armonia. Questo genio era un artigiano d'aari aurei con il nome di Khesi-Ra Il pannello di Khesi-Ra nasconde in sé una miriade di proporzioni auree, questo porterebbe a pensare che la proporzione divina fosse conosciuta anche nell'antico Egitto assieme alle sue magiche proprietà. Ma questo non è l'unico esempio in cui ritroviamo
φ.
Nella stele del Re Get la proporzione aurea svolge un ruolo non di certo secondario: esso infatti si ritrova sia nell'assetto di Horus, divinità celeste che ha la sua ipostasi nel falco, sia nel rettangolo del palazzo; ma anche il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in sezione aurea col quadrato costituito dal palazzo: il re è la parte aurea della terra regale. Proveniente da Abido, antica capitale dell'Egitto nel periodo predinastico, la stele può essere divisa per una analisi mediante uno schema fatto da riga e compasso, come nel disegno sottostante.
EF CD possiamo pensare che l'autore abbia proiettato le DF ottenendo l'intersezione G che ssa l'altezza della stele. compasso sulle mediane M ed N del quadrato ABCD con raggio
Dal rettangolo
CE
diagonali
Puntato il
NA
e
M B,
e
otteniamo i punti H e I. Si noterà che L intersezione degli archi AI
e BH è stato proiettato su IC ottenendo il punto S, che funge da base per l'arco di chiusura della stele. L'arco AI determina l'altezza di Horus, e la diagonale CA l'estremo della coda. Sull'asse LS è impostato il suo vigile occhio, le zampe si stringono tra la mediana GP e la sezione aurea QR. Per determinare questa misura lo scultore, dal rettangolo aureo HICD ha puntato il compasso con raggio HA ottenendo il punto Q e quindi il quadrato aureo HQRA (è aureo perché è 2
in proporzioni auree con il quadrato maggiore ABCD) . Un ulteriore esempio di sezione aurea è riscontrabile nella leggenda Osiride. Sposo di Iside e sovrano d'Egitto, fu ucciso da suo fratello Seth, che disperse i resti del suo cadavere. Ma la fedele sposa Iside li recuperò riportando in vita Osiride, che rivela i tipici tratti di una divinità dell'oltretomba. L'Osireion è considerato il cenota o di re Seti I, faraone dal 1312 al 1298 a.C. e si pensa che la costruzione rappresenti il mito di Osiride. Il progetto voleva che esso fosse ricoperto di terra per dare l'idea di una tomba sotterranea e una spianata centrale con dieci pilastri quadrati, circondati da un fossato, simbolo di nascita dalle acque primordiali. Nella pianta è celata la sezione aurea: nella parte centrale infatti possiamo costruirvi due pentagoni. [la geometria dell'Osireion sia] conforme alle proporzioni della sezione aurea.
[...]
la proportione aurea è l'idea-forma trascen-
dente che deve nascere a priori ed eternamente prima di tutte le
2 Analisi
sostenuta da Maurizio Nicosia, http://www.zen-it.com/symbol/geo/get.htm
21
progressioni che si evolvono nello spazio e nel tempo. Il risalto dato al tema del pentagono simboleggia e cacemente la credenza che dopo la morte il re si fosse trasformato in una stella.. Robert Lawlor, Secret Geometry: Philosophy and Practice
Una scala per giganti: la piramide di Cheope
3.3.1
La Piramide di Cheope a Giza, anche detta Grande piramide, è l'unica delle sette meraviglie del mondo antico che sia giunta sino a noi, nonché la più grande. Fu veramente costruita mediante la sezione aurea? Secondo Erodoto, la piramide fu costruita in modo che l'area di ciascuna faccia fosse uguale all'area di un quadrato il cui lato è pari all'altezza della piramide. Martin Gardner (1914), Nel nome della scienza Se tale aermazione fosse vera non ci sarebbe alcun dubbio che la grande piramide di Cheope celerebbe in sé
φ.
Secondo Gardner infatti è lo stesso storico e
scrittore greco Erodoto ( ~ 485-425 a.C) a fornirci tale risposta. Nella sua opera
Storie, secondo libro intitolato a Euterpe, paragrafo 124 possiamo leggere: 3
La sua base è quadrata, ciascun lato è lungo 8 plethra è la sua altezza.
e uguale
È un quadrato, di 800 piedi [244 metri] da ogni
parte così è l'altezza Purtroppo però, i dati che Erodoto riporta delle dimensioni della piramide appaiono molto lontani della realtà.
Essa non è aatto alta 244 metri (nella
realtà non raggiunge neanche i 150), e le dimensioni della base (232 metri) sono approssimati in modo decisamente grossolano dai 244 metri del passo dell'
Euterpe. Ma come mai, sebbene i nostri strumenti più precisi di misurazione ci abbiano indicato i veri valori possiamo continuare ad aermare che
φ fu realmente
incorporato nella piramide? Partiamo dalle misure: - il lato di base:
b = 232
m;
- l'altezza della facciata laterale: - lo spigolo:
h00 = 220
- la diagonale di base:
m;
4
d=
√
h0 = 187
2 · b = 328
m;
m;
Riusciamo così a calcolare l'altezza della piramide, deducendoli da
h= h=
q q
h02 − ( 2b )2 =
√
√
h0
e
h00 :
34969 − 13456 = 21513 = 146, 7; √ √ h002 − ( d2 )2 = 48400 − 26896 = 21504 = 146, 6;
3 Il plethron è un unità di misura 4 le misurazioni sono state prese
pari a 100 piedi greci che equivalgono a circa 31 metri con una tolleranza di errore di più o meno 5 metri; le
incertezze sono d'obbligo in considerazione dell'indisponibilità del rivestimento esterno che solo potrebbe fornire le esatte dimensioni nali.
22
Inoltre ogni faccia laterale forma con il piano base un angolo quindi:
h=
( 2b )
· tg(51°50 ) = 147, 7; 0
α ' 51°500 ,
In che modo il progettista volle costruire la Grande Piramide? Secondo secondo il ben più famoso
Una prima ipotesi aerma che il progettista, ssata la base l'altezza
h
φ
o
π? b,
abbia scelto
tale che il perimetro di base fosse uguale alla circonferenza che ha
h (c = 2πh). In questo modo l'altezza 4b = 2πh −→ h = 2 πb = π4 2b = 147, 7
per raggio
avrebbe un valore dato da:
b 2 sia la sezione In questo modo l'altezza un valore
Una seconda ipotesi vorrebbe che la metà del lato di base
0
qh .
aurea dell'altezza della faccia laterale
h0 =
√
b 1 b ( 2b )2 (Φ2 − 1) = 2b Φ = 147, 55 . Anche Φ 2 = Φ 2 −→ h = questo numero è molto prossimo al valore stimato con le misure e praticamente
dato da:
coincidente con il valore ottenuto nella prima ipotesi. Che sia questa la spiegazione più plausibile atta a chiarire il fascino che la sezione aurea ha sempre suscitato in architettura? Una terza ipotesi aerma che gli antichi egizi conoscessero entrambe le costanti ed avessero scoperto la straordinaria coincidenza per la quale: con una dierenza minore del
4 π
√
∼
Φ
0.1%.
Un'altra ipotesi la dobbiamo al poeta, novellista, matematico, storico, e diplomatico Matila Ghyka (1881-1965) che scrisse:
Sembra che le approssimazioni intere (in cubiti egiziani o multipli o semplici del cubito) sono sempre state impiegate di preferenza alla sezione aurea rigorosamente. Queste approssimazioni sono in6
variabilmente improntate ai termini della serie di Fibonacci .
Il
semi-triangolo della Grande Piramide(triangolo rettangolo dove l'ipotenusa e il piccolo lato sono a prima vista nel rapporto rigoroso della sezione aurea) sembra risultare, se lo si chiama r (m 0,524) il cubito reale egiziano di una costruzione molto ingegnosa che parte da
144 · 4r,
allora
C = 89 · 4r
A+B =
(55, 89 e 144 sono esattamente tre termi-
ni consecutivi della serie di Fibonacci, e 144 è anche il quadrato di 12). L'altezza h di questo triangolo rettangolo e della piramide (m
70 · 4r, a causa della curiosa 892 = 7921. La lunghezza dei lati
146,6) è approssimativamente uguale a coincidenza
552 + 702 = 7925
e
di base della piramide in seguito a questo sistema sarà teoricamente
2A = 2 · 55 · 4 · 0, 524 = 230, 560
m. Dunque le ultime misure precise
eettuate sul luogo nel 1925 danno per la media dei quattro lati di base (con uno scarto di 20 cm tra il più grande e il più piccolo) il valore di m 230,634 (tavola media data da Borcherolt: m 230,36).
5 nel
prossimo capitolo vedremo quale è il numero di
Φ
e che rapporto ha con
φ
e come si
fa a ricavarli
6 La sezione aurea è in stretto collegamento con la serie di Fibonacci,
5
23
che vedremo nel capito
24
Capitolo 4 Pieno titolo ai greci 4.1
L'oro degli sciocchi: i solidi platonici Molto tempo prima dell'apparizione dell'uomo sulla terra nella crosta terrestre crescevano i cristalli. Un bel giorno un essere umano vide per la prima volta un così risplendente frammento regolare, o forse lo colpì con la sua ascia di pietra, esso si ruppe e cadde ai suoi piedi: lo raccolse e lo esaminò tenendolo nella mano aperta e si meravigliò. Nei principi fondamentali dei cristalli c'è qualcosa che toglie il ato. Non sono creazioni della mente umana. Semplicemente essi , esistono indipendenti da noi. In un attimo di lucidità, l'uomo può al più scoprire che esistono e rendersene conto. M. C. Escher, 1959
L'artista M. C. Escher (1898-1972) era aascinato dalla regolarità e dalla necessità imperiosa delle forme dei cristalli, all'uomo misteriose e impenetrabili, interesse che condivideva con il fratello geologo. La predilezione per i poliedri, prima da parte dei pitagorici poi per tutto il mondo greco no ai giorni nostri, potrebbe essere nata dall'osservazione dei cristalli di pirite, soprannominata l'oro degli sciocchi che è largamente diusa nell' Italia meridionale. I matematici greci sapevano già che si potevano costruire cinque solidi regolari. Tre di essi sono limitati da triangoli equilateri, come il tetraedro (quattro facce regolari), l'ottaedro (otto facce regolari) e l'icosaedro (venti facce regolari); il cubo, poi, ottenuto per mezzo di quadrati (sei facce regolari) e ultimo, di pentagoni regolari, il dodecaedro (dodici facce regolari). Come scritto nel capitolo 2 e riportato nel suo tredicesimo libro degli Elemen-
ti Euclide riferisce che erano solo tre i solidi regolari conosciuti dai pitagorici, e che fu per merito di un certo Teeteto che si giunse alla conoscenza dell'ottaedro e dell'icosaedro. Teeteto nato intorno al 414 a.C. fu il primo a scrivere di essi. Probabilmente è a lui che dobbiamo il teorema secondo il quale esistono cinque 25
e soltanto cinque poliedri regolari e il calcolo dei rapporti tra i lati dei solidi regolari e i raggi delle sfere circoscritte.
Giovane ateniese, morì nel 369 a.C.
in seguito a ferite ricevute in battaglia e per una sopraggiunta dissenteria, si impegnò nel campo della geometria elementare ma purtroppo i suoi testi sono andati perduti. I cinque solidi regolari vengono chiamati platonici, in quanto fu Platone (428 a.C.- 347 a.C.)
1
che ne diuse la scoperta legandoli all'ipotesi che fossero le
strutture basi della materia. Il losofo Empedocle (c. 490- 430 a.C.) proponeva infatti la teoria che i quattro elementi fondamentali della materia fossero la terra, l'acqua, l'aria e il fuoco. Platone legò i solidi platonici con questi quattro elementi in una schema cosmologico che esercitò un profondo fascino su loso e scienziati per molti secoli. L'elemento terra è legato allo stabile cubo, il fuoco al puntuto e semplice tetraedro, l'aria alla forma mobile dell'ottaedro e l'acqua allo sfaccettato icosaedro. Esiste inoltre una chimica platonica fondata sulla geometria, l'acqua scaldata dal fuoco evapora in due particelle d'aria e una di fuoco, possiamo quindi scrivere :
4.1.1
[acqua] → 2[aria] + [f uoco].
Usata dalla divinità per ricamare le costellazioni sull'insieme dei cieli2 : il dodecaedro
Al dodecaedro Platone aveva assegnato un ruolo speciale, considerandolo rappresentativo dell'universo: nella sua opera Timeo dice che Dio lo ha usato per il tutto. Platone considerava il dodecaedro composto di 360 triangoli rettangoli scaleni: infatti, tracciando le cinque diagonali e le cinque mediane in ciascuna delle facce pentagonali ogni faccia conterrà trenta triangoli rettangoli. Non solo l'universo è basato su questi triangoli ma tutta quanta la siologia. La crescita del corpo viene ad esempio spiegata con le seguenti parole: Quando la struttura della creatura è giovane e i triangoli dei suoi corpi costituenti sono ancora, per così dire, freschi di fabbricazione, le loro giunture sono saldamente connesse... Di conseguenza, poiché i triangoli che compongono il cibo e le bevande sono tutti più vecchi e più deboli di quelli del corpo giovane, questo li vince e li taglia; in tal modo l'animale cresce e diventa più grande .
4.1.2
Dio geometrizza sempre3 : il rapporto con
φ4
Il rapporto aureo occupa una posizione importante nelle dimensioni e nella simmetria di alcuni poliedri platonici. Come già osservato e discusso nel capitolo 2, sappiamo che la sezione aurea è fortemente legata alla gura del pentagono, ma lo è altrettanto anche con i
1 Torneremo
a parlare nello speci co di Platone nel capitolo 10.2, in questo capitolo ci
limiteremo a parlare di lui per quanto concerne i solidi regolari
2 Platone, descrizione della forma del dodecaedro 3 Platone, citato da Plutarco (46- 127) 4 φ è intesa in questo paragrafo come costante matematica, approssimata a 1.61803, vedremo
più avanti sempre in questo capitolo come può essere ricavata matematicamente.
26
solidi platonici. In particolare un dodecaedro con lato unitario ha una super cie
√ 15φ 3 − φ
complessiva la cui area è pari a
e un volume pari a
5φ3 (6−2φ) . In modo
5φ5 6 . Ma queste non sono le uniche curiosità legate al rapporto aureo e ai solidi platonici. Il cubo simile, un icosaedro di lato unitario ha un volume uguale a
e l'ottaedro hanno la proprietà che congiungendo i centri di tutte le facce di una delle due gure si ottiene l'altra. Entrambe le gure possiedono inoltre un ugual numero di spigoli ma invertiti numeri di vertici e facce. La stessa cosa si può riscontrare tra il dodecaedro e l'icosaedro. Il rapporto delle lunghezze delle lunghezze dei due solidi è dato da una formula costante, dove, ancora una volta, 2
φ compare il rapporto aureo: √ . 5
L'icosaedro e il dodecaedro hanno dei legami particolarmente stretti col rapporto aureo. Per esempio, i dodici vertici di un icosaedro si possono dividere in tre gruppi di quattro, e i vertici di ciascuna tetrade risultano collocati in cima agli angoli di un rettangolo aureo. I tre rettangoli corrispondenti alle tre tetradi sono reciprocamente perpendicolari, e il suo punto comune a tutti e tre è il centro dell'icosaedro. Allo stesso modo, i centri delle dodici facce pentagonali del dodecaedro si possono raggruppare a quattro, e ciascuno di questi gruppi corrisponde ai vertici di un rettangolo aureo. Lo stretto legame di
φ
con alcune gure piane, come il pentagono e il pen-
tagramma, e alcuni solidi, come i poliedri platonici, porta inevitabilmente alla conclusione che con ogni probabilità, l'interesse degli antichi greci per il rapporto aureo sia scaturito dai tentativi di costruire quelle gure piane e quei solidi.
4.2
Il luogo della Vergine: il Partenone e il ret-
tangolo aureo. Il rettangolo aureo è un rettangolo la cui proporzioni sono basate sulla proporzione aurea. Ciò signi ca che il rapporto fra il lato maggiore e quello minore,
a : b,
è identico a quello fra il lato maggiore e il segmento ottenuto sottraendo
quest'ultimo dal lato maggiore
b : a − b.
Per gli antichi greci Atena, una delle più importanti divinità dell'Olimpo, era la personi cazione della sapienza e delle abilità. Ad Atene il culto di Atena aveva un'importanza particolare.
Gli abitanti della città dedicarono alla loro
dea il più splendente monumento di tutte le epoche, il Partenone, che domina no ad oggi sulla terra ateniese. Questo importante tempio, progettato nel V sec.
a.C. per ordine del generale Pericle dagli architetti Ictinio e Callicrate e
decorato dallo scultore Fidia, era dedicato ad Athena Parthenos.
Atena era
adorata come Parthenos perché secondo la tradizione: evita il letto dell'imeneo e resta insensibile al desiderio dell'amore
Inno Omerico 27
La dea infatti nata dalla testa di Zeus non ha in pratica una madre e non è quindi in rapporto con l'amore, il matrimonio e la maternità e conserva stabilmente la sua verginità. In greco Parthenos signi ca infatti vergine.
Dall'esame metrico-dimensionale si sono fatte interessanti scoperte in merito alle proporzioni: l'altezza complessiva è la sezione aurea della larghezza della parte frontale; quindi la facciata ha le dimensioni di un rettangolo aureo. Tale rapporto aureo si ripete più volte tra diversi elementi del frontale, ad esempio, tra l'altezza complessiva e l'altezza cui si trova la trabeazione. Scrive il pittore italiano Severini(1883- 1966): La facciata del Tempio era costruita su due quadrati, uno stabilito sulla larghezza totale della facciata, e l'altro sulla larghezza del colonnato. Nel Partenone, invece, un solo quadrato regola la facciata, e questo è costruito sulla larghezza del colonnato. Ritroviamo qui la
φ
come sistema d'armonia, ed infatti la distanza che passa dalla
base (in basso dei gradini) alla cima del frontone, non compresa la cimasa, è la maggiore delle
φ trovata sul lato interno del quadrato. φ, la minore ci dà la
Se si divide questa maggiore secondo la
distanza fra la cima del frontone (come sopra) e la base dell'architrave, dove tocca l'abaco delle colonne; l'altezza delle colonne, da questo punto alla linea di terra, è data dalla maggiore della stessa
φ.
Se si divide ancora la minore della stessa
φ,
secondo lo stesso
rapporto, ancora questa seconda minore ci darà l'altezza del fregio e dell'architrave. È questa una progressione geometrica regolata da
φ. Se ora si inscrive un cerchio nel quadrato e se nel cerchio si inscrive un pentagono, si vede che il lato di questo misura l'altezza totale della facciata, da terra alla cima della cimasa. Se si inscrive un triangolo equilatero nel cerchio suddetto, si vede che la sua base marca la distanza fra gli assi delle due estreme colonne della facciata. Questa stessa distanza la ritroveremo sul piano orizzontale. Anche la pianta del Partenone presenta numerosi rettangoli aurei, che sono stati usati in maniera estesa nella suddivisione degli ambienti.
del
Partenone mostra che il tempio fu costruito su un rettangolo
cui
lunghezza è
√
5
volte la larghezza. 28
√ La pianta 5, ossia la
4.3
Un ponte tra la geometria e l'algebra: il valo-
re numerico di
φ
Fino a questo momento abbiamo visto il legame del rapporto aureo col pentagono, il pentagramma e i poliedri platonici.
L'interesse dei pitagorici e di
Platone e le scoperte che fecero gli antichi greci destarono curiosità e spinsero generazioni di matematici a prodigare tempo e fatica ai teoremi riguardanti il rapporto aureo. Il prestigio e l'aurea mistica e magica che avvolge tale rapporto lo si può scoprire grazie ad alcune proprietà algebriche. Determiniamo quindi il preciso valore di
φ.
Scegliamo come unità di misura della lunghezza il segmento più breve, La lunghezza del segmento maggiore,
AC ,
sarà quindi
x
volte
CB ,
dove
CB . x è
un fattore sconosciuto (tranne per il fatto di essere maggiore di 1, visto che
AC > CB
). Dire che la nostra linea è divisa secondo la proporzione estrema e
media equivale a dire che:
x:1=x+1:x x2 = x + 1 La due soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:
x1 =
√ 1+ 5 e 2
x2 =
√ 1− 5 2
La soluzione positiva ci fornisce il valore del rapporto aureo,
φ.
Mentre la
soluzione con il meno, fornisce il valore di quella che viene chiamata sezione argentea e viene indicata con relazione
Φ.
Le due costanti sono legate dalla seguente
Φ = − φ1 .
Nel 1966 M. Berg utilizzando per venti minuti un elaboratore mainframe IBM 1401 determinò la sequenza dei decimali no alla 4599esima posizione. Oggigiorno con un personal computer può essere trovato lo stesso risultato in meno di due secondi e anche con molte più cifre. Il valore numerico di
φ
è:
1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486 227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266 338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613 199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963 136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410443 207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499 887124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217 711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013 179523689427521948435305678300228785699782977834784587822891109 762500302696156170025046433824377648610283831268330372429267526 311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465 29
490681131715993432359734949850904094762132229810172610705961164 562990981629055520852479035240602017279974717534277759277862561 943208275051312181562855122248093947123414517022373580577278616 008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143 780314997411069260886742962267575605231727775203536139362107673 893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235 521221241544400647034056573479766397239494994658457887303962309 037503399385621024236902513868041457799569812244574717803417312 645322041639723213404444948730231541767689375210306873788034417 009395440962795589867872320951242689355730970450959568440175551 988192180206405290551893494759260073485228210108819464454422231 889131929468962200230144377026992300780308526118075451928877050 210968424936271359251876077788466583615023891349333312231053392 321362431926372891067050339928226526355620902979864247275977256 550861548754357482647181414512700060238901620777322449943530889 990950168032811219432048196438767586331479857191139781539780747 615077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874 610337810544439094368358358138113116899385557697548414914453415 091295407005019477548616307542264172939468036731980586183391832 859913039607201445595044977921207612478564591616083705949878600 697018940988640076443617093341727091914336501371576601148038143 062623805143211734815100559013456101180079050638142152709308588 092875703450507808145458819906336129827981411745339273120809289 727922213298064294687824274874017450554067787570832373109759151 177629784432847479081765180977872684161176325038612112914368343 767023503711163307258698832587103363222381098090121101989917684 149175123313401527338438372345009347860497929459915822012581045 982309255287212413704361491020547185549611808764265765110605458 814756044317847985845397312863016254487611485202170644041116607 669505977578325703951108782308271064789390211156910392768384538 633332156582965977310343603232254574363720412440640888267375843 395367959312322134373209957498894699565647360072959998391288103 197426312517971414320123112795518947781726914158911779919564812 558001845506563295285985910009086218029775637892599916499464281 930222935523466747593269516542140210913630181947227078901220872 873617073486499981562554728113734798716569527489008144384053274 837813782466917444229634914708157007352545707089772675469343822 619546861533120953357923801460927351021011919021836067509730895 752895774681422954339438549315533963038072916917584610146099505 506480367930414723657203986007355076090231731250161320484358364 817704848181099160244252327167219018933459637860878752870173935 930301335901123710239171265904702634940283076687674363865132710 628032317406931733448234356453185058135310854973335075996677871 244905836367541328908624063245639535721252426117027802865604323 494283730172557440583727826799603173936401328762770124367983114 464369476705312724924104716700138247831286565064934341803900410 30
178053395058772458665575522939158239708417729833728231152569260 929959422400005606266786743579239724540848176519734362652689448 885527202747787473359835367277614075917120513269344837529916499 809360246178442675727767900191919070380522046123248239132610432 719168451230602362789354543246176997575368904176365025478513824 631465833638337602357789926729886321618583959036399818384582764 491245980937043055559613797343261348304949496868108953569634828 178128862536460842033946538194419457142666823718394918323709085 748502665680398974406621053603064002608171126659954199368731609 457228881092077882277203636684481532561728411769097926666552238 468831137185299192163190520156863122282071559987646842355205928 537175780765605036773130975191223973887224682580571597445740484 298780735221598426676625780770620194304005425501583125030175340 941171910192989038447250332988024501436796844169479595453045910 313811621870456799786636617460595700034459701135251813460065655 352034788811741499412748264152135567763940390710387088182338068 033500380468001748082205910968442026446402187705340100318028816 644153091393948156403192822785482414510503188825189970074862287 942155895742820216657062188090578088050324676991297287210387073 697406435667458920258656573978560859566534107035997832044633634 648548949766388535104552729824229069984885369682804645974576265 143435905093832124374333387051665714900590710567024887985804371 815126100440381488040725244061642902247822715272411208506578883...
4.4
Giocando con la calcolatrice e non solo: rap-
presentazioni e proprietà La media aurea non è aatto banale Tutt'altra cosa che un comune irrazionale. Capovolta, pensate un po', Resta se stessa meno l'unità. Se poi di uno l'aumentate Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.... (Paul S. Bruckman, Media costante, The Fibonacci Quarterly, 1977) Usando una semplice calcolatrice e digitando
1, 6180339887...
provate ad ele-
varlo al quadrato e poi, partendo sempre dallo stesso numero provate a fare il reciproco. Non notate nulla di particolare?
φ = 1, 6180339887 φ2 = 2, 6180339887 1 φ
= 0, 6180339887 31
Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse. Il rapporto aureo è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale.
Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la
caratteristica di avere un quadrato uguale a se stesso più uno, e un reciproco uguale a se stesso meno uno. Ed infatti:
√ 6+2 5 4
√
φ2 = ( 1+2 5 )2 =
=1+
√ 1+ 5 2
= 1 + φ,
φ2 = 1 + φ basta poi dividere per quest'ultima equazione per
φ
per ottenere
φ=
1 φ
+1
e quindi otteniamo anche il secondo risultato:
1 φ
= φ − 1. φ2 = 1 + φ ,
Da quanto abbiamo appena scoperto
ma questo può essere
riscritto come:
φ=
√
1+φ=
p
1+
√
1+φ=
q
p
1+
1+
√
r 1 + φ = ... =
1+
q 1+
p
1+
Poniamo:
x2 = 1 +
q p √ 1 + 1 + 1 + ...
si nota subito che essendo un processo in nito, la parte sotto radice è ancora uguale a
x2 ,
per cui:
x2 = 1 + quindi
x2 = 1 + x
√
x2
che è l'equazione generatrice di
espressione senza ne è uguale a
φ.
Quindi, la nostra
φ.
Ci occupiamo ora di un altro tipo molto diverso di espressioni senza ne, questa volta basato sulle frazioni invece che sulle radici quadrate:
1+
1 1+
5
1 1+
1 1+
1+
1+
1
1 1
1+
. 1 1+...
Come calcoliamo il valore della funzione? Come passo iniziale poniamo con
x=
x
il valore della frazione scrivendo:
1 1+
1 1+
1 1+
1+
1 1 1+...
Siccome la funzione continua è illimitata, il denominatore del membro di destra dell'equazione è uguale a
5 Si
x
stesso. L'equazione può essere scritta:
tratta di un caso particolare di un tipo di entità matematiche note come funzioni
continue
32
√
1 + ...
x=1+ Moltiplicando entrambi i membri per
1 x
x,
otteniamo
x2 = x + 1,
cioè ancora
una volta, la formula del rapporto aureo. ...Scritta come frazione con continuità, è uno, uno, uno,..., no a sazietà; Così chiara che più chiara alcuna non resta (non vi comincia a girare un po' la testa?) (Paul S. Bruckman, Media costante, The Fibonacci Quarterly, 1977)
33
34
Capitolo 5 Figli di una buona disposizione Fibonacci non riusciva a dormire Conigli, non pecore, provò a contare Katherine O' Brein (1897- 1974)
5.1
Estraiamo il coniglio dal cappello: la serie di
Fibonacci Leonardo Pisano (1180 circa- 1250 circa), più noto come Fibonacci o glio di Bonaccio o della buona disposizione era glio di un mercante italiano. Durante la sua infanzia Fibonacci ebbe un maestro mussulmano e viaggiò in Egitto, in Siria e in Grecia; era pertanto naturale che Leonardo si impregnasse di metodi algebrici arabi, compreso il sistema notazionale indo-arabico. Le nove cifre indiane sono:
9 8 7 6 5 4 3 2 1.
Con queste
nove cifre, e col segno 0... si può scrivere qualunque numero, come dimostrato qui di seguito. Con queste parole inizia una delle più celebri opere di Leonardo Fibonacci: il
Liber abaci pubblicato nel 1202, all'interno del quale si cela uno dei quesiti che più ispirò i futuri matematici e che curiosamente ha a che fare con i conigli. Leggiamo nel dodicesimo capitolo: Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un'unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese? 35
Come è possibile che la discendenza di due conigli immaginari abbia avuto tanta importanza per la storia della matematica? Perché questo famoso problema dà origine a quella che oggigiorno conosciamo come la serie di Fibonacci. Proviamo a risolvere il problema iniziando da una coppia.
Dopo il primo
mese, la prima coppia dà origine a un'altra coppia, per cui ne abbiamo due. Dopo il secondo mese, la coppia matura produce un'altra coppia giovane, mentre la precedente coppia giovane diventa matura. Le coppie sono dunque tre. Dopo tre mesi, ciascuna delle due coppie mature genera una coppia, mentre la coppia giovane diventa matura, così che le coppie sono diventate cinque. Continuando così all'in nito se si potesse. Se volessimo contare le coppie mature, un mese dopo l'altro, potremmo comporre il numero di coppie adulte nel mese precedente, più il numero di coppie giovani diventate adulte dal medesimo mese precedente. Ma questo numero di coppie giovani in eetti è uguale al numero di coppie adulte nel mese ancora precedente. Perciò in ogni mese a partire dal terzo il numero di coppie adulte è semplicemente uguale alla somma del numero di coppie adulte nei due mesi precedenti. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Ciascun termine della serie, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due termini precedenti, che possiamo riassumere nella forma:
Fn−2 + Fn−1 = Fn dove
Fn
indica l'ennesimo termine della successione che giustamente è stata
chiamata di Fibonacci, nel XIX secolo, dal matematico francese Edouard Lucas (1842- 1891).
5.2
Questa proporzione che gli odierni studiosi di geometria chiamano divina: le scoperte di
Keplero Dei due solidi regolari, il dodecaedro e l'icosaedro...l'uno e l'altro, e in verità la stessa struttura del pentagono, non si possono formare senza questa proporzione che gli odierni studiosi di geometria chiamano divina. Questa è congegnata in modo tale che i termini minori di una serie nascente presi insieme formano il terzo, e gli ultimi due addizionati il successivo, e così via inde nitamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata... più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto. Siano 1 e 1 i termini più piccoli...sommatoli il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3; aggiungiamoli 2, e otteniamo 5; aggiungiamoli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13, così approssimativamente, 13 sta a 21.
1 lettere
di Keplero datata 1611
36
1
La successione di Fibonacci è divergente, tende cioè all'in nito al crescere di n, ma quello che Keplero (1571-1630) riuscì a scoprire fu che il rapporto di qualsiasi elemento
fn
fn−1
ed il precedente
φ
tende a
limn→∞
fn fn−1
al tendere di n all'in nito, cioè:
=φ
Dal capitolo precedente sappiamo che :
φ=1+
Essendo
1 φ
=1+
1 1 1+ φ
fn+1 = fn + fn−1
=1+
1 1+
=1+
1 1+ 1 φ
1 1+
1+
= ...
