knjiga matematika (4-F)-1-25.04.2103

SADRŽAJ.................................................................................................1 PREDGOVOR..................................... PREDGOVOR................... .................................... ...................................... ...................................... .........................7 .......7

1.

UVOD..................................... UVOD......................................................... ...................................... .................................... ........................13 ......13

2.

MATEMATIKA KAO NAUKA....................................... NAUKA........................................................15 .................15 2.1. Hostorijski razvoj matematike................................................................15 2.1.1. Matematika Mesopotamije...................................................................15 2.1.2. Matematika starog Egipta....................................................................16 2.1.3. Matematika drevne Kine......................................................................19 2.1.4. Staroindijska matematika....................................................................21 2.1.5. Starogrčka matematika........................................................................22 2.1.6. Arapska matematika.............................................................................24 2.1.7. Matematika srednjovjekovne Evrope.................................................25 2.1.8. Matematika novog vijeka.....................................................................25 2.2. Zašto je potrebno poznavati historijski razvoj matematike.................28 matematike................. 28 2.3. Historija matematike u Bosni i Hercegovini..........................................30

3.

PREDMET, CILJ I METODE POČETNE NASTAVE MATEMATIKE................................ MATEMATIKE.................................................... ...................................... ...............................37 .............37

4.

METODIKA POČETNE NASTAVE MATEMATIKE I DRUGE NAUKE I NAUČNE NAUČ NE DISCIPLINE.................................... DISCIPLINE....................................................41 ................41 4.1. Metodika početne nastave matematike s drugim naukama.................41 4.1.1. Veza metodike nastave matematike s matematikom.........................42 4.1.2. Veza metodika nastave matematike sa pedgogijom (didaktikom)...43 4.1.3. Veza metodike nastave matematike s historijom...............................44 4.1.4. Veza metodike nastave matematike s psihologijom i logikom .........44 ..... ....44 4.1.5. Metodika nastave matematike u vezi sa metodikom nastave

u višim razredima osnovne škole..........................................................45 4.1.6. Metodika matematike i filozofija.........................................................46

5.

PROGRAMSKI SADRŽAJI POČETNE NASTAVE MATEMATIKE................................ MATEMATIKE.................................................... ...................................... ...............................47 .............47 5.1. Položaj nastave matematike u Nastavnom planu i programu ............47 5.1.1. Prvi razred.............................................................................................47 5.1.1.1. Programski sadržaj............................................................................48 5.1.1.2. Očekivani rezultati(ishodi) učenja....................................................49 5.1.2. Drugi razred..........................................................................................51 5.1.3. Treći razred...........................................................................................52 5.1.4. Četvrti razred........................................................................................54 5.1.5. Peti razred..............................................................................................59 5.2. Metodička interpretacija nastavnog gradiva iz matematike od 1. do 4. razreda osnovne škole..............................................................................63 5.2.1. Upoznavanje skupa i podskupa...........................................................63 5.2.2. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 10...................................64 5.2.3. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 20...................................64 5.2.4. Formiranje Formiranje pojmova pojmova prirodnih prirodnih brojeva brojeva do 100.............................. 100............... .................65 ..65 5.2.5. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 1000, 1 000 000 ............65 5.2.6. Formiranje pojmova sabiranja i oduzimanja prirodnih brojeva.....66 5.2.7. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 20.................................................66 5.2.8. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 100...............................................67 5.2.9. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 1 000 i dalje................................68 5.2.10. Formiranje pojmova množenja i dijeljenja prirodnih brojeva......69 5.2.11. Množenje i dijeljenje brojeva do 1 000..............................................70 5.2.12. Formiranje osnovnih geometrijskih pojmova..................................70

6.

METODE ISTRAŽIVANJA U MATEMATICI I U NASTAVI MATEMATIKE..............................................................................................73 6.1. Metoda praktičnih i laboratorijskih radova.......................................73

2

6.1.1. Praktični radovi.....................................................................................73 6.1.2. Laboratorijski radovi............................................................................74 6.1.3. Prednosti i nedostaci metode praktičnih i laboratorijskih radova...75 6.1.4. Metoda ilustrativnih radova.................................. radova.................. ............................... .............................. ...............75 75

7.

POSMATRANJE I EKSPERIMENT U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE................................ MATEMATIKE.................................................... ...................................... ...............................78 .............78 7.1. Nastava matematike u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti...................78 7.2. "PISA" studija i matematička pismenost..............................................80 7.3. Eksperiment u nastavi matematike........................................................82

8.

ANALIZA I SINTEZA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE................................ MATEMATIKE.................................................... ...................................... ...............................86 .............86

9.

APSTRAKCIJA I UOPŠTAVANJE U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE................................ MATEMATIKE.................................................... ...................................... ...............................90 .............90

10.

OBLICI I RAZVOJ MATEMATIČKOG MIŠLJENJA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE................................. MATEMATIKE.........................................94 ........94 10.1. Razvoj matematičkog mišljenja............................................................97

11.

MATEMATIČKI POJMOVI, MATEMATIČKI SUDOVI I MATEMATIČKO ZAKLJUČIVANJE.........................................100 11.1. Matematičko suđenje, matematički sud.............................................100 11.2. Spoznajne osnove početne nastave matematike................................102 11.2.1. Izgradnja matematičkih pojmova...................................................102 11.2.2. Matematički pojmovi prvog stepena apstrakcije, primarni matematički pojmovi .....................................................................103 11.2.3. Matematički pojmovi pojmovi višeg stepena stepena apstrakcije, apstrakcije, sekundarni matematički pojmovi .....................................................................104 11.2.4. Sadržaj i obim matematičkog pojma...............................................105 11.3. Matematičko zaključivanje.................................................................106 11.3.1. Zaključivanje iz nekoliko (pojedinačnih) pretpostavki.................107

3

11.3.2. Zaključivanje nepotpunom indukcijom..........................................108 11.3.3. Zaključivanje potpunom indukcijom..............................................110 11.3.4. Zaljučivanje iz jedne pretpostake....................................................111 11.3.5. Neposredno deduktivno zaključivanje............................................111 11.3.6. Matematičko zaključivanje po sličnosti (po analogiji)...................113 11.3.7. Zaključivanje intuicijom...................................................................115

12.

PRINCIPI, OBLICI RADA I METODE U (SAVREMENOJ) NASTAVI MATEMATIKE............................... MATEMATIKE................................................... ...............................116 ...........116 12.1. Principi nastave matematike...............................................................116 12.1.1. Pojam i vrste didaktičkih principa..................................................116 12.1.2. Princip primjerenosti........................................................................116 12.1.3. Princip očiglednosti i apstraktnosti.................................................117 12.1.4. Princip svjesnosti i aktivnosti...........................................................118 12.1.5. Princip individualizacije...................................................................118 12.1.6. Princip sistematičnosti i postupnosti...............................................119 12.1.7. Princip objektivne realnosti.............................................................120 12.1.8. Princip motivisanosti........................................................................120 12.1.9. Princip realnosti................................................................................120 12.1.11. Princip naučnosti i savremenosti...................................................121 12.2. OBLICI OBLICI RADA RADA U NASTAVI MATEMATIKE.............. MATEMATIKE...................-.......... .....-...........122 .122 12.2.1. Vidovi oblika nastavnog rada u nastavi matematike.....................122 12.2.2. Uloga frontalnog oblika rada u nastavi matematike......................123 12.2.3. Prednosti i nedostaci frontalnog rada.............................................123 12.2.4. Individualni oblik rada.....................................................................124 12.2.5. Prednosti i nedostaci individualnog oblika rada............................124

4

12.2.6. Grupni oblik rada.............................................................................124 12.2.6.1. Veličina grupe.................................................................................125 12.2.7. Prednosti i nedostaci grupnog oblika rada.....................................126 12.2.8. Rad u parovima.................................................................................126 12.2.9. Prednosti i nedostaci rada u parovima...........................................128 12.3. METODE RADA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE......130 12.3.1. Metode usmenih izlaganja................................................................130 12.3.2. Metoda razgovora.............................................................................131 12.3.3. Metoda rada sa tekstom....................................................................132 12.3.4. Metoda demonstracije.......................................................................133 12.3.5. Metoda pismenih i grafičkih radova................................................133

13.

EDUKATIVNE IGRE U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE................................ MATEMATIKE.................................................... ...................................... .............................136 ...........136 13.1. Kako se razvija dječije učenje i razmišljanje....................................137 13.2. Kako djeca uče......................................................................................137 13.3. Redoslijed razvoja................................................................................138 13.4. Predstavljanje učenja kroz igru..........................................................140 13.5. Model učenja kroz igru........................................................................141 13.6. Zašto se odlučujemo za učenje kroz igre............................................142 13.6.1. Memorija............................................................................................144 13.6.2. Čovječe, ne ljuti se.............................................................................145 13.6.3. Geometrijski likovi............................................................................146 13.6.4. Pjesmice i brojalice za učenje matematike.....................................147

14.

ORGANIZACIJE POČETNE NASTAVE MATEMATIKE.......................................................................148 5

14.1. Organizacija i specifičnosti časa natave matematike........................148 14.2. Metodičko oblikovanje sata početne nastave matematike...............148 14.2.1. Čas obrađivanja i usvajanja usvajanja novog gradiva.................................. gradiva.................. ................149 149 14.2.1.1. Priprema ili uvod............................... uvod............... ............................... .............................. .............................149 ..............149 14.2.1.2. Obrađivanje novog gradiva.................................. gradiva.................. ............................... ........................149 .........149 14.2.1.3. Vježbanje i ponavljanje................................... ponavljanje.................... .............................. .............................150 ..............150 14.2.1.4. Provjeravanje učinka sata................................ sata................. .............................. ............................140 .............140 14.3. Nastavni sat provjeravanja znanja.....................................................151 14.3.1. Priprema............................................................................................151 14.3.2. Rješavanje ispitnih zadataka............................................................152 14.3.3. Obrada i korištenje rezultata...........................................................152 14.3.4. Analiza nastavanog sata....................................................................152

15.. 15

METO ETODIČK IČKO DIZA IZAJNIRA IRANJE ČASA POČETN ČETNE E NASTAVE MATEMATIKE...................................................154

16.. 16

OBLIK LIKOVANJA ANJA ČASOV SOVA: OBRAD BRADE, E, VJEŽB JEŽBA ANJA, JA, PONAVLJANJA, PONAVLJANJA, PROVJERAVANJA.................................158 PROVJERAVANJA.................................158 16.1. Sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva.......................................159 16.1.1. Priprema ili uvod...............................................................................161 16.1.2. Obrada novoga gradiva....................................................................162 16.1.3. Vježbanje i ponavljanje....................................................................162 16.1.4. Provjeravanje učinka sata................................................................163 16.1.5. Nastavni sat vježbanja i ponavljanja...............................................163 16.2. Nastavni Sat provjeravanja znanja....................................................153 16.3. Priprema...............................................................................................165 16.4. Rješavanje ispitnih zadataka...............................................................166

6

16.4.1. Obrada i korištenje rezultata...........................................................166 16.4.2. Odabir zadataka................................................................................166

17.

METODIČKO DIZAJNIRANJE GLOBALNIH (GODIŠJIH) PLANOVA RADA, MJESEČNIH I SEDMIČNIH ...........................................................................156 17.1. Okvirni nastavni plan i program za prvi razred devetogodišnje osnovne škole ......................................................................................156 17.2. Okvirni nastavni plan i program za drugi razred devetogodišnje osnovne škole......................................................................................174 17.3. Okvirni nastavni plan i program za treći razred devetogodišnje osnovne škole......................................................................................180 17.4. Okvirni nastavni plan i program za četvrti razred devetogodišnje osnovne škole.......................................................................................186 17.5. Okvirni nastavni plan i program za peti razred devetogodišnje osnovne škole......................................................................................196

18.

PRAĆENJE, PROVJERAVANJE I OCJENJIVANJE UČENIKA U NASTAVI MATEMATIKE...........................206 18.1. Taksativni pristup nastavi...................................................................207 18.2.Nastava i problematika praćenja, provjeravanja i ocjenjivanja iz matematike........................................................................................208 18.3. Praćenje, provjeravanje i ocjenjivanje učenika iz matematike......209 18.3.1. Usmeno provjeravanje i ocjenjivanje učenikova uspjeha.............211 18.3.2. Pismena provjera znanja i ocjenjivanje učenikova uspjeha.......213 18.4. Vrednovanje kao savremeni dokimološki zahtjev.............................214 18.5. Definisanje konačne (zaključne) ocjene.............................................215

19.

VANNASTAVNI RAD U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE (DODATNA I DOPUNSKA NASTVA, MATEMATIČA SEKCIJA) ..................................................218 19.1. Vidovi nastavnih aktivnosti u nastavi matematike...........................220

7

19.1.1. Dopunska nastava.............................................................................220 19.1.1.1. Priprema i organizacija dopunske nastve....................................221 19.1.1.2. Oblici i metode rada.......................................................................222 19.1.1.3. Praćenje rada učenika...................................................................224 19.2. Dodatna nastava...................................................................................225 19.2.1. Ciljevi i zadaci dodatne nastave.......................................................226 19.2.2. Matematička sekcija.........................................................................227 19.3. Slobodne matematičke aktivnosti.......................................................228

20.

NASTAVNA TEHNOLOGIJA U POČETNOJ NASTAVI MATEAMATIKE....................................................................230 20.1. Nastavne metode...................................................................................230 20.2. Računar u nastavi matematike...........................................................231 20.3. Resursi za učenje:Medij......................................................................233 20.4. Potencijali računara u nastavi matematike.......................................233 20.5. Kako koristiti računar u nastavi matematike...................................234 20.6.Kada, kako i koliko koristiti računar u nastavi matematike............221 20.7. Štetna strana tehnologije.....................................................................234

21.

NASTAVNA SREDSTVA I NASTAVNA POMAGALA..236 21.1. Podjela nastavnih sredstava................................................................236 21.2. Vizuelna nastavna sredstva.................................................................237 21.3. Trodimenzionalna vizuelna nastavna sredstva.................................237 21.4. Dvodimenzionalna vizuelna nastavna sredstva.................................238 21.4.1.Neka didaktička pravila prilikom odabira i pokazivanja slika.....238 21.5. Tekstualna nastavna sredstva.............................................................239 21.6. Auditivna nastavna sredstva...............................................................240 21.7. Živa riječ...............................................................................................240

8

21.8. Audiovizuelna nastavna sredstva........................................................240 21.8.1. Obrazovna televizija – televizijske emisije......................................241 21.9. Nastavna pomagala..............................................................................241 21.10. Obrazovna tehnologija.......................................................................242 21.11. Specijalizirana učionica i školska medijateka.................................245

22.

PIMJENA RAČUNARA U NASTAVI MATEMATIKE....246 22.1. Primjena računara u radu s nadarenom djecom.............................246 22.2. Primjena računara u radu s djecom sa posebnim potrebama.........249 22.3. Zanimljivosti u svijetu računara – buđenje kreativnosti u radu s djecom.................................................................................................251 22.4. Primjena računara u redovnoj nastavi matematike.........................252

23.

RAD SA DJECOM SA POSEBNIM POTREBAMA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE............................254 23.1. Učenici sa posebnim potrebama..........................................................255 23.1.1. Kompetentni učitelji i rad sa djecom sa posebnim potrebama.....255 23.2. Rad sa djecom sa posebnim potrebama u nastavi matematike.......257 23.2.1. Pedagoška opservacija......................................................................258 23.2.2. Izrada prilagođenog edukativnog programa..................................259 23.3. Izrada didaktičkog materijala.............................................................261

24.

PRILOZI (Pismene pripreme za nastavni sat)......................263 24.1. Prvi razred............................................................................................263 24.2. Drugi razred..........................................................................................272 24.3 Treći razred...........................................................................................276 24.4. Četvrti razred.......................................................................................282 24.5. Peti razred.............................................................................................290

25.

LITERATURA.........................................................................294 9

25.1. Knjige....................................................................................................291 25.2. Internetske stranice..............................................................................293

PREDGOVOR  Ova knjiga rezultat je autorovog ličnog i neposrednog dugogodišnjeg rada u nastavi matematike sa svim uzrastima. Ideja da se ona piše nastala je  prije desetak godina, ali se morala ekscerpirati brojna gradja, održati mnogi časovi i sa najmladjim, sa srednjoškolcima i sa studentima matematike, te akribično istražiti stavove, mišljenja i iskustva drugih matematičara, a naročito vlastitih studenata matematike, koji su s autorom ove knjige godinama razmjenjivali mišljenja i čiji su posjećeni mnogi časovi,održani ogledni,obavilo hospitovanje i kao zaključak profilirale zajedničke analize. Tome treba dodati činjenicu da je autor ove knjige proveo sve izborne periode u visokoškolskoj nastavi, te stupio u akademsku zajednicu kao asistent matematike,učio od starijih i iskusnih kolega, sam se obrazovao literaturom, aktivnim učešćem na mnogim skupovima matematičara, te objavljujući svoje radove u časopisima. Uz to autor je svakodnevno duže vremena imao stručne i naučne kontakte sa svojim diplomiranim studentima, sada već nastavnicima i  profesorima matematike, u pogledu pripremanja za konkretan čas matematičkog sadržaja, prisustvo času matematike, razgovor o času, nakon čega su dolazile komparativne, kontrastivne i druge analize poslije kojih su slijedili dragocjeni 10

zaključci. S obzirom da su uvažene činjenice dobijene iz seoskih škola, gradskih, prigradskih, iz škola bez ikakvih pomagala i škola sa brojnom informatičkom tehnologijom, te da su pojedinci i grupe, matematika i nastava matematike posmatrani i na času i na matematičkim takmičenjima, u praksi, ali i kasnije na završnim godinama studija matematike, sadržaj ove knjige  predstavlja vrlo bogatu i dragocjenu riznicu u kojoj svako koga zanima matematika može pronaći adekvatne matematičke teme. Imajući u vidu činjenicu da su se zadnjih godina u Bosni i Hercegovini često mijenjali programski sadržaji matematike na svim nivoima obrazovanja, a  posebno akademsku realnost koja je već uveliko prihvatila bolonjski proces obrazovanja, ovu knjigu treba interpretirati i kao udžbenik za nastavnike razredne nastave, nastavnike i profesore matematike, kao i za sve druge koje matematika bilo kako zanima. Autor se potrudio ne samo da iznese matematičko gradivo, matematičko znanje, nego i kako sve to prenijeti onima koji uče matematiku. U tome je sadržaj ove knjige i rijedak i jedinstven i nedvojbeno je da će na sve načine popuniti niz praznina koje su već godinama ili bile ili nastajale u svim etapama učenja matematike, ali i biti neposredna i konkretna zamjena za udžbenike, skripte, vježbanke i mnoge druge forme  pisanja koji su djelimično, usput ili nepotpuno tumačili matematičke sadržaje, ili su pak pisani izvan Bosne i Hercegovine. Ova knjiga posebna je i po tome što se nizom matematičkih igara uči, što se u učenje matematike sada uvrštava i kompjuter, te se ukazuje i pokazuje da je matematika kao znanje moguća svakome i potrebna za svakoga. Motiv za pisanje ove knjige svakako je matematika kao struka i nauka, ali i autorova namjera da matematiku približi čovjeku, da ukloni sve sumnje o  bauku, o nečemu nedostižnom, nerazumljivom, neshvatljivom, pa i manje ili više neomiljenom, o nečemu što se izbjegava, zaobilazi, smatra nerješivim  problemom u učenju i vježbanju. Baš zato ova knjiga je koncipirana i za najmlađe, za one koji se tek susreću sa pojmom broja, zbira, geometrijskog tijela itd.ali i za one koji imaju manja ili veća matematička predznanja, za studente matematike, za roditelje, te nastavnike i profesore koji svoja matematička znanja trebaju prenijeti na druge. Poseban akcenat stavljen je na nastavi matematike, na rješavanju problema transfera matematičkog znanja sa onih koji znaju na one koji ne znaju. S tim ciljem ova knjiga sadrži konkretne  primjere,pouku i prijedloge kako u nastavi matematike biti maksimalno efikasan, odnosno kako učenici i studenti da razumiju sve sadržaje koji su za njih predvidjeni u nastavnim programima za različite uzraste, razrede, za mlade sa posebnim potrebama, za pripremna odjeljenja, za osnovnu i osmogodišnju školu,za akademski obrazovane. S obzirom da je to vrlo bogato i  brojno matematičko znanje, ova knjiga praktično ilustrira, pored ostalog,  prenošenje toga znanja i interpretira nam mnoga pitanja metodike nastave 11

matematike. Prilikom svakodnevnog bavljenja matematikom, u neposrednim kontaktima sa kolegama, kolokvijalnim razgovorima sa roditeljima, učenicima i studentima, ali i kao rezultat dugih razgovora s običnim ljudima o brojnim  pitanjima matematike, autor ove knjige je zapazio da svaki razgovor o bilo kojoj  poteškoći u matematici direktno korespondira sa prenošenjem matematičkih znanja sa matematičkih znalaca na početnike, neznalice, nedovoljno matematički educirane, površne matematičke znalce, učenike i studente i slične. Upravo zato je ovakva jedna knjiga ne samo matematički dobro došla nego i edukativno matematički, nastavno matematički, metodičko matematički. Dakle, ona je i udžbenik za svakoga ko studira matematiku, za svakoga ko drži nastavu matematike u razrednoj nastavi, u predmetnoj nastavi, za roditelje i učenike, za studente i sve one koji se na bilo koji način pripremaju za bilo koja takmičenja iz matematike. U strukturnom smislu knjiga Matematika i metodika početne nastave sastoji se iz više cjelina unutar koji su naslovi, podnaslovi, razredi, oblikovanje časova matematike, matematička nastavna pomagala, prilozi, matematička literatura. Idući hronološki autor je interpretirao: historijski razvoj matematike, metodiku nastave matematike, programske sadržaje početne nastave matematike, metode istraživanja u matematici i u nastavi matematike, oblike i razvoj matematičkog mišljenja u početnoj nastavi matematike, izgradnju matematičkih pojmova, matematičko zaključivanje, principe, oblike rada i metode u savremenoj nastavi matematike, edukativne igre u početnoj nastavi matematike, organizaciju početne nastave matematike, metodičko dizajniranje časa početne nastave matematike, oblikovanje časova: obrade, vježbanja,  ponavljanja i provjeravanja, metodičko dizajniranje globalnih/godišnjih planova rada, mjesečnih i sedmičnih, praćenje, provjeravanje i ocjenjivanje učenika u nastavi matematike, vannastavni rad u početnoj nastavi matematike, dodatnu i dopunsku nastavu i matematičku sekciju, nastavnu tehnologiju u početnoj nastavi matematike, nastavna sredstva i nastavna pomagala, primjenu računara u nastavi matematike, rad sa djecom sa posebnim potrebama u početnoj nastavi matematike, priloge knjizi, te naveo bogat spisak literature. Na osnovu strukture ove knjige jasno je da je obuhvaćeno sve iz početne nastave matematike, te da su poglavlja medjusobno povezana, vrlo edukativna i  profilirana mnogim bitnim matematičkim i metodičkim znanjima. Kako bi  povezao svoje znanje sa svojim dragocjenim iskustvom u matematici i nastavi matematike, autor je čitačima ovih sadržaja prezentirao priloge, kojima na neposredan i direktan način ukazuje na dobre, slabije i loše strane transfera zanja iz matematike. Navedene pripreme za časove matematike su ogledni sadržaji za kvalitetnu organizaciju nastave matematike, kvalitetni pristup nastavnika i matematici i nastavi matematike, te jedna od bitnih etapa u procesu uspješne edukacije, prenošenja i usvajanja matematičkih znanja. 12

Upravo ovi ciljevi vrlo su važni i za učenika i za učitelja, i za roditelja i za školu u cjelini, što je jedna od temeljnih garancija izdizanja matematičkih znanja svih uzrasta mladih na mnogo višu,produktivniju i progresivniju razinu. Činjenica da se tekst ove knjige znatno bavi i drugim oblastima kao što su: logika, pedagogija, metodika, filozofija itd. ukazuje na prirodnu korelaciju koju matematika ima sa mnogim drugim naukama. To se u ovom slučaju  posebno odnosi na pedagoške discipline, jer i jest bio jedan od bitnih ciljeva  pisanja matamatiziranje pedagogije i pedagogiziranje matematike, odnosno  portretirati matematičke zakonitosti i onda pronaći najbolje načine kako ih  prenijeti drugim da bi postali trajno svojstvo i njihovih znanja. U tom smislu objašnjeni su i principi i metode, ali i druge vrijednosti koje jedna nauka  posudjuje drugoj, odnosno te vrijednosti pripadaju i jednoj i drugoj nauci.Kad se uzme u obzir da su prezentirani i sadržaji za koje je nadležan zakonodavac, kao i prosvjetno – pedagoške službe, onda je razumljivo s koliko se akribičnosti  pristupilo pisanju ove knjige. Zato je treba iščitavati prema potrebama i u dijelovima, ali je svakako treba razumijevati i interpretirati kao cjelinu, kao  jedinstven sadržaj, sa jedinstvenim ciljevima i zadacima. Polazeći od činjenice da su sadržaji koncipirani dominantno prema  planovima i programima pretškolskog obrazovanja i razredne nastave, tome treba dodati i da su prilagodjavani u praktičnom smislu i onima na bosanskom i onima na hrvatskom jeziku, što nimalo ne umanjuje edukativnost i za programe na srpskom jeziku. Matematika, kao struka i nauka, ne poznaje jezičke barijere, niti programske specifičnosti lokalno ili regionalno oblikovane, ali se ovom knjigom nastojalo nastavno adaptirati na sve ono što je na bilo koji način u ovom trenutku neka organizacijska činjenica u Bosni i Hercegovini. Da bi sve ovo bilo dostupno javnosti, autor zahvaljuje učenicima, roditeljima, studentima, nastavnicima i profesorima, te kolegama s kojima neposredno svaki dan radi u akademskoj zajednici za saradnju, sugestije i mnogu stručnu i naučnu kooperativnost. Imajući u vidu sve navedeno, autor s radošću i zadovoljstvom ovu knjigu stavlja javnosti na korišćenje, ali i na uvid, sud i zaključivanje.S obzirom da je ovakva literatura oskudna u široj regiji, misija ove knjige je dobro došla, dugo očekivana, te će kao šira matematička i nastavna potreba svoje mjesto naći u školama, domovima, bibliotekama, među učenicima, roditeljima, nastavnicima, ali i svim drugim pojedincima koje zanima sve ono što pripada matematici i nastavi matematike. Autor 

