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Volumen 7
La enseñanza de la estadística Editado porRobert Monis
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La enseñanza de las ciencias básicas
Estudios en educación matemática La enseflanza de la estadística
Volumen7
Editado porRobert Morris
Unesco
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Traducción: Oscar Dodera Revisión del texto: Oscar Dodera
Publicado en 1989 por la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura, UNESCO - 7, place de Fontenoy, 75700 París - Francia Impreso en 1990 por la Oficina Regional de Ciencia y Tecnología de la UNESCO para América Latina y el Caribe - Montevideo - Uruguay ISBN 92-9089416-9 Versión inglesa: ISBN 92-3-102453-l Q uNEsc
1989
Prefacio
La necesidad de tomar decisiones basadasen datos inciertos o incompletos hace cada vez más imprescindible al conocimiento de la estadística. A nivel escolar, se esta introduciendo la estadística en las ciencias físicas, biológicas y sociales. Dadoque las habilidades de cálculo se hacen menos importantes como consecuencia de un empleo más amplio de las calculadoras y de los microcomputadores, puede prestarse una mayor atención a las aplicaciones de la matemática a problemas de la vida real que obligan al estudiante a recoger y a analizar sus propios datos. Las técnicas estadísticas permiten darle sentido a una masa de datos, calculando varias medidas relativas a ellos, figurando entre las más conocidas la desviación media y la desviación estándar, medidas que posibilitan una descripción del conjunto total de datos. En este volumen de Estudios en Educación Matemática se examina la enseñanza de la estadística dentro del campo total de la educación, pero concentindose en lo que concierne a las escuelas de nivel primario y secundario. Su contenido se basa en temas seleccionados del Segundo Congreso Internacional sobre la Enseñanza de la Estadística (sigla inglesaICOTS 21, realizadoen Canadáenagostode 1986. Selessolicitóalosautores que redactaran de nuevo los trabajos que hablan preparadopara losespecialistasqucasistían al Congreso, teniendo en cuenta los lectores a los que se dirigla este volumen: educadores matemáticos y otras personas menos especializadas, tales como personal superior del gobierno y encargados de elaborar la polftica educativa, que necesitan comprender las cuestiones vinculadas a la educación matemática. La UNESCO desea expresar su agradecimiento al editor de Estudios, Robert Morris y a los distintos autores que prestaron su colaboración, a la UNESCO y a los organizadores de ICOTS 2 con la redacción de sus trabajos para este séptimo volumen de Estudios en Educzti Matemática Como es natural, el editor y los autores de los trabajos son responsables por la elección y la presentación de las cuestiones contenidas en este libro, asl como por las opiniones que se expresan en él, las que no son necesariamente, las de UNESCO y que no comprometen a la Organización.
Contenido
Introducción
.. .......................... ... .. .. .................... ......... ....... ....................................... .. .9
iPor quC debe enseriarse estadística en el mundo actual?, por Edlacobsen ................... .............. ....... .................................... ... ........................ ..... 15
Parte 1. EstadMica en Iu educacidn grimaria 1.
2. 3. 4.
Análisis exploratorio de datos en las aulas de escuela primaria combinación de trazado de gtificas y de formación de conceptos, por Andrejs Dunkels .... ...................... ..... ............................................. ....... ......27 La comprensión de la aleatoriedad por los alumnos escolares, por David Creen .. ................... ....... ...................... ..... .............. ................... .......35 Empleo de juegos de estrategia para evaluar y desarrollar la comprensión de probabilidad por los estudiantes, por Thomar L. Schroeder......... ............ ..49 Una comparación del currículo de estadística para nifios en el Reino Unido, en Canadá y en los Estados Unidos de América, por L.ionel Pereira-Mendoza .. ............................. ......... ....... ........ ....... .. .......... ....59
Parte 2. Estadfstica en Zaeducacih secundaria Estadktica y probabilidad para alumnos de 12 a 16 afios de edad, 5. 6. 7. 8. 9.
por Wim Kerhofs .. ....... ,.... .. .................................. .. ... ................ ............... .. ..... 69 Alfabetización cuantitativa en los Estados Unidos, por Gad BuwiU .. ............ .............. ...................... ...................................... ..... ....89 Empleo de la simulación para construir modelos de problemas del mundo real, por Beh Boyan ............................... ....... .............. 103 Enseñanza y aprendizaje apropiados de la estocástica en los grados medias (5-lo), por Hans Sch@ .... ....................... 109 La ensefianza de la suma de errores cuadrhicos y algunas de sus aplicaciones en la escuela secundaria inferior, p~rJch E. Bernard ...... 127
10. 11. 12.
....... .... .......... ..... 139 Proyecto CAM - e,g&tica en acción, por Brkm Phillip~ La enseñanza de la probabilidad y de la estadística en la educación secundaria general, por Don& 1. Dessurc....... ........................ ......... .......... .. 145 Cómo ensefiar conceptos estadísticos a alumnos de aprendizaje lento, por A@rre&t Afrek ........................................................ 153
Parte 3. Conceptos tehicos 13.
14. 15. 16.
Los contra-ejemplos necesarios para una enseñanza y un aprendizaje efectivos de la teoria de probabilidad, porJordan M. Stoyanou ....................................................... ................ ... ....... 171 Inferencia en la incertidumbre vía probabilidades condicionales, por Ruma Fuk .......................... .................................................. .......... .. ........ 181 Perspectivas educativas del análisis exploratorio de datos, por RoYBi& .............. .. ...................... ...................................... ................... 191 La interacción entre la practica de la enseñanza y las concepciones teóricas - Un modelo cooperativo de capacitación en servicio en estocastica para profesores de matemática (Grado 5-lo), por Heint: Stei&ing ............................... .............. .. ..... ............ 209
Parte 4. Estudio de casos 17. 18.
El Premio Anual de Estadística en el Reino Unido, por Anne S. Hawkins ................... .................................................. .............. 223 La enseñanza de la probabilidad y de la estadística en las escuelas obligatorias italianas, por Enricu Aureli Cutil.!o , Maria Perelli D‘Argenrio y Fortunato Pesarin ....... ....... ................................... 235
Nota final:
Una historia de la enseñanza de la estadística en la educación superior en Europa, 1660 a 1915, por Mm41 Gabriella Ottaviuni ....................... ... ................... ........... 247
Notas biogmficas ......... .......... .............. ..... ............................. ................ ................... 257
Introducción
La Segunda Conferencia Internacional sobre la Ensefianza de la Estadística, que tuvo lugar en Victoria, Colombia Bridnica, Canadá, del ll al 16 de agosto de 1986, abarcó todos los niveles educativos desde la escuela primaria a la universidad. Este volumen esta basado en varias contribuciones presentadas en aquella reunión, en particular las que se refieren a la enseñanza de la estadística en las escuelas primarias y secundarias. Se invitó a los expositores cuyos temas resultaban de relevancia para los niveles de educación que preocupan a la serie de Estudios en Educación Matemática, a desarrollar, como capftulos para este libro, los trabajos que hablan presentado en la conferencia. Y la medida en que sus contenidos resultan relevantes y útiles para los profesores de estadística de todo el mundo sedebe, enteramente, a la buena voluntad y a la generosidad de los autores de los capítulos que siguen. En términos generales, el contenido de este volumen sedivide en cuatro partes, a saber: estadística en la educación primaria, estadística en la educación secundaria, conceptos teóricos y dos casos de estudio. Se incluyen, tambien, dos temas que aparecen, en cierta medida, de catácter más general: “iPor qué debeenseñarse estadistica en el mundo actual?” en el que Ed Jacobsen presenta un punto de vista general, y una historia de la enseñanza de la estadística por Matia Gabriella Ottaviani. Este último, a diferencia delosotros capítulos, esta dedicado a presentar el desarrollo de la estadística en las universidades de Europa y de las Américas. Su contenido constituye una historia interesante, de ninguna manera irrelevante para la tarea de aquellos que actúan al presente como pioneros de su enseñanza en los niveles educativos inferiores y cuyos esfuerzos no han sido registrados, todavía, para la posteridad. La Parte 1 comprende cuatro contribuciones, tres de las cuales es& basadas, como es propio de la escuela primaria, en la metodologla del descubrimiento. La cuarta constituye un estudio comparativo de lo que seenseti al presente (y de lo que no seenseiTa) a alumnos de edades comprendidas entre 5 y ll afios en Canadá, en el Reino Unido y en los Estados Unidos de America. Los capítulos dedicados a la metodologla del “descubrimiento” incluyen un informe del éxito de Andrejs Dunkels en lograr que los nifios pequefios comprendan y utilicen diagramas de &-bol para presentar los datos traidos de sus hogares y recogidos entre ellos. Dunkels opina que en los primeros años resulta más importante la recolección de datos que el cálculo. Los resultados de David Creen se refieren al concepto
de “aleatoriedad” los que contrastan, en cierta medida, con los resultados de Piaget e Inhelder. El más sorprendente de sus resultados es la amplia variación en la captación conceptual la que, aparentemente, no está relacionada de forma especial con la edad o con la habilidad. El cree que el concepto de aleatoriedad está lejos de resultar un concepto trivial, que no es posible poder formarlo cabalmente sin ayuda, y que reclama, por ende, la intervención directa del maestro. Las exploraciones de Thomas Schroeder se refieren al campo de la probabilidad donde trató de descubrir la forma cómo podrían captar los niños de 10 y ll años algunas estrategias particulares que podrían conducirlos al éxito en un juego denominado “Captura”. Estas estrategias dependen, en efecto, de una comprensión intuitiva de lo que los adultos llaman “probabilidad”. De esta manera, mientras que la finalidad no era enseñar directamente el concepto, los resultados proporcionan una evidencia clara del desarrollo de la comprensión que los maestros podrían explotar exitosamente. La Parte 2 proporciona un informe de los desarrollos recientes en la enseñanza de la estadística en Australia, la República Federal de Alemania, los PaísesBajos y los Estados Unidos. El informe se refiere únicamente a estudiantes de escuela secundaria e incluye tanto a alumnos de aprendizaje lento como a otros que carecen de talento particular para manejar material matemático. La contribución de Wim Kerkhofs describe los materiales producidos por el Instituto Nacional para el Desarrollo del Currículo en los PafsesBajos, los que forman parte de un conjunto más amplio titulado “Matemática para el Hombre Común”. En este capitulo se reproducen las hojas de trabajo típicas y se discuten sus implicaciones pedagógicas, y resulta interesante compararlos con los materiales estadísticos recientemente producidos en los Estados Unidos bajo los auspicios del proyecto de Alfabetización Cuantitativa, descripto en forma muy vívida por Gail Burrill. El desarrollo del concepto de probabilidad a partir de un punto de vista empírico presenta, aquí, un contraste refrescante con los tradicionales lanzamientos de monedas y dados. Se emplean, además, números aleatorios para simular problemas que surgen en el mundo real. Beth Bryan describe este enfoque, al igual que los otros de empleo más frecuente, en una contribución que suplementa la de Gail Burrill. Desde el punto de vista de Hans Schupp, la estocástica es un programa que vincula los datos estadísticos a las aplicaciones de la eorla de probabilidades. Y sediscuten suscriterios para desarrollar un curso que resulte apropiado para los grados medios de educación, bajo cuatro rubros: estructura, las herramientas matemáticas necesarias para resolver problemas estocásticos, la relevancia del trabajo con problemas que se presentan en la vida diaria y aquellos criterios que se relacionan con las percepciones de los estudiantes del curso. E invoca una secuencia de aprendizaje que presenta seis fases:experimentación, cuantificación, cálculo, caracterización, sistematización y evaluación. Se discute cada fase bajo los rótulos de contenido, fundamentos y aquellos conceptos que son centrales para la fase considerada. Y concluye este penetrante y motivador capítulo presentando varias sugerencias relativas a proyectos que podrian realizarse al final del curso de sexto año. La contribución que aporta John Bernard proporciona un informe relativo a un intento personal para enseñar la idea de mínimos cuadrados a alumnos de escuela secundaria inferior y de introducirlos a susaplicaciones. Su enfoque, realizado mediante acertijos, en los que las conjeturas tenlan que ser hechas en la oscuridad, podrían aparecer, a primera vista, como una vía improbable para el éxito de lo propuesto. Pero en realidad, y como ~1 lo muestra, su enfoque abre una ventana, para los alumnos, relativa a la media, conduciéndolos a descubrir, por sí mismos, la importancia de calcular la suma de los cuadrados
Introducción
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de las desviaciones de la media. El Proyecto CAM, que describe Brian Phillips, constituye un intento, patrocinado por el Instituto Australiano de Ingenieros, para poner de manifiesto la relevancia de la matemática enseñada en las escuelas secundarias para las necesidades de los que trabajan en la industria. Este proyecto tiene una componente de estadfstica cuyos métodos aparecen ilustrados por dos investigaciones: una relativa a la seguridad en las rutas y la otra relativa a las actitudes de los estudiantes para aprender matemática. La enseñanza de la probabilidad y de la estadística a nivel general de escuela secundaria que describe Donald Dessart, surge en base a un requerimiento del Estado de Tennessee que exige que para graduarse de la escuela secundaria, los estudiantes deben justificar que han seguido con éxito un curso de matemática durante dos años como mínimo. Y se exigió un curso ad-hoc diseñado con la finalidad de adaptar algunos de los materiales producidos por el Proyecto de Recursos Matemáticos de la Universidad de Oregón. Estos materiales incluían propuestas para la enseñanza de probabilidades y de estadística. Y en este capítulo se describen siete ejemplos relativos a proyectos que reclaman la toma de decisiones, una apreciación de los papeles de la media y de la dispersión de datos, el conceptodedistribución normal, estimación en basea una muestra, simulación, aleatoriedad y probabilidad. Las experiencias de Albrecht Abele tratando de enseñar estadfstica a alumnos de aprendizaje lento, lo han convencido que el éxito puede resultar solamente de una rica experiencia obtenida enfrentando una variedad de problemas extraldos del medio ambiente, o practicando juegos de arar y participando en loterías. E ilustra su enfoque dando ejemplos de proyectos agrupados bajo tres amplios títulos: la recolección y representación de datos, cuestiones de cuantificación y muestreo aleatorio. La Parte 3 del volumen esta formada por una colección de cuatro contribuciones, en las que campea la erudición, destinadas en primer término, a la consideración de los docentes para que reflexionen sobre ellas. Jordan Stoyanov señala que los conceptos familiares se dan, en gran medida, por ya establecidos. Ejemplifica el concepto de independencia y considera las condiciones necesarias y suficientes para que varios acontecimientos sean independientes entre sl. Y mientras seda con frecuencia el caso en el que el teorema directo es cierto, y en el que el reciproco puede muy bien ser falso, situación que prueba de forma muy efectiva mediante varios “contra; ejemplos”. Por otra parte, Ruma Falk se muestra inclinada a bromear, pero lo hace con una gracia y un atractivo que ilustran algunas de las dificultades de la argumentación probabilística. Su discusión relativa al sexo de los hermanos gemelos ya la composicibn de una familia con dos hijos resulta profundamente reveladora de la necesidad de examinar las situaciones antes de dar un paso arriesgado. Rolf Biehler se esfuerza por ampliar las perspectivasde los docentes respecto al Análisis Exploratorio de Datos (sigla inglesa EDA) y está convencido que las dcnicas asociadas con este enfoque de los datos tienen camcter permanente, pero esta ansioso por evitar una confrontación entre tradicionalistas y vendedores del nuevo enfoque. De acuerdo con esta posición, lo presenta para dar un ejemplo del estilo y del propósito del EDA, dirigido a plantear cuestiones y a generar la discusión y lo hace mediante un estudio del crecimientode la población de su propia ciudad, de un análisis de las tasas de suicidios en quince paises y de la proporción de personal femenino del staff de varias facultades de ciencias de su propia universidad. Heinz Steinbring esta plenamente convencido de que la probabilidad y la estadística deben figurar en los cursos escolares y comienza preguntando por qué no es así en general. En este sentido apoya las razones dadas por Lennart Råde en el Volumen 4 de Estudios en
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Eduurcibn Matemática pero agregando otras, a saber, que la aleatoriedad y la indeterminación son ajenas a la creencia convencional de que la matemkica tiene el monopolio de la verdad y de la precisión. Y esprecisamente por esta razón que cree que debe enseñarse probabilidad y estadtstica y que deben enseñarse en contextos en los que el arar genera los datos y donde las conclusiones extrakdas de los datos pueden tener, solamente, carkter tentativo y estar sujetas a rmirgenes de error preestablecidos. Sefiala que una tal enseñanza presupone una basede conocimientos relativos al mundo que pocos docentes poseen, lo que requiere también, apoyo mediante materiales adecuados que puedan ser utilizados para la capacitación de docentes en servicio, materiales que éstos puedenutilizar,después,comofüentede ideasparalasclases. Y describe, conestafinalidad, cómo se organizó un equipo encargado de producir los materiales necesarios. Hasta el momento se han escrito tres libros, los que se revisaron y se volvieron a redactar en base a los resultados de los ensayos realizados, y hacia 1985 ya se hablan reciclado y entrenado en el uso de los libros producidos alrededor de 150 profesores. Y el proyecto continúa todavfa. Dos casos de estudio forman la Parte 4 de este volumen: el primero describe la competencia por el premio anual de estadística en el Reino Unido y el segundo, es un amplio informe relativo al desarrollo de la enseñanza de probabilidades y estadtstica en las escuelas italianas. La competencia anual de estadkica aplicada en el Reino Unido esta abierta a las escuelas y a los colegios de educación post-escolar y se juzga a tres niveles, a saber, escuela primaria superior, escuela secundaria inferior y escuela secundaria superior. Se evalúa la actuación de los participantes no solamente por sus méritos sino, tambien, por los problemas y por los errores de concepto que pongan en evidencia. De acuerdo con este temperamento la competencia sirve, a la vez, como estimulo, como fuente de información acerca de lo que se está enseñando y en qué forma se enseila y como un medio de capacitar a los docentes faltos de confianza y que pueden ver afectada su labor a causa del empleo de conceptos no correctos. Se implantó en Italia, en 1977, con cadcter oficial, un currfculo para aquellas escuelas de asistencia obligatoria, es decir, para las escuelas primarias y para las escuelas secundarias inferiores que atienden a alumnos de 7 a 14 afios de edad. Dentro de este currkulo se hizo obligatoria la enseñanza de los elementos de probabilidades y de estadlstica para todos los alumnos. Ocho años más tarde se introdujo un nuevo programa, muy detallado, para la escuela primaria y como la mayoria de los maestros no estaban familiarizados con los elementos de estadlstica que tenfan que enset’iar, las actividades de capacitación en servicio y de desarrollo curricular constituyeron el orden del dia. Lo que sigue constituye el penúltimo capitulo de este libro, cuyos autores jugaron parte preponderante en la tarea de hacer factible la innovación nacional propuesta. El capftulo describe, con ejemplos, los m&odos y los materiales utilizados para introducir los conceptos fundamentales a los niños más jóvenes, asf como la forma en que los alumnos de la ensenanza secundaria inferior fueron introducidos a la cuantificación de la probabilidad, a reunir datos estadlsticos, a apreciar la necesidad de considerar los panimetros asociados --la moda, la mediana, la media, la dispersión- y a adquirir, también, alguna idea de correlación. El ÚltimocapItuloconstituye una crónica del desarrollode la enseiianza de la estadística en las universidades a lo largo de un periodo de casi 300 años. Y este periodo es, aproximadamente, diez veces tan largo como el que ha insumido introducir los conceptos básicos de esta disciplina en la ensefianza escolar. Y, como este volumen lo establece con claridad, en algunos sistemas educativos se exige, al presente, la ensenanza de tales conceptos, mientras que en otros sistemas esa enseñanza va ganando terreno, expen-
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mentandose y aceptándose de forma creciente. Parece probable que, a medida que los insuumentos electrónicos van desplazando el trabajo penoso del cálculo aritmético y que se fortalece la creencia en la necesidad de relacionar los temas ensefiados en la escuela, los m&dos estadkticos figuren de manera más amplia en el currkulo. Y ellos contribuidn, tambien, al proceso de integrar el aprendizaje de los niños en un todo más significativo a medida que los docentes vayan percibiendo mas claramente lo que es posible hacer.
iPor qué debe enseñarse estadística en el mundo actual? Ed Jacobsen
Tome un periódico y encierre en un círculo todos los ftems cuya comprensión o interpretación requiera matemática. iEncuentra una ecuación? iAlgunademostraci6n geométrica o trigonom&rica? ~Puedeencontrarfactorización de trinomiosen algunasde suscolumnas? Usted encontrara, en cambio, tablas, graficas y palabras tales como “promedios”, “tendencias”, “proyecciones”, “estimaciones”, “correlaciones”, “improbable”, “probabilidad,, y “mejora”. Todas estas palabras pertenecen al dominio de la estadktica. En las páginas deportivas abundan las tablas de estadkticas y los grafitos relativos a la posición de los equipos y a los records de bateadores y de lanzadores. En las páginas financieras aparecen gtáficas y tablas para mostrar las fluctuaciones de las tasas de interés y las cotizaciones de las monedas en los mercados de cambio, asf como las predicciones de las tasasde inflación, los cambios de los índices de stock, el desarrollo de las compañfas y los volúmenes de stock comercializados. Ningún informe meteorológico prescindir% de gníficas que nos digan que esta más caluroso, más húmedo o más ventoso, que el último mes o que el último afro, y el pronóstico podría ser de una probabilidad del 40 por ciento de lluvia para mañana. Un vistazo a los avisos permitira apreciar usos correctos así como usos incorrectos de la estadística. Puede leerse en El Dominicm (1987): “La excelente y vieja tradición de las gdficas económicas, sorprendentemente simples con grandes llneas negras saltando y subiendo dramáticamente para ilustrar algunas de las situaciones difkiles u otras situaciones, constituyeron el eje de la campana electoral de Sir... en 1975, el afro del triunfo electoral aplastante”. Usted encontrara, también, encuestas de opinión relativas a la posición de los pollticos, o respecto a si la comunidad debe construir un nuevo aeropuerto o una escuela, o sobre los daños percibidos en la salud de los fumadores, etc. Y cales relevamientos constituyen, en la actualidad una forma aceptada de medir la opinión, dejando al lector la decisión respecto a si los resultados son significativos, o si la encuesta no indicaba ninguna tendencia. iPor qué se encuentran tantos usos de la estadistica en los periódicos? Muchas de las decisiones que se toman escán basadas en datos incompletos o inciertos y la estadfstica puede ayudamos a decidir. Otra razón es que muchas de nuestras elecciones contienen un cierto peligro de acarrear efectos adversos. Tomamos decisiones en forma colectiva relativas a la elección del tipo de energfa para la generación de electricidad con los riesgos respectivos de descarga nuclear accidental y de la eliminación de desechos atómicos, de
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LaenseñantadelaestodlcnCa
lluvia acida provocada por la combustión del carbón; o respecto a los limites de velocidad en las carreteras; a los niveles aceptables de irradiación de alimentos con fines de preservación; a los niveles máximos de radiación en alimentos, agua y lugares de trabajo; a la cantidad residual de pesticidas, hormonas, fertilizantes y aditivos qulmicos en los alimentos; a los máximos efectos secundarios adversos permitidos en las mediciones, etc. Debemos ser capaces de balancear temor y oportunidad, comprendiendo el riesgo que presentan las alternativas. Definimos el riesgo como la probabilidad de que suceda algo malo, pero sin ninguna implicación relativa al grado de extensión de su maldad, esto es, de dos acontecimientos diferentes que presentan el mismo grado de riesgo, el cadcter perjudicial de uno puede ser muy serio mientras que las consecuencias del otro pueden ser benignas. Qmo reaccionaremos frente a esta frase: “En los Estados Unidos, alrededor de 5O.OOOpersonas mueren anualmente en accidentes automovilfsticos, totalizando un millón de muertes en los veinticinco años de preocupaciones respecto a los accidentes de los reactores nucleares?,, La mayoría de las personas son muy limitadas en lo que respecta a medir y a distinguir entre riesgos grandes y pequeños. Las compañías de seguros, que comprenden de riesgos, comparan el número de víctimas que enfrentan algún hecho adverso con el número de personas que escán, también, en situación de nesgo, haciendo exactamente lo que hacían las vfctimas, pero haciendolo y resultando ilesos. Los periódicos y las radios informan respecto a la víctima, pero no dicen nada respecto a aquellos que realizaron las mismas acciones pero que no resultaron afectados. Urquhart y Heilmann (1984) sostienen que la no aceptación de un estándar uniforme para expresar el riesgo constituye una de las razones que sesostienen, en buena medida, en cuestiones relativasal riesgo, y el autor preconiza una especie de escala universal de Richter para el riesgo. Ya que no podemos vivir en perfecta seguridad, debemos comprender, en medida adecuada, las probabilidades del riesgo como para conocer la importancia relativa de los peligros. Los cursos tradicionales de ciencia nos enseñan a pensar en drminos de certeza, lo que resulta injustificado. La educación para el riesgo debe ser tarea interdisciplinaria porque, como Dickson (1985, p. 14) lo plantea, las fuentes de riesgo pueden ser científicas, legales, financieras, sociales, tecnol6gicas, pollticas o cualquier combinación de estas. Todos los ciudadanos deberian aprender a medir el riesgo, asl como a comparar riesgo y beneficio. De esta manera todos deberían sentirse cómodos frente a la aplicación de la probabilidad y de la estadística. Estofue bienresumidoporuninformeelevadoal GobiernoBritánico (Cockcroft, 1982, p. 234) que estableció que “la estadistica no es solamente un conjunto de técnicas, sino que es una actitud de espiritu relativo al enfoque de datos, actitud que reconoce, en particular, la presencia de incerteza y de variabilidad, tanto en los datos como en la recolección de datos. Esta actitud capacita a las personas para la toma de decisiones frente a esta incertidumbre”.
Estadística para todos “Más personas tienen que leer y comprender ahora las estadísticas que otros han tenido que realizar en sus propias investigaciones estadísticas. Por lo tanto, un primer curso en estadística debería concentrarse sobre la estadística como un lenguaje”. De esta forma describía Haack (1979) su curso universitario de introducción en el que enseña la estadística como un lenguaje más bien que como un instrumento de investigación,
iPor qlbt!dete enwñaneestadísticaenelmundoactual?
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enfatizando la interpretación de la estadistica en mucho mayor grado que los cálculos que implica. El encontró que estudiantes que habian completado un curso tradicional en estadcstica podrfan comprender la estadística que encontraran en los diversos medios, no mejor de lo que hacian anteriormente. Su nuevo curso toma ejemplos del medio ambiente y los trata de forma estrictamente verbal, no simbólica. Y a nivel escolar resulta aún más importante tratar la estadística como un lenguaje. Despues de realizar un extenso relevamiento de opiniones provenientes de muchos sectores de la sociedad en los Estados Unidos, el Consejo Nacional de Profesores de Matemática(siglainglesaNCIM)hizo,en1980,ochorecomendacionesparalama~máti~ escolar de la década de 1980. Y en las tres concernientes a contenido y métodos de matemática, recomienda: 1.
Que la resolución de problemas debe ser el foco de la matemática escolar en la década del 80.
2.
Que se definan las habilidades matemáticas básicas de manera que no se reduzcan a las habilidades de calculo, sino que comprendan otras habilidades.
Que los programas de matemanca aprovechen al máximo, y en todos los grados, las ventajas que brinda el poder de las calculadoras y de los computadores (NCT’M, 1980, p. 1). Para organizar el currículo de matemática alrededor de la resolución de problemas, es necesario ensenarle a los estudiantes “metodos de obtener, de organizar y de interpretar información, realizando y probando inferencias en base a datos, y a comunicar resultados,, (NCTM, 198O,p.3). Sedef mían las habilidades básicas de manera de incluir “localización y procesamiento de información cuantitativa; recolección de datos; organización y presentación de datos; interpretación de datos; realizaciõn de inferencias y predicciones a partir de los datos” (NCIM, 1980, p. 7). Los problemas para resolver tenian que provenir de situaciones de la vida diaria empleando datos del mundo real y de experiencias y problemas de la vida social, de los negocios, de la ciencia y de la tecnologia, todas fuentes de datos desordenados. El empleo de calculadoras y de computadores -que constituye su tercera recomendación- supera la dificultad que significa hacer aritmetica con tal tipo de datos que contienen muchas cifras. Estas recomendaciones subrayan la importancia de la ensefianza de la estadlstica como parte del programa de matemática. En el Reino Unido, el Informe Cockcroft, (Cockcroft, 1982, p. 16, párrafo 776) incluye estad&tica entre sus recomendaciones para la matern&ica escolar: La estadística es,esencialmente, un tema de camcter practico y su estudio debe estar basado en la recolección de datos y, cuando sea posible, realizada por los mismos alumnos. Es necesario considerar la clase de datos que resultan apropiados para recolectar, las razones para recolectarlos y los problemas que se presentan para hacerlo, asf como las formas en que pueden manipularse legitimamente los datos, asi como los tipos de inferencia que pueden realizarse. El trabajo con temas tales comociencias biológicas, geograffa y economla pueden en consecuencia, contribuir al aprendizaje y a la comprensión de la estadlstica. Cuando se ensefia estadlstica como parte de los cursos de matematica de enseñanza secundaria, se pone, muy a menudo, demasiado enfasis sobre la aplicación de las técnicas estadisticas más bien que sobre la discusión de los resultados de la ordenación y examen de los datos y sobre las inferencias que pueden realizarse de acuerdo al contexto dentro del que se 3.
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Lamceñorya¿eiae3trdlttica
han recolectado los datos. Y, como consecuencia, el trabajo puede hacerse arido y tecnicamente orientado perdiendo la oportunidad de mostrar el poder y la naturaleza de la estadistica.
;Qud progresos se han realizado? En 1949 y siguiendo una resolución de las Naciones Unidas que urgia a la UNESCO y al Instituto Internacional de Estadistica (sigla inglesa ISI) para que tomasen las medidas necesarias para Cmpulsar el mejoramiento, a escala internacional, de la educación estadlstica, se fundó el Comité de Educación Estadística del ISI. Con apoyo financiero de UNESCO, el Comité (Gani, 1988) proporciona información estadlstica, capacita estadisticos en los centros de capacitación, particularmente en el Centro Internacional de Educación Estadística en Calcuta, y organiza mesas redondas sobre recursos para la enseiíanza, métodosycurriculossobrelosque informalaReuiewofrheimem&mulStatisticd Insciture (ISI, 1971). Y un Grupo Especial para la Enseñanza de la Estadhtica a Nivel Escolar fundó la revista Te&ing St&stics con la finalidad de ayudar a los profesores de geografía, de biologfa, de ciencias, de ciencias sociales, de economla, etc., a ver cómo las ideas estadísticas pueden iluminar su trabajo y a hacer un uso adecuado de la estadistica en su enseñanza. Trata también de ayudar con cursos de estadística a aquellos que están enseiíando estadística y matematica. El énfasis de los articulos se sitúa sobre la enseñanza y la tarea de aula. Su finalidad es informar, mantener, alentar y aclarar la tarea de todos aquellos que utilizan la estadistica en su enseiianza 0 que ensefian estadistica. Peter Holmes, que fue el editor de la revista durante los primeros ocho afios, tuvo un marcado éxito en el logro de estos objetivos. Otro grupo especial de trabajo organizó dos conferencias Internacionales sobre la Ensefianza de la Estadlstica, uno en Sheffield, Reino Unido en 1982 y otro en Victoria, en la Colombia Britinica, en 1986, cada una con alrededor de 500 participantes. Las actas de las reuniones constituyen fuentes de informacibn de primera calidad relativas a la e-fianza de la estadlstica a nivel mundial. Para apoyar a los estadfsticos profesionales, el ISI, fundado en 1885, publica resúmenes y análisis y convoca congresos bianuales de estadística respecto a los cuales se informa en su revista. Se acostumbraba enseñar estadística solamente a nivel universitario, incluyendo poco más que las medidas de promedio básicas consideradas en las escuelas secundarias. En la actualidad, muchos exámenes de fin de estudios contienen una opción estadística, aún en los niveles avanzados. Pero loscambios másgrandes han tenidolugaren la escuela primaria, dondelosalumnosrecogendatos,lospresentanbajova~asfomrasyexnaen inferencias. En Hungria se ha venido enseñando estadistica, durante varios años, en los primeros cuatro años de escuela primaria. Varga describe ( 1983 ) cómo seenseña combinatoria y probabilidad empleando un kit para probabilidad. Los alumnos realizan experiencias relativas a fenómenos aleatorios prediciendo, en primer término, el resultado, realizando después la experiencia y, en último &-mino, comparando el resultado con la predicción. Y se desarrollan algunas ideas en probabilidad motivadas por la búsqueda de explicaciones. El proyecto actual en las escuelas primarias italianas estuvo inspirado por el programa húngaro.
iPor quédebeenseñarse estadlsticaen el mundoactual?
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Más recientemente, el Analisis Exploratorio de Datos ha encontrado la forma de trabajar en las aulas con alumnos tan jóvenes como de siete anos de edad. Empleando presentaciones bajo forma de diagrama de árbol de los datos recogidos por los alumnos, estos obtienen nueva información. El empleo del diagrama de arbol no elimina los valores de los datos individuales, sino que, permite, ademas, ver la estructura del conjunto. Utilizando papel cuadriculado, los alumnos mayores reordenan la presentación de los datos y fijan su atención sobre aspectos particulares de manera que la estructura subyacente de los datos no se tenga más en cuenta y puedan formularse nuevas hipótesis. Algunos de los mejores ejemplos de aplicaciones de la estadistica y de la probabilidad a situaciones de la vida real fueron preparadas por el NCPM y el Comité Conjunto sobre el Currfculo de Estadística y Probabilidad de la Asociación Americana de Estadística (sigla inglesa ASA). Los libros resultantes (Tanur y wlab., 1972; Mosteller y wlab., 1973) iban dirigidos a lectores wn poco conocimiento de la estadlstica y de probabilidades, y el estilo empleado para presentar una situación y de explorar los datos para obtener soluciones, puede encontrarse en muchos libros posteriores. El Comite Conjunto, es también responsable del Proyecto de Alfabetización Cuantitativa para estudiantes de 12 a 14 afios de edad. Es dable escuchar con frecuencia que la estadística y la probabilidaddeberfan enseñarse solamente a los mejores estudiantes, reservando para los menos capaces cuestiones más fundamentales; sin embargo, se considera actualmente a la estadística como una tecnica básica. Por ejemplo, Cockcroft (1982) inclufa las ideas de estadWca en su lista de temas fundamentales de matemática para el 40 por ciento masbajo del conjunto de wnocimientos en matemática. Estas ideas podrfan desarrollar en estos estudiantes una actitud cntica frente a las estadlsticas que aparecen en los diversos medios, como un reconocimiento de la relevancia de la probabilidad para las ocurrencias de la vida diaria y una comprensión de la diferencia entre las varias medidas de promedios y sus respectivas finalidades. Las ciencias fisicas, biológicas y socialesestán utilizando, de manera creciente, medidas probabilisticas y, wmo consecuencia, la estadfstica se introduce en el currfculo escolar a traves de estos temas. El advenimiento de las calculadoras cientfficas de bolsillo, que facilitan la realización de cálculos estadlsticos, ha permitido la introducción de temas escolares, agregadosa matemática, que permitenaplicar másestadística. Esta tendencia id en aumento awmpaíiando la creciente disponibilidad de calculadoras que no s6lo realizan los analisis estadfstiws usuales y calculan los coeficientes de las llneasocurvasde regresión, sino, que generan tambitn, sobre sus presentaciones de cristal lrquido (sigla inglesa LCDs) las curvas de “mejor encaje”. Las calculadoras, que aparecen como mini “trituradores de números”, han posibilitado el manejo de datos tomados de situaciones de la vida real, permitiendoque losestudiantes recojan y analicen suspropiosdatos en lugar de hacerlocon datos que aparecen en los textos y que siempre lucen como extraños. La simulación y los experimentos aleatorios (como paseos al azar), el análisis de datos y el cálculo de distribución de probabilidad, resultan todos másfáciles -en realidad posibles-de realizar con una calculadora. Quien debena enseñar estadfstica ahora que ella aparece en tantos temas escolares? Muchos capftulos de este volumen acentúan la importancia de examinar datos y de realizar inferencias mas bien que enfatizar la aplicación de las técnicas estadfsticas. Algunos consideran que la estadfstica constituye una parte demasiado importante de la educación general para que se wnffe su enseñanza a los departamentos de matemática. Teniendo en cuenta la conveniencia de la cooperación entre todos aquellos que utilizan la estadística en
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Laens~adelaestodfrtica
su ensefianza, Cockcroft ( 1982) sugiere que se designe, en cada escuela, a un miembro del personal docente -no necesariamente un docente de matemática- encargado de la coordinación. Se han podido observar, últimamente, sugestiones análogas en lo referente a la coordinación vinculada a los microwmputadores. En la actualidad, los microcomputadores disponen de paquetes estadisticos que proporcionan, con un simple golpe de dedo, la mayoría de las medidas estadisticas de los datos con muchas posibilidades de elección de presentaciones visuales, pticticamente automáticas, tales como diagramas de dispersión con sus ajustes, lineales o de orden más elevado, por mfnimos cuadrados, tablas y muchos tipos de &fic.as. En consecuencia, nuesa-asmayores dificultades no están en el cálculo de estas medidas, sino en su interpretación. El empleo de computadores ha cambiado las formas en que se recogen los datos, en que sealmacenan, en que se analizan, en que sepresentan gdicamente y cómo se comunican. Es así que los computadores-y especialmente los microwmputadoresnos ofrecen nuevas formas de enseñar estadística (Swift, 1984). Y esto ha alterado de tal manera las formas de utilizar la estadfstica y la forma de enseñarla que el ISI dedicó su Conferencia de Mesa Redonda, de 1984, a la enseñanza de la estadística en la era del computador (Råde y Speed, 1985). La ensefianza de la estadística no serealiza de la misma manera y wn la misma amplitud en todos los palses. Hemos visto que algunos paks ofrecen a sus estudiantes una introducción general al tema que comienza en la escuela primaria, continuando en la educación secundaria como parte de su educación general, brindando posibilidades para estudios más profundos en las clases de enseñanza secundaria superior. Otros países, en cambio, no ofrecen casi nada de estadktica. El ISI ha realizado un estudio internacional -del que informa Bamett (1982)- para determinar la situación de la enseñanza de la estadística. Råde (1975) informa respecto a un relevamiento internacional anterior y a diversos casosde estudios relativos a Austria, Francia, Nigeria y Rumania. Tanto en las dos Conferenciasdel ICOTS comoen el Congreso Internacional sobreEducaci6n Matemática, se han presentado varios informes nacionales que aparecen en las actas respectivas de estas reuniones. Estos informes incluyen muchas descripciones de programas nacionales relativos a la enseñanza de la estadística por lo que no se repetidn en este volumen. Pero y, como es común en los volúmenes de la serie de Esrudios en Educ&6n Matemática se presenta, con mayores detalles, un caso de estudio nacional, en este caso el de Italia. Cutillo, D‘Argenzio y Pesarin han presentado el nuevo programa de estadística y probabilidadespara escuelas primarias y secundarias awmpafiados por los esquemascorrespondientes para la formación docente.
Implicaciones para la formación docente Estetemafuewnsideradobrevementeenel Volumen4deEstudiosenEducacibnMatem&& donde Lennart Råde, considerando que la enseñanza de la estadlstica en las escuelas integrad el currkulo de maternaka, reclama que entre el 15 y el 25 por ciento de los cursos orientados por temas deberfan ser dedicados a probabilidades y estadlstica. Råde considera que no deberla disminuir la cantidad de matemática, dado que los CUTSOS de estadística proporcionarian oportunidades para utilizar matemática en contextos de aplicación. En el casode estudio italiano, del capftulo 18, serecalca esta idea afirmando que “la introducción de elementos de estadística descriptiva y de la noción de probabilidad constituyen un instrumento fundamental para el desarrollo de una conciencia matemática de considerable
iPo qut!debeenseñarse estadlsticaen el mundoactual?
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valor interdisciplinario”. Råde incluirla en un programa de formación docente: didáctica de la estadlstica, trabajo wn computadores y calculadoras, construcción de modelos matemáticos de situaciones que contengan elementos de incertidumbre y trabajo de proyectos siguiendo el principio de “aprender haciendo”, podrlan aprenderse los procesos señalados incluyendo en el programa proyectos de trabajo y construcción de modelos de situaciones reales. Ellos observaron que en los cursos de grado en ciencia, y aún en matemática, no se tomaban medidas para la enseñanza compulsiva de la estadfstica y de la probabilidad y que cuando se incluían, como temas opcionales, estaban orientados hacia la investigación y no hacia su enseñanza en las escuelas. Hace una dkcada comenzóen Italia un programa experimental con la finalidad de obtener una mejor preparación de los docentes en formación para el desarrollo del nuevo programa, que incluía, en medida sustancial, temas de probabilidad y estadística para los niveles primario y secundario. De acuerdo con Steinbring, una dificultad fundamental para la enseñanza de la estadística, es que se presentan los temas a estudiantes que tienen una visión determinista del mundo, dentro de la cual las únicas respuestas se obtienen por vía deductiva. En cambio la estadística se relaciona más con la inferencia que con la deducción y hace posible realizar varias inferencias diferentes a partir de un conjunto de datos, cada una de ellas con probabilidades diferentes de ser ciertas. Aquellos docentes que tienen que enseñar temasque utilizan la estadística deben recibir alguna capacitación en esta disciplina. Muchos estudiantes que enfrentan estos temas no hab& tenido contacto anterior con la estadística y, por lo tanto, susprofesores deben estar preparados para introducir los métodos estadísticos. Y en lo que concierne a todos los otros docentes, que tienen que desarrollar en susalumnos la capacidad pata enfocar los datos con el sentido crítico señalado, sed necesario proporcionarles alguna capacitación en estadfstica. Pocos de los docentes en actividad han recibido una educación adecuada en probabilidad y en estadística, lo que plantea la necesidad de organizar cursos de capacitación en servicio. En el Reino Unido, el Consejo Escolar del Proyecto de Educación Estadística (Holmes, 1983) desarrolló materiales para utilizar en los cursos de capacitación en servicio, cursos que se organizaron en los centros regionales establecidos para tal fin. Estos centros realizaron seminarios-taller y brindaron un apoyo continuo a los ccordinadores de estadistica designados para desarrollar una cooperación interdisciplinaria en sus escuelas. Escribimos, a menudo, “estadística y probabilidad” juntos como si fuesen gemelos, y este volumen seocupa de ambos, a pesar de su título en el que figura uno s610. Las dos disciplinas están estrechamente vinculadas y el estudio de la estadlstica no puede progresar prescindiendo de los conceptos y de las herramientas de la probabilidad. La probabilidad nos permite hacer afirmaciones relativas a un conjunto de datos con un cierto grado de confianza. El estudio realizado por Howson y Wilson (1986) lleg6 a la conclusión que tanto la estadística como la probabilidad reclaman de manera abrumadora su inclusión en el currículo escolar. La estadística deberla formar parte de la alfabetización matemática de cada persona, pero los redactores de currículos consideraron que s610algunos estudiantes avanzados podrían necesitar ciertas &cnicas estadísticas como herramientas. Y consideraron que la enseñanza de la probabilidad ofrecia muchas más oportunidades, a nivel escolar, para desarrollar el pensamiento matemático. Para el buen ciudadano resulta tambien necesario cierto conocimiento de la probabilidad dado que, como lo ha demostrado la investigación, nuestro innato sentido de la probabilidad resulta, normalmente, demasiado ingenuo, conduciéndonos wn frecuencia a juicios cuantitativos incorrectos. Y podemos agregar que si se enseña la probabilidad utilizando, sobre todo, ejemplos basados
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Lu enseñatyode la esadíitica
en juegos de azar y en la extracción de bolas de colores de una urna, es probable que los estudiantes, al llegar a la edad adulta, no piensen nunca aplicar a situaciones reales lo que han aprendido en la escuela. Este capítulo comenzó con una mirada a los periódicos. Permitasenos terminar con la respuesta de uno de los más influyentes educadores en estadística (Swift, 1983) quien, cuando se le hizo la pregunta “[Debe reflejar el currfculo de matemática el mundo en que vivimos?” y después de observar este mundo a través de los periódicos, reclamó el empleo en clase de recortes de periódicos wn la finalidad, tanto de aprender acerca del uso diario delaestadísticacomoparautilizarloscomounafuentedeproblemasqueconducena nuevas investigaciones en el campo de la estadística. Con el empleo de métodos exploratorios para observar y para analizar datos estadísticos, podemos educar a todos los futuros adultos para que ocupen su lugar en la toma de decisiones, tanto a nivel individual como colectivo.
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~POT qd dete enseñarse estndlíticaen el mundoadual?
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Parte 1 Estadística en la educación primaria
1.
Análisis exploratorio de datos en las aulas de escuela primaria: combinación de trazado de gráficas y de formación de conceptos Andrejs Dunkek
Introducción Es importante desarrollar imágenes mentales en los niños en forma paralela wn la adquisición de habilidades de contar y de calcular. Y esto se logra mediante aquellas diversas clasesde actividades que revelan, de una forma u otra, la estructura subyacente. En la matemática escolar, los números están estrechamente relacionados wn los cálculos, los que están, según mi opinión, superenfatirados. Un análisis de la forma como aparecen los números en las actividades de la vida diaria muestra que los cálculos juegan un menor papel comparado con su empleo para establecer comparaciones, órdenes de magnitudes, en tablas, en aproximaciones, en estimaciones, en registrar tiempos de partida y de llegada, precios, fechas, códigos postales y otros “mensajes numéricos” similares. Y podríamos expresar esta situación diciendo que hacemos un mayor uso de la estadfstica descriptiva que de la aritmética, hecho que deberia reflejarse en los estudios de nuestros nifios. Es obvio que no estoy abogando por el agregado de nuevos nombres extravagantes, tales como “estadística descriptiva”, para incorporar al programa de la escuela primaria. Lo que quiero significar esque debe desplazarseel enfasis desde los cálculos hacia el uso de números como portadores de información. La introducción de los diagramas de arbol constituye, precisamente, un paso hacia la finalidad mencionada. Los diagramas de árbol, por estar basados en la idea fundamental del valor relativo ayudan, tambien, a desarrollar la comprensión de los niños respecto a la representación de números. Supongo, en esta presentación del tema, que el lector está familiarizado wn las ideas simples que sirven de base al diagrama de árbol, esta ingeniosa mezcla de tabla y de diagrama, introducida por John W. Tukey al comienzo de 1970. Puede encontrarse una excelente introducción a esta ideaenLandwehryWadtins(1984),a~wmoenel“cl~ico”,Tuk~(1977)yenelCo~jo Nacional de Profesores de Matematica (sigla inglesa NCTM) (1981).
Antecedentes y finalidades Mis obligaciones como profesor de futuros maestros primarios incluyen, también, algunas tareas de enseñanza a nivel escolar - un promedio de una lección semanal. Durante mis
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EstodLctica en la eiduadn primaria
visitas a una clase, el maestro titular de la clase esd presente. A veces visito la clase una vez por semana durante, por ejemplo, medio semestre, y otras veces estoy presente en la clase durante todas las lecciones de matemática durante una semana o dos. La organización de la tarea es flexible y tengo libertad para proponerle a un maestro de aula los temas y métodos que crea conveniente. Discutimos, modificamos y adaptamos y realizamos en cooperación. Y una de las cosasque he tratado en varias clases de grado 1, al final del año escolar, es precisamente, llevar el diagrama de &-bol al nivel primario. Los resultados del intento son alentadores y las ideas parecen merecedoras de desarrollarse y de continuarse. Y el presente estudio consiste en la presentación del ejemplo de aula mencionado. Debe señalarse que en Suecia los nifios inician la escuela a los 7 afios de edad. La única evaluación que se ha hecho de estaslecciones es mi propia evaluación, basada subjetivamente en mis impresiones personales. No puedo informar, hasta el momento, acerca de resultados de carkter cuantitativo o cualitativo, tales como los que podrían obtenerse por la vfa de tests y de entrevistas. El tema es nuevo y s6lo seencuentra en la etapa tendiente a afirmarse a nivel primario. No es realmente mucho lo que se ha explorado y ensayado hasta ahora: sin embargo, maestros e investigadores están comenzando a mirar en esta direccibn (ver NCI’M, 1981; Biehler, 1982). En lo que concierne a la escuela secundaria, están apareciendo libros sobre análisis exploratorio de datos (Landwehr y Watkins, 1984; Vännman y Dunkels, 1984). En lo que concierne a los niveles de escuela primaria y media, conozco solamente un libro que trata algunas partes del análisis exploratorio de datos, a saber, el de Johansson y colab. (1984) do nd e p uede encontrarse, también, el diagrama de árbol.
La primera lección sobre an&lisis exploratorio de datos Como una preparación para esta lección, se instruy6 a cada niño para que averiguase la edad de su padre y de su madre. Comenzamos la lección votando sobre la edad de quien se iba a tomar para comenzar. En la mayoria de las clases, el mayor número de alumnos votó por la madre. Se le dio a cada niño un trozo rectangular de cartón color naranja de 8 x 12 cm que se doblaba despub, a la mitad paralelamente al lado más corto. Una vez desplegado, se pidió a cada niño que escribiese la edad de su madre, empleando digitos de gran tamafio (ver Fig. l), y escribiendo cada uno en cada mitad de rec&gulo.
Fig. 1
Fig. 2
29 Una vez escrita la edad se cortó el cartón a lo largo del doblez. Los nifios comenzaron a juguetear con los digitos sin ninguna indicación de mi parte respecto a lo que debían hacer. Ellos pusieron sus cartones sobre sus pupitres con los digitos en orden inverso. Yo podía sentir que los niños estaban reaccionando de forma emotiva frente a los datos. Dado que había un significado especial unido a los números en los cartones, se interpretó, también, el número invertido como “la edad de mi madre”. Las edades irrazonables que aparecian, tales como 92, causaban risas creándose, así, una atmósfera positiva y una excelente base para discutir decenas y unidades y subrayar la importancia de saber cual es cuál. Yo hacía preguntas como ésta: “Invirtiendo las cifras, la edad de la madre de Juan resulta 15 afios: jcuál es su edad real?” También pudo ilustrarse el papel del 0: “Si se invierten las cifras, la edad de la madre de Adam resulta ser 4 años, icuál es realmente su edad?” Se le pidió, después,a cada niño que pusiese en alto las cifras de las decenas para que yopudieseverlas,lasqueresultaronser2,3 y4. Recogfunejemplardecadaunaylascoloqué en el piso con una tira de papel a su derecha (ver Fig. 2). Las reunimos despuéssobre el piso y cada niño acercó la cifra de las unidades que figuraban en la edad de su madre. Una vez hecho, les dije, “Se supone ahora que cada uno de ustedes wloca su cifra de las unidades sobre el piso en el lugar adecuado de manera que todos podamos leer la edad de su madre. Tú comienzas Harina”. Y no di más instrucciones detalladas, puesto que la idea era dar a cada niño una oportunidad para descubrir los detalles. Como era de esperar, hubo vacilaciones en un momento u otro y, ocasionalmente, se colocó una cifra en lugar equivocado, pero los niños seayudaron entre sí y el número total de errores fue sorprendentemente bajo. La madre de Hanna tenia 32 años, y Hanna coloc su trozo de cartón en forma correcta a la derecha de la fila próxima al 3. Pregunté entonces a la clase cuál era la edad de la madre de Hanna y obtuve la respuesta correcta. El nifio que le siguió en colocar la cifra de las unidades fue Johan, cuya madre tenía 34 afios. Despues de alguna vacilación colocó su cifra 4 al lado del 2 de Hanna como se ve en la Figura 3. Despues lelmos todos juntos en coro y en voz alta las edades que se habfan exhibido hasta el momento a saber, “treinta y dos, treinta y cuatro”, mientras yo iba serklando la cifra correcta. Cuando llegamos a la etapa que muestra la Figura 3, alguien dijo que la edad que aparecia era de trescientos veinticuatro, lo que constituyó una nueva oportunidad de discutir el valor relativo. A medida que se colocaba cada cifra de unidades, ibamos leyendo lo que se habia obtenido hasta ese momento. Yo iba senalando y todos juntos leiamos en voz alta. Por ejemplo, cuando siete nifios ya habían colocado su cifra, la situación aparecia como lo muestra la Figura 4, y leíamos “veintinueve, treinta y dos, treinta y cuatro, treinta y uno, treinta y cinco, cuarenta y cuatro, cuarenta”. Uno de los ni?& ley6 40 anos “cuarenta y cero” y todos rieron.
Fig. 3
Fig. 4
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Fig. 5 Yo dije, entonces que pensaba que leer “cero” resultaba realmente una buena idea, dado que ello era más lógico y más coherente que decir solamente “cuarenta”. Discutimos, entonces, el significado de cuarenta, lo que hizo surgir nuevamente una interesante discusión sobre el principio del valor relativo. Más tarde alenté el “cuarenta-cero” en nuestra lectura en coro, y estoy seguro que hacerlo ayudó a varios de los niños a comprender mejor la diferencia entre 43 y 403. Cuando todos los ninos hablan colocado sus cifras de unidades en el lugar correspondiente, el piso aparecía como en la Figura 5. Cuando hablamos leído con los niños todo el conjunto de números, estos regresaron a sus asientos en el salón de clase. !-es pregunte si se sintieron conformes con el diagrama, y una niti dijo que hubiera estado mejor si la fila 40 hubiera tenido, por ejemplo, 0 como su primera cifra de unidades. Estuvimos entonces de acuerdo en que una buena cosa para hacer seria ordenar las cifras de las unidades en cada columna. Y como nos pareció a todos que la fila 30 era demasiado larga sugeri partirla en dos filas de 30. Recog& despues, nuevas cifras de unidades propuestas por la clase, un 2, dos 3 y un 4, y las prendr con alfileres en el tablero de información como se ve en la Figura 6 y prendi, tambien, una tira de cartón inmediatamente a la derecha de estas diez cifras. Comenzamos con la columna 20 y un alumno por vez tomaría, ahora, del piso la cifra de unidades determinando cada uno si era el próximo en el orden correspondiente y la pinchaba en el lugar correspondiente en el tablero. Todos estuvimos de acuerdo que las primeras cinco cifras de unidades, a saber, 0, 1, 2, 3, 4, serlan w!ocadas en la primera fila de treinta y que las cifras 5, 6, 7, 8 y 9 se colocarian en la segunda. Se aplicaría, obviamente, el mismo procedimiento para todas las filas; y una vez que se dividió una fila particular de decenas, se tenía que repetir el procedimiento. En nuestro caso, tuvimos que dividir, también, nuestra fila original de los 40 y el resultado se muestra en la Figura 7. Y antes de proseguir, lefamos en coro el nuevo diagrama ordenado.
Fig. 6.
Fig. 7
Análisis explomtmio de datos en Lzr auka de escuelaprimaria
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“iCuántos años tiene la madre más joven?” - “iY la más vieja?” - “$X1 es la edad más común?” - “(iQué significa ‘común’?)” - “ iFaltan algunas edades comprendidas entre la menor y la mayor edad!“% hizo necesario también, enfatizar cuáles eran los objetos de nuestro estudio y para ello pregunté: “~Cuántas madres tenemos en el tablero!“. La cuestión no era realmente el número de madres. Y tuve que hacer fijar la atención sobre el hecho que no hablamos colocado en el tablero a las madres reales, sino sus edades. La respuesta obtenida hizo esto más claro de lo que esperaba. “Quince”, dijo Nils. Y exclame con honesta sorpresa, “quince”, observando los dieciséis cartones de nuestro diagrama de hbol que se muestra en la Figura 7. Cuando iba a comenzara contar para explicar la situación, Nils mostr6 que, en efecto, él habla comprendido la cuesti6n mejor que yo mismo. Y agregó, “Sí, porque dos de las 3 1 son la madre de Andres y de Daniel”. Y Andrés y Daniel eran hermanos gemelos. Este detalle mostró cómo los datos que pertenecen a la vida de los nifios, datos que son reales, y que pueden excitar la imaginación y las emociones de los niños, les hacen másfácil captar y comprender las cuestiones. A continuación, los nifios hicieron en sus cuadernos los mismos diagramas que tentamos en el tablero, y con esto terminaba la primera lección sobre analisis exploratorio de datos. Antes de mi próxima visita, la clase realizó el mismo tipo de investigación con las edades de sus padres, haciéndolo esta ver con cartones verdes. Cuando aparecf la vez siguiente el tablero estaba hermosamente decorado con los dos diagramas de kbol de las edades de los padres.
INTERESADO
EN \
A CAUSA DE LA EDAD ESTAMOS ENVEIECIENDC
Según mi experiencia, los nifios están muy interesados en las edades. En Suecia, lamentablemente, muchos adultos tienden a reaccionar de forma muy extraña cuando los nifios les preguntan acerca de susedades. Y dentro de nuestra cultura se nos enseiia que no es correcto hablar acerca de la edad de las mujeres. En lo que me es personal, nunca he comprendido por qut5y, en consecuencia, nunca adopté este punto de vista. Comparto, en cambio, el inte&s de los nifios y recomende una continuación interesante de las lecciones relativas a las edades de los padres. Haga un diagrama de árbol de las edades de todos los que trabajan en la escuela, maestros, secretarios, el director, los limpiadores, el personal de cocina, etc.
Estudísthenhcd~~~%~~ia
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Una lección sobre el latido cardiaco Esta lección tuvo como finalidad emplear el diagrama de arbol en una experiencia de medida del pulso, lo que nos llevaba, otra vez, a trabajar con datos personales. Y se utilizó también esta lección como una introducción al estudio del cuerpo humano así como de otros animales. (Qál es la frecuencia del pulso de un hamster? ¿De un caballo? iDe un elefante?). Todo el que haya trabajado con ninos de 7 u 8 anos sabe que la medida de la frecuencia del pulso es una operación extremadamente dificil. No obstante, la actividad resulta muy divertida y es realmente digna de intentar. Es difícil para niños de esta edad sentir el pulso con la punta de susdedos en la muñeca. En lugar de esto empleamos envases plásticos de yoghurt de 500 miligramos con un agujero en el fondo. Los niños trabajaban de a dos; uno presionaba el lado abierto del pote contra el pecho de otro niño y otro ponía su ofdo en el agujero. Este simple recurso resulta sorprendentemente efectivo. Después de algunos ensayos y practicas, decidimos tratar de contar el números de latidos cardíacos en treinta segundos y los resultados de las medidas se registraron en el pizarrón en un diagrama de arbol. La Figura 8 muestra el resultado despu& de haber ordenado las cifras de las unidades. Se les pidió a los niños, sin proporcionarles previamente ninguna explicación o método, que mostrasen el número de latidos cardíacos por minuto mediante la construcción de un diagrama de árbol en base de nuestro diagrama para treinta segundos. Es necesario senalar que no hablan aprendido nada todavía respecto a la adición con transporte de cifras. Mi idea era que los cálculos tenfan que hacerse mentalmente y que cada niño tuviese una oportunidad para descubrir la idea del transporte de cifras. La maestra encargada de la clase manifestó, después de la lección, que estaba sorprendida de que los niños realizasen tan bien esta tarea y admitió que habla estado preocupada cuando seenteró de la tarea que yo proponla, la que, en efecto, no habla planificado con anterioridad y que ella no esperaba que los nifios se manejasen solos. Solamente uno de los niños necesitó una ayuda significativa, y en lo que respecta a los derr&, alcanzó con el aliciente normal que se le brinda a la clase para toda tarea a realizar. Este ejercicio dio la idea de emplear el diagrama de árbol de la clase que habíamos utilizado para la edad de los padres con la finalidad de realizar prfictica aritmética. NUMERO DE LATIDOS EN MEDIO MINUTO
09469 02246 0
Fig. 8
CARDIACOS
NUMERO DE LATIDOS EN UN MINUTO I
CARDIACOS
78 8 08 9 28 10 0448 11 2 12 0 I Fig. 9
Se puede desarrollar la aritmetica planteando cuestiones como estas: “Qmo sera el diagramadeárboldelasedadesdesus madresdentrodecincoafios?““~Dentrode lOOaños!” “&26mo era el dia en que naciste?” “iC6mo sera en 1990?” “$u51 sen5la edad de la madre más joven cuando la más vieja tenga 50 años?“.
An&sis e@umroriodedatosen las a& de escuelaprimmia
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En el caso de los latidos cardíacos sepodrían contar los producidosen veinte o en quince segundos, hacer un diagrama de árbol y construir, después, uno que indique los latidos del corazón en un minuto. Y este tipo de variaciones no tiene fin, de manera de ir alentando gradualmente a los niños para que formulen sus propias preguntas.
Observaciones finales Los metodos más simples de análisis exploratorios de datos están ganando terreno a nivel escolar. Aparecen artículos, en libros y en periódicos, tratando estos m&dos enfatizándose repetidamente, a todos los niveles, la importancia de obtener datos reales. Sin embargo, el trabajo con datos reales significa que sedebe estar preparado para enfrentar y para superar dificultades inesperadas. En una clase de primer grado en la que trabajaba con las edades de los padres, un niño no conocía las edadesy, aparentemente, habia olvidado preguntárselas. La realidad era sin embargo, que los padres no querían revelar sus edades. La madre explicó, despu& a la maestra de la clase que “rastras edadesno son as~ruo de fa escda y que los colegasde la uniw&ad podran proporcionar aIgunas edadespara u&ar en los ejercicios de los niiIos , las qt4.eles resu.kaH¿zn igualmente a&cuad&’ . Yo discrepo abiertamente. Con datos inventados no se logra nunca que el nivel de participación emocional e intelectual alcance las alturas a que se llega empleando datos reales extraidos del propio ambiente del alumno y de su propia experiencia. El programa sueco para la escuela obligatoria enfatiza la resolución de problemas de la vida real, y esto resulta posible para la mayor parte de los programas modernos de matemática. Y esto significa que los maestros deben tener una educación adecuada. Tengo la impresión que gran parte de la ensenanza de la estadfstica que se imparte para la formación de maestros es muy formal, con demasiado enfasis sobre las f6rmulas y sobre el cálculo de las desviaciones medias y estándar. Y es hacia la exploración que debe desplazarse, precisamente, el énfasis. Los estudiantes de magisterio deben tener la oportunidad de trabajar en forma concreta con datos reales. El análisis exploratorio de datos resulta ideal como punto de partida. Creo que los cursos de matemática tradicionales no pueden contemplar el empleo de la via exploratoria en la enseñanza de la estadística. Y esto hace necesario una mayor cooperación entre estadísticos y matemáticos sobre este punto. Los problemas referidos al mundo real y que generan datos reales, constituyen un componente tan importante para la formación de maestros como para la matemática escolar. Terminare citando el caso de la niña que se me acercó después de la lección en la que se hablan colocado las edades de las madres sobre el tablero. Miró el diagrama de árbol y dijo: “Me gustaría tener, ahora, a mi madre denãs”.
34
Estadhica en fa educadn prinuriu
iPUEDO TENER AHORA A MI MADRE
Referencias Biehler, R. 1982. Expbmtiue Datznandyse- eine wu.ersuchng sus de, Perspektiveeiner deskripiu-~irischen Wissenschuftstheorie. [Análisis Exploratorio de Datos - Un Estudio desde la Perspectiva de una Filosofía Descriptiva y Empírica de la Ciencia]. Bielefeld, Institüt für Didaktik der mathematik der Universität Bielefeld. (IDMMaterialien und Studien, 24). Johansson, A.-M.; Sandstrom, A.3.; Dunkels, A. 1984. Boken om e&ter [Libro sobre Unidades de Medida]. Goteborg, Gothia. (En sueco). Landwehr, J. M.; Watkins, A. E. 1986. ExpIoring Data. Palo Alto, Calif., Dale Seymour Publications. NCFM. 1981. Teachmg Staisticsand probabilicy:1981 Yemhook.Reston, Va., Consejo Nacional de Profesores de Matemática. Tukey, J. W. 1977. Ex~&mt.ory Dato Andysis. Reaching, Mass., Addison-Wesley. (Bks Demand UMI). Vännman, K.; Dunkels, A. 1984. Boken om krmiu stistik rned EDA [Libro sobre Estadfstica Creativa con EDA]. Goteborg, Gothia. (En sueco).
2.
La comprensión de la aleatoriedad por los alumnos escolares Dad
Green
Introducción Todos tenemos la impresión de comprender el concepto de aleatoriedad, pero dar una definición aceptable no resulta, de ninguna manera, una cuestión fácil. Para nosotros la aleatoriedad es algo más que una intuición y todos sabemos que la intuición puede fallar. Una forma de concebir la aleatoriedad es considetindola como una propiedad intrínseca de la naturaleza, como puede serlo el bombardeo de la tierra con ondas electromagnetitas o la emisión de partkulas por un elemento radio activo. Una segunda concepción es que la aleatoriedad es una propiedad intrfnseca de los sistemas o de los objetos construidos por el hombre. Un ejemplo es el lanzamiento de un dado en el que se pretende que la aleatoriedad es, en buena medida, una propiedad del dado como lo es, por ejemplo, su densidad. Una tercera concepción es la de considerar la aleatoriedad como una característica de un experimento diseñado por el hombre, como por ejemplo una disposición de objetos realizada al azar, un mazo de cartas barajadas libremente, etc. En tales casos pueden admitirse grados variables de aleatoriedad dado que el mazo puede estar bien barajado o no. Una cuarta concepción es considerarla como una falta de correlación entre dos series. Y una quinta concepción, igualmente simple de apreciar es aquella en la que se dice que un acontecimiento es al arar si, dadas algunas condiciones previas, no se tiene la certeza de que ocurra ni la certera de que no ocurra, por ejemplo, que llueva en Londres el l* de abril del año próximo. Un examen detenido de estas cinco concepciones revela sus distintas caracterkticas. Estas diversas concepciones muestran la sutileza de la idea de aleatoriedad y, en consecuencia, el gran interés que presenta, tanto para el docente como para el investigador. Se describidn, a continuación, dos investigaciones realizadas respecto a la comprensión de la aleatoriedad por parte de escolares. Un proyecto reciente abarcó a 1600 alumnos de escuela primaria en Inglaterra, de edades comprendidas entre 7 y ll años. Se le dio a cada alumno medio hora de clase basada en un test escrito relativo al concepto de aleatoriedad y el maestro hacía, despub, una evaluación subjetiva del nivel de capacidad para el razonamiento general concretandola en una escala de cinco puntos. Un proyecto anterior comprendía alrededor de 3000 alumnos de escuela secundaria de Inglaterra, de edades comprendidas entre los ll y 16 años. Se le dio a cada alumno una clase de una hora
36
Estudktiuaen la educach fimaria
basada en un test escrito relativo a los conceptos de probabilidad y un test estandarizado relativo a la habilidad general para razonar.
Piaget y las gotas de agua Piaget e Inhelder describen, en El Origen de la Idea de Azar en los N&s, una experiencia realizada en forma individual con nifios de diversas edades. Se coloc delante de los niños una hoja grande de papel dividida en cuadrados de alrededor de 3 cm2,proporcionándoles pequeiíos cubos de hielo que representaban gotas de lluvia. Se dejaron caer los cubitos a n-aves de una criba vibradora o se colocaron directamente sobre el papel cuadriculado. Cuandoselesdioalgunoscubitosyselespreguntóqueindicarandondepodrlanir,losniños -que Piaget consideraba que estaban en la Etapa 1 (6 a 9 afios de edad) -colocaron con cuidado una por cuadrado. Cuando se les mostraba un cuadriculado casi completo con un rínic~ cuu&ado wcfo, los niños de la Etapa 1 colocaban siempre el cubito en el cuadrado vacio de manera de completarlo (Fig. 1). El deseo de regularidad (&lleza?) dominó las predicciones hechas. Es natural que un cuadrado vacio reclame la única gota de agua disponible, de manera que la forma de actuar no resulta de ninguna manera sorprendente, pero Piaget no hace ningún comentario sobre el particular. En la Etapa 2 de Piaget (9 a 12 afios de edad), seaceptó la irregularidadde la distribución, pero se pensó, todavía, que el cuadrado “seco” era el que presentaba mayor grobabplidadde recibir la próxima gota. En la Etapa 3 (mayores de 12 años), apareciõ el razonamiento proporcional y Piaget pretende (Piaget e Inhelder, 1975, p. 56) que los niños que participaban del test comprendieran la Ley de los Grandes Números, que establece que al crecer el número de casos, crece la regularidad en forma pmporciond. Sin embargo, los ejemplos citados (Piaget e Inhelder, 1975, p. 55) no resultan de ninguna manera convincentes. Y fue, precisamente, para seguir investigando estas interesantes ideas que se emprendieron las investigaciones que se describen y que se discuten aquí.
Fig. 1. Test de Piaget: “iDónde itá la próxima gota?”
La compwnsibn de la aleatoriedod por los alumnos escolares
37
El techo de un pequefio jardín tiene 16 baldosas cuadradas como se muestra en la figura. Comienza a nevar y despuésde un tiempo ha caído un total de 16 copos de nieve sobre el techo. Coloque una cruz para sefialar donde usted piensa que caerla cada copo de nieve. Explique su respuesta
Fig. 2. Test modelo: el problema de dibujar los copos de nieve. X
x X X
X x
Y
X
X
X
x
X X
X
(4
x X
(b)
03
Fig. 3. Test modelo: dibujos tfpicos de los nifios indicando la distribución de copos.
Test modelo Como una investigación preliminar, seentrevistó individualmente a 9 nit’íos de diferentes capacidades y de edades comprendidas entre ll y 15 años y se les plante6 la cuestión que semuestra en la Figura 2. Las respuestastípicas a que llegaron los nifios fueron las siguientes: Uno por cuadrado (Fig. 3a); Andrew (ll afios, muy capaz); María (13 afios, sobre el promedio). Todos los copos alrededor del borde (Fig. 3b); Dawn (12 años, baja capacidad). Distribución al azar (Fig. 3~); Wendy (ll afios, muy capar). Solamente dos de los nueve presentaron un modelo aleatorio. Resultó evidente que la mayorfa de ellos se sintieron impulsados a colocar cuidadosamente un copo en cada cuadrado como consecuencia de habkseles pedido que dibujusen la distribución de los copos sobre el techo del jardIn. Teniendo en cuenta esta circunstancia, y como continuación de la experiencia, se cambió la cuestión pasando a un formato de elección múltiple de manera de hacer necesario, precisamente, la distribución más apropiada. Y se incluyó esta nueva cuestión (Fig. 4) en un test escri to presentado a 320 alumnos de diversas capacidades y de diferentes edades. En la Tabla 1 semuestran los resultados que seresumen gnificamente en la Figura 5.
-
-__----i.l-ll
Esrudijticaenla-primaria
38
Tabla 1. Test modelo: respuestas de elección múltiple en el caso de los copos de nieve (porcentajes) Año de Secundaria
Número de participantes
Edad (años)
1 2 3 4 5
1 Regular
ll 12 24 6 7
40 57 57 64 55
65 58 67 88 42
ll-12 12-13 13-14 14-15 15-16
3 Al azar
Otros
46 29 15 28 33
3 2 4 2 5
En los dibujos que siguen cada marca * indica donde cay6 un copo de nieve. iQué dibujo muestra mejor la clase de modelo que usted obtendría? l t t
t
l
l
t t
13)
(1) l
t
l
l
~ l
t
t
t
Fig. 4. Test modelo: la cuestión de elección múltiple relativa a los copos de nieve.
1
2
3
4
5
Ano de Secundaria
Fig. 5. Test modelo: respuestas de elección múltiple a la caída de copos de nieve. No debe inferirse demasiado a partir de estos datos, dado que no se realizó ningún control estadktico adecuado relativo a la representatividad de la muestra. Resulta sorprendente, sin embargo, que los que lo hicieron mejor fueron los más jóvenes, dentro de los cuales aproximadamente la mitad eligió el modelo aleatorio. Un análisis detallado mostró, también, que los más capaces seleccionaron, con mayor frecuencia, el modelo regular,
mientras que los menos capaces lo hicieron con menor frecuencia. Estos dos resultados levantan serias dudas en lo que se refiere a la relevancia de las Etapas del Desarrollo Cognoscitivode Piaget que impulsan a una investigación estadísticamente controladay de mayor amplitud.