1 1 1+ 1 φ
possiamo scrivere il rapporto R di due elementi
consecutivi come:
R=
fn+1 fn
=1+
fn−1 fn
=1+
1 fn fn−1
=1+
1 1+
=1+
1 fn−1 fn−2
1 1+
= ...2
1 1−
1 fn−2 fn−3
Al tendere quindi di n all'in nito, anche il rapporto tra due elementi consecutivi di una successione di Fibonacci tende alla frazione continua cioè a
φ. Non avendo utilizzato ipotesi sui primi due numeri questa proprietà vale per ogni successione di Fibonacci, cioè qualsiasi siano i primi due numeri. Per esempio:
1a
2a
successione
fn fn−1
fn
successione
fn fn−1
fn
1
27
1
1,00000000
33
1,22222222
2
2,00000000
60
1,81818182
3
1,50000000
93
1,55000000
5
1,66666667
153
1, 64516129
8
1,60000000
246
1,60784314
13
1,62500000
399
1,62195122
21
1,61538462
654
1,61654135
34
1,61904762
1044
1,61860465
55
1,61764706
1689
1,61781609
89
1,61818182
2733
1,61811723
144
1,61797753
4422
1,61800220
233
1,61805556
7155
1,61804613
Una peculiarità di questa proporzione risiede nel fatto che essa può essere ricavata dalla parte maggiore e dal tutto; quella che prima era la parte maggiore ora diventa la minore, quello che era
2 Per
esempio:
1 = 1; 1 +
1 1
= 2; 1 +
1 1+1
=
3 ; 2
1+
1 1 1+ 1+1
=
5 ; 3
37
1+
1 1+
1 1+
1 1+1
=
8 ; 5
1+
1 1+
=
1 1+
1
1+ 1 1+1
13 ; 8
il tutto diventa la parte maggiore, mentre la somma di questi due acquista nel rapporto il posto del tutto. E si può andare avanti inde nitamente, senza che la proporzione divina venga mai di meno. Credo che da questa proporzione geometrica abbia preso spunto dal Creatore quando introdusse la produzione del simile dal simile, che prosegue anch'essa inde nitamente. Vedo il numero 5 in quasi tutti i ori che preannunciano la venuta dei frutti, cioè la loro creazione, e che esistono non per se stessi , ma per il frutto che verrà. Quasi tutti i prodotti degli alberi da frutto si possono assegnare a questa categoria; tranne forse quelli dell'arancio e del limone; anche se non ne ho visto i ori e giudico solo dal frutto o dalla bacca, il cui torso non è diviso in cinque ma è semmai diviso in sette, undici o nove parti. Ma in geometria il numero 5, cioè il pentagono, è costruito per mezzo della proporzione divina che intendo [considerare] il prototipo della creazione.
Inoltre esiste tra il movimento del Sole (o
come ritengo della Terra) e quello di Venere, che sta al culmine della capacità generatrice, un rapporto di 8 a 13 che, come sentiremo, è assai vicino alla proporzione divina. In ne secondo Copernico la sfera celeste è a metà strada tra quelle di Marte e di Venere.
La
proporzione tra loro si ottiene dal dodecaedro e dall'icosaedro, che in geometria derivano entrambi dalla proporzione divina.
È sulla
nostra Terra, tuttavia, che ha luogo l'atto della procreazione. Vedete ora come l'immagine dell'uomo e della donna scaturisca dalla divina proporzione. Secondo la mia opinione, la propagazione delle piante e gli atti di procreazione degli animali hanno tra loro lo stesso rapporto esistente tra le proporzioni geometriche, cioè le proporzioni rappresentate da segmenti di linea, e la proporzione aritmetica, cioè espressa in modo [puramente] numerico. Keplero Keplero considerava il rapporto aureo uno dei principali strumenti della creazione divina dell'universo. Nel 1597 venne pubblicata per la prima volta la sua opera Mysterium Cosmo-
graphicum. Due anni prima, nel 1595, il religioso Keplero notò che inscrivendo in un cerchio un triangolo equilatero , e tracciando nel triangolo il cerchio inscritto, il rapporto del raggio del cerchio maggiore col minore era pressapoco uguale al rapporto della dimensione dell'orbita di Saturno con quella di Giove. Gli sembrò del tutto naturale riportare il tentativo con la gure a tre dimensioni, ma non delle gure a caso, proprio i solidi platonici. I 5 pianeti da lui conosciuti si spiegavano con il fatto che 5 erano i poliedri platonici, e presi come limiti tridimensionali concentrici essi danno origine a 6 spazi, l'ultimo dei quali sono collocate le stelle sse. La sfera della terra è la misura di tutte le altre orbite. circoscriva un dodecaedro. Marte.
Le si
La sfera che lo circonda sarà quella di
Si circoscriva un tetraedro intorno a Marte. 38
La sfera che
lo circonda sarà quella di Giove.
Si circoscriva un cubo a Giove.
La sfera che lo circonda sarà quella di Saturno. Ora, si inscriva un icosaedro nell'orbita della Terra. Venere.
La sfera inscritta sarà quella di
Si inscriva un ottaedro dentro Venere.
La sfera inscritta
sarà quella di Mercurio. Ecco le basi del numero dei pianeti.
5.3
Eadem mutato resurgo3 : spira mirabilis Si può usarla come simbolo sia della forza e costanza nell'avversità, sia del corpo umano che, dopo tutti i cambiamenti, e per no dopo la morte è restituito al suo preciso perfetto Sé Jakob Bernoulli (1654- 1705)
Con queste parole Jakob Bernoulli (1654- 1705) esprime tutta la meraviglia e la bellezza che provò nel scoprire che una curva, nota come spirale logaritmica , sebbene fosse cambiata, ritorni come prima. Cioè se ingrandissimo o rimpicciolissimo la gura, la spirale coinciderebbe con se stessa.
Egli dedicò a tale
argomento un trattato intitolato Spira mirabilis, La spirale meravigliosa.
π 5 , cioè il triangolo aureo, possiamo tracciare la bisettrice di un angolo alla base, la quale interseca Partendo dal triangolo isoscele con l'angolo al vertice di
il lato opposto in un punto che come dimostrato nel capitolo 2, lo divide nel rapporto aureo, determinando così un secondo triangolo simile. Operando nella medesima maniera possiamo determinare un terzo triangolo dal secondo e così via ottenendo triangoli sempre più piccoli. In modo analogo prolungando la base e congiungendo l'estremo con il vecchio vertice, si ottiene un nuovo triangolo maggiore del primo e ad esso simile, sul quale si può operare la stessa costruzione per ottenere un triangolo ancora più grande, ma simile ai precedenti. I punti a, b, c, d, e, f, ... riportati nella gura qui a lato giacciono tutti sulla famosa spirale logaritmica. Analogamente per il rettangolo aureo: abbiamo visto che in un tale rettangolo in cui il lato minore è la sezione aurea di quello maggiore, risecando un quadrato di lato pari al lato minore, si ottiene un rettangolo più piccolo simile al primo, quindi aureo, dal quale risecando un quadrato dal lato minore si ottiene un terzo rettangolo ancora più piccolo, simile ai precedenti, quindi aureo anch'esso; e così via ottenendo rettangoli aurei sempre più piccoli.
Se la
costruzione dei rettangoli avviene sempre dallo stesso lato i punti di sezione i punti a, b, c, d, e, f, ...
riportati nella gura a lato, giacciono tutti su una
particolare Spirale logaritmica detta spirale aurea. De niamo spirale logaritmica una curva che in coordinate polari è rappresentata da un equazione del tipo crescente o decrescente.
ρ = f (θ),
con
f
una funzione monotona, sempre
Il segmento trae l'origine e un punto qualsiasi della
curva è detto raggio vettore. Quindi la spirale logaritmica è una spirale nella
3 Trasformato,
risorgo ugualmente parole dette da Jacques Bernoulli con il desiderio che
fossero incise nella sua tomba.
39
quale per angoli in progressione aritmetica i raggi vettore sono in progressione
a il valore ρ = a · pθ , ovvero
geometrica. Partendo dalla de nizione appena data, indichiamo con del raggio vettore per ponendo
q = p2π ,
cioè
θ = 0, l'equazione 1 p = q 2π :
della curva sarà:
θ
ρ = a · q 2π dove q è detto indice di accrescimento e rappresenta il fattore di cui cresce il raggio vettore ad ogni evoluzione della curva
b=
θche
varia di
2π .
Ponendo invece
ln q 2π l'equazione diventa:
ρ = a · eb·θ più diusa della prima e nella quale il parametro b indica la cotangente dell'angolo formato dalla tangente alla curva con il raggio vettore.
cot α =
dρ ρdθ
=
a·b·ebθ dθ a·ebθ dθ
=b
Una delle più sorprendenti proprietà di questa curva è che la lunghezza dell'arco di curva da ogni punto no all' origine è nita.
Questa proprietà è
facilmente dimostrabile grazie al calcolo in nitesimale, sappiamo infatti che, disponendo dell'equazione parametrica, la lunghezza di un arco di curva tra due valori
τ1
e
τ2
del parametro è :
s=
´ τ1 p x02 + y 02 dθ τ2
nel nostro caso l'equazione parametrica è:
x = ρ · cosθ = a · cosθ · ebθ y = ρ · senθ = a · senθ · ebθ 4
Quindi :
´ θ2 p θ1 Per
´ θ2 p
y 2 − 2bxy + b2 x2 + x2 + 2bxy + b2 y 2 dθ = √ √ ´θ 2 (x2 + y 2 ) · (b2 + 1)dθ = b2 + 1 θ12 a · ebθ dθ = a bb +1 (ebθ2 − ebθ1 ) s=
θ1
θ1 → −∞ e ebθ1 → 0, quindi l'integrale per θ2 = θ, tende al valore nito: √
s=
b2 +1 a b
· ebθ =
4
x0 = −a · senθ · ebθ + a · b · cosθ · ebθ = −y + b · x y 0 = a · senθ · ebθ + a · b · cosθ · ebθ = −x + b · y p x2 + y 2 = ρ = a · ebθ
40
√
b2 +1 ρ b
b = cot α,
ma
quindi con semplici passaggi trigonometrici possiamo scrivere
la nostra lunghezza d'arco come:
s = ρ cos θ cioè la lunghezza di un arco di spirale logaritmica dall'origine ad un suo punto è proporzionale al raggio vettore in quel punto, essendo il coe ciente di proporzionalità semplicemente il coseno dell'argomento
θ
in quel punto.
Quindi la sua radiale è la spirale stessa moltiplicata per un coe ciente di scala, che spiegano l'esclamazione di Bernoulli: Eadem mutata resurgo Calcoliamo in ne il valore di
b
per quanto concerne la spirale aurea, in questa
π 2 il loro rapporto è aureo, abbiamo:ρ(θ) π bθ e · e 2 ; allora:
quando i raggi vettore formano angoli di
bθ
a·e
e
ρ(θ +
π 2)
=a·e
b(θ+ π 2)
=a·
ρ(θ+ π 2) ρ(θ)
π
=
a·ebθ ·eb 2 a·ebθ
=
π
= eb 2 = φ
Quindi per la spirale aurea il coe ciente b vale:
b=
ln φ π 2
cioè la spirale aurea mette in relazione la costante costanti della matematica:
5.4
e
e
φ
con le altre più famose
π.
Scorgo un certo ordine nell'universo e la matematica è un modo di renderlo visibile5 : la for-
mula di Eulero- Binet- de Moivre Leonhard Eulero (1707- 1783), Jacques Philippe Marie Binet (1786- 1856) e Abraham de Moivre (1667- 1754): che cosa accomuna questi tre quasi contemporanei matematici francesi? Una formula, scoperta in maniera indipendente gli uni dagli altri, generatrice della serie di Fibonacci, detta comunemente formula di Binet.
La formula permette di calcolare un qualunque numero della serie,
purché sia noto il suo posto nella successione.
Fn =
√ √1 [( 1+ 5 )n 2 5
√
− ( 1−2 5 )n ]
√ √ 1+ 5 1− 5 è il valore della costante aurea φ e è il valore 2 2 della costante argentea Φ. Possiamo dunque riscrivere la formula di Binet nella che come ricordiamo
seguente forma:
Fn = 5 May
√1 (φn 5
Sarton, (1912- 1995)
41
− Φn )
Partiamo dalla de nizione del numero di Fibonacci, per essere tale dovrà valere che:
f (0) = 0 f (1) = 1 f (n) = f (n − 1) + f (n − 2) Esiste una base
φ
per
n>1
per cui valga la de nizione appena data?
f (n) = c · φ + c0 · Φ; Noi sappiamo che: f (0) = c + c0 = 0 0 e che f (1) = c · φ + c · Φ = 1. Partendo dalla prima equazione ricaviamo che 0 c = −c , sostituendo nella seconda ricaviamo che f (1) = c · (φ − Φ) = 1, sapendo √ √ √ 1+ 5 − 1−2 5 = 5 arriviamo alla conclusione che c = √15 . E che (φ − Φ) = 2 Consideriamo:
quindi possiamo scrivere che:
Fn =
√1 (φn 5
− Φn )
A prima vista la formula è sconcertante, non è nemmeno evidente che per
1 qualunque valore di n √
(φn − Φn ) abbia come risultato un numero intero. = φ + 1 e che quindi possiamo scrivere le seguenti 5
Sappiamo però che
φ2
equivalenze:
φ3 = φ2 · φ = (φ + 1) · φ = φ2 + φ = φ + 1 + φ = 2φ + 1 φ4 = φ3 · φ = (2φ + 1) · φ = 2φ2 + φ = 2(φ + 1) + φ = 3φ + 1 continuando iterativamente con questo tipo di ragionamento arriveremo a scrivere in maniera generale:
φn = xφ + y con
xey
interi positivi, che per inciso sono numeri di Fibonacci consecutivi.
Ripetendo in maniera analoga il ragionamento arriveremo ad aermare che:
Φn = xΦ + y con gli stessi interi
x
e
y
trovati precedentemente. Segue che:
√ φn − Φn = xφ + y − (xΦ + y) = x(φ − Φ) = x 5 Quindi:
√1 (φn 5
− Φn ) = x
che è un intero, e per la precisione
x = f (n).
42
Capitolo 6 De Divina Proportione No dico de la dolci e soave armonia musicale ne de la summa vaghezza e intellectual conforto prospectivo: e de la dispositione de architectura con la descriptione de luniverso marittimo et terrestre e doctrina de corsi e celestial aspetti perche di lor quel che n hor le ditto chiaro appare. Lascio per men tedio allectore scentie altre assai pratiche especulative con tutte laltre mechaniche in le cose humane necessarie de le quali senza il suragio de queste non e possibile lor acquisto: ne dubito ordine in quelle servare. Luca Pacioli, De Divina Proportione
6.1
Dove non c'è ordine c'è caos: la vita
Luca Pacioli nacque nel 1445 a Borgo San Sepolcro in Toscana.
Sebbene si
conosca poco della sua infanzia si suppone che Pacioli abbia ricevuto i primi insegnamenti presso Piero della Francesca, che in Sansepolcro aveva studio e laboratorio. Giovanissimo si trasferì a Venezia nella casa dell'ebreo Rompiaci come tutore dei gli, cogliendo l'opportunità di apprendere lezioni dal matematico Domenico Bragadino e di scrivere il suo primo trattato di matematica. Nel 1470 si trasferì a Roma presso Leon Battista Alberti dove studiò teologia diventando frate dell'ordine minore dei Francescani. Dal 1477 Fra Luca Pacioli cominciò a viaggiare in numerose città italiane: Perugia, Venezia, Zara, Firenze, Roma dove compose opere didattiche, tra cui spicca: Summa de arithmetica,
geometria, proportioni et propotionalità, grazie al quale è conosciuto come padre della Ragioneria. Nel 1496 Pacioli è chiamato a Milano da Ludovico il Moro, che gli conferisce l'incarico dell'insegnamento pubblico della matematica. In segno di gratitudine Fra Luca compone e gli dedica il trattato De Divina Proportione. Seguirà poi una grande raccolta di indovinelli, proverbi e divertimenti vari:
De Viribus
Quantitatis. A Milano Pacioli stringe una profonda amicizia con Leonardo Da Vinci, ciò che li univa infatti era la medesima passione sia per la Matematica 43
che per l'Arte. Seguono innumerevoli spostamenti a Venezia, Perugia, Firenze e Roma. Morì a Sansepolcro nel 1517.
Questa nostra proportione: De Divina Pro-
6.2
portione Stampato per la prima volta a Venezia nel 1509 il De Divina Proportione può essere considerato il primo libro scritto ed incentrato sulla sezione aurea. L'opera è composta da tre volumi.
Il primo dopo la dedica a Ludovico il
Moro elenca i cinque motivi del perché si de nisca divina tale proporzione ne indica 13 eecti.
1
e
A questo venne aggiunta una seconda parte dedicata
alle proporzioni impiegate nell'architettura, ritrovabili nel corpo umano e nelle lettere alfabetiche formate dallo stesso Pacioli. Una terza parte contiene semplicemente la traduzione in lingua volgare del De Corpibus regularibus di Piero della Francesca.
6.2.1
Reverentia alla turba duodena e del suo sanctissimo Capo Nostro Redemptore Christo Iesu: i 13 eetti
Dal capitolo sette al ventitreesimo Pacioli espone le prime proposizioni del tredicesimo libro dell'opera di Euclide gli Elementi. In questi capitoli l'autore non si cura di ripetere le dimostrazioni geometriche fornite da Euclide, ma correda i 13 eecto, come chiama lui le proprietà della divina proporzione ad un esempio di carattere aritmetico, in modo che risulti di più facile comprensione.
Indichiamo con la lettera
quale Pacioli assegna la misura 10, e con la lettera conseguenza la minore sarà
x
a
il segmento intero, al
la parte maggiore.
Di
a − x.
(a − x) : x = x2 = a(a − x). Sostituendo il valore 10 avremo che x2 = 100 − 10x ricava x = 6, 18034 e a − x = 3, 81966. Ma applicando le regole da
Dalla de nizione stessa di proporzione aurea avremo quindi:
x : a,
per cui
da cui si
lui date nella Summa nella parte de nita pratica speculativa detta algebra et almucabala stabilisce partendo dal segmento di lunghezza 10, la parte minore esser 15 meno Radice [quadrata di] 125 e l'altra maggiore a Radice125 meno 5. Il primo proposto eecto: ...Questo congionto cioe R 125 in se mcato che fa 125 per lo suo
◦
◦
a 5 tanto del
◦
◦
.
de dieta mita de 10 commo fo
dela mita de 10 che e 5 e el suo
a a ponto quincuplo al dieto 25
25. Onde 125
dieto... Diviso il segmento con la divina proporzione, se alla parte maggiore si aggiunge la metà dell'intero segmento, il quadrato di tale somma sarà il quintuplo rispetto alla suddetta metà, cioè:
1 Questi
(x + a2 )2 = 5( a2 )2 .
cinque motivi sono riportati nel capitolo 1 Origini e costruzioni
44
Il secondo essentiale eecto: Se ra una
◦
q ta . in doi parti divisa.
Esopra luna posto una
de questo congionto a quincuplo al quadrato de la
sequita de necessita la dicta
q
t` a
q ta
agionta esser la mita dela
q ta chel
agionta:
a
p.q ta
in
dicte doi parti divisa. E quella acui se agionse esser la sua magior part: e lei tutta in quelle esser divisa, secondo la nostra proportione. Nel secondo eetto essendo il converso del precedente si constata che: la radice quadrata del secondo è appunto quella metà dell'intero segmento che per formare il primo quadrato si era sommata con la parte maggiore. Il terzo singular eecto: Se una
q ta
a divisa secondo la nostra proportione e ala menor
sua parte se agionga la mita dela magiore ra poi el quadrato sempre del congionto quincuplo al quadrato dela mita de dicta magiore. Questo terzo eetto corrisponde alla terza proposizione del XIII libro di Euclide: se alla parte minore del segmento si aggiunge metà della maggiore, il quadrato della somma è quintuplo rispetto a quello della predetta metà aggiunta, cioè
(a − x + x2 )2 = 5( x2 )2 . Il quarto ineabile eecto: Se una tutta dicta
q ta q ta
se divide secondo la nostra divina proportione se a se agionga la sua magior parte siran poi dicto con-
gionto e dicta magior parte parti de unaltra magior parte de questa
a ta
2 q
q ta
così divisa.
E la
.
Il quarto ineabile eetto chiede di sommare l'intero segmento con la sua parte maggiore. Il nuovo segmento ottenuto risulta già diviso secondo la divina proporzione, essendo il segmento primitivo la parte aurea del segmento ampliato, cioè:
x : a = a : (a + x).
La dimostrazione geometrica è indicata nella quarta
proposizione del XIII libro di Euclide. Il quinto mirabile eecto: Se una
q ta
a divisa secondo la nostra dicta propor sempre al
congionto del quadrato de la menor parte. Col quadrato de tutta la
q ta
integra ra triplo al quadrato de la magior parte
Sommando il quadrato della parte minore con quello del segmento intero si ottiene un totale triplo al quadrato della parte maggiore, cioè:
2
3x
(a − x)2 + a2 =
.La dimostrazione geometrica è in Euclide XIII, 5. Il sesto inoiabile eecto: Nluna
q ta
razionale mai e possibile dividerle secondo la nostra
dicta proportione che sua caduna parte non a irrationale chiamata residuo. 45
Il sesto innominabile eetto rivela che le due parti in cui un segmento è diviso secondo la divina proporzione non possono che essere irrazionali e si chiamano residui . Così aerma e dimostra la sesta proposizione del XIII degli Elementi. Il settimo inextimabile eecto: Sel lato delo exagono equilatero sagio gni allato del decagono equilatero quali ambe doi fe intendino in un medesimo cerchio descripti. Ellor congionto sempre ra una
q ta
divisa secondo la dicta
nostra proporzione. E la magior sua parte ra el lato delo exagono. L'inestimabile eetto deriva dalla nona del XIII di Euclide e dice che, se si congiungono il lato dell'esagono con quello dell'esagono iscritti in uno stesso cerchio, si forma un segmento già diviso secondo la divina proporzione, ed il lato dell'esagono ne forma ovviamente la parte maggiore. L'ottavo eecto converso del precedente: Se una linea sia divisa secondo la proporzione havente el mezzo edoi extremi sempre de quel cerchio delquale la magior parte a lato de lo exagono del medesimo la menore ne a lato del decagono parte maggiore equivale al lato del decagono iscritti in un medesimo cerchio. Il nono sopraglialtri excessivo: Se nel cerchio se formi el pentagono equilatero e ali suoi doi propinqui anguli se subtenda doi li recte mosse da li termini de li suoi latade necessita quelle fra loro se divideranno secondo la nostra proportione. Ecadauna dele lor magior parti sempre ra el lato del dicto pentagono Questo eetto corrisponde alla undicesima del tredicesimo libro degli Elementi e si riferisce alla gura del pentagono. Tracciando in essa due corde de l'angolo pentagonico (ossia le rette che sottendono due angoli consecutivi), queste si dividono tra loro secondo la divina proporzione e la parte maggiore di ciascuna è uguale al lato del pentagono. È così possibile per la notitia del lato pervenire a la notitia de tutte le sue corde e de tutte le lor parti e viceversa. Il decimo supremo eecto: Se una
q ta
sia divisa secondo la predicta proportione tutti li
eecti che di lei e le sue parti possino pervenire.
Quelli medesimi
in habitudine numero spetie e genere pervengano de qualunche altra
q ta
cosi divisa.
Qualunque sia la dimensione del segmento diviso secondo la nostra proporzione, tutti gli eetti che ne derivano sono sempre immutabilmente presenti. L'undicesimo excellentissimo eecto Sel se dividera el lato de uno exagono equilatero secondo la nostra divina proportione sempre la sua magior parte de necessita ra el lato del decagono: circumferipto dal medesimo cerchio che lo exagono 46
Il lato del decagono iscritto in un cerchio è uguale alla parte maggiore del lato dell'esagono iscritto nello stesso cerchio e diviso secondo la divina proporzione. Conoscendo la misura del diametro oppure della circonferenza o dell'area di un cerchio, è possibile dedurre le misure del raggio, del lato dell'esagono, del dodecagono e dei triangolo iscritti nella stessa circonferenza. Il dodicesimo quasi incomprehensibile eecto: Sel se divide una
q ta
secondo la nostra dicta proportione, sempre
la R del congionto del quadrato de tutta la quantita e del quadrato de la sua magior parte ra in proportione ala R del congionto del quadrato de ditta
q t`a
e quadrato dela sua menor parte commo ellato
del cubo allato del triangolo del corpo de 20 basi La radice quadrata della somma del quadrato dell'intero segmento con il quadrato della parte maggiore, sta alla radice quadrata della somma del quadrato dell'intero segmento con il quadrato della parte minore, come lo spigolo del
√
cubo sta allo spigolo dell'icosaedro iscritti nella stessa p a2 + (a − x)2 = spigolo cubo : spigolo icosaedro.
sfera, cioè:
a2 + x2 :
Il tredicesimo dignissimo eecto: Per lo suo
13o
eecto non e poca admiratione che senza al suo
suragio non se possa mai formare el pentagono, cioe gura de 5 lati equali sopra nel
9o
eecto advecta
La divina proporzione risulta essere indispensabile per la costruzione del pentagono, nel modo insegnato da Euclide nella decima proposizione del libro quarto degli Elementi. Per conseguenza non si potrebbe costruire ne immaginare: el corpo nobilissimo sopra tutti gli altri regulari detto duodecaedro, cioe corpo de 12 pentagoni equilateri etequi angoli per altro nome detto corpo de 12 basi pentagonali. mo se dira El divin platone atribui ala
5a
La cui forma com-
essentia cioe al cielo per
convenintissime ragioni Secondo Pacioli la divisione in sezione aurea produce in niti eetti, ma per brevità il trattato ne considera solo tredici, numero scelto in omaggio alla reverentia alla turba duodena e del suo sanctissimo Capo Nostro Redemptore Christo Iesu il cui Cenacolo fu dipinto dal nostro prefato Lionardo con suo ligiadro pennello.
6.2.2
Laddove non si può applicare una delle scienze matematiche, non si può avere la certezza2 : l'uomo misura
di ogni cosa e Leonardo da Vinci Con la sezione aurea, Pacioli manifesta il desiderio di rilevare all'artista il segreto dell'armonia delle forme visibili.
2 Leonardo
Da Vinci
47
...dal corpo humano ogni mesura con sue denominationi deriva e in epso tutte le sorti de proportioni e proportionalita se ritrova con lo deto de laltissimo mediante li intrinseci secreti dela natura. Luca Pacioli, De divina proportione La Proporzione Divina viene intesa come chiave universale per penetrare i segreti della bellezza ma anche della natura ed al centro è collocato l'uomo, misura di ogni cosa, sospeso tra un quadrato ed un cerchio, come descritto molti secoli prima dal celebre architetto romano Marcus Vitruvius Pollio (ca. 70- 25 a.C.): Nel corpo umano il punto centrale è naturalmente l'ombelico. Infatti, se un uomo è adagiato sulla schiena, con le braccia e le gambe protese, e un compasso è posto con uno degli estremi in corrispondenza dell'ombelico, le punte delle dita delle mani e dei piedi toccheranno la circonferenza del cerchio così tracciato.
E come il
corpo umano ha un con ne circolare, così si può ricavare da esso una gura quadrata. Infatti, misurando la distanza dalle piante dei piedi alla sommità del capo, e poi misurando allo stesso modo la distanza tra le estremità delle braccia estese, si constaterà che la larghezza è uguale all'altezza, come accade a una gura piana che sia perfettamente quadrata Marcus Vitruvius Pollio (ca. 70- 25 a.C.) L' uomo vitruviano acquistò popolarità grazie al disegno che ne fece Leonardo Da Vinci (1452- 1519) che fu amico di Fra Luca Pacioli. Grazie a questa amicizia Pacioli può vantare una della più grandi collaborazioni della storia.
Con il
suo ligiadro pennello Leonardo disegna per l'amico una serie di tavole che concludono l'opera De Divina Proportione.
Ne realizza una sessantina il cui
soggetto sono i solidi ra gurati sia pieni sia a guisa di intelaiatura, in modo tale da poter osservare il solido anche nella parte posteriore. Non mancarono da parte di Pacioli i convenevoli ringraziamenti e presenta nei primi capitoli il suo amico come : degnitissimo pictore prospectivo architecto musico. E de tutte virtu doctato. Leonardo davinci
6.2.3
De corpi: i poliedri e Piero della Francesca
La trascrizione parziale del tredicesimo libro degli Elementi d'Euclide per i tredici eetti e il terzo volume composto interamente dalla traduzione dell'opera di Piero della Francesca fa apparire Pacioli un plagiario. A tal proposito scrive Giorgio Vasari (1511- 1574) nella biogra a di Piero della Francesca che si riferisce a Pacioli con queste parole: .
E colui, che con tutte le forze sue si doveva ingegnare di
mantenergli la gloria e di accrescergli nome e fama, per aver pure 48
appreso tutto quello che e' sapeva, [...] annullato il nome del precettore, usurpatosi il tutto, dette in luce sotto suo proprio ciò è di fra Luca [Pacioli] da'l Borgo tutte le fatiche di quel buon vecchio. Il quale, oltra le scienze dette di sopra, fu eccellente nella pittura.... Giorgio Vasari, Vite de' più eccellenti architetti pittori e scultori
italiani da Cimabue insino a' tempi nostri, 1550 Piero della Francesca come Pacioli nacque a Borgo San Sepolcro attorno al 1416, ed è ricordato dalla storia come pioniere della prospettiva pittorica. Aascinato dalla matematica, in tarda età compose De Corpibus regularibus un'opera incentrata sui poliedri regolari ed è proprio questa l'opera tradotta in volgare dal latino nella terza parte del De Divana Proportione. Havendo inteso la su centia de li detti 5 corpi regulari: e mostrata la impossibilita a esserne piu de 5 col modo in loro dependenti a procedere in in nito segue dover dar modo a loro proportioni fra luno e laltro e laltro e luno Come aermato da Pacioli nella citazione soprastante, la terza parte inizia con l'elencazione dei 5 solidi regolari.
Soermandosi più in dettaglio nella loro
costruzione e fornendo la motivazione, sia matematica che loso ca, del perché non possono esserne concepiti più di cinque:
in quanto cinque sono gli
elementi naturali necessari e su cienti al Creatore per la costruzione del Cosmo così cinque sono i poliedri regolari. Passa poi a trovare gli spigoli delle cinque gure e a paragonarli fra loro insistendo in particolar modo sui rapporti fra i corpi regolari e le loro super ci totali. L'opera continua poi con lo studio sulle possibilità di collocare o inscrivere questi corpi uno dentro l'altro.
Osserva che la piramide può ricavare in sé
soltanto l'ottaedro; il cubo riceve la piramide e l'ottaedro; l'icosaedro riceve la piramide, il cubo e il dodecaedro; in ne il dodecaedro riceve la piramide, il cubo, l'ottaedro e l'icosaedro. In totale non sono se non 12 inscriptioni. La sfera invece è inscrivibile in ciascuno di essi. L'ultima parte costituisce forse il punto più caratteristico del trattato ed è strettamente legato alle sessanta tavole che chiudono il volume.
