La posición de una partícula que se mueve en línea recta está defnida por la relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; () la posición, velocidad y aceleración en t = ! s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = " s ; (d) el despla#amiento entre t = 0 y t = $ s;
Las cantidades solicitadas son
%n t = = 0,
%n t = = ! s,
%n t = = " s,
%n t = = $ s,
= x =
0, v = = 0,
= x =
&$ m, v = =
= x max x = max = = x =
a =
&! m's !
= v max max =
&! m's,
! m, v = = 0,
0, v = = $ m's,
a =
a =
a =
0
&! m's !
!" m's !
Anexos
1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg desde una altura de 60 metros. Calcular a! el tiempo "ue tarda en llegar al suelo# $! la velocidad vertical"ue lleva a los 2 segundos# c! %a distancia horizontal a la "ue cae la piedra. &atos
'(rmulas
)* + 25 m/seg
a! t caer + ,2h/g
h + -60 metros
Sustituci(n t caer + ,2 -60 m!/-. m/seg2.
$! )2 seg+ g t
t caer = 3.5 seg
g+ - . m/seg2. )2seg + -. m/seg2x 2 seg a! t caer + $! )2 seg+ c! d*+ 87.5
c! d*+ )* t
V2 seg= - 19.6 m/seg
d*+ 25 m/seg x .5 seg dH = metros.
2.- na pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/seg 3 cae al suelo despu4s de 5 segundos Calcular a! A "u4 altura se encuentra la l a ventana $! A "u4 distancia cae la pelota
&atos
'(rmulas
)* + 10 m/seg
Sustituci(n
a! h + gt2/2
2 a! h + -. m/seg x 5 seg!2
t caer + 5 seg
2 $! d* + )*tcaer
g + -. m/seg2.
a! h = -122.5 metros
a! h +
$! d* + 10 m/seg x 5 seg
$! d* +
$! dH =
50
metros.
.- n avi(n vuela horizontalmente con una velocidad de 00 m/h 3 de7a caer un pro3ectil desde una altura de 500 m respecto al suelo. Calcular a! Cu8nto tiempo transcurre antes de "ue el pro3ectil se impacte en el suelo $! 9u4 distancia horizontal recorre el pro3ectil despu4s de iniciar su ca:da &atos
'(rmulas
)* + 00 m/h
a! t caer + ,2h/g
h + -500 m
$! d* + )* t caer.
g + -. m/seg2. Sustituci(n 3 resultados. a! tcaer+
a! tcaer + ,2 -500 m!/ -. m/seg2.
$! d* +
a! tcaer + 10.10 seg.
Conversi(n de m/h a m/seg 00 m x 1000 m x 1 h + 222.22 m/seg h
1 m
600 seg
$! d* + 222.22 m/seg x 10.10 seg + 2244.42 m.
1.- n 7ugador le pega a una pelota con un 8ngulo de ;< con respecto al plano horizontal# comunic8ndole una velocidad inicial de 15 m/seg. Calcular a! e tiempo "ue dura en el aire# $! %a altura m8xima alcanzada# c! =l alcance horizontal de la pelota. &atos )o + 15 m/seg ;< >+ ;< 0.601 g + -. m/seg2.
'(rmulas )ov + )o sen > )* + )o cos > t aire! + - 2)ov/g
Sustituci(n )ov + 15 m/seg x sen )ov + 15 m/seg x )ov + .02; m/seg
t aire! +
h max+ 0.;6
h max + - )2ov/2g
)* + 15 m/se x cos ;<
d* + )* t aire!
d*+
)* + 15 m/seg x
)* + 11.; m/seg t aire+ - 2 .02; m/seg! -. m/seg2. t aire = 1.842 seg
h max + - .02; m/seg!2 + 2 - . m/seg2.! h max = 4.157 metros
d* + 11.; m/seg x 1.?2 seg dH = 22.06 metros
2.- n pro3ectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/seg si se desea "ue d4 en un $lanco localizado a 2500 metros# calcular a! =l 8ngulo con el cual de$e ser lanzado $! el tiempo "ue tarda en llegar al $lanco tiempo en el aire!. &atos )o + 200 m/seg d* + 2500 m g + -. m/seg2. a! >+ es
'(rmulas
Sustituci(n
- sen 2 >+ d*g
- sen 2 >+ 2500 m x- . m/seg2!. )o2.
