Kumpulan Rumus Cepat Matematika SMA.pdf

Disusun Per Bab Dilengkapi Penyelesaian Cara Biasa

Written by:

Distributed by:

Halaman A.

Persamaan Kuadrat ...................................................... .................................................................................. ................................... ....... 2

B.

Fungsi Kuadrat ..................................................... .................................................................................. .......................................... ............. 33

C.

Pertidaksamaan .................................................... ................................................................................ ......................................... ............. 53

D.

Statistika ..................................................... .................................................................................. ....................................................... .......................... 73

E.

Program Linear.................................... Linear.............................................................. ...................................................... ................................. ..... 93

F.

Komposisi Fungsi ..................................................... .................................................................................. ................................... ......105

G.

Trigonometri Trigonometr i ..................................................... ................................................................................. ............................................ ................121

H.

Eksponensial ...................................................... .................................................................................. ............................................ ................149

I.

Logaritma Logaritm a ................................................... ................................................................................ ..................................................... ........................161

J.

Peluang ................................................... ............................................................................... ........................................................ ................................177

K.

Matriks .................................................... ................................................................................ ........................................................ ................................185

L.

Limit Fungsi ....................................................... ................................................................................... ............................................ ................201

M. Turunan.............................................. Turunan......................................................................... ........................................................ ................................... ......225 N.

Barisan dan Deret ..................................................... .................................................................................. ................................... ......245

Kumpulan Rumus Cepat Matematika. Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com from http://pak-anang.blogspot.com

1. UMPTN 1991 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar 2 persamaan 2x -3x +5 = 0 adalah.. 2 A. 2x -5x +3 = 0 2 B. 2x +3x +5 = 0 2 C. 3x -2x +5 = 0 2 D. 3x -5x +2 = 0 2 E. 5x -3x +2 = 0

Jawaban : E

r

Missal akar-akar 2x2 -3x +5 = 0 x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya

r

α=

1 x1

a + + β = =

dan β = =

1

+

1

x1 x 2

-

x1

dan

1 x 2 =

x1 + x 2 x1 . x x 2

b

a c

=

1

b

=- = c

1 x 2

1 Persamaan kuadrat yang akar-

akarnya kebalikan dari akar-akar 2 ax +bx +c = 0 Adalah : 2 cx +bx +a = 0 Kunchi : posisi a dan c di tukar ) ( Kunchi 1 Jika akar-akar yang diketahui x1

dan x2 maka, kebalikan akarakarnya berbentuk : 1 dan 1 x 1 x2

3 5

a

a . . β = =

1

.

1

x1 x 2

=

a 2 1 = = x1 . x 2 c 5 r

@ Perhatikan terobosannya

Gunakan Rumus : 2 a +β)x + a .β a .β = 0 x –(a +β)x 2

x -

3 2 x+ =0 5 5

2

2x2 -3x +5 = 0 di tuker ..aja..OK !

5x2 -3x +2 = 0

5x -3x +2 = 0

http://meetabied.wordpress.com

2


2. Prediksi UAN/SPMB UAN/SPMB Persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan akar2 akar persamaan 5x -8x +6 = 0 adalah.. 2 A. 2x -5x +3 = 0 2 B. 2x +3x +5 = 0 2 C. 5x -6x +8 = 0 2 D. 5x +8x +6 = 0 E. 5x2 -8x -6 = 0 Jawaban : D

r

r

Missal akar-akar : 2 5x -8x +6 = 0 , x 1 dan x2 . maka Persamaan baru akarakarnya –x1 dan –x2

α = -x1 dan β = -x2 a +β a +β = -x1 –x2

a . a . β

r

= -(x1 +x2) -b b -8 = = =5 a a = -x1 .(-x2) = x1 .x2 c 6 = = a 5

1

Persamaan kuadrat yang akarakarnya BERLAWANAN dari 2 akar-akar ax +bx +c = 0 2 adalah : ax -bx +c = 0 (Kunchi : Tanda b berubah) 1 Jika akar-akar yang diketahui x 1 dan x2 maka, Lawan akarakarnya berbntuk –x 1 dan -x2

Gunakan Rumus : 2 x –(a +β)x a +β)x + a .β a .β = 0 2

x 2

-8 5

x +

6 =0 5

5x +8x +6 = 0

@ Perhatikan terobosannya :

5x2 -8x +6 = 0 berubah tanda...!

5x 2+8x +6 = 0


3


3. UMPTN 2001/B Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali dari akar2 akar persamaan kuadrat x +px+q = 0 adalah…. 2 A. 2x +3px +9q = 0 B. 2x2-3px +18q = 0 C. x2-3px+9q = 0 2 D. x +3px -9q = 0 2 E. x +3px +9q = 0

r

Missal akar-akar : 2 x +px +q = 0 x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya 3x1 dan 3x2

r

Misal : α = 3x1 dan β = 3x2 a +β a +β = 3 x1 +3x2

3.

= 3(x1 +x2) = - b - 3 p a

=

1

1

Persamaan kuadrat yang akarakarnya n kali (artinya : nx1 dan nx2) akar-akar persamaan 2 ax +bx +c = 0 adalah : 2 2 ax +n.bx +n .c = 0

@ Tiga kali, maksudnya : 3x1 dan 3x2

= -3 p

a . a . β = 3 x1 .3x2 =9( x1 .x2) = 9. r

c a

=

9q = 9q 1

Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x a +β)x + a .β a .β = 0 2 x –(-3p)x + 9q= 0 2 x +3px +9q = 0


x 2 +px +q =0 n=3 kalikan

Jawaban : E


3

2

3

x 2 +3px +9q =0

4

Kumpulan Rumus Cepat Matematika. Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

4. UMPTN 1997 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akar2 akar persamaan kuadrat 3x -12x+2=0 adalah…. 2 A. 3x -24x+38=0 B. 3x2+24x+38=0 C. 3x2-24x-38=0 2 D.3x -24x+24=0 2 E. 3x -24x-24=0

r

r

Missal akar-akar : 3x2 -12x +2 = 0 adalah x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya x1+2 dan x2+2 α = x1+2 dan β = x2+2 a +β = x1+2 +x2+2 = (x1 +x2) +4 = -12 b - +4= +4 =8 a 3 a . β = (x1+2)(x2+2) = (x1.x2) +2(x1+x2) +4 = =

r

c a

@ Persamaan kuadrat yang akarakarnya k lebihnya (x1 +k) dan (x2 +k) dari akar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah : 2

a(x-k) +b(x-k) +c = 0

@ Dua lebih besar, maksudnya : x1+2 dan x2 +2

b

+ 2( - ) + 4 a

2 24 38 + +4= 3 3 3

Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x + a .β = 0 38 x2 – 8x + = 0 3 3x2 -24x +38 = 0


3(x -2)2 -12(x -2) +2 = 0

3(x2 -4x +4) -12x +24 +2 = 0 2

3x -24x +38 = 0

Jawaban : A


5


5. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Persamaan kuadrat 2x -3x+5=0 akar-akarnya persamaan

-

1

b

kuadrat

baru

yang

a dan β, mak a -

akar-akarnya

1

a

dan

adalah…...

2

A. x -24x+3 = 0 B. x2+24x+3 = 0 C. 5x2+3x +2 = 0 2 D. 5x -3x +2 = 0 2 E. 5x -2x-2 = 0

r

2

Persamaan 2x -3x +5 = 0 -3 3 b a +β = - = - = a 2 2 c 5 a . β = = a 2 1 1 J = Jumlah = - -

a

=

b

1

b

)( -

1

a

Ditulis :

1

a

dan -

-

1

a

1 x

Berlawanan

3 æ a + b ö 3 ÷÷ = - 2 = - çç 5 5 è a .b ø 2

K = Kali = ( -

@ akar-akar -

Berkebalikan

)

a 2 1 = = a .b c 5 Gunakan Rumus : 2 x –Jx + K = 0 3 2 2 x + x + = 0 5 5 2 5x +3x +2 = 0

=

r


2x2 -3x +5 = 0 Berkebalikan : 5x2 -3x +2 = 0 Berlawanan : 5x2 +3x +2 = 0

Jawaban : C


6


6. EBTANAS 2002/P1/No.1 2 Persamaan kuadrat x +(m -2)x +9 = 0 akar-akarnya nyata. Nilai m yang memenuhi adalah… A. m £ -4 atau m ³ 8 B. m £ -8 atau m ³ 4 C. m £ -4 atau m ³ 10 D. -4 £ m £ 8 E. -8 £ m £ 4

1

Persamaan kuadrat : 2 x +(m -2)x +9 = 0 a =1 b = m -2 c=9 mempunyai dua akar nyata, maka D ≥ 0 2 b -4ac ≥ 0 2 (m -2) -4.1.9 ³ 0 2 m -4m -32 ³ 0 (m -8)(m +4) ³ 0 Pembuat nol : m = 8 atau m =-4 Garis Bilangan :

+

-

1

1

ax +bx +c = 0 D ³ 0 à syarat kedua akarnya Nyata, D = b2 -4.a.c

³ 0 ,artinya

: bil.kecil “atau”

bil.besar

+

-4 8 Jadi : m £ -4 atau m ³ 8

Jawaban : A

1 x

2

+(m -2)x +9 = 0 2 D ≥ 0 Þ b -4ac ≥ 0 2 (m -2) -4.1.9 ³ 0 m2 -4m -32 ³ 0 (m -8)(m +4) ³ 0 Karena Pertidaksamaannya

≥ 0, maka : Jadi : m


-4 atau m

8 7


7. EBTANAS 2003/P2/No.1 2 Persamaan kuadrat (k +2)x -(2k -1)x +k -1 = 0 akar-akarnya nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah…

9 8 8 B. 9 5 C. 2 A.

1

2 5 1 E. 5 D.

2

(k +2)x -(2k -1)x +k -1 = 0

a = k+2 b = -(2k-1) c =k-1 D = 0 , syarat

1

1 Jumlah

2

b -4.a.c = 0 (2k-1)2-4(k +2)(k -1) = 0 2

2

ax +bx +c = 0 D = 0 à syarat kedua akarnya Nyata dan sama

x1 + x 2

2

4k -4k +1 -4k -4k +8 = 0 ð k

1

akar-akarnya :

=-

b a

= 89

x 1

+ x 2

2 k - 1 = - = = a k + 1 b

9 4 9 8

- 1 10 2 = = 5 + 1 25 JAWABAN : D


8


8. EBTANAS 1995 Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2-9x +4= 0 adalah…. A. - 94 B. - 34 C. - 94 9 4

D.

E. ¾

1

2

3x -9x +4= 0, missal akarakarnya x1 dan x2 maka :

1 x1

+

1 x 2

=

x1 + x 2 x1 . x 2

=

1

Jika akar-akar x1 dan x2 , maka yang dimaksud “ Jumlah Kebalikan “ adalah 1 1 b

b

x1

+

=-

x 2

c

a c

a

-

-9

3 4 3 9 3 = ´ 3 4 9 = 4

=

3x2 -9x +4 = 0

1

1 x1

+

1 x 2

JAWABAN : D


==-

b c

-9 9 = 4

4

9


9. PREDIKSI UAN/SPMB Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan : x2- (2m +4)x +8m = 0 sama dengan 52 maka salah satu nilai m adalah…. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 9

2

x - (2m +4)x +8m = 0 x1 +x2 = 2m +4 x1 x2 = 8m Jika akar-akar x1 dan x2 , maka yang dimaksud “ Jumlah kuadrat “ adalah 2 2 2 x1 +x2 = (x1 +x2) -2x1 x2

1

1

1 x1

2

Jumlah Kuadrat

1

x12

+ x 22

=

b

2

- 2ac a2

2

+x2 = 52 2 (x1 +x2) -2x1 x2 = 52 (2m +4)2 -2(8m) = 52 4m2 +16m +16 -16m = 52 2 4m = 36 2 m = 9 m = 3 atau m = -3 2

x1

+ x 22 =

52 =

JAWABAN : B

b

2

- 2ac a

2

(2m + 4) 2 - 2.1.8m

12 4m 2 + 16m + 16 - 16m = 52 4m 2 = 36 Þ m 2 = 9 m = ±3


10


10. EBTANAS 2000 2 Persamaan x -8x +k = 0 mempunyai akar-akar yang berbanding seperti 3 : 1, harga k adalah… A. 10 B. 12 C. 16 D. 8 E. -8

2

Persamaan x -8x +k = 0 x1 : x2 = 3 : 1 atau x1 = 3x2 …….(i) b @ x1 + x 2 = - = 8 a 3x2+x2 = 8 4x2 = 8 berarti x2 = 2 1

Jika Persamaan : ax2 +bx +c = 0, mempunyai perban -dingan m : n, maka ; 1

c

=

2 b (m.n)

a ( m + n) 2

@ x2 = 2 substitusi ke (i)

x1 = 3.2 = 6 @ x1 . x 2

c

= = k a

6.2 = k berarti k = 12

x2 -8x +k = 0 .Perbandingan 3 : 1 (-8) 2 .(3.1) 64.3 = = 12 k = 2 16 1.(3 + 1)

1

JAWABAN : B


11


11. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Akar-akar persamaan 2x -6x –p = 0 adalah x 1 dan x2 , jika x 1 – x2 = 5, maka nilai p2 -2p adalah… A. 42 B. 46 C. 48 D. 64 E. 72

1

2

2x -6x –p = 0 x1 – x2 = 5 x1+x2 = 3 p x1.x2 = -

1

Jika akar-akar persamaan ax 2 +bx +c = 0, x 1 dan x2 maka : x1 - x 2

=

D

=

b

2

2

2

( x1 - x 2 ) = x 1 -

2 x1 x 2 + x 22

1

x1 - x 2

a 2

p

atau

- 4ac a

5 2 = x 12 + x 22 - 2.(- ) 2 25 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 x 2 + p p

25 = 3 2 - 2(- ) + p 2 25 = 9 + p + p 2 p = 16 p = 8

1 1

1 p

2

-2p = 64 -2.8 = 64 -16 = 48

2x2 -6x –p = 0 x1 –x2 = 5

5=

( -6 ) 2 - 4.2( - p ) 2

10 = 36 + 8 p JAWABAN : C

100= 36 +8p ,berarti p = 8 p2 -2p = 64 -2.8 = 64 -16 = 48


12


12. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Supaya persamaan x +ax +a = 0 mempunyai dua akar berlainan, harga a harus memenuhi… A. a £ 0 atau a ³ 4 B. 0 £ a £ 4 C. a < 0 atau a > 4 D. 0 < a < 4 E. 0 < a < 1

1 x

2

+ax +a = 0 kedua akar berlainan, syarat D > 0 atau : b2 -4ac > 0 2 a -4a > 0 a(a -4) >0 Karena > 0 artinya terpisah. Jadi : a < 0 atau a > 4

1 Jika

2

ax +bx +c = 0, Kedua akarnya berlainan maka : D > 2 0 atau b -4ac > 0

1

≥0 > 0, artinya terpisah Jadi : kecil “atau” besar

Mudeh……. .!

JAWABAN : C


13


13. PREDIKSI SPMB 2 Jika akar-akar persamaan kuadrat x -2ax +a -2 = 0 tidak sama tandanya, maka…. A. a < -1 atau a > 2 B. -1 < a < 2 C. -2 < a < 2 D. -2 < a < 1 E. a < -2

1 x

2

-2ax +a +2 = 0 berlainan tanda, syaratnya : ( i ) x1 .x2 < 0 a +2 < 0 , berarti a < -2 ( ii ) D > 0 2 4a -4.1.(a +2) > 0 2 4a -4a -8 >0 2 a –a -2 > 0 (a -2)(a +1) > 0 a < -1 atau a > 2

1 Jika

akar-akar : ax2 +bx +c = 0, tidak sama tandanya , maka : ( i ) x1 .x2 < 0 dan ( ii ) D > 0

(i)

-2 -1

2

(ii)

Jadi : a < -2

JAWABAN : E


14


14. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Agar supaya kedua akar dari x +(m +1)x +2m -1= 0 tidak real, maka haruslah… A. m < 1 atau m > 5 B. m £ 1 atau m ³ 5 C. m > 1 D. 1 £ m £ 5 E. 1 < m < 5

1 x

2

+(m +1)x +2m -1 = 0 D < 0 2 (m +1) -4.1.(2m -1) < 0 m2 +2m +1 -8m +4 < 0 2 m -6m +5 < 0 (m -1)(m -5) < 0 < 0, artinya terpadu Jadi : 1 < m < 5

kecil

besar

2

Supaya kedua akar ax +bx +c = 0 imajiner atau tidak real ,maka : D < 0

1

1

D = b2-4ac <0

≤ 0 , artinya terpadu Jadi : kecil “tengahnya” besar

tengahnya

JAWABAN : E


15


15. PREDIKSI SPMB 2 Jika salah satu akar x +px +q = 0 adalah dua kali akar yang lain, maka antara p dan q terdapat hubungan… A. p = 2q2 2 B. p = 2q 2 C. 2p = 9q D. 9p2 = 2q E. p2 = 4q

1

1

2

x +px +q = 0, akarakarnya dua kali akar yang lain, artinya : x1 = 2x2 b x1 + x 2 = - = - p a 2x2 +x2 = -p p 3x2 = -p atau x2 = -

2

1 Jika

akar-akarPersamaan ax +bx +c = 0, mempunyai perbandingan m : n, maka c

=

2 b ( m.n)

a ( m + n)

2

3

1

x1 . x 2

c

= =q

a 2x2.x2 = q p p 2(- )(- ) = q

3

3

2 p 2 =q 9

1 1

2

2p = 9q 1

JAWABAN : C

x2 +px +q = 0 x1 = 2x2 atau x1 : x2 = 2 : 1 2 p (2.1) q= 1.(2 + 1) 2 9q = 2p2


16


16. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Jika salah satu akar persamaan ax +5x -12 = 0 adalah 2, maka …. A. a = ½ , akar yang lain -12 B. a = ¼ , akar yang lain 12 C. a = 1/3 , akar yang lain -12 D. a = 2/3, akar yang lain 10 E. a = ½ , akar yang lain -10

1

2

Persamaan ax +5x -12 = 0 salah satu akarnya x1 = 2, 2 maka : a(2) +5.2 -12 = 0 4a +10 -12 = 0 a=

1

2

ax +bx +c = 0, maka c x1 . x 2 = a

1 2

1 x1.x2 =

- 12 1

e 2x2 = -24

2

x2 = -12

JAWABAN : A


17


17. Persamaan kuadrat x2 -5x +2 = 0 mempunyai akar p dan q. 2 2 Persamaan kuadrat dengan akarr-akar p dan q adalah… A. x2 +21x +4 = 0 B. x2 -21x +4 = 0 2 C. x -21x -4 = 0 2 D. x +x -4 = 0 E. x2 +25x +4 = 0

1

2

x -5x +2 = 0, akar p dan q b p +q = - = 5 a c p.q = = 2 a missal akar-akar baru a

1 Jika

akar-akar : ax2 +bx +c = 0, x1 dan x2 maka Persamaan baru yang akar-akarnya x12 dan x22 adalah : a 2 x 2 –(b 2-2ac)x + c 2 = 0

dan β

1

a = p2 dan β = q2 a +β = p2 +q2 = (p +q)2 -2pq = 25-2.2 = 21 a .β = p2.q2 = (p.q)2 2 = 2 = 4

1

Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x +a .β = 0 2 x -21x +4 = 0

1 x 1

JAWABAN : B

2

-5x +2 = 0 a = 1, b = -5, c = 2 Persamaan K.Baru : 12 x2 –(25-2.1.2)x +22 = 0 2 x -21x +4 = 0


18


18. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Jika selisih akar-akar persamaan x -nx +24 = 0 sama dengan 5, maka jumlah akar-akar persamaan adalah…. A. 11 atau -11 B. 9 atau -9 C. 7 atau -8 D. 7 atau -7 E. 6 atau -6

1 x

2

-nx +24 = 0 x1+x2 = n x1.x2= 24 diketahui x1-x2 = 5 2

2

( x1 - x 2 ) = x 1 2

2

5 = x 1

2 x1 x 2 + x 22

+ x 22

- 2.24 25 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 x 2 - 48 25 = n 2 - 2.24 - 48 25 = n 2 - 48 - 48 25 = n 2 - 96 n 2 = 121 n = ±11

1

Jumlah akar-akar : x1+x2 = n = ! 11

JAWABAN : A

1

Selisih akar-akar persa2 maan ax +bx +c = 0 adalah : x1 - x 2 atau ( x1 - x 2 )

1 x

2

2

D

= =

a D a2

-nx +24 = 0

2

5 =

n

2

- 4.1.24 12

25 = n2 -96 n2 = 121 n = ! 11 1 x1+x2 = n = ! 11


19


19. PREDIKSI UAN/SPMB 2 2 2 Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x +kx+k=0 maka x1 +x2 mencapai nilai minimum untuk k sama dengan…. A. -1 B. 0 C. ½ D. 2 E. 1

1

1

2

Misal : z = x12

Ingat... “ Nilai Max/min “ arahkan pikiran anda ke “TURUNAN = 0” Ingat juga : b 2 - 2ac 2 2 x1 + x 2 = a2

1

x +kx+k = 0 x1 +x2 = -k x1.x2 = k

+ x 22

1

z = x12

+ x 22 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 . x 2 b

= (- ) 2 - 2 a - k = ( )2

1

-

= k 2 - 2k

c

a 2k

1

1 z’

= 2k -2 0 = 2k -2 e k = 1

2 1 x +kx+k

z = x12 + x 22

= JAWABAN : E

k 2

=0

=

- 2.1.k 12

1 z’

b

2

- 2ac a

2

= k 2 - 2k

= 2k -2

0 = 2k -2 e k = 1


20


20. PREDIKSI UAN/SPMB a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat : 2 x +4x+a-4=0, jika a =3b , maka nilai a yang memenuhi adalah…. A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8

1

1

2

x +4x+a-4=0 , akarakarnya mempunyai perbandingan : a = 3β b

1

a + b = - = -4

a 3β +β = -4 4β = -4 atau β = -1 c a .b = = a - 4 a 3β.β = a -4 3(-1)(-1) = a - 4 3 = a -4 , berarti a = 7

2

ax +bx +c =0, akar-akar mempunyai perbandingan : na = mb , maka : c=

2 b (m.n)

a.( m + n)

2

x2+4x+a-4=0 4 2 (1.3) 3.16 = =3 a-4= 2 16 1.(1 + 3) a = 3+4 =7

1

JAWABAN : D


21


21. PREDIKSI UAN/SPMB Jika jumlah kedua akar persamaan : x2+(2p-3)x +4p2-25 = 0, sama dengan nol, maka akar-akar itu adalah…. A. 3/2 dan – 3/2 B. 5/2 dan – 5/2 C. 3 dan 3 D. 4 dan -4 E. 5 dan -5

2

2

@ x +(2p-3)x +4p -25 = 0

diketahui : x1 +x2 = 0 b - =0 a 2 p - 3 = 0 , berarti : -

1

2p -3 = 0 atau p = @ untuk p =

p

Jumlah akar-akar = 0, maksudnya adalah : x1 +x2 = 0, berarti : b - = 0 a Sehingga b = 0

3 2

3 substitusi keper 2

samaan kuadrat , di dapat : 2 2 x + 0.x +4(3/2) -25 = 0 2 x +9 -25 = 0 2 x = 16 x = ! 4

JAWABAN : D

1 2 2 x +(2p-3)x +4p -25 = 0 b =0 (syarat jumlah = 0) 2p -3 = 0 e p = 3/2 2 2 x +0.x+4(3/2) -25 = 0 2 x +9 -25 = 0 x2 = 16 e x = ! 4


22


22. PREDIKSI UAN/SPMB Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akarakar persamaan : 3x2 -12x +2 = 0 adalah….. 2 A. 3x -24x +38 = 0 2 B. 3x +24x +38 = 0 C. 3x2 -24x -38 = 0 D. 3x2 -24x +24 = 0 2 E. 3x -24x -24 = 0

1 3x

2

-12x +2 = 0 b

x1 +x2 = x1.x2 =

c a

a

=

=-

- 12 3

=4

2 3

1 Persamaan

baru yg akarakarnya dua lebih besar, artinya : x1 +2 dan x2 +2 missal a = x1 +2 dan β = x2 +2 a +β = x1 +x2 +4 =4+4=8 a .β = ( x1 +2)( x2 +2) = x1.x2 +2(x1+x2) +4

2 2 +2.4 +4 = 12+ 3 3 38 = 3

p

p

Jika akar-akar persaman x1 dan x2 ,maka akar-akar yang n lebih besar maksudnya x1+n dan x2+n Persamaan kuadrat yang akarakarnya n lebih besar (x1+n dan x2+n) dari akar-akar persamaan : ax2 +bx +c = 0 adalah : 2 a(x-n) +b(x-n) +c = 0

=

1 Gunakan

Rumus :

x –(a +β)x +a .β = 0 2 2

x -8x + 2

38 = 0 --- kali 3 3

3x -24x +38 = 0

JAWABAN : A

1

Perhatikan terobosannya

n = 2 à 3x2 -12x +2 = 0 3(x 2)2-12(x -2) +2 = 0 3(x2-4x+4) 2 12x+24 +2 = 0 3x -12x +12 12x + 26 = 0 3x2 -24x +38 = 0


23


23. PREDIKSI UAN/SPMB 2 Salah satu akar persamaan x +ax -4 = 0 adalah lima lebih besar dari akar yang lain. Nilai a adalah…. A. -1 atau 1 B. -2 atau 2 C. -3 atau 3 D. -4 atau 4 E. -5 atau 5

1

x2+ax -4 = 0 x1 +x2 = x1.x2 =

c

b a

=

a

= - = -a

-4

1

= -4

1 diketahui salah satu akarnya 5 lebih besardari akar yang lain,maksudnya x 1 = x2 +5 1 x1 +x2 = -a x2 +5 +x2 = -a 2x2 = -a -5 sehingga -a-5 berarti : x 2 = 2 -a -5 -a+5 x1 = +5= 2 2 1 x1.x2 = -4 (- a - 5) (- a + 5) . = -4 2 2 2 a - 25 = -16 a2 = 9 a = ±3 JAWABAN : C a

1

2

Salah satu akar ax +bx+c = 0 adalah k lebih besar dari akar yang lain, maksudnya : x1 = x2 +k, di dapat : 2 2

D = a k

1 Perhatikan

terobosannya x +ax -4 = 0 2 2 D = a .k b2 -4ac = a2.k 2 a2 -4.1.(-4) = 12.52 2 a +16 = 25 2 a = 9 e a = ! 3 2


24


24. PREDIKSI UAN/SPMB 2 2 2 Akar persamaan x +ax -4 = 0 adalah x1 dan x2 , jika x1 -2x1 x2 +x2 = 8a, maka nilai a adalah…. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

2

2

x2 +ax -4 = 0 x1+x2 = -a x1.x2 = -4

2

(a +b)2=a2 +2ab +b2

2

(a -b)2 = a2 -2ab +b2 = (a +b)2-4ab

x12-2x1x2 +x22 = 8a (x1+x2)2 -4x1x2 = 8a a2 -4.(-4) = 8a a2 +16 = 8a a2 -8a +16 = 0 (a -4)(a -4) = 0 a=4

JAWABAN : B


25


25. PREDIKSI UAN/SPMB Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat : x2 -5x +k +3 = 0, dan x 12+x22 = 13, maka k adalah…. A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 E. 18

2

2

2

x -5x +k +3 = 0 -5 b =5 x1 +x2 = - = 1 a c k + 3 = k + 3 x1.x2 = = 1 a 2 2 x1 +x2 = 13 2 (x1+x2) -2x1.x2 = 13 2 5 -2(k +3) = 13 25 -2k -6 = 13 2k = 19 -13 2k = 6 k=3

Ingat...!