In essa si
studia la possibilità e i modi per ricavare da ciascuno dei solidi platonici le forme derivate, siano esse solide o piene oppure vacue o riprodotte dai soli spigoli.
6.2.4
La matematica, la più precisa, logica e gra camente costruttiva delle scienze 3 : Albrecht Dürer
Nato il 21 maggio 1471 a Norimberga, Albrecht Dürer è considerato il più grande pittore ed incisore tedesco dell'inizio del XVI secolo. Già all'età di 19 anni egli dava prova di grandi doti ed iniziò una luminosa carriera pittorica, che giunse all'apice nel 1514, quando realizza Melancolia , opera forse dedicata alla madre,
3 Albrecht
Dürer
49
mancata proprio in quel periodo. Essa rappresenta la traduzione artistica delle conoscenze che Dürer aveva acquisito durante il suo secondo soggiorno in Italia: il giovane Albrecht, infatti, era aascinato dalla corrente pittorica veneziana sua contemporanea, di cui era esponente di spicco Giovanni Bellini.
Questa
vicinanza artistica aveva spinto il pittore ed incisore tedesco a recarsi più volte in Italia, dove aveva conosciuto, tra gli altri, anche Jacopo de' Barbari, autore del celeberrimo ritratto di Luca Pacioli.
Questa amicizia aveva permesso ad
Albrecht di avvicinarsi agli studi matematici che si sviluppavano in quegli anni intorno a quelli del Pacioli stesso. Tra il 1505 ed il 1507 è probabile che abbia conosciuto, a Bologna, anche lo stesso autore del De Divina Proportione , con cui ebbe modo di approfondire ulteriormente la matematica della sezione aurea. L'opera Melancolia contiene cenni di sezione aurea, di giochi matematici, di gure enigmatiche e di poliedri particolari. La gura centrale è una donna alata che si siede apatica e infelice su una sporgenza di pietra. La gura ha nella mano destra un compasso, aperto per misurare. Si pensa che il quadrato in alto a destra, in cui ogni riga, colonna, diagonale, i quattro numeri centrali e i numeri ai quattro angoli danno tutti per somma 34, rappresenti la matematica e in se contiene l'anno di composizione dell'opera 1514. Nell'opera poi è ra gurato un particolare solido di invenzione di Dürer stesso un romboedro: solido a sei facce con ciascuna faccia a forma di rombo.
50
Capitolo 7 In viaggio verso l'Alhambra Vado in giro solo soletto nel giardino della tassellatura regolare del piano. Per quanto possa appagare il possedere un proprio campo- la solitudine non è così piacevole; solo in questo caso essa appare , in realtà, anche impossibile.
Ogni artista, o meglio og-
ni essere umano- per evitare possibilmente in questa circostanza la parole arte- possiede caratteristiche altamente personali e cattive maniere. Ma la regolare divisione del piano non è un tick, una cattiva maniera o un hobby. Non è soggettiva, ma oggettiva. Con tutta la buana volontà non posso accettare che qualcosa di così ovvio, come il rendere riconoscibili gure che si completano a vicenda, così come il loro signi cato, funzione e intenzione, non sia mai venuto in mente a nessuno. Infatti, se oltrepassiamo la soglia dello studio preliminare, il gioco assumerebbe un valore maggiore, non puramente decorativo. Escher, regelmatige vlakverdeling, Ulrecht 1958
7.1
Incontro con l'artista: Maurits Cornelius Es-
cher Nessun argomento, nessun soggetto era più caro all'artista M. C. Escher (18981972) della divisione ciclica del piano. Essa è la più ricca fonte di ispirazione da cui io abbia mai derivato le mie idee ed essa non è in nessun modo inaridita Tale passione venne coltivata nei viaggi che fece nella città spagnola di Granada: le decorazioni arabeggianti dell'Alhambra lo portarono a pensare che nella ritmica scomposizione di un piano risiedessero ricchissime possibilità. I mori erano maestri proprio nel riempire completamente super ci con un motivo sempre uguale. In Spagna, all'Alhambra, hanno 51
decorato pavimenti e pareti mettendo uno vicino all'altro pezzi colorati di maiolica della stessa forma senza lasciare spazi intermedi. Peccato che l'Islam vietasse di realizzare disegni con gure. Nei loro mosaici si limitarono a comporre forme geometriche astratte. Nessun artista mauro, per quanto ne sappia, ha mai osato utilizzare (o forse non gli è mai venuta l'idea), come elementi dei suoi mosaici, gure concrete e riconoscibili, per esempio uccelli, pesci, rettili o esseri umani. Questa limitazione è per me tanto incomprensibile, perché la riconoscibilità delle componenti dei miei stessi motivi ornamentali è la ragione del mio interesse, mai interrotto in questo campo. Nascono così le metamorfosi, una serie di opere dove l'artista si cimenta in varie scomposizioni del piano, che mutano forma man mano che si scorre con gli occhi 1
l'opera . Escher partì dall'osservazione dei pavimenti e della pareti dell' Alhambra per poi sviluppare il concetto di tassellazione in modo artistico e stupefacente. Ma facciamo un passo indietro e osserviamo con attenzione le bellissime decorazioni della città spagnola, come quelle qui a anco riportate. Da un punto di vista matematico, le simmetrie esibite da queste decorazioni si possono infatti classi care in base alle possibili combinazioni (più precisamente, ai possibili gruppi di simmetria) di trasformazioni che le lasciano invariate: traslazione lungo una retta, ri essione rispetto a una retta, e rotazione attorno ad un punto. Nel 1891 Fedorov (1828 - 1903) dimostrò che esistono soltanto 7 tipi diversi di gruppi di simmetria per fregi lineari, quali le greche e gli zoccoli, e 17 per quelle planari, quali le pavimentazioni e le tappezzerie. Inoltre, i gruppi planari possono soltanto esibire simmetrie rotazionali di tipo assiale, triangolare, quadrato ed esagonale.
180°, 120°, 90°
e
60°,
cioè di
Quasi tutti questi tipi sono
eettivamente usati nelle decorazioni dell'Alhambra, così come in quelle di varie altre civiltà, dagli Egizi ai Giapponesi. Quindi si ha una tessellazione quando le varie tessere che la compongono non si sovrappongono né lasciano spazi vuoti. Si de nisce poi una tassellazione periodica una tassellatura che consente traslazione almeno in due direzioni non parallele. In caso contrario si dice aperiodica. Ma esistono singole tessere o insiemi di tessere che tassellano il piano solo in modo aperiodico? La risposta a questa domanda è sì.
7.2
Questa è follia, se pure c'è del nesso2 : Dart e
Kite La storia della tassellazione aperiodica inizia nel 1966 dal matematico Robert Berger che realizzò il primo insieme di tasselli formato da 20426 elementi distinti. Applicando poi un altro ragionamento ingegnoso, Berger riuscì a ridurre
1 2 Amleto,
Atto 2, Scena 2
52
il numero a 104. Poi, nel 1971, Raphael Robinson riuscì a ridurre ulteriormente il numero a 6 tasselli.
Troviamo poi scritto nell'opera di Roger Penrose (1931) La mente nuova
dell'imperatore la presentazione delle tassellature. Leggiamo: Nel 1966, però, seguendo alcune delle indicazioni fornite da Wang, Robert Berger riuscì a mostrare che non esiste alcuna procedura di decisione per il problema della tassellatura: anche il problema della tassellatura fa parte della matematica non ricorsiva! [...] Venuto a conoscenza dell'insieme aperiodico di sei forme di Robinson, cominciai a pensare a come ridurne il numero; e con varie operazioni di taglia e incolla riuscii a ridurle a due.[...]
Le strutture
necessariamente aperiodiche presentate dalle tassellature completate hanno molte proprietà notevoli, fra cui una struttura quasi periodica con simmetria pentagonale, a quanto pare cristallogra camente impossibile.[...] É forse notevole che una tale area della matematica apparentemente banale, simile in apparenza a un gioco per bambini- come quella di coprire il piano con forme congruenti-, faccia parte in realtà della matematica non ricorsiva. Di fatto in quest'area ci sono molti problemi di cili e insoluti.
Non si sa, per esempio, se es-
ista un sistema aperiodico formato da una singola tessera.
Wang,
Berger e Robinson arontarono il problema della tassellatura usando tessere fondate sui quadrati. Io qui sto considerando poligoni di forma generale, e occorre un qualche modo adeguatamente computabile per visualizzare le singole tessere. Un modo per farlo potrebbe es3
sere quello di dare i loro vertici come punti del piano di Argand , punti che possono assere forniti in modo perfettamente adeguato con i numeri algebrici.
3 Il
piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di
Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Gauss, per cui viene da alcuni anche de nito Piano di Gauss. Per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche de nito Piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 da un matematico norvegese-danese Caspar Wessel.
53
La tassellazione di Penrose è uno schema di gure geometriche basate sulla sezione aurea, che permette di ottenere una tassellazione di super ci in nite in modo aperiodico. È stata scoperta da Roger Penrose e Robert Amman nel 1974. Le due tessere citate nell'opera La mente nuova dell'imperatore vengono chiamate per la loro forma evocativa kite (aquiloni) e Dart (freccia). Sulle tessere è disegnato un motivo colorato e solo gli assemblaggi che rispettano la corrispondenza dei colori sono permessi: nessuna coppia di tasselli dev'essere 4
unita in modo che formi un singolo parallelogramma .
Non vi suggeriscono nulla gli angoli di queste due gure? Oppure l'immagine a lato riportata? Ancora una volta la risposta è la sezione aurea. Infatti :
le due sagome sono formate da triangoli isosceli ricavabili dal pentagono. Il
lato base è uguale a φ è noto come triangolo aureo, mentre lato 1 quello il cui rapporto base è uguale a φ è chiamato gnomone aureo. Le due forme si possono ottenere tagliando un rombo di 72° e 108° in modo tale da dividere triangolo il cui rapporto
la diagonale maggiore secondo la sezione aurea. Ma non solo in questo caso appare il numero aureo. Infatti il numero degli aquiloni ha un rapporto sso con il numero delle frecce:
Naquiloni Nf recce tende a
φ
col
crescere dell'area presa in considerazione.
4 Due esempi di collegamento delle tessere, seguendo gli archi colorati. Si ottengono in tal modo quelli che vengono chiamati rispettivamente Sole e Stella di Penrose.
54
Non è solo un gioco di puzzle: i quasicristalli
7.3
Se gli oggetti planari simmetrici più comuni sono le decorazioni murali, quelli spaziali più noti sono i cristalli.
La cristallogra a fu appunto uno dei primi
campi di applicazione della teoria dei gruppi, a partire dal 1849 con Gustave Bravais. L'esempio di Penrose è interessante matematicamente perché esibisce una simmetria di rotazione pentagonale, che nessuna pavimentazione planare simmetrica può esibire. Esso acquistò un interesse sico quando, nel 1984, il cristallografo Daniel Schechtman scoprì una lega di alluminio e manganese. La super cie della struttura molecolare di questa lega esibisce una simmetria dello stesso tipo, che nessuna struttura cristallina può invece esibire. state chiamate quasicristalli.
Tali strutture sono
Fino ad oggi sono state scoperte più di cento
sostanze simili, per la maggior parte leghe dell'alluminio. Nello stesso periodo in cui Schechtman scopriva i quasicristalli, Paul Steinhardt, docente di matematica della Princeton University, avanzava l'ipotesi che gli atomi di una sostanza potessero costruire strutture aperiodiche simili alle tassellature di Penrose, strutture che avrebbero potuto giusti care la simmetria quinaria dei quasicristalli. Quello che all'origine non era che un semplice gioco è diventato il fondamento di un'importante ricerca scienti ca. Questo conferma ancora una volta che la matematica non è un banale gioco, ma il linguaggio stesso della natura. Il matematico, come il pittore o il poeta, è un creatore di forme. E se le forme che crea sono più durature delle loro è perché la sue sono fatte di idee. Godfrey H. Hardy (1877- 1947)
55
56
Capitolo 8 Un canone di bellezza Lo scienziato cerca la bellezza nella verità; L`artista cerca la verità nella bellezza.
8.1
L'arte non consiste nel rappresentare cose nuove, bensì nel rappresentare con novità1 : il rap-
porto con l'arte La sezione aurea è sempre stata ritenuta un rapporto dotato di grande armonia, capace di conferire intrinsecamente bellezza alle gure, e fra tutte le sue applicazioni geometriche il rettangolo aureo è senz'altro il poligono che ha ereditato maggiormente tale fama. A torto o ragione, si è ritenuto che n dall'antichità sia stato usato nella costruzione di importanti edi ci per conferire loro una particolare armonia. Come abbiamo visto nei capitoli precedenti forse gli stessi egizi ne erano a conoscenza, l'esaltazione poi della bellezza venne ad opera dei greci, autori a pieno titolo del sapere aureo. Storicamente, abbiamo che dal Rinascimento in poi la sezione aurea acquisì un signi cato magico, grazie soprattutto a Luca Pacioli. Nella sua opera ritroviamo infatti un'analisi delle caratteristiche architettoniche e del corpo umano, grazie alla quale si convinse che la divina proporzione si trovi nelle opere umane e naturali più belle.
8.1.1
Le opere umane più belle: da Leonardo a Le Cor-
busier Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della proporzione aurea.
Il diondersi nel Rinascimento di
φ,
unito al-
l'interesse per la prospettiva aumentarono la probabilità che ci fosse un approc-
1 Ugo
Foscolo
57
cio scienti co-matematico da parte degli artisti nei confronti delle loro opere pittoriche e non solo. Nome immancabile nella letteratura aurea è il già citato Leonardo da Vinci. Egli infatti non si limitò solamente a fornire le tavole con i solidi per il De Divina
Proportione, ma riscontriamo nelle sue opere un largo utilizzo del rettangolo aureo. Tra i dipinti più famosi: San Gerolamo, La Vergine delle Rocce e Monna
Lisa. La gura di San Gerolamo, omettendo il braccio destro proteso verso l'esterno, è inscrivibile in un rettangolo aureo.
Il dipinto che riporta la data 1483
sarebbe quindi ampiamente precedente l'arrivo di Pacioli a Milano. Altra opera precedente è la prima versione eseguita probabilmente tra il 1483 e il 1486 de La Vergine delle Rocce. Il rapporto dell'altezza con la larghezza è di circa
1, 64,
valore ragionevolmente vicino a
φ.
Opera senza dubbio al centro di molti dibattiti è in ne la Monna Lisa, non solo per il suo enigmatico sorriso o per le ipotesi che dietro al volto della fanciulla si celerebbe quello dello stesso Leonardo, ma anche per quanto riguarda le proporzioni che alcuni vorrebbero essere quelle auree. Infatti il rapporto aureo si dovrebbe rintracciare all'interno di un rettangolo aureo i cui riferimenti non sarebbero ben de niti. In uno studio intitolato Testa di vecchio, possiamo vedere come Leonardo si accingesse a costruire una gura e con quanta meticolosità si dedicava alle proporzioni del viso. In questo schizzo infatti sono ben evidenti i rettangoli disegnati, alcuni dei quali in proporzione aurea, ma che per alcuni sarebbero tali perché proprio l'uomo nasconde in se tale proporzione.
Non si
può dunque escludere, osservando le analisi di queste opere, un uso consapevole della sezione aurea da parte di Leonardo da Vinci. In epoca più recente altro caso dubbio, cui viene ascritta una passione per la sezione aurea sarebbe il pittore francese Georges Seurat (1859- 1891), nel cui caso, forse, la diceria è stata alimentata da una naturale propensione per una pittura spaziale dove il rilievo geometrico, si carica, nelle prospettive dell'artista, di una carica emozionale che egli intende trasmettere facendo un particolare uso di tratti verticali, orizzontali e angoli retti. Manca a sostegno di tale tesi l'ammissione dell'artista di aver fatto uso della proporzione aurea, anche se, a sostegno, vengono proposte diverse opere tra cui
La parade de cirque. A comprova di questa ipotesi basti pensare che al tempo di Seurat c'era una enorme diusione della divina proporzione come riportato dal matematico inglese David Bergamini nel suo libro Mathematics: Esistono però diversi artisti che fecero eettivo uso della sezione aurea nelle loro:
uno dei primi fu senz'altro Paul Sérusier (1864-
1927) per sua stessa ammissione.
È probabile che Sérusier abbia
appreso della sezione aurea da un altro pittore amico suo, l'olandese Jan Werkade, durante una visita avvenuta nel 1896, nella quale lo andò a trovare presso un monastero di Benedettini a Beuron, nella Germania meridionale; nell'occasione un gruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su una Padre 58
Didier Lenzdi riguardanti particolari misure sacre tra cui ovviamente la sezione aurea. Dopo Sérusier la conoscenza della sezione aurea si diuse a molti artisti, e non poté mancare di trovare degna posizione anche all'interno del cubismo, come dimostra il nome di una mostra, la Section d'Or, tenuta a Parigi nel 1912 da alcuni dei primi esponenti del movimento pittorico, benché nessuna delle opere presentate al suo interno contenesse alcun legame con
φ.
Tuttavia non
mancarono neanche pittori cubisti che ne fecero realmente uso, come lo spagnolo Juan Gris (1887-1927) e lo scultore lituano Jacques Lipchitz (1891- 1937), i due lavorarono assieme per la costruzione della scultura Arlequin, basata su un particolare triangolo aureo ideato da Keplero. A quel tempo ero molto interessato alle teorie delle proporzioni matematiche, come altri cubisti, e tentai di applicarle alle mie sculture.
Provavamo tutti una grande curiosità per quell'idea di una
regola aurea, o sezione aurea, un metodo che si diceva fosse stato alla base dell'arte e architettura dell'antica Grecia Jacques Lipchitz Uno dei più decisi fautori dell'applicazione del rapporto aureo all'arte e all'architettura fu il celebre artista svizzero-francese Le Corbusier (1887- 1965). Con Le Corbusier si ebbe la ricerca di una proporzione standardizzata che culminò nell'introduzione di un nuovo sistema proporzionale chiamato Modulor. La formazione del Modulor tra il 1942 e la pubblicazione del primo libro sul sistema del 1949, va molto oltre rispetto alle prime applicazioni di moduli proporzionali applicati per esempio nella famosa Villa de Monzie- Stain di Garches del 1927. 2
La scala Modulor
si distingue in due serie di divisioni per sezione aurea riferite
all'altezza ideale dell'uomo eretto (m. 1.829) e con il braccio levato (m. 2.26); Le Corbusier fornisce come esempio una tavola di rettangoli ricavati col Modulor e una serie di combinazioni di tali rettangoli col quadrato e tra loro come esempi di distribuzioni armoniche attuabili in architettura e in urbanistica.
Disegna
inoltre una serie di 54 quadrati ottenuti mediante la composizione di rettangoli dedotti dal Modulor.
2
59
Il modulor è uno strumento di misura nato dalla statura umana e dalla matematica. Un uomo con il braccio alzato fornisce nei punti determinati dell'occupazione dello spazio, il piede, il plesso solare, la testa, l'estremità delle dita, essendo il braccio alzato, tre intervalli che generano una serie di sezioni auree dette di Fibonacci. D'altra parte, la matematica ore la variazione più semplice e nello steso tempo più signi cativa di un valore: il semplice, il doppio, le due sezioni auree. Le Corbusier, Il Modulor Inoltre, è evidente la similitudine concettuale fra il Modulor e l'uomo vitruviano di Leonardo. Le Corbusier vedeva questo problema come un gioco: Si prende ad esempio un quadrato e ci si diverte a suddividerlo secondo le misure del Modulor.
Questo gioco è senza limite.
Ci
si potrebbe anche divertire a giudicare quali sono le combinazioni soddisfacenti, persino le più belle. Commenta poi i rettangoli ricavati da questo metodo: Raggruppiamo questi elementi così diversi: la gamma delle combinazioni possibili è molto ricca. Le prime ottenute, così come quelle che seguiranno, saranno eccellenti perché tutte sono fatte da elementi armonizzati. L'ingegnosità, il gusto ne faranno uso nel modo migliore per operare i raggruppamenti capaci di soddisfare tutte le sensibilità, tutte le fantasie o tutti i bisogni puramente razionali. La dimostrazione sommaria del Modulor è fatta. Il Modulor regola le lunghezze, le super ci, i volumi. Mantiene dappertutto la scala umana, prestandosi ad una in nità di combinazioni, assicura l'unità nella diversità, bene cio inestimabile, miracolo di numeri.
8.2
Il rettangolo più bello?: indagini psicologiche
Come stanno eettivamente le cose? È vero che la mente umana possiede un meccanismo che genera sensazioni piacevoli di fronte al rapporto aureo? Da un punto di vista psicologico la fama che la sezione gode ancora oggi è dovuta al primo psicologo che tentò di dimostrare sperimentalmente la sua e cacia estetica, Gustav Theodor Fechner (1801- 1887).
L'indagine si svolse
secondo tre tipologie metodologiche complementari: 1. Il metodo della scelta (Wahal): richiesta diretta ai soggetti di scegliere quale fra i rettangoli mostrati fosse per loro preferibile 2. Il metodo della produzione (Herstellung): si chiede ai soggetti di disegnare il rettangolo che ritengono più gradevole 60
3. Il metodo dell'uso (Verwendung): indagine oggettiva, la misurazione di numerosi oggetti di uso quotidiano per veri care la presenza del rapporto aureo. Gli esiti furono pubblicati nel 1879 in un volume intitolato Vorschule der Aes-
thetik (Manuale di estetica); delle tre solo la prima diede esito positivo, rivelando una preferenza del
35% per il rettangolo aureo.
Gli esperimenti di Fechner,
sebbene soltanto uno avesse dato l'esito da lui sperato, aprirono in risposta un lone di indagini psicologiche per tutto il Novecento, nelle quali la preferenza per la sezione aurea si dimostrò sempre più una chimera. Una delle prime critiche che fu rivolta a Fechner riguardava la possibile preferenza dell'occhio umano per rettangoli disposti con il lato maggiore orizzontalmente, seguendo quindi l'ampiezza del campo visivo. Nel 1966 H.R. Schiman pubblicò un esperimento in cui chiese a delle persone di disegnare un rettangolo per loro piacevole. Successivamente li pregò di orientare il disegno in verticale o orizzontale a seconda di come lo preferivano.
Risultò una netta preferenza
per la disposizione orizzontale ma il rapporto medio tra i due lati era di 1,9, considerato lontano da quello aureo ma anche da quello medio del campo visivo, circa 1,5. Un altro fattore potenzialmente importante poteva essere l'in uenza culturale. E fu D.E. Berlyne, nel 1970, che si interessò di questo aspetto. Egli mostrò a 33 ragazze canadesi e 44 giapponesi una serie di rettangoli.
Il risultato fu
eclatante: in entrambi i casi la prima scelta è stata di gure simili al quadrato mentre il rettangolo aureo fu scelto solo dal 9 % delle canadesi e il 5 % delle giapponesi. Un altro possibile problema da arontare era il fattore della posizione media dei rettangoli presentati.
In pratica un'ipotesi suggeriva che si tenderebbe a
scegliere il rettangolo con il rapporto a metà tra quelli presentati. Per ovviare a questo problema nel 1974 M. Godkewitsch, dell'Università di Toronto, ideò un altro esperimento in cui presentava tre gruppi di rettangoli. Ognuno conteneva quello aureo ma nel primo gruppo si trovava, come rapporto, vicino a quello più allungato, nel secondo a metà e nel terzo vicino a quello più corto. Il risultato fu che i soggetti preferivano eettivamente i rettangoli a metà tra quelli più lunghi e quelli più corti della serie presentata e il rettangolo aureo veniva indicato solo se si trovava nel mezzo. Pochi anni dopo, nel 1976, J. Benja eld replicò lo stesso esperimento tenendo conto però di due fattori: l'area dei rettangoli e l'ordine di scelta. In un primo esperimento i rettangoli mostrati nelle tre serie mantenevano la stessa area ed il rettangolo aureo fu preferito in tutte e tre le serie. Nel secondo caso i rettangoli venivano mostrati tutti assieme e veniva chiesto di dividerli in due gruppi: quelli piacevoli e quelli sgradevoli. Successivamente si chiedeva di scegliere, tra quelli piacevoli, quelli molto piacevoli e poi, tra questi, il migliore. Il risultato fu una maggior frequenza di scelta per i rettangoli larghi ma non per quello aureo. I.C. McManus nel 1980 mise in risalto un altro fattore:
la scelta poteva
avvenire secondo un continuo confronto tra coppie di elementi anche se tutti i 61
rettangoli erano mostrati contemporaneamente. Per questo motivo eettuò un esperimento in cui i rettangoli venivano presentati a due a due. Trovò infatti
altezza larghezza attorno a quello aureo anche se non gli fu possibile distinguere tra rapporti di 1,5, 1,6 e 1,75.
una netta preferenza per i rettangoli con un rapporto
George Marckowski, nel 1992, criticò il fatto che gli esperimenti di Fechner e molti di quelli più recenti erano spesso eettuati con un basso numero di rettangoli, riducendo di molto il campo d'azione delle scelte. I suoi esperimenti si basarono quindi su delle tavole contenenti ben 48 rettangoli in cui le gure erano disposte casualmente o secondo uno schema che seguiva l'ordine delle proporzioni. In entrambi i casi il rettangolo preferito è stato quello con il rapporto di 1,83, vicino a 1,62 ma quello aureo non ebbe un punteggio diverso da altri rettangoli. Arriviamo a questo punto al 1995 quando Cristopher D. Green, del Dipartimento di Psicologia della York University, in Canada, cerca di fare il punto della situazione e conclude che: "Appare in realtà esserci un qualche eetto psicologico associato al rapporto aureo ma sembra essere relativamente sensibile agli errori metodologici sperimentali." Fu forse anche per questa continua mancanza di dati de nitivi che nel 1997 esce un fascicolo speciale de Empirical studies of arts dedicato alla proporzione aurea dove vengono illustrati i risultati di sette dierenti ricerche che riprendono molti degli aspetti studiati negli anni precedenti. Questi studi arontavano in particolare: il modo in cui il rapporto aureo è inserito negli oggetti, l'in uenza del tipo di presentazione dei rettangoli, le preferenze di designer professionisti nel
altezza larghezza in dipinti considerati di arte eccelsa e di arte popolare, la produzione di disegni di rettangoli, le suddividere una linea, la frequenza dei rapporti
preferenze di sagome e il posizionamento di oggetti in contesti particolari. In nessuno di questi studi fu possibile trovare una preferenza signi cativa per il rapporto aureo, anzi in alcune ricerche sono stati scelti più frequentemente altri rapporti.
È per questo che Holger Höge, dopo aver ripetuto nel modo
più fedelmente possibile gli esperimenti di Fechner, intitola l'ultimo articolo di questo fascicolo The golden section hypothesis - It's last.
62
Capitolo 9 Innumerevoli sono le
1
meraviglie del mondo
[...] All'improvviso gli parve di essere ritornato ad Harvard, davanti ai suoi studenti del corso il simbolismo nell'arte, e di scrivere alla lavagna il suo numero preferito
1,618 Langdon si era voltato verso la sua aula piena di studenti ansiosi. Chi mi sa dire che numero è? Un diplomato in matematica, nelle ultime le, aveva alzato la mano. Il numero phi . Lo pronunciava . Bene, Stettner aveva commentato Langdon.
Signori, vi pre-
sento phi. Da non confondere con il pi greco aveva commentato Stettner, sorridendo Come diciamo noi matematici, il phi è di un'acca più interessante del pi. Langdon aveva riso, ma nessun altro aveva capito la battuta. Stettner era tornato a sedere deluso. Questo numero phi aveva continuato Langdon, Uno virgola seicentodiciotto, è un numero molto importante per l'arte. Chi mi sa dire il perché? Stettner aveva cercato di riabilitarsi. Perché è bello?. Tutti avevano riso. A dire il vero -aveva commentato Langdon, - Stettner ha di nuovo ragione. In genere, phi è considerato il più bel numero dell'universo. Le risate erano cessate e subito Stettner aveva sorriso.
1 So ocle
(495-405 a.C)
63
Mentre caricava il proiettore delle diapositive, Langdon aveva spiegato che il numero phi dalla sequenza di Fibonacci, una progressione famosa non solo perché la somma di due termini adiacenti era uguale al termine successivo, ma perché il quoziente di due numeri adiacenti tendeva sorprendentemente al valore 1,618, phi ! Nonostante la bizzarra origine matematica del phi, aveva spiegato Langdon, il suo più sorprendente aspetto era il suo ruolo di mattone fondamentale della natura. Piante, animali e persino uomini avevano misure che rispettavano esattamente il rapporto tra phi e uno. L'onnipresenza del phi in natura aveva detto Langdon mentre spegneva la luce, Va chiaramente al di là delle coincidenze e perciò gli antichi pensavano che fosse stato stabilito dal Creatore dell'universo. I primi scienziati la chiamarono proporzione divina. Un momento, aveva detto una giovane donna seduta in prima la. Io sono diplomata in biologia e non ho mai visto questa divina proporzione in natura. No? Langdon aveva sorriso. Non ha mai studiato il rapporto tra femmine e maschi in un alveare? Certo, le femmine sono sempre in numero superiore ai maschi. Esatto. E sa che in qualsiasi alveare si prende il numero delle femmine e lo si divide per quello dei maschi di ottiene sempre lo stesso numero? Davvero? Si, il numero del phi. La ragazza era rimasta a bocca aperta. Non è possibile! Certo che lo è!
aveva ribattuto Langdon, sorridendo, e aveva
proiettato la diapositiva di una conchiglia. Riconosce questa? E' un Nautilus , aveva detto la diplomata in biologia Un mollusco cefalopode che pompa gas nelle camere della sua conchiglia per regolare la spinta di galleggiamento. Esatto: e mi sa dire il rapporto tra il diametro di una spira e quello della successiva? La ragazza aveva guardato con aria incerta le curve concentriche della spirale del Nautilus. Langdon aveva annuito. Phi, la proporzione divina, uno virgola seicentodiciotto a uno. La ragazza l'aveva guardato con aria stupita. Langdon era passato alla successiva diapositiva, l'ingrandimento dei semi di un girasole. I semi di girasole crescono secondo spirali opposte. Chi sa dire il rapporto tra una rotazione e la successiva? Il numero phi ? avevano chiesto tutti. Tombola!
Langdon aveva continuato a proiettare altre dia-
positive, ma assai più in fretta:
una pigna e la sua suddivisione
secondo due serie di spirali, la disposizione delle foglie sui rami, i segmenti di alcuni insetti. Tutti rispettavano in modo stupefacente la proporzione divina. 64
Incredibile aveva esclamato qualcuno. D'accordo, - aveva commentato qualcun altro Ma cosa c'entra con l'arte? Ah,! aveva esclamato Langdon, Sono lieto che l'abbia chiesto. Proiettò un'altra diapositiva:
una pergamena ingiallita in cui si
scorgeva il famoso nudo maschile di Leonardo da Vinci, l'uomo vitru-
viano, così chiamato dal nome di Marco Vitruvio, il grande architetto romano che aveva tessuto le lodi della proporzione divina nel suo libro De Architectura. Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano. Leonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito di elementi che stanno tra di loro in rapporto di phi. Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa. Non mi credete? li aveva s dati Langdon, La prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro. Un paio di giocatori di football avevano riso di lui. Non soltanto voi scimmioni insicuri aveva continuato Langdon. Tutti, maschi e femmine.