Copos de nieve: Una experiencia a gran escala con alumnos de ll a 16 años Se incorporó una variante de la experiencia anterior a un test realizado con una muestra representativa de 2930 alumnos de escuelas secundarias inglesas. Green (1983) ha publicado, en otra parte, los detalles completos de esta experiencia. En la Figura 6 se muestra una forma abreviada de la misma, presentándose en la Figura 7 un resumen de los resultados obtenidos. A continuación aparecen tres conjuntos de dos dibujos. Cada conjunto muestra el modelo que se ha construido de los copos de nieve - primero 4 copos, después 16 copos.
X
x X
CONJUNTO
X
X X
B X ~
CONJUNTO
X
xx
x
X
x
x
x
x
x
x
x
A X
CONJUNTO
xxx
C
X
X x xx X X X X X x x X X qX X
Estodfrti
40
&Ml
en kaeducaabn primmia
de estos conjuntos muestra mejor la clase de distribución que ustedesperaríaver como la caída de los copos de nieve? Cadaunoa
, A ,
, B ,
, C ,
,BYC]
iguarp””
Fig. 6. Test secundario: la cuestión de los copos de nieve. 80 70 .g j -8 *; 5 B 2
60
F
.
~eam-&;atorio
50. 40 30-
Q
20 10 0
1 1
I
I
I
1
2
3
4
5
Año de Secundaria Fig. 7. Test secundario: las respuestasa la caída de copos de nieve muestran una declinación con la edad El resultado sorprendente esque el porcentaje de los que eligen la distribución aleatoria disminuye con el aumento de edad (Fig. 7, linea inferior). Aún admitiendo una distribución semi-aleatoria, puede apreciarse, tcdavla, una declinación (Fig. 7, linea superior). La cuestión misma que se plantea puede ser criticada, pero no surge de ella una explicación plausible de este fenómeno. El análisis del comportamiento de los alumnos de diferentes capacidades no reveló ninguna tendencia clara, sino otro aspecto enigmático. Y con la finalidad de ampliar la investigación sobre esta cuestión, se centró la atención en un refinamiento que hiciese posible utilizarla con alumnos m5s jóvenes.
Gotas de lluvia: prueba en gran escala para alumnos de 7 a ll años de edad Se preparó un test de aleatoriedad y se les propuso a 1600 alumnos de escuela primaria con edades comprendidas entre 7 y 11 afios. Green (1988) ha informado respecto a los detalles de la misma. Y con la finalidad de establecer comparaciones se propuso tambien el test a todos los alumnos de tercer afro de escuela secundaria (de 13 a 14 años de edad). Una de las cuestiones del testera la que se muestra en la Figura 8 y que constituye una variante del
La c0mprensi6n de kaaleatoriedod por los alumnos escokms
41
problema de la calda de los copos de nieve, con la introducción de algunos cambios dirigidos a mejorar su validez. En la Tabla 2 se presentan los resultados, que se resumen en la Figura 9. Aunque existe una disminución clara con la edad en los que prefieren el modelo simétrico regular, no aparece un incremento apreciable para el modelo aleatorio (o semialeatorio) después de alrededor de los 8 años. No se encontraron diferencias significativas respecto al sexo de los alumnos, sino que la capacidad general para el razonamiento (evaluada subjetivamente por los maestros de aula) fue, estadísticamente, muy significativa. En la Figura 10 aparecen claramente indicadas las tendencias. Puede observarse que los alumnos de menor capacidad (grado E) revelan una tendencia mucho mayor para seleccionar el modelo regular indicando, con ello, una falta de apreciación de la aleatoriedad. Y una característica clara es el equilibrio entre los modelos aleatorios y semialeatorios. El techo plano de un jardín tiene 16 secciones cuadradas. Comienza a llover un poco. Después de un lapso breve han caído 16 gotas de lluvia sobre el techo. He aquf tres dibujos que muestran las gotas de lluvia sobre el techo.
.. .0. . . . IEII 3a .
l
l
l
.
.
,
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0
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.
0
0
l
l
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.
.
0
.
.
l
0
A
B
iQué dibujo muestra mejor la distribución que usted esperaba ver? A
B
cl
cl
C
esel mejor
Ninguno
cl
cl
No sabe
cl
Fig. 8. Test de aleatoriedad: problema de las gotas de lluvia Tabla 2. Test de aleatoriedad: porcentajes de respuestas al problema de las gotas de agua Año
Edad
Número de ThIUXX
A Regular
B Semi-aleatorio
C Aleatorio
‘Ninguno Ono es el mejor”
participantes Primmia 4 5 6 7
l-8 8-9 9-10 10-11
400 400 400 400
23 16 10 13
34 35 40 39
31 38 39 37
Secundaria 3
13-14
225
6
37
41
6 8 6 6 ll
7 3 5 5 5
Fig. 9. Test de aleatoriedad: respuestas al problema de las gotas de agua
1
40
30 I d xm PB 10
l3 ReeJ~ 0 semi-8lamio
n Aleataio
0
Fig. 10. Test de aleatoriedad: respuestas al problema de las gotas de agua según la capacidad (7-l 1 afios)
50 a 1 M 4 Y a6 20 2
QRcguh
qn Akado Sm¡-damio
10
Modelos y realidad Es discutible si los ítems del test que se termina de describir constituyen un test valido del concepto de aleatoriedad, y esto depende, sustancialmente, de los modelos conceptuales del sujeto y del investigador. $e comportan los copos de nieve y las gotas de lluvia como sesupuso? iSaben los niños lo que sucede realmente? iLo sabemosnosotros? $omprenden los niños lo que se les está preguntando? &tamos sometiendo a prueba el conocimiento de un fenómeno físico o de un modelo matemático, o de la relación entre ellos? iEs esto una cuestión de lógica o de experiencia? Resulta interesante, al respecto, volver a lo que Piaget e Inhelder (1975, pp.49-50) escribieron acerca de este punto: Estudiaremos, ahora, un caso de distribución uniforme Nada es más común. al respecto, que la forma de distribución que presentan las gotas de lluvia cuando caen de manera fortuita al comienzo de un aguacero de poca intensidad. [Al comienzo] s6loalgunasde lasbaldosassednalcanzadasporlasgotasperosi la lluviacontinúa... hay una probabilidad creciente de que se de una distribución regular de las gotas. Y, precisamente, lo que Piaget e Inhelder entienden por el ‘término “uniforme” no resulta de ninguna manera obvio. Quitás el original francés sea mas claro! Ellos estaban más interesados en el desarrollo de la comprensión de la Ley de los Grandes Números que
Lact3mpensi6ndeladeatariedadporlosdumlws&es
43
en concentrarse sobre los acontecimientos aleatorios individuales que contribuyen a ello. La interpretación corriente del termino “uniforme” es un modelo estadbtico en el que la probabilidad de que una gota caiga en un cuadrado es la misma de que caiga en otro. Y esta es la idea que parece haber estado presente en la mente de Piaget, dado que destaca la creencia “incorrecta’de los nifios más jóvenes de que los cuadrados vaclos tienen una chance mayor de recibir una gota. Aunque para una lluvia real esto puede ser, en efecto, correcto, no lo es de forma tan forzosa como lo creen los jóvenes. Esta uniformidad fue considerada, en efecto, muy importante para los alumnos de ll a 16 afios que se entrevistaron individualmente después de haber completado el problema relativo a los copos de nieve en el test secundario. Las gotas de agua se generan en un área amplia y es presumible que las gotas individuales experimenten, únicamente, pequefios desplaramientos laterales con relación a las gotas adyacentes. En realidad, parece probable que las personas presten poca atención a la forma en que se distribuyen las primeras pocas gotas que caen. El recuerdo que perdura es el de la uniformidad qu pronto surge de la Ley de los Grandes Números. Como consecuencia de ello, se hace un supuesto incorrecto respecto de la uniformidad de un número pequefio de gotas de agua. La creencia en la Ley de los Pequefios Números, a la que se refieren Tversky y Kahneman (197 1), se relaciona con el fenómeno sicológico derepresenratividad (Kahneman y Tversky, 1972). La cuestión anterior destaca la dificultad de utilizar cualquier situación real sugiriendo, a la vez, que para aislar el concepto de aleatoriedad puede hacerse necesario la consideración de una situación artificial en la que pueda exphcitarse el modelo. A continuación se describiní este enfoque.
Fichas seleccionadas Parapoderhacer másclaroyexplícitoparalosalumnosel modelodedistribuciónuniforme, se incluyó otro Item en el Test de Aleatoriedad (Fig. ll ). No se hace en este ítem, ninguna mención a la nieve o a la lluvia y se realiza una dase de demostración con algunos alumnos seleccionados, de fichas numeradas con reemplazo. Paul interviene en un juego empleando 16 fichas numeradas 1,2,3,4, .... 16. Paul coloca las fichas en un recipiente y las agita bien. Rachel cierra sus ojos y elige una ficha. número 7.
Es el
Paul coloca una cruz en el cuadrado 7. Se vuelve a colocare1 7 enlacajayotroalumno tomaunaficha.
Fig. ll. Test de aleatoriedad: demostraci6n de la selección de fichas.
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Estodrtti en h eduwi6n primaria
44
Se les leyeron las instrucciones en voz alta a la clase y serealitó una experiencia con seis alumnos, en la que cada alumno seleccionaba una ficha, volviendola a colocar, despub, en la caja. Todos los alumnos de la clase registraron cada número seleccionado colocando una cruz en el casillero correspondiente en su cuadernillo de respuestas. Si no habla ocurrido ninguna duplicación, en forma natural, despu& de seis ensayos, el investigador la hacía aparecer en un ensayo extra (skptimo) sin que los alumnos se dieran cuenta de la intervención. Siguieron luego tres preguntas en las que los alumnos tenlan que ilustrar lo que pensaban que sucederia si se continuara con esta experiencia con doce, dieciséis o treinta selecciones. Y una pregunta más, ahora, para ser descripta explorandola en un formato de elección múltiple (Fig. 12). En primer drmino, el lector puede querer estudiar las preguntas en la Figura 12 y decidir qué modelos muestran evidencia de engafiar (no aleatorio) y cuáles no (aleatorio). Puede entonces considerar el lector, cómo niños de edadesentre 7 y 14 años-y con capacidades variables -contesta& probablemente. Qué Items son muy fáciles y cuáles son difíciles? LEn qué orden de dificultad los colocaría usted? En la Tabla 3 se presentan los resultados obtenidos con nifios ingleses, mostrando los porcentajes correctos (facilidades) para cada uno de los ocho dibujos. Se les indicó a algunos niños que realizaran el juego de las fichas por si mismos, empleando 16 fichas. iAlguno hizo trampa? iTodos hicieron trama? iNinguno hizo . .I trampa? iUd. d& dec Idu. x
x x
x EEH
Alice iHizo trampa Alice?
x x
Emma iHizo trampa Emma?
x x
Janet
Nicola
iHtio namp Janer?
iHUo trampa Nicok?
cl
cl
cl
cl
Rebecca
Sally
Tracey
Claire
~H¡ZXJtrampa RebecCa?
iHUo trampa Sally!
iHtio tramp -l-EXX~?
iHi20 trampa Claire?
cl
1
El
cl
Fig. 12. Test de aleatoriedad: problema de selección de fichas. (Versibn AC)
Tabla 3. Test de aleatoriedad: facilidades para el problema de selección de fichas Repueahs -cm
pocalu-
Al\o
Edad
AliCbZ si
Eftlmp Si
J-c NO
NidS No
llebsca Si
Sally Si
Twq Si
claice Si
l+immia 4 5 6 7
7.0 8-9 9.10 lo-11
67 74 04 84
45 52 67 67
70 79 86 88
66 67 76 81
70 02 90 90
40 40 38 43
53 49 53 50
41 48 42 48
3
13.14
84
74
95
90
95
40
50
41
La edad y la capacidad general de razonamiento resultan factores altamente significativos para los primeros cinco ítems. El sexo no es significativo para ninguno, la versión del test (que afecta el orden en que se presentan los Items) resultó significativa solamente para Ahce.
Alice El modelo de Alice (Fig. 12) luce tan improbable que sepodd esperar, pticticamente, que todos los alumnos declararan que Alice había hecho trampa. Sin embargo, un tercio de los alumnos de 7 a 8 años no lo consideraron asl y, aún para el 16%de alumnos de 13 a 14 afios el modelo pareció razonable. El primer ítem fue el de Alice en la versión AC, mientras que para la versión BD, fue el tercero. Esto condujo a una reducción del 10% en la facilidad para alumnos de 7 a ll años e partir del 83 al 73%. No hay razón inmediata que explique por que la posición debe importar y, quizás, esto es pura coincidencia, pero el nivel de significación estadístico es muy alto (p c 0,OOOl).
Rebecca, Emma y Nicokz Estos tres casospresentan modelos que corresponden exactamente a los del problema de las gotas de agua (Fig. 8). Es claro que la mayorla de los alumnos rechace como no natural el modelo extremadamente regular, tanto en el caso de las gotas de lluvia como en el de las fichas. La menor facilidad para Emma, comparada con Rebecca, muestra que el dibujo mismo confunde, aproximadamente, a un 25%, dado que las distribuciones son 16gicamente idtkticas en los casosde colocar cruces en los casilleros. Resulta alentador que una gran proporción de los alumnos reconozca que Nicola tiene un modelo (aleatorio) aceptable. De donde surge que los resultados extraños en los casosde los “copos de nieve” eran atribuibles a peculiaridades del problema y no como indicación confiable de una comprensión debil de la aleatonedad.
Janet Comparado con Nicola, el agrupamiento no muy marcado produce en Janet una facilidad apreciablemente mayor que muestra la tendencia de los alumnos a subestimar cómo puede ser una distribución producida aleatoriamente.
Sdy, Tracey y Claire Los cinco items anteriores son relativamente claros y sensibles para desarrollar la lógica. Es asi que sus facilidades se corresponden de manera notoria tanto con la edad como con el nivel de capacidad para razonar. Por el contrario estos últimos tres items son más sutiles y masexigentes, loquecondwe a unamenorfacilidad (comoeradeesperar) pero, tambikn, aunasorprendentefaltade mejoramientocon!aedadocon!ahabi!idad. TantoSally,como Claire presentan en forma manifiesta, frecuencias improbables para los recuadros: ninguna ocurrencia de una cruz única, sino que aparecen siempre juntas dos o más. Podría explicarse la poca facilidad de alrededor de! 40% por el hecho que muchos alumnos se concentran sobre el modelo visual en su conjunto (que es completamente aleatorio) e ignoran las frecuencias detalladas de los recuadros. Sin embargo, en contraste con esto, Tracey tiene un modelo visual marcadamente no aleatorio y a la vez variable (laleatorio?) de las frecuencias de los recuadros, pero a pesar de esto logra una facilidad de alrededor de! 50%, 10que parece contradecir la afirmación anterior. La respuesta puede ser que hay dos grupos de niños que no asignan la misma importancia a los dos aspectos. Algunos ven la aleatoriedad en drminos globales, mientras que otros prefieren un enfoque más localizado. La aleatoriedad no es, evidentemente, un concepto simple que presenta diferentes facetas, de manera, que no deberlamos, quizas, sorprendemos al obtener resultados anómalos.
Algunas implicaciones para el maestro y para el investigador La amplia variación de resultados obtenidos cuando se someten a prueba a los alumnos sobre el problema de los copos de nieve, de las gotas de lluvia y de las fichas, señala la crucial importancia de! contexto en el que se plantean los problemas, así como la necesidad de interpretar los resultados cuidadosamente. Y, en cierta medida, esto puede cuestionar los resultados comunicados por Piaget. El incremento de facilidad, con la edad, respecto a algunos items y la ausencia de todo aumento para otro6 items, en apariencia muy semejantes, muestra la sutileza intelectual, muy marcada, que demanda el concepto de aleatoriedad. Lo que puede aparecer para el maestro como trivial y obvio puede resultar, en realidad, profundo y sutil, por lo que no debe ser tratado ligeramente o pasado por alto. Al estudiar acontecimientos aleatorios surgen, conjuntamente, aspectos de distribución loca! y genera! aslcomo de apariencia visual. Es necesario considerar separadamente estos aspectos y centrarse en ellos. El uso de! término genera! “aleatoriedad” sin examinar sus diferentes manifestaciones e interpretaciones crea - más bien que evita - dificultades y empobrece la vida intelectual de losestudiantes. Frente a esta cuestión, no podrían resultar adecuados, ni la experiencia natura!, ni la maduración, ni el curricu!o de la educación en vigencia. Es claro que para que muchos alumnos logren una mejor comprensión de estos aspectos másprofundos, resulta esencia! una intervención adecuada de! maestro, dentro de un currkulo planificado. Experiencias dirigidas a que los alumnos exploren la variabilidad - lo que constituye la esencia de! pensamiento estadístico - pueden contribuir a lograr una conciencia que no es reconocida dentro de un enfoque matemático tradicional de la estocástica.
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_.
3.
Empleo de juegos de estrategia para evaluar y para desarrollar la comprensión de probabilidad por los estudiantes Thomas L. Schroeder
Se han utilizado, y con distintas finalidades, muchos juegos diferentes para la enseñanza de una amplia variedad de temas de matemática, y un gran número de investigadores han estudiado sus efectos (Bright y colab., 1985). En particular, se han empleado, a menudo, juegos de azar con la finalidad de introducir y de explorar conceptos de probabilidad, dado que con ellos se dispone de ejemplos familiares y prácticos de estas ideas. El autor de este artículo desarrolló, originalmente, el juego denominado Captura - que se discute a continuación -con la finalidad de que los alumnos de escuela primaria hiciesen práctica de cálculo. Y se desarrolló no sólo por su valor como tal, sino ubicándolo en un contexto de resolución de problemas que podría motivar, también, una actividad intelectual más elevada tal como la planificación previa, la predicción de resultados ye1 desarrollo y análisis deestrategias (Schroeder, 1983b; Krulik y Rudnik, 1983). El juegoCuf>turuhaprobado ser, también, muy útil como medio para investigar la comprensión de los conceptos de probabilidad por parte de los alumnos de escuela primaria (Schroeder, 1983~1).
Los juegos El autor ha desarrollado dos versiones de Captura, denominadas Captura I y Captura 2. Ambas pueden jugarse con tableros de juegos, dados y fichas, o pueden jugarse, también, en un microcomputador empleando programas que contengan las reglas, que muestren el tablero de juego, que registren los movimientos y que, además, simulen los movimientos de uno de los jugadores. Estos programas están disponibles para el público en gene&. En el Apéndice sepresentan las reglas que rigen ambos juegos; las Figuras 1 y 2 muestran, a su vez, pantallas típicas de representación observadas mientras se juegan versiones para microcomputador de ambos juegos.
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Estodlsticaen lo educai& primuria
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Fig. 1. Representación tlpica en pantalla mientras se juega Capturu 2 en un microcomputador Apple.
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Fig. 2. Repmsentaci6n dpica en pantalla mientras se juega C@trcra 2 en un microcomputador Apple.
ESELTURNODETOM. SUMARCAESX. $JlJE LUGAR DESEMUA CAPTURAR? TKLEE UNA FRA!3ENUMERICA Y LUEGO VUELVA
Estrategias para jugar Cuptura Se emplea el t&mino “estrategia” en muy diversos campos y disciplinas incluso en la teoría matemzkica de juegos, en la inteligencia artificial,en la sicologla cognoscitiva (y especialmente meta-cognoscitiva) yen los deportes. Yen el contexto presente, donde tratamos con alumnos, con las conductas que exhiben mientras practican los juegos y expresan su pensamiento, seemplea el drmino “estrategia” para referirse a las decisiones que toman los jugadores o a las reglas que emplean para determinar cuál de los movimientos disponibles
]uegos de t!muqia
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yprohabilidod
hacer en un momento dado. Los calificativos que pueden precisar el concepto, tales como ‘Xptima”, “novicio”, “experto”, uofensiva”, udefensiva” y otros, se usan dentro de su significado obvio. Las estrategias empleadas en los juegos no deben confundirse con la “heurfstica” de resolver el problema de encontrar estrategias para el juego. Se considera a Captuta como un juego de estrategia, dado que sehan identificado cuatro estrategias para jugarlo. Aunque estas cuatro estrategias no garantizan el triunfo para el jugador que las emplea, ellas aumentan la probabilidad de ganar. Estas cuatro estrategias son: 1. No recapture una posición en la que ya estuvo. 2. Cuando sea posible capture una posición que ocupó su oponente. 3. Capture una posición para la que su oponente tiene menos probabilidad de recapturar entre las que Ud. ocupó (es decir, la posición que puede capturarse, con el menor número de resultados diferentes de tiradas del dado o de los dados). 4. Coordinar las tres estrategias anteriores, dando prioridad a las Estrategias 1 y 2, pero aplicando la Estrategia 3 cuando ellas no determinen un movimiento óptimo único. Pueden considerarse las Estrategias 1 y 2, estrategias ofensivas, mientras que la 3 es defensiva. Y la Estrategia 4 -la estrategia óptima o de los expertos-puede considerarse como una meta-estrategia o estrategia coordinadora. La Estrategia 3 es la que permite investigar el concepto que los estudiantes tienen de la probabilidad y está basadaen la idea intuitiva de que algunas posiciones del tablero son “más difíciles de lograr” que otras. La probabilidad de que el adversario seacapaz de reconquistar, más tarde, una posición dada en el tablero depende del número de resultados diferentes del lanzamiento del dado o de los dados que permitan la captura de la posición. Puede calcularse exactamente la probabilidad de sercapar de reconquistar cada posición en cada etapa del juego (Schroeder, 198h), pero, con el propósito de desarrollar una estrategia, resulta tan útil saber que cuanto menor es el número de resultados diferentes que posibilitan una captura, menor ser5 la probabilidad teórica de que el adversario seacapaz de reconquistar aquella posición en un movimiento posterior. La Figura 3 muestra el número de resultados diferentes que permiten capturar cada posición.
Un estudio de la estrategia de los estudiantes Considerar si un estudiante emplea estas u otras estrategias, podría constituir un enfoque conductista y determinarfa, a cada movimiento de juego, si la forma de jugar el estudiante es consistente o no con cada una de las respectivas estrategias. Y puede hacerse esto calculando los valores de cuatro variables,Sl , S2, S3 y S4, que toman el valor +l cuando el movimiento del jugador es consistente con la estrategia, el valor -1 cuando no lo es y el valor 0 cuando no aplica la estrategia o cuando no puede utilizarse. Lamentablemente, los valores de estas variables no constituyen condiciones necesarias y suficientes para que un estudiante “tenga” o “emplee” las estrategias correspondientes, dado que una determinada forma de actuar puede ser consistente con una estrategia que el estudiante no se ha propuesto y porque un error de cálculo, o la falta en considerar todas las al temativas, pueden resultar en un movimiento inconsistente con la estrategia explkita o intencional del estudiante. Un segundo enfoque para evaluar lasestrategiasde los estudiantes consiste en plantearles preguntas abiertas tal como “1Importa el movimiento que elige para efectuar?” y “Qué
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captura
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Fig. 3. Númerode resultadosde los lanzamientosdel dado (o dados) que permiten capturar cada posición en el tablero en Captura 1 y en Captura 2.
juegosd.eestrategia y plobabw
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piensa cuando elige sus movimientos?“. Puede argumentarse que las respuestas a tales preguntas no constituyen indicadores válidos y confiables en lo que respecta al empleo, o no empleo, de estrategias que hace el estudiante. Por un lado, ellas pueden conducir a una subestimación de las estrategias de los estudiantes dado que interfieren con la concentración o el enfoque, demasiado estrechos, sobre la estrategia utilizada en una situación particular, más bien que sobre la gama de estrategias que una estrategia coordinada, explícita o implkitamente, podría presentar en diferentes situaciones. Por otra parte, las preguntas mismas podrían mejorar el desempeño de los estudiantes insinuandoo sugiriendo ideas que, de otra manera, el jugador podía no haber considerado, o estimulando el pensamiento reflexivo (es decir, reflexionando acerca del propio pensamiento de los jugadores). Y esto resulta particularmente probable cuando seplantean preguntas complementarias tendientes a clarificar una afirmación o cuando el entrevistador plantea, deliberadamente, preguntas que sugieren la respuesta deseada Pero empleando conjuntamente ambos enfoques y reconociendo las ventajas y las limitaciones de cada uno, puede llegarse a algunas conclusiones, haciendo posible informar a terceros respecto a las evidencias en que ellos se basan posibilitando, así, su evaluación.
Diseño experimental y procedimientos Los sujetos que participaron en el estudio de investigación (Schroeder, 1983~1)fueron seis niños canadienses de los grados 4,5 y 6, con edades comprendidas entre 10 y 12 años y representativos de una gama de niveles de capacidad. Y si bien estaban todos familiarizados con el empleo del microcomputador, no habian recibido ninguna instrucción formal previa sobre probabilidad. Se entrevistó a cada uno de ellos durante tres días escolares consecutivos. Durante los dos primeros días jugaron Captura 1, haciéndolo dos veces contra un jugador simulado en el computador, discutiendo los juegos con el entrevistador mientras jugaban. Enel tercerdíajugaronydiscutieron,endosoportunidades,elCaptura2. Segrabó cada entrevista y seregistró cada movimiento de cada juegoenel programa del computador para an&is posteriores. Se computaron los valores de Sl a S4 para cada movimiento de cada juego en que intervino cada estudiante.
Resultados y conclusiones Al comienzo de la experiencia, algunos alumnos no estaban segurosrespecto al significado de la Regla 5 referente a recapturar posiciones, pero a excepción de uno, todos se dieron cuenta, inmediatamente, de su efecto cuando el contrincante recapturaba una posición que habian ocupado antes. El estudiante que no reconoció inmediatamente la importancia de recapturar una posición ocupada por el contrincante, lo hizo muy pronto después de una serie de preguntas que sugieren la respuesta deseadaformuladas por el entrevistador. Es asi que todos los participantesdescubrieron, emplearon y describieron tas Estrategias 1 y 2. Sus comentarios revelaron que habIan llegado a ver estas estrategias como completamente simples, y aún obvias. Así, por ejemplo, un estudiante descubrió un movimiento que hubiera resultado en la recuperación de una posición que ya había ocupado como “desperdiciar un turno de juego”.
Varios alumnos admitieron, en forma general, que las posiciones alcanzadas por los números más grandes son menos deseables que las posiciones correspondientes a números menores, dado que esasposiciones tienen una menor probabilidad de ser “quitadas” por el contrincante. Apoya esta conclusibn la forma general de las gtificas de la Figura 3, y un ar&isis detallado de cada resultado en Captura 1, así como el conjunto de posiciones que permite que un jugador realice una captura, revela ~610una excepción a la regla de que el mayor valor que un jugador puede capturar en una jugada dada resulta ser el más “seguro”. La mayorfa de los participantes que propusieron esta idea brindaron explicaciones másbien tentativas, y encontraron diffcil confeccionar listas exhaustivas de los caminos por los cuales podian recuperarse las posiciones. La teoria de Piaget sugiere que el listado exhaustivo y sistemático de todos los resultados de un acontecimiento compuesto, tal como este, seria difícil o imposible para nifios que no hayan alcanzado la etapa de las operaciones formales (Piaget e Inhelder, 1976). Es así que estas respuestas incompletas de los estudiantes no resultan inesperadas. Otros dos participantes reconocieron, después de algunas incitaciones al respecto, el hecho de que algunas posiciones cambiaban de mano más fácilmente que otras, pero no podían describir una estrategia para minimizar las oportunidades del contrincante para recuperar posiciones y no parecian capaces de relacionar esto, aún en términos informales, con la probabilidad. Estos dos estudiantes mostraron los niveles más bajos de comprensión de la probabilidad observados a lo largo del estudio. Las variables Sl y S2 tienen, en algunos casos, valores negativos aún después que el participante ha descubierto estasestrategias; y esto surge de errores de cálculo, de la lectura equivocada de la presentación de la linea de números, o de la no consideración de todas las posibilidades. Las variables S3 y S4 fueron, a veces, negativas para estudiantes que parecían haber comprendido las estrategias correspondientes, y esto sedebió a que susestimaciones de las probabilidades relativas fueron, en algunos casos, incorrectas, como consecuencia, en la mayorfa de los casos, del error de no considerar todas las posibilidades. Así, por ejemplo, un participante que había comprendido y explicado la Estrategia 3, argumentaba que 0 era una posición mejor para elegir que 22 en el caso de haber sacado dos en el Cupruru 1. Su razonamiento de que el único camino pata lograr 0 seria lanzar dobles y elegir la sustracción fue conecto y, cuando se le interrogó al respecto, reconoció que existian seis resultados que hacian posible que un jugador lograse 0. Pero, cuando se le preguntó acerca del número de resultados que podrtan permitir la captura del 22, demoró mucho más en determinar que habla solamente uno,a saber, el doble dos. Aunque este participante fue capaz de componer listas exhaustivas de las formas para capturar cada posición y que habla sugerido hacerlo para determinar el movimiento óptimo, no fue capaz de hacerlo en este caso. Es interesante hacer notar que este participante, cuyas respuestasrevelaban el nivel más avanzadodecomprensión de la probabilidad era, también, uno de los participantes más jóvenes (10 años y 1 mes de edad). En la discusión de los juegos con el entrevistador, pareció que algunos participantes empleaban los conceptos de probabilidad de forma implícita en las últimas cuestiones que sepresentaban en la discusión. Y se utilizaron términos informales (tales como “más de una chance” o “una mejor posibilidad”) en lugar de términos más formales. Se utilizaron, con mayor frecuencia, las predicciones que los argumentos basados en la probabilidad, lo que puede haber ocurrido porque las preguntas de los entrevistadores sugerían, a veces, predicción en lugar de estimación de la probabilidad. El estudio demostró que los alumnos de los Grados 4 a 6 (con edades de 10 a 12 años) tenían una amplia gama de niveles de comprensión de la probabilidad en su aplicación a
]uegosdeesaategia y pr-
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la construcción de estrategias para jugar estosjuegos. Dos de los seisnifios demostraron muy poca comprensión después de haber jugado varias veces los juegos, aún cuando fueron orientados por una observación del entrevistador relativa a que algunas posiciones parecfan cambiar de mano menos mpidamente que otras, y con preguntas orientadas al empleo de este hecho para la elección de movimientos. La mayo& de los alumnos tenfan ideas relativas a la probabilidad y a las estrategias que se caracterizaban, probablemente mejor, como intuiciones (Fischbein, 1975) que como comprensiones explícitas o formales. Esto puede apreciarse másclaramente en las respuestasde los participantes que formularon y que emplearon la generalización de que las posiciones que lucen números más altos son más codiciables, pero dudaron o fueron incapaces de proporcionar una razón o una explicación para este hecho. Puede verse otro ejemplo de comprensión intuitiva en la descripción que un participante hace de los dobles consider&dolos como “suerte”; surgfa del contexto, en forma indudable, que esto estaba vinculado a la baja frecuencia con que se daban. Otros dos de los seisestudiantes, que teman una compresión completamente clara de la necesidad de considerar la probabilidad de recaptura dentro de la construcción de una estrategia defensiva, lograron algún exito operando y explicando las Estrategias 3 y 4 en función de los números de los diferentes resultados que podrían permitir al adversario recapturar cada posición.
Implicaciones para la enseñanza Si bien la finalidad de la investigación no era enseñar probabilidad, resulta evidente que el aprendizaje tuvo lugar mientras los estudiantes participaban en los juegos, cuando respondfan las preguntas de los entrevistadores y cuando explicaban las estrategias que empleaban. Se tuvo la impresión de que algunas de las preguntas fueron las causantes de que algunos estudiantes prestasen atención a características de las situaciones que les habían pasado inadvertidas y que los llev6, como consecuencia, a desarrollar nuevas estrategias. Estos resultados sugieren que podría utilizarse el juego Captwu en situaciones generales del aula dentro de un ciclo de ensefianza que incluyese la realización de juegos, la proposición y el ensayo de estrategias, la discusión de resultados, etc. El papel del alumno, dentro de este contexto, se concreta, esencialmente, en lograr la explicación de las estrategias mientras que el papel del maestro es proporcionar el contexto y proponer cuestiones para ser investigadas. Algunas preguntas del maestro pueden servir como sugerencias. Por ejemplo, el maestro puede ayudara un alumno a tomar conciencia de la necesidad de una estrategia formulando preguntas de carkter general, ales como “iImporta la posición que se elige?” y “&n algunas posiciones mejores qu otras para capturar?“. Para ayudar a un estudiante a considerar las estrategias defensivas asf como estrategias ofensivas, el maestro podrfa hacer la observación de que algunas posiciones parecen cambiar de mano con mayor frecuencia que otras y solicitarle al estudiante que explique por que pasa esto. Preguntas como esta: “iPuede encontrar algunas posiciones que no cambian de mano con facilidad?” “iPiensa que seria masdifícil (o menos probable) para su contrincante recapturar algunas posiciones que otras!»,podrf an ll evar a algunos estudiantes a comprender la Estrategia 3. Es importante notar en todas las interacciones entre estudiantes y entre maestro y estudiante, prestar atención, utilizar y, a veces, clarificar los términos informales que los alumnos utilizan en las discusiones relativas a situaciones que se presentan en el juego y a las estrategias que seemplean. Expresiones informales tales como “más diffcil de obtener”,
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Estndkticaen la e&cacSn primaria
“mas fácil de recapturar “, “mejores oportunidades de mantenerla”, “más formas de obtenerla”, y muchas otras que fueron empleadas, en forma significativa, por los estudiantes durante la investigación, deberfan ser fomentadas y fortalecidas en la enseñanza. Un maestro que es capaz de cambiar la preocupación de un estudiante por lo que podría suceder en los movimientos futuros del juego, por lo que es probable o improbable, más probable o menos probable de suceder, esti introduciendo en una forma muy prktica la idea de probabilidad. La idea de que el número de formas diferentes en que podría tener lugar un suceso se relaciona con la probabilidad de que suceder& es una idea fundamental que proporciona una comprensión intuitiva de la vinculación entre la probabilidad teórica (calculada en base al recuento de resultados considerados igualmente probables) y la probabilidad experimental (calculada sobre la base de contar resultados realmente observados). Dado que los términos “posibilidades” pueden ser empleados tanto en el sentido de probabilidad (como en la frase “$Zuáles son las posibilidades de ganar?“) como en el sentido de contar los resultados que determinan la probabilidad de un acontecimiento (como en la expresión “Hay seisposibilidades de capturar 0 en Captura 1, uno por cada uno de los seis dobles posibles”), ello puede ayudar a los estudiantes si el maestro emplea este término en ambos de los contextos señalados. El juego Captura puede servir como contexto para varias situaciones de enseñanza diferentes. Además de desarrollar estrategias para jugar y de explicarlas y de justificarlas a otros, los alumnos pueden investigar cuestiones tale como “IImporta quién va primero?“, “LVa en ventaja un jugador u otro?” y “iResulta siempre una buena idea capturar a su contrincante cuando puede hacerlo, o hay oportunidades en que debe emplear alguna otra estrategia?. El juego Captura proporciona, por lo menos, oportunidades para realizar prktica de cálculo, pero puede extenderse y enriquecerse tambikn su empleo de forma que los alumnos se vean involucrado tanto en el planteo como en la solución de problemas.
Nota 1. Los programas de computador para los juegos Captura f y Captura 2 para los computadores Apple II+, IIe, IIc y IIgs pueden obtenerse en: Unidad de Tecnología Educativa Facultad de Educación Universidad de Calgary, Calgary, Alberta T2N lN4, Canadá. !3esuministran estos programas a un costo nominal que cubre el costo de los medios así comolos gastosde envío. Se permite copiar los programas y compartirlos con otros, pero no se permite venderlos.
Referencias Bright, G. W.; Harvey, J. G.; Wheeler, M. M. 1985. Leaming und Matknwtics Games. Reston, Va., Consejo Nacional de Profesores de Matemática (Monograffa 1 de la Revista para la Investigación en Educación Matemática).
Juegosde amnegia y p&&dnd
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Fischbein, E. 1975. The Iratuitiw SourcesofProb&liry Thinking inC&kfren. Dordrecht, D. Reidel. Krulik, S.; Rudnik, J.A. 1983. Stmtegy Gaming and Problem Solving: An Instructional Pair Whose Time Has Come! Ari&metic Teacher, Vol. 3 1, NP 4, pp.26-9. Piaget, J.; Inhelder, B. 1976. The Originofthe IdeaofChunce irachildren. New York, W.W. Norton [Publicado originalmente como: Lugeni?sede I’id.4~de harmd &er /‘mfmu. Paris, PressesUniversitaires de France, 195 11. Schroeder,T.L. 1983a. An AssessmentofElementary School Students’ Developmentand Application of Probability Concepts While Playing and Discussing Two Strategy Games on a Microcomputer. Bloomington, Ind., Universidad de Indiana (Disertación Doctoral, Servicio ERIC de Reproducción de Documentos, NP ED 250 166). 1983b. Capture: A Game of Practice, A Game of Strategy. Arithmetic Teu&r, Vol. 31, NP 4, pp.30-1.
Aphdice Reglaswru “Cagtura 1” 1. Dos jugadores juegan sobre una línea de números que va de 0 a 36. Cada jugador tiene una marca X 0 0. 2. Los jugadores se turnan y cada jugador dispone de quince oportunidades. En cada oportunidad el Apple lanzad dos dados marcados con los números de 1 a 6. 3. Ud. puede utilizar los números del dado para capturar un lugar de 0 a 36 en la linea de números. 4. Ud.puedecapturarel lugarqueeslasuma,ladiferenciaoelproductodelosdosnúmeros. Ud. puede usar, tambien, los números como decenas y unidades. Por ejemplo, si Ud. saca 3 y 2, podrfa capturar, entonces
3+2=56 3-2=16 3x2=66 3 decenas y 2 unidades = 32 6 2 decenas y 3 unidades = 23. 5. Ud. puede capturar, en cada turno, un lugar que puede determinarse con el dado. Y puede capturar, incluso, un lugar que Ud. capturo antes o que capturo su contrincante. 6. La finalidad del juego es capturar tantos lugares como se pueda y resulta ganador el jugador que obtuvo la mayor cantidad al final del juego. El juego termina cuando ambos jugadores han intervenido quince veces
Reglas para “Captu7a 2” 1. Dos jugadores juegan sobre una linea numérica que va de 0 a 36. Cada jugador tiene una marca X 6 0. 2. Los jugadores se turnan y cada jugador dispone de quince oportunidades,
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Estodirticn en la .cdwa&n primaria
3. El Apple tirar;5 dos dados en cada turno de juego. Uno de ellos está marcado con los números de 1 a 6, y el otro con los signos de operaciones +, -9 y x. 4. Ud. puede capturar, en cada oportunidad, un lugar en la lfnea de números. El lugar capturado puede determinarse con el número y la operación que indica el dado y cualquier cifra que Ud. elija. He aquf algunos ejemplos: Si Ud. lanzó el 3 y el signo x, podti capturar, en consecuencia, 3 x 0 = 0,6 3 x 1 = 3, etc., hasta 3 x 9 = 27. Ud.pod~capturartambiénOx3=0,61x3=3,62x3=6,etc. SiUd.obtuvo3y-,podrfacapturar3-0=3,63-1=2,63-2=1,63-3=0. Ud. podrfa capturar, también, 9 - 3 =6,6 8 - 3 = 5,6 7 - 3 = 4, etc. 5. Ud. puede lograr cualquier lugar que pueda hacerse con los dados. Puede capturar, también, un lugar logrado antes por Ud. o por su contrincante. 6. I-a finalidad del juego es capturar tantos lugares como Ud. pueda y resulta ganador el jugador que logró la mayor cantidad de lugares al final del juego. El juego termina cuando ambos jugadores intervinieron quince veces.
4.
Una comparación del currículo de estadística para niños en el Reino Unido, en Canadá y en los Estados Unidos Lionel Pereira-Mendoza
Bamett (1983 ) ha sugerido que la estadística es una clave para comprender el mundo en que vivimos. Es en los primeros años de escolaridad que se debe establecer el fundamento sobre el que se construitin las fasessecundaria y terciaria de la educación de un estudiante. Además, en muchos países,la estadística que seenseñe durante los primeros pocos años de escolaridad, podría ser la única educación estadística que reciban los niños. Un sondeo de supervisores de matemática (o sus equivalentes) y de maestros de aula suministra datos sobre el currículo implementado en estadística, más bien que sobre el currfculo proyectado (Robitaille y Dirks, 1982) tal como aparece bosquejado en gulas, libros de textos, etc. En muchos pafses,como lo han sefialado Robitaille y Travers (1986), el control de la educación no está centralizado. En consecuencia, en la enseñanza de la estadística hay una variación considerable así como entre las autoridades educativas locales, provinciales y estatales. No obstante, se aprecian ciertas pautas y es de éstas de las que se ocupa esta articulo.
Gdficas En estos países,a la edad de 12 años, ccdoslos estudiantesestin familiarizados con los cuatro tipos estándar de gráficas, a saber dibujos (pictogramas), histogramas (gráficas de barra), gdficas circulares y gr5ficas de segmentos. En las Figuras l-4 semuestran IasgrSficas típicas, que consideran los niños. En diferentes etapas de escolaridad, los niños están involucrados en el dibujo e interpretación de distintas gr&ficas. Cuando se investiga la g&ica de barras, sele podrfa preguntar a los niitos en qué mesesno hay nacimientos, o en cuales fue el mayor número de nacimientos, etc. Para el gtáfico de segmentos seles podrfa preguntar, cuál fue el día más caluroso o el más frío, la diferencia de temperatura entre el marres y el miércoles, etc. En cada caso se pueden hacer una variedad de preguntas, que van desde una interpretación simple a un nivel más elevado de preguntas, tales como jcuál podría ser la causa de UM repentina caída en la temperatura o por qué el baseball es el deporte más popular?
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Fig. 1. Gtifica circular -
Fútbol
a
Fig. 2. Pictograma -
$3mo pasó el día?
s/
Deportes favoritos
ReinoUnido y Amhxz del Norte, cxmfido de e.stdfitica
61
8 7
8 !C C
4 i? i+ 2
6 5 4 3 2
1 0 Ene Feb Mar Abr Mayo
Jun Jul
Ag
Sept Oct Nov Dic
Fig. 3. Gráfico de barras - Mes del nacimiento
Dom.
Lun.
Fig. 4. Gtific o de segmentos -Temperatura
Mart. Mi&.
Juev. Vier.
Sáb.
máxima diaria esta semana
Esrodlsticaen kaedwxuSn primaria
62
En cada pafs, más del 85% de las respuestas indicaron que se introdujeron los pictogramas durante los primeros tres afios de escolaridad. En realidad, la mayorfa de las respuestas establecieron que los pictogramas se introdujeron durante los primeros dos afios de escolaridad. Los histogramas y los grSfic.osde barras se introdujeron, generalmente, al año siguiente. Las cartas circulares y los g&cos de segmentos se introdujeron más tarde en el programa, generalmente durante el cuarta al sexto afro de escolaridad. Muchas respuestas indicaron que los materiales concretos fueron usados tanto para desarrollar como para modelar estas gr&cas. Aunque una mayorfa de los que respondieron vieron las g&cas como untema que se introduce con anterioridad en una leccibn de matemática (48% en el Reino Unido, 7 1% en Canadá, y 76% en los Estados Unidos), otros, en cambio, sugirieron que las giScas se introdujeron inicialmente, como un tema, en materias tales como estudios sociales o ciencia; o que fueron integrados en el currfculo a trav& de trabajo de proyecto. Aquf el termino “integrado” deber6 interpretarse de manera tal como que el maestro introdujo los g&cos en el momento oportuno. Por ejemplo, si los estudiantes nlantean una pregunta acerca de un nuevo tipo que hablan visto en un libro o - - de &fica en televisión, ello ofrecerfa una oportunidad para desarrollar la idea.
Fig. 5. “Qui&r
tomó hoy helados en el almuerzo?’ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Fig. 6. Horasde televisión que se miran por dfa
0
1
2
Horas
3
4
5
6
ReinoUnido y Amhiaa del Norte.,cunfcub de edfstica
63
Es significativo hacer notar que en el Reino Unido el porcentaje de maestros que introducia g&icas, como un tema dentro de la matemática, era considerablemente m5.s bajo que en otros paks. Esto podrfa muy bien explicarse por el enfoque total de la matemática, expresado por muchos de los británicos que respondieron. Algunos sefialaron que el criterio respecto a la edad era difícil de interpretar, puesto que ellos vieron la matemática como una parte del desarrollo total del nino, y el momento de su introducción, o de un tema particular, debena ser en el momento apropiado para el nino, más bien que a una edad determinada. Ademas muchosseftalaron en suscomentarios que el enfoque para las gráficas era informal, con enfasis sobre las actividades y el uso de aparatos para desarrollar los conceptos. Las siguientes son actividades tfpicas utilizadas para et desarrollo de gr&cas. Se llama laatenciónde losalumnospreguntandosi elloshan tomadoheladoenel almuerzo y luego sehace una gdfica para ilustrar los resultados (Fig. 5). Para hacer la gr5fica podrían utilizarse dibujos, modelos reales o fichas etiquetadas con sus nombres. En otro caso, los datos podrían ser el número de horas que los alumnos miran televisión; se puede dibujar entonces un histograma (Fig. 6). Los alumnos pueden colorear los bloques o usar bloques reales para hacer el gráfico. Se pueden hacer preguntas tales como: iQue programas son los más populares? &&~e tipo de programas se miran? iCuatro horas de televisión al dia es demasiado? Se deberfan hacer, tal vez, dos comentarios finales. Primero, la extrapolación en base a datos gráficos fue un tema posterior, siendo menos del 30%, los alumnos llevados a extrapolar, dentro de los primeros tres anos de escolaridad. Segundo, para muchos alumnos, el primer contacto con las gr&as fue a través de g&icos ya hechos, más bien que haciendoles dibujar gráficas. Los maestrospresentaron g&cas y pidieron a losalumnosque interpretaran la información.
Tabulación de datos Otro componente importante de la estadistica descriptiva, es hacer tablas y hacer inferencias en basea los datos tabulados. La tabulación de la información sedesarrolló, más comúnmente, con alumnos mayores, de cuarto a sexto grado (66% en el Reino Unido, 67% en Canadá y 63% en Estados Unidos). Este esel reverso de la situación con respecto a hacer gdficas. No obstante, igual que con las g&cas, las extrapolacibn a partir de los datos, se introdujo mucho m5s tarde. Pnkticamente en todos los casosla tabulaciónfonnal dedatos y la extrapolación se intrcdujerondespuésde experienciasparalelascon gráficos. En la Fig. 7 se muestra un ejemplo tlpico de una actividad que conduce a la tabulación de datos. De acuerdo al contexto, se pueden hacer una variedad de preguntas. Al nivel más simple, puede ser adecuado preguntar qué animal es el más común. En un nivel m& complejo, estos datos pueden llevar a una discusión de preguntas tales como el espacio y el costo necesario para mantener animales, que animales pueden convivir juntos y cu&s deben mantenerse aisladcs.
Esudktiua en la educa&%primaria
64
Animales Leones Pingüinos Vl&maS
osos Monos
Número 6 50 23 4 12
Fig. 7. Animales en el zool6gico
Tendencia central y dispersión Una tercer componente importante del relevamiento se ocupa de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y de dispersión (rango y desviación estándar). Las medidas de tendencia central se presentan a los alumnos mayores. Muy pocas respuestas indicaron que estas ideas se introdujeron durante los primeros tres años de escolaridad (menos del 4% en todos los casos). Aunque alrededor de los ll años, la mayoria de los alumnos están familiarizados con el concepto de media (91% en el Reino Unido, 72% en Canadá y 89% en los Estados Unidos), sedejó generalmente, el tratamiento de la mediana y de la moda para la escuela secundaria. Estos temas se presentaron durante los primeros seisañosdeescolaridadenunporcentajeaproximadoal50% dealumnosenelReinoUnido y a un 60% en los Estados Unidos. En Canadá, el porcentaje de alumnos a los que se les presentaron las ideas de mediana o moda fue extremadamente pequeño, alcanzando el 17 y el 8% respectivamente. Un ejemplo tlpico podría ser, presentar a los alumnos un conjunto de temperaturas, lluvias o puntajes de tests y pedirles que calculen la media. Si las actividades estuvieran diseiiadas para introducir la mediana y la moda éstaspueden utilizar tipos de datos similares Generalmente, las medidas de dispersión se dejan para la escuela secundaria. El porcentaje de alumnos que encontraron la desviación estándar füe extremadamente pequeño (0% en el Reino Unido, 4% en Canadá y 11% en los Estados Unidos). Mientras queelporcentajedeaquellosquedeterminaronel rangofue másalto,fueaúnrelativamente pequeño, (15% en el Reino Unido, 13% en Canadá y 43% en los Estados Unidos). Cuando se introdujeron estas ideas en la escuela, fueron desarrolladas, pdcticamente en todos los casos, con niños de quinto y sexto aíío. Mientras que era posible esperar que el concepto de desviación estándar no sepudiera desarrollar en las escuelas primarias, fue sorprendente encontrar el desarrollo limitado de, incluso, un concepto informal de rango.
Resumen Los resultados presentados enestecapítulo indican que el contenido referente a estadística, no difiere sustancialmente entre los tres pafsesy que el mayor énfasis está en la estadística descriptiva, incluyendo ghcas y tabulación de información. Con la excepción de la media, las medidas de tendencia central y de dispersión no se enseñaron, en general, a los
Reino&doyAmhica&~Norte,~&estadlstica
65
estudiantes en este grupo de edad. Es digno de hacer notar que la mediana y la moda aparecen con frecuencia, en los libros de texto y en las gulas curriculares, peto no se ensenaron. Ellopuedeversecomopartedeuncuniculoproyeceado,penìnodeuncu~culo implementado. Teniendo en cuenta las respuestas,parece* que al desarrollar las ideas, el énfasis se colocó sobre un enfoque concreto e informal, particularmente en el caso británico. Ademas, en los tres paises, aproximadamente el 50% de las respuestas indicaron que la ensefianza de la estadistica seenfocó como una actividad de resolución de problemas, tis bien que un intento de ensetir estadistica per se. Un examen de las muestras de actividades enviadas por los participantes indicaron que, en los últimos afios se cambiaron, con frecuencia, los distintos aspectos del programa de estadfstica. Se les pidió a los alumnos que recogieran datos, que construyeran tablas y que representaran g&camente los números. Una actividad tipica podlá consistir en recoger información sobre costos de alimentos cada semana, tabular los datos, graficar la infkmación y finalmente encontrar el costo medio del conjunto de Items de alimentos durante un perrodo de 6 semanas (Tabla 1, Figura 8). Dicha tarea involucra diferentes aspectos de la educaci6n estadlstica. Los niks tienen que recoger datos y representarlos tanto en forma g&ca como tabular. Ellos deben de decidir dónde y cómo recoger los datos y cuál es la mejor representación gtáfica. También deben interpretar los datos que recogieron para responder a preguntas tales como cuál podda ser la causa de los cambios en los costos. $15.00 $14.00
8
.
$ 1.00 i $ 0.00
1 1
2
4
3
6
5
Semana
Fig. 8. Costo total de los Items de alimentos. Tabla 1. Costo medio de los Items de alimentos durante seis semanas Costo semanal(dblares)
Icems
Pan (dos piezas) Huevos (dos docenas) Leche (8 litros) Total
1
2
1.18
1.54
1.54
1.54
3.48
3.52
3.52
6.72 ll.32
6.72 ll.78
8.00 13.06
3
4
6
5
1.38
1.54
2.98
2.98
3.48
8.00 12.52
9.52 13.88
9.52 14.54
El futuro Este relevamiento ha proporcionado un cuadro de donde estamos, en un determinado momento, en el tiempo. Y no trata de pronosticar directamente el futuro. No obstante, muchas de las respuestas indicaron, para el futuro, las direcciones probables, para ensefiar estadistica a los nifias. Ellas sefialaronque la estadística estaba recibiendo másatención que en el pasado. En particular, muchos canadienses y americanos que respondieron,señalaron que sehablan considerado los nuevos programas (o pautas) oque ya habían sido adaptados, y que ellos esperaban que, en el futuro, la estadlstica tendria un papel más significativo. Unos pocos mencionaron el análisis exploratorio de datos, indicando que esperaban incorporar alguna de estas ideas en el programa, particularmente usando programas de computación. Otros señalaron que muchos maestros sentían que su propia preparación en esta área era débil, pero en virtud de que se organizó una capacitación en servicio, ellos podrian poner más atención a la enseñanza de la estadística. El cuadro es alentador desde todo punto de vista. Se esta prestando m& atención a la ensefiarua de la estadística para los niños. Los textos nuevos y las guias de programa incorporan más temas de estadktica. Los supervisores de matemkica están dando una mayor prioridad a la estadlstica en la capacitación en servicio. El punto de vista de este autor es que en los próximos años la enseíianza de la estadistica tendti una parte más significativa en el currkulo de todos los niños. Finalmente debe seíkalarseque los resultados establecidos en este artículo están en forma resumida. Por datos más detallados se puede consultar a Pereira-Mendoza (1988).
Referencias Bamett, V. 1983. Why teach statistics? En: D. R. Grey y colab. (eds.), Actas de la Primeru Gmferencia hemacbd sobreh Emeíkmza de la Estadística. Sheffield. 9-13 de agostode f 982. Vol. 1, pp.3- 15. Sheffield, Teaching Statistics Trust, Universidad de Sheffield. Pereira-Mendoza, L. 1988. The Teaching of Statistics to 6-11 Year-Olds in Britain, Canada and the U.S.A. En: R. Davidson y J. Swift (eds.), Actaí de h Segunda Cderencia huemacti sobre la Ense&mza de la Esta&stica. Victi, Colombia Británica. II -16 de agosto& 1986. Victoria, B.C., Universidad de Victoria. Robitaille, D.; Didcs, M. 1982. Models for the Mathematics Curriculum. Fortk Leaming of M&ematics, Vol. 2, NP 3, pp.3-21. Robitaille, D.; Travers, K. 1986. Geometia para alumnos de 13 años de edad en Canada y en los Estados Unidos. En: R. Monis (ed.). Es&ios en Educación Marem&ica. Val. 5, pp. 19-29, Oficina Regional de Ciencia y Tecnologla de la UNESCO para América Latina y el Caribe, ORCYT, Montevideo.
Parte 2 Estadística en la educación secundaria
5.
Estadística y probabilidad 12 a 16 años de edad
para alumnos de Wim Kerkhofs
Puntos de partida
A cien metros de Ia entrada a Dokkum, previa a la etapa final de la carrera a Leeuwarden
La Carrera de Patinaje sobre Hielo de las Once Ciudades Frisonas constituye un acontecimiento tan holandés como los molinos de viento. Se hace el recorrido sobre 200 kilómetros de hielo natural, en la provincia de Friesland, Palses Bajos. Todo el pals sigue la cobertura ininterrumpida que la radio o la televisión brindan de la carrera y muchas escuelas y casasde comercio permanecen cerradas. Existe en los PaisesBajos una verdadera “fiebre por las Once Ciudades”. La competencia no es de ninguna manera anual, ta1 como lo muestra con claridad. la siguiente lista de sus realizaciones: 22 de enero de 1942 (1) 2deenerode1909 8 de febrero de 1947 (5) 7 de febrero de 1912 (3) 3 de febrero de 1954 (7) 27 deenero de 1917 (5) 14 de febrero de 1956 (2) 12 de febrero de 1929 (12) 18 de enero de 1963 (7) 16 de diciembre de 1933 (4) 21 de febrero de 1985 (22) 30 de enero de 1940 (7) 26 de febrero de 1986 (1) 6 de febrero de 194 1 ( 1) Los números entre paréntesis que aparecen en la lista indican los intervalos, en años, que separa una carrera de la anterior.
Fig. 1. Inviernos en los PaísesBajos, 1881-1978.
EsJtadirticay~paradumn~~de12416aiítn&cdrpd
71
Una lista como esta provoca toda clase de profecfas. Además, este afro, los periódicos aparecfan colmadûs con tales prkcfas: “Las posibilidades de que tengamos otra Carrera de las Once Ciudades el tio próximo son muy escasas”. Y en los dfas anteriores a la carrera de 1985, los periódicos hacfan, tambien, predicciones audaces: ‘Si no realizamos ahora la carrera, no habti nunca más otra”. Pero una lista como esta invita, tambien, a plantearse preguntas: “$3e estan haciendo cada vez másbenignos los inviemosen Europa Occidental ?” “iTiene esto algo que ver con los cambios en la atnxkfera?“. Tales preguntas nos impulsan, obviamente, a volver a nuestros registros, buscando un relevamiento de los inviernos de los últimos años en los Paks Bajos. Y nuestros resultados pueden presentarse como aparecen en la Figura. 1. Se han clasificado los inviernos como uinviemos para patinaje”, “inviernos benignos” e “inviernos irregulares”. Esta clasificación está basada en los “grados de frio” de Hellman, que se calculan de esta manera: se determina cada dfa la temperatura promedio durante veinticuatro horas en el periodo de noviembre a marro (en este caso el promedio en el Instituto MetereoUgico de De Bilt). Si este promedio esta debajo de cero, por ejemplo 1.2’C, entonces se le denomina promedio diario negativo, y la suma de todos los promedios negativos diarios correspondientes a un invierno constituye, precisamente, el grado de frfo. Cuanto más elevado es este número, más duro es el invierno. El invierno de 1881 se extendió desde noviembre de 1880 a marro de 1881, etc. Los sfmbolos implican:
i @
O 50: invierno benigno
85: invierno para patinaje
50-85: invierno irregular
Los sfmbolos que aparecen en el angula inferior izquierdo indican la lluvia de invierno y los del ángulo inferior derecho indican en que medida ha sido frfo o benigno el invierno, como lo indica la Figura 2. Promedionacional de lluviasconespondient a diciembre, enero y febrero: oo
muy-
0 seco normal 4 húmedo ti muy húmedo
95,Omm 95.1 - 125,o mm 125,l - 174,9mm 175,0 - 205,Omm 205,o nun
Promedio de la temperatura invernal en De Bit durante diciembre, enero y febrero:
7
muy Mo fil¿l
normal + benigno ‘i++ muy benigno
._^_111__.
._I”__L_l_‘-
0,o “C
o,o- 1,O”C 1,l - 2,O”C 3,0 - 4,0 Oc 4,0 Oc
..-
-*-~
MatemAtica para alumnos de 12 a 16 años de edad A los alumnos que han hecho la tabla de inviernos y la lista de ocurrencias de la Carrera de Patinaje sobre Hielo de las Once Ciudades Frisonas se les puede hacer las siguientes preguntas: Qinciden los inviernos rigurosos con los inviernos en los cuales se realizó la Carrera de Patinaje de las Once Ciudades? En otras palabras, idichas carreras representan inviernos severos? o ihan habido inviernos más “rigurosos”? Qué otros factores pueden considerarse de influencia? icómo se llega a dicho relevamiento? Qué significan el signo de más y el “patinador”? Sus contestaciones pueden preparar el terreno para una serie de tareas para los alumnos en temas de Probabilidad y Estadistica en el área de la “Matematica para 12-16 anos” del proyecto del Instituto Nacional para el Desarrollo del Currículo en Enschede, PaisesBajos. Este proyecto fue iniciado en 1980, cuando el equipo del proyecto observó dos problemas fundamentales en la educación matemática en los PaisesBajos: el contenido del programa era muy anticuado, árido y en poca medida pertinente, conjuntamente con una tendencia a consolidar diferentes tipos de escuelas, lo que daba lugar a clases más heterogéneas. Estos dos problemas han llevado, a su vez, a la formulación de dos principios que han regido, posteriormente, el desarrollo de los materiales: IJ macen&& paru el hombre común. Debe ponerse el Vnfasis” en la matemática que procede y que está basada en un análisis de situaciones de la vida real, que los alumnos puedan experimentar o que experimentar% en su vida diaria. LU matemática en grupos heterogt!neos. Esto significa que está dirigida a grandes escuelas secundarias polivalentes con grupos heterogeneos en los que se realiza el trabajo en subgrupos también heterogeneos de, aproximadamente, cuatro alumnos cada uno (Freudenthal, 1973). En base a la experiencia lograda, el equipo del proyecto sintió la necesidad de realizar sus objetivo siguiendo dos vfas. La primera es una.formulación de Ylneas de temas” para el contenido matemático del proyecto. Ellos incluyen: (a) g&cos, relaciones y funciones; (b) aritmética; (c) orientación en el mundo geom&rico; (d) estadística descriptiva, combinatoria y probabilidad, y (e) lógica. Lascincolíneasde temascubren todoelcampomatem&icoparaalumnosde 12-16 años de edad. Dentro de ellas, sehace un estudio del contenido de los temas involucrados. Este estudio esta estrechamente relacionado con la pníctica del aula y se vincula directamente con el desarrollo del material de los alumnos. La segunda via está máspreocupada con los aspectosde enseñanza y de organización que surgen de nuestra experiencia practica con el contenido. Temas tales como trabajo en grupos heterog&eos, determinación, trabajo con situaciones de la vida real y el papel del computador, son algunas de las cuestiones que se han presentado para discutir en esta vía. Hasta aquf, se ha completado el desarrollo del tema gnifico de lineas, relaciones y funciones y de la linea de temas aritmkicos. Este capítulo discute el desarrollo de la linea de temas de estadktica descriptiva, combinatoria y probabilidad. Los problemas de combinatoria se discuten s610implfcitamente, como parte de los problemas que surgen en estadística y probabilidad. La Carrera de Patinaje sobre Hielo de las Once Ciudades Frisonas, constituye un perfecto punto de partida. En los PaisesBajos, su contexto motiva fácilmente a los niños y los impulsa a hacerse toda clase de preguntas. Además, durante el trabajo en pequenos grupos, estas preguntas pueden conducir a discusiones de las que se pueden extraer, después, conclusiones a distintos niveles del grupo heterogéneo.
Cada lenguaje tiene sus equivalentes a las palabras “normalmente”, “probablemente” y, especialmente, “tal vez”. Cada vez que pensamos en un suceso posible, en cuya realización no podemos influir, pesamos sus probabilidades y posibilidades. Usamos la estadística para mejorar nuestra visión de los hechos y, asC,mejorar nuestra comprensión del balance entre probabilidades y posibilidades. En la sociedad actual nos enfretamos, muy a menudo, con estadistica y probabilidades. Basta, para comprobarlo, con abrir un periódico. Se hace entonces necesario comprender cómo se llega a afirmaciones relativas a los datos estadlsticos. Y es aquí, precisamente, donde los cómo y los por quC de la estadistica aparecen como tan importantes. tCuá1 esel uso de los números Indices? 1Porqd hablamos de la “familia modal”? iPor quC siguen siendo válidas las encuestas estadísticas? Rara vez se enfrentaba a los alumnos con estas preguntas como se hace ahora; sino que se les presentaba, más bien, números redondos y simples, cuya media, moda o mediana se les pedía que determinasen, con las cuales no se hacia nada entonces. iD6nde están las situaciones de la vida real?
La situación actual en los Paises Bajos Los PaísesBajos han contado con dos proyectos principales en el campo de la probabilidad y la estadística. Ambos proyectos se desarrollaron en forma rn& o menos paralela y fueron llevados a cabo por el anterior Instituut Ontwikkeling Wiskunde Ondenvijs (IOWO) a comienzos de los afios de 1970. Al describirestosproyectos-ya lolargodeestecap~tulo-distinguiremos tresmaneras de definir probabilidad (Leffin, 1969): La definición u priori, llamada también la probabilidad “teórica” o “técnica” (por ejemplo, la probabilidad de sacar un 4 al tirar un dado es de 1 en 6). La definición ir~uitiw, llamada tambien la probabilidad “vulgar” (por ejemplo, “existen todas las posibilidades de que no quiera terminar esta reunión”). La definición D posteriori, también llamada la probabilidad “emplrica” o probabilidad de “sangre, sudor y lágrimas” (por ejemplo, “teniendo en cuenta la experiencia que hay en este hospital con operaciones similares realizadas en el pasado, la probabilidad de que su operación tenga éxito es de 5 en 8”). Una de las experiencias se hacia con alumnos de los últimos am de educación primaria, de ll a?iosde edad. En holandes su titulo era “kijk op kuns” (observando la probabilidad). Cinco emisiones de la Televisión Educativa Holandesa acompafiaron el proyecto que enfatizaba la importancia de una comprensión intuitiva de la probabilidad. Pronto, sin embargo, se cuantifica el concepto y se introduce la probabilidad teórica tan tempmnamente como en la segunda lección. En test entre los alumnos se le da preferencia a la probabilidad teórica. “iLa probabilidad teórica es más segura, es mejor que la probabilidad empírica!“Sediceque la probabilidad teórica esmásconfiablequelaprobabilidadempCrica dado que se elimina la coincidencia. La secuencia de lecciones termina con esta pregunta: “Quién le teme a los picos de montaña?” A esto le sigue la consideración de tres problemas caracterizados, principalmente, por el temor a los “picos”, y para poder considerar tales situaciones se hace necesario disponer de medidas efectivas. Sigue un ejemplo.
74
Patrulla policial Muchos informes diarios parecen indicar que la probabilidad de que un auto patrullero este en funciones entre las 16 y las 18 horas, es de 7 en 10.
Hay ocho autos patrullando y los llamamos para saber cuántos de ellos estin efectivamente en funciones. Para ello podemos emplear la ruleta que se muestra mas abajo. Podemos emplear, tambien, el directorio telefónico. &%mo? Utilice la ruleta (o el directorio telefónico) para llamar a cada uno de los ocho patrulleros. Haga esto cinco veces y llene el cuadriculado que sigue, anotando si está “ocupado” o ‘libre”. Ud. y sus compafieros de clase han recogido, ahora, una cantidad de “datos”. (Significamos, aquc, por datos los números de los ocho patrulleros que estaban en funciones cada vez que los conectamos). Ud. debe hacer, ahora, un histograma de los datos, empleando el cuadriculado que se indica. Decidan conjuntamente a qué le llamar& “picos”. ~Cu5nto.s picos hay en su experimento? iQué porcentaje de los ocho patrulleros están ocupados cada ver que Ud. llama? Los alumnos reaccionaron, en general, con entusiasmo frente a la experiencia, pero tan pronto como se les pidió a los nifios que dieran razones, y tan pronto como fue necesario determinar las probabilidades empleando simulaciones, algunos niños se dieron por vencidos. Los cálculos implicados en la tarea levantaron, tambi&r, dificultades tales como para interrumpir, dramáticamente, el desarrollo de las lecciones.
1. vez
2’ vez
3. vez
49 vez
patrullero 1 paaullero 2 patrullero 3 patrullero 4 pamdlero 5 patrullero 6 patrullero 7 patndkco 8 número de ocupad06
IIIUI
30 Nútnem de patrullerOS OCUp¡dOS 20
10
0
1
2
3
4
5
6
.I_ -
., -
--...-
7
8
5’ vez
76
Estodútiusenkz-sccundmia
Alumnos mayores El segundo proyecto estaba dirigido a alumnos de 12 a 16 afios de edad. Esta experiencia denominada “greep op kans” (para comprender probabilidad), conducfa a un número de importantes conclusiones que han influenciado el desarrollo de la llnea completa del tema. Estas conclusiones pueden resumirse como sigue. Cuando se le presentan situaciones y se les formulan preguntas a los alumnos relativas a la probabilidad de un suceso, SUSrespuestas están, a menudo, influenciadas por sus emociones, Por ejemplo, en una lotena, o cuando sé arroja una moneda, existe tanto una posibilidad de perder como una posibilidad de ganar. Pero para los alumnos es más importante ganar o perder que la probabilidad del suceso. No tiene sentido para ellos hablar acerca del valor de las probabilidades. Lo que espertinente eshablar de una mayor o menor posibilidad de que algo suceda. S610los alumnos de mayor edad son capacesde comprender que la formulaci6n matemática del término “probabilidad” resulta diferente del significado vulgar del término. Los alumnos son capaces, en una etapa anterior, de reconocer que pueden tomarse las decisiones sobre la basedel valor de una probabilidad. El hecho de que una representación visual de la distribución de probabilidad, por ejemplo, mediante un diagrama sectorial, no resulta muy convincente o muy aclaratoria, constituye un segundo problema. El diagrama sectorial es útil para representar datos o para mostrar los resultados de un tonteo. Y como un paso intermediario, los alumnos podrian, quizás, construir cuadriculados o dibujar ruedas y el trabajo pod1-5 realizarse con ruedas rígidas o con cuadriculados variables. Un tercer problema es que no se produce la transferencia intelectual de un suceso a otro, por ejemplo, de un problema de nifiolnifia al lanzamiento de una moneda. Y un cuarto problema es la confusión que surge cuando se determina la probabilidad de un suceso, primero empíricamente, calculándola despds u prion. Si se examinan los textos que se utilizan en la actualidad en la escuela primaria, se observa que sele destina una parte relativamente extensa al tema de estadktica y una parte más modesta al de probabilidad. Y han contribuido ciertamente a esto los resultados positivos del proyecto “Observando la Probabilidad”. Pero, lamentablemente, estos temas reciben, en la prktica diaria una muy baja prioridad. Más allá de la familiaridad con un promedio y de cierta habilidad para dibujar un histograma, un diagrama visual y un diagrama sectorial, no puede esperarse ningún conocimiento especifico previo en los alumnos de 12 años de edad. En los primeros afios de educación secundaria la prioridad asignada a probabilidad y estadística es aún menor; y es solamente cuando alguna profesión futura ‘reclama alguna “visibn” y alguna “habilidad” en estadistica que encontramos que sele ha otorgado un lugar en el currkulo pero,‘a menudo, no como una parte de la matemática, sino como un tema separado en el horario. Se puede encontrar alguna excepción en los cursos de matemática, a partir de la edad de 17 tios, en la educación preuniversitaria. Se les brinda, aqui, a los alumnos la oportunidad de estudiar probabilidad y estadistica, con miras puestas enestudios universitarios posteriores. Debe confesarse, tambit!n, que cuando se trata la estadlstica y la probabilidad en los textos, su enfoque es invariablemente tradicional: no se aplica realmente a situaciones de la vida diaria. Las conclusiones y las recomendaciones anteriores han conducido a un subcurrfculo piloto en la matemática para alumnos de 12 a 16 años de edad que cubre estadística descriptiva, combinatoria y probabilidad.
El concepto de probabilidad se presenta frecuentemente en problemas y en conclusiones estadisticas, siendo también crucial su empleo en las t&cnicas estadfsticas. Debido a su importancia, y también a nuestra experiencia en enseÍ’iarla, dedicamos la próxima sección a la discusión de la probabilidad.
El concepto de probabilidad Nos detendremos, en esta sección, en la comprensión intuitiva de la probabilidad. Y lo haremos asl, dado que hemos adoptado como punto de partida “la matemática del hombre común”, y, en este contexto, una comprensión intuitiva desempefiati un papel significativo. En las situaciones de la vida corriente empleamos, implícitamente, modelos de probabilidad, pero sin separamos completamente de la realidad. Esto puede ser parcialmente atribuible al hecho que, en el lenguaje corriente, la expresión “probabilidad de un suceso” es la misma que “posibilidad de un suceso”. Consideremos las siguientes senes de pensamiento. Qué chances tengo en una lotería local? Si sécuántos billetes sehan vendido y cuántos precios hay, puedo calcularla. Pero no lo logro porque conozco solamente cuántos billetes se han impreso, pero, iquien sabe si se han vendido todos? Si compro un billete lo hago porque séque esedinero sedestina a obrasde caridad y porque los billetes cuestan solamente un florin, 0 porque no me interesa ganar un televisor a color. Yo pienso mi conexión de trenes, en promedio, dos veces en cinco viajes al trabajo. Ud. podria decir que la probabilidad de perderlo es de dos en cinco. Pero no importa, corrientemente, si lo pierdo o no, dado que si tengo que llegar realmente en hora, tomo un tren anterior. No es muy importante, en la vida corriente, saber exactamente cuál es la medida de la probabilidad. Cuando se toma una decisión consciente o inconscientemente, sobre la base de la probabilidad, es normal saber, solamente, si algo puede suceder o no. Las personas tienen seguro contra incendio no porque seagrande la posibilidad de un incendio, sino por las consecuencias financieras desastrosasque acarrean estos accidentes. Un agente de seguros no din%nunca: “la probabilidad de que Ud. tenga un incendio en el pr6ximo tio es de uno en mil”, pero le describir5 las consecuencias de un suceso de este tipo. Esto muestra que el concepto de probabilidad es inseparable de otros conceptos y que los factores emocionales ocupan un lugar central en el pensamiento relativo a las posibilidades en la vida diaria. Y esto ocurre, también y con frecuencia, en las escuelas. Quizás un alumnoestá fuertemente motivado por un problema de probabilidad y, precisamente, por estar tan intensamente implicado, dice: “la probabilidad puede ser de uno en dos pero, aún asl, puedo todavla perder”. Esta componente emocional que, por una parte es el origen de una fuerte motivación bloquead tambitn, por otra parte, una visión objetiva del problema. Para los disefiadores de material didáctico esta respuestas emotiva origina una serie de preguntas. Se puede, como dice Goffree (1973): “recuerden, al seleccionar los ejemplos, que la componente emocional debe ser eliminada de antemano o que debe estar completamente ausente. Un concepto cualitativo de probabilidad en el sentido estadistico, es independiente de interpretación subjetiva.” iEs realista exigir que se elimine el elemento emocional en 10sejemplos? Si es asC,debe posponerse la ensefianza de la probabilidad hasta que los alumnos hayan aprendido a ignorar las intrusiones emocionales. i0 es que influye tambien la edad de los alumnos o la etapa de desarrollo en que se encuentran?