1

x12

+ x 22 =

b2

- 2ac a2

2 1 x -5x +k +3 2 2 x1 +x2 = 13

b

2

- 2ac 2

= 13

a 25 - 2.1.(k + 3)

1

JAWABAN : B

2

=0

= 13

25 -2k -6 = 13 -2k = -6 e k = 3


26


26. PREDIKSI UAN/SPMB Jika x1 dan x2 merupakan akar persamaan : x2 –(a -1)x + a = 0. Nilai stasioner dari x 13+3x1 x2 + x 23 dicapai untuk a = …. A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 3 dan 2 D. -1 E. 0, -1 dan 1

2

x –(a -1)x + a = 0 b x1 +x2 = - = a - 1 a c a x1.x2 = = = a a 1 missal : 1 3 3 z = x1 + x2 +3x1 x2 = (x1+x2)3-3x1 x2(x1+x2)+3x1 x2 = (a -1)3-3a(a -1) +3a 3 2 = (a -1) -3a +6a 2 z’ = 3(a -1) -6a +6 2 = 3(a -2a+1) -6a +6 2 = 3a -12a +9 2 0 = 3a -12a +9 2 a -4a + 3 = 0 (a -3)(a -1) = 0 a = 3 atau a = 1 1

1

Ingat....!

x13

+ x 23

=

- b 3 + 3abc a3

atau x13 + x23 = ( x1 + x2 ) 3 - 3 x1 x2 ( x1 + x2 )

Stasioner e TURUNAN = NOL

JAWABAN : B


27


27. PREDIKSI UAN/SPMB 2 2 Kedua akar persamaan p x -4px +1 = 0 berkebalikan, maka nilai p adalah…. A. -1 atau 2 B. -1 atau -2 C. 1 atau -2 D. 1 atau 2 E. -1 atau 1

2 2

p x -4px +1 = 0 kedua akarnya saling berkebalikan, artinya :

1

=

x1

1 x 2

atau

Jika kedua akar : 2 ax +bx +c = 0 saling berkebalikan, maka : a = c

1

x1 .x2 = 1 c a

=1

1

p

2

=1

2

p = 1 p = ±1 1

Jadi p = -1 atau p = 1

p2x2-4px +1 = 0 a=c p2 = 1 p = -1 atau p = 1

1

JAWABAN : E


28


2

28. Akar-akar persamaan x +6x -12 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan 3 3 baru yang akar-akarnya dan x1.x2 adalah…. + x1 x 2 2

A. x +9x -18 = 0 2 B. x -21x -18 = 0 2 C. x +21x -18 = 0 2 D. 2x +21x -36 = 0 2 E. 2x +18x -18 = 0

1 x2 +6x -12 = 0 x –( x3 1 2

+ x3 + x1. x 2 ) x + x3 + x3 . x1. x 2 = 0 2

1 2 3( x + x ) 3( x + x ) x2 –( x1. x 2 + x1 . x 2 ) x + ( x1. x 2 ). x1. x 2 1 2 1 2

=0

x2 –(3(- b ) + c )x+3(- b ) = 0 c

a

a

x –( 32 -12)x -18= 0 ….Kalikan 2 2 x +21x -36 = 0 2

Persamaan kuadrat Baru : 2 x + Jx + K = 0 J = Jumlah akar-akarnya K = Hasil kali akar-akarnya 1


29


29. SPMB 2003//420-IPA/No.11 2 Akar-akar persamaan kuadrat x +6x +c = 0 adalah x1 dan x2. Akar-

+ ( x12 + x22 ) x + 4 = 0 adalah 3 3 v.Jika u+v = -u.v, maka x1 x 2 + x1 x2 = …. akar persamaan kuadrat x A. B. C. D. E.

1

x

u dan

-64 4 16 32 64

2

+ ( x12 + x 22 ) x + 4 = 0

akar-akarnya u dan v u+v = -u.v , artinya :

- ( x12 + x 22 ) = -4 2

x1

1

2

+ x 22 = 4

x2 +6x +c = 0,

1

x 2

+ ( x12 + x22 ) x + 4 = 0 a = 1

b = x12 + x 22 c=4 2 1 x1

+ x 22

=

b

2

- 2ac a2

x12

+ x 22 = 4 36 - 2.1.c =4 2

1 36 - 2c = 4 2c = 32 c = 16 1

x13 x2 + x1 x23

= x1. x2 ( x12 + x12 ) = c. 4 = 4c = 4.16 = 64

JAWABAN : E


30


30. UAN 2003/P-1/No.1 Bilangan bulat m terkecil yang memenuhi persamaan 2x(mx -4) = x 2 -8 agar tidak mempunyai akar real adalah…. A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 E. 3

O

2x(mx -4) = x2 -8 2mx2 -8x = x2 -8 atau (1-2m)x2 +8x -8 = 0 D < 0 (syarat ) b2 -4ac < 0 82 -4(1-2m)(-8) < 0 64 +32(1-2m) < 0 2 + 1 -2m <0 3 < 2m 3 m > . 2 berarti m bulat adalah : 2,3,4,5,…..

1

ax2 +bx +c = 0, tidak mempunyai akar real artinya : b2 -4ac < 0

Jadi m bulat terkecil adalah : 2

Jawaban : D


31


31. UAN 2004/P-1/No.1 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah… A. x2 +7x +10 = 0 B. x2 -7x +10 = 0 2 C. x +3x +10 = 0 2 D. x +3x -10 = 0 2 E. x -3x -10 = 0

1

Diketahui akar-akarnya 5 dan -2, berarti : x1 = 5 dan x2 = -2

1

x1 +x2 = 5 +(-2) = 3 x1 .x2 = 5.(-2) = -10

1

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 rumusnya adalah : x2 –(x1+x2)x +x1.x2 = 0 2 x -3x -10 = 0

1

Persamaan kuadrat, dapat di susun menggunakan rumus : 2 x –Jx +K = 0 dengan : J = Jumlah akar K = hasil kali akar

1

Akar-akar 5 dan -2, maka : x2 –Jx +K = 0

JAWABAN : E

x2 –(-2+5)x +(-2).5 = 0 x2 -3x -10 = 0


32


1. UAN 2004/P-1/No.2 Tinggi h meter dari suatu peluru yang ditembakan vertical ke atas dalam waktu t detik dinyatakan sebagai h(t ) = 10t - t . Tinggi 2

maksimum peluru tersebut adalah… A. 15 meter B. 25 meter C. 50 meter D. 75 meter E. 100 meter

1

Pandang h(t ) = 10t - t 2

sebagai fungsi kuadrat dalam t. maka : a = -1 b = 10 c=0 1

Tinggi maksimum, dida pat dengan rumus : D h(t ) max = - 4a 2 b - 4ac

1

Fungsi kuadrat : 2 F(x) = ax +bx +c memPunyai nilai max/min

f ( x ) max/ min 1

=

D

- 4a

Soal yang berkaitan dengan nilai maksimum atau minimum diselesaikan dengan : “Turunan = 0”

=

- 4a 10 2 - 4.(-1).0 = - 4(-1) 100 - 0 = = 25

4

JAWABAN : B

1

2

h(t ) = 10t - t

h' (t ) = 10 - 2t

0 = 10 - 2t t = 5 h(5) = 10.5 - 52 = 50 - 25 = 25


33


2.

Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus f(x) = 2x2-8x +p adalah 20. Nilai f(2) adalah…. A. -28 B. -20 C. 12 D. 20 E. 28

2

1 f(x)

= 2x -8x +p a=2 b = -8 c=p Nilai maksimum = 12, D f ( x ) max = - 4a

- 4ac - 4a (-8) 2 - 4.2. p 12 = - 4.2 64 - 8 p - 8 + p 12 = = 1 -8 12 = -8 + p p = 12 + 8 = 20 12 =

1 1 Nilai

minimum dari 2 f(x) =ax +bx +c adalah

f (- 2ba ) = a(- 2ba ) 2 + b(- 2ba ) + c

b2

1 f(x)

x = -2 ab

= -2( -.28) = 2 2

20 = 2(2) -8(2) +p 20 = -8 + p → p = 28 2 1 f(2) = 2.2 -8.2 + 28 = 8 -16 +28 = 20 1

JAWABAN : D

2

= 2x -8x +p


34


3. Ebtanas 1999 Grafik dari f(x) = x 2 –x –2 adalah… A.

Y

X B.

Y D.

Y

X

X C.

E.

Y

Y X

X

= x2 –x –2 · Titik potong dengan sumbu X, yaitu y = 0 x2 –x –2 = 0 (x +1)(x –2) = 0 di dapat x = -1 atau x = 2, maka koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah (1,0) dan (2,0) · Titik potong dengan sumbu Y, yaitu x = 0 2 Maka y = 0 -0-2 = -2 Jadi titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, -2).

1 f(x)

·

Puncak : æ ç-

b

è 2 a

,

§

Titik Puncaknya :

1 (-1)2 - 4.1.(-2) ö æ b D ö æ ÷÷ ç- , ÷ =çç- , -4.1 ø è 2a - 4a ø è 2 1 1+8 ö =æ ç , ÷ è 2 - 4 ø æ 1 9 ö =ç ,- ÷ è 2 4 ø

Y

ö ÷ - 4 a ø D

Dari fungsi di atas : a=1 b = -1 c = -2

-1


2

X

1 9 ( ,- ) 2 4

35


4. Ebtanas 1999 Grafik dari f(x) = x 2 –x –2 adalah… A.

Y

X B.

Y D.

Y

X

X C.

E.

Y

Y X

X

v 1 1 f(x)

bukaan “grafiknya. a > 0, grafik membuka ke atas. a < 0, grafik membuka ke bawah.

2

= x –x –2 a = 1 > 0 ,berarti grafik membuka ke atas. C dan E salah b = -1 < 0,grafik berat ke Kanan, B dan D salah. Jadi hanya sisa pilihan A §

§

c terkait dengan titikpotong

grafik dengan sumbu Y. c > 0, grafik memotong grafik di Y + c = 0, grafik memotong titik asal (0,0) c < 0, grafik memotong sumbu Y negatif (-)

2

Pada grafik y = ax +bx+c a terkait dengan “buka§

b terkait dengan posisi grafik

terhadap sumbu Y. b > 0, grafik berat ke Kiri jika a > 0, dan berat ke Kanan jika a<0 b = 0, grafik dalam keadaan Seimbang . b < 0, grafik berat ke Kanan jika a > 0, dan berat ke Kiri, jika a < 0.


36


2

5. Garis y =x -10 memotong parabol y =x –ax +6 di dua titik berlainan jika….. A. a

≥ -9

B. a ≤ -9 atau a ≥ 7 C. a < -9 atau a > 7 D. -9 ≤ a ≤ 7 E. -9 < a < 7

Garis y = x- 10 memotong 2 y = x –ax +6, didua titik. Berarti : 2 x –10 = x –ax +6 2 x –ax –x +6 +10 = 0 x2-(a +1)x +16 = 0 1 Memotong di dua titik, maka D > 0 (a +1)2 -4.1.16 > 0 a2 +2a -63 > 0 (a +9)(a -7) > 0 Uji ke garis bilangan : Missal nilai a = 0 (0 +9)(0 –7) = -63 (negatif) 1

+

+

-9

7

Padahal nilai a > 0 atau positif Jadi : a < -9 atau a > 7

JAWABAN : C

@ Garis y = mx +n @ Parabol y = ax2 +bx c, maka : D = (m-b)2 -4a(c –n) @ Memotong di dua titik

artinya :

(m-b)2 -4a(c –n) > 0 @ > 0 artinya “terpisah” oleh atau

@ y = x- 10,

y = x2 –ax +6 2 @ (m-b) -4a(c –n) > 0 (1 +a)2-4.1(6 +10) >0 (1 +a)2 –64 > 0 (1 +a+8)(1 +a-8) >0 (a +9)(a –7) > 0 Jadi : a < -9 atau a > 7


37


6. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah…. 2 A. y = x -2x +1 B. y = x2 -2x +3 C. y = x2 +2x -1 2 D. y = x +2x +1 E. y = x2 +2x +3

v

Misal fungsi kuadrat : 2 y = ax +bx +c x = 1, merupakan sumbu simetri, rumusnya

x = v

v

v v

v

b

2a

atau 1 =

-

b

2a

2a = -b atau 2a +b = 0 …(i) Grafik melalui (1 ,2) berarti : 2 = a +b +c atau a+b +c = 2..(ii) Grafik melalui (2 ,3) berarti : 3 = 4a +2b +c atau 4a+2b+c=3 …(iii) Pers(iii)-Pers(ii) di dapat: 3a +b = 1 ….(iv) Pers (iv)-pers(i) di dapat : a = 1, substitusi ke pers (i) di dapat b = -2 untuk a = 1 dan b = -2 substitusi kepersamaan (ii) di dapat : c = 3 Substitusikan nilai-nilai a,b dan c ke persamaan umum di dapat : y = 2 x –2x +3 JAWABAN : B

v

y = a(x –p) +q q = nilai max/min untuk x = p v Mempunyai nilai a untuk x = b , maksudnya y = a , x = b

v v

2

y = a(x –p) +q 2

y = a(x -1) +2 y = 3 untuk x = 2 2 3 = a(2 -1) +2 didapat a = 1 2 v y = 1.(x -1) +2 2 = x -2x + 3


38


7. Prediksi UAN/SPMB Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah…. A. y = x2 -2x +1 B. y = x2 -2x +3 2 C. y = x +2x -1 D. y = x2 +2x +1 E. y = x2 +2x +3

v

Misal fungsi kuadrat : 2 y = ax +bx +c x = 1, merupakan sumbu simetri, rumusnya

x = v

v

v v

v

b

2a

atau 1 =

-

b

2a

2a = -b atau 2a +b = 0 …(i) Grafik melalui (1 ,2) berarti : 2 = a +b +c atau a+b +c = 2..(ii) Grafik melalui (2 ,3) berarti : 3 = 4a +2b +c atau 4a+2b+c=3 …(iii) Pers(iii)-Pers(ii) di dapat: 3a +b = 1 ….(iv) Pers (iv)-pers(i) di dapat : a = 1, substitusi ke pers (i) di dapat b = -2 untuk a = 1 dan b = -2 substitusi kepersamaan (ii) di dapat : c = 3 Substitusikan nilai-nilai a,b dan c ke persamaan umum di dapat: 2 y = x –2x +3 JAWABAN : B

v

v

Nilai minimum 2 untuk x = 1,artinya puncaknya di (1, 2) dan grafik pasti melalui puncak. Nilai 3 untuk x = 2,artinya grafik tersebut melalui tutik (2 ,3)

Grafik melalui (1 ,2), uji x = 1 harus di dapat nilai y = 2 pada pilihan 1 Pilihan A : 2 y = 1 –2.1+1 = 0 ¹ 2 berarti pilihan A salah 1 Pilihan B y = 12 –2.1+3 = 2 Jadi Pilihan B benar 1


39


8. Prediksi UAN/SPMB Garis y = x +n akan menyinggung parabola : 2 y = 2x +3x -5, jika nilai n sama dengan… A. 4,5 B. -4,5 C. 5,5 D. -5,5 E. 6,5

1

1

Garis y = x +n akan menyinggung parabola : y = 2x 2 +3x –5 , berarti : x +n = 2x 2 +3x –5 2x 2 +3x –x –5 –n =0 2x 2 +2x –5 –n =0 a = 2, b= 2 dan c = -5-n

Menyinggung,maka D = 0 b 2 -4ac = 0 2 2 –4.2(-5-n) = 0 4 –8(-5-n) = 0 4 +40 +8n =0 8n = -44 44 n=8 = -5,5

1 Ada

garis : y = mx +n Parabol : y = ax2 +bx +c maka : 2 D = (b –m) -4.a(c –n)

1

y = x +n , menyinggung parabol : 2 1 y =2x +3x -5 (3 -1)2-4.2(-5-n) = 0 4 +40 +8n = 0 1

JAWABAN : D


8n = -44 n = -5,5

40


9. Prediksi UAN/SPMB 2 Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax +4x+a ialah 3, sumbu simetrinya adalah x = …. A. -2 B. -1 C. – ½ D. 2 E. 4

1 1

2

F(x) = ax +4x +a a = a, b = 4 dan c = a Nilai tertinggi =

b

- 4ac - 4a

2

2

F(x) = ax +bx +c Nilai tertinggi atau nilai terendah =

- 4ac - 4a

b2

Perhatikan rumusnya SAMA

16 - 4.a.a - 4a 2 16 -4a = -12a 2 a -3a -4 = 0 (a -4)(a +1) = 0 a = -1 (sebab nilai tertinggi/max , a < 0) 4 b x = = =2 - 2a - 2(-1) 3=

JAWABAN : D


41


10. Prediksi UAN/SPMB 2 Garis y = 6x -5 memotong kurva y =x -kx +11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah….. A. (2, 7) B. (1, -1) C. (-2, -17) D. (-1, -11) E. (2, 13)

1 y

2

= x –kx +11 a = 1, b = -k dan c = 11

æ b b 2 - 4ac ö ÷÷ , Puncak çç è - 2a - 4a ø

1

y = ax2 +bx +c

æ b b 2 - 4ac ö ÷÷ Puncak çç , è - 2a - 4a ø

æ - k (-k ) 2 - 4.1.11 ö æ k k 2 - 44 ö çç ÷÷ = çç , ÷÷ , - 4.1 ø è 2 - 4 ø è - 2.1 disini : x =

k

2

dan y =

- 44 -4

2

k

diSusi-susi ke y = 6x-5

- 44 k =6. -5 = 3k -5 2 -4

2

k 2

k -44 = -4(3k -5) 2 k +12k -64 = 0 (k -4)(k +16) = 0 k = 4 atau k= -16 1 untuk k = 4 Maka Puncak nya :

æ k k 2 - 44 ö æ 4 16- 44 ö çç , ÷÷ = ç , ÷ = (2,7) è 2 - 4 ø è 2 - 4 ø JAWABAN : A

1

Perhatikan , kita asum sikan semua pilihan A –E adalah Puncak Parabola. Dan Puncak tersebut melalui garis y = 6x-5 1 Uji pilihan A. Ganti x = 2 harus di dapat y = 7. x = 2 ,maka y = 6.2 –5 = 7 berarti pilihan A benar. 1


42


11. Prediksi UAN/SPMB 2 Jika fungsi kuadrat y = 2ax -4x +3a mempunyai nilai maksimum 1, 2 maka 27a -9a = ..... A. -2 B. -1 C. 6 D. 8 E. 18

1 2

1 y

= 2ax -4x +3a Nilai maksimum = 1 16 - 4.2a.3a

- 4.2a

=1

2

16 -24a = -8a 2 3a –a -2 = 0 (3a +2)(a -1) = 0 a = -2/3 (ambil nilai a < 0) 1

y = ax2 +bx +c

2

Nilai max/min = 1

- 4ac - 4a

b2

y = ax2 +bx +c maksimum , berarti a negative.

4 2 - 9(- ) 9 3 = 12 +6 = 18

27a -9a = 27.