Fate la prova.
Misurate la vostra al-
tezza poi dividetela per la distanza da terra del vostro ombelico. Indovinate che numero si ottiene. Non phi ! aveva detto uno degli scimmioni. Proprio phi, invece - aveva risposto Langdon. Uno virgola seicentodiciotto. Volete un altro esempio? Misurate la distanza dalla spalla alla punta delle dita e dividetela per la distanza dal gomito alla punta delle dita. Di nuovo phi. Altro esempio? Dal anco al pavimento diviso per la distanza dal ginocchio al pavimento. di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le sezioni della colonna vertebrale, ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è il tributo ambulante alla proporzione divina. [...] Dan Brown, Il codice da Vinci
9.1
Non ha mai studiato il rapporto tra femmine e maschi in un alveare?: la vita dei fuchi
Nello sciame, le api non sono tutte uguali: esistono le api (femmine) e i fuchi (maschi). Le uova delle api operaie danno origine a un fuco senza bisogno di fecondazione, di conseguenza un fuco ha una madre ma non un padre. Le uova della regina al contrario, sono fecondate dai fuchi e danno origine ad api femmine, operaie o regine. Quindi un'ape femmina ha sia una madre che un padre. I fuchi possono nascere unicamente dalle uova dell'ape regina. Se prendiamo ora in esame l' albero genealogico di un fuco in esso apparirà una ben nota 65
con gurazione: 1 fuco possiede solo 1 genitore che a sua volta ha 2 genitori che possiede 3 genitori che a loro volta hanno 5 genitori e così via. Non vi suonano famigliari questi numeri?
1, 1, 2, 3, 5, ...
L'albero genealogico di un fuco
presenta chiaramente in sé la sequenza della serie di Fibonacci.
9.2
Riconosce questa? E' un Nautilus, aveva detto la diplomata in biologia:
una spirale
alquanto speciale Costruisciti, anima mia, dimore più maestose mentre scorrono veloci le stagioni! Lascia il tuo angusto passato Una volta più ampia ti separi dal cielo Finché libero, nalmente Lascerai una conchiglia troppo stretta per L'inquieta vita del mare. Oliver Wendell Holmes, Nautilus La spirale logaritmica, come abbiamo visto, possiede tra le sua proprietà quella di non mutare forma mentre cresce. Questa caratteristica è molto utile in natura e la riscontriamo, per esempio, nella conchiglia del Nautilus. Il Nautilus è un mollusco diuso principalmente nell'Oceano Paci co occidentale e nell'Oceano Indiano. La sua conchiglia di colore bianco con screziature rosso arancio è suddivisa all'interno in una serie di camere, collegate tra loro da un canale chiamato sifone. La circolazione dei liquidi tra un vano e l'altro, gli permette di svolgere gli spostamenti verticali e il galleggiamento. Quando una camera si svuota dal liquido si riempe di gas: variando opportunamente il rapporto tra la quantità di gas e quella dei liquidi presenti nelle camere, il Nautilus è in grado di scegliere a che profondità portarsi. Nella struttura della conchiglia si può riconoscere la presenza della sezione aurea: il rapporto tra una spira e quella successiva e' uguale al rapporto tra due numeri successivi di Fibonacci, che come Keplero notò all'in nito tende al numero aureo. Gli archi successivi della spirale aurea riproducono la forma con cui il Nautilus, crescendo ingrandisce la propria conchiglia. In tal modo il mollusco, pur ampliando la propria struttura, trascorre in un certo senso tutta la vita nella stessa dimora, non avendo il bisogno di correggerne l'equilibrio col passare del tempo. Lo stesso principio vale per i montoni, le cui corna hanno la forma di una spirale logaritmica e per le zanna degli elefanti. Crescendo, per così dire, per accumulazione interna, la spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i suoi successivi aumenta man mano che ci si allontana dall'origine, che è chiamata polo. 66
In particolare, avanzando di angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con proporzione costante. Per questa ragione nel 1638 il matematico Cartesio chiamò la spirale logaritmica con il termine spirale equiangola, caratteristica che viene ben sfruttata dal falco pellegrino durante la caccia. Il falco pellegrino compie una spirale logaritmica per raggiungere il più velocemente possibile la preda. Non segue la linea d'aria perché i suoi occhi sono posizionati lateralmente e non in avanti come quelli umani: quindi se seguisse la strada più breve in termini di lunghezza, sarebbe costretto a ruotare continuamente la testa di una quarantina di gradi ogni volta, peggiorando di non poco l'assetto e L'Aerodinamicità del volo. L'uccello eseguendo la spirale equiangola ha la possibilità di non perdere di vista la preda e nel contempo di tenere la testa dritta massimizzando la velocità. Un altro sorprendente esempio è la galassia spirale. Le galassie spirali hanno la forma di un disco, con un nucleo globulare più o meno prominente detto bulge (bulbo) e alcune braccia a spirale che si avvolgono attorno ad esso. Il tutto e' in rotazione attorno all'asse del disco, con una velocità angolare che varia dal centro alla periferia. Come può la con gurazione a spirale mantenersi per lunghi periodi di tempo? La spiegazione sta nelle onde di densità. Onde di compressione gassosa che attraversano il disco galattico producendo nubi di gas e innescano la formazione di nuove stelle.
La con gurazione spirale osservabile rivela semplicemente la
parti di disco galattico più dense della media, ricche di nuove stelle. L' onda di densità si muove nel disco più lentamente della stelle e del gas; l'agente, che de ette il movimento delle stelle e delle nubi di gas e genera le onde spirali di densità, è la forza di gravità, generata dal fatto che la distribuzione della materia nella galassia non è perfettamente simmetrica. 2
regnano le leggi di Newton
In un universo dove
in cui la gravità decresce di un fattore 8, anziché di
4, al raddoppiare della distanza, crea tra le possibili forme di orbite la spirale logaritmica. Un ulteriore curiosità, la possiamo osservare nel nostro Sistema Solare:
i
pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione di Fibonacci (Mercurio 1 Venere 2, Terra 3, Marte 5) e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5); fu grazie anche a questa coincidenza che gli astronomi riuscirono a determinare l'esistenza di Nettuno. La natura ama le spirali logaritmiche: dalle conchiglie alle corna del montone, dagli uragani alle galassie, sembra che la natura abbia scelto quest'armoniosa gura come proprio ornamento favorito.
2 La
legge universale di gravitazione scoperta da Newton aerma che ogni massa attrae
un'altra massa con una forza che decresce con la distanza. In particolare, il raddoppio della distanza riduce la forza di attrazione di un fattore 4 (la forza diminuisce con il quadrato della distanza)
67
9.3
I semi di girasole crescono secondo spirali opposte. Chi sa dire il rapporto tra una rotazione e la successiva?: girasoli, pigne, rose
e foglie La llotassi è una branca della botanica preposta allo studio ed alla determinazione dell'ordine con cui le varie entità botaniche (foglie, ori, etc.) vengono distribuite nello spazio, conferendo così una struttura geometrica alle piante. Il termine deriva dal greco: phyllon signi ca foglia e taxis ordine. La crescita delle foglie lungo uno stelo segue la forma di una spirale: le linee rette che congiungono il centro del fusto e l'abbozzo della foglia formano un angolo di divergenza di 137°30', conosciuto come angolo aureo . 3
Secondo Harold S.M. Coxeter (1907- 2003), J. Adler (1902- 2001) e N. Rivier, i germogli posti lungo la spirale generatrice, se separati da angoli aurei, risultano più tti e sfruttano lo spazio con più e cienza. L'angolo di divergenza aureo assicura che i germogli non si allineano, per l'irrazionalità del numero, riducendo al minimo lo spreco di spazio. Questo è dovuto in parte a due caratteristiche che assodiamo come vere nella realtà naturale delle cose: l'omogeneità, ossia la struttura ovunque è la stessa e l'autosomiglianza, la struttura in ogni sua parte conserva lo stesso aspetto. Un'altra ipotesi tiene conto della sica delle strutture e collega il perché di tale struttura alle condizioni di energia minima consumata dalle gemme nel posizionarsi l'una dall'altra.
Tali esperimenti vennero eseguiti da L.S.Levitov
(1991), Stephane Donady e Yves Couder (1992 e 1996). In uno di questi esperimenti furono calate delle gocce in un liquido speciale posto su di un campo magnetico. Le gocce che si comportavano come aghi in un campo magnetico formarono signi cative con gurazioni. I minuscoli magneti infatti si respingevano reciprocamente, sospinti ulteriormente in senso radiale dal gradiente del campo magnetico. I schemi, che si ottennero, oscillavano attorno a una spirale in cui gli angoli aurei separavano le gocce successive. Quanto si è potuto osservare n ora in natura i sistemi sici sono soliti assestarsi nella condizione che rende minima la loro energia. Viene quindi spontaneo pensare che le disposizioni di llotassi rappresentino le condizioni di minima energia per le gemme che si respingono reciprocamente.
3 In
geometria, l'angolo aureo è l'angolo avente rispetto l'angolo giro lo stesso rapporto che
si ha nella sezione aurea. Dati una circonferenza c e due archi di circonferenza a, e b, è de nito come l'angolo al centro sotteso dall'arco b, a condizione che:
a+b=c
e
b
f =
b c
=
c = ab a a , è noto che il rapporto aureo b
e tale che :
Data l'equivalenza
c a
=
Ma, come si deduce dalla de nizione di rapporto aureo:
b φ·b+b
=
φ =
b , ovvero la parte di circonferenza occupata dall'arco b, a+b b b(φ+1)
=
1 φ+1
=
a , poniamo invece come b
a = φ·b
otteniamo quindi
f =
1 ; φ2
Un angolo aureo occupa
1 φ2
'
1 di circonferenza. 2.618033
determinare il valore numerico dell'angolo aureo in gradi:
68
A partire da questo, si può
137°300 .
Grazie all'utilizzo di simulazioni computerizzate si è visto che le strutture che comparivano con angoli di accrescimento uguali all'angolo aureo erano simili a quelle dell'in orescenza del girasole. Un modello matematico che si rispetti deve sempre partire da dati biologici (o chimici, sici, ecc.)
della situazione che vuole descrivere.
Nel caso della
llotassi del girasole (o di altri ori), ci serve sapere tramite quale meccanismo il ore si forma. Studi biologici mostrano che la parte attiva del ore, quella in cui avviene la crescita vera e propria, è una zona circolare (detta apice) posta al centro. Sul bordo dell'apice si formano i primordi, che poi si sviluppano no a diventare semi, stami, o foglie.
Ciascun primordio nasce ruotato rispetto al precedente
di un angolo, detto di divergenza. Nel caso dei ori, che hanno uno sviluppo essenzialmente bidimensionale, un primordio crescendo per farsi spazio sposta verso l'esterno i primordi più anziani a lui vicini; di conseguenza, i primordi sono disposti lungo una stretta spirale detta spirale generatrice. Le spirali più larghe, enumerate dalla successione di Fibonacci, dette parastichi, sono soltanto un sorprendente eetto ottico, che in un certo senso rende esplicita la struttura matematica soggiacente alla distribuzione dei primordi.
L'occhio riceve
l'impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l'una in senso orario e l'altra in senso antiorario. I numeri di spirali delle due famiglie tendono a essere numeri consecutivi di Fibonacci.
Nel caso più comune ci sono trentaquattro
spirali avvolte nel senso opposto, ma sono stati osservati girasoli con rapporti
89 144 55 , 89 , numeri della successione di Fibonacci. Lo sviluppo geometrico del ore dipende quindi da tre fattori: l'angolo di di-
del numero di spirali
vergenza, la forma dei primordi e come un nuovo primordio sposta i precedenti. Un modello matematico deve quindi fare delle ipotesi esplicite su questi fattori, ipotesi possibilmente compatibili con la realtà biologica. Realisticamente possiamo schematizzare il girasole con tali proprietà:
2πφ
l'angolo di divergenza
costante in tutto il processo, i primordi pensati come cerchi di raggio uni-
tario uguale per tutti e con il primordio j-esimo che nasce all'istante j-esimo già maturo e con centro sul bordo dell'apice e per nire, la nascita di un nuovo primordio sposta radialmente tutti i primordi precedenti verso l'esterno di una distanza costante d. Dunque il nostro modello è completamente determinato dall'angolo di divergenza
2πφ,
dallo spostamento d, e dal numero di primordi nel ore.
L'angolo è determinato ancora una volta del numero aureo
φ.
Del perché compaia in natura tale con gurazione lo si può supporre partendo da un modello lievemente più so sticato, si riesce a dimostrare che l'angolo di divergenza è eettivamente quello che realizza, in un senso molto preciso, la distribuzione più e ciente dei primordi, con un'occupazione uniforme e più densa possibile dello spazio disponibile. Un'altra spiegazione ci suggerisce che l'angolo di divergenza minimizzi l'entropia (opportunamente de nita) dei primordi. In accordo con le ipotesi riportate in precedenza riguardanti la disposizione delle foglie sul stelo. Anche la mirabile corolla della rosa è collegata al rapporto aureo. Togliendo uno per volta i petali si può ricostruirne la struttura. Gli angoli che de niscono le 69
posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro) sono la parte decimale di semplici multipli di
φ.
Il petalo 1 è a un 0,618-esimo di giro dal petalo 0; il petalo 2 è a
un 0,236-esimo di giro dal petalo 1, e così via.
9.4
La prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro.: il rapporto aureo e il corpo
Ritroviamo il rapporto aureo anche nella struttura del corpo umano.
φ
è il rapporto tra l'altezza del corpo diviso la distanza tra il pavimento e
l'ombelico, ma è anche nel rapporto tra la distanza dalla spalla alla punta delle dita divisa per la distanza dal gomito alla punta delle dita.
φ
è il rapporto dal
anco al pavimento diviso per la distanza dal ginocchio al pavimento o nella relazioni tra le falangi delle dita, come è mostrato nella gura a lato riportata. Se misuriamo infatti le dita della nostra mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei. Queste sono solo alcune della relazioni, ma possiamo ritrovare in noi una miriade di rapporti anche all'interno del nostro volto.
All'interno dell'orecchio umano è posta, come trasduttore dei suoni uditi la coclea, la sua capacità sta nel "tradurre" i suoni in impulsi elettrici al cervello. Ciò che sorprende e meraviglia è la sua forma espressa in proporzione aurea che è totalmente similare alle strutture della spirale logaritmica. Anche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo. Anzitutto le note: una scala completa (compreso il do della scala successiva) si compone di 5 diesis e 8 note, per un totale di 13 toni, numeri della serie di Fibonacci.
Quindi il 2 1 , il rapporto tra il tono di 2 Do e quello di Sol è con ottima approssimazione 3 (la famosa diapente greca), il 3 rapporto tra il Do ed il Fa è con buona approssimazione 5 (detta sesta maggiore) 5 ed il rapporto tra il Mi ed il Do successivo (DO2 ), è circa 8 (detta sesta minore, rapporto tra i toni dei Do di due scale successive è
complementare della terza maggiore Do-Mi), e così via; e questi sono proprio i rapporti tra numeri di Fibonacci. In ne un ambiente d'ascolto, ma anche una 70
cassa acustica, minimizzerà le risonanze se le dimensioni sono in rapporto aureo tra loro. Anche nella costruzioni degli strumenti musicali viene ricercata la sezione aurea, lo stesso Antonio Stradivari (1643- 1737) si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione. Che si possa dare una giusti cazione alla bellezza e all'armonia musicale? Del perché siamo aascinati e stupiti di fronte a un brano di Bach o Debussy? La serie dei numeri 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27 contiene in sé il ritmo segreto del macrocosmo e del microcosmo: poiché i rapporti fra questi numeri racchiudono non soltanto tutte le armonie musicali, ma anche la musica inaudibile dei cieli e la struttura dell'anima umana. Rudolf Wittkower (1901- 1971) Non solo nella strutturadel nostro corpo ritroviamo il numero aureo ma, aprendo il giornale il 9 dicembre 2009, leggo con sorpresa un'ulteriore curiosità legata a questo numero che rischia di aascinare e stupire una volta di più. Il rapporto giusto fra il valore della pressione massima e della pressione minima? È 1,618. Lo indica una ricerca austriaca su oltre 150 mila persone. Secondo questo studio chi, dividendo la massima per la minima, ottiene 1,618 vivrebbe più a lungo, a parità di altre condizioni.
L'irragionevole e cacia della matematica: il
9.5
mondo è veramente scritto con i caratteri della matematica? Quando non possiamo esprimerla con i numeri, la nostra conoscenza è povera e insoddisfacente Lord Kevin Che cosa hanno in comune la mirabile disposizione dei petali di una rosa, il celebre Partenone, l'armoniosa spirale di alcune conchiglie e l'allevamento dei conigli? Semplicemente
φ.
Dal microcosmo del seme del girasole al macrocosmo delle
galassie possiamo ritrovare il numero aureo, tutta la natura sembra in qualche modo contenere questo misterioso e incredibile numero. Ma come si è arrivati a pensare che il mondo possa essere esprimibile tramite formule matematiche ben precise? Per quale ragione la matematica e le costanti numeriche come il rapporto aureo hanno un ruolo così centrale in ambiti che vanno dalle teorie cosmologiche al comportamento dei fuchi nell'alveare? La matematica ha un'esistenza indipendente dagli uomini che hanno scoperto i suoi principi? 71
L'universo mostra l'evidenza di un disegno o di un potere che controlla e che ha la tendenza a svelarsi, non formulando parole ma numeri. Questo aforisma del sico britannico James Jeans (1877-1946) riecheggia a sua volta il pensiero di Platone:
Dio è un matematico? Nei prossimi capitoli proveremo a rispondere a questa domanda, iniziando dapprima a capire come sia nata l'idea di descrivere il mondo attraverso l'uso della matematica per poi cercare di scoprire in minima parte i suoi sviluppi più importanti. Analizzeremo quindi la vita di sei grandi pensatori per poi arontare un po' la storia di alcune branche della matematica come la probabilità, la geometria e la logica. Cercheremo di capire se come aerma il sico e matematico ungherese Eugene Wigner (1902-1995) esiste: l'irragionevole e cacia della matematica
72
Capitolo 10 Sei personaggi in cerca d'autore 10.1
Pitagora, il numerologo: l'ordine del cosmo Egli riusciva proprio a udire l'armonia dell'universo, e compren-
deva la musica delle sfere, e delle stelle che si muovono in concerto con queste, che noi non possiamo ascoltare per i limiti della nostra debole natura. Por rio, losofo (c. 233-305 d. C.)
10.1.1
Ipse dixit1 : la vita
Pitagora nacque nell'isola di Samo nel Mar Egeo intorno al 530 a.C. e morì agli inizi del V secolo a.C. Forse su consiglio del suo presunto maestro, il matematico Talete di Mileto, é probabile che Pitagora sia vissuto per un certo tempo in Egitto, dove apprese le nozioni matematiche, loso che e religiose dei sacerdoti egizi.
Dopo l'invasione da parte delle armate persiane Pitagora si trasferì in
Babilona, dove conobbe i migliori matematici del posto. Non ancora sazio di conoscenze, si trasferì in Italia. Operò per la maggior parte della vita a Crotone ma viaggiò e abitò anche in molte altre città dell'Italia meridionale e della Sicilia, dove le sue dottrine ebbero una gran diusione. Credeva nella metempsicosi. E narrano una volta Pitagora passava mentre un cane era bastonato. Ne ebbe compassione e disse queste parole: Smetti, non bastonarlo, perché è l'anima di un mio amico, l'ho riconosciuta udendola gemere.
1 lo
2
ha detto lui, espressione che illudeva alla sua dottrina, la sua parola infatti aveva
quasi valore di oracolo
2 Senofane,
fr. 7 Diesel-Kranz
73
La metempsicosi è una dottrina che ammette la trasmigrazione dell'anima in più corpi. Gli Or ci furono i primi ad introdurre questa credenza, e in seguito i pitagorici la fecero propria. Ma in questa assunzione modi carono il concetto di puri cazione, non più a dandola a pratiche rituali, ma alla scienza, soprattutto alla matematica, in quanto puri ca ed eleva l'anima. L'in usso dei pitagorici fu notevole anche a livello politico.
Il loro ideale
era una forma di aristocrazia basata sui nuovi ceti dediti al commercio.
Si
narra che i Crotoniati, temendo che Pitagora volesse diventare tiranno della città, abbiano incendiato l'edi cio in cui lui e i suoi discepoli si erano radunati. Secondo alcune fonti, Pitagora sarebbe morto in questa circostanza; secondo altre, sarebbe riuscito a fuggire e sarebbe morto a Metaponto.
10.1.2
Tutto è numero:
10.1.2.1
i numeri come principio: la musica, l'intelligenza, la scienza etc...
Per noi oggi il numero è un'astrazione mentale e quindi un ente di ragione; invece no ad Aristotele l'idea che si aveva di numero era di un qualcosa di reale, addirittura la più reale delle cose, e proprio in quanto tale viene considerato il principio costitutivo delle cose; è la realtà, la physis delle cose medesime. I pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le fecero progredire, e, nutriti dalle medesime, credettero che i principi di queste fossero i principi di tutte le cose che sono.
E, poiché nelle
matematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, appunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuoco, nella terra e nell'acqua molte somiglianze con le cose che sono e che si generano [...]; e, inoltre, poiché vedevano che le note e gli accordi musicali consistevano nei numeri; e, in ne, poiché tutte le altre cose, in tutta la realtà, parevano loro che fossero fatte ad immagine dei numeri, e che i numeri fossero ciò che è primo in tutta quanta la realtà, pensarono che gli elementi del numero fossero elementi di tutte le cose, e che tutto quanto l'universo fosse armonia e numero. Aristotele In tutte le cose esiste una ragione matematica, ossia numerica. Per esempio, Pitagora scoprì che i suoni e la musica sono traducibili in determinazioni numeriche. Aristotele nella Meta sica scriveva: vedevano che le note e gli accordi musicali consistevano nei numeri. La diversità infatti dei suoni delle corde di uno strumento musicale dipende dalla diversità di lunghezza di quest'ultime che erano determinate da un numero. I Pitagorici scoprirono i rapporti armonici di ottava, di quinta e di quarta e le leggi numeriche che li
3 1 2 2, 3 e 4. La musica è governata dai numeri come anche il cosmo che riesce a trovare
governano, cioè
corrispondenze tra fenomeni di vario tipo e il numero (v. L' harmonia(accordo) 74
del kosmos(l'ordine delle cose) ). La cosa a mio avviso più sorprendente è che anche l'intelligenza , la scienza, la giustizia e l'opinione avevano un proprio numero. Leggiamo sempre nella Meta sica di Aristotele: ritenevano che una data proprietà fosse la giustizia, un'altra invece l'anima e l'intelletto, un'altra ancora il momento e il punto giusto; 4 o 9 (ovvero il quadrato del primo numero pari e dispari) era il numero della giustizia vista come una sorta di contraccambio o di uguaglianza, 1 il numero delle scienze e dell'intelligenza in quanto hanno il carattere di persistenza e immobilità mentre il 2 la mobile opinione, che oscilla in direzioni opposte.
10.1.2.2
l'origine del numero per i pitagorici: la tetraktys
Tutte le cose derivano dai numeri. Ma quale è la loro origine? Da dove vengono? I numeri non sono la componente fondamentale della realtà anche se la costituiscono, ma sono a loro volta costituiti da elementi. Il numero nasce dall' accordo di elementi limitati e illimitati. ...le cose che non possono essere costituite né solamente di elementi limitati né solamente di elementi illimitati, è evidente che l'universo e le cose che sono in esso sono costituite dalla mediazione armonica di elementi limitati e di elementi illimitati.
3
Nei numeri pari predomina l'indeterminato e nei dispari il limitante, ed è per questo che a detta dei Pitagorici quest'ultimi erano i più perfetti. L'uno non era né pari né dispari l'uno deriva da entrambi questi elementi, perché è insieme, e pari e dispari. Dall'uno, poi procede il numero; e i numeri, come s'è detto, costituirebbero tutto quanto l'universo.
4
I pitagorici concepivano quindi una loso a basata sugli opposti, loso a che non caratterizzò solo la cultura europea ma anche quella asiatica con il famoso yin e yang. Troviamo sempre nella Meta sica di Aristotele che i pitagorici aermavano che c'erano 10 principi, distinti in una serie di contrari: 1. limite- illimite 2. dispari- pari 3. uno- molteplice 4. destro- sinistro 5. maschio- femmina 6. fermo- mosso 7. retto- curvo 8. luce- tenebra 9. buono- cattivo 10. quadrato- rettangolo Forse non è un caso che fossero indicati esattamente 10 principi.
Questo
numero infatti era considerato il numero perfetto, rappresentato come sottoforma di triangolo, formato dai primi quattro numeri, ed avente il numero 4 per
3 Filolao, fr. 4 Aristotele,
2 Diesel- Kranz Meta sica libro I, 5
75
ogni lato: la tetraktys. Per capire la motivazione del perché fosse considerata una gura di perfezione ed il perché era così importante agli occhi dei Pitagorici elencherò a seguire una serie di qualità: 10 è la somma dei primi 4 numeri, cioè
1 + 2 + 3 + 4 = 10
, è formata da 4 numeri pari (2, 4, 6, 8) e altrettanti dispari
(3, 5, 7, 9), senza che predomini una delle parti. Inoltre ci sono ugual numero di numeri primi (2, 3, 5, 7 ) e non (4, 6, 8, 9). Ancora possiede uguali i multipli e sottomultipli: infatti ha tre sottomultipli no a cinque (2, 3, 5) e tre multipli di questi, da sei a dieci (6, 8, 9). Inoltre, la Tetraktys racchiudeva in sé l'intera natura dell'universo : nel 10 ci sono tutti i rapporti numerici, quello dell'uguale, del meno-più, e di tutti i tipi di numero, i numeri lineari, i quadrati, i cubici. Infatti l'1 equivale al punto, il 2 5
alla linea, il 3 al triangolo (piano), il 4 alla piramide (solido tridimensionale) . La teraktys era così importante che i pitagorici recitavano:
Io giuro su colui che scoprì la Tetraktis, che è la sorgente di tutta la nostra saggezza, la radice perenne della fonte della Natura
10.1.3
6
L' harmonia(accordo) del kosmos(l'ordine delle cose) : il cosmo I sapienti dicono [...] che cielo, terra, dei e uomini sono tenuti
insieme dall'ordine, dalla saggezza e dalla rettitudine: ed è proprio per tale ragione[...] ordine].
che essi chiamano questo tutto cosmo [ossia
7
Scoperta non meno importante fu l'associazione del numero nei fenomeni dell'universo.
L'anno, le stagioni, i mesi, i giorni hanno precise leggi numeriche
che regolano i tempi, come la gestazione del feto negli animali e negli uomini, i cicli dello sviluppo biologico e i vari fenomeni della vita. Non stupisce perciò che Pitagora aermasse con enfasi Tutto è numero. Se il numero è ordine (accordo tra elementi limitati e illimitati) e se tutto è determinato dal numero, tutto è ordine e poiché in greco ordine si dice kosmos, i Pitagorici chiamarono l'universo cosmo, ossia ordine. Con i Pitagorici il pensiero umano ha ormai compiuto un passo decisivo: il mondo ha cessato di essere dominato da oscure e indecifrabili potenze ed è diventato numero, che esprime ordine, razionalità e verità. I pitagorici radicavano letteralmente l'universo nella matematica, per loro Dio non era un matematico ma la matematica stessa era Dio.
5 Aristotele 6 giuramento
che dovevano dire i pitagorici, riportato dal losofo neoplatonico Giambico (c.
250-325 d.C.)
7 Platone,
Gorgia
76
10.2 10.2.1
Platone, il losofo: Dio geometrizza sempre Platone è la loso a e la loso a è Platone. (Ralph Waldo Emerson): la vita del losofo
Platone nacque ad Atene nel 428/427 a.C. Il suo vero nome era Aristocle. Egli fu prima discepolo dell'eracliteo Cratilo e poi di Socrate, inizialmente per indirizzarsi attraverso la loso a alla vita politica, di cui la famiglia poteva vantare prestigiosi nomi, e per poi invece proseguire per altre rotte. Il contatto diretto con la vita politica e l'amara esperienza spinsero Platone a viaggiare verso nuove fonti di sapere. Partì dunque alla volta dell'Italia per conoscere le comunità pitagoriche. Dal 388 a.C. al 361 a.C Platone visitò l'Italia ben tre volte. Nel 360 a.C. egli ritornò ad Atene e vi rimase alla direzione dell'Accademia, no alla morte avvenuta nel 347 a.C. Platone in campo matematico non operò mai direttamente, era piuttosto uno spettatore entusiasta e nutriva per la materia una profonda stima,
infatti
l'iscrizione che sovrastava l'ingresso dell'accademia era : Non oltrepassi la soglia chi è digiuno di geometria. A quel tempo si assistette a grandi progressi nella matematica, con Platone che fungeva da architetto proponendo problemi e i matematici che li studiavano con impegno. Filodemo (I secolo, storico e losofo)
10.2.2
Dialogo a due voci: nella caverna di Platone Ora ripresi riguardo alla cultura e alla sua mancanza, immagi-
nati la nostra condizione nel modo seguente. Pensa ad uomini in una caverna sotterranea, dotata di un'apertura verso la luce che occupi tutta la parete lunga. Essi vi stanno chiusi n dall'infanzia, carichi di catene al collo e alle gambe che li costringono a rimanere lì e a guardare solo in avanti, poiché la catena al collo impedisce loro di volgere intorno il capo.
In alto, sopra di loro, brilla lontano una
amma; tra questa e i prigionieri corre una strada in salita, lungo la quale è stato costruito un muretto, simile ai paraventi divisori al di 8
sopra dei quali i saltimbanchi mostrano al pubblico i loro prodigi
8
77
Sì, li vedo disse. Ecco dunque lungo quel muretto degli uomini che portano oggetti d'ogni sorta che sopravanzano il muretto, e immagini di uomini e di animali di pietra, in legno e in fogge d'ogni tipo Che strana visione! E che strani prigionieri! Eppure sono simili a noi risposi. Pensi, in primo luogo, che di se stessi e dei compagni abbiano visto qualcos'altro se non le ombre proiettate dalla amma sulla parete della caverna di fronte a loro? impossibile rispose se sono stati costretti a rimanere per tutta la vita senza muovere il capo! [...] se dunque potessero parlare, non credi che essi attribuirebbero reali le immagini che vedono?