Examinemos algunos estudios realizados. Observamos, en primer termino que se ha enfatizado el concepto a priori de probabilidad (Piaget e Inhelder, 1975). Según su punto de vista, los nifios entre los 7 y los ll afios de edad desarrollan una comprensión creciente de “coincidencia”, “posibilidad”, “muestra” y de la “ley de los grandes números”. Pero la capacidad para razonar en relación a las experiencias, para distinguir claramente entre coincidencia y regularidad, para poner a prueba sistemáticamente las hipótesis, no es posible por debajo de los ll afios de edad. De acuerdo a Piaget debe esperarseel desarrollo de una comprensión objetiva de la probabilidad hasta que el alumno llegue a la etapa de las operaciones lógicas formales. Piaget se refiere, aqul, al conceptoa priori de probabilidad y a la capacidad para calcularla y para emplearla. Surge, entonces, la cuestión de si no debe prestarse mayor atención -a nivel de educación primaria-al desarrollo de los conceptos intuitivos de probabilidad, de posibilidad, de suceso, de muestra, etc. Sus propias experiencias sugieren que los niños más jóvenes ya tienen tales intuiciones. Fischbein (1975) agrega que, a edad temprana, la enseñanza de la probabilidad y de la estadistica puede evolucionar a partir de las estructuras intuitivas y de las operaciones mentales fundamentales. Y esto puede lograrse, de acuerdo a su opinión, haciendo que los niks realicen toda clase de experiencias en las que la estadística y la probabilidad aparezcan estrechamente relacionadas. Además, y mientras sehace el relevamiento de posibilidades, puede explorarse, mmbien, cuestiones de combinatoria. S6lo más tarde todo esto conducira al razonamiento abstracto. El primitivo proyecto IOWO combinaba dos enfoques, el de Engel y el de La Varga. El enfoque de Engel consistla en introducir problemas simples de combinatoria a la edad de 8-9 afios, de manera que sepudiese llegar, en forma gradual, a lograr que los alumnos de ll 12 afios pudiesen tener una idea considerable respecto a los problemas de caticter combinatorio. Esto prepararla el camino para una primera introducción de la probabilidad y de la estadistica a un nivel lógico formal. El enfoque de La Varga consistia en proporcionar una introducción intuitiva a la probabilidad y a la estadfstica a travks de juegos y de experiencias, despues de los cuales, a la edad de 10-l 1 ar’ios,puede tener lugar un enfoque más formal de la probabilidad y de la estadlstica. Y también a través de problemas de combinatoria pueden establecerse vinculos con las operaciones de aprendizaje. Las ideas de Fischbein reclaman, también, nuestra atención. Podemos apreciar que en los primeros afios de la educación secundaria los alumnos tienen muchas nociones intuitivas relativas a la probabilidad de los sucesosde que tienen noticia oque experimentan. Tienen, además, una experiencia abundante relativa a toda clase de juega, y tienen, también, un sentido altamente desarrollado de lo que es justo y de lo que es injusto. Ya hemos observado que estos sentimientos pueden llegara bloquear una conceptualización adecuada. Pero, y aún despuks de adquirir una comprensión adecuada, el alumno debe aprender, todavia, a enfrentar las numerosas fallas de la experiencia intuitiva de la probabilidad. La experiencia subjetiva puede obstruir el objetivo de retroalimentación de los resultados del razonamiento y de la experimentación realizados con el problema que se está examinando. Y ésta es una dificultad que tenemos que enfrentar. Con la finalidad de desarrollar un concepto de probabilidad en el alumno, podrcamos partir deliberadamente de las intuiciones y de los sentimientos del alumno explotándolos y utilizándolos como base para el pensamiento matemático. Deseamos, en consecuencia, dedicarunamayoratenciónalconceptointuitivodeprdsabilidady,sobrelabasedenuestra experiencia anterior, pensamos que podemos concluir que no estar6 fuera de lugar agudizar la comprensión intuitiva de la probabilidad en las etapas iniciales de la enseñanza de la probabilidad y de la estadistica.
79 La secuencia que se presenta a continuación ilustra la linea de tratamiento de la asignatura en la escuela secundaria. Y se desanollatá esta secuencia incluyendo ejemplos del material que manejan los alumnos, lo que brindara la oportunidad de estudiar algunos aspectos con mayor profundidad. Primer mío - Fortalecimiento de la comprensión intuitiva de la probabilidad; desplazamiento hacia el concepto empírico de probabilidad mediante experiencias adecuadas. SeguruIc u~lo - Experiencias concretas relativas a cuestiones de probabilidad; estadística descriptiva. Tercer ar?o - Cuestiones relativas a la forma y a los motivos por los cuales la estadística emplea encuestas y relevamientos, asCcomo interpretaciones intuitivas y emplricas de la probabilidad; aplicaciones de estadística descriptiva.
ler. año de enseñanza secundaria -
fortalecimiento de la comprensión intuitiva la probabilidad
-
de
desplazamiento hacia el concepto empírico CA probabilidad experiencias
3er. año de enseñanza
secundaria en base a interpretaciones intuitivas y empíriis de la pmbabilidad. Cuestiones relativas “a la forma y a lo6 motivos por los cuales la estadística
emplea encuexas y relevamientos” aplicaciones de la estadística descriptiva
(71 1
2’ año de ens&arua secundaria
I
Diagrama aclurawrio para ilustrar la ifiwa & ternas
La linea de temas: un primer bosquejo La linea de la matematica para el hombre común implica organizar un curso rico en situaciones de la vida diaria. Se puede ilustrar, como sigue, la participación del alumno en el curso:
“..
l--.l.-~
~-.-.“--~-Lm-...‘N”.
..I
--.--
-.
.--
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..-
_“.
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.“__
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_
80
Esrodlstic~enk~educac&secunda& Conversión a matemática
ti Modelo matemático
Situación de la vida diaria N
Nueva traducción En el caso del enfoque teórico de la probabilidad, la vuelta desde el modelo matemático a la situación real origina problemas. Nos enfrentamos aqul y a menudo, a con loque hemos denominado el “bloqueo emocional”. En caso de enfocar empíricamente la probabilidad, nos apoyamos en los hechos para determinar su medida. En este caso, es la experiencia objetiva del alumno la que sirve de apoyo para la aplicación, al problema que se está considerando, de los resultados del razonamiento o de la experiencia. Es así que toda experiencia subjetiva está forzada a tener en cuenta los antecedentes .No podemos y no tenemos que proponemos10 -mientras elegimos el enfoque empfricweludir la interpretación intuitiva de la probabilidad. En efecto, dado que los contextos que se presentan estin muy cerca de la realidad, debemos ensefiarles a nuestros alumnos a enfrentar las muchas dificultades que les plantea su sentido intuitivo de la probabilidad. Sin embargo, esta idea intuitiva del azar no constituye una base segura para que el alumno llegue a comprender la probabilidad. El hecho de partir de la idea de la “matemática del hombre común” no implica, por cierto, que deben tomarse todos los problemas de la vida diaria, dado que es necesario recurrir, a veces, a contextos “no reales” para poder ensefiar ciertos conceptos a los alumnos. Y es aqul que no s610 los acertijos y los juegos, sino tambien los problemas matemáticos pueden servir como contextos útiles. Más adelante se pueden encontrar ejemplos.
Primer año de escuela secundaria Este año debe vincularse con la educación primaria y parecerfa que se reclama en el una tarea dirigida a afirmar el concepto de probabilidad. Lo que tenemos en mente a este respecto se concreta en preguntas como t%tas: Qué elegiria? iPiensa que esto es una coincidencia? iEs aquello probable? 1E.saquello favorable? $%l probabilidad es mayor? &%íl experiencia considera correcta? En esta primera fase se integra el material que maneja el estudiante con seis hojas de trabajo. Yen base a la consideraciones que se hace a lo largo de esta fase de su trabajo, los estudiantes van haciéndose gradualmente conscientes de la necesidad de la investigación empfrica. En esta fase inicial sediscuten las diversas condiciones que pueden darse en tales experiencias y se lleva a los estudiantes a pensar acerca de la ley de los grandes números, de la representatividad, etc.
Segundo aiío de escuela secundaria Una consecuencia lógica del trabajo realizado durante el primer año es la investigación empkica relativa a determinar qué afirmaciones de cankter probabilístico pueden hacerse
Est&tKayprobabilkfadparaalumnosde 12a16uñosdeedad
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respecto a los resultados. Para cubrir esta fase del trabajo se prepararon diecisiete hojas de trabajo, algunas de las cuales se discutitin a continuación. La primera esta dirigida a considerar el juego limpio o con trampas en un cierto número de juegos fáciles. La segunda describe sucesosque pueden ser casuales o no. La tercera se ocupa de investigaciones en las que se evalua el m&xio adoptado según se le considere razonable o no. Las últimas tres enfocan el concepto de probabilidad empcrica refirXndolo, respectivamente,alcasodeundadocargadoyconlaformacomocaeunachinchetacuando se.la arroja como una moneda - ya con su punta hacia arriba o tocando el suelo.
Par e impm Los problemas que se vinculan directamente con la primera fase se refieren a sucesosen los que, de acuerdo a ciertas reglas, se determina si se gana o se pierde. La hoja de trabajo titulado “Par e impar” constituye un ejemplo de esto.
PAR
IMPAR
Regh del juego Elija una persona como “par” y otra como “impar”. Haga rodar el dado y determina el producto de los dos números. Si el producto es un número impar, la persona “impar” anota un punto. Si el producto es un número par, la persona Upar” anota un punto. Se lanza el dado 25 veces. El ganador es la persona que anota más puntos. Juegue a este juego. Construya una tabla para registrar los puntajes. iE. este un juego limpio? iPor qué? Es posible, naturalmente, analizar el juego matemáticamente, pero, en esta etapa, el trabajo va dirigido a apoyar la experiencia empkica. El sentimiento intuitivo que “par” e “impar” son igualmente probables aparece en contradicción con la experiencia. Pueden jugarse los juegos de este tipo sin ninguna consideración previa respecto a 10que es juego limpio y juego sucio. Además, los estudiantes aprenden jugando y comunicándose entre ellos.
El escrito secreto El cuento de Edgar Allan Poe, El Bicho de Oro, sirvió de inspiración para una serie de lecciones relativas a descifrar textos en código. En el cuento, un tal Legrand encuentra un texto en código. El deseo de descodificar el texto conduce a muchas actividades
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Estodlsucaen la educaaónsecundaria
matemáticas vinculadas con temas estadfsticos tales como frecuencias y tablas de frecuencias, histogramas, promedio y promedio progresivo y moda. Evidentemente, estas actividades van dirigidas a la pregunta: ¿Cu&l es la probabilidad de encontrar una cierta letra en un texto? Esta pregunta brinda muchas oportunidades para la comparación y la interpretación de datos estadlsticos. Y una caracterfstica importante de esta serie de lecciones esel papel central que juega el computador como ayuda educacional. Se presenta, a continuación y como ejemplo, una página tomada del material de los alumnos: Prometimos demostrar la forma como Legrand descifró el mensaje codificado. Observe nuevamente el mensaje codificado. Para comenzar, Legrand contó la cantidad de veces que cada letra aparecfa primero; en la tabla de frecuencia que sigue puede apreciarse el resultado.
1s::-’ x I 2 I 2: lo%-’ xx I EX # 2x I xx 2% 2 S%’ Bk& #d x 2 3 2 x XXEm x x 1x 2 Xx#XXWx xxxxxxx 2xXx :---------------------------------------------------.añt PEFGHiJl L W N 0 F’ Q R 5 T U L’ W X \’ 2 tPor que no ocurre más frecuentemente la letra E? Qu6 letra es la que ocurre más ahora? Que letra tiene que ser ésta? Legrand cambió todas las T en E. Pronto supo que la primera palabra del mensaje tenla que ser “EEN”. Así supo tambien, ahora, que representaba una N. Y fue razonando de esta forma hasta llegara descifrar el mensaje completo. La traducción aparece en el Apéndice 1. Trate, ahora, de descifrar los textos secretos en el computador: ver4 que no es demasiado difícil.
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cerosy unos Se pueden encontrar en la literatura muchas situaciones ffsicas que pueden simularse por una experiencia de probabilidad mediante un modelo. Nos agradarla discutir, brevemente, el uso de tales modelos. Un ejemplo de ellos es una ruleta simple (formada por una aguja que gira en el centro de un círculo). Una caracterkica esencial de una ruleta es que la probabilidad se determina en el modelo; y en la mayoria de los casos, puede determinarse a priori. En tales casos, una determinación empirica resulta más bien sin sentido. En una gran cantidad del material de los alumnos se utilizan ruletas para representar el lanzamiento de un dado. Y se les pide primero que determinen las probabilidades (1priori y que después hagan ruleta. La tarea siguiente es “lanzar un dado” utilizando la ruleta. Existe en esto una cierta falta de sentido, lo que probó ser, también, el cuarto problema encontrado en el proyecto “Para Comprender Probabilidad” antes mencionado. Y es solamente cuando los acontecimientos reales conducen a la simulación -como veremos más adelante en el tema “Molinos de Viento”- que puede apreciarse, en toda su amplitud, el empleo de tales modelos. Por otra parte, la ruleta puede prestar un servicio útil cuando se la utiliza para clarificar ciertos conceptos, sin efectuar realmente la experiencia, como puede apreciarse en el ejemplo que sigue (NCPM, 1981).
Ruleta A
Se hace girar varias veces la ruleta. Cuando se detiene se anota el número en una fila. De esta manera se genera una secuencia formada de ceros y unos. Sucesión Swi6n Sucesión suce.si6n
1: 2: 3: 4:
01111101101111001oooo1011ooo1101010011011101oooo1111001 llololo1ololo1lllolllllllllolololllollollllolollllollll 1011011010101011100100101010101010110101101010010101101 1011110111ooooO11 00000000111000000111001100001111111101
Cuál de las cuatro filas pertenece a la Ruleta A?
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Ruleta C Establecemos la siguiente regla:
Si aparece un 0 gire la Ruleta B Si aparece un 1 gire la Ruleta C.
tCu51 de las cuatro secuencias sigue esta regla? Una de las cuatro secuencias se generó haciendo girar la Ruleta B. “Ceros y unos” es una actividad con la que el estudiante adquiere experiencia directa con los conceptos de “sucesos igualmente probables” y de “sucesos independientes”. La secuencia 3 es la que resulta másatractiva para la mayorfa de los estudiantes: “loscerosy los unos sealternan muy armoniosamente”. Es normal que después de un cero siga un uno. Pero, con la Ruleta A podrfa no esperarse un comportamiento tan ideal. En efecto, se construyó la Secuencia 3 de acuerdo a la regla siguiente: “Si salió un 0, la probabilidad de que le siga un 1 es de 3 en 4. Y si aparece un 1 la probabilidad de que le siga un 0 es de 3 en 4. En otras palabras, si ha salido un 0, gire la Ruleta B, pero si salió un 1, gire la Ruleta c”. Se construy6 la secuencia 4 empleando las Ruletas B y C y cambiando de ruleta solamente cuando aparecía el número menos probable. La secuencia 2 se construyó con la Ruleta B.
Molinos de viento La simulación constituye una forma de estudiar fenómenos que resultan demasiado complicados para analizar, por ejemplo, mediante el álgebra. Muchas situaciones de la vida diaria conducen, por SCmismas, a tratamientos de este tipo. Dado que hemos apoyado, conscientemente, el enfoque empfrico de la probabilidad, las soluciones analiticas quedan fuera del alcance de los alumnos. Por lo tanto, la simulación aparece como la via natural para recoger datos. El problema de los molinos de viento es, precisamente, un ejemplo de tal tipo de simulación, problema que puede resolverse algebraicamente si se tiene conocimiento de las reglas de probabilidad. Sin embargo, los principiantes pueden encontrar una solución aproximada mediante el empleo de la simulación. Se regula el nivel de agua en un polder mediante cinco molinos de viento. Supongamos que debe bombearse el agua del polder A para el polder B, según el camino que se dibuja en la figura que sigue. La probabilidad de que un molino de viento no trabaje es0 en cierto momento. iCuál es la probabilidad de que no se esté bombeando agua de A hacia B? Haga una simulación de la situación con cinco ruletas, una para cada molino de viento. Puede extenderse el problema variando la distribución de la probabilidad o el número de molinos de viento. Y la principal pregunta que surge aquf es: icuál es un número suficiente de simulaciones para obtener una aproximación de la probabilidad?
Estdhicayprobab&dadparaahnosde
12a16hdeedad
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hdice de precios pc2rí.x 20sestudiantes Lus estudiantes se sienten fuertemente motivados por obtener información relativa a ellos mismos y por compararla despu& con la de sus compañeros. En un anuario del NCIN (1981) aparece la descripci6n de un proyecto en el que los estudiantes recogen datos durante un lapso rnh largo, con la finalidad de determinar un hdice de precios. A pesar
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Estúsllstiw~e.n~Irrssecundaria
de las dificultades que implica realizar en clase un proyecto de larga duración, que todo docente conoce perfectamente bien, bte ha probado constituir una via inspiradora que permitió discutir un concepto tan importante como el de número fndice.
Coweluci&n La correlación es un concepto que s610se discutla, en la estadística tradicional, cuando el estudiante ya habia llegado a dominar muchas tecnicas estadfsticas. En el tema de g&ca de lineas, relaciones y funciones, sediscutlan varios conceptos y técnicas básicos que hacen posible la introducción del tkmino“correlaci6n”en nuestra hnea de temas y, en particular, el conocimiento de relaciones lineales. Este concepto ocupa las Hojas de Trabajo 17 a 22. Como consumidores podemos encontrar correlaciones en los avisos yen la propaganda, donde se sugiere que una variable tiene influencia sobre la otra.“iSi Ud. usa esto, Ud. logran4 mejores resultados!” Como es natural, una correlación muy marcada no implica, necesariamente, una fuerte relación entre las variables. Por ejemplo, se observó un aumento en el consumo de licores fuertes cuando se incrementaron los salarios de los ministros. Pero, obviamente, ambos incrementos fueron el resultado de un crecimiento económico que aumentó todos la salarios y que, como consecuencia, aumentó el consumo de licores Puede llevarse a los estudiantes a reconocer que la correlaci6n indica simplemente una posible relación entre dos cantidades, relación que puede existir o no, y que puede continuar o no. Ellos pueden reconocer, también, que pueden hacerse predicciones a través de extrapolaciones y de interpolaciones. Estas predicciones no son meras sospechas sino estimaciones razonables que pueden tomar en cuenta la realidad. Estos puntos se consideran en ‘Corriendo la milla” (Hoja de Trabajo 22).
Tercer tio de escuela secundaria EllCWStUS Podrlan considerarse las encuestas como el último objetivo& la “estadfstica para el hombre común”. Ellas aparecen en periódicos, revistas, semanarios y en programas de televisión. Cuando se acerca una elección, aparece un verdadero diluvio de encuestas y uno puede considerarse feliz si no ha sido abrumado por los que van puerta a puerta presionando con los formularios. Hay muchos aspectos de una encuesta que deben revisarse con sentido crkico, Particularmente el procesamiento de los CUeStiOMriOS. iQué mejor forma de preparara los estudiantes para las dificultades que se deben enfrentar con la realización de una encuesta que permitirles organizar una, desde la preparación del cuestionario hasta el procesamiento de los datos? La experiencia al respecto ha mostrado que los estudiantes eslán muy interesados en los datos que ellos mismos han obtenido. Ahora que el computador está ganando terreno en la educación, sepresentan másy más oportunidades para este tipo de proyectos. Piet Van Blokland del Colegio de Formación Docente de la Universidad Libre de Amsterdam, ha desarrollado un programa de “encuesta amistosa entre estudiantes” que ha sido ensayada con alumnos de 15 años de edad. Los resultados fueron muy promisores. La secuencia de aprendizaje completa cubrió de seis a ocho lecciones de 50 minutos que no suponlan ningún conocimiento previo de estadktica de parte de los estudiantes. Y el programa permitió que los alumnos organizaran una
Estd,ktiurypobabilidodpmaalumnos& 12a16añosdeedad
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encuesta completa. La etapa que toma mucho tiempo es el procesamiento de datos reales. Pero confiando esta tarea al microcomputador, el tiempo queda disponible para las cuestiones más esenciales de estadfstica, a saber, la estructuración de la encuesta y la interpretación de resultados. Es necesario, como parte de la preparación para realizar una encuesta, dirigir la atención de los estudiantes a la formulación de las preguntas. iQuC son buenas preguntas? ¿QuCson preguntas insatisfactorias? Dos hojas de trabajo están dedicadas a esta cuestión. He aquf la primera de ellas:
Encuesta (1) Sabemos ahora suficiente estadística como para poder examinar nuestra propia encuesta. Tratamos de investigar algo con nuestra encuesta (por ejemplo, los resultados de una votación). Para poder estar seguro de que obtiene una respuesta honesta ala pregunta que formula, tiene que formular preguntas clarase imparciales. iQué quiere decir Ud. con eso?Observe las preguntas siguientes: a)
En nuestro pafs libre deberfa permitirse fumar en los ómnibus.
b)
Una cosa tan insalubre como fumar debeda estar prohibida en los ómnibus.
1Piensa Ud. que debería permitirse fumar en los ómnibus? cl Se podrla contestar respectivamente “de acuerdo”, “no estoy de acuerdo” y “no tengo opinión”. iRespecto a qué pregunta espera obtener la respuesta más imparcial? IPor qué a ésta y que objeciones tiene contra las demás? Ud. debe tratar de formular preguntas tan neutrales como seaposible, entendiendo por esto lo siguiente: formule suspreguntas de tal manera que la respuesta no se vea influenciada por la forma como formula sus preguntas. Trate, ahora, de formular una de las preguntas de su propia encuesta de tres maneras diferentes. $ual pregunta resulta ser la más neutral de las tres? Se puede responder sin ninguna dificultada preguntas tales como “$2ual es su peso?’ y “ique edad tiene. 7”. Pero si alguien le pregunta “$kWa.s papas fritas comió!“, [qué contesta, entonces? La pregunta es neutral, pero sin embargo... El error con esta pregunta es que no es una pregunta suficientemente precisa. ~Pregunta el encuestador cuántas papas fritas por dla, por semana, o por año? En la pregunta esto no aparece suficientemente claro y no se pueden esperar respuestas utilizables a preguntas poco claras. Además, Ud. debe observar si las preguntas son distintas y claras cuando va a preparar una encuesta. Observe a prop6sito, el ejemplo que sigue. La segunda hoja de trabajo cita un cuestionario real, diseí’radopor una revista mensual, que trata de recoger la opinión de los padres referente a la cuestión de la segundad en las carreteras. Se les pide a los estudiantes que estudien el cuestionario y que comenten lo relativo a la claridad y a la neutralidad de las preguntas que se formulan en él. Las actividades subsiguientes incluyen la organización de una encuesta, la elección de participantes, etc. Las preguntas de la encuesta se formulan fuera de clase. Se les pide,
. . .---
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-
finalmente, a los estudiantes que procesen lc6 cuestionarios y que extraigan conclusiones relativas al objetivo de la encuesta.
Referencias Engel, A. 1970. Teachmg of Probability und Statistics. Estocolmo, Almqvist & Wiksell. Fischbein, E. 1975. TheIntuitiueSources ofPro¿&listicThinkinginChildren. Boston, Mass., D. Reidel. Freudenthal, H. 1973. De niueau’s in het leerprocesen de heterogeneleergroep,met het oog op de middenscho~l. Gesamtschule conferentie 1973. Amsterdam, Purmerend, APS, Muusses, 1973a. Goffree, F. 1973. Kuns op het ondewijs. Utrecht, IOWO. Leffin, W. 1%9. A Stwiy ofThree Concepts ofPro¿&&y PossessetfbyChildwnintheFowth, Fifth, Sixth und SeuenrhGrades. Madison, Universidad de Wisconsin. NCI’M. 1981. Teaching Statistics and Prob&Iity: 1981 Yeurbook. Reston, Va., Consejo Nacional de Profesores de Matemática. Piaget, J.; Inhelder, B. 1975. The Origin of the Idea of Ckmce in Chddrm. Londres, Routledge & Kegan Paul (Originalmente publicada como: Lu gen&e de I’idee de haS& cher I’er$ún&. Paris, PressesUniversitaires de Frances, 1951).
6.
Alfabetización cuantitativa los Estados Unidos
en Gd BurriU
En los Estados Unidos la estadística no ha sido nunca un componente integral del currículo de matemática, a pesar del hecho de que ya en los afios 1920, los educadoresen matemática reclamaban que los estudiantes fueran capaces de leer e interpretar conjuntos de datos estadísticos. Aunque en los años 1940 y 1950 se manifestaron las mismas inquietudes, se hizopoco, hasta 1967,porcambiarladireccióndelaeducaci6nenesta&stica. Enesaépoca, la reunión anual del Consejo Nacional de Profesoresde Matematica (sigla inglesa NCTM), llam6 al Profesor Frederick Mosteller, de la Universidad de Harvard, para la formación de un comité para mejorar la educación en estadfstica en las escuelas de los Estados Unidos. La Asociación Americana de Estadística (sigla inglesa ASA), y el NCXM, respondieron con la formación del Comite Conjunto para el Curriculo de Estadística y Probabilidad, integrado con estadísticos y educadores en matemática. Los resultados de los esfuerzos iniciales del Comité Conjunto se concretaron en Estudfstica: Una Gufá para JoDesconoci& (Tanur y colab., 1972) y Esmdfst.icupor Ejemplos (Mostellery colab., 1973) yenconjunt~deensayossobrelasaplicacionesdelaestadlstica, que podían utilizarse en los cursos de matemática de la escuela secundaria. El Comité Conjunto se centralizó luego en el trabajo con maestros, patrocinando una serie de miniconferencias para introducir estadística en las clases. En diciembre de 1981, en Williamsburg, Virginia, se realizó una Conferencia de Gula para cuarenta y cinco docentes de matematica y supervisores de todo el país, quienes evaluaron las pautas y materiales curriculares preparados por el Comité Conjunto. Estos materiales, que dieron énfasis a los enfoques innovadores para la estadfstica, usaron muchas de las técnicas exploratorias de datos desarrollados por John W. Tukey de la Universidad de Princeton. Al mismo tiempo, y reconociendo los educadores los efectos de la tecnologia sobre las habilidades matemáticas necesarias para los alfabetizados indicaron, en casi todos los informes sobre educaci6n, la necesidad de que las personas pudieran manejarse, en cada niveLcon informacióncuantitativa. UnaAge&@mzkzAcci6n(NCX’M, 1980) estableció que los estudiantes deberían estar familiarizados con lo-s“métodos de recolección, organización e interpretación de información, realizando y probando inferencias en base a los datos, y con la comunicación de resultados”. El informe al Comité de la Conferencia de Ciencias Matemáticas (1982), recomienda que la estadistica y la probabilidad “sean consideradas, ahora, como ‘fundamentales’, y que los temas y técnicas apropiadas de estas materias sean introducidas en el cu~culo”.
El creciente reconocimiento de parte de la comunidad educativa de la necesidad de la alfabetización estadlstica y el apoyo abrumadora los conceptos y materiales presentados a la Conferencia de Williamsburg, condujeron al desarrollo de una propuesta de tresafios del Comi te Conjunto de Un Programapara Mejorar la Al#¿& tiza Cuantimricxz en las Escuelas (Asociación Americana de Estadfstica, 1987), el que fue financiado por la Fundación Nacional de Ciencia, en 1984. La filosoffa fundamental era: capacitara los miembros de la sociedad actual para analizare interpretar los datos que ellos enfrentan en susactividades diarias, familiarizarlos con el razonamiento probabiktico y estadfstico básicos y hackkdolos conscientes de que todos los procesos están sujetos a la variabilidad. Los principios básicos fueron los siguientes: Existen muchas formas, en estadística y probabilidad, para enfocar los problemas. Siempre que sea posible, deben utilizarse datos reales. Deben usarseejemplos claros y positivos, cuando seenseña estadfstica y probabilidad, para desarrollar la confianza del estudiante en sus propias habilidades. Los estudiantes deben disfrutar y beneficiarse con las actividades que involucran trabajo con datos.
Materiales de alfabetización cuantitativa La primera etapa del proyecto de Alfabetización Cuantitativa fue la preparación de cuatro folletos para introducir las habilidades básicas en estadfstica y probabilidad. Basadossobre los materiales de Williamsburg, cada folleto (disponibles ahora en Dale Seymour Publications) fue escrito por un grupo de educadores matemáticos y estadisticos. En los materiales, el énfasis está puesto en el empleo de datos males y de inte.r& para los estudiantes, en proporcionarles experiencias pnkticas en el trabajo con datos y en la interpretación de los resultados de su análisis del trabajo experimental. El primer folleto, Ex&ring Dara (Landwehr y Watkins, 1986) usa datos de registros populares sobre nutrición en alimentos preparados, sobre registros de jonrones de baseball y sobre resultados de encuesta relativos a programas de televisión. Los análisis estadisticos involucran la consnucción e interpretación de presentaciones gr5ficas simples, empleandogr5ficas de lineas, diagramas de árbol, diagramas de columnas y graficas de dispersión. Se aclaran e interpretan gn%fkasrelativas al tiempo. Y se utiliza un mtkdo simple, la linea mediana de encaje, para ajustar una linea recta a una gr5fica de dispersión. Los resúmenes num&icos incluyen la media, la mediana, máximos y minimos, cuartiles, espacio intercuartiles y elementos aislados. Se les pide a los estudiantes que organicen y presenten un conjunto dado de datos en distintas formas para maximizar la informaci6n obtenida en base a ellos.
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Amkica Expectativa de vida al nacer
Pafs
Europa Pafs
(afios) Argentina Brasil Canada Chile Colombia México Perú Estados Unidos Venezuela
Expectativa de vida al nacer
(años) Checoslovaquia Francia Rea. Democlática Alemana Rea. Federal de Alemania Hungría Italia Paises Bajos Polonia Rumania Unión Soviética España Reino Unido Yugoslavia
65 60 73 62 59 60 55 73 63
Fuente: StucisticsAbstmct ofthe Unir& Sws,
.71 73 72 72 70 73 75 71 70 70 73 73 70
1981, p. 871.
Se utilizan diagramas de 5rbol para organizar los datos asf como para descubrir modelos o grupos. La Tabla 1 es un ejemplo que se tomó del manual del maestro del Ex@ring Dute. Enellasedael númerodeafiosqueunapexsonanacidaen 1981 enlasAm&icasyenEuropa, con una población de 10 millones o más, podrfa esperar vivir a partir del momento de su nacimiento. Se le pide al estudiante que construya una diagrama de árbol correspondiente a países de las Américas y de Europa y que describa por escrito lo que puede aprender del diagrama (Fig. 1).
AMERICAS
Fig. 1. Diagrama de 5rbol
EUROPA
Si bien tanto las explicaciones como el trabajo de los estudiantes variad considerablemente, debe esperarse que indiquen las diferencias de variación entre las dos regiones y la posición de los Estados Unidos y de Canadá en relación a los otros pakes. Y podrían sugerir, también, posibles causas para las diferencias y pa+a las similitudes. Para dibujar la distribución y la variacilón de los datos, se emplean grbficas de cajas, así como para comparar diversos conjuntos de datos. En la página 195 y siguientes del Capítulo 15 de este volumen, Rolf Biehler describe en forma completa, los diferentes tipos de gr&cas de cajas, así como las distintas maneras en que pueden dibujarse. Se les da a los estudiantes, en otro ejemplo, los datos del Instituto de Registro de Pérdidas en las Autopistas que presentan las estimaciones de los dafios de automóviles en el perkxlo 1982 a 1984, basadasen el número de reclamos de segurospresentados por los damnificados. Se tasan los automóviles en términos relativos tomando 100 como el reclamo promedio para ‘todos los autos. Cuanto más bajo es el número, mejor es el record de seguridad. Dada la gtifica de cajas para todos los autos pequeños y para todos los autos de tamaño medio, los estudiantes deben ser capaces de discutir el promedio de seguridad para cada tamaño de auto y compararlos.
Gr&z
de cujas
En la Figura 2 se muestra la gdfica de cajas para todos los automóviles pequeños y de tamafio mediano (se combinaron los cuatro tipos de modelos). Trace la gtifica de cajas para automóviles de tamaño grande. Señale algún elemento aislado como en la Aplicación 13 de la Pregunta 5: 50 J
60 t
.
70 I
80 I
90 I
t
/OO 1
t
/fo I
t
1.0 1
130 1
.
140 I
/50 1
160 I
MEDIANO
GRANDE Fig. 2 $Ihhs diría Ud. que están más cerca en seguridad, los autos pequeños y mediano, o los medianos y los grandes? iPor qué? Presente en un párrafo escrito un resumen de conjunto de las g&cas. (Optatioo). Haga una gr&ca de cajas para los automóviles americanos pequeños y para autos japoneses, o de otras dos categorlas que le interesen y escribe un resumen de las g&cas. (Para &cusi6n en che). &Zree Ud. que estos promedios de dafios reflejan, precisamente, la seguridad propia de estos automóviles? ¿Podrian referirse también estos promedios a otros factores tales como las diferentes caracterfsticas de los conductores, los diferentes números de millas recorridas, o a las diferentes formas de conducir los automóviks? Qué otras formas puede imaginar para comparar la seguridad de los diferentes automóviles?
Alfabetización curmtitatiw en los Estudos Unidos
93
Tabla 2 Cuadro de resultados del primer partido de la serie del Campeonato de la Asociación Nacional de Basquetbol de 1985. (Los Angeles Lakers, 114; Boston Celtics, 148). Boston
La Angeles
TOUb 1.
2. ‘.
Min’
FC-AZ
FT-A’
Min’
FG-AZ
31
519
4.6
31
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21
4-6
0.0
32
1016
6.9
ll
6.11
0.0
la
6-11
6-7
34
8.14
34
33
6.14
l-l
30
5-14
o-o
29
9.15
0.0
Fl--Aj L-1
24
l-5
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16
3.5
0.0
21
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0.0
14
3.5
0.0
1s
4-7
4-s
w
ll-11
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3.3
1-L
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4
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4
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0.0
4
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04
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49.1m
14.21
240
62-102
17-1s
Minutos jugados
Goles de campohechos/intentados Tiros libres hechos/intentados
Fuente: Los Angeles Times Mientras que el empleo de coordenadas para dibujar &ficas forma parte del cu~&ulo estándar, gmficar y analizar datos reales no lo es. Asc, cuando los estudiantes intentan crear e interpretar gt%ficasde dispersión, su trabajo revela, a menudo, deficiencias de comprensión conceptual. Un obsticulo es el ajuste; otro es la habilidad para expresar las observaciones con palabras. La Tabla 2 anterior representa los records de tiros de los jugadores en dos equipos de la Asociación Nacional de Basquetbol, Los Angeles Lakers y el Boston Celtics. Y se incluye, a continuación, la g&ca completa de distribución. Cada B representa un jugador del Boston y cada L un jugador de Los Angeles. Se le pide a los estudiantes que encuentren los goleadores perfectos, que discutan las características de los dos equipos y las implicaciones de la linea y = x, y que busquen asociaciones entre estos elementos. Sus respuestasdeben ser descriptivas, relacionando la gráfica con los datos, y deben ser capaces, también, de identificara partir de la gnlfica, a los jugadores que tuvieron el record más pobre de tiros. El segundo folleto titulado Ex&ringProbability (Newman ycolab., 1987), dirigidoalos grados 6 a 9, desarrolla las nociones básicas de probabilidad por vía experimental empleando tonteo y algún conocimiento de fracciones. Se utilizan elementos corrientes como ser pelotas, dados, monedas y cartas para calcular aproximadamente las probabilidades en base a las frecuencias relativas. Examinando muchos ejemplos, interpretando, en mucho casos,la información contenida en una tabla o en un gdfico,se llega a los conceptos
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de “igualmente probable”, “sucesosindependientes”, “posibilidades”, “sucesoscompuestos” y “probabilidad de un suceso”. Se emplean diagramas de arbol para calcular algunas probabilidades, no siendo necesario para ello recurrir a f6rmulas complicadas y a procedimientos de tonteo en ninguna de las actividades realizadas.
GOLES DE CAMPO INTENTADOS
(FC-N
Se les pide a los estudiantes que realicen una apreciación de la situación en base a una estimación previa de los resultados esperados. La discusión de la clase se centra, entonces, sobre la relación entre el número de veces que se realizó la experiencia y la estabilidad de la probabilidad estimada, asi como sobre la comparación de los resultados obtenidos en clase. Los estudiantes analizan la diferencia entre preguntas tales como:“iCuál es la probabilidad de hacer una conjetura correcta acerca de la carta a sacar en un ensayo cualquiera 7” y “Q~al es la probabilidad de hacer una conjetura correcta respecto a la carta en 100 ensayos? En muchos ejercicios los estudiantes deben interpretar una gmfica o utilizar una tabla para encontrar probabilidades simples. La Tabla 3 es un ejemplo. Estos ejercicios brindan oportunidad para revisar y practicar las propiedades numéricas básicas asf como para calcular probabilidades aproximadas. Los estudiantes deben ser capaces de reconocer que una fracción como 14.2 15/53.524 no es un número sencillo; y se comprende más fácilmente tomar como una aproximación 7 a 27. La comparación de dos probabilidades resulta más fácil expresada en forma decimal. Para determinar la probabilidad de que un hombre que sufrió un accidente no iba en un vehículo motorizado se exige una lectura cuidadosa, as{ como tener conocimiento de las operaciones numéricas que deben efectuarse. The Aít und TechnQues of Simr&uion (Gnanadesikan y colab., 1987), para estudiantes de los Grados 7 a 12, se basa en las ideas desarrolladas en los dos primeros folletos. Se resuelven en Cl, problemas prácticos, algunos bastante complejos, utilizando técnicas simples de simulación y un planteo estructurado en ocho pasosdel proceso de simulación. Los ejemplos introducen y desarrollan la idea de emplear un modelo matemático. Los estudiantes pasan de la simulación con monedas y con dados a tablas de números aleatorios y al computador. Se considera una variedad de problemas -muchos de ellos demasiado
Alfabetizaci6ncuuntitatiw en kn Esta.& Unidos
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Tabla 3 Número total de muertes accidentales en los Estados Unidos y número de accidentes fatales con vehfculos motorizados en 1979 Vfctimas Grupo de edades
Todo tipo
Todas las edades Menos de 5 5a 14 15a24 25a44 45 a 64 65 a 74
105.312 4.429 5.689 26.574 26.097 18.346 9.103
53.524 1.461 2.952 19.369 15.658 8.162 3.171
15.164 74.403 30.909
2.751 39309 14.215
75 y más Hombres Mujeres
Vehkulo
motorizado
Fuente: Newspaper Enterprise Association, 1978,1983.
complicados para que la mayorfa de los estudiantes los resuelvan matemáticamentedirigidos a ilustrar las aplicaciones de la probabilidad y de la estadktica y a estimular el razonamiento analítico. Las actividades comprenden la probabilidad de respuestascorrectamente supuestas en base a una prueba de elección múhiple, la diseminación de una enfermedad y el número de mujeres que trabajan en una compaiila dada. Pueden utilizarse las simulaciones en el computador, disponibles en un disco de “Alfabetización Cuantitativa”, con la finalidad de hacer resaltar la presentación y la exploración de las actividades que aparecen en el folleto. Suponga que un jugador de basquetbol tiene un recordde marcar tantos en el 75% del tiempo en que espera un tiro libre: &ual es la probabilidad de que haga por lo menos un tanto en dos intentos? Este es un problema relativamente simple que puede simularse con una pelota o con monedas. Puede extenderse fácilmente, sin embargo, si el jugador está tirando un tiro libre. Si el jugador acierta el primer tiro, puede intentar el segundo, si marra el primero, no se hace el segundo intento. En esta situación, el número de puntos que con másprobabilidadhan$el jugadorporcada idaalalfneadetirolibrenoresulta intuitivopero, aún asf, se puede simular facilmente la solución. Los estudiantes deben experimentar con la resolución de problemas no intuitivos y reconocer que los cambios en una situación dada significan que debe reestructurarse el modelo. Si bien los primeros tres folletos son apropiados para estudiantes de escuela secundaria inferior, el último folleto titulado Ex&ring Smveys und hfomation from Sum&s (Landwehr y colab., 1987) es seguido mejor por estudiantes de los Grados 10 a 12. El se centra sobre la inferencia estadfstica, especialmente sobre la relaciónentre una proporción en una
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muestra seleccionada de una población y la verdadera proporción de población. El libro está disenado para presentar las ideas fundamentales del relevamiento de muestras y para ayudar al estudiante a formular juicios fundamentados sobre las encuestas sobre los relevamientos que encuentran en los medios de información y en otras partes Se utiliza la simulación, conjuntamente con otras ideas presentadas en los primeros tres folletos, para desarrollar el concepto de “distribución de muestreo”, “intervalo de confianza”, asi como el uso de estimadores. Se discuten las diferentes técnicas de muestreo asf como, también, los origenes de las tendencias que pueden detectarse en el relevamiento de muestras. El proyecto produjo, también, un conjunto de pautas para la enseñanza de la estadística y de la probabilidad en el currkulo preuniversitario, un manual de instrucción para dirigir sesiones en servicio utilizando materiales del proyecto, aslcomo una cinta magnética sobre la filosoffa de la Alfabetización Cuantitativa y sobre la forma de enseñar estadística y probabilidad.
Programas para maestros en servicio La Woodrow Wilson National Fellowship Foundation -una institución no lucrativa, primordialmentededicadaafinanciartareaseducativasenlosEstadosUnidos-panocinó, conjuntamente con los esfuerzos del Comité Conjunto, un seminario intensivo de cuatro semanas para profesores de matemática de enseñanza secundaria, en la Universidad de Priceton,dumnteel veranode 1984. Debidoa IosesfuerzosdeHenry Polla& de los AT&T Bel1 Laboratories, el tema seleccionado para este seminario fue estadistica. Cuarenta y nueve profesores interesados en la enseñanza de estadística intercabiaron ideas, aprendieron nuevas ideas, escucharon a estadísticos en actividad y redactaron materiales para utilizar en la ensenanza de la estadktica. Se dedicó una semana, bajo la dirección de Richard Scheaffer de la Universidad de Florida, Gainsville, a trabajar con los materiales elaborados por el Comité Conjunto. La Woodrow Wilson National Fellowship recopilri, en 1984, los resultados del trabajo realizado. Como continuación del seminario de verano Woodrow Wilson, se sekccionó, en 1984, un equipo de cuatro profesores del seminario para que participaran en el Woodrow Wilson Master Teacher Program, que era un programa basado en el concepto de profesores enseñando a profesores. Este equipo dirigi6 cada verano, apoyado por la Fundación, miniseminarios de cuatro o cinco semanas de duración, en diferentes localidades de los Estados Unidos. Utilizandocomo base los materialesdesarrolladosdurante el Seminario Pnnceton original, los mini-seminarios le proporcionaron a los participantes, una base respecto a las nuevas ideas estadísticas y mostraron caminos según los cuales los profesores de aula están implementando efectivamente estasideas. Másde 300 profesores participaron en los miniseminarios y estos profesores han proporcionado apoyo profesional para sus colegas de los distritos locales Bajo los auspicios del proyecto de Alfabetización Cuantitativa se realizaron cinco seminarios-taller de tres días de duración, durante 1985 yen diferentes partes de los Estados Unidos, para aproximadamente 200 profesores de matemática y de ciencia de enseñanza secundaria. La finalidad de estos seminarios-taller era introducir los conceptos involucrados en los materiales de la Alfabetización Cuantitativa, así como los procedimientos para la enseñanza de estos conceptos en el aula y proporcionar materiales a los participantes para
Al@etiraci6n cuanttiua en losEsdos Unidos
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repetir el seminario-taller en su distrito local. Otra finalidad era establecer una red de profesores y recursos humanos interesados en colaborar con los objetivos del proyecto. LOs profesores participantes estuvieron de acuerdo en realizar sesiones locales para docentes en servicio en suspropias regiones y a través del efecto mu1tiplicador de estosesfuerzos locales, un minimo adicional de 2.800 docentes recibieron orientaciones respecto al uso de los materiales de Alfabetización Cuantitativa. En todas estas actividades en servicio se pone el énfasis en el tratamiento de la estadktica. Los participantes reunen y analizan datos, arrojan monedas, manejan tablas de números aleatorios, dirigen pruebas de gustos y secolocan en fila para realizar experiencias con colas. Los llderesorganizanel modelode una lección tlpica y, para ilustrarlo, serefieren a incidentes reales que aparecen en el aula y a las reacciones de los estudiantes. Se incorporan las demostraciones con empleo del computador, en las sesiones con software, conempleodel computadorcomouna herramientadeanálisisquegeneradatosoqueayuda en la enseñanza de un concepto. Se brindan oportunidades para que los participantes puedan emplear el software en situaciones que plantean la resolución de un problema. Se organizaron, durante la primavera de 1987 y en diversas localidades de los Estados Unidos, tres seminarios-taller de seguimiento en los que se reunieron los participantes de los primeros seminarios-taller de Alfabetización Cuantitativa, docentes del programa Woodrow Wilson y profesores novicios. En cada uno de ellos el énfasis se situó en la realización de sesiones compartidas en las que los docentes experimentados intercambiaban entre ellos y con los que iniciaban su participación en las actividades, las ideas y materiales que habían desarrollado. Esta tarea de interaccibn sirvió de orientación a los nuevos participantes y reforzó el entusiasmo y los esfuerzos de los que hablan participado en los seminarios-taller anteriores. Se dedicó algún tiempo a considerar las futuras direcciones del proyecto, empleando las conclusiones obtenidas para elaborar un marco de referencia para los próximos esfuerzosdel Comité Conjunto. Todo esto significó un fuerte apoyo para producir unidades adicionales y para organizar otras actividades para dmentes; se propuso suplementar las pautas para una implementación efectiva y desarrollar estrategias dirigidas a hacer llegar la filosofía del proyecto y sus materiales a los administradores y a los coordinadores de matemática. Los miembros del Comite Conjunto, el personal del proyecto y los participantes a los seminarios Woodrow Wilson han participado -ademásdedesarrollarloscomponentesdel proyecto- en los esfue= por superarlos, disertando en reuniones de profesores de matemática y de ciencias realizadas a nivel local, regional y nacional, dirigiendo seminarios-taller y actuando como asesores en otros proyectos relativos a la educación en estadística en los Estados Unidos, y como miembros de los comités encargados de estructurar pautas para la enseñanza de matemática.
El estado actual de la Alfabetización
Cuantitativa
La evolución forma1 del proyecto de Alfabetización Cuantitativa, realizada por distintos evaluadores (Romberg, Algren, Garfield), arrojaron resultados positivos. Los estudiantes aprendieron los enfoques y las técnicasque los materialesproponian; y lasactitudes-mnto de profesores como de estudiantes fueron positivas. Alrededor del 90% de los docentes encuestados consideraba que el programa de actividades en servicio resultada comprensible y agradable y que los preparaba para enseñar con éxito los materiales. También arrojó
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Estnd&tiozenkzeduca&nsecundak
resultados positivos un relevamiento informal del impacto producido sobre la comunidad educativa del pafs por las diversas actividades cumplidas. Cada estado controla la educación pública en los Estados Unidos, y cada estado establece sus propias pautas y exigencias para cada disciplina. Un estado, por lo menos, Wisconsin, exige a todos los estudiantes graduados de ensefianza secundaria alguna instrucci6n formal en estadistica, y las reglamentaciones de Wisconsin recomiendan, para todos los estudiantes, un semestre por lo menosde la disciplina. Lasreglamentacionesde muchos estados incluyen, ahora, una sección sobre estadlstica y probabilidad, en particular California, Illinois, Michigan y Nueva York. Otros estados tales como Connecticut, Maryland y Washington han promovido seminarios-taller y sesiones para docentes en servicio y organizado cursos en estadfstica como parte integrante del currfculo escolar. El NCTM constituyó, en 1986, una comisión encargada de preparar AJowwzspara el Currículo y para IU Eu&a.ci6n de fu Matrmática Escolar (Comisión de Normas para la Matemática Escolar, 1987). Estas constituyen conjuntos de normas para el currfculo de matemática escolar en los Estados Unidos y de normas para evaluar el currkulo y el rendimiento de los estudiantes. La copia de trabajo de estas normas contiene doce secciones especializadas que incluyen un modelo sobre estadística y probabilidad, y en los Grados 5 a 8 y 9 a 12, la Norma 9 trata directamente con estadística y la Norma 10, con probabilidad. Parte de las recomendaciones para la escuela secundaria establecen que todos los estudiantes deben ser capaces de “utilizar el encaje de curvas para hacer predicciones a partir de los datos; comprender y aplicar medidas de tendencia central, variabilidad y correlación”. El Grupo de Trabajo sobre Currfculo del Comitt de Educación en Ciencias Matemáticas, que desarrolla una filosoffa y establece un marco para el diseño de la educación matemática para el grado K- 12, para el siglo veintiuno, recomienda, también, una sección especializada en estadística en todos los grados. Varias recomendaciones recientes para los programas de formación docente incluyen conocimiento y formación en alfabetización estadística.
Direcciones futuras Los factores señalados, conjuntamente con otros, indican un reconocimiento de parte de la educación, del comercio y de la industria, de que la alfabetización cuantitativa debería jugar un papel importante en la educación matemática. Las actividades realizadas en el terreno de la alfabetización cuantitativa han logrado incrementar el reconocimiento de docentes y de supervisores de la importancia de incluir estadística en el currículo y han intensificado la enseñanza de la estadística. Reconociéndose, sin embargo, que esto constituye 9610 un comienzo, se le asignaron nuevos fondos al Comid Conjunto, provenientes de la Fundaci6n Nacional de Ciencias, destinados a un segundo proyecto denominado Formación de Lfderes en Alfabetización Cuantitativa para Profesores Guías y Educadores Principales. La finalidad de este proyecto es proporcionar materiales y mecanismos que permitan que la estadística sea una componente integral y planificada de los currículos de matemática. Uno de los propósitos del proyecto es organizar redes regionales de supervisores de matemática, de coordinadores de matemática, de profesores de matemática, de educadores en matemática y de estadísticos locales para promover y apoyar la ensefianza de la estadística dentro de una región, apoyados por el personal del proyecto y “profesores gulas” entrenados. El proyecto, de tres años de duración, debería formar seis centros regionales en los que debería realizarse un seminario de verano para
A&zt&zci&n cuantituriw en kn EstodosUnidos
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profesores de matemática, de ciencia y de ciencias sociales en los Grados 6 a 12, conjuntamente con sesiones de seguimiento en los afios escolares siguientes, Y se producitin, materiales curriculares listas de referencia para temas adicionales, software y manuales de capacitación, asl como una lista de personas a quienes solicitar asesoramiento, todo como elementos adjuntos o complementarios de los programas para profesores en servicio. Cuando sea posible, se emplearan asesores,estadísticos locales para la tarea de asesorar al personal del proyecto y para realizar revisiones criticas dé los materiales. Los estadfsticos actuaran, asf mismo, como disertantes de aula y realizalán visitas locales para estudiantes y servitán de modelos para aquellos que se interesan en la estadfstica como profesión. Un segundo propósito es difundir las pautas para la enserkmza de la estadfstica, indicar qué temas deben enseñarse y las formas en que se relacionan los temas, proporcionar ejemplos del contenido y sugerir materiales apropiados. El último propósito de este proyecto, referido al grado K- 12, seria capacitar a los estudiantes para que puedan hacer un uso inteligente de la estadística y de la probabilidad en su sociedad, prepatindolos para utilizar los conceptos estadísticos necesarios cualquiera sea su ocupación y proporcionar la base para los programas más tradicionales necesarios para la ensefianza secundaria superior o para la educación postsecundaria. Los estudiantes deben aprender a recoger, organizar y presentar datos, a simular acontecimientos reales, a hacer conjeturas ya tomar decisiones basadasen un conjunto de datos. Los datos deben ser reales y deben ser extraidos, en la mayor medida posible, de situaciones de inter& o de situaciones familiares, empleando un razonamiento probabilístico y un concepto correcto de variabilidad. Y deben ser capaces, finalmente, de reconccer tanto el uso adecuado como el uso inadecuado de la estadfstica en la sociedad. Cuando se considere apropiado, el proceso de aprendizaje debe incluir actividades practicas, y deben evitarse las fórmulas complicadas y la simbolización hastaque nose haya logrado una fundamentación conceptual firme. Debe realizarse.el trabajo con datos dentro de un contexto de resolución de problemas, estimukulose el empleo de habilidades m5s elevadas de pensamiento. El desarrollo de la habilidad para comunicar, tanto en forma escrita como oral, los resultados del análisis estadlstico constituye una componente significativa del proyecto. Este aspecto resulta particularmente impormnte puesto que los estudiantes deben aprender a reconocer que los diferentes enfoques pueden llevar a resultados diferentes y que estos resultados podrlan ser igualmente vãlidos. Debe enfrentarse a los alumnos, y comenzando en los primeros grados, con números que aparecen en su medio ambiente empleando fuentes des como periódicos, revistas u observaciones personales, y desarrollarse las ideas de “azar”, “probable”, “promedio” y “variación”. Los alumnos deben comenzara ser exigentes con los datos y a reconocer como pueden efectuarse las interpretaciones a causa de las tendencias de los datos. Deben incluirse, asi mismo, las técnicas de organización y de elaboración y lectura de presentaciones gráficas simples. Y al terminar el Grado 8, deben saber respetar los datos y conocer la forma en que deben recogerse, asl como algunas habilidades formales para organizarlos y para analizarlos; deben ser capaces, tambien, de simular acontecimientos probabilísticos simples. A nivel de escuela secundaria, pueden ir extendiéndose las herramientas de análisis a medida que los estudiantes van adquiriendo una mdyor sofisticación matemática. Los estudiantes deben ser capaces, a este nivel, de procesar estadfsticamente un problema, formular preguntas, recoger la información necesaria, analizarla e interpretar y comunicar los resultados.
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Estodirtimenla~sccundaria
Sinembargo,el análisisdedatosnodebeconstituirunaentidadseparadaenlasecuencia del programa de matenxkica, sino que debe aparecer entretejido a trav& del currkulo cuando seaoportuno. Deben presentarse las medidas de probabilidad tanto expresadas con fracciones como con decimales. Y las medidas de dispersión y de promedio que impliquen habilidades aritm&icas simples, deben presentarse dentro del mismo contexto, conjuntamente con las habilidades seÍ%rladas. Que problemas ha levantado la inclusión de un sector de alfabetización cuantitativa en los currfculosde matemkka de los Estados Unidos? Uno de los másobvios esdeterminar cómo y dónde encaja mejor. Muchos consideran que el currkulo ya está sobrecargado y si el &ulo con lápiz y papel y las manipulaciones algebraicas han perdido Cnfasis, debe hacerse lugar, sin embargo, para nuevos temas. El trabajo con datos reales no es lo mismo que trabajar conel material tradicional dela matemática escolar. Esdifícil dar una respuesta “conecta” a estas cuestiones. La interpretación de una gr;ífica puede levantar m4s problemas de los que resuelve. El estilo tradicional de ensefiar matemática, o sea“exponga y haga”, no funciona, ya que se hace necesario discutir los datos y examinar las ideas. Esto indica que deben producirse cambios significativos en muchas aulas y que todos los docentes deben ser actualizados tanto en contenido como en pedagogfa. Ya que las calculadores y los computadores permiten que los estudiantes utilicen datos reales en lugar de problemas imaginados y demasiado simplificados, estas máquinas deben figurar como elementos esenciales en el aula. Los computadores pueden generar y organizar datos, así como producir resúmenes de datos Los estudiantes tienen que ser capaces de utilizar loe computadores para realizar simulaciones, para entrar sus propios datos para analizarlos y de aplicar su propio análisis a los datos generados en el computador. No obstante, si los estudiantes utilizan demasiado el computador desde muy temprano en el proceso de aprendizaje, perder5n de vista el hecho deque la estadfstica maneja información real. Una de las tareas del füturo es desarrollar softwam simple y de fkil empleo para trabajar con datos en el contexto de la escuela. El análisis&da~atraviesaloslímitesacademicos:laciencia,laeconomia, losestudios sociales y la sicologfa constituyen fuentes excelentes de datos. Es necesario desarrollar unidades de trabajo cooperativo en base a una variedad de disciplinas, y que los docentes puedan utilizar, asi como proporcionar capacitacibn en servicio para los docentes de aquellas disciplinas. El análisis de datos no debe apnxxkrse de memoria y no debe ser discutido, solamente, en las clases de matetitica. Para ayudara atender estas necesidades y para apoyar el segundo proyecto de Alfalxtización Cuantitativa, la ASA aprobó la creación de un Centro para la Educación Estadística. Este Centro -instalado en las oficinas centrales de la ASA en Alexandrfa, sed responsable de todas las actividades de la asociación en el campo de la Virginiaeducación estadfstica y funcionar5 como banco de información para la educación estadkica en las escuelas. Los Estados Unidos estan comenzando a reconocer que el altábetismo cuantitativo es una llave para el futuro. El objetivo principal de la educación es preparar estudiantes que lleguen a ser ciudadanos efectivos y productivos. Esto significa que en el mundo de hoy y en el de mañana, la estadtstica debe constituir una componente integral del sistema educativo. Los Estados Unidos estan comenzando, en realidad, a lograr este objetivo.
At@etizacir5ncwmtitatiw en kn E.u&os UNdos
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‘7.
Empleo de la simulación para construir modelos de problemas del mundo real Beth Bryun
Introducción La fuente principal del material de este artículo es The Art and Techniques of Sirnukzrion (Gnanadesikan y colab., 1987). El libro es el tercero de una serie de cuatzo unidades publicadas como parte del proyecto de Alfabetización Cuantitativa. La serie fue escrita por miembros del Comite Conjunto de la Asociación Americana de Estadística (ASA) y el Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NCTM) sobre el currfculo de Estadística y Probabilidad (NCFM, 1981). El trabajo fue financiado, en parte, por una donación de la Fundaci6n Nacional de Ciencia. Las técnicas presentadas en la serie Alfabetización Cuantitativa están disenadas para uso de la escuela media hasta la escuela secundaria superior. Ellas ofrecen principalmente, temas estaadlsticosque son importantes para los estudiantes, una gran variedad de actividades practicas, el uso de datos reales, experimentos activos que motivan la participación de los estudiantes y m&dos g&cos más bien que fórmulas complicadas o conceptos matemáticos abstractos. En particular, se introduce la simulación como una técnica para la resolución de problemas en probabilidad y estadística. El material de la segunda unidad de la serie, Exploring ProbubiIity (Newman y colab., 1987), sirve como base para el módulo sobre simulación.
Objetivos Usando la simulación se pueden resolver problemas practicas desde los mas simples a los más complicados, o por lo menos, se pueden encontrar respuestas aproximadas. El procedimiento involucra experimentos semejantes a la realidad para proporcionar respuestas a problemas de la vida real. Se usa un enfoque en el cual el estudiante participa activamente para obtener resultados. Se comienza con modelos simples, donde el énfasis secoloca sobre la estimación de la probabilidad de un evento y una progresión gradual conduce, eventualmente, a los estudiantesal puntodondeellossoncapacesdeaplicarlosmétodosde inferenciaestadística para extraer conclusiones acerca de los resultados. Al aplicar técnicas de simulación, seles enseña a proceder paso a paso, lo que los ayuda a contestar preguntas acerca del
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ESdíStiC4ZCTlkleducaciónSenmdmin
comportamiento de procesos reales bajo distintas condiciones. Muchas de las aplicaciones que se discuten más adelante se pueden adaptar fácilmente al computador, pero este enfoque no depende de un computador.
Un modelo de simulación De acuerdo a Gnanadesikan y colab. ( 1986), l a simulación de un problema practico puede realizarse mejor mediante el uso de un modelo basado en el proceso de los ocho pasos siguientes: PASO 1. Plantear claramente el problema, de manera que sepresente toda la información necesaria y se establezca el objetivo. Ejem&: Dos equipos parejos de baloncesto se enfrentan en una serie de siete partidos. Estimar la probabilidad de que el Equipo 1 gane la serie, ganando, por lo menos, cuatro partidos al Equipo 2. PASO 2. Definir los eventos elementales que forman la base de la simulación. Ejemplo: Los siete juegos forman una serie de siete eventos elementales, cada uno de los cuales puede ser simulado muy fácilmente. PASO 3. Establecer las hipótesis subyacentes que simplifican el problema, de manera que se pueda encontrar una solución. Ejemplo: Se dice que los equipos sOnparejos, de manera que para cualquier partido (evento elemental) podemos suponer que la probabilidad de que el Equipo 1 gane es I / 2. También suponemos que los partidos son independientes, de manera que el resultado de cualquier partido no esta afectado por los resultados de los partidos anteriores. PASO 4. Seleccionar un modelo para un evento elemental, eligiendo un método para generar resultados debido a las chances que indican las probabilidades de los acontecimientos reales. Ejem& Puesto que la probabilidad de que el Equipo 1 gane es 1 / 2, podemos modelar un partido lanzando una moneda y estableciendo que la cara es un triunfo para el Equipo 1 y la cruz representa un triunfo del Equipo 2. PASO 5. Definir y realizar una prueba que consista de una serie de simulaciones de un evento elemental y que sedetenga cuando el evento de inter& ha sido simulado una vez. Ejem&: Puesto que los Equipos 1 y 2 van a jugar una serie de siete partidos, lanzando una moneda confiable, siete veces, modelaríamos un partido de la serie. PASO 6. Registrar la información de inter& tabulando la información necesaria para alcanzar el objetivo deseado. La mayoria de las veces, esto simplemente requiere que registremos si el resultado fue favorable o desfavorable para cada prueba. Ocasionalmente, se anotar5 un resultado numerico.
Empkodesimuk&nparamo&rdclmundo~enl
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Ejemplo: Después de lanzar la moneda siete veces, observamos el número de caras. Si este número es por lo menos 4, la prueba se clasifica como favorable al evento de que el Equipo 1 gane la serie. Podra ser útil mantener un registro del número de partidos ganados por el Equipo 1 en cada prueba. PASO 7. Repetir los pasos 5 y 6 por lo menos cincuenta veces. Un estimado correcto de una probabilidad de resultados empkicos requiere un gran número de pruebas. Si la simulación se hace con la ayuda de un computador, entonces se pueden realizar mil o maspruebas sin ningún inconveniente. Si los experimentos serealizan sin computador, se asigna el trabajo de manera que cada estudiante es responsable, solamente, por un pequeño número de pruebas. Ejemplo: Lanzar la moneda siete veces más y registrar el número de caras. Repetir este procedimiento hasta que se obtengan, por lo menos,cincuenta pruebas de lanzar siete veces la moneda. PASO 8. Resumir la información y reducir las conclusiones. probabilidad de un suceso de interés, A, evaluando:
Podemos estimar la
elnúnwodecasosfávorabksaA elnúmemtotaldecasosrealizados Ejemplo: Podemos estimar la probabilidad de que el Equipo 1 gane, por lo menos, cuatro partidos evaluando: elnúmerodecasosconporbnreru>scuatrocatas elnúwrototaldecasos Una moneda nos proporciona una forma fácil de generar resultados en el experimento mencionado, porque fue necesario usar un metodo que pudiera producir dos resultados con igual frecuencia. Se podnan haber usado otfos recursos en la medida en que ellos tengan dos resultados con iguales posibilidades de ocurrir. Por ejemplo podrfamos lanzar un dado y clasificar los resultados como par 0 impar.
Empleo de simulación para analizar la percepción extraesensorial (sigla inglesa ESP) Se puede encontrar en un artículo de Kenneth Travers (Travers y colab., 1985 ) una versión de una de las ilustraciones ch%icas de aplicación de la simulación para resolver problemas en el mundo real, usando las técnicas de Monte Carlo, para enseñar probabilidad. Siguiendo el modelo de simulación descripto anteriormente, tenemos: PASO 1. Kathy dice que no tiene que estudiar para las pruebas porque ella tiene ESP. Y esta dispuesta a mostrar su poder a sus amigos dudosos, sometikiose a una prueba de literatura isabelina de diez preguntas del tipo verdadero o falso, tema del cual no sabia nada. Ella obtuvo siete respuestas conectas. $2uáles son las posibilidades de que obtuviera siete o más respuestas conectas de aquellas diez preguntas, si ella está, solamente, adivinando?
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Est.dhia en Laeducaci&nsecundmia
PASO 2. Las diez preguntas forman una serie de diez eventos elementales, cada uno de los cuales se puede simular fácilmente. PASO 3. Suponemos que la probabilidad de que Kathy conteste correctamente cualquiera de las preguntas es 1/ 2, si ella está simplemente adivinando. Tambien suponemos que la contestación a cada pregunta es un suceso independiente, de manera que sus no están afectadas por su éxito o posibilidades de lograr cualquier Tespuestacorrecta, fracaso en cualquiera de las otras preguntas. PASO 4. Puesto que las posibilidades de que Kathy conteste una pregunta correctamente son 1/ 2, lanzar una moneda es un modelo apropiado para contestar si cada pregunta es correcta o incorrecta suponiendo que la cara representa el evento de una contestación correcta de Kathy y la cruz su contestación incorrecta. PASO 5. Lanzamos diez veces una moneda confiable para modelar el evento de que Kathy enfrenta la prueba una vez. PASO 6. Observamos el número de caras. Si el número de caras obtenidas en los diez lanzamientos de la moneda es, por lo menos siete, la prueba seclasifica como favorable al hecho de que Kathy obtenga en la prueba una calificación de, por lo menos, 70. PASO 7. Arroje la moneda diez veces más y registre el número de caras. Repita el procedimiento hasta obtener, por lo menos, cincuenta ensayos de diez tiradas de moneda. PASO 8. Estimar la probabilidad deque Kathy conteste correctamente, por lo menos, siete preguntas, evaluando: el número de pruebascon por b nmos sietecaras el númaP total de pruebas En una simulación de este ejemplo involucrando un total de 100 pruebas, 19 pruebas produjeron siete o más caras. Esto arroja una probabilidad empírica de 19/100 = 0.19. Entonces, la probabilidad de que Kathy pueda contestar correctamente, por lo menos, siete de las diez preguntas, si ella no tiene ESP (esto es, si ella estaba adivinando) sería aproximadamente 19%.
La simulación cuando las probabilidades difieren de un medio En 10s ejemplos anteriores se generaron los resultados del experimento, arrojando una moneda, lo que fue posible porque cada resultado tenía igual chance de ocurrir. Consideremos ahora la simulación de un problema, en el cual tenemos un suceso elemental, en el que la probabilidad no es igual a 1/ 2. Obviamente, la moneda no es un recurso apropiado en este caso. No obstante, hay aún, una variedad de caminos facilespara simular este tipo de experimento. Una posibilidad, la que se considera a continuación, es emplear una tabla de número aleatorios.
EmpleodeSM
paramodelosdel mundored
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PASO 1. Plantear el problema con claridad. Ejem&: Greg maneja un tren que hace viajes cortos de ida y vuelta. Su tren puede acomodar diez pasajeros, Los pasajesse pueden comprar por anticipado. En promedio, 20% de las personas que compran el pasaje por anticipado, no sepresenta. Greg vende 15 pasajes por cada viaje. Estimar la probabilidad de que Greg no ubique todos sus pasajeros (por ejemplo, estimar la probabilidad de que sepresenten más de 10 pasajeros con pasaje). PASO 2. Definir los eventos elementales. Ejem&: Los eventos elementales son si cada persona que tiene pasaje se presenta para el viaje. PASO 3. Establecer las suposiciones subyacentes. Ejemplo: La probabilidad deque cualquier persona con un pasaje no sepresente para el viaje es de un 20%. Si cualquier poseedor de un pasaje sepresenta o no, es independiente de que otro poseedor de pasaje lo haga. PASO 4. Seleccionar un modelo para un evento elemental. Ejemplo: Extraiga un número de una tabla de números aleatorios. Si se saca un 0 o un 1 supondremos que el poseedor del pasaje no se presento para hacer el viaje. PASO 5. Definir y realizar una prueba Ejemplo: Puesto que Greg vende 15 pasajespara cada viaje, un ensayo consistid en sortear 15 números aleatorios que representan a los poseedores de pasajespara un viaje. Si el resultado del primer ensayo es 1,5,3,1,9,0,6,2,1,7,4,5,2,6,8, entonces ll de los 15 poseedores de pasajes se presentaron para el viaje. PASO 6. Registrar la observación de inter& Ejem&: Si se presentaron once personas con pasaje, una de ellas no obtuvo asiento, registramos, entonces, el número de personas con pasaje que no obtuvieron asiento en cada viaje (ensayo). PASO 7. Repetir los pasos 5 y 6 hasta completar 100 pruebas. Ejem&: A continuación estin resumidos los res&ados de las 100 pruebas. Número
de La queno obtuvierm asiento 0 1 2 3 4 5 16
Número
& puebas os 12 24 28 16 12 7
Estndkticamla~scMldmia
108
PASO 8. Resumir la información y sacar conclusiones. Ejem&: Los datos del Paso7 nos muestran que másde diez personas sepresentaron 92 veces en las 100pruebas. Por lo tanto, la probabilidad de que másde diez personas con pasaje se presenten para cualquier viaje, esta estimada en 92/100 = 0.92. El número promedio de pasajeros que no obtuvieron asiento en cada viaje es:
0(08)+ 1(12)+ 2(24)+3(28)+ 4(16)+5(12) = 268 = 268 100
100
En promedio, Greg puede esperar que en cada viaje hayan entre dos y tres pasajeros descontentos.
Conclusión Las técnicas de simulación que siguen el enfoque de los ocho pasosvistos, sepueden planear, también, para situaciones donde el número de eventos elementales en una prueba, no está predeterminado (por ejemplo: el tiempo en que una prueba cambia de una actuación a la siguiente), asi como también a problemas más complejos, donde el evento de interés puede tener más de una caracteristica. Hay numerosos ejemplos de problemas pr&xicos que se pueden simular usando dicho enfoque, y que resultan interesantes y motivadores para estudiantes de 12 a 18 afios. Una lista parcial puede incluir la predicción del resultado de eventos deportivos, tales como el basketball, el resultado de una elección, los resultados de juegos de azar, el tiempo de espera en las colas y el evento de pasar o fracasar en tests de elección múltiple. Claramente, la simulaci6n es un mecanismo ideal para dar al maestro la oportunidad de desarrollar una progresión sistemática desde la estimación de probabilidades, a extraer conclusiones y hacer inferencias.
Referencias Gnanadesikan, M.; Scheaffer, R.; Swift, J. (1987). The Art und Techniques ofSimuk&n. Palo Alto, Calif., Dale Seymour Pubiications. Reston, Va., Consejo NCIM. 1981. Te.r&ng Sratistics and Probabtity 1981 Y&x& Nacional de Profesores de Matemática. Newman, C.; Obren&, T.; Scheaffer, R. 1987. Expkxing Probability. Palo Alto, Calif., Dale Seymour Publications. Travers, K.; Stout, W.; Swift, J.; Sextro, J. 1985. Using Sratistics. Menlo Park, Calif., Addison-Wesley.
8.
