Kumpulan Soal SPLKDV Latihan 2.1 Menentukan penyelesaian SPLKDV dengan metode grafik. 1. Dengan menggunakan metode grafik, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut. y = x2 – 8x + 15 y=x–5 Penyelesaian : i) Menentukan titik potong garis y = x – 5 dengan sumbu x dan y x y=x–5 (x, y) Titik potong garis y = x – 5 dengan 0 -5 (0, -5) sumbu y Titik potong garis y = x – 5 dengan 5 0 (5, 0) sumbu x 2 ii) Untuk parabola y = x – 8x + 15 a. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu x (syarat y = 0) y = 0 x2 – 8x + 15 = 0 (x – 3)(x – 5) = 0 x = 3 atau x = 5 Titik potong parabola dengan sumbu x adalah (3, 0) dan (5, 0) b. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu y (syarat x = 0) x = 0 y = 02 – 8.0 + 15 y = 15 Titik potong parabola dengan sumbu y adalah (0,15). b D c. Menentukan titik puncak (xp, yp), dimana xp = , dan yp = 2a 4a b (8) xp = = =4 2a 2.1 2 D b 2 4ac ( 8) 4(1)(15) 64 60 yp = = = = = –1 4a 4 4(1) 4a atau yp = xp2 – 8xp + 15 = 42 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1 Titik puncak parabola adalah (xp, yp) = (4, –1). iii) Menggambar semua titik yang diperoleh pada koordinat kartesius yang sama kemudian hubungkan sehingga memperoleh sebuah garis lurus dan sebuah parabola.
iv) Dengan memperhatikan grafik garis dan parabola di atas maka diperoleh titik-titik potong garis dan parabola yaitu : (4, –1) dan (5, 0) v) Jadi, penyelesaian dari SPLKDV tersebut diatas adalah {(4, –1),(5, 0)} 2. Dengan menggunakan metode grafik, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut ini. y=x–1 y = 2x2 – 3x + 1 Penyelesaian : i) Menentukan titik potong garis y = x – 1 dengan sumbu x dan y X y=x–1 (x, y) Titik potong garis y = x – 1 dengan 0 -1 (0, -1) sumbu y Titik potong garis y = x – 1 dengan 1 0 (1, 0) sumbu x 2 ii) Untuk parabola y = 2x – 3x + 1 a. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu x (syarat y = 0) y = 0 2x2 – 3x + 1 = 0 (2x – 1)(x – 1) = 0 2x – 1 = 0 atau x – 1 = 0 2x = 1 atau x = 1 1 x= atau x = 1 2 1 Titik potong parabola dengan sumbu x adalah ( , 0) dan (1, 0) 2 1
b. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu y (syarat x = 0) x = 0 y = 2(0)2 – 3(0) + 1 y=1 Titik potong parabola dengan sumbu y adalah (0,1). b D c. Menentukan titik puncak (xp, yp), dimana xp = , dan yp = 2a 4a b (3) 3 xp = = = 2a 4 2.2 2 2 D 1 b 4ac (3) 4( 2)(1) 9 8 yp = = = = =– 4a 4( 2) 8 8 4a 3 1 Titik puncak parabola adalah (xp, yp) = ( , ). 4 8 iii) Menggambar semua titik yang diperoleh pada koordinat kartesius yang sama kemudian hubungkan sehingga memperoleh sebuah garis lurus dan sebuah parabola.
iv) Dengan memperhatikan grafik garis dan parabola di atas maka diperoleh hanya satu titik potong garis dan parabola yaitu : (1, 0) v) Jadi, penyelesaian dari SPLKDV tersebut diatas adalah {(1, 0)} 3. Dengan menggunakan metode grafik, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut ini. y=x+3 y = x2 – 4 Penyelesaian : i) Menentukan titik potong garis y = x + 3 dengan sumbu x dan y X y=x+3 (x, y) Titik potong garis y = x + 3 0 3 (0, 3) dengan sumbu y y=x+3 Titik potong garis -3 0 (-3, 0) dengan sumbu x 2 ii) Untuk parabola y = x – 4 a. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu x (syarat y = 0) y = 0 x2 – 4 = 0 (x + 2)(x – 2) = 0 x + 2 = 0 atau x – 2 = 0 x = - 2 atau x = 2 2
Titik potong parabola dengan sumbu x adalah (- 2, 0) dan (2, 0) b. Menentukan titik potong parabola dengan sumbu y (syarat x = 0) x = 0 y = (0)2 – 4 y=-4 Titik potong parabola dengan sumbu y adalah (0, - 4). b D c. Menentukan titik puncak (xp, yp), dimana xp = , dan yp = 2a 4a b ( 0) xp = = =0 2a 2 .1 2 D 16 b 2 4ac (0) 4(1)(4) yp = = = = =-4 4(1) 4a 4 4a Titik puncak parabola adalah (xp, yp) = (0, -4). iii) Menggambar semua titik yang diperoleh pada koordinat kartesius yang sama kemudian hubungkan sehingga memperoleh sebuah garis lurus dan sebuah parabola.