13

 Matematika nije tek skup vještina - ona je način razmišljanja. Nalazi se u srcu razumijevanja u  znanosti, te racionalnog i logičkog  argumentiranja dr. Colin Sparow University of Cambridge

14

 Želite li sudjelovati u svijetu sutrašnjice, matematika i statistika trebat će vam u  jednakoj mjeri kao i gramatika i pravopis.  Prof Robert Worcester   Market Opinion Resarch International 

1. UVOD UČITI, UČITI I SAMO UČITI! ALI, KAKO? Čujem pa zaboravim, vidim pa zapamtim, učinim pa shvatim. (Stara kineska poslovica)

Vaspitanje i obrazovanje kao fundamentalni elementi svake društvene djelatnosti ni u kom slučaju ne mogu biti pošteđeni napretka nauke, tehnike i tehnologije, pogotovo uzimajući u obzir sveopšte nezadovoljstvo efikasnošću školskih sistema. Za realizaciju bržeg i ekonomičnijeg načina školovanja nije dovoljno znati samo šta je nužno učiti, već i kako učiti. Još davne 1613. godine  predložio je Ratke da se u nastavni proces ugrade i vještine poučavanja. Pored niza ponuđenih rješenja, nije pronađen unikatan model učenja, čime se nametnuo zaključak da jedinstvenog modela nema, već je potrebno koristiti razne, međusobno isprepletene metode, kako bi i rezultati bili bolji. Kada i koju metodu primijeniti u nastavnom procesu, prvenstveno je stvar gradiva koje je nužno kvalitetno obraditi sa učenicima, a zatim i nastavnika u kome se ogleda veličina dobrog matematičara metodičara, didaktičara, pedagoga i učitelja. Sa 15

druge strane, ono što u suštini predstavlja noćnu moru, prvenstveno pedagoga,  jeste činjenica da će životni kontekst budućih generacija biti drugačiji od današnjeg, a o tome kakva će ta budućnost biti, može se samo nagađati, jer ona ovisi od mnogih faktora. Nastavnik je u suštini nezamjenljiv akter nastavnog  procesa, ali se nameće pitanje u kojoj mjeri je njegova prisutnost neophodna. Zašto sputavati učenike da samostalno uče i grade svoj svijet? Zašto  predavačko-receptivni oblik edukacije ne zamijeniti jednostavnijim dijalogom? Iz godine u godinu ponavljaju se poznati problemi vezani za različite nivoe  predznanja koja djeca donose sa sobom prilikom upisa u prvi razred, što je naročito izraženo u oblasti matematike. Zašto je to tako? Ranija praksa nije u velikoj mjeri poznavala predškolsko obrazovanje, te se prihvatalo položaj matematike u razrednoj nastavi, kao i u osnovnoj školi općenito, određen je njenom odgojno–obrazovnom funkcijom. Naime, usvajanjem matematičkih sadržaja učenici se ne osposobljavaju za neko zanimanje, već se prvenstveno odgajaju i obrazuju, pa se s pravom može reći da početna nastava matematike ima isključivo odgojnu i općeobrazovnu funkciju. No osim ove, matematika u razrednoj nastavi ima i značajnu propedeutičku funkciju, a to je pripremiti učenike za matematičko odgajanje u višim razredima osnovne škole (bez znanja matematičkih sadržaja razredne nastave ne mogu se usvajati sadržaji predmetne nastave matematike), a zajedno s tom nastavom i za matematičko obrazovanje u srednjoj školi.“ (Markovac, 1992, str. 17) Da predškolska djeca mogu spontano razmišljati i računati, te da kognitivna sposobnost učenja jezika, sposobnost računanja i pisanja broja može  biti urođena i univerzalna, nije nikakva novina. Matematika, kao i druge naučne discipline koje su oslonjene na matematički aparat, pružaju velike mogućnosti razvoja logičkog mišljenja i razmišljanja. Matematička egzaktnost zahtijeva  prvenstveno misaonu aktivnost utemeljenu na analizi, apstrakciji, generalizaciji i na kraju zaključku. „Danas je potpuno jasno da smo ušli u učeću civilizaciju XXI vijeka i da će biti sretni oni ljudi koji s lakoćom uče, koji se ne boje nepoznatog i novog, koji su sposobni da rješavaju probleme i da prate najnovija saznanja nauke i tehnike. To nam govori da djecu moramo od ranih početaka života osposobljavati za učenje, omogućiti im da zavole učenje. Ovim predškolska pedagogija dobija posebnu vrijednost i izuzetan značaj.“ (Suzić, 2006, str. 10) Odbojan stav prema nastavi matematike ili pak prema matematici kao naučnoj disciplini, oduvijek je bio prisutan kod manje – više svih naraštaja. Jedan od nesumnjivo prvih razloga za takav stav je prvenstveno u strukturi matematike, naučne discipline koja je po svojoj prirodi složena i apstraktna, te kao takva za otkrivanje svojih tajni zahtijeva dosta marljivog rada i 16

intelektualnog naprezanja. Ili, pak, za tako nešto većina individua uglavnom nema puno afiniteta. Djeca nižeg uzrasta, barem tako pokazuju ankete, kao i razna ispitivanja, većim dijelom vole matematiku, no prelaskom u više razrede dolazi do  promjene učeničkih stavova. Gdje tražiti krivca? Pitanje koje datira vjerovatno otkad se matematika i izučava. Nema sumnje da potencijalnih uzročnika i razloga postoji mnogo. U svakom odjeljenju postoji šarolikost u teškoćama u okvirima matematike. Tako imamo jedan dio učenika koji je sklon greškama prilikom rješavanja zadatka, dio učenika na jednom času daje izuzetne odgovore na postavljena pitanja, dok sljedeći čas to nije u mogućnosti. Dobar dio učenika dosta sporo rješava zadatke ili sporo daje odgovore na postavljena pitanja. Sa druge strane imamo učenike koji pokazuju sklonost prema jednom dijelu matematike npr. geometriji, dok algebru jednostavno preziru. U suštini, svaki učenik koji ima poteškoće u savladavanju matematike na neki način je slučaj za sebe, što predstavlja nemali  problem nastavnicima, što za posljedicu ima da svaki nastavnik mora uložiti velike napore kao i veliko pedagoško umijeće da bi se uzroci, ako ne odstranili, ono barem doveli na najminimalniju moguću mjeru. Zašto se neuspjeh u nastavi matematike toliko ističe za razliku od ostalih nastavnih predmeta? Odgovor nije utopijske prirode, već je zasnovan na istini da većina učenika koji su uspješni u sferi matematike, takođe su uspješni i u okvirima drugih nastavnih predmeta. Kada je riječ o stručnim sadržajima matematike, treba posebno istaći da je ova lnjiga interpretirala nastavne planove i programe Federacije BiH uvažavajući jezične i druge osobitosti naroda koji u njoj žive. To nikako ne znači da ova knjiga ne može biti korištena i na širem regionalnom području.  Na kraju, autor ni najmanje ne sumnja, da će svi koji budu imali dodir sa ovim materijalom, kritički se osvrnuti, te ovaj materijal upotpuniti sa dosadašnjim iskustvima, kao i dobrim sugestijama, na čemu će im autor biti neizmjerno zahvalan.

17

18

2. MATEMATIKA KAO NAUKA 2.1. Historijski razvoj matematike Matematika je stara prirodna nauka. Kao takva bila je vezana za realni svijet, za nešto što postoji, što je tačno, što je istinito. Ona je prije svega nastala iz prakse, iz potrebe da ljudi poboljšaju svoje uslove života, da postanu umni i  pametni ljudi. Tako možemo zaključiti d a se matematika razvijala paralelno sa stepenom razvoja društva i vremena. Ali za čovjeka koji će sutra predavati matematiku, ili za nekoga ko voli matematiku, veoma je bitno da poznaje njenu historijsku epohu. To ne znači poznavati cjelokupnu historiju matematike, već samo bar neke bitne činjenice i zanimljive anegdote vezane za njene predstavnike.

2.1.1. Matematika Mesopotamije Ostaci starog Vavilona

19

Mesopotamija, područje između i oko Eufrata i Tigrisa, bila je kolijevka  jedne od nekoliko najstarijih kultura. Govoreći o matematici stare Mesopotamije podrazumijevamo ostavštinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca, Akađana, Kaldejaca i drugih naroda koji su u pojedinim razdobljima živjeli na dijelovima tog područja. Takođe se često izraz « vavilonski» koristi kao sinonim za «mesopotamski».  Sistemi i zapisi brojeva

Pismo ove kulture bilo je primitivno slikovno pismo, ali je ono već vrlo rano postalo veoma stilizovano, poprimivši oblik nazvan klinasto pismo, zbog običaja urezivanja znakova pomoću klinu sličnog pisaćeg pribora u pločice od meke gline koje su kasnije pečene na suncu. Sredinom 19. vijeka ˝dešifrovano˝  je klinasto pismo. Nađeni tekstovi se relativno lako čitaju, a klinasto pismo je nekad bilo ˝standardno˝ od Vavilona do Persije. Vavilonci su za predočavanje brojeva koristili heksagezimalni brojevni sistem – sistem s bazom šezdeset. To je bio prvi sistem u kojem je jedan te isti znak, mogao označavati različite brojeve već prema mjestu, odnosno prema  poziciji koju zauzima. Vavilonci nisu imali šezdeset različitih znakova za  brojeve od nule do 59, već su svaki takav broj ispisali sa samo dvije vrste znakova: po jedan vertikalni, uski za svaku jedinicu i po jedan tupi za svaku deseticu, drugim riječima, pojedine znakove heksagezimalnog sistema su ispisivali u dekadnom sistemu. Vavilonci su taj nedostatak donekle ublažili time što bi između skupine omasinua što su predstavljale ˝znakove˝ između kojih je trebala biti nula ostavili veći razmak.  Kako su računali?

 Naši izvori informacija koji se odnose na nivo mesopotamijske matematike vrlo su obimni. Mnogo stotina tablica u klinastom pismu bavi se problemima što bismo ih danas zvali algebarskim, ili se bave geometrijskim odnosima. Nađeno je mnogo stotina tablica koje služe za računanje. Vavilonci su se služili tablicama kao što se mi danas služimo npr. logaritamskim tablicama. Među tablicama množenja bile su i tablice koje bismo mogli zvati ˝tablicama recipročnih vrijednosti˝ pomoću kojih su Vavilonci dijeljenje mogli svoditi na množenje. Osim tih tablica, imali su i tablice za kvadrat i kub te za drugi i treći korijen. Nađene su i njihove tablice za vrijednosti od 20

u rasponu od n =

1 do n = 30, kojima su na primjer, mogli rješavati kubne jednačine oblika

za zadano, poznato a i nepoznato n.

2.1.2. Matematika starog Egipta Staroegipatska je matematika jedna od najranijih epoha razvoja te nauke. Posebno jedna od prvih grana matematike, geometrija, već samim svojim nazivom otkriva i svoje porijeklo. To je po postanku grčka riječ koja bi, doslovno prevedena, značila "mjerenje zemlje". A upravo kao mjerenje zemlje geometrija se široko razvila već u starom Egiptu. Poslovična izreka " Egipat je dar   Nila", dovoljno je poznata. Bez  blatnjavih žutih voda te rijeke što su hiljadama godina natapale zemlju, ne bi se razvila tako bogata civilizacija starog Egipta. No, poslije redovnih velikih poplava Nila, svake bi se godine granice zemljišnih posjeda izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti – valjalo je, dakle, premjeravati zemljišta. Izgradnja veličanstvenih hramova, piramida, kipova, takođe je zahtijevala određena otkrića iz geometrije.  Papirus O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajviše iz dva glasovna (znamenita) papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog i Moskovskog. Rhindov  papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak dužine 6 m, širine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650. g. pr. Kr. i vjerovatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva u British Museumu u Londonu, a sadrži 87 matematičkih  problema.

21

 Kako su računali stari Egipćani?

Stari Egipćani imali su razvijeni decimalni sistem i svoje oznake za  brojeve tabela br.1:

Tabela br.1 Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s lijeva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgo prema dolje. Različito pisanje ne stvara probleme kod čitanja brojeva, jer egipatski način pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratički su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lončariji. Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za  brojeve koji nisu dekadne jedinice, npr. za broj dva crtali bi se goveđi rogovi, za  broj pet morska zvijezda, a ljudska glava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora). Geometrija Posmatramo li fantastične građevine koje su stari Egipćani ostavili u prilog 22

svjetskoj baštini, ne možemo a da se ne zapitamo koliko su dobro imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono što im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Znamo da su znali računati nagib piramide, obim krnje piramide te obim piramide. Računali su površinu trougla kao 1/2 množenjem dviju kraćih stranica (što vrijedi samo za pravougaoni trougao); malena odstupanja nisu im značila previše. Znali su izračunati i površinu  pravougaonika kao proizvod dužina njegovih stranica.  Algebra Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rješenja dati su riječima. Znali su rješavati jednačine prvog stepena s tim da su obavezno  provodili analizu i sintezu pri rješavanju, tj. svako rješenje su uvrštavali u  početni problem da se uvjere da to uistinu i jest pravo rešenje.

Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu tačku, nisu čak ni znali za "obični" razlomak  p/q, nisu se pitali zašto nešto funkcioniše, nisu tražili univerzalnu istinu formulisanu simbolima koji bi jasno i logički pokazali njihov misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedmerocifrenim brojevima, imali su neku čudnu mješavinu  jednostavnosti i čudne komplikovanosti u svojim računima, ali taj se koncept  pokazuje kao potpuno jedinstvena i zatvorena cjelina. Zato se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani čisti  primjerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u čitavom svom razvoju nije doživjela nikakav bitni diskontinuitet, već se u potpunosti temelji na osnovi računanja - na brojenju i pojmu razlomka. 2.1.3. Matematika drevne Kine Obično kada se govori o matematici Istočne Azije tada se u obzir uzimaju doprinosi Kine, Koreje i Japana kao jedne velike cijeline. Matematičari ovih zemalja smatrani su dijelom jedne velike zajednice koja je pisala kineskim znakovima, te je kao takva bila izdvojena od drugih civilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovima. Kina je ostatku svijeta postala poznata tek zahvaljujući Marku Polu, te raznim drugim misionarima (isusovci) koji su putujući svijetom i trgujući došli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom.

23

 Najstariji sačuvani matematički tekstovi potiču tek iz doba oko 200. prije nove ere, no to je posljedica spaljivanja svih knjiga godine 213. prije nove ere  po naredbi vladajućeg tiranina. Ne zna se tačno kada se u Kini počela razvijati matematika, ali pretpostavlja se da je to bilo u 3. vijeku pre Hrista. Prema starim kronikama ˝Žuti car˝ Huang – Ti (vladao Kinom u 27.vijeku prije nove ere) dao  je naredbe svojim predanicima tj. zadao im je zadatke šta moraju istraživati. Tako je trojici naučnika dao zadatak da proriču pomoću Sunca, Mjeseca i zvijezda. Četvrtom naučniku dao je zadatak da stvori muzičke note, petom naučniku Tai – Naou naredio je da konstruiše seksagezimalni sistem (Chia –  Tsu), šesti naučnik Li – Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve i umjetnost aritmetike, a posljednji sedmi naučnik dobio je zadatak da reguliše svih tih šest vještina te razradi kalendar. Koristili su se seksagezimalno – heksagezimalnim sistemom. To je najstariji kineski sistem numeracije. Baza mu je broj 60, a funkcionisao je tako da su se brojevi od jedan do šezdeset tvorili kombinovanjem elemenata jednog desetočlanog i jednog dvanaestočlanog ciklusa. Taj su sistem koristili za  brojanje dana i godina.  Naučnici su kasnije utvrdili da su počeci matematike u Kini imali srodnosti s počecima razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su na neki način povezani. Prvi dokazi matematičke aktivnosti u Kini pronađeni su u obliku numeričkih simbola zapisanih na tankim kostima stoke i drugih životinja, a procijenjeni su da potiču iz 14. vijeka prije nove ere  Kineski brojevi 

U Kini su ljudi, kao i u većini drugih zemalja, najprije računali ˝na prste˝, a već u 2. vijeku prije nove ere u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su  prikazani u tabeli br.2:

Tabela br. 2 -2000.god. prije nove ere

Kasnije se u Kini računalo pomoću štapića (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svi štapići su bili jednake veličine, a trgovci i su ih najčešće nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne 24

crtice, odnosno kao polegnuti bambusovi štapići, brojevi od 6 – 9 su prikazivani kao jedan vertikalni štapić, te kombinacija od nekoliko horizontalnih štapića(tabela br.3)..

Tabela br. 3- 400. god prije nove ere

 Nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se izrađivali u dvije boje - crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve. Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeću će se pojaviti abakus. Abakus je preteča današnjih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza žica po kojima su se mogli pomjerati kamenčići. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je to da se  ponegdje u Kini trgovci još uvijek njime služe(tabela br.4).

Tabela br. 4 -Kineski Abakus

Vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo. U slijedećoj tablici možemo vidjeti savremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva može se naći i u Japanu i Koreji(tabela br. 5)

Tabela br. 5-Savremeni kinesko-japansko-korejski brojevi

Razlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim  brojevima. Osnovne računske operacije izvodile su se slično kao i danas, s tim da su množenje i dijeljenje objašnjavali na konkretnim primjerima. Dalje se matematika razvijala iz skupa algoritama za računanje i metoda za rješavanje  praktičnih zadataka. 2.1.4. Staroindijska matematika 25

Matematika nije nezavisna od ljudi koji je stvaraju. Staroindijska matematika bila je pretežno ˝ aritmetičko-algebarski˝ orijentisana, za razliku od starogrčke matematike koja je bila pretežno ˝ geometrijski˝ orijentisana.  Naravno, Grčka matematika nije bila isključivo geometrija, niti je staroindijska matematike bila bez geometrije; riječ je samo o usmjerenju koje je dominiralo. U staroindijskoj literaturi nema velikih djela isključivo posvećenih matematici; matematika je prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u astronomskim ili astrološkim djelima. Uvođenje posebnih znakova za brojeve od nula do devet u staroindijskom dekadnom sistemu, donosi bitan napredak staroindijske matematike. Ti znakovi za brojeve vrlo su slični našima, dakako zbog toga što su naši znakovi i sami nastali od indijskih uz modifikacije do kojih je došlo njihovim prenosom što ga Europa zahvaljuje Arapima. Pozicionim sistemom već su se ranije koristili Vavilonci i upotrebljavali ga i za označavanje razlomka, a ne samo cijelih brojeva. Stari su Indijci pozicioni sistem pisanja brojeva upotrebljavali samo za cijele brojeve, a ne i za razlomke. Otkriće nule kod Indijaca novijeg je datuma nego vavilonsko (nije isključeno da je možda bilo i pred njegovim uticajem). Kao što je već  pomenuto, bitan napredak staroindijske matematike bilo je uvođenje znakova za  brojeve. Vavilonci takav zapis brojeva nisu imali u svome heksagezimalnom sistemu, već su brojeve od jedan do pedeset i devet ispisivali aditivno znacima za deseticu i jedinicu.  Najstariji zapisi koji su nam sačuvani, a sadrže rane oblike indijskih cifara nalaze se na kamenim stubovima što ih je u svakom značajnom gradu stare Indije dao podići vladar Maurya-carstva, kralj Asoka, sredinom 3. vijeka prije nove ere. Indijsko otkriće nule, ukoliko je uopšte nezavisno od vavilonskog, bilo je usko povezano sa indijskom filozofijom i religijom. Svakako je znak za nulu Indijcima omogućio spretnije računanje. Više nije bila potrebna računska ploča sa stupcima ili poljima, gdje je prazno polje značilo ˝ništa˝ i bilo bez posebnog znaka. 2.1.5. Starogrčka matematika Vrlo se često tvrdi da je i najstarija grčka nauka samonikla i da nema veze s vavilonskom i egipatskom civilizacijom. Međutim, između rane grčke nauke i prvih 26

civilizacija postoji jasna veza. Mnogi starogrčki tekstovi pominju putovanja grčkih naučnika i filozofa, posebno Talesa i Pitagore, u te zemlje, ističući da su ti naučnici tamo upoznali pojedina matematička otkrića. Nisu Grci ponovo otkrili ona otkrića koja su već bila poznata u Babilonu i Egiptu, oni su ta otkrića  preuzeli i interpretirali ih na nov način. Do Grka matematika je bila pretežno „empirijska“. Stari su Grci bili prvi koji su sebi, svjesni toga što time čine,  postavili zadatak da sva pređašnja i sva nova matematička otkrića skupe i  povežu u skladan i cjelovit sistem, unutar kojeg će svaka teorema i svaka „formula“ biti dokazani. Prešlo se u matematici na apstraktna razmišljanja i dokaze. U vrijeme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici, grčki pomorci i trgovci su bili već naučili od svojih egipatskih mušterija, da za pisanje upotrebljavaju  papirus, koji se mogao lakše nositi i čuvati nego glinene tablice starih semitskih civilizacija. U međusobno udaljenim zajednicama istoga jezika, bogati trgovci i  pomorci ovladali su pismenošću, bez uticaja neke moćne svešteničke kaste. Oni su bili spremni da prilagode korisno znanje, sticano na putovanjima, praktičnim  potrebama. Period tokom koga su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike može se podijeliti u tri velike faze.  Prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, proteže se od Talesa i Pitagore do Demokrita,  približno od 600-400. godine prije n.e. Osnovu druge faze predstavlja učenje Platona (430-349. godine prije n.e.). Ona kulminira u Euklidovom sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine prije n.e.), Platonovog učenika. Euklidova smrt prethodi za nekoliko godina Arhimedovom rođenju (oko 287. godine prije n.e.) čija naklonost ka pronalascima predstavlja početak treće faze. Treću fazu tj. aleksandrijsku fazu odlikuje odstupanje od formalizama i jak osjećaj za praktičnu primjenu matematike. Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke matematike mada o tome nema dokumentovanih podataka, ranijih od jednog vijeka poslije Talesove smrti. Tales je poznat po tome što se smatra prvim Helenom koji je izlagao i dokazao teoreme, te stoga i ocem helenske matematike. U matematici se više zna i pominje  Pitagora, vjerovatno zbog toga što je za sobom ostavio školu tzv. pitagorejce koji su se uprkos i najžešćem proganjanju, održali dugo poslije njegove smrti. Smatra se da je Pitagora, kao i Tales svoje znanje donio u mnogome iz Egipta. Pitagorina teorema je  jedna od osnovnih i najznačajnijih matematičkih teorema.

27

Pitagorino učenje bilo je trajnog karaktera i prenosilo se samo usmeno na neposredne učenike, koji su njegov nauk obično citirali uz izraz αὐτὸς ἔφη (lat. ipse dixit = "lično je rekao"). Razvoj matematike se sastojao pored nalaženja novih činjenica geometrije i u korišćenju deduktivne metode u geometriji. To će dati Euklidove elemente. Euklid je bio Platonov student u Atini, dok je većinu života proveo radeći u Aleksandriji, u Egipatu, gd je je osnovao matematičku akademiju. Arhimed iz Sirakuze, smatra se jednim od trojice najgenijalnijih matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveći fizičar starog vijeka. Heureka! Heureka! (grč. prefiks glagola heursiko - nađem, izračunam, izmislim). Našao sam, uzviknuo je Arhimed kada je, sjedeći u kupatilu, otkrio fizički zakon da svako tijelo, potopljeno u tečnost, gubi od svoje težine onoliko kolika je težina njime istisnute tečnosti ( ili gasa ). Taj gubitak je u stvari  potisak tečnosti ili gasa.