F9
Inevitabilmente rispose credi che anche noi tutti non siamo molto diversi da quei prigionieri? Certamente, anche noi siamo come quegli uomini nella caverna che confondono le ombre con la realtà, dobbiamo infatti metterci in guardia dalle informazioni ottenute secondo i nostri sensi Dobbiamo stare attenti a quello che vediamo con i nostri occhi e sentiamo con le nostre orecchie? Esatto, le verità matematiche non si riferiscono ai cerchi, ai triangoli e ai quadrati che si possono disegnare sui papiri, ma sono enti intermedi, enti cioè che stanno fra il mondo delle Idee e il mondo reale delle cose che apprendiamo grazie all'uso dei nostri sensi. Ed è proprio in mezzo a questi mondi che dobbiamo ricercare la verità. Penso di avere capito, l'Iperuranio, cioè il mondo delle idee, è una realtà eterna, astratta e immutabile che è completamente indipendente dal mondo e mero percepito dai nostri sensi, tra di essi si colloca il mondo oggettivo delle entità matematiche che non si possono vedere se non con il pensiero. Esse hanno esistenza reale tanto come l'universo, ed è compito nostro scoprirle, dobbiamo fare come dei veri e propri esploratori! Hai capito benissimo mio giovane amico dissi vuoi che analizziamo ora come dovrebbe essere educato un perfetto governatore? Certo che voglio! Quali scienze dovrebbero apprendere per diventare buoni governanti? Per iniziare secondo te quale? Quella comunissima che distingue l'uno, dal due e il tre: intendo insomma la scienza dei numeri e del calcolo. Perché non è forse vero che in ogni arte e ogni altra scienza ne fanno uso?
F
Sono pienamente d'accordo, anche le truppe utilizzano i calcoli per migliorare le proprie tattiche! Ma come mai credi che che la scienza del calcolo e l'aritmetica siano così tanto importanti? Se ci pensi bene alcuni oggetti sensibili, non invitano alla ri essione, perché i nostri sensi li concepiscono nella loro completa realtà, per altri invece non bastano i semplici sensi occorre il contributo del pensiero
9F
Platone, tratto da La repubblica
78
Come quando dobbiamo elaborare un immagine in prospettiva per darle giuste proporzioni? No, non è questo il senso del mio parlare, io intendo invece che le cose che non provocano la ri essione sono quelle che non suscitano impressioni contraddittorie; io reputo invece stimolanti quelle in cui bisogna ri ettere. Distinguendo nella realtà ciò che è intellegibile da ciò che è visibile. Ora ho capito quello che intendi, reputi quindi che la scienza del calcolo e l'aritmetica attirino verso la verità. Lo studio non super ciale dell'aritmetica serve per raggiungere con intelligenza pura alla comprensione della natura dei numeri, che aiuterebbe nella guerra a facilitare il passaggio allo spirito dal divenire alla verità dell'essere. Comunica un impulso verso l'alto e ci costringe a ri ettere sulla natura dei numeri stessi. Non vedi dunque mio caro, che forse questa disciplina è davvero indispensabile per noi, dato che evidentemente obbliga lo spirito ad andare verso la verità unicamente grazie al puro pensiero? Sì, eettivamente ottiene questo risultato rispose. E hai anche già osservato che i matematici sono rapidi per natura ad apprendere ogni cosa, e che le intelligenze tarde e addestrate nell'aritmetica, almeno diventano un po' più acute?
F
Sono pienamente d'accordo, ma non credi che anche la geometria sia una scienza molto utile?
Praticamente aiuta a calcolare la distanza dagli accampamenti
nemici, per disporre i ranghi così è utile per molte altre cose Per quello che credi essere tu utile basterebbe una piccolissima parte di geometria replicai Bisogna invece contemplarla più in alto se si vuol cercare di avvicinarsi di più all'idea del bene, che sta al vertice di tutto il mondo delle idee ed è il nostro principio supremo. Infatti tutti coloro che studiano la geometria non potranno negare che questa scienza è tutto il contrario da come la intendono quelli che se ne servono. Penso di non aver capito bene Non sono i vantaggi pratici quelli che interessano ma il fatto che chi studia la geometria lo fa per conoscere l'essere in sé. Il nostro dio è un dio che geometrizza sempre, conoscere la geometria signi ca apprendere la natura delle cose. Non ricordi cosa aermavo nel Timeo ? Certo! Che il dio creatore usò la matematica per plasmare il mondo! Ma allora è tutto chiaro!
Ho capito il motivo del perché é proprio nella mate-
matica che noi dobbiamo ricercare il divino mondo delle idee. Ma cosa mi dici dell'astronomia? Bisogna ascendere dal sensibile all'intelleggibile, per scoprire la legge eterna e immutabile che regola il cosmo, non bisogna soermarci sui corpi celesti, la vera astronomia è una scienza che riguarda le leggi del moto in un mondo ideale; il cielo che noi osserviamo sopra le nostre teste è solo una mera rappresentazione, di molto inferiore alla magni cenza di quelli veri. Dobbiamo quindi servirci dell'universo come di un modello per apprendere i fenomeni invisibili? 79
Hai capito bene, se un esperto di geometria osservasse un'opera d'arte sicuramente giudicherebbe squisita la fattura, d'altra parte non la studierebbe mai con l'ottica di coglierne all'interno qualche rapporto numerico, così capiterebbe ad un vero astronomo. Coglierebbe infatti la bellezza del cielo e degli astri ma non penserebbe mai di considerare il rapporto per esempio della notte con il giorno. Quindi non sarà assurdo cercare in essi la verità dato che essi non sono altro che modelli? Ad ascoltare le tue parole sembra così anche a me! rispose. Studiamo dunque la geometria e l'astronomia per risolvere problemi particolari, e lasciamo perdere i fenomeni celesti, se vogliamo davvero occuparci di astronomia così da far uso della parte naturalmente intelligente dell'anima, che prima era inutilizzata.
F
Penso di aver capito ciò che intendi. Il racconto della caverna mi ha aiutato ad aprire gli occhi che pensavo aperti, ma in realtà non lo erano; ho capito che non devo vedere solo con l'uso dei sensi se voglio raggiungere la verità, ma attraverso le scienze matematiche. Si è fatto tardi ed è ora che vada a mettere in pratica i tuoi insegnamenti, domani mi attende una nuova giornata di studio.
10.3
Archimede di Siracusa, il maestro: la matematica per mezzo della meccanica Summis ingeniis dux et magister fuit
10.3.1
10
Una vita incerta tramandata dagl'altri:
cenni di
vita Ben pochi sono i dati certi a nostra disposizione sulla vita di Archimede. Gran parte delle notizie giunte sino a noi le dobbiamo agli scritti di Diodoro Siculo, Plutarco, Polibio, Tito Livio e molti altri. Notizia certa, che concorda tutte le fonti, è che fu ucciso durante il sacco di Siracusa del 212 a.C. In base alle aermazioni di Giovanni Tzetzes che colloca la morte di Archimede a settantacinque anni, la nascita del losofo è stata posta attorno al 287 a.C. a Siracusa. Il padre Fidia era un astronomo, probabilmente fu proprio lui a tramandare al glio l'amore per le scienze. Soggiornò ad Alessandria d'Egitto, dove strinse amicizia con il matematico astronomo Conone di Samo, ma Archimede non rimase a lungo legato all'ambiente. Visse per lo più a Siracusa dove, secondo Plutarco, era imparentato con il monarca Gerone. Morì nel 212 a.C. trucidato durante il saccheggio alla città da parte delle truppe romane comandate da Marcello, malgrado quest'ultimo avesse ordinato di risparmiargli la vita in segno di onore per il grande avversario che con ingegnosissime macchine aveva causato la paura e il caos tra le la nemiche. Contrastò i fanti nemici con frecce di ogni genere
10
Dei più alti ingegni fu guida e maestro ; J.L. Heiberg, Archimedis opera omnia III,
Prolegomena XCV
80
e sassi di smisurata grandezza che cadevano con incredibile velocità e fracasso, e poiché nulla resisteva al loro peso, abbatteva tutti quelli che stavano sotto, scompigliando le la.(Plutarco)
10.3.2
eùrhka
11
e
doc moi pou svtw kai kinw thn ghn
12
:
un uomo tra aneddoti e realtà
Il racconto più famoso della vita di Archimede ci viene riportato dallo scrittore romano Vitruvio. Archimede ha fatto una quantità di scoperte straordinarie ed eccezionalmente geniali. Fra esse voglio parlare soprattutto di una che porta i segni di una grande intelligenza. Quando Gerone regnava in Siracusa, per le sue fortunate imprese volle orire ad un certo santuario una corona d'oro che aveva ammirato. Decise il prezzo dell'opera con un artista e gli consegnò la quantità di oro necessaria. A suo tempo la corona nita fu consegnata, con piena soddisfazione del re, ed anche il peso della corona risultò coincidere con quello dell'oro. Più tardi, però, Cerone ebbe motivo di sospettare che l'artista avesse sottratto una parte dell'oro e l'avesse sostituita con un ugual peso di argento. Indignato per l'inganno, ma non riuscendo a trovare il modo di dimostrarlo, pregò Archimede di studiare la questione. Un giorno che, tutto preso da questo pensiero, Archimede era entrato in un bagno, si accorse che mano a mano che il suo corpo si immergeva, l'acqua traboccava. Questa osservazione gli diede la soluzione del problema. Si slanciò fuori dal bagno e tutto emozionato si precipitò nudo verso casa, gridando con tutte le forze che aveva trovato quel che cercava: "Eureka! Eureka!". Nacque così l'opera Corpi Galleggianti, opera che contiene i famosi principi che stanno alla base dell'idrostatica. Nelle proposizioni 5 e 7 si legge: Delle grandezze solide quella che è più leggera del liquido, abbandonata nel liquido, si immerge in modo che un tale del liquido quale è quello della parte immersa, abbia lo stesso peso della intera grandezza solida. Le grandezze più pesanti del liquido , abbandonate nel liquido, sono trasportate verso il basso, no al fondo, e saranno tanto più leggere nel liquido, quanto è il peso del liquido avente tale volume quanto è il volume della grandezza solida. Un altro aneddoto famoso è collegato all'interesse che Archimede aveva per la costruzione di macchine capaci di spostare grandi pesi con piccole forze.
Ri-
portata dalla storia grazie a Pappo di Alessandria e Simplicio, lo scienziato
11 in 12 in
lettere latine: eureka traduzione italiana: ho trovato lettere latine: Dos moi pou sto kai kino taen gaen, traduzione italiana: datemi un punto
d'appoggio e vi solleverò il mondo
81
entusiasta di una nuova macchina avrebbe esclamato: datemi un punto d'appoggio e vi solleverò il mondo. Nell' Equilibrio dei piani Archimede gettò le basi teoriche della statistica dove, in particolare, studiò le leve. Egli giunse alla legge secondo la quale due grandezze stanno in equilibrio a distanze che stiano in reciproca proporzione alle stesse grandezze.
10.3.3
I'm afraid, I'm tired of inventing things! I need a rest!13 : Archimede ingegnere e inventore
Archimede fu e si ritenne un matematico, ossia uno che trattava teoricamente i problemi; e considerò i suoi studi di ingegneria come qualcosa di marginale. Eppure, proprio per questo, fu ai suoi tempi e dai posteri ammiratissimo. Polibio, Tito Livio e Plutarco ci riportano la descrizione delle macchine bel-
liche di sua invenzione, tra le quali la manus ferrea, un artiglio meccanico in grado di ribaltarle imbarcazioni nemiche. Ma non solo, egli perfezionò armi da getto e specchi ustori, ovvero lamiere metalliche concave che ri ettevano la luce solare concentrandola sui nemici in modo tale da incendiar loro le imbarcazioni. Si occupò inoltre degli apparecchi per il trasporto dei pesi e secondo le fonti fu in grado di progettare una macchina con la quale un uomo solo poteva far muovere una nave completa di equipaggio e carico. Scrisse Plutarco: lievemente e senza sobbalzi la tirò à sé, come se volasse sul mare In un manoscritto arabo si trova la descrizione di un orologio ad acqua, dove l'ingegnoso Archimede aveva introdotto una valvola galleggiante per regolare il usso uscente di acqua. Inventò molti altri oggetti utili in ambito civile come l'ideazione di una pom-
pa per l'irrigazione, basata sul principio della cosiddetta vite perpetua e sulle scoperte legate alla statica e all'idrostatica. Di essa Galileo scrisse: Non mi pare che in questo luogo sia da passare con silenzio l'invenzione di Archimede d'alzar l'acqua con la vite: la quale non solo è meravigliosa, ma è miracolosa; poiché troveremo, che l'acqua ascende nella vite discendendo continuamente.
10.3.4
14
Decisamente al di là del con ne della matematica classica15 : le scoperte matematiche , l'universo e il
metodo Archimede era talmente aascinato e preso dal mondo astratto della matematica che il grado con cui ne era divorato andava ben oltre l'entusiasmo. Possiamo infatti leggere grazie a Plutarco: Lusingato continuamente dalla proprio disciplina che era come una sirena, privata e domestica, si dimenticava di mangiare e di
13 Battuta del famoso inventore rmato 14 Galileo Galilei tratto da Meccaniche 15 E. J. Dijksterhuis
Disney Archimede Pitagorico di Carl Barks
82
curare il proprio corpo; per conseguenza, trascinato spesso a forza a fare un bagno o a farsi ungere, era solito delineare sul pavimento gure geometriche, e sul corpo unto di olio tracciava con il dito delle linee, tanto era posseduto da un gran piacere e dominato dalle Muse. Archimede compì infatti nell'ambito della matematica numerose scoperte. Nel breve lavoro La misura del cerchio venne dimostrato anzitutto che un cerchio è equivalente a un triangolo con base uguale alla circonferenza e altezza uguale al raggio. Tale risultato viene ottenuto approssimando arbitrariamente il cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti.
Con lo stesso procedimento Archimede espose un metodo con il quale si
può approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, rapporto che oggi si indica con maggiore di
10
3 71 e
minore di
10
37
π,
che calcolò dovesse essere
.
Altri importanti risultati li abbiamo nell'opera Quadratura della parabola, nella quale Archimede volle calcolare l'area di un segmento di parabola, ossia la gura delimitata da una parabola e una linea secante, non necessariamente ortogonale all'asse della parabola. Egli riuscì a trovare che il rapporto tra l'area di un segmento di parabola e del massimo triangolo in esso inscritto era di
4 3.
(Per fare ciò compì il primo esempio conosciuto di somma di una serie.) Sicuramente, il risultato di cui maggiormente Archimede andò ero fu la dimostrazione che la super cie della sfera è quadrupla del suo cerchio massimo e
2 3 di quello del cerchio circoscritto. Secondo una tradizione trasmessa da Plutarco, Archimede era così ero di quest'ultimo risultato che che il suo volume è i
volle fosse riprodotto come epita o sulla sua tomba. L'Arenario, invece, fu importante per l'aritmetica greca ma non solo.
In
quest'ultimo infatti troviamo un Archimede disposto soprattutto a contrastare le credenze popolari. Usanza comune era credere che il numero dei granelli di sabbia fosse in nito. Alcuni pensano, oh re Gelone che il numero dei granelli di sabbia sia in nito in quantità: non intendo soltanto la sabbia che si trova nei dintorni di Siracusa e del resto della Sicilia, ma anche quella che si trova in ogni altra regione, abitata o deserta. Altri ritengono che questo numero non sia in nito, ma che non possa esistere un numero esprimibile e che superi questa quantità di sabbia. È chiaro che coloro i quali pensano questo, se immaginassero un volume di sabbia uguale a quello della Terra, avendo riempito di sabbia tutti i mari e tutte le valli, no alle montagne più alte, sarebbero ancor meno disposti ad ammettere che si possa esprimere un numero che superi quella quantità. Ma io tenterò di mostrarti, attraverso dimostrazioni geometriche che tu potrai seguire, che alcuni dei numeri da noi enunciati ed esposti negli scritti inviati a Zeusippo, non soltanto superano il numero dei granelli di sabbia aventi un volume uguale a quello della Terra riempita come abbiamo detto, ma anche un volume uguale a quello dell'intero Universo. (Incipit de L'arenario) 83
L'opera si propone di quanti care il numero di granelli di sabbia che a detta di Archimede potrebbero riempire la sfera della stelle sse. Il problema principale collegato all'opera nasceva dal fatto che, il sistema greco di numerazione non permetteva di esprimere numeri così grandi. Archimede allora inventò un sistema di indici e un tipo di notazione che, combinati, gli consentirono di classi care i suoi giganteschi numeri. Archimede passava con estrema facilità dagli oggetti di uso quotidiano alle entità astratte dei numeri.
Possedeva infatti una notevole essibilità men-
tale tale da permettergli di usare agevolmente la matematica per scoprire proprietà sconosciute dell'universo e di attingere alle caratteristiche del cosmo per presentare concetti matematici. Il brano qui sopra riportato continua in questo modo: Tu sai che dal più gran numero di astrologi vien chiamata cosmo la sfera il cui centro è il centro della Terra, e il cui raggio è uguale alla retta compresa tra il centro del Sole e il centro della Terra: questo lo hai appreso dalle dimostrazioni scritte dagli astrologi. Aristarco di Samo, poi, espose per iscritto alcune ipotesi, secondo le quali si ricava che il cosmo è più volte maggiore di quello suddetto. Suppone infatti che le stelle sse e il Sole rimangano immobili, e che la Terra giri seguendo la circonferenza di un cerchio, attorno al Sole, che sta nel mezzo dell'orbita. Archimede considerava con rispetto la teoria eliocentrica di Aristarco, modello proposto ben 1800 anni prima di Copernico . Lo stile stringato di Archimede rivelava pochissimi indizi sul metodo che egli utilizzò per arrivare alle sue numerosissime scoperte no a quando nel 1906 fu letto per la prima volta un famoso palinsesto, perduto per tutto il Medioevo, intitolato Il metodo. Archimede introduceva così il concetto di esperimento concettuale nella ricerca scienti ca. Rivolgendosi al matematico Eratostene scrisse: Di questi teoremi ti mando le dimostrazioni, avendole scritte in questo libro. Vedendoti poi, come ho detto, diligente ed egregio maestro di loso a, e tale da apprezzare anche nelle matematiche la teoria che ti accada di considerare, decisi di scriverti e di esporti nello stesso libro le caratteristiche di un certo metodo, mediante il quale ti sarà data la possibilità di considerare questioni matematiche
per mezzo della meccanica. E sono persuaso da questo metodo sia non meno utile anche per la dimostrazione degli stessi teoremi. E infatti alcune delle proprietà che a me dapprima si sono presentate per via meccanica sono state più tardi da me dimostrate per via geometrica, poiché la ricerca compiuta per mezzo di questo metodo non è una vera dimostrazione: è più facile, avendo già ottenuto con questo metodo qualche conoscenza delle cose ricercate, compiere la dimostrazione, piuttosto che ricercare senza alcuna nozione preventiva. 84
Archimede si a dava spesso, per giungere alle scoperte, ad un metodo induttivo e intuitivo (per mezzo della meccanica), ossia costruendo gure, e poi passava alla riprova, dimostrando rigorosamente ciò che per quella via aveva guadagnato. Liberò quindi la matematica dalle catene dal metodo deduttivo che Euclide e Platone avevano messo, per loro c'era un unico modo di fare matematica. L'opera di Archimede rappresenta certamente il culmine della scienza antica. Più che essere un matematico, sico, ingegnere è stato il massimo esponente di una scienza che ignorava le divisioni che la moderna terminologia impone. Con la sua strabiliante combinazione di interessi teorici e pratici, egli produsse le prime nuove prove empiriche, invece che mitiche, dell'esistenza di un apparente progetto matematico in natura. L'idea che la matematica sia il linguaggio dell'universo, e di conseguenza l'idea che Dio sia un matematico, nascono nell'opera di Archimede. 16
10.4
Galileo Galilei, l'eretico. La matematica come grammatica della scienza ...per duemil'anni l'umanità ha creduto che il sole e tutte le
costellazioni celesti le girassero attorno.
Papa, cardinali, principi,
scienziati, condottieri, mercanti, pescivendole e scolaretti: tutti erano convinti di starsene immobili dentro questa calotta di cristallo. Ma ora ne stiamo uscendo fuori....
?
17
Galileo Galilei nacque a Pisa il 15 febbraio 1564 da Vincenzo , musicista e commerciante, e da Giulia Ammannati di Pescia. Dopo essersi inscritto a medicina sotto forte consiglio del padre, il giovane Galileo studiò a Pisa come allievo di Ostilio Ricci, discepolo dell'algebrista Nicolò Tartaglia. Fino a quando, nel 1592, si trasferì a Padova, l'orientamento e la metodologia di Galileo furono soprattutto matematici. Egli si a dava per lo più agli esperimenti concettuali e a una descrizione archimedea del mondo, in termini di gure geometriche che obbedivano a leggi matematiche. Ma attorno al 1608 iniziava a girare in tutta Europa una scoperta, che avrebbe cambiato il modo di vedere le cose e che avrebbe da lì a poco stravolto le teorie l'universo: il cannocchiale.
10.4.1
...non tutto quello che fa un grand'uomo, è grande... ? :
la fede nel cannocchiale Formato solo da un tubo di piombo alle cui estremità erano applicate due lenti ambedue piane da una parte, dall'altra invece una concava e una convessa, questo piccolo oggetto si preparava a compiere una delle più grandi rivoluzioni della storia.
16 Marco Livio, Dio è 17 ? tratto da Vita di
un matematico Galileo di Bertolt Brecht
85
Senza risparmiare né fatica né spesa alcuna, sono giunto a tanto, da costruirmi uno strumento così eccellente, che le cose vedute per mezzo di esso appariscono quasi come mille volte più grandi e più di trenta volte più vicine che se si guardino con la sola facoltà naturale. Quanti e quali siano i vantaggi di questo strumento, così per terra come per mare, sarebbe tutto super uo enumerare. Quello che è davvero interessante è l'uso che ne fa Galileo, egli portò dentro alla scienza il cannocchiale, usando quest'ultimo come strumento scienti co e concependolo come un potenziamento dei nostri sensi. Contrariamente alla credenza ricorrente nel Medioevo secondo la quale, gli occhi e a maggior ragione le lenti ingannavano la realtà , mutandola; solo la fede era lo strumento di perfezione, una perfezione pur sempre relativa.
Galileo superò quindi tutta una
serie di ostacoli epistemologici, di idee che proibivano altre idee ed ulteriori ricerche.
Grazie all'uso del cannocchiale egli iniziò ad accumulare tutta una
serie di prove che sgombravano dal campo gli ostacoli, orendo così al sistema copernicano una robusta catena di supporti.
10.4.2
...Ma l'universo nel giro di una notte ha perduto il suo centro, e la mattina dopo ne aveva un'in nità. Da un momento all'altro guarda quanto posto c'è... ? : L'universo diventa più grande.
Dopo averlo perfezionato, Galileo ebbe un'altra idea innovativa, puntò il suo telescopio al cielo dando così vita ad una delle sue opere più importanti:
il
Sidereus nuncius. In quest'ultimo possiamo leggere Con la certezza che è data dall'esperienza sensibile [è possibile apprendere] non essere aatto la luna rivestita di super cie liscia e levigata, ma scabra e inuguale, e allo stesso modo della faccia della Terra, presentarsi ricoperta in ogni parte di grandi prominenze, di profonde valli e di anfratti . La Luna quindi era solcata da monti e pianure proprio come la Terra. Ma non solo, grazie all' uso della geometria, Galileo si spinse oltre, studiando le proiezioni delle luci e dell'ombra che si potevano ammirare con l'uso del telescopio riuscì a fornire l'altezza di una di queste montagne. Arrivò anche alla conclusione che come la Terra è illuminata dalla Luna così la super cie lunare è circonfusa di luce ri essa dalla Terra. Con tali osservazioni Galileo distrusse la distinzione tra corpi terrestri e corpi celesti ponendo così la Luna e la Terra sullo stesso identico piano. Un altro argomento importante del Sidereus nuncius fu sicuramente la scoperta dei satelliti di Giove, che in onore di Cosimo II dei Medici, egli chiamò stelle medicee.
Questa scoperta oriva così a Galileo la inspirata visione in
cielo di un modello più piccolo dell'universo copernicano. Altri satelliti potevano ruotare attorno a un pianeta sebbene questo girasse intorno al Sole. ...come può Giove essere una stella ssa, se altre stelle gli ruotano attorno? Non ci sono sostegni nel cielo, non c'è nulla che stia fermo nell'universo!C'è un altro sole, piuttosto!.. 86
?
Leggiamo inoltre sul Sidereus nuncius: Quello che in terzo luogo osservammo , è l'essenza o materia della Via Lattea, la quale attraverso il cannocchiale si può vedere in modo così palmare che tutte le discussioni, per tanti secoli cruccio dei loso , si dissipano con la certezza della sensata esperienza, e noi siamo liberati da sterili dispute. La galassia non è altro che un ammasso di innumerevoli stelle disseminate a mucchi; che in qualunque parte di essa si diriga il cannocchiale, subito si ore alla vista un grandissimo numero di stelle, parecchie delle quali si vedono abbastanza grandi e molto distinte, mentre la moltitudine delle piccole è aatto inesplorabile Un innumerevole serie di stelle nuove era stata scoperta. A poco a poco, uno ad uno, crollavano i pilastri della cosmologia aristotelicotolemaica e l'universo diventava sempre più grande.
10.4.3
Un Dio che geometrizza?: Il grande libro dell'uni-
verso Per capire quanto importante fosse la matematica per Galileo riporterò a seguire un' esempio di come Galileo stesso utilizzò la geometria per dimostrare uno degli innumerevoli problemi che oriva l'universo: il problema delle macchie solari. L'interesse al problema delle macchie solari nasce dall'esigenza di Galileo di rispondere alle idee errate che stava divulgando il gesuita Cristoforo Scheiner. Quest'ultimo infatti sosteneva che le macchie solari non fossero altro che sciami di astri rotanti innanzi al Sole, portava cioè le macchie solari fuori dal Sole, in modo da ristabilire l'immutabilità e la perfezione di quest'ultimo. Galileo per prima cosa sostenne che esse non erano scure ma apparivano tali in confronto della luminosità del Sole; secondo, che si trovavano sulla super cie.
Galileo
infatti si accorse che esse apparivano più sottili in concomitanza del bordo del disco rispetto al centro, poiché la distanza tra esse sembrava aumentare quando si avvicinavano al centro del disco si muovessero più rapidamente in prossimità del centro, che vicino al bordo. Con il supporto di una dimostrazione di carattere geometrico noto come fenomeno visivo dello scorcio Galileo riuscì a dimostrare la validità della sua tesi. L'amore per questa disciplina lo ritroviamo espresso nell'opera Il saggia-
tore, dove leggiamo una delle aermazioni più avveniristiche sul rapporto tra matematica e il cosmo. La loso a è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi [io dico l'universo], ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre gure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto. 87
La matematica è il linguaggio dell'universo. Dio altro non è che un matematico, un geometra e l'uomo per avvicinarsi ad esse deve fare : sensate esperienze e necessarie dimostrazioni
10.4.4
...Ho l'incarico di ammonirvi ad abbandonare tali dottrine... ? : la condanna da parte della chiesa
Sicuramente, l'idea che fece più scalpore all'epoca fu l'insinuazione che la Terra ruotasse attorno al Sole. Galileo infatti sosteneva a pieno il Copernicanesimo e si apprestava, grazie alle sue nuove scoperte, a dimostrare la validità di tale ipotesi. Cercando di immaginare un'ipotetica conversazione al tempo di Galileo, al ne di spiegare ai più scettici come potesse la Terra ruotare attorno al Sole, mi vengono in mente alcune battute, riportate qui di seguito, dell'opera teatrale
Vita di Galileo di Bertolt Brecht che vidi qualche anno fa.
Andrea Ma io lo vedo che il sole, la sera, sta in un punto diverso che al mattino. Dunque non sta fermo! Mai e poi mai!
Galileo Tu lo vedi! Ma che vedi tu? Un bel niente. Guardi come un allocco: è molto diverso che vedere. Questo è il sole. Siedi. (Andrea si siede su una
sedia. Galileo si mette dietro di lui ) Dov'è il sole? A destra o a sinistra?
Andrea A sinistra. Galileo E come può venirti a destra? Andrea To' ! Se voi ce lo portiate, si capisce. Galileo Si capisce? (lo solleva con tutta la sedia e compie con lui un mezzo giro ) Dov'è il sole, adesso?
Andrea A destra. Galileo E chi si è mosso? Andrea Lui, no. Galileo E chi si è mosso allora? Andrea Io. Galileo No! Stupido! La sedia! Andrea Ma io ci stavo sopra! Galileo Appunto. La sedia è la terra, e tu ci stai sopra. 88
Ritornando a come i fatti sono realmente accaduti, ricordiamo che per confermare la tesi che un pianeta poteva eettivamente ruotare intorno al Sole, Galileo scoprì che il pianeta Venere possedeva delle fasi. Il pianeta dell'amore si comportava come la Luna, passando da un piccolo disco luminoso, quando il pianeta si trovava dal lato opposto del Sole rispetto la Terra, a un disco grande e quasi completamente oscuro quando Venere si trova dallo stesso lato della Terra. Queste osservazioni abbattevano un pilastro della teoria geocentrica, in questo caso Venere vista dalla Terra doveva apparire sempre come una falce di ampiezza variabile. Ma non era così. Riporto a seguire come un Galileo, in vena di giochi, annunciò tale scoperta a Keplero. Anagrammò la scoperta per poi fornire lui stesso la soluzione all'amico. Heac immatura a me iam frustra leguntur o y (Queste cose premature da me sono lette invano o. y.) Cynthiae guras eamulatur mater amorum (la madre dell'amore (Venere) imita le gure di Cinzia (la Luna)) Tutto ormai quadrava alla perfezione e confermava la tesi copernicana di una teoria eliocentrica, esprimibile sinteticamente con il famoso motto:
Eppur si
muove. Le nuove scoperte non suscitarono l'eetto sperato, il 19 febbraio 1616 il Sant'U zio passò ai suoi teologi le due proposizioni che riassumevano il nocciolo della questione: 1. che il Sole sia al centro del mondo, e per conseguenza immobile di moto locale 2. che la Terra non è al centro del mondo né immobile, ma si muove secondo sé tutta, etiam di moto diurno Cinque giorni dopo, il 24 febbraio, tutti i teologi del Santo U zio condannarono le due proposizioni. La sentenza venne trasmessa alla Congregazione dell'Indice, che il 3 marzo 1616 emise la condanna al Copernicanesimo. Alcuni anni dopo, con la pubblicazione del Dialogo di Galileo Galilei Linceo,
dove ne i congressi di 4 giornate si discorre sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e copernicano iniziò il secondo processo a Galileo. L'opera riporta il discorso di tre interlocutori: Salviati Sagredo e Simplicio, dove quest'ultimo rappresenta il losofo aristotelico difensore del sapere tradizionale; Salviati, lo scienziato copernicano paziente e risoluto; Segrado rappresentante del pubblico aperto alle novità e che intende conoscere le ragioni dell'una e dell'altra parte. Se inizialmente il Dialogo si apre con una dichiarazione favorevole alla validità della condanna del Copernicanesimo alla ne si capisce perfettamente che il Dialogo altro non è che una serrata difesa del sistema copernicano.
Il pa-
pa Urbano VII, sebbene gran estimatore di Galileo, fu convinto che il Dialogo costituiva uno screditamento dell'autorità e forse anche del prestigio del Papa stesso, il quale sarebbe stato ridicolizzato dalla gura di Simplicio. Fu così che 89
il 12 aprile 1633 Galileo andò davanti al Santo U zio; il 22 giugno gli inquisitori emetterono la sentenza di condanna e, lo stesso giorno, Galileo pronunciò l'abiura e venne mandato al con no. Dovremmo aspettare più di 350 anni, il 1992, per poter leggere: è u ciale: la Terra gira attorno al Sole, anche per il vaticano. (Los Angel Times)
10.5
Cartesio, lo scettico: La matematica entra nella conoscenza umana Mi ritrovai sperduto tra tanti dubbi ed errori che mi pareva di
non avere, nel cercar di istruirmi, fatto altro pro tto che d'avere scoperto di più in più la mia ignoranza.