200 m/seg!2.
)ov + )o sen >
sen 2 > + 0.612;
t aire!+ -2)ov g
2 > + 8ngulo cu3o seno 0.612;
$! t aire +
2 >+ ;.;6< θ= 18.88 Vo! = 200 m/seg x sen 1.<
)ov + 200 m/seg x 0.20+ 6?.6 m/seg t aire! + - 2 x 6?.6 m/seg + 13.18 seg
.- Cu8l ser8 la velocidad inicial con "ue se $atea una pelota de $eis$ol# si es golpeada con un 8ngulo de ?0< respecto a la horizontal# si la altura m8xima "ue alcanza es de 10.2 metros 3 su desplazamiento horizontal es de ?.62 metros &atos
'(rmula
)o +
d* + - )o2 sen 2 >
@ + ?0<
g
h max + 10.2 m
despe7ando )o tenemos
d* + ?.62 m
)o + ,d*g
g + -. m/seg2.
sen 2 >
Sustituci(n 3 resultado 2 2 2 )o + , ?.62 m x -. m/seg . + , ?;6.?;6 m /s .
sen 0
0.?
)o + 22 m/seg. - . m/seg2.
=n la igura anterior sean V0 = 160 "ies/s 3 0 = 53.1o. =n tal caso# Vox + Vo cos o = #160 "ies/s$#0.60$=96 "ies/s Vo% + Vo se& o = #160 "ies/s$#0.80$=128 "ies/s &eterm:nese la posici(n del pro3ectil 3 la magnitud 3 direcci(n de su velocidad cuando t + 2.0 s. •
x = #96 "ies/s$#2.0 s$=192 "ies % = #128 "ies/s$#2.0 s$-'#32 "ies/s$ #2.0 s $2 = 192 "ies !x = 96 "ies/s !% = 128 "ies/s - #32 "ies/s$ #2.0 s $ = 64 "ies/s ! = (!x2 ) !%2 = 115.4 "ies/s = arcta& 64 "ies/s = arcta& 0.667 = 33.7o 96 "ies/s
PROBLEMA Nº 1 Se dispara un proyectil desde el borde de un acantilado de 150 m con una !elocidad inicial de 1"0 m#s y con una inclinaci$n de %0º respecto a la &ori'ontal( despreciando la resistencia del aire calcular(
A( La distancia en horizontal desde el arma al punto de impacto del proyectil con el suelo.
B( La máxima altura sobre el suelo que alcanza el proyectil.
Soluci$n )amos a estudiar el mo!imiento &ori'ontal y !ertical por separado(
Movimiento vertical. El mo!imiento !ertical es un mo!imiento uni*ormemente acelerado( Eli+iendo el sentido positi!o del e,e y &acia arriba y situando el ori+en O en el arma obtenemos-
.$mo las ecuaciones del mo!miento uni*ormemente acelerado son-
Si sustituimos los !alores anteriores en estas ecuaciones obtenemos-
Movimiento horizontal. El mo!imiento &ori'ontal es un mo!imiento uni*orme( Eli+iendo en sentido positi!o del e,e / &acia la derec&a se tiene-
Sustituyendo estos !alores en las ecuaciones del mo!imiento uni*orme resulta-
A. Distancia horizontal. .uando el proyectil lle+a al suelo se tiene-
Si introducimos este !alor en la ecuaci$n del mo!imiento !ertical del proyectil resulta-
Sustituyendo el !alor de t 1221 s en la ecuaci$n 3 del mo!imiento &ori'ontal obtenemos-
B. Altura máxima. .uando el proyectil alcan'a la altura m4/ima se tiene )y0( Lue+o introduciendo este !alor en la ecuaci$n % del mo!imiento !ertical resulta-
La altura m4/ima sobre el suelo es-
PROBLEMA Nº Se dispara un proyectil conuna !elocidad de 30 m#s sobre un blanco B situado a 00 m por encima del arma A y a una distanci &ori'ontal de %00 m( 6espreciando la resistencia del aire calcular A. El valor del angulo de tiro ala.