2.1.6. Arapska matematika Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grčke antičke nauke do kasnog srednjeg vijeka u Europi nije bilo važnih događaja u matematici osim  prevođenja grčkih tekstova na arapski, koji su tako- ne direktno preko rimskog naslijeđa, već indirektno preko arapskih osvajanja - postali dostupni Evropi srednjeg vijeka. No, zapravo je doprinos arapskog područja matematici mnogo veći od samog prevođenja i prenosa podataka. Današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija matematici kakvu susrećemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrčkim. Mnoge ideje koje su pripisane Evropljanima kasnog srednjeg vijeka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim. Ovdje ćemo opisati razdoblje od 8. do 15. vijeka. Prvi predstavnik nauke i prevođenja grčkih tekstova (npr. Euklidovih Elemenata) na arapski bio je kalif  al-Hajjaj, koji je na vlast stupio 786.god. Glavni naučni centar postaje Kuća mudrosti, vrsta akademije ili sveučilišta u Bagdadu (koji je osnovan 762.god.), koju je početkom devetog stoljeća osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun. 28

 Arapski brojevi

Indijski način zapisivanja brojeva bio je temelj evropskom načinu zapisivanja koji je danas jako proširen. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Evropu, već je njihov medij bio arapski narod. Poprilično različiti brojevni sistemi su simultano korišteni na arapskom  poluotoku dugi niz godina. Postojala su najmanje 3 različita brojna sistema: 1) računanje na prste: brojevi se pišu riječima; ovaj način računa su koristili trgovci i računovođe; 2) seksagesimalni sistem: brojevi označeni arapskim slovima, koristio se najčešće za astronomiju; 3) indijski dekadni sistem: poznate su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle različite oblike poznatih; ispočetka su ih koristili na prašnjavim pločama koje su omogućavale isto što i danas ploča i kreda; Posljednji sistem je omogućio napredak numeričkih metoda, npr. računanje korijena (Abu'l-Wafa, Omar Khayyam), otkriće binomnog teorema za prirodne eksponente (al-Karaji), aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i računanje n-tih korijena (al-Kashi). 2.1.7. Matematika srednjovjekovne Evrope Smatra se da je srednji vijek razdoblje mraka i razdoblje u kojem se nije događalo ništa važno u naučnom pogledu. Mladi su evropski narodi do kraja 12. vijeka prihvatili relativno siromašno starorimsko matematičko naslijeđe: među ostalim tzv. quadrivium koji se sastojao od aritmetike, muzike, geometrije i astronomije. Ta su se otkrića pred imenom ˝matematike˝ često i (zlo)upotrebljavala u astrologiji, pa nije čudno da neki spisi toga vremena, govoreći o ˝matematičarima i drugim mračnjacima˝, ne nalaze za njih mnogo lijepih riječi. Sve do 11. vijeka poznavanje Euklidovih ˝Elemenata˝ u Europi je  bilo vrlo oskudno. Na Siciliji su se neki matematički tekstovi prevodili na latinski i neposredno s grčkog izvora. U posljednjoj trećini srednjega vijeka  javlja se već nekoliko »domaćih« europskih matematičara, koji to ime zaslužuju 29

ne samo kao ˝reproizvodivni˝ već i kao ˝kreativni umjetnici˝. Među najistaknutije spadaju Fibonacci i Jordanus Nemorarius. Pred kraj srednjeg vijeka matematikom se ozbiljnije bave i neki vrlo istaknuti nematematičari, posebno slikari, Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer, koji se zauzimaju, pored ostalog, za geometrijske konstrukcije koje se mogu  provesti samo upotrebom šestara s fiksnim otvorom.Za matematiku je srednji vijek u Evropi bio tek prelazni period unutar kojeg su se arapskim posredstvom  pomalo učila zaboravljena otkrića starih Grka. No ta su otkrića poslužila kao odskočna daska za ulaz u matematiku novog vijeka Evrope. U posljednjih pedesetak godina istraživanja su pokazala da je to razdoblje mnogo bogatije nego što se smatralo, te da je srednji vijek vrlo važna spona između starog i novog vijeka. 2.1.8. Matematika novog vijeka Kao što je nekad starogrčka matematika svojim ostvarenjima veoma zasjenila sve što je u toj nauci do tad učinjeno u prijašnjim velikim kulturama Azije i Afrike, tako je novovjekovna matematika Evrope neuporedivo nadmašila sve što je u matematici do tad bilo ostvareno.  Matematika do 20. vijeka

U razdoblju od sredine 17. do sredine 19. vijeka – dakle unutar nekih dvjesta godina - matematika je obogaćena mnogo više negoli tokom čitava svog dotadašnjeg razvoja za vrijeme više od dvije hiljade godina. U 17. su vijeku za matematiku nastupila bolja vremena, sazreli su uslovi za njen veliki procvat. U korijenima su tog sazrijevanja svakako mnoga otkrića koja su tek pripremila put za kasniji gotovo eksplozivni rast: bez tih otkrića do njega ne bi bilo došlo.  Nova otkrića

Algebra je zakoračila daljim koracima naprijed kada su tri italijanska renesansna matematičara našla rješenje kubne jednačine. Matematičari renesanse znaju da se svaka kubna jednačina može svesti na oblik bez kvadratnog člana putem linearne supstitucije. Stoga je dovoljno znati riješiti  jednačine oblika  x3+ px+q=0. Napomenimo još i da u renesansi, iako su  ponegdje poznati, negativni brojevi još nisu opšte prihvaćeni te su stoga u renesansnom shvatanju jednačine  x3+ px=q i  x3= px+q različiti tipovi kubne  jednačine. 30

 Poznati matematičari

Za razvoj algebre tokom renesanse posebno je zaslužan poznati francuski matematičar koji to nije bio, François Viète (1540.-1603.) koji je po struci bio  pravnik. Kao matematičar iz hobija, dvaput se našao u prilici pomoći svojoj državi matematičkim otkrićem. Bilo je to prvi put kad je španski kralj Filip II .,  poznati borac protiv reformacije, zagovornik inkvizicije i pokretač armade  protiv Engleske, 1590. godine postavio zahtjev za francuskim prijestolom na osnovu rodbinskih veza. Tadašnji francuski kralj Henrik IV ., protestant, odbija zahtjeve te dolazi do rata. U tom ratu slane su razne šifrirane poruke, te iz tog doba potiče jedna od najpoznatijih matematičkih anegdota iz kriptografije. Francuzi su presreli jednu špansku poruku, te ju je kralj dao Vièteu da je dešifrira. To Viète i uspijeva, Španjolcima postaje jasno da Francuzi znaju za njihove namjere, a Filip II. tužio  je Francusku papi da se koristi crnom magijom. Viète je počeo razvijati i ˝tehničko računanje˝ s algebarskom notacijom –  ne samo da se proizvoljna i nepoznata veličina označavala slovom, već se s takvim slovima počelo i manipulisati. U svom djelu ˝In artem analyticam isagoge˝ (1591) Viete upotrebljava samoglasnike za nepoznate, a suglasnike za poznate, date veličine. veliki filozof (1596.-1650.) upotrijebio je (već od prije poznatu) metodu koordinantnog proučavanja ovisnosti jedne veličine (funkcije) o drugoj (varijabli) da  bi povezao geometriju s algebrom: geometrijska su se  pitanja sada mogla formulisati, izučavati i rješavati algebarskim sredstvima, a algebarske veze mogle su se ilustrovati geometrijski.  Descartes,

 Pascal   je bio ˝ čudo

od djeteta˝ od rane mladosti. S dvanaest godina sam je ponovo otkrio mnogo toga iz elementarne geometrije. Sa četrnaest godina već je  prisustvovao sastancima francuskih matematičara koji su kasnije stvorili Francusku akademiju. No bio je slabog zdravlja i sa 27 godina napustio je (iako ne zauvijek) matematička istraživanja i posvetio se gotovo potpuno religioznim razmišljanjima. Pred kraj svog kratkog života napisao je glasovite ˝Pensées˝ (˝Misli˝), možda jedno od najvrjednijih djela francuske književnosti. 31

Gottfried Wihelm Leibniz (1646.-1716.) bio je ne samo  jedan od najvećih matematičara, već i jedan od najvećih filozofa svoga doba, gdje je poznata njegova teorija monada. Većinu kapitalnih matematičkih djela,  poznatih u njegovoj mladosti, proučio je Leibniz dok mu nije bilo još ni dvadeset godina.  Matematika 20. vijeka

U ovom razdoblju razvila su se mnoga područja matematike kao što su teorija vjerovatnoće, matematička logika, teorija skupova, te infinitezimalni račun. Za posljednjih stotinak godina stvoreno je u matematici više od svega onoga što je stvoreno u čitavoj istoriji te nauke do početka toga razdoblja. Matematika 20. vijeka bilježi veliki broj poznatih matematičara koji su uveliko doprinijeli onom što danas nazivamo modernom matematikom. Albert Einstein (Ulm,1879. - 1955.), fizičarteoretičar i najistaknutiji stvaratelj novog doba u fizici. Sve do svoje treće godine Albert nije progovorio, ali je  pokazivao nevjerovatnu radoznalost i briljantnu moć shvaćanja kompliciranih matematičkih koncepata. U doba od 12 godina sam je sebe naučio geometriju. Otkrio je niz osnovnih zakona prirode (brzinu svjetlosti kao maksimalnu brzinu, dilataciju vremena i novu interpretaciju dilatacije dužina, te ekvivalentnost mase i energije, korpuskularnu  prirodu svjetlosti i princip ekvivalencije, te osnovu opšte teorije relativnosti). Einsteinovo najpoznatije djelo je teorija relativnosti koja je ne samo od osnovne važnosti kao temeljni okvir za dalji razvoj teorijske fizike, već duboko zahvata i u filozofske koncepcije, o prostoru i vremenu, a povrh toga u probleme kosmologije i kosmogonije. 2.2. Zašto je potrebno poznavati historijski razvoj matematike? Može se reći da su prvi korijeni matematike vezani za staru Grčku, za Egipat, Kinu, Vavilon, Indiju. Nezaboravimo arapske cifre, koje se i danas koriste u

32

aritmetici prirodnih brojeva. Pomenimo poznate matematičare: Platona, Aristotela, Euklida, Pitagoru... To su samo neki od njih,a naravno ima ih mnogo.

Istorija matematike je značajna, jer ona omogućava veću zainteresovanost za njenu materiju. Tako na primjer djecu mogu zainteresovati neke anegdote vezane za "prve" matematičare. Gaus  je kažu imao devet godina kad je umio, za tren oka da sabere sve brojeve od 1 do 100. Tako će učenicima biti interesantno da saznaju način na koji je on to radio, poželjeće i sami da postanu kao on " mladi Gaus". Tales je pomoću sjenke izmjerio dužinu Keopsove piramide, zbog čega je proglašen za jednog od sedam mudraca Starog vijeka.

 Na sličan način, čovjek može da izmjeri objekte iz svoje okoline, a da se ne penje na njih. V ećina mladih matematičara su svoj prvi talenat pokazali još u godinama današnjih učenika razredne nastave. Veliki značaj u matematici imao je pojam broja i geometrijskih figura. Pojam broja čovjeka je asocirao na određivanje kvantiteta predmeta koji su ga okruživali. Ipak, broj kao broj i sam proces brojanja prije svega je vezan za uspostavljanje nekih relacija među istobrojnim skupovima (dvije jabuke, dvije ruke..). Od davnina, čovjek  je za broj znao, imao je neku predstavu o njemu, pa ga je poistovjećivao sa brojanjem stvari, ali nikad nije broj izražavao posebnom riječju, što bi upućivalo na naziv nekog broja. Ponekad je čovjek naziv broja poistovjećivao sa nazivom nekog karakterističnog skupa.

Tako se na primjer, za broj elemenata dvočlanog skupa, nezavisno od njegove same prirode govorilo :"ruke", "uši". Prvobitno shvatanje pojma geometrijskih figura bilo je u neposrednoj vezi sa praksom, sa čovjekovom okolinom. Razna sredstva koje i danas čovjek koristi u radu , imaju oblik, ili bar liče na neko geometrijsko tijelo (sjekira, srp, kosa). Na crtežima po pećinama u kojima je živio prvobitni čovjek, mogu se vidjeti konture geometrijskih tijela kao što su: trouglovi, kvadrati,  pravougaonici, kružnice i druge geometrijske figure koje su u vezi sa  praktičnom djelatnošću čovjeka. Slike nekih geometrijskih tijela, mogle su se  primijetiti i na glinenom posuđu u mlađem kamenom dobu, kada se čovjek isključivo bavio zemljoradnjom, stočarstvom. Na tim predmetima uočavali su se ornamenti kružnica, kvadrata koje su odražavale ljepotu i harmoniju. I šta još reći, matematički likovi su zapaženi veoma rano, povremeno se usavršavali i ostali do danas kao osnovni pojmovi koji se koriste, ne samo u matematici, već i u drugim naukama. 33

Ako se ne poznaje dovoljno neka istorijska činjenica matematičkih formula učenik može steći pogrešnu sliku o matematici, kao o nekoj vj eštačkoj tvorevini koja se služi umnom imaginacijom, bez ikakve veze sa praksom. Na prvi pogled, sama matematika može biti teška, nezanimljiva. Zato je učenika potrebno zaintrigirati nekom zanimljivom istorijskom pričom. Navešćemo neke istorijske činjenice vezane za istorijske simbole i termine koji se koriste u matematici: Matematika: Grci su bili prvi narod, koji su izgradili opšti pojam nauke. Za opšti pojam nauke-matematike, oni koriste dva termina: episteme i mathema. Ovaj prvi termin prvenstveno se odnosio na nauku,dok se drugi odnosio na znanje, na nešto što se može naučiti, shvatiti. Naziv mathema bio je u etimološkoj srodnosti sa grčkim nazivom mathematika (što bi u prevodu značilo matematički spisi) od koje potiče moderno ime matematika. Tako su pitagorejci imali četiri takozvane mateme (nauke): aritmetiku, muziku, geometriju i astronomiju.

Evo jednog primjera koji nam govori kako je matematika nekad bila "sebična" i zadavala muke talentovanim ljudima. Zato je svako morao da čuva svoje izume u tajnosti, da ne bi bio strogo kažnjavan. Hipas, učenik pitagorejske škole je  jednom prilikom odao tajnu o pronalasku iracionalnog broja i bio je ubijen. Sljedbenici Hipasa su sebe nazivali matematičarima-privrženicima nauke njenim "slugama". Množenje: Od mnogih znakova koji su korišćeni za množenje, dugo vremena se upotrebljavao znak pravougaonika, kao simbol koji znači da se njegova površina dobija množenjem njegovih stranica. Tako se umjesto riječi  proizvod dugo vremena upražnjavao termin pravougaonik. Kasnije se koristilo i slovo M kao znak za množenje. Geometrija: Termin geometr ija  potiče od starih Egipćana. Živeći pored rijeke Nil, Egipćani su često bili izloženi poplavama, pa su bili primorani da  premjeravaju svoja zemljišta koja su imala oblik ranih geometrijskih figura. Tako je reč geometrija značila i zemljom jerstvo. Međutim, danas geometrija nema veze sa mj erenjem zemlje, ali se naziv zadržao. Sabiranje i oduzimanje: Još u starom Egiptu znak za sabiranje označavan je ljudskim korakom koji "korača" u smjeru pisanja. Kretanje u suprotnom smjeru značilo je oduzimanje. Postoji zanimljiva anegdota koja opisuje kako su nastali znak plus (+) i minus (-). Pretpostavka je da potiču od trgovaca vinom. Kada je prodavano vino na buretu je zapisivana crta do one količine koja je ostala u buretu, odnosno crta za oduzimanje vina. Kada se vino dodavalo u to isto

34

bure, dopisivala se još jedna vertikalna crta i dobijao se simbol + (vino je dodato).

Legenda o Euklidu. Na kraju prvog predavanja koje je održao jednoj grupi studenata -početnika, Euklida je jedan od studenata upitao: "A što će nam u životu matematika?" Euklid nije odgovorio ništa. Nakon pola sata poslao mu je  po svome robu jedan zlatnik i otpustio ga iz škole. 2.3. Historija matematike u Bosni i Hercegovini

Teško je govoriti o historiji matematike Bosne i Hercegovine jer je vrlo malo do sada zabilježenog, sačuvanog i proučavanog. Posebno je to slučaj s građom iz rimskog perioda, a zatim i srednjovijekovnog. Ono što postoji jesu dva vremenska razdoblja u povijesti Bosne i Hercegovine sa sačuvanim i  poznatim dokumentima koji mogu poslužiti za rekonstrukciju matematike iz tih fragmentnih perioda. Prvo od tih razdoblja je osmanski period Bosne i Hercegovine iz kojeg  je sačuvan značajan broj matematičkih rukopisa na arapskom jeziku i sa matematikom orijentalne civilizacijskog kruga kome je pripadala i Bosna tog doba, a značaj te matematike u svjestkim civilizacijskim krugovima je dovoljnjo  poznat. Drugi fragment povijesti matematike u Bosni i Hercegovini je period  poslije Drugog svjetskog rata i koji traje do danas. Ovdje ćemo se koncentrisati na podatke o naučnom radu bosanskohercegovačkih matematičara u XX stoljeću. Teško je bilo cjelovito opisati povijesni tok poslijeratne matematike s obzirom da tu nisu svi matematičari koji i dalje daju svoj doprinos današnjoj matematici. Između dva svjetska rata, u Bosni i Hercegovini teško je govoriti o naučnom radu iz oblasti matematike. Može se govoriti o nekoliko udžbenika koje su iza sebe ostavili pojedini srednjoškolski profesori matematike. U to vrijeme nije na ovim prostorima djelovao ni jedan matematičar koji je bio doktor nauka. Poslije Drugog svjetskog rata situacija se znatno počela mijenjati. Otvaranje velikog broja škola zahtijevalo je i odgovarajući kadar. Za školovanje kadra iz matematike osnovane su najprije više pedagoške akademije u Sarajevu, Banja Luci, Mostaru i Tuzli, sa grupom matematika-fizika. Godine 1950. u Sarajevu je osnovan Filozofski fakultet koji je imao studijsku grupu matematika-fizika. Početkom 1961. godine iz Filozofskog fakulteta se izdvaja Prirodno-matematički odsjek u samostalnu instituciju-Prirodno -matematički fakultet sa Odsjekom za matematiku. Tada je u Bosni i Hercegovini bilo šest fakulteta, tri viskoe škole i jena viša škola na kojima se predavala matematika. 35

 Na tim fakultetima je radilo 15 nastavnika matematike i nekoliko asistenata, od kojih su 8 bili doktori matematičkih nauka. Prvi doktor matematičkih nauka iz Bosne i Hercegovine, promovisan je 1953. godine na sorboni, bio je Mahmut Bajraktarević. Ostali doktori su bili: Leonida Lučić, Šefkija Raljević, Božo Popović, Manojlo Maravić, Milenko Šteković, Branislav Martić, Mato BrčićKostić. Pored ovih matematičara, kraće vrijeme, na Prirodno -matematičkom fakultetu u Sarajevu radili su i dr. Vojislav Avakumović, i dr, Bogdan Bajšanski. Do 1961. godine naučnim radom bavilo se 10 matematičara, a broj objavljenih radovaprelazio je 50. Poslije 1961. godine osnivaju se novi fakulteti i druge škole a gdje se predavala matematika. Na odsjeku za matematiku  pokreće se 1966/67. postdiplomski studij. Razvijaju se novi Univerzitetski centri, pored Sarajeva, u Banja Luci, Tuzli i Mostaru. Nagli porast broja fakulteta sa nastavom matematike uvjetovao je i porast broja matematičara koji su bili sposobni da pruzmu nastavu matematike na tim fakultetima. S time stasaju mladi matematičari koji se uključuju u naučni rad. Tako se već 1979. godine u Bosni i Hercegovini bavilo naučnim radom iz oblasti matematike više od 30 matematičara. Broj objavljenih radova se kretao oko 300 od kojih je većina bila objavljena u časopisima ex Jugoslavije, a priličan broj i u stranim časopisima. Posebno je bio plodan period 1984.-1992. godina. Hronika časopisa Radovi matematički, jedinog bosanskohercegovačkog naučnog časopisa s međunarodnom recenzijom, iz godine u godinu bilježi kvalitativni i kvantitativni porast naučne aktivnosti u svim matematičkim centrima BiH. To se ogleda u rastu broju publikacija, naučnih izlaganja, kolokvija, gostovanja uglednih stranih matematičara, uspostavi trajnijih istraživačkih seminara, studijskim boravcima naših matematičara na vodećim svjetskim univerzitetima, sve do pojave da se inostrani istraživači odlučuju da provedu akademsku godinu i duže na svom usavršavanju na Odsjeku za matematiku u Sarajevu. Tako je u martu 1992. godine na Prirodno-matematičkom fakultetu u Sarajevu veoma  pozitivnu ocjenu dobija doktorska disertacija kineskog matematičara Li Haizhounga, sada redovnog profesora Tsinghua University u Pekingu, koju je od septembra 1990. radio pod mentorstvom prof. dr. Muharema Avdispahića na odsjeku za matematiku. Rat u Bosni i Hercegovini, od 1992. godine, uvjetovao je stagnaciju u naučnom radu matematičara i veliki odliv kadra koji je obezbjeđivao nastavu iz matematike na različitim fakultetima gdje se predavala matematika. U posebno teškom položaju se našao vodeći centar. Završetak rata je omogućio ponovno intezivnije uključivanje u naučne tokove i uzdizanje novog nastavnog kadra koji do danas predaje na različitim univerzitetima i fakultetima. Za očuvanje kontinuiteta naučne djelatnost u periodu 1992.-2012. , posebno je bio značajan mentorski rad prof .dr. Muharema Avdispahića (9 doktora matematičkih nauka, 36

17 magistara matematičkih nauka), prof dr. Mustafe Kulenovića, sada na University of Rhode Islands(6 doktora i 5 magistara), akad. prof dr. Fikret Vajzovića(2 doktora i 4 magistra) , prof. dr. Mehmed Nurakanovića(1 doktor i 3 magistra) U Bosni i Hercegovini danas postoji osam državnih univerziteta koji školuju kadrove iz matematike: 1. Univerzitet u Sarajevu 2. Univerzitet u Banja Luci 3. Univerzitet u Tuzli 4. Univerzitet "Džemal Bijedić" u Mostaru 5. Sveučilište u Mostaru 6. Univerzitet u Bihaću 7. Univerzitet u Istočnom Sarajevu 8. Univerzitet u Zenici Takođe postoje i 2 privatna univerziteta na kojima se školuju budući nastavnici matematike: 1. Univerzitet Travnik, Edukacijski fakultet u Travniku 2. Evropski Univerzitet Brčko Distrikt, Brčko Distrikt Dajem pegled imena aktivnog nastavnog osoblja iz matematike s naučnim stepenom doktora nauka 1. Univerzitet u Sarajevu -Prirodno matematički fakultet: prof. dr.Muharem Avdispahić (Rektor  Univerziteta u Sarajevu), Akademik prof. dr. Mirjana Malenica, prof. dr. Mirjana Vuković, prof dr.Senada Kalabušić, prof dr. Medo Pepić, doc. dr. Muratović-Ribić Amela, van.prof. dr.sc. Memić-Ouis Nacima, doc. dr. Fikret Čunjalo, doc, dr. Odžak Almasa,doc. dr. Esmir Pilav. -Saobraćajni fakultet: v. prof. dr. Huse Fatkić -Farmaceutski fakultet: prof dr. Šefket Arslanagić -Ekonomski fakultet: v. prof. Lejla Smajlović -Pedagoška akademija: doc. dr. Fatih Destović -Građevinski fakultet: prof. dr. Behdžet Mesihović, doc.dr. Emil Ilić- Georgijević 2. Univerzitet u Banja Luci

37

-Prirodno matematički fakultet: prof. dr.Daniel A.Romano, prof. dr. Momir Čelić, prof dr.Milan Jovanović, prof. dr. Milan Janjić, prof. dr. Milovan Vinčić, van.prof. dr. Milorad Stefanović,van.prof, van prof. dr. Zoran Mitrović 3. Univerzitet u Tuzli -Prirodno matematički fakultet: van prof. dr. Mehmed Nurkanović, van.  prof.dr. Ramiz Vugdalić, van. prof. dr. Zehra Nurkanović, van prof. dr. Enes Duvnjaković, Doc. dr. Nermin Okičić, Doc. dr. Sead Rešić, Doc. dr. Mirela Garić. 4. Univerzitet "Džemal Bijedić" u Mostaru doc. dr. Amina Šahović 5. Sveučilište-Univerzitet Hercegoviina u Mostaru i Širokom Brijegu -Fakultet društvenih znanosti: prof.dr.sc. Marinko Pejić 6. Univerzitet u Bihaću -Pedagoški fakultet: van. prof dr. Bernadin Ibrahimpašić, doc. dr. Pjanić Karmelita -Ekonomski fakultet: Doc. dr. Omer Kurtanović 7. Univerzitet u Istočnom Sarajevu Filozofski fakultet: prof. dr. Veljko Vuletić, prof. dr. Milenko Pikula, van. prof. dr. Nebojša Elez Saobraćajni fakultet Doboj: doc. dr. Vesna Mišić 8. Univerzitet u Zenici -Filozofski fakultet: doc .dr. Burgić Dževad, Dr. Almir Huskanović -Ekonomski fakultet: van.prof. dr. Dževad Zečić 9. Univerzitet u Travniku -Edukacijski fakultet: Prof. dr. Hamid Drljević 10. Internaciomalni Univerzitet u Travniku -Doc. dr. Branko Sarić Udruženje matematičara Bosne i Hercegovine primljeno je u Evropsko matematičko društvo 1994. godine, a Bosna i Hercegovina je postala 65. članica Internacionalne matematičke unije na Generalnoj skupštini u Shangai.u avgustu 2002. godine.  Nakon prekida u izlaženju časopisa Radovi matematički uzrokovanog ratom, odlaskom najvećeg dijela redakcije i iznošenjem u inostranstvo  pripremljenog mateijala za brojeve koji su trebali biti objavljeni 1992. godine, od 1997. se postepeno ponovo uspostavlja potrebna dinamika u pojavljivanju novih volumena. do 2000. godine izašlo je oko 5 volumena. U Banja Luci je tokom rata pokrenut časopis " Bulletin of Society of Mathematicians " Banja Luka. 38

Većina bosansko-hercegovačkih matematičara-istraživača naučno je radila, i danas radi, a fundamentalnim matematičkim oblastima kao što su Matematička analiza, algebra, Teorija vjerovatnoće i slično. Posebno su zapaženi radovi iz oblasti funkcionalnih jednadžbi, iterativnih nizova teorije sumabilnosti, kvalitativne teorije diferencijalnih i diferentnih jednadžbi, relane i Fourierove analize, polugrupe operatora, teorije prstena, kao i Metodike nastave matematike. U svjetskoj bazi podataka Mathemattical Reviewes American Mathematical Society (AMS) registrirano je , do sada preko 600 objavljenih radova bosansko-hercegovačkih matematičara. U ovaj broj su uključni samo oni matematičari koji trenutno žive i rade u Bosni i Hercegovini i BiH matematičari koji nisu više među živim. Ovi naučni radovi su štampani , najvećim dijelom , u časopisima ex Jugoslavije a jedan dio radova je objavljen u vodećim internacionalnim matematičkim časopisima. Također o velikom broju , od preko 600 registriranih radova, objavljeni su prikazi u poznatim svjetskim referentnim časopisima kao što su: Mathematical Reviews (SAD), Mateatičeskij Žurnal(Rusija) i Zentralblatt fur Mathematik(Njemačka). Rezultati izvjesnog  broja matematičara iz BiH ušli su u poznate monografije, bilo da su ti radovi samo citirani bilo da su pojedini rezultati detaljno izloženi. Matematičari iz Bosne i Hercegovine, u zadnjih 6. decenija, učestvovali su sa naučnim saopćenjima na više kongresa. Držali su naučna ili stručna predavanja u razlićitim institucijama vani i u zemlji. Izvjestan broj svjetskih matematičara u svojim radovima su citirali neke bosansko-hercegovačke matematičare. Iz ovih konstatacija je jasno da su bosansko-hercegovački matematičari prisutni i aktivno učestvuju u razvoju matematike. Njihov naučni doprinos je bivao  prepoznatljiv svojom originalnošću, pa je taj krug naučnika ponekad bivao okarakteriziran atributom sopstvene škole. Sigurno da se taj krug matematičara kontinuirano razvijao,  prevashodno, na odsjeku za matematiku Prirodno -matematičkog fakulteta u Sarajevu. Posljednji rat (1992.-1996.) je doprinio stagnaciji ukupnog naučnog rada u Bosni i Hercegovini. Međutim od 1997. godine je obnovljen  postdiplomski studij, intezivirana međunarodna saradnja, otvoreni novimodsjevi za matematiku na drugim univerzitetima. Time je omogućno podizanje mlađeg kadra i njihovo uključivanje u naučni rad. Izuzetan je doprinos općenitom razvoju matematike u Bosni i Hercegovini matematičara koji su sad u zasluženoj mirovini su: 1. 2. 3. 4. 5.