JAWABAN : E


43


12. Prediksi UAN/SPMB Fungsi y = f(x) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai sumbu simetri x = 1, mempunyai nilai ekstrim….. A. minimum 2 B. minimum 3 C. minimum 4 D. maksimum 3 E. maksimum 4

1 1

2

Fungsi y = a(x -1) +q x = 1 melalui (2,5) 5 = a + q ..... (i) melalui (7,40) 40 = 36a + q .... (ii)

Sumbu simetri x = p Persamaman umum : 2 y = a(x –p) +q Nilai maks/min = q

1 Dari

(i) dan (ii) didapat : a+q=5 ü

ý(-) 36a + q = 40þ

-35a = -35 , a = 1 substitusi ke pers (i) berarti q = 4 1

Karena a = 1 > 0 berarti minimum , dan q = 4 Jadi Nilai ekstrimnya : minimum = 4 JAWABAN : C


44


13. Prediksi UAN/SPMB Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi : 2 y = -x -(p -2)x +(p -4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah… A. -4 B. -2 C. – 1/6 D. 1 E. 5

1 2

1 y

= -x –(p -2)x +(p -4) Ordinat = y = 6 ( p - 2 ) 2 - 4 ( - 1)( p - 4 ) 6 - 4 ( - 1)

=

6= 6=

p 2 - 4 p + 4 + 4 p -16

2

Y = ax +bx +c Absis titik balik : x = -

b

2a

Ordinat titik balik : y

=

- 4ac - 4a

b2

4

p 2 -12

à p

4

2

-36 = 0

2

p = 36,maka p = 6 p -2

Absis = -2

= 6--22 = -2

JAWABAN : B


45


2

14. Jika fungsi kuadrat y = ax +6x +(a +1) mempunyai sumbu simetri x = 3, maka nilai maksimum fungsi itu adalah… A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 E. 18

1 1

2

y = ax +6x +(a +1) Sumbu simetri : 3=

-

6 2a

y = ax2 +bx +c Sumbu Simetri : x = Nilai max: y =

6a = -6 à a = -1 1 Nilai

b

2a

- 4ac - 4a

b2

max

36 - 4.(-1)(-1 + 1) = =9 - 4(-1)

Jawaban : D


46


2

15. Grafik fungsi kuadrat y = 2x +5x -12 dan fungsi linier y = mx -14 berpotongan pada dua titik jika…. A. m < 9 B. 1 < m < 9 C. m > 9 atau m < 1 D. m > 1 E. m < -9 atau m > -1

1

Titik potong antara : y = mx -14 dan y = 2x2 +5x -12 adalah : mx -14 = 2x2 +5x -12 2x2 +5x –mx -12 +14 = 0 2x2 +(5 –m)x +2 = 0 1 D > 0 (syarat berpotongan) b2 -4.a.c > 0 (5-m)2 -4.2.2 > 0 25 -10m +m2 -16 > 0 m2 -10m +9 > 0 (m -1)(m -9) > 0 Pembuat nol : m = 1 atau m = 9 1 Gunakan garis bilangan : 1

+

-

1

+

1

Ada garis : y = mx +n Ada parabol : y = ax2 +bx +c Berpotongan di dua titik, maka : (b –m)2 -4a(c –n) > 0

1 1

9

m < 1 atau m > 9 Jawaban : C


y = mx -14 y = 2x2 +5x -12 Berpotongan di dua titik :

(5 –m)2 -4.2(-12 +14) > 0

(5 –m)2 -16 > 0 (9 –m)(1 –m) > 0 m < 1 atau m > 9

47


16. Garis yang sejajar dengan garis 2x +y = 15 memotong kurva y = 6 +x –x2 di titik (4,-6) dan .. A. (-4,14) B. (1, 4) C. (-1, 4) D. (2, 4) E. (1, 6)

Persamaan garis melalui (a,b) sejajar Ax+By +C = 0 adalah : Ax +By = Aa +Bb

1 1

Persamaan garis yang sejajar dengan 2x +y = 15 melalui titik (4,-6) adalah : 2x +y = 2(4) + (-6) = 2 2x +y = 2 y = -2x +2

1

Titik potong garis y = -2x +2 Dengan parabol y = 6 +x – 2 x adalah : 2 6 +x –x = -2x +2 2 x -3x -4 = 0 (x -4)(x +1) = 0 x = -1 atau x = 4 untuk x = -1 , di dapat : y = -2(-1) +2 = 4 jadi memotong di (4,-6) dan di (-1,4)

Jawaban : C

1 Asumsikan

2

y = 6 +x –x melalui semua titik pada pilihan, uji : A. (-4,14)ð 14= 6-4+16 =18(S) B. (1, 4)ð 4 = 6+1-1= 6(S) C. (-1,4)ð 4 = 6-1-1 = 4 (B) Jadi jawaban benar : C


48


17. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1 ,3) dan titik 2 terendahnya sama dengan puncak grafik f(x) = x +4x +3 adalah…. 2 A. y =4x +x +3 B. y = x2 –x -3 C. y =4x2 +16x +15 2 D. y = 4x +15x +16 E. y = x2 +16x +18

1 1

f(x) = x2 +4x +3 -b - 4 x = = = -2 2a 2.1

Pers.Kuadrat dengan puncak P(p, q) adalah 2 y = a(x –p) +q

1 f(x)

2

= ax +bx +c sumbu simetrinya :

f(-2) = (-2) 2 +4(-2) +3 = -1 Puncaknya : (-2, -1)

x = -

b 2a

P(-2,-1) → y = a(x +2) 2 -1 Mel (-1 ,3) → 3 = a(-1 +2) 2 -1 → a = 4 Jadi y = 4(x +2) 2 -1 1 = 4(x2+4x +4) -1 = 4x2 +16x +15 1

Substitusikan aja titik (-1, 3) kepilihan, yang mana yg cocok. Ke A : 3 = 4 -1 +3 = 6 (tdk cocok) B : 3 = 1 +1 -3 = -1 (tdk cocok) C : 3 = 4 -16 +15 = 3 (cocok) 1

Jawab : C

Jadi jawaban benar : C


49


18. Misalkan :

ì 2 x - 1 untuk 0 < x < 1 f ( x) = í 2 îx + 1 untuk x yang lain maka f(-2).f(-4) +f( ½ ).f(3) = …. A. 52 B. 55 C. 85 D. 105 E. 210

1 1

F(-2) = (-2)2 +1 = 5 F(-4) = (-4)2 +1 = 17 F( ½ ) = 2. ½ -1 = 0 F(3) = 32 + 1 = 10

1

F(-2).f(-4) +f( ½ ).f(3) 5. 17 + 0.10 = 85 + 0 = 85

-2 tidak terletak pada :

0
Jawaban : C


50


19. UAN 2003/P-1/No.2 Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk x = 1 dan grafiknya melalui titik (3 ,1), memotong sumbu Y di titik…. B. (0, 72 ) C. (0 ,3) D. (0 , 52 ) E. (0 ,2) F. (0 , 32 )

O

O

O

O y = a(x –p)2 +q 2 y = a(x -1) +3, melalui titik (3 ,1) 2 1 = a(3-1) +3 -2 = 4a , maka a = - ½ Kepersamaan awal : y = - ½ (x -1)2 +3, memotong sumbu Y, berarti : x = 0 ,maka 2 y = - ½ (0 -1) +3 =

O

Nilai maksimum 3 untuk x = 1, artinya Puncak di (1 ,3) Gunakan rumus : 2 y = a(x –p) +q Dengan p = 4 dan q = 3

5 2

Jadi titik potongnya : (0 , 52 )

Jawaban : C


51


20. UAN 2002/P-1/No.5 Suatu Fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2 sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah…... 2 A. f(x) = - 12 x +2x +3 B. f(x) = C. f(x) =

- 12 x2 -2x +3 - 12 x2 -2x -3 2

D. f(x) = -2x +2x +3 2 E. f(x) = -2x +8x -3

O

Nilai maksimum 5 untuk x = 2, artinya Puncak di (2 ,5)

O

Gunakan rumus : y = a(x –p) 2 +q Dengan p = 2 dan q = 5

2

f(x) = a(x –p) +q 2 f(4) = a(4 -2) +5, 3 = 4a + 5 maka a =

O

O - 12

Kepersamaan awal : 2 f(x) = - 12 (x -2) +5 = =

- 12 (x2 -4x+4) +5 - 12 x2 +2x +3


52


1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : x 2 £ 2x +3 adalah…. A. {x|x < -2 atau x > 3} B. {x|x £ -2 atau x ³ 3} C. {x| -2< x > 3} D. {x| -1 £ x £ 3} E. {x| -3 £ x £ 2} Jawaban : D

1

1

2

x -2x -3 £ 0 (x -3)(x +1) £ 0

< 0ü ý £ 0þ

èKECIL

“ tengahnya”

BESAR (Terpadu)

1 Pembuat Nol :

1

x = 3 atau x = -1

> 0ü ý è BESAR “ atau “KECIL ³ 0þ (Terpisah)

Garis bilangan : Uji x = 0 , (0-3)(0+1)=-3(-)

+

-

+

3 x=0 @ Jadi : -1 £ x £ 3 -1


x

2

( x

-

- 2 x - 3 £ 0 + 1 )( x - 3 ) £

£ x £

1

kecil

3

0

besar

besar

tengahnya


53


2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : (3 –x)(x -2)(4 –x) 2 ³ 0 adalah…. A. {x|x £ -2 atau 3 £ x £ 4} B. {x|x £ -2 atau x ³ 3} C. {x| 2 £ x £ 3} D. {x|x £ -2 atau x ³ 4} E. {x|x < -2 atau x > 3}

1

(3 –x)(x -2)(4 –x)

2

³ 0

p

Pembuat Nol : (3 –x)(x -2)(4 –x)2 = 0 3–x=0,x=3 x – 2 = 0 , x = 2 4 – x = 0 , x = 4 (ada 2 buah)

Jawaban : C

Pada garis bilangan : Jumlah Suku ganjil : tanda “ Selang seling +-“ Jumlah Suku genap: tanda “ Tetap “ : - atau + +

Garis bilangan :

-

-

+ 2

4

3

-

2

Uji x = 0 ð (3-0)(0-2)(4-0) = 2 x = 2,5ð (3-2,5)(2,5-2)(4-2,5) =+ x = 3,5ð (3-3,5)(3,5-2)(4-3,5)2= 2 x = 5ð (3-5)(5-2)(4-5) = Padahal yang diminta soal ≥ 0 (positif)

Jadi : {x| 2 £ x £ 3}


@ Perhatikan terobosannya 2

(3 –x)(x -2)(4 –x) = 0

-

-

+ 2

3

4

-

(genap) Uji x = 0 (hanya satu titik) 2 (3-0)(0-2)(4-0) = adi : 2 £ x £ 3

54


3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan :

x 2

9 - x

2

£ 0 adalah…..

A. {x| -3 < x < 3} B. {x| -3 £ x £ 3} C. {x|x < -3 atau x > 3} D. {x|x £ -3 atau x ³ 3 atau x = 0} E. {x|x < -3 atau x = 0 atau x > 3} Jawaban : E

x 2

1

9 - x

2

a2 –b2 = (a +b)(a –b)

£0

Perhatikan ruas kanan sudah 0, Maka langsung dikerjakan dengan cara memfaktorkan suku-sukunya : x. x

(3 + x )(3 - x)

£0

x = 0 (atas, ada dua suku ; genap) 3 +x = 0 , x = -3 3 –x = 0 , x = 3 Garis bilangan :

+

-3

+ 0 (genap)

3

16 =9 - 16 4 =+ x = -2ð 9-4 1 =+ x = 1ð 9 -1 16 = x = 4ð 9 - 16


9-x artinya x ≠ 3, maka pilihan B dan D pasti salah (karena memuat x = 3) § x = 4 2

§

Uji x = -4ð

Jadi : x < -3 atau x = 0 atau x > 3

£ 0

x 2 9 - x 2

ð

16 16 = £ 0 (B) 9 - 16 - 7

Jadi A pasti salah (karena tidak memuat 4) §

x = 0 ð

0 9-0

= 0 ≤ 0 (B)

Jadi C juga salah, berarti Jawaban benar A


55


4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan : Î R adalah…. A. {x|x < -1 atau x < -2} B. {x|x £ 1 atau x > -2} C. {x|x > 3 atau x < -2} D. {x| -2 < x < 3} E. {x|x £ 3 atau x ³ -2}

1

- 2 x + 1 £0 2 x - x - 6 ( x - 1)( x - 1) £0 ( x - 3)( x + 2)

x

2

x 2 - 2 x + 1 x

2

- x - 6

£ 0 untuk x

Jawaban : D

p

Penyebut pecahan tidak boleh ada “ = “

x -1 = 0, x = 1 (suku genap) x -3 = 0, x = 3 x +2 = 0, x = -2

16 =+ 6 1 = x = 0ð -6 1.1 = x = 2ð 4 9 =x=4ð -6

Uji x = -3ð

-

+ -2

@ Perhatikan terobosannya 2

1

+

3

(genap)

Jadi : -2 < x < 3 Perhatikan tanda pertidaksa maan (sama atau tidak)

2

x -2x +1 = (x -1) , ini nilainya selalu positif untuk setiap harga x, supaya hasil ≤ 0 (negative) maka : x2 –x -6 harus < 0 atau (x -3)(x +2) < 0 Jadi : -2 < x < 3


56


5. Pertidaksamaan 2x –a >

x - 1

2

+

ax

3

mempunyai penyelesaian x > 5.

Nilai a adalah…. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

@ 2x –a >

2 x - a >

+

x - 1

2 x - 1

+

Jawaban : B

ax

3

ax

2 3 6(2 x - a) > 3( x - 1) + 2ax 12 x - 6a > 3 x - 3 + 2ax 9 x - 2ax > 6a - 3 x (9 - 2a ) > 6a - 3 6a - 3 x > 9 - 2a

Padahal x > 5 (diketahui) 6a - 3 =5 9 - 2a 6a - 3 = 45 - 10a 16a = 48 a=3

1

2x –a >

x - 1

2

+

ax

3

Pertidaksamaan >, syarat >5 Maka ambil x = 5 Options A.:

x = 5 ü

ý10 - 2 =

a = 2þ

5 12 + ( S ) 2 3

Options B

x = 5ü

4 15 10 3 = + ý a = 3þ 2 3

7 = 7(benar ) Jadi pilihan B benar.


57


6.

2

Jika

>

5

, maka ….

x - 3 x + 6 A. x < -6 atau 3 < x < 9 B. -6 < x < 3 atau x > 9 C. x < -6 atau x > 9 D. -6 < x < 9 atau x g 3 E. -3 < x < 9

Jawaban : A

1

2

-3

5

>

x + 6 2 5 >0 x - 3 x + 6 2( x + 6) - 5( x - 3) >0 ( x - 3)( x + 6)

27 - 3 x >0 ( x - 3)( x + 6) 3(9 - x ) >0 ( x - 3)( x + 6) 9-x = 0, x = 9 x -3 = 0, x = 3 x +6 = 0, x = -6

1

2

-3

>

coba x = 0 ð

5 x

+6

2

>

0-3

x = 0

0+6

(S)

Jadi pilihan yang memuat x = 0 pasti bukan jawaban. Jadi B, D dan E salah.

Coba x = 4ð

2 4-3 2>

titik-titik tersebut jadikan titik terminal dan uji x = 0 misalnya untuk mendapatkan tanda(-) atau (+) :

5

>

5 4+6

5 (benar) 11

Jadi pilihannya harus memuat 4. Pilihan C salah(sebab C tidak memuat x = 4) Kesimpulan Jawaban A

+

-

+

3 9 -6 Jadi : x < -6 atau 3 < x < 9


58


7. Nilai terbesar x agar x - 34 x

³ 38 x + 12 adalah….

A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 E. -4

Jawaban : E

1

x -

3 x 3 x 1 ³ + (kali 16) 4 8 2

3 x 3 x 1 16( x - ) ³ 16( + ) 4 8 2 16 x - 12 x ³ 6 x + 8 4 x ³ 6 x + 8 - 2 x ³ 8 x £ -4 Perhatikan perubahan tanda, saat membagi dengan bilangan negative (8 : -2)

Jadi nilai terbesar x adalah : -4



59


8. Nilai x yang memenuhi ketaksamaan : |x -2|2 > 4|x -2| +12 adalah… A. -4 < x < 8 B. -2 < x < 6 C. x < -2 atau x > 8 D. x < -4 atau x > 8 E. x < -2 atau x > 6 Jawaban : D

1

|x -2|2 > 4|x -2| +12 misal : y = |x -2| 2 y -4y -12 > 0 (y +2)(y -6) > 0 (terpisah “atau”) y < -2 atau y > 6

1 y

< -2 à |x -2| < -2 (tak ada tuh.) y > 6 à |x -2| > 6 2 2 (x -2) > 6 2 x -4x +4 -36 > 0 2 x -4x -32 > 0 (x – 8)(x +4) > 0, terpisah Jadi : x < -4 atau x > 8

1

2

|x -2| > 4|x -2| +12 2

coba x = 0 ð |0 -2| > 4|0 -2| +12 4 > 8+12 (salah) berarti A dan B salah (karena memuat x = 0) 2

coba x =7 ð |7 -2| > 4|7 -2| +12 25 > 20+12 (salah) berarti E salah (karena memuat x =7) coba x

=-3ð |-3 -2|2 > 4|-3 -2| +12 25 > 20+12 (salah)

berarti C salah (karena memuat x =-3) Kesimpulan : Jawaban benar : D

Catatan : Setiap akhir pengujian, sebaiknya pilihan yang salah dicoret agar mudah menguji titik uji yang lain.


60


9. Nilai-nilai x yang memenuhi |x +3| £ |2x| adalah… A. x £ -1 atau x ³ 3 B. x £ -1 atau x ³ 1 C. x £ -3 atau x ³ -1 D. x £ 1 atau x ³ 3 E. x £ -3 atau x ³ 1 Jawaban : A

1

|x +3| ≤ |2x| kuadratkan : 2 2 (x +3) ≤ (2x) 2 (x +3)(x +3) ≤ 4x 2 2 x +3x +3x +9 ≤ 4x 2 3x -6x -9 ≥ 0 2 x -2x -3 ≥ 0 (x -3)(x +1) ≥ 0 (ter pisah) x ≤ -1 atau x ≥ 3

1

|x +3| ≤ |2x| baca dari kanan, karena koefisien x nya lebih besar dari koefisien x sebelah kiri. Jadi :

2 x ³ x + 3 +

x -3=0 x = -1 x = 3

3x +3=0

-

Jadi : x < -1 atau x > 3


61


10. Pertaksamaan

2x - 1 £ 3 mempunyai penyelesaan ….. x+5

x £ -16 atau x ³ -14/5 x £ -14/5 atau x > 16 x £ -14/5 x ³ -14/5 E. -16 £ x £ -14/5 A. B. C. D.

Jawaban : A

1

2x - 1 £ 3 (kali silang) x+5

| 2x -1 | £ | 3x +15 | ------ kuadratkan 2 (2x-1) £ (3x +15) 4x2-4x +1 £ 9x2+90x +225 5x2+94x +224 ³ 0 (5x +14)(x +16) ³ 0 2

+

-16

+

2x - 1 £3 x+5

0 -1 £3 0`+5 1 £ 3 (benar) 5

coba x = 0 ð

berarti B, C dan E salah (karena tidak memuat x = 0)

-14 5

Jadi : x £ -16 atau x ³ -

1

14 5

coba x =-16 ð

- 16 - 1 £3 - 16 + 5 17 £ 3 (benar) 11

berarti D salah x =-16)

(karenatidak memuat

Kesimpulan : Jawaban benar : A


62


11. Agar pecahan

x 2 + 3x - 10 2

x -x+2

bernilai positif , maka x anggota

himpunan….. A. {x|x < -5 atau x > 2} B. {x| -5 < x < 2} C. {x|x £ -5} D. {x| x < 2 } E. {x| -5 £ x £ 2}

1

x 2 + 3x - 10 2

x -x+2 artinya :

Jawaban : A

bernilai positif,

+ 3 x - 10 >0 2 x - x + 2

x

2

maka :

( x + 5)( x - 2) >0 2 x - x + 2 Uji x = -6

36 - 18 - 10 8 = =+ 36 + 6 + 2 44 Uji x = 0

0 - 0 - 10 - 10 = =0+0+2 2 Uji x =3

9 + 9 - 10 8 = =+ 9-3+ 2 8

-

+ -5

+

@ Perhatikan terobosannya @ x2-x +2 à definite positif (selalu bernilai positif untuk setiap x)

@ Supaya

x 2 + 3x - 10 2

bernilai

x -x+2 2 positif maka : x +3x -10 positif,sebab + : + = +

@ Jadi : x2 +3x -10 > 0

2

Ø

0, artinya daerah + Ø Jadi : x < -5 atau x > 2


(x +5)(x -2) > 0à besar nol (penyelesaian terpisah) Maka : x < -5 atau x > 2

63


3 x2 +7 x-14 12. Nilai-nilai x yang memenuhi x2 +3 x-4

³2

adalah…. A. x < -4 B. x < -4 atau -3 £ x < 1 atau x ³ 2 C. x £ -4 atau -3 £ x < 1 atau x ³ 2 D. -10 £ x < -4 atau -3 £ x < 1 E. -10 £ x < -4 atau -3 £ x <1 atau x ³ 2

3 x 2 + 7 x - 14 ³2 @ 2 x + 3 x - 4 3 x 2 + 7 x - 14 - 2( x 2 + 3 x - 4) x

2

+ 3 x - 4

³0

+ x - 6 ³0 2 x + 3 x - 4 ( x + 3)( x - 2) ³0 ( x + 4)( x - 1) x

2

-4

-3

1 3 x x

2 2

+ 7 x - 14 ³ 2 + 3 x - 4

coba x =2 ð

Setelah melakukan pengujian, untuk x = 0, di dapat +, selanjutnya bagian daerah yang lain diberi tanda selang seling (sebab semua merupakan suku ganjil)

++

Jawaban : B

+ +

1

2

++

Jadi : x < -4 atau -3 £ x < 1 atau x ³ 2

12 + 14 - 14 ³2 4+6-4 12 ³ 2 (benar) 6

berarti A dan D salah (karena tidak memuat x = 2) coba x = - 4 ð

48 - 28 - 14 6 = ³ 2 (Sal 16 - 12 - 4 0

ah, penyebut tidak boleh 0) berarti C salah coba x = - 11 ð

363 - 77 - 14 272 = ³2 121 - 33 - 4 84

(Benar,) E salah, sebab tidak memuat x = -11 Kesimpulan : Jawaban benar : B


64


13. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan :

2 x + 3 > 0 adalah…. 3 x - 7

A. {x|x < - 32 atau x > 73 } B. {x|x < - 32 dan x > 73 } C. {x| - 32 < x < D. {x|

7 3

7 } 3

> x >- 32 } Jawaban :A

E. {x|x < - 23 atau x > 32 }

1

2 x + 3 >0 3 x - 7 Pertidaksamaannya sudah mateng, maka langsung uji titik : x = 0ð

2.0 + 3 3 = =3.0 - 7 - 7

Selanjutnya beri tanda daerah yang lain, selang seling.

+ -

3 2

-

+ 7 3

> 0, artinya daerah positif (+) Jadi : x <

-

3 7 atau x > 2 3

@ Perhatikan terobosannya 2 x + 3 > 0 Uji demngan 3 x - 7 mencoba nilai :

x = 0 ð

0+3 0 - 7

= - (Salah)

berarti : C dan D salah

x = 1

2.1 + 3 3.1 - 7

=

5

-4

(salah)

berarti E salah (sebab memuat 1) B Salah menggunakan kata hubung dan. Jadi Jawaban benar : A


65


14. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 - 3 x < 2 adalah…. A. {x| -1 £ x £ 0 atau 3 £ x £ 4} B. {x| -1 < x £ 0 atau 3 £ x < 4} C. {x| 0 £ x £ 3} D. {x| -1 < x < 4} E. {x|x < -1 atau x > 4} Jawaban :B

@

x

2

- 3 x < 2

x 2 -3x < 4

à Kuadratkan : 2 à x -3x -4 < 0

(x -4)(x +1) < 0 @ syarat : x 2 -3x ³ 0 x(x -3) ³ 0 4

-1

p

f ( x)

< c ,maka :

( i ) kuadratkan (ii) f(x) ≥ 0

@ Penyelesaian : Irisan ( i) dan ( ii)

0

3

Jadi : -1 < x £ 0 atau 3 £ x < 4



66


15. Harga x dari pertidaksamaan

x + 1 x - 2

<

x + 5

-3

adalah….