Soluci$n Movimiento horizontal.
Situando el ori+en de coordenadas en el arma se tiene-
Sustituyendo este !alor en la ecuaci$n del mo!imiento &ori'ontal uni*orme resulta-
El tiempo empleado por el proyectil para recorrer una distancia &or'ontal de %00 m se obtiene &aciendo / i+ual a %00 m(
Movimiento vertical.
Sustituyendo estos !alores en la ecuaci$n dle mo!imiento uni*ormemente acelerado se tiene-
!mpacto del proyectil contra el blanco.
.uando / %00 m se &a de !eri*icar y 00 m( Sustituyendo este !alor de y y &aciendo t i+ual al !alor &allado anteriormente resulta-
.$mo
se tiene-
Resol!iendo esta ecuaci$n de se+undo +rado en t+/ resulta y
Por tanto
y
Se consi+ue alcan'ar el blanco con cual7uiera de estos dos 4n+ulos de tiro(
PROBLEMA Nº % El autom$!il A !ia,a &acia el este a la !elocidad constante de % 8m#&( .uando pasa por el cruce el autom$!il B arranca a %5 m al norte del cruce y se diri+e &acia el sur con una aceleraci$n constante de 1 m#s( .alcularA( La posici"n# la velocidad y la aceleraci"n de B relativas a cinco segundos despu$s de que A atraviese el cruce.
Soluci$n 9omamos unos e,es / e y con ori+en en el cruce de las dos calles y con unos sentidos positi!os respecti!amente &acia el este y el norte( Movimiento del autom"vil A.
Primero e/presamos la celeridad en m#s-
.omo el mo!imiento de A es uni*orme para cual7uier instante podemos escribir-
Movimiento del autom"vil B.
.omo el mo!imiento de B es uni*ormemente acelerado podemos escribir-
Para t 5 s tenemos
Movimiento de B relativo a A.
6ibu,ando el tri4n+ulo correspondiente a la ecuaci$n :A.ER obtenemos el m$dulo y la direcci$n lan'a y el sentido del !ector de posici$n de B relati!o a A(
Procediendo de modo similar &allamos la !elocidad y la aceleraci$n de B relati!a a A(
PROBLEMAS RES;EL9OS PROBLEMA Nº 1 ;n blo7ue de 00 lb descansa sobre un plano &ori'ontal( Encu
&acia la derec&a( El coe*iciento de ro'amiento
din4mico entre el blo7ue y el plano es
(
Soluci$nLa masa del blo7ue es-
.omo 0(5 N y y usando el &ec&o de 7ue las *uer'as 7ue act>an sobre el blo7ue son e7ui!alentes al !ector ma se tiene-
?1@
?@
6espe,ando N de ?@ e incorporando el resultado en ?1@ obtenemos-
Por tanto-
PROBLEMA Nº ;n blo7ue de "0 8+ descansa sobre un plano &ori'ontal( Encu
a la derec&a( El coe*iciente de ro'amiento
din4mico entre el blo7ue y el plano es
Soluci$nEl peso del blo7ue es-
Notamos 7ue ya y usando el &ec&o de 7ue las *uer'as 7ue act>an sobre el blo7ue son e7ui!alentes al !ector ma se tiene-
? 1 @
?@ 6espe,ando N de ?@ e incorporando el resultado en ?1@ obtenemos-
Por tanto- P 5%2 N(
x
2
=
6t
3
−
t
v
dx =
dt
=
12t
2
−
a
3t
2
dv =
dt
d x =
2
dt
=
12 − 6t