iv) Dengan memperhatikan grafik garis dan parabola di atas maka diperoleh hanya satu titik potong garis dan parabola yaitu : (-2.2, 0.8) dan (3.2, 6.2) v) Jadi, penyelesaian dari SPLKDV tersebut diatas adalah {(-2.2, 0.8), (3.2, 6.2)}
Latihan 2.2 Menentukan penyelesaian SPLKDV dengan metode substitusi. 1. Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut ini. y = x2 – 8x + 15 y=x–5 Penyelesaian: Diketahui y = x2 – 8x + 15 ............................ (1) y = x – 5 ........................................ (2) Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh x – 5 = x2 – 8x + 15 0 = x2 – 8x + 15 – x + 5 x2 – 9x + 20 = 0 difaktorkan menjadi (x – 4)(x – 5) = 0 x – 4 = 0 atau x – 5 = 0 x = 4 atau x = 5 Kita peroleh x1 = 4 dan x2 = 5 Substitusi nilai x1 = 4 dan x2 = 5 ke persamaan (2) sehingga x1 = 4 y1 = 4 – 5 = - 1 diperoleh titik (4, - 1) dan x2 = 5 y2 = 5 – 5 = 0 diperoleh titik (5, 0). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, -1), (5,0)} 2. Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut ini. y=x–1 y = 2x2 – 3x + 1 Penyelesaian: Diketahui y = x –1 ............................ (1) y = 2x2 – 3x + 1 ............... (2) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga diperoleh x – 1 = 2x2 – 3x + 1 0 = 2x2 – 3x + 1 – x + 1 2x2 – 4x + 2 = 0 disederhanakan menjadi x2 – 2x + 1 = 0 difaktorkan menjadi (x – 1)(x – 1) = 0 x – 1 = 0 atau x – 1 = 0 x = 1 atau x = 1 3
Kita peroleh x1 = x2 = 1 Substitusi nilai x1 = x2 = 1 ke persamaan (1) sehingga x1 = x2 y1 = y2 = 1 – 1 = 0 diperoleh titik (1, 0) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { (1,0)}
x=
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)
3. Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut ini. y=x+3 y = x2 – 4 Penyelesaian: Diketahui y = x + 3 ............................ (1) y = x2 – 4 ........................... (2) Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh x2 – 4 = x + 3 x2 – 4 – x – 3 = 0 x2 – x – 7 = 0 Dengan menggunakan rumus abc, diperoleh ( 1) ( 1) 2 4(1)(3) 1 29 b b 2 4ac x1,2 = = = 2 2(1) 2a x1 =
1
29 2
-2.2 dan x2 =
1
29 2
3.2 ..................... ( 29 = 5,4)
Substitusi nilai x1 = 4 dan x2 = 5 ke persamaan (1) sehingga x1 = –2,2 y1 = –2,2 + 3 = 0,8 diperoleh titik (–2,2 , 0,8) dan x2 = 3,2 y2 = 3,2 +3 = 6,2 diperoleh titik (3,2 , 6,2). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–2,2 , 0,8), (3,2 , 6,2)} 4. Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan penyelesaian dari SPLKDV berikut ini. x2 – xy + y2 = 7 (elips) x – xy + y = –1 (hiperbol) Penyelesaian: x2 – xy + y2 = 7 ............................. (1) x – xy + y = –1 ............................. (2) Persamaan (2) diubah menjadi x(1 – y) + y = –1 x(1 – y) = – 1 – y
1 y ............................. (3) 1 y
1 y 1 y
2
1 y y y 2 7 1 y
(1 y ) 2 y ( 1 y ) y 2 7 (kalikan dengan (1 – y) 2 diperoleh 2 1 y (1 y )
( 1 y ) 2 y ( 1 y ) .(1 y ) 2 .(1 y ) 2 y 2 .(1 y ) 2 7(1 y ) 2 2 1 y (1 y )