A. x < -1/6 atau 2 < x < 3 B. x > 1/3 atau – ¼ < x < 0 C. x > ½ atau 0 < x < ¼ D. x > 3 atau 7/5 < x < 2 E. x < 1 atau 2 < x < 3 Jawaban : D

@

x + 1

-2

<

x + 5

x - 3 ( x +1)( x - 3) - ( x - 2)( x + 5) <0 ( x - 2)( x - 3)

p p

a b a b

< >

c d c d

®

®

ad - bc bd

ad - bc bd

<0

>0

- 2 x - 3 - x2 - 3 x +10 <0 ( x - 2)( x - 3) - 5 x + 7 <0 ( x - 2)( x - 3) zdasdfhhhhhhhhhhhh 2

x

+

-

7

2

-

3

5

Jadi :

7 < x < 2 atau x > 3 5 @ Perhatikan terobosannya


67


16. Himpunan

penyelesaian

pertaksamaan

:

( x - 1)(2 x + 4) <1 2 x + 4

adalah… A. {x|x > 2} B. {x|x < -4} C. {x|x < 2} D. {x|x > -4} E. {x|-4 < x < 2}

Jawaban : E

x2 +4 selalu positif untuk semua nilai x, makanya disebut Definite positif

1

( x - 1)(2 x + 4) <1 @ 2 x + 4 2 x 2 + 2 x - 4 - ( x 2 + 4) <0 2 x + 4 x 2 + 2 x - 8 <0 + berarti : x2 +2x -8 : (-) x2 +2x -8 < 0 (x +4)(x -2) < 0 @ Jadi : -4 < x < 2

@

( x - 1)(2 x + 4) <1 2 x + 4 Uji nilai : - 1.4 x = 0ð = -1 < 1 (B) 4 berarti A dan B salah (karena pilihan trs tidak memuat x = 0) 2.10 20 x = 3ð = < 1 (S) 9 + 4 13 berarti D salah (karena D memuat x =3)

- 6 .( -6 ) 36 = < 1 (S) x = -5ð 25 + 4 29 berarti C salah (karena C memuat x = -5) Jadi pilihan benar : E


68


17. Grafik yang diperlihatkan pada gambar berikut : -1

A. B. C. D. E.

5

adalah penyelesaian dari pertidaksamaan ..

x2 -4x – 5 £ 0 x2 -4x + 5 £ 0 x2 +x – 5 ³ 0 x2 -4x – 5 < 0 x2 -4x – 5 > 0

1

Perhatikan ujung daerah penyelesaian pada gambar tertutup, berarti pertidaksamaannya memuat tanda SAMA

1

Perhatikan pula, daerah yang diarsir, menyatu. Maka pertidaksamaannya KECIL. Jadi : (x +1)(x -5) £ 0 2 x -5x +x -5 £ 0 2 x -4x -5 £ 0

Jawaban : A



69


18. Jika a, b, c dan d bilangan real dengan a > b dan c > d, maka berlakulah…. A. ac > bd dan ac +bd < ad +bc B. a +c > b +d dan ac +bd > ad + bc C. ad > bc dan ac –bd > ad -bc D. a +d > b +c dan ac –bd = ad +bd E. a –d > b –c dan ac –bd = ad -bd Jawaban : B

1a

> b berarti a –b > 0 c > d berarti c –d > 0 + a +c > b +d

1a

–b > 0 c –d > 0 kalikan : (a –b)(c –d) > 0 ac –ad –bc +bd > 0 ac +bd > ad +bc

Jadi jawaban benar : B



70


19. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

+ 5 x - 16 ³ 2 adalah… 2 x + x - 6

3 x 2

A. x £ -4 atau -3 < x £ 1 atau x > 2 B. x £ -4 atau -2 £ x £ -1 atau x ³ 2 C. x £ -4 atau -2 < x £ -1 atau x > 2 D. x ³ -4 atau -2 £ x £ -1 atau x > 2 E. x ³ -4 atau -2 £ x £ -1 atau x ³ 2

1

+ 5 x - 16 ³2 2 x + x - 6 2 3 x 2 + 5 x - 16 2( x + x - 6 ) - 2 ³0 2 x + x - 6 x + x - 6 3 x 2 + 5 x - 16 - 2 x 2 - 2 x + 12 ³0 2 x + x - 6 x 2 + 3 x - 4 ³0 2 x + x - 6 ( x + 4 )( x - 1 ) ³0 ( x + 3 )( x - 2 )

Jawaban : A

3 x 2

Uji x = 0ð

4( -1 ) 3( -2 )

-

++ -4

=+

-

++ -3 bawah

1

++ 2 bawah

Jadi : x £ -4 atau -3 < x £ 1 atau x > 2 Jawaban benar : A


1

+ 5 x - 16 ³2 2 x + x - 6

3 x 2

Dengan mencoba nilai x = 0 0 + 0 - 16 8 = > 2 (B) + 0 0 6 3 berarti pilihan harus memuat nol. Jadi : B, dan C salah. x = 2 12 + 10 - 16 6 = > 2 (S) 4 + 2 - 6 0 berarti pilihan harus tidak memuat 2. Jadi : D, dan E salah. Jadi pilihan yg tersisa hanya A

71


20. Jika x 2

- 4 x + 4 - | 2 x + 3 |³ 0 maka…

A. -3 £ x £ B. -5 £ x £ C. x ³ -5

1

x

2

x 2

1 5 1 3

D. x £ -5 atau x ³ E. x £ -3 atau x ³ -

1 3 1 Jawaban : B

5

- 4 x + 4 - | 2 x + 3 |³ 0 - 4 x + 4 ³| 2 x + 3 |

Kedua ruas dikuadratkan 2 2 x -4x +4 ³ (2x +3) x2 -4x +4 ³ 4x2 +12x +9 3x2 +16x +5 £ 0 (3x +1)(x +5) £ 0 …(i) 1 Syarat

di bawah akar harus positif. 2 x -4x +4 ³ 0 (x -2)(x -2) ³ 0 , ini berlaku saja untuk setiap harga x Berarti penyelesaiannya adalah (i), yakni : 1 -5 £ x £ 3 (ingat : £ 0, terpadu)

1

x

2

- 4 x + 4 - | 2 x + 3 |³ 0

Coba nilai :

³ 0 (salah) x = 0ð Ö4-3=2-3=-1 berarti pilihan yg memuat nol, salah. Jadi : C, D dan E salah x = -4ð Ö 36 -5= 6 -5= -5³ 0 (B) berarti penyelesaian harus memuat x = 4. Jadi A salah. Maka jawaban yang tersisa hanya pilihan B


72


1. Prediksi SPMB x0 adalah rata-rata dari data : x 1, x2 ,x3,......x 10 Jika data bertambah mengikuti pola : x1 x2 x3 + + + 6 , ... dan seterusnya, maka nilai rata-ratanya 2 , 4 , 2 2 2 menjadi.... A. x0 +11 B. x0 +12 C. ½ x0 +11 D. ½ x0 +12 E. ½ x0 +20

x0

1

x1 x = 2

=

10

x2

+2+

2

x10

+ 4 + ...+

2

+ 20

10

x1 x2 ( +

= 2

x1 + x2 + x3 + ... + x10

2

x10 + ... ) +( 2 + 4 + ...+ 20)

2

@ Data : x1 , x2 ,x3 ,…xn. Rata-ratanya :

x

=

x1 + x 2

+ ... + x n n

@ Barisan aritmatik : U 1 ,U 2 ,U 3 ,….U n Jumlahnya :

S =

1 n( U 1 + U n ) 2

10

1 x1 + x2 + ...+ x10 12 .10( 2 + 20) = ( )+ 2 10 10 5( 22) 1 1 = x0 + = x0 +11 2 10 2

Jawaban : C


73


2. EBTANAS 1999 Dari 10 data mempunyai rata-rata 110. Jika kemudian ditambah satu data baru, maka rata-rata data menjadi 125, maka data tersebut adalah : A. 200 B. 275 C. 300 D. 325 E. 350

x1

= x1 +

n( x1

= 110 +

- x 0 )

x1 =

nilai data baru

1

x1 = x1 +

m

10( 125 - 110 ) 1

= 275

n ( x1 - x 0 ) m

x1 =rata

sekarang n = banyak data lama x 0 =rata lama m = banyak data baru

Jawaban : B


74


3. Prediksi SPMB Dari data distribusi frekuensi di bawah diperoleh rata-rata.... Interval f 2–6 3 7 – 11 2 12 – 16 2 17 – 21 4 22 - 26 5 A. 13 78 B. 14 87

D. 16 87

C. 15 87

E. 17 87

p = 5 -----------------------------------------Interval f c f.c 2–6 3 -2 -6 7 – 11 2 -1 -2 12 – 16 17 – 21 22 – 26

2 à xs 4 5

= 14 0 1 2

= x s + p = 14 +

5.

x

@

x s

f .c

å f

=rataan

sementara

@

p = panjang interval kelas

6

16 x

0 4 10

= x s + p å

@

å f .c å f 6 16

= 15

7 8

Jawaban : C


75


4. UMPTN 1997 Jika 30 siswa kelas IIIA 1 mempunyai nilai rata-rata 6,5 ; 25 siswa kelas IIIA 2 mempunyai nilai rata-rata 7 dan 20 siswa kelas IIIA 3 mempunyai nilai rata-rata 8, maka rata-rata nilai ke-75 siswa kelas III tersebut adalah.... A. 7,16 B. 7,10 C. 7,07 D. 7,04 E. 7,01

Rata-rata gabungan :3 kategori

@ 30 siswa rata-rata 6,5 30(6,5) = 195

@

x =

+ f 2 x2 + f 3 x3 f 1 + f 2 + f 3

f 1 x1

@ 25 siswa rata-rata 7,0 25(7,0) = 175 @ 20 siswa rata-rata 8,0 20(8,0) = 160 x =

195 + 175 + 160 530 = = 7,07 30 + 25 + 20 75

Jawaban : C


76


5. UMPTN 1998 Diketahui x1 = 2,0 ; x2 = 3,5; x 3 = 5,0 ; x4 = 7,0 dan x 5 = 7,5. Jika | xi - x | n i =1 n

deviasi rata-rata nilai tersebut dinyatakan dengan rumus : å xi i =1 n n

dengan x = å A. B. C. D. E.

, maka deviasi rata-rata nilai di atas adalah....

0 1,0 1,8 2,6 5,0

1 Rata-rata

dari data : x1 ,x2 , x3 ,....xn adalah : 1

Rata-rata : x + x 2 + x 3 x = 1

+ x 4 + x 5

x

=

x1 + x 2

+ ... + x n n

5

2,0 + 3,5 + 5,0 + 7,0 + 7,5 x = =5 5 1 Deviasi

n

| xi - x |

i =1

n

å Sr =

rata-rata : Sr =

| 2 - 5| + | 3 ,5 - 5| + | 5 - 5| + | 7 - 5| + | 7 ,5 - 5|

5

= 1 ,8

Jawaban : C


77


6. UMPTN 1999 Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan p kemudian dikurangi q di dapat data baru dengan rata-rata 20 dan jangkauan 9. Nilai dari 2p +q = .... A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 E. 9

1 Rata-rata

Rata-rata lama :16 16p –q = 20...........( i ) 1 Jangkauan lama: 6 6p = 9 , 2p =3 2p = 3 susupkan ke ( i ) : 24 – q = 20, berarti q = 4. 1

1 Jadi

: terpengaruh oleh setiap operasi. 1 Jangkauan : tidak berpengaruh oleh operasi ( + ) atau ( - )

: 2p +q = 3 +4 = 7

Jawaban : C


78


7. UMPTN 2002 Median dari data nilai di bawah adalah.... Nilai Frekuensi A. B. C. D. E.

4 5 6 7 8 8 3 -7 12 10 6 2

6,0 6,5 7,0 10,0 12,0

1 1 1

Jumlah data : 3 +7 +12 +10 +6 +2 = 40 n = genap

Median data genap : ) Me = 12 ( x 1 + x 1 n n +1 2

2

Me = 12 ( x 20 + x 21 )

= 12 ( 6 + 6 ) = 6

Jawaban : A


79


8. Prediksi SPMB Jangkauan dan median dari data : 22 ,21 ,20 ,19 ,18 ,23 ,23 ,19 ,18 ,24 ,25 ,26 berturut-turut adalah.... A. 8 dan 21 B. 8 dan 21,5 C. 18 dan 22 D. 26 dan 21 E. 26 dan 22

1 Median adalah 1

data di urut sbb: 18 18 19 19 20 21 22 23 23 24 25 26

Me =

21 + 22 = 21,5 2

1 Jangkauan

nilai tengah setelah data diurutkan 1 Jangkauan adalah nilai terbesar dikurangi nilai terkecil

= 26 – 18 = 8

Jawaban : B


80


9. Ebtanas ’98 No.10 f Rataan hitung data dari Histogram disamping adalah p 59. Nilai p =.... A. 12 7 B. 11 6 4 C. 10 3 D. 9 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 E. 8

1 1

Perhatikan gambar

Jawaban : C

Titik tengah dari interval : 45,5-50,5 adalah : 48 50,5-55,5 adalah : 53 55,5-60,5 adalah : 58 60,5-65,5 adalah : 63 65,5-70,5 adalah : 68 1 Masing-masing titik tengahnya dikalikan frekuensi.Gunakan rumus :

f x . å x = å f i

i

i

1

3.48 + 6.53 + 7.58 + p .63 + 4.68 3 + 6 + 7 + p + 4 144 + 318 + 406 + 63 p + 272 59 = 20 + p 1180 + 59 p = 1140 + 63 p 4 p = 1180 - 1140 = 40 p = 10

x =


81


10. Ebtanas 1997 No.12 Ragam (varians) dari data : 6 ,8 ,6 ,7, 8,7, 9, 7,7,6, 7,8,6,5,8, 7 Adalah..... A. 1 7 8 B. 1 D. 8 3 1 5 C. 1 E. 8 8

1 Rataan

x =

1

: f i x . i

å å f

i

5.1 + 6.4 + 7.6 + 8.4 + 9.1 x = 1+ 4 + 6 + 4 +1 112 = =7 16

1

Ragam (varians) s

2

2 f | x - x | å = å f i

i

i

1

1.22 + 4.12 + 6.02 + 4.12 + 1.2 2 s = 16 4+4+0+4+4 = 16 16 = =1 16 2

Jawaban : A


82


11 .Ebtanas 1996/No.11 Rata-rata nilai ulangan Matematika dari 40 orang siswa adalah 5,1. Jika seorang siswa tidak disertakan dalam perhitungan, maka nilai rata-ratanya menjadi 5,0. Nilai siswa tersebut adalah... A. 9,0 B. 8,0 C. 7,5 D. 6,0 E. 5,5

1 Rataan

1

x1

x å =

x =

1

å

n n = banyak data

1

n1

å x

RumusUmum : x i

= n1 x . 1

= 40.( 5 ,1 ) = 204 1

x 2

x å =

å x

2

n2

2

= n 2 x . 2

= 39.( 5 ,0 ) = 195

40 orang rataan 5,1 40(5,1) = 204 1 39 orang rataan 5,0 39(5,0) = 195 1

1 Nilai

siswa yang tidak diikutkan adalah : 204 – 195 = 9,0

Jadi : Nilai siswa = 204-195 = 9,0 Jawaban : A


83


12. Ebtanas 1996/No.12 Berat Badan 50 - 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61 62 - 64

1

Median dari distribusi frekuensi di atas adalah… A. 52,5 B. 54,5 C. 55,25 D. 55,5 E. 56,5

f 4 5 3 2 6

å f = 20 ð n = 20

Letak Median : 1 1 n = .20 = 10 ,berarti 2 2 Kelas Median : 56 – 58 Tb = 55,5 p = 3 F=4+5=9 f = 3 1 n - F 2 1 Me = Tb + p f Me = 55 ,5 + 3

= 55 ,5 + 1 = 56 ,5

1

Rumus Median data Kelompok : 1 n - F Me = Tb + p 2 f Me = Median Tb = Tepi bawah kelas median. p =panjang interval kls n = Jumlah frekuensi Jumlah seluruh data F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median

10 - 9 3

Catatan : Tb diambil dari batas bawah kelas Median dikurangi 0,5 (jika data interval bulat)

Jawaban : E


84


13. Ebtanas 1995/No. 12 Simpangan kuartil dari data : 6, 4, 5, 6, 8, 5, 6, 7, 4, 5, 7, 8, 3, 4, 6 adalah... 1 A. 5 2 B. 3 C. 2 1 D. 1 2 E. 1

1 Rumus

3 ,4 ,4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Q2 (median)

Q1 Qd =

Q3

Simpangan kuartil atau Jangkauan semi inter kuartil adalah : 1 Qd = ( Q3 - Q1 ) 2

1 1 (7 -4) = 1 2 2

Jawaban : D


85


14. Ebtanas 1990/No.17 Data yang disajikan pada diagram di bawah, mempunyai modus =... 20

f

17

12

13

8

7 3 ukuran

30,5 35,5 40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5

1

Perhatikan gambar : Balok tertinggi berada pada rentang : 45,5 – 50,5, ini disebut kelas modus. Tb = 45,5 p = 50,5 -45,5 = 5 S 1 = 20 -17 = 3 S 2 = 20 -13 = 7 S 1 Mo = Tb + p S 1 + S 2 3 = 45 ,5 + 5 3 + 7 = 45 ,5 + 1 ,5 = 47

A. B. C. D. E.

45,5 46 47 48 50,5

1 Rumus

Modus data kelompok : S 1 Mo = Tb + p S 1 + S 2

Dengan : Mo = Modus Tb = Tepi bawah kelas Modus p = panjang interval kelas S 1 = selisih frekuensi kelas Modus dgn frekuensi se belumnya.(selisih ke atas) S 2 = selisih frekuensi kelas Modus dgn frekuensi se Sudahnya(selisih ke ba wah)

Jawaban : C


86


15. Uan 2003/P5/No.14 Nilai rata-rata ulangan matematika dari 39 siswa disuatu kelas adalah 65. Bila nilai seorang siswa yang mengikuti ulangan susulan digabungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 65,5. Nilai siswa tersebut adalah... A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 E. 85

1 Rumus

Misal anak tersebut A Nilai rata-rata 39 siswa 65 x1 ð x1 = n1 x x1 = . n = 39.65 = 2535 Banyak siswa setelah A bergabung , n = 40 x 2 x 2 = . ð x 2 = n 2 x n = 40.(65,5) = 2620 x 2 - x1 1 Nilai A = 1

å

å

å

å

å

å

= 2620 – 2535 = 85

x =

1 Nilai rataan awal

Umum Rataan x

å

n

A: banyak siswa sekara selisih rataan

A = 65 +(65,5 -65).40 = 65 +20 = 85

Jawaban : E


87


16. Uan 2003/P-1/No.12 Nilai rata-rata ujian bahasa inggris 40 siswa suatu SMU yang diambil secara acak adalah 5,5. data nilai yang diperoleh sebagai berikut : Frekuensi nilai Jadi x =.... A. 6 B. 5,9 C. 5,8 D. 5,7 E. 5,6

17 4

10 x

6 6,5

7 8

1

1

Rataan diperoleh sbb : f i x . i x = f i

å å

5 ,5 = 5 ,5 =

Rumus umum rataan : f i x . i x = f i

å å

17 .4 + 10 x . + 6 ( 6 ,5 ) + 7 .8 17 + 10 + 6 + 7 68 + 10 x + 39 + 56

40 220 = 163 + 10 x 10 x = 57 x = 5 ,7


88


17. Uan 2003/P-1/No.14 Histogram pada gambar menunjukan nilai tes matematika disuatu kelas. Nilai rata-ratanya adalah… f 15 18 A. 69 14 B. 69,5 12 C. 70 D. 70,5 E. 71 4 2

Nilai 57 62 67 72 77

1

1

x =

å f x. å f i

i

i

x =

=

57 .2 + 62.4 + 67 .18 + 72.14 + 77 .12

Rumus umum rataan : f i x . i x = f i

å å

2 + 4 + 18 + 14 + 12 3500

50 = 70


89


18 Tes terhadap suatu pelajaran dari 50 siawa diperoleh nilai rata-rata 50, median 40 dan simpangan bakunya 10. Karena rata-rata nilai terlalu rendah maka semua nilai dikalikan 2 kemudian dikurangi 15, akibatnya... A. rata-rata menjadi 70 B. rata-rata menjadi 65 C. simpangan baku menjadi 20 D. simpangan baku menjadi 5 E. median menjadi 80

1

1

1

Rataan awal : 35 Dilakukan operasi kali 2 dikurangi 15, maka : Rataan menjadi : 2.35 -15 = 70 – 15 = 55 Median awal : 40 Dilakukan operasi kali 2 dikurangi 15, maka : Median menjadi : 2.40 -15 = 80 -15 = 65 Simpangan baku awal : 10 Dilakukan operasi kali 2 dikurangi 15, maka : Sim.baku menjadi : 2.10 = 20

1

Ukuran Pemusatan : (rataan,median,modus, kuarti dan lainnya) Jika dilakukan suatu operasi, akan berubah mengikuti pola operas yang bersangkutan.

1

Ukuran Penyebaran : (Jangkauan, simpangan kuartil, simpangan baku, dan lainnya) Jika dilakukan operasi penjumlahan dan pengu rangan tidak merubah ukuran yg bersangkutan, tetapi dengan perkalian dan pembagian maka akan berubah mengikuti operasi yang bersangkutan.

Jawaban : C


90


19. Prediksi Uan 2005 Berat Badan 51 - 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61 62 - 64

1

f 4 5 3 2 6

Kuartil bawah dari distribusi frekuensi di atas adalah… F. 52,5 G. 53,1 H. 55,25 I. 55,5 J. 56,5

å f = 20 ð n = 20

Letak kuartil bawah : 1 1 n = .20 = 5 ,berarti 4 4 Kelas Q1 : 53 – 55 Tb = 52,5 p = 3 F=4 f = 5 1 n - F 4 1 Q1 = Tb + p f Me = 52 ,5 + 3

1

Q1 = Kuartil bawah Tb = Tepi bawah kelas Kuartil bawah p =panjang interval kls n = Jumlah frekuensi Jumlah seluruh data F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Q1 f = frekuensi kelas Q1

5-4

= 52 ,5 + 0 ,6 = 53 ,1

Rumus Median data Kelompok : 1 n - F Q1 = Tb + p 4 f

5

Catatan : Tb diambil dari batas bawah kelas Q1 dikurangi 0,5 (jika data interval bulat)

Jawaban : B


91


20. SPMB 2002 Jika perbandingan 10800 mahasiswa yang diterima pada enam perguruan tinggi digambarkan sebagai diagram lingkaran ,

I VIVI

o

50

o

o

V

70

o

27

o

88

II III

40

IV

Banyak mahasiswa diterima di perguruan tinggi VI adalah… A. 2700 B. 2640 C. 2550 D. 2250 E. 2100

1

1 Besar Sudut Perguruan tinggi

ke VI = (360-50-27-88-40-70)o o = 85

1 Banyak mahasiswa diterima di

Lingkaran mempunyai sudut keliling sebesar o 360 1 Bagian VI mempunyai o sudut 360 dikurangi sudut-sudut yang diketahui.

perguruan tinggi VI adalah : 85 ´ 10800 = 2550 360

Jawaban : C


92


1. EBTANAS 2002/P-1/No.23 Nilai minimum fungsi objektif x+3y yang memenuhi pertidaaksamaan 3x +2y ≥ 12, x +2y ≥ 8 , x+y ≤ 8, x≥ 0 adalah…. A. 8 B. 9 C. 11 D. 18 E. 24

@ @ Objektif Z = AX +By

@ Objektif Z = x +3y

Misal berat ke y ( B > A) Maka Zmin = AX Zmaks = By

(berat ke y) berarti hanya dibaca : minimumkan Z = x minimum, PP harus “Besar” , maksudnya pilih pertidaksamaan yang besar “ ≥ “ ambil nilai Peubah yang “Besar” 3x +2y ≥ 12 …. x = 4 x+2y ≥ 8 ……...x = 8, terlihat peubah besar = 8 maka Zmin = x = 8


93


2. EBTANAS 2001/P-1/No.10 Untuk daerah yang diarsir, nilai maksimum dari fungsi objektif T = 3x+4y terjadi di titik… A. O B. P C. Q 2 x D. R + y E. S = S

R

8

x + 2 y =

Q

O

8 x + y = 5

P

g adalah garis selidik 3x +4y = 12.Perhatikan garis g’ berada di R, artinya maksimum fungsi fungsi T beradadi beradadi R

S 3 O

me m otong R di pali paling kanan

R Q

P4

g ' (digeser sejajar sejajar ke kanan ) g (garis se lidik) lidik)


94


3. UAN 2003/P-1/No.23 2003/P-1/ No.23 Nilai maksimum bentuk objektif (4x +10y) yang memenuhi himpunan penyelesaian system pertidaksamaan pertidaksamaan linier x ≥ 0, y ≥ 0 , x +y ≥ 0, x +2y ≥ 16 adalah…. A. 104 B. 80 C. 72 D. 48 E. 24

p @ Objektif Z = AX +By

Misal berat ke y ( B > A) Maka Zmin = AX Zmaks = By @ Objektif Z = 4x +10y

(berat ke y) berarti hanya dibaca : maksimumkan Z = 10y Maksimum, PP harus “Kecil” , maksudnya pilih pertidaksamaan pertidaksamaan yang yang kecil “ ≤ “ ambil nilai Peubah yang “kecil” x +y ≤ 12 …. y = 12 x+2y ≤ 16 … y = 8, terlihat peubah kecil = 8 maka Zmaks = 10y = 10.8 = 80


95


4. Nilai maksimum dari z = 30x 30x +20y untuk (x ,y) yang terletak dalam daerah x +y £ 6, x +y ³ 3, 2 £ x £ 4 dan y ³ 0 adalah… A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 E. 180

p p Sasaran Max, berarti pilih pertidaksamaan pertidaksamaan dan peubah (PP) “Kecil”

@

Z = 30x +20y àa mbil nilai x pertidaksamaan kecil pada interval 2 £ x £ 4, berarti x = 4 @ x = 4 substitusi ke x + y = 6 di dapat y=2. Dengan demikian nilai z maksimum akan di capai pada titik (4 ,2) @ zmax = 30.4 +20.2 = 120 + 40 = 160


96


5. Seorang anak diharuskan makan dua jenis vitamin tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 4 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Dalam satu hari ibu memerlukan 24 unit vitamin A dan 7 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 50,00/biji dan tablet kedua Rp 100,00/biji, maka pengeluaran minimum untuk membeli tablet perhari…. A. Rp 200,00 B. Rp 250,00 C. Rp 300,00 D. Rp 350,00 E. Rp 400,00

p

p

p

p Min, Sasaran “besar” dan PP “kecil”

x = unit vitamin A y = unit vitamin B, berarti : 4x +3y ³ 24 3x +2y ³ 7 z = 50x +100y, koefisien y besar, berarti pilih nilai y yang “ kecil” saja (minimum) dari : 4x +3y =24 dan 3x +2y = 7. Dari 3x +2y = 7 di dapat y = 7/2. Zmin = 7/2 . 100 = 350


97


6. SPMB 2002/610/No.10 2002/610/No .10 Nilai maksimum dari x +y -6 yang memenuhi x ≥ 0, y ≥ 0, 3x +8y ≤ 340, dan 7x +4y ≤ 280 adalah…. A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 E. 48

p @ Objektif Z = Ax +By+C

@ Fungsi Objektif

Misal Seimbang ( A =B) Maka Zmin = Ax+By+C Zmaks= Ax+ By+C

Z= x +y -6 Perhatikan Koefisien xdan y …Seimbang Berarti penyelesaian penyelesaian ada di titik potong P “kecil” X2

7x +4y = 280 3x +8y = 340 14x +8y = 560

- -11x = -220 x = 20

x = 20 susupkan ke : 7x +4y = 280 7(20) +4y = 280 y = 35 Z maks = 20 +35 -6 = 49


98


7. Nilai maksimum f(x ,y) = 5x +10y di daerah yang diarsir adalah…. 6 A. 60 B. 40 4 C. 36 D. 20 E. 16 4

p 6 4

p

Penyelesaian terletak pada titik potong y = x dengan 6x +4y = 24 4 6x +4x = 24 à x =

12 5

karena y = x maka y = p

Fmax= 5.

12 5

+10.