Sabahet Drpljanin Arif Zolić Kemal Subašić Hary Miller  Hasan Jamak 39

6. Fikret Vajzović 7. Behdžet Mesihović 8. Nevenka Skakić Doprinos općenitom razvoju matematike u Bosni i Hercegovini onih matematičara koji sad nisu među živim, a to su: 1. Šnajder Vera(1904.-1976.) 2. Raljević Šefkija(1909.-1976.) 3. Bajraktarević Mahmut(1909.-1985.) 4. Martić Branislav(1923.-1985.) 5. Vujaković Dušan(1934.-1986.) 6. Finci Kalmi (1926.-1997.) 7. Bešlagić Amer(1959.-1997.) 8. Maravić Manojlo(1919.-2000.) 9. Tanović -Miller Naza(1938.-2001.) 10. Šlaković Semiha(1929.-2002.) 11. Udovičić Enes(1947-2003.) 12. Vlado Cigić(1946.-2008.) 13. Šarović Jovo(1937.-2009.)

40

3. PREDMET, CILJ I METODE METODIKE NASTAVE MATEMATIKE Prije nego što istaknemo osnovne odrednice metodike početne nastave matematike, u najkraćem ćemo se podsjetiti nekih aspekata matematike, nauke i matematike nastavnog predmeta. Matematika (mathema, grčki, nauka o veličinama) je nauka o prirodi i odnosima među veličinama (brojevima) i  prostornim tvorevinama. Nastava matematike je predmet u kojem se odgoj i obrazovanje ostvaruje matematičkim sadržajima. Historiju matematike, s obzirom na strukturu i funkcionalnost njenih sadržaja, možemo podijeliti u četiri epohe: I epoha rađanja matematike, od postanka čovjeka do VI stoljeća, II epoha matematike konstantnih veličina, od VI do XVII stoljeća, III epoha matematike promjenljivih veličina, od XVII do XIX stoljeća i IV epoha savremene matematike, od XIX stoljeća do današnjih dana. Svaku od epoha obilježila su matematička djela velikih matematičkih stvaratelja: matematičar godine života obilježena epoha PITAGORA (550?-480?) p.n.e. sve EUKLID oko 380. p.n.e. sve ARHIMED 287. - 212. p.n.e. sve 41

DEKART NJUTN GAUS

1596. - 1650. 1642. - 1727. 1777. - 1855.

III i IV III i IV III i IV

Jedinstveno je mišljenje da su Arhimed, Njutn i Gaus najveći matematičari svih prostora i svih vremena. Međutim, ako se analiziraju matematički sadržaji nastavnog predmeta matematike, posebno oni u osnovnoj školi, lahko se dolazi do zaključka da je u tim programima najzastupljenija matematika Euklida, Dekarda, Gausa, a učenici osnovne škole Arhimeda i Njutna vide u svijetu fizike i fizičara i to mišljenje nije pogrešno. Arhimeda možemo svrstati i među inžinjere. Ovakvo razmišljanje nameće zaključak o tim ljudima koji su bili svestrani , ali i na veliku povezanost i uslovljenost u razvoju matematike, fizike i tehnike. Šta je, zapravo, matematika? Teško je danas dati cjelovit odgovor na to pitanje, a još mnogo teže je dati opšteprihvatljivu definiciju tog pojma. Već je istaknuto da je matematika nauka o prirodi i odnosima među veličinama (brojevima) i prostornim tvorevinama. Ovakve ili slične definicije nalazimo u enciklopedijama. Moramo istaći da matematika, danas, svojim ciljevima i zadacima, sadržajima, metodama istraživanja prevazilazi okvire ma kakve definicije o njoj. Usuđujemo se ovdje reći matematika je, jednostavno, matematika. Plediramo na intuitivno usvajanje ovog pojma. Ili ono što je rekao Erih Templ Bel: „Matematika je kraljica i ropkinja (svih ostalih, op. autora) nauka.” Odgovorimo sada na pitanje šta je predmet proučavanja matematike. Matematika proučava određena, karakteristična suštinska svojstva objekata, operacija i relacija iz realnog svijeta koje posmatra apstraktno na različitim stupnjevima apstrakcije, te primjenu dobijenih rezultata u praksi. Nazivom Metodika početne nastave matematike označava se naučna disciplina koja  proučava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike, odgoj i obrazovanje u čijoj su osnovi matematički sadržaji, dakle, matematika (nauka). Metodika nastave matematike je naučna disciplina koja proučava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike na svim stupnjevima apstrakcije. Metodika početne nastave matematike dio je šire naučne discipline metodike nastave matematike, a ova je dio didaktike koja je konačno i dio pedagogije. Metodika početne nastave matematike je naučna disciplina koja proučava 42

 probleme i fenomene početne nastave matematike, matematičkog odgoja i obrazovanja učenika od prvog do četvrtog razreda osnovne škole. Dakle, pod  pojmom početne nastave matematike podrazumijevamo matematičku edukaciju učenika, polaznika razredne nastave, učenika od prvog do četvrtog razreda. U predškolskom odgoju i obrazovanju ne može se govoriti o nekom značajnijem ostvarivanju obrazovnih dobara iz domena matematike. Na ovom nivou odgoja i obrazovanja dominantna je perceptivna spoznaja bez značajnijeg udjela apstraktnog, koje je imanentno matematici nauci, pa i matematici kao nastavnom predmetu. U predškolskom odgoju i obrazovanju dominantan je proces neposrednog i spontanog dodira, taktilne spoznaje koja u početnoj nastavi matematike, takođe, zauzima važno mjesto, ali nema dominantnu ulogu. Koje su karakteristike početne nastave matematike? Već prema izloženom i na osnovu naših iskustava (svi smo prošli kroz  početnu nastavu matematike) lahko se može zaključitii da su bitne karakteristike početne nastave matematike: - formiranje matematičkih pojmova, zaključaka,

(primarnih) sudova i (sudova)

- relativno visoka apstraktnost pojmova kojima se operiše, - potrebni stupanj i kvalitet intelektualne razvijenosti učenika, - mišljenjem učenika, naročito u prvom razredu, još dominira percepcija i taktilno (razmišljanje), - učenik može apstraktno, logički misliti samo ako je to mišljenje utemeljeno na promatranju i manipulisanju konkretnih predmeta i procesa, - učenici u početnoj nastavi matematike stiču osnovnu matematičku  pismenost . Iz navedenog, i ostalog što karakterizira početnu nastavu matematike, izvode se elementi predmeta proučavanja Metodike (methodos, gr. način na koji se obavlja neki rad, način postupanja, metoda) početne nastave matematike: - odgojno-obrazovna funkcija matematičkih sadržaja: provjeriti u kojima se ostvaruju, učinci i rezultati, - učenički intelektualni razvoj (dometi vlastite učenikove aktivnosti), - utjecaj očiglednosti u nastavi, - nastavne metode, - organizacija nastavnog procesa, nastavni principi, 43

- praćenje, vrjednovanje i ocjenjivanje učeničkih postignuća, - psihološka utemeljenost matematičkog odgoja i obrazovanja, itd. Odgovorimo još na pitanje: koje su veze Metodike početne nastave matematike sa drugim naukama?. Očigledno, Metodika počete nastave matematike, naučna disciplina, u posrednoj je vezi sa opštom teorijom saznanja, tj. sa gnoseologijom (gnosis, grč. spoznaja; logos, grč. učenje). Također neraskidiva veza je i sa didaktikom (didaskein, grč. poučavam, obučavam). Dakle metodika nastave matematike je dio pedagogije koji se (pretežno)  bavi nastavnim metodama (ranije, reducirane u odnosu na predmet, definicije). Drugim riječima, pod Metodikom početne nastave matematike  podrazumijevamo naučnu disciplinu koja proučava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike, odgoj i obrazovanje u čijoj su osnovi matematički sadržaji, dakle, matematika (nauka). Takođe se može reći da je Metodika  početne nastave matematike naučna disciplina koja proučava probleme i fenomene početne nastave matematike, matematičkog odgoja i obrazovanja učenika od prvog do četvrtog razreda osnovne škole, ili pak pod pojmom  početne nastave matematike podrazumijevamo matematičku edukaciju učenika,  polaznika razredne nastave, učenika od prvog do četvrtog razreda. U  predškolskom odgoju i obrazovanju ne može se govoriti o nekom značajnijem ostvarivanju obrazovnih dobara iz domena matematike. Na ovom nivou odgoja i obrazovanja dominantna je perceptivna spoznaja bez značajnijeg udjela apstraktnog, koje je imanentno matematici nauci, pa i matematici kao nastavnom predmetu. U predškolskom odgoju i obrazovanju dominantan je proces neposrednog i spontanog dodira, taktilne spoznaje koja u početnoj nastavi matematike, takođe, zauzima važno mjesto, ali nema dominantnu ulogu. Položaj matematike u savremenom životu bitno, u velikom stepenu, određuje i položaj predmeta nastave matematike u sistemu ošteg odgoja i obrazovanja. Odmah treba upozoriti na potrebu razlikovanja pojmova matematika (nauka) i matematika nastavni predmet odgojno-obrazovnog sistema na bilo kom stepenu. Rekli smo da u najsažetijoj formi matematiku (nauku) shvatamo kao onu nauku koja proučava kvantitativne odnose među veličinama i prostorne oblike realnog svijeta, a matematiku, nastavni predmet, kao skup matematičkih, prvenstveno metodičkih sadržaja, kojima se ostvaruje odgoj i obrazovanje u školskim, općenito, edukativnim sistemima. Dakle, iz ukupne matematike (nauke), prema određenim kriterijumima, u prvom redu  prema mentalnim sposobnostima polaznika, učenika kojima je predmet 44

matematika namijenjena, te prema zahtjevima civilizacijskih potreba društva koji su naglašeni u ukupnim, globalnim programima škole, i školovanja, biraju se određeni sadržaji koji se, nakon obavezne metodičke prerade, stavljaju pred učenika, polaznika. Kao što smo rekli, pod Metodikom početne nastave matematike  podrazumijevamo pedagogijsku naučnu disciplinu koja proučava sve fenomene koji su prisutni u početnoj nastavi matematike, od prvog do četvrtog razreda osnovne škole, što bi trebalo da znači da je Metodika početne nastave matematike imanentno pedagogijska znanost, jer ona proučava i podupire odgoj i obrazovanje skoro isključivo sa aspekta pedagogije (didaktike). Dakle, primarni sadržaji preuzeti iz matematike nauke moraju pretrpjeti  bitne metodičke transformacije poslije kojih će poprimiti forme kojima se mogu dobro ostvarivati odgoj i obrazovanje. 4. METODIKA POČETNE NASTAVE MATEMATIKE I DRUGE NAUKE I NAUČNE DISCIPLINE

U pogledu mjesta i uloge metodike razredne nastave nema jedinstvenog stava. Po jednima ona je pedagoška naučna disciplina, po drugima ona pripada naukama čiji se sadržaji putem nastave prenose učenicima, a ima i onih koji smatraju da su metodike nastave određenih predmeta samo aplikativne vještine izvođenja nastave. Možda je najbliže istini tvrđenje da „metodike predstavljaju relativno samostalno i interdisciplinarno naučno-nastavno područje, između određene matične nauke, pedagogije (didaktike) i relevantnih nauka sa kojima su metodike povezane i na koje se oslanjaju.“ (Đorđević, J., 1998) Imajući ovakav stav u vidu, mi pokazujemo vezu metodike nastave matematike sa drugim naukama, ističući na taj način njen interdisciplinarni i multidisciplinarni karakter. Metodika nastave matematike označava znanstvenu disciplinu koja se bavi  proučavanjem odgoja i obrazovanja u nastavi matematike i drugim odgojnoobrazovnim procesima gdje se odgojno-obrazovni proces ostvaruje na temelju i uz pomoć matematičkih sadržaja. „Metodika nastave matematike, kao interdisciplinarna oblast nalazi se u  presjeku matematičkih i pedagoških nauka, ali i pored ovih nauka povezana je i  sa psihologijom, filozofijom, logikom i mnogim drugim naukama.“ (J. Pinter,  N. Petrović, V. Sotirović, D. Lipovac, 1996. str. 16).

45

4.1. Metodika početne nastave matematike s drugim naukama U proučavanju vlastitog predmeta, metodika početne nastave matematike uspostavlja veze i dodire s drugim relavantnim znanostima: matematikom, pedagogijom, didaktikom, psihologijom i dr. Budući da matematičko odgajanje i obrazovanje uključuje matematičke sadržaje kojima se ostvaruje, pedagoške i didaktičke zakonitosti prema kojima se upravlja, te s obzirom na dob učenika razredne nastave specifičan stupanj i kvalitet intelektualne razvijenosti na kojoj se zasniva, u njegovu proučavanju potrebna  je pomoć i drugih znanosti. I upravo u tome se očituje interdisciplinarni karakter  metodike početne nastave matematike.

4.1.1.Veza metodike nastave matematike s matematikom Metodika nastave matematike povezana je s matematičkim sadržajima kojima se ostvaruje odgojno-obrazovni proces. Veza počinje onog trenutka kada se matematički sadržaji stavljaju u funkciju odgajanja i obrazovanja. Kao obrazovno dobro oni su predmet metodičkog proučavanja. S obzirom na dob i vrstu škole, metodika nastave matematike uspostavlja vezu sa onim dijelom matematičke znanosti čijim sadržajima ostvaruje odgojnoobrazovne ciljeve. Veza metodike nastave matematike s matematikom je u metodičkoj interpretaciji programskih sadržaja koja je određena prirodom matematičkih sadržaja i stupnjem intelektualnog razvoja učenika.Metodika nastave matematike povezana je s matematikom i putem metodologije, jer se neke metode matematičke znanosti (analogija, indukcija, dedukcija) uz određene uvjete i u metodički transponiranom obliku mogu koristiti kao metode spoznavanja u matematici, a zbog toga su i predmet metodičkog proučavanja. U početnoj nastavi matematike se zbog dobi i učeničkih psihičkih sposobnosti najčešče koriste indukcija (generalizacija), analiza i sinteza. Iz istorije matematike dobijaju se značajne informacije o razvoju matematičkih pojmova, metoda, ideja i jezika. Često i u nastavi matematike učenici formiraju matematičke pojmove na način kako su ti pojmovi i nastali: neposrednim brojanjem, mjerenjem, zapažanjem itd., realnih objekata. Naravno, 46

učenici ne prelaze potpun istorijski put (koji nekada traje vijekovima) u formiranju određenih matematičkih pojmova, već se za to koriste najkraći  putevi koje je pripremila metodička prerada sadržaja. Treba imati u vidu da neki  putevi formiranja matematičkih pojmova kod djece ne teku onako kako je to teklo u istoriji razvoja tih pojmova. Npr., geometrijske predstave i pojmove djeca usvajaju u obrnutom redoslijedu od onoga kako su ti pojmovi nastali kroz historiju. Istorijski , najprije nastaje Euklidska geometrija, zatim projektivna u istu ravan i na kraju, u 19. vijeku topologija. Saznanja kod djece kao što je rečeno teku u obrnutom redu, djeca najprije otkrivaju topološke  pojmove.Trogodišnje dijete razlikuje otvorene od zatvorenih formi. Ako se traži da se slike precrtavaju, kvadrat ili trougao, djeca crtaju zatvoren krug, križ crtaju kao dvije odvojene linije, sposobni su da nacrtaju manji krug u većem, dva kruga koji se dodiruju, manji iznad većeg itd. Djeca mogu sve ovo da urade  prije nego što su u stanju da nacrtaju pravougaonik ili trougao. Treba naglasiti da matematika nema uvijek presudnu ulogu u brzini prihvatanja njenih sadržaja u nastavi matematike, već su ponekad presudniji trendovi i opšta društvena klima. Na primjer, trebalo je da prođe oko 100 godina od stvaranja teorije skupova do njihovih uvođenja u razrednu nastavu. Odabrani sadržaji  podliježu didaktičkoj preradi. Treba naglasiti da se pri didaktičkoj preradi matematičkog materijala metodika nastave matematike, pored matematike kao nauke, u velikoj mjeri oslanja i na pedagogiju tj, didaktiku, psihologiju, logiku itd., koje utiču na konačan rezultat te obrade. Nove metode zavise od toga kakve će matematičke nove ideje prevladati u razrednoj nastavi. Matematika daje različite metodičke puteve pri formiranju matematičkih pojmova. Tako na  primjer, u zasnivanju teorije prirodnih brojeva izdvajaju se dva načina: aksiomatski i skupovni. Ovo direktno utiče na metodičke puteve formiranja  pojmova prirodnih brojeva. I u metodici nastave matematike izdvajaju se dva  puta: skupovni i aksiomatski. Naglasimo da teorijske osnove početne nastave matematike ne mogu da se temelje na logičkim savršenim matematičkim teorijama, već za te osnove treba uzimati ona matematička znanja koja prethode stvaranju tih teorija.

Zato učitelji moraju dobro da poznaju matematičke sadržaje, zasnivanje matematičkih teorija (prirodnih brojeva) i tokove savremene nastave matematike. 4.1.2. Veza metodike nastave matematike s pedagogijom (didaktikom) 47

Odnos didaktike i metodike početne nastave matematike može se  promatrati i sa stajališta općeg i posebnog, jer didaktičke generalizacije vrijede za nastavu u cjelini, a metodičke vrijede samo za početnu nastavu matematike. Dio sadržaja didaktičkih i metodičkih generalizacija je zajednički, a dio je različit i uvjetovan posebnošću matematičkog odgajanja i obrazovanja u razrednoj nastavi. Didaktičko načelo očiglednosti, npr., vrijedi za nastavu svih  predmeta, pa je i za početnu nastavu matematike i zajednički je dio sadržaja tog načela. Međutim, postoji dio sadržaja što ga uvjetuju posebnosti početne nastave matematike koji se iskazuje u varijabilnoj očiglednostii, u predočavanju matematičkog sadržaja različitim načinima. I upravo taj zajednički dio didaktičkih i metodičkih generalizacija povezuje metodiku početne nastave matematike s didaktikom. U vezi s tim nastaje pitanje : Koja je spoznaja  primarnija, didaktička ili metodička? Koja u nastanku prethodi, a koja slijedi? Prihvatimo li određenje didaktike kao opće teorije nastave, proizilazi da  je didaktička spoznaja aposteriona, naknadno izvedena iz realnosti različitih nastavnih predmeta. Opće didaktičke spoznaje moguće su uz uvjet da prethodno  postoje metodičke spoznaje izvedene iz realnosti pojedinog nastavnog  predmeta. Proizilazeći iz posebnih metodičkih spoznaja, opće didaktičke spoznaje ponovo se u obliku znanstvenih generalizacija vraćaju posebnom, metodičkoj realnosti određenog nastavnog predmeta. I to je dodirna tačka koja  je zajednička didaktici i metodici početne nastave matematike. U tom smislu metodika je supstrat didaktike kao teorije obrazovanja i nastave.

4.1.3. Veza metodike nastave matematike s historijom

Budući da početna nastava matematike ima svoju prošlost, metodika te nastave predmet svog proučavanja tretira i sa stajališta historijskog razvoja. Ona otkriva i sistematizira spoznaje o koncepcijama i načinima izvođenja matematičkog odgoja i obrazovanja u različitim vremenskim i društveno-historijskim uvjetima. Na taj način metodika nastave matematike povezuje se sa općom historijom pedagogije, a na taj način metodika nastave matematike postaje dijelom historije općeg odgoja i obrazovanja.

4.1.4. Veza metodike nastave matematike sa psihologijom i logikom 48

Metodika nastave matematike tijesno je povezana sa psihološkim znanostima, općom, razvojnom i psihologijom učenja. Za učenje matematike  jako su značajne psihološke spoznaje o intelektualnim sposobnostima i o načinu učenja matematike. Psihološke spoznaje u nastavi matematike imaju široku  primjenu zbog samog odvijanja složenih, psihičkih procesa u nastavi matematike, kao što je: formiranje matematičkih pojmova ,izgradnja mentalnih operacija s prirodnim brojevima. Psihološke spoznaje o načinu usvajanja matematičkih pojmova predstavljaju psihološku osnovu njihovog matematičkog odgoja i obrazovanja. Psihološke spoznaje su posebno bitne i neophodne pri  povećanju racionalizacije, efikasnosti i oblikovanju metodičke interpretacije matematičkih sadržaja. Posebno su bitne psihološke spoznaje u procesu  početnog matematičkog odgoja i obrazovanja zbog sudjelovanja u njemu učenika s nedovoljno razvijenim intelektualnim sposonostima (apstraktnim mišljenjem, koncentracijom pažnje, pamćenjem). Pored psihološke, postoji logička strana mišljenja. Logika je nauka koja  proučava vrste pravilnog mišljenja. Osnova svakog mišljenja jesu iskazi, rečenice koje su ili točne ili netočne. Neki iskazi se utvrđuju kao polazni (premise), a zatim se, koristeći određene pravilnosti iz njih izvodi novi iskaz ( zaključak ). Zadatak logike jest da odredi put od premise ka zaključku, kao i  pravilnosti koje se na tom putu koriste. I u metodici nastave matematike mnogi zaključci izvedeni su logičkim putem iz ranijih zaključaka, dobijenih eksperimentalnim ili logičkim putem. U istraživanjima pedagoških pojava koriste se dedukcija i indukcija. Iako negdje prevlađuje jedna, a negdje druga, ti  putevi nisu isključivi, već se koriste u sintezi. Krajem 19-og vijeka logika  počinje da se obogaćuje matematičkim sadržajima. Matematika nudi logici nov aparat za proučavanje logičkih zakonitosti, a matematičke metode koriste se za ispitivanje raznih logičkih sistema. Postepeno nastaje nova matematička disciplina-matematička logika. Korišćenje logike u metodici nastave matematike ima dvojaki karakter, prvo, logika se koristi u rješavanju  pedagoških problema nastave matematike, kao što je na primjer logička analiza strukture matematičkih sadržaja u nastavi. Drugo, elementi matematičke logike koriste se u početnoj nastavi matematike. Iako ti elementi nisu ugrađeni u nastavne programe eksciplitno, riječ „i“, „ili“, „ako...tada“, „istinit“, „lažan“ sa uspjehom se koriste u nastavi. Napominjemo da učitelj mora dobro da poznaje osnove matematičke logike da bi te riječi ispravno koristio.

49

4.1.5. Metodika nastave matematike u razrednoj nastavi u vezi s metodikom nastave matematike u višim razredima osnovne škole Metodika nastave matematike u razrednoj nastavi u tijesnoj je vezi sa metodikom nastave matematike u višim razredima Osnovne škole. Tu vezu ne  posmatramo kao međupredmetnu, već unutarpredmetnu. Metodika nastave matematike u razrednoj nastavi za rješavanje problema vezanih za dalje školovanje djece, koristi se znanjima metodike nastave matematike u višim razredima. Matematički sadržaji koji se obrađuju u početnoj nastavi matematike  predstavljaju osnovu za dalje školovanje. Brojevi, geometrija i algebra obrađuju se u višim razredima, ali se u početnoj nastavi vodi računa o psihološkim karakteristikama djece, kao i ciljevima i zadacima početnog učenja.