Enseñanza y aprendizaje apropiados de la estocástica en los grados medios (540) Huns Schupp
Este capftulo pretende presentar y discutir las líneas generales de un curso de estocástica apropiado para los grados medios. Se podría preguntar si les esta una tarea necesaria en un momento en que se están realizando gran cantidad de investigaciones analiticas en este terreno? (Grey y colab., 1983). Nosotros creemos que lo es y damos varias razones para ello. Se esta impartiendo actualmente instrucción estocástica y hay muchos estudiantes y profesores que necesitan un programa mejor y, estan espenk!olo.La ensenanza de la estoc&ica tiene una historia relativamente corta; y se sabe bien que los primeros intentos para enseñar un tema nuevo, adolecen de un enfoque demasiado deductivo. Por otro lado, me parece que ya tenemos suficiente experiencia como para ser capaces de prescribir ciertas caracteristicas de una secuencia de aprendizaje que resulte significativa. Dicha secuencia puede servir como punto de partida para un número mayor de investigaciones. Hasta el presente, la investigación empírica en !a ensetinza de la e.stoc&tica se ha concentrado en estudiantes carentes de instrucción en este tema. Por último, una forma de enseñanza no puede estar nunca fundamentada únicamente en el análisis, sino que debe incluir elementos eventuales y elementos normativos. Un currfculo asf ofrece, como es natural, solamente un esqueleto de los temas. Y son, precisamente, los docentes y los alumnos quienes deben proporcionar la carne y la sangre tratando de implementarlo, mejonk!olo constantemente con la experiencia del aula.
Criterios .i
Creemos que son cuatro los criterios (no independientes) que deben regir la construcción de una secuencia para principiantes en estocástica.
La estmctura & la disciplina ‘i1 ì:’ ._’
El termino mismo, “estructura”, podrfa ser mal comprendido, dado que evoca un enfoque euclideano o, aún, una imitación de una clase universitaria sistemática. Y, como es natural,
l.l .-._ 1l__l.l - ----yll^
-^l--l.l._~.-_l..--.._..-_-..-..1--1 -^ _-..“--
Emdkrica en In ducaci6n secundmia
110
es precisamente esta estrategia la responsable de tantos defectos en los programas actuales. Por ejemplo: Ladivisiónusual en trespartes: estadlsticadescriptiva, teoriadelaprobabilidade inferencia estadkica, apareja la consecuencia de que se ensei’ian las dos primeras partes como si fuesen independientes y cuando secolocan juntas (dentro de la tercer parte), la mayoría de los estudiantes ya habrk abandonado la escuela. El uso expllcito o impllcito de un sistema axiomático, que descuida el cálculo de probabilidades elementales y que encaja mejor con experiencias aleatorias de un número infinito de sucesosque con las experiencias que serealizan en los grados medios. La aceptación de proposiciones, de conceptos y de notaciones sin reflexión previa que, si bien pueden ser de importancia ciendfica constituyen, al parecer demasiado temprano, un mero lastre en el aula. Ejemplos de esto son: el álgebra de sucesosy los teoremas de combinatoria relativos a los principios de sumatoria y de producto. El primer criterio para la elección del contenido y del mkodosignifica, por el contrario, que tenemos que recordar el desarrollo de la disciplina y la forma como se utilizan sus métodos a trav&s de su aplicación (Engel, 197311976; van Harten y Steinbring, 1984). Vemos, en primer término, que el trabajo estocástico se hace siguiendo un circuito que comienza con un problema de la vida real (Fig. 1).
*
Problema estocástico
1
Solución estochtica
Cálculo
Construcción de un modelo
Interpretación
Retroalimentación Un problema real
T Solución dentro de la situaci6n del problema
Fig. 1. Circuito estocástico Se traduce, en primer t&mino y mediante la construcción de un modelo, el problema de que partimos en un problema estoAtico bien definido. Esto significa, sobre todo, recoger, describir, bosquejar y estructurar la información y determinar la distribución de frecuencias y de probabilidades primarias. Si hemos resuelto este problema mediante mkodos de esta&stica matemática y de teoria de la probabilidad, tenemos que interpretar la solución en tkminos de la solución dada (lo que significa, a menudo, verla esQdlsticamente) y finalmente, evaluarla comparando la respuesta con la cuesti6n original. Si esta comparación no nos convence, debemos tratar de corregir nuestro trabajo o de
Enseñanrade la estocácticaen losgra&s medios
111
mejorar nuestra solución recorriendo nuevamente todo el circuito, controlándolo paso por paso. He aqul un ejemplo muy simple. ProMema: Edith fa!!6 en “salir” en la primera vuelta del Men&-ärgere-di&&c (un juego de los niños alemanes). Ella cree que es una persona sin suerte. LTiene razón? El proMema traducido: &Xl es la probabilidad de no sacar un 6 en tres tiradas de un dado? Soluci6n: p = (5/6)3 = 125/2 16 (regla del producto de sucesosindependientes). Entonces p es, aproximadamente, el 58%. Solucti OI t&mincs del prob&mu Ongi&: Cualquiera que juegue este juego fallar& probablemente, en “salir” en el 58% de todas las tentativas, de manera que la falta de suerte de Edith no resulta sorprendente. Y si no seconvence, ella puede comparar el resultado con las probabilidades de fallar en sacar un 6 en dos tiradas y en cuatro tiradas (69 y 48%); o puede repetir la primera vuelta (con el mismo dado). El circuito de control esbozado más arriba constituye una versión especial (y muy simplificada) de la relación general entre el mundo real y su modelo matemático (Weber, 1980). En segundo lugar, el trabajo estocastico está caracterizado por una combinación apropiada de herramientas estadísticas (especialmente dentro de la construcción de modelos, de la interpretación y de la realimentación) con métodos que utilizan la probabilidad (Schupp, 1982). En resumen, la estadistica sin la teona de probabilidades es ciega (no permite formular pronósticos) mientras que, a su vez, la teoria de probabilidades sin estadistica es vacía (no tiene relevancia para la vida real). Se hace, por lo tanto, necesario reunir, tan estrechamente como seaposible, la frecuencia relativa y la probabilidad primaria, la probabilidad secundaria y frecuencia relativa, distribución de frecuencia y la distribución de probabilidad, media y valor esperado y desviación estándar estadfstica y probabilistica. Interpretamos la palabra “estoc&tica” (empleada por primera vez por Platón en su diálogo Pkkbos con el significadode “conjetura hábil”) como un programa que vincula los datos estadísticos con las aplicaciones de la teorfa de probabilidades. En tercer lugar, el trabajo estocástico asl concebido ha alcanzado e influenciado a casi todos los sectores de la vida diaria y a casi todas las disciplinas (Grey y colab., 1983). En consecuencia, las situaciones esto&ticas deberfan jugar un papel dominante en el curso. Puede ser que esto no haga más fácil el curso a seguir, pero lo harfa más interesante y resultariade mayorvalorcomoformadepreparaci6nparalavidareal (Greyycolab., 1983).
Criterios referidos a estudiantes El primero y más importante de estos cri terios ese! estado actual del desarrollo cognoscitivo de los estudiantes (Fischbein, 1975). Por ejemplo, resulta completamente inútil, y aún peligroso, introducir los conceptos matemáticos de “fkcuencia relativa” y de “probabilidad” a menos que exista una comprensión de “proporci6n” y de igualdad entre proporciones. Y dekria reconocerse, ademas, que la habilidad para calcular un valor medio no implica que se comprenda su significado, o que puede hacerse o no hacerse con ella. En segundo lugar, tenemos que planificar y asegurar un rico arsenal de actividades para los estudiantes en todas las etapas incluyendo, aqui, la necesidad de experiencias aleatorias, la recolección de datos, la presentación de datos, las distribuciones de datos así como, también, el empleo de diagramas de árbol. Un análisis de los currkulos existentes muestra que las “etapas”de Bruner son, con frecuencia, mal comprendidas, al serconsideradas como fasesde una secuencia de aprendizaje en lugar de ser diferentes modos de representación de cada nivel de instrucción. Esta interpretación ernkea conduce a programas que sevuelven
demasiado teóricos en susú! timas partes. En relación con esto, abogamos por la consideración de simulaciones (en el computador) a lo lago de la totalidad del currkulo de estocástica, tanto para controlar una solución (y por lo tanto el modelo elegido) como una salida si el modelo resulta demasiado difícil de manejar. Abogamos, además, por el uso continuo de “experiencias~modelo” que el estudiante puede abandonar en caso de presentarse nuevas situaciones dificiles. Ejemplos de estos son la extracción de bolas de una urna (con o sin reemplazo), uso de una ruleta 0 y 1 y echar pelotas en un tablero de Galton (Schapp, 1985). Esto constituye, también, una simulación. En tercer lugar, tenemos que evocar las intuiciones primarias de nuestros estudiantes con la finalidad de alimentar las correctas y, sobre todo, para desalentar las tendenciosas -queestán,desafortunadamente,diseminadasampliamenteeneldominiodelaestocástica (Fischbein, 1975) y (Grey y colab., 1983). Y algunas de las tendencias comunes en este contexto son: Una tendencia a suponer dependencias entre, por ejemplo, acontecimientos sucesivos o entre etapas sucesivas de una experiencia (por ejemplo, en los giros sucesivos de la rueda de la ruleta, el mismo número es menos probable que otro número). Una tendencia a superestimar la chance de resultados representativos (por ejemplo, que la serie 8, 14,23,31,42,47 es mas probable que la serie 1, 2,3,4,5,6). La creencia en el “azar limpio” y, como consecuencia, una preferencia por una distribución uniforme, aún cuando algunos slntomas lo contradigan (por ejemplo, la suposición de una distribución uniforme de suma de caras cuando se arrojan dos dados). Un modelo determinista de fenómenos estocásticos (por ejemplo, la probabilidad de que por lo menos dos de n personas cumplan años el mismo día es n/365!). Falacias como estas constituyen una fuente permanente de errores si no se individualizan, no se discuten y no se resuelven. Por otra parte, es posible exorcizarlos si hacemos eso.
Asegurar unu conducta decu&
en situfzcionesestocásticfs
Esta finalidad significa, esencialmente, crear y acrecentar la habilidad para pasar (tan frecuentemente como sea necesario) la estación de control del circuito. No es ningún secreto que, hasta ahora, los currículos, los textos escolares y, sobre todo, la enseñanza misma no toman en cuenta suficientemente esta finalidad. Abundan las actividades, pero !a construcción de modelos, la interpretación y la rctroa!imentación no tienen lugar en forma adecuada. Se citan, a continuación, algunos lugares comunes: Se da preferencia a los juegos sobre los problemas de la vida real. Existen, ciertamente, buenas razones para introducir los juegos al comienzo de una unidad de aprendizaje, dado que son bien conocidos y que pueden aclararse y modelarse con facilidad. Su solución es simple y convincente (se presental-án algunos ejemplos más adelante). Pero deben estar vinculados a tareas más importantes, tareas que, al final, deben recmplazarlos. Predominan las probabilidades clásicas (es decir, número de casosfavorables dividido por el número total de casos) y, en conexión con ello, la extensión a la combinatoria aparece como inadecuada. La afirmación frecuente (en lugar de su deducción) de las probabilidades primarias (no clásicas). Se descuida o aún se elude el hecho de que los métodos matemáticos puedenayudar en la toma dedecisionesen una situación estocástica, pero que no puede tomarse una decisión
,.
Enseñan&ekzestocástiuzenlosgradosmedios
113
basándose únicamente en ellos ya que una decisión depende, a menudo, de otros argumentosademás de los argumentos matemáticos. Por ejemplo, pueden haber muy buenas razones para participar en una loteria aún cuando la probabilidad de ganar sea despreciable (por ejemplo, loterlas con fines caritativos). iPor qrk se empobrece el trabajo de esta manera? Una de las principales razones parece ser el deseo de construir un arsenal de tareas estándar, limpias, transparentes, económicas, comprobables, de éxito asegurado, del tipo que pueden encontrarse en los capltulos conocidos de la matemática escolar. Una segunda causa se debe al hecho de que los matemáticos, los redactores de currkulos y los docentes no están familiarizados con la practica concreta de la estocástica en el mundo contemporaneo. Pero estasdos razones no son fáciles de superar.
Enseñanza genética Este criterio toma en cuenta el espíritu del proceso estocástico. Así: En lugar de avanzar en el desarrollo de la teorla, deben organizarse las lecciones de acuerdo a la complejidad de las situaciones que les plantean a los estudiantes Cuando el camino es difícil, deberíamos aseguramos de que sedispone de tiempo suficiente para discutir la dificultades Deberiamos estar en guardia frente a aquellas situaciones de las que puede construirse más de un modelo y, aún, admitir más de una respuesta. Deberíamos conducir, y tan pronto como sea posible, a nuestros estudiantes a través del circuito de control y deberiamos hacemos conscientes de ello. No deberían introducirse los conceptos secundarios hasta que realmente se necesitase. Porotra parte, los conceptos fundamentales tales comochance, independencia, frecuencia, probabilidad, expectativa y distribución deberían introducirse tan pronto como sea posible y utilizarse tan a menudo como las circunstancias lo permitan. De esta manera podemos asegurar varios niveles dentro del currkulo. Y cada nivel puede servir, a la vez, como una conclusión provisional, pero aceptable, de la discusión de un problema estocástico y como una preparación adecuada para el nivel siguiente.
Secuencia de aprendizaje La secuencia siguiente esta formada por varias fases,cada una caracterizada por su actividad fundamental, y se evaluar5 cada actividad de acuerdo a sus ventajas y a sus desventajas (asr como por su relevancia respecto al mundo que nos rodea). El contenido de nuestra secuencia no difiere demasiado de las secuencias oficiales actuales. Y esto es necesario tanto en lo que respecta a su aceptación por los docentes como por el hecho que muestra la experiencia de que las mejoras en la educación se logran más fácilmente a trav6.s de un cambio de finalidades y de métodos que por la introducci6n de nuevos temas. Durante la implementación de este currkulo tuvieron lugar discusiones e investigaciones relativas a cambios más radicales tales como la posible introducción del Análisis Exploratorio de Datos.
114
Est&ricuenkahssuundmia
Experimentación
El contenido de esta primera fase deberia incluir experiencias aleatorias simples (tanto independientes como dependientes) extraídas de las diversas actividades humanas (por ejemplo, de los juegos privados y públicos, de la escuela, los negocios, el trafico y las vacaciones). El muestreo informativo deber& incluir la recolección, la extracción, la clasificación, el examen y la expresión grifica de los datos obtenidos. Se provocatin discusiones relativas a las observaciones que resulten sorprendentes y a las posibles razones que las motiven (por ejemplo, el hecho de que se tengan más bolas en los compartimientos centrales del bastidor de Galton que en los laterales (Schupp, 1985). En caso de que una experiencia tenga más de una etapa deberia proponerse incluir diagramas de arbol y el principio de multiplicación como herramientas útiles para estudiar la naturaleza y el número de los posibles resultados.
Antecedintes El contenido tendrla que incluir como base la confrontación con selección aleatoria y un conocimiento de la ubicuidad de la aleatoriedad y de la relevancia que tiene para todos. Deberla ayudarse a los alumnos a reconocer que existe una cantidad de etiquetas de aleatoriedad dentro de la misma experiencia, y que su determinación depende de las finalidadescon que serealiza la experiencia. iQue debe incluirse, por ejemplo, en un censo de trafico?
Tiempo (h)
Fig. 2. Autobuses operando en Saarbrucken
Enwñan~a de la estochica en las pdos medios
115
Conceptos centrales Se abordaran los conceptos de centralidad tanto desde el punto de vista cualitativo como intuitivamente y su discusión incluir9 el significado de expresiones estoc5stica.s del lenguaje diario, de palabras como “seguro”, “casi seguro”, “probable”, “a medias”, “no probable”, “posible”, “imposible”, “quizás”, “raramente”, “a veces” y “a menudo”. Entre los tt%minos asociados con los conceptos centrales se incluir;in aleatorio, rótulo, experiencia, ensayo, resultado, dependencia, independencia y probabilidad.
Tareas tfpicas Estas son las siguientes: 1. iQué clase de resultados se obtienen y cuántos son posibles cuando: a) se juega a la “ruleta”; b) cuando se enfrentan 100 pasajeros con la pregunta: “~cu&s son sus hobbies?” y c) cada estudiante mide la longitud del salón de clase? Se ha hecho girar la ruleta 200 veces 2. ù\l resultado
4
7
ll
13
nlimero
101
4s
24
30
Y 2
2
3. 4. 5.
QD Mubtrelos en un diagrama Explique por qué el 4 apareció tan a menudo y el ll y el 13 relativamente poco. &Xmo es posible que los resultados ll y 13 puedan diferir tanto? &&n? resultados pueden esperarse si Ud.. gira la ruleta otras 200 veces? Walter ha lanzado tres dados iQuC resultados podrlan interesarle? Dé, por lo menos, cuatro ejemplos y discuta los resultados corresondientes a cada caso. Se presenta, aquí, el número de autobuses urbanos que operan en diferentes horarios durante un día laboral en Saarbrücken (Fig. 2). iQué observa?Trate de explicarlo. Anne tiene los ojos vendados y se le pidió que eligiese una de las tres urnas que se representa a continuación y que sacaseuna bola. ~Qué color podría tener esta bola? iQué color es el más probable y cuál el menos probable? LPor que?
Se le dadn todas las bolas a Anne si ella es capaz de predecir los colores de las bolas a medida que va extray&rdolas. Pero sele permi te arreglar las bolas en las urnas antes de comenzar a extraerlas. iQué consejo se le podrá dar al respecto? La primera fase requiere mucho tiempo, por lo que debería iniciarse tan pronto como sea posible.
116
ESt&tiUlf3tkZ-Senrndmia
Cuantificación
Deberia incluirse en el contenido de esta fase la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de resultados, la Ley de los Grandes Números desde un punto de vista empirico, la probabilidad de un resultado definida como la frecuencia relativa esperada después de realizados varios ensayos (y la frecuencia relativa después de varios ensayos como una aproximación de la probabilidad), diferentes tipos de frecuencia y de distribuciones de probabilidad (incluyendo la preferencia por la central, por los márgenes, cada una con varios “picos”, crecimiento (decrecimiento) de izquierda a derecha, etc.), distribución uniforme como un casoespecial muy simple y la probabilidadclásica comola interpretación pertinente.
Base La bare para el contenido deberla incluir una introducción a la “discusi6n estocástica”. De esta manera se contrastara el caos en detalle (“No ser-enunca capaz de pronosticar el resultado cuando tiro una moneda”) con el orden en el lago plazo (“Pero se mucho acerca de los resultados cuando tiro una moneda, por ejemplo, loo0 veces”). La discusión conduciti a la elaboración de una medida para la probabilidad, la que, a priori, sera problemática y subjetiva (von Harten y Steinbring, 1984). IPero se necesitan muchos ensayos para poder obtener una frecuencia relativa que permita una transición confiable a una probabilidad? &Xndo tendrla lugar esta transición? &25mo puedo controlarla después?Debería ponerse, también, un cierto enfasis sobre el concepto de “distribución”, tanto como una forma de mantener unidas las probabilidades de los valores individuales de un suceso aleatorio, como una contribución de la estocástica a la idea fundamental de “función”. En particular, deberia interpretarse la distribución uniforme solamente como una de las muchas clases de distribución, y no como una distribución “natural”, tal como sepresenta a menudo, corriendo el riesgo de fomentar de manera incorrecta la intuición del “azar limpio” y de sobre-enfatizar el concepto de proporción. El profesor que trabaje con las probabilidades clásicas debena examinar si la distribución relativa es realmente uniforme (o aproximadamente uniforme) realizando la experiencia con suficiente frecuencia o mediante el empleo de la simetría y de la homogeneidad.
Conceptos cenhdes Los conceptos de frecuencia absoluta y de frecuencia relativa, de probabilidad, de distribución, de distribución uniforme y de probabilidad clásica constituyen los conceptos que ocupan un lugar central en esta fase.
Tareas tfpicas Se indican, a continuación, 1.
algunas de las tareas tipicas para incluir en esta fase:
Ud. puede leer aquí cuántos niños y ninas nacieron en los años recientes en la República Federal de Alemania
Enseñanzade la wouíkn
m 105gradosmedios
117
Año
1950
1955
1960
1965
1970
1975
NiñOS
420,944
423,235
498,182
536,930
416,321
309,135
318,480
300,053
Niñas
391,891
396,893
470,447
507,398
394,487
291,177
302,177
286,102
2.
3.
5.
1985
Calcular las frecuencias relativas para cada sexo en cada afilo. iQue le sorprendió cuando comparó las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas año a ano? iCuál esla probabilidad de que nazca una nifia? Y, ~cuál sera la probabilidad para una familia que ya tiene dos varones? Arroje una caja de f6sforo.sun número suficiente de veces como para ser capaz de asignar probabilidades a las chances de que, despuésde arrojada, descansesobre uno de los lados más largos, sobre la parte de encender, sobre una cara. Ud. necesita saber si a suscompafieros les gusta matemática y en qué medida y para ello prepara un cuestionario como este: jGht0 te gusta matemática? Contesta marcando uno de los cuadrados que siguen, indicando una respuesta que va desde -2 (no me gusta nada) a 2 (me gusta mucho).
q 4.
1980
-2
q
-1
q0
Ll
1
q
2
Después de recoger cincuenta respuestas, iqué clase de distribución obtiene? Continúe su investigación si no es posible todavla una respuesta. Estudiemos la experiencia aleatoria de “lanzar dos dados”. Indique los casosen los que la distribución es: a) uniforme; b) prefiere el central; c) prefiere un margen. Pruebe cada respuesta estableciendo la distribución. iPor que debe ser igual a 1 la suma de las probabilidades de una distribución? $6mo puede sacar el mayor partido de este hecho?
En esta fase, el contenido deberia incluir probabilidades correspondientes a experiencias realizadas en una etapa y en varias etapas, trabajo con diagramas de Gol (incluyendo el desarrollo de la habilidad para concentrarse en las ramas relevantes), la primera regla del camino (“la probabilidad de un resultado es el producto de las probabilidades a lo largo del camino hacia el resultado”), la segunda regla del camino (“la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de todos los caminos que conducen a este suceso”) y simulaciones.
Esdticaenla-secundaria
118
La base para lo anteriordebeda incluir probabilidades secundarias (es decir, probabilidades por probabilidades, especialmente de los resultados del suceso, y de las etapas de la experienciacompleta),pasando (y repasando) alolargodel circuitodecontrol, lasventajas del concepto de probabilidad (más ensayos resultan superfluos despuésde haber establecido las probabilidades primarias) y sus limitaciones (ninguna posibilidad de pronosticar un resultado o un suceso simple) y simulaciones (sin y con computador, especialmente con cifras aleatorias o con números aleatorios), utilizadas tanto como control y como altemativa y, a veces, como el único camino posible.
Conceptos Los conceptos que resultan centrales para esta fase son probabilidad secundaria, tanto dependiente como independiente y simulación.
Las siguientes son algunas de las tareas dpicas: 1. Tres cazadores le tiran a un conejo. Sabemos por experiencia que la probabilidad de que el cazador A dé en el blanco es 1 en 2, y que para B y C juntos la probabilidad es de 1 en 3. Que chance de sobrevivir tiene el conejo? Trate este problema:a) empleando un diagrama de árbol; b) mediante simulación con tres dados. 2.
Se extraen tres bolas al azar de esta urna fa) con y (b) sin reemplazarlas. Construya los dos diagramas de 5rbol para los colores de las tres bolas extrakdas.
3.
Una prueba escolar consta de ocho items. Cada item contiene una pregunta y ofrece cuatro respuestasalternativas de las cuales s610una es correcta. Michael no sabe nada respecto al tema de+la prueba. Calcule la probabilidad de que resuelva correctamente por azar (a) los ocho items; (b) siete de los ocho km. Se arroja un dado doce veces. Calcule la probabilidad de que los doce resultados incluyan, por lo menos una vez, todos los números de 1 a 6. Resuelva este problema, estimando, primero, el resultado; después calculando el resultado; despu& mediante experimentación y, finalmente, mediante simulación con cifras aleatorias (utilizando una tabla o un computador). Un avión tiene cuatro turbinas. Cada turbina completa un viaje sobre el mar con una probabilidad de 0.98. El avión necesita dos turbinas funcionando para poder volar. Calcular la probabilidad de que el avión complete su viaje. Antes de iniciar un juego que consta de varias vueltas, los jugadores A y B depositan la misma apuesta. La suma serapara el primer jugador que gane cinco vueltas. El juego se detiene después de siete vueltas. En ese momento A ganó cuatro vueltas y B tres yambos deciden dividirse el dinero equitativamente. &J6rno se han5 el reparto? (Este problema es particularmente indicado para introducir la idea de un circuito de control) (Schupp, 1986).
4.
5.
6.
Enseñanza de Ia estochtica en los g~ad,osmedios
119
Caracterización Contenido En esta fase el contenido debera incluir los parametros de tocatización de una distribución de frecuencia, el valor esperado de una distribución de probabilidad, los pat%metros de dispersión de una distribución de frecuencia y la desviación estándar de una distribución de probabilidad.
Base La base creará un reconocimiento de la capacidad y de la limitación de los parámetros, tanto para las afirmaciones respecto al diagnóstico como para las predicciones en situaciones estocásticas, y que pueden extenderse desde los juegos (desfavorable, limpio, favorable) hasta los problemas económicos. Ello extender& también, la relación entre frecuencia relativa y probabilidad (distribución) a los padmetros de distribución (por ejemplo, los valores esperados como la media esperada de los resultados después de muchos ensayos). Incluir& asimismo, trabajo avanzado en el circuito de control.
Conceptos cemales En esta fase, los conceptos centrales son la media, la moda, la mediana, el valor esperado, la desviaci6n promedio, la desviación estándar y la varianza.
Tareas típicas Entre las tareas típicas figuran las siguientes: 1. Calcule la media, la moda, la mediana y la desviación promedio de: (a) la estatura (en cm); (b) el peso (en kg) de los estudiantes de su clase. Compare la media con su propia medida (iestá Ud. sobre o debajo del promedio, y dentro de la desviación promedio 0 no?). 2. El Sr. Green deseasaber cuántos kilómetros puede recorrer en su nuevo automóvil con un tanque lleno (40 litros). En cinco pruebas recorre 372,358,392,365 y 388 km. (al
iPor qué realizó esta prueba varias veces? iDebería haber elegido las mismas calles en cada recorrido?
6)
iCuántos kilómetros recorre en promedio su automóvil con 40 litros de combustible?
iCuánto combustible necesita su automóvil para recorrer 100 kilómetros? (iEstá de acuerdo este valor con el que establece el fabricante del au tomóvil?) El jugador A propone al jugador B el siguiente juego: “Los sectores 1 y 2 me pertenecen y los sectores3 y 4 le pertenecen a Ud. Haremos girar la ruleta cincuenta veces. El poseedor del sector en el que se detenga el puntero obtendm tantos centavos del otro jugador como lo indique el número del sector. iDebería aceptar B jugar a este juego o no? Dé razones para su respuesta.
(cl 3.
dibujo
Esdticnenla-secundaria
120
4.
Un vendedor de periódicos ordena tres ejemplares de un periodico semanal para el que hay poca demanda. Y sabe.,en base a su experiencia, que la demanda del periodico es la siguiente:
I
I
Número solicitado Probabilidad
0
1
2
3
0.1
0.2
0.5
0.15
46más
0.04
I
I
5.
El vendedor compra cada ejemplar por DM 1,50 y lo vende por DM 3,00. Y no se pueden devolver los ejemplares no vendidos. iCuál es la ganancia mensual que espera obtener? iPodrla aumentarla comprando solamente dos ejemplares? iPodría ayudarlo con algún consejo? En la Figura 3 se muestran tres diagramas. Cada uno registra la lluvia y la temperatura en tres ciudades situadas aproximadamente en la misma latitud.
Southampton (Reino Unido), 51” N. kt
Moscú (USSR) 56” N. kt
” 20
100
15
75
10
50
5
25 EFMAMJJASOND
‘C 20
t 17;
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&Ilfn, 53'N. lat
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t 20
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75
10
50
5
25
Precipitación fi
Temperatura
EFMAMJJASOND
Fig. 3. Lluvia y temperatura en tres ciudades diferentes
Enseñanza defaesmc&icaenfosgradosmedos
6.
121
(a)
Calcular para cada ciudad la media y la desviación eseándarde la temperatura y de las precipitaciones (Ud. puede utilizar una calculadora o un computador).
(b)
icómo explica las diferencias entre los valores de los parametros anteriores para ciudades situadas aproximadamente en el mismo paralelo de latitud? Los Browns se proponen seguir teniendo hijos hasta que logren un hijo, pero no desean tener más de tres hijos. Establezca la distribución de probabilidad de la designación “número de hijos”, su media y su desviación estándar.
(a)
(b)
Haga lo mismo con la familia Green. Ellos se proponen tener hijos hasta llegar a tener un nino y una niiia, pero no quieren tener más de cuatro hijos.
iCuál de las dos estrategias incrementana la población total si todas las familias la emplearan? iPOr qué? Al completar estascuatro fases,sealcanza un primer nivel -pero ya Sslido- de habilidad y comprensión estocásticas. Debenamos tratar de traer a cada estudiante a este nivel, aún en los casos en que las condiciones no son fáciles. Que esto es posible ha quedado demostrado en los seis años de investigación realizada en la German Hauptschule con más de 1.500 estudiantes (Jäger y Schupp, 1983). (4
Sistematización
El contenido de la faseque sigue debena incluir un evento como un conjunto de resultados, la frecuencia y la probabilidad de eventos y de eventos relacionados, las reglas de combinatoria y su importancia para la determinación de la probabilidades clásicas en el caso de un gran número de resultados, algoritmos para el calculo de probabilidades clásicas difkiles (o distribuciones de probabilidad), la transición de números concretos a variables y de cálculos y presentaciones manuales a su realización con computador (Råde y Speed, 1985) y aplicaciones en situaciones estocásticas complicadas.
La base de estafase deberia cubrir la revisión, dar precisión y estructurar la parte teórica del contenido estocãstico estudiado hasta aqur.
Conceptos centrales Entre los conceptos centrales se incluink coeficiente binomial.
eLevento, la n - tupla, permutación, muestra y
Tareas típicas Las siguientes son algunas de ellas: Se lanzan cuatro monedas (una después de otra). 1. (a)
Anote todos los posibles resultadcs como cUádruplas.
(b) (c)
iPor que debe haber diecis&s de ellas? Escriba cada uno de los siguientes sucesos,A, B, C y D como conjuntos de resultados:
Est.adísticaen la educacih secundaria
122
A es ‘3 caras”, B es “primero cruz”, C es “más caras que cruces”, D es “cambio continuo de los resultados”. (d)
2. 3
Haga lo mismo con los sucesosA, D, B, C, B, D.
(e) Calcule las probabilidades de cada uno de los eventos en (c) y (d). (f) Controle (e) simulando la experiencia. Ud. puede emplear el computador. Encuentre la probabilidad del evento “seis carasdiferentes”cuando selanza un dado seis veces. $Xntas piezas de dominó pueden construirse empleando los números (al 1,2,...,n? (b)
Ud. toma al azar una de tales piezas. Calcule la probabilidad de que tenga dos números iguales
(c) 4.
Ud. toma al azar dos piezas. Calcule la probabilidad de que cumplan lo anterior (es decir, que tengan un número común). Construya un algoritmo fácil y tipido para calcular n ! (n dado) (4
(b) 5.
(s) = fi
, h s dado h sN
Considere un aparato de Galton con n filas de clavijas y (n + 1) cajas debajo marcadas con los números 0, 1, .... n de izquierda a derecha. (a) iCuántOS caminos existen para las cajas? (b) iCuántos para la caja s ? (c) iCon qué probabilidad alcanza una bola la caja s ? (d)
Muestre con el aparato que
(3 =(::J
+ (“3
Evaluación Contenido La fase final del curso revisara el contenido de las fasesanteriores y las reforzara revisando diagramas de árbol, probabilidades condicionales, las reglas del producto y el teorema de la probabilidad total, como versiones exactas de las reglas del camino. El teorema de Bayes sera seguido por las distribuciones binomiales, incluyendo el valor esperado y la desviación estándar (pero sin desviación exacta) la prueba simple de tal distribución y el análisis de la confiabilidad de un número aleatorio generador.
Base La base incluirii la evaluación de las causasde eventos que ya ocurrieron, evaluando (por muestreo) la calidad delas probabilidades sustentadas o supuestas,evaluando la conveniencia de los generadores aleatorios con los que se trabajó, evaluando además los resultados válidos a luz de nuevas experiencias y un conocimiento de la naturaleza problemática de los juicios y de las decisiones dentro del dominio de la estocástica.
Enseñanzgdehestoddcaenlosgr~medios
123
Conceptos centrales Los conceptos centrales incluiran probabilidad condicional y probabilidad total (incondicional), dependencia, independencia, la distribución binomial, la muestra, la prueba y la seguridad estadistica.
Tareas tfpicus He aqul algunas tareas dpicas: 1. Ud. saca al arar tres bolas de esta urna. Que probabilidad hay de que todas sean blancas? \
I
Calcule la probabilidad: (a) con probabilidades condicionales, (b) sin probabilidades condicionales. Compare los dos metodos. La probabilidad de contraer una enfermedad determinada es 0,Ol. Una nueva prueba puede diagnosticar la enfermedad con una precisión efectiva del 80%. Pero existe, también, una pequena probabilidad (0,04) de que una persona sana se considere, por error, como enferma. (a)
Determine la probabilidad de que una persona sometida a examen reaccione positivamente (es decir, sea considerada como “enferma”).
(b)
Determine la probabilidad de que una persona que ha reaccionado positivamente este, en realidad, enferma.
(c) (a)
Discuta los resultados sorprendentes de (a) y (b). Calcule la distribución de probabilidad, y haga la grAfica, del r6tulo “el número de ases” cuando se arroja un dado seis veces.
(b)
Primero suponga y después calcule el valor esperado de este número.
(c)
Bert ha sacado tres ases cuando arrojó eI dado seis veces. iCuál es la probabilidad de sacar ese número, o aún mayor, de ases? Un candor de cafe sostiene que es capar de distinguir el cafe deshidratado del cafe filtrado el 80% de las veces. Se le pide, ahora, que clasifique ocho taras de cafe.
(a)
Es posible que el “catadorn se reduzca a sospechar, pero es capar de hacer sus afirmaciones por arar. iQue probabilidad hay en que lo haga d?
Espo sibl e>además, que falle en clasificar las taras con la frecuencia que dice poder hacerlo, aunque sea,en realidad, un especialista. Calcule la probabilidad de que sea este el caso. El computador de Paul ha impreso los siguientes 200 dlgitos aleatorios:
(b)
Estadirticaenhedu&6nsecundaria
121
31852755326696265515 24384321015016218994 21416749448596788714 15983298223670704809 60704101075922064220 55970396356452737216 00083565584118339977 79889111961083747196 51152034822309372126 40915137111342392970 Trate de juzgar si el computador de Paul es un buen generador aleatorio.
Proyecto 4% los estudiantes pueden alcanzar este segundo y mas elaborado nivel de razonamiento estocástico, y hayan funcionado o no con él, proponemos, a manera de final, un enfoque de proyecto a un interesante problema de la vida real, importante y relativamente complicado. Este enfoque se enfrenta con los criterios mencionados más arriba especialmente la habilidad para sortear, conscientemente, el circuito de control de mucho mejor forma que la manera normal de ensefiar y de aprender (Sharron y colab., 1979). Los estudiantes aprendedn que un tal problema incluye másde una disciplina y que los métodosestocásticoss61oproporcionanalgunosdelosargumentosparaeljuiciofinalopara la toma de decisiones. Y depende de ello qué aspectos deben enfatizarse, qué caminos se tomaran (y hasta dónde), cómo sedivide el trabajo y cómo sedistribuyen las tareas, cuándo se trabaja en grupos y cuándo con toda la clase y cuándo con la ayuda del profesor y cuándo sin ella. Hemos desarrollado, en nuestro currículo para la Huu@scIu& (Jäger y Schupp, 1983), los siguientes proyectos (entre los cuales los estudiantes y los alumnos eligen uno):
Un estudio de ftems p-e-preparados a la venta en el supermercado Que significa: “esta caja contiene 50 f6sforos”, Ueste es un paquete de 500 grs. de azúcar”, “un cartón de un litro de leche”, etc., es decir, la cantidad nominal como opuesta a la cantidad exacta, mlnima, máxima, media, media con desviación limitada (como en la República Federal de Alemania) y una discusión sobre las ventajas y las desventajas de estos modelos para el productor, el consumidor y para los inspectores de alimentos de consumo público.
Caracterfsticas heredit5rias El estudio de la herencia como un proceso estocástico, las leyes de Mendel, la combinación y asociación de caracteristicas, caracteristicas especiales como grupo sanguíneo y discusión del grado en que un ser humano está determinado por sus padres Este proyecto necesita una cooperación estrecha con un bi6logo, y quizás enseñanza en equipo.
Enseñanza de fa cst.oc&ic
125
Chances de ganar en juegos de azar @.íblicos Loterlas y apuestas de fútbol y caracteristicas comunes y diferentes de estos juegos. Ruleta y “maquina tragamonedas”. Comparación del valor esperado de una ganancia con una apuesta en el caso de esosdos juegos. Q&.s de estoscuatro juegos son atractivos y por que? Qál puede ser peligroso y por qué? Qráles pueden tener ambas caracterlsticas? iExisten algunas estrategias que podrían maximizar una ganancia, 0 por lo menos, minimizar la perdida?
Desempleo Como se puede obtener información y datos relativos al desempleo, analisis de tales datos, un conocimiento de las fluctuaciones regionales, estacionales, coyunturales y sociales, una discusión de las razones de las fluctuaciones y sus consecuencias, el problema especial del desempleo entre los jóvenes. Como se percibe el hecho de que haya más prejuicio (para ambas partes) en la discusión polltica del desempleo y en las intervenciones que motiva, pero que, hasta ahora, no existe una estrategia confiable para reducir el desempleo a un nivel aceptable. Como se obtiene información sobre las intenciones declaradas de los estudiantes respecto a su carrera futura, despuésde abandonar la escuela, y discusión de las posibilidades de reconocer tales intenciones a la luz de los datos y de la visión obtenida en el proyecto.
Perspectivas Basado en el nivel de conocimientos presentados más arriba, existen muchos caminos posibles para acrecentar la instrucción estocástica en los grados superiores.
Podrb incluirse, bajo este tkulo, el concepto de “variable aleatoria”, el estudio adicional de las distribuciones, especialmente las infinitas (geométrica, normal, de Poisson) y sus patimetros, su conexión con las distribuciones finitas, las relaciones entre variables aleatorias que conducen a la varianza, a la regresión, a la correlación, a las cadenas de Markov (en continuación de las probabilidades condicionales), algoritmos y programas de computación para manejar estos temas complicados (Råde y Speed, 1985), y aplicaciones representativas.
Métodos Estos incluirían la precisión de enunciados (tipos de errores, intervalos de confianza), economizando el trabajo de probar (tablas, programas) y tipos adicionales de pruebas (chicuadrado, Wilcoxon, Mann-Whimey), el Cakulo aproximado por muestreo y aplicaciones de la prueba y de la aproximación en situaciones caracterkticas.
Reflexiones Algunas reflexiones sobre la totalidad del curso podrían ocuparse de las dificultades fundamentales básicas del concepto de probabilidad (intentos históricos para definirla, paradojas, etc.) que conducen a un enfoque axiomatico de la probabilidad y a una construcción sistemática de la teoria de probabilidades (comienzos). La Ley de los Grandes
126
Est~&&xmkzedwaci&sccundmia
Números de Bernoulli y una consideración final de la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.
Observación final Permiaseme terminar con una trivialidad. Un cur&ulo como este es una condición necesaria pero de ninguna manera suficiente para lograr un curso efectivo en estocástica. Lo que sucede realmente en la escuela dependen fundamentalmente de la calidad y del entusiasmo del docente. En manos de un docente calificado y sensible, el currfculo aquí presentado puede servir como una contribución especifica y esencial para un curso referido a problemas y orientado a las aplicaciones.
Referencias Engel, A. 1973/1976. Wahn&i&&ei~~r~ wxi Statistik [Teorfa de Probabilidades y Estadlstica], Stuttgart, Klett. 2 ~01s. Fischbein, E. 1975. 7% Imuitiue SourcesofProb&istic Thmkkngin Children. Dordrecht, Reidel. Grey, D. R. y colab. (eds.). 1983. Actos de Iu Primera Confermciu Internucti sobre la EnseiIanza & la Estad&+ Sh&ieki, 9-13 de agosto de 1982. Sheffield, Teaching Statistics Trust, Universidad de Sheffield, 2 ~01s. Von Harten, G.; Steinbring, H. 1984. Sto&stik in der Sekwdurstufe [Estocástica en los Grados Medios]. Vd. 1. Colonia, Aulis. Jäger, J.; Schupp, H. 1983. CunicuI.um Sto&.& in der H~IJ#XSC/U&[Currículo de Estocástica en la Escuela Secundaria]. Paderbom, Schöningh. Råde, L.; Speed, T. 1985. Tea&@ ofStatisc¡cs in the Comjwer Age. Lund. Studentlitteratur. Schupp, H. 1982. Zum Verhälmis statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Komponenten im Stochastik-Unten-i& der Sekundarstufe. [La Relación entre Componentes Estadisticos y Probabillsticos dentro de la Educación Estocástica en los Grados Medios]. Joumdfür Mndrematikdidakak, Vol. 3, pp.207-26. Schupp, H. 1985. Galton-Brett. [Aparato de Galton]. Mat&na~ik&en, Vol. 12, pp.l38. Schupp, H. 1986. Zur didaktischen Analyse des Teilungsproblems. [Un Análisis Didácticodel ProblemadelaDivisión]. joumalfürMadwnutikdidd&, Vol. 7,pp.21722. Sharron, S.; Reys, R.E., y colab. 1979. Applícotiar in School Mathenwics. Reston, Va., Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NClM). Weber, H. 1980. Grundlogen einer Didd& desMarhematisierens [Principios de una Teoría Didáctica de la Construcción de Modelos Matemáticos]. Frankfurt, Lang.
9.
La enseñanza de la suma de errores cuadráticos y algunas de sus aplicaciones en la escuela secundaria inferior John E. Bernard
Introducción La suma de desviaciones o errores cuadtáticos (SEC) juega un papel importante en la estadlstica. Aparece directamente o en formas conexas, y en: (a) desviaciones estándar y varianzas; (b) correlación y regresión lineal; (c) creación de modelos ‘ImáS adecuados”, correspondencia de los modelos matemáticos con los datos empkos; (d) aplicaciones de la estadlstica de la Chi- distribución; y (e) análisis de la varianza y m&dos relacionados. A causa de su importancia, la SEC seha convertido durante el año academice 1984-85 en un punto central del proyecto de desarrollo curricular para la enseñanza de la probabilidad y de la estadktica a estudiantes de octavo grado en la Escuela Laboratorio de la Universidad de Hawai. El proyecto fue una respuesta a las múltiples recomendaciones para elevar el nivel del tema de probabilidad y estadística incorporado a los currkulos de matemática de las escuelas secundarias inferior y media, recomendaciones que se remontan a 1963 (Aichele y Reys, 1971; Nacome, 1975; NCIM, 1980,1981u, 1981b). El trabajo experimental de probabilidad y estadlstica estaba directamente relacionado con las recomendaciones del NCI-M (NCI-M, 1980) para aprovechar al m&cimo la nueva tecnologia dirigida a incrementar el aprendizaje de la matemática y para apoyar el empleo de los computadores en forma imaginativa para explorar, descubrir, desarrollar los conceptos y relaciones maternaticas. De esta forma, los computadores se integraron en la enseiianza de la SEC a través del programa de desarrollo en el proyecto Hawai. Una caracterfstica b&ica del proyecto era que deberfan incluirse en el currkulo escolar algunos temas de probabilidad y de estadistica para apoyar el desarrollo de una ciudadanía informada y para mejorar la ab&etizaci6n cuantitativa. Tanto el empleo diario de los computadores como el de los datos y de la inferencia estadktica incrementado constantemente en las actividades del gobierno y en el mundo de los negocios y el contenido de los peri6dicos, revistas e informes de televisión confirman esta afirmaci6n. Más y más elementos de nuestra sociedad de han “matematizado” a naves del empleo de los modelos y de los métodos estadfsticos. En consecuencia, el conocimiento y las habilidades estadfsticas básicas son esenciales desde el punto de vista educativo para mejorar las capacidades individuales para comprender y participar en el mundo moderno.
128
Estndhtica en kaechca&n secxndak
Pero el proyecto fue más allá de todo esto. La probabilidad y la estadística tienen una relevancia especial para los estudiantes de la escuela secundaria inferior que están en una etapa de desarrollo flsico e intelectual acelerado. Y para apoyar este desarrollo, el proyecto busca medios tendientes a incrementar una toma de conciencia relativa a las opciones disponibles en el mundo que los rodea y de equiparlos con herramientas estadísticas para la exploración, la investigación, la formulación y la prosecusión de los intereses individuales. La cuantificación, la medida y el uso de los resultados y de los metodos estadísticos juegan un papel importante en su aprender a aprender y en la resolución de problemas. Los objetivos incluyen el mejoramiento de las capacidades intelectuales, en particular de la observación, de la formación de conceptos y del descubrimiento de relaciones. En consecuencia, las finalidades del proyecto incluían las prioridades para el estudio y las aplicaciones de la estadística; y sepresentaron la estadística y los métodos estadísticos como un medio para sondear y profundizar sistemáticamente en la incertidumbre de lo desconocido para identificar la naturaleza, la extensión y los límites de posibles pautas y para provocar cualquier comprensión potencial que pudiese ser inherente a las situaciones dadas.
Participantes, instalaciones y ubicación del proyecto El desarrollo del proyecto estuvo a cargo del autor en una clase de veinticinco estudiantes de octavo grado, durante el semestre primavera del año escolar 1984-85. La composición de la clase estaba equilibrada desde el punto de vista étnico y socioeconómico en relación a la poblaciõn de Hawai con trece muchachas y doce varones. Sus capacidades variaban de 3 a 9 respecto a varias escalas de tests estandarizados, las que podrían considerarse, en su totalidad, sobre el promedio. Se desarrollaron y se ensenaron los materiales del proyecto como un conjunto peribdico entretejido en el currículo que se había desarrollado unos pocos años antes en la Escuela Laboratorio de la Universidad (Whitman, 1981) y que contenia temas tales como: (a) gráficas; (b) cálculo con números relativos; fc) uabajo con expresiones algebraicas, ecuaciones y fórmulas; (d) relevamiento, organización e interpretación de datos (proba. bilfsticos y otros); (e) determinación de medias, medianas y modas; y (f) un enfoque intuitivo de la correlación. Ofrecía, por lo tanto, un apoyo más sólido para poder enseñar la suma de errores cuadraticos y sus aplicaciones del que brindan, corrientemente, la mayorfa de los curriculos de matemática de octavo grado. Para un desarrollo completo del trabajo eran necesarios tres períodos semanales de clase, particularmente, cuando los propios estudiantes estaban activamente ocupados con los computadores en las sesiones de laboratorio. En esoscasos se utilizaban algunas clases de los jueves, o parte de ellas, para introducir areas de investigación, conceptos relativos y programas del computador, lo que se llevaba a cabo con una demostración conducida por el profesor y una discusión en clase. Estas discusionessecenaabanenladefinicióndelosobjetivosdelalecciónyenlosprocedimientosa seguir. En ese caso, las lecciones de laboratorio tenían lugar los viernes y se utilizaba, a veces, su última parte para la discusión o para dar información o indicaciones necesarias para la tarea domiciliaria. Algunas sesiones de laboratorio estaban dedicadas a generar y recolectar datos, datos que se utilizaban, entonces, como base para el trabajo subsiguiente. El lunes siguiente serecogían las hojas de trabajo y sediscutían, ose dejaba la discusión para
La enseñan7ade kl suma de elTorescuadrtis
129
el momento de su devolución. Por lo tanto, y por regla general, los estudiantes utilizaban el computador para trabajaren probabilidad y en estadlsticadurante una clase-o a lo más, durante una clase y media - en el semestre. Esto alcanzaba a un 10 a 20% del tiempo de instrucción. Era esencial el equipo de computadores el que incluia un Apple IIe portkil con una pantalla monitora de 25 pulgadas y una pantalla monitora de 12 pulgadas para demostraciones en clase, un Apple IIe con una matiz impresora de puntos para uso oficial del personal del proyecto, y un laboratorio de microcomputación con diecisiete estaciones Apple IIe, donde dos estudiantes trabajaban por unidad durante las sesiones prkticas de laboratorio.
Introducción
de la suma de errores cuadrAticos
Se introdujo la suma de errores cuadrkicos como una forma objetivo de evaluar la calidad de las predicciones en una situación en la que se alentaba a los estudiantes a contrastar sus conceptos de aleatoriedad y de predictabilidad. La clase ya habia estado involucrada en diversas actividades, que llevaban a la formulación de conjeturas en las que los ítems que se les presentaba, y que les eran desconocidos, aparecían ya seaen forma aleatoria o en forma predeterminada. !3ealentaba a los estudiantes a que desarrollasen estrategias para formular conjeturas, a que evaluaran I~FS meritos de las estrategias que proponían, a discutirlas abiertamente y a perfeccionarlas. Entre las múltiples actividades figuraban algunas en las que renia sentido hablar acerca de “ser cerrada”. Y, como es natural, la suma de errores cuadtáticos es aplicable a tales actividades En la primera de estas actividades se seleccionaban al azar las alturas extraldas de una base de datos que contenia información individual referente a miembros de la clase- tales como nombre, edad, sexo, número de calzado, longitud de antebrazo y altura. (Presentar los nombres de los estudiantes junto a sus datos resultó ser una motivación importante). !3einvitó a los estudiantes a ensayar diferentes estrategias para formular conjeturas y a sugerir cómo determinar aquella -si existe- que seadaptaba mejora conjeturar respecto a alturas aleatoriamente seleccionadas. Idea tales como “ser cerrada” y “hacerlo a la larga”, resultaron reforzadas a través de discusiones explkitas dirigidas por el profesor, y no se necesitaron términos técnicos ni fueron empleados por el profesor. La hoja de trabajo que se presenta a continuación titulada (Desanr>llando BUTUS Estrategiaspara Hacer Conjeturas relativas a Medidas, 2li’lSS) fue distribuida y “utilizada” en esta actividad de conjeturar.
Esrrrdlsticaellka-se
130
octzzw&Matemática FormJaaón de Buenas Conjetwa~ Estrat@as para Medi&
Nombre Fecha
Ud. puede formular una estrategia por anticipado, durante o despuésde esta actividad. Ud.puedeestartambiCn interesadoenexaminarvariasestrategiasparaverc6mofuncionan ycu4l de ellas, si esque hay alguna, podrfa ser la MEJOR. Estasson las razones que motivan esta actividad. Seemplear&elcomputadorparaescogeral azarestudiantesdelaclase. Conanterioridad y sin saber quien sex4escogido, tiene que formular su estimación o su suposición de cuál piensaqueesoquesen5sualtura (enpulgadas). Una vezqueel computadorhacesuelección Ud. tendm la altura real, la que debe anotar en la tabla. Complete después la tabla. Caso No
I
supue5taj
I
estimada
I
1 2 3
7 5 6 ?
10 Cohnna
I I I
Alma
Real
1
I I
(Supuesta-Real) Error relativo
1
Ermrcuadrhtico
I I I I
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I
I
I
I
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1
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I
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I
I
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I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Indique si la estrategia empleada aquI fue formulada antes, durante o después de la presentación de los diez casos considerados. Describa su estrategia y expliquekonsidere si es, o no, una buena estrategia. Y si Ud. tiene varias estrategias, enumerelas: si necesita espacio utilice otra página.
lAenseñatull&kasumademorescuadsáticos
131
Suponga, para captar el sentido de esta actividad, que la primera conjetura de un estudiante fue 60 y que el computador presentó a continuación.
Akura (en pulgadas) 62
Nombre Janice La primera fila de la tabla seria, entonces: Caso NP
Supuesta/estimada
Altura real
Error relativo
Error cuaddtiw
(supuesto-real)
62
-2
Suponga, para el segundo caso, que la conjetura del estudiante fue 67 y que el computador presentó: Nombre
Altura (en pulgadas)
Esto daría: GXCJ NP
Supuesa/estimada
Altura real
Error telativo
Error cuaddtiw
(Supuesto-real)
1 2
60 67
62 64
-2 +3
4 9
Despues de continuar esta tarea con los diez casos propuestos en la hoja de trabajo, cada estudiante completana la tabla para determinar la suma de errorescuadrkicos. La discusión realizada en la clase proporcionar-fa, entonces, un foro para compartir ideas y para comparar resultados que permitiesen ver quién tuvo la menor suma de errores cuadrkicos. En estas condiciones, la aceptación surgió del hecho de que la suma de los errores cuadrliticos proporciona un medio objetivo para poder evaluar las estrategias para conjeturar. Durante las etapas iniciales de esta actividad se presentaron otras medidas, a saber, la suma de errores y la suma de errores absolutos, conjuntamente con la suma de errores cuaddticos. Se le prestó alguna atención a las diferentes propiedades de estas sumas, pero no se prevefa dentro del alcance del proyecto, ajustar y precisar las diferencias entre ellas. La mayoría de los estudiantes respondieron ágilmente a las indicaciones de centrar su atención sobre la suma de errores cuadníticos y su aceptación los llev6 a reconocer que era idea ampliamente aceptada y utilizada por los matemáticos profesionales.
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132
Es~timenklrAurnriAnseMdaM
Además de la actividad relativa a conjeturar sobre las alturas -utilizada como introducción a la suma de errores cuadr;íticse diseñó una segunda situación, denominada el juego SEC, con la finalidad de brindara los estudiantes una experiencia a la vez individual y reclproca tendiente a ampliar su comprensión de la suma de errores cuaddticos. El juego SEC, presentado mediante un programa interactivo en el computador, se disefi6para un s6lo jugador brindandole una oportunidad para emplear los números enteros de0 a 100 ola escala completa de valores disponibles en el Apple Básico. Se le daba también al usuario la posibilidad de elegir el número de valores que deseabaensayar para conjeturar, de 1 a 10. Los números no revelados elegidos al arar se seleccionaban en orden y conservaban su identidad secuencial. De esta forma, el alumno tenia que acertar el primer valor, el segundo valor y asl sucesivamente y, consecuente con ello, registrar suselecciones. Se indicaba mediante un timbre el momento de entrada de una conjetura correcta; de lo contrario, no estaba previsto en el programa del computador retener los valores correctos una vez identificados. Y, por consiguiente, el usuario tenla que entrar el conjunto total de los valores supuestos en cada vuelta y tomar nota de la suma de errores cuaddticos correspondientes. De esta manera, el computador quedaba pronto para la ronda siguiente de conjeturas, a menos y como es natural, que todos los valores fueran conjeturados correctamente (SEC = 0); y, en este caso, el computador informaba al usuario que su trabajo era correcto. El programa del computador indicaba, al final del juego, el número de vueltas de conjeturas que se habian empleado para resolver el problema. Se les proporcionaba a los estudiantes la hoja de trabajo opuesta para que organizacen su trabajo. Y la misma hoja de trabajo proporcionaba información retrospectiva referente al desarrollo del juego, al registro de las estrategias empleadas por el estudiante y reunfa una informaci6n relativa a las motivaciones de los estudiantes y a las actitudes para el ejercicio. Podia detectarse entre los estudiantes una amplia gama de habilidades en tkminos de velocidad, del número de pasosdados y del número de valores intentados. Por lo general, los estudiantes elegían la versión de números enteros de 0 a 100 como un número de incógnitas de uno a tres para conjeturar. La mayoda jugaba por lo menos cinco juegos durante un periodo permitido de laboratorio de cuarenta y cinco minutos (con dos estudiantes compartiendo y ocupando un turno en el computador). El intetis era elevado y no aparecian signos de resistencia, aún de parte de los dos o tres estudiantes que demostraron su desagrado por tener que trabajar con computadores. Muchos estudiantes pusieron de manifiesto su agrado solicitando más oportunidades para jugar, y su reclamo fue atendido. Después de la discusión en clase surgió una estrategia basica, consistente en ensayar un conjunto aleatorio de valores, pero alterando, a continuación, s6lo uno de los conjeturados por vez de manera de reducir la suma de los errores cuadr&icos. “Mantener todos fijos menos uno” fue un elemento significativo de aprendizaje. Algunos mostraron r& perspicacia que otros en reconocer números cuadrados perfectos en la suma de errores cuadrkicos y aumentaron o disminuyeron en cantidades iguales a la raiz cuadrada de la diferencia en los totales. Otros formaban un “error cuaddtico promedio” dividiendo la suma de los errores cuadráticos por el número de causasde error tomando, despu&, la raíz cuadrada. Esta “rafz del error cuadnkico medio” servia como cantidad para ensayar la elevación o la disminución de la conjetura siguiente (obsérvese que la miz del error cuadtitico medio esta conectada directamente con la desviación estándar). Un estudiante empleaba una calculadora para llevara cabo esta estrategia y se hizo experto en conjeturar un gran número de valores desconocidos en un número de pasos relativamente limitado.
.
lia elLmia~4
de kasumade e.worescl4adr&iws
octavodeMatem&h
133
Nombre Fecha
Hoja de Puntaje del Juego SEC
Juegue uno o dos juegos conjeturando ~610un número del conjunto limitado entre 0 y 100. Siga después a dos, despuesa tres o más números en el conjunto entre 0 y 100. Si Ud. tiene realmente exi to con ello, podra variar los límites. Utilice la tabla siguiente para registrar sus kXit.OS. Juego N” 1 Númerode valores 1 Conjuntos 1 para conjeturar 1 limitadosOa variar
1 Exitol 1 Número de pasos 1 Abandono 1 DADOS
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I
I
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I
I
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I
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Tomles
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I
I
1. Describa todas las estrategias o principios matemáticos especiales que haya utilizado o descubierto tratando de resolver los problemas anteriores. 2. iDisfrut6 de alguna manera con esta actividad? &)tk debe mantenerse y qué debe cambiarse para mejorarla? 3. Qué clase de caracterlsticas especiales conoce, ahora, con relación ala Suma de Errores Cuadra ticos? 4. Juegue con uno de los juegos con tres números y pruebe utilizando cómo se conjetura un valor único cada vez. ¿Cual es la mejor relación que tal valor tiene con los tres que esta tratando de conjeturar? (En caso necesario utilice la otra página). Las conjeturas respecto a la altura y el juego SEC funcionaron eficazmente en la mrea de ayudar a los estudiantes a captar el concepto de suma de errores cuadrAticos y sus propiedades, y ambos pusieron de manifiesto varios elementos esenciales para la comprensión, a saber: La secuencia de operaciones empleada en el calculo de la suma de errores cuadr&icos. Que se miden los errores mediante diferentes que pueden ser positivas o negativas. Que elevando al cuadrado los errores y sumando los cuadrados seobtiene la suma de errores cuadraticos, un valor positivo total que tiene a 0 como minimo. Que la suma de los errores cuadr%ticos aumenta rclpidamente a medida que los errores aumentan en valor.
EStAdíSt.iUl~kleducaabnSenmdmia
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Que a medida que aumentan las fuentes de error, aumenta la suma de errores cuadraticos. Se introdujo a los estudiantes, al mismo tiempo, a la idea de formular un objetivo, recurso matemático para evaluar la exactitud.
Vinculación
de la suma de errores cuadráticos con otros elementos
Desviaci&n estándar El aprendizaje subsiguiente de desviación estándar de modelo “más apropiado”, de regresión lineal y de correlación sedesarrolló en base al conocimiento que tenían los estudiantes respecto a la suma de errores cuadraticos. Se utilizó el último ítem de la hoja de trabajo relativaal JuegoSECparadetectarla factibilidaddel proyectoparacontinuardesarrollando la desviación estándar. Las ocurrencias fortuitas de la comprensión constructiva que hizo ver el valor de emplear la raíz del error cuadmtico medio en la estrategia sugerida para conjeturar, se continuaron con la desviación estándar dado que esta comprensión proporcionaba un vínculo natural para el cálculo de la secuencia de desviaciones estándar. Y el ftem de la desviación estándar pasó a ser objeto de discusión en el aula y requería un juego que intentase conjeturar tres valores desconocidos. Pero la misma conjetura individual tenía que ser probada para cada uno de los tres valores durante el juego, y a esto se le llam6 el métodode conjetura de tiro individual. Mediante una demostración realizada por el profesor, se conducía a los estudiantes a que viesen que el valor de tiro individual que minimiza la suma de errores cuadraticos es la media aritmética de los tres valores desconocidos y que este valor actúa como el punto a partir del cual se puede subir o bajar para alcanzar los valores propuestos. Se realizaron también esfuerzos para ayudar a los estudiantesa verconexionescon trabajosantenoresrelativosa lasmediasantméticascomo medida de tendencia central. Estos fueron los “ingredientes” que apuntaron hacia la justificación del empleo de la media aritmética como valor a partir del cual se calculan errores o desviaciones. Y seayudó a los estudiantes a que vieran que, en efecto, ellos habían desarrollado la desviación estándar, recurso utilizado por los maternaticos profesionales. Se justificó, en la forma corriente, la toma de la raíz cuadrada, ya que con ello se volvía a las mismas unidades de medida de los datos originales. Los estudiantes aprendieron a calcular desviaciones estándar y a emplearla para evaluar la probabilidad de ocurrencias de diversas gamas de valores medidos a partir de la media.
Construccion de los modelos “nufs upropidos” Se presentó el concepto de modelo “más apropiado” utilizando una única forma, en la que se ligaban la comprensión de los estudiantes respecto a las fracciones ordinarias y las frecuencias relativas determinadas empíricamente (expresando más comúnmente estas últimas en forma decimal o en forma de porcentajes). Se les indicó a los estudiantes que reunieran sus datos y que calcularan las frecuencias relativas en un gran número de pruebas de resultados particulares obtenidos en varios experimentos realizados a nivel de escuela primaria, como ser, lanzar monedas arrojar dados, etc. (ver Whitman, 1981). Y se les proporcionó con tal fin, un programa especial de computación para ayudarlos a encontrar el conjunto “más apropiado” de números racionales (fracciones comunes) que correspondían al conjunto de frecuencias relativas determinadas en las experiencias.
Lu enseñanra de kl suma de e7roTescuadr&iws
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Ilustramos, a continuación, el procedimiento empleado mediante la experiencia de arrojar simultaneamente cuatro monedas y registrando el número de caras. Los resultados posibles para el número de caras son 0, 1, 2, 3, 4. Y sus frecuencias relativas en base al gran número de pruebas realizadas por los estudiantes fueron, respectivamente, 0,058; 0,199; 0,481; 0,195 y 0,067. El programa del computadorpedíael número de resultados, luego un nombre o una descripción y la frecuencia relativa correspondiente para cada resultado. Una vez enuada esta información, comenzaba el proceso de aparear. Los tipos de pregunta para contestar que se habian incluido en el programa eran los siguientes: Si se utilizaban fracciones de denominador dos para construir un modelo de experimento, ique fracciones (0/2, 1/2 6 2/2) estarian más cerca de la frecuencia relativa? (Análogamente para tercios (013, 1/3,2/3 6 3/3), cuartos (0/4, 1/4,2/4,3/4 6 4/4), etc.). QuC error y qut! error cua& tico resulta del empleo del “modelo másapropiado de fracci6n” en lugar de emplear la frecuencia relativa? QuC suma total de errores cuadtiticos resulta del empleo del modelo de fracciones en lugar de las frecuencias relativas? $Ml es la suma de las fracciones del modelo? La Tabla 1 muestra resultados seleccionados de la experiencia de lanzar cuatro monedas. Las hojas de trabajo como la Tabla 1 incluían, para los primeros pocos experimentos, algunos de los denominadores y alguna otra información, pero no toda. Los estudiantes utilizaban el computador para completar la información que no figuraba. Se les proporcionaron lineas en blanco a los estudiantes para que ensayasen denominadores de su elección y en el orden de entrada que les pareciese, libertades que tendrían luego, y de manera completa, en experiencias posteriores. De esta manera, después de haber introducido un denominador de prueba, tenían que registrar, en una de las Ilneas de la tabla, la información recibida del computador, mientras que el computador quedaba pronto para otro denominador ensayado. La discusión sugirió la búsqueda de mktodos, el establecimiento de comparaciones y la utilización de los conocimientos de probabilidades. Por ejemplo, los estudianes hablan aprendido que la suma de las probabilidades de todos los resultados de una experiencia debfa ser 1 en total, ni más, ni menos. Un aspecto particular de la discusión podría utilizar este principio preguntando, ipor qué el conjunto de diecisiete avos no constituye un buen modelo para esta experiencia? La idea de que la suma menor de errores cuadtiticos proporciona un mejor encaje podria aportarse en respuesta a la pregunta. “iPor qut los cuartos proporcionan un modelo mejor que los tercios.7”. Pero los estudiantes descubrieron pronto que los mayores denominadores producen, generalmente, sumas menomsde errores cuadtiticos. Esto provocó la búsqueda de otras razones para elegir un “mejor modelo Y, aqul, el análisis combinatorio entró en escena para producir espacios individual”. muestrales de resultados igualmente probables. Los estudiantes habían tenido la experiencia de enumerar los dieciséis resultados posibles, CCCC, CCCr (cara, cara, cara, cruz)) etc., hasta Cr Cr Cr Cr. De esta manera, parecía que los die&& avos proporcionaban el mejor modelo para esta experiencia porque: (a) la suma de las fracciones del modelo era 16/16 = 1; (b) la suma de los errores cuadrkicos era pequeña, casi mínimo, y (c) la experiencia podría analizarse en términos de dieciséis resultados igualmente probables (se podría haber considerado, también, la simetría, pero no se hizo).
ESudlrtioaCllklrAurnrLSnSccundmia
136
Tabla 1. Resutados de la experiencia de lanzar cuatro monedas Número de caras aparecidas Resultados
0
1
2
3
4
Frecuencia relativa en decimales
0,058
0,199
0,481
0,195
0,067
Prueba/ denominador del modelo
Fracciones más apropiadas
2 3 4 5 15 16 17 1000
012 012 013 II3 114 014 115 015 3115 1115 3116 ll16 3117 1117 58/1000 199/1000
112 112 ll3 ll3 Il4 214 115 215 3115 7115 3116 8116 3117 8117 481/1CGO 195/1000
Suma de fracciones del modelo 012 013 014 015 1115 1116 ll17 67/1000
Suma de errores cuadr&icos
212 313 414 415 15115 16116 16117 lOOQ/lOOO
0.086 0.067 0.014 0.014 0.000 0.001 0.001 0.000
Es interesante comprobar los resultados con los valores teóricos de esta experiencia. La probabilidad de sacar exactamente r caras en un único tiro simultaneo de n monedas confiablesestádadapornC,(1/2)n. Conn=4,r=0,1,2,3y4tenemosrespectivamente, 1/16,4/16,6/16,4/16y 1116. Seconsideraeste trabajocomounpuentehaciael modelo más sofisticado de la distribución binomial, modelo frecuentemente probado por su ajuste a los datos empíricos, en trabajos más avanzados, empleando la estadistica chi-cuadrado. El lector podría tratar, al margen de esto, de dar una explicación de por qué el conjunto 1116, 4/16,6/16,4/16,1/16 es un modelo mejor (0 no) que el conjunto 1/16,3/16,8/16,3/16, ll 16. Se puede considerar, aqui, la oportunidad de darle a los estudiantes alguna idea respecto a la formulación de verdades cientificas y a las limitaciones que tiene el ser humano para poder conocer la realidad.
Regresih lineal y correlacidn Seutilizóunprogramadel computadorcapazde marcarpuntos ydesuperponerlalfnea “más apropiada” (en el sentido de mlnimos cuadrados), en combinación con los materiales curriculares para el estudio de correlación encontrado en Whitman ( 1981). Aquel material incluia estudios de relaciones entre Items tales como alturas y tamaño de zapatos, chirridos de grillos y temperaturas. Se discutieron los resultados en forma intuitiva considerando si los datos seguian, o no, un modelo lineal, si las relaciones eran fuertes o débiles, positivas o negativas. El programa del computador proporcionaba una ecuación para la linea de regresión, la suma correspondiente de errores cuadraticos y el coeficiente de correlaci6nR.
La enseñarya d,ekasumn de mores cuadr&icos
137
Se trató de ayudara los estudiantes a asociar la magnitud y el signo deR con su comprensión de la validez y de la dirección de las relaciones. Se empleó un segundo programa, que permitia mover las k-reas hacia arriba o hacia abajo cambiando su intersección con el eje y, o modificando la pendiente, para reforzar el hecho de que la suma de errores cuadr4 ticos fuese minimo para la línea de regresión y mayor para cualquier otra linea. Se enfatizó varias veces, durante la clase de discusión, que los errores wm:spondían a la diferencia entre la ordenada del punto sobre la lfnea y la ordenada wrrespondi ente a un punto dado seleccionado, noción que se apoyó más adelante wn el empleo de ecuaciones de predicción. Por ejemplo, seafirmó que la ecuación W = 5,5h - 220 era apta paxa predecir el peso W (en liras) de una persona, calculado en base a su altura H (en pulgadas). Los estudiantes reconocieron, asimismo que la ecuación de predicción producfa errores y que funcionaba “bastante bien” en algunos casos, pero que en otros no. Y se hizo esto de forma más explicita mediante ejercicios que empleaban ecuaciones de predicción para llenar tablas t-alescomo la Tabla 2, que culminaban en la determinación de suma de errores cuadkicos. Se intentó ayudar a los estudiantes para que pudiesen ver las conexiones con sus experiencias anteriores relativas a la construcción de modelos “más apropiados”, y a reconocer que las ecuaciones lineales eran, solamente un tipo posible de modelo. Tabla 2 Estudiante ID
1 2 3
AltINa NP
PSCI predecid0
63 65 70
126.5 137.5
(pulgadas)
Peso real (libras) 115.5 130 170 Suma de
Error relativo (libras)
ErrOr cuadñtico
+7.5
121.00 56.25
Comentarios finales Los resultados del proyecto proporcionaron una base para la factibilidad de introducir la suma de errores cuadtiticos en el cuniculo de la escuela secundaria elemental. Y este es especialmente el caso en el que se puede disponer de las simulaciones de acontecimientos aleatorios en el computador. Si bien se desarrolló el trabajo del proyecto con alumnos de octavo grado, mucho sepodrfa haber hecho en grados inferiores, comenzando alrededor del sexto grado. Esta observación resulta importante en la medida en que estamos wnsiderando seriamente el desarrollo de un sector de probabilidad y estadística en el grado K- 12, y para eliminar mucho material innecesario que amenaza debilitar o anular la motivación de los estudiantes o hacer que quiten significación a nuevos descubrimientos y nuevos avances. El proyecto demostró que la suma de errores cuaddticos - un elemento y una herramienta significativos de la estadkica -puede ser comprendido por los estudiantes de la escue:lasecundaria inferior. Muestra además, que puede utilizarse la suma de errores cuadráticos para promover una comprensión másprofunda de la que seha intentato lograr
hasta ahora de cosas tales como correlación, desviación estándar y la relación entre probabilidad empirica y la probabilidad teórica. Y es natural esperar que se continúe investigando y desarrollando estos aspectos importantes de la probabilidad y de la estadfstica.
Referencias Aichele, D. B.; Reys, R. E. (eds.). Re.a&ngsin SecondmySchooJMnrhematics. Boston, Mass., Prindle, Weber & Schmidt. 523 p. NACOME. 1975. Owwiewand Andysk ofScJrooJltlnthemadcsGr&K-J2. Washington, D.C. Consejo de la Conferencia de Ciencias Matemáticas, Comid Asesor Nacional sobre Educación Matemática. NCTM. 1980. An Agenda f¿ Action. Reston, Va., Consejo Nacional de Profesores de Matemática. 1981a. Priorities in School Ma&maks. Reston Va., Consejo Nacional de L Profesores de Matemática. 1981b. Teucking Statistics und Probability. Reston, Va., Consejo Nacional de -* Profesores de Matemática. Whitman, N. C. 1981. Intermediare ScJwoJMaknuks Pr~gram: Bode N. Facultad de Educación de la Universidad de Hawai.
10. Proyecto CAM -
estadística en acción Brkzn Phiuips
En los últimos cinco a diez años ha habido una creciente preocupación por la falta de relevancia de los currículos de matematica, tanto para las necesidades actuales como para las necesidades futuras de la mayoría de los estudiantes, especialmente por aquellos que terminaran su educación formal al dejar la escuela. Muchos estudiantes se incorporaran al mercado de trabajo y se espera que sean capaces de usar un razonable nivel de habilidades matemáticas. El Informe Cockcroft (Cockcroft, 1982) sebasó en estudios en los cuales los investigadores entrevistaron a personas empleadas e identificaron no solamente el contenido matematico que se usaba en el lugar de trabajo, sino también el contexto en que se utilizaba. Un enfoque similar es el que se adoptó en Australia, en el proyecto Carreras y Matemáticas (sigla inglesa CAM).