12 5

12 5

= 12 + 24 = 36


99


8. Nilai maksimum dari x +y yang memenuhi syaratsyarat x ³ 0, y ³ 0, x +2y -6 ³ 0, 2x +3y-19 £ 0 dan 3x +2y -21 £ 0 adalah…. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

p p Sasaran Max, berarti pilih 6

pertidaksamaan dan peubah (PP) “Kecil”

4

z = x +y di cari maksimum, maka pilih pertidaksamaannya yang “kecil” 4 yakni 2x +3y -19 ≤ 0 dan 3x +2y -21 ≤ 0, dipotongkan p 2x +3y = 19 .3à 6x +9y = 57 3x +2y = 21 .2à 6x +4y = 42 – 5y = 15 y = 3, x = 5 p zmax = 5 + 3 = 8 p


100


9. Nilai minimum minimum P = 30x 30x +10y +10y dengan syarat : 2x +2y ³ 4 6x +4y £ 36 2x –y £ 10 x ³ 0 y ³0 adalah…. A. 5 B. 20 C. 50 D. 100 E. 150

p p Sasaran Min, berarti pilih

6

pertidaksamaan pertidaksamaan dan peubah (PP) “Besar”

4

4

@

P = 30x +10y di cari minimum, maka pilih pertidaksamaannya yang “besar” yakni 2x +2y ³ 4 , berarti : y = 2 (sasaran berat ke-x) @ Jadi Pmax= 10.2 =20


101


10. Pedagang buah akan membeli apel dan jeruk. Harga setiap kg apel dan setiap kg jeruk berturut-turut adalah Rp 6.000,00 dan Rp 4.000,00. Pedagang itu memiliki uang Rp 500.000,00 dan hanya ingin membeli buah paling banyak 200 kg. Misalnya banyak apel x kg dan banyaknya jeruk y kg, maka system pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah… A. 3x +2y £ 250, x +y £ 200, x ³ 0 , y ³ 0 B. 3x +2y ³ 250, x +y £ 200, x ³ 0 , y ³ 0 C. 3x +2y ³ 250, x +y ³ 200, x ³ 0 , y ³ 0 D. 2x +3y £ 250, x +y £ 200, x ³ 0 , y ³ 0 E. 2x +3 ³ 250 , x +y ³ 200, x ³ 0 , y ³ 0

6 4 @

Misal x = apel y = jeruk @ Harga buah 4 : 6000x + 4000y £ 500.000 disederhanakan menjadi : 3x +2y £ 250………( i ) @ Kapasitas : x + y £200 ……….( ii ) @ Syarat : x £ 0 dan y ³ 0……. (A)


102


11. Rokok A yang harga belinya Rp 1.000 dijual dengan harga Rp 1.100 per bungkus sedangkan rokok B yang harga belinya Rp 1.500 dijual dengan harga Rp 1.700 per bungkus. bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai mempunyai modal Rp 300.000 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapat keuntungan maksimum jika ia membeli…. membeli…. A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja

p

p p

p

6

Sistem pertidaksamaannya : 1000x +1500y £ 300.000 (harga beli) 4 disederhanakan : 2x +3y £ 600 ....( i ) Kapasitas : x + y £250 ...........( ii ) Fungsi sasarannya : z = 1100x +1700y Terlihat berat4 ke “posisi y”, berarti cari nilai nila i y yang kecil dari ( i ) dan ( ii ) 2x +3y = 600 àx = 0, y = 200 x + y = 250 à x = 0, y = 250 Kelihatan y yang kecil adalah 200 Jadi keuntungan maksimum pasti pada saat ia i a membeli 200 bunkus bunkus rokok rokok B sa a


103


12. UAN 2003/P-2/No.23 Daerah yang di arsir merupakan penyelesaian dari system pertidaksamaan …. Y (0,8) (0,6)

(0,2) O

A. B. C. D. E.

(2,0)

(8,0)

(12,0)

X

4x +y ≥ 8, 3x +4y ≥ 24, x + 6y ≥ 12 4x +y ≥ 8, 3x +4y ≤ 24, x + 6y ≤ 12 4x +y ≥ 8, 3x +4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12 4x +y ≤ 8, 3x +4y ≥ 24, x + 6y ≤ 12 4x +y ≥ 8, 3x +4y ≥ 24, x + 6y ≤ 12

Terlihat : Jawaban : C

8

atas " Besar " 8 x + 2 y ³ 16 atau 4 x +

6

bawah " Kecil " 6 x + 8 y £ 48 atau 3 x + 4 y £ 24

y ³

8

atas " Besar " 2 x + 12 y ³ 24 atau

2

x +

2

8


6 y ³ 12

12

104


1 x

1. Jika f ( x ) = dan g(x) = 2x -1, maka (f og) -1(x) adalah…. A. B. C.

2x - 1 x x 2x - 1 x +1 2x

D. E.

2x + 1 2x 2x - 1 2x

p p

f ( x) =

ax + b

cx + d - dx + b

f 1 ( x ) =

@ f ( x) =

1 x

, maka

cx - a

dan g(x) = 2x-1

0. x + 1 = (f og)(x) = 2 x - 1 2 - 1 x + 1 -1 (f og) (x) = 2 1


105


2. Jika (g of)(x) = 4x2 +4x, dan g(x) = x 2 -1, maka f(x -2) adalah… A. 2x +1 B. 2x -1 C. 2x -3 D. 2x +3 E. 2x -5

p

p f(x ) = ax +b maka : f(x -k) = a(x -k) +b p sebaliknya : f(x-k) = ax+b, maka : f(x) = a(x +k) +b 2

2

@ (g of)(x) = 4x +4x, g(x) = x -1

g(f(x)) = 4x2 +4x f 2(x)-1 = 4x2 +4x f 2(x) = 4x2 +4x +1 = (2x+1)2 f(x) = 2x +1 @ f(x -2) = 2(x -2) +1 = 2x -3


106


3. Jika f ( x ) = x + 1 dan g(x) = x 2 -1, maka (g of)(x) adalah…. A. x B. x -1 C. x +1 D. 2x -1 E. x2 +1

p p

a 2 = a , tapi : ( a 2 )2 = a 2

jadi : ( f ( x ) ) 2 = f ( x ) p @ f(x) =

x + 1

, g(x) = x2 -1

(g of)(x) = g( f ) = ( ( x + 1) 2 - 1 =x+1–1 =x


107


4. Jika f ( x) =

1

2 -1 sama dengan…. 1 x 2 1+ x 1 2x

dan ( fog )( x) =

x

3 -2

, maka g(x)

A. 2 + B. C.

2 x 1 22x

D. 1 E.

p @ (f og) = @ f=

x

3 -2

,

1 2 x - 1

f(g)= 1

=

x

3 -2 x

→ 2g -1 =

3x - 2 x

2 g - 1 3 x - 2 3 x - 2 1 6 x + 4 + 2 x 8 x + 4 1 g = = 2 + + = = x 2 x 2 4 4 x


108


5. Fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan oleh f(x) = 2x -1 dan g(x) = x2 +6x +9, maka (g of)(x) adalah…. A. 2x2 +12x +17 B. 2x2 +12x +8 C. 4x2 +12x +4 D. 4x2 +8x +4 E. 4x2 -8x -4

p

p (g of)(x) = g(f(x))

g(x) = x2 +6x +9 (g of)(x) = g(f(x)) = (2x -1)2+6(2x -1) +9 = 4x2-4x +1 +12x -6 +9 = 4x2 +8x +4

@ f(x) = 2x -1,


109


f ( x) = x 2

6. Jika ( fog )( x) =

x - 2

x 2

dan

- 4 x + 5 , maka g(x -3) =…

1

A.

x - 5

1

B.

D.

x + 1

1

C.

p

1

+1

E.

x - 1

1

f og)(x) = g

2

-2

+1 =

1 x - 2

1 x - 3

1 x + 3

x 2

- 4 x + 5

x 2

- 4 x + 5

1 2 ( g +1 = x - 4 x + 5) 2 ( x - 2) 2

=

g

2

g

=

x 2

- 4 x + 5 - ( x - 2) 2 1 = 2 ( x - 2) 2 ( x - 2)

1 x - 2

è

g ( x - 3) =

1 1 = x - 3 - 2 x - 5


110


7. Diketahui fungsi f ( x) = 3 1 - x 3 + 2 . Invers dari f(x) adalah…. A. 1 - 3 ( x - 2) 3 B. (1 –(x -2)3)3 C. (2 –(x -1)3)3 D. (1 –(x -2)3)1/3 E. (2 –(x -1)3)1/3

p

p

f ( x) = 1 - x 3 3

+2

f - 2 = 3 1 - x 3

(f -2)3 = 1 –x 3 x3 = 1 –(f -2)3 x = 1 - ( f - 2) 3

-1

3

= (1 - ( f - 2) ) 3

f ( x) = (1-( x - 2) ) 3

1 3

1 3


111


8. Jika f(x) = Åx , x ≥ 0 dan g( x ) = -1

x x +1

; x ¹ -1 , maka

(g of) (2) = … A. ¼ B. ½ C. 1 D. 2 E. 4

p

f(x) =Öx g( x ) =

-1

è f

x

(x) = x2

è

x +1 x g -1 ( x ) = 1- x

p

(g of)-1(x) = (f -1og-1)(x) 2

æ x ö ÷ è 1 - x ø 2 2 æ ö = 4 (g of)-1( 2 ) = ç ÷ è 1 - 2 ø =ç


112


9. Jika f(x) = 2x -3 dan (g of)(x) = 2x +1, maka g(x) = …. A. x +4 B. 2x +3 C. 2x +5 D. x +7 E. 3x +2

p

Jika f(x) = ax +b dan (g of)(x) = u(x) æ x - b ö Maka : g(x) = u ç ÷ è a ø

@ f(x) = 2x -3 ,

(g of)(x) = 2x +1

æ x + 3 ö + 1 = x + 4 ÷ 2 è ø

g(x) = 2ç


113


10. Jika (f og)(x) = 4x 2 +8x -3 dan g(x) = 2x +4, maka f -1(x) = … A. x +9 B. 2 +Åx C. x2 -4x -3 D. 2 + x + 1 E. 2 + x + 7

p

g(x) = 2x +4 , (f og)(x) = 4x2+8x -3

æ x - 4 ö

2

x - 4

)-3 ÷ + 8( 2 è 2 ø

f(x) = 4ç

= x2 -8x +16 +4x -16 -3 = x2 -4x -3 = (x -2) 2 -7 f -1(x) = 2 + x + 7


114


11. Prediksi UAN/SPMB Jika f(x) = 2x +3 dan (f o g)(x) = 4x 2 +12x +7. Nilai dari g(1) =... A. 10 B. -12 C. 9 D. -9 E. 8

1

= ax + b dan ( fog )( x) = px 2 + qx + r px 2 + qx + r - b g ( x) =

f ( x)

a

maka :

4 x 2 + 12 x + 7 - 3 = 2 4.12 + 12.1 + 7 - 3 = 2 = 10


115


12. Prediksi UAN/SPMB f ( x ) = 34 x maka invers dari f(x) adalah.... A. 3log 4x B. 4log 3x C. 3log x4 D. 4log x3 E. 3log 4 x

1

-1

1

Jika f ( x ) = a px maka f ( x ) = log x p -1

f ( x ) = 3 maka f ( x)= 4 x

3

a

1 4

log x =3 log 4 x


116


13. UAN 2003/P-2/No.16 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x +p dan g(x) = 3x +120, maka nilai p =…. A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 150

1

g(f(x)) = f(g(x)) ¸ g(2x +p) = f(3x +120) 3(2x +p) +120 = 2(3x +120) +p 6x +2p +120 = 6x +240 +p 2p –p = 240 -120 p = 120


117


14. UAN 2003/P-1/No.16 Jika f-1(x) adalah invers dari fungsi 2 x + 5 4 , x ¹ . Maka nilai f-1(2) sama dengan f ( x ) = 3 x - 4 3 A. 2,75 B. 3 C. 3,25 D. 3,50 E. 3,75

O

f ( x) =

ax + b

cx + d - dx + b

-1 f ( x ) =

1

f ( x ) =

, maka

cx - a

2 x + 5 4 x + 5 ¸ f -1 ( x) = 3 -4 3 x - 2 4.2 + 5 13 f 1 (2) = = = 3,25 3.2 - 2 4


118


15. UAN 2003/P-2/No.17 Fungsi f : R ÷R didefinisikan sebagai 2 x - 1 -4 , x ¹ f ( x ) = .Invers dari fungsi f adalah 3 +4 3 f-1(x) = … 4 x - 1 -2 , x ¹ A. 3 x + 2 3 4 x + 1 2 4 x - 1 2 , x ¹ , x ¹ B. D. 3 x - 2 3 3 x - 2 3 4 x + 1 2 4 x + 1 -2 , x ¹ , x ¹ C. E. 2 - 3 x 3 3 x + 2 3

O

f ( x) =

ax + b

cx + d - dx + b

f -1 ( x ) = 1

, maka

cx - a

2 x - 1 - 4 x - 1 -1 f ( x ) = …(kali : -1) ¸ f ( x) = 3 x + 4 3 x - 2 4 x + 1 -1 f ( x) = 2 - 3 x


119


16. UAN 2003/P-1/No.17

Diketahui f(x) = x +2 dan g(x) =

15 x

untuk x ≠

. Jika

f-1(x) = fungsi invers dari f(x) dan g -1(x) = fungsi invers dari g(x), maka nilai (f -1 o g -1)(x) = 1 dipenuhi untuk x = …. A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10

1

-1

f = x +2 ,maka : f -1 = x -2

O

g=

-1

15 x

, maka g-1 =

15 x

(f o g )(x) = 1 f -1(g-1)(x) = 1 ¸ f -1(

15 x

15 x

O

O

)=1

-2 = 1 atau 3x = 15

Jadi : x = 5


120


1. Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka sin x adalah…. A. B.

C.

a

(1 + a 2 )

-

a

D. -

(1 + a 2 ) 1

E.

(1 + a ) 2

1 (1 + a 2 )

- (a - a 2 ) a

sin x = p

p

Tan x = a =

a

-1

tan x =

p q

cos x =

p

+ q2

p 2

q p 2

+ q2

a

→ sin x = a

2

+1


121


2. Jika cos x =

5 5

, maka ctg ( p 2 - x ) =…

A. 2 B. -3 C. 4 D. 5 E. 6

p p

p

p

cos x =

p

ctg ( p 2 - x ) = tan x

p

tan x =

q

è sin

x=

q2

- p 2 q

sin x

5 25 - 5 20 = è sin x = 5 5 5 20 sin x 20 = 55 = = 4=2 tan x = cos x 5 5

cos x =


122


3.

cos q = ... 1 - sin q cosq A. 1 + sin q 1 + sin q B. cos q 1 + cos q C. sin q

1 - cos q sin q 1 + sin q E. sin q

D.

JAWABAN : B

cosq 1 - sin q

1 + sin q =

cosq

Dituker, tanda penyebut berubah…OK ?


123


4. Jika

p

< x < p dan tan x = a, maka (sinx +cosx) 2 sama

2 dengan…. a 2 + 2a + 1 A. a 2 +1 a 2 - 2a + 1 B. a 2 +1 a 2 + a +1 C. a 2 +1

D.

a - 2a + 1

-1 a 2 - 2a - 1 E. a 2 -1 a

2

JAWABAN : A

p

tan x = a =

a

1

a

sin x = a

1

cos x = a

æ 2 (sin x + cos x) = çç è

2

2

+1 +1

a 1 ö÷ + ÷ 2 2 a +1 a + 1 ø 2 a + 2a + 1 = 2 a +1

2


124


5. (1 –sin2A) tan2A = … A. 2 sin2A -1 B. sin2A +cos2A C. 1 – cos2A D. 1 –sin2A E. cos2A +2

p

Sin2 x+cos2 x = 1

ìsin 2 x = 1 - cos 2 x í 2 2 îcos x = 1 - sin x p

p

sin x tan x = cos x

è

2 x sin tan 2 x = cos 2 x

2 A sin (1 –sin2A).tan2A = cos 2 A. cos 2 A = sin2A = 1 – cos 2A


125


6. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 45 o dan CT garis tinggi dari titik sudut C. jika BC = a dan AT = 3 a 2 maka AC = …. 2

A. aÅ2 B. aÅ3 C. aÅ5 D. aÅ7 E. aÅ11

C

C

a o

A

45 A 3 a 2 T 3 T a 22

45o B

B

2

p

CT = a sin 45o = ½ aÅ2 AC2 = AT2 +CT2 = (3/2 aÅ2)2 + ( ½ aÅ2)2 9 1 = a 2 + a 2 = 5a 2 2 2 Jadi : AC = a Å5


126


7. Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos(A –C) = k, maka sin A +cos B = …. A. – ½k B. –k C. -2k D. ½ k E. 2k

C

JAWABAN : C 45o A

3 a 2

2

T

B

Cos(A +C) = k → cos(A +90o) = k - sin A = k → sin A = -k o o p 90 –B = A → sin(90 –B) = sin A cos B = sin A = -k Jadi : sin A + cos B = -k –k = -2k p


127


8. Dari segitiga ABC diketahui a = 30o dan jika a +c = 6, maka panjang sisi b adalah…. A. Å2 B. Å3 C. 2Å2 D. 2Å3 E. 3Å2

C

c A p

A

30o 3 a 2 2 b

b

= 60o,

B

60o

a

45o T

C

B

a +c = 6 → c = 6 –a sin 30 o =

a c

=

a

6-a

ì a=2 a 1 = Þí 2 6-a îc = 6 - 2 = 4 p

b = c2

- a 2 = 4 2 - 2 2 = 12 = 2 3


128


9. Jika 0o < x < 90o diketahui tan x 1 - sin 2 x = 0,6 . Maka tan x = … A. 2,25 B. 1,8 C. 1,25 D. 0,8 E. 0,75

C

Jika tan x =

sin x 45o maka : cos

3 T a 2 cos x =2 1 - sin 2 x

A

p

B

tan x 1 - sin 2 x = 0,6 sin x 3 . cos x = 0,6 = cos x 5 3 3 3 sin x = → tan x = = 5 5 2 - 32 4


129


10. Jika

tan 2 x = 1, 0o < x < 90 o maka 1 + sec x

sudut x adalah….

A. 0o B. 30o C. 45o D. 60o E. 75o

C

p p

45o

tan x = sec x - 1 2

2

3 (x +y)(x T –y) x2A – y2 = a 2

B

2

p

tan 2 x =1 1 + sec (sec x + 1)(sec x - 1) sec 2 x - 1 =1→ =1 1 + sec 1 + sec sec x -1 = 1 → sec x = 2 x = 60o


130


11. Sebuah tiang bendera tingginya 3 m mempunyai bayangan ditengah sepanjang 2 m. Pada saat yang sama pohon cemara mempunyai bayangan di tanah sepanjang 10 m. Maka tinggi pohon cemara tersebut adalah…. A. 15 m B. 16 m C. 20 m D. 25 m E. 30 m

C 45o

3 A

3 a 2

2 p

x

3

=

10 2

è x

2

T

x B

10 = 15


131


12. Dalam segitiga siku-siku ABC, diketahui panjang Sisi BC = a dan ÐABC = b Panjang garis tinggi AD=…. A. a sin2b cos b B. a sin b cos b C. a sin2b D. a sin b cos2b E. sin b

C C

45o A

3 a 2

2

T

A

p

D

B b

B

AD = BC sin C cos C = BC sin B cos B = a sin b cos b


132


13. Pada segitiga ABC diketahui a +b = 10, sudut A = 30 o dan sudut B = 45 o, maka panjang sisi b = A. 5(Å2 -1) B. 5(2 -Å2) C. 10(2 -Å2) D. 10(Å2 +2) E. 10(Å2 +1)

C

p

Aturan Sinus : A

p p

3 a 2

2

a

= 45o

sin A

b

sin B

T

B

a +b = 10 → a = 10 –b a

b

=

sin 30 o sin 45 o 10 - b b = → 10Å2 - Å2 b = b 1 1 2

2

2

b + Å2 b = 10Å2 → (1 +Å2)b = 10Å2 10 2 b = = 10(2 -Å2) 1+ 2


133


14. Jika p +tg2 x = 1, maka sec x sama dengan…. A. 1 - p B. p - 1 C.

2 - p

D. p - 2 E.

3 - p

C

ìcos x =o 45 aï ï tan A x3=a 2í T 2 bï ïîsec x = o

o

b b2 + B2 a + b2 a2

b

p +tan2x = 1 → tan2 x = 1 -p 1 - p tan x = 1 - p = 1 1 - p + 1 = 2 - p sec x = 1


134


15. Nilai maksimum dan minimum dari : f(x) = 4 -3cos x adalah a dan b, maka nilai dari a 2 +b2 = …. A. 40 B. 42 C. 44 D. 45 E. 50

C

ì45 f o max = A + k f ( x) = - A cos x + k í A 3 a 2 Tî f min B= - A + k 2

p

f(x) = 4 -3 cos x = -3 cos x +4 a = 3 +4 = 7 b = -3 +4 = 1 → a2 +b2 = 49 +1 = 50


135


16. Nilai dari 8 sin 18 o sin 54o =…. A. ½ B. 1 C. 2 D. 4 E. 8

C 45o2x @ 2 sin x cos x = sin @ cos A x 3= asin(90 T–x) B 2 2

@ 8 sin 18 sin 54 = 8 sin 18 cos 36

4( 2 sin 18 cos18) cos 36 cos18 4 sin 36 cos 36 = cos18 2 sin 72 = =2 sin 72

=


136


17. Perhatikan gambar di bawah ini : Jika DC = 2p, maka BC = A. p sin2 a E B. p cos2 a C. 2p sin a D. 2p cos a E. p sin 2a A

D

a

C

B

C o

45sudut sisi depan

@ sin a = A 3 a sisi T miring B 2 2

@ cos a =

p

Ð BCE

p

sin a =

=a

cosa =

BC CE BC CE

sisi apit sudut

sisi mirin

→ Ð CDE = a (kesetaraan) → CE = 2p sin

a

→ BC = 2p sin a cos a

= sin 2a


137


18. Perhatikan gambar di bawah ini Nilai dari tg x adalah… A. 1/8 B. 3/11 C. 5/8 x D. 7/8 y E. 1

C 1 1 B

3

A

C o

tan45 A + tan B @ tan( A + B ) = A 3 a 2 1T B B - tan A tan 2

@ Tg y = 1/3

1+1 2 tan x + tan y 2 tan( x + y ) = = maka : = 3 3 1 - tan x tan y 3 3 tan x +1 = 2 -2/3 tan x 11/3 tan x = 1 → tan x = 3/11


138


19. Persamaan grafik ini adalah…. A. y = 2 sin 32 x Y B. y = -2 sin 32 x 2 C. y = -2 cos 23 x D. y = 2 cos 32 x O E. y = -2 cos 32 x

p

2p

3

3

p

X

-2

C

p p p

o Grafik tersebut adalah 45 cosinus terbalik. ( amplitude A 3 negative) T B a 2 Umum : y = 2 A cos nx

A = -2 n = 4 p / 3 = y = -2 cos 32 x 2 p

3 2


139


20. Nilai dari sin

p 3

cos

p 6

=…..

A. ½ Å3 B. 1/3 Å3 C. ¼ Å3 D. ¾ E. ½

C

p

o p = 180 3 A →

2

→

p

sin

p 3

cos

p

p

=

a3 2

o o 45 180

T3

= 60Bo

p 180 o = = 30 o 6

6

= sin 60o cos 30o

6 = ½ Å3. ½ Å3 = ¾


140


tan 2 x = 1, 0o < x < 90o , maka sec x adalah… 21. Jika 1 + sec x A. -1 B. 0 C. 1/3 D. ½ E. 1

C

p

tan2x = sec2 -1 A

p

3 a 2

o

45 à Rumus 2

T

Identitas B

tan 2 x = 1 è tan2x =1 +sec x 1 + sec x sec2x -1 = 1 +sec x sec2x –sec x -2 = 0 (sec x -2)(sec x +1) = 0 sec x = 2 atau sec x = -1


141


22. Dari segitiga ABC diketahui bahwa a = 30o dan o b = 60 . Jika a +c = 6, maka panjang sisi b adalah… A. Å2 B. Å3 C. 2Å2 D. 2Å3 E. 3Å2

C

Aturan sinus à jika diketahui 1 sisi o 2 45 sudut sin A sin B sin C A

p

p

2

a

T=

b

B=

c

= 30o, b = 60o berarti c = 90o sin 30o sin 90o = → a = ½ c

a

a

p

3 a 2

c

Padahal : a + c = 6 ½ c + c = 6 à c = 4, a = 2 sin 60o sin 90o = → b = 2Ö3 b 4


142


23. Jika 0 < x < 90 o diketahui tan x 1 - sin 2 x = 0,6 maka tan x =…. A. 2,25 B. 1,8 C. 1,25 D. 0,8 E. 0,75

C

p

Cos2x +sin2x = 1 trigonometri) 3 A

p p

p

a

22

cos x = 12- sin x sin x tan x = cos

sin x =

a b

o (identitas 45

T

→ tan x =

B

a b2

- a2

tan x 1 - sin 2 x = 0,6 sin x 3 3 x . cos sin x = = → 5 cos x 5 3 3 tan x = = = 0,75 2 2 4 5 -3


143


24. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12 cm dan sin B = ¼ , nilai cos C adalah…. A. 13 5 B. ¾ C. 25 5 D. 109 E.

