Equações Diferenciais EDI 2010/2
Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Fernando Deeke Sasse CCT - UDESC
Transformadas de Laplace e suas inversas Transformadas diretas e inversas simples
Transformadas de Laplace de funções são implementadas no Maple através dos comandos da biblioteca inttrans: Calculemos, por exemplo, a transformada de Laplace de
,
: (1.1.1) (1.1.2)
A transformada de Laplace inversa é dada como no seguinte exemplo:
(1.1.3)
(1.1.4)
A função degrau unitário é usada no exemplo seguinte: (1.1.5)
(1.1.6)
(1.1.7)
(1.1.8)
Usaremos agora a delta de Dirac: (1.1.9) (1.1.10)
Expansão em frações parciais
É muitas vezes útil ajudar o Maple a calcular transformadas inversas. Consideremos a seguinte transformada:
(1.2.1) (1.2.2)
(1.2.3)
Neste ponto, inversa:
e
representam a mesma função. Notemos entanto o que acontece no cálculo da (1.2.4) (1.2.5)
Ou seja, enquanto a primeira inversa retornou a expressão original a segundo resultou num desastre. É uma boa prática, antes de fazer mandar o Maple calcular a inversa fazer a expansão em frações parciais: (1.2.6)
(1.2.7)
Notemos que isso funciona somente se a transformada de Laplace é uma razão de polinômios. Se há deslocamentos temporais, representados por exponenciais de na transformada, a conversão não funcionará. RootOf, evalf, evalc, Re, Im
Em muitas ocasiões, especialmente no cálculo de inversas associadas a equações diferenciais, podemos encontrar expressões do tipo
O cálculo direto da inversa resulta em (1.3.1)
Uma forma mais útil é obtida fazendo-se uma avaliação de ponto flutuante: (1.3.2)
A inversa que queremos é dada pela parte real desta expressão, ou seja, (1.3.3)
A parte imaginária deve ser nula. De fato, (1.3.4)
Resolvendo EDOs com a transformada de Laplace Exemplo 1: EDO de primeira ordem
Apliquemos agora a transformada de Laplace para resolver uma EDO. Por exemplo, consideremos o problema de valor inicial , Podemos resolver esta equação do modo usual:
(2.1.1)
(2.1.2)
Resolvamos agora este PVI utilizando transformada de Laplace. Inicialmente aplicamos a
transformada a toda equação:
(2.1.3)
Para expressar essa equação de forma mais legível, definimos (2.1.4)
Resolvendo esta equação para obtemos. (2.1.5)
A solução pode agora ser obtida através da transformada inversa: (2.1.6)
Podemos fazer um gráfico do solução:
1
0
5
10
15
20
t
Exemplo 2: EDO de segunda ordem
Consideremos agora uma EDO de segunda ordem: ,
,
.
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
Esta equação pode ser resolvida diretamente no Maple da seguinte forma:
(2.2.7)
1
0
1
2
3
4
5
t
Sistemas de equações diferenciais Exemplo 1: Duas equações
Consideremos o sistema de equações diferenciais
,
.
6
7
8
(3.1.1)
(3.1.2)
(3.1.3)
(3.1.4)
(3.1.5)
Resolvemos agora o sistema linear: (3.1.6)
(3.1.7)
(3.1.8)
(3.1.9)
14 12 10 8 6 4 2 0
5
10
15
t
Um modo equivalente e direto de resolver este sistema é o seguinte: (3.1.10) (3.1.11)
(3.1.12)
(3.1.13)
(3.1.13)
14 12 10 8 6 4 2 0
5
10 t
Exemplo 2: Três equações
Consideremos agora o seguinte problema de valor inicial:
e ,
,
Resolvamos este problema usando transformadas de Laplace.
15
(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
(3.2.4)
(3.2.5)
(3.2.6)
(3.2.7)
(3.2.8)
10
0
1
2
t
x
y
z
Este mesmo resultado pode ser obtido diretamente no Maple da seguinte forma:
(3.2.9)
(3.2.10)
(3.2.11)
(3.2.12)
10
0
1
2
t
x
y
z