4.1.6. Metodika matematike i filozofija Svoje probleme metodika nastave matematike u razrednoj nastavi rješava i uz pomoć filozofije (posebno gnoseologije). Uticaj gnoseologije na metodiku nastave matematike zasniva se na činjenici da su proces saznanja i  proces subjektivnog usvajanja tuđih iskustava sa gledišta učesnika u njima veoma slične. Posebno treba istaći filozofiju matematike, granu filozofije, koja se bavi filozofskim problemima matematike. Filozofska shvatanja o raznim matematičkim sadržajima (broj, geometrija) pomažu metodici nastave matematike da riješi probleme u vezi sa tretiranjen matematičkih pojmova, ispravnog shvatanja njihovog porijekla, odabiranja metoda rada, određivanje ciljeva nastave matematike itd. Značajnu ulogu u procesu saznanja ima intuicija, koju shvatamo kao naslućivanje, predosjećanje. Iako su istine do kojih se dolazi intuicijom nepouzdane, moraju se logički dokazati, ona u matematici mnogo znači i naziva se matematička intuicija. Ona predstavlja oblik neposrednog saznanja neke matematičke istine, koju zatim uzimamo kao  polaznu u dokazivanju logičkim putem. Metodika nastave matematike, zbog važnog mjesta intuicije u nastavi matematike, uz pomoć filozofije matematike, rješava probleme njenog korištenja. U osposobljavanju učenika da intuitivno otkrivaju matematičke istine koristi se induktivni način zaključivanja. Učenici u razrednoj nastavi, pri formiranju matematičkih pojmova i pravila, poslije niza konkretnih primjera, naslućuju određenu istinu. Ideje za rješavanje matematičkih problema također se naslućuju. Na taj način učenici razvijaju intuiciju, a ovo na svoj način razvija matematičko mišljenje. Metodika

50

matematike mora da riješi pitanje o tome šta uzeti od logike, a gdje je intuicija koja je antagonizam stroge logike.

5. PROGRAMSKI SADRŽAJI POČETNE NASTAVE MATEMATIKE 5.1. Položaj nastave matematike u Nastavnom planu i programu škole S obzirom da matematika ima veliki značaj u životu savremenog čovjeka njen položaj u sistemu općeg odgoja i obrazovanja je zajedno sa  položajem bosanskog, hrvatskog i srpskog jezika na prvom mjestu. Činjenice koje govore u prilog ovoj konstataciji su da se nastava matematike izvodi u svim razredima osnovne škole, od prvog do osmog(devetog) razreda sa relativno velikim brojem nastavnih sati. Prema Nastavnom planu i programu za devetogodišnji odgoj i obrazovanje nastava matematike se u prva četiri razreda osnovne škole izvodi sa: I razred – 68 časova godišnje, 2 časa sedmično, II razred – 105 časova godišnje, 3 časa sedmično, III razred – 105 časova godišnje,3 časa sedmično. IV razred – 140 časova godišnje 4 časa sedmično V razred – 140 časova godišnje 4 časa sedmično 51

Matematika kao znanost o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima ima zajedničkih elemenata, ali se i razlikuje od nastave matematike. Ono što je zajedničko i što povezuje matematiku i nastavu matematike jesu matematički sadržaji. Razlika između matematike i nastave matematike je u načinu spoznavanja matematičkih sadržaja. Matematika otkriva nove matematičke spoznaje, a nastava matematike učenicima posreduje već otkrivene spoznaje. U nastavi matematike ostvaruju se materijalni, odgojni i funkcionalni zadaci.  Navest ćemo primjer programa početne nastave matematike za učenike od 1. do 3. razreda osnovne škole. 5.1.1. Prvi razred

 Nastavni predmet <> od njenih prapočetaka, a posebno danas, u eri dinamičkog znanstvenog i tehničko tehnološkog razvoja te opće komjuterizacije, ima ogromni značaj i ulogu u odgoju i obrazovanju mlade generacije i njihovom pripremanju za budući život i rad. Nastava matematike  predstavlja glavni segment cjelokupnog općeg obrazovanja i temelj razvoja cjelovite ličnosti učenika i predstavlja ogroman doprinos u sveukupnim učeničkim postignućima ( obrazovnim, odgojnim i funkcionalnim). Obrazovna uloga sastoji se u usvajanju programom propisanih matematičkih sadržaja. Funkcionalna uloga se ogleda u njenom velikom utjecaju na razvoj općih intelektualnih sposobnosti ( pamćenja, pažnje, rasuđivanja; logičko, stvaralačko i kreativno mišljenje...). Odgojna uloga ogleda se u njenom utjecaju na razvoj pozitivnih crta učeničke ličnosti ( tačnost, preciznost, urednost, upornost ). Cilj nastave matematike u prvom razredu devetogodišnje osnovne škole  je odgajanje i obrazovanje učenika na temelju formiranja osnovnih matematičkih pojmova i usvajanju sadržaja, kao što su upoređivanje predmeta  po osobinama i uzajamnom položaju ( odnosu ), mjerenje veličina, mjerne  jedinice, prirodni brojevi do 10, relacije među njima, te operacije sabiranja i oduzimanja. 5.1.1.1. Programski sadržaji 1. Upoređivanje, procjenjivanje i mjerenje veličine predmeta (10 sati)

52

a) Upoređivanje predmeta po boji, duljini, visini, širini, debljini

b) Blizu, daleko, lijevo, desno, ispred-između-iza, ispod-na-iznad. uspravno-koso-vodoravno c) Odnos među predmetima i veličina predmeta d) Mjerenje veličina – jedinice i mjere ( kilogram, metar, litar, sat i kilometri )

2. Predmeti oblika lopte (kugle), kocke, valjka, piramide (6 sati)

a) Upoznavanje predmeta oblika lopte, kocke, valjka i piramide, imenovanje oblika i uočavanje njihovih sličnosti i razlika 3. Ravne i zakrivljene plohe (površi), likovi i linije (crte) (10 sati)

a) Likovi oblika kruga, trougaoa, pravougaonika i kvadrata  b) Otvorene i zatvorene ravne i krive linije (crte); unutrašnjost i spoljašnost, unutra – na – izvan c) Tačke kao presjeci linija (sjecišta)

4. Skupovi, brojevi, relacije i operacije (44 sata)

a) Primjeri skupova, označavanje  b) Članovi skupa, pridruživanje elemenata dvaju skupova, brojnost c) Brojevi od 1-3 d) Upoređivanje brojeva (<, >, =, = ) e) Brojevi 4 i 5 f) Prethodnik i sljedbenik, opadajući i rastući brojni niz (predstavljanje na  brojnoj liniji) g) Redni brojevi od 1-5 h) Sabiranje i oduzimanje i) Broj 0  j) Brojevi od 6-9 k) Broj 10 l) Redni brojevi od 1-10 NAPOMENA:

 Nastavnik može sa djecom koja pokazuju interes i visoke sposobnosti za matematiku raditi i računske operacije u skupu brojeva do 20. 5.1.1.2. Očekivani rezultati (ishodi) učenja 1. Upoređivanje, procjenjivanje i mjerenje veličine predmeta 53

-

Upoređivanjem otkriti sličnosti i različitosti prema osobinama i uzajamnom položaju predmeta Procjenjivanje veličine predmeta na temelju vizuelne percepcije i odnosa među predmetima Upoznati čime mjerimo (pedalj, stopa, metar, linijar, štap, termometar, vaga, sat) Mjeriti, to znači upoređivati Upoznati i imenovati jedinice za pojedine veličine Procjenjivanje rezultata mjerenja, poređenje dobivenih rezultata sa  predviđenim rezultatima

2. Predmeti oblika lopte, kocke, valjka i piramide

-

Promatranjem predmeta iz svoje okoline upoznati i imenovati oblike lopte, kocke, valjka i piramide Uočiti sličnosti i različitosti među njima Prepoznati da predmeti iz životnog okruženja imaju sličnosti i različitosti sa geometrijiskim oblicima

3. Ravne i zakrivljene plohe (površi), likovi i linije (crte)

-

Promatranjem prepoznati ravne i zakrivljene plohe (površi), likove, otvorene i zatvorene linije (njihovu unutrašnjost i spoljašnost) Upoznati tačku kao presjek linija Grafičko predstavljanje tačke

4. Skupovi, brojevi, relacije i operacije 54

Osposobiti učenike za promatranje skupova u neposrednoj okolini Upoznati učenike sa postupkom pridruživanja Usvojiti izraz <> i <> skupu, <> i <> Zapažati i identificirati skupove iste i različite brojnosti Upoznati brojeve od 1-9 Upoređivati brojeve (već od broja 3), upoznati i primijeniti izraze <>, <>, <>, i <> i oznake >, <, =, = Upoznati učenika sa pojmovima <> i <> (već od broja 5) Identifikovati sabiranje kroz aktivnosti dodavanja, spajanja i grupiranja

-

Usvajanje izraza <> i oznake <<+>> Identifikovati oduzimanje kroz aktivnosti smanjenja, uzimanja i odvajanja Usvajanje izraza <> i oznake <<->> Preko konkretnih primjera navesti učenike da zaključe da se zbir neće  promijeniti ako sabirci zamijene mjesta i da su sabiranje i oduzimanje suprotne računske operacije Nula, veza sabiranja i oduzimanja, brojnost praznog skupa Prepoznati da je desetica skup od 10 jedinica i upoznati učenika s načinom bilježenja broja 10 Osposobiti učenike da sabiraju i oduzimaju na različite načine (korištenjem tabela i brojevnog pravca, pravilna interpretacija  jednostavnijih grafikona) u okviru prve desetice Kroz primjere iz svakodnevnog života upoznati redne brojeve Rječavanje tekstualnih zadataka u okviru prve desetice 5.1.2. Drugi razred Nastavne teme

1. Brojevi Sabiranje i oduzimanje u skupu brojeva do 20

-

Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvoj desetici. (ponavljanje i  produbljivanje znanja) Izračunavanje zbirova od tri sabirka Upotreba zagrada u sabiranju i u oduzimanje Sabiranje brojeva i oduzimanje brojeva u drugoj desetici (oblici kao: 10+4, 14-4, 13+4, 17-4, 10+10) Sabiranja i oduzimanja oblika: 6+4 = 10, 10 -4 (ponavljanje i  produbljivanje) Sabiranja kada su sabirci iz prve desetice, a zbir iz druge desetice i odgovarajuće oduzimanja) Veza između sabiranja i oduzimanja I slovo nekada uzmemo da je broj. Nepoznati broj. Svojstva zbira: Nula kao sabirak. Pravilo zamjene mjesta sabiraka. Svojstva razlike: nula kao umanjitelj, umanjitelj jednak umanjeniku Rimski brojevi od I do XX

Skup brojeva do 100 55

1.

Formiranje pojmova višekratnika broja 10. Brojevna linija (crta) : 0, 10, 20, 30, 100. Upoređivanje višekratnika broja 10 u prvoj stotini. Sabiranje i oduzimanje višekratnika broja 10 u prvoj stotini. Formiranje pojmova ostalih brojeva prve stotine. Niz brojeva: 0, 1, 2, 3, ..., 99, 100. Brojanje (u oba smjera). Prethodnici i sljedbenici brojeva iz prve stotice. Brojevna linija (crta). 0-100. Upoređivanje brojeva iz prve stotice. Znakovi: =, 4, <, >

Geometrija Predmeti oblika lopte, kocke, kvadra, valjka, piramide i kupe

-

Predmeti oblika valjka, lopte i kupe Predmet oblika kocke, kvadra, piramide ( strane, bridovi, vrhovi) Površi-granice predmeta. Ravne i zakrivljene površi.

Površi (površine) i linije (crte)

-

Linija (crta) kao granica površi (površine) Ravne i zakrivljene linije (crte) Tačke kao granice linije (crte) Izlomljena linija (crta) Duž kao dio izlomljene linije (crte) Upoređivanje duži Pravougaonik, kvadrat i trougao kao zatvorene (proste) izlomljene linije Granica kruga kao zatvorena zakrivljena linija (crta) Mjerenje i mjere

-

Mjerenje dužine. Jedinice za dužinu (metar, decimetar)

-

Mjerenje mase. Jedinice za masu (kilogram, dekagram) Jedinice za tečnost (litar, decilitar) Jedinice za vrijeme (sedmica, dan, sat, minuta) Jedinice za novac (konvertibilna marka, konvertibilni fening)

5.1.3. Treći razred 56

Programska struktura predmetnih područja 1. Sabiranje i oduzimanje do 100

-

Sabiranje i oduzimanje brojeva umutar desetica (oblici kao: 50+4, 54-4, 73+4, 77-4) Upoznavanje relacija £ i > Određivanje nepoznatih brojeva (x<15, 40
2. Ravne i zakrivljene plohe (površi), likovi i linije (crte)

-

Prava (pravac), poluprava(polupravac), duž(duljina), ugao (kut) –  crtanje i obilježavanje Crtanje paralelnih i okomitih pravih Upoređivanje duži. Podudarne duži. Sabiranje duži. Oduzimanje duži. Crtanje likova oblika trougla (trokuta), kvadrata, pravougaonika (pravokutnika), kružnice i kruga.

3. Množenje i dijeljenje do 100 57

-

Množenje kao sabiranje jednakih sabiraka Znak <<●>> (puta). Množitelj, množenik (množenje broja i množenje  brojem) i produkt (proizvod) Faktori ili činioci Množenje brojeva prve desetice Tablica množenja Broj 1 i broj 0 kao faktori množenja Osobine proizvoda: zamjena mjesta faktora (komutativnost i asocijativnost) Pisanje dvocifrenog broja u obliku a^10+b Dijeljenik (broj koji se dijeli), djelitelj (broj kojim se dijeli), količnik (rezultat dijeljenja) Dijeljenje brojevima prve desetice Količnik čiji je dijeljenik broj 0 Količnik čiji je djeljitelj broj 1. (Dijeljenje nulom nema smisla) Tablica dijeljenja Veza množenja i dijeljenja Množenje zbira i dijelienje zbira Osobine dijeljenja: distributivnost Vantablična množenja i vantablična dijeljenja (30:2, 20:10) Rješavanje jednačina oblika 3^X=18, X^4=24, 45:X=5, X:9=8) Polovine, trećine, četvrtine, petine i desetine broja kao količnici dijeljenja broja, redom, brojevima 2,3,4,5 i 10 ( V2, 1/3, ¼, 1/5, 1/10 –  standardno zapisivanje). Izračunavanje navedenih dijelova broja Računske operacije prvog i računske operacije drugog reda. Red računanja u izrazima sa više računskih operacija. Upotreba zagrada

4. Mjerenje, upoređivanje i procjenjivanje

-

Mjerenje dužine. Jedinice za dužinu. (1m, 1 dm, 1 cm) Mjerenje mase. Jedinice za masu (1 kg, 1 dkg, 1 g) Jedinice za tečnost (1 l, 1 dl, 1 cl) Jedinice za vrijeme (godina, mjesec, tjedan, dan, sat , minuta) Jedinice za novac (KM, KF)

5.1.4. Četvrti razred 58

Ponavljanje gradiva iz III razreda: Sabiranje Ponavljanje gradiva iz III razreda : Oduzimanje

-

Ponavljanje gradiva iz III razreda :Sabiranje i oduzimanje Ponavljanje gradiva iz III razreda:Množenje i dijeljenje Ponavljanje gradiva iz III razreda: Jednačine Ponavljanje gradiva iz III razreda: Operacije prvog i drugog reda Brojevi prve hiljade(tisuće): Stotice prve hiljade – usvajanje Brojevi prve hiljade(tisuće): – Stotice i desetice – usvajanje Upoređivanje višekratnika broja 100 Brojevi prve hiljade(tisuće): – Stotice i desetice – usvajanje Ostali brojevi do 1000 – Stotice, desetice i jedinice – usvajanje Struktura pisanja trocifrenih brojeva u obliku : ax100 + bx10 + cx1 –  usvajanje Upoređivanje trocifrenih brojeva – usvajanje Rimski brojevi – usvajanje Kineski abakus – suan pan – usvajanje Prava u ravni – Crte ( linije ) ravne i zakrivljene, duži – usvajanje Duž, prava (pravac) i poluprava (polupravac)- usvajanje Prava koja prolazi jednom tačkom – usvajanje Prava koja prolazi dvjema tačkama – usvajanje Prava u ravni – utvrđivanje Prava, poluprava, duž – kontrolni rad Sabiranje i oduzimanje u prvoj hiljadi: Osobine sabiranja – usvajanje Osobine oduzimanja – usvajanje Predstavljanje brojeva na abakusu – usvajanje Usmeno (nealgoritamsko)sabiranje i oduzimanje (300+200),( 500-300) - usvajanje Usmeno (nealgoritamsko)sabiranje brojeva (120+40 ; 180+60 ) –  usvajanje Usmeno (nealgoritamsko)sabiranje brojeva (120+40;180+60)utvrđivanje Usmeno (nealgoritamsko)oduzimanje brojeva (160-40; 180-90)usvajanje Usmeno (nealgoritamsko)oduzimanje brojeva (160-40; 180-90)utvrđivanje Priprema za 1. pismenu provjeru 1. pismena provjera znanja Zajednička analiza i ispravak 1. pismene provjere znanja Usmeno (nealgoritamsko) sabiranje brojeva (132+4; 173+7)-usvajanje Usmeno (nealgoritamsko) sabiranje brojeva (122+9)-usvajanje Usmeno(nealgoritamsko) sabiranje trocifrenog i dvocifrenog brojautvrđivanje 59

-

60

- Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje brojeva(124-3; 120-9)-usvajanje - Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje brojeva(122-9)-usvajanje - Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje trocifrenog i jednocifrenog brojautvrđivanje - Usmeno(nealgoritamsko) sabiranje brojeva(255+22; 255+68)-usvajanje - Usmeno(nealgoritamsko) sabiranje trocifrenog i dvocifrenog brojautvrđivanje - Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje brojeva(355-41; 355-36)usvajanje - Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje (342-74)-usvajanje - Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje-utvrđivanje Usmeno(nealgoritamsko) sabiranje brojeva(245+132; 245+148, 245+178) -usvajanje - Usmeno(nealgoritamsko) sabiranje brojeva(245+132; 245+148, 245+178) - utvrđivanje - Usmeno(nealgoritamsko) oduzimanje brojeva (264-132; 373-145, 451165) - usvajanje Sabiranje i oduzimanje trocifrenih brojeva-utvrđivanje Sabiranje ioduzimanje trocifrenih brojeva –utvrđivanje Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem-usvajanje Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem-utvrđivanje Nejednačine oblika x+a< b – usvajanje Nejednačine oblika x+a>b – usvajanje Nejednačine –utvrđivanje Sabiranje na abakusu- usvajanje Oduzimanje na abakusu- usvajanje Sabiranje i oduzimanje na abakusu- utvrđivanje Priprema za 2.pismenu provjeru znanja 2.pismena provjera znanja Zajednička analiza i ispravak 2.pismene provjere Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva( 32, 25)usvajanje + 54,+27 Pismeno(algoritamsko) oduzimanje  brojeva (65 , 96)-usvajanje -24, -27 - Vježba pismenog i usmenog sabiranja brojeva, Vježba čini majstora - Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva ( 425 , 425 ) -usvajanje +173 ,+236 - Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva ( 425 , 425 ) -utvrđivanje + 173 +236

-

Pismeno(algoritamsko) oduzimanje brojeva ( 678 )usvajanje - 425 Pismeno(algoritamsko) oduzimanje brojeva ( 678 )utvrđivanje - 425 Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva ( 284 ) -usvajanje + 351 Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva ( 284 ) -utvrđivanje + 351 Pismeno(algoritamsko) oduzimanje brojeva ( 436 ) -usvajanje - 251 Pismeno(algoritamsko) oduzimanje brojeva ( 436 ) -utvrđivanje - 251 Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva ( 269 ) -usvajanje + 268 Pismeno(algoritamsko) sabiranje brojeva ( 269 ) -utvrđivanje + 168 Pismeno(algoritamsko) oduzimanje brojeva ( 426 ) -usvajanje - 289

- Pismeno(algoritamsko) oduzimanje brojeva- utvrđivanje - Pismeno sabiranje i oduzimanje brojeva sa i bez prijelaza –utvrđivanjeVježba čini majstora - Zadaci zadani riječima - Rješavanje zadataka sastavljanjem izraza - Sabiranje i oduzimanje sa dvije ili tri operacije - Sabiranje i oduzimanje sa dvije ili tri operacije - Kontrolni rad- Sabiranje i oduzimanje trocifrenih brojeva - Krug i kružnica- uočavanje i precrtavanje kruga i kružnice na valjku i kupi – usvajanjeCrtanje kružnice šestarom- elementi kruga i kružnice (središte, unutrašnje i rubne tačke) -usvajanje Elementi kruga i kružnice (poluprečnik-polumjer, prečnik promjer) –usvajanje Određivanje elemenata kružnice savijanjem papira ( origami tehnika)-ponavljanje gradivaKontrolni rad-elementi kruga i kružnice Množenje i dijeljenje u hiljadi (tisući): Ponavljanje množenja i dijeljenja Ponavljanje množenja i dijeljenja- uvrđivanje

61

62

Množenje desetice i stotice jednocifrenim brojemusvajanje Množenje desetice i stotice jednocifrenim brojemutvrđivanje Dijeljenje sa 10 i 100- usvajanje Dijenje sa 10 i 100- utvrđivanje Pismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem ( bez prijelaza)- usvajanje Pismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim  brojem(bez prijelaza) – uvrđivanjePismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem(s  prijelazom desetice)-usvajanjePismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem(s  prijelazom desetice)-utvrđivanjePismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem s  prijelazom stotice-usvajanjePismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim broje s  prijelazom stotice-utvrđivanjePismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem(s  prijelazom desetice i stotice)-usvajanjePismeno(algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem(s  prijelazom desetice i stotice) – utvrđivanjePismeno(algoritamsko) množenje s prijelazom i bez  prijelaza-vježba Pismeno(algoritamsko) množenje s prijelazom i bez  prijelaza-vježba Osobine množenja-usvajanje Osobine množenja- utvrđivanje Priprema za 3. pismenu provjeru znanja 3. pismena provjera znanja Zajednička analiza i ispravak 3.pismene provjere znanja Pismeno(algoritamsko) dijeljenje dvocifrenog broja  jednocifrenim(46:2) – usvajanjePismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim(286:2) –usvajanjePismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim(286:2) –uvrđivanjePismeno(algoritamsko) dijeljenje dvocifrenog broja  jednocifrenim(72:3) –usvajanje Pismeno(algoritamsko) dijeljenje dvocifrenog broja  jednocifrenim(72:3)–utvrđivanje-

-

Pismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim(726:3) –usvajanje Pismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim –utvrđivanje Vježba čini majstora-vježbanje Pismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim(432:6) –usvajanje Pismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim (432:6)–utvrđivanje Pismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim(482:3) –usvajanje Pismeno(algoritamsko) dijeljenje trocifrenog broja  jednocifrenim(482:3) –utvrđivanje Vježbanje Kontrolni rad-pismeno dijeljenje Zadaci riječima-množenje i dijeljenje Složeniji brojevni izrazi- usvajanje Složeniji brojevni izrazi- utvrđivanje Množenje na abakusu- usvajanje Dijeljenje na abakusu- usvajanje Prva desethiljada; struktura brojeva prve desethiljadeusvajanje Brojevna linija do 10 000 sa naznačenim višekratnicima 10, 100, 1 000- usvajanje Čitanje i pisanje brojeva do 10 000- višekratnici broja 10, 100, 1000- usvajanje Sabiranje i oduzimanje višekratnika broja 10, 100 1 000 u  prvoj desethiljadi- usvajanje Sabiranje i oduzimanje višekratnika broja 10, 100 1000 u  prvoj desethiljadi-utvrđivanje Mjeranje veličina: mjerenje dužine- usvajanjeMjerenje dužine- utvrđivanje Mjerenje mase- usvajanje Mjerenje mase- utvrđivanje Mjerenje zapremine tečnosti- usvajanje Mjerenje zapremine tečnosti- utvrđivanje Priprema za 4.pismenu provjeru 4.pismena provjera Zajednička analiza i ispravak 4.pismene provjere Sistematizacija gradiv 63

5.1.5. Peti razred 64

Upoznavanje sa nastavnim kompletom i gradivom Čitanje i pisanje brojeva do 1 000 - ponavljanje Upoređivanje brojeva do 1 000 - ponavljanje Zapisivanje brojeva u obliku zbira višekratnika dekadskih  jedinica - ponavljanje Brojevi do 100 000 (sto hiljada(tisuća)) Čitanje i pisanje brojeva do milion Klase i razredi brojeva do milion Upoređivanje brojeva do milion Brojna linija(crta) do milion Sabiranje u prvoj hiljadici ( tisućici) - ponavljanje Oduzimanje u prvoj hiljadici ( tisućici) - ponavljanje Povezanost sabiranja i oduzimanja Usmeno (nealgoritamsko) sabiranje brojeva do milion Usmeno (nealgoritamsko) oduzimanje brojeva do milion Sabiranja na abakusu Oduzimanje na abakusu Pismeno (algoritamsko) sabiranje brojeva do milion bez  prelaza Pismeno (algoritamsko) sabiranje brojeva do milion sa  prelazom Zadaci za vježbu Pismeno (algoritamsko) oduzimanje bez prelaza Pismeno (algoritamsko) oduzimanje sa pelazom Zadaci za vježbu Osnovna svojstva sabiranje (komutativnost) Združivanje pribrojnika (asocijativnost) Nula i jedan kod sabiranja i oduzimanja Primjena svojstava u sabiranju Brojni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem Zavisnost zbira od pribrojnika Nepromjenljivost zbira Zavisnos razlike od umanjika i umanjitelja Nepromjenljivost razlike Oduzimanje zbira od broja Brojni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem koji sadrže  promjenljivu (slovo) x Određivanje nepoznatog pribrojnika, umanjika i umanjitelja