39 8

C

C A

12

3 a 2

A

p

45o

2

T

10

B

B

3 sin B sin C sin C 4 = → = 12 10 12 10 5 82 - 52 39 sin C = à cos C = = 8 8 8


144


25. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 8 Å3 cm, ÐB = 120o, ÐC = 30o. Luas segitiga ABC adalah… A. 8Å3 cm2 B. 16Å2 cm2 C. 16Å3 cm2 D. 32 cm2 E. 48 cm2

C

C A

45o

3 a 2

A

p

p

30oT a

2

B

120o

10

B

1 1 3 sin120o 2 2 = = è a a 8 3 8 3 ½ a = 8. ½ = 4 à a = 8 L = ½ .AC.BC sin C ( Rumus standart) = ½ .8Å3. 8 sin 30o = =

sin 30o


145


8 2 26. Diketahui cos(A –B) = dan cos A cos B = , nilai 9 3 tan A.tan B = …. A. -3 B. -1/3 C. ¼ D. 1/3 E. 3

C o

45+ sin A sin B cos(A –B) = cos A cosB AT. sin B B A 3 a sin 2 tan A. tan B = 2 cos A. cos B

p p

p

cos(A –B) = cos A cosB + sin A sin B 8 = 23 + sin A sin B 9 sin A sin B =

8 9

- 23 = 29

2 sin A.sin B 1 tan A. tan B = = 9= cos A. cos B 2 3 3


146


27. Diketahui cos2A = Nilai tan 2A = …. A. 43 B. 108 C. ¾ D. 106 E.

8 10

untuk 0 ≤ 2A ≤ ½p .

5 10

C 45o

p A

p

p

3 a 2

2

T

B

Diketahui cos2A = 108 Cos 2A = 2cos2A -1 ( sudut rangkap) = 2. 108 -1 = 53 52 - 32 4 = tan 2 A = 3 3


147


28. Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar adalah…. A. y = -2 sin(2x -30)o B. y = 2 cos(2x -30)o 2 o C. y = -2 cos(2x -30) D. y = 2 cos(2x -60)o E. y = 2 sin(2x -30)o 15o 60o -2

C 45o

p A

p p

3 a 2

2

T

B

Susupkan saja x = 15o ke pilihan jawaban, mana yang menghasilkan y = 2 Pilihan B : 2 cos(2.15 o-30o) = 2.cos 0o = 2 Sesuai dengan nilai y


148


1. UMPTN 1995 1 3 x - 2 y = dan 2 x - y - 16 = 0 , maka nilai x +y =... 81 A. 21 B. 20 C. 18 D. 16 E. 14

1

1

3x - 2 y =

1 =3-4 81

2 x - y = 16 = 24

( )

a f x

= a p maka f(x) = p

→ x -2y = -4 → x –y = 4 -

-y = -8 à y = 8 x -8 = 4 à x = 12 Jadi : x + y = 12 +8 = 20


149


2. UMPTN 1995 Diketahui 2.4 x + 2 3- 2 x = 17 . Nilai dari 2 2x =... A. ½ atau 8 B. ½ atau 4 C. 1 atau 4 D. ½ atau -4 E. ½ atau -8

1

2.4 x + 2 3- 2 x = 17 , misal : 22x = a 8 2.2 2 x + 2 x = 17 à 2a + 8 = 17 a 2 2a2 -17a +8 = 0 (2a -1)(a -8) = 0 à a = ½ atau a = 8


150


3. UMPTN 1995 Penyelesaian persamaan : 2(25) x +1 + 5 x + 2 - 3 = 0 adalah x =.... A. 1 -2log 5 B. -1 -5log 3 C. -1 +5log 3 D. -1 -5log 3 E. 1 +5log 3

= p maka f ( x) = a log p a f ( x )

1

1

x

2( 25) x +1 + 5 x + 2 - 3 = 0 à 5

= a

50.52x +25.5x -3 = 0 50a2+25a -3 = 0 (10a -1)(5a +3) = 0 à a = 1/10 x =5 log 101 =5 log10-1 1

5 x = 101

à

=-5 log10 = -(5 log 5+ 5 log 2) = -1-5 log 2


151


4. UMPTN 1996 Untuk x dan y yng memenuhi sistem persamaan 5 x - 2 y +1 = 25 x - 2 y dan 4 x - y + 2 = 32 x - 2 y +1 , maka nilai x.y =.... A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20

1

1

1

5 x - 2 y +1 = 25 x - 2 y 5 x - 2 y +1 = 5 2 x - 4 y 4 x - y + 2 = 32 x - 2 y +1 2 2 x -2 y + 4 = 2 5 x -10 y + 5

a f (x )

=

a p maka f(x) = p

à x

-2y = 1 3x -6y = 3 à 3x -8y = -1 2y = 4 y = 2 dan x -4 = 1 à x = 5 Jadi : x.y = 5.2 = 10

-


152


5. UMPTN 1996 3 x -1 - y -2 Bentuk dapat ditulis tanpa eksponen -2 -1 x + 2 y negatif menjadi.... A. B. C.

@

x ( 3 y - x ) y ( y + 2 x 2 ) x ( 3 y 2 - x ) y ( x + 2 x 2 )

x (3y 2 - x ) y( y -2 x 2 )

-1

-2

D.

x (3 y 2 - x ) y(y + 2x 2 )

E.

x (3 y 2 - x ) y(x -2x 2 )

- y1

x

3 xy 2 - x 2 x(3 y 2 - x) - y = 1 2= 2 = 2 2 -2 -1 + x + 2 y y yx y y x + + 2 ( 2 ) y x 3 x

2

3

2

@ Dikalikan dgn : x 2 .y 2


153


6. UMPTN 1998 - 34

æ x . y ö ÷ dapat disederhanakan menjadi.... Bentuk ç ç y . x 2 ÷ è ø 2 3

- 43

2 3

A. x. y 2 B. xÅy C. x 2 . y D. x.yÅy E. y.xÅx

@

-34

æ x y ö x y . ç ÷ = . = x. y = xy y - ç y x 2 ÷ . è . ø y x 2 3

2 3

-43

-12 1 2

3 2

3 2


154


7. UMPTN 1999 -2

1 - 3 æ a + b ö ( a - b) ç =...... ÷ -3 è b - a ø (a + b) A. a2 –b2 B. a2 +b2 1 C. D. E.

1

a+b a+b

(a - b)2 a+b a-b

+ b ö (a - b) ç ÷ b a è ø -3 æ a

-2

1 (a + b)-

3

( a - b) 2 a+b 3 = . .( a + b ) = 3 2 ( a - b) ( a + b) a -b 1


155


8. UMPTN 1999 Nilai x yang memenuhi persamaan : ì5 x + y = 49 adalah..... í î x - y = 6 A. 3 + ½ 5log 7 B. ½ (3 +5log 7) C. 6 5log 49 D. 49 +5log 6 E. 3 + 5log 7

1

1

= p maka f ( x) = a log p a f ( x )

5 x + y = 49 x + y = 5 log 49 = 25 log 7

1

x –y = 6 + 2 x = 25 log 7 + 6

à

x = 5log 7 +3


156


9. EBTANAS 1996 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan : 2.92x-1 -5.32x +18 = 0, maka x 1 +x2 = .... A. 0 B. 2 C. 3log 2 D. 2 -3log 2 E. 2 + 3log 2

1

a. p 2 x

+ b. p x + c = 0 ,maka

x1 + x 2

p

1

=

c a

2.92x-1 -5.32x +18 = 0 à basis 9x 2.92x.9-1-5.9x +18 = 0 x9 2.92x-45.9x +18.9 = 0 18.9 9 x1 + x2 = = 92 2 Berarti : x1 +x2 = 2


157


10. SPMB 2002/No.20 Akar dari persamaan 3 5 x -1 = 27 x + 3 adalah.... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

1

3 5 x -1 = 27 x + 3 à 3 5 x -1 = 3 3 x + 9 5x -1 = 3x +9 à 2x = 10 x=5


158


11. SPMB 2002/No.16 1

1

1

Jika x > 0 dan x ¹ 1 memenuhi x . x = x pq , p dan q bilangan rasional,maka hubungan antara p dan q adalah.... A. p +q = -1 B. p +q = 1 C. 1 + 1 = 1 p

p

q

q

D. p.q = 1 E. p.q =-1

1

1

p

x . x p + q pq

1

q

=

= x 1 pq

1

pq

1 1

+ p q

à x

à p

= x

1

pq

+q = 1


159


12. EBTANAS 2002/No.21 2 Jika 6 x -1 = ( ) x +1 , maka x =.... 3 2 A. log 3 B. 3log 2 C. 1/2 log 3 D. 3log 6 E. 1/3log 2

1

2 6 x -1 = ( ) x +1 3

2 à (3.2) x -1 = ( ) x +1 3

Berarti : x =3 log 2


160


1. UMPTN 1996 Jika 4log(4x.4) = 2 –x, maka x = …. A. -1 B. – ½ C. ½ D. 1 E. 2

1 1

1

a m .a n a log u

= a m+ n = v Û u = av

4

log(4x.4) = 2 –x 4 log 4x+1 = 2 –x 4x+1 = 42 –x à x +1 = 2 –x x=½


161


2. UMPTN 1996 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan log(x 2 +7x +20) = 1, maka (x 1 +x2)2 -4x1.x2 adalah…. A. 49 B. 29 C. 20 D. 19 E. 9

1

Akar-akar ax2 +bx +c = 0 , x1 dan x2 Maka : 1

x1 + x 2

1

x1 . x 2

=

=-

b a

c a

2

@ log(x +7x +20) = 1 =log 10

x2 +7x +20 = 10 à x2 +7x +10 = 0 (x1 +x2)2 -4x1.x2 = (-7)2 -4.10 = 9


162


3. UMPTN 1996 Jika a log(1-3 log 271 ) = 2 , maka nilai a yang memenuhi adalah…. A. 1/8 B. ¼ C. 2 D. 3 E. 4

@

1

a

a

log u = v Û u = a v

log(1-3 log 271 ) = 2 à 1-3log 271 = a 2 1 – 3log 3-3 = a2 1 – (-3) = a2 a2 = 4 à a = 2


163


4. UMPTN 1997 Jika 2 log x + log 6x –log 2x –log 27 = 0, maka x sama dengan.... A. 3 B. -3 C. 3 atau -3 D. 9 E. 9 atau -9

1 1

1

a

log x +alog y = alog x.y x a log x -alog y = alog y

2 log x + log 6x –log 2x –log 27 = 0 2 x .6 x x2 log = log1 à = 1 9 2 .27 x2 = 9 , berarti x = 3


164


5. UMPTN 1997 Jika b = a4 , a dan b positif, maka alog b – blog a adalah…. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ¾ E. 4 ¼

1

1

a

Jika x = y maka y =

log b - log a = log a - log b b

a

4

n

b

1 xn

1 4

=4–¼=3¾


165


6. UMPTN 1997 Jumlah dari penyelesaian persamaan : 2 log2x +52log x +6 = 0 sama dengan…. A. ¼ B. ¾ C. 1/8 D. 3/8 E. -5/8

1

2

2

a

log f(x) = p maka : f(x) = a p

2

@ log x +5 log x +6 = 0

(2log x +2)(2log +3) =0 2 log x = -2 atau 2log x = -3 x = 2-2 = ¼ atau x = 2-3 = 1/8 1 1 3 @ Maka : x1 + x 2 = + = 4

8

8


166


7. UMPTN 1997 Jika 9log 8 = p, maka 4log 13 sama dengan.... 3 A. 2 p 3 4 B. D. 4 p 3 p 2 6 C. E. 3 p 4 p

@ Posisi basis ter-

balik : 3 -1

23 2 2

32 9

log 8 =

pÞ

4

1 log 3

13 . 2.2. p -

=

= -


3 4p

167


8. UMPTN 1998 Dari sistem persamaan 5log x +5log y = 5 dan 5log x3 5 log y4 = 1, nilai x +y adalah.... A. 50 B. 75 C. 100 D. 150 E. 200

1

log x + 5 log y = 5 à 35 log x +35 log y = 15 5 log x3 -5 log y 4 = 1 à 35 log x -45 log y = 1 ------------------- 75 log y = 14 5 log y = 2 à y = 52 = 25 5 log x = 3 à x = 53 = 125 Jadi : x + y = 25 +125 = 150 5


168


9. UMPTN 1998 Nilai x yang memenuhi ketaksamaan 2 log(2x+7) > 2 adalah….. A. x > - 7 B. C.

2 3 x>2 7 3 -
D. - 7 < x < 0 E.

2 3 -
1

1

2

Jika a log f ( x ) > p ,maka : ( i ) f(x) > a p ( ii ) f(x) > 0

log(2x+7) > 2 à ( i ) 2x +7 > 4 x>-

3 2

( ii ) 2x +7 > 0 x> -7 2

Gabungan ( i ) dan ( ii ) di dapat : x > -


3 2

169


10. UMPTN 1999 Nilai x yang memenuhi persamaan : ( 3 x + 5 ) log 27=3 log 3 adalah.... A. 42 B. 41 C. 39 D. 7 23

1

E.

7 13

3 x + 5

log 27 = 1 à 27 = 3x +5 3x =22 x=

22 1 =7 3 3


170


11. UMPTN 1999 Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka log(3 2 . 3 ) =.... A. 0,1505 B. 0,1590 C. 0,2007 D. 0,3389 E. 0,3891

1

log(3 2 . 3 ) = log 21/3 + log 3 1/2 = 1/3 log 2 + ½ log 3 = 1/3(0,3010) + ½ (0,4771) = 0,3389


171


12. Prediksi SPMB Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan : 1 (2 log x - 1) x = log10 , maka x 1.x2 = .... log10 A. 5Å10 B. 4Å10 C. 3Å10 D. 2Å10 E. Å10

1

1 = log10 log10 (2log x -1) log x = 1 2log2x –log x -1 = 0 1 b 1 log x1. x2 = - = à x 1 . x 2 = 10 2 = 10 a 2 (2 log x - 1) x


172


13. Prediksi SPMB Jumlah dari nilai x yang memenuhi persamaan 3 log x(3 log x + 4) + 3 = 0 adalah.... A. 274 B. 278 C. D. E.

10 27 13 27 16 27

1

3

log x (3 log x + 4) + 3 = 0

3

log2x +43log x +3 = 0 (3log x +1)(3log x +3) = 0 3 log x = -1 atau 3log x = -3 1 x = 3-1 = 13 atau x = 3-3 = 27 @ Jadi :

1 3

+ 271 = 1027


173


14. Prediksi SPMB 1 3 1 Jika 2 log = dan 16log b = 5, maka a log 3 =.. a 2 b A. 40 B. -40 C. 40 D.

3 40 3

E. 20

1

1

- 32 3 log = à a = 2 a 2 16 log b = 5 à b = 165 2

a

log

1

1 b3

= -3 a log b = -3 2

= - 15 = -15.

-3

2 2

-3 2

log 16 5

log 2 4 = -15.

4 2 log 2

- 32

8 = 40 -3


174


15. Prediksi SPMB Nilai x yang memenuhi (b log x) 2 + 10 < 7.b log x dengan b > 1 adalah.... A. 2 < x < 5 B. x < 2 atau x > 5 C. b2 < x < b5 D. x < b2 atau x > b 5 E. 2b < x < 5b

(b log x) 2 + 10 < 7.b log x b log2x -7log x +10 < 0 ( blog x -2)( blog x -5) < 0 Pembuat Nol : x = b 2 atau x = b 5 Pert. “Kecil” jawaban pasti terpadu 2 5 @ Jadi : b < x < b 1


175


16. Jika log(y +7) +2log x = 2, maka .... A. B. C. D.

100x 2 y= 7 7 y= - x2 100 100 y = 7x 2 100 y = 2 -7 x

E.

y = 100 - x 2

1

Log(y +7) +2log x = 2 Log(y +7) +log x2 = log 102 x2(y +7) = 102 à y +7 = 100 2 x

y=

100 -7 x

2


176


1. Jika C 5n + 2 = 2C 4n +1 dan n > 5, maka n = .... A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12

1

Jika C nn + p = kC nn-+1 p -1 Maka :

1

C 5n + 2 n+2

5

n + p n

= k

= 2C 4n +1 =2

à n

=8


177


2. Dari angka 3 ,5 ,6 ,7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400, banyaknya adalah.... A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6

1

Angka-angka : 3 ,5 ,6 ,7 dan 9 Disusun atas 3 angka, nilainya < 400 1

4

3

Kotak I hanya bisa diisi angka 3 (1 cara) Kotak II dapat diisi 5, 6,7 atau 9 (4 cara) Kotak III dapat diisi (4 -1) cara = 3 cara Jadi : banyaknya ada : 1 . 4 . 3 = 12 cara


178


3. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 10

1

No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7 Dipilih 3 soal lagi,maka : 5.4 5 = 10 Banyaknya ada : C 3 = 2.1


179


Jika Cnr m enyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen, dan C3n = 2n ,maka C72n =.. A. 160 B. 120 C. 116 D. 90 E. 80

3+ 7 n= =5 2 1

n

C 3

=

2n à C 72n

=

10 C 7

10.9.8 = = 120 3.2


180


5. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu AS adalah.... 2 A. 52 B. C.

26 52 28 52

1

1

D. E.

30 52 32 52

Jumlah kartu : 50 Jumlah kartu merah : 25 Jumlah Kartu AS : 4 P(M atau A) = P(M) +P(A) 26 4 30 + = = 52 52 52


181


6. Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria dan 7 wanita, dipilih 2 pria dan 3 wanita, maka banyaknya cara pemilihan adalah.... A. 1557 B. 1575 C. 1595 D. 5175 E. 5715

1

10 Pria, 7 wanita dipilih 2 pria dan 3 wanita,maka : 10.9 7.6.5 10 7 . C 2 .C 3 = = 45.35 = 1575 2.1 3.2.1


182


7. Di suatu perkumppulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 calon. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah... A. 84 B. 82 C. 76 D. 74 E. 66

1

1

Dipilih 6 calon, dari 5 pria dan 4 wanita.(sekurang-kurangnya 3 pria) 5 4 5 4 5 4 C 3 .C 3 + C 4 .C 2 + C 5 .C 1 = 10.4 +5.6 +1.4 = 74


183


8. Dari 9 orang siswa terdiri dari 6 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 6 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah.... A. 48 B. 52 C. 54 D. 58 E. 64

1

1

Dari 9 siswa dipilih 6 orang paling banyak 2 orang putri : 6 putra 0 putri à C 66 .C 03 = 1 .1 = 1 5 putra 1 putri à C 56 .C 13 = 6.3 = 18 4 putra 2 putri à C 46 .C 23 = 15.3 = 45 Jadi banyaknya : 1 +18 +45 = 64


184


1. UMPTN 1997

Jika x dan y memenuhi hubungan : æ 2 - 3 öæ x ö æ 8 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ , maka nilai x +y =... è - 1 2 øè y ø è - 5 ø A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2

1

æ a çç è c

b öæ x ö

æ p ö ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ à d øè y ø è q ø (a - b)q - (c - d ) x + y = ad - bc

æ 2 - 3 öæ x ö æ 8 ö 1 ç ç - 1 2 ÷÷çç y ÷÷ = çç - 5 ÷÷ è øè ø è ø (2 + 3)(-5) - (-1 - 2).8 x + y = 2.2 - (-1)(-3) - 25 + 24 = = -1 4-3


185


2. UMPTN 1997 æ 1 2 0 ö ÷÷ dan At adalah transpos dari Jika A = çç è 3 - 1 4 ø matriks A, maka baris pertama dari A t.A adalah.... A. (10 1 12) B. (10 1 -12) C. (10 -1 14) D. (10 -1 12) E. (10 -1 -12)

1

Jawab : D

1

æ 1 3 ö ç ÷æ 1 2 ç 2 - 1÷çç ç 0 4 ÷è 3 - 1 è ø AT

.

A

æ a b ö ÷÷ trasposenya A = çç è c d ø æ a c ö T ÷÷ A = çç è b d ø Baris jadikan kolom,kolom jadikan baris

æ 1.1 + 3.3 1.2 + 3(-1) 1.0 + 3.4 ö ÷ 0 ö ç ÷÷ = ç ÷ 4 ø ç ÷ è ø æ 10 - 1 12 ö ç ÷ =


186


3. UMPTN 1996 Diketahui : æ x + y x ö , B=ç ÷ è - 1 x - y ø

æ 1 - x ö 2 ÷ dan matriks A C = çç ÷ è - 2 y 3 ø

merupakan transpos matriks B. Jika A = C, maka x 2xy +y sama dengan.... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

x ö æ x + y - 1 ö æ 1 2÷ çç ÷÷ = çç è - 2 y 3 ø è - 2 y 3 ø÷

1

A=Cà

1

Pilih elemen seletak : -1 = - x2 à x = 2

x + y = 1 à y = -1 @ Jadi : x -2xy +y = 2 -2.2(-1) -1 = 5


187


4. UMPTN 1996 Titik potong dari dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks : æ - 2 3 öæ x ö æ 4 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ adalah.... è 1 2 øè y ø è 5 ø A. (1 ,-2) B. (-1 ,2) C. (-1 ,-2) D. (1 ,2) E. (2 ,1)

1

æ a çç è c

b öæ x ö

æ p ö ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ d øè y ø è q ø

æ x ö = 1 æ d - b ö æ p ö çè y ø÷ ç ÷ç ÷ ad - bc è - c a ø è q ø 1

æ x ö 1 æ 2 - 3 öæ 4 ö æ 1 ö çç ÷÷ = çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ è y ø - 7 è - 1 - 2 øè 5 ø è 2 ø = (1 ,2)


188


5. Nilai a yang memenuhi : æ a b öæ 1 2 ö æ 2 1 ö æ 0 0 ö çç ÷÷çç ÷÷ - çç ÷÷ = çç ÷÷ adalah.... è c d øè 2 1 ø è 4 3 ø è 1 2 ø A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

1 1

æ a çç è c

b öæ 1

2 ö æ 2 1 ö ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ d øè 2 1 ø è 5 5 ø a + 2b = 2 à a +2b = 2 2a +b = 1 à 4a +2b = 2 -3a = 0, berarti a = 0


189


6.

æ u1 Diketahui matriks A = çç è u2

u3 ö

÷÷ dan u n adalah suku u4 ø

ke-n barisan aritmetik. Jika u6 = 18 dan u 10 = 30, maka diterminan matriks A sama dengan... A. -30 B. -18 C. -12 D. 12 E. 18

U6 = 18 à a +5b = 18 U10= 30 à a +9b = 30 -4b = -12 à b = 3 a + 15 = 18 à a = 3 U1 = a = 3 U 3 = a +2b = 9 U2= a +b = 6 U 4 = a +3b = 12 æ 3 9 ö ÷÷ à det(A) = 3.12-6.9 = -18 @ A = çç è 6 12 ø 1


190


7.

æ 4 - 1 öæ 1 2 ö æ 7 z ö ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ maka x +y+z Jika çç è x y øè - 3 5 ø è - 13 - 4 ø adalah.... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 4

1

1

æ 4 - 1 öæ 1 2 ö æ 7 z ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ è x y øè - 3 5 ø è - 13 - 4 ø z ù 3 ù é 7 é 7 ê x - 3 y 2 x = 5 y ú = ê- 13 - 4ú ë û ë û x – 3y = -13 à 2x -6y = -26 2x +5y = -4 2x +5y = -4 -11y = -22 à y = 2 x = -7 @ Jadi : x + +z = -7 +2 +3 = -2


191


8.

æ m n öæ 1 2 ö æ 24 23 ö ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ maka nilai Jika diketahui çç è 2 3 øè 4 3 ø è 14 13 ø m dan n masing-masing adalah.... A. 4 dan 6 B. 5 dan 4 C. 5 dan 3 D. 4 dan 5 E. 3 dan 7

1

æ m n öæ 1 2 ö æ 24 23 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ è 2 3 øè 4 3 ø è 14 13 ø æ m + 4n 2m + 3n ö æ 24 23 ö çç ÷÷ = çç ÷÷ è ø è ø

m +4n = 24 à 2m +8n = 48 2m +3n = 23 à 2m +3n = 23 5n = 25 à n = 5 2m +3.5 = 23 à m = 4 …..(D)


192


9. Jika diketahui : æ 4 x - 2 ö æ - 6 8 ö æ 3 1 öæ 0 3 ö çç ÷÷ + çç ÷÷ = 2çç ÷÷çç ÷÷ maka è 3 2 ø è - 11 - 6 ø è - 2 4 øè - 1 1 ø nilai x adalah.... A. 0 B. 10 C. 13 D. 14 E. 25

1

æ 4 çç è 3 æ D çç è

x - 2 ö

æ - 6 8 ö æ 3 1 öæ 0 3 ö ÷÷ + çç ÷÷ = 2çç ÷÷çç ÷÷ 2 ø è - 11 - 6 ø è - 2 4 øè - 1 1 ø x + 6 ö æ D 3.3 + 1.1 ö æ 10 ö ÷÷ = 2çç ÷÷ = 2çç ÷÷ , ø è ø è ø

Perhatikan elemen-elemen seletak. Jadi : x +6 = 2.10 = 20 à x = 14


193


10.