Finalidades y antecedentes Carreras y Matemáticas es un proyecto patrocinado por la Institución de Ingenieros, Australia (LE. Aust.). Su finalidad es mosnar a los estudiantes en los Años 7 a 10 de escolaridad, cómo se usa en los lugares de trabajo la matemática que ellos aprenden. El proyecto nació de la preocupación de la LE. Aust. por el limitado interés en matemática y en ciencia que mostraban los alumnos mayores, tanto en Australia como en otros pafses La evidencia de esta falta de interes se encuentra en la proporción, cada ver menor, de estudiantes que continúan un estudio serio de la matemática en el Año 12, último año de la escuela secundaria. En algunos estados de Australia la matemática no es obligatoria en el último año escolar. Era particularmente preocupante el número cada vez menor de los que optaban por dos asignaturas matemáticas, requerimiento establecido para aquellos que continuaran estudios terciarios que involucren las ciencias fisicas en particular, la ingeniena y ciencia aplicada. En otros países se han identificado problemas similares. Por ejemplo, en el Reino Unido, el Comité de Investigación en la Profesión de Ingenieros (Finniston, 1980) pudo apreciar la falta de comprensión del público en general, del papel del ingeniero profesional, de los requerimientos educacionales para entrar en las areas profesionales o sub-profesionales y la antipatía de los empresarios por la nueva tecnología. Además, en los Estados
Unidos, el Consejo de la Comisión Nacional de Ciencia de la Educación Pre-universitaria en Matematica, Ciencia y Tecnologla (Williams, 1983) argumentó que la falta de conocimiento público de la importancia de la ciencia y de la tecnología en los Estados Unidos ha contribuido a una disminución de la participación de los alumnos de las escuelas, en matemática y ciencia, y en consecuencia, en los cursos de ingenieria profesionales. En Australia, la Institución consideró que si se les presentaba a los jóvenes estudiantes ejemplos de los lugares de trabajo en los que las tknicas matemáticas que seusaban estaban dentro de su propia experiencia, ello podrla hacerles comprender mejor la importancia de sus estudios matemáticos. Esto, a su vez, podria animar a la mayona de ellos a continuar un estudio serio de matemática, manteniendo, asi, abiertas sus opciones de carrera. Además, puesto que la ingeniena ha sido un dominio predominante de los varones, la institución desearía ver una mayor participación de las mujeres en esta profesión.
Materiales del CAM En el intento por lograr estos prop6sitos, los autores dedicaron una gran cantidad de tiempo a visitar personas en sus lugares de trabajo, discutiendo con ellos qué matemática estaba involucrada en su trabajo, asi como tambien observkdolos cumplir con sus tareas particulares. A menudo, los empleados no pensaban que lo que estaban haciendo involucraba matemanca, puesto que ello, con frecuencia, no utilizaba los temas escolares que ellos recordaban como parte de la matern&ica. Sin embargo, temas tales como clasificar, estimar, contar, uso de calculadoras, habilidades para medir, razones y proporciones, decimales y valores aproximados, uso de fórmulas, precisiõn, lectura de gr5ficos y tablas, sistemas de unidades y el registro e interpretación de datos numericos tales como impresos del computador, están dentro de las habilidades que emplean las personas en muchos trabajos, y para demostrar la forma como se aplicaban estas habilidades en los lugares de trabajo, se escribieron series de cinco libros presentando ejemplos de la forma cómo las habilidades matemáticas juegan un papel importante en la vida diaria de la población laboral. Estos libros fueron disetidos para complementar los materiales de aprendizaje existentes, tales como libros de textos, y presentados en forma adecuada para fotocopiar, autorizando a los profesores a reproducir las hojas de trabajo para utilizaren sus clases. Los títulos de los cinco libros y su amplio contenido son los siguientes: Ma&muks and Manu&.turing (Matemática e Industria): fábrica de reptena; compaiiias textiles; compafilas de ingeniena pesada. Mathematics rmd Cornmunicy Saices (Matemática y Servicios de la Comunidad): gobierno local; seguridad en las carreteras; atención hospitalaria. Murknwtics and Su~gky(Matemática y Suministros): bancos de cr&itos; supermercados; suministros ektricos. Mathematicr und Recre&on (Matemática y Recreación): una serie de temas individuales. M&wm&cs and Infonnatkm Te&ology (Matemática y Tecnología de la Información): gr¿ficas en el computador; r-elevamiento de actitudes; robótica. Los materiales estin basados sobre distintos temas de manera que la finalidad de la matemática y de laestadistica involucradasnoestáperdida, como puede suceder, a menudo, con temas de libros de texto. Cada hoja de trabajo o conjunto de hojas de trabajo cubren, generalmente, una serie de ideas, rn5s bien que concentrarse sobre un tema particular. Las
ProyectoCAM-Est&tiíxcnac&n
141
ideas básicas de estadfstica aparecen en varias de las situaciones que seconsideran, miennas que eran pocas las de naturaleza enteramente estadlstica.
Secciones de estadistica DDE,kas de trabajo en estadktica de relevancia particular fueron: (a) matem&ica en la seguridad en las carreteras y matedtica y (b) relevamiento de actitudes.
Matem&tica en la segwidad en fas carreteras Esto tuvo como base la información proporcionada por la Autoridad del Tr5fic.o Carretero (sigla inglesa RTA) de Victoria. Esta autoridad mantiene registros de todos los accidentes informados en el estado y proporciona información al gobierno y a otras agencias para ayudar a tratar de reducir los accidentes fatales. Una de las fuentes principales de información de la RTA es el Informe de Accidentes de TrSfico realizado por la policfa cuando es llamada al lugar de un accidente. La serie de hojas de trabajo sigue la cadena de sucesosque empieza con un accidente serio en una inwsecciõn peligrosa. Se les presenta a los estudiantes un diagrama de esta escena en base a la cual hacen observaciones y toman medidas. De esta forma, ellos están realmente involucrados en el acopio de datos y no son, meramente receptores. Se les muestra cómo secodifican los datos para ingresar en el computador y ellos tienen que pensar en c&no esd programado el computador para detectar errores obvios. Se les presenta, entonces, material impreso en el computador, el que le da detalles de todos los accidentes y del lugar en que fueron registrados durante los dos ti previos. Aprenden a interpretar estos impresos y cómo resumir algunos de sus detalles en tablas y gr&os. Se les hace pensar, entonces, acerca de la forma de mejorar la seguridad del lugar y tienen que tomar una decisión para el futuro. Se construy6 una plaza circular y se les pmporcion6 datos a los estudiantes sobre los accidentes en los afios subsiguientes. Finalmente, ellos compararon los datos sobre los accidentes, antes y despu& de la construcci6n, de manera que pudieran juzgar su efectividad.
Matemkka y relevamiento de actittuh El estudio utilizado fue el que llev6 a cabo el Consejo Australiano para la Investigación Educativa (sigla inglesa ACER) sobre la matem&ica en la Escuela Secundaria y en las Carreras Tecnológicas, lo que habfa sido solicitado por la Instituci6n de Ingenienx. Como el CAM, el habla surgido como consecuencia de la preocupaci6n acerca de una aparenteckclinaci6nenel númenìdejóvenesquetomabancursosdemate~ticaavanzada en la escuela y su efecto en el desarrollo de cursos y carreras en los distintos campos tecnol6gicos. Este estudio formuló, en particular, tres preguntas: Qw! factores influyen en un joven para elegir matem&ica en el Grado 12? IPor qué se da un porcentaje relativamente bajo en los cursos de matemática avanzada en el Grado 12? ¿Porq& es esto más pronunciado en las mujeres que en los varones? Las hojas de trabajo diseiiadas para los materiales del CAM sobre este tema, se centran alrededor de un cuestionario sobre las actitudes de los alumnos para matemática, que recogen las preguntas usadas en el relevamiento realizado por ACER.
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Los estudiantes usan estas hojas de trabajo contestando un cuestionario, codificando, después,los datosen forma adecuada para introducirlos en el computador. A partir de esto, ellos construyen el banco de datos de su propia clase, los que utilizan en los análisis subsiguientes. Ellos analizan sus propios datos y comparan sus resultados con aquellos del r-elevamiento más grande de ACER. Los temas examinados incluyen el placer y las actitudes hacia la matemática, comparando las aspiraciones de los estudiantes que alcanzan diferentes niveles de escolaridad y comparan los planes futuros de aquellos que estudian matemática de mayor nivel con los que estudian menos matemática a nivel escolar. Se comparan las actitudes, tanto de las niñas como de los varones sobre cuestiones matemáticas, incluyendo sus sentimientos de confianza cuando se enfrentan con una situación matemática y su percepción del valor practico de la matemática que estudiaron. También se considera la pregunta, “iPor qué las personas dejan la escuela?” El t-elevamiento esde considerable interks para la mayona de los estudiantes puesto que contestan preguntas acerca de ellos mismos y se comparan con los estudiantes del resto del pak. También aprenden bastante acerca de la importancia de la matemática en susplanes de futuro. En cada conjunto de hojas de trabajo se les presenta a los estudiantes muchas ideas estadCsticasusadas en muestras de relevamiento, incluyendo la recolección de datos así como la presentación e interpretación de resultados. Tales temas están siendo cada vez más importantes dentro de una amplia gama de asignaturas y muchos las aplicaran en suslugares de trabajo. Con el uso de los materiales del CAM no seesperaque los estudiantes aprendan nuevos temas de las hojas de trabajo, sino que másbien seles muestre cbmo seaplica en la practica, la matemática que ellos ya han aprendido. Se les introduce a situaciones que a menudo, no les son familiares y deben interpretar la información que recogieron matemáticamente. Esto requiere. que los estudiantes empleen algunas habilidades de resolución de problemas. Además cuando se encuentra una respuesta, se les pide, generalmente, que expliquen su significado. Esto los alienta para pensar acerca del significado de las contestaciones numericas, lo que constituye un aspecto del que carecen, con frecuencia, los textos de matemática. El diseno de las g&cas de las hojas de trabajo implica un trabajo cuidadoso peroqueayuda a presentar la matemkica en forma “viva”, constituyendo una parte integral del esfuerzo por hacer aparecer la matemática como componente relevante para toda la vida. Los materiales del CAM han recibido juicios crfticos muy favorables de una amplia variedad de fuentes, tanto dentro del sistema de educación formal como de toda la comunidad. En el exterior está creciendo el innr&: las cantidades de libros para la venta en los Estados Unidos está creciendo, a la vez que otros palses se muestran interesados. Resulta claro que los educadores en matemática están entusiasmados en hacer ver a los estudiantes la relevancia de la matemática que ensenan, aún cuando no disponen, a menudo, de materiales adecuados. Creemos que proyectos como el CAM están ayudando a cubrir la brecha entre lo que se ensena en la matemática escolar y la que se emplea en los lugares de trabajo.
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Referencias Informe Cockcroft. 1985. Las Matemáticas Sf Cuentan Estudios en Educación. Ministerio de Educación y Ciencia. Madrid, Espafia. Finniston, M. (Presidente). 1980. Enginhng Our Fucure: Rejwrt of the Committee of InquiryiTltOtht?E7lg&Thg Profession. Londres, Her Majes+ Srationery Office. 258 p. Williams, P. 1983. Federal Policy for Education in Mathematics and Science. Arnerhn Psychologist, setiembre, pp.1008-14.
ll.
La enseñanza de la probabilidad y de la estadística en la educación secundaria general DonaU J . Dessurt
Este capítulo discute un intento realizado por un sistema educativo local, en cooperación con una universidad, por resolver un problema curricular relativo a la matemática de la educación secundaria general, cuya solución implicaba la enseñanza de probabilidad y estadística, entre otros varios temas. El capítulo sedivide en cuatro secciones: fa) el origen del problema; (b) una posible solución; fc) el enfoque de la estadística y de la probabilidad; y (d) una conclusión.
El origen del problema El Estado de Tennessee (Estados Unidos) dispuso, recientemente, que para graduarse de la escuela secundaria los estudiantes teman que cursar estudios de matemática durante dos años, por lo menos. Estos dos años consistían, para muchos estudiantes, en dos años de álgebra o en un año de álgebra y uno de geometría y para otros -menos inclinados a estudios académicos- se cumpliría el requerimiento con dos años de “matemática aplicada”. Pero, y de todas maneras, es de esperar que esosdos años no consistidn de más “matemática general”, con el énfasis puesto en las habilidades básicas de cálculo. En el otoño de 1983, el Departamento de Educación del Estado formó un grupo, del que el autor de este artículo formaba parte, para estudiar el problema. El grupo planificó un curso de dos años que sería, a la vez, riguroso y matemático, pero también adecuado para esrudiantes cuyas habilidades académicas no eran apropiadas para un estudio de álgebra y geometría. El grupo planteó, inicialmente, cinco premisas básicas: el curso convencional de matemática general para estudiantes que siguen álgebra y geometria resulta inadecuado; todo curso alternativo no debe tener carkter de “curso de reparación” y no debería, por lo tanto, insistir sobre las habilidades de cálculo; los cursos alternativos podrlan implementarse, con optimismo, 1987-1988; los estudiantes que deseen asistir a estos cursos tendtk que pasar las pruebas de suficiencia oficiales sobre habilidades básicas; y la mayoría de los temasvinculadosal consumidor (que requierenpocacomprensiónmatemática) seenseiiarían en ciencias sociales o en los cursos de educación vocacional. El grupo recomendó una secuencia de dos años de cursos. El primero dirigido al Grado 9, consistiría en teoría elemental de número, manejo de calculadores manuales, razones y
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proporciones, estadistica, geometrfa, trigonometria básica, lógica y algunos conceptos algebraicos. El segundo afro incluida un estudio de matemáticos famosos, matemática en el mundo est&ico, probabilidad, aproximación, georne&, medida, resolución de problemas y algo de álgebra. Esta propuesta fue revisada por profesores del Estado y pareció merecer el apoyo de alrededor del 50%. Y en lo que se refiere a los demás, su principal razón para no aceptarla fue la escasezde materiales de texto adecuados - una carencia muy significativa y seria.
Una solución Un grupo que representaba tanto los intereses de la escuela como de la universidad estudió, 1985-86, el problema de encontrar materiales de texto que resultasen adecuados. Y, con tal finalidad, se examinaron los materiales elaborados por el Proyecto de Recursos Matemáticos de la Universidad de Oregón, materiales que habían sido disefiados para suplementar y enriquecer el currfculo de la escuela media. Se encontró que estos materiales proporcionaban temas adecuados entre ellos: significado numérico y habilidades aritméticas; razones; proporciones y escalas; geometrfa y visualización; matemática en la ciencia y en la sociedad; estadlstica y organización de la información’n, incluyendo probabilidad y sus aplicaciones. Sin embargo, los materiales de Oreg6n no estaban disefiados para su utilización diaria enelaula,loquellev6algrupodeestudioaorganizarlosdemaneradepoderdesa~llarlistas de objetivos para su uso diario y colecciones de ejercicios y de problemas suplementarios. Se utilizaron estos materiales adaptados en seis clases de tres escuelas secundarias durante el año academice 1985-86, materiales que fueron considerados como bien logrados en una educación informal - completada por profesores y estudiantes - a pesar del hecho de haber solicitado a los profesores que duplicasen los materiales de aula de acuerdo a la actividad diaria y de haber solicitado a los estudiantes que llevasen cuadernos de apuntes. Esto Rev6 en consecuencia, a desarrollar textos completos para estudiantes durante el otofio de 1986. La ense&uua de la estadística y de la probabilidad permitió realizar interesantes y valiosas experiencias, temas enseñados en las tres escuelas secundarias del Condado de Knox durante un perfodo de ocho semanas durante la primavera de 1986. El autor de este articulo pudo observar lecciones, mantener consultas con profesores y ensefiar algunos de los materiales en cada una de las escuelas. Los temas inclulan: fa) obtención de datos; (b) uso de tablas y de @cas; fc) diagramas de dispersión; (d) media, mediana y moda; fe) rango y desviación; (f) muestreo; (g) probabilidad experimental; (h) probabilidad con modelos; (i) t6cnicas de tonteo; (j) probabilidad con conteo; y (k) inferencia estadística. La evalmción realizada durante 1985-86 tuvo car&cter informal, pero durante 1986-87 fue realizada en forma más rigurosa y, constituyendo parte de la tesis doctoral de un graduado de la Universidad de Tennessee, Knoxville.
El enfoque de la estadktica y probabilidad No es posible discutir en un breve capitulo todos los temas y toda la experiencia ganada con el trabajo realizado con los estudiantes y con los materiales. Se inserta, a continuación, una
147
selección de temas significativos, particularmente aquellos que parecieron despertar un mayor inten5s y un mayor entusiasmo.
Una buena forma de hacer participar a los estudiantes en un r-elevamiento estadístico es comenzar con un problema. El problema considerado comenzaba con la pregunta: ideberla instalarse un semáforo para la escuela?El problema era un problema real dado que ninguna de las tres escuelas secundarias comprendidas en la experienc.ia poseia semáforo. El camino obvio para comenzar era la recolección de datos relativos a la necesidad de un semáforo, lo que incluía contar los automóviks al abrirse y cenarse la escuela, contar los autos los sábados y los domingo y a contar las personas que iban en auto. Esto hacía surgir, naturalmente, las cuestiones de cómo idear una forma de registrar dpidamente los datos y de determinar el costo de la instalación de semáforos. De igual forma, la necesidad de separar “hechos“ de “opiniones” se constituyó en una forma natural para tomar una decisión adecuada, mientras que la mecánica para practicar y analizar relevamientos se volvió un inevitable tema de discusión. Dado que las tres escuelas secundarias estaban localizadas en áreas ruraleslsuburbanas se acordó, en definitiva, que la necesidad de semáforos podrla no estar completamente justificada, particularmente si ellos senecesitaban, solamente, durante las horas de escuela. El empleo de oficiales de trafico del condado para dirigir el trafico pareció una solución más prudente.
Tablas y gráficas En muchos cursos elementales se enseñan tablas y gn%ficasy su empleo resulta particularmente importante en los estudios de estadística. Los estudiantes encuentran que en muchas carreras se necesitan estos temas. En relación con las tablas, se les enseñó a los estudiantes a interpretar, en una tabla, el significado de una estadística asi como a buscar una estadística determinada. Las gmficas representan distribuciones y la actividad culminante se centra en su empleo para ilustrar diversas distribuciones, rectangular, etc., conduciendo en último termino, a una comprensión intuitiva de la Distribución Normal.
Andisis hgülstico La determinación de las frecuencias de las longitudes de las palabras que aparecen en diversas publicaciones puede resultar una cuestión interesante. Por ejemplo, las longitudes de palabras empleadas en revistas técnicas resultan marcadamente diferentes de las utilizadas en los periódicos. Así, por ejemplo, se compararon las frecuencias de las longitudesdepalabrasqueaparecenendiez Ilneas tomadasal azarde unapáginadela revista Timecondiezlineas tomadasalazardelarevistaSport.sIkstrated. Enestaúltima,lalongitud de las palabras variaba de una a nueve letras con una media de 4,28 palabras. Por lo contrario, la variación en longitud en Time fue de una a diez letras con una media de 4,93. La clase tomó muestras adicionales de ambas revistas y se heg6 a la conclusión que la longitud media de las palabras en Time era mayor que la de Spon~ Iikstrated. La clase especu16 respecto a las razones para la existencia de estas diferencias. Un estudiante sugirió que las palabras utilizadas en el deporte eran más cortas que las palabras de uso corriente, lo que Llevó a sugerir que se debían tomar, en ambas revistas, únicamente muestras de artículos relativos a deportes. Como se estaba en primavera, el deporte
seleccionado fue el de beisbol. Además, la clase encontró, despu6s de seleccionar al arar diez kas de articulos de beisbol, uno en Time y uno en Sp~m I1Iurtrcped que en Time la longitud de las palabras en el pasaje de diez lineas variaba de una a diez letras, con una media de 4,59, mientras que en Sports Ilkwued la variación fue de una a nueve letras con una media de 4,58. La clase estuvo de acuerdo en que este era un resultado interesante, pero que era necesario un mayor a&sis para poder llegar a resultados rn& concluyentes.
L4lcfist7ibuci&nnonnal No sehizo ningún intento por formalizar la matemática de la distribución normal, sino que se puso mãs bien el Cnfasis en mostrar experimentalmente la presencia de la curva “acampanada” tanto en la naturaleza como en el trabajo experimental. Una de tales experiencias (Mathematics Resource Proyect, 1978, p. 559) consistla en doblar un trozo de papel por la mitad, fijando un lado a una superficie plana y sosteniendo el otro lado con un libro formando un ángulo de aproximadamente 6op con la horizontal. Se echaba después sal con un embudo sobre la parte inclinada del papel hacia el doblez. El contorno de la pila de sal que tocaba el papel formaba una clara y bien formada curva normal. Se realizó una experiencia similar tomando un trozo de papel de aproximadamente 25 cm de largo y numerando columnas de 1 a 10, colocando un punto grande en el medio del papel, aproximadamente en la columna 6. Un estudiante dejaba caer arroz, un grano por vez y sobre el punto, desde una altura de aproximadamente 30 cm. Se contaba, después, el número de granos de arroz que cala en cada columna, construyéndose un histograma de la frecuencia correspondiente. Y al aproximar el histograma por una curva suave seobtenía una curva normal.
~Ctuíntos puntos en un rectángulo? Para dar un ejemplo de muestreo, se realizó un ejercicio de estimación marcando, en un rectángulo de 12 cm por 18 cm, de trescientos a cuatrocientos puntos, distribuidos al arar. Se le pidió después a la clase que determinara el número aproximado de puntos en el rectángulo. Como era de suponer, algunos quisieron contar todos los puntos, uno por uno, mientras que otros sugirieron realizar un muestreo. Siguiendo estas sugerencias, se cok~có sobre el rec&gulo un cuadrado de 2 x 2 cm y se observaron diversas muestras. Se podía estimar, despu&, el número total de puntos multiplicando el número de puntos en la muestra por el número de muestras posibles en el rectk-rgulo. Y podlan variarse tanto el tamtio del cuadrado de la muestra como números de muestras para ver susefectos sobre la estimación. Losestudiantes quedaron intrigados por la idea de obtener una “respuesta”, sin tener que emplear el metodo penoso de contar.
La estimaci6n del número de venados en un parque o el número de peces en un estanque resultaron experiencias particularmente fascinantes para los estudiantes. El procedimiento estándar consiste en recoger una muestra grande, marcar el venado o el pez en la muestra, liberarlos y obtener mas tarde otra muestra. La razón entre los venados o peces marcados y no marcados en la segunda muestra conduce a una estimación del número de venados o de peces de la población total. Puede construirse un modelo de este tipo de experiencia empleando un mazo de cartas (Mathematics Resource Ptoyect, 1978, p.597). El mazo de cartas representa la población
Laen.seiimyadehpobabWydefaes&tun
149
total de venados y se baraja varias veces. Se seleccionaron, después, ocho cartas que se registraron y que simulaban a los venados o peces marcados. Se reintegraban estas ocho cartas al mazo y sebarajaban nuevamente. Se seleccionaba, despues,una muestra de cinco cartas y secontaba el número de cartas marcadas que aparecían entre ellas. Se reintegraban al azar estas cartas al mazo y se seleccionaba otra muestra de cinco cartas. Se repetfa el procedimiento seis veces de manera que se examinaban treinta cartas. Se estimaba el tamafio total de la población mediante la siguiente proporción: m -=x
d c
donde m = número de cartas marcadas, es decir, 8 (venados marcados); x = número total de cartas (población total de venado); d = número total de cartas marcadas en las muestras (venados marcados que se vuelven a capturar); c = número tota1 de canas en las muestras, es decir, 30 (número de venados capturados en 6 ensayos). Como es natural, puede compararse el número aproximado con 52, que es el número total de cartas en el mazo.
Números akatorios obtendos de las c&uladoras En unartkuloestimulantesobre “aleatoriedad”, Kolata ( 1986) menciona a tresestadísticos de Stanford: Persi Diaconis, Bradley Efron y Eduardo Engle, quienes observaron que se habían hecho “esfuerzos heroicos” para comprender la “aleatoriedad”, pero esta idea permanece elusiva. No es un concepto facil de definir, al punto que la mayorfa de los libros sobre probabilidad dejan indefinida la “aleatoriedad”. Y esta noción de aleatoriedad resultó ser uno de los temas más interesantes para los estudiantes que participaron en este estudio. Se dieron ejemplos de aleatoriedad, ejemplos que enfatizaron el principio de que en un arreglo al azar de objetos no pude encontrarse ninguna pauta. Se enfátizó, tambien, el hecho de que en algunos intentos por captar la idea de aleatoriedad (tales como los juegos de loterla de 1970) no se trataba, en realidad de azar (Kolata, 1986, p. 1068). La “aleatoriedad”despert6 interés cuando los estudiantes generaron números aleatorios con una calculadora. El procedimiento constaba de una secuencia de cuatro pasos: entrar en la calculadora cualquier número decimal de siete cifras y terminado en cualquier cifra impar excepto en 5; multiplicar este decimal por 147; sustraer la parte entera del producto; y registrar, despub, la primera cifra para un número aleatorio de una cifra, anotando las primeras dos cifras para un número aleatorio de dos cifras, etc. Después, y sin descargar la computadora, se repetían los últimos tres pasos para generar otros números aleatorios. Uno de los estudiantes plante6 la pregunta de por qué los números asf generados eran, en efecto, aleatorios. El grupo discutió la posibilidad de que se pudiera probar una gran selección de números aleatorios anotando las frecuencias de las cifras 0 a 9. 0, más simplemente, se podrfa observar que deberíamos esperar que cualquier cifra en particular, digamos el “1”) apareciera alrededor de 1OOveces en 1000 cifras aleatorias, 6 loo0 veces en 10000 cifras aleatorios, etc. Al generar 10000 cifras alearorias con un computador, se encontró que la cifra “1” aparecía 1.026 veces y la cifra “2” aparecía 1.025 veces. Se encontraron resultados semejantes para las cifras 3 y 4.
Es&tiuzenk~educ&6ns.zoa&ia
150
Råde (1981) señal6 que una tal prueba de frecuencia podla resultar falaz porque se podría obtener una frecuencia esperada de unos por simple repetición del “1” un número determinado de veces al comienzo de la secuencia de números, y una tal secuencia no seria, ciertamente al azar. Råde ( 1981, pp. 121) propuso una prueba más sofisticada para la aleatoriedad, prueba que denominó la prueba del “poker”. En esta prueba, si se han generado 400 cifras aleatorias, &tas cifras podrían agruparse en 100 conjuntos de 4 cifras cada uno. Podria calificarse aestoscuatrogruposdecifrascomo “todascifrasdiferentes” (por ejemplo, 1234). En este caso se tiene p = 0.504. Un grupo que tiene un par de cifras iguales, como 2732, tiene una p = 0.432. Grupos con dos pares de cifras iguales como 2332, tiene unap = 0.027. Mientras que grupos con tres cifras iguales, como 1211, tienen unap = 0.036. Grupos con “cuatro de una clase” como 3333, tienen una p = 0.001. Un grupo casi perfecto de cifras aleatorias exhibid frecuencias relativas cercanas a las dadas por las probabilidades anteriores. Aunque la prueba del poker no se trató con los estudiantes puede, muy bien, utilizarse en el futuro.
~Pueckser que sl - guede ser ípe no! Antes de dar valores numéricos a la probabilidad entre fe incluidos) 0 y 1, se les dio la oportunidad a los estudiantes de hacer juicios de un tipo que involucra pensamiento probabilístico. Se les dio una serie de afirmaciones cuya verdad podd juzgarse por juicios tales como “nunca”, “probablemente no “, “puede ser que si y puede ser que no”, “ptobablemente”, o “siempre”. Podrfan ser ejemplos de tales enunciados: ‘Ud. desarrollara otra cabeza”, “Ud. tiene un corazón”, “Ud. tomad sopa esta noche” y “Ud. envejece@. Estas cuatro decisiones fueron reemplazadas, más tarde, por puntos en una linea numérica, de manera que “nunca” fue igualada a cero, “puede ser que si y puede ser que no” a I/ 2 y “siempre” con 1. Tales introducciones preliminares al concepto de probabilidad constituyen una transición posible y realmente fácil, hacia una representación numérica de la probabilidad.
Conclusión
y resumen
Este proyecto representó un intento hecho por un sistema escolar local para resolver un problema curricular surgido cuando el Estado de Tennessee exigió dos afios de materna tica, por lo menos, para la graduación en la escuela secundaria. Parte de la solución involucraba la introducción de probabilidad y estadística en un currículo para estudiantes que no hablan sobresalido en matemática. Se introdujo el material en forma lenta con muchos ejemplos, con muchas oportunidades para que los estudiantes realizaran actividades y con mucho tiempo para las discusiones. La experiencia sugirió que tal método de trabajo puede resultar exitoso con estudiantes que de otra manera no podrían esperar lograr éxito.
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Referencias Kolata, G. 1986. What Does It Mean to be Random? Science, Val. 23, pp. 1068-70. Mathematics Resources Project. 1978. Number Senseand Arithmetic Skills, Stitics und informntion Organizutim, y otras unidades. Palo Alto. Calif., Creative Publications. Råde, L. 1981. Random Digits and the Programmabte Calculator. En: A.P. Shulte (ed.). Te&ing Sratistics and Probability: 1981 Yearbook, pp.1 18-25. Reston, Va., Consejo Nacional de Profesores de Matematica.
12. Cómo enseñar conceptos estadísticos a alumnos de aprendizaje lento Abrecht Abek
El método operativo El método denominado operativo tiene sus r-alcesen la obra de Jean Piaget. Su concepto de “operación”, tanto de operación concreta como de operación formal, junto a la estructura sicológica de “agrupamiento” constituye la base del m&odo operativo. Aebli (1963), Fricke y Besuden (1970) desarrollaron este método en una dirección no-formal y no-deductiva. Algunos colegas del Pädagogische Hochschule Heildelberg (n.d.1 que han continuado trabajando a este nivel han modificado, despu&, los principios metodok5gicos de Fricke de manera de facilitar su aplicación a nivel escolar. Y haciéndolo, han elaborado los cinco principios siguientes: El@~&io de~~~ociu&i&d, aplicable cuando seplantea un problema o una tarea que admite varias soluciones o (por lo menos) varias formas de hallar la solución. El princ$io de cemposici6r1,aplicable cuando secombina una operación aritm&ica con otras operaciones o con sf misma (por ejemplo, la multiplicación por 2 seguida por una multiplicación por 2 es equivalente a una multiplicación por 4). El principio de reuersi6n, aplicable cuando se transforma un cuadrado en un rectángulo de igual área duplicando un lado y reduciendo el otro a la mitad. El principio de trunsitiuidad, aplicable cuando se argumenta asl: 5+3=8,porlotanto15+3=18y25+3=28,etc. El principio de uu&cibn. Este es el r& general de los cinco principios. Se presenta un ejemplo común de este principio en el caso en que se realizan tareas adjuntas más sencillas como un medio de resolver cuestiones más difíciles, o cuando se emplea la variación en la construcción de una serie de tareas, como en el siguiente caso: cuatro amigos hacen un viaje en bicicleta. Uwe hace 30 km en 2 horas; Peter hace 30 km en ll /2 horas; Jens recorre 40 km en 2 horas; Bemd hace 40 km en ll/2 horas; los padres de Peter los siguen en auto y marchan tres veces mas nlpido que Peter, de manera que cubridn 60 km en ...? Y ahora deseo senalar, después de estas observaciones introductorias, algunas ccmecuencias didácticas. Hemos aprendido de la sicologia que la adquisición de conceptos
154
Estadfstienh educai&secundaria
operacionales tiene que ir ligada a las propiedades del método operativo que se mencionaron más arriba, lo que puede reconocerse a través del método conocido de construir el conocimiento matemático en tres etapas: Aprender de la experiencia: los alumnos resuelven problemas, realizan tareas cuidadosamente seleccionadas, analizan diversas cuestiones y realizan experiencias adecuadas. La etapa de formación de conceptos: los alumnos buscan caracterhticas esenciales y comunes de los objetos que aparecen dentro del campo de esta experiencia y, a partir de ello, comienzan a generalizar. La etapa de representación: los alumnos utilizan graficas y otras representaciones simbólicas, aprendiendo, asf, a emplear metodos más formales Cuando los problemas seplantean de acuerdo a los principios operativos, los alumnos están aceptando la experiencia de muchos profesores y utilizando los atributos operativos. Los alumnos tratan - y a veces conscientemente -con estas caracterfsticas de las tareas o de los problemas desarrollándose, entonces, en un proceso de aprendizaje a largo ttknino, un tipo especial de conducta activa que adopta este diseño didáctico.
Las necesidades de los alumnos de aprendizaje lento Los alumnos de edades entre 12 y 15 anos, y especialmente los de aprendizaje lento, necesitan realizar mucho trabajo antes de que puedan generalizar, ya que uno de los objetivos es llegar al aprendizaje a través del descubrimiento. Sin embargo, las soluciones formales quedan, a veces, en la base mientras se coloca un mayor énfasis en las actividades de los alumnos yen la forma como enfrentan las variaciones que sepresentan en las diversas situaciones y en las diversas tareas. Resulta, en consecuencia, definitivamente preferible tratar de manera practica con el contenido de los problemas que adoptan un tratamiento formal. Una descripción formal de un conjunto de hechos o de un tratamiento técnico, con o sin empleo de fórmulas, constituid, generalmente, más una desventaja que una ventaja para el estudiante, lo que justifica que evitemos su empleo. Por el contrario, el papel del enfoque heurístico y experimental resulta preeminente en casos como, por ejemplo, la introducción de la media aritmética, mientras que se emplea una formulación sistemáticamente variada de problemas en, por ejemplo, la discusión de la dispersión y en la consideración de la propiedad minimal del valor medio. Unicamente estos enfoques permiten conducir a ideas vfvidas de estos conceptos y de sus interrelaciones dentro de las pocas horas de enseñanza disponibles. Para poder implementar esta estrategia, el profesor necesita apoyo con material vinculado al tema y con material estimulante para proponer como tareas a realizar por los alumnos. Esto llev6 a que se prepararse el material para tareas en base a elementos y situaciones del medio ambiente del alumno o a informaciones aparecidas en la prensa diaria. Resultan también de gran atractivo para los estudiantes las tareas relacionadas con juegos de azar, cales como lotenas. Estos problemas caen bajo el rótulo de probabilidad y son tratados como tales. Dado que los alumnos de aprendizaje lento no pueden aprender los conceptos estadísticos en forma sistemática, se define el alcance del trabajo en estadística descriptiva en el currkulo oficial como “La resolución de problemas básicos simples en el área de la estadfstica descriptiva”. Y estos problemas básicos pueden dividirse, aproximadamente, en tres áreas generales.
Concepf.0.iestaifstiws a alumnosde apmd&aje lento
155
Primer área “Reunión de material estadfstico; ordenación y representación en forma adecuada”, tema que seocupa, en primer término, de losaspectcscualitativos del métodoestadístico. Qmo se toma una “muestra aleatoria casual”? Que significa realmente una “muestra aleatoria”? Qué representaciones gr&cas resultan especialmente adecuadas para presentar la información de forma clara y concisa? En las primeras tres secciones de muestras propuestas se tratan, con gran profundidad, estasy otras preguntas mediante ejemplos y tareas a realizar. Se le asigna, además, un enfasis especial en clase al empleo de números aleatorios, además del uso muy variado que se hace de las diferentes posibilidades g&cas. Los números aleatorios proporcionan una vfa mucho másconveniente de tomar una muestra realmente aleatoria de cualquier poblaci6n que la que puede lograrse con el método corriente de extraer cantidades.
Segunda área Continuamos aqui con la cuestión de cómo pueden cuantificarse los aspectos cualitativos antes mencionados. Que “medidas” y qi valores caracteristicos de una muestra aleatoria permiten enunciar proposiciones razonables? Las pautas del currkulo oficial incluyen el siguiente objetivo relativo a capacidad: “CAculo de valores medios; interpretación de distribuciones de frecuencia; decisión respecto a si ciertas representaciones y recopilaciones estadísticas son apropiadas, útiles y claras”. Más abajo se trata esta tarea, entre otras. La cuestión crucial que se plantea al ensenar este material es la de determinar cómo cambian los valores individuales caracteristicos (el más alto, el más bajo, el más frecuente, el menos frecuente, el valor medio y el valor de la mediana) cuando cambian los valores individuales de la muestra aleatoria. Unicamente de esta manera resulta posible ilustrar lo que se logra (o lo que no se logra) caracterizando una muestra aleatoria mediante estos valores
Tercer h-ea Un mayor análisis en profundidad, tanto cualitativo como cuantitativo, de muestras aleatorias, objetivo que puede justificarse y lograrse, de manera muy clara, mediante la comparación de dos muestras aleatorias. Mãs abajo se ilustra esta cuestión, donde aparece particularmente claro que loe temas de los Grados 8 y 9 están estrechamente entrelazados. El tratamiento en profundidad, que tiene lugar en el Grado 8, de los paPametrosmencionados más arriba queda limitado al valor medio y al valor de la mediana, lo que permite que la propiedad minimal del valor de la mediana pueda constituir la base de problemas realmente interesantes. Se define la “comprensi6n e interpretación de las desviaciones a partir de los valores medios” como un objetivo de aprendizaje especial para la parte superior del Grado 8, con lo que se asocia, sin embargo, la recomendaci6n de “no introducir la desviaci6n estándar”. Se exige, por otra parte, a todos los estudiantes de noveno grado, el tratamiento del tema “cálculo de los valores medios y desviaciones a partir de los valores medios”. Podrfa ser tambitn aconsejable la introducción de la desviación estándar (pero únicamente a través de ejemplos) en la parte superior del curso. Puesto que las pautas curriculares no mencionan explkitamente el concepto de “frecuencia acumulada” y de procedimiento asociado para calcular el valor medio, puede ser, probablemente, una buena idea no fijar tareas en esta área hasta el grado noveno, en el que el objetivo es “profundización del conocimiento del trabajo con estadfstica”.
156
Estodfsticaenkleduc~senrndaria
Como una última sugerencia relativa al método, puede alentarse a los profesores y a los estudiantes a analizar, mediante el empleo de “representaciones engañosas”, otros ejemplos de informes falsos o engañosos citando estadísticas “parcializadas”. El material aportado a clase por los estudiantes debe ser, como regla general, abundante y variado, de manera que pueda resolverse cada uno de los problemas dentro de una situación de enseñanza en grupo.
Algunas tareas y algunos problemas Se discute, bajo este título, seis temas destinados a ilustrar los métodos comúnmente adoptados.
iQué es una muestra akatmia? Una forma posible de contestar esta pregunta podría seguir las líneas del siguiente argumento. La recolección de datos, su presentación en forma clara y la descripción de sus características, constituye una de las tareas fundamentales de la estadística descriptiva. Y esto escuestión, en general, de registrar las característicascuantitativas y cualitativas de los numerosos elementos que constituyen, por lo general, la población total. En el caso de tratarse de una población inicial de gran tamaño, resultarla muy costoso y demandaría mucho tiempo considerar cada elemento. Además, en algunos casos, el procedimiento empleado para realizar la prueba destruye los elementos individuales. Ejemplo de esto son las pruebas de gérmenes en semillas, la prueba relativa a la intensidad de la corriente que funde los fusibles y las pruebas relativas a la vida de las lamparillas ektricas. En otros casos, no siempre resulta accesible la población inicial como, por ejemplo, en el caso de la población de pecesen un estanque y las pruebas de sangre que hacen necesaria la obtención de sangre. Todas éstas constituyen las razones de por qué deben ser tomados “al azar” unos pocos elementos, elementos que constituyen la “muestra aleatoria”. Pero, rque significa “aleatoria”? Ella constituye, en principio, una garantía de que cada elemento de la población inicial tiene la misma chance de ser seleccionado que cualquier otro elemento. A continuación podrían proponerse y discutirse problemas del tipo de los siguientes ejemplos: Es necesario realizar diariamente inspecciones aduaneras regulares en un cruce de frontera, para lo cual pueden adoptarse varios métodos, tales como: Se revisan todos los pasajeros. Se revisan todos los automóviles rojos. Se revisan todos los automóviles que cruzan entre las 9 y las 10 de la mañana. Se revisan todos los automóviles marca Ford. Se revisa uno de cada 200 automóviks. Se revisa uno de cada 20 automóviles. Dado que dos oficiales aduaneros estuvieron enfermos el viernes, no se revisó ningún automóvil durante todo el día. Como consecuencia en los dfas siguientes se revisó un automóvil cada 100 en lugar de hacerlo con uno de cada 200. Puestoque muypocosautomóvilescruzaron lafronteraentre las22 y las 6 horas, noserevisó ningún automóvil en ese lapso. Dado que el mayor número de automóviles cruzan la frontera entre las ll y las 13 horas, se revisó, durante ese perlodo, un automóvil de cada 100, y uno de cada 200 en todo otro momento.
$Ml de los procedimientos seik~ladosmerece la denominación de “muestra aleatoria” y a cuál de ellos podrfa seklar como el mejor metodo de revisación?
Qmo
utilizamos una “lista”?
El concepto de confeccionar una lista (por ejemplo, una lista de ftems, una lista de posiciones relativas, una lista de puntos, una lista de calidades) esta conectado con la presentación ordenada de datos. Así, si se ordenan los valores de una muestra aleatoria de acuerdo a su tamano (como en el ejemplo que sigue) el resultado es una lista de posiciones relativas. Se obtiene una presentación aún mas clara de la muestra agrupando los valores en “clases”, como se muestra, también mas adelante, pero es necesario determinar cuidadosamente el número de claseselegidas. Si esenúmero es demasiado pequeño, la lista no aportad mucha información, y si es demasiado grande la presentación sed confusa. Existe una regla operatoria, a saber, seleccionar de diez a veinte clases y es conveniente mantener constantes los intervalos de clase. Pueden elegirse, con frecuencia, los llmites de clase empleando valores que no aparecen en la muestra aleatoria pero si algunos valores de la muestra aleatoria coinciden con los limites de clases,el limite izquierdo de lactase (como en el ejemplo que sigue) o el Ifmite derecho de la clase puede ser incluido en la clase. Es posible, tambien asignar cada punto limite a ambas clases pero, en esecaso, los valores que coinciden con el limite de clase tienen que contarse como un medio para cada clase contigua. Pueden presentarse estas ideas mediante la consideración de un problema como este: Se miden en un vivero las alturas de cincuenta plantas elegidas al azar, y seregistran esas alturas en la Tabla 1 por orden de planta. ordenando los ejemplares por tamaño seobtiene una lista ordenada (Tabla 2). Y puede afinarse más la lista agrupando los valores individuales en clases. El intervalo de clase utilizado en la Tabla 3 es de 10 cm. Tabla 1. Altura de plantas seleccionadas al azar (metros) 1.91 238 2.47 1.43 1.95 1.43 2.03 1.77 2.31 2.18
1.28 2.97 2.12 1.30 2.40 2.26 1.81 1.74 2.04 1.86
2.68 2.22 2.05 1.69 1.97 2.23 1.72 2.25 1.93 1.71
1.13 234 2.75 2.70 139 2.80 1.63 1.02 1.64 1.41
1.83 1.98 2.27 2.07 2.21 2.11 1.68 1.53 2.28 2.74
Es~tica
158
en la educaci6nsecundaria
Tabla 2. Lista ordenada Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Altura 2.97 2.80 2.75 2.4 2.70 2.68 2.47 2.40 2.38 2.34 2.3 1 2.28 2.27 2.26 2.25 2.23 2.22
Posición 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Altura 2.21 1.18 2.12 2.11 2.07 2.05 2.04 2.03 1.98 1.97 1.95 1.93 1.91 1.86 1.83 1.81 1.77
Posición 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Altura 1.74 1.72 1.71 1.69 1.68 1.64 1.63 1.53 1.43 1.43 1.41 1.39 1.30 1.28 1.13 1.02
Confeccionar una lista de puntos para la misma muestra aleatoria de valores tomando intervalos de clase de 20 cm, de 50 cm y de 1m. Indicar para cada uno las frecuencias reales y los porcentajes. Evaluar la utilidad de los intervalos de clase según su amplitud.
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Tabla 3. Valores individuales agrupados en intervalos de 10 cm Lista de puntos
Clase (menos) 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90
II 11 II sl 11 II 11 11 II 11
< c < < < < c < < < < < c c < c < < < <
1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00
Frecuencia
I I l ll
1 1 1 2 3 1 4 4 3 5 4 3 7 3 2
III I llll llll III
ll111 llll III 1111111 III ll l III I I
% 2.0 2.0 2.0 4.0 6.0 2.0 8.0 8.0 6.0 10.0 8.0 6.0 14.0 6.0 4.0 2.0 6.0 2.0 2.0
Unos pocos diagramas Para ilustrar la información estadistica seutilizan a menudo, representaciones g&cas tales como diagramas de banda, g&cas circulares, gr5ficas de barra, diagramas de bloques, histogramas o polfgonos. Comparando tales diagramas, los alumnos aprenden que las representaciones que emplean gtáficas de barras, diagramas de bloques y poligonos de frecuencia resultan particularmente adecuadaspara cuestiones cuantitativas, mientras que las gráficas circulares y los diagramas de bandas revelan los aspectos cualitativos. He aqul tres problemas que ilustran estos puntos. En la Tabla 4, aparecen separados en cuatro sectores del relevamiento el número de personas empleadas en la República Federal de Alemania en el aiio 1969.
- .--_
.-
Estadística enlaeducación secundmia
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Tabla 4. Personas empleadas en la República Federal de Alemania %
Empleados
Sectores Agricultura y silvicultura, producción animal y pesquería
n, =
Industria manufacturera
n2= 12,936,OOO
Comercio y transporte
n3= 4,729,OOO
Servicios y sectores de la economía
n,=
Total
n = 26,822,OOO
9.5
2,533,OOO
6,624,OOO 100.0
Los números de la columna 2 son más fáciles de comparar si se relaciona cada uno con cl total. Así, nl -=
n
2533000 = 0.095 = 9.5% 26822ooO
1. Calcule ahora los tres porcentajes que faltan en la Columna 3. (Estos porcentajes son 48,2; 17,6 y 24,7). Los números como los que aparecen en la Columna 3 sedenominan números de clasificación en estadística, números que pueden ser representados mediante un diagrama de banda así:
2. Utilice ahora la información dada en el diagrama de banda para trazar una gráfica circular (grafito de torta) para el mismo porcentaje de distribución. Se registro la temperatura a la intemperie, a la misma hora, durante una semana en el mes de junio, obteniéndose los siguientes resultados: Día Temperatura ’ C
Lunes 20
Martes
Miércoles
22
9
Jueves ; 10
Viernes 17
Sábado 19
1. Represente estos resultados mediante una gráfica de barras, un diagrama de bloques y un polígono. 2. iPor qué no resulta adecuado el polígono para describir esta información?
161
Tabla 5. Alturas de 200 escolares de la misma edad Altura (cms)
Frecuencia absoluta
134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146
1 3 8 15 24 31 35 32 23 13 8 5 2
Se midieron las alturas de 200 escolares - todos de la misma edad - y los resultados de las medidas se presentan en la Tabla 5. 1. Dibuje una gr&a de barras, un diagrama de bloques y un pollgono de frecuencia para este ejemplo. 2. Calcule el porcentaje del total que corresponde a cada una de las alturas e ilústrelos mediante una &fica de barras, un diagrama de bloques y un pollgono de frecuencias. 3. &hántos escolares tienen, por lo menos, 138 cm de altura? &hhtos tienen, a lo más, 142 cm? iQué altura tiene el lOO* estudiante si se alínean todos los escolares según su altura (el niño más bajo está al comienzo?) 4. Construya una tabla adecuada para responder a la cuestión planteada en 1. 5. Dibuje una fifica de barras para los valores de esta tabla.
~Putde sumar valores medios? Dea& de esta pregunta está esta regla: Si se forma una muestra m& grande agregando un cierto número de muestras aleatorias con los valores mediosn,, TT+,... TT+,puede calcularse, entonces, el valor medio m de la muestra ampliada empleando la fórmula: m=
ml
+ mt
+ . . . + mk
k
si, y s610si, todas las k muestras aleatorias son del mismo tamafio. He aquf dos problemas que se relacionan con esta regla: A un estudiante se le dieron las siguientes calificaciones en matemática: Por trabajos escritos: 3; 2,5; 3,5. Por intervenciones orales: 3; 2,5; 1,5; 2; 1; 2.
162
Estadfstimla-senmlmicr
1. Calcular la calificación promedio de los trabajos escritos. Calcular también la calificación promedio de las intervenciones orales. 2. Calcular la media aritmetica de las dos calificaciones promedio determinadas en 1. 3. Calcular la calificación promedio como la media aritmética de las nueve calificaciones individuales. 4. ¿JZsel promedio de las nueve calificaciones igual al promedio de las dos calificaciones determinadas en 1?Y si no lo es, ipor qué no lo es? Hanno recibió las calificaciones 2 y 4 en susdos primeras pruebas de matemática, y calculó su calificación total para las dos pruebas como (2 + 4) + 2 = 3. Obtuvo 2 en la prueba siguiente, continuando, entonces, su cálculo: (3 + 2) + 2 = 2,5. Su prueba siguiente se calificó con 1; calcula: (2,5 + 1) + 2 = 1,75, y cree que ha calculado el promedio de suscuatro calificaciones en la forma en que lo hizo. 1Escorrecto? Si no lo es, Ipor qué no lo es?
La mediana En un conjunto de estadísticas, la suma de las desviaciones respecto a la mediana, de los otros elementos es menor que la suma de las desviaciones respecto a la media, o a cualquier otro elemento o, en realidad, respecto a cualquier otro valor arbitrariamente elegido. Esta caracterfstica de la mediana tiene varias aplicaciones. He aqui un ejemplo. Unacompafifa tiene cincosucursalesA, B, C, Dy Einstaladasen unaautopistafederal. B está a 20 km, C a 28 km, Da 58 km y E a 89 km de A. La comptila desearfa establecer su oficina central en una de las sucursalesde esta au copista y debe estar localizada de manera que el total de las distancias a cada una de las otras sucursales sea tan pequefia como sea posible. $X1 de las sucursales deberia elegirse como oficina central? Para resolver este problema Ud. deberla seguir estas instrucciones: 1. Tome un punto p a cualquier distancia de A y calcule el total de la distancias desde P a las cinco sucursales. 2. Calcule la suma de las distancias A de todas las sucursales (incluyendo la distancia de A a A); calcule el promedio de estas cinco distancias y llámelo “M”. Marque el punto correspondienteaMsobrelaautopistaycalculelasumadelasdistanciasdeMalascinco sucursales. 3. OrdenelasdistanciasdeA,B,C,DyEaAycalculeel~lordelamedianadeescas~nco distancias. Calcule la suma de las distancias del punto de la mediana a los otros cuatro puntos. 4. Compare, ahora, el total de las distancias a partir de P, de M y del punto de la mediana. $ZKXI es el menor de estos tres totales? El resultado de esta tarea lleva a inferir que en un conjunto estadístico, la suma de todas las desviaciones de los otros valores respecto al valor 2 de la mediana es menor (o igual) que la suma de todas las desviaciones de los valores con respecto a cualquier otro valor. En consecuencia, la desviación media respecto al valor de la mediana es menor (o igual) a la desviación media con respecto a cualquier otro valor. Se hace referencia a esto como a la propiedad minimal del valor z de la mediana. Puede ilustrarse geométricamente en el ejemplo anterior la propiedad minimal de la mediana y, por extensión, puede inferirse una prueba en el caso general. Los pasospara ello son los siguientes:
Concepne5~ticos adummsdeaprendizaje lento
163
1. Se ordenan los valores de las distancias de las sucursales con respecto a A como sigue: Lugar
Orden
A B C D E
1 2 3 4 5
Distancia (km) 0 20 28 58 89
2. Calculando el valor medio y el valor de la mediana, seobtienem = 39 y z = 28, de donde resulta que el “punto mediano” es, en realidad, la sucursal C. 3. LascincodistanciasrespectoaA,conjuntamenteconlasposicione.sdem ydezpueden presentarse mediante una grafica de barras, tal como se muestra, más abajo, en la Figura 1. 4. La Figura 2 se obtiene de la Figura 1 proyectando a la derecha las desviaciones de los valores asociados con A, B, D y E, a partir del valor z de la mediana. Se representan las desviaciones mediante segmentos de recta llenos, pero el mayor “sobre” z secombina con el mayor “debajo” de z, etiquetándolo como A/E, mientras que el segundo en valor sobre z secombina con el segundo en valor debajo de z, etiquetándolo B/D (es evidente que en el caso de más de cinco valores, se podrfa continuar con este procedimiento). 5. Se emplea el mismo procedimiento para representar las desviaciones de los valores respecto al valor medio m, lo que se muestra en la Figura 3. Una caracteristica tlpica del valor medio m es que la suma de los segmentos de recta que aparecen sobre m en la figura es igual a la suma de los segmentos de recta que aparecen debajo de m. Sin embargo, el total de las desviaciones respecto am resulta ser la suma de los segmentos A/E, B/D y C. Una comparación con la Figura 2 muestra que mientras que el segmento A/E está compuesto de diferente manera, su longitud es la misma en ambas Figuras. De igual forma, B/D es igual en longitud , en la Figura 3, al segmento B/D en la Figura 2, de donde resulta que el total de lasdesviaciones en la Figura 3 supera al total en la Figura 2 por la desviación C . 6. Se ha tomado, en la Figura 4, un punto arbitrario P a 45 km de Ay se representan las desviaciones de A, B, C, Dy E respecto a P en la misma forma que anteriormente. Los segmentos A/E y B/D son iguales a los de las Figura 2, pero están compuestos de manera distinta, y la suma de las cinco desviaciones, al igual que en la Figura 3, es mayor que en la Figura 2. 7. Si se elige al azar un punto Q (70) fuera del intervalo entre B y D, y se realiza el mismo procedimientoderepr~narlas&sviacionesrespectoaQ(Figura5),seencuentraque, además del segmento A/E se obtienen tres segmentos más, a saber, aquellos de B, D y C con respecto a Q, cuya suma es mayor que el segmento B/D en la Figura 2, dado que el segmento B de la Figura 5 es mayor que B/D en la Figura 2. 8. Al generalizar las consideraciones anteriores se reconoce que cuando se construye la suma de las desviaciones respecto a cualquier punto distinto de z, se obtienen por lo menos un segmento de desviación más que en la Figura 2. Esto muestra que la Figura 2 representa la situación mínima confirmando la propiedad minimal de la mediana. ._.--- ._--.~
__-~
_.<“I
164
EstodfsticaenInpriurnrir5nsuundmia
Conceptosestadisticos a alumrwsdeOprend&ielento
165
Comparación de muestras aleatorias - &soiaci&n mfdia y desvia4zih esthdar Todo conjunto de estadística puede generar una variedad de parametros y depende de la pregunta particular que se formule respecto al conjunto, si se emplea el valor máximo, et valor mfnimo, el valor medio, la desviación media absoluta, o la desviación estándar, para contestarla. El problema que sigue implica el empleo de la desviación media. Trece niños juegan al croquet en dos cuadros, uno de seisjugadores y otro de siete jugadores. La Tabla 6 muestra el número de golpes de cada integrante de los dos cuadros. Tabla 6. Golpes de cada jugador Cuadro 1 Niño
Cuadro 2 Niño
Número de golpes
29 31 30 26 27 24 20
A B
C D E F
G
Número de golpes
29 24 35 19 31 34
H
1 K L M
N
iQué cuadro ganó? Los niños no se ponen de acuerdo y sus argumentos son: L dice: “Yo tengo menos golpes que cualquier otro, de manera que ganó nuestro cuadro”. G dice: “No, K atajó más golpes que cualquier otro jugador, por lo tanto su cuadro ha perdido”. F dice: “Aún agregando los números máximo y mínimo a ambos cuadros y comparandolos, tu cuadro sigue perdiendo” H dice: “No, tú tiene que agregar todos los puntos a cada cuadm; entonces ganamos nosotros”. B dice: “Pero había solamente seisde ustedes. Nosotros teníamos siete jugadores en nuestro cuadro. Supongamos que todos los jugadores de cada cuadro tuviesen el mismo número de golpes. Entonces esto espara nosotros 187 + 7, pero para ustedes es 172+ 6. Entonces hemos ganado nosotros”. Aunque nadie lo sugirió, iqué cuadro habría ganado si los niños han tomado el valor de la mediana como criterio decisivo? Evaluar cada una de las sugestiones anteriores para ganar. iCuál propuesta enfatiza en mayor medida el desempeño de todo el cuadro? $Zuál da prioridad al desempeño individual de los jugadores? Un segundo problema de comparación se refiere a dos conjuntos de datos estadísticos que tienen la misma media y el mismo número de elementos. Estos datos se refieren a las calificaciones obtenidas en dos pruebas de matemática propuestas a veinticinco alumnos de una escuela. Los resultados fueron los siguientes:
-..--
.
.
.
.-...--I---.e.----
123456
CXificaci6n
L Númau de ahnos
1 6144
2 0
Lista 1
Calificaci6n
1 2 3 4 5 2
Número de abmnos
645541
Lista 2 El cálculo de la calificación media mostrara que su valor es 3 en ambas pruebas. Podría decirse muy bien que las calificaciones fueron igualmente buenas en ambas pruebas. Hay, sin embargo, diferencias significativas lo que puede verse cuando se comparan los correspondientes diagramas de bloques (Figura 1 y 2). Q5mo son estas diferencias? Número de &mx~~
Número 12 10 8 6 4 2
de alumnos
12 10 8Y
123456
Calificación
Fig. 6
Calificación
Fig. 7
Evaluación cuditutiva En la Lista 1, la mayoría de las calificaciones están cercanas a la media de los grados y pocas difieren mucho de ellas. En otras palabras, los valores de las calificaciones se acumulan alrededor de su valor medio. Pero en la Lista 2 se da el caso opuesto. Pocos de los valores de las calificaciones se sitúan cerca de la calificación media y muchas de ellas sesitúan lejos. En otras palabras, los valores de las calificaciones están muy separados o dispersos.
Evaluación cuantitativa Calcule para ambos conjuntos de datos lo siguiente: La diferencia entre los dos valores lfmite en la lista de posiciones (es decir, el rango). El número de valores de calificaciones que difieren del valor medio. La m5xima desviación de las calificaciones respecto a su valor medio. La suma de todas las desviaciones de las calificaciones con respecto al valor medio. La desviación media de las calificaciones respecto al valor medio.
Dos tareas más Vade sistemáticamente los datos de las dos muestras aleatorias de manera de ser capaz de tomar una decisión respecto a la utilidad de los cinco parametros estadísticos introducidos aqui para describir los datos referidos.
$26mo tendrla que considerarse un conjunto de datos estadlsticos tates que la desviación media de todos sus valores respecto a la media fuese cero?
Observaciones finales Muchos profesores han aprendido en la ptictica del aula que los alumna tienen éxito en captar conceptos estadisticos si ellos mismos participan en la resolución de problemas y si trabajan con los ejemplos que se les proponen. Al término de una serie de tarea que requieren diversas habilidades deberían resumirse los resultado, los conceptos y toda otra información que surja de tales tareas y todos estos elementos pueden ser comprendidos solamente después de haber concretado las tareas. Los alumnos se molestar5n en realizar este complicado trabajo solamente cuando se les desafíe con la asignación de tareas y de materiales estimulantes. Este puede ser material que los mismos estudiantes traen o material seleccionado de manera tal que el “medio ambiente de los estudiantes” o una “situaci6n matemática fascinante” proporcione el contexto de base.
Referencias Aebli, H. 1963. PsychologischeDidaktik [Didáctica Psicológica]. Stuttgart, Klett. Fricke, A.; Besuden, H. 1970. Matherwik. Elemente einer DWk WUI Methodik. [Matemática. Elementos de Didáctica Matemática y Metodologia]. Stuttgart, Klett. Pädagogische Hochschule Heidelberg (ed.). [n.d.] Einführun in die Statistik [Introducción a la Estadística]. Frankfurt/Main, Diesterweg. (Ziel Mathematikunterricht, 15). Pädagogische Hcchschule Heidelberg (ed.). [n.d.]. Zur FacMidakrik Mathematick: Typisierung conAufeaben ut&rund o~erariuerPrinzipien [Hacia la Didáctica de la Matetitica: Clasificación de los Problemas Matemáticos de acuerdo a los Principios Operatorios]. FrankfurtJMain, Diesterweg. (Ziel Mathematikunterricht, 5).
Parte 3 Conceptos teóricos
13. Los contracejemplos
necesarios para una enseñanza y un aprendizaje efectivos de la teoría de probabilidad Jodan M . Stoyarwv
La educación matemática ha experimentado, en los anos recientes y en muchos países, diversos cambios y modernizaciones. Existen varias y muy importantes razones para ello, pero no las discutiremos aquí. Y una consecuencia de estos cambios y modernizaciones ha sido un incremento en la enseñanza de la estadística. Es un hecho bien conocido, relacionado con esta situación, que muchas aplicaciones contempor5neas de la matemática están basadas en los métodos y en los resultados de la teoría de probabilidades y en la estadística matemática, en las que aparece, a menudo, el computador como una henamienta irreemplazable. Los cientfficos reconocieron, desde tiempo atras, el caticter estocásticode la naturaleza, particularmente de la física, de la quimica y de la biologia. Este hecho, conjuntamente con la necesidad de disponer de personas idóneas, condujo a la inclusión de elementos de probabilidad y de estadktica en el currlculo de la enset%mza secundaria y, como es natural, con la extensión de estos temas a las instituciones de nivel terciario, aunque es necesario reconocer que las universidades tienen una larga tradici6n en la ensefianza de la probabilidad y de la estadistica. La inclusión de este nuevo material en las escuelassecundariasha causado,sin embargo, algunas dificultades y acarreado algunos problemas. He aquCalgunos de ellos: Qué aspectos de la probabilidad y de la estadística resultan apropiados para estudiantes de nivel secundario? Qmo pueden enseñarse y aprenderse de manera efectiva? Qmo pueden ensetirse temas de esta naturaleza en combinación con los temas tradicionales de matemática? Recomendamos decididamente, que entre la variedad de publicaciones en este campo, las actas de las dos conferencias especiales dedicadas a la ensefianza de la probabilidad y de la estadktica (Råde, 1970; Bamett, 1982). Si bien es cierto que se han realizado progresos, resulta improbable que se hayan solucionado ya todos los problemas.
Contraeejemplos,
su significado y empleo
Una practica frecuente, en los cursos de introducción a la probabilidad y estadistica, es que tos estudiantes empleen una cantidad de tiempo evaluando las probabilidades y ocurrencias
..---.“.M --
---._---____
172
Conceptos tehicos
de diversas clases de sucesos aleatorios, los valores esperados y otras características numéricas de las variables aleatorias, lo que se hace, siempre, bajo ciertas condiciones o hipótesis especificadas. Se da, sin embargo y a menudo, el caso de que los estudiantes no tienen tiempo de analizar o de estimar el papel de estas hipótesis. Si se ha obtenido un resultado basado en condiciones necesarias y suficientes, entonces y como es natural, la situación resulta clara: todo cambio de las condiciones implica que el resultado es falso, y todo nuevo resultado, aún uno cercano al anterior, requiere nuevas condiciones. Surgen, además y de forma completamente natural, preguntas del tipo que se indica a continuación y cuyas respectivas respuestasresultan esenciales para poder lograr una comprensión cabal del material: 1. Si hemos encontrado que la condición C, essuficiente para la validez de cierto resultado R,, preguntamos, entonces, si la condición C, es necesaria para R,. 2. Si una cierta condición C, es necesaria para el resultado R,, LesC, una condición suficiente para el mismo resultado R,? Supongamos que en el Caso 1 la respuesta es “no” y que hemos demostrado, mediante un ejemplo específico, que la condición C, es suficiente pero no necesaria para la validez de R,. Resulta, entonces, que este ejemplo constituye un contra-ejemplo de la conjetura R,=KI,, lo que nos permite concluir que la implicación R, -C, no funciona bien en general. De manera análoga, si podemos construir, en el Caso 2, un ejemplo que muestre que la condición C, es necesaria, pero no suficiente, para asegurar la validez del resultado R,, llegamos, entonces, a un contra-ejemplo para la conjetura C, tiR,. La conclusión es que la implicación C, *R, no se cumple en general. Observemos que los Casos 1 y 2 anteriores son típicos, pero que no son los únicos para los cuales pueden construirse contra-ejemplos. Es obvio que puede analizarse la noción de contra-ejemplos con mayor detalle desde un punto de vista lógico, pero no intentaremos hacerlo aquí. El razonamiento anterior muestra que empleamos el término “contra-ejemplo” en su significado estándar, es decir, como seacepta generalmente en matemática (en aritmetica, álgebra, análisis, etc.). Cada contra-ejemplo proporciona una conclusión que, en un sentido, se opone a otra proposición o resultado. Los contra-ejemplos pueden ayudar a los profesores a presentar material que pueda aprenderse de forma interesante y convincente, lo que les brinda a los estudiantes la posibilidad de comprender mucho mejor el material. Además, el empleo sistemático de contra-ejemplos resulta esencial para desarrollar la capacidad de los estudiantes para pensar y para enfocar la matemática como una disciplina lógica. Es casi obvio que pueden estudiarse con éxito nociones y conceptos semejantes 40 mediante el empleo de contra-ejemplos apropiados. Mediante el termino noción “semejante” quiere significarse un concepto que se aplica a más de un resultado de una experiencia, pero que es de la misma clase que un concepto que funciona bien para resultados individuales. Más adelante aparece& ejemplos de conceptos de este tipo. Mi propia experiencia y las discusiones con colegas me llevaron a concluir que el esquema general que sigue es uno de los mejores caminos de enseñar y de aprender probabilidades y estadística y que es, además, aplicable a todos los niveles: Nociones y resultados básicos; conexiones con material estudiado previamente. Ejemplos para ilustrar las nociones y los resultados.
Contra-ejemplos adecuados tendientes a revelar las relaciones entre nociones y conceptos semejantes y para mostrar cómo diversas condiciones afectan la validez de los resultados. Las aplicaciones de la probabilidad y de la estadistica como herramientas poderosas para la construcción de modelos y para estudiar fenómenos complicados tomados del mundo real. Es obvio que existen contra-ejemplos en cualquier rama de la matemática. Pareceria, sin embargo, que los profesores (no s610en las escuelas secundarias sino, tambitn, en institutos de enseñanza superior y en las universidades) hacen muy poco uso de ellos en sus esfuerzos por lograr mejores resultados en su trabajo con los estudiantes. Existen varios textos excelentes y apuntes de clase sobre probabilidad y estadística pero que, desafortunadamente, 0 no incluyen ningún contra-ejemplo 0 incluyen solamente unos pocos, sin eníátizar su importante papel en casos particulares y en casos generales. Dedicaremoslapróxima secciónal análisis, utilizandocontra-ejemplos, de lanociónde independencia, una de las nociones fundamentales en probabilidad y en estadística.
Sobre la noción de “independencia”
en teoria de probabilidades
Con la finalidad de completar la presentación, describiremos brevemente los elementos basicos de todo problema que implique probabilidad. Es necesario definir o especificar las tres nociones siguientes: el conjunto de todos los resultados w de alguna experiencia; R = el conjunto de acontecimientos aleatorios (los subconjuntos de Q); Y = la medida de probabilidad definida para los elementos dey. P = En la primera etapa de la enseñanza de la teoría de la probabilidad, comenzamos considerando un Qfmito, por ejemplo f2 = (w,,..., w,), que conesponde a una experiencia (real o imaginaria) con un número finito n de resultados. En este caso puede tomarse y como el conjunto de todos los subconjuntos de R. La probabilidad P(A) de un suceso A E y resulta bien definida si conocemos la probabilidad P(wJ de cada uno de los resultados w,, 0,. -.*, wn. Recordemos que P(wJ > 0 para k = 1, .... n, que P(w,) + ... + P(wJ = 1 y ve P (AI = c P(ok). k:wke A En el caso particular en que P(w1) = .. . = P(wn) = lln, decimos que se trata de una experiencia aleatoria con un número finito de resultados y con probabilidad cl&ica. Obsérvese, sin embargo, que varias nociones y resultados importantes de la teor(a de las probabilidades pueden ilustrarse claramente, aún en este caso elemental. Esto último es, además, esencial en nuestro trabajo con estudiantes de entefianza secundaria, puesto que podemosutilizar solamente loque hanaprendidoen susleccionescorrientesdematemática. Desde este punto de vista resultan muy adecuados los modelos con probabilidad clásica. De las diversas nociones que intervienen en teoria de la probabilidad, hemos elegido analizar aquí la noción de “independencia”. Puede introducirse el concepto de independencia en el contexto de sucesosaleatorios, de variables aleatorias y de procesos eztocãsticcs. Como es bien sabido, la idea de independencia juega un papel fundamental en toda
Conceptas tebriws
174
la teoria de la probabilidad así como, también, en la estadística matemática. Varios resultados de la teoria de probabilidad y de la estadlstica que se-aplican exitosamente en otras disciplinas están basados, enteramente, en la hipótesis de la independencia de los sucesos,de las variables, etc., que se consideran. Se dice que dos sucesosA y B de y son independientes si P(AB) = P(A)P(B) (1) Se definen, además, los sucesosA, ,..., An E y como mwanente independientes si para K de ellos, A,,, A,, ,..., AiL, donde 2 I k 5 n y 1 5 i, I i,, ... I i I n, se cumple la regla de multiplicación siguiente: PM,,A,,, ...>A,,) = PM,,) P(A,,)... PM,). (2) Si se satisface la relación (2) en el caso particular de k = 2, decimos que los n sucesos dados AI,..., An son Lndependienesde a pares. Hemos introducido, de esta manera, dos nociones “semejantes”, como son la de <‘independencia mutua” y la de “independientes de a pares”. Y tratamos de poner de manifiesto, en los ejemplos que siguen, las relaciones entre ambas, así como de presentar, también interpretaciones y conclusiones pertinentes. Ejemplo 1. Desde el punto de vista histórico, el primer ejemplo dirigido a ilustrar la diferencia entre independencia mutua e independencia de a pares, fue dado por Bemstein (1928). Consideremos su ejemplo. Supongamos que tenemos una caja con cuatro tarjetas con los números 112,12 1,211 y 222 y se elige una tarjeta al azar. Consideramos los tres sucesossiguientes: A, = 1 aparece en el primer lugar ,4 = 1 aparece en el segundo lugar y A, = 1 aparece en el tercer lugar . Puesto que cada uno de los resultados de nuestra experiencia tiene probabilidad 1/4, entonces se tiene, obviamente, P(A,) = P(AJ = P(A,) = 2/4 = 1/2 (3) Y
P(A,AJ
= P(A,A,) = P(qA3)
= 1/4
(4)
Las relaciones (3) y (4) implican que los tres sucesosA,, 4 y A, son independientes dos a dos. Sin embargo, A, A, A, es un suceso imposible y, por lo tanto, P(A,qA,)
= P(0) = 0 f 1 = P(A,)P(AJP(A,)
(5)
Comparando (5) y (2) concluimos que los sucesos A,, A, y A, no son mutuamente independientes a pesar del hecho de que son independientes dos a dos. Ejemplo 2. Tomemos tres letras, por ejemplop, b y c y consideremos las seis permutaciones abc, acb, bac, bca, cab, c4x1,aslcomo los tripletesuuu, bbb y ccc. Sea W el conjunto de estos nueve tripletes (los nueve resultados de una experiencia) y supongamos quecada uno tenga una probabilidad de ocurrir de 1/9. Definimos los sucesos 4 = (el k-ésimo lugar está ocupado por la letra a), k = 1, 2,3. Se tiene entonces obviamente P(A,) = P(AJ = P(A,) = 1/3
(6)
Y P(A,AJ
= P(A,A,) = P(hAJ
= 119
(7)
Enseñanza
y apendi@e
efeaivos
de kz teoh
de probabilidad
175
Además, la ocurrencia del suceso A,Az implica la de A, y por lo tanto
P(A,qA,)
= P(A&)
= 1/9 # 1/27 = P(A,)P(AJP(A,)
(8)
En virtud de (8) los tres acontecimientos A,, Az y A, no son mutuamente independientes a pesar del hecho de que ellos son independientes dos a dos, lo que es consecuencia de (6)
y(7). Los ejemplos 1 y 2 son, obviamente, muy similares. La diferencia esencial entre ellos es que, en el ejemplo Bemstein, el suceso A, Az A, es imposible, ver (5 ), mientras que en el segundo ejemplo, el suceso A, Az A, tiene una probabilidad determinada, ver (8). Podemos formular, entonces, la siguiente conclusión: si tres sucesos aleatorios son mutuamente independientes, entonces por definición, ver (2), ellos son independientes dos a dos. Los Ejemplos 1 y 2 muestran que, en general, la reclproca no es cierta. Es decir, la independencia dos a dos de sucesosaleatorios no implica su independencia mutua. Ejem& 3. En cada uno de los dos ejemplos anteriores trabajamos con tres sucesos aleatorios. El próximo paso es construir n sucesosque sean independientes dos a dos, pero tales que ninguna tema de ellos sea mutuamente independiente. Sea el conjunto R conteniendo (n ! + n) resultado, es decir, las n ! permutaciones de los slmbolos a , , .... any las n repeticiones 4pt..a, con k = 2,. . . , n. Supongamos que cada una de las permutaciones tenga la probabilidad l/nz (n-2)!, mientras que cada una de las repeticiones tiene probabilidad l/n2. Consideremos, entonces, losn sucesossiguientes: 4 = (a, aparece en el lugar k-ésimo), k=2 ,..., n. Esfacil calcular que P(4) = (n-l)!/n2(n-2)! (a partir de las permutaciones) + l/nz (a partir de las repeticiones) = n-lln, + l/n* = l/n, k = 1, .... n; P (A,A,), a partir de las repeticiones, = l/nz, i #j, i, j, = 1, .. .. n; P(A,A,A,) a partir de las repeticiones = l/nz, i zj, j + k, k +i , i, j, k = 1, .... n. Resulta, entonces, obviamente que se encuentra que
P(AiA,) = P(A,)P(A,) parai#j
(9)
NA,A,q) #P(A,)P(A,)P(A,.)