-

Jednadžbe Zadaci za vježbu Nejednadžbe sa sabiranjem i oduzimanjem: x+ab;a+x>b;x+a≥b x–ab;x–a≥b;a–x>b Prva pismena zadaća 1 + 1 + 1 Množenje u prvom milonu kao sabiranje jednakih  pribrojnika Abakus (množenje jednoznamenkastim brojem) Nula i jedinica kao činioci (faktori) Dijeljenje kao obrnuta radnja množenju Jedinica i nula u dijaljenju Množenje broja dekadskom jedinicom Množenje brojeva koji se završavaju nulama Abakus (množenje broja dekadskom jedinicom) Dijeljenje broja dekadskom jedinicom Množenje zbira i razlike brojem (distributivnost množenja  prema

zbrajanju) -

Množenje razlike brojeva brojem Dijeljenje zbira i razlike brojem Zadaci za vježbu Pismeno (algoritamsko) množenje jednocifrenim brojem (2 sata) Pismeno (algoritamsko) dijeljenje jednocifrenim brojem (2 sata) Pismeno (algoritamsko) množenje brojeva dvocifrenim brojem (2 sata) Pismeno (algoritamsko) dijeljenje brojeva dvocifrenim brojem (2 sata) Druga pismena zadaća 1 + 1 + 1

-

Pismeno (algoritamsko) množenje trocifrenim brojem Osnovna svojstva množenja ( zamjena mjesta faktora – komutativnot) Združivanje faktora (činilaca) – asocijativnost Zavisnost proizvoda od faktora

-

Stalnost (nepromjenjivost) proizvoda Zavisnost količnika od djeljenika i djeljitelja Množenje i dijeljenje proizvoda brojem (veza noženja i dijeljenja) Množenje s olakšicama Neke cifre jednog faktora su nule 65

- Brojni izrazi u prvom milionu s množenjem i dijeljenjem, koji sadrže  promjenjivu (slovo) - Jednadžbe oblika a ×  x ;  x × a - Jednadžbe oblika x : a = b ; a : x = b - Izračunavanje nepoznatih djelilaca - Nejednadžbe a × x > b ; a × x ≥ b ; a × x < b ; a ×  x ≤ b ( 2 sata ) - Brojni izrazi s operacijama različitog reda - Brojevi veći od milion - Mjesna vrijednost cifri(znamenki) - Matematičke mozgalice - Legenda o šahovskoj ploči - Skup prirodnih brojeva (N) i skup No - Brojna poluprava u skupu brojeva No - Zanimljiva matematika -

Ugao(kut) Kraci i vrh ugla( kuta) Obilježavanje uglova(kutova) Upoređivanje uglova(kutova) Pravi ugao(kut); crtanje pravog ugla(kuta) Oštri( šiljasti) ugao(kut); crtanje oštrog(šiljastog) ugla(kuta) Tupi ugao(kuta); crtanje tupog ugla(kuta) Crtanje tangram figura Trougao(trokut) (stranice, vrhovi i uglovi(kutovi) trougla(trokuta)) Raznostranični trougao(trokut) Jednakostranični trougao(trokut) Jednakokraki trokut Crtanje jednakostraničnog i jednakokrakog trougao(trokut) (2 sata) Treća pismena zadaća (1+1+1)

Pravougli(pravokutni) trougao(trokut) Crtanje pravouglog(pravokutnog) trougla(trokuta) Obim(opseg) raznostraničnog trougla(trokuta) Obim(opseg) jednakokrakog trokuta Obim(opseg) jednakostraničnog trokuta Trougaoni (trokutni) oblici i trougaoni ( trokutni) brojevi Površina pravougaonika(pravokutnika) (modeliranje pravougaonika (  pravokutnika) od kvadrata) - Pravougaona (pravokutna) mreža - Jedinične mjere za površinu: kvadratni metar m² 66

-

kvadratni decimetar dm² kvadratni centimetar cm² kvadratni milimetar mm² AR (a) Veće jedinične mjere za površinu : hektar, kvadratni kilometar  Izračunavanje površine pravougaonika ( pravokutnika) Izračunavanje površine kvadrata Zadaci za vježbu

-

Mreža kvadra Mreža kocke Površina kvadra i kocke Izračunavanje površine kvadra i kocke Kvadratni brojevi i oblici Izračunavanje kvadrata broja iz njegovog prethodnika Zapremina kvadra i kocke Upoređivanje i mjerenje zapremine tijela Jedinične mjere za zapreminu Izračunavanje zapremine kvadra Izračunavanje zapremine kocke Zadaci iz prakse

- Četvrta pismena zadaća (1+1+1)

5.2. Metodička interpretacija nastavnog gradiva iz matematike od 1. do 5. razreda osnovne škole 5.2.1. Upoznavanje skupa i podskupa

Prije nego što se pristupi upoznavanju skupova u početnoj nastavi matematike potrebno je analizirati učeničko iskustvo kako bi se ustanovilo kakve spoznaje o skupovima učenici posjeduju. Ta analiza se najčešće provodi razgovorom o skupovima koje su učenici posmatrali u svojoj okolini. Tokom analize objasnit će se i značenje izraza skup, ukazujući da se njime koristimo 67

kako bismo iskazali skupljanje predmeta u jednu cjelinu, u skup. Osposobljavanje učenika u određivanju pripadnosti, odnosno nepripadnosti predmeta skupu izvodi se imenovanjem predmeta koji čine skup (jabuka, kruška, breskva) i isticanjem zajedničkog svojstva (voće). Skupove  predmeta najprije treba posmatrati, zatim imenovati predmete u njima te za svaki predmet utvrditi da li pripada ili ne pripada skupu koji se posmatra. Npr. skupu voća pripadaju kruška, jabuka, breskva, a ne pripadaju olovka, sveska, gumica. Prije upoznavanja o pripadnosti skupu treba utvrditi znaju li učenici neka svojstva predmeta. Posmatrajući neke predmete u učionici, otkrivat će se neka njihova svojstva kao što su oblik, veličina, boja, materijal. Kad učenici upoznaju neka svojstva predmeta moći će na osnovu toga odrediti pripada li neki predmet skupu ili ne pripada. Nakon mnogo takvih aktivnosti učenici će shvatiti da skup čine njegovi članovi, odnosno elementi. Veneov dijagram učenici će upoznati kao oznaku pripadnosti elemenata zadanom skupu. Elementi unutar crte pripadaju skupu, a oni izvan crte ne pripadaju skupu.  Nakon upoznavanja skupa, elemenata i grafičkog prikazivanja skupova, učenici će upoznati podskup kao dio skupa čiji elementi pripadaju zadanom skupu. Prvi korak pri upoznavanju podskupa može biti posmatranje skupova u okolini. Npr. u skupu učenika u razredu mogu se uočiti dječaci kao dio tj. podskup skupa učenika, ili u skupu voća uočava se skup jabuka kao podskup skupa voća, itd.  Nakon uočavanja podskupova u takvim skupovima, podskupove treba uočavati i u skupovima istovrsnih predmeta. Npr. u skupu kuglica uočava se  podskup crvenih kuglica. Prijelaz na grafičko prikazivanje podskupova za učenike će biti korak u apstrakciju. Pri upoznavanju podskupa valja voditi računa o pravilnom govornom obrazloženju odnosa skup-podskup, te učenike upućivati da izražavajući tu vezu riječima, uvijek navode i skup i njegov  podskup.

5.2.2. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 10

Postavlja se metodičko pitanje: da li početno formiranje pojmova  prirodnih brojeva provoditi u skupu do 10 ili u skupu do 5? Opredjeljujemo se za prvu mogućnost, jer je takav postupak u skladu s matematičkom sistematikom. Skup brojeva do 10 je dovoljno široka osnovica za početno upoznavanje relacija, te operacija sabiranja i oduzimanja brojeva. Takav  postupak uvažava i prethodno učeničko iskustvo s brojevima. Budući da su  brojevi apstrakcije, proizvodi mišljenja, njima se ne mogu izvoditi konkretne

68

operacije. To se mora činiti sa skupovima konkretnih predmeta kojima se  brojevi predočavaju. Osnovna predodžba vezana za prirodne brojeve je predodžba ekvivalentnih skupova koji uspostavljaju vezu između tih brojeva i njihove  primjene. Svrha rada s ekvivalentnim skupovima je izgraditi spoznaju o  prirodnom broju kao svojstvu brojnosti skupova. Da bi se to postiglo treba sastavljati skupove s jednako mnogo elemenata. Da bi se aktivnosti s ekvivalentnim skupovima mogle provoditi svaki bi učenik morao raspolagati odgovarajućom količinom didaktičkog materijala (plastični krugovi, trougaoi, kvadrati, kocke, štapići, kamenčići i sl.) iz kojih će formirati skupove s jednako mnogo elemenata. Svrsi može poslužiti i svaki matarijal koji učenici bez teškoća mogu slagati, premiještati, raspoređivati, stavljati u skupine i sl. 5.2.3. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 20

Prvi korak u upoznavanju brojeva do 20 je kratko rekapituliranje onoga što se naučilo o brojevima do 10: da označavaju količinu elemenata u skupovima, da svaki sljedeći broj nastaje iz prethodnog, da je svaki sljedeći broj za 1 veći od prethodnog, itd.Treba utvrditi znanje o odnosima brojeva do 10, upoređivanjem brojeva i ispravnom upotrebom odgovarajućeg znaka. Upoznavanje brojeva do 20 počinje konkretizacijom nastajanja brojeva druge desetice dodavanjem po jednog elementa, počevši od skupa koji sadrži 10 elemenata. U tu svrhu svaki učenik pred sebe stavlja skup od 10 elemenata, dodaje 1 element i dobija skup od 11 elemenata. Zatim skupu do 11 elemenata dodaje 1 element i dobija skup od 12 elemenata ... sve dok se ne formira skup od 20 elemenata.  Nastajanje niza brojeva od 20 upotpunjuje se govornim obrazlaganjem  procesa: deset i jedan je jedanaest i sl., što radu s didaktičkim materijalom daje  punu spoznajnu vrijednost. Upoznavanje nastajanja niza brojeva do 20 uključuje i zapisivanje toga procesa ciframa, čime se učenici istovremeno uvode u pisanje dvocifrenih brojeva. 5.2.4. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 100

Da bi se nastavio proces formiranja pojmova prirodnih brojeva , započet u prvom razredu, učeničku pažnju treba usmjeriti na skupove s jednako mnogo elemenata i njihovoj metodičkoj interpretaciji. Iako se radi o skupovima s većim brojem elemenata treba uložiti napor i formirati bar nekoliko  jednakobrojnih skupova s 23 ili 25 elemenata, te na osnovu toga ustanoviti da im se pridružuju jednaki brojevi, tj. 23, 25. Nastajanja niza brojeva do 100 treba metodički konkretizirati brojenjem štapića skupljajući ih po 10 u cjelinu –  69

deseticu. Time se omogućuje uvid u nastajanje niza brojeva i olakšava shvatanje  bitnog obilježja dekadskog sistema, tj. skupljanje po 10 jedinica nižeg reda u  jednu jedinicu višeg reda. Pri upoznavanju brojeva do 100 treba primijeniti  brojanje do 100. Da bi se takvo brojanje provelo metodički ispravno, svaki učenik treba imati skup od 100 ili više štapića. To bi trebao imati i nastavnik koji zajedno s učenicima sudjeluje u brojanju. Brojanje započinje od 1 uzimajući po 1 štapić, a kad se izbroji 10 štapića skupljaju se u cjelinu uz objašnjenje 10 štapića skupljamo u cjelinu koju nazivamo deseticom. Ističe se tvrdnja da bilo kojih deset predmeta skupljenih u cjelinu možemo nazvati deseticom: 10 učenika, 10 olovaka, itd. Nakon formiranja prve desetice brojanje se nastavlja na uobičajen način sve do 20, gdje se ponovo formira desetica i dobijaju se dvije desetice ili dvadeset. Proces  brojanja se nastavlja sve dok se ne formira 10 desetica, tj. dok se u brojanju ne dođe do broja 100. Kod broja 100, deset desetica skupljaju se u novu  jedinicu koju nazivamo stoticom. Takvom konkretizacijom učenici doista mogu vidjeti kako iz 10 jedinica nastaje 1 desetica,a iz 10 desetica 1 stotica. Prilikom  brojanja treba posvetiti pažnju brojevnim riječima i njihovom izgovaranju. Brojevne riječi treba izgovarati ispravno: trideset i jedan ili tridesetjedan,  pedeset i pet ili pedesetpet, itd. 5.2.5. Formiranje pojmova prirodnih brojeva do 1 000, 1 000 000 ... Skup prirodnih brojeva do 1 000 najčešće je materijalna podloga matematičkoh učenja u trećem, a brojevi do milion i više u četvrtom razredu osnovne škole. Zbog toga se, nakon ponavljanja gradiva iz prethodnog razreda, nastava matematike u tim razredima nastavlja upoznavanjem brojeva do 1 000, odnosno do 1 000 000. S obzirom na veličinu brojeva, glavnim sredstvom njihovog upoznavanja postaje znanje brojeva do 100, povećana mogućnost apstraktnog mišljenja učenika trećeg i četvrtkog razreda, te odgovarajuća metodička interpretacija sadržaja. Za brojeve koje učenici upoznaju u trećem i četvrtom razredu može se reći da su lišeni očigledne podloge koja bi  potkrijepila i pomogla proces spoznavanja. Glavni instrument spoznavanja je učenikovo mišljenje,a područje spoznavanja je područje racionalnog spoznavanja. Takva okolnost zahtijeva pažljivu metodičku interpretaciju i dobru organizaciju procesa učenja. Usvajajući brojeve do hiljadu i milion učenici se osposobljavaju da ih shvate kao oznaku količine odgovarajućih skupova. Izgrađuju se isti pojmovni sadržaji kakvi su se izgrađivali usvajanjem brojeva do 20 odnosno do 100. Tako se osigurava kontinuitet i jedinstvo matematičkog učenja u razrednoj nastavi. Razlika je samo što su veliki brojevi lišeni očigledne 70

 podloge, a to neposredno utječe na oblikovanje metodičke interpretacije. S obzirom na veličinu brojeva, koji se usvajaju i na povećanje mogućnosti učeničkog mišljenja, pri upoznavanju brojeva do hiljadu i dalje, veliku ulogu ima brojanje koje se izvodi isključivo mentalno, bez prisutnosti skupova  predmeta koji se broje. 5.2.6. Formiranje pojmova sabiranja i oduzimanja prirodnih brojeva Sabiranje i oduzimanje su prve operacije s brojevima koje učenici usvajaju u osnovnoj školi. Pojmovi sabiranja i oduzimanja prirodnih brojeva izvode se iz realnosti kako bi se u njoj mogli primjenjivati. Budući da su to operacije s pojmovnim objektima, spoznajni procesi ostvaruju se u kontinuitetu od konkretnog ka apstraktnom. Aktivnosti sa skupovima samo su sredstvo kojim se učenici osposobljavaju za operacije s brojevima, što je cilj matematičkog odgajanja i obrazovanja. Iako se u početnoj nastavi matematike teži spoznaji o povezanosti sabiranja i oduzimanja prirodnih brojeva, učenici se  prvo uvode u sabiranje, a zatim u oduzimanje. Kada se izgradi elementarna spoznaja o tim operacijama, one se povezuju u jedinstvenu spoznajnu cjelinu. 5.2.7. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 20

Prvo proširivanje sabiranja i oduzimanja brojeva je proširivanje na drugu deseticu, tj. na brojeve do 20. Time se ujedno zaokružuje opseg brojeva unutar kojih se najčešće sabira i oduzima u prvom razredu osnovne škole. Usvajaju se zadaci sabiranja i oduzimanja koji čine tzv. tablicu sabiranja i oduzimanja. Od usvojenosti tog nastavnog gradiva ovise učenička sabiranja i oduzimanja u idućim razredima i u usmenom i pismenom obliku. U sklopu sabiranja i oduzimanja učenici upoznaju i neka svojstva tih računskih operacija, kao što su komutativnost i asocijativnost sabiranja, inverznost operacija, ovisnost brojne vrijednosti zbira i razlike o članovima, itd. Gradivo sabiranja i oduzimanja do 20 ima slijedeći metodički raspored: a) sabiranje broja 10 i jednocifrenog broja, odnosno oduzimanje  jednocifrenog broja od dvocifrenog tako da razlika bude 10, npr. 10 + 4 odnosno 15 - 5;  b) sabiranje jednocifrenog i dvocifrenog broja čija je suma 20, odnosno oduzimanje jednocifrenog broja od 20, npr.14 + 6 odnosno 20 - 4;

71

c) sabiranje jednocifrenog i dvocifrenog broja, odnosno oduzimanje  jednocifrenog broja od dvocifrenog unutar druge desetice, npr. 13 + 4 odnosno 18 - 5; d) sabiranje i oduzimanje prelazeći deseticu, npr. 8 + 7, odnosno 15 - 8. Taj se metodički raspored zasniva na principu postupnosti prema kojem se u učenju polazi od jednostavnog ka složenom, od poznatog ka nepoznatom, što je zbog hijerarhijskog poretka građe početne nastave matematike vrlo značajno. Znanje jednostavnih sadržaja iz kojih su sastavljeni složeniji primjeri sabiranja i oduzimanja povezuju novo znanje sa prethodnim unoseći smisao u novu građu. Time se omogućuje lakše i brže učenje s većim razumijevanjem. 5.2.8. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 100 Gradivo ove cjeline obuhvaća tri osnovna sadržaja: a) sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, npr. 45 + 7, te oduzimanje  jednocifrenog broja od dvocifrenog, npr. 58 – 7;  b) sabiranje i oduzimanje dvocifrenih brojeva, npr. 45 + 23, odnosno 89 – 53; c) ostali sadržaji kao što su komutativnost i asocijativnost sabiranja, ovisnost zbira i razlike o članovima, oduzimanje kao obrnuta radnja sabiranja, transformacije jednakosti i jednačine, te nejednačine. Pri obradi tih sadržaja posebna se pažnja poklanja redoslijedu učenja,  povezanosti sabiranja i oduzimanja, postupcima sabiranja i oduzimanja, te stepenu na kojem su učenici usvojili građu. Sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, te oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog obuhvata: a) sabiranje višekratnika broja 10 i jednocifrenog broja, npr. 50 + 7;  b) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog, razlika je višekratnik  broja 10, npr. 68 – 8; c) sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, zbir jedinica manji od 10, npr. 63 + 5; d) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog, broj jedinica umanjenika veći je od broja jedinica umanjioca, npr. 58 – 5; e) sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, zbir jedinica je 10, npr. 54 + 6; f) oduzimanje jednocifrenog broja od višekratnika broja 10, npr. 70 – 8; g) sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, zbir jedinica veći je od 10, npr. 37 + 8; h) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog prelazeći deseticu, npr. 53 – 7. Sabiranje i oduzimanje dvocifrenih brojeva obuhvata: 72

a)  b) c) d)

sabiran sabiranje je i oduzima oduzimanje nje višekr višekratn atnika ika broj brojaa 10, npr. 50 + 30, 30, 90 – 40; 40; sabiranje dvocifrenog broja i višekratnika broja 10, npr. 43 + 20; oduzima oduzimanje nje višekr višekratn atnika ika broj brojaa 10 od dvocifr dvocifreno enogg broja, broja, npr. 75 – 30; 30; sabiranje sabiranje dvocifrenih dvocifrenih brojeva, brojeva, zbir zbir jedinic jedinicaa sabiraka sabiraka manji je od od 10, npr. 42 42 + 27; e) oduzima oduzimanje nje dvoci dvocifre frenih nih broje brojeva, va, broje broje jedin jedinica ica uman umanjen jenika ika veći veći je od broja broja  jedinica umanjioca, npr. 67 – 24; f) sabiran sabiranje je dvoci dvocifren frenih ih broje brojeva, va, zbir zbir jedi jedinic nicaa veći veći je od od 10, npr. 47 + 26; 26; g) oduzima oduzimanje nje dvoc dvocifre ifrenih nih broje brojeva va s prijel prijelazo azom m desetic desetice, e, npr. npr. 85 – 37. Ovakav metodički raspored učenja sabiranja i oduzimanja zasniva se na načelu  postupnosti, od jednostavnog ka složenijem, od lakšeg ka težem.

5.2.9. Sabiranje i oduzimanje brojeva do 1 000 i dalje Gradivo ove cjeline sadrži usmeno i pismeno računanje. Sve što učenici uče o sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju u prvom i drugom razredu obično se ubraja u usmeno računanje. U trećem razredu uči se i drugi postupak u računanju koji se zove pismeno računanje. Usmeno sabiranje i oduzimanje brojeva – Gradivo usmenog sabiranja i oduzimanja do 1 000 obuhvata ove sadržaje: sabiranje i oduzimanje više višekra kratni tnika ka broja broja 100 100,, sabir sabiranj anjee troci trocifr fren enog og i jedno jednoci cifre frenog nog broja broja,, oduzimanje jednocifenog od trocifrenog broja, sabiranje trocifrenog broja i višekratnika broja 10, oduzimanje višekratnika broja 10 od trocifrenog  broja, sabiranje trocifrenog i dvocifrenog broja, oduzimanje dvocifrenog od trocifrenog broja, te sabiranje i oduzimanje trocifrenih brojeva. Pism Pismen enoo sab abir iran anje je broj brojev evaa – Prv Prvi ko kora rakk u pisme ismeno no račun ačunaanje nje je upoznavanje postupka pismenog sabiranja. Gradivo pismenog sabiranja ima slijedeći metodički raspored: sabiranje brojeva u kojih zbir faktora odgovarajućih dekadskih jedinica nije veći od 9, sabiranje brojeva u kojih  je zbir faktora jedinica veći od 9, sabiranje brojeva u kojih je zbir desetica veći od 9, sabiranje brojeva u kojih su zbirovi faktora jedinica i faktora desetica veći od 9 i sabiranje u kojih su zbirovi faktora nekih ili svih dekadskih jedinica veći od 9. Pismeno oduzimanje brojeva – Pismeno oduzimanje brojeva se nastavlja na pismeno sabiranje brojeva, s kojima ima nekoliko zajedničkih faktora. Metodički raspored pismenog oduzimanja je slijedeći: oduzimanje brojeva kod kojih su faktori svih dekadskih jedinica umanjenika veći od faktora odgovarajućih dekadskih jedinica umanjilaca, oduzimanje brojeva kod kojih je faktor jedinica kod umanjenika manji od faktora jedinica kod •

•

•

73

uman umanjijila laca ca,, od oduz uzim iman anje je broj brojev evaa ko kodd ko kojijihh je fakt faktor or de dese setitica ca ko kodd uman umanje jeni nika ka manj manjii od faktor faktoraa de dese setitica ca kod umja umjanj njililac aca, a, odu oduzi zima manj njee  brojeva kod kojih su faktori jedinica i faktori desetica kod umanjenika manji od tih faktora kod umanjilaca, te oduzimanje brojeva kod kojih su faktori nekih dekadskih jedinica kod umanjenika nule. nu le. 5.2.10. Formiranje pojmova množenja i dijeljenja prirodnih brojeva Pojmov Pojm ovii množ množen enja ja i dije dijeljljen enja ja prir prirod odni nihh broj brojev eva, a, ka kaoo i po pojm jmov ovii sabiranja i oduzimanja, izvode se iz realnosti, a konkretiziraju se odgovarajućim aktivnostima sa skupovima. Spoznajni proces ostvaruje se napredovanjem od konk ko nkre retn tnog og ka apstr pstraaktno ktnom, m, a zat zatim ka primj rimjen enii zna nanj njaa u rje rješava šavanj njuu odgovarajućih odgovarajućih zadataka iz života. života. Dvije su karakterist karakteristične ične skupine aktivnosti aktivnosti u formiranju tih pojmova: aktivnosti na razini konkretnosti (skupovima predmeta) i ak aktitivno vnost stii na razi razini ni apstr apstrak aktno tnost stii (broj (brojev evim ima) a).. S obzir obzirom om na pret prethod hodno no matematičko obrazovanje i stupanj intelektualne razvijenosti učenika trećeg razreda, aktivnosti sa skupovima nisu i ne moraju biti tako bogate kao pri formiranju pojmova sabiranja i oduzimanja. Ipak, te aktivnosti imaju određeno mjesto i ulogu u shvatanju množenja i dijeljenja brojeva. Iako se teži spoznaji o  povezivanju množenja i dijeljenja, najprije se usvaja množenje, a zatim dijeljenje brojeva.  Nakon početnog usvajanja daljim radom izgrađuju se spoznaje o  povezanosti množenja i dijeljenja, množenja i sabiranja, te dijeljenja i oduzimanja. Da bi se izgradile, dijeljenje se obrazlaže množenjem, množenje se  prikazuje uzastopnim sabiranjem, a dijeljenje uzastopnim oduzimanjem istog  broja. Tako se izgrađuje spoznajna cijelina o vezi računskih računsk ih operacija prirodnim  brojevima.