æ 2 ö æ - 1 ö æ - 7 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ Diketahui persamaan : xç 5 ÷ + yç - 6 ÷ = ç - 21 ÷ ç - 2 ÷ ç 5 ÷ ç 2 z - 1÷ è ø è ø è ø maka nilai x =..... A. -2 B. -3 C. 0 D. 6 E. 30

æ 2 ö æ - 1 ö æ - 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 xç 5 ÷ + yç - 6 ÷ = ç - 21 ÷ ç - 2 ÷ ç 5 ÷ ç 2 z - 1÷ è ø è ø è ø 1

2x –y = -7 à 12x -6y =-42 5x -6y = -21 à 5x -6y = -21 7x = -21à x = -3


194


æ 5 + x x ö ÷÷ dan 11. Diketahui A = çç è 5 3 x ø

æ 9 - x ö ÷÷ Jika B = çç è 7 4 ø

determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah.... A. 3 atau 4 B. -3 atau 4 C. 3 atau -4 D. -4 atau -5 E. 3 atau -5

1

det(A) = det(B) 3x(5 +x)-5.x = 36 -7(-x) 15x +3x2 -5x = 36 +7x 3x2 +x -12 = 0 x2 +x -12 = 0 à (x +4)(x -3) = 0 x = -4 atau x = 3


195


12.

æ - 2 5 ö ÷÷ dan Jika M = çç è 1 - 3 ø matriks K =.... æ 4 3 ö ÷÷ A. çç è - 2 - 1 ø æ 1 - 2 ö ÷÷ B. çç è 3 4 ø æ - 1 - 2 ö ÷÷ C. çç è 3 4 ø

1

æ 0 - 1 ö ÷÷ , maka K .M = çç è - 2 3 ø

æ 3 D. çç è 1 æ 1 E. çç è 3

- 4 ö ÷÷ - 2 ø 2 ö ÷÷ 4

æ 0 - 1 ö æ 0 - 1 ö -1 ÷÷ à K = çç ÷÷ M K .M = çç . è - 2 3 ø è - 2 3 ø æ 0 - 1 ö 1 æ - 3 - 5 ö ÷÷. çç ÷÷ K = çç è - 2 3 ø - 2 + 3 è - 1 - 2 ø æ 0 - 1 ö æ - 3 - 5 ö æ 1 2 ö ÷÷.çç ÷÷ = çç ÷÷ K = çç è - 2 3 ø è - 1 - 2 ø è 3 4 ø


196


13.

æ 2 4 ö ÷÷ dan Diketahui matriks A = çç è 3 1 ø

æ 1 0 ö ÷÷ , I = çç è 0 1 ø

Matriks (A –kI) adalah matriks singular untuk nilai k =.... A. -2 atau 5 B. -5 atau 2 C. 2 atau 5 D. 3 atau 4 E. 1 atau 2

1

æ 2 4 ö æ k 0 ö æ 2 - k 4 ö ÷÷ - çç ÷÷ = çç ÷÷ A - kI = çç è 3 1 ø è 0 k ø è 3 1 - k ø Matriks singular,berarti determinan =0 det(A-kI) =0 (2 –k)(1 –k)- 3.4 = 0 k2 -3k -10 =0 à (k -5)(k +2) = 0 k = 5 atau k = -2


197


14. Diketahui

æ 3 -1 ö è 2 0 ø÷

B=ç

,

æ 0 2 ö è 3 - 6 ø÷

C=ç

dan determinan

dari matriks B.C adalah K. Jika garis 2x –y = 5 dan x +y = 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah.... A. x -12y +25 = 0 B. y -12x +25 = 0 C. x +12y -23 = 0 D. y -12x -11 = 0 E. y -12x +11 = 0

1

1

1

æ 3 -1 ö æ 0 2 ö = æ -3 12 ö è 2 0 ø÷ çè 3 - 6 ø÷ çè 0 4 ø÷

BC = ç

det(BC) = -12-0 = -12 = K = gradient 2x –y = 5 x+y=1 3x = 6 à x = 2 dan y = -1 Pers.Garis : y –(-1) = -12(x -2) y +12x -23 = 0


198


15. Diketahui æ 2x 3 ö è 2 x ø÷

B=ç

matriks

æ 3 2 ö ÷÷ dan A = çç è 2 x ø

matriks

. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar

persamaan det(A) = det(B), maka x12+x22 = ..... A. 1 ¼ B. 2 C. 4 D. 4 ¼ E. 5

1

det(A) = det(B) 3x-4 = 2x2-6 à 2x 2 -3x -2 = 0 2 2 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) - 2. x1 x2 = (- -23 )2 - 2. -22 = 94 + 2 = 4 14


199


16. Diketahui matriks-matriks : æ 2 1 ö è 3 4 ø÷

A=ç

,

æ -1 2 ö è 5 6 ø÷

B=ç

dan

æ a -1 ö . è 2 3 ø÷

C=ç

Jika

determinan dari 2A –B +3C adalah 10,maka nilai a adalah.... A. -5 B. -3 C. -2 D. 2 E. 5

1

1

2A –B +3C = æ 4 2 ö æ - 1 2 ö æ 3a - 3 ö æ 5 + 3a - 3 ö çç ÷÷ - çç ÷÷ + çç ÷÷ = çç ÷÷ 11 ø è 6 8 ø è 5 6 ø è 6 9 ø è 7 det(2A –B+3C) = 55+33a +21 10 = 76 +33a à 33a = -66 a = -2


200


1. SPMB 2002/Mat.Das/No.12 2002/Mat.Das/No.1 2 2 x 2 - x + 4 lim = ... 2 x ®¥ 3 x - 5 A. - 54

B. C. D.

2 3 3 2 - 54

E. ~

@ “ ~ “ ucapkan BE >>SAR

berarti : pilih koefisien koefisien variable pangkat be…sar

@

Perhatikan Triksnya ...

lim

x ® ~

2 x 2 - x + 4 3 x 2 - 5

2 = 3


201


2. SPMB 2002/Mat.IPA/No.5 2002/Mat.IPA/ No.5 sin 2 3 x tan 2 x - x3 lim =.... 2 x ®0 x tan 3 A. 23 B. C.

9 19 9 17 9

D.

8 9

E. 0

a º n bx

@ lim x®0 p @

lim

x®0

sin2 3 x.tg2 x - x3 x.tg 2 3 x

= lim x®0

sin2 3 x.tg2 x x.tg 2 3 x

º

n

qx

=

a.b n p.q n

º di isi x, tg x atau sin x

-

x3 x.tg 2 3 x

=


32.2 32

-

1 32

1 17 9 9

=2- =

202


3. UMPTN ‘97 lim li m (2 x 3 +3 x) 3 =..... x d 0 (5 x 2 -2 x)(3 x 2)

A. B. C. D. E.

-1 ½ -2 ½ -3 ½ -4 ½ -5 ½

@ “ x→0 “ ucapkan KE

<
( 2 x 3 + 3 x ) 3

33 27 1 = = = lim 4 2 2 x ® 0 (5 x - 2 x )( 3 x ) - 2 .3 - 6 2


203


2 1 ö æ 4. lim ç 2 ÷ =.... x ®1è x - 1 x - 1 ø A. – ¾ B. – ½ C. – ¼ D. ½ E. ¾

2

2 1 x2 -1 x -1 ( x -1)( x +1) ( x -1) 2 - ( x +1) - x +1 = = 2 ( x -1)( x +1) x -1

-

1

=

@ Bisa Anda Bayangkan

Betapa mudehnya… turunken

æ 2 - x + 1 - 1 - 1 1 ö 1 = = = = lim ÷ x ® 1è x 2 - 1 x - 1 ø x ® 1 x 2 - 1 2 x 2 . 1 2 lim ç

turunken


1

204


6. lim

tan 2 x - 2 tan x

x ®0

x

3

=....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

@ tg 2ax -2tg ax = 2a

3

@ Perhatiken, betapa mudehnya… @ lim x®0

tan 2 x - 2 tan x x

3

2.13 = =2 1


205


- 3 7. lim =.... x ®3 x - 3 x

A.

1 6

3

B.

1 3

3

C. 1 D. Å3 E. 3

1

1

lim

f ( x) - p

x®a g( x) - q

=

f '(a) g'(a).2 p

- 3 1 1 lim = = 3 x ®3 x - 3 1..2 3 6 x

Mudeh…Khan…?


206


7.

x - 7

lim

x ®7

x

- 7

=....

A. 7Å7 B. 3Å7 C. 2Å7 D. 1 E.

2 7 1 7

1

1

lim

x®a

f ( x) - p g( x) - q

=

x - 7

1.2 7 = =2 7 lim x ®7 x - 7 1

Mudeh…Khan…?


207


9. UMPTN 1997 2 x 2 + x lim = .... x ®0 sin x A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 E. -1

@ “ x→0 “ ucapkan KE <
berarti : pilih koefisien variable pangkat ke…cil

@ Perhatikan Triksnya :

2 x 2 + 1 . x 1 = =1 lim x ® 0 1 . sin x 1


208


10. UMPTN 1997 tan x lim 2 =... x ®0 x + 2 x A. 2 B. 1 C. 0 D. ½ E. ¼

@ “ x→0 “ ucapkan KE <
berarti : pilih koefisien variable pangkat ke…cil


lim

x ® o

1 . tan 1 . x x 2

1 .1 1 = = 2 2 + 2 x


209


1 - cos ax 12. Jika lim = 8 , maka nilai dari 2a +3 = .... x®0 x tan A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 E. 13

@ Dalam limit :

1 – cos ax =

1 2 a 2

1 - cos ax =8 @ lim x®0 x tan x 1 2 a 2 = 8 Þ a 2 = 16 .Jadi : a = 4 1.1 @ Maka 2a +3 = 8 + 3 = 11


210


11. UMPTN 1998 Nilai lim

x ® 2

x3 - 8 2

- 2 x

adalah...

A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. ~

1

lim

f ( x)

g ( x ) L’Hospital x ® a

=

f ' (a ) g ' (a)

à

x3 - 8

3( 2) 2 12 lim 2 = = =6 1 x ® 2 x - 2 x 2( 2) - 2 2 Mudeh…….. ?


211


12. UMPTN 1998 sin( x - 2) lim =.... 2 x ® 2 x - 4 A. – ¼ B. – ½ C. 0 D. ½ E. ¼

1

lim

f ( x)

g ( x) L’Hospital x ® a

=

f ' (a ) g ' (a)

à

sin( x - 2)

cos(2 - 2) 1 lim = = 1 2 x ® 2 x - 4 2( 2) 4 Terlalu Mudeh…….. ?


212


13. UMPTN 1998 tan 2 x. tan 3 x ö æ Nilai lim ç ÷ adalah... 2 x ®0è 5 x ø A. 1 B. 15 E. 35 C.

2 5

D.

6 5

1

1

lim

tan a ºº

=

a

b ºº b ºº di isi “variabel apa saja” x ®0

æ tan 2 x. tan 3 x ö 2.3 = 6 lim ç ÷ 2 x ®0è 5 x ø 5 5

Mudeh Sekali…..


213


14. UMPTN 1999 x - 27 lim 3 =.... x ® 27

x -3

A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 E. 45

1

1

lim

f ( x) - p

x®a 3 g ( x)

-q

=

f ' (a).3q2 g ' (a)

1.3.32 lim 3 = = 27 x ® 27 x - 3 1 x - 27


214


15. UMPTN 1999 lim

x ® k sin( x

x - k

- k ) + 2k - -2 x

=...

A. -1 B. 0 C. 13 D. ½ E. 1

1

lim

f ( x)

=

g ( x) L’Hospital x ® a

f ' (a ) g ' (a)

à

@ Turunken atas

-bawah lim

x ® k sin( x

x - k

- k ) + 2k - 2 x

=

1

cos( x - k ) - 2 1 = cos 0 - 2 1 = = -1 1- 2


215


16. UMPTN 1999 x(cos 2 6 x - 1) lim =.... 2 x ®0 sin 3 x. tan 2 x A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 E. -1

1

1

lim

x(cos 2 6 x - 1)

=

=

bn ºº di isi “variabel apa saja” x®0

n

an

tan b ºº

x( - sin 2 6 x)

2 sin 3 x. tan 2 2 x - 1.(6) 2 - 36 = = -3 = 2 12 3.(2)

x ®0 sin 3 x. tan

2

lim

sin n a ºº


216


17. UMPTN 1999 2

Jika f(x) = x m aka lim

f ( x) - f (3)

x ®3

A. B. C. D. E.

-3

=...

~ 0 3 6 9

@ f(x) = ax +b, maka :

f(p) = ap +b 2 @ f(x) = ax +bx, maka : f(p) = ap2 +bp @ Perhatikan Triksnya :

lim

x ®3

f ( x) - f (3) x - 3

2

- 9 ( x + 3)( x - 3) = = x - 3 x - 3 = x + 3 = 3+3 =6 x


217


18. UMPTN 2000 cot x lim =.... x ®0 cot 2 x A. 0 B. ½ C. ½ Å2 D. 1 E. 2

cot ax

@ lim x®0 cot bx

1 1

=

b a

cot x 2 = =2 x ®0 cot 2 x 1 Hanya membalik bil.yang menemani x Sangat Mudeh bukan….? lim


218


19.

3x 2 + 8x - 3 - 4 x 2 + 9 x-2

lim

x®2

=...

A. - 45 B. 0 C. 25 D.

5 2

E. ~

1

lim

f ( x) - g( x) f ' (a) -g' (a) h( x)-q

x®a

=

h' (a).2 g(a)

@ Perhatikan Triksnya

3 x 2 + 8 x - 3 - 4 x 2 + 9 (6.2 + 8 - 8.2) = lim x ® 2 x - 2 1.2. 4(2) 2 + 9

=

4 4 2 = = 2 25 10 5


219


20. lim

sin(1 - x1 ) cos(1 - x1 ) x - 1

x ®1

=....

A. -1 B. – ½ C. 0 D. ½ E. 1

Sin 2A = 2 sin A cos A, à berarti : Sin A cos A = ½ sin 2A

1

1

lim

x ®1

sin(1 - x1 ) cos(1 - x1 ) x - 1

1) sin 2 ( 1 x x 1

=

1 .2( x - 1)

x

=

sin 2(1 - x1 )

1) sin 2 ( 1 x x 1

=

2( x - 1)

2(1 - x1 )

1

1 = .1 = = 1 x 1


220


21. lim ( x(4 x + 5) - 4 x 2 - 3 ) =... x ®¥

A. ~ B. 8 C. 54 D. ½ E. 0

lim ( ax 2 + bx + c - ax 2 + px + q )

x®¥

=

b - p

2 a

@ lim ( x(4 x + 5) x ® ¥

- 4 x 2 - 3 )

5-0 5 lim ( 4 x + 5 x) - 4 x - 3 ) = = x ® ¥ 2 4 4 2

2


221


22. EBTANAS 2002/No.17 1 lim 3 x sin = .... x ®¥

A. B. C. D. E.

x

~ 0 1 2 3

@ Missal : y =

1 x

x → ~ » y → 0

@ lim 3 x sin x ® ¥

1

à

lim

3

y ®0 y


sin y = 3

222


23. EBTANAS 2003/P-1/No.18 x - 9 = ..... Nilai dari lim x ®9 x - 3 A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 E. 0

@ Akar di atas, tulis di

“bawah” Akar di bawah, tulis di atas

pangkat akar

lim

x

@

® 9 2

k o e f i s ie n v a r ia b e l

1 . x - 9

1 2 .3 = = 6 1 1 . x - 3 p e n d a m p in g a k a r


223


23. EBTANAS 2003/P-2/No.18 Nilai dari lim ((2 x + 1) - 4 x 2 - 3 x + 6 = ...... x ® ¥

B. B. C. D. E.

4 3 1 7 4 2 5 2

lim ax + bx + c - ax + px + q = 2

2

x ® ¥

b - p

2 a

lim ((2 x + 1) - 4 x 2 - 3 x + 6

x ® ¥

@ lim ( (2 x + 1) x ® ¥

2

- 4 x 2 - 3 x + 6

lim 4 x 2 + 4 x + 1 - 4 x 2 - 3 x + 6 =

x ® ¥


4 - (-3) 7 = 4 2 4

224


1. UAN 2003/P-1/No.21 Grafik fungsi f(x) = x3+ax2+bx +c hanya turun pada interval -1 < x < 5 . Nilai a +b =.... A. -21 B. -9 C. 9 D. 21 E. 24

1 Interval 1

3

2

f(x) = x +ax +bx +c 2 f ‘(x) = 3x +2ax +b , TURUNAN : f ‘(x) < 0 (syarat turun) 3x2 +2ax +b < 0 .... ( ii )

: -1 < x < 5 artinya : (x +1)(x -5) < 0 2

x -4x -5 < 0 ….kali 3 2 3x -12x-15 < 0 … ( i )

@ Bandingkan ( i ) dan ( ii ) : 2a = -12 , berarti a = -6 b = -15 @ Jadi a +b = -6 -15 = -21

Jawaban : A


225


2. SPMB 2002/No.8

Fungsi f(x) = 2x 3-9x2+12x naik untuk nilai x yang memenuhi.... A. 1 < x < 2 B. -2 < x < -1 C. -1 < x < 2 D. x < -2 atau x > -1 E. x < 1 atau x > 2

1

3

1

2

f(x) = 2x -9x +12x 2 6x -18x +12 > 0 2 x -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0 Jadi : x < 1 atau x > 2

Kecil

Jika y = f(x) Naik , maka f ’(x) > 0

1

> 0, artinya “kecil atau besar “

Besar


226


3. UAN 2003/P-2/No.22 Koordinat titik maksimum grafik fungsi 3

y = x - 3 x + 4 adalah.... A. (-1 ,6) B. (1 ,2) C. (1 ,0) D. (-1 ,0) E. (2 ,6)

1

@ y = x3 -3x +4 y’ = 3x2 -3 2 0 = 3x -3 , berarti x = ± 1 @ untuk x = -1 maka : 3 y = (-1) -3(-1) + 4 = 6

1

Jika y = f(x) maksimum atau minimum, maka f ’(x) = y’ = 0

Jadi titik balik maksimumnya : (-1 ,6)

Jawaban : A


227


4. Ebtanas 2002/No.18 Jika f ( x ) = A. B. C.

x 2 - 3x 2

x + 2x + 1

maka f’(2) =...

2 9

1 9 1 6

D. E.

7 27 7 4

1

Jika f ( x)

=

ax 2

+ bx + c , 2 px + qx + r

Maka : (aq- bp) x2 + 2(ar -cp) x + (br - cq) f '( x) = ( px2 + qx+ r )2

1

2

- 3 x + 0 , 2 x + 2 + 1 ( 2 + 3) x2 + 2(1- 0 ) x + ( -3 - 0 ) f ' ( x ) = ( x2 + 2 x +1)2 5.2 2 + 2.2 - 3 f ' ( 2 ) = 2 2 ( 2 + 2.2 + 1 ) f ( x) =

x

=

21 7 = 81 27

Jawaban : D http://meetabied.wordpress.com

228


5. Ebtanas 2002/No.19 Ditentukan f(x) = 2x 3 -9x2 +12x. Fungsi f naik dalam interval.... A. -1 < x < 2 B. 1 < x < 2 C. -2 < x < -1 D. x < -2 atau x > -1 E. x < 1 atau x > 2

1

3

2

f(x) = 2x -9x +12x 2 6x -18x +12 > 0 2 x -3x +2 > 0 à (x -1)(x -2) >0 Jadi : x < 1 atau x > 2

1


@ Perhatikan : Soal UAN 2002 Sama dengan soal SPMB 2002

Jawaban : E http://meetabied.wordpress.com

229


1 3 3 2 6. Nilai maksimum dari fungsi f ( x ) = x - x + 2 x + 9 pada 3 2  adalah.... interval 0 ≤ x ≤ 3 A. 9 2 3 B.

9 56

D. 10 ½

C. 10

E.

10 23

1 1

1 3 3 2 f ( x ) = x - x + 2 x + 9 3 2 2

f’(x) = x -3x +2 = 0 (x -1)(x -2) = 0 x = 1 atau x = 2

Setiap Soal yang menanyakan nilai “Maximum atau Minimum” arahkan pikiran ke “TURUNAN = 0”

@ Uji x = 0 (interval bawah) f(0) = 0 – 0 +0 + 9 = 9

@ x = 1 (nilai stasioner) f(1) = 1/3 -2/3 +2 +9 = 11-1/3 = 10

2 3

@ x = 2 (nilai stasioner) f(2) = 8/3 -6 +4 + 9 = 7 +8/3 =9

2 3

@ x = 3 (interval atas) f(3) = 9 –27/2 +6 +9 = 24 – 13 ½ = 10 ½

@ Jadi : f max = 10 23

Jawaban : E


230


7. UMPTN 1996 Kurva f(x) = x3 +3x2 -9x +7 naik untuk x dengan... A. x > 0 B. -3 < x < 1 C. -1 < x < 3 D. x < -3 atau x > 1 E. x < -1 atau x > 3

1

3

2

f(x) = x +3x -9x +7 2 3x +6x -9 > 0 2 x +2x -3 > 0 (x +3)(x -1) >0 x < -3 atau x > 1

1


1

> 0, artinya “kecil atau besar “


231


8. UMPTN 1997 Garis singgung melalui titik dengan absis 3 pada kurva y = x + 1 adalah.... A. y -4x +5 = 0 B. y -3x -5 = 0 C. 4y –x -5 = 0 D. 3y -4x -5 =0 E. y –x -5 = 0

Turunan y = f(x) adalah f’(x) = m 1 Persamaan Garis yang melalui (a ,b) dengan gradient m adalah : y –b = m(x –a) 1

1

y = x + 1 , absis (x) = 3 , y = Ö3+1 = 2

y= y’ =

1 ( x + 1) 2

1 2

( x + 1)

-1 2

m = y’x=3= ½ (4)-1/2= ¼ @ Persamaan Garis Singung :

y – 2 = ¼ (x -3) 4y –x -5 = 0

@ absis = x = 3 maka y

= 3 +1 = 2

@ (3,2) uji kepilihan :

Jawaban : C

A. y -4x+5 = 2-8+5 ≠ 0 (salah) C. 4y-x-5=8-3+5 = 0 (benar) Berarti Jawaban : C


232


9. UMPTN 1997 Diketahui f(x) = 3x 2 -5x +2 dan g(x) = x 2+3x -3 Jika h(x) = f(x) -2g(x), maka h’(x) adalah... A. 4x -8 B. 4x -2 C. 10x-11 D. 2x -11 E. 2x +1

1

h(x) = f(x) -2g(x) 2 2 = 3x -5x +2 -2x -6x +6 2 = x -11x +8 h’(x) = 2x -11

@

Jika g(x) = x2+3x -3 maka : 2g(x) = 2(x2+3x -3) = 2x2 +6x -6


233


10. UMPTN 1997 Jika f ( x ) = A. B. C.

, maka turunan dari f -1(x) adalah....

8x - 10 ( x - 3)2 10 8x

E.

(3 - x )2

-1

14 - 8x

D.

( x - 3)2

@ f ( x ) =

f

3x - 2 x+4

( x - 3)2 14 (3 - x )2

3x - 2 inversnya x+4

- 4 x - 2 ( x ) = x - 3 -1

Missal y = f (x), maka :

- 4 x - 2 y = x - 3 u' v - u .v' y' = 2 =

f ( x)

=

ax + b cx + d

dari inversnya :

-1

( f ( x))' =

à Turunan

(ad - bc) (cx - a )2

v - 4( x - 3 ) - ( -4 x - 2 ).1 ( x - 3 )2

- 4 x + 12 + 4 x + 2 = ( x - 3 )2 =

14 ( x - 3 )2

Jawaban : E

3 x - 2 x + 4 Turunan inversnya : ( 3.4 - ( -2 ).1 ( f -1 ( x ))' = 2 ( x - 3 ) 14 = ( 3 - x ) 2

@ f ( x)


=

234


11. UMPTN 1997 Jika f ( x ) =

2x 3x - 2

,maka f’(2) =...