(10)
Y
para todas las elecciones de i, j, k donde i + j, j #k, k + i. La conclusión es clara: la relación (9) nos dice que los sucesos A,, . .. . Ar, son independientes dos a dos, mientras que la (10) nos dice que no se cumple la regla de multiplicación para tres cualesquiera de ellos; o sea,tres cualesquiera de losn sucesosno son mutuamente independientes. Y aún más, resulta que ningún m, 4 I m I n de los sucesos dados son mutuamente independientes Es facil reconocer que el Ejemplo 3, cuya idea se debe a Feller (1968), es una generalización del Ejemplo 2, pero con una diferencia. Los resultados del conjunto R en el Ejemplo 2 son igualmente probables, de manera que en el Ejemplo 2 estamos dentro del marco de la probabilidad clásica, mientras que en el Ejemplo 3 los resultados de B tienen probabilidades diferentes. Desde luego que esuna ventaja, tener buenos ejemplos de ambos tipo. Ejemplo 4. Terminaremos el análisis de la independencia de sucesosaleatorios considerando el siguiente ejemplo interesante.
Conce~
176
teóricos
Supongamos dados n sucesos,A,, .... A,,. Decimos que ellos son independientes de a m si un número k cualquiera de ellos son mutuamente independientes (en el sentido de la relación (2)),donde21klmym
(11)
P(A,) = 1/2, .... P(A,.,) = 112
Además, el número total de los sucesos2n-1y el número de resultados favorables para el suceso A,, es igual a la suma
(y)+(y)
+(y) +...
Mediante la fórmula binomial se encuentra, fácilmente, que esta suma es igual a p2. Por lo tanto P(A,) = 1/2 (12) Estamos ahora en condiciones de establecer que
PM ,...A..,A,) f PM,)...P(A,.,P(A,)
(13)
En efecto, en virtud de (ll ) y ( 12) el segundo miembro de ( 13) es 2”. Pero, puesto que la probabilidad condicional P(An/A,...A,.r) = 1 si n es impar, y es 0 si n es par, se tiene para el primer miembro de (13) - (n-l) P(A,. . .A,I&)
= P(At..
.Aml)P(A,
/Al..
.A,t)
= ;
>
sinesimpar sin espar
Queda asi establecida la relación (13). En particular, la (13) muestra que A,, .... Am-,,AD no puede ser una colección de sucesosmutuamente independientes.
~n.wñan~a y apwndi7aje efechos de kl teorfa de pdxzb~
177
Verifiquemos, ahora, que los sucesos A, , ..., A,,. ,, An son independientes de u m para m = 2,3, ...n- 1. Para ello es suficiente comprobarlo para m = n-l. Tomemos, entonces, (n-l) cualesquiera de estosn sucesos. Si hemos elegido A,, .... An.,, ellos son mutuamente independientes dado que los ensayos son independientes y para cualquier A,r, .... A,, con 2 I k I n-l y 1 I i,<...
PM,,, ...>A,,) = P(AJ, ...>PW,,)
(14)
Queda por considerar la elección de (n-l) sucesosque incluyen a An y (n-2) sucesos tomados entre A,, .... A,.,. Podemos tomar, por ejemplo, 4, A,, .... A,,, y A,,. Y alcanza verificar, respecto a su independencia mutua, la validez de la relación P (A ,,...AjtA,) = P(A,,)... PM,,) (A,) dondelsk sn-1,j ,,..., j,sonk Indicesentre 2 ,..., n+lcon2lj,<...
= 2-‘2-l = 2”“’
Por lo tanto, se satisface la igualdad (15) y las relaciones (14) y (15) significan, conjuntamente, que los sucesosA,, .... A,,. ,, An son independientes de D (n- 1). La conclusión fina1 es que aún la independencia de a n-l de n sucesos aleatorios no implica su independencia mutua. Ejem& 5. Una observación de conjunto a los ejemplos vistos muestra que la regla de multiplicación (ver relación (2)) resulta esencial para que una colección de variables aleatorias seamutuamente independiente. En el Ejemplo 4 hemos visto, en particular, que n sucesospueden ser independientes dea (n- 1) sin satisfacer la regla de multiplicación (ver (13)). Formulamos, entonces, la siguiente pregunta: Sean n sucesosaleatorios A,, .... A,, definidos en algunas experiencia y que satisfacen la regla de multiplicación P(A ,...AJ = P(A,)...P(A,).
(16)
iImplica la igualdad (16) que estos n sucesosson mutuamente independientes? Nos sentimos tentados, desde un punto de vista intuitivo, a contestar “Si”, pero y sorprendentemente, la respuesta correcta es “No”. Ilustremos esta situación realmente interesante. Supongamos una urna conteniendo 64 bolas: 15 blancas, 15 negras, 15 rojas, 1 verde y 18 naranjas. Se elige una bola al arar y puede ocurrir uno de los sucesossiguientes: W = (blanca), B = (negra), R = (roja), G = (verde), 0 = (naranja).
Definamos tres nuevos sucesosque denominaremos X, Y y 2 donde X=WuG,Y=BuG,Z=RuG Es fácil determinar que P(W) = P(B) = P(R) = 15/64; P(G) = 1164; P(O)= 18/64, Entonces, P(X) = P(Y) = P(Z) = 1134; P(Xm) = 1/64 y, por lo tanto,
Resulta así, que se cumple la regla de multiplicación para los sucesosX, Y y 2. Investiguemos, ahora, si estos sucesosson, o no, mutuamente independientes, para lo que es suficiente establecer que ellos son independientes de a pares, es decir, que cada uno delospares(X,Y), (Y,Z), (2,X.) estif ormado por sucesosindependientes. Tomemos, por ejemplo, (Y,Z). Puesto que YZ = G vemos, entonces que
P(YZ) = 1164f 1/16 = P(Y)PtZ) No es necesario considerar, entonces, los otros dos pares para poder concluir que los tres sucesos X, Y y 2 no son independientes dos a dos. Por lo tanto, yen general, la regla de muitiplicación (16) para los sucesosA,, ..,, A,, no implica que estos sucesossean mutuamente independientes
Observaciones finales Me he concretado a tratar, en este capitulo y con algún detalle, únicamente la noción de independencia considerando, además, esta noción solamente para el caso de sucesos aleatorios y no para variables aleatorias y para procesos estocásticos. Esta elección fue motivada por mi deseo de poner la discusión al alcance de la escuela secundaria. Pero es obvio que puede utilizarse, también y con éxito, este material en otros cursos en instituciones de educación superior y en las universidades. Sin embargo, debenan consultarse otras fuentes, particularmente el libro clásico de Kac (1959). En Falk y Bar-Hillel (1983), se d iscuten, tambien, diversos aspectos interesantes de la noción de independencia, mientras que en Szekely (1986) pueden encontrarse varios resultados inesperados tales como paradojas. Creo, sin embargo, que estas tres referencias deberlan ser consultadas por profesores más bien que por estudiantes Cada uno de los Ejemplos 1 a 5, que se consideraron más arriba, sirve como un contraejemplo para alguna conjetura que puede construirse en base a la intuición o en base a mi conocimiento (restringido) del tema. Los ejemplos que se discutieron no son difíciles y todos pueden utilizarse en el trabajo de aula. En Stoyanov (1987) pueden encontrarse varios otros contra-ejemplos útiles, ast como suscorrespondientes explicaciones y referencias precisas. Debe observase, además, que se presentan hermosos contra-ejemplos de la
propiedad de independencia para conjuntos de variables aleatorias. Wang (1979) ha descripto un ejemplo de este tipo referido a n variables aleatorias discretas que son independientes de a (n- 1) sin ser mutuamente independientes. Existen también ejemplos para el caso absolutamente continuo (por ejemplo, para la distribución uniforme, la distribución normal, etc.) (Ver Stoyanov, 1987). Estos últimos ejemplos están dirigidos principalmente a los estudiantes universitarios, aunque algunos resultan necesarios para los profesores de escuela secundaria. El lector puede encontrar muchos otros contra-ejemplos en las referencias citadas más arriba. Algunos de ellos, siendo aún más complicados, pueden, no obstante, ser completamente adaptados para utilizar solamente matemática escolar estándar. Debe observarse que existen, también, contra-ejemplos muy útiles en la estadística matemática, pero este campo importante necesita un estudio por separado. Los contra-ejemplos no ~610existen en teoría de probabilidades, sino que existen en toda rama de la matemática donde juegan un papel igualmente importante. Losestudiantessesientenintrigadosporlapreocupacióndeencontrarcontra-ejemplos, y un trabajo sistemático de esta naturaleza ayuda a los estudiantes a desarrollar el hábito de formular preguntas razonables y de encontrar, despues, las respuestascorrectas correspondientes. Los alumnos disfrutan realizando trabajosen forma independiente y no cabe duda de que ello incrementa la cantidad y la calidad de su conocimiento matemático. Y esto los prepara, a su vez, de mejor forma para el trabajo posterior en matemática y en sus aplicaciones así como, también, en otros campos de naturaleza exacta del quehacer humano.
Referencias Bamett, V. (ed.). 1982. Temhing Scatisticsin Schools throughout the worfd. Voorburg, Instituto Internacional de Estadística. Bemstein, S. N. 1928. Tetilaueroiutnostei [Teoría de Probabilidad]. Moscú, Leningrado, Gostechizdat. (En ruso). Falk, R.; Bar-Hiilei, M. 1983. Probabilistic Dependence Between Events. Two-Year Cokge MathematicsJoumul (Washington, D.C., Asociación Matemática Americana), Vol. 14, NP 3, pp.240-7. Feller, W. 1968. An Introduction ta Probabilíty Theory und its Applications. Vol. 1, Nueva YorkJohn Wiley. Kac, M. 1959. Statistical lndependence in Probabilicy, Analysis and Nurdxr Theory. Washington, D.C., Asociación Matemática Americana. Råde L. (ed.). 1970. The Teaching of Probability and Statistics. Estocolmo, Almqvist & Wiksell. Stoyanov, G. 1987. Counter Exam&s in Probubility. Chichester, John Wiley. Szekely, G. 1986. Parudoxes in Probubility Theory und Mathematicd Stacistics. Budapest/ Dordrecht, Akadémiai Kiadó/Reidel. Wang, Y. H. 1979. Dependent Random Variables with Independent Subsets. Americun Mathematical Monthly. (Washington, D.C.), Vol. 86, pp.290-2.
14. Inferencia en la incertidumbre probabilidades condicionales
vía Ruma Fcdk
Muchas preguntas relativas a diversos sucesos, ya sea de la vida diaria o en contextos profesionales y académicos reciben, a menudo, por respuesta “depende...“. Y existe una buena razón para ello: es que deseamos condicionar nuestras respuestas en función de información que resulte relevante. En consecuencia, expresamos nuestra cuantificación de la incertidumbre relativa al suceso en cuestión como una probabilidad condicional. En principio, puede concebirse toda probabilidad como una probabilidad condicional; aún la denominada probabilidad absolt~.~~ (o incondicional), esta condicionada por el espacio-muestra en el que se definen los sucesos (Lindley, 1965, pp.lO-11). Además, cuando se acumulan datos en el proceso de aprender de la experiencia, estamos actualizando continuamente nuestro bagaje de conocimientos modificando la probabilidad condicional de los sucesosque se están estudiando empleando, para ello, toda la información de que disponemos (Falk, 1983a; Phillips, 1973, pp.56-90). Deseo discutir en este capitulo, dos caracterlsticas fundamentales relativas a las probabilidades condicionales mediante la consideración de varios ejemplos. Examinare, en primer término, la cuestión de precisar lo que constituye informaci6n relevante de acuerdo a la cual deberiamos condicionar el calculo de probabilidad. iDeberla ser ella el resultadode un sucesoanterior? iPuedeconstituir información causal?Ensegundo termino, analizare la ambigüedad relativa a lo “dado” en problemas de historia de probabilidad. Este análisis se extiende al problema de definir la experiencia estadlstica y el espacio-muestra enumerando sus resultados.
Condicionalidad
no es precisamente causalidad
Un problema intriiunte Consideremos el ejemplo siguiente (Falk, 1978, p. 46,1979). Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras y extraemos, sin mirar, dos bolas, una despds de la otra y sin reemplazo. Preguntamos, en primer término, respecto a P(W,JW,), es decir, ~cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca cuando la primera era blanca? Los
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Conce~ tehicos
estudiantes contestan correctamente, y con facilidad que es 1/3. Preguntamos, en segundo lugar, acerca de P(W,/W,,). Es seguro que esta pregunta provoca una viva discusión en la clase. Considkela con sus alumnos. Esta es una cuestión apropiada para tratara todos los niveles de ensefianza, comenzando con aquellos alumnos que terminan de enfrentarse con la idea de probabilidad condicional.
Revisic% de probabilidades y ei eje clef tiempo Algunos estudiantes llegan al extremo de rehusarse a considerar el problema, considerandolo sin sentido, y llegan, aún a indisponerse conmigo. Ellos sostienen que condicionar la probabilidad del resultado de una extracción respecto a un acontecimiento que ocurre después no es licito. Entre los que responden, la mayoria da la respuesta 1/2, argumentando, como forma típica que en aquella etapa (antes de la primera extracción), no se ha realizado, todavia, la segunda extracción y que “la primera bola no se preocupa si la segunda bola es blanca o negra”. Esto indica que basan su respuesta únicamente sobre la composici6n de la urna al comienzo de la experiencia, no teniendo en cuenta la información relativa al último resultado. Una respuesta apropiada para esta afirmación es la siguiente: “en efecto, la primera bola no sepreocupa si la segunda es blanca o negra, pero nosotros SC”. El cotazón del problema radica en que esti dirigido a nuestro estado de conocimiento. Ya hablamos pasado la etapa inicial cuando nos enteramos que el resultado de la segunda extracciõn fue una bola blanca. Esta información descartó una bola blanca de los resultados posibles de la primera extracción, que son, ahora; una blanca y dos negras y, por lo tanto, P(WJW,,> = 1/3 (precisamente como P(W,JW,)). Un acontecimiento que ocurrió más tarde que el acontecimiento propuesto puede, por lo tanto, resultar relevante para nuestra inferencia probabilistica y es perfectamente legftimocomoacontecimientocondicionante. Y podría resultar informativo, en el sentido de cambiar nuestros puntos de vista, mientras exista una dependencia estadistica entre los dos sucesos. No sepuede evitar inferir de un Item de conocimiento anterior a uno posterior, pero los componentes de la cadena de inferencias pueden ser sucesosen cualquier orden temporal (Kelly y Zwiers, 1988). Las respuestas verbales de los estudiantes, especialmente su rechazo a considerar evidencias que ocurren después del suceso juzgado, reflejan su razwurnienm causal. Mientras que el resultado de la segunda extracción dependen en forma causal del resultado de la primera extracción, la reciproca no es cierta. Y aún, todavia, el impacto de información W,, sobre W, es el mismo que el de W, sobre W,,. Sin embargo, estos dos problemas no se perciben sicol6gicamente como simetricos. Mientras que la primera inferencia causal es natural yresultacompatibleconel ejedel tiempo,lasegunda“inferencia hacia atnís”parece crear una dificultad dado que reclama un razonamiento probabilktico que es indiferente al orden temporal. Einhom y Hogarth argumentan, en un artículo relativo al juicio de causa probable, que “mientras que el orden temporal afecta en gran medida los juicios causales, no juega ningún papel en la teo& formal de la probabilidad. Esto sugiere que probablemente haya más conflicto y confusión en los juicios de probabilidad donde se destaca el orden temporal... Es claro que, el orden temporal es una indicación importante difkil de ignorar, aún cuando pueda ser importante hacerlo” (Einhom y Hogar& 1986, p.9). El problema anterior ilustra con precisión su análisis así como las respuestas que sugiere.
Inferenciaen la incer&mbre vfizpSobabil&desctmd,icim~ale~
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Presentación de la solución en el aula Aunque el lector pueda estar convencido, por el momento, de la igualdad P(W,,/W,) = P( W,/W,,) = lI3, esconveniente considerar unos pocos métodos didácticos para superar las objeciones de los estudiantes y para clarificar la solución en clase. Un camino simple para obtener una primera idea de lo que es la respuesta seria realizar la experiencia. Para ello repetimos vanas veces el ensayo básico compuesto de dos extracciones - hechas sin mirar y sin reemplazo - de una urna que contiene dos bolas blancas y dos bolas negras, registrando cuidadosamente los resultados de la primera y de la segunda extracción. Consideramos, despues, solamente aquellos ensayos en los que la segunda extracción produce una bola blanca. Sea N (W,,) el número de estos ensayos, y contamos cuantos de ellos produjeron blanco en la primera extracción. Denotemos aquel número por N( W, n W,,). Calculamos, ahora, la razón N(W, n W,,)/N(W,,) como una aproximación de P( W,/W,,). Cuanto mayor seael número total de ensayos, máscerca estara esa razón de un tercio. El procedimiento experimental esbozado tiene por funci6n proporcionar una aproximación congruente con la solución correcta. Este procedimiento no puede, por sls610, convencer al estudiante de la relevancia del resultado anterior, W,,, para la probabilidad de W,. Sin embargo, señala claramente el sub-espacio muestra dentro del cual buscamos el suceso previsto. Restringiendo nuestra atención ~610a los N(W,,) ensayos, en los que la segunda extracción producla una bola blanca, se enfatiza el papel de W,, como un suceso condicionante. Sin embargo, la demostración siguiente destaca directamente el significado de P(W,/ W,,). Todos observan la introducción en una urna opaca de dos bolas blancas y de dos bolas negras. Despu& de sacudir la urna, extraemos una bola y, todavia sin mirar, la ocultamos en nuestro bolsillo. Ahora continuamos y extraemos al azar una segunda bola. Esta vez mostramos la bola a la clase y ella es, digamos, blanca. La pregunta ahora es: $Xl es la probabilidad de que la bola que está en nuestro bolsillo sea también blanca? Este procedimiento puede ayudar a los estudiantes no s6lo a captar el significado de P( W,/W,,) sino, también, por que ella debe ser un tercio. Un cambio menor en la estructura del problema podt.á convencer al estudiante que es todavía escéptico llevando la situación al extremo. En este caso es más fácil aceptar la relevancia de la información “W,,” para la probabilidad de WI, esto es, comprender que P(W,/W,,) = 0, mientras que P(W,) = 1/2. De forma alternativa, podemos mantener la estructura de la urna en la misma forma que en el problema original, pero el experimento consistira, ahora, en extracciones sucesivas sin reemplazo hasta que se extraigan las cuatro bolas. Si informamos, ahora, a los estudiantes de los resultados de la segunda, de la tercera y de la cuarta extracción, resulta claro que esta información hace desaparecer toda incertidumbre relativa al resultado de la primera extracción. reconociendolo sedesprende fácilmente que también la información parcial respecto a resultados posteriores (es decir, W,,) debe tener el impacto debido sobre la probabilidad del suceso incierto W,. Pueden adaptarse a diferentes clases otras variaciones del problema y otros métodos de solución, de acuerdo con el nivel y el inter6s de los estudiantes. Borovcnik (1988) sugirió un mttodo interesante (apropiado para estudiantes avanzados) de resolver las dificultades de los estudiantes cuando se les pedía condicionar la probabilidad de W, en la ocurrencia de W,,, considerando la simetrta en la dependencia probabilística de los dos sucesos.
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conceptostehricos
En varios campos de la ciencia se infiere de un acontecimiento posterior la naturaleza de un suceso anterior. Además, las personas encuentran situaciones en su experiencia diaria en la que seutiliza información recientemente obtenida para ajustar evaluaciones de la probabilidad de sucesosprevios. El profesor puede capitalizar la familiaridad que existe en t-ales practicas enriqueciendo la discusión sobre la relevancia que tienen resultados posteriores para sucesos anteriores. Asi, por ejemplo, los hallazgos de las excavaciones arqueológicas arrojan nueva luz sobre acontecimientos históricos que tuvieron lugar cientos o miles de años antes. En otro contexto, aunque las enfermedades son las causas y los sintomas son los efectos (las enfermedades se producen primero y los sfntomas les siguen), el procedimiento de diagnóstico médico asigna probabilidades a las enfermedades sobre la base de la determinación de sus síntomas.
Inferencia causal versus inferencia diagnóstica Aún cuando pueda reconocerse la relevancia de la evidencia colocada más tarde en el eje del tiempo que el sucesojuzgado, puede asignársele un peso insuficiente en relación a una evidencia causal igualmente informativa que se coloca naturalmente antes, tal como se demuestra más abajo. Tversky y Kahneman ( 1980) investigaron los juicios de la probabilidad condicional (P (X/D) de algún acontecimiento previsto X, sobre. la base de algunos datos D. Ellos distinguIan, para un análisis sicológico, entre diferentes tipos de relaciones que el juez puede percibir entre Dy X. Si sepercibe D como una causa de X, ellos serefieren a D como a un dato uxusal. En cambio, si se trata a X como una posible causa de D, se refieren a D como a un dato diagndstico. Einhom y Hogarth (1982) establecen la misma distinción en su trabajo sobre predicción, diagnosis y pensamiento causal en el pron6stico. En un tratamiento normativo de la probabilidad condicional, no cuenta la distinción entre los varios tipos de relación de D a X y el impacto de los datos depende solamente de su capacidad informativa. Contrastando con ello, Tversky y Kahneman (1980) mostraron que el impacto sicológico de los datos depende fundamentalmente de su papel en el esquema causal. Debido a la prevalencia de los esquemas causales en nuestra percepción del mundo, los datos causales tienen un impacto mayor sobre nuestra inferencia probabilistica que otros datos de igual contenido informativo objetivo. Estos autores pedía que se compararan dos probabilidades condicionales P(Y/X) y P(W Y) para un par de sucesosX e Y efectivamente relacionados tales que (a) X se considere naturalmente como una causa de Y y (b) las probabilidades marginales de los dos sucesos son iguales. La última condición implica que P(Y/X) = P (X/Y) (tal como en el ejemplo de las dos extracciones). La mayorla juzgaba la relación causal como másfuerte que la relación (diagnóstica) inversa y afirmaban, erróneamente, que P(Y/X) > P (WY). Asl, por ejemplo, la probabilidad de que una ni Aa tenga ojos azules si su madre tiene ojos azules sejuzgó mayor que la probabilidad de que la madre tenga ojos azules si su hija tiene ojos azules, aunque se considerasen iguales las proporciones individuales de ojos azules en las dos generaciones. Volviendo al ejemplo de las dos extracciones, podria reemplazarseX por Wl e Y por W,,. Aqul, además, P( W,) = P( W, 1,) pero en contraste con el caso del color de los ojos de hijas y madres, estos dos sucesosestan correlacionados negativamente. Por lo tanto, la mayoría (verFalk, 1979) pretendlaque P (W,,/W,) < P (W,/W,,) y no comprendía la igualdad de estas dos probabilidades condicionales inversas. Este ejemplo proporciona, además, un caso
Inferencia en fa mcemdumbrc da probabilidcldescadiciaales
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extremo del mayor impacto sicológico de la evidencia causal en relación a la evidencia del diagnóstico equivalente debido a que se niega completamente la relevancia de la última clase de evidencia. No ~610se ajustó insuficientemente la probabilidad de W, cuando W,, estaba dada, sino que no secambió en nada. Se evalúo P ( W,/W,,) como igual a P (W,). Para decirlo de otra forma, se ignoró totalmente a W,, como evidencia diagnóstica.
Problemas de historia como experiencias estadisticas identificación del sucesocondiciununte En muchos problemas concretos resulta, a veces, poco claro cómo utilizar los datos para poder calcular una probabilidad condicional del suceso previsto, y la mejor manera de demostrar esto se logra recurriendo a algunos rompecabezas famosos (Bar-Hiilel y Falk, 1982; Betteley, 1979; Freund, 1965; Mosteller, 1965, pp.28-9). Consideremos, por ejemplo, el problema bien conocido de las tres cartas. En un sombrero hay tres tarjetas; una es azul por ambos lados, otra es verde por ambos lados y la tercera es azul de un lado y verde del otro lado. Extraemos una tarjeta sin mirar y la colocamos sobre la mesaen la posición en que salió. Si sali6 con un lado azul para arriba, jcuál es la probabilidad de que el lado oculto sea tambien azul? La mayoría de las personas contesta espontáneamente que es 1/2, basando su cálculo en el suceso“la tarjeta de doble faz verde” está descartada y argumentando que cada una de las dos tarjetas restantes tienen igual probabilidad de ser la que esta sobre la mesa. Aunque la deducción de que la tarjeta de doble faz verde no puede ser la que está sobre la mesa es correcta, ese no es el suceso sobre el cual se debe basar la probabilidad del suceso previsto. Hay seis resultados elementales del experimento estadístico, a saber, las seis faces de las tres tarjetas, y cada faz es un candidato igu&eme probable de aparecer hacia arriba sobre la mesa,como hecho garantizado or el proceso experimental relatado. Obtuvimos una tarjeta con “la faz azul hacia arriba” y es este suceso sobre el que deberíamos basar la probabilidad de “azul del otro lado”. Este suceso reduce, por sí mismo, las tarjetas posibles a dos y las posibles faces azules hacia arriba a tres. Dos de los tres resultados en el sucesocondicionante tienen azul en la cara oculta y uno tiene color verde, por lo tanto, la respuesta es 2/3. He encontrado, recientemente, un problema de la vida real que era matemáticamente isomorfo al problema de las tarjetas. El problema se refiere a una mujer que espera hijos gemelos. Se sabe a @wi, que las tres combinaciones posibles de gemelos - dos varones, dos niños, un varón y una niti - son equiprobables (Stem, 1960). Se realiza una prueba cromosoma1 con dlulas tomadas al azar de un amnión (tambien tomado al azar), y el resultado indica que es un varón. $Iuál es la probabilidad de que la mujer este esperando dos varones? Sabemos, por analogra, que aunque sea cierto que la posibilidad de dos nifias esta descartada por el resultado de la prueba cromosomai, las dos posibilidades restantes no son más igualmente probables. Si la mujer lleva dos varones, el resultado de la prueba es dos veces másprobable que en el caso de que este esperando un varón y una niña (en efecto, el resultado real es una certeza en el primer caso y s6lo un “cara o cruz” en el último). Por lo tanto, la probabilidad posterior de “dos varones”e.s 213. La cuestión secomplica cuando los gemelos están presentes en un único amnión. Sin embargo, puede desecharse este caso puesto que s6lo una minoria de gemelos idénticos tienen un sólo amni6n (ver Stem, 1960. p. 536).
conceptoste6ricos
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La principal lección a aprender de las dos versiones del problema de las tres tarjetas es que la probabilidad del sucesoprevisto debe basarseen el sucesoinmediato que proporciona el dato del problema y no sobre algún suceso inferido. El suceso condicionante no debe coincidir con la conclusión valida “la tarjeta de doble faz verde esta descartada” o “dos niñas están descartadas”, sino que debe estar directamente definido por el procedimiento experimental que definla el problema, esto es, “una cara seleccionada al azar de una carta sacada al arar es azul” o “un feto seleccionado al arar de un embarazo de gemelos es un var6n”. El método exacto mediante el cual obtuvimos los datos resulta crucial para la determinación de nuestro sucesocondicionante. Lo que importa no es s610loquk sabemos, sino también, c6rnc lo sabemos.
Cticulo Bayesiano Puede formalizarse el razonamiento anterior aplicando el Teorema de Bayes a cualquiera de las dos versiones del problema. Denotemos por BB, GG y BG respectivamente, siendo B = nino y G = niña, las tres posibilidades de bebes gemela-dos varones, dos niñas, un varón y una niña. A priori, P(BB) = P(GG) = P(BG) = 113,esdecir, ellos son equiprobables (las mismas notaciones y las mismas igualdades seaplican a las tres tarjetas de las que sesaca una al azar). Indiquemos con b el resultado del test cromosoma1 en el que se encuentra, al arar, un feto correspondiente a un niño (o la observación que la cara de arriba, determinada alazar,dela tarjetaesazul). Dadoaqueldato,estamosinteresados,ahora,enlaprobabilidad condicional (posterior) de que ambos gemelos sean varones (la tarjeta es la de doble faz azul), es decir, en P(BB/b) Los componentes que faltan para el c5lculo requerido son las probabilidades condicionales (plausibilidades) de obtener nuestra observación bajo todas las situaciones posibles: P(b/BB) = 1, P(b/GG) = 0, P(b/BG) = 112. Por la fórmula de Bayes se tiene:
’ (BBb
) =P (mB)
P (BB)=
P(h’BB)P P (bxx;)P
(BB)
(GG ) + P (kBG)P
(BG)
=
2 1 x ll3 1 x 1B + l/z x IB = 3
La realización de estos c$lculos pcdtia ser un buen ejercicio para realizar en clases que ya han visto el teorema de Bayes. Pero, sin el empleo de aquella fórmula, pueden comprenderse bien el análisis y las conclusiones considerados a nivel informal.
El significado del experimento estadístico Tanto en los textos sobre probabilidad como en las aulas, abundan los problemas relativos a las distribuciones del sexo de los niños en las familias, los que pueden equipararse con problemas relativos a monedas y a dados. El nacimiento de un nifio es una “experiencia estadbtica” en la que se da la posibilidad de dos resultados casi igualmente probables, y dos nacimientos cualesquiera son independientes entre ellos con respecto al sexo del recién
h+wncia en kaincertjdumbre vfa pobabilkhdes condicionales
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nacido. A pesar de esta aparente simplicidad, aún los problemas relativos a dos niños pueden resultar muy intrigantes al punto de haber llegado a constituir el foco de largas discusiones (Bar-Hillel y Falk, 1982; Falk, 1978, pp.68-9; Falk, 1983b; Feller, 1957, p.107; Gardner, 1959; Glickman, 1982; Loyer, 1983; Nathan, 1986). El problema siguiente hace recordar el problema de los gemelos, pero difiere de este en un aspecto importante. La señora F es conocida como madre de dos. La encontramos en la ciudad con un niño que nos presenta como su hijo. iCual es la probabilidad de que la Sm. F tenga dos hijos? Esa probabilidad es 1/2 puesto que vimos un niño y por 10 tanto, el suceso en cuestión es que el otro parto: iha sido, también, de un varón? 10 ella es 1/3, puesto que sabiamos que la Sra. F tiene “por lo menos un varón” y, por lo tanto, son posibles tres composiciones familiares equiprobables que enumeradas por orden de nacimiento son (BB, BG, GB), de las que nuestro suceso previsto (BB) no es sino uno de ellos? En contraste con los problemas de las tres tarjetas y de los gemelos, la experiencia estadlstica que ha generado nuestro dato en este problema no esta completamente especificada. Encontramos ala Sm. F en la ciudad con un hijo. isignifica esto que un hijo seleccionado al azar en la familia de dos hijos resultó ser un varón? i0 ello nos dice que la familia ha tenido por lo menos un hijo? La respuesta depende de otras suposiciones respecto aloshabitosde la mujer. Lasuposición másrazonable, afaltade toda otra información, seria que ella selecciona al arar un niño de los dos para que la acompañe cuando va a la ciudad. En tal caso, una familia BB es doblemente probable de producir nuestra observacibn (el encuentro en la ciudad) que una BG o GB, y un calculo bayesiano simple muestra que la probabilidad de que la mujer tenga dos hijos es 1/2 (Bar-Hillel y Falk, 1982). La mayona de las situaciones de la vida real en las que sabemos que una mujer determinada tiene un hijo, están estructuradas en forma similar (o telefoneamos a la casa y contesta un hijo, o vamos de visita y vemos a un varón). En todos estos casos, cuanto mayor es la proporción de hijos a hijas en la familia, mayores la probabilidad del suceso“un niño encontrado al azar en la familia es un hijo”. Sin embargo, si se interpreta el suceso condicionante como “la familia tiene, por lo menos, un hijo”, entonces BB es en realidad un resultado entre ues equiprobables, y la probabilidad posterior de BB es 1/3. Varios autores han intentado inventar “historias” que se adaptaran a la última interpretación del problema, pero parece que tales historias no están facilmente disponibles; y las que sugirieron son completamente artificiales. Gardner (1959, p.5 1) se reduceaqueel Sr. Smith nosdiga: “yo tengodoshijosyunodeellos,porlomenos,esvar6n”. Esta información puede interpretarse como una instrucción expllcita para tratar el subconjunto (BB, GB, BG) como nuestroespacio-muestra condicional uniforme, tal como se hace en muchos textos, donde aparecen “dados” sucesoscondicionantes. Sin embargo, ésta no es una forma natural de hablar de la familia, sino que es, realmente, una manera de evitar, el examen del proceso proporcionado por el dato. Loyer (1983) sugiere que observemos los padres en una reunión de nir~s exploradores (boyscouts), y para impresionamos con el suceso condicionante “por lo menos un hijo”, existe, en esta historia elaborada, una ley que exige que los padres asistan a la reunión si, y s610si, ellos tienen, por lo menos, un hijo varón. Bar-Hillel y Falk (1982) describen una reunión con un padre y un hijo en una sociedad chauvinista de hombres, en la que un padre selecciona automaticamente un hijo (en lugar de una hija) para acompañarlo, si tiene uno. Como vemos, diferentes procedimientos, de los que se deduce la misma conclusión, (a saber, no se trata de una familia con dos hijas) puede conducir a probabilidades condicio-
nales diferentes del suceso previsto y, en consecuencia, a respuestas diferentes para la misma cuestión. Una forma de apoyar la comprensión en este tipo de problemas es diseñar modelos expenmencakr (Falk, 1983b; Glickman, 1982) para explicar el mecanismo aleatorio exacto que ha generado los datos y que ha descubierto las suposiciones ocultas. Pueden prepararse cuatro tarjetas -en lugar de las tres que simulaban la situación de los gemelos, esdecir, BB , GG y dos GB- para representar las cuatro combinaciones equiprobables posibles de dos hijos en una familia. Si barajamos las cuatro tarjetas, extraemos sin mirar, una de ellas, la colocamos (también sin mirar) sobre la mesa y observamos una faz azul hacia arriba, hemos simulado la experiencia estadlstica de encontrar la mujer con un hijo que ha escogido al azar uno de sus dos hijos. La probabilidad de dar vuelta la tarjeta y de que aparezca azul en la cara de atras (el otro hijo de la mujer es también un varón) es 1/2. Si comenzamos retirando la tarjeta GG, barajando después las tres tarjetas restantes y eligiendo al arar una de ellas y observando cuantas faces azules tiene, habremos construido un modelo de las historias relativas al padre chauvinista masculino, o del padre en la reunión de boyscouts. La probabilidad que encontremos una tarjeta BB (una familia) es 113. En ambos casos (y en otros casos posibles) los modelos experimentales tienen dos funciones. En primer lugar permiten repetir la experiencia tantas veces como se quiera y obteniendo una aproximación convergente a la probabilidad que deseamoscomprobar. En segundo lugar, realizando la experiencia (y para esta finalidad hubiera servido, incluso, una exper&& imugiruznu) se elimina toda ambigüedad relativa al proceso aleatorio. Cuando seha explicitado el procedimiento, no sepuede desviar la cuestión del proceso de muestreo exacto. La distinción entre las dos interpretaciones del problema proviene, efectivamente, de los diferentes procesos de muestreo. La cuestión crucia! es cuál es el elemento de la muestra: lescogemos un hijo de una fdmilia aleatoria de dos hijos, o escogemosuna familia de aquellas que tienen por lo menos un hijo? Además del elemento motivador y del valor como entretenimiento que tienen estos rompecabezas y “paradojas”, su análisis arroja nueva luz sobre los conceptos realmente básicos de la teoria de probabilidad. Feller (1957, pp.7-14) inicia la presentación de la teorla de probabilidades con el concepto de una experiencia idealizada cuyos resultados elementales incluyen nuestro espacio muestra. Los ejemplos anteriores destacan el papel vital del concepto básico de e@e+nciu estadfstica. Analizando las sutilezas de estos problemas se reconoce que la teoria de probabilidades es, en todos los casos,el resultado de experiencias estadísticas.
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Inferencia en la incertidumbte vh pobabih¿a
condiciaak,
189
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15. Perspectivas educativas del análisis exploratorio de datos Rolf Biehkr
La aparición del Análisis Exploratorio de Datos (sigla inglesa EDA) (Tukey, 1977) representa un desafio de los puntos de vista, actitudes y valores más tradicionales que corrientemente influyen los currfculos y los enfoques de la enseñanza de la estadfstica y de la probabilidad. Los ejemplos simples, las ideas y las técnicas de EDA son considerados algunas veces, como contenido de un nuevo currfculo porque se espera que ellas puedan reemplazar la enseñanza, más bien aburrida, de la estadística descriptiva, con más ejemplos interesantes del análisis de datos reales, donde el estudiante pueda estar más activamente involucrado en procesos de descubrir las caracterfsticas relevantes de los sistemas a los cuales se refieren los datos (Gnanadesikan y colab., 1983; Landwehr y Watkins, 1986). En lo que sigue, se adelantaran algunas ideas tentativas sobre la forma en que pueden reaccionar los curriculos a los cambios en la estadística, lo que se ha podido ver debido a la aparición de EDA. Se discutinln los problemas, los obstáculos y las nuevas oportunidades conjuntamente con la posibilidad de relacionar las ideas de EDA con otras areas del currículo. Los puntos de vista presentados se basan en detallados estudios históricoa y epistemológicos de EDA y su relación con la estadística clásica (Biehler, 1982, 1985).
Nueva apreciación de las representaciones gr&ficas El nuevo uso de las representaciones gr&as como herramientas exploratorias para la estadlstica, es probablemente una de las lecciones más importantes para aprender de EDA, uso que puede extenderse a otras areas del currfculo. EDA está relacionado con un movimiento más general en estadfstica que esd dirigido hacia el uso de gr;ificos como herramientas de la investigación y en el an;ilisis de datos, más bien que como un medio tedioso de comunicar “lo obvio al ignorante”. Este último punto de vista respecto al papel de los gr&os en la estadfstica ha sido uno de los más duraderos, La estadística reconoció su cadcter como esencialmente cientffico, no como mero generador de grdficos e información descriptivos. Así, aún E.S. Pearson sintió, de alguna manera, la necesidad de defender su apreciación de los grafitos: “Sugiriendo que se puede aprender mucho de esa forma (por medio de g&cos), corro el riesgo de ser acusado de
192
Conceptos teckiws
alentar metodos descuidados para manejar datos estadísticos, un paso contra la tradición de 60 años de desarrollo de la estadística como ciencia” (Pearson, 1956, p.143). Este punto de vista negativo de los grafitos domina aún los currículos y las actitudes de docentes. Esto es particularmente cierto en lo que respecta a los intentos de enseñar estadística desde un punto de vista crítico respecto al uso de la estadística en los medios de comunicación masiva. Aquí, los gráficos están concebidos, fundamentalmente, como un medio de engaño y en el mejor de los casos como un medio de comunicación. Este punto de vista está en marcado contraste con el que los considera como el medio más importante para descubrir fenómenos inesperados en los datos y estructuras, lo que constituye la actitud de EDA y lo que Tukey (1962, p.49) ya formuló como un programa en 1962. Un ejemplo ilustrativo lo constituye la diferente evaluación de las transformaciones de escala, particularmente, “el movimiento vertical” de partes de grafitos. Mientras que Tukey (1977, p. 6) uso esto como un “poderoso microscopio” para ver la estructura en detalle, Huff (1954, p.39) considera la misma posibilidad como una fuente potencial de decepción. Huff da un ejemplo tomado de un periódico donde los mismos datos, a saber las listas de pagos del gobierno graficados en función del tiempo, aparecen claramente estables en una grafica que incluye el origen (el periódico comenta: “la lista de pagos del gobierno es estable”), mientras que en una gnífica ampliada (sin origen) el periódico comenta “aumento de la lista de pagos del gobierno”. Una idea subyacente fundamental de EDA es que variando la representación y empleando representaciones múltiples de datos se tiene un medio de desarrollar nuevo conocimiento o ideas. Puede ejemplificarse esto por el cambio de tablas a gt-áficos, de lista de números a diagramas de arbol, por la reducción de números a una discreta variedad de símbolos en mapas estadísticos para facilitar la exploración de la estructura total y construyendo diagramasresumidos de grupos, como gníficas de caja, que hacen posible una comparación efectiva de varios grupos. Ilustramos estos puntos con dos ejemplos.
Ejemplo 1: Crecimiento de la población en la ciudad de Bielefeld EDA ha reforzado la creencia de que la simple gdfica de dispersión debería ser la principal herramienta exploratoria para el análisis inicial de las relaciones entre dos datos cuantitativos bidimensionales. El poder gráfico y de calculo de los modernos computadores ha extendido ampliamente el poder de esta simple gt-áfica, la que sepuede transformar ahora, mpida y fácilmente. La Figura 1 muestra la población de Bielefeld de 1740 a 1982. En ella sepueden observar varios fenómenos, algunos probablemente inesperados, los que no caracterizan modelos de crecimiento. Entre estos hay dos “saltos” alrededor de 1930 y de 1970 y luego un repentino descenso seguido por una mpida recuperación al final de los años 1940. Desplazando verticalmente los ejes de las gráficas de dispersión con la transformación de los ejes de los datos, constituyen formas simples pero poderosas de presentarlos con mayor claridad.
Perspectivas educativacdel an&& expkwat0ri0dedmos
193
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Fig. 1. Población de Bielefeld, 1740- 1982
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, 1940
1945
1950
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AñO
Fig. 2. Población de Bielefeld, 1900-1955 La Figura 2 muestra detalles interesantes más fácilmente visibles: el repentino descenso ocurrido al final de la Segunda Guerra Mundial. Esto puede tener distintas causas: muerte, emigración forrada o voluntaria del área de la ciudad, estadísticas incompletas, etc. La información adicional de los archivos de la ciudad puede ayudara explicar lo que sucedió. Con el comienzo de la guerra ya se habla producido un descenso de la población. Tambien se pudo ver una reducción durante la Primera Guerra Mundial, asl como perlodos de crecimiento aproximadamente lineal. La brecha que apareció en 1930 se debió al hecho
conce#%¿ntabricw
194
de que la ciudad de Bielefeld amplió suslimites e incorporó muchos suburbios y villas. Estas observaciones hacen ver cómo la exploración de los gr5ficos han llevado a una cantidad de fenómenos interesantes y de hipótesis iniciales acerca de sucesosy procesos particulares. El crecimiento durante el siglo diecinueve (Fig. 1) parece ser exponencial. Probemos esta posibilidad haciendo una g&ca del logaritmo de la población respecto al tiempo en aquel penodo. Los datos en la Figura 3 parecen claramente correctos. Podemos resumir su estructura por una línea recta superpuesta a los datos, como en la Figura 4. Sus parametros secalcularonpor el m&odo de mfnimoscuadrados (una lfnea trazada a mano alzada hubiera cumplido la misma finalidad en esta situación). La linea pareceria resumir, bastante bien, el crecimiento en los años posteriores a 1875, mientras que en los años anteriores, la Figura 4 revela una desviación sistemática, más claramente aún, que en la Figura 3. El examen de la Figura 3 pudo habemos llevado a considerar resúmenes alternativos, tales como la distinción de tres perlodos de diferentes tasas de crecimiento. Asf como considerar alternativas o descripciones múltiples, una estrategia común en EDA es analizar residuos. Estas son las desviaciones de los datos respecto al modelo. Los objetivos pueden ser evaluar el modelo o revelar otras estructuras. La gn5fica residual en la Figura 5 es, también, una aplicación de otra transformación y de una traslación vertical de los datos originales. Y esta g&ca revela bastante de la nueva estructura. Esto se puede usar como una fuente para seguir explorando el contexto de los datos. La gnlfica puede tambienconfirmar, en parte, una estructura lineal. Pero podrfamos querer, tambitn, distinguir másde tres períodos de tiempo y poner una mayor atención sobre los puntos de comportamiento inusual: por ejemplo, el pico relativo en 1870 y los dos altosen losaños 1890. Esto puede indicar características interesantes y factores influyentes.
4.8. 4.6. 4.4.
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Fig. 3. Crecimiento de la poblacron de Bielefeld, 1830- 19 10
1900
r 1910
Perspectivas e¿wativasdel m&is explorat&~ dedatos
195
v = 0.014x - 21.728, R-cuadrado:0.985
4.8 4.6
4.2
3.8 1830
1840
1860
1850
1870
1890
1880
1900
1910
Año
Fig. 4. Crecimiento de la población calculado por el método de los mínimos cuadrados &.Pop -0.014 * Año - 21.728 0.1251 0.1.
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+ 192U
Afio Fig. 5. GrSfica residual
Ejemplo 2: Tasas de suicidios dependientes de la edad, sexo y país En el contexto de EDA se estin inventando una cantidad de formas nuevas de presentación, algunas muy complicadas y algunas muy simples. J. W. Tukey inventó el denominado “g&co de cajas” para dar resúmenes más detallados y más estructurados de conjuntos de datos uni-dimensionales. Este está basado en los percentiles. También tiene la ventaja de ser “resistente” a los puntos aislados.
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Gmccptostcbricos
196
Tabla 1. Tasa de suicidios en cincuenta países, 197 1 (por millón) Pals
Hombres Canadá Israel
Japón Austria Francia Rea. Fed. de Alemania Hungrla Italia PafsesBajos Polonia Espafia Suecia Suiza Reino Unido Estados Unidos Mujeres Canadá Israel
Japón Austria Francia Rea. Fed. de Alemania Hungría Italia Palses Bajos Polonia España Suecia Suiza Reino Unido Estados Unidos
Grupo de edad 55-64 45-54
25-34
35-44
216 94 215
273 98 187 403 252 346 650 83 106 291 70 405 336 127 222
311 102 211
115
148 67 132 224 130 242 269 55
288 164 283 482 71 78 262 41 276 217 96 196
78 76 140 84 66 113 127 35 47 44 14 130 104 51
86
42 103 164 89
156 184 37 82 47 16 175 159 65 121
523 361 413 841 108 179 359
96 457 411 146 278
Fuente: Erickson y Nosanchuk, 1977, p.14, WHQl974.
105
66 38 196 182 107 125
335 140 311 528 473 491 813 179 202 323 157 512 503 170 328
123 229 210 215 167 256 347 67 158 73 54 224 201 130 114
65-74 235 273 487 685 560
518 1074 266 282 275 219 351 508 217 365
92 191 401 294 185 273 479
77 173 70 57 171 206 141 93
Perspectivac educativm del aniilisis expl0ratmi0dedatos
197
lO 0
9.
T
8.
90% percentiles 75% percentiles
7. 6. 5. 4.
3. 2. 1<
intercuartiles
O-
Fig. 6. Gráfica de caja. Datos: una muestra de 20 de una distribución uniforme en (0.1). Una gmfica de cajas muestra información respecto al centro de los datos (la mediana) asi como acerca de la ubicación de otros percentiles. La longitud de la caja indica amplitud (rango inter-percentiles), la simetría de la caja da una indicación aproximada del sesgo. Se les da importancia a las terminaciones extremas de la distribución porque los datos alejados del centro pueden indicar, a menudo, características interesantes del sistema al que se refieren los datos. Hay diferentes reglas para elegir los extremos de las líneas que parten de la caja. Aquí usamos los percentiles 10 y 90 como sugiere Cleveland (1985, p.131). Los gmficos de caja también pueden ser “dependientes de la mediana”. En lugar de definir los límites de la caja por percentiles establecidos, sepueden definir por las medianas de las mitades superior e inferior de los datos.Se pueden exhibir los valores extremos superior e inferior. El tipo de desviación estándar-media del gráfico de caja, esta definido centralmente por la media y los límites de la caja son “dependientes” de una desviación estándar sobre y debajo de la media. La Tabla 1 da las tasasde suicidio (sigla inglesa SR) de hombres y mujeres para quince paises diferentes como lo registrara en 1981 la Organización Mundial de la Salud (sigla inglesa WHO). Consideraremos distintos gmficos que pueden haber sido utilizados para la exploración de datos por un sociólogo, o en forma cooperativa por estadísticos, analistas de datos y sociólogos. Esperamos, de esta forma, mostrar que cada grafito ilumina los datos desde otra perspectiva y revela aspectos ligeramente diferentes. En el primer griifico (Figura 7) consideramos hombres y mujeres separadamente, sacando de cada grupo de edad un conjunto de quince ítems de datos, los que resumimos en gr&os de caja. En otras palabras, ignoramos el psis de origen y nos concentramos sobre el “efecto de la edad”. El g&co revela estructuras interesantes respecto a las tasas de suicidio (SR) de hombres, lo que se puede describir aproximadamente como un aumento del nivel ydela extensiónconlaedad. Hay un punto lejanoaisladoencadagrupoy Hungria es el país que lo proporciona en cada caso junto con una variación marcada en la tasa de
concem
198
te&li¿ws
suicidios (SR) en cada grupo & edad. En la Figura 8, la tasade suicidios (SR) en las mujeres, muestra efectos similares de la edad, pero los extremos superiores están mucho ti cerca de los datos principales. El nivel y la extensión son sorprendentes y consistentemente mucho menores que la tasa de suicidios de los hombres. Estos fenómenos plantean muchos problemas para un estudio sociológico adicional. 1200
I
loo0
0
0
3800 ..f
8 a
0
600 1 0
B400 2 boa
0
I 0
I
25-34
m-44
45-54
55-64
65-74
Grupo de edad Fig. 7. Gmficos de caja -
tasas de suicidios en los hombres
4 I OL 25-34
as-44
45-54
SS-64
65-74
Grupo de edad
Fig. 8. Gráfico de caja -
tasasde suicidios en las mujeres
Podemos ahora interesamos en la pregunta de si la propiedad “promedio”, “aument6 con la edad”, es aplicable a paises determinados. Si examinamos las columna semi-g&ca de hombres de IaTabla 1, encontramos que existen exactamente cinco paísesque sedesvian del modelo general. En la Figura 7, se pueden ver los cinco extremos superiores del perfil de la tasa de suicidios (SR) de los hombres en Hungrfa.
Perspectivasehxnivar
del atuíhis expbmmio de dntm
l CanadA
Cl Japón
199
0 Polonia
0 Suecia
550 +
+
500. 450. 400.
350 300 250
4 1
LOO1 ’ 50 1 no
50 0l 25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
Grum de edad
Fig. 9. Perfiles seleccionados -
tasa de suicidios en los hombres
000. 800. 600.
400.
Fig. 10. Gráficos de caja -
tasa de suicidios en los hombres
La Figura 9, muestra las otras cuatro excepciones. iHay condiciones sociales especiales en Suecia, Polonia y Cana& que afectan a los ancianos y pensionistas (el último grupo de edad) que pueden ser responsables del descenso, lo que contrasta con el modelo en otros países?iPor qué es Japón el único país que tiene una tasa de suicidios (SR) más alta en los hombres (y mujeres) en el grupo de edad 25-34 que en las edades 35-44 y 4554? Estas preguntas pueden ser motivo de una investigación posterior. Desde luego, podemos y debemos hacemos preguntas crfticas acerca de la estabilidad de las diferencias con el
200
Conceptos t&icos
tiempo. Asi, podríamos querer considerar los datos de otros alios, y también como pueden explicar algunas de las variaciones, las diferencias en cómo cada pais mide la “tasa de suicidio”. La Figura 10, complementa la Figura 8, resumiendo, psis por país, los datos en los cinco grupos de edad en una gráfica de caja. Los mismos pakes han sido escogidos de acuerdo a la tasa de suicidio (SR) en su grupo de edad 45-54 afios (lo cual es aproximadamente la mediana). La Figura ll, revela la dramática variación entre los palses. La presentación parece indicar, tambien, tres grupos de países con Hungria como un punto aislado. Empiezan a surgifcaracterísticas interesantes; sepuede notar que Canadá y Estados Unidos son semejantes. El grupo de paises industrializados de Europa Occidental: Francia, Suiza, la República Federal de Alemania, Suecia y Austria, tienen mucho en común cuando se comparan con la mayoría de los restantes. Pero ipor qué son diferentes el Reino Unido y los Países Bajos? TambiCn se puede observar la posición de Espafia y de Italia, paises católicos en el sur de Europa. Otra vez, Austria y Hungría tuvieron una larga historia común. Un último g&ico (Fig. ll) se relaciona con el “efecto del sexo”. La razón SR hombre/ SR mujer, está calculada para cada país y para cada grupo de edad. Entonces, para cada país, los datos de los cinco grupos de edad están resumidos por una g&ica de caja. Los paises han sido escogidos en orden descendente para facilitar el examen visual. El lector podria hacer sus propios descubrimientos y sus propias especulaciones acerca de este aspecto del problema.
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Pak (en orden descendentede ratón media) Fig. Il. Tasa de suicidio: razón de sexo hombreslmujeres Mientras tanto, volvamos brevemente a la objeción de Huff (1954). Bien puede ser que la experiencia de analizar los g&cos en las formas descriptas anteriormente pueda contribuir a una apreciación critica de los g~~%cosen el contexto de la comunicación respecto a lo cual Huff esta preocupado. La razón es que examinar las representaciones g&icas es experimentar con ellas como herramientas, lo cual puede centralizarse sobre aspectos particulares de los datos, mas bien
Perspeaivac edwuiuaí del amilisis +awrio
de ¿ams
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sobre los datos como un todo. Desde este punto de vista, tambien se puede entender por que las g&ca se pueden usar para manipular y engañar. Ademas puede surgir una apreciación diferente y mas consciente de una representación clásica, tal como los histogramas. Históricamente, la idea de usar grafitos de barras “discretos” para representar datos continuamente variables (es decir, el histograma) constituyó, realmente, un logro y un descubrimiento. Hoy, no obstante, no se introducen normalmente los histogramas como herramientas para mostrar escrituras en los datos, las que podrían ser difíciles de apreciar con otras herramientas, por ejemplo con gníficos, donde los datos han sido marcados, simplemente, sobre una línea. En cambio, ellos se utilizan como representaciones gtificas para introducir la noción matemática de “distribución de frecuencia” conduciendo, asi, hacia las aplicaciones de la probabilidad. EDA ha desarrollado varias formas nuevas de representación. Los diagramas de árbol y los gtificos de caja ocupan, con frecuencia, un lugar destacado en el currículo de la escuela secundaria. El curriculo tradicional sobre estadistica descriptiva se puede transformar, siguiendo la orientación de EDA, mediante el uso de estos nuevos diagramas dentro de un espkitu de investigación (Landwehr y Watkins, 1986). Ello podría ser esencial, no obstante, para dar un apoyo sustancial a la investigación, en contraposicián a la tendencia hacia mayores efectos didácticos (Chevallard, 1985) para reducir conocimiento a técnicas. nosotros ya encontramos ejemplos en la literatura que consideran los grafitos de caja, precisamente, como otra presentación, y asocian a EDA simplemente con algunas nuevas presentaciones, ignorando los estilos nuevos y conscientes de utilizarlos. Por otro lado, como ya sepuso en practica en algunos libros, estaspresentaciones, o ligeras modificaciones de ellas pueden enriquecer, tambien, aquellas partes de loscurr~culos donde la probabilidad e inferencia es la finalidad principal. V~SIUU!&IY la uariabilidod de posib&&des con el dibujo de varias muestrasaleatorias y representándolas por una colección de g&cos de caja, esuna de tales aplicaciones. Por ejemplo, la Figura 12, muestra variaciones aleatorias dentro y entre muestras de tamaño 40 respecto a una distribución normal estándar. De esta forma, se pueden usar las muestras para iniciar una frucdfera discusión de las similitudes y de las diferencias que pueden surgir cuando se toman las muestras, aún en el contexto de una variabilidad ideal de oportunidades. En una forma similar, Landwehr y colab. (1987) mostraron cómo se pueden usar los g&cos de caja, en formas interesantes, para ensenar intervalos de confianza. Las mismas presentaciones, y otras, pueden ser útiles en combinación con tests estadísticos. Los estudiantes pueden experimentar c6mo estar-rrelacionados los resultados del test a las impresiones visuales de variabilidad y de diferencia. La forma en que esto debiera hacerse depende mucho de la concepción que seadopte de la estadfstica. En la obra de R. A. Fisher StatiscicalMethods for ResearchWorkers (publicada en 1925) encontramos este notable pasaje: “El examen preliminar de la mayoda de los datos está facilitado por el uso de diagramas. Los diagramas no prueban nada, pero ponen de manifiesto caracterlsticas fácilmente apreciables por el ojo; por otra parte, no sustituyen los tests crlticos que pueden aplicarse a los datos, pero son valiosos para sugerir rales tests y para explicar las conclusiones que se apoyan en ellos” (citado por Pearson, 1956, p.127). Este uso no seria aceptable desde la rlgida interpretación de la estadística clásica que surgi6 mas tarde. La regla aqui es que las hipótesis y los criterios de prueba deberlan ser elegidos m de mirar los datos, a causa de los problemas de multiplicidad. Por ejemplo, si un investigador aplica a un problema veinte tests, cada uno con un nivel de significación del S%, puede esperarseque uno de los tests de un resultado estadkticamente significativo
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Fig. 12.0&0 muestras de la distribución normal estándar (n = 40)
precisamente al azar, aún cuando “no habla nada”. Seleccionar y publicar solamente este resultado, mientras se proclama un 5% de significación, puede ser criticado y con buena razón. Normalmente, una inspección inicial de los datos con g&cos tiene, también, un efecto sobre el nivel de significación de los tests que luego senín seleccionados. Pero, puesto que la exploración inicia! de los datos es muy importante en muchas situaciones, la prktica sugerida es mantenida y extendida desde el punto de vista de EDA, mientras se admite que los niveles de significación nominal no se pueden interpretar en el sentido corriente. Las hipótesis o “indicaciones”generadas, tienen que ser confirmadas por otros medios. Además de esto, se cometen muchos errores en la practica de la inferencia estadística porque los modelos adoptados no son elegidos y validados cuidadosamente de acuerdo a la situación considerada. Con datos reales, los grafitos se pueden usar para verificar y para modificar los modelos sobre los cuales estan basados los tests. Se cree que los g&icos contienen potencialmente más información de la que un test pod4 detectar. Se sugiere, a menudo, que los datos aleatorios simulados deberían usarseen contextos educativos para mostrar que los gráficos exhiben toda clase de estructura fina, aunque hay realmente interferencias aleatorias. Este es un punto de vista muy unilateral. En general, los tests estadisticos no tienen un papel superior pero tienen que sercombinados inteligentemente con los gr5ficos. La discusión en detalle de estos problemas está más allá del nivel de la escuela secundaria y es un problema abierto para ser reconsiderado en la educación estadlstica, determinar en qué grado, dos “éticas” distintas, pero complementarias, la de la estadlstica clásica y la de EDA, pueden desarrollarse, quizá gradualmente, en !a educación secundaria.
Perspeaioas educdvar del andi5i.5e*plarawria de datos
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Más allA del caso uni-dimensional La mayorfa de los currfculos de nivel secundario sobre probabilidad y estadistica limitan el trabajo a datos unidimensionales. Si se consideran problemas bi-dimensionales, éstos reciben un tratamiento másbien técnico y la tendencia espresentar datos bi-dimensionales como si ellos pertenecieran a una categona ontológica completamente diferente a la de los datos uni-dimensionales. Pero, realmente, “la mayorfa de los conjuntos de datos incluyen observaciones asociadas con distintas facetas de un antecedente, de un medio ambiente o de una experiencia particular. Por lo tanto, y en un sentido general, los datos siempre son de caticter multivariable” (Gnanadesikan, 1977, p.1). En una practica estadfstica corriente, la aparición y la aplicación de EDA están estrechamente relacionados con la aparición y diseminación de mttodos multivariables. Pero, el papel que deberlan jugar los datos multivariables en la educación secundaria es un problema abierto. Los datos multivariables ya han entrado en algunas escuelas por la puerta de atis de los cursos de ciencia de la computación, donde ya se estin investigando bases de datos. Ademas, la seguridad de los datos es de interés general y ello puede destruir gradualmente la imagen de la estadistica y de la probabilidad que seensefia en las clasesde estadfstica, esto es, que el analisis de los datos estadfsticos no está interesado en los Items individuales, sino en las “leyes de promedio”. Se presupone que EDA va mas allá de este aspecto y lo hace asf, también, a nivel elemental. El uso de gnlficos de caja para comparar distintos grupos de datos bien puede ser un primer y fácil paso en la direcciõn mu1tivariable. Además, los diagramas de &-bol no eliminan los valores particulares de los datos, sino, que muestran un retrato estructurado de ellos. Esto permite, más fácilmente, recordar un objeto que pertenece a un valor particular en la presentación. Esta posibilidad se puede extender etiquetando algunos de los valores en el gmfico o sustituyendo los dígitos en las hojas por etiquetas apropiadas o empleando símbolos para el valor de alguna segunda variable. Estas caracterfsticas constituyen una relación realmente diferente para los datos. La Figura 13, es un diagrama de arbol que muestra el porcentaje de miembros femeninos del personal en las distintas facultades de ciencia e instituciones de la Universidad de Bielefeld. Ella estimula descubrimientos e investigaciones interesantes; la que instituciones pertenecen los dos puntos aislados con 63% y 100% de miembros femeninos del personal? iQué instituciones tienen 0 %? &Xrno podemos explicar esto? Hemos descubierto que el 63% es el porcentaje del personal femenino de la LABorSchJe, una escuela experimental primaria y secundaria anexa a la universidad. iTener 63% de personal femenino en una escuela no es raro! El 100% pertenece al Grupo Interdisciplinario de Investigación sobre la Mujer (GIIM). Veamos otro ejemplo ilustrativo: un practicante de medicina dijo, una ve2, que a el le gustaban los diagramas de árbol para mostrar los valores de una variable medica importante para suspacientes, porque ellos le permiten ver el caso individual másfácilmente, asr como su posición relativa detras de cada número. En terminos más tt?cnicos, los diagramas de &ol toman en cuenta el hecho de que todos los datos son de car5cter multivariable, ocupando una posición intermedia entre los casos unidimensionales y los multidimensionales. Esto también se debe al deseo de buscar “explicaciones” cuando camcteristicas tales como puntos aislados, huecos, valores populares o distintos picos, aparecen en un g&ico.
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cmpwste6riws
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(3*138 significa 33%, 38%)
Fig. 13. Diagrama de árbol: porcentaje de mujeres en las facultades e institutos de la Universidad de Bielefeld, 1984.
Para resumir, los datos unidimensionales se tratan en un contexto abierto de otras variables potencialmente relevantes. Esta ontología de EDA es diferente del enfoque común de la probabilidad. Normalmente, la probabilidad se introduce a travts de recursos aleatorios tales como dados o monedas, donde los estudiantes aprenden que no puede pronosticarse ningún resultado y que su variabilidad no puede ser explicada o relacionada con otras variables. Existen, en realidad, buenas razones para comenzar la enseñanza de probabilidad con situaciones aleatorias casi ideales. Pero mantener situaciones totalmente aleatorias y situaciones totalmente deterministas durante toda la enseñanza no es, ciertamente, deseable porque la mayoría de las situaciones reales son una mezcla de ambas. EDA está principalmente preocupado con las situaciones intermedias donde, al principio, no está claro qué aspectos de los datos deberían ser interpretados o cuáles tratados como aleatorios. Este fue el caso en nuestros dos ejemplos principales. EDA debería verse, entonces, como una nueva oportunidad o como una más, para salvar la brecha entre los dos extremos de determinismo y de aleatoriedad completa. En particular, puede ser un engaño interpretar las dificultades que tienen los estudiantes en lo que ellos sospechan ser las conexiones entre los resultados de un experimento aleatorio y otras variables, tales como las circunstancias físicas o la habilidad del operador o algún tipo de “pensamiento mágico”, lo que debe ser combatido en favor de una apreciación probabilística y de aleatoriedad. Tal vez el pensamiento de los estudiantes se
Perspectivas educativas del andisis exploratorio de data
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pueda interpretar como si vieran la situación como una “situaci6n multivariable abierta” similar al pensamiento de EDA. En principio, su inclinación a buscar conexiones puede no ser falsa pero, tal vez, no seaapropiada en algunas situaciones. En efecto, una reciente introducción orientada filos6ficamente a una colección de artlculos sobre EDA tiene el titulo ‘Teodas del Análisis de Datos: Desde el Pensamiento Mágico hasta la Esmdistica Clásica” (Diaconis, 1985), y el autor considera un estrecho paralelismo entre EDA y el pensamiento mágico defendiendo, al mismo tiempo, este tipo de pensamiento si es controlado en una cierta extensión.
Reconsiderando las concepciones educativas de la estadística Con frecuencia se considera como un objetivo importante de la instrucción estadística combatir la creencia corriente de que “todo puede probarse con la estadística (“mentiras, malditas mentiras y estadística”). Ir más allá de la mera descripción de datos y de su uso arbinario para sostener argumentos es considerado con frecuencia, uno de los principales objetivos de la educación estadística. Como consecuencia de ello, se pone, a menudo, un mayor Cnfasissobre las reglas y los conceptos más rigurosos de la estadística inferencia!. Por ejemplo, ensefiar las ideas elementales de intervalos de confianza y de tests de significación parecen ser esenciales porque se olvida, a menudo, en los debates públicos la necesidad de establecer el nivel de incertidumbre. También, los estudiantes pueden aprender, en forma alentadora, de los tests de significado, en qué sentido y bajo qué condiciones se puede “probar” algo con laestadlstica. Si la enseñanza de la estadística seve, predominantemente, desde este punto de vista, la inclusión de las ideas de EDA pueden verse como contraproducentes. Si bien es cierto que EDA tambien va más allá de una mera descripción, EDA no va en el sentido de la inferencia y de la “prueba” sino más bien, en el sentido de alentar nuevas hipótesis. Como hemos visto en ejemplos anteriores, EDA no muestra resultados inequlvocos, precisos y “definitiv&’ que parecen caracterizar la inferencia estadlstica. Con más frecuencia, EDA presenta una multiplicidad de aspectos más bien vagos, con grados variables de incertidumbre, y el resultado obtenido puede ser, en parte, contradictorio. Tukey llama, cautelosamente, “indicaciones” a tales resultados. La franqueza, las dimensiones subjetivas e hipotéticas de la investigacián cientlfica y del conocimiento no están suprimidas, sino que se muestran claramente. Lo que puede significar un diagrama o en que otro sentido deberfa realizarse la investigación, requieren comunicación y discusión. El experto en la asignatura no esta condicionado en sus ideas por un resultado de EDA, sino que se le acepta como un interlocutor en la comunicación. Es necesaria !a comunicación entre los expertos en análisis de datos y los expertos en la asignatura, así como dentro de cada grupo para intercambiar sus diferentes experiencias en beneficio común. Poner un nuevo énfasis en el currfculo, sobre las caracterlsticas mencionadas de la matemática aplicada se considera, con frecuencia, muy importante desde el punto de vista educativo. Fischer ( 1984) creó el término “matemática abierta”para esto, y considera a EDA como un prototipo de dicho enfoque. (Fischer y colab., 1985). Para una mayor clarificación me referir6 tambiCn a un trabajo presentado por Bibby en la Primera Conferencia Internacional sobre la Enseñanza de la Estadlstica (1983, p.241) en el que enfatizó tres “tensiones” que tenlan que ser resueltas durante el desarrollo del curso “Estadística en la Sociedad” de la Open University. La primera fue la tensión entre la
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Conceptoste&riws
estadistica como una “ciencia exacta” (objetiva, rigurosa, culturalmente independiente, orientada hacia la técnica) y la estadística como un “producto socia!” (producido como resultado de las respuestas humanas a una amplia variedad de situaciones de tendencia conflictiva). La tercera fue la tensión entre la estadística descriptiva y la estadística inferencia! de EDA. Tal vez, debería describirse las dos tensiones relacionadas de forma algo diferente. La estadística y el análisis de datos son, esencialmente, actividades sociales. La comunicación y la cooperación tienen un papel prominente, particularmente en la búsqueda de la verdad y de la objetividad, una meta que no puede obtenerse obedeciendo estrictamente las reglas lógicas para tratar únicamente con datos. La cuestión de si la enseñanza de EDA es exitosa, o no, depende de la extensión con que dichas características figuran en el currículo; esto es, si la discusión en clase puede coexistir con la enseñanza de la estadística desde un punto de vista idealizado como una ciencia exacta. Desde luego, dicha actitud puede ponerse en ptictica, también y en cierto grado, en relación con la estadística inferencial. Pero esto debería, probablemente, presuponer una actitud diferente, por ejemplo, hacia los tests estadísticos y otros métodos de inferencia.