( 1 y ) 2 . y (1 y )(1 y ) y 2 .(1 y ) 2 7(1 y ) 2 1 + 2y + y2 – y(–1 + y2) + y2 (1 – 2y + y2) = 7(1 – 2y + y2) 1 + 2y + y2 + y – y3 + y2 – 2y3 + y4 = 7 – 14y + 7y2 y4 – 3y3 + 2y2 + 3y + 1 – 7 + 14y – 7y2 = 0 y4 – 3y3 – 5y2 + 17y – 6 = 0 y1 = –1 – 2 , y2 = –1 + 2 , y3 = 2, y3 = 3 Substitusi setiap nilai y ke persamaan (3) diperoleh 1 ( 1
y1 = –1 – 2 –2,4 x1 = y2 = –1 +
2 0,4 x2 =
2)
1 ( 1
2)
1 ( 1
2)
1 (1
2)
=
=
2 2
2 2
2
2
0,4 –2,4
1 2 =3 1 2 1 3 y4 = 3 x4 = =2 1 3 Jadi, himpunan penyelesaian SPLKDV tersebut adalah y3 = 2 x3 =
{(
2 2
2
, –1 – 2 ), (
2
2
2
,–1 +
2 ), (3,2), (2,3)}
Soal Ulangan Harian Subbab A 1. Sistem persamaan y=x+c y = x2 + 3x 4
mempunyai penyelesaian tunggal. Nilai c dan x + y berturut-turut adalah .... A. – 1 dan – 3 B. – 1 dan 1 C. – 1 dan 0 D. 1 dan – 3 E. 1 dan 3 Pembahasan: Diketahui y = x + c ....................... (1) y = x2 + 3x .................... (2) substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh x2 + 3x = x + c x2 + 3x – x – c = 0 x2 + 2x – c = 0 b 2 x1 + x2 = = = –2 a 1 karena penyelesaiannya tunggal maka x1 = x2, sehingga x1 + x2 = 2x1 = –2 x1 = x2 = –1 ............................ (3) c x1.x2 = a c (–1)( –1) = 1 c = –1 ................... (4) substitusi persamaan (4) ke persamaan (1) diperoleh y = x – 1 ....................... (5) substitusi persamaan (3) ke persamaan (1) diperoleh y = –1 – 1 = –2 ................................. (6) Nilai x + y = - 1 + (–2) = – 1 – 2 = –3 Jadi, nilai c dan x + y berturut-turut adalah – 1 dan – 3 Jawaban : A 2. Jumlah x dan y dari solusi (x, y) yang memenuhi sistem persamaan x–y=0 x2 + 5x – y = 2 adalah .... A. – 12 B. – 10 C. – 8 D. 6 E. 10 Pembahasan: Diketahui x – y = 0 y = x .............................. (1) x2 + 5x – y = 2 y = x2 + 5x – 2 ..................... (2) Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh
x2 + 5x – 2 = x x2 + 5x – 2 – x = 0 x2 + 4x – 2 = 0 x2 + 4x + 4 – 6 = 0 (melengkapkan kuadrat sempurna) (x + 2)2 – 6 = 0 (x + 2)2 = 6 x+2= 6 x = –2 6 x1 = –2 – 6 atau x2 = –2 + 6 ........................ (3) Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1), diperoleh y1 = –2 – 6 atau y2 = –2 + 6 ....................................... (4) Solusi dari (x, y) yang memenuhi sistem persamaan adalah {(–2 – 6 , –2 – 6 ), (–2 + 6 , –2 + 6 )} x1 + y1 = –2 – 6 + (–2 – 6 ) = –4 – 2 6 x2 + y2 = –2 + 6 + (–2 + 6 ) = –4 + 2 6 Jumlah x dan y dari solusi (x, y) yang memenuhi sistem persamaan adalah (x1 + y1) + (x2 + y2) = (–4 – 2 6 ) + (–4 + 2 6 ) = –4 – 2 6 – 4 + 2 6 = –8 Jawaban : C 3. Salah satu penyelesaian bulat dari sistem persamaan 2y – x = 6 2x2 + 3y2 = 56 adalah (x0, y0). Nilai dari 2x0 + y0 = .... A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Pembahasan: Diketahui 2y – x = 6 .......................... (1) 2x2 + 3y2 = 56 ................... (2) Dari persamaan (1) diubah menjadi x = 2y – 6 .......................... (3) Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh 2(2y – 6)2 + 3y2 = 56 2(4y2 – 24y + 36) + 3y2 – 56 = 0 8y2 – 48y + 72 + 3y2 – 56 = 0 11y2 – 48y + 16 = 0 (11y – 4)(y – 4) = 0 11y – 4 = 0 atau y – 4 = 0 11y = 4 atau y = 4 5