10.5.1
quod vitae sectabor iter? (Ausonio): la vita
René Descartes nacque a La Haye nel 1596. Inviato al Collegio gesuitico di La Flèche, nell'Angiò, conseguì poi la licenza in diritto all'università di Poiters. Dal 1618 al 1620 si arruolò in vari eserciti partecipanti alla Guerra dei Trent'anni; nel novembre 1619 ebbe una rivelazione intellettuale .
Egli fece tre
sogni che lo convinsero che in essi gli fosse indicata la direzione per uni care l'intera conoscenza umana per mezzo della ragione. Particolarmente signi cativo è l'interpretazione che dette al terzo. Mentre scrutava la stanza, Cartesio pose il suo sguardo sul tavolo sopra il quale c'erano dei libri che comparivano e scomparivano. Tra questi c'erano un'enciclopedia, che giudicò essere simbolo della conoscenza scienti ca, e un antologia poetica intitolata Corpus Poetarum simbolo della loso a, della rivelazione e dell'entusiasmo.
Inoltre nel sogno
lo stesso Cartesio lesse dall'antologia quod vitae sectabor iter?(quale strada seguirò nella vita?)
e udì un uomo dire: Est et non (é e non é) che pensò
essere i famosi opposti pitagorici del vero e falso. Dal 1627 al 1649 soggiornò in Olanda, dove pubblicò una delle sue opere più importanti: Discorso sul metodo. Nel 1649 accolse l'invito della regina Cristina di Svezia e lasciò de nitivamente l'Olanda, ma nel febbraio 1650 si ammalò di polmonite che in una settimana lo condusse alla morte.
10.5.2
Aaa cercasi nuovo tipo di conoscenza della totalità del reale: il Metodo
Cartesio, pur ammirando Galileo, lo critica per non aver oerto un metodo in grado di andare alla radice della scienza che come scrive egli stesso nel Regulae
ad directionem ingenii deve avere Regole certe e facili che, da chiunque siano esattamente osservate, gli renderanno impossibile prendere il falso per il vero e, senza 90
alcun inutile sforzo mentale, ma aumentando sempre gradatamente la scienza, lo condurranno alla conoscenza vera di tutto ciò che sarà capace di conoscere. Nasce sotto quest'ottica il Discorso sul metodo , basato su 4 regole. 1. La regola dell'evidenza : non accertare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con evidenza esser tale: evitare cioè accuratamente la Precipitazione e la Prevenzione e non comprendere nei miei giudizi se non ciò che si fosse presentato alla mia mente con tale chiarezza e distinzione da non aver nessun motivo da metterlo in dubbio. L'evidenza consiste cioè nella chiarezza e nella distinzione che derivano dal lumen naturale (la luce della ragione) che è in ogni uomo. Essa viene raggiunta mediante un atto intuitivo quindi si autofonda e autogiusti ca. 2. La regola dell'analisi : dividere ciascuna di coltà che stessi esaminando in tante piccole parti quanto fosse possibile e necessario per giungere alla miglior soluzione di essa. Per l'intuizione è necessaria la semplicità, che si raggiunge grazie la scomposizioni in parti elementari no al limite del possibile. 3. La regola della sintesi : condurre con ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili da conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, no alla conoscenza dei più complessi, e supponendo poi un ordine anche tra quelli di cui gli uni non precedono naturalmente gli altri. Dopo aver frammentato la realtà nei suoi elementi più semplici bisogna ricomporne gli elementi. Si tratta di ristabilire l'ordine o di creare una catena di ragionamenti. 4. La regola del controllo : procedere in ogni caso ad enumerazioni così complete e rassegne tanto generali da esser certo di non aver omesso assolutamente nulla. Per impedire gli errori occorre controllare i singoli passaggi. Signi cativo è il riconoscimento, che fa Cartesio successivamente all'enunciazione delle regole, al sapere matematico. Egli infatti sostiene che il paradigma da cui sono tratte le regole appena esposte è il procedimento proprio delle matematiche. Poiché queste ultime hanno fornito il modello del metodo, che appunto in esse sembra aver dato miglior prova di sé, Cartesio si convince della necessità di partire proprio da tali discipline per esercitarsi nell'uso dei precetti appena stabiliti, prima di provare ad estenderlo ad altri ambiti di indagine. 91
tra tutti quelli che hanno cercato nora la verità nelle scienze, solo i Matematici sono riusciti a trovare alcune dimostrazioni, cioè alcune ragioni certe ed evidenti, non ebbi alcun dubbio che bisognava prendere le mosse da quelle da loro esaminate, quantunque non sperassi di trarne altra utilità se non quella di abituare il mio ingegno a nutrirsi di verità e a non contentarsi in nessun caso di false ragioni.
10.5.3
Il più gran passo che sia mai stato fatto nel progresso dalle scienze esatte (John Stuart Mill): il
piano cartesiano e la matematica universale Cartesio, estimatore del rigore e sapere matematico critica sia l'aritmetica che la geometria tradizionali in quanto elaborate con procedimenti che non erano sorretti da un chiaro indirizzo metodologico. A proposito di queste due discipline egli fa presente che esse si riferiscono a materie astrattissime, la geometria perché legata alla considerazione delle gure, l'aritmetica perché confusa e oscura. Da qui il suo proposito di dar vita a una sorta di matematica universale, sciolta dai numeri o dalle gure, capace di fungere da modello di ogni sapere e di diventare mezzo fondamentale per descrivere ed interpretare qualsiasi ambito della realtà. Attraverso quella che si chiama geometria analitica Cartesio traduce i problemi geometrici in problemi algebrici, mostrandone l'omogeneità e orendo all'intera umanità un pratico tavolo di lavoro: il piano cartesiano. Costruito tramite due assi ortogonali, che si intersecano in un punto detto origine e denotato con
(0, 0),
il piano cartesiano permette di descrivere og-
ni punto di uno spazio bidimensionale grazie ad una coppia di numeri
(x, y).
X e y infatti forniscono il valore della distanza dall'origine lungo i due assi, precedentemente orientati e forniti di un'unità di misura. Cartesio non si fermò a questo ma intuì che era possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o super ci:
i punti del-
l'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. La geometria e l'algebra non erano più due branche separate della matematica, ma due rappresentazioni della stessa verità che in uenzarono lo sviluppo e spianarono la strada per nuovi rami della matematica: la geometria analitica, il calcolo in nitesimale e la cartogra a.
Quelle lunghe catene di ragionamenti, tutte semplici e facili, di cui i geometri hanno l'abitudine di servirsi per giungere alle loro più di cili dimostrazioni, mi avevano dato l'occasione di immaginare che tutte le cose di cui l'uomo può avere conoscenza si seguono nello stesso modo e che, dato solo che ci si astenga dall'accettare per vera una cosa che non lo sia e che si rispetti sempre l'ordine necessario a dedurre una cosa dall'altra, non vi sarà nulla di così lontano che 92
alla ne non si possa giungervi né di così nascosto che non si possa scoprire.
10.6
18
Isaac Newton, il gigante: l'universo scritto sottoforma di formule matematiche Se ho visto più lontano è perché stavo sulle spalle dei giganti
10.6.1
19
Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generis decus (epita o funebre)20 : nasce
un gigante Galileo morì l'8 gennaio del 1642 e nel dicembre dello stesso anno nacque a Woolsthorpe Isaac Newton. Questi studiò al Trinity College di Cambrige, e fu proprio qui che il suo grande ingegno venne capito e stimolato dal matematico Isaac Barrow. In un tempo abbastanza breve, Newton si impadronì di tutte le parti essenziali della matematica dell'epoca. Nel 1665-1666, a causa della peste, Newton lasciò Cambrige per tornare al suo paese natale, dove come egli stesso scrisse ero nel ore dell'età creativa e curavo la matematica e la loso a
21
più
di quanto non abbia mai fatto in seguito. Fu proprio in questo contesto che egli ebbe per la prima volta l'idea della gravitazione universale.
10.6.2
Cade una mela: nasce la forza di gravità Il 15 aprile1752 feci visita a Sir Isaac Newton presso i suoi alloggi
[...] Dopo pranzo, poiché faceva caldo, andammo in giardino a bere il tè all'ombra di alcuni meli, lui ed io soli.
Tra le altre cose, mi
disse che si trovava proprio nello stesso posto quando, tempo addietro aveva concepito l'idea della gravitazione. Ad occasionarla era stata la caduta di una mela, mentre egli sedeva in uno stato d'animo meditativo. Perché, aveva pensato tra sé e sé, la mela cade sempre perpendicolarmente al suolo? Perché non si muove di lato o verso l'alto o verso il centro della terra?
Senza dubbio la ragione è che
la terra l'attira. Deve esserci una forza d'attrazione della materia; e a risultante della forza d'attrazione presente nella materia della
18 Cartesio, tratto da Il Metodo 19 Celebre frase di Bernardo di Chartres,
losofo scolastico del XII secolo, ripresa da Newton
in una lettera provocatoria al famoso rivale Hook (di statura non molto alta e reso ancora più basso da una scogliosi)
20 Si rallegrino i mortali perché è esistito un tale e così grande onore del genere umano. 21 La loso a o loso a naturale di Newton è quella che noi oggi chiamiamo sica clas-
sica . Per tanto per tutto il paragrafo ?.5, ogniqualvolta che si incontrerà la parola loso a dovrà essere intesa come sica. Tuttavia non bisogna confondere i due concetti: entrambe le discipline, cioè la loso a naturale e la sica hanno come oggetto lo studio dei fenomeni naturali ma c'è una grande dierenza tra le due: se la loso a naturale è prescienti ca ed ha un carattere speculativo la sica moderna si avvale del controllo sperimentale delle ipotesi.
93
terra deve essere nel centro della terra e in nessun'altra sua parte. É per questo che la mela cade perpendicolarmente, ovverosia verso il centro.[...]
C'è una forza, quella che chiamiamo gravità, che si
estende per l'universo intero.
William Sturkeley (1687-1765) Questo famosissimo aneddoto fornisce solo la punta di un iceberg. Dall'osservazione di una semplice mela Newton passa ad aermare: se è universalmente evidente, dagli esperimenti e dalle osservazioni astronomiche, che tutti i corpi attorno alla Terra gravitano verso di essa, e ciò in proporzione alla quantità di materia che ognuno di essi singolarmente contiene: che similmente la Luna gravita verso la Terra, in proporzione alla quantità della sua materia; che d'altra parte, il nostro mare gravita verso la Luna [maree]; e che tutti i pianeti gravitano l'uno verso l'altro; e che le comete in ugual maniera gravitano verso il Sole; allora in conseguenza di questa regola, dobbiamo ammettere universalmente che tutti i corpi sono dotati di un un principio di reciproca gravitazione. In altre parole Newton pensò: se il Sole attira la Terra, allora anche la Terra attira il Sole, e con ugual forza (v. Posso misurare il moto dei corpi, non l'umana follia). Ciò signi ca che la Terra non ruota semplicemente attorno al Sole, ma sia l'una sia l'altro ruotano intorno al loro comune centro di gravità.
E non
è tutto. Anche tutti gli altri pianeti attraggono il Sole, e ciascun pianeta non subisce solo l'attrazione del Sole ma anche quella degli altri pianeti. Si può dunque dedurre che esiste un unica forza di gravità, che agisce tra coppie di masse e ovunque nell'universo. Ma Newton non si limitò alla mera osservazione e deduzione dei fenomeni, cercò di intrappolare tutta la sua teoria in un unico principio, capace di render conto di una quantità scon nata di fenomeni, trasformandola in ineluttabili leggi della natura. La qualità che davvero distingueva le teorie di Newton dai predecessori era proprio quella di esprimere le proprie teorie sotto forma di relazioni matematiche cristalline e coerenti. Nasce così la legge di gravitazione universale che in breve aerma: la forza di gravitazione con cui due corpi si attraggono è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. 1 m2 F = G mD 2
dove F è la forza di attrazione,
m1 e m2 sono
le due masse, D è la distanza che
separa le due masse, e G è una costante. Con Newton la scienza non ha il compito di scoprire sostanze o essenze o cause essenziali, ma funzioni. 94
Newton fu il primo che riuscì a trovare una base chiaramente formulata dalla quale poter dedurre un gran numero di fenomeni mediante il ragionamento matematico, logico, quantitativo e in armonia con l'esperienza.
Einstein ( 1879-1955)
10.6.3
Posso misurare il moto dei corpi, non l'umana follia: le leggi del moto
L'opera Principia apparve nel 1687.
Quest'ultima oltre a contenere le teorie
della gravitazione universale ore al lettore le quattro regole del ragionamento loso co, che vedremo nel paragrafo successivo, e le tre leggi del moto. Per Newton le lettere dell'alfabeto con cui è scritto il libro della natura sono un numero in nito di particelle, i cui movimenti sono regolati da una sintassi costituita dalle leggi del moto e dalla gravitazione universale. La prima legge è quella legge di inerzia, sulla quale aveva lavorato Galileo e che Cartesio aveva formulato con molta precisione. Scrive Newton: Ogni corpo preservera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che non sia costretto a mutare quello stato da forze impresse su di esso. Un corpo rimarrebbe nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non intervenissero forze esterne a modi carne stato. (es. l'attrito) La seconda legge, già formulata da Galileo dice: Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa; e avviene sulla direzione della linea retta secondo la quale la forza è stata impressa. Se una determinata forza genera un movimento, una forza doppia genererà un moto doppio, una forza tripla un moto triplo, sia se quella forza sia stata impressa tutta insieme e di colpo, sia gradualmente e successivamente. Queste due leggi assieme alla terza costituiscono parti centrali della meccanica classica La terza legge, formulata da Newton, aerma che Ad ogni azione si oppone sempre un' ugual reazione:
ovvero
le azioni reciproche di due corpi sono uguali e dirette in direzioni contrarie. Se si preme una pietra con un dito, pure il dito viene premuto dalla pietra. 95
10.6.4
I pilastri meta sici che sorreggono la metodologia di Newton: la natura è semplice e uniforme
All'inizio del terzo libro dei Principia Newton ssa le quattro regole del ragionamento loso co.
Sono sicuramente regole metodologiche che presuppongono
assunti di ordine meta sico sulla natura e sulla struttura dell'universo. 1. Regola 1. Non dobbiamo ammettere più cause delle cose naturali di quelle che sono sia vere che su cienti a spiegare le loro apparenze.
Questa
potrebbe essere detta la regola della parsimonia nell'uso delle ipotesi, che porterebbe al raggiungimento di teorie semplici.
In quanto, la natura
non fa niente invano, e con molte cose si fa invano quel che si può fare con poche; la natura, infatti, ama la semplicità e non sovrabbonda di cause super ue. 2. Regola 2.
Perciò agli stessi eetti noi dobbiamo, per quanto possibile,
assegnare le stesse cause. Come alla respirazione nell'uomo e nella bestia; alla caduta delle pietre in Europa e in America; alla luce del nostro fuoco da cucina al sole; alla ri essione della luce sulla Terra a sui pianeti. Le leggi formulate hanno validità universale, in altre parole, questo potrebbe essere il postulato dell' uniformità della natura. 3. Regola 3. La qualità dei corpi, che non ammettono né aumento né diminuzione di grado, e che si trovano apparentemente a tutti i corpi all'interno dell'ambito dei nostri esperimenti, debbano essere ritenute qualità universali di tutti i corpi. Dice Newton le qualità dei corpi noi le conosciamo solo attraverso gli esperimenti, noi dobbiamo ritenere universali tutte quelle che universalmente si accordano con gli esperimenti.. Quindi per Newton: Hypotheses non ngo.
22
4. Regola 4. Nella loso a sperimentale le proposizioni inferte per induzione generale dai fenomeni debbano essere considerate come strettamente vere o come vicinissime alla verità, nonostante le ipotesi contrarie che possono essere immaginate, no a quando si veri chino altri fenomeni dai quali o esse sono state rese più esatte oppure vengono assoggettate ad eccezioni. Per Newton l'unica procedura valida per ottenere e fondare le proposizioni della scienza è il metodo induttivo.
Il sistema del mondo è una grande
macchina, le cui leggi di funzionamento dei vari pezzi sono rinvenibili induttivamente attraverso l'osservazione e l'esperimento. Concludendo, Newton morì il 20 marzo del 1727 per mano di una malattia. La sua opera Principia colmò il divario tra il Cielo e la Terra, fuse i campi dell'astronomia e della sica e pose l'intero cosmo sotto un unico ombrello matematico. Tra sica e matematica si formò un intreccio che non si sarebbe più sciolto.
22 traduzione:non
formulare ipotesi,con ipotesi Newton intende tutto ciò che non si deduce
dai fenomeni , si tratta quindi di una de nizione leggermente diversa dalla nostra concezione della parola.
Per Newton non interessa la causa delle cose, al sico basta sapere che un
fenomeno esista.
96
Capitolo 11 La scienza dell'incertezza Se si osservassero di continuo tutti gli eventi da adesso e per l'eternità (di modo che la probabilità alla n si trasformi in certezza), si scoprirebbe che ogni cosa nel mondo avviene per determinate ragioni e in conformità a determinate leggi, e che pertanto siamo costretti, anche per cose che potrebbero apparire del tutto casuali, a ipotizzare una certa necessità e, per così dire una fatalità. Per quel che so, era qusto che Platone aveva in mente quando, nella dottrina del ciclo universale, sosteneva che dopo il trascorrere di innumerevoli secoli tutto ritorna al suo stato originario.
11.1
1
Alle cose certe quanto la morte e le tasse si può credere con maggior fermezza:
dai
bollettini di morte alla statistica La parola statistica trae origine dall'italiano stato e si riferiva alla mera raccolta di dati da parte dei funzionari governativi. Fin dall'antichità l'uomo avvertì l'esigenza di catalogare e collezionare informazioni; infatti già al tempo della prima e seconda dinastia, gli egizi compilavano delle liste riguardanti l'ammontare della popolazione e anche dei beni scali. In Israele il primo censimento fu fatto al tempo del soggiorno del Sinai del XIII sec a.C. e all'epoca dei Ming il grande impero cinese aveva curato i propri censimenti con scadenza decennale. La pratica poi era molto diusa anche durante l'antica Roma: ordinato per la prima volta da Servio Tullio si ebbero inizialmente censimenti con periodicità quinquennale dalla ne del VI secolo a.C., poi decennale a partire da Augusto.
La caduta dell'impero romano comportò la
sospensione di tali attività per secoli, no alla ricostituzione di organismi statali da parte dei Carolingi.
1 Jakob
Bernoulli, la matematica si può applicare anche alle aree meno scienti che della
nostra vita, che sembrerebbero governate dal puro caso.
97
L'esigenza di quanti care i fenomeni come oggetto di studio, ossia di analizzarli e descriverli in termini matematici, fu una tendenza tipica del XVII secolo: non fu solo l' Universo ad essere concepito come un grande libro "scritto in caratteri matematici" , come aveva aermato Galileo Galilei, ma si diuse anche la convinzione che fosse possibile studiare la società tramite strumenti di tipo quantitativo. L'osservazione di eventi che si pensava dipendessero solo dal caos (decessi, malattie...), manifestavano una regolarità solida e questo introdusse il modo di pensare scienti co nelle scienze sociali.
Tra bottoni, aghi e tessuti: John Graunt
11.1.1
John Graunt (1620-1674) era un mercante specializzato nella vendita di bottoni, aghi e tessuti. Il suo lavoro gli permetteva così di avere parecchio tempo libero che impegnava con un hobby alquanto inusuale:
lo studio dei Bills of
Mortality, bollettini settimanali che riportavano il numero dei decessi parrocchia per parrocchia. Dalla sua particolare passione John Graunt trasse una serie di osservazioni interessanti da un punto di vista matematico, che pubblicò in un libriccino intitolato Osservazioni naturali e politiche fatte sui bollettini di
mortalità. All'interno del quale erano annotate in ordine alfabetico più di 63 malattie e fatalità con annesso numero di decessi.
Analizzando il numero di
battesimi e di sepolture di entrambi i sessi a Londra e nella parrocchia di Romsey, nello Hampshire, Graunt osservò che a Londra nascevano 13 femmine ogni 14 maschi e a Romsey, 15 femmine ogni 16 maschi. Ma Graunt non si limitò solo a questo, cercò infatti di determinare una distribuzione in base all'età della popolazione da porre in tabelle conosciute come tavole di mortalità. Tutto ciò era molto utile al governo, permetteva infatti di conoscere il reale numero delle persone atte per il servizio militare, ovvero i maschi tra i 16 e 56 anni d'età. I dati a disposizione però non erano su cienti per coprire una panoramica completa, ed è in questo contesto che la creatività e l'ingegno di Graunt entrano in gioco: egli cercò di dare una stima alla mortalità infantile grazie ad una serie di ragionamenti logici e di calcoli algebrici: La nostra prima Osservazione sui Decessi avrà che in vent'anni di morti di tutte le malattie e le fatalità, per un totale di 229.250, ne sono morti 71.124 di Afta, Convulsioni, Rachitismo, Denti e Vermi; e come Aborti, non ancora Battezzati, Infanti, Fagocitosi e Soo-
1 3 del totale è morto di quelle malattie, che supponiamo siano accadute tutte a Bambini sotto i quattro e cati; vale a dire che circa
cinque anni. E inoltre di Vaiolo suino e di Morbillo e di Vermi senza
1 2 possono essere Bambini sotto i sei anni. Ora se consideriamo che 16 dei Convulsioni ne sono morti 12.210, di cui sappiamo che circa
detti 229 mila sono morti dalla straordinaria e grave Fatalità della Peste, troveremo che circa il trentasei per cento di tutti i concepiti 2
vivi sono morti prima dei sei anni.
2 Graunt
calcolò la mortalità sotto i sei anni facendo:
(71.124 + 6.105) ÷ (229.250 − 16.000) = 0, 36 98
Nonostante i dati non fossero molto attendibili, questo tipo di studio diede avvio alla scienza della statistica come la conosciamo oggi.
Dopo Graunt il
testimone venne lasciato a Edmond Halley che perfezionò la tavole di mortalità, apportandone signi cativi miglioramenti.
11.1.2
L'assicurazione sulla vita: Halley e le tavole di mor-
talità Al di là degli usi citati nel mio precedente, potrebbe forse non essere una cosa inaccettabile dedurre dalle stesse Tavole quanto ingiustamente ci doliamo della brevità delle nostre vite, e riteniamo di subire un torto se non raggiungiamo la Vecchiaia, mentre dalle Tavole appare che una metà dei nati muoiono entro Diciasette anni, riducendosi da 1238 a 616 in quel lasso di tempo.
Edmond Halley nacque a Londra nel 1656 da un ricco fabbricante di sapone, l'agevolatezza economica del padre gli permise di studiare al The Queen's College di Oxford. Famoso astronomo, in campo matematico Halley pubblicò An Estimate of
the Degrees of the Mortality of Mankind, drawn from curious Tables of the Birds and Funeral at the City of Breslaw; with an attempt to ascertain the Prince of Annuities upon Lives, orendo così un notevole sviluppo della scienza statistica. Il libro, come in parte è scritto nel chilometrico titolo, prende spunto dai registri della città di Breslaw in Slesia conosciuti per la loro meticolosità e precisione. Lavorando su tali dati, Halley riuscì a compilare una verosimile tavola di mortalità che riportava il numero di decessi in base all'età. (vedi sotto) Consultando la tabella era possibile rispondere a domande del tipo: se una persona è vissuta no a vent' anni, qual è la probabilità che si viva no a ottanta? Età
n°
Età
n°
Età
n°
Età
n°
Età
n°
Età
n°
Età
n°
Età
n°
1
1000
11
653
21
592
31
532
41
436
51
335
61
232
71
131
2
855
12
646
22
586
32
515
42
427
52
324
62
222
72
120
3
798
13
640
23
579
33
507
43
417
53
313
63
212
73
109
4
760
14
634
24
573
34
499
44
407
54
302
64
202
74
98
5
732
15
628
25
567
35
490
45
397
55
292
65
192
75
88
6
710
16
622
26
560
36
481
46
387
56
282
66
182
76
78
7
692
17
616
27
553
37
472
47
377
57
272
67
172
77
68
8
680
18
610
28
546
38
463
48
367
58
262
68
162
78
58
9
670
19
604
29
539
39
454
49
357
59
252
69
152
79
49
10
661
20
598
30
531
40
445
50
346
60
242
70
142
80
41
La risposta risulta essere semplicemente il rapporto tra i numeri, cioè
0, 0685.
41/598 =
La possibilità che un uomo di vent'anni raggiungi l'età di ottanta era
nel 1650 di 0,0685. Così facendo Halley gettava le basi per il fondamento matematico alle assicurazioni sulla vita. 99
11.1.3
L'uomo medio: Lambert-Adolphe-Jacques Quételet
Lambert-Adolphe-Jacques Quételet nacque a Gand il 22 febbraio 1796 e fu uno tra i primi a riconoscere le reali capacità della statistica in campo sociale. Illuminista belga con formazione matematica, Quételet fu indotto allo studio della statistica dai grandi matematici francesi Laplace e Fourier. Quételet infatti si proponeva di trovare un modo per quanti care i fenomeni sociali e psicologici, sviluppando così pionieristicamente una disciplina-ideologia che de nì sica sociale, con lo scopo esplicito di perseguire la matematizzazione o sicizzazione degli studi sul comportamento. Quetélet negava completamente che il caso avesse un ruolo nella vita quotidiana, ma al contrario aermava che tutti i fenomeni sociali hanno una causa che si manifestava grazie a dei risultati statistici. Per confermare le sue teorie Quételet iniziò a raccogliere migliaia di dati: misurò la circonferenza toracica di 5738 soldati scozzesi e l'altezza di 100.000 coscritti francesi, riportando così ciascun tratto umano in diagrammi. Costruì poi curve contenenti caratteristiche morali: suicidi, matrimoni e propensione al crimine. Sorprendentemente, tutti i risultati da lui ottenuti sia di carattere sico che morale seguivano la distribuzione a campana, chiamata oggi distribuzione normale (o gaussiana). Nata nella metà del XVIII secolo come curva d'errore, poiché appariva con ogni tipo di errore di misurazione, la distribuzione normale descriveva perfettamente anche altezze, pesi, misure delle lunghezze degli arti o qualità intellettive. Quételet interpretava il fatto che i tratti umani seguivano la curva d'errore come indizio del fatto che l' uomo medio fosse in realtà un modello che la natura stava cercando di produrre, gli uomini sono cioè confezionati in serie grazie ad un unico stampo che distribuisce i vari tratti caratteriali e sici seguendo la curva normale.
11.2
Che passione il gioco d'azzardo: la nascita
della probabilità. 21 vittoria grande baldoria, queste parole mi erano ronzate per la testa tutta la sera, è una frase che fa parte del folklore di Las Vegas, [...]la urlava ogni qualvolta serviva un Blackjack [...]
21 vittoria
grande baldoria, già, provateci. Io l'avevo sentita tipo 14 volte quella sera, ero invincibile. Tanto per cominciare non stavo facendo niente di illegale, cioè c'erano organismi e persone che non vedevano la cosa di buon occhio, ma è legale e non tutti sono capaci [...] io contavo le carte ed ero in attivo di oltre 640.000 $ (incipit del lm 21) La s da, il brivido e il rischio sono alcune delle componenti fondamentali del gioco d'azzardo ma esso può non consistere solo nella pura casualità e fortuna del giocatore.
Questo lo sa bene Je Ma, reale protagonista del lm 21 che 100
viene interpretato nel lm dalla gura di Ben Campell. Grazie al suo talento per numeri e calcoli, Ben entra nel team di Blackjack del MIT, un gruppo di studenti dotati, guidato dal professore e mentore Mickey Rosa.
Il team ha elaborato
un complesso sistema di conteggio delle carte da gioco che gli permetterà di sbancare i tavoli di Blackjack.
Je Ma si serviva della probabilità per essere
vincente nel gioco ma, molto prima di lui, Cardano Pascal e Fermat che si servirono del gioco d'azzardo per gettare le basi e aprire la strada verso la moderna probabilità.
11.2.1
Il gioco dei dadi: Cardano, Pascal e Fermat é certo che merito di essere biasimato per essermi dato al gioco
degli scacchi e dei dadi senza sapermi imporre alcun freno. Mi sono dedicato parecchi anni a entrambi i giochi. [...] e in tanti anni ho giocato, mi vergogno a dirlo, ogni giorno. Con queste parole Gerolamo Cardano, nato nel 1501 a Pavia, scrive nella sua autobiogra a De vita Propria Liber il legame che aveva con il gioco d'azzardo. Nato da un rapporto extraconiugale e ri utato dalla madre, Cardano soriva di disturbi mentali e di una cagionevole salute sica. Studiò medicina con eccellenti risultati, ma non gli fu permesso di esercitare la professione a Milano per via della sua illegittimità.
La decapitazione del glio , le umiliazioni e il
carcere in vecchiaia sono solo alcune delle tragedie che contribuisco a fornire di Cardano un quadro completo della sua persona, di un uomo infelice e profondamente segnato dalla vita. Dal vizio per il gioco d'azzardo Cardano riuscì fortunatamente a trarre motivo di indagine scienti ca e il Liber del ludo aleae,
Cardano
pubblicato postumo nel 1663, ben 87 anni dopo la sua morte, fu il primo serio trattato sulla matematica delle probabilità. Di li a breve tempo le ricerche fatte da Cardano caddero nell'oblio. Nel 1654 Chevalier de Méré, un noto giocatore dell'epoca, pose all'amico Blaise Pascal (1623-1662) una serie di domande in merito al gioco dei dadi. In che misura ha diritto alla posta un giocatore che deve tirare il dado 8 volte e deve tentare di fare uno, ma dopo tre tentativi falliti il gioco si interrompe inaspettatamente? Partendo da questa domanda tra Blaise Pascal e un'altro importante matematico francese Pierre de Fermat (1601-1665) iniziò una tta corrispondenza che rappresentò l'eettivo inizio della teoria della moderna probabilità. Nè Pascal nè Fermat diedero una stesura sistematica ai loro risultati ma nel 1657 Christiaan Huygens(1629-1695) pubblicò De ratiociniis in ludo aleae, un trattato ispirato alla corrispondenza dei due matematici francesi. Riporto a seguire un esempio contenuto nella lettera di Pascal datata 29 luglio 1654. Due giocatori appoggiano su di un tavolo 32 pistole d'oro ciascuno. Entrambi scelgono un numero dall' uno al sei e ogni qualvolta lanciando un dado il numero esce si acquisisce un punto. Vince il gioco chi arriva per primo a tre punti. Dopo un certo numero di lanci il primo giocatore dispone di due punti e il secondo di uno, per un qualsiasi motivo il gioco si interrompe. Come vanno suddivise le 64 pistole? 101
Blaise Pascal
Ho la certezza di aggiudicarmi 32 pistole anche se dovessi perdere il prossimo lancio; quanto alle altre 32 pistole, può darsi che me le aggiudichi io come può darsi che ve lo aggiudicherete voi; le possibilità sono le stesse. Periò dobbiamo dividere quelle trentadue pistole in parti uguali e voi dovrete darmi le trentadue pistole di cui sono sicuro. Quindi la risposta è che il primo giocatore dovrebbe ricevere 48 pistole e il suo avversario 16. La teoria della probabilità non può predire che cosa avvenga con esattezza nel lancio successivo, quel che è vero è che se dovessimo lanciare il dado un milione di volte, i risultati si equilibrerebbero e la probabilità che uscisse un Pierre de Fermat
numero x da un dado a 6 facce è di
1 6 del totale. Il dado come le monete o le
palline non ha memoria! Il trattato di Huygens si presentava però solo come introduzione alla nuova scienza che stava nascendo: dovremmo attendere il 1713, anno di pubblicazione dell' Ars conjectandi (Arte della congettura), per poter leggere il primo vero volume sulla teoria delle Probabilità.