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16. La interacción entre la práctica de la enseñanza y las concepciones teóricas Un modelo cooperativo de capacitación en servicio en estocástica para profesores de matemática (Grados S-10) Heinz Steinbring
Probabilidad y estadística -
exigencias y dificultades
Desde hacia varios años, muchos argumentos convincentes han venido apoyando la introducción de la probabilidad y de la estadktica en la escuela secundaria inferior (Bamett, 1983; Holmes, 1980; Råde, 1985; Winter, 1983), enfatizándose, a la vez, oportunidades alentadoras para la enseñanza de la estocástica. La estadística y la probabilidad deberían proporcionar las posibilidades de vincular la matemanca escolar con los intereses de los estudiantes, de promover proyectos de trabajo en la enseñanza de matematica, de integrar otras asignaturas escolares, de realizar aplicaciones significativas, de construir modelos simples, de apoyar la actividadconcretade los alumnos, de realizar simulacionesestadísticas con la ayuda del computador, etc. Conjuntamente con estasmotivaciones, puede afumarse que “loscálculos matemáticos necesarios para la estadística de la escuela secundaria inferior no son muy dificiles” (Kuo, 1986, p.105). Mientras todos los argumentos parecertan preconizar un papel para la estadística y la probabilidad en las escuelas, la situación real lo contradice. Como lo hace notar Råde (1985, p. 98). “Se pod ría pensar que, con un tal apoyo, la probabilidad y la estadística debenan ocupar un lugar bien determinado en el currkulo escolar en la mayoría de los palses. Pero, sin embargo, no parece ser esta la situaci6n”. Råde (1986, p. 24) identifica, después, un número de razones para explicar la lentitud con que se introduce la estadística en la escuela: los fundamentos de la estadística como disciplina científica están en discusión; la incertidumbre respecto al lugar donde deberfa introducirse la estadística en el curriculo escolar; se conoce muy poco respecto a la didáctica de la estadistica; la falta de profesores calificados para enseñar estadística; la falta de material apropiado para la ensenanza de estadística a nivel escolar. Creo que deberia agregarsea esta lista el hecho de que la mayoría de los profesores no están dispuestos a enseñar estadística porque, en su opinión, la probabilidad y la estadística implican un tipo de matematica completamente diferente de la que ellos conocen. Y el status epistemológico de la aleatoriedad y de la indeterminación les resulta desconocido, y en contradicción con la matemática “detenninista” a la que estAn acostumbrados. La mayoria de los docentes piensa que la matemática constituye una estructura lógica y jetárquica dentro de la que se demuestran proposiciones objetivas y absolutamente verdaderas (Brown, 1985, p.19; D6rfler y McLone, 1986, pp.712). En consecuencia, los profesores encuentran difícil manejar la inexactitud y la
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concept.os te6lims
incertidumbre de la estadfstica. La aleatoriedad contradice sus ideas respecto a la matemática. Los hechos estadfsticos no son “absolutos”, sino que tienen significado solamente en relación a situaciones extra-matemáticas que se presentan en las aplicaciones, haciendo necesario una interpretación subjetiva conjuntamente con la estimación pertinente del observador. Junto a estas dificultades epistemológicas del conocimiento estocástico, se debe tener conciencia, al mismo tiempo, de las dificultades para introducir probabilidad y estadlstica en la capacitación en servicio. Los seminarios para los docentes en servicio no pueden comenzar estableciendo los fundamentos de la disciplina para deducir, despues y paso a paso, las consecuencias curriculares y educativas del tema. Es necesario reconocer que los que asisten a los seminarios de capacitación en servicio son docentes experimentados. En consecuencia, los nuevos temas curriculares y los nuevos conceptos matemáticos deben reflejar el trabajo diario de los profesores participantes, y el nuevo conocimiento, las nuevas ideas y las nuevas perspectivas de la matemática deben, y en alguna forma, estar siempre referidos a la experiencia de los docentes (Von Harten y Steinbring, 1985). El conocimiento profesional que necesitan los docentes no puede reducirse, simplemente, a recetas y a procedimientos, ni puede proporcionarse de manera puramente cientffica, esto es, de forma rigida dentro de una manera única de desarrollo. “El conocimiento del docente esta alineado, en primer termino, con la actividad concreta de ensenar pero, al mismo tiempo, debe reflejar las posibilidades de variar y de modificar las formas de enseñar. Por un lado, ese conocimiento es, en consecuencia, una “mezcla” de reglas efectivas en la practica, recetas y experiencias, comprendiendo- por otro lado y con vista a una pt-áctica de enseñanza flexible - los aspectos más amplios y necesarios del conocimiento, bajo forma de relaciones sistemáticas, explicaciones teóricas, posibilidades de variación, tanto del tema como de las posibilidades educativas” (Von Harten y Steinbnng, 1988, p.45). Presentare, a continuación - y enfrentando el fundamento del problema pedagógico bosquejado más arriba - un modelo de capacitación en estocástica para docentes en servicio. Este modelo está basado en un anãlisis epistemológico de la naturaleza de la probabilidad. El material desarrollado en este proyecto (material de enseñanza y episodios de aula) trata de expresar y de representar - y en una forma adecuada para la enseñanza - los conceptos fundamentales de la estc&.tica. Este material sirve tanto como material de enseñanza para los seminarios de capacitación en serviciocomopara ser utilizado por los docentes para la preparación de sus clases.
La estocástica en un contexto de enseñanza No puede ensenarse la estc&tica en la forma en que se ensena la matemática escolar “convencional”. De acuerdo a Holmes (1980, p. 40). “En general, los alumnos han sido educados con una visión determinista del mundo; y esto es particularmente así en sus cursos de matemática, en los que se enfkiza la unicidad de las respuestas correctas y el empleo de la deducción. La estadfstica se ocupa más bien de la inferencia que de la deducción, pudiendo formularse varias inferencias diferentes en base a un conjunto de datos, teniendo cada una de ellas diferentes posibilidades de ser ciertas. Es necesario presentar a los alumnosunacantidaddeejemplosdeestaformadepensamiento si selesquiere
Capncitaci&n en servicio en e.5tmística: un mo¿elo
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apartar de una visión totalmente determinista de! universo y capacitarlos para que reconozcan que muchos problemas conllevan la indeterminación. Y necesitan reconocer cuando emplear la deducción, cuándo resulta másapropiada la inferencia y cómo extraer tales inferencias”. Resulta, entonces, que si se intenta enseñar los conceptos, los métodos y los diagramas estocásticos como dcnicas matemáticas dirigidas a construir una teoría coherente se perdedn, dpidamente, el carkter aleatorio de la naturaleza específica de la probabilidad. Y la estocástica degenera en una colección de reglas y de recetas sin explicación. Entonces, si se quiere evitar la esterilidad y transmitir el espíritu de! tema, debe enseñarse en un contexto más amplio de situaciones significativas que ofrezcan oportunidades para desarrollar argumentos estadísticos, para formular interpretaciones y para tomar decisiones. La consecuencia es que el contenido de la formación inicia! de! docente y de la capacitación en servicio no puede ser la “teoría” matemática forma! de probabilidades y de estadística. Senecesia,encambio,distinguirtresnive!esepistemo!ógicosdeconocimientoestocástico. En primer término, está la estructura técnica de! contenido; en segundo lugar se necesita, al mismo tiempo, tener en cuenta al alumno que debe aprender probabilidades y estadística en una forma significativa; y, tercero, el profesor tiene que planificar, organizar, apoyar y desarrollar esta forma de aprendizaje. Los elementos principales de la estructura de probabilidad y estadística son los conceptos fundamentales, los métodos y los diagramas. Los que conciernen al alumno son el aprendizaje activo y los medios especiales de representación, mientras que los papeles principales de! docente son la planificación, la organización, la guía y la evaluación de! proceso de aprendizaje. La Figura 1, muestra cómo se interrelacionan estos tres niveles:
La estructura de la probabilidad y de la estadística: conceptos, métodos, diagramas.
>apr
. . endezaje de !os alumnos: significados de la representación, actividad y tareas. /
t Planificación, organización, guía, mejoramiento, modificación, suplementación de! proceso de enseñanza por el docente.
Fig. 1. Interrelación de los tres niveles epistemológicos de! conocimiento estocástico. Me concentraré, a continuación y en primer termino, a la relación entre los primeros dos niveles, dejando el tercero para tratar mas tarde, cuando presente un informe de! proyecto cooperativo de capacitación en servicio y de sus resultados.
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caceptoste6ricos
Las dcnicas matemáticas que senecesitan para trabajar en probabilidad yen estadística en la escuela secundaria inferior son simples y no contienen dificultades serias. Pero esta simplicidad aparece, a menudo, en la marcha de! aprendizaje. Como lo hace notar Holmes (1980, p.41): “Las técnicas dekrfan ayudar la comprensión, pero un énfasis desmedido sobre las técnicas impide la comprensi6n”. El problema rea! de la ensenanza de la estocástica no radica en las técnicas matemáticas, sino en su utilización y en !a aplicación e interpretación adecuadas de conceptos, métodos y diagramas (esto es, la relación entre el primero y el segundo nivel). La pregunta centra! en la ensenanza de la probabilidad es: $Xrno es posible introducir los conceptos de aleatonedad y de indeterminación, y utilizarlos con la ayuda de conceptos matemáticos de naturaleza determinista? $6mo pueden hacerse predicciones relativas a situaciones inciertas y aleatorias bajo forma de proposiciones matemáticas y cuál es el carkter especifico de estas predicciones? Estas preguntas señalan claramente el hecho de que la estocástica no es, solamente, un tema nuevo para el currículo sino que es de naturaleza completamente diferente de la matemática escolar. En consecuencia, resulta esencial desarrollar perspectivas e interpretaciones matemáticas diferentes cuando se enseña probabilidad y estadística. El concepto de matemática elemental que se necesita para analizar y para representar la aleatoriedad en las aplicaciones a situaciones estadkticas es el concepto de proporción estocástica (o “cociente” o “fracción”). Las proporciones estocásticas son, por ejemplo, frecuencias relativas, proporciones relativas, probabilidades (como fracciones o como decimales), valores esperados, valores medios de diferentes clases y otros valores caracterfsticos de las distribuciones. El concepto de proporción (en sus múltiples representaciones) es un concepto fundamenta! de matemática de la escuela secundaria inferior. Y el trabajo en estoktica lo coloca en un contexto conceptual nuevo (Steinbring, 1985). Pero el concepto de proporción estocástica tiene dos aspectos, el cualitativo y el cuantitativo. Cuando las proporciones estccásticas expresan relaciones cuantitativas, se consideran relaciones mutuas de números: la razón entre los resultados favorables y el número tota! de resultados posibles, la razón entre los ensayos producidos y el número de todos los ensayos observados, etc. Se comparan, además, partes de superficies, se calculan porcentajes, se calculan valores medios, etc. Pero las proporciones estocásticas pueden reflejar, también, relaciones cualitativas. Por ejemplo, se divide un conjunto de datos (o unapob!aci6n)endiferentessubgruposdeacuerdoacaracteristicassupuestasoadependencias asumidas, comparando y analizando, después, estos subgrupos con la ayuda de valores medios calculados; se comparan ciertas caracterfsticas de una población con la finalidad de analizar, mediante proporciones, sus relaciones mutuas de contenido (sus caracterfsticas estadísticas, correlaciones, etc., utilizándolas para describir y para investigar dependencias o independencias). Las proporciones estadísticas sedan, entonces, mediante definiciones formales, o reglas de cá!cu!o, o, simplemente, como fracciones matemáticas. Pero los valores de las proporciones estadísticas exactamente calculados no pueden reflejar, por sí solos, la naturaleza especifica de la aleatoriedad; se necesita un marco de referencia dentro de! cual pueda juzgarse el carkter aleatorio de estos valores. Estos marcos de referencia son, normalmente, aplicaciones concretas, situaciones aleatorias reales, proyectos de encuestas estadfsticas. Los aspectos de una situación concreta de la vida rea!, entre los que se establecen relaciones con la ayuda de! concepto matemático de proporción, actúan como condiciones significativas para regular el caticter aleatorio. Esta necesidad de tratar siempre los conceptos estocásticos en estrecha conexión con marcos de referencia, es
Copacitación en servicio en estitico:
un mod,efo
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absolutamente única en la matemática escolar, ya que solamente esta relación entre conceptos formales y marcos de significación es la que puede, en efecto, acentuar la naturaleza de la aleatoriedad y de la incertidumbre. Pero, al mismo tiempo, esta relación hace necesario un medio matemático que permita estimar el grado de incertidumbre. Las representaciones gráficas y las visualizaciones constituyen, a nivel de escuela secundaria infe~or,!osrecursosmatemáticosuti!izadospara~tar!aa!eato~edaddefo~amatemática. Las diferentes formas empleadas para visualizar distribuciones teóricas y empfricas (por ejemplo, g&cos circulares, g&cos de columna, histogramas, diagramas de árbol, etc.), ofrecen marcos matemáticos especfficos que ayudan al alumno a captar la aleatoriedad y la incertidumbre, tanto desde el punto de vista cuantitativo como cualitativo. Los diagramas geométricos no son meras ilustraciones, sino que constituyen modelos conceptuales de relaciones estocásticas entre diferentes variables estadísticas (o variables aleatorias). Estos diagramas no representan valores particulares. La relación funciona! permite predicciones relativas a la incertidumbre y al alcance de la desviación de los valores, esto es el “dominio de validez”. Las representaciones g&icas proporcionan un primer marco elemental que los alumnos pueden emplear para hacer evaluaciones y para tomar decisiones sin verse forzados a proceder simplemente de acuerdo a un esquema único de calculo que proporciona valores deterministas definidos. E!pape!de!asap!icacionesyde!osdiagramasesfundamenta! paraexpresarlanaturaleza de la aleatoriedad en la enseñanza de la probabilidad y de la estadística. Pero, todavfa, ta! camino es muy extraño para la mayoría de los docentes. Y esto es debido a que toman las aplicaciones como motivaciones extra-matemáticas prescindibles y porque consideran los diagramas gráficos solamente como ilustraciones simplificadas. Si se toman realmente en cuenta tales marcos de referencia, constituidos por aplicaciones y por diagramas, se cambiar& con ello, radicalmente la forma en que se desarrollan los conceptos. Los conceptos estocásticos no se introducen mediante una definición matemática forma!, sino que tienen que ser elaborados paso a paso con la ayuda de marcos de referencia. En los tres principiosque siguende! Proyectode! ConsejoEscolarde EducaciónEstadkticasepresenta esta forma de introducir los conceptos: Los conceptos y las técnicas deben introducirse dentro de un contexto pmctico. No sen5necesario desarrollar completamente las tecnicas en el momento que se presentan por primera vez. Muchas de las ideas introducidas or primera vez en anos anteriores, continuaran presentándose en años posteriores. No esnecesaria y deseable una justificación teórica completa de todos los temas. Se tocaran algunos ftems ~610dentro de un problema particular; otros conceptos se consideraran solamente mediante experiencias y no setin justificados teóricamente (Holmes, 1980, p.41). Completamente aparte de la necesidad de introducir los conceptos estocásticos utilizando situaciones de aplicación reales, los docentes deben enfrentar, además, otros problemas: preparar y utilizar una unidad de enseñanza “abierta” estructurada dentro de! marco de las experiencias estocásticas o de los proyectos estadísticos. En genera!, esta actividad resulta poco común para la mayoría de los docentes,ya que es un método de! que, difkilmente, tengan alguna experiencia practica. La enseñanza de matemática trata, por regla genera!, de seguir la estructura lógica y jerkquica que lleva a resultados definidos. Pero las formas de ensenanza matemática orientadas hacia proyectos u orientadas hacia experiencias son formas abiertas que permiten cambios y que proporcionan resultados inesperados e imprevisibles. Esto contradice las ideas que muchos docentes tienen respecto a la
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Conceptostebrims
enseñanza de matemática y puede dar lugar a situaciones de ensefianza que no pueden prepararse completamente por anticipado y que, por ello, deben tratarse de forma variable y flexible. Y esto contribuye a crear situaciones de incertidumbre que muchos docentes quisieran evitar definitivamente en su labor en el aula. Además, los proyectos y las experiencias estadlsticas, que resultan interesantes y motivadores para los alumnos, hacen necesaria -a nivel elemental - la consideración de situaciones extra-matemáticas en el tratamiento de los temas. Pero es frecuente que los profesores no estén dispuestos a aceptar y a tratar temas extraños a la matemática puesto que no sesienten suficientemente capacitados en tales campos. (En realidad no seles exige esta capacitación). Aún cuando la estocástica ~510necesita situaciones de aplicación de carkter elemental, muchos docentes se muestran muy escépticos para considerar en la enseñanza de matemática cualquier contenido extra-matemático y prefieren mantenerse en lo que les parece ser la base firma y segura de los conceptos y de las estructuras intramatemáticas. El estudio a nivel de aula de los tres niveles epistemo!ógicos de! conocimiento de la estoc&tica ha mostrado que la naturaleza particular de la aleatoriedad hace necesario establecer una distinción entre la estructura forma! de! conocimiento matemático y la interpretaci6n y el aprendizaje de este conocimiento dentro de! contexto de una situación queseestá examinando. Generalmente, una ta! distinción entre conocimiento matematico y formasde interpretar, de comprender y de aplicareste conocimiento, es cuestión que debe contemplarse siempre. En efecto, debe distinguirse el conocimiento en sf mismo de! metaconocimiento relativo a este conocimiento. Estos dos lados de! conocimiento científico son fundamentales en todo proceso de aprendizaje matemático, y lo es tanto para alumnos como para docentes. La ensenanza de la probabilidad y de la estadística necesita, también, tener presente esta distinción entre conocimiento y meta-conocimiento, distinción que s6lo puede ser reconocida en clase con el empleo de métodos de enseñanza “abiertos”, esto es, con trabajo experimenta! y de proyectos. La necesidad de modificar sus metodos de ensefianza transformandolos en procedimientos más abiertos significa un gran problema para los docentes. Las actividades que el docente desarrolla en el aula reflejan su comprensión (o su falta de comprensión) de la naturaleza epistemológica específica de! conocimiento matemática (y, especialmente, estocástico) (Steinbring, 1987, pp.2-3). Hemos tomado esta distinción entre conocimiento y meta-conocimiento como el principio centra! de organización para la elaboración de! materia! de enseñanza y para diseñar la estructura de la capacitación en servicio. Esta separación (con respecto a los diferentes contextos de aprendizaje) ayuda a mantener el cankter aleatorio inherente al conocimiento estadístico. Mostrare, en lo que sigue, cómo se ha contemplado esta distinción en nuestro proyecto cooperativo de capacitación en servicio.
Ejemplificación del conocimiento y del meta-conocimiento material de enseñanza y en la capacitación en servicio
en el
Podrfa decirse que existen dos razones opuestas por las que no les gusta a los docentes ensekr estockica. Si el tema se redujese, simplemente, a su contenido matematico de conceptos, m&odos y diagramas entonces, para la mayoría de los docentes (aunque esto pudiese resultar aceptable para algunos), el tema parecerla ser matemáticamente trivial e indigno de ensenarse en un curso de matemática. Por otra parte, si se considera la
Capacitocibn enservicio enatmhca: un modzfo
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estocástica en estrecha relación con situaciones que aparecen indeterminadas debido a la presencia de elementos aleatorios - que son indispensables para el desarrollo de! pensamiento estocástico - entonces la mayorfa de los docentes temerian que las exigencias pedagógicas que impone la enseñanza de la probabilidad y dela estadística serian demasiado para ellos. Losprofesoresse sienten, a menudo, incómodose insuficientemente preparados, especialmente cuando seespera que organicen y que realicen pequenos proyectos estadisticos y que discutan aplicaciones extra-matemáticas. Resulta claro, de lo anterior, que los materiales utilizados para la capacitación en servicio y los ofrecidos para utilizar en el aula, tienen que reflejar toda la complejidad de! proceso de enseñanza-aprendizaje. Cuando llegan a dominar un nuevo tema escolar como la “estocastica”, ya seaempleando materiales de ensenanza o participando en seminarios de capacitación en servicio, los docentes tienen que enfrentar situaciones en las que las aplicaciones de la estocástica se hacen significativas. De acuerdo a la diversidad de sus responsabilidades profesionales, el meta-conocimiento que los docentes necesitan presental-á diferentes niveles. Es necesario considerar, por lo menos, cuatro niveles que son: (a) el conocimiento estocástico en relación a su nivel persona! (es decir, el significado persona! para el docente); (b) el nivel didáctico (es decir, la incorporación de la estocástica al curriculo escolar); (c) el nivel de enseñanza (es decir, la preparación de la enseñanza de la estocástica en el aula); y (d) el nivel de aprendizaje (es decir, las tareas y actividades estocásticas para alumnos). Claramente, estos cuatro niveles no son independientes, sino que se superponen, pero cada uno de ellos debe ser considerado en sí mismo. Esoscuatro niveles, ayudan, además, a enfatizar las características particulares de la capacitación de docentes en servicio. En su formaci6ninicia!,e!futurodocenteestudia,enp~mertérmino,e!conocimientomatemático como una disciplina cientifica. Aprenden, después,10relativoala didácticade matemática y, eventualmente, pueden adquirir experiencias en la practica de la ensenanza. Esto significa que son educados de manera máso menos “comp!eta”desde!a matemática teórica a la enseñanza practica. En contraste con esto, la capacitación en servicio de los profesores de matemática tiene que tratar simultáneamente estos cuatro niveles de meta-conocimiento, lo que significara que docentes experimentados tendtin que adquirir su nuevo conocimiento de forma completamente distinta, o sea tratando siempre de relacionar y de integrar diversos aspectos de estos niveles. El principal problema de nuestro proyecto era cómo coordinar el desarrollo de estos diferentes componentes de! meta-conocimiento y, en particular, asegurar la concordancia entre teoria y pr&ica. Teniendo presente esta finalidad, se integró el grupo de nuestro proyecto con docentese investigadores, a saber, seisprofesores de matematica pertenecientes a escuelas secundarias polivalentes, dos investigadores de! Institut für Dida!ctik der Mathematik (IDM)(Instituto de Didáctica de la Matemática) de Bielefeld y dos miembros de! Landesinstitut für Schule und Weiterbildung, LSW/Soest (Instituto para el Desarrollo Escolar y Curricular), -que es un organismo estatal- que organizaron y financiaron la capacitación en servicio y el materia! de enset’ianza. El grupo desarrolló y elaboró -entre 1983 y 1985- tres folletos para la enseñanza de la probabilidad y de la estadfstica en la escuela secundaria inferior. El primer folleto (Von Harten y Steinbring, 1986) seocupa de la probabilidad elemental en los Grados 5 y 6. El segundo folleto (Steinbring y colab., 19860) trata la estadística elemental en los Grados 7 y 8; y el tercer folleto (Steinbring y colab., 1986b) intenta desarrollar una perspectiva curricular integrada de las relaciones entre los diversos aspectos de la probabilidad y de la estadística.
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conce~tc6liws
El grupo desarrolló en primer thmino, el materia! de enseñanza encargándose, despds, de la conducción de los seminarios de la capacitación en servicio con los profesores de matemática. Antes de iniciar los seminarios, un grupo de profesores de una escuela secundaria polivalente sometió a prueba algunas partes de la primera versión del materia!. Se observaron y se registraron algunas lecciones para transcribir, despu&, varios de los episodios más interesantes de las lecciones registradas. Se utilizaron estas transcripciones para discutirlas y analizarlas en los seminarios. Se utiliz6la primera versión de! materia! de enseñanza como materia! de aprendizaje para los docentes participantes, pero el grupo encargado de! proyecto quedó siempre abierto para recibir crkicas y sugerencias que apuntaran a su mejoramiento. Se incluye, a continuación, un bosquejo de! materia! producido, presentandolo mediante una lista abreviada de! contenido de los tres folletos. Los tres folletos siguen un modelo similar, a saber, una introducción matemática y didáctica seguida de un cierto número de propuestas para la ensefianza. Estas ú! timas sugieren varias tareas de probabilidad elemental y algunos proyectos de estadistica elementales. Es necesario, sin embargo, tener presente que los folletos no son textos para alumnos sino que constituyen, más bien, guias para los docentes.
Estocdstica en los Grados 5 y 6: Unu intrdwci6n probabilidad elemental
a los ftmckmentos de la
1. La didáctica de la estochtica en la escuela secundaria inferior. 1.1 Estochtica en la escuela secundaria inferior - justificaciones e intenciones generales. 1.2 Conceptos y definiciones de estochica en la escuela secundaria inferior. 1.3 El concepto de probabi!idad en el aula - un análisis didáctico. 2. Un sistema de tareas de estocástica en los Grados 5 y 6 (sin conocimiento del cálculo de fracciones). 2.1 El marco curricular de la ensetinza de la unidad “estocástica”. 2.2 Objetos y conceptos de estocástica en el Grado 5. 23 Sistemas de tareas e ideas conceptuales en el Grado 5. 2.3.1 Juegos y experiencias. 23.2Números y frecuencias. 233 Diagramas de hbo!. 23.4 cdlculo de! azar. 3. Un sistema de tareas de estochica en los Grados 5 y 6 (con conocimiento de! c~!cu!o de fracciones). (Ar~%!ogoa la Parte 2 para el Grado 5, pero considerando el concepto de fracción).
Estmfstica en los Gmbs estuhica descriptiva
7 y 8: Una introducción a bs elementos de Za
1. Conceptos yformasde representación en la estadlstica en la escuela secundaria inferior. 1.l El núcleo curricular de estadistica (Grado 7 y 8). 1.2 Obtención y registro de datos. 13 Diagramas gr$ficos y numéricos para la interpretación de datos. 1.4 Conceptos y diagramas de estadística - un caso típico.
Cnpacitacibnen sffvicio en estitica:
un modzlo
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2. La estadlstica en la ensefianza de la matemática - orientaciones didácticas e indicaciones prkticas para la enseñanza. ... 3. Proyectos estadfsticos. ... 3.1 Investigaciones sobre “dinero de bolsillo”. 3.2 Investigaciones relativas a la cantidad de tiempo empleado en deportes, en pasatiempos favoritos, etc. 3.3 Evaluación de una reunión de deportes. ...
Estocástica en los Grados 9 y 10: El empleo de conceptos estocdsticos dentro del marco de referencia de la experiencia de Bernodi 1. El experimento de Bernoulli y la distribución binomial. Conceptos y formas de representación en estocástica (Grados 9 y 10). 1.1 El núcleo curricular de esttistica (Grados 9 y 10). 1.2 El aparato de Galton - Experimentos y evaluación estochtica. 1.3 Diagramas, distribuciones, reglas de probabilidad, cá!cu!o - la distribución binomia!. 1.4 Desarrollo de la distribuciõn binomia! “genera!” con la ayuda de! aparato de Galton inclinado. 2. La estochtica en la enseñanza de matemática - orientaciones didácticas e indicaciones pticticas para la enseñanza. 3. Sistemas de rareas estocásticas (por ejemplo: nacimento de niñas y varones, introducción de la distribución binomia! mediante un ejemplo elemental de! comportamiento, de la ciencia, de la edad y la expectativa de vida, etc.). La primera parte, que constituye la presentación matemática de la probabilidad y de la estadística para el docente, está subdividida en dos secciones. La primera sección titulada “Conceptosy Formas de representación dela Estocástica en la Escuela Secundaria Inferior” no se limita únicamente a proporcionar la estructura matemática de la estochica, sino que trata de relacionarla con el marco de referencia persona! de! docente. Por ejemplo, en los folletos para los Grados 7 y 8 sepresentan y se evalúan algunos datos relativos a la escuela, a los alumnos y a los profesores de matemática. Este “proyecto para el docente” sirve para proporcionar un contexto persona! de interpretación. La segunda sección “Enseñanza de Estocástica - Orientaciones Didácticas e Indicaciones Pticticas para la Enseñanza” presenta un marco de referencia didáctico para el docente, analiza el lugar de la probabilidad y de la estadística en el currículo y desarrolla una concepción didáctica. Esto significa que seexplican, entre otros, el conceptodeproporción estocástica y el pape.! de la representación gtifica. Se tratan los problemas de poner en prktica un curso de ensefianza mediante la presentación de una posible sucesión de los conceptos centrales de la estocástica mediante tareas y proyectos. Se agrega, al fina! de esta sección, una lista de indicaciones concretas para al enseñanza de la estochtica, que son el resultado de criticas sistemáticas y de experiencias pdcticas. La segunda parte principal está construida, tambih, de acuerdo a la concepción dual. A la derecha de! materia! seenumeran las tareas, los proyectos de trabajo y las evaluaciones estadísticas para alumnos. El lado izquierdo contiene las explicaciones y las indicaciones para el docente, a saber, la cantidad de tiempo previsto, los conceptos estocásticos y su significado en los proyectos o tareas específicos, posibles problemas de enseñanza que pcdrfan aparecer, así como variaciones y simplificaciones posibles de las tareas. El lado
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Concepa t.&ica
derecho del texto en esta parte de! materia! de enseñanza serefiere al marco de aprendizaje, mientras que el lado izquierdo se refiere al marco de ensefianza. Esta breve descripción muestra cómo secontempla, dentro de! materia!, la concepción dual de conocimiento y meta-conocimiento y cómo se establecen las relaciones entre los diversos niveles. Además, no debe considerarse esta versión mejorada como impermeable y como inmodificable, ya que no constituye un texto ciendfico, sino material de trabajo que los profesores deben utilizar varias veces a lo largo de los años y que tendrían que ser mejorados en base a la experiencia y adaptados a las necesidades cambiantes. El materia! s6lo puede alentar y apoyar un enfoque inicia! de la enseñanza dela estocástica. sólo puede estabilizarse una enseñanza posterior cuando los docentes hayan empleado, en forma crítica, este u otro materia! similar y lo hayan confrontado con su propia experiencia de ensefianza. Los profesores deben tratar de aprender a enseñar probabilidad y estadística en una forma gradua! de auto-optimización, que debería estar efectivamente apoyada por un proceso cooperativo entre varios profesores y la propia escuela. La elaboración de.este materia! de enseñanza,con su estructura dual, hizo necesariala cooperación y la evaluación crítica de muchos docentes y los profesores de matemática han participado, a diferentes niveles, en el trabajo desarro!!ado. Algunos contribuyeron activamente a la elaboración y al mejoramiento de! materia!, particularmente promoviendo ejemplos para la enseñanza. Otros sometieron a prueba los borradores de! materia! permitiendo, al mismo tiempo, que se observaran y se registraran sus lecciones. Hubo, tambien, muchos profesores que asistieron a los seminarios de capacitación en servicio, discutiendo y trabajando con el materia! y presentando sugestiones para mejorarlo. Con la finalidad de difundir el materia! de enseñanza en las escuelas secundarias mu!tiva!entesde!estadofedera!deRinNorte Westfalia, seorganizaron,sucesivamente,dos seminarios de capacitación en servicio paralelos durante tres afios (1983-85). Cada seminario duró tres dfas y contaron con una asistencia de aproximadamente cincuenta profesores. Estos seis seminarios cumplieron, en primer término, una función de difusión inicia! y de evaluación crftica de las versiones preliminares que condujeron a un mejoramiento posterior de todo el materia! de enseñanza. Y estasversiones mejoradas se utilizan, en la actualidad, como materia! para los seminarios posteriores. Los programas de los primeros seis seminarios estaban basados en nuestra concepción dual del tema, a saber, el contenido estocástico y en las formas de aprenderlo y ensenarlo. El curso comenzaba con una introducción a la teorfa y a la didáctica de la probabilidad y delaestadísticaelementales. Losparticipantestrabajaban,después, a travtsdelosejemplos de enseñanza propuestos, confrontando suspropias experiencias y analizando, a continuación, los episodios breves de enseñanza que se habían registrado en el aula y grabado después. La intención de! seminario estaba dirigida a ilustrar, y en la mayor medida posible las relaciones entre las concepciones te6ricas de! tema y las experiencias pnkticas recogidas con su ensefianza. Y sehizo asf, considerando cómo docentes experimentados trataban de aprender y de adquirir el conocimiento que necesitaban para enseñar un materia! que resulta nuevo para ellos. El problema fundamenta! era mantener los diferentes marcos de referencia correspondientes a los diferentes niveles de meta-conocimiento para docentes y de desarrollarlos en forma paralela. S6!0 se da una integración rea! de los diferentes aspectos de estos componentes en las situaciones reales de enseñanza. Tanto el materia! como la capacitación en servicio proporcionan oportunidades para reflexionar respecto a posibles integraciones de los diferentes niveles de conocimiento y para preparar posibles
capaciruci6nen servicioen estitiua:
un modelo
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formas de considerarlos conjuntamente en el aula. A este respecto, los episodios de enseRanza transcriptos y su correspondiente analisis realizado durante los seminarios de capacitación en servicio han colaborado, en gran medida, para que los docentes se anticipen tanto a las dificultades como a las oportunidades de ensefiar probabilidades y estadlstica en una forma que contempla, a la vez, una variedad de niveles de comprensión. El trabajo realizado en el proyecto ha mostrado que no existe un enfoque perfecto que los docentes puedan estudiar de! principio al fin para terminar encontindose perfectamente preparados para enseñar estadbtica. La enseñanza de la probabilidad y de la estadfstica no puede hacerse de manera expllcita y automática. Esta circunstancia permite comprender por qué este tema es, tcdavia y desafortunadamente, raramente ensetido. Pero podemos imaginamos, también, algunos de los problemas que tienen que superarse todavía.
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Conce~
k?hiws
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Parte 4 Estudio de casos
17. El Premio Anual de Estadística en el Reino Unido Anne S. Hawkins
Antecedentes de la competencia y su historia en el Reino Unido El Premio Anua! de Estadistica para Escuelas e Institutos de Educación Superior fue establecido como un resultado directo de haberme enterado de una iniciativa húngara similar en ocasión de asistir al ICOTS 1 en 1982. Esta competencia ha completado ya su cuarto ano en el Reino Unido, lapso que ha permitido la evolución de su estructura y de su organización: La participación en la competencia debe tener la forma de un informe relativo a un proyecto de estadística aplicada, planificado y ejecutado por un equipo de estudiantes. Cada año los triunfadores reciben premios de C 350 en cada uno de los tres grupos de edad: 9 a 13 años, 13 a 16 años y 16 a 19 anos. Y, por primera vez en 1987, se asignó un premio adiciona! para el proyecto que hiciese el mejor uso de un computador considerando, además, la conveniencia, la eficiencia y la originalidad demostradas en el proyecto. En el Reino Unido, el Premio de Estadística constituye una entre muchas competencias escolares que tienen lugar en una amplia gama de disciplinas y de tipos de estudiantes, lo que despierta, en consecuencia, el interks y la rivalidad entre las escuelas, asi como entre los patrocinadores potenciales. La competencia atrajo, desdeel principio, el patrocinio de firmas de computadores, de bancos y de compaiíías de seguros, asociaciones profesionales de estadísticos y de! gobierno. El Premio de Estadistica dispone de fondos modestos; su presupuesto anual esde £ 2000. La competencia cuenta, además de su patrocinio financiero, con la ayuda voluntaria de los que actúan como jueces, con varias formas de ayuda de oficina y de secretaria, y con los servicios de la red regional de administración educativa para la publicidad de la competencia. La mayoria de la información tiene que canalizarse a trav& de estos intermediarios, dado que el nivel de patrocinio no permite hacer frente a una correspondencia muy amplia y a una publicidad costosa. En este terreno no existen medidas parciales, puesto que el desarrollo delas competencias tiene que hacerse con poco gasto pero con un trabajo intenso o, en su defecto demandando mucho gasto. Esto se refiere directamente, en terminos de organización, a la dimensión de la publicidad. Se mantiene un contacto directo por correo con autoridades educativas locales, con tutores escolares, con centros de docentes, etc., y se les solicita colaboración para la distribución de prospectos de publicidad dentro de las
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Estudio& casos
escuelas e instituciones de educación superior dentro de susáreasrespectivas. Este método indirecto de publicidad constituye un método efectivo de disminuir costos, pero puede resultar lento y poco seguro. No es siempre posible garantizar, a pesar del apoyo y de la cooperación de un gran número de personas, que los prospectos lleguen a los destinos previstos. Los premios se distribuyeron, inicialmente, en dos grupos de edad: 1l-16 y 16-19. Sin embargo, la participación de los niños más jóvenes resultó ser de carkter y calidad diferente, y ello dependía, en mayor medida, de un razonamiento estadístico intuitivo que de técnicas analíticas formalmente enseñadas. Deseando, en consecuencia, alentar una tal participación, se aumentaron los grupos de edad de manera de incluir los mayoresdel grupo de nifios más jóvenes, cambio recompensado por el aumento del número de participaciones de los equipos más jóvenes. El número de escuelas participantes ha aumentado con los años, como consecuencia, en parte, de una propaganda más eficaz, supedndose, además y en cierta medida, la poca disposición de algunas escuelas para participar. Era claro que en los años iniciales algunas escuelas se mostraran reticentes para participar suponiendo, erróneamente, que los proyectos tenlan que exhibir un nivel de sofisticación estadística mucho máselevado que el de sus alumnos. Pero un cambio de naturaleza en la publicidad y una ampliación de los grupos de edad de la competencia, hicieron posible mitigar tales prevenciones; las escuelas tiene, ahora, una mayor confianza en su capacidad para intervenir. Tambien colaboró en esta ampliación de la participación, el aprovechamiento por parte de las escuelas de lo realizado en la competencia, alentando el empleo de las técnicas exploratorias de datos y la estadktica intuitiva. Esto ha obligado, tambien, a aquellos estudiantes que podrian haber estado tentados a considerarse estadísticamente sofisticados, a prestar una atención más cuidadosa a las aplicaciones de la denominada estadística elemental, la que puede servir de sostén para todo otro tipo de análisis. Resulta interesante observar que el valor de los premios no parece ser un factor clave para el número creciente de participaciones. El incremento del monto en dinero del premio, a la mitad del segundo año, no produjo ningún efecto sobre el número de participantes de aquel año. Parece tener mucho mayor influencia el prestigio que gana una escuela con el éxito logrado con una competencia de esta clase.
Algunas observaciones relativas a la participación en la competencia Los proyectos han versado sobre una amplia gama de temas, y es claro que muchos de ellos han implicado la colaboración entre estudiantes con una marcada diferencia de capacidades y de intereses. Gran parte del trabajo era de un nivel realmente alto que ponía en evidencia las capacidades de inventiva, y de utilización de recursos y de razonamiento lógico de estos jóvenes investigadores que han abordado problemas prácticos de complejidad y de significación considerable. Algunos proyectos, como es natural, resultaron muy pobres poniendo en evidencia toda clase de carencias en la educación estadística de los participantes. Algunas de las participaciones de los estudiantes másjóvenes reclamaban la colaboración de grupos particularmente numerosos - lo que constituye un logro en sl mismo. Podrían considerarse la mayoría de los proyectos como interdisciplinarios; muchos de ellos implicaban actividades extraescolares, incluyendo trabajo experimental y contactos con
EI PremioAnual de Estadísticaen el ReinoUnido
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empresarios locales. Se ha podido apreciar también un incremento del empleo del computador como recurso estadistico, incremento que debe alentarse siempre que ello no lleve a proyectos sobre estudios en el computador en vez de proyectos de estadistica. Al comienzo, los organizadores no adelantaron sugerencias relativas a proyectos de investigación, a pesar de la presión ejercida en ese sentido por los participantes potenciales. Se consideró que tales sugerencias podían haber limitado la elección de temas y podlan haber alentado, a la vez, un gran número de participaciones reducidas a variaciones sobre el mismo tema. Es importante que se haya alentado a los estudiantes para que reconozcan la amplitud de las aplicaciones de los métodos estadisticos. En el informe anual de la competencia se brinda, ahora, información relativa a participaciones anteriores, pero se destaca la originalidad como uno de los criterios que se tienen en cuenta para evaluar la participación de los jóvenes. En general, este parece un criterio acertado aunque es forzoso aceptar que en los jóvenes de 15 años abundan las preferencias por grupos selectos de “pop” y por los programas de televisión. Tabla 1 - Selección de temas de las encuestas de los estudiantes Encuestar sociales Uso/abuso de alcohol AOF; Sexualidad (diversos aspectos) AOFP; Consumo de gas y de electricidad en las escuelas FP; Congestión de trafico local - Causas y soluciones AP; Medios de comunicación y estudios sobre “pop” (aspectos varios) AOF; Instalaciones locales y esplritu comunitario AOFP; etc.
Ecologia de costas rocosas F; Valores nutritivos de los almuerzos en el hogar y en la escuela F; Aditivos de los alimentos FP; Trabajo de campo en geografía F; Composición de aleaciones de aluminio F; etc.
Comportamiento& tiendas y compras AOF; Control de stock de confiteda FP; Costumbre de comer dulces F; Máquinas de bebidas en las escuelas - Investigación de mecado AOFP; Investigación de productos AOF; Alquilerlventas de televisi6n - Pronóstico de demandas FP; etc. Nota: A = referente a actitudes; 0 = opinión; F = de investigación; P = polftica de investigación
La competencia reveló, en sus primeros cuatro años, una preponderancia de los proyectos de encuestas, pero sin excluir algunos estudios y simulaciones experimentales interesantes. La Tabla 1 brinda algunas indicaciones, aunque en forma limitada, de la gama de investigaciones sobre encuestas realizadas por los estudiantes. No deben considerarse las tres categodas principales (encuestas sociales, ciendficas y comerciales) como mutuamente excluyentes ni como exhaustivas. Las subdivisiones referentes a actitudes, opiniones, de investigación y de polltica de investigación son, tambien y en alguna manera, artificiales. Y es frecuente que el trabajo realizado atraviese un cierto número de áreas. Las
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E.uudio&casos
encuestas sociales reahsadasen basea cuestionarios aparecen como las másfrecuentes sobre las presentadas por los participantes lo que puede, quids, indicar algo respecto a cómo perciben los estudiantes y los docentes el papel de la estadkica. Una división que resulta evidente en el trabajo de relevamiento social y, en alguna extensión, mmbien en los proyectos comerciales serefiere a la cobertura; muchos proyectos son relevamientos internos. Estos proyectos toman como muestra a los miembros de las mismas instituciones educativas, por ejemplo, “Opciones de Asignaturas y la Influencia del Sexo en la Elección”. Otros son más ambiciosos y ponen a los investigadores en contacto con otros campos, des como “Los Efectos de un Nuevo Supermercado Testo de Alimentos”, una encuesta de opiniones de los compradores y de los cambios de comportamiento que resultan de la instalación de un nuevo supermercado en la localidad. En los estudios experimentales se ha incluido trabajo sobre percepci6n extra-sensorial y sobre la relaci6n entre dieta y salud (0 energfa). Se han tomado estos ejemplos de las participaciones de los grupos de edad más jóvenes. El último ejemplo incluia, a la ver, un relevamiento del consumo alimenticio y observaciones experimentales de la ene@ dentro de una gama de condiciones. En cambio, en algunos de los grupos de mayor edad resultaron más populares las experiencias relativas a tiempos de reacción, y los estudios de simulación tendieron a limitarse al grupo de edad de 16 a 19 anos. Un equipo estructur6 un modelo de pronóstico de oferta y demanda basado en datos provenientes de una firma local de alquiler de televisores. Y otro grupo estructuró y puso a prueba un modelo probabilistico para lograr un juego óptimo y estrategias ganadoras en “Monopolio”. Por lo general, los proyectos se presentan bajo la cobertura del área matemática del currkulo, recurriendo raramente a la colaboración con profesores de otras disciplinas. Es difkil, en efecto, atraer la atención de otros docentes, aún cuando en sus disciplinas abunden contextos de investigación ya preparados. Parecena para los que distribuyen el material de publicidad en las escuelas y en las instituciones de educación superior que Estadfstica es Matemática! El propio cuerpo docente de matemkica parece ver el ejercicio como extracurricular, a pesar de los cambios introducidos en los exámenes en el Reino Unido, que hacen necesarios suspropios programas de e-arna que permitan incorporar más trabajo ptáctico de proyectos con fines de evaluación. Tampoco utilizan los proyectos de trabajo en estadfstica que se presentan regularmente en otras disciplinas. De todo ello resulta que los proyectos tienden a explorar 5reas a partir de conjeturas especulativas iniciales en lugar & ampliar áreas de conocimiento ya existentes. Existen, sin embargo, excepciones a estos comentarios generales. Por ejemplo, se han presentado relevamientos cientifkos de muy elevado estkkar, basados en trabajo de campo realizado dentro de los contextos de la biologfa y de la geografia como, por ejemplo, “Un estudio del no Afon Kenfig”, un informe completo y hermosamente ilustrado de una excursibn ge@fica. El trabajo “La Exposición Atrofia su Crecimiento” constituye un relevamiento meticuloso de la ecologia de la vida costera, en el que se comparan las caractensticas físicas de los organismos de diferentes localidades. Este tipo de trabajos provienen, en general, de los estudiantes de mayor edad que estan siguiendo cursos aca&micos más bien que cursos de estudios generales y que secaracterizan, a menudo, por equipos poco numerosos de investigadores. Los r-elevamientos orientados hacia las actividades comerciales seocupan, con frecuencia, de algunos aspectos de la investigaciõn de mercado o de la investigación de productos constituyendo, ambos, novedades en lo que tienen que ver con el currículo escolar. No obstante, los proyectos basados en las facilidades de compra y en el modelo de comporta-
El PremioAnual & Edktica
en el ReinoUnido
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miento de los compradores, podrian muy bien surgir en base a trabajos realizados en los cursos de geogmffa y de estudios sociales. Las escuelas han utilizado, tambi&, algunos de estos proyectos para abrir oportunidades de experiencia de trabajo para los estudiantes, estableciendo vinculaciones con firmas locales y capacitando a los estudiantes para ganar comprensión en lo relativo a pron6sticos de ventas, a control de existencias y a cuestiones similares.
Participantes a la competencia Los ganadores 2985186 Veintis&s estudiantes, todos de 10 u ll aiios de edad, pertenecientes a la Escuela Primaria de la Comunidad de Bar Hill, realizaron una encuesta -mediante el empleo de un cuestionario entre 800 residentes lccalesobre cuestiones relativas a su comunidad. Sus resultados estuvieron basadosen las respuestasobtenidas de aproximadamente 600 formularios contestados. Ellos encontraron, contrariamente a algunas criticas formuladas por los medios de información, que Bar Hill es un pueblo popular con un espfritu comunitario progresista. Algunos miembros del equipo han iniciado, ahora, una ampliación del centro de su investigación extendiklola a otros distritos con la finalidad de establecer comparaciones. Nueve estudiantes de 12 y 13 anos de edad, de la Escuela Secundaria Fairfield en Widnes, realizaron un proyecto titulado “Opciones de Asignaturas y la Influencia del Sexo en la Elecci6n”. El equipo del proyecto diseñó un cuestionario que distribuy6 aproximadamente a 250 estudiantes de cuarto y quinto curso. Y encontró - sin tener en cuenta la habilidad de los que respondieron y, contrariamente a las expresiones de igualdad de actitudes -que existe un prejuicio sexual en la elección de las asignaturas escolares. Las presiones para conformar y para estereotipar parecen provenir de los padres y de los amigos, aunque se encontró una cuota de culpa en los docentes. En el grupo de mayor edad, siete alumnos de 16 y 17 anos, de la Escuela Secundaria de Stourport-on-Sevem en el condado de Hereford y Worcester, investigaron tendencias hacia el consumo de alcohol y los hábitos alcohólicos reales de estudiantes de sexto ano. La encuesta que realizaron mediante un cuestionario reveló que la mayorfa de los alumnos desextoaño tomanbebidasalcoh6licas,aúncuandoestánpordebajodelos 18afiosdeedad. En realidad, algunos parecian beber cantidades suficientes de alcohol como para catalogarlos como “teniendo un problema de bebida”. El equipo fue consciente de que algunas respuestas podrían no ser confiables. De acuerdo con ello, planearon y financiaron una reunión que permitiese verificar, experimentalmente, a los que habfan informado habitos de beber, con su comportamiento en la prktica. Cada una de estas encuestas puso en evidencia la necesidad de dar validez a los cuestionarios. Se hicieron comentarios, también, respecto a problemas de disefio de preguntas y, cuando se consideró pertinente, respecto a la administración, porcentaje de respuestas,etc. Cada una de ellas aplicó, despues, sistemáticamente la reducción de datos, del AnálisisExploratoriode Datos (EDA), y lapresentacióndedatos. Podrfaserunacritica general que este último no es, a menudo, suficientemente resumido. Sin embargo, estos proyectos brindan amplios resultados positivos puesto que provocan reflexiones e intercambio de ideas, asi como imágenes.
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Estudiode -os
Es interesante &servar el alcance del trabajo realizado por otros estudiantes, lo que puede evidenciar las dificultades diversas que tienden a ser tipicas de los diferentes grupos de edad, aunque no seria correcto decir que todas esasdificultades son especfficas de un grupo de edad determinado. Es importante considerar cómo los estudiantes de los diferentes grupos de edad podtfan haber abordado los proyectos elegidos, dadas las clases de habilidades y de conocimientos que era dable esperar de ellos. La elección libre de proyectos podrla resultar un arma de doble filo para algunos estudiantes. Una ambición desmedida, por ejemplo, puede conducir a un trabajo mal realizado o inconcluso, y ello no constituye el caso en el que los estudiantes se beneficiatin y aprendetin con tales experiencias.
Proyectos en el grupo de edad de 9 a 13 años Utilizando una muestra estratificada de estudiantes de edades entre 7 y ll afios, un equipo hizo un relevamiento respecto a cuanta violencia miran los nifios en la televisión. Ensayaron para ello un cuestionario reemplazPndolo, despub, por una versión mejorada cuando reconocieron que el primero no funcionaba bien. Tomaron en cuenta para el relevamiento la exhibición de programas en video emitidos despu& de las 21 horas, hora que se considera, comúnmente, en el Reino Unido, como la hora en que los nifios se acuestan. La faltade una evaluación independiente del nivel de violencia en los filmes que seleccionaron para las respuestasa su cuestionario, constituyó una debilidad fundamental de su estudio. Un grupo de Welsh de alumnos de 9 años de edad se inició investigando la cuestión un siguiente: “La presencia de los Robins en las Tarjetas de Navidad: $Ixstituye Fenómeno Relativamente local, oes una Ocurrencia de Amplitud Nacional ?”Los mkodos que emplearon para obtener y para dar validez a una muestra de tarjetas, que fuese representativa a nivel nacional, resultaron intuitivamente atrayentes. Y utilizaron, también, algunas formas de ponderación interesantes y convincentes para aplicar a sus proyecciones regionales. Ellos estuvieron permanentemente al borde de una discusión relativa a las implicaciones para el mecado, pero no llegaron nunca a concretarlo. Otro grupo de alumnos de 9 afios de edad realizó un relevamiento completo y confiable de las fuentes de influencia que lleva a los nifios más jóvenes a iniciarse en el consumo de cigarrillos. Sin embargo, su trabajo resultó datido por el error de los estudiantes en captar el valor o las limitaciones de los datos que hab& recogido tan cuidadosamente. La experiencia sobre salud y dieta, mencionada más arriba, fue realizada por veintid6s alumnosde9añosdeedad. Esteestudiocomparativopodrfahaberparecidoambiciosodada la edad de los participantes pero, sin embargo, era un proyecto manejable por alumnos de esa edad. No obstante, resultó estropeado por la excesiva intervenci6n y la pobre orientación de parte de sus maestros. El resultado final fue un proyecto integrado por demasiadas copias de las mismas sesiones de “tiza y pizarrón”. El estudio sobre percepción extrasensorial (ESP) realizado pot alumnos de ll afios les significó un gran esfkerzo, sin embargo no aportaron mucho trabajo intelectual, al respecto, dado que algunos de los encuestados podían obtener buen puntaje en pruebas de ESP. No se hizo uso del análisis secuencial para ver que temas de estrategia podfan utilizarse para elaborar conjeturas. Unequipodetreintaydosalumnos&9a~osdeedadseocupódeunejemploqueincluia el uso de fuentes secundarias y de datos históricos. Estas fuentes de datos los informaron acerca de tiendas y de compras en su ka. Ellos revelaron, además las actitudes de los
El Pr&
Anual de Estadlrticaen el ReinoUNdo
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residentes locales para cambios en las tiendas locales y en las diversiones, utilizando un microcomputador para registrar, pero no para analizar los datos. Una parte interesante de la política de investigación de este grupo de edad lo constituyó el empleo del servicio escolar de autobuses. El equipo observó que fuera de la escuela, y a las 15:40 hrsdecadadiade escuela, seprcducia uncaospotencialmentepeligrcnoalrededor de la parada de autobuses. Utilizando gr&ficos de clasificación y g&cos circulares (con comprobaciones bien logradas de las sumas de porcentajes) elaboraron propuestas para espaciar los horarios en que podlan tomarse los autobuses.
Proyecmsenelgrupodeedadde
13a 16aiios
La alimentación fue un tema popular para este grupo de edad. Se realizaron varias investigaciones relativas a las comidas escolares y a las actitudes respecto a ellas. Los mejores estudios fueron los que encuestaron una gama de personas relevantes, proveedores, alumnos y docentes comparando, a la vez, el contenido nutritivo de las provisiones escolaresestándar con otras alternativas tales como almuerzos envasados oel cafe local. Se examinó, también, el empleo de aditivos en los alimentos. Un grupo integrado por estudiantes de notoria baja capacidad realizó un estudio de la congestión del tr&o, cronometrando y localizando cuidadosamente sus turnos de observación. El grupo entrevistó, también, a un cierto número de “testigosexpertos”locales tales como policfas, guardianes de trafico, inspectores, etc., y extrajo algunas conclusiones relativas a la causa y al efecto de la situación formulando, tambien, algunas propuestas para aliviar los problemas, tales como un reordenamiento de las paradas y de los horarios de los autobuses escolares. Las comparaciones de los resultados de exámenes fueron tema, también, de varios proyectos. Los estudios que intentaban comparar calificaciones en, digamos, ingles y matemática estaban llenos de dificultades, ya que los estudiantes raramente reconocen las complejidades que significa establecer sistemas estándar de calificaciones en diferentes campos o establecerlo sobre una base común. Este tipo de estudios tiende a volverse un ejercicio más bien falso para el cálculo de coeficientes de correlación. Se desestimó una investigación sobre las ventajas y desventajas relativas del Túnel del Canal sobre los servicios actuales del transbordador, puesto que el trabajo dependfa, totalmente, de datos secundarios y de conjeturas emocionales. Observandolo bien, el proyecto constituía, en su mayor parte, un ejercicio de presentación de datos. La simulación del juego de “Monopolio”, antes mencionado, resultó, en cierta medida, demasiado ambicioso, dado que el conocimiento que tenían los estudiantes de la probabilidad resultaba inadecuado y que, además, partlan de una base probabilística incorrecta. No obstante estas limitaciones, el estudio de simulación en sl mismo significó un esfuerzo útil.
Proyectos en el grupo de edad de 16 a 19 años La ecología fue, como siempre, un tema popular en este grupo de edad. Un equipo realizó una cuidadosa comparación de dos regiones elevadas y de sus vegetaciones contrastantes, empleando para ello, y de forma correcta, las técnicas de muestreo. Se utilizaron tanto el ajuste subjetivo como las medidas objetivas, extrayéndose conclusiones en base a t&ticas relativamente simples de presentación de datos. Sin embargo, en una de las dos áreas consideradas se presentó una discrepancia significativa, y obvia, entre las medidas subjetivas y objetivas. Lamentablemente, los investigadores no comentaron este aspecto.
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E.dio ík casos
En una de las experiencias sobre tiempos de reacción, antes mencionadas, doce alumnos de 17 afios de edad utilizaron un buen disefio de investigación y emplearon, con buen resultado, algunas ttknicas simples para consignar susdatos. Un problema que no tuvieron en cuenta, sin embargo, se les presentó cuando realizaron una serie de medidas de tiempos de reacción en situaciones donde estos tiempos no se hablan establecido claramente. Aparentemente, los estudiantes no tuvieron conciencia de ello o no tomaron las provisiones necesarias para manejar las implicaciones que significaba para su método experimental o para sus resúmenes estadkticcs. Un equipo ocupado en investigar el efecto de la televisión sobre las tareas domiciliarias, la lectura y las salidas, sevio demasiado implicado en “consideracionesy comentarios”. Los investigadores fueron entonces conscientes de los problemas inherentes a la recolección de sus datos que no podfan plantearse para ver las implicaciones posibles. Trataron, en consecuencia, de no sacarninguna conclusión. Pero debe consignarse, sin embargo, que este equipo pareció aprender mucho acerca del manejo de la investigación y de la cooperación. Un proyecto hizo un relevamiento de zurdos y diestros dentro de un grupo de más de 1500 de los participantes en investigaciones. Su cuestionario se limitaba a cuatro preguntas. Y a pesar de la presentación meticulosa, el proyecto estaba irremediablemente falto de equilibrio, contando con alrededor de ochenta y cinco páginas de análisis chicuadrado en dos sentidos, dos páginas de métodos y una página de conclusiones. Utilizando datos secundarios de una firma local, un pequefio equipo investigó la composición de las aleaciones de aluminio. Yen los análisis subsiguientes no aparecieron comentarios ni discusiones. El proyecto se redujo a un mero ejercicio de cálculo lleno con unagmncantidaddegr&assin interpretar-y aparentemente sin sentido-ydeanálisis de series de tiempo. Un grupo de estudiantes hizo un relevamiento de la demanda por aumentar la disponibilidad de parqueos de automóviles en sus centros de ensefianra. La idea era realmente buena, pero la forma de procesarla fw muy superficial, y estaba, también, emocionalmente cargada con las ideas personales de los estudiantes sobre la cuestión.
Problemas generales y malentendidos Tal como podria esperarse, el alcance del trabajo de relevamiento realizado varia de un proyecto a otro. Para decirlo en forma objetiva, es raro que los estudiantes consideren las formas posibles de aumentar la eficiencia de su trabajo. Las consideraciones estadfsticas respecto a la conveniencia del tamafio y de la composición de las muestras que figuran en la lista de prioridades de cada etapa de la planificación, son de poca entidad o no figuran. Resulta interesante, frente a este hecho, observar algunos ejemplosqqueilustran la cantidad de trabajo de investigación realizado. Algunos manejan una gran cantidad de datos y algunas muestras de gran dimensión como, por ejemplo, “Zurdos y Diestros”, que realitó un relevamiento fo másbien un censo) de 15 19 estudiantes pertenecientes a la misma escuela que los que realizaban la investigaciõn. El proyecto “Bar Hill: Una Encuesta Cuestionario” consider6 una muestra de 800 residentes de Bar Hill, recibiéndose 579 respuestas. Y podrfa conjeturarse que esta elevada proporci6n de respuestas era resultado de un empleo cortes de la pregunta “Es Ud. luna Dama o un Caballero?“, en substituci6n de la forma tis convencional “Hombm/h4ujer”. Investigadores tomen nota!
El Remio Anual d.eEswiíktica en el Reino Unido
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Algunos equipos de proyectos fueron demasiado ambiciosos respecto a la elección del tema y se equivocaron en la selección de las finalidades que normalmente están al alcance de los recursos disponibles para llevara cabo la investigación. Uno de estos casos fue la simulación de “Monopolio”. Otro ejemplo fue un estudio de “Las Diferencias Entre Varones y Niñas en el Sexto Curso” en el que se registró toda diferencia observable o medible: color del cabello, longitud de los dedos, tamaño de zapato, preferencias en música pop, etc. Y, como muchos otros, este proyecto incluia la presentación de datos por el simple hecho de hacerlo, ya que no se extraía ninguna conclusión significativa. Se valoran los proyectos que demuestran originalidad, pero siempre que demuestren, también, un propósito y una utilidad claros en la investigación emprendida. Lamentablemente, algunos proyectos se centran sobre temas más bien triviales o muy manidos, tales como actitudes y preferencias respecto a los programas de televisión. Existió, también, en 1985186 una desagradable “epidemia” (elijo ex-profeso esta palabra) de proyectos “espinosos”. Aunque el tema de los granos en los adolescentes no es de ninguna manera trivial, los proyectos particulares dedicados a este tema resultaron excepcionalmente triviales en su concepción. Asi, por ejemplo, esdifícilmente probable que haya muchos adolescentes que demuestren actitudes positivas respecto al acné. Es natural que los alumnos encuentren difícil definir en forma operacional los prop6sitos de un proyecto. El proyecto más elegante, desde este punto de vista, fue presentado el primer afro de la competencia por un equipo de cuatro alumnos de 12 y 13 años de edad. En el proyecto, titulado “La Máquina de Bebidas de la Escuela”, se investigaba ventas y productos. El equipo observó características de compra realizadas en la máquina de bebidas y las opiniones intercambiadas respecto a la selección ofrecida. Después de cambiar la selección de acuerdo a los resultados que la investigación indicó, el equipo evalu6 el éxito de su intervención así como el incremento de ganancias resultante. Las técnicas estadisticas utilizadas fueron la recolección, compilación y presentación de datos (poco más que gtificos de barras y que g&cos circulares), pero la progresión lógica desde el problema a la solución füe notable. Se tomaron algunas medidas para asegurar la confiabilidad de los datos que resultaron, en cierta medida, arbitrarias. Los estudios mejor logrados incorporaron trabajo piloto riguroso y preplanificado, aunque eran relativamente poco numerosos. Se discutfan, a veces, los pasosdados pero con estudios de menor calidad, incluyendo modificaciones a la proposición de las cuestiones, aunque la tendencia para tomar, aquI, las decisiones eran más bien de carkter intuitivo que resultado del trabajo piloto efectivo. Los estudios másdébiles ignoraban el problema general. Los estudiantes se mostraban inconscientes frente a estas cuestiones o preferian no hacer comentarios en sus informes. A los jueces de la competencia les hubiese gustado que un mayor número de proyectos presentasen una evaluación de la aplicabilidad de las técnicas estadlsticas empleadas por los equipos.. Muchos de ellos pareclan aplicar técnicas estadkticas con un descuido precipitadodelascaracteristicassubyacentesdelosdatosyunejemploobviode~~actitud podrfa ser el cálculo sin discusibn y autom&ico de medios aritméticos para representar pequefias muestras de datos heterogeneos u oblicuos o datos puntos extremos aislados. El grupo de alumnos de edad media tenia la tendencia a emprender los estudios de naturaleza más trivial, como por ejemplo, “Resultados de Exámenes y Signos Estelares” y el ya mencionado “Actitudes hacia los Deportes”. Y éste es probablemente el caso en que resulta prematuro dejar a este grupo de edad librado a sus propios planteos, dado que son capaces de concebir ideas para llevara cabo la investigación que están, a menudo, más alla
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Estudio¿?cmos
de su competencia. Ellos están, también, menos entrenados en el empleo de habilidades para el estudio y en aprender mediante trabajo en proyectos. En consecuencia,algunosde sus esfuerzos quedan al borde del camino, o caen en el caos porque los estudiantes son incapaces, si no se les supervisa, de participar en el trabajo de colaboraci6n necesario para actuar en equipo. La amplitud con que participan los docentes en los proyectos de sus alumnos es variable y el hecho que los proyectos esten orientados másbien para estudiantes que para docentes no significa, de ninguna manera, que los docentes deban abandonar por completo a sus alumnos. Los ninos más jóvenes vienen de una experiencia educativa más reciente, en la que el proyecto de trabajo está a la orden del dia, tendiendo, a la vez, a provocar una mayor guia de parte del docente y a trabajar en grupos mucho más numerosos (a menudo, por lo menos, toda la clase, a veces todo el año). Es justo decir que la calidad de algunos de los trabajos de los estudiantes más jóvenes es superior a la de los trabajos de los grupos de edad media y de los de mayor edad, y que esos estudiantes exhiben, a menudo, un mayor talento e ingenio, comprometiéndose, a veces, en estudios muy significativos con implicaciones de largo alcance (polltica). Aún estando restringido al empleo de tecnicas estadísticas elementales, un grupo de alumnos de 12 años de edad hev6 a cabo un relevamiento relativo al uso del gasy de la electricidad en su escuela proporcionando, después, recomendaciones muy claras a las autoridades educativas locales relativas al ahorro de consumo, recomendaciones que era posible implementar. Otro proyecto interesante realizado por este grupo de edad examinó la posibilidad de que tener un apellido al comienzo del alfabeto podría significar una desventaja en la educación. Los estudiantes mostraron una notable comprensión de las variables interactuantes en este contexto que podría conducir a la creencia en la existencia de una asociación aparentemente extraña. Y s610sedisponfa para este debate ambicioso de la colección y compilación de datos y de &nicas de presentación.
El impacto del Premio de Estadistica sobre la educación estadistica El Premio de Estadfstica proporciona una oportunidad para poder influenciar la educación estadística haciendo llegar criticas y comentarios a las escuelas y a los profesores de estadística actuando, además, como un estimulo. Muchos tutores de proyectos han informado sobre los beneficios reales recibidos por sus estudiantes provenientes de su participación en investigacionesde caticter prktico, y aún en el caso de no haber resultado ganadores. Algunos profesores informan, además, respecto a cambios en su propia comprensión de la estadistica asl como, también, a cambios beneficiosos en sus propios mkxlos de enseñanza y en el de suscolegas. Algunos proyectos que tienen relevancia, para la polftica oficial han producido cambios en el ambiente estudiantil. Asf, por ejemplo, las propuestas relativas a la conservación de la ene& se pusieron en pnktica despues que los estudiantes de escuela secundaria elemental investigaron el empleo del combustible en sus escuelas. El entusiasmo de los profesores y de los estudiantes resulta gratificante, asl como, también, los cambios que estan produciendose como resultado de su participación en la competencia. Además, y como es ~tural, resulta muy excitante recibir un buen proyecto, y debe tenerse en cuenta que un tal proyecto puede provenir de la fuente más improbable y aún de la menos atractiva. Otros, quizás, como sucedió conmigo en 1982, sesentitin alentados
El Premio Anual de Estadfstiaa en el Reino Unido
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por este informe relativo a una iniciativa nacional, para organizar competencias similares en otras partes del mundo. Hungría, España, los Estados Unidos, Bulgaria y Escandinavia ya han comenzado a moverse en esta dirección. Y seria eventualmente posible organizar una competencia final a nivel internacional entre los ganadores nacionales. La mayoria de las áreas curriculares han estado, ahora, representadas en las participaciones, pero se espera, sin embargo, que en el futuro habtá más participaciones basadas en investigación histórica, física, música y artes en general, todas áreascurriculares que han quedado rezagadas hasta el presente. Aún aquellas participaciones que se concentran únicamente en verificar la conveniencia o la aplicabilidad de técnicas estadísticas seleccionadas para el análisis de datos podría introducir, también, cambios interesantes e importantes en el pensamiento de los estudiantes. Tratar de convencer a los estudiantes, y a sus profesores, de que la estadística requiere más sentido común que “las sofisticadas técnicas analkicas que no seLlegan a adquirir hasta el nivel de PhD (nivel de doctorado)” puede resultar una lucha dura. Existe una muy extendida fáha de confianza o una especie de “paranoia estadística”. Y un papel importante que puede desempeñar el Premio de Estadlstica para incrementar el alfabetismo estadístico y la confianza es, precisamente, alentar el empleo de las técnicasexploratoriasde datos para hacer que los estudiantes piensen acerca de la forma en que eligen y en que aplican las nknicas. Aunque la participación en la competencia puede ser una experiencia de aprendizaje útil, no debe constituir un acontecimiento único. Los estudiantes necesitan las habilidades que pueden adquirirse para enfrentar nuevas formas de exigencias pnkticas y vocacionales. Y tales habilidades no sedesarrollan por el simple hecho de que seles enseñe estadktica (teórica), estadística que deben aplicar despues, como por arte de magia, a problemas prkticos. (Si ellos fueran capacesde hacerlo, pocos de los comentarios crkicos presentados en este capftulo habrian resultado pertinentes). Tampoco se hubieran transmitido tales habilidades simplemente por el hecho de que los estudiantes emprendiesen un proyecto, sino que deben ser enseñadas,precisamente, como seenseña cualquier otra habilidad, particularmente si están destinadas a utilizarse para evaluar el éxito de los estudiantes en un curso de estadfstica.
18. La enseñanza de la probabilidad
y de la estadística en las escuelas obligatorias italianas E. AureIi Chillo, M.P. Pereui d’Argenzio, F. Pesarin
Ensefianza pre-universitaria
en Italia
La enseñanza preuniversitaria tiene tres niveles: la escuela de párvulos para niños de 3 a 5 afros; educación obligatoria de 6 a 14 años y la escuela secundaria superior (con diferentes especializaciones) variando en la duración desde tres a cinco años. La escuela de párvulos no es obligatoria, pero el 80% de los niños que cumplen las condiciones concurren a estasescuelas. La etapa obligatoria está dividida en cinco años de escuela primaria y tres años de escuela secundaria inferior. Al final de cada uno de estos ciclos y despu&de un examenapmpiado, seconfiere un diploma. El ingreso a la universidad solamente es posible después de ocho años de estudio en la escuela secundaria. Respecto a lo que se enseña, el currículo es establecido por la autoridad central (el Ministerio de Educación Pública) y es obligatorio en todo el pais, tanto para las escuelas públicas como privadas. Así, cuando comparamos la enseñanza de una asignatura con otra, nos referimos a un requerimiento nacional y no local. La educación obligatoria nunca habia sido puesta en vigencia seriamente hasta 1962, y, en la pr
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Estudio de casos
panorama moral del mismo. Un subproducto de esta reforma fue la introducción por primera vez, de elementos de estadística y de probabilidad en el currkulo de todos los alumnos. En 1985, se inaodujo un nuevo programa para la escuela primaria. Un aspecto particularmente nuevo y valiosode este programa esla introducción de 16gica,probabilidad básica, estadfstica y ciencia de la computación en el programa de matemática. Pero un análisis de los programas escotares revela también una tendencia a presentar y difundir la estadística, no s610por sí misma, sino también como una forma de comprender mejor las disciplinas no matemáticas y de organizar el conocimiento en forma interdisciplinana.
La enseñanza de la probabilidad y estadística en las escuelas obligatorias De acuerdo al programa oficial, la actividad a realizarse en la escuela primaria cae dentro del área de la asignatura matemática, pero en dos amplias categorlas, a saber ‘la estadfstica como un fin en SCmismo” y ‘la estadística como un instrumento” y en cada categorfa están definidos los objetivos y loscontenidos. Asi, bajo “un fin en slmismo”, el contenido incluye “conceptos, principios y la capacidad de relacionar los metodos estadisticos de representación de hechos, fenómenos y procesos en condiciones de incertidumbre”. Bajo la denominación de “estadktica como un instrumento”, el contenido está descrito como: (a) clasificacióna través de atributos, inclusión, seriahzación, representación lógica de conjuntos, grafitos, cuestiones elementales de naturaleza combinatoria; (b) clasificación de objetos, figuras y números de acuerdo a dos o más propiedades y caracterfsticas, y a una correcta representación de estasclasificaciones mediante diagramas de Venn y Carol, árboles, tablas y tarjetas indizadas y perforadas. Las finalidades estin descritas en dos áreasde temas, ciencia y geograffa. Desde el punto de vista cientffco, los propósitos son: (a) observar, medir, clasificar y formular relaciones en el tiempo y en el espacio; (b) elaborar e interpretar datos; (c) reconocer, identificar y separar variables; (d) emplear tablas simples y otros métodos de representación (histogramas, g&icos, diagramas de bloque, etc.). Desde el punto de vista de la geograffa, los propósitos son lograr información geog&ca, incluyendo la recolección, selección y comprobación de datos presentes en atlas, libros, periódicos y anuarios estadísticos. El contenido de trabajo requerido en probabilidad y estadfstica en la escuela secundaria inferior está dentro del amplio titulo de “la matemática de sucesosciertos y la matemática de sucesos probables”, e incluye relevamiento estadistico y su representación g&ca (histogmmas, aerogramas, etc.), frecuencias y promedios, conjuntamente con ocurrencias aleatorias, la noción de probabilidad y sus aplicaciones. La gula del maestro para interpretar el contenido es la siguiente. La introducción de elementos de estadistica descriptiva y la noción de probabilidad proporciona un instrumento fundamental para el desarrollo de una comprensión matemática de considerable valor interdisciplinario. Las nociones de probabilidad no surgen solamente como una conclusión natural a losrazonamientosenestadlstica, sino tambien de experiencias simples de naturaleza aleatoria. El maestro, al intentar evitar una definición formal de probabilidad, tendti cuidado de prevenir a los estudiantes contra la más común confusión, tanto en la interpretación de los datos matemáticos asf como también en la adopción de probabili-
Enseñanza de probabilidad
y de atadfrtka en Mia
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dad en el pronóstico de sucesos. No obstante, ellos no deben ir rrxk al16de los cálculos que surgen en problemas concretos (genética, economía, juegos, etc.).