5.2.11. Množenje i dijeljenje brojeva do 1 000 Skup prirodnih brojeva do 1 000 i više od 1 000 je podloga proširivanju učen uč enič ičkog kog zn znan anja ja o množe množenj njuu i dije dijeljljen enju ju broje brojeva va.. Učeni Učenici ci uč učee slož složen enijijee  primjere množenja i dijeljenja koji se u praksi obično nazivaju usmenim odnosno pismenim množenjem i dijeljenjem. Usme Usmeno no množe množenj njee i dije dijeljljen enje je broje brojeva va – To su prim primje jeri ri množ množen enja ja i dijeljenja koji se izvode tako da se brojevi na različite načine rastavljaju, •

74

•

•

 pri čemu se najčešće zapisuje samo rezultat. Sadržaj obuhvata množenje  brojeva dekadskom jedinicom, množenje višekratnika brojeva 10 i 100  jednocifrenim brojem, dijeljenje višekratnika brojeva 10 i 100 brojevima 10 i 10 100. 0. Glav Glavna na pret pretpo post stav avka ka za usva usvaja janj njee na nave vede deni nihh sadr sadrža žaja ja je auto au toma matitizi zira rano no zn znan anje je tabl tablic icaa množe množenj njaa i dije dijeljljen enja ja te zn znan anje je nekih nekih svojstava tih računskih operacija. Pismeno množenje brojeva - Metodički raspored pismenog množenja  brojeva obuhvata nekoliko karakterističnih skupina zadataka: množenje višecifrenog broja jednocifrenim, množenje dvocifrenih brojeva, množenje trocifrenih brojeva, množenje višecifrenih brojeva, te skraćeni postupci množenja. Ovakav raspored obrade postupno uvodi učenike u pismeno množenje, a znanje prethodnih sadržaja je uvjet i sredstvo za usvajanje množenja višecifrenih brojeva. Pismeno dijeljenje brojeva- Praksa početne nastave matematike pokazuje da učenje pismenog dijeljenja nekim učenicima stvara prilične teškoće kojje se mogu ko mogu svesti na dva gla glava uzroka roka,, a to su: nedost ostatak odgovarajućeg predznanja i teškoće u pronalaženju djelimičnih količnika. Zasnovan na postupnosti, metodički raspored obuhvata: dijeljenje brojeva u kojih su faktori svih dekadskih jedinica djeljivi djeliteljem i dijeljenje  brojeva u kojih faktori pojedinih dekadskih jedinica nisu djeljivi djeliteljem. 5.2.12. Formiranje osnovnih geometrijskih pojmova

Zadatak početne nastave matematike je izgraditi kod učenika osnovne spoznaje o oblicima i odnosima u prostoru., te formirati osnovne geometrijske  pojmove. Formiranje osvnovnih geometrijskih pojmova temelji se na realnosti i na vlastitoj aktivnosti učenika. Važan zadatak početne nastave geometrije je razv razvijijan anje je spos sposob obno nost stii po posm smat atra ranj njaa ko kojijim m uč učen enic icii stje stječu ču pe perc rcep eptitivn vnoo predodžbeni materijal potreban za misaonu elaboraciju geometrijskih geom etrijskih pojmova. po jmova. Posmatranjem učenici otkrivaju i upoređuju oblike predmeta, uočavaju sličnosti i različitosti, te procjenjuju čime se potiče njihov misaoni rad. Početna nastava geometrije također ima zadatak razvijati inteletkualne sposobnosti učenika, naročito mišljenje, pažnju, pamćenje i dr. Formiranje poj pojmova obl oblika u pro prostoru – Bud Budući da ob oblike u pro prostoru učen uč enic icii upo upozn znaj ajuu pomoću pomoću predm predmet etaa iz ne nepos posre redne dne oko okoliline ne,, na najp jpri rije je treb trebaa upoznati pojedine predmete, ukazati na njihovu funkciju i ime. Kad se upoznaju oblici iz okoline, izdvajaju se predmeti oblika kocke, kugle, valjka, kvadra ( razne kutije, lopte, konzerve, modeli geometrijskih tijela, itd.). Sljedeći korak u upoznavanju oblika je upoznavanje kruga, pravougaonika, kvadrata i trougla. 75

Formiranje pojmova odnosa u prostoru – Upoznavanje prostora  proširuje se formiranjem pojmova o odnosima među predmetima pr edmetima u prostoru. To su odnosi lijevo-desno, ispred-iza, gore-dolje, između. Upoznavanjem odnosa u  prostoru učenici se osposobljavaju osp osobljavaju u orjentaciji u prostoru. p rostoru. Formiranje pojmova odn dnos osaa u pro prostoru zasni sniva se na pret retho hodn dnom om učeničkom iskust ustvu i odgovarajućim aktivnostima od kojih su glavne posmatranje odnosa među  predmetima i kretanje u prostoru. Na osnovu toga i na osnovu nastavnikova objašnjenja učenici se osposobljavaju u razumijevanju i pravilnom imenovanju osnovnih prostornih relacija. Formiranje pojma dužina – Upoznavanje dužine započinje upoznavanjem crte o kojoj učenici na početku školovanja imaju već prilično iskustvo. Crta nastaje kao trag predmeta te se može demonstrirati crtajući po  pijesku, crtajući kredom na ploči, olovkom na papiru. Iako su to mnogo puta činili, svi učenici trebaju učiniti tragove odnosno crte, uočavajući pri tome da crte nastaju kao tragovi predmeta koji se giba. Formiranje pojmova površina i ravan – Usvajajući pojam površine (plohe) kod učenika se izgrađuje spoznaja o površini kao granici između  predmeta i okoline. Površina je granica koja odvaja predmet od okoline, odnosno površina je ono što na predmetima vidimo. Postoje ravne i zakrivljene  površine te one u raznim položajima (vodoravnom, uspravnom, kosom). Spoznaje o površini podloga su za formiranje pojma ravan i pojma likova u ravni. Glavni oblici rada su posmatranje i demonstracija različitih površina na  predmetima u neposrednoj okolini. Formiranje poj pojmova kru kružnica i kru krug – Upoznavanje kru kružnice i kru kruga uključuje ove spoznaje: kružnica (skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od neke tačke ravni), krug (dio ravni omeđen kružnicom), središte kružnice i kruga, poluprečnik (dužina koja spaja središte kružnice i kruga s jednom tačkom kružnice), prečnik (dužina koja prolazi kroz središte kružnice, a krajnje tačke su joj na kružnici), te crtanje kruga, kružnice, poluprečnika i prečnika.  Najprije učenike treba osposobiti osposo biti da se koriste šestarom. Nakon toga učenici će crta crtatiti kružn kružnic icee razl različ ičititih ih prečn prečnika ika i to tako tako da na najp jpri rije je crta crtaju ju kružni kružnice ce s  prečnicima koji sami odaberu. Poslije toga crtat će kružnice sa poluprečnikom zadane dužine. Radeći tako osposobit će se u crtanju kružnice šestarom, a to će ujedno biti podloga usvajanja bitnih sadržaja pojma kružnica. Formi rmiran ranje po pojma ug ugaao – For Form mirajuć ućii po pojam ug ugao, uč učenici će će po postupn pnoo usvajati bitne oznake njegova sadržaja: ugao je dio ravni omeđen dvama  polupravcima sa zajedničkom tačkom, nastaje vrtnjom v rtnjom polupravca oko početne tačke, a veličina ugla zavisi o veličini zaokreta. Upoznat će se vrste uglova:  pravi ugao, ug ao, oštri ugao, tupi ugao. Kad se upozna sadržaj pojma ugao, usvaja se način na koji se crtaju te imena pojedini elemenata ugla, kao što su vrh ugla, 76

kraci, rubne tačke, unutrašnje i vanjske tačke. Osim toga učenici će upoznati uglove trougaoa i pravougaonika. Formiranje poj pojma mje mjerenje vel veličina – U pro programu poč početne nas nastave matematike nalaze se i sadržaji usvajanjem kojih se učenici osposobljavaju u mjerenju veličina kao što su dužina površina, zapremina, masa, vrijeme. Kad god se matematičko znanje primjenjuje u rješavanju zadataka iz života, u  početnoj nastavi matematike to je najčešće povezuje uz različite veličine. Stoga  je operiranje veličinama, mjerenje i računanje, značajan dio matematičkog obrazovanja učenika.

6. METODE ISTRAŽIVANJA U MATEMATICI I U NASATAVI MATEMATIKE

U ovom dijelu razmotrit će se mogućnosti primjene istraživačke metode u nastavi matematike i iznijeti uvjeti nužni za njenu uspješnu primjenu. Istraživačka metoda je strategija poučavanja kojom se učenik stavlja u situaciju da samostalnim radom i samostalnim mišljenjem usvaja nova znanja. Istraživačka metoda označava nastavni postupak u kojemu učenici samostalno samostalno usvajaju ova znanja, znanja, tj. samostalno samostalno otkrivaju i pronalaze pronalaze za njih nove matematičke činjenice. 77

U nastavi matematike poželjno je da i učenici postavljaju  pitanja/ probleme.  probleme. Međutim, Međutim, u većini slučajeva slučajeva to će biti učiteljev učiteljev zadatak. zadatak. Učenikov istraživački rad u nastavi matematike svodi se na otkrivanje matematičkih činjenica, postupaka, pravila i zakonitosti. To svaki učenik radi samostalno, primjenjujući misaone radnje.

6.1. Metoda praktičnih i labaratorijskih radova Meto Metoda da prakt praktič ični nihh radov radovaa se u didak didaktitičk čkoj oj lite litera ratur turii čest čestoo na nazi ziva va labo labora rato tori rijs jsko kom m meto metodo dom. m. (Dr. (Dr.V. V. Po Poljljak ak.1 .198 985. 5.). ). Meto Metoda da prak praktitičn čnih ih i laba labara rato tori rijs jski kihh radov radovaa koriš korište tena na je uspj uspješ ešno no toko tokom m 19 19.. stol stolje jeća ća.. Pos Poseb ebnu nu vrijednost ove metode učili su predstavnici pedagoško-reformskog pokreta pod nazivom radna škola, početkom 20.stoljeća. Kao kritičari dotadašnje: knjiške, verbalne, formalističke škole, odvojene od života, oni su tražili da učenici ne samo steknu znanje već da ih i praktično primjene. 6.1.1. Praktični radovi "Praktični rad je aktivan odnos čovjeka prema materiji i prirodi uopće radi njezina mijenjanja, pa, prema tome metoda praktičnih radova znači način rada nastavnika i učenika učenika na konkretnoj materiji. " V. Poljak ( 1985.) Pored stjecanja znanja praktičnim radom formiraju se vještine sto se  postiže čestim ponavljanjem , a na taj način se stječu i psihomotorne sposobnosti sposobnosti da se lakše i brže obavi neka neka radnja. radnja. Praktični Praktični radovi radovi se logički izvode poslije teorijske obrade nekih cjelina. Mogu se izvoditi u učeničkoj nastavi , u kabinetima , radionicama, školskom vrtu, u preduzećima, kulturnim ustanovama itd. Za izvođenje praktičnog rada mogu se izvoditi redovni nastavni časovi,  posebni dani , jedna radna sedmica. Tokom pripremanja radnih zadataka , nastavnik mora voditi računa o njihovoj didaktičkoj funkciji. Potrebno je da prouči odgojno- obrazovni sadržaj i izabere zadatke koji se pogodno mogu ostvariti praktičnim radom. Realizacija može biti povjerena i nekom licu sa strane (mentoru) koji nadzire praktičnu aktivnost učenika, savjetuje ga, upućuje , koriguje. Za izvođenje praktičnog rada neophodno je obezbijediti: materiju , energiju, organ rada i oruđe za rad.

Kao prvo važno je obezbijediti materiju ( papir, plastičnu masu, drvo, metal , staklo itd) 78

Od energije nužno je obezbijediti mehaničku ili pogonsku energiju.  Najčešći organ praktičnog rada kod čovjeka je ruka, zato ćemo prvenstveno kao organ praktičnog rada koristiti ruku. Od oruđa za praktični rad treba pripremiti razne vrste neophodnih alatki. Uspjeh primjenom metode praktičnih radova zavisit će od teorijskog nivoa nastave i same organizacije praktičnog djela, od toga koliko je upućen mentor u rad sa učenicima. 6.1.2. Laboratorijski radovi Dr. Marijan Kaletić ( 1969.) navodi: "... da je to metoda u nastavi u kojoj učenici samostalno promatraju predmete i pojave,izvode kvalitativne i kvantitativne pokuse u svrhu provjeravanja stečenih znanja ili u svrhu dokazivanja iskustvenog materijala koji će poslužiti kao osnova, gdje učenici izvode samostalne istraživačke radove, u kojima oni samostalno ispituju pojave varirajući im uvjete." Njen smisao je u tome da učenici rade na određenom materijalu sa odgovarajućim sredstvima kako bi se taj materijal bolje upoznao. Kad je u pitanju cilj koji se želi postići laboratorijskim radom potrebno  je odrediti koja znanja i vještine treba ostvariti kod učenika i koje značenje ima taj rad u razvijanju sposobnosti samostalnog rada. Plan laboratorijskog rada ima obično tri etape: a) priprema za određeni rad  b) izvođenje praktičnog rada i c) obrada i vrjednovanje dobivenih rezultata. 6.1.3. Prednosti i nedostaci metode praktičnih i laboratorijskih radova

Prednosti metode praktičnih radova ogleda se u sljedećem: • •

•

•

 podiže se kvalitet rada ova metoda omogućuje da učenici neposredno upoznaju stvarnost i da se približe životu formiraju se brojne vještine i navike u rukovanju alatima,  priborima, instrumentima  povećava interes za rad, podiže motivaciju 79

• •

 potiče razvoj samostalnosti i samopouzdanja kod učenika  povećava se razvoj svjesne discipline i odgovornosti

Slabosti i ograničenja ogledaju se u sljedećem: •

•

•

•

 primjena ove metode zahtijeva dobru opremljenost škole nastavnim sredstvima, aparatima, priborom i materijalom da bi primijenio ovu metodu nastavnik se mora dobro pripremiti, a mora pripremiti i učenike što iziskuje dosta vremena ukoliko se radi o opasnim materijalima za život djece i nastavnika ne smiju se izvoditi eksperimenti neekonomična je i traži vrijeme i dosta materijala , što se u današnjim našim skolama teško bezbjeđuje.

6.1.4. Metoda ilustrativnih radova Metoda ilustrativnih radova je način rada nastavnika i učenika gdje se  pojedini dijelovi nastavnih sadržaja izražavaju crtežom. Crtanje predstavlja čovjekovu potrebu da linijama i bojama izrazi svoje  predstave o svijetu koji ga okružuje.Na učeničkim sposobnostima crtanja zasniva se upotreba metode ilustrativnih radova u nastavi. Elementi crteža su crte ili linije, a crtež predstavlja bogastvo linija. Za crtanje je neophodno obezbijediti određene materijale i sredstva. U mnogim naukama upotrebljavaju se brojni ugovoreni grafički znaci koji na jednostavan i sažet način saopćavaju da se radi o određenim mislima, idejama i predmetima. Kvantitativni odnosi se prikazuju grafikonima i dijagramima.  Npr. dva stubića različite visine mogu prikazati proizvodnju u jednoj privrednoj grani dvije godine ili različute vidove proizvodnje u jednoj godini.Učenici dobijaju vizuelnu sliku jedne pojave što doprinosi lakšem pamćenju količinskih odnosa. Šematsko crtanje  pogodno je za prikazivanje strukturne ili prostorne relacije kod predmeta ili određenh situacija.Ovo crtanje naziva se još i rendgensko. Crtanje na temelju promatranja i predodžbi predmeta  primjenjuje

se kad je potrebno da učenici usvoje tačnu morfološku stranu objektivne stvarnosti. 80

Konkretizacija apstrakcije je učenicima najteži oblik crtanja.Nastavnik često crta crteže na tabli . On objašnjava učenicima šta crta i upućuje ih da lakše shvate šta se crtežom želi prikazati.Jednostavnije crteže će raditi na času, a složenije kod kuće i donijeti gotove u školu.Često se kao ilustrativni materijal mogu koristiti i fotografije i slike.Moraju biti dovoljno velike.One moraju zadovoljiti određene zahtjeve i moraju imati estetsku vrijednost, širinu i dubinu. Prednosti metode ilustrativnih radova : •

•

•

• •

metoda ilustrativnih radova pomaže da se složenije pojave i procesi  prikažu jednostavnije i da se lakše razumiju pomoću crteža i brže zapamte dopušta samo prikazivanje bitnih odlika nekog predmeta ili pojave bez  prikazvanja ostalih detalja uspješnije se mogu prikazati neki procesi ( npr rad termoelektrane, hidroelektrane i sl.)  brže zapamćivanje sadržaja jer je uključeno i čulo vida  podstiče učenike na samostalnost i navikava da prikazuju pojave grafički Slabosti i nedostaci u primjeni metode ilustrativnih radova

•

•

•

•

njome se ne mogu objasniti neki apstraktni pojmovi kao što su : emotivna stanja npr: radost, tuga, misli, ideje itd. da bi učenici razumjeli šeme i druge vrste crteža, oni trebaju imati jako razvijeno apstraktno mišljenje da bi crtali na času, nastavnik i učenik moraju odvojiti vrijeme od časa i drugih aktivnosti često je uz crtež potrebno pismeno ili usmeno obrazloženje, jer on sam za sebe nije dovoljan 7. POSMATRANJE I EKSPERIMENT U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE

 Na promjene u savremenoj nastavi matematike utječe i primjena tehnologije u obrazovanju. Kompjuter u nastavu matematike donosi mogućnosti  poput eksperimenta, čime se omogućuje veća aktivnost učenika u usvajanju 81

novih sadržaja i matematičkih koncepata. Ovaj dio je popraćen primjerima za eksperimentalno učenje u nastavi matematike. Dat ćemo neke faktore koji mogu utjecati na sadržajne i funkcionalne ciljeve u nastavi matematike. To su, naprimjer, rezultati naučnih studija iz  područja metodike nastave matematike te zahtjevi raznih međunarodnih ispitivanja poput PISA-e(vidi dalje str. 68) U vrijeme velikih kurikulumskih promjena, ne samo u Bosni i Hercegovini, nego i u svijetu, kada se pišu novi standardi i mijenjaju programi stari desetljećima, treba dobro razmisliti kakva bi trebala biti nastava matematike u današnjem vremenu. Svjetska istraživanja i studije iz područja metodike nastave matematike donose važne zaključke o tom pitanju. Ti zaključci utječu na promjene kurikuluma u zemljama u kojima ti stručnjaci djeluju. S druge strane, na nove  planove utječu i velika međunarodna istraživanja znanja poput TIMSS-a i PISA-e. PISA ispitivanje je već utjecalo na prosvjetne i političke vlasti  pojedinih zemalja da okrenu plan i program u smjeru zahtjeva PISA natjecanja s ciljem što boljeg plasmana na sljedećem natjecanju, ali i s ciljem ispunjavanja novih matematičkih zahtjeva koje vrijeme u kojem se nalazimo zahtijeva od učenika. Uz rezultate studija iz područja metodike početne nastave matematike i obrazovanja općenito te uz zahtjeve međunarodnih istraživanja, savremena nastava matematike se suočava i s mogućnostima novih tehnologija, s uvođenjem računara u nastavu te s promjenama koje nastaju u nastavi matematike uvođenjem računara i njegovih mogućnosti. Dat je pregled nekih novosti i suvremenih pitanja s kojima se susreće nastava matematike u današnjem informacijsko-komunikacijskom vremenu, uz neke smjernice kojima metodički autoriteti i nadležne organizacije predlažu  promjene u nastavi matematike. 7.1. Nastava matematike u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti

Uz promjene u društvu u kojem živimo mijenja se i sistem obrazovanja, a u promjenama sistema obrazovanja, naravno, nije pošteđena ni nastava matematike. Zapravo, ne samo da svjedočimo novim situacijama u nastavi matematike, već se i sama matematika kao naučna disciplina uveliko razvila od svojih početaka. Iako začeci današnje matematike sežu još u stari Egipat i Babilon, tada  je matematika uglavnom bila shvaćena kao isključivo primijenjena disciplina, naprimjer, kroz korisne formule za zapreminu poznatih tijela i sl. matematika kao deduktivna naučna disciplina razvija se u vrijeme stare Grčke, uglavnom 82

kroz geometriju. Arapi preuzimaju znanja starih Grka (geometrija) i Indijaca (aritmetika) i u procvatu svoje kulture od 9. do 14. st. se svojim osvajanjima šire na Zapad. Evropljani se tada upoznaju s arapskom matematikom koja je bila uveliko naprednija od evropske, pogotovo u području zapisa brojeva i računanja. Naime, tada su u Evropi bile u upotrebi rimske brojke koje su polako  bivale istisnute od strane arapskih. U stoljećima koja slijede, uglavnom su se  prevodili i izučavali stari matematički spisi, a od 16. stoljeća Europa doživljava  procvat i tada nastaje moderna matematika. Osnovne matematičke discipline su aritmetika, algebra, geometrija, matematička analiza, matematička logika, teorija skupova, teorija vjerojatnosti,kombinatorika i dr. (Gusić, 1995.) Razvojem matematike kroz stoljeća čovjek bi očekivao da su se događale i paralelne modifikacije sadržaja u nastavi matematike. No, nije tako.  Naprimjer, modernije matematičke discipline poput vjerovatnoće i statistike su se tek nedavno (i to u vrlo malom obimu) uvrstile u matematički plan u Bosni i Hercegovini, iako se, kako u svakodnevici, tako i u međunarodnim istraživanjima, takvo znanje traži u velikoj mjeri. Uostalom, metodika nastave matematike u mnogim zemljama i matematičkim krugovima još nije ni  prihvaćena kao naučna disciplina, ne ulaže se u istraživanja iz ovog važnog  područja, ne postoje svugdje poslijediplomski znanstveni studiji iz metodike nastave matematike koji bi bili rasadnici novih stručnjaka i garancija zauzimanja za primjerenu satnicu i kvalitetne planove u cijeloj obrazovnoj vertikali. Savremena nastava matematike(i nastava uopće) se obično opisuje kao nastava orijentirana prema učenicima, što znači da se dosadašnja dominantna uloga nastavnika stavlja u drugi plan, a povećava se učenikova aktivnost u nastavi matematike, posebno kroz eksperiment u nastavi (učenje otkrivanjem). Time nastavnik nije više u poziciji glavnog aktera prijenosa znanja, već postaje koordinator i organizator nastavnog procesa. Uz to, tendencija je podsticati odgovornost učenika za vlastiti uspjeh i napredovanje u matematici. Među studijama europskih stručnjaka za metodiku nastave matematike zanimljivo je istaknuti ideju prof. dr. Rolanda Fischera, suvremenog austrijskog metodičara za nastavu matematike, čije se ideje mogu primijeniti i na druga  područja i na širi koncept. On u svom radu  Höhere Allgemeinbildung (Više opće obrazovanje) ističe tri razine znanja: osnovno znanje, operiranje i refleksiju. Za današnju nastavu matematike je svojstveno da se snažan naglasak stavlja na znanja operiranja koja su kao posljedica toga često svedena na gotove recepte bez imalo razumijevanja. Uvodni dijelovi gradiva se u nastavi izvedu na  brzinu, zatim slijedi najveći udio posvećen operiranju, a za poticanje refleksije i diskusija uglavnom više nema vremena. Prof. Fischer ističe da naglasak u opštem obrazovanju treba staviti na osnovna znanja i na refleksiju, a da čisto operiranje treba prepustiti stručnjacima. Ako govorimo o primjeni računara u nastavi matematike, operiranja bi najvećim dijelom trebalo prepustiti „stručnjacima“, tj. računarima ili kalkulatorima, dok bi refleksivna promišljanja o rješenju opet trebalo prebaciti na učenike i na taj dio stavljati naglasak u 83

nastavi. Suvremena nastava matematike teži većoj zastupljenosti pitanja otvorenog tipa. Od učenika se tako očekuju sposobnosti tačnog obrazloženja odgovora, argumentacije i dubljeg shvaćanja matematičkog sadržaja. 7.2. "PISA" studija i matematička pismenost

PISA (Programme for International Student Assessment) je program međunarodnog procjenjivanja znanja i vještina učenika koji su zajednički razvile zemlje članice organizacije OECD-a (Organisation for Economic Cooperation and Development). Cilj razvoja i uvođenja programa PISA je  bio „utvrđivanje stupnja do kojeg su učenici koji se bliže završetku obaveznog  obrazovanja usvojili neka znanja i stekli kvalifikacije koje su neophodne za njihovo potpuno uključivanje u društvo“ (PISA/OECD Framework).