11.2.2
Il più grande tra i fratelli Bernoulli: Jakob Bernoul-
li Nessuna famiglia nella storia della matematica ha prodotto tanti matematici celebri come la famiglia dei Bernoulli.
I membri di questa famiglia possono
vantare una dozzina circa di nomi che si aermarono nel campo della matematica e della sica. Il primo a raggiungere una posizione preminente nel campo della matematica fu Jakob Bernoulli. Nato a Basilea nel 1654 Jakob era il primogenito di tre fratelli. Dopo aver iniziato gli studi teologici, nel 1676 incontrò Robert Boyle, che lo portò allo studio delle scienze e della matematica, in cui è conosciuto soprattutto per la teoria della probabilità. C'è tuttavia, un'altra strada che i condurrà a ciò che stiamo cercando e ci consentirà per lo meno di appuntare a posteriori ciò che non possiamo determinare a priori, ovvero di appurarlo dai risultati osservati in numerosi casi analoghi. A tal proposito si deve ipotizzare che, in simili condizioni, il veri carsi( o il non veri carsi) di un evento futuro seguirà lo stesso andamento che è stato osservato per eventi simili al passato. Ci si a da all'esperienza passata per stabilire la probabilità di diversi eventi futuri. Nella teoria della probabilità infatti le variabili e lo stato iniziale sono noti e l'obbiettivo è predire il risultato nale più probabile. Nella statistica si conosce l'esito, ma le cause che lo hanno determinato rimangono incerte. L'opera di Jakob l'Ars conjectandi venne pubblicata nel 1713, otto anni dopo la morte dell'autore, ed è composta da quattro parti: la prima riporta in parte il trattato di Huygens ed è considerata come una introduzione all'argomento. La seconda presenta una teoria generale delle permutazioni e delle combinazioni, resa più semplice dalla forma binomiale e polinomiale.
In relazione 1 n ) Bernoulli propose il problema dell'interesse composn 1 n 1 n to continuo, ossia quello di trovare limn→∞ (1 + Poiché (1 + < n) . n)
allo sviluppo di
(1 +
102
1 1 1 1 1 1 1 + 1·2 + · · · + 1·2·...·n < 1 + 1 + 2 + 22 + 2n−1 < 3 era chiaro per lui che il limite dovesse esistere. Sempre nella seconda parte, compaiono i cosiddetti
1+
numeri di Bernoulli, che servivano come coe cienti per una formula ricorsi-
´
va per trovare le somme delle potenze degli interi, la cui formula era:
nc =
1 nc+1 + 12 nc + 2c Anc−1 + c(c−1)(c−2) Bnc−3 + c(c−1)(c−2)(c−3)(c−4) Cnc−5 . . . ove 2·3·4 2·3·4·5·6 ´c+1c n indica la somma delle c-esime potenze dei numeri n interi positivi e le lettere A, B, C i numeri di Bermulli, che possono essere de niti come i prodotti di n!. La terza e la quarta parte dell'Ars conjectandi sono dedicate principalmente ai problemi che illustrano al teoria delle probabilità. Nell'ultima parte in particolare contiene il famoso teorema conosciuto anche come legge dei grandi numeri. Ciò su cui si deve ancora indagare è che se aumentando il numero delle osservazioni noi per conseguenza continueremo anche ad aumentare la probabilità che il rapporto registrato tra i casi favorevoli e quelli sfavorevoli si avvicina al rapporto vero, cosicché alla ne tale probabilità nirà per superare qualsiasi grado di certezza si desideri. Se p è la probabilità di un evento, m è il numero di volte in cui l'evento si veri ca in n prove,
ε
che la disuguaglianza
è un numero positivo piccolo a piacere, e P la probabilità
|m n − p| < ε
sia soddisfatta allora
limn→∞ P = 1.
Quindi
il teorema aerma che se la probabilità che un evento si veri chi è p, allora p è il valore più probabile del rapporto tra il numero di volte in cui l'evento si veri ca e il numero totale delle prove eettuate. Inoltre, quando il numero delle prove eettuate si approssima all'in nito, il valore del rapporto diventa p con certezza. Scrive Bernoulli: Abbiamo un vaso che contiene 3000 sassolini bianchi e 2000 sassolini neri e vogliamo stabilire empiricamente il rapporto tra ciottoli bianchi e neri (supposto che non lo conosciamo) estraendo un sassolino dopo l'altro e registrando quante volte ne esce uno bianco e quante uno nero. (Vi ricordo che un requisito importante per questo procedimento è di riportare nell'urna ogni ciottolo dopo averne annotato il colore, prima di estrarre il successivo, così che il numero dei ciottoli contenuti nell'urna rimanga costante.) Ora ci chiediamo, è possibile, ripetendo inde nitamente l'operazione, rendere 10, 100, 1000 volte più probabile ( no a raggiungere la certezza morale) che il rapporto tra il numero di estrazioni di un sassolino bianco e il numero di estrazioni di un sassolino nero assuma lo stesso valore (3 a 2) del rapporto reale tra sassolini bianchi e neri nell'urna, rispetto all'eventualità che tale rapporto assuma un valore diverso?
Se
la risposta è no, allora ammetto che il nostro tentativo di stabilire il numero di casi tramite l'osservazione è probabilmente destinato a fallire. Ma se è vero che alla ne riusciremo a raggiungere la certezza morale usando questo metodo allora potremmo determinare il numero dei casi a posteriori con una precisione quasi pari a quella che avremmo se lo conoscessimo a priori.
103
11.2.3
Questa ipotesi, signore, in eetti spiega tutto, ma non permette di predire nulla. Come studioso, io devo fornirvi opere che permettono di fare predizioni 3 : Pierre- Simon Laplace Tutti gli avvenimenti, anche quelli che per loro piccolezza sem-
brano non ubbidire alle grandi leggi della Natura, ne sono una conseguenza necessaria, come lo sono le rivoluzioni del Sole. Pierre-Simon Laplace, marchese di Laplace nacque a Beaumont-en-Auge il 23 marzo 1749, è stato un matematico, sico e astronomo francese durante il periodo napoleonico e morì a Parigi nel 1827. Mentre stava conducendo delle ricerche in sica con lo scopo di rispondere alla domanda: come si spiega la stabilità che caratterizza il sistema solare? venne attratto dallo studio della teoria della probabilità. Nel suo Essai philosophique
sur les probabilités, Laplace formalizzò il procedimento matematico del ragionamento per induzione basato sulla probabilità. Laplace giunse alle stesse con4
clusioni del teorema di Bayes
senza esserne probabilmente a conoscenza. Da
tale teorema dedusse la regola di successione. Supponiamo che un evento abbia due possibili esiti: "successo" ed "insuccesso". La probabilità che il prossimo
s+1 n+2 , dove s è il numero dei successi osservati precedentemente ed n è il numero totale delle
esito sia un successo è:
Pr(il
prossimo esito sia un successo)
=
prove osservate. Tale formula viene ancora oggi utilizzata come una stima della probabilità di un evento se si conosce lo spazio degli eventi, ma si dispone solo di un piccolo numero di campioni.
Laplace calcolò così la probabilità che il
d+1 d+2 , dove d è il numero di volte che il sole è sorto in passato. Laplace era pienamente sole sorga domani grazie alla espressione
Pr(il
sole sorga domani)
=
consapevole dell'assurdità del risultato; subito dopo l'esempio, scrisse: Ma questo numero [cioè, la probabilità che il sole sorgerà domani] è molto più grande per chi, considerando i principi che regolano i giorni e le stagioni nella totalità degli eventi, realizza che nulla all'istante attuale può fermare il suo corso.
3 Frase
detta da Laplace al commento di Napoleone sull' Esposizione del sistema del mondo
del 1796: Lei ha scritto questo librone sulla fondazione del mondo senza menzionare una sola volta l'autore dell'universo. Quando Napoleone gli raccontò l'accaduto, Lagrange commentò: Ah, ma è un'ottima ipotesi. Spiega tante cose!.
4 Il
teorema di Bayes fu proposto da Thomas Bayes(1702-1761), deriva da due teoremi
fondamentali delle probabilità: il teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità assoluta. Viene spesso usato per calcolare le probabilità a posteriori (posterior probabilities) date delle osservazioni.
P (A|B) =
La probabilità di un evento A, noto un evento B risulta:
P (A∩B) P (B)
104
Capitolo 12 Il mondo cambia forma 12.1
Euclide e la costruzione di un edi cio solido:
gli Elementi Non molto più giovane di loro Ermotico di Colofone e Filippo di Medma è Euclide; egli raccolse gli "Elementi", ne ordinò in sistema molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto, e ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che suoi predecessori avevano poco rigorosamente dimostrato. Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide; e anche si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere la geometria; ed egli rispose che per la geometria. i re.
non esistevano vie fatte per
Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma
più anziano di Eratostene e di Archimede che erano fra loro contemporanei, come aerma in qualche luogo Eratostene. Per le idee Euclide era platonico e aveva molto familiare questa loso a, tanto che si propose come scopo nale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle gure chiamate platoniche. (Proclo, Comm. Eucl., II, 68) Questo è quello che ci riporta della vita di Euclide il losofo Proclo, che da quanto riporta quest'ultimo Euclide nacque circa nel 367 a.C., durante il regno di Tolomeo I e morì intorno al 283 a.C. L'opera che sicuramente lo rese celebre fu gli Elementi, infatti essa fu considerata per più di duemila anni il libro sacro della geometria. L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze (in particolare il decimo libro riguarda la teoria degli incommensurabili) e gli ultimi tre la geometria solida. Euclide basa il suo lavoro su 23 de nizioni, che trattavano i concetti di punto, linea e super cie e su 5 assiomi. 105
In un sistema deduttivo la dimostrazione di un teorema consiste nel far vedere che esso è una conseguenza logica necessaria di alcune preposizioni precedenti, queste a loro volta devono essere dimostrate, e così via. Tale procedimento avrebbe una regressione all'in nito, a meno che non si ammette di fermarsi ad un certo punto. Si accettano quindi alcune proposizioni dette assiomi o postulati come veri senza bisogno di dimostrazioni. Tali postulati però devono essere coerenti, cioè due teoremi da essi dedotti non possono essere in contraddizione tra loro, e devono essere completi cioè da essi si deve poter dedurre ogni teorema del sistema. Tale questione accese un contrasto loso co tra formalisti e intuizionisti; ai primi interessava un approccio logico formale alla base dei postulati e ai secondi invece gli enti matematici erano come oggetti sostanziali in un regno di pura intuizione, obbiettivamente vere che descrivevano una realtà esistente.
Di quest'ultma loso a era Immanuel Kant, che concepiva la
scienza a un livello fenomenico, dove i dati sensibili percepiti dai sensi devono essere ordinati dalle due forme pure dell'intuizione che sono spazio e tempo, e questo riordino avviene per opera dell'intelletto che Kant chiama Io Penso. l'io 1
penso deve poter accompagnare tutte le mie rappresentazioni , in parole semplici Kant sosteneva che se percepissimo un oggetto, allora quest'ultimo sarebbe necessariamente spaziale ed euclideo. Euclide fu il fondatore del rigore in matematica. Gli elementi iniziano con concetti e de nizioni molto semplici e gradatamente costruiscono un vasto corpo di risultati. L'opera ha un piano preciso ed una architettura che lo rende forte e vigorosa, tanto da essere stata intaccata per ben duemila anni. Tuttavia il materiale con cui Euclide costruì le dimostrazioni è il linguaggio umano, mezzo che spesso cela in se tranelli.
Quindi è sicuro che l'opera sia
sostenuta da solidi elementi strutturali? Quando qualcuno ci fornisce una de nizione, più la parola è comune più saremo spinti anche inconsciamente ad associarla a ciò che la nostra memoria conserva su di essa. Euclide nei suoi Elementi, tentò di dare de nizioni a parole di uso comune come punto e retta. Domandando agli amici cos'è un punto e cos'è una retta, la risposta più semplice e immediata che veniva da fornire era che il punto è il segno della punta della matita e la retta un lo teso. Ma bisogna stare attenti a non confondere termini tecnici con le parole di uso quotidiano. Euclide non fece così egli pensò proprio i punti e le rette del mondo reale, e con tali concetti in testa formulò i suoi postulati. Sui primi 4 postulati nemmeno monsignor de La Palice avrebbe avuto a che ridire, il
5°
invece aprì la strada
verso nuovi orizzonti: 1. Congiungendo due punti qualsiasi, si ottiene un segmento di retta. 2. Ogni segmento può essere prolungato all'in nito in linea retta. 3. Dato un qualsiasi segmento, si può tracciare un cerchio che ha come raggio il segmento stesso e come centro un estremo del segmento 4. Tutti gli angoli retti sono congruenti 5. Se si tracciano due rette che intersecano una terza in modo tale che la somma degli angoli interni da una stessa parte sia inferiore a due angoli retti,
1 Kant,
logica trascendentale della prima critica
106
allora le due rette, se prolungate su cientemente, debbano necessariamente intersecarsi da quella parte.
12.1.1
Crolla il solido muro di Euclide: il quinto postulato
Un postulato equivalente al
5°
è il famoso postulato delle parallele, che aerma:
Data una qualsiasi retta e un punto esterna ad essa, esiste una e una sola retta che passa per quel punto e non interseca mai la retta data, per quanto la si prolunghi. Euclide stesso considerava quest'ultimo postulato inferiore agli altri quattro, visto che né evitò l'uso nelle prime 28 proposizioni. Nei secoli si susseguirono innumerevoli tentativi di dimostrare il lato.
5°
postu-
Il matematico tedesco Georg Klügel (1739- 1812) criticò ben ventotto
dimostrazioni diverse, tutte sbagliate. Uno dei primi tentativi fu fatto da Proclo (IV secolo a.C.):
egli cercò di de nire retta parallela come il luogo dei
punti aventi dalla retta una distanza ssa.
In questo modo si aveva soltanto
spostato la di coltà, si doveva infatti dimostrare che il luogo di questi punti è eettivamente una retta. Girolamo Saccheri (1667-1733) e Johann Heinrich Lambert (1728-1777) tentarono di dimostrare il postulato delle parallele indirettamente, ammettendo il contrario e deducendone conseguenze assurde. Ma molto lontano dall'essere assurde, le loro conclusioni equivalevano ai teoremi della geometria non euclidea che doveva svilupparsi di lì a quarant'anni dopo la morte di Lambert.
12.2
La costruzione di nuovi mondi: le geometrie
non-euclidee Un russo, un ungherese e un tedesco, questo potrebbe sembrare l'inizio di una barzelletta ma non è così; si tratta in realtà delle nazionalità di tre importanti matematici, che indipendentemente gli uni dagli altri, arrivarono alla costruzione di una nuova geometria.
Nel 1823 la geometria non euclidea venne scoper-
ta da un matematico ungherese, Jànos Bolyai (1802-1860) e dal russo Nikolaj Loba£evskij (1792-1856). In una lettera al glio Jànos, il padre di Bolyai cercò di dissuadere il glio dall'impegnarsi su tali argomenti, la strada per nuove geometrie non era di certo la più semplice da seguire ed aveva già in passato fatto perdere tempo a molti matematici senza portare a nessun risultato. Tu non devi avvicinarti al problema delle parallele. questa via no in fondo.
Conosco
Ho attraversato questa notte senza ne,
che ha spento ogni luce e gioia nella vita. Ti supplico abbandona la scienza delle parallele. Per nulla scoraggiato dalle parole del padre Jànos Bolyai pubblicò i propri risultati e li fece giudicare a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) che rispose: 107
Se cominciassi dicendo che non posso lodare questo lavoro, rimarreste certamente sorpreso per un istante.
Ma non posso fare
altrimenti. Lodarlo signi cherebbe lodare me stesso. Il fatto è che l'intero suo contenuto, il percorso seguito da vostro glio e i risultati a cui quel percorso l'ha condotto, coincidono quasi completamente con le mie meditazioni, che hanno tenuto in parte impegnata la mia mente negli ultimi trenta trentacinque anni. Gauss lo aveva preceduto, egli però non si era curato di pubblicare i suoi risultati perché temeva il giudizio dei loso kantiani. Risultati simili furono ottenuti in maniera indipendente dal tedesco Ferdinand Schweikart (1780-1859) ma siccome ne quest'ultimo ne Gauss pubblicarono i loro risultati, la priorità sull'argomento viene attribuita a Jànos Bolyai e Nikolaj Loba£evskij. Nasce così nel XIX secolo la geometria iperbolica. Tale geometria prende per veritieri i primi 4 postulati di Euclide ma modi ca il
5°,
il postulato delle parallele. Infatti la geometria iperbolica è la geometria
ottenuta modi cando quest'ultimo postulato, nel modo seguente: Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r. In questa geometria la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è strettamente minore a
π,
a dierenza di quella euclidea che è esattamente di
π. Per tale geometria vennero costruiti 4 modelli.
Un modello è uno spazio,
comprendente le nozioni di punto, retta e angolo, su cui valgono i 5 assiomi della geometria iperbolica. Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è formato dai punti interni ad un cerchio C. Le rette sono archi di circonferenza che intersecano il bordo del cerchio perpendicolarmente.
Gli angoli che formano due di queste
"rette" quando si intersecano in un punto sono quelli formati dalle rette tangenti nel punto. La distanza fra due punti è de nita in modo tale da crescere esponenzialmente quando uno dei due punti è spostato verso il bordo del cerchio. modello del disco di Poincaré
Il modello del semipiano è simile al modello del disco. Lo spazio iperbolico è il semipiano del piano cartesiano formato dal I e dal II quadrante: l'asse delle ascisse non è inclusa. Le "rette" sono archi di circonferenza ortogonali all'asse delle ascisse. Gli angoli sono quelli formati dalle rette tangenti. Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio C. Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.
modello di Klein
Nel modello dell'iperboloide lo spazio iperbolico è descritto con l'ausilio dell'algebra lineare. Lo spazio iperbolico è un iperboloide contenuto nello spazio tridimensionale, e le rette sono le intersezioni dell'iperboloide con un piano passante per il centro dell'iperboloide.Questo modello è agevole per eettuare alcuni conti, perché si poggia sugli strumenti dell'algebra lineare. 108
Risulta però
meno intuitivo e più di cile da visualizzare, perché contenuto nello spazio tridimensionale anziché nel piano. Ma quale sarà la geometria da preferire per descrivere il mondo reale dato che nei capitoli precedenti abbiamo visto che la matematica è il linguaggio del mondo? Gauss eseguì un esperimento per risolvere la questione:
misurare cioè gli
angoli di un triangolo formato dalle tre cime di tre montagne.
Se la somma
fosse minore di 180° allora la geometria più adeguata sarebbe quella iperbolica se
fosse esattamente 180° quella euclidea. Nulla era risolto dall'esperienza, perché
per triangoli piccoli, lo scarto da 180° nella geometria iperbolica poteva essere così piccolo da non venir segnalato dagli strumenti di Gauss.
Perciò, nché
si preparano in esame proprietà puramente locali dello spazio, la scelta tra le due geometrie deve essere fatta soltanto sulla base della semplicità e della convenienza. Un'altra importante geometria non euclidea fu ideata dal matematico Bernhard Riemann (1826-1866) ed è la geometria ellittica. Dopo che la geometria iperbolica ebbe aperta la via alla libertà nella costruzione delle geometrie, veniva spontaneo domandarsi se fosse possibile costruire geometriche non euclidee dierenti, in cui una retta non fosse in nita ma nita e chiusa. Questa necessità non presupponeva di cambiare solo il
5°postulato
ma anche altri due. Per
costruire questo nuovo mondo basta immaginarci una super cie sferica in cui la retta è de nita come un cerchio massimo, in esso due rette distinte sono sempre incidenti, e quindi in un punto esterno a una retta non si può tracciare nessuna retta a essa parallela. La distanza tra due punti è la lunghezza del più corto dei due archi di cerchio massimo che uniscono i due punti. Gli angoli si misurano come nella geometria euclidea.
12.3
Nuove geometrie: i mille volti della geome-
tria A ne, algebrica, analitica, aritmetica, assoluta, cartesiana, combinatoria, complementare, complessa, frattale, molecolare, neutrale, piana, proiettiva, simplettica, sintetica, solida sono solo alcuni tipi delle molte geometrie che si possono trovare oggigiorno. Esso godono di svariate proprietà e di particolarità a seconda dei casi; Per esempio, la geometria cartesiana, quella cioè studiata attraverso l'uso del sistema cartesiano può essere facilmente estendibile alle dimensioni superiori: de nendo spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.
Grazie all'algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello
spazio può essere esteso allo studio dei sottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria.
Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a
quello dei sistemi lineari e delle loro soluzioni. In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui 109
due "falde" di un iperboloide
siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo. Nella geometria a ne il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. Lo spazio a ne è considerato ( no alla scoperta della relatività ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati. Dal XIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. La geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: nascono i "punti all'in nito", creando così la geometria proiettiva, e le coordinate di un punto non variano solo nei numeri reali, ma anche in quelli complessi. Formalizzata nel XIX secolo la geometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno in prospettiva.
I punti si incontrano nell' orizzonte nei
cosiddetti punti all'in nito eliminando così, la presenza delle rette parallele e tutte le sue problematiche come anche due piani distinti si intersecano sempre in una retta. La geometria proiettiva è anche un esempio di compatti cazione: similmente a quanto accade con la proiezione stereogra ca, cioè la proiezione dei punti sulla super cie di una sfera da un punto N della sfera stessa , aggiungendo i punti all'in nito lo spazio diventa compatto, cioè "limitato", " nito". La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei polinomi e delle loro radici: gli oggetti che tratta, chiamati varietà algebriche, sono gli insiemi dello spazio proiettivo, a ne o euclideo de niti come luoghi di zeri di polinomi. Nel XX secolo il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore.
Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà alge-
briche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel campo dei numeri complessi: in questo caso, grazie al teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici. Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si ri ettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante. La geometria dierenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite l'analisi. Quest'ultimi non sono necessariamente de niti da polinomi, ma sono ad esempio curve e super ci, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi, come la super cie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia. Tramite il calcolo in nitesimale e la nozione di derivata, è quindi possibile introdurre e studiare nozioni di fondamentale importanza, quali quelle di campo vettoriale, forma dierenziale, geodetica, curvatura.
L'applicazione
più spettacolare della geometria dierenziale è la formulazione della relatività generale, a cui fornisce gli strumenti per modellizzare lo spaziotempo. 110
I matematici hanno realizzato un gran numero di sistemi geometrici dierenti. Euclidei e non euclidei, in uno, due, tre o qualsivoglia numero di dimensioni. Tutti questi sistemi posseggono completa e uguale validità.
Essi rappresentano i risultati delle osser-
vazioni che i matematici fanno della loro realtà, una realtà molto più profonda e molto più rigida della realtà dubbia ed esclusiva della sica [...]. Il compito di un matematico, dunque, è semplicemente quello di osservare i fatti che riguardano il suo di cile ed intricato sistema di realtà, quel complesso straordinariamente bello di rapporti logici che formano l'argomento della sua scienza, come se fosse un esploratore che osserva una lontana catena di montagne, e di registrare i risultati delle sue osservazioni su una serie di mappe, ciascuna delle quali è una branca della matematica pura. G. H. Hardy(1877 1947)
111
112
Capitolo 13 Tra il vero e il falso La logica è diventata più matematica e la matematica è diventata 1
più logica.
13.1
Ri ettere sul ragionamento: gli inizi
Raccontare la storia della logica signi ca raccontare gli sviluppi intellettuali di una grande impresa collettiva, che ha coinvolto una moltitudine di pensatori piccoli e grandi. La storia prende piede più di duemila anni fa, il padre fondatore della logica come disciplina autonoma può essere considerato Aristotele (384 a.C- 322 a.C), egli stesso de nisce nell'Interpretazione il campo d'azione della logica nel seguente modo: Dichiarativi sono i discorsi che possono essere veri e falsi. Il che non vale certo per tutti: la preghiera ad esempio, è un discorso, ma non risulta né vera né falsa. Prescindiamo dunque dagl'altri discorsi, dal momento che l'indagine al loro riguardo è più pertinente alla retorica o alla poetica.
Il discorso dichiarativo spetta invece alla
presente considerazione. Semiotica, sintassi e semantica sono tre componenti fondamentali della logica, esse rispettivamente si occupano dei segni, sensi e signi cati , determinando le condizioni di correttezza grammaticale, validità formale e verità sostanziale. I pensatori sono immagini di oggetti, le parole sono simboli di pensieri, e le lettere scritte sono simboli di suoni vocali. Lettere e suoni [cioè scritture e lingue] non sono uguali per tutti, ma i pensieri e gli oggetti sì.
1 Russell 2 Aristotele,
2
Interpretazione
113
La logica secondo Aristotele, che egli chiamava con il nome di analitica, fornisce gli strumenti mentali per arontare qualsivoglia tipo di indagine. Mostra come procede il pensiero, sulla base di quali elementi e secondo quale struttura.
Il
ragionamento vero e proprio non consiste solo nel giudizio ma in una sequela di giudizi opportunamente connessi. La connessione rigorosa e perfetta costituisce il sillogismo. Se tutti gli uomini sono mortali, e se Socrate è un uomo allora Socrate è mortale Il termine moderno di logica matematica è stato assegnato da Giuseppe Peano. In buona sostanza è ancora la logica di Aristotele, ma si pone dal punto di vista che considera la notazione con la quale viene scritta come branca dell'algebra astratta e combinatoria. L'anno di nascita della logica moderna è il 1874.
13.2
Un inglese calcolatore: George Boole
Nel 1874 venne pubblicato per la prima volta L'analisi matematica della logica, manifesto che scaturisce appunto l'atto di nascita della logica matematica scritto dall'inglese George Boole. Nato a Lincoln nel 1815 da una famiglia proletaria, il giovane Boole studiò da autodidatta e fu in uenzato da contatti occasionali con Duncan Gregory, un algebrista di Cambridge e Augustus De Morgan, un logico di Londra.
Gli ottimi risultati conseguiti nello studio della logica gli
consentirono di ricevere una cattedra al Queen's College di Cork, che tenne no alla prematura morte nel 1864. I risultati migliori furono L'analisi matematica della logica e Le leggi del
pensiero del 1854. Nelle sue opere Boole riuscì a descrivere completamente la teoria dei sillogismi in termini di equazioni algebriche e a stabilire un procedimento meccanico per la loro soluzione. Boole trasformò la logica in un tipo di algebra conosciuta oggigiorno come algebra booleana.
13.2.1
La logica proposizionale: simboli e connettori: le
tavole di verità La logica proposizionale è un linguaggio formale con una semplice struttura sintattica, basata fondamentalmente su proposizioni elementari, chiamate atomi che possono essere veri o falsi e su connettivi logici di tipo vero-funzionale. Le proposizioni atomiche vengono dunque rappresentate mediante lettere che fungono da variabile, e simboli speciali per i connettivi.
3 Il
simbolismo è convenzionale. Peano (1889)
3
Russell (1910)
Hilbert (1929)
negazione
-
∼
a
¬
congiunzione
∩ ∪ ⊃
.
&
&
∨ ⊃
∨ →
∨ ⊃
disgiunzione implicazione
114
Gentzen (1935)
Le de nizioni vero-funzionali si possono descrivere in maniera compatta mediante tavole di verità, che furono utilizzate per la prima volta nel 1847 da Boole. Una tavola di verità è una semplice tabella che descrive qual'è il valore di verità di una formula composta. Esse non introducono nulla di nuovo rispetto alle de nizioni, semplicemente si limitano a tradurle con formalismo e cace e suggestivo.
α
β
¬α
α∧β
α∨β
α→β
α↔β
atomo
atomo
negazione
congiunzione
disgiunzione
implicazione
doppia impl.
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
Possiamo rappresentare le possibilità di verità medianti schemi di questa specie: V signi ca vero, F signi ca falso; le righe di V e F sotto la riga delle lettere proposizionali simboleggiano le loro possibilità in modo facilmente comprensibile.
4
Ma la logica è solo vero e falso? l'algebra booleana
13.2.2
Aristotele non interpretava la logica come valori di verità, o almeno non solo in termini di vero e falso. Ri utato il principio di ambivalenza bisognava poter aggiungere appropriati valori di verità, senza per questo togliere tautologie. Boole propose di interpretare i valori di verità attraverso i numeri 1 (vero) e 0 (falso). Quindi la negazione di p si può interpretare come 1-p e la congiunzione di p e q come il prodotto
p · q.
Si può veri care facilmente che le righe della
tavola di verità tradotte in questo linguaggio algebrico continuano ad essere le medesime.
Boole fece i primi passi verso le assiomatizzazioni che furono poi
sviluppate in seguito da molti altri personaggi. Le formule che seguono ne sono un esempio:
x+y =y+x x + (y + z) = (x + y) + z x · (y + z) = (x · y) + (x · z) x+0=x x + (1 − x) = 1
x·y =y·x x · (y · z) = (x · y) · z x + (y · z) = (x + y) · (x + z) x·1=x x · (1 − x) = 0
Un insieme di numeri che soddis tutte queste proprietà si chiama algebra booleana.
13.3
Un tedesco sensato: Gottlob Frege
La verità è indipendente dal giudizio umano, scrive Frege:
4 Wittgenstein,
Tractatus
115
L'esser vero è dierente dall'esser ritenuto vero, da uno, da molti o da tutti, e in nessun caso va ridotto a questo. Non c'è contraddizione nell'esser certo di qualcosa che chiunque ritiene falso.
Per
leggi logiche io non intendo le leggi psicologiche del ritener vero, ma le leggi dell'esser vero [...]. Esse sono pietre di con ne posate su fondamenta eterne, che il nostro pensiero può sommergere, ma non smuovere. Questo pensiero è centrale nella loso a di Gottlob Frege, schivo professore di Jena vissuto tra il 1848 e il 1925, la cui opera più importante fu data alle stampe nel 1879 ed è l'Ideogra a. Un linguaggio in formule del pensiero puro
a imitazione di quello aritmetico. In esso Frege si spinse oltre Boole superando i con ni della logica proposizionale e sillogistica, sviluppando un sistema di assiomi e regole per la logica predicativa.
13.3.1
La logica predicativa: uno, nessuno e centomila
L'analisi logica riduce le più semplici proposizioni del linguaggio alla struttura (s)oggetto- predicato , dove gli oggetti sono dati (materiali) e i predicati sono posizioni (mentali). Gli oggetti che nella logica proposizionale non venivano presi in considerazione, vengono invece ripresi nella logica predicativa attraverso i termini che ne costituiscono i nomi.