4 atau y = 4 11 Penyelesaian bulat nilai y adalah y = 4 .......................... (4) Substitusi nilai y pada persamaan (4) ke persamaan (3) sehingga diperoleh x = 2(4) – 6 = 2 Penyelesaian bulat dari sistem persamaan tersebut adalah (x 0, y0) = (2, 4) Jadi, nilai 2x0 + y0 = 2(2) + 4 = 8 Jawaban : D y=
4. Ordinat penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 1 y = x2 – x + 1 adalah .... A. – 1 dan 7 B. 0 dan – 3 C. 1 dan 7 D. 1 dan – 5 E. 0 dan 3 Pembahasan: Diketahui y = 2x + 1 ...................... (1) y = x2 – x + 1 ................ (2) Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh x2 – x + 1 = 2x + 1 x2 – x + 1 – 2x – 1 = 0 x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 x = 0 atau x – 3 = 0 kita peroleh x1 = 0 dan x2 = 3 ........................ (3) substitusi masing-masing nilai x pada persamaan (3) ke persamaan (1) sehingga diperoleh y1 = 2(0) + 1 = 1 dan y2 = 2(3) + 1 = 7 Jadi, ordinat penyelesaian dari sistem persamaan tersebut diatas adalah 1 dan 7. Jawaban : C 5. Titik (a, b) adalah satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan y = –2x – 2 y = x2 – 4x – 1 Nilai dari a + b = .... A. 0 B. – 1 C. – 2 D. – 3 E. – 4 Pembahasan: Diketahui
y = –2x – 2 ............................... (1) y = x2 – 4x – 1 .......................... (2) Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh x2 – 4x – 1 = –2x – 2 x2 – 4x – 1 + 2x + 2 = 0 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1 a = 1 (penyelesaian tunggal) Substitusi x = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh y = –2(1) – 2 = –4 b = –4 Karena penyelesaian tunggal (a, b) = (1, –4) maka Nilai dari a + b = 1 + (–4) = –3 Jawaban : D 6. Diketahui sistem persamaan y = 6x2 + 3x y = 4x + 2 mempunyai penyelesaian x1 dan x2 dengan x1 < x2. Maka nilai dari 2x1 + 3x2 = .... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 Pembahasan: Diketahui y = 6x2 + 3x ................................... (1) y = 4x + 2 ...................................... (2) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh 6x2 + 3x = 4x + 2 6x2 + 3x – 4x – 2 = 0 6x2 – x – 2 = 0 (2x + 1)(3x – 2) = 0 2x + 1 = 0 atau 3x – 2 = 0 2x = –1 atau 3x = 2 1 2 x= atau x = 2 3 1 2 Karena x1 < x2 maka x1 = dan x2 = , sehingga nilai dari 2 3 1 2 2x1 + 3x2 = 2( ) + 3( ) = –1 + 2 = 1 2 3 Jawaban : B 7. Jumlah semua nilai x yang memenuhi sistem persamaan 6
y = x2 + x y = 11x + 24 adalah .... A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13 Pembahasan: Diketahui y = x2 + x .................................... (1) y = 11x + 24 ............................... (2) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x2 + x = 11x + 24 x2 + x – 11x – 24 = 0 x2 – 10x – 24 = 0 (x + 2)(x – 12) = 0 x + 2 = 0 atau x – 12 = 0 x1 = –2 atau x2 = 12 Jumlah semua nilai x yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah x1 + x2 = –2 + 12 = 10 Jawaban : B
9. Diketahui bahwa x2 + 2xy + 2y2 = 13 dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x – y yang mungkin dengan x > 0 dan y > 0 adalah .... A. 4, 1, - 4 C. 1, - 1 B. 4, 4 D. – 1 E. 4, 1, - 4, - 1 10. Jika diketahui a + b + c = 18 a2 + b2 + c2 = 756 a2 = bc maka a = .... A. – 18