A. 18 B.

1 4

C. –

1

f ( x)

D. - 18 1 4

E. – 12

=

2 x , 3 x - 2 2 (3 x - 2) - 2 x.(3)

1 Diketahui

f ' ( x ) =

f ' ( x) = 2 2 x f ' ( 2 ) =

f(x) =

u

v u '.v - u.v ' v

2

(3 x - 2)2 1 ( 4 ) - 2.( 3 ) 2 (4)

2

4 1 =- =16 4

Jawaban : C


235


12. UMPTN 1997 grafik dari y

=

1 3 3 2 x - x + 2 x mempunyai garis singgung 3 2

mendatar pada titik singgung.... A. (2, 23 ) B. ( 23 ,2) C. (1 , 58 ) dan ( 23 ,2) D. ( 58 ,1) dan (2 , E. (2,

1

2 3

) dan (1 ,

2 ) 3 5) 6

1 3 3 2 y = x - x + 2 x 3 2

y’ = x2 -3x +2, mendatar y’ = 0 2 x -3x +2 = 0 (x -2)(x -1) = 0 x = 2 atau x = 1 @ Pilihan yang terlihat untuk nilai x saja : E


236


13. UMPTN 1998 Jika f(x) = a tan x +bx dan f ' ( p ) 4 Maka a +b =... A. 0 B. 1 C. ½ p D. 2

1

= 3 , f ' ( p 3 ) = 9

f(x) = a tan x +bx 2 f’(x) = a sec x +b f’( p ) = 3 à 2a +b = 3 4

f’( p ) = 9 à 4a +b = 9 3

2a = 6 a=3 b = -3 Jadi : a + b = 3 -3 = 0

Jawaban : A


237


14. UMPTN 1999 Jika f ( x)

sin x + cos x , sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, sin x

=

maka f’( ½p) =... A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

f ( x ) =

sin x + cos x

@

sin x = 1 + cot x

f ' ( x ) = -

f ' ( p ) 2

=-

Jika y = 1 +cot x, maka : 1 y' = -

1

2

sin x

2

sin x

1 (sin p )2 2

=-

1 2

1

= -1

Jawaban : B


238


15. UMPTN 1999/16 Jika nilai stasioner dari f(x) = x 3 –px2 –px -1 adalah x = p, maka p =.... A. 0 atau 1 B. 0 atau 1/5 C. 0 atau -1 D. 1 E. 1/5

1

3

2

f(x) = x –px –px -1 2 3x -2px –p =0 à x = p 2 2 3p -2p –p = 0 p2-p =0 p(p -1) = 0 p = 0 atau p = 1

1

Stasioner à arahkan pikiran ke : “TURUNAN = 0”

Jawaban : A http://meetabied.wordpress.com

239


16. UMPTN 1999/15 Grafik dari y = 5x 3 -3x2 memotong sumbu x di titik P. Jika gradien garis singgung di titik P sama dengan m, maka nilai 2m +1 =... A. 2 15 B. 3 35

D. 4 54

C. 4 35

E. 8 15

1

3

1

2

y = 5x -3x 3 2 5x -3x = 0

1

x2(5x -3) = 0, à x = 3 5

Memotong sumbu X, berarti : y =0 y = f(x) ,maka gradient m = y’

y’ = m = 15x2-6x = 15( 3 )2-3( 3 )= 9 5

1

5

5

2m +1 = 2( 9 )+1 5

= 23 = 4 53 5

Jawaban : C http://meetabied.wordpress.com

240


17. UMPTN 1999/42 Diberikan suatu kurva dengan persamaan y = f(x) dengan f(x) = 4 +3x –x3 untuk x ≠ 0. Nilai maksimum dari f(x) adalah.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

1

1

@

3

f(x) = 4 +3x –x 2 f’(x) = 3 -3x 2 0 = 3-3x x2 = 1 à x = ± 1 f(1) = 4 +3.1-13 = 6 3 f(-1) = 4 -3 –(-1) = 2 Jadi f(x) maksimum = 6

Jawaban : C http://meetabied.wordpress.com

241


18. Prediksi SPMB Jika nilai maksimum fungsi y = x + p - 2 x adalah 4, maka p = .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8

1

y = x + p - 2 x y ' = 1 2 2 p - 2 x 4 4( p - 2x )

2 2 p - 2 x = 1 Kuadratken

@ Jika y = √u , maka

y' =

u'

2 u

@ Maksimum = 4

,maksudnya : y = 4

=1

p -2x = 1 2x = p -1 → x = ½ (p -1) 1

Susupkan ke y = x + p - 2x 4 = ½ (p -1) + 1 8 = p -1 + 2 p = 7


242


19. Prediksi SPMB Garis singgung di titik (2 ,8) pada kurva f ( x ) = 2 x x + 2 memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a ,0) dan (0 ,b). Nilai a +b =....

1

A.

- 1 101

B.

- 1 15

D.

- 1 103

C.

- 1 103

E.

- 1 53

f ( x)

= 2 x

@ Jika y = u.v,maka

x + 2

y = u’.v +u.v’

f ' ( x ) = 2 x + 2 + 2 x.

1 2 x + 2

2 4 + =5 m = f’(x) = 2 1 PG : melalui (2 ,8) dengan gradient 5 y -8 = 5(x -2) x = 0 à y = -2 à b = -2 y = 0 à x = 2/5 à a = 2/5 1

a + b = 2/5 +(-2) =

-1

@ f ( x )

= 2 x

x + 2 ,

u = 2x dan v u’ = 2 dan

v' =

=

x + 2

1 2 x + 2

3 5

Jawaban : E http://meetabied.wordpress.com

243


20. Prediksi SPMB Turunan fungsi y = 3 (3x 2 - 5) 4 adalah.... A. 8x 3 3x 2 - 5 B. 8x 3 (3x 2 - 5) 2 C. 12x 3 (3x 2 - 5)2 D. 12x 3 (3x 2 - 5)4

E.

16 x 3 (3x 2 - 5)2

@

y = 3 (3x2 -5)4 , misal u = 3x 2 -5 u’ = 6x

@ y

=3

u4

=u

4 3

1

1

4 3 4 y' = u .u' = ( 3 x 2 - 5 ) 3 .6 x 3 3

= 8 x( 3 x 2 - 5 )

1 3

Jawaban : A

= 8 x3 3 x 2 - 5


y

= 3 ( 3 x 2 - 5 ) 4 =

4 . 6 x 3 ( 3 x 2 - 5 ) 4 - 3 3

= 8 x 3 3 x 2 - 5 http://meetabied.wordpress.com

244


1. Uan 2004/P-7/No.13 10

Nilai dari

å= ( 2n + 10 ) = .... n 1

A. B. C. D. E.

180 190 200 210 220

Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 Atau n S n = ( a + U n ) 2

1

10

1

å= ( 2n + 10 ) n 1

n =1

n =2

n =10

= (2.1+10)+2.2+10)+.....+(2.10+10) = 12 + 14 + ....+30 1

Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12 b = 14 – 12 = 2 n = 10 n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 10 = ( 2.12 + ( 10 - 1 ).2 ) 2 = 5( 24 + 9 .2 ) = 5( 24 + 18 ) = 5( 42 ) = 210 Jawaban : D

Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda U n = suku ke-n (terakhir)

akhir 10

å=

( 2 n + 10 ) =

n 1

angka tetap

10 2

( 12 + 30 )

awal

= 5 (42) = 210 Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 10


245


100

100

k 1

k 1

å= 2k + å= ( 3k + 2 ) = ...

2. Nilai dari A. 25450 B. 25520 C. 25700 D. 50500 E. 50750

Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 Atau n S n = ( a + U n ) 2

1

1

100

100

100

k 1

k 1

k 1

å= 2k + å= ( 3k + 2 ) = å= ( 5k + 2 ) n=1

n=2

n = 100

= (5.1+2) + (5.2 +2) + ... +(5.100 +2) = 7 + 12 + ... + 502 1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=7 b = 12 – 7 = 5 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .7 + ( 100 - 1 ). 5 ) 2 = 50 ( 14 + 99 .5 ) = 50 ( 14 + 495 ) = 50 ( 509 ) = 25450

Jawaban : A


akhir 100

å=

( 5k + 2 ) =

k 1

angka tetap

100 2

( 7 + 502 )

awal

= 50(509)=25450 Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100


246


100

100

å= ( k + 1 ) - å= k

3. Nilai dari

2

k 1

2

= ...

k 1

A. 5050 B. 10100 C. 10200 D. 100100 E. 100200

100

1

å=

( k + 1 )

- å k 2

= å ( k + 2k + 1 - k 2

2

)

k =1 100

= å ( 2 k + 1 ) k =1

n=1

Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

S n

=

100

k =1

k 1 100

2

1

n=2

n = 100

= (2.1+1) + (2.2 +1) + ... +(2.100 +1) = 3 + 5 + ... + 201 1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=3 b=5–3=2 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .3 + 99 .2 ) 2 = 50 ( 6 + 99 .2 ) = 50 ( 6 + 198 ) = 10200

Jawaban : C

S n

n 2

=

+ ( n - 1 )b )

( 2a n 2

(a

+

U n )


akhir 100

å=

( 2 k + 1 )

k 1

angka tetap

=

100 2

(3

+

201

awal = 50 (204) = 10200

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100


247


4. Ebtanas 2000 Diketahui A. B. C. D. E.

35

35

i 5

i 5

å= ki = 25 .Nilai å= ( 4 + ki ) = ....

190 180 150 149 145

1 Jumlah

dari suatu bilangan asli k n

35

1

35

35

å= ( 4 + ki ) = å= 4 + å= ki i 5

i 5

i 5

= 4.35-4.4+25 = 140-16+25 = 140+9 = 149

1

å= k = kn i 1

n

1

k = kn - kp å = +

i 1 p

Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1 p = penambahan dari bil. 1

Jawaban : D


248


5. Uan 2004/P-1/No.13 n

n

n

k 1

i 1

a 1

å= ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4å= ( 2i + 2 ) - å= 3a 1

A.

2 1

B.

2 1

C.

2

2

= ......

n( n + 3 ) n( n + 3 )

D.

n( n + 3 )

E.

1 2 1 2

n( n + 3 ) n( n + 3 )

1 Batas atas sigma semuanya n, berarti batas

bawah sigma dapat kita anggap k atau i = a = k, sehingga : n

n

n

k 1

i i =1

a 1

å= ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4å ( 2i + 2 ) - å= 3a n

n

n

k =1 n

k =1

k =1

2

= å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2k + 2 ) - å 3k 2 = å ( 3k 2 - 5 k - 2 + 8 k + 8 - 3k 2 ) k =1 n

= å ( 3k + 6 ) k =1

= = =

n 2 n 2 3 2

( 9 + 3n + 6 ) ( 3n + 15 ) n( n + 5 ) Jawaban : E


249


6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n

= n2 +

5 2

n . Beda

dari deret aritmetika terseut adalah... 1 A. -5 2 B. -2 C. 2 1 D. 2 2 1 E. 5 2

1

S n

=n + 2

S n-1

5

1

n

2

= ( n - 1 )2 +

5 2

= n2 +

1

+

5

n-

2 1 U n = S n - S n -1 = n

2

= 2n + U 2 = 2.2 + U 1 = 2.1 +

2 3 2 3 2 3 2

n -n

= =

5 2

n-

= pn 2 + qn

suatu

deret aritmetika, maka beda = 2p

( n - 1)

= n 2 - 2n + 1 +

S n

5 2

3 2 2

-

1 2

n+

3

1

S n

= n2 +

2

11 2 7

2 11 7 b = U 2 –U 1 = - =2 2 2


S n

=

5 2

n

1 .n

2

+

5 2

n

b = 2.1 = 2 Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C

250


7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n

= 3n 2 - 4 n . Suku

ke-n dari deret aritmetika terseut adalah... A. 6n +2 B. 6n -2 C. 6n -5 D. 6n -7 E. 3n -8

1

= 3n 2 - 4 n S n-1 = 3( n - 1 ) 2 - 4( n - 1 ) = 3( n 2 - 2 n + 1 ) - 4 n + 4 = 3n 2 - 6 n + 3 - 4 n + 4 = 3n 2 - 10 n + 7 U n = S n - S n -1 = 3n 2 - 4 n - 3n 2 + 10 n - 7 = -4 n + 10 n - 7 = 6 n - 7

1

Jumlah koefisien variable untuk jumlah n suku pertama sama dengan jumlah koefisien variabel untuk suku ke-n

1

S n

S n

Jawaban : D

= 3n 2 - 4 n

Jumlah koefisien : 3+(-4) = -1 1 Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya yang -1, A. 6 + 2 = 8 (S) B. 6+(-2) = 4 (S) C. 6 +(-5) = 1 (S) D. 6 +(-7) = -1 (B) Jadi jawaban : D


251


8.. UAN 2003/P-1/No.10 Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usai anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah... A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun E. 50,5 tahun

@ Suku ke-n deret aritika : Un = a +(n-a)b @ Jumlah n suku pertama Sn = ½ n(2a +(n -1)b) @ U 3 = 7 …….. a +2b = 7 U 5 = 12 …….. a +4b = 12 – -2b = -5

→b=

5 2

a + 2. 52 = 7 , berarti a = 2 1 .6( 2.2 + (6 - 1). 5 ) = 3(4 + 12,5) = 49,5 @ S 6 = 2 2


252


9. SPMB 2002/Reg-II/No.19 Suku ke-n suatu deret adalah U n = 4n +1. Jumlah sepuluh suku pertama adalah.... A. 250 B. 240 C. 230 D. 220 E. 210

p p

Jika Un = an +b, maka 2 Sn = 12 an

1

+ (b + 12 a )n

Un = 4n +1 4 4 2 S 10 = .10 + ( 1 + ).10 2 2 = 2.100 + ( 1 + 2 ).10 = 200 + 30 = 230


253


10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.... A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m

1 Bola

jatuh di ketinggian t,

dan memantul sebesar

a b

kali tinggi sebelumnya, dst….maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah : J =

1

J=

b+a b-a

t =

4+3 4-3

b+a b-a

t

.20 = 140


254


11. SMPB 2002/No. 17 Agar deret geometri

x -1 1 1 , , ,.... jumlahnya mempunyai limit, x x x ( x - 1)

nilai x harus memenuhi.... A. x > 0 B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2 E. x < 0 atau x > 2

1

1 1

x - 1 1 x

, ,

1

x x( x - 1)

,.... r =

Konvergen , syarat : -1 < r < 1

1 x - 1

Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1 -1 <

1 x - 1

<1

-1 > x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 atau x -1 > 1 Jadi : x < 0 atau x > 2


255


12. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka.... A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20

1 Deret

geometri tak hingga,diketahui Suku pertama : a Jumlah tak hingga : S Maka : 0 < a < 2S

1

0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20


256


13. UMPTN 1996 Dalam suatu barisan geometri,U1 +U3 = p, dan U2 +U4 = q, maka U4 =.... A. B. C.

p3 p 2 + q 2 q 3 p 2 + q 2 p3 + q 3 p 2 + q 2

D. E.

q 2 p 2 + q 2 p2 + q 3 p 2 + q 2

Deret Geometri : Jumlah 2 suku ganjil : U1 +U3 = x Jumlah 2 suku genap : U2 +U4 =y Maka :

1

1

U1 = U2 =

1

x3 2

x +y

2

x 2y x 2 + y2

à U4 à U3

= =

y3 x 2 + y2 xy 2 x 2 + y2

U1 +U3 = p U2 +U4 = q à U 4

=

q p 2

3

+ q2


257


14. UMPTN 1996 Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai S n+2 –S n adalah... A. 2(a +nb) +1 B. 2a +nb +1 C. 2a +b(2n +1) D. a +b(n +1) E. a +nb +1

1

1

Jumlah n suku pertama deret Aritmetika adalah : Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

S n+2 = ½ (n +2)(2a +(n +1)b) Sn = ½ n(2a +(n -1)b) S n+2-Sn = 2a +(2n +1)b Mudeh….aja !


258


15. UMPTN 1996 Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8log 2 B. 20 log 2 C. 28 log 2 D. 36 log 2 E. 40 log 2

1

1

Jumlah n suku pertama deret Aritmetika adalah : Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

S 8 = ½ 8(2log2 +(8 -1)log2) = 4 (9 log 2) = 36 log 2


259


16. UMPTN 1997 Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... 2 A. Sn = n +9n 2 B. Sn = n -9n 2 C. Sn = n +8n D. Sn = n2 -6n 2 E. Sn = n +6n

Jika Un = pn +q à beda b=p Beda setelah deret disisipi dengan k suku

1 1

,adalah : b' = 1

b k + 1

Un = 6n +4 à b = 6

b' =

6 2 +1

=2 2

Sn = ½ n(2.10+(n -1).2) = n +9n


260


17. UMPTN 1997 Antara dua suku yang berurutan pada barisan : 3 ,18 ,33,....disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah.... A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91

1 1

Jika Un = pn +q à beda b=p Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah : b' =

1

b k + 1

3 ,18 ,33 ,…. b = 18 -3 = 15

15 b' = =3 4 +1 S 7 = ½ 7(2.3+(7 -1).3) = 7(3 +9) = 84


261


18. UMPTN 1997 Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio r = x2 –x. Jika deret tersebut konvergen,maka x memenuhi.... A. ( ½ -Å 2) < x < ( ½ +Å 2) B. ½ (1 -Å 3) < x < ½ (1 +Å 3) C. ( ½ -Å 3) < x < (1 +Å 3) D. ½ (1 -Å 5) < x < ½ (1 +Å 3) E. ( ½ -Å 5) < x < (1 +Å 5)

1

1

1

Syarat Konvergen : -1 < r < 1

Konvergen : -1 < x2-x < 1 2 2 x –x < 1 à x –x -1 < 0 Pemb.Nol : x2-x +(- ½ ) 2 = 1 +( ½ )2 2 (x – ½ ) = 54 di dapat : x = ½ (1+Ö 5) atau Jadi ½ (1-Ö 5) < x < ½ (1+Å 5)


x = ½ (1 -Ö 5)

262


19. UMPTN 1997 Jika deret geometri konvergen dengan limit

-8 3

dan suku ke-2 serta

suku ke-4 berturut-turut 2 dan ½ , maka suku pertamanya adalah... A. 4 B. 1 C. ½ D. -4 E. -8

1

Limit -38 , maksudnya S ~ = -38

1

1

1

Deret geometri : n-1 Un = ar 3 U 4 = ar , dst...

3

1 = Þ = r 2 , r = - ½ U 2 ar 4 a a -8 S ¥ = ® = 1 1 - r 3 1+ 2 U 4

ar

didapat a = -4


263


20. UMPTN 1998 Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah.... A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta

1

1

Pertumbuhan dalam waktu n periode dan p % , dengan data awal M adalah : n Mn = M(1 + p%)

Periode 1987 – 1990 à n = 4 4 Mn = 4(1 + 10 %) 4 = 4(1 + 0,1) = 5,324

]


264


14. UMPTN 1998 Jika r rasio (pembanding) suatu deret geometrik tak hingga yang konvergen dan S jumlah deret geometrik tak hingga : 1 1 1 + + + .... ,maka...... 2 2 3 + r (3 + r ) (3 + r ) A. ¼ < S < ½ B. 83 < S < 34 D. 34 < S < 45 C.

1 3

< S <1

E.

1 1

1

1 5

< S <

4 5

Syarat Konvergen : -1 < r < 1 Jumlah deret tak hingga a : S ¥ = 1 - r

1/ 2 r = -1 à S ¥ = =1 1 - 1/ 2 1/ 4 = 1/ 3 r = 1 à S ¥ = 1 - 1/ 4 Jsdi : 1/3 < S < 1


265


15. EBTANAS 1999 Sebuah deret hitung diketahui U3= 9, dan U5 +U 7 = 36, maka beda deret tersebut .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

1

Jika : Um1 = k 1 , dan Um2 = k 2 , maka : 2k 1 - k 2 b= 2m1 - m 2

2k 1 - k 2 2.9 - 36 = =3 @ b= 2m1 - m2 2.3 - (5 + 7)


266


16. UMPTN 1992 Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan.... A. 8 B. 20 C. 22 D. 24 E. 32

@ Tripel utama Pythagoras : 3 ,4 ,5 dan 5, 12, 13 kelipatannya : 6 ,8 ,10 dan 10, 24, 26 dan seterusnya.......

1

Sisi siku-siku yang membentuk deret aritmetika kelipatan :

1

Sisi miring 5x = 40 à x = 8 Sisi terpendek : 3x = 3.8 = 24

3 ,4 ,5 1


267


17. UMPTN 1999 Jika u1 + u 3 +u 5 +u 7 +u 9 +u 11 = 72, maka u1 + u 6 +u 11 =.... A. 12 B. 18 C. 36 D. 48 E. 54

1

1

u1 + u 3 +u 5 +u 7 +u 9 +u 11 = 72 6a +30b = 72 à 3a +15b = 36 u1 + u 6 +u 11 = 3a +15b = 36


268


18. UMPTN 1999 Dari deret geometri diketahui U4 : U 6 = p dan U 2 X U 8 = 1 ,maka U1 = .... p

A. p B. 1

D.

C. Åp

E. pÅp

p

1

U4 :U 6 = p U2 x U 8 =

1

a

1

a

2

p

p

r 2

à

1

1

à

=

1 p

2 8

a r

= p1 . 18 Þ a 2 = p1 . r

= p3 / 2 = p

=

1 p 1

( r 2 ) 4

= p3

p


269


19. UMPTN 1999 Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 +x –a =0. Jika p ,q dan

pq

2

merupakan deret geometri,maka

a sama dengan... A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2

1

Syarat : deret geometri D > 0 1-8a > 0 àd ipenuhi jika a negative terlihat hanya option D atau E di cek nilai a = -1 2x2 +x -1 = 0 à (2x -1)(x +1) = 0 p = -1 atau q = ½ Barisannya : -1 , ½ , - ¼ betul geometri


270


20. UMPTN 1999 Jika dari suatu deret geometri diketahui u1 = 2 dan S 10 = 33 S5 , maka U 6 =.... A. 12 B. 16 C. 32 D. 64 E. 66

10

1

S10 = 33 S 5 à

a ( r

- 1)

r - 1

5

- 1) = 33 r - 1 a ( r

(r5-1)(r5 +1) = r 5 -1 r5 = 32 , r = 2 5 5 1 U6 = ar = 2.2 = 2.32 = 64


271


21. UMPTN 1999 Jumlah deret tak hingga : 1–tan230o+tan430o –tan6 30o+.... +(-1)n tan2n30o+... A. 1 B. ½ C. ¾ D. 3/2 E. 2

1

1–tan230o+tan430o–tan630o+.... a = 1 , r = -tan 230o =- 13 1 1 3 a S ¥ = = 1= = 1 - r 1 + 3 4 / 3 4


272


22. Prediksi SPMB Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 sama dengan.... A. 668 B. 736 C. 768 D. 868 E. 1200

1

Habis dibagi 4: 4 ,8 ,12,....96 à n = J1 =

1

= 24

= 1200

Habis dibagi 4 dan 6 : 96 =8 12 ,24 ,36 ,..96 à n = 12 J2 =

1

24 ( 4 + 96) 2

96 4

8 (12 + 96) 2

= 432

Habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 adalah : J = J1 –J 2 = 1200 -432 = 768


273


23. Prediksi SPMB Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ketiga sampai ia berhenti adalah.... A. 3,38 meter B. 3,75 meter C. 4,25 meter D. 6,75 meter E. 7,75 meter

1

S ¥

=

2a 1 - r

=

2. 27 32 1-

3 4

= 6 ,75 m


274


24. Prediksi UAN/SPMB Suku tengah barisan aritmetika adalah 25. Jika beda dan suku ke-5 adalah 4 dan 21,maka jumlah semua suku barisan tersebut sama dengan.... A. 175 B. 225 C. 275 D. 295 E. 375

@ Suku Tengah : Sn = n. U t

1

U5 = a +4b à 21 = a +4.4 didapat a = 5 Sn = n.U t à ½ n(2a +(n-1)b) = n.U t 2.5 +(n-1).4 = 2.25 4n -4 = 50 -10 n=9 Sn = 9.25 = 225


275


25. Prediksi SPMB Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4x 1). Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen),maka nilai x yang memenuhi adalah.... A. 72 < x < 32 B.

3 2

C.

2 7

D. ¼ < x < ½ E. ¼ < x < 2

1

r = 7log(4x -1) ,Konvergen à -1 < r < 1 -1 < 7log(4x -1) < 1 7-1 < 4x -1 < 7 1 1 +1 < 4x < 7 +1 à 2 < x < 2 7 7


276


26. Prediksi SPMB Jika (a +2) ,(a -1),(a -7),..... membentuk barisan geometri, maka rasionya sama dengan.... A. -5 B. -2 C. – ½ D. ½ E. 2

1

(a -1)2 = (a +2)(a -7) karena geometri a2 -2a +1 = a 2 -5a -14 3a = -15 à a = -5 a -1 - 6 = =2 rasio = a +2 -3


277


27. Sn = 2n +1 adalah

jumlah n buah suku pertama dari suatu deret, dan Una dalah suku ke-n deret tersebut.Jadi U n =.... A. 2n B. 2n-1 C. 3n D. 3n-1 E. 3n-2

@ Hubungan Intim antara Un ,

Sn dan Sn-1 adalah : Un = Sn –Sn-1

1

U n

= S n - S n -1 = 2n +1 - 2n = 2n


278

Kumpulan Rumus Cepat Matematika SMA.pdf

Recommend Documents