Poiché fra i termini ci sono le variabili,
che fungono da nomi comuni, diventa possibile quanti carle parlando di tutti, qualcuno e nessuno dei loro possibili valori. Quante volte ci siamo trovati nella situazione di dire per tutti gli x (pentola) c'è un y (coperchio). Pronunciando questa semplice frase abbiamo quanti cato x e y, per tutti gli x c'è un y. Tutte le pentole hanno un coperchio. Oltre all'aspetto dei soggetti la logica predicativa si occupa del verbo e delle sue accezioni, elencate in maniera sintetica ed e cace già da Frege nel 1879 e dal formulario di Peano nel 1897, riporto a seguire una tabella contenente i principali verbi che vengono comunemente usati in matematica. accezione
espressione
simbolo
veridica
x è vero x (c')è xèP x è un y ogni x è un y xèy
`x ∃x P (x) x∈y x⊆y x=y
esistenziale copulativa di appartenenza di inclusione di identità
Frenge fu il primo a dare un sistema corretto e completo di assiomi per la logica predicativa. Come dice in gran parte il titolo dell'opera Ideogra a, egli sostituì il tradizionale stile soggetto/predicato della logica classica con concetti presi a prestito dalla teoria matematica delle funzioni, de nendo concetti come funzioni, per cui ad un certo concetto dava un determinato valore di verità. Per esempio se come funzione vero e falso se
f (x)
associo é un colore,
x = casa. 116
x = rosso
ha valore
Nell'opera Uber sinn und bedeutung (Su senso e signi cato) Frage aerma che per i termini singolari ad ogni segno corrisponde: un senso, cioè il modo di darsi dell'oggetto e un signi cato cioè l'oggetto stesso per cui il segno stà. Per gli enunciati il senso è il pensiero espresso dall'enunciato e il signi cato è il valore di verità espresso dall'enunciato. Invece per quanto riguarda i predicati il senso è il modo di darsi del concetto e il signi cato il concetto stesso: una 5
funzione il cui valore è il valore di verità.
13.3.2
Chiacchierando con Russell: il quinto postulato
Una delle questioni loso che più accese nel mondo riguarda la quaestio de
universalibus, il problema degli universali. Il problema investe il fondamento e la validità della conoscenza e in genere del sapere umano. Possiamo riformulare il problema e le soluzioni in questo modo: gli universali possono essere di tre tipi: ante rem, esistono prima delle cose, posti dall'anima, la ragione e l'intelletto; in re , gli universali sono all'interno delle cose stesse, come essenza reale; post rem gli universali sono un prodotto reale della nostra mente che svolge quindi una funzione autonoma nella elaborazione dei concetti che non dipende dalla realtà. Le tre risoluzioni classiche portarono allo sviluppo di tre pensieri dierenti: il concettualismo, il nominalismo estremo di Roscellino e il realismo. Per Frege gli insiemi sono visti come espressioni linguistiche, universalia sunt atus vocis
6
:
L'insieme è qualcosa di derivato, mentre nel concetto - nel senso che io dò a questo termine- abbiamo qualcosa di primitivo. La formulazione moderna del principio di comprensione
7
è stata data da Frege
nel 1893 nei Principi dell'aritmetica. Egli formulò: a ciascuna proprietà P(x) corrisponde un insieme, necessariamente unico per il principio di estensionalità che si indica con
{x : P (x)}.
Questa forma del principio collega esplicitamente
fra loro i tre livelli degli elementi, delle proprietà e degli insiemi, esempli cati da gli uomini, l'uomo, e l'umanità. Esattamente i tre livelli esposti dagli universali. Applicando il principio di compressione si de nisce l'insieme vuoto
∅
e l'universo V nel seguente modo:
∅ = {x : x 6= x}
e
V = {x : x = x}.
Con i Principi dell'aritmetica Frege intraprese una corrispondenza con Bertrand Russell (1872 1970), tali discussioni portarono dentro alla storia della matematica un'altra questione spinosa da risolvere. Era il 16 giugno 1902. Caro collega, da un anno e mezzo sono a conoscenza dei suoi Principi del-
l'aritmetica, ma solo ora ho potuto trovare il tempo per lo studio
5
SENSO
SIGNIFICATO
ENUNCIATI
pensiero espresso
valore di verità
PREDICATI
modo di darsi del concetto
concetto stesso (funzione)
6 Roscellino: gli 7 Il principio di
universali sono un so o di voce comprensione consiste nel descrivere gli insiemi non più mediante l'elen-
cazione dei suo membri ma tramite una proprietà comune. Per esempio l'insieme
{2; 4; 6; 8}può
essere descritto come l'insieme dei numeri pari contenuti strettamente tra 0 e 10.
117
dettagliato che intendevo fare del suo lavoro.
Mi trovo completa-
mente d'accordo con lei su tutto l'essenziale. [...] C'è solo un punto in cui ho incontrato una di coltà.
Lei dice che una funzione può
fungere da elemento indeterminato. Anch'io lo credevo, ma ora la cosa mi sembra dubbia a causa della seguente contraddizione. Sia R il predicato: essere un predicato che non può essere predicato di se stesso. Può R essere predicato di se stesso? Da ciascuna risposta segue il suo contrario. Dobbiamo dunque concludere che R non è un predicato.
Analogamente, non c'è una classe di tutte le classi che
non appartengono a se stesse. Ne concludo che, in certe circostanza, una collezione de nibile non forma una classe. In altre parole, se
R = {x : x ∈ / x},
allora
x∈R⇔x∈ / x,
e
R∈R⇔R∈ / R.
La de nizione di partenza di R non è contraddittoria infatti, per esempio basta osservare che l'insieme di tutte le case del mondo non è una casa, e dunque sta in R, mentre l'insieme delle cose che non sono case non è una casa, e dunque non sta in R. È solo quando ci si chiede se R stesso sta in R oppure no, che si ottiene una contraddizione. Era il 22 giugno 1902 e Frege scrive: Caro collega, molte grazie per la sua interessante lettera del 16 giugno. compiaccio che lei concordi con me su molti punti.
[...]
Mi
La sua
scoperta della contraddizione mi ha causato la massima sorpresa e, direi quasi, costernazione, perché ha scosso le basi sulle quali intendevo costruire l'aritmetica.
[...]
Il secondo volume dei miei
Principi sta per uscire. Dovrò certamente aggiungere un'appendice che tenga conto della sua scoperta. Se solo sapessi come! Il paradosso di Russell non era altro che la sempli cazione del teorema di Cantor, che svariati anni prima aveva già posto il medesimo problema. Il mondo della matematica era stato gettato in uno stato confusionale e la soluzione, per nulla positiva del paradosso stava per essere svelata al mondo.
Il teorema di
incompletezza di Gödel stava per essere enunciato al mondo. Era il 1931.
13.4
Un tedesco (in)completo: Kurt Gödel
Kurt Gödel nasce in Moravia nel 1906.
L'agiatezza economica della famiglia
permise a Gödel di studiare presso una scuola privata dove dimostrò n da giovane una brillantezza negli studi, una preponderante introversione ma anche una cagionevole salute.
Ammalatosi all'età di otto anni di febbre reumatica,
tale esperienza lo condizionò talmente tanto che sviluppò una forte ipocondria che lo spinse all'ossessione che lo volessero avvelenare. Morì così di denutrizione all'età di 72 anni. All'università Gödel si dedicò alla possibilità di poter estendere la logica predicativa di Frege, che a sua volta aveva esteso dalla sillogistica di Aristotele. Come tesi di laurea, nel 1929, arrivò alla conclusione che il sistema 118
di Frege era completo e non ammetteva ulteriori estensioni.
Un altro proble-
ma, proposto da Hilbert, stava però stimolando la sua curiosità: era possibile dimostrare che nei sistemi matematici usuali non si può arrivare a contraddizioni come quella che Russell aveva scovato nel sistema di Frege? Nella tesi del suo dottorato del 1931 Gödel ne diede la sua risposta negativa: nessun sistema matematico può dimostrare di non essere contraddittorio, e deve cercare all'esterno le assicurazioni della propria consistenza. Gödel infatti dimostrò che la coerenza di un sistema è tale proprio perché non può essere dimostrata.
Questa frase è falsa8 : il primo teorema
13.4.1
Leggendo qualsivoglia libro il lettore non riuscirà mai ad apprendere la totalità degli eventi.
Ci sarà sempre qualcosa che non è scritto, qualche dettaglio di-
menticato o qualche frase generale che non si soermi nei minimi particolari. Spesso della vita di un personaggio conosciamo solo cosa fece in un determinato periodo ma spesso della sua infanzia, per esempio, non abbiamo alcuna informazione. Opere letterarie, aspetti espliciti ed impliciti, e critica letteraria possono corrispondere metaforicamente a sistemi formali, assiomi e teoremi, e dimostrazioni.
Gödel nel primo dei suoi due famosi teoremi aerma proprio
questa idea: nessun sistema formale può descrivere una realtà matematica possibile e su cientemente complessa in modo completo.
Quindi ciò che si può
dimostrare in un sistema formale non è altro che una parte di ciò che è vero nel mondo platonico.
9
Questo è quello che accade anche quando guardiamo l'universo o un semplice paesaggio, non riusciremo mai ad osservarlo nella sua immagine completa. Il Teorema di Gödel compare come la Proposizione VI del suo scritto del 1931 Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e
di sistemi a ni. Esso aerma: Ad ogni classe
k
ω − coerente e ricorsiva corr tali che né Gen r né Neg (v (k ) (dove v è la variabile libera di r )
di formule che sia
rispondono a segni-di-classe ricorsivi Gen
r)
appartengono a Flg
Personalmente, l'enunciato così esposto mi sembra scritto in sanscrito antico, infatti più di mezzi termini hanno per me un signi cato oscuro. Cercando di tradurlo in un linguaggio più comprensibile, compiendo una sorta di parafrasi come si fa generalmente quando si traduce in lingua corrente un canto di Dante, il teorema potrebbe apparire in questa formula: tutte le assiomatizzazioni coerenti dell'aritmetica contengono proposizioni indecidibili.
8 nessuno
riuscirà mai a dimostrare se tale aermazione sia vera o falsa; se infatti fosse
vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse "Questa frase è vera") quando abbiamo appena aermato il contrario.
9 Gödel
è un gran sostenitore del platonismo, egli vedeva nella matematica una for-
ma di conoscenza reale e non puramente astratta o concettuale, nonostante prescinda dall'esperienza dei sensi e si basi esclusivamente sull'ituizione mentale.
119
Il primo teorema di incompletezza dimostra che qualsiasi sistema che permette di de nire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene aermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità. Con qualche sempli cazione possiamo aermare che in ogni formalizzazione coerente della matematica è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere ne dimostrata ne confutata all'interno dello stesso sistema.
13.4.2
Solo i pazzi possono credere di non essere matti: il
secondo teorema Se un giorno vi capitasse di incontrare per strada una persona che vi fermi e vi dica: Io non sono matto! che cosa pensereste? Le persone normali in genere non hanno bisogno di farlo sapere oppure da un matto ci si può aspettare qualsiasi frase anche la negazione della sua stessa condizione, probabilmente questi sarebbero i pensieri più comuni. La medesima situazione si presenta per i sistemi formali. Un sistema è inconsistente (quindi matto) se esso prova qualunque formula. I soli sistemi che provino la propria consistenza, cioè aermino di non essere matti, sono appunto quelli che sono inconsistenti. Tale idea era già stata formalizzata da Kant, che rivista e adattata alla situazione può essere espressa come: se la ragione vuole essere consistente, allora non può essere completa, nel senso di poter decidere ogni problema che essa si ponga. Se sostituiamo ragione con sistema formale, si ottiene una formulazione del teorema di Gödel. Sia T una teoria matematica su cientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T. Detto in altre parole e sempli cando: nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza. Gödel metteva così in evidenza che la dimostrabilità è una nozione più debole della verità, indipendentemente dal sistema assiomatico considerato, ma non credeva che i suoi teoremi avrebbero distrutto la fede nella matematica. Egli voleva dire semplicemente che la completezza dell'aritmetica non poteva essere dimostrata dagli assiomi dell'aritmetica, ma occorreva qualcos'altro.
120
Capitolo 14 Una storia annodata
14.1
La teoria dei nodi: un percorso storico- didatticomatematico
Ogni giorno prima di uscire di casa ci allacciamo le scarpe, questo semplice gesto può sorprendentemente nascondere in se una teoria matematica: la Teoria dei nodi.
Trattare in maniera approfondita l'argomento implicherebbe la
realizzazione a sé stante di un libro, cercherò quindi di fornire un percorso di attitudine più storica che geometrico- topologica riguardo l'argomento. Che cos'è un nodo? In maniera elementare lo si può pensare come una curva chiusa.
Di un nodo un matematico si può domandare: è davvero annodato?
Se rappresentiamo in un foglio la proiezione dell'ombra di una corda annodata istintivamente si potrebbe pensare che qualsiasi scarabocchio un po' contorto fatto da una linea che si interseca ripetutamente prima di chiudersi sia annodata. Ma l'esempio creato dal matematico Thistlethwaite confuta questa frettolosa ed istintiva risposta. Come possiamo allora veri care che una curva tracciata sia eettivamente un nodo? Altra domanda importante per un matematico: quando un nodo è equivalente ad un altro? Cioè un nodo può essere deformato no ad assumere la forma dell'altro? Quando si riesce a scioglierlo? Alessandro Magno risponderebbe sempre, infatti fu proprio lui a sciogliere il leggendario nodo gordiano. A Gordio di Fregia il carro di re Mida era legato al suo giogo da un nodo tanto stretto e complicato, che si diceva che colui che fosse riuscito a scioglierlo sarebbe diventato re del mondo intero. Nel 333 a.C. Alessandro Magno giunse a Gordio e sciolse il nodo tagliandolo con la spada. Il problema rimase dunque insoluto. Riformulando in maniera più intelligente la domanda diremo: si riesce sempre a sciogliere un nodo senza tagliarlo? La risposta è no, ma per riceverla dovremmo attendere il 1910. 121
Il non-nodo di Thistlethwaite
14.2
Le origini della teoria dei nodi: sbrogliamo
la matassa
Nel 1771 Alexandre-Théophile Vandermonde (1736-1769) scrisse il primo saggio sulla teoria matematica dei nodi, riconoscendoli come oggetti di una geometria di posizione, ignoravano cioè dimensioni e calcolo delle qualità.
William Thomson, meglio conosciuto come Lord Kelvin (1824-1907), riportò l'interesse alla teoria dei nodi ipotizzandola come possibile struttura della materia, chiese allora aiuto all'amico Peter Guthrie Tait (1831-1901) che assieme al reverendo Penyngton Kirkman(1806- 1895) cercò di catalogarli.
Pubblicarono una tavola contenente nodi non alternati con un
numero inferiore e pari a 10 incroci.
Intanto le teorie di Lord Kelvin a
proposito della struttura dell'atomo erano già state confutate.
L'interesse per l'argomento non si spense mai tra i matematici e nel 1910 Max Dehn diede una descrizione algebrica dei nodi, dimostrando così che non tutti i nodi si possono sciogliere, riducendoli al nodo nullo (cerchio) mediante opportune deformazioni e senza romperli.
Nel 1928 James Waddell Alexander(1888-1971) introdusse un polinomio che prende il suo nome: il polinomio di Alexander che tiene conto del modo in cui avvengono le disposizioni degli incroci. Il polinomio assicurava che se due nodi possedevano due dierenti polinomi allora anche i nodi erano dierenti, ma purtroppo due nodi con lo stesso polinomio potevano essere diversi.
Alla ne degli anni Sessanta del Novecento John Horton Conwey (1937) introdusse due operazioni che potevano servire da base come invariante del nodo: ip e smoothing.
Una sorta di taglia e incolla per cambiare
incroci o per scioglierli.
Vaughan Jones (1952), dallo studio delle algebre di von Neumann, arrivò indirettamente alla teoria dei nodi fornendo un ulteriore strumento di valutazione dei nodi: il polinomio di Jones. Seppur più potente del polinomio Alexander, quello di Jones non fornisce una classi cazione completa, per esempio non distingue un nodo sinistrorso da uno destrorso. Questo particolare problema venne risolto nel 1985, quando venne alla luce il polinomio HOMFLY(PT): composto dalle iniziali di 6 studiosi che indipendentemente gli uni dagl'altri arrivarono alla stessa conclusione.( Hoste, Ocneanu, Millet, Freyd, Lickorish, Yetter,( Przytycki e Traczyk)). Più potente dei precedenti ma non ancora perfetto.
122
14.3
La chiusura delle trecce: il polinomio Alexan-
der
Esistono vari tipologie di strutture con corde e la principale distinzione è tra nodi, links e braids (trecce).
Dalla teoria delle trecce, sviluppata dal matematico Emil Artin (18981962), James Waddell Alexander sviluppò il suo polinomio considerando i nodi come delle trecce chiuse.
14.4
I diagrammi piani dei nodi:
Kurt Reide-
meister
Kurt Reidemeister fornì un metodo per rappresentare semplicemente un nodo, fornendo la proiezione sul piano.
L'uso sempre più frequente del calcolatore fornì un grande aiuto per l'applicazione dell'algoritmo di Wolfgang Haken (1928), che permetteva di scoprire se un nodo poteva sciogliersi.
14.5
L'aritmetica dei nodi: la scomposizione in
fattori primi
Nel 1949 Horst Schubert dimostrò il teorema della scomposizione di un nodo in fattori primi.
La somiglianza tra l'insieme dei nodi dotato del-
l'operazione di composizione (consiste nel giustapporre i nodi unendo i capi) e l'insieme dei numeri interi positivi dotato dell'operazione di prodotto ha suscitato parecchie speranze: si possono pensare i nodi come rappresentazione geometrica dei numeri?
14.6
Piccoli interventi chirurgici: John Conway
e il DNA Vaughan Jones
Attraverso il ip e lo smoothing, due operazione pratiche che si possono eettuare nel nodo e più precisamente nel diagramma dei nodi, John Conway poteva far cambiare aspetto e tipo ai nodi, potendoli anche trasformare in link
Il dna,lungo lamento di circa un metro di geni ripiegato su se stesso che risiede nel nucleo di una cellula del diametro di 5 milionesimi di metro, eettua le stesse identiche operazioni di ip e smothing nell'operazione di topo-isomerasi (enzimi specializzati nella duplicazione e nell'impacchettamento).
Quando il DNA si replica, si divide in due copie identiche: 123
il problema è capire come questo possa venire in maniera e ciente, visto che già l'analoga divisione dei li che compongono una corda produce complicati annodamenti.
Mentre gli invarianti di Alexander non erano in grado di arontare i ripiegamenti del DNA, risultati interessanti in questo campo vengono espressi dagli invarianti di Jones. Nol solo nella biologia ma soprattutto nella sica possiamo ritrovare i maggiori sviluppi e nuovi impulsi del polinomio di Jones.
Fu proprio l'interpretazione sica del polinomio a fornire una
spiegazione del tutto elementare degli invarianti, grazie ad uno strumento della sica teorica moderna, il bracket di Kauman.
14.7
Sviluppi futuri: la teoria dei nodi e la teoria
delle stringhe
I nodi sono oggi di attualità grazie alla teoria delle stringhe (dall'inglese corde), che dovrebbero essere i costituenti ultimi della materia, e di cui le particelle elementari sarebbero modi di vibrazione in spazi multidimensionali.
Molte delle idee matematiche della teoria delle stringhe hanno
radice nei lavori di Edward Witten (1951) che trovò insospettate relazioni con il mostro di Fischer-Griess in teoria dei gruppi, i polinomi di Jones in teoria dei nodi e gli spazi esotici di Donaldson in topologia.
14.8
Testi di riferimento:
[Liv4] Mario Livio:
Dio è un matematico, La scoperta delle formule
nascoste dell'universo, Rizzoli, Milano, 2009 (cap 8)
[SOS] Alexei Sossinsky: Nodi, Genesi di una teoria matematica , Bollati Boringhieri Scienze, Torino, 2000
Letture più speci che vengono fornite dalla bibliogra a di Sossinky nel libro Nodi, Genesi di una teoria matematica
124
Capitolo 15 L'irragionevole e cacia della matematica 15.1
La sfera di cristallo: accuratezza ed e cacia
predittiva della matematica Uno degli aspetti che aascina di più della matematica è sicuramente il fatto che si possa applicare alla realtà.
Anzi, non solo si può descrivere la realtà
conosciuta per mezzo della matematica, ma in certe occasioni è la matematica stessa ad essere capace di predire la realtà futura. Sono sbalordito della precisione con cui la Natura danza sulle note del motivetto che abbiamo scribacchiato con noncuranza cinquantasette anni fa, e da come sperimentatori e teorici riescano a misurare e calcolare la sua danza no a una parte per trilione Con queste parole, il sico e matematico Freeman Dyson (1923) esprime tutto il suo stupore di fronte alla matematica e alla sua accuratezza. L'elettrodinamica quantistica o QED, dall'inglese "quantum electro-dynamics" è una teoria quantistica del campo elettromagnetico che include la teoria della relatività ristretta di Albert Einstein (1879- 1955).
La QED descrive tutti i
fenomeni che coinvolgono particelle elettricamente cariche interagenti per mezzo della forza elettromagnetica, ed è stata de nita il gioiello della sica per le sue predizioni estremamente accurate di quantità come il momento magnetico 2
3
anomalo del muone , e lo spostamento di Lamb-Retherford
1
dei livelli energetici
dell'idrogeno.
1 Misura la forza con cui un elettrone interagisce con un campo magnetico 2 Un muone (dalla lettera greca m usata per rappresentarla, che, in ambito scienti co)
è una
particella fondamentale con carica elettrica negativa e uno spin semi-intero di 1/2.
3 In
sica, lo spostamento di Lamb, dal nome del suo scopritore Willis Lamb (1913- 2008),
è una piccola dierenza di energia tra i due livelli energetici dell'atomo di idrogeno.
125
Nel 2006 un gruppo di sici di Harvard riuscì a calcolare il momento con una precisione pari a otto parti per trilione. La cosa che sbalordisce di più è il fatto che i due risultati coincidono perfettamente. L'accuratezza matematica diventa quasi incredibile. Questo non è che un semplice esempio del potere predittivo della matematica. Sono molte le teorie siche basate inizialmente su oggetti non ancora scoperti che poi risultano esistere realmente. Questa è la storia di tre particelle chiamate bosoni
W+ , W − e Z ,
scoperti nel 1983 durante una serie di esperimenti, ma già
ipotizzati vent'anni prima dai sici Steven Weinberg (1933), Sheldon Glashow (1932) e Abdus Salam (1926- 1996) nella loro teoria elettrodebole. Stessa sorte è toccata alle onde elettromagnetiche, scoperte del sico tedesco Heinrich Hertz (1857- 1894) vent'anni dopo che la teoria elettromagnetica classica di James Clerk Maxwell (1835- 1879) prediceva come i campi elettrici o magnetici generino onde che si propagano. C'è qualcosa di meraviglioso in tutto ciò, la scienza stupisce e continua a stupire ogni giorno di più. Tale meraviglia venne espressa dal sico Eugene Wigner (1902- 1995) : Il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente e cace nelle scienze naturali [...] un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo.
15.2
La mente umana e la matematica: inven-
zione o scoperta? Rispondere se la matematica è una invenzione o una scoperta non è una cosa semplice. Fior ore di loso , matematici, sici e molti altri hanno tentato di dare una risposta a questo dubbio amletico: invenzione o scoperta? Quello che intendo fare in questo paragrafo è fornire alcune di queste opinioni sul tema, per poter in parte cercare di capire se si può giungere a una risposta. Il neurobiologo Jean- Pierre Changeux (1936) si interroga su questo fatto: Come può uno stato sico, interno al nostro cervello, rappresentare un altro stato sico esterno ad esso? Secondo gli scienziati cognitivi contemporanei la matematica è un invenzione: se infatti quest'ultima fosse anche intesa totalmente come frutto di scoperte, sarebbero state compiute da matematici umani per mezzo dell'uso del loro cervello. Scrive Jean- Pierre Changeux in Pensiero e materia : La ragione per cui gli oggetti matematici non hanno nulla a che fare con il mondo sensibile riguarda [...] il loro carattere generativo, la loro capacità di produrre altri oggetti. Il punto che qui va evidenziato è che esiste nel cervello ciò che si può chiamare un compartimento cosciente, una sorta di spazio sico per la simulazione e la 126
creazione di nuovi oggetti [...]. Per alcuni aspetti, questi nuovi oggetti matematici sono come esseri viventi: al pari degli esseri viventi, sono oggetti sici suscettibili di un'evoluzione molto rapida; diversamente dagli esseri viventi, con la particolare eccezione dei virus, si evolvono nel nostro cervello Un' ulteriore aermazione pro invenzione la troviamo nel saggio Da dove viene
la matematica del cognitivista George Lakoe (1941) e dello psicologo Rafael Núñez: La matematica è una parte naturale dell'essere umano. Ha avuto origine dai nostri corpi, dai nostri cervelli e dalle nostre esperienze quotidiane nel mondo. La matematica è un sistema di concetti umani che fa un uso straordinario degli strumenti ordinari della cognizione umana [...]. Gli essere umani sono stati i responsabili della creazione della matematica, e abbiamo sempre la responsabilità di conservarla e ampliarla. Il ritratto della matematica ha un volto umano. Di tutt'altro avviso è l'astro sico del MIT Max Tegmark (1967) che breve ed incisivo aerma: Il nostro universo non è soltanto descritto dalla matematica: è la matematica. Questa versione di matematica come scoperta che si avvicina alla concezione platonica è pienamente condivisa dal Premio Nobel per la sica David Gross (1941): Un punto di vista che, per la mia esperienza, non è insolito tra i matematici creativi- cioè che le strutture matematiche a cui riescono ad arrivare non sono creazioni arti ciali della mente umana, ma possiedono piuttosto una loro naturalezza, quasi fossero reali quanto le strutture create dai sici per descrivere il cosiddetto mondo reale. I matematici, in altre parole, non stanno inventando una nuova matematica, la stanno scoprendo. Se è così, allora forse alcuni dei misteri che siamo andati esplorando [l'irragionevole e cacia] sono resi un po' meno misteriosi.
Se la matematica riguarda
strutture che costituiscono una parte reale del mondo naturale, reali quanto i concetti della sica teorica, allora non è sorprendente che sia uno strumento e cace per analizzare il mondo reale. La posizione dei matematici Philip Davis (1923) e Reuben Hersh (1927) nel loro libro L'esperienza matematica è decisamente meno estremista e in maniera simpatica concorda entrambe le ipotesi: La maggior parte di coloro che scrivono sull'argomento sembrano concordi nel dire che il tipico matematico di professione è platonista 127
[considera la matematica come scoperta] nei giorni feriali e un formalista [considera la matematica un'invenzione] la domenica. Cioè quando fa matematica è convinto di avere a che fare con una realtà oggettiva di cui sta cercando di determinare le proprietà. Ma poi, quando viene s dato a fare un resoconto loso co di questa realtà, trova più facile ngere che dopotutto non ci crede. Perciò, contrariamente alla precisione e all'accuratezza che contraddistinguono le aermazioni in matematica, qui siamo di fronte a una divergenza di opinioni più tipica dei dibattiti loso ci o politici. Dovremmo sorprenderci?
No davvero.
Chiarire se la matematica
sia stata inventata oppure scoperta è una questione che non attiene alla matematica. [...] Di conseguenza, forse i matematici non sono i meglio attrezzati per rispondere a questa domanda. Mario Livio, Dio è un matematico Ragionevolmente pensata dalla mente umana ma irragionevolmente applicabile alla realtà la matematica è un mondo meraviglioso che non smetterà mai di stupire e far parlare di sé.
128
Bibliogra a [1] B. Brechet, Vita di Galileo, Enaudi, Torino 1963 [2] C. Boyer, Storia della matematica, Oscar saggi Mondadori, Milano 1990 [3] R. Cartesio, Il metodo, a cura di Marco Chiauzza, Paravia, Torino 2003 [4] R. Courant, H. Robbins, Che cos'è la matematica? Introduzione elementare
ai suoi concetti e metodi, Bollati Boringhieri, Torino, 1971 [5] W. Dunham, Viaggio attraverso il genio,i grandi teoremi della matematica, Zanichelli, Bologna 1992 [6] B. Ernst, Lo specchio magico di M.C. Escher, Taschen, Köln, 1992 [7] D. R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach:
un'Eterna Ghirlanda Brillante,
una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito di Lewis Carroll, Gli Adelphi, Milano, 1984 [8] M.
Livio,
Dio è un matematico,
la scoperta delle formule nascoste
dell'universo, Rizzoli, Milano 2009 [9] M. Livio, La sezione aurea, storia di un numero e di un mistero che dura
da tremila anni, Bur, Milano 2003 [10] M. Livio, L'equazione impossibile, come un genio della matematica ha
scoperto il linguaggio della geometria, Bur, Milano, 2005 [11] P. Odifreddi, Il diavolo in cattedra, la logica da Aristotele a Gödel, Einaudi, Torino, 2003 [12] P. Odifreddi, La matematica del Novecento, dagli insiemi alla complessità, Piccola Biblioteca Enaudi, Torino 2000 [13] L. Pacioli, De divine Proportione, Silvana Editoriale, Milano 1986 [14] Platone, La repubblica, a cura di Giuseppe Lozza, Mondadori, Milano, 1990 [15] G. Reale, A. Dario, Storia della loso a, La scuola, Brescia, 1997 129
[16] A. Sossinsky: Nodi, Genesi di una teoria matematica , Bollati Boringhieri Scienze, Torino, 2000 [17] N. Tartaglia, Euclide megarense acutissimo philosopho, solo introduttore
delle scientie mathematice. Diligentemente rassettato, et alla integrita ridotto, per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea brisciano. Secondo le due tradottioni. Con vna ampla espositione dello istesso tradottore di nuouo aggiunta, www.e-text.it [18]
Sitografia: • http://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale • http://it.wikiquote.org/wiki/Pagina_principale • http://milan.milanovic.org/math/english/golden/golden1.html • http://www.cicap.org/new/articolo.php?id=101948 • http://lnx.matematicamente.it/storia/Di_Rienzo-La_Divina_Proportione.pdf • http://www.zen-it.com/symbol/geo/get.htm • http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/ TassellaturePenrose/TassellaturePenrose.htm
• http://dsg.uniroma1.it/monti/ar-tetcss/testi/Appunti%20sulla%20Sezione %20Aurea.pdf
• http://fds.mate.polimi.it/ le/1/File/Montevarchi/Presentazione_II.pdf • http://www.google.it/search?hl=it&client= refox-a&channel=s&rls=org. mozilla:it:o cial&hs=9KC&q= llotassi+e+sezione+aurea&start=10&sa=N
• http://www.mat.uniroma1.it/didattica/ssis/laboratorio-di-informatica/0809/ BrunoBrunottiCrocenziLama/ le_html/scienze_naturali.html
• http://www.paciolo-dannunzio.it/web/Progetti%20archiviati/Sezione%20aurea/ botanica1.htm
•
http://www.corriere.it/salute/cardiologia/09_dicembre_20/
sezione-aurea-segreto-pressione-perfetta_b10c7fcc-ed46-11de-9ea500144f02aabc.shtml
130