B. – 12
C. 1
D. 12
E. 18
8. Jumlah semua nilai x yang memenuhi sistem persamaan y = x2 + 300 x + y = 410 adalah .... A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2 Pembahasan: Diketahui: y = x2 + 300 ......................... (1) x + y = 410 .......................... (2) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x + (x2 + 300) = 410 x2 + x + 300 – 410 = 0 x2 + x – 110 = 0 (x + 11)(x – 10) = 0 x + 11 = 0 atau x – 10 = 0 x1 = –11 atau x2 = 10 Jumlah semua nilai x yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah x1 + x2 = –11 + 10 = –1 Jawaban : B 7
Penerapan SPLKDV dalam geometri 1. Sebuah area berbentuk persegi panjang seperti gambar berikut. y x
y x
x
Akan diberi pagar pada sisi-sisinya (x dan y bilangan asli). Jika panjang pagar yang tersedia hanya 240 meter, tentukan ukuran maksimum area tersebut. Penyelesaian: Keliling area tersebut adalah 3x + 4y = 200 ....................... (1) Luas area L = 2y.x L = 2xy .......................... (2) Dari persamaan (1) kita peroleh 3x + 4y = 240 4y = 240 – 3x 240 3 x y= ....................... (3) 4 Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2), diperoleh 240 3 x L = 2x 4 3 2 L = 120x – x ........................ (4) 2 Ada dua metode yang bisa kita gunakan untuk menentukan nilai x ini yaitu: Metode 1 : Dengan cara coba-coba X Y L 4 59 376 8 58 704 12 57 984 16 56 1216 20 55 1400 24 54 1536 28 53 1624 Metode 2: Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna
3 2 3 2 x L=– (x –80x) 2 2 3 L=– {(x2 –80x + 1600) – 1600} 2 3 L=– (x – 40)2 + 2400 2 Nilai maksimum diperoleh untuk x – 40 = 0 x = 40 Substitusikan nilai x = 40 ke persamaan (3) sehingga diperoleh nilai y, yaitu 240 3( 40) y= = 30 4 Jadi, kita peroleh ukuran maksimum area tersebut agar luasnya maksimum adalah x = 40 meter dan y = 30 meter. L = 120x –
2. Sepotong kawat yang panjangnya 90 cm dibengkokkan seperti pada gambar di samping. Jika luas bangun tersebut dinyatakan dengan y L = 36x – 6x2, tentukan nilai x dan y agar L maksimum. Penyelesaian: Keliling bangun tersebut adalah K = 8x + 5x + 5x + y + y 90 = 18x + 2y 2y = – 18x + 90 y = – 9x + 45 ..................................... (1) L = 36x – 6x2 L = – 6(x2 – 6x) L = – 6{(x2 – 6x + 9) – 9} L = – 6{(x – 3)2 – 9} L = – 6(x – 3)2 + 54 L akan menjadi maksimum apabila x = 3 ............................ (2) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh y = –9(3) + 45 = 18. Jadi, agar luas L maksimum maka nilai x = 3 dan y = 18.
5x
5x
y 8x
3. Suatu roket ditembakkan dari pangkalan musuh dengan persamaan lintasan S(t) = 10.000 – t2, dimana S dalam m dan t dalam s, untuk menghancurkan kapal induk lawan 8
yang sedang bergerak dengan persamaan S(t) = 990t. Waktu yang diperlukan sampai tepat terjadinya benturan adalah .... A. 10 menit B. 15 menit C. 20 menit D. 25 menit E. 30 menit Penyelesaian: 4. Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Ukuran kandang agar luasnya maksimum adalah ....
5.
9