Formación docente
La formación matemática de los maestros no los prepara para la introducción de la esmdistica y la probabilidad en la escuela primaria. En consecuencia, el Ministerio de Educación Pública implantó un plan de cinco años para ayudar a los maestros en sus actividades de actualización para el nuevo programa. La aprobación de estas innovaciones no tuvo un efecto inmediato, pero alentó una mayor difusi6n de tendencias innovadoras que habían empezado diez años atis y que habían sido continuadas por maestros motivados y por asociaciones de maestros. Se pueden encontrar propuestas innovadoras similares en muchas revistas académicas de gran difusión cuyo propósito es actualizara los maestros de escuela primaria. Porlogeneral, laspropuestasestánorientadashacia laestadísticaaplicada y, en particular, hacia la estadística demognifica y social. Una fuente de capacitación docente son las revistas de educación. Estashan propuesto para las Clases 1 y II, que los datos deberian ser coleccionados en pequeñas tarjetas y que deberían estar organizados en tablas y transferidos a gr5ficos simples (histogramas de bloques, aerogramas, gráficos de figuras) así como el desarrollo de la capacidad para leer “la realidad” desde un punto de vista sociológico. En la Clase III deberian desarrollarse habilidades lógicas crfticas en las ciencias sociales (tales como historia, geografía y sociología),lasquepodrianutilitarseparaproyectosdeinvestigduón. Losdatosparadichcs proyectos se podrian obtener mediante cuestionarios realizados en el cfrculo familiar o en medio ambientes un poco más amplios como organizaciones de jóvenes y comunidades locales. Los datos recogidos en estos cuestionarios deben organizarse, entonces, en tablas y gtáficos que los estudiantes aprender a leer “estadkticamente”. Dichos proyectos de investigación pueden, también, destacar la evolución de los fenómenos en el tiempo. No obstante esto, se puede obtener, también, de las respuestas dadas por diferentes generaciones, mles como padres y abuelos. Para las Clases IV y V se propuso lo siguiente: fa) el conocimiento y el uso de las fuentes estadísticas oficiales para los estudios sociológicos, históricos y geograficos; (b) un análisis del desarrollodemog&co de la población y sus movimientos (series históricas de población, flujo natural y red migratoria así como, también, tasas de incremento, disminución demog&ica); y (c) la introducción de los conceptos de moda y de media. /
Escuda secundaria inferior Como lo muestra el contenido exigido, el alcance de la enseñanza de probabilidad y de estadkica en la escuela secundaria es muy limitado, de carkter muy general e inevitablemente formativa másbien que informativa. Aún así, debe admitirse que los requerimientos oficiales nunca se han puesto, de hecho, en practica y las razones para ello son varias. Los maestros, a quienes seasigna la tarea de enseñar estadística y probabilidad, son en realidad, aquellos que tambien tienen que enseñar matemática, ciencias naturales, flsica y qulmica. En Italia no existen cursos de graduación de cadcter general y los maestros graduados tenan que seguir cursos especiales de matemática, física o química. En dichos cwsos de
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Esdio de casos
graduación no se ha previsto nada para contemplar la enseñanza obligatoria de estadística ydeprobabilidad, yaunqueestasasignatumsestán incluidas, ellasestánenfocadasenmayor medida para las necesidades de investigación en sectores particulares que para la enseñanza en las escuelas. Aún en los exámenes públicos para profesores, el trabajo escrito de estadfstica y probabilidad no ha sido obligatorio ni existían disposiciones que requirieran una prueba de ese tipo en el examen oral. Frente a tales dificultades, el legislador pensó en poner en vigor la inclusión de probabilidad y estadística planteando preguntas apropiadas en los exámenes finales de matemática. El~resultado de esto ha sido, con frecuencia, un tratamiento rígido y marcadamente formal de la asignatura. El profesor consciente tratara de lograr ayuda en libros de textos, pero la respuesta de los editores ha sido agregar material a los capítulos ya escritos, material que tiene muy poca relación con los objetivos inicialmente propuestos y en algunos casos el tratamiento ha resultado confuso y erróneo. El profesor puede, por lo tanto, buscar ayuda en los centros de investigación universitarios responsables de la metodología de la enseñanza. Estos han elaborado y experimentado en los últimos años las propuestas adelantadas relativas a la enseñanza de probabilidad y de estadística, lo que se hizo con mayor entusiasmo que realismo. Por ejemplo, se ha propuesto un currículo bien articulado que contempla un mínimo de unas 100 horas para la enseñanza de estadfstica y de probabilidad. Puesto que la disponibilidad de tiempo, en una escuela media, para cubrir la enseñanza de matemática, física, química, biología y ciencias naturales, es de casi 180 horas al año, se puede comprender claramente porque dicho currículo es de poca ayuda para los profesores italianos.
Una experiencia en la escuela primaria Entre las distintas propuestas para la renovación de la enseñanza de matemática usando procedimientos estadísticos y los conceptos de “cierto” y de “probable”, nos referiremos al proyecto RICME (Renovación del Currículo de Matemática), proyecto que ha tomado importancia como un ejemplo de una forma posible para planificar un currículo. Este proyecto se apoya en una amplia base experimental y la publicidad que da a sus resultados, los metodos y el material que tuvieron un efecto innovador sobre el pensamiento corriente. El proyecto RICME, puesto en pnktica durante más de diez años, fue inspirado por el proyecto Hungarian OrszQos Pedagógiai Intket [OPI - Instituto Nacional de Educación] con su mayor cuadro teórico para el desarrollo de la conducta y de las habilidades lógicomatemáticas. El proyecto RICME tiene claramente articulados los conceptos de “cierto” y “posible”, así como, tambien, los principios elementales de los procedimientos estadisticos, lo que se ha logrado, además, en forma completa y gradual a través del programa de matemática establecido para niños de escuela primaria. RICME, en su fase experimental, involucró 280 alumnos de catorce clases de cuatro escuelas de las inmediaciones de Roma. Los maestros que participaron en la experiencia fueron apoyados desde el primero al quinto año de escuela elemental, fueron ayudados en reuniones semanales con el Comid TBcnico, en un seminario inicia1 de actualización, y con frecuentes reuniones generales de todos len maestros con aquellos que propusieron la experiencia. !3esometió a los alumnos a un test, al principio de la experiencia y al final de cada año escolar para controlar su desarrollo cognoscitivo y los resultados de su aprendizaje.
Enseñanza de probalddad y de estdktiaz en Italia
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FinanciadoporelConsejoNaciona! para!aInvestigaci6n(CNI) ydirigidoporungrupo de trabajo en la Sociedad Mathesis, bajo la dirección de M. Pellerey, comenzó la etapa experimental en el año escolar 1975176 y terminó en 1979180. Se produjeron folletos de guía para los maestros y cinco carpetas de tarjetas de trabajo. Para poder lograr los propósitos del proyecto, cada maestro tenía amplia libertad para organizar la ensenanza. Se le pidió al maestro que usara, cuando fuera posible, aquellas respuestas y observaciones de los alumnos que los condujeran a una cuantificación estadística y probabilística. No obstante, las tarjetas de trabajo anteriormente mencionadas, constituyen una buena guía para !os metodos de enseñanza utilizados. Estas tarjetas incluyen también, un fndice y una síntesis de la asignatura, con lo que indican claramente la sustancia de la estadkica y de la probabilidad que se está enseñando. En los años primero y segundo, el contenidodel curso requiere la enseñanza de ejercicios simples de combinatoria y la individualización de todas las posibilidades, una descripción delasdiferentesposibilidadescondibujososfmbolos,ensayosdeprobabilidadyexperimentos que den una experiencia úti! de “lo cierto”, “ lo posible” y “lo imposible”, conceptos de pruebas en juegos de azary en experiencias, verificación de frecuencia, recolección, registro y representación de datos y resultados de actividades y experiencias. En tercer año, !a enseñanza requiere una continuación de las actividades relativas a la combinatoria, la verificación de frecuencia y la iniciación a los conceptos de media aritmetica y mediana. En cuarto año, el programa pide un registro de todas las posibilidades encontradas en una situación determinada, el examen de todos los casosposibles y su representación con diagramas cartesianos y de árbol, frecuencias y frecuencias relativas, probabilidad como una relación entre casos favorables y casos posibles, la búsqueda de ejemplos de “imposible”, “cierto”, “ posible”, pero no de hechos ciertos y el arreglo de posibilidades de acuerdo a sus probabilidades. En quinto año la actividad incluye juegos e investigaciones en el campo de arreglos, combinaciones y permutaciones (tambien con pruebas repetidas) juegos y actividades de azar (dados, monedas, fichas), lectura e interpretación de tablas y gtificos estadisticos (pasajes de anuarios, periódicos, etc.), la construcción simple de tablas y de gr&cos referentes a la actividad de explorare investigar, valores medios y relaciones significativas. El contenido anterior surge de las tarjetas de tra!xrjo. En primer año hay sesenta y cinco tarjetas de trabajo más siete tarjetas de control, la mayoria de las cuales estan orientadas hacia las habilidades lógico-matemáticas necesarias para aprender estadística; ellas incluyen la capacidad para agrupar y para clasificar bloques lógicos, para comparar cantidades (más o menos) y para reconocer cantidades comparables (“rnk que todo” o “menos que todo”). Al mismo tiempo, estas tarjetas de trabajo introducen las experiencias de contar ymedirquesonnecesariasparael desarrollodehistogramas. Alfinal,!osalumnosaprenden a pasar de conjuntos a números para las primeras operaciones en matemática las que son, también, operaciones estadísticas. El volumen para segundo año presenta dos tarjetas de trabajo especificas (en un conjunto de cincuenta y cuatro), la primera de las cuales introduce el concepto de frecuencia mediante el registro de datos con símbolos, lo que se puede usar para la construcción de grafitos de columna. La segunda introduce la representación de espacio a través de tablas y g&icos. En el volumen para tercer año, cuatro tarjetas de trabajo (del conjunto de setenta y cuatro) se refieren a estadística. En las dos primeras, se introduce el concepto de moda,
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como la “mayor frecuencia”. Se enseña, además, la operación de registro de datos con símbolos en gr&cos de columnas. En las otras dos tarjetas de nabajo, se introduce el concepto de media aritmética a trav& de operaciones simples de redistribución, por ejemplo, el movimiento de objetos de un grupo a otro. El volumen para cuarto año, dedica ocho tarjetas de trabajo, en un conjunto de setenta y cuatro, a combinatoria, probabilidad y estadística. El primer tema se introduce formando tcdos los números posibles de tres cifras que puedan formarse con tres cifras diferentes, los que se repiten en muchas tarjetas pequeñas. En base a este ejercicio, se puede continuar hacia la clasificación de números derivados de conjuntos lógicos, mles como números impares o números pares, formados de cifras repetidas. Arrojando dados se introduce el reconocimiento de sucesosposibles o imposibles. Y puede ensetirse, a continuación, la determinación de las frecuencias de resultados mediante el lanzamiento repetido de los mismos dados. Otra tarjeta de trabajo lleva a la construcción de diagramas de &bol y a g&cos de resultados de las leyes de probabilidad. Por ejemplo, si tenemos un diagrama de árbol, el lanzamiento de una moneda resultad en la elección de una de dos posibilidades dependiendo de cara o cruz. Y en la parte de estadística, se desarrolla la construcción de histogramas. Pero, el mayor énfasis está sobre los conceptos de media aritmética y de moda, llevando a la búsqueda de información y a su representación en diagramas cartesianos. En el volumen para quinto año, diez tarjetas, en un conjunto de ochenta, están dedicadas a estadística, aunque cinco de ellas son repeticiones de los conceptos de media aritmética, de moda y de introducción a la mediana. Otras dos tarjetas proponen la construcción de diagramas de frecuencia basados en observaciones reales. Otras dos introducen el concepto de porcentaje mediante ejemplos de contar, como por ejemplo, número de cuadrados negros en un tablero de ajedrez, el descuento sobre precios y la representación de porcentajes en diagramas circulares. Hacia el final, otra tarjeta vuelve al tema de probabilidad, para enfatizar el reconocimiento de sucesos posibles, sucesos imposibles, sucesosque son más probables que otros y la determinación de la frecuencia de eventos probables.
Un curriculo
para la escuela secundaria inferior
A la luz de los problemas que confrontan los profesores en este nivel, hemos tratado de proponer un currfculo más satisfactorio. Y al hacerlo, hemos pensado en unir la corrección matemática con la factibilidad de la enseñanza, lo cual podría satisfacer el mayor número posible de situaciones que confrontan los profesores. Se hicieron tambienexperiencias con muestras propuestas para probar, no solamente el contenido, sino también aspectos que requieren “recursos vinculados con el tiempo”. Establecimos, en lo que sigue, nuestra creencia de cuales debieran ser los objetivos educativos y disciplinarios en la enseñanza de probabilidad y de estadística en el nivel secundario inferior. Describimos, en términos generales, nuestras ideas sobre los métodosde enseñanza y damos ejemplos de interacciones que habíamos tenido con alumnos en escuelas destinadas a someter a prueba nuestros enfoques de temas particulares El objetivo educativo fundamental en la enseñanza de la probabilidad es asegurar la comprensión del hecho de que cada acción humana está realizada en un medio ambiente donde está presente un estado de incertidumbre. Deben discutirse las causas de incertidumbre, y el concepto de probabilidad tiene que ser apreciado como la medida matematica de la incertidumbre.
Enseñanra de probabddad y de atadtrticn en itdia
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Los objetivos disciplinarios de la enseiianza de la probabilidad requieren que el estudiante distinga entre situaciones “ciertas”, “imposibles” e “inciertas”, para evaluar la incertidumbre de sucesos, tanto cuantitativa como cualitativamente, en situaciones directas y que utilice unas pocas herramientas básicas para calcular la probabilidad. La expresión más obvia de incertidumbre en el mundo que nos rodea es la variabilidad de los datos observados. Pero la variabilidad no es caótica. Y las variables se parecen, a menudo, entre ellas de una forma que puede resultar informativa. Y el objetivodiscipkrario esencial en la enseñanza de la estadística es determinar cómo puede manejarse tales datos y cómo hacer para que produzcan información. Elprincipalobjetivodisciplinarioesdesa~ollarlacapacidadparapensarobjetivamen~ acerca de los datos que seestan considerando y disociarlos completamente de la fuente que los suministró. Para expresarlo en forma más particularizada, es necesario alimentar las habilidades siguientes: Capacidad para planificar pequeñas investigaciones cognoscitivas, incluyendo la atención a prestar a la información proporcionada por las variables, y capacidad para comprenderlas. Habilidad para organizar formas de recoger datos directamente, así como para recoger información proporcionada por fuentes institucionales, por ejemplo, boletines publicados por instituciones privadas y públicas, archivos, etc. Habilidad para simplificar los datos. Habilidad para sintetizar datos. Capacidad para percibir interrelaciones entre fenómenos y para comprender la dependencia entre variables Capacidad para juzgar la pertinencia y la corrección de la información y de los detalles estadísticos que aparecen en libros, en periódicos, en la televisión, etc.
Métodos El punto de partida debe ser los problemas y btos deben ser tomados, preferentemente de la vida real. No obstante, y s610debido a la complejidad de los problemas que surgen en la vida real, el profesor puede buscar la forma de intrcducirlos de manera adecuada a la madurez y a la comprensión de los alumnos. Y, al mismo tiempo, debe tener presente que la finalidad principal es ayudar a los alumnos para que identifiquen cualitativamente los problemas, más bien que colocarlos en situaciones en las que pueden proporcionar soluciones consumadas. En este sentido, apoyamos una forma de enserkmza que busca estimular el inter& y la curiosidad de los alumnos: una forma de proponer problemas más bien que de resolver problemas. En cada unidad aparece incluido un control especifico del aprendizaje el que normalmente sigue a la explicación. Sin embargo, la evaluación cubre la totalidad de la asignatura ensenada (normalmente la de matemática y ciencias naturales). La descripción de todo el contenido está fuera del alcance de este artículo. Sin embargo, ejemplificaremos en lo que sigue, el enfoque empleado utilizando aquellos aspectos del trabajo que se omiten, frecuentemente, en los textos. Proponemos, en un intento por lograr el primero de los objetivos disciplinarios en la enseñanza de probabilidad, una actividad lingüística basada en el hecho de que los sucesos
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relacionados con nuestras vidas pueden ser “ciertos”, “imposibles” o “inciertos”. Ha quedado demostrado que ka clara, aunque trivial, afirmación funciona bien dentro de las posibilidades de los alumnos de ll afios. Se les pidi6, en consecuencia, a los alumnos que completasen un cierto número de frases empleando, solamente, una de las tres palabras: “cierto”, “incierto”, “imposible”, de la forma siguiente: Es ............ que hoy es lunes. Es ..... ....... que el 25 de diciembre es fiesta. Es ... ..........que me irtEa fin de aíío. Es ............ que ser6 un doctor. Es ............ que voy a la escuela normalmente en ómnibus. Es ....... ... .. que el Equipo X ganara el campeonato. Es ... .. ... .... que el Equipo X perdió el sábado pasado. Es ............ que Antonio id a la playa en las vacaciones. Pudimos reconocer, en las clasesde discusión subsiguientes, que los alumnos tenfan algunas dificultades para completar correctamente las frases, y ello por dos razones: dudas respecto al significado de Uincierto” y una cierta implicación emocional en la situación que se les presentaba. Asf, por ejemplo, casi todos los alumnos consideraban “cierto” que su equipo favorito ganana el próximo partido. En el analisis que realizaron los maestros de estasfrases incompletas, tuvieron buen cuidado de tomar nota de las causasde la falta de seguridad de los alumnos. Teniendo en cuenta el segundo objetivo, pasamosa preparar una tarjeta de naturaleza más cualitativa. El análisis de las vacilaciones anteriores nos había hecho, en efecto, conscientes de que la única palabra “incierto” resulta, a menudo, inadecuada si se emplea sola. Se construyeron, entonces, frases en las que podfan emplearse palabras calificativas adicionales tales como “muyn, ün poco”, Uclaramente”, “casi”, asI: Es ............ incierto que maiiana llovetá. Es ....... ..... incierto que el Equipo X ganar4 el partido del sábado Es *........... incierto que in? marTanaa la escuela. Es ............ incierto que llegar6 a Presidente de la República. Es ,........... incierto que nevar-a en Cortina en Navidad. Estas frases tenfan que completarse individualmente y discutirse, después, en clase. El maestro prestaba una atención particular a las motivaciones que impulsaban al empleo de un adjetivo en lugar de otro. El tiempo total necesario para consolidar y reflexionar sobre la tarea referida insume alrededor de tres horas de trabajo de clase y ahededor de dos horas de trabajo domiciliario. Cuando se hace necesario cuantificar la incertidumbre, tenemos que confrontar, muy pronto, las complejidades del mundo real debiendo, entonces, eliminar de la realidad todo lo que no pertenece al problema que se esta considerando. Pero procediendo asi no debe olvidarse, sin embargo, que podrfamos estar eliminando ciertos aspectos que, de alguna manera, podrfan incidir en el problema, al punto de que su no consideración podría hacer, a veces, que el problema resultase imposible de tratar. Resulta por lo tanto importante, al comienzo, buscar modelos que nos permitan alcanzar nuestros objetivos, consistentes en adquirir los instrumentos que nos capaciten, más tarde, para enfrentar aquellos problemas complejos que la realidad nos presenta. El modelo que hemos elegido para aproximamos
Enseñanza ¿e pbabilhd
y de estadktica en Ida
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a la etapa de cuantificación ha sido el de una urna conteniendo bolas, todas del mismo tamaño y forma, pero de diferentes colores Se trajeron al aula varios recipientes de vidrio transparentes de manera que los alumnos pudiesen ver cuántas bolas de cada color habia dentro de los recipientes. Y se discutieron con los alumnos las cuatro situaciones que se presentan a continuación.
Fig. 1
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 4
Cuando se presenta la situación de la Figura 1, se les pregunta a los alumnos: oque recipiente me conviene máselegir si al sacar una bola negra, con los ojos cerrados, gano un premio? y los alumnos no tienen absolutamente ninguna dificultad en decir que era mejor elegir el segundo recipiente y que, haciéndolo, se estaba seguro de ganar, o sea que ganar constitufa un hecho cierto. Aquf no se ha cuantificado, todavfa, la incertidumbre, sino que hemos distinguido visualmente entre certera, imposibilidad e incertidumbre. Se discutió, despub, la Figura 2 preguntándole a los alumnos: Si usted gana un premio por sacar una bola blanca de una de estasurnas, jcuál elegirfa? iPor que? Las respuestasfueron: “Nohay diferencia”, “Es mejor elegir el primer recipiente”. El error de la primera respuesta surge de la falla de no considerar “todas las bolas”. Se repi ti6, entonces, la pregunta dejando invariable la primera urna, pero agregando seis bolas negras a la segunda urna. Se hizo, así, claro que la obtención del premio dependía del número de bolas blancas y del número de bolas negras. Pero lo que no quedó, ahora, claro fue que la conexión estaba entre ganador y perdedor. Se presentó, por consiguiente una situación del Tipo 3 en la que la pregunta es: “iDe cuál de las dos urnas es más apropiado extraer una bola si gano un premio por sacar una bola blanca?” Muchos alumnos eligieron, en esta etapa, la segunda urna porque contenia más bolas blancas “aunque contuviese, también, másbolas negras”. Pero lo alumnos más lúcidos (que s610recientemente se hablan enfrentado con fracciones equivalentes) marcaron la indiferencia que sepresentaba en la elección, observando la semejanza de la relación entre elecciones favorables y desfavorables y el número total de elecciones. Y con la finalidad de hacer más matemática esta forma de percibir los hechos, se presentó una situación como la de la Figura 4, con doce bolas blancas y cuatro negras en la primera urna y veinte blancas
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Estudiodccaos
y diez negras en la~segunda. Muchos estudiantes eligieron, aquí, la segunda urna porque contenía, no ~610másbolas negras sino, tambien, másblancas. Otros trataron de hacer uso de su facultad visual. A un primer vistazo, la primera urna pare& ser la más probable. Despubde analizar la situación precedente, los alumnos más intuitivos selas arreglaron para explicar que la primera urna presentaba dieciskis posibilidades, pero treinta la segunda y entre btas hay doce blancas en la primera urna y veinte en la segunda. Estableciendo la relación entre los respectivos números, comparamos la razón de doce a dieciséis con la razón deveinte a treinta. &%l es mayor?Repasando la comparación entre fracciones (tema visto en los mesesanteriores) se estuvo de acuerdo que la razón doce a dieciséis es mayor que la raz6n de veinte a treinta. Resulta, as&más conveniente extraer la bola de la primera urna. En esta etapa, los estudiantes trataban de llegara una fórmula para medir la probabilidad clásica, haciendo deducciones relativas al modelo, pero sin haber realizado, realmente, ninguna experiencia. Entonces, y para continuar con la medida de la probabilidad asociada,se le presentaron a los alumnos, recipientes opacos que contenían bolas blancas y bolas negras en número no especificado. Después de preguntárseles: “lde dónde es más conveniente hacer la extracción para obtener una bola blanca?“, 10salumnos contestaban que en este caso no podfan dar ninguna respuesta. Era ahora evidente pata ellos que para poder utilizar la fórmu!a que terminaban de descubrir, era necesario conocer qué contenido tenca cada recipiente. !3ehizo claro, por otra parte, que muchas situaciones de la vida real son semejantes a la de los recipientes opacos. Ud. no conoce o no puede conocer las circunstancias posibles y las circunstancias favorables antes de que ocurran. Y tampoco puede dar vuelta el recipiente para encontrarlas. Para afrontar esta nueva situación se trajeron seis recipientes, cada uno con la misma proporción (s610conocida por el maestro) de bolas blancas y bolas negras, para experimentar con ellos y registrar los resultados. Cuando el número de ensayos comenzó a exceder de lOOporgmpo, sevioquelarazónentmel númerodebolasblancasy el número total debolas comenzaba a ser casi constante. Se habfa alcanzado, asf, una aproximación a la medida de la probabilidad admitiendo como su valor el de la frecuencia relativa observada de un suceso. Esta actividad insumió de ocho a nueve horas de clase apoyadas por otros esfuerzos realizados en sus hogares por los estudiantes. Se le presentaron, despub, a los estudiantes otras situaciones similares que inclufan dados, un matOde cartas y muchas otras semejantes al modelo original. Y, en cada caso, los alumnos tenian que decidir cómo debfa cuantificarse la probabilidad, si por observación o por ensayos repetidos. Para asegurar los objetivos disciplinarios de la enseÍtanza de estadística, se adoptaron propuestas que ya habfan sido tema de experiencias durante largo tiempo. Entre las actividades propuestas a los alumnos figuraban actividades que podlan extraerse de textos o de revistas instructivas. Pensamos, sin embargo, que es particularmente relevante mencionar, con respecto a esto, algunas de las consideraciones que protegfan nuestras elecciones y la forma cómo eran utilizadas. Las situaciones elegidas como modelos han estado siempre caracterizadas por una cierta simplicidad, de manera de evitar el riesgo de perder de vista la teorfa y de evitar ser influenciado por cuestiones no relevantes para el tema en cuestión. Los problemas cuidadosamente elegidos por el maestro y basados en los principios esboados más arriba, se tomaron como el punto de partida mas bien que como un examen de los resultados, de los diagramas y resultados estadísticos recopilados por otrcs. Culminó este trabajo despues de un perkdo de tres afios, lapso después del cual los estudiantes ya hablan llegado, con alguna confianza, a todos los objetivo disciplinarios que habfamos formulado.
Enseñanza de ptobab&dad y de estadlrticaen Italia
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Nos pareció particularmente importante dedicar tiempo al tema inicial, el que con demasiada frecuencia se considera por dado. En efecto, muchos textos corren silenciosamente sobre realidades con el resultado de que los alumnos terminan, a menudo, calculando medias y porcentajes en relación a datos tales como las profesiones de sus padres y los animales domésticos favoritos! De acuerdo con esto, la primera actividad que se propuso fue un simple relevamiento que inclufa a todos los estudiantes en el aula. Les pedimos que dijeran cuál de las asignaturas escolares les habla gustado más. En un caso la distribución de frecuencia fue: a once alumnos les gustaba más la educaci6n ffsica, a siete italiano, a seis matematica, a dos la educación técnica, a uno la música y nadie prefirió otros. A esta altura, y para estimular la discusión el maestro podfa preguntar: $X1 es la asignatura más popular en la clase? iPuedo decir que arte es la asignatura menos popular? iPor qué? iTiene que ser igual el número total de elecciones al número de estudiantes de la clase? Si cada estudiante tiene que indicar dos elecciones: iCuántos items de datos tendrfamos? iExiste un necesario orden de preferencia entre las asignaturas? Trate de construir una representación g&ca de los datos.. Se hizo un esfuerzo, después, por detallar toda la información que podfa proporcionar una tabla de frecuencia y por determinar los datos concisos que podían extraerse de ella. Siguió otro pequeño relevamiento para registrar el mes en que había nacido cada alumno. Una de las tablas resultó asi: dos nacidos en enero; cuatro en febrero; ninguno en marro; siete en abril; tres en mayo; uno en junio; uno en julio; ninguno en agosto; cuatro en setiembre; dos en octubre; uno en noviembre y dos en diciembre. Las preguntas relativas a este relevamiento fueron: Que mes registra el mayor número de nacimientos en la clase? $s cierto que a cada estudiante corresponde un mes en el cual nació? iE.scierto que a cada mes corresponde por lo menos un estudiante nacido en ese mes? Qmo podemos describir esta clase de relación? jexiste algún orden en esta clase de datos? Trata de hacer una representación gr5fica de estos datos. Trate de comparar esta gr5fica con la anterior. Se pudo lograr, despub, fácilmente la definición de “moda” como sfntesis de una distribución de los datos, pero el maestro prestó especial atención a la interpretaciõn de tales valores sintetices de una distribución. A esta altura y teniendo conciencia de la existencia de muchos textos sobre metodos de enseñanza, se abrió una discusión sobre las limitaciones de la información recogida de tales fuentes. Se estuvo de acuerdo en que, muy a menudo, se infieren consecuencias para las cuales sepodía encontrar poca justificación en los datos. Con frecuencia se consideran algunas consecuencias como siendo “verdaderas” en lugar de considerarlas como ‘hip6tesis” que resultan de las observaciones y que para poder considerarlas confiables, necesitan ser ratificadas por otras investigaciones más apropiadas. De esta forma y después de una serie de relevamiento con datos cualitativos y de un análisis simple de los mismos, pasamos a considerar relevamientos con datos numéricos.
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Estudio de caos
Y consideramos importante, en esta tarea, evitar las cifras decimales y el uso de instrumentos de medida para concentramos sobre aquel tema de estadistica. Se ordenaron los datos de manera de poner de manifiesto la diversidad que presentan las diferentes colecciones y para descubrir que ideas tienen los alumnos respecto al significado de “promedios”. Se relevaron elementos populares como ser tamaño de calzado, alturas y pesosde los alumnos, etc., y en esta actividad se puso atención a la precisión de las medidas con la finalidad de asegurar la homogeneidad de los datos recogidos. Los alumnos observaron que pueden ordenarse los datos de acuerdo a varios criterios (ubicación, orden alfabetice, valores crecientes, etc.). .Resu!tó fácil reconocer que la ordenación más conveniente es la que se basa en valores crecientes. Esto túe seguido por las nociones de “mediana” y de “rango de variabilidad”. Se consideraron, y se compararon, además, representaciones gr5ficas con intervalos diferentes de clasificaci6n. Consideramos apropiado introducir la noción de “valor medio” considerando datos de ~tems que pueden ser fácilmente compartidos entre diversas personas (hojas de papel, lápices, caramelos, dinero, trozos de madera, etc.). El siguiente fue un ejemplo: Hay cuatro alumnos y cada uno tiene un block para escribir. El block de Mario tiene veinte hojas libres; el de Alberto tiene ocho; el de Luisa solamente dos y el de Angela tambien dos. Maestro: “iQue puede hacerse para que cada alumnos tenga el mismo número de hojas?” Primera respuesta: “Mario puede esconder dieciocho hojas de su block y Alberto puede esconder seis del suyo”. Segunda respuesta: “Mariopuede dar seisde sushojas a Luisa y otras seis a Angela”. Tercera respuesta: “El maestro puede recoger todas las hojas, dividir el total por cuatro y dar el número resultante a cada alumno”. Se estuvo de acuerdo, en la discusión subsiguiente, que la tercera respuesta era la mejor puesto que era aplicable a grupos de cualquier tamafio. Y la definición de “valor medio” siguió al descubrimiento de su cálculo. Con la finalidad de enseñar formas de reco!ección de datos, utilizamos colecciones de datosestadisticosoficiales: LeRegiom tiCifre (del InstitutoCentral de Estadísticadeltalia, ISTAT, especialmente publicadas para uso escolar). Utilizamos, tambien, datûs provenientes de revistas, periódicos y libros escolares. Se prestó atención a algunos de los errores más comunes que secometen en la representación de datos, asi como las confusiones más comunes relativas a la interpretación de los datos considerados. Con la finalidad de enseñar la dependencia entre variables, representamos los valores de las dos variables como puntos en un sistema de ejes coordenados. Se dividi6, después, en cuatro partes la nube de puntos resultantes dibujando las lfneas medianas. Entonces, y para encontrar un medio simple de dibujar una línea recta que pudiese tomarse para representar la relación subyacente entre las dos variables, determinamos los puntos de intersección de las medianas de los subconjuntos de datos obtenidos de aquellos cuya primera coordenada era mayor o menor que la mediana. Resultó, entonces, facil dibujar la linea recta que sugerfa una idea elemental de correlación. La actividad estadística tota! insumió treinta y tres horas durante tres años.
Nota Final Una historia de la enseñanza de la estadística en la educación superior en Europa, 1660 a
1915 Marla Gídn-ielkz0ttuoim.i
La Segunda Conferencia Internacional sobre la Enseñanza de la Estadística (sigla inglesa ICOTS II) realizada en Victoria, Canadá, en agosto de 1986, dedicó una de sus sesiones a la “Historia de la Enseñanza de la Estadística”. En esta sesión, organizada por el Profesor John Bibby, se recibieron contribuciones presentadas por algunos de los miembros del Grupo Internacional de Trabajo sobre la Historia de la Enseñanza de la Estadística (sigla inglesa IWG-HOTS), un nuevo grupo fundado y coordinado por el Profesor Bibby. Este capitulo, basado en esascontribuciones, intenta comparar los principales acontecimientos del desarrollo de la enset’ianzade la estadística en Bélgica, Francia, Hungría, Italia, el Reino Unido y los Estados Unidos hasta el comienzo de la Primera Guerra Mundial. Y se pone el &fasis de este estudio en la educación superior debido, en parte, “a que es alll donde tuvieron lugar la mayoría de los desarrollos realizados pero, también, porque este nivel está mejor documentado que en los niveles de las escuelas secundarias y vocacionales” (Bibby, 1987).
Origenes Como es bien conocido, la enseñanza de una disciplina que pasó a ser más tarde una disciplina llamada estadística tuvo sus orígenes en la segunda mitad del siglo diecisiete en Alemania. En 1660, H. Conring, Profesor de Derecho Civil en la Universidad de Helmstädt, comenzó a enseñar los elementos de una disciplina que denominónotitiarerum publiumun o Staatenkunde (Ciencia del Estado). Su propósito era describir en forma sistema tica cómo estaban organizados los estados. Hacia fines del siglo diecisiete y comienzos del siglo dieciocho, seensenaba la asignatura introducida por Conring en otras varias universidades alemanas, particularmente en Halle, Frankfurt-on-Oder, Wittenberg, Jena, Altdody Utrechtporprofesoresde derechocivil,de política o de historia, entre los que los másdestacadaseran juristas eminentes, circunstancia que influy6 en el desarrollo de la disciplina y en su enseñanza. Más tarde, G. Achenwall, que fue profesor desde 1746, primero en Marburg y después en Göttingen, reestructur6 la materia, llamándola “estad&ica’, nombre derivado de la palabra italiana %.UC~S~U ” que significa “estadista”. Para él, la función de la estadística consistía en hacer conocer los
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aspectos más importantes y más nombles de un estado. Y para lograrlo, Ia estadfstica tenfa que recoger y describir aquellos sucesosnotables que figuraban en los informes oficiales de actualidad. Es asf que su contenido se vela como una parte de la polftica practica (Wagner, 1879): Las cosas más notables para mencionar acerca del Estado se referfan a pafs... y nación. En lo referente al primero figuraban los elementos geog&cos de importancia politica, mencionando especialmente los productos de cada pafs. Se hacía, también, una estimación del número de habitantes... considerando, después, las causas de ese número, asf como sus costumbres como ciudadanos. Se describfan, además, la constitución legal del estado y las instituciones que no habian sido establecidas por ley. Se indicaba, asimismo, la organización de las oficinas y sus autoridades correspondientes con referencia a cuestiones tales como religión, educación, justicia, finanzas y aparato militar. Sin embargo, la naturaleza de la estadfstica, en esa época, era fundamentalmente cualitativa mãs bien que cuantitativa. Bibby (1987) sostiene que la ausencia de datos numéricos noeraunhechodeliberado, sinoqueeradebido, simplemente, asu muylimitadaexistencia.
La primera difusión Debido a razones geográficas y culturales, la estadfstica “Achenwalliana” se extendió, en primer término, a los pafseseuropeos más cercanos a los estados germanos. La Emperatriz MarCaTeresa incorporó la estadística a las universidades austrfacas y su ensefianza comienza en 1777, con r&o educntiorris (siempre en Ia forma Achenwa!!iana) en la Facultad de Derecho y Ciencias Polfticas de la Universidad de Pest y en cuatro academias estatales de leyes en Hungrfa. En este periodo no se tenfan datos sobre los recursos del estado húngaro y s610se pudo disponer de información cuantitativa despuésde realizado el primer censo (1784/85) bajo el reinado de José II. Es interesante hacer notar, desde un punto de vista político, que el primer ensayo húngaro sobre estadística fue escrito en 1795, en idioma húngaro, a pesar del hecho de que el lenguaje de la enseñanza en la escuela secundaria de la época, y hasta 1848, fue el latfn (Horváth, 1988). Después que Austria conquistó Lombardfa-Venecia, lo que esahora el noreste de Italia, la Universidad de Pavia (en 1814) y la Universidad de Padua (en 1815) quedaron sujetas a las exigencias legales de la educación austrfaca. Como consecuencia, se introdujeron en estas dos universidades, asl como tambien en la Universidad de Praga -a partir de 1816 y sobre la base de una hora por dia- los cursos de primer afro denominados “Una Introducción a la Estadistica Te6rica”, “ Estadistica General Europea” y “Stisrka Specidis del Imperio Austrfaco”. En Pavia, la ensefianza continuó hasta 1859, cuando la ciudad pasó a manos del Reino de Cerdeña (transformandose, después,en el Reino de Italia). Pero, en Padua, continuó hasta 18875 (Ottaviani, 1986). En los Paks Bajos, la ensefianza de la estadística se introdujo (por el Decreto Real de 1807) en la Facultad de Derecho de la Universidad de Leiden, donde ocho años más tarde, otrodecreto reiteró la importancia dela enseñanza y del examen deestadfstica. Entre tanto se crea, en 1806, la primera cátedra, cuyo primer profesor titular fue A. Kluit, nombrado Profesorde‘Estadfsticadelcxr PafsesBajos”. Su enfoque regula la tradicióngermanaaunque tendió a restringir sus clases a la estadfstica de su propio pals, excepto cuando, aunque por
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propósitos polfticos, comparaba, a veces, su pafs con otros palses (Sram!wis, 1986, l-987, 1988). En la época, Bélgica que estaba bajo el dominio holandés, inició la ensefianza de la estadistica en la Facultad de Derecho y al principio se ensefió conjuntamente con otros temas tales como “la historia política de Europa” o füe dejada en manos de profesores de historia del derecho. “Aunque esta combinación pudiese parecer sorprendente en la actualidad, no lo fue en la epoca porque la estadfstica y la historia se velan, a menudo, como estrechamente relacionadas” (Bibby, 1987).
El traslado a.las Facultades de Filosofia y Letras Los desarrollos económicos que siguieron a la Revolución Francesa y el crecimiento de la importancia política de las condiciones económicas en todos los palses, aumentaron la relevancia de la estadística e incrementaron su papel, de forma que la estadística era empleada, cada vez más ampliamente, para describir la situación económica y polftica de los pks. Como consecuencia, sus vinculaciones se hicieron más estrechas con las polfticas económicas por un lado y con la geografía polftica por otro. En particular, tanto la geografía como la estadfstica hacían uso de la misma informaci6n, aún cuando suspuntos de vista fuesen diferentes, situación que hizo difícil separar ambas disciplinas. Entre tanto, el desarrollo de la matemática y de la ciencia y los cambios en las relaciones sociales, trasladaron el foco de la moral y de las ciencias polfticas del estado a la población y despuks al hombre. Todas estas circunstancias contribuyeron para llegar a una modificación del concepto de estadística. Fue el mérito de un belga, A. Quetelet, el haber desarrollado Ia estadística de manera tal de hacer de ella una nueva ciencia (1825-35) descubriendo las leyes que regulan los fenómenos observados de la vida humana. Este concepto cientffico, conjuntamente con su marco de referencia te6rico, que él l!am6 “physiqw s~cid.e”porque aplicaba a lasciencias morales y polfticas métodos que sebasaban en la observación y en la probabilidad, y que se utilizabanenelestudiodelascienciasnatumles. Comoconsecuenciadeestepuntodevista, Quetelet fue atacado por teólogos y filósofos que vefan en sus métodos y en su trabajo tendencias materialistas y una negación de la libre voluntad (Wagner, 1879). De esta forma, Ia estadística como la “physiqw soc¡& ” estuvieron, a la vez, en armonfa y en controversia con algunas de las corrientes filosóficas de su tiempo. Estos puntos de vista diferentes y estas concepciones dispares de la estadfstica y de sus usos generaron diferentes organizaciones didácticas y diversos enfoques relativos al lugar de la enseñanza de la estadística en las universidades de algunos de los paises invducrados. En 1835 se modifica en Bélgica la organización didktica de 1816 que disponla que la enseñanza de la estadfstica tuviese lugar en las facultades de derecho. Hasta 1849, la estadfstica se estudiaba en las facultades de filosoffa y letras, con exámenes obligatorios de filosoffa y lenas, asf como para leyes. No obstante, su enseñanza no era independiente, sino que estaba vinculada a la enseñanza de otras disciplinas tales como la economta polftica, la geograffa y la emograffa. Esta reglamentación, introducida por una comisión de la que el propio Quetelet era miembro, permaneció vigente hasta 1849. En ese ano se suprimió la enseñanza & la estadfstica en la Facultad de Filosoffa y Letras sin que ello levantase ninguna objeción en el debate parlamentario. De esta manera desapareció la estadfstica de las universidades belgas, para reaparecer nuevamente alrededor del afro 1900. Tambien desapareció, en 1849, la enseñanza de la “aritmetica social” que venfa siendo ensefiada
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desde 1838 en escuelas universitarias especiales para ingenieros. No cabe duda de que la enseñanza de la estadística se vio inicialmente favorecida en I36lgica debido a la acción de Quetelet. Pero cuando decidió dedicarse por completo al observatorio de Bruselas, perdió inten% en la enseñanza de la estadística lo que significó el abandono de la asignatura en las universidades belgas. En lo que se refiere al estudio de la probabilidad, la situación fue diferente y su enseñanza se introdujo, en 1835, en la Facultad de Ciencias, donde permaneció, a pesar de su cambio de nomenclatura (Dagnelie, 1988). Bélgica no fue el único pafs donde se enseñó estadística en la Facultad de Filosofia y Letras, ya que la Ley Casati, que regulaba la educación pública en el Reino de Cerdeña, prescnbfa las mismas disposiciones para la enseñanza de “gecgraffa y de estadística”. Podría haber varias razones para esta extraña exigencia: el hecho de que las diferencias entre las dosdisciplinas no estaban claras y que quizás, existiese, también, alguna vacilación política en estar de acuerdo con las exigencias de los intelectuales positivistas y de los liben& italianos para la introducción de la estadística. La enseñanza de la estadística conjuntamente con geografía en las facultades de filosofía y letras se extendió, gradualmente, desde el Reino de Cerdeña a todos los territorios nacionales durante la Unificación de Italia. Sin embargo, estos arreglos provocaron más y más problemas para la disciplina. Además y dado que la estadística era empujada hacia aaás y hacia adelante entre derecho y letras, no lograba ninguna posición firme dentro de la organización de la universidad ni en lo concerniente al reconocimiento académico de su naturaleza científica (Ottaviani, 1986). La enseñanza de la estadística se introduce en los Estados Unidos alrededor de 1845, y es interesante consignar que fue incorporada, en el año académico 1845/46, por el Departamento de Filosofía Moral de la Universidad de Virginia. Este curso se proponía estudiar economía polftica, estadística y filosofía de las relaciones sociales (Noether, 1988). Resulta, entonces, que aún en el Nuevo Mundo, la estadística estuvo inicialmente conectada con disciplinas filosóficas, tal como sucedió en Bélgica en el mismo periodo.
Las relaciones con disciplinas económicas y políticas Después del desarrollo inicial de la estadística como un instrumento para estudiar los aspectos morales e intelectuales del hombre, se hizo evidente la necesidad de aplicar sus tcnicas a !a economía política. Las vinculaciones entre la estadfstica y aquellas discip!inas con preocupaciones económicas se hicieron gradualmente más estrechas y la estadística marchó, entonces, de la mano con la economfa en las universidades y en los institutos de educación superior en los países considerados. En Francia, el primer curso -que utilizó oficialmente la denominación de “‘estadística’- comenzó en Paris en 1854, y fue un curso sobre 16~tadrsti~ de la administración y de los negocios” desarrollado en el Conservatoire NationaldesArtsetMetiers,cursoqueen 1864,cambiódenombre,pasandoadenominarse “Economía Industrial y Estadística”. Sin embargo, la estadística ocupaba solamente una pequeña parte del tiempo total del curso (Pressat, 1988). La estadística lleg6 al Reino Unido en 1859. “Las Sociedades de Estadística de Londres y de Manchester jugaron un papel importante en alentar el entusiasmo del siglo diecinueve por la estadística y los miembros más activos de estas sociedades no eran, con frecuencia, académicos universitarios; algunos de ellos eran funcionarios civiles y otros eran profesionales que utilizaban los datos estadísticos en sus actividades profesionales. Uno de los
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últimos fue FlorenceNightingale, la“damaconlalámpara”desdelaGuerradeCrimea,pero tambien, una “estadistica apasionada” (Bibby, 1987). TambiCn en el Reino Unido se enseñó la estadfstica conjuntamente con la economfa. El primer curso denominado “Ciencia Económica y Estadfstica” sedio en el King’s &!!ege, en Londres, y estuvo a cargo de J.E.T. Rogersqueensefi6la materiahasta 1890, perocomoera uneconomistalediopoco relieve a su contenido estadístico. Por otra parte, la estadística constituyó una disciplina de intert% para el Instituto de Actuari-. Este Instituto, fundado en 1848, estaba preocupado por formar una nueva profesión, capacitada para brindar asesoramiento confiable en el sector de los seguros. Para obtener el certificado de competencia, los miembros del Instituto tenCan que pasar exámenes de matemática, de estadistica de vida, de computación y de construcción de tablas de esperanza de vida, de tenedufia de libros y de trabajo de oficina. A partir de 1857, el propio Instituto dictó cursos y expidió un certificado profesional (Bibby, 1986). En Italia, en 1868, mientras continuaba en las facultades de filosoffa y letras la enseñanza de la estadística conjuntamente con la de la geografia, se inició un nuevo curso de “estadfstica y geografía comercial” en la Escuela Superior de Comercio de Venecia. El curso estuvo a cargo, durante susprimeros ocho años, de L. Bodio, quien fue Presidente del Instituto Internacional de Estadística (sigla inglesa ISI) de 1909 a 1920. Ensefiaba métodos estadfsticos y en su curso se tiene un ejemplo en el que se utilizan los datos provenientes de fuentes empfricas para adaptar la regresi6n lineal a una distribución de tres variables por el método de mfnimos cuadrados (Ottaviani, 1987). En los Estados Unidos, en 1873/74, treinta años después de haberse dictado el primer curso que inclufa temas de estadfstica se introdujo un curso sobre “finanzas públicas y estadfstica industrial” en la Universidad de Yale. El curso estaba a cargo de F. A. Walker, quien fuera superintendente de los censos federales de 1870 y de 1880. Walker estaba interesado tanto en la enseñanza de la estadística como en la preparación de estadísticos. Y con la finalidad de promover el logro de estasfinalidades, colaboró en la organización de la Asociación Americana de Estadfstica (Noether, 1988).
Los años entre 1875 y 1900 Entre los afios 1875 y 1900 se incrementó la difusión de la estadfstica y se realizó una clarificación respecto a su ubicación académica. Se eliminaron de las facultadesde filwoffa y letras los cursos de estadística que quedaban y se enseñó, normalmente, la estadfstica por sf misma o conjuntamente con las ciencias económicas. En Italia, sin embargo, la estadfstica conquistó una posición estable en las facultades de derecho. Se crearon muchas cátedras de estadfstica y los designados para desempefiarlas se concentraron, y en forma creciente, en el estudio de la estadfstica sin tener que dividir sus intereses con otras disciplinas. Sin embargo, la localización de la estadfstica en la facultad de derecho tuvo un efecto negativo, ya que limit6 sus intereses didácticos a las aplicaciones a la ciencia social, impidiendo un desarrollo más profundo de los métodos estadlsticos y un uso más amplio de lamatemáticadentrodelcursomismo. Yestosdosúltimosaspectosrepresentaban, todavfa, necesidades de importancia creciente que llevaron, en 1892, a sugerir la creación en la facultad de ciencia de una catedra de estadfstica matemática, puesto que la ensetinza de la teoria estadfstica que podfa brindarse en las facultades de derecho era limitada y algo superficial (Ottaviani, 1987).
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L.A. Bertillon enseñaba en Francia, desde 1876, en la escuela de antropología, un curso de estadística que !leg6 a ser un curso de “demografía y geografía médica” y a partir del cual nació la enseñanza de la demografía, expresamente dedicada a estudios de población. Alrededor de la misma época apareció, en la escuela de ciencias políticas, la palabra “estadística” en el curso de “estadística y tratados comerciales”, mientras que un año más tarde aparecía “estadística y geografía económica”, un curso que estaba dedicado, esencialmente, a la estadística demogrtifica. Sin embargo, no fue hasta 1892 que se creó en Francia, en la Facultad de Derecho de la Universidad de París, el primer cargo de profesor, cargo desempeñado por A. Faure, y era el único cargo (Pressat, 1988). En el periodo entre 1875 y 1900, aumentó el interés por la enseñanza de la estadística en las universidades americanas y las universidades pioneras de Virginia y el Yale College, conjuntamente con el Columbia College, la Warton School de la Universidad de Pensilvania, el Instituto Tecnológico de Massachusetts, la Johns Hopkins University, la Universidad de Michigan, la Universidad de Harvard y el Wellesley College comenzaron a ofrecer alguna instrucción en estadística. Pero, antes de 1900, su contenido reflejaba la influencia continental, particularmente la de la escuela alemana caracterizada esencialmente, por su preocupación por los datos reales dirigidos al estudio de los fenómenos sociales, económicos, morales (Noether, 1988). Análogamente en Hungría, y hasta 1900, la influencia fue esencialmente alemana, y en medida tal, que continuó usándose, hasta entonces, el texto de Mayr titulado Stadistica Social (Howáth, 1988). Y el mismo texto se utilizaba en Italia en la traducción de G. B. Salvioni. En lo referente a contenido, no pueden encontrarse diferencias significativas en los cursos enseñados entre 1884 y 1894 en Francia, en Italia y en los EstadosUnidos. Los cursos americanos incluían el estudio de la estadística, estadística de población, estadística económica y estadística moral, consideníndose también el método de la observación estadística, el valor de los resultados, la doctrina del Libre Albedrfo y la posibilidad de descubrir leyes sociales. Los cursos italianos comenzaban con una introducción teórica general a la estadística, que incluía probabilidad y una explicación relativa a los medios, seguida por estudios demogtificos considerados tanto del punto de vista estático como del dinámico, incluyendo tablas de mortalidad, elementos de estadística moral y teoría del determinismo. La estadística económica y política seensenaban en un curso separado. Los cursos franceses, después de definir la estadística y de aclarar sus finalidades, examinaban la estadística social y el determinismo incluyendo, tambien, la enseñanza de medios, tablas y representaciones g&icas. Pero todosestoscursos sepreocupaban máspor las aplicaciones sociales, demogtificas y económicas que por los mttodos estadísticos. Solamente en el curso de la Universidad de Nápoles se hacía referencia, en forma específica, a la probabilidad. En la última década del siglo diecinueve, la evolución de la estadística toma un nuevo giro en el Reino Unido, dentro del cual el concepto de estadística mantenía un uso más amplio de matemática y su aplicación a la biología. Este desarrollo fue obra de Karl Pearson, Profesor de Matemática Aplicada y de Mecánica en el University College de Londres donde, en 1894, estaba enseñando estadística matemática. Sus lecciones fueron seguidas por tres estudiantes, uno de los cuales fue G.U.Yule. Pearson ya había mostrado su interés en la estadística en 1890, cuando enseñaba geometría en el Gresham College, donde había iniciado lecciones sobre “filosofía de la ciencia”seguido por la “geometría de la estadística”, que incluía histogramas, diagramas, etc., después “leyes del azar” y, finalmente, la “geo-
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me& del azar”. Ademas, en 189 1, Pearson, conjuntamente con R. Weldon, tomó parte en la investigación de aquellas partes de Ia biología que emplea la estadfstica. Entre tanto, la ensefianza de la estadfstica continuaba vinculada con la economla en el Reino Unido. En 1884 se inició en el University College, Londres, un curso sobre “economfa polftica ilustrada por la estadística” a cargo de F. Y. Edgeworth, que inclufa correlaciones múltiples y el estudio de la bondad de ajuste. A partir de 1895, A. Bowley -a quien M. G. Kendall llamaba “el único heredero estadfstico de Edgeworth’- ensefi6 estadfstica en la Escuela de Economfa de Londres; en 1897 este curso inclufa: la recolección de datos, la tabulación en estadfstica, crkica de resultados y de ausencia de información (Bibby, 1986).
Los años de 19OO a 1915 En este perrodo se introdujeron pocos cambios importantes en la forma como se integraba la ensefianza de la estadfstica en la educación superior en los palses europeos que se han mencionado antes y en los Estados Unidos. Sin embargo, este fue un periodo de transición entre los puntos de vista originales de la estadfstica, caracterizados por una dispersión de temas con escasocontenido metodológico, hacia los nuevos puntos de vista que veían a la disciplina necesitando un mayor empleo de ttknicas matemáticas, de la probabilidad y de la elaboración de métalos más sofisticados para el estudio de datos. Alrededor de 1900, reaparece la estadística en Bélgica entre las asignaturas ensefiadas en las universidades y en algunas escuelas superiores especiales, donde entre los cursen de geografia figuraba uno de “estadfstica”. Decretos oficiales de 1893, 1900 y 1906 instituyeron las carreras en “ciencias administrativas” y en “ciencias comerciales”, dentro de las que se dictaban cursos de “estadfstica” (Dagnelie, 1986). En Francia, la situación permaneció incambiada, en Ia que la estadfstica continuó teniendo una única cátedra, aunque en algunos medios académicos se sentfa la necesidad de una preparación en estadfstica (Pressat, 1988). En Italia se habla ensefiado la estadfstica en las facultades de derecho durante un largo tiempo y los examenes eran obligatorios para poder graduarse en derecho. En 1915 habla veintiún profesores de estadística en las universidades italianas, once de los cuales eran profesores titulares. Se ensefiaba también estadística en lasescuelassuperiore.sde comercio, en las que la enseÍtanza era, ademas, obligatoria e inclufa, generalmente, los principios de Ia estadfstica, demograffa y estadfstica económica (Ottaviani, 1987). En los Estados Unidos, la enseñanza de la estadfstica comenzó a estar m& matematicamente orientada a medida que era progresiva.mente influenciada por las escuelas británicas y escandinavas (Noether, 1988). En el Reino Unido, a pesar de la activa presencia de K. Pearson, no estaba muy diiündida la ensenanza de la estadfstica y su metodologfa -de acuerdo a un relevamiento realizado por Bowley en 1906-no estaba particularmente bien desarrollada. No espor consiguiente para asombrarse que Pearson denunciaba la falta de estadfsticos profesionales. La institución, en 1915, de un grado honorffico en estadística en el University College, Londres, podria considerarse como el primer paso en su preparación (Bibby, 1986). En el periodo entre las dos guerras es que se producen los cambios mas profundos en la ensefiat-ua de la estadfstica en las universidades y en 10sinstitutos de enseiiatua superior en
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todos estos palses. ‘Estos cambios se referian tanto al contenido de loscursos (que asignaba cada vez mayor espacio a la probabilidad y a la matematica) como a la organización de los estudios de estadfstica. Se organizaron, en particular, institutos de estadfstica y cursos de nivel universitarios destinados a la preparación de estadisticos.
Conclusión La enseñanza de-la estadfstica se desarrolló en las universidades alemanas y se extendió a las universidades de palses geogr&a y culturalmente cercanos a Alemania. Particularmente importante resultó !a difusión en Austria, cuya hegemonfa provoc6 UM mayor extensión a Hungrfa y luego a Lombardía/Venecia. La enseñanza, que estaba organizada en las facultades de derecho, consisda de una descripci6n de los aspectos más importantes de cada estado particular y de las comparaciones entre diferentes estados. Entre 1789 y 1815, los acontecimientos históricos en Europa, los desarrollos económicos y los cambios en las relaciones entre el individuo y el estado tuvieron, también, una cierta influencia sobre el papel de la estadística y sobre la organización de su ensefianza. La disciplina se !ig6 en mayor medida a la geogmffa polftica por un lado y a la economfa polftica por otro. Ademas, y como un resultado del trabajo de Quetelet, sedesarrolló la idea de Ia estadística como una ciencia que trata de determinar las leyes que regulan los fenómenos que se observan en la vida humana. Comoconsecuencia, elperfodoentre 1835 y 1859 resu!tóunperfododedesorientación en el que se ense¡? la estadistica en las facultades de filosoffa y letras. Pero entre 1854 y 1874 comienza a incorporarse alguna enseñanza de estadfstica a los cursos de contenido económico eliminándose, en el periodo entm 1875 y 1900 los cursos que hablan permanecido en las facultades de filcsoffa y letras. Sin embargo, se introducen cursos de estadistica en las facultades de derecho de Francia y de Italia, a la vez que aumentaba en el Reino Unido y en los Estados Unidos el número de instituciones en las que se ensetiba estadfstica. Se caracterizaban estos cursos por la dispersión de temas y por una no muy importante componenae metodológica. Pero hacia fines del siglo diecinueve, sin embargo, la enseñanza de la estadistica adquiere un tratamiento teórico más profundo debido principalmente a la obra de Pearson, tratamiento que inclufa un mayor empleo de matemática y una vinculación de la estadfstica con la probabilidad. La enseiianza de la estadfstica estaba, como esnatural, estrechamente vinculada con los desarrollos producidos en la disciplina misma. Tanto la difusión del conocimiento ciendfico como los contactos entre los estadfsticos sevieron consolidados y favorecidos por los Congresos Internacionales de Estadística, el primero de los cuales tuvo lugar en.1853,* y por la creación del ISI en 1885. Esto contribuyó a un acercamiento que, a pesar de las diferencias a lo largo del tiempo y del territorio, revelaban, en último análisis, una linea similar de desarrollo histórico. La enseiianza de la estadfstica a nivel universitario es hoy una realidad en la mayorfa de los paises del mundo. Sin embargo, este capitulo quisiera atestiguar las dificultades del camino recorrido por la enseñanza de la estadística en la educación superiora lo largo del siglo pasado. Su t5xito se debe, totalmente, a la tenacidad de especialistas anteriores y no puede dejar de ser una inspiración para el desarrollo futuro de la enseñanza en los niveles inferiores de la educación.
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Notas Biográficas
ALBRECHT ABELE es Profesor de Matemática y de Educación Matemática en la Pädagogische Hochschule, Heidelberg (República Federal de Alemania). Después de completar sus estudios en matemática, física y ciencias pedagógicas en la Universidad Técnica de Stuttgart y en las Universidades de Munich y deTübingen, enseñ6 matemática y física durante dos años en varias escuelas secundarias (Gymwsium ) y matemática a nivel universitario por cuatro años en la Universidad de Stuttgart. En esta Universidad obtuvo su doctorado en matematica. En 1966 se trasladó a Heidelberg donde ha ensenado matemática y educación matemática desde entonces. Desde 1976 a 1978 fue Rector del Padagogische Hochschule de Heidelberg.. Sus principales intereses sesitúan en la didáctica de matemática (especialmente en la resolución de problemas y en el enfoque experimental), y en situaciones de ensefianza en grupo y en su influencia sobre el proceso de aprendizaje matemático. Ha escrito numerosos trabajos sobre didáctica y desarrollo del currículo. JOHN E. BERNARD es Profesor Asociado de Educación Matemática en la Universidad Panamericana de Edinburg, Texas. Es poseedor de una larga experiencia, ensetindo matemática desde la escuela secundaria inferior a la universidad. Ha trabajado en la formación de docentes y en la conducción de investigaciones a nivel de graduados. Esautor de una serie de artículos sobre álgebra y sobre la sicología de la resolución de ecuaciones, y es co-autor de un libro sobre la enseñanza del algebra y de un artkulo para el anuario del NCFM de 1988. Pasó dos años en el Grupo de Investigación y Desarrollo del Currículo, donde realizó el trabajo del que se informa en este volumen sobre la enseñanza de probabilidad y estadística. Recibió su doctorado en educación matemática de la Universidad de Texas, en Austin, en 1978. ROLF BIEHLER es investigadoren educación matematica en el Instituto para la Didáctica de Matemática (IDM) de la Universidad de Bielefeld. Obtuvo su Diploma en matemática en la Universidad de Marburg, y su doctorado en educación matemática en la Universidad de Bielefeld en 1982. Sus principales intereses se ubican en el desarrollo del conocimiento matemático y de la matemática escolar bajo la influencia de las aplicaciones y de la tecnologia. Su mayor campo de investigación se sitúa en estadística y en el análisis exploratorio de datos desde un punto de vista histórico epistemológico y educativo. Ha
dirigido varios proyectos en cooperación con profesores de matemática, que investigan las posibilidades de los programas educativos y de los programas matemáticos ene1 computador para la educación matemática. ELIZABETH H. BRYAN es Profesora Asociada de Matemática y de Ciencia de la Computación en el Augusta College de Augusta, Georgia (Estados Unidos), donde ha estado ensefiando desde 1966. Fue, con anterioridad, estadístico e instructor en el Departamento de Estadística Experimental de la Universidad de Georgia. Ha trabajado en educación matemática, con particular inte& en la educación estadistica a nivel preuniversitario. Es miembro del Comité Conjuntode la Asociación Americana de Estadística y del NCIM para el Curriculo de Estadística y de Probabilidad. Es miembro del personal del Proyecto de Alfabetización Cuantitativa, fundado por la ASA y por la NSF para la publicación de materiales para utilizar en el aula y para dirigir programas para capacitar docentes en servicio. Ha actuado, tambien, como editora de la revista The SmtisticsTeacher Neauork desde 1985. GAIL BURRILL obtuvo su gradode BS. en la Marquette University en 1960 y su M.S. en la Universidad Loyola de Chicago en 1963. Es, en la actualidad, directora del Departamento de Matemática en el Whimall High School en Greenfield, Wisconsin (Estados Unidos). Es miembro activo de varias asociaciones profesionales, en particular del NCIM, del Wisconsin Mathematics Council, de ASA y del Consejo Nacional de Supervisores de Matemática. Y en este car&zter ocupa, actualmente, la Presidencia del Comite Conjunto ASA/NCIM de Estadística y Probabilidad, y es Directora de los Institutos de Verano Woodrow Wilson de Estadística. En 1985 fue honrada con el Premio Wisconsin Presidential por Excelencia en la Ensei’ianza de Ciencia y de Matemãtica y, en 1986, como Educador Distinguido en Matemática de Wisconsin. Es miembro del grupo de trabajo sobre Pautas en Educación Matemática del K-12 de Wisconsin, y forma parte, tambien, del Consejo del Grupo de Trabajo sobre Curriculo de Educación en Ciencias Maternaticas. Se solicita su participación como expositor en reuniones locales, estatales y nacionales de matermítica y sobre el curriculo y es autora de varios artículos sobre estadistica. ENRICA AURELI CUTILLO es Profesora Asociada de Estadistica Social en la Universidad de La Sapienza de Roma (Italia). Enseña sociologia de la educación en cursos de postgrado sobre investigación social. Sus propias investigaciones y publicaciones se han centrado en instituciones de todos los niveles, particularmente sobre educación en estadistica. MARIA PIA PERELLI D’ARGENZIO es profesora de matemática en la Escuela Secundaria Inferior A. Vivaldi (Dosson, Treviso, Italia). Es miembro de un grupo de estudios sobre matematica escolar bajo el patrocinio del CNR. Ha publicado varios articulos en diversas revistas de educación y tiene una vasta experiencia en la formación de docentes en estadistica y probabilidad. DONALD J. DESSART es profesor de Matemática y de Educación Matemática en la Universidad de Tennessee, Knoxville (Estados Unidos). Obtuvo sus grados de B.S. y de M.S. en la Universidadde Wisconsin, Madison, y su Ph.D. en la Universidadde Maryland, College Park. Ha ensetido matemática y estadistica en la Universidad de Maryland, en la Universidad Estatal de Nueva York en Oneonta, y en las escuelas públicas de Madison, Wisconsin y Escariaba,,en Michigan. Se ha desempeñado como Professional Associate en la Oficina del Programa de Integración de la Fundación Nacional de Ciencia; como Presidente del Comite Asesor de Investigación del MCTM y como Presidente del Consejo Editorial del loumal for Researchin Muthernutics Education En la actualidad es Presidente
del Grupo de Trabajo sobre Pautas para la preparación Post-Bachillerato de Profesores de Matemática. Es Miembro de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia. ANDREJS DUNKELS nació en Latvia y vino a Suecia con su familia en 1944. Es Profesor Asociado de Matemática en la Universidad Luleå en el norte de Suecia, donde reparte su tiempo ensenando matemática a estudiantes de ingenieria y a futuros maestros de escuela primaria. Sus tareas en el campo de la educación de maestros incluye la enseñanza de matemática a nií’ios en los Grados 1 a 6, por lo menos una ver por semana. Con anterioridad enseñó en las Universidades de Upsala y de Umeå (Suecia), en el Colegio de Profesores de Ciencia de Kenya, en Nairobi (Kenya). Se interesa por la ensenanza de matemática a todos los niveles y es autor de textos para todos los niveles desdeescuela primaria a la universidad, asf como varios articulos sobre la enseñanza de matemática (la mayor parte de ellos en sueco). Es también caricaturista y creador de “los Footies” personajes que, desde 1972, han disfrutado discutiendo cuestiones de matemática. RUMA FALK es Profesora Principal del Departamento de Sicología y de la Escuela de Educación de la Universidad Hebrea de Jerusalem (Israel). Estudió matemática, estadkica y sicología en la Universidad Hebrea (con un ano intercalado de probabilidad y de estadistica en Estocolmo, Suecia) donde completó su Doctorado en sicología sobre “la percepción de la aleatoriedad” en 1975. Tiene muchos años de experiencia en la enseñanza de la probabilidad y de la estadística a estudiantes de diferentes orientaciones y dicta, también, cursos sobre análisis del pensamiento estadístico, la sicologia del arar y el desarrollo de conceptos matemáticos en el nino. Sus trabajos de investigación tratan del desarrollo de los conceptos de probabilidad y de infinitud en los niños, la consideración del arar y de las coincidencias y la enseííarua de la probabilidad y de la estadistica. DAVID GREEN es profesor principal de Educación Matemática en la Universidad de Tecnologfa en Loughborough (Reino Unido). Entre 1965 y 1973 enseñó en dos escuelas secundarias y en un colegio de educación, trabajando, a la ver, como investigador matemático para una compafiia de electrónica. En Loughborcugh, a la que se incorporó en 1973, ensefiió maternatica, estadistica y computación para no graduados, que se estaban preparando para profesores y cambien para profesores que concurrian a curso de tiempo parcial de Maestria en Educaciõn Matemática y en Educación en Computación. Sus principales interesesen la investigación se ubican en los conceptos de probabilidad y en los usos de los microcomputadores en la educación, campos en los que tiene numerosas publicaciones. Desde 1987 es el editor de la publicación Teaching Statistics. ANNE HAWKINS ha sido Profesora de Estadistica y de Educación Estadistica en el Instituto de Educación de la Universidad de Londres desde 1977. Originalmente graduada en sicologia, pasó a graduarse, primero como docente y despuéscomo estadistico. Antes de ocupar su cargo actual, enseiió matemática de escuela secundaria y estadistica, pasando más tarde a desempefiarse como profesora en sicologia en el Politknicode Sunderland. Realizó su investigación de postgrado en el área del procesamiento de modelos de información probabilistica aplicados al deletreo de los nifios. Más recientemente ha participado en la investigación y en el desarrollo de la educación estadistica en el Reino Unido. Es Directora del Centro Regional de Londres para la Educación Estadktica y de la Competencia Anual de Estadistica Aplicada para Escuelas y Colegios en el Reino Unido, iniciado por ella en 1983. ED JACOBSEN es Especialista de Programa en educación matemática de la División de Educación Cientifica, Tecnica y Ambiental de la UNESCO, en Paris. Despu& de completar una MSc. en matemática en la Universidad de Wisconsin, Madison, en 1958,
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Notas biqníficm
fue profesor durante seis aks en el Robert College (Universidad Americana de Estambul). De regreso a los Estados Unidos, obtuvo el grado de Ph.D. en la Universidad de Kansas. Desputs de actuar como profesor por unos pocos anos en los Estados Unidos y en Espaila, se incorporó a la UNESCO, actuando en las facultades de educación de las Universidades de Nairobi, de Botswana, Lesotho y Swazilandia, antes de trasladarse a la Sede Central de Unesco en Paris, en 1976, donde esta encargado de la educación matematica. WIM J. KERKHOFS enseiió matemática en escuelas secundarias hasta incorporarse al Departamento de Matemática del Instituto Nacional para el Desarrollo Curricular (SLO) enEnschede (Paks Bajos), en 1980. Durante su permanencia en el InstitutoNacional, su preocupación principal fue el desarrollo de propuestas para un nuevo currkulo para alumnos de 12 a 16 afios de edad, especialmente para enseñar en grupos heterogéneos. En 1986, abandonó el Instituto Nacional para hacerse cargo de un puesto como profesor de matematica y de estadfstica en una escuela superior de educación comercial. MARIA GABRIELLA OITAVIANI obtuvo un grado en EconomCay en Comercio en la Universidad de Bolonia (Italia). Es Profesora Asociada de Principios de Estadktica, Probabilidad y Estadistica Aplicada en la Facultad de Ciencias Estadisticas, Demogr&cas y Actuariales de la Universidad La Sapienza de Roma. Tanto sus trabajos de investigación como sus publicaciones se han centrado sobre puntos aislados, estimadores eficientes y la historia de la ensenanza de la estadistica. Es el editor rn5.santiguo del Bollettino delkxSocietà Italirma di Scatistica (Boletin de la Sociedad Italiana de Estadfstica). LIONEL PEREIRA-MENDOZA es Profesor de Educación Matemática en la Memorial University de Newfoundland, St. John% (Cana&). Obtuvo un B.Sc. y un M.Sc. en la Universidad de Southampton y un doctorado en la Universidad de la Colombia Británica. Ha ensefiado a diferentes niveles, desde la escuela primaria a la universidad, y en diversos paises. Ha sido invitado como orador a varias conferencias internacionales y ha publicado numerosos artículos sobre educación matemática. FORTUNATO PESARIN es Profesor de Estadistica en la Universidad de Padua (Italia). Sus centros de intert% en la investigación se sitúan en la estadistica teórica yen la estadistica matemática. Participa del desarrollo del currkulo de educación estadlstica y posee una vasta experiencia en formación docente. Es autor de varios libros de estadistica y de probabilidad de nivel universitario y de trabajo sobre educación, tanto para el nivel secundaria como universitario. BRIAN R. PHILLIPS es profesor en el Departamento de Materkica del Instituto Tecnológico Swinbume, Melbourne (Australia). Su principal responsabilidad, como tal, es dar cursos de estadlstica para cientificos sociales y de matemarica para ingenieros. Y,al mismo tiempo, su propio interks personal se sitúa en el desarrollo de materiales para la ensefianza de la estadistica, los que lograron particular difusión como resultado de su participación en las Carreras y en el Proyecto de Matemática del Instituto Australiano de Ingenieros y que lo llevaron a ser uno de los autores de cinco libros sobre el lugar de la matematica en el lugar de trabajo. THOMAS L. SCHROEDERposeeungradode BachillerenMatem5ticadelaUniversidad de Princeton, New Jersey (Estados Unidos) y un Ph. D. en Educación Matemfitica de la Universidad de Indiana. De 1969 a 1974 sirvió como voluntario en el Cuerpo de Paz en el este del Caribe, trabajando primeramente, con el Ministerio de Educación en Dominica y, mas tarde, con el Proyecto de Matematica del Caribe localizado en la Escuela de Educación de la Universidad de las Indias Occidentales, en Barbados. En la actualidad es Profesor
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Asociado en la Facultad de Educación de la Universidad de Calgary (Alberta, Canada) donde tiene a su cargo cursos a niveles tanto de pregrado como de postgrado sobre la ensenanza y el aprendizaje de matematica. Sus centros de inter& en la investigación se sitúan en la comprensión de los estudiantes de varios temas de matemática, incluyendo probabilidad y en las formas como pueden los profesores evaluar y promover la comprensión de los estudiantes HANS SCHUPP es Profesor de Matemática y de Educación Matematica en la Universidad de Saarland en Saarbrücken (República Federal de Alemania) +Se graduó en la Universidad Johannes Gutenlxrg en Mainz, en 1962. Trabajó hasta 1970, como profesor en una escuela secundaria (Gymnusirun ) y como instructor en servicio en Darmstadt. Y a partir de entonces, y hasta 1978, fue Profesor en el Institutode Formación Docente en Saarbrücken. De 1979 a 1983 fue Presidente de la Sociedad Alemanade Educación Matemática (GDM). Sus centros de inter& en la investigación, así como sus publicaciones se refieren a la ensenanza y al aprendizaje de la estadística y de la geometrfa. HEINZ STEINBRING es un investigador en educación matemática en el Instituto para la Didáctica de la Matemática (IDM) de la Universidad de Bielefeld (República Federal de Alemania). Se diplomó en matemática en la Universidad de Bonn y se doctor6 en educaci6n matemática en la Universidad de Bielefeld. Sus intereses profesionales principales son: los fundamentos cientificos de la educación matematica, investigación sobre el curriculo y el programa de matemática de la escuela secundaria inferior y el análisis de la epistemologia especifica del conocimiento matemático en el aula. Su investigación en educación se centra sobre la dificil interrelación entre la teoria didactica y la practica de la ensefianza en matemática. Gran parte de su trabajode investigación esti estrechamente vinculado a la cooperación con profesores de matematica, proporcionando una base para los seminarios en servicio con profesores de matemática a los cuales van dirigidos tales seminarios. Es co-autor de varios libros y de materiales de ens&anza sobre educación matemática y sobre matemática escolar (especialmente dirigidos a probabilidad y estadistica). JORDAN M. STOYANOV es investigador principal en el Instituto de Matemática de la Academia Búlgara de Ciencias y Profesor de la Universidad de Sofia (Bulgaria). Su tesis fue realizada en el campo de la teoria de probabilidades y de los procesos esto&ticos. Es autor de varios trabajos y de varios libros, algunos de estos últimos han sido traducidos y publicados en otros idiomas, particularmente polaco, ruso e ingles. Ha participado en muchas conferencias internacionales y ha dictado conferencias en varias universidades europeas y canadienses. Su principal y permanente centro de inter& sesitúa en la educación matemática a todos los niveles. Varias de sus publicaciones han estado dirigidas a estudiantes de escuela secundaria y a sus profesores.