Prvo međunarodno PISA istraživanje organizirano je 2000. godine, a nakon toga se sprovodi svake treće godine i ispituje čitalačku, matematičku  pismenost. Dvije trećine svakog ispitivanja posvećuju se tzv. „glavnoj“ domeni. Tako je glavna domena 2000. godine bila čitalačka pismenost, 2003. matematička pismenost, a 2006. godine prirodoslovna pismenost. Sljedeći put, u  proljeće 2009. godine, kreće se opet s čitalačkom pismenošću kao glavnim  područjem i tako redom. Detaljnije informacije o PISA natjecanju mogu se naći u knjizi M. Braš Roth i dr. (2008.) „PISA 2006. Prirodoslovne kompetencije za život“. OECD opisuje matematičku pismenost kao “... sposobnost pojedinca da  prepozna i razumije ulogu koju matematika ima u svijetu, da donosi dobro utemeljene odluke i da primjenjuje matematiku na načine koji odgovaraju  potrebama života tog pojedinca kao konstruktivnog, zainteresiranog i  promišljajućeg građanina.” (Braš Roth i dr., 2008., str. 124) Da bi se

matematička pismenost što preciznije “izmjerila”, razvijena je teoretska osnova PISA matematičke pismenosti koja se sastoji od tri komponente: matematičkog sadržaja koji petnaestogodišnji učenik treba poznavati, skupine kompetencija koje učenik treba imati razvijene te situacija (konteksta) u koje je smješten zadatak. Ovakav prioritet u matematičkim zadacima je nov s obzirom na kurikulumske zahtjeve. Neke zemlje su, nakon dubljih analiza, zaključile da iz PISA zadataka treba neke sadržaje i kompetencije uzeti u nastavu pa su prema tome, više ili manje drastično, mijenjale svoje kurikulume. U Bosni i Hercegovini praksa vanjskog vrednovanja kvalitete znanja, kako u matematici, tako ni u drugim predmetnim i znanstvenim područjima nije  još uhodana. Ipak, u 2007. godini Bosna i Hercegovina prvi put je sudjelovala u 84

TIMSS istraživanju koje mjeri i upoređuje rezultate učenika u matematici i  prirodnim znanostima na međunarodnoj razini. U TIMSS istraživanju sudjeluju učenici četvrtih i osmih razreda (izuzetno petih i devetih u slučaju takvog tipa osnovne škole), a rezultati se prikazuju na bodovnoj skali od 0 do 1000 bodova. U TIMSS-u 2007. sudjelovalo je 58 zemalja, a u Bosni i Hercegovini sudjelovali su samo učenici osmih razreda. Ovaj projekt je osmišljen tako da se unaprijed u svakom području ispitivanja definiraju sadržajna i kognitivna područja koja bi morala činiti zajedničku jezgru svih kurikuluma zemalja koje sudjeluju (ujedno i zajedničku  jezgru koja određuje najvažnija područja datog predmetnog područja). Tako su i u matematici definirana sadržajna područja matematike, ali i kognitivna  područja koja se ispituju. Za četvrte razrede osnovne škole sadržajna su  područja (a) brojevi, (b) geometrijski oblici i mjerenja i (c) prikaz podataka. Od  područja kognitivnih procesa koji se promatraju to su (a) znanje, (b) primjena i (c) razumijevanje. Za osme razrede sadržajna su područja (a) brojevi, (b) algebra, (c) geometrija i (d) podaci i vjerojatnost, a kognitivna su područja ista kao i u četvrtom razredu, (a) znanje, (b) primjena i (c) razumijevanje. Prosječan rezultat učenika osmih razreda u Bosni i Hercegovini je bio 456 bodova, čime je Bosna i Hercegovina plasirana malo ispod sredine ljestvice zemalja koje su sudjelovale. Najbolje plasirana država u konkurenciji osmih razreda je imala 598 bodova (Taipei), a najlošije plasirana 307 (Katar). Promatrano po sadržajnim ili kognitivnim područjima bodove učenika u Bosni i Hercegovini možemo prikazati: u području brojeva 451 bod; algebra 475  bodova, geometrija 451 bod, podaci i vjerojatnost 437 bodova, znanje 440,  primjena 478 i razumijevanje 452. U svim navedenim kategorijama, kao i cjelokupno, Bosna i Hercegovina svrstana je u zemlje s prosjekom statistički značajno ispod TIMSS-ovog mjernog prosjeka koji je 500 bodova ili 50% ukupnih bodova. (Mullis, Martin i Foy, 2008) Svi pokazatelji iz TIMSS 2007. projekta ukazuju na slab uspjeh učenika u matematici, posebno kada se traži njezina primjena u konkretnim  problemskim situacijama. Znanja i kompetencije učenika svode se uglavnom na reprodukciju, bilo činjenica, bilo postupaka računanja. Takvi rezultati ne mogu nas zadovoljiti i pokazuju potrebu da se i dalje vrše intenzivni napori kako bi se  podigla kvaliteta matematičkih znanja i kompetencija učenika na svim razinama.

85

7.3. Eksperiment u nastavi matematike

Savremena nastava matematike teži većoj orijentaciji prema učenicima, što znači da se povećava učenikova aktivnost u nastavi, posebno kroz eksperiment u nastavi. Tradicionalna nastava matematike se uglavnom oslanja(la) na nastavnika kao predavača te učenike koji potom samostalno rješavaju zadatke. Drugim riječima, učenik je imao pasivnu ulogu prilikom stjecanja novog znanja. Učenje otkrivanjem se odnosi na mogućnost da učenici samostalno, kroz eksperimentiranje, dođu do novih spoznaja, ideja i rješenja  problema. Eksperimentalan rad ima važno mjesto u metodici matematike, jer je  povezan s heurističkim strategijama i idejama . Heuristička metoda se odnosi na vođenje, poticanje i usmjeravanje učeničkih ideja na pronalaženje rješenja  problema i otkrivanje novih sadržaja. To nastavnikovo vođenje i usmjeravanje se uglavnom ostvaruje kroz razgovor (tzv. heuristički dijalog). Matematičar i metodičar Polya, koji se bavio heurističkom metodom u nastavi matematike, govori o dva aspekta matematike: s jedne strane matematika je stroga i sistematična deduktivna disciplina, a s druge strane matematika je i eksperimentalna induktivna disciplina, jer za rješenje problema treba isprobavati mogućnosti, tj. „eksperimentirati“ i djelovati intuitivno. Dakle, prvo trebamo koristiti heurističko razmišljanje, pretpostavke i ideje kako bismo izgradili i pripremili pravi dokaz. Taj princip možemo primijeniti i u nastavi matematike: učenici mogu novo gradivo prvo ispitivati eksperimentalno, a  potom možemo preći na „stroži“ matematički nivo. Također, eksperimentalna nastava učenicima daje mogućnost da rade vlastitim tempom te da se više poštuju razlike među učenicima. To znači da nadareni matematičari mogu pratiti nastavu u skladu sa svojim posebnim talentima i time naučiti nešto više na nov način Jedan primjer za to je otkrivanje trougla, njegovih svojstava i karakterističnih tačaka. Eksperimentalan rad u nastavi matematike posebno može doći do izražaja prilikom upotrebe računala u nastavi matematike. Mnogo je mogućnosti za eksperimentalnu primjenu računara u nastavi matematike. Za modele i simulacije često se koriste razni interaktivni alati (Flash, web alati i sl.), ali i softveri dinamične geometrije, CAS i grafički alati. Ovdje ćemo se zadržati na programu dinamične geometrije GeoGebra, u kojem ćemo prikazati neke korisne primjere za eksperiment u nastavi matematike, a koji su nastali u sklopu kursa Udruženja za promovisanje nastave matematike Normala. 86

GeoGebra je program koji posjeduje svojstva programa dinamične geometrije (animirano pomijeranje geometrijskih objekata), ali i mogućnosti CAS-a (prikazivanje u simboličkom i grafičkom obliku te tablični kalkulator). Uz to, GeoGebra spada u grupu besplatnih open source  programa, vrlo je dostupna za  preuzimanje i ima svojstvo da za online rad s zadacima načinjenim u GeoGebri ne moramo imati instaliranu Geogebru na računaru. Eksperimentalan rad se, naprimjer, može provoditi za ispitivanje svojstava funkcija kroz promjene raznih parametara, pri čemu se posmatraju  promjene na grafu i donose zaključci. Tako se mogu istraživati karakteristike  poput monotonosti funkcija, zatim simetričnosti, karakterističnih tačaka i sl.  Naprimjer, učenik može uspješno eksperimentirati s interaktivnim materijalom o jednadžbi pravca i grafu linearne funkcije. Za preporuku je i istraživački materijal o elipsi, gdje učenik može istraživati od najjednostavnijih zanimljivosti vezanih uz elipsu pa sve do njenih skrivenih svojstava koja zadiru dublje u matematiku. Također, eksperiment se može provoditi kroz razna ponavljanja računanja ili koraka konstrukcije kako bi učenik vlastitim tempom i brojem  ponavljanja uočio tražena svojstva. Prilikom upotrebe eksperimenta u nastavi matematike, svaki nastavnik kao voditelj treba obratiti pažnju na dvije važne stvari. Prvo, može se dogoditi da učenici nakon što eksperimentalno utvrde određena svojstva ili ideje, nemaju potrebu za pravim matematičkim dokazom, jer smatraju da je eksperiment koji su napravili dovoljan dokaz da uočeno pravilo vrijedi općenito. Stoga bi nastavnik, prema dobi učenika, trebao brižljivo ukazati na  potrebu za pravim matematičkim dokazom, tj. činjenici da heurističke ideje ipak nisu egzaktno provjerene. Drugo, treba pomenuti da to što se dijelovi nastave odvijaju po heurističkim metodama, ne znači da ta nastava nije sistematski organizirana.  Naprotiv, nastavnik treba dobro organizirati takav sat, poznavajući prikladne metode i mogućnosti računara. Nastavnik također treba procijeniti je li određeno gradivo prikladno za eksperimentalni rad, ili je prikladnije za neku drugu metodu ili nastavni oblik. Možemo reći da na nastavu matematike utječu mnogi faktori. To su, između ostalog, naučne studije iz područja metodike nastave matematike, uvođenje računara u obrazovanje, velika međunarodna istraživanja poput PISAe i dr. Ti faktori mogu promijeniti dosadašnje ciljeve tradicionalne nastave matematike i u prvi plan, umjesto sposobnosti operiranja, staviti zadaće poput 87

eksperimentalnog pristupa, sposobnosti interpretiranja i pravilnog čitanja raznih grafičkih prikaza (statističkih, nelinearnih i sl.), zatim sposobnosti postavljanja  problema, njihovog rješavanja upotrebom tehnologije te diskusijama o mogućnosti rješenja, razvijanje sposobnosti argumentiranja matematičkih ideja, korištenje interdisciplinarnosti itd. Naravno, pri tome su neizostavni zadaci nastave matematike poput razvijanja apstraktnog mišljenja, logičkog mišljenja i zaključivanja te primjene matematike u svakodnevici, i dalje ostaju prisutne, ali s novim sadržajima, češćim eksperimentom u nastavi matematike, traženim sposobnostima i tehnologijom. U Bosni i Hercegovini, uz opisane mogućnosti promjena, treba dodati  još jedan banalni zahtjev: kod nas je velika potreba za sistematskim  poboljšanjem obrazovne vertikale u nastavi matematike. Naime, raznim reformama došlo je do neplanskog sakaćenja gradiva matematike u osnovnoj školi, ali ne paralelno i u srednjoškolskom gradivu (primjer za to su skupovi, funkcije, karakteristične tačke trougla i dr.). Zbog toga nam se događaju neoprostive situacije u kojima učenik ispašta zbog loše organizirane obrazovne vertikale. To je još jedna stavka koja bi se trebala uzeti u obzir prvom prilikom  pri razmišljanju o poboljšanju nastave matematike. Ovdje su opisani samo neki faktori koji mogu utjecati na promjene i nove tendencije u nastavi matematike. Opisani faktori pripadaju području metodike nastave matematike, ali ne treba smetnuti s uma ni socijalne,  psihološke i društvene aspekte koji utječu na učenike, na njihovo ponašanje i stav prema školi, znanju i matematici samoj. Samo uz obuhvaćanje što više  potrebnih parametara moguće je pronaći rješenja za efikasnu organizaciju i realizaciju savremene nastave matematike.

88

8. ANALIZA I SINTEZA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE Anliza i sinteza je jedne od osnovnih naučnih metoda istraživanja. Iako su u suprotnosti, one su nedjeljive jedna od druge, nadopunjuju se i čine  jednu tzv. analitičko-sintetičku metodu. Pri obradi ovog sadržaja značajnu ulogu ćemo staviti na ideje i otkrivanje. Inače, sama sinteza se na osnovu analize s lakoćom može  provesti. Zato ćemo sintezu opisivati u nešto laganijim sadržajima, dok u 89

nekim dijelovima sinteza se prepušta čitaocu da se prepuste vlastitim razmišljanjima. Inače, počeci analize i sinteze datiraju još iz stare Grčke, koja je svoja  prva matematička saznanja preuzela od Egipćana. Ta prva saznanja su se temeljila na geometrijskim problemima. Ti geometrijski problemi su se rješavali geometrijskom konstrukcijom. Naime, polazeći od zadanih veličina i preko uslova se dolazi do traženih veličina. Ovaj postupak je sintetički, tako da sama konstrukcija u stvari predstavlja sintezu. Kada se dolazilo do složenijih problema, morali su se ispitati odnosi između zadanih i traženih veličina. Dakle morali su da analiziraju problem. Među prvima koji je koristio analizu u svojim djelima bio je Platon(429-348).Zatim Eudoks(408-355), u svom matematičkom razmišljanju se koristio strogim dokazivanjima. Aristotel(384-322) rasprevlja o analizi u svojim djelima: "Analitica priora" i "Analitica  posteriora". Euklid(330-275) je najveći starogrčki matematičar, napisao je djelo "Elementi" koji se sastojao od trinaest knjiga. On nije puno koristio analizu, ali jest redutctio ad absurdum-svođenje na apsurd, bila njegova uobičajena metoda dokazivanja koja je ustvari metoda analize. U svojim radovima vrlo često je razdvajao analizu i sintezu i Arhimed(287-212). Tek Papus(3-4 vij) posmatra i teoretski razmatra analizu i sintezu. U njegovom djelu Collectiones, u 8 knjiga sistematski je izložio značajna otkrića svojih  prethodnika. Najvažnija je VII knjiga, u kojoj je dao pregled djela starogrčkih matematičara a koja čini "Riznicu analize" U tom djelu Papus daje sljedeću definiciju analize i sinteze: ¨"Analiza uzima ono što se traži kao da je već nađeno i polazi od toga preko uzastopnih posljedica do nečega što se uzima kao početak sinteze; jer u analizi uzimamo da je ono što se traži već učinjeno, i mi se pitamo šta je to, čija je to posljedica, i opet što je prethodni uzrok posljednje, i tako dalje dok, idući u našim koracima u nazad, ne naiđemo na nešto što je već  poznato ili što pripada klasi prvih načela, i takvu metodu mi zovemo analizom kao rješavanje unazad. Sinteza je obrnut proces, u njoj uzimamo kao učinjeno to što je u analizi  bilo posljednje dostignuto i, sređujući u njihovom prirodnom poretku kao  posljedice ono što su prije bile pretpostavke i spajajući ih redom jednu sa drugom, konačno dolazimo do konstrukcije onoga što je bilo traženo; i to mi zovemo sintezom." Ove definicije analize i sinteze su razumljive. Međutim dat ćemo nešto savremeniju definiciju analize i sinteze. Analiza je prije svega naučna metoda istraživanja koja u sebi sadrži rastavljanje cjelina na dijelove, zatim  proučavanje tih dijelova, a zatim izvođenje zaključaka iz tih cjelina na osnovu dobijenih rezultata. U matematici se pod cjelinom podazumijeva 90

neki problem čije rješenje tražimo. Analizom tog problema svodimo ga na  jednostavnije probleme ili tvrđenja koja su ili očigledna ili se jednostavno dokazuju. U procesu rastavljanja pokušavaju se dovesti u vezu sa  problemom prethodno dokazane činjenice i po potrebi izrađuje skica, što sve ima za cilj ubrzavanje otkrivanja puta njegovog rješenja. Analiza se završava onog trenutka kada je uspostavljena veza između postavljenog  problema i poznatih činjenica.  Na sjedećem primjeru pokazaćemo kako izgleda rješavanje zadatka analitičkom, a kako sintetičkom metodom. Primjer: Jasnina drugarica živi u mjestu koje je udaljeno 120 kilimetara od

mjesta gdje živi Jasna. Jasna je veći dio puta prešla autobusom, koji je  putovao 2 sata, brzinom 59 km/h, a ostatak puta je prešla pješke. Pješačila  je srednjom brzinom od 4 km/h. Koliko vremena je Jasna išla pješke? Analitičko rasuđivanje: Da bi moglo da se izračuna koliko vremena je

Jasna išla pješke, treba izračunati koliki je put prešla pješke. Taj broj dobijemo kada od ukupnog rastojanja puta(120 km) oduzmemo broj kilometara koji je Jasna prešla autobusom. Da bismo izračunali koliko je kilometara prešao autobus, potrebno je brzinu kojom se kretao autobus (59km/h) pomnožiti brojem sati (2h) za koji je stigao autobus do odredišta. Provedeno analitičko rasuđivanje možemo predstaviti pomoću skice-šeme: vrijeme pješačenja 2:4=0,5(h) dužina puta pješačenja brzina kretanja pješaka 120.118=2(km) (4km/h) ukupna dužina puta dužina puta koji je prešao autobus (120km) (59 . 2=118)  brzina kretanja autobusa vrijeme krtanja (59km/h) (2 sata) Sintetičko rasuđivanje: Ovo rasuđivanje predstavlja obrnuti put rasuđivanja od analize. Polazi se od datih brojeva(59km/h, 2h), a zatim izračuna dužina puta koji je prešao autobus itd. , postepeno se "ide" ka vrhu skice, do izračunavnja vremena pješačenja. Napomenimo da smo u skici ispod teksa ispisivali i rješenja i odgovore. Pri analitičkom rasuđivanju rješenja i odgovori ne upisuju se paralelno sa rasuđivanjem, dok kod sintetičkog rasuđivanja rješenja i odgovori idu zajedno. U prethodnom primjeru , poslije izvršene analize, pristupa se izračunavanjima , što predstavlja sintezu. Analitičkom metodom kreiramo 91

 put od traženog ka datom, a poslije slijedi reverzibilan postupak , tj. vrše se računanja ili označavaju računske radnje i njhov redoslijed , što  predstavlja sintezu . Zbog toga , kod rješavanja aritmetičkih zadataka ne treba govoriti o čisto analitičkoj metodi, već o analitičko-sintetičkoj metodi. U nastavi se najčešće analitičko-sintetička metoda sastoji u tome, što se dati zadatak rastavi na više lakših (prostijih) , koji se zatim rješavaju sintetičkom metodom. Pokažimo to na već posmatranom primjeru. Prvo analizom rasuđujemo : Da bismo izračunali vrijeme pješačenja,  potrebna nam je dužina puta koji pješak treba da pređe, a da bismo ovo izračunali potrebno je znati dužinu puta koji je prešao autobus.Na vaj način zadatak rastavljamo na sljedeća tri zadatka: 1. Koliku dužinu puta je prešao autobus za 2 h, ako se kretao 59km/h? 2. Koliku dužinu treba da pređe pješak ako se zna da je ukupna dužina  puta 120 km i da je autobus prešao dužinu puta izračunatu u zadatku1? 3. Za koje će vrijeme pjeešak preći dužinu dobijenu u zadatku 2, ako se kreće brzinom od 4km/h? Treći zadatak predstavlja i rješenje postavljenog zadatka . Svaki od zadataka 1,2,3 rješava se sintetičkim putem. Iako je sintetička metoda pristupačnija učenicima od analitičke, učenike treba stalno osposobljavati da aritmetičke zadatke rješavaju analitičkosintetičkom metodom .  Na kraju, rasuđujući analitički učenici se osposobljavaju da otkrivaju sve zavisnosti među datim i traženim veličinama i da sebi kreiraju put kojim treba ići sa izračunavanjima i na taj način dostići cilj. Analitički rasuđujući sigurno dolazimo do traženog rješenja. Ovdje treba istaći da je analitička metoda vrlo moćna i ne zadržava se u okvirima matematike, već je moćna metoda mišljenja i u drugim naukama.

92

93

9. APSTRAKCIJA I UOPŠTAVANJE U POČETNOJ

NASTAVI MATEMATIKE Specifičnosti matematike koje posebno karakterišu matematičko mišljenje su: aksiomatičnost, deduktivnost, apstraktnost, preciznost i simboličnost. Aksiomatičnost je glavna odlika matematike kao nauke, pa i kao nastavne oblasti (predmeta). Tako se matematika u osnovnoj školi ne iszlaže strogo aksiomatski. Aksiomatičnost je itekako prisutna u nastavi: zakoni komutacije, asocijacije, distribucije, zatim dvije različite tačke određuju jednu  pravu, tri nekolinearne tačke određuju ravan i druga tvrđenja koja se ne dokazuju-upravo su aksiome u nastavi matematike u osnovnoj školi. Deduktivnost u zaključivanju i dokazivanju matematičkih tvrđenja, kao specifičnost matematike se iskazuje tako što se svaki matematički pojam (osim osnovnih) objašnjava pomoću osnovnih ili već izvedenih pojmova, a svaki stav se takođe dokazuje iz već dokazanih ili osnovnih stavova. Apstraktnost je specifičnost matematike, jer su svi matematički pojmovi apstrakni i u njihovom izgrađivanju posebnu ulogu ima apstrakcija kao misaona operacija, pa se često kaže da se kroz nastavu matematike razvija apstrakno mišljenje. Preciznost u matematici se zahtijeva kako u izračunavanjima, konstrukcjama, tako i u matematičkom izražavanju-matematičkog jezika. Simboličnost je, takođe, specifičnost matematike, jer se simboli koriste kako za objekte, tako i za operacije i relacije, tj. za sve matematičke pojmove. 94

Upotreba simbola u nastavi matematike doprinosi razvoju matematičkog mišljenja. Za nastavu matematike je od svih vrsta mišljenja najznačajnije stvaralačko mišljenje. Pod takvim mišljenjem se podrazumijeva da sposobnošću učenik prilikom rješavanja nekog problema, pronađe najpogodniji način rješavanja, da učenik može uspješno da koristi stečena znanja, kao i način rješavanja. Učenik može uspješno da koristi stečena znanja, kao i da prilikom rješavanja praktičnih problema iznalazi odnose među određenim elementima u datom problemu, a da i formuliše problem. Osnovni pokretač mišljenja je opažanje, a osnovni pojam mišljenja je operacija.

Misaone operacije koje učestvuju u formiranju svih matematičkih pojmova, kao i logičkom rasuđivanju i zaključivanju jesu: - komparacija, - identifikacija, - diferencijacija, - analiza, - sinteza, - apstrakcija, - generalizacija. Komparacija (upoređivanje) je misaona operacija kojom se utvrđuju iste ili različite odredbe dva ili više elemenata. Upoznavanje objekata moguće je samo putem upoređivanja njihovih osobina.  Na primjer, da bi se shvatio pojam vertikalne prave, vrši se upoređivanje sa kosom pravom, pri čemu se uočavaju jednake odredbe (presjek sa horizontalnom pravom) i različite (zaklapaju različite uglove sa horizontalnom  pravom). Identifikacija (razlikovanje) je misaona operacija kojom se utvrđuju  jednake odredbe dva ili više objekata.  Na primjer, kod kvadrata i pravougaonika važe iste osobine: dijagonale se  polove, svi uglovi su pravi, naspramne stranice su paralelne, itd. Diferencijacija (razlikovanje) je misaona operacija kojom se utvrđuju različite 95

odredbe objekata.  Na primjer, ako posmatramo pravougaonik i kvadrat, razlikujemo slijedećae odredbe: susjedne stranice kvadrata su jednake a susjedne stranice  pravougaonika su nejednake, dijagonale kvadrata su uzajamno normalne, a dijagonale pravougaonika nisu uzajamno normalne itd. Analiza je misaona operacija kojom se vrši raščlanjivanje elemenata na sastavne odredbe.  Na primjer, kod jednakokrakog trapeza osnovice su paralelne, kraci jednaki, dijagonale jednake, uglovi na osnovicama jednaki, osno simetrična figura. Sinteza je misaona operacija kojom se vrši objedinjavanje pojedinih odredaba u cjelinu.  Na primjer, ako zajedničke odredbe kvadrata i pravougaonika objedinimo, dobijamo odredbe pravouglog paralelograma. Analiza i sinteza se veoma uzajamno dopunjuju u nastavi matematike . Apstrakcija je misaona operacija kojom se zanemaruju (eliminišu, odstranjuju, odbacuju) pojedine odredbe objekata iz podskupa nekog skupa, dok ne ostanu samo one odredbe koje su svojstvene svim elementima tog skupa .  Na primjer, posmatrajmo podskup A,B,C,D skupa kocki, pri čemu je: A - kocka od drveta crvene boje, B - kocka od metala sive boje, C - kocka plastike žute boje, C - kocka od gipsa bijele boje. Odredbe kocke su: 1. ograničena je sa 6 podudarnih kvadrtatnih površi, 2. ima 12 ivica, 3. napravljena je o drveta, 4. crvene boje. Odredbe ostalih kocki B,C,D slično se iskazuju.Ako zanemarimo različite odredbe apstrahujemo, a zadržimo samo iste odredbe svih kocki, dobijamo odredbe geometrijskog tijela kocke. Generalizacija (uopštavanje) je misaona operacija kojom se izvjesne odredbe pripisuju (dodaju) svim objektima istog skupa.  Na primjer, posmatrali smo četiri kocke iz skupa kocki i uočili zajedničku odredbu-svaka je ograničena sa 6 podudarnih kvadratnih površi. Tu odredbu pripisujemo i svim kockama koje smo posmatrali iz skupa kocki. Tako dolazimo do pojma geometrijske kocke: geometrijsko tijelo 96

ograničeno sa 6 podudarnih kvadrata. Treba napomenuti da sve navedene misaone operacije u formiranju matematičkih pojmova se javljaju zajedno. Kao što smo u predhodnom dijelu teksta naglasili, neko od njih se skoro uvijek javlja u jedinstvu: analiza i sinteza, identifikacija i diferencijacija, apstrakcija i generalizacija. Ove misaone operacije su prisutne u svim oblicima zaključivanja (indukcija, dedukcija, analogija), a samim tim u dokazivanju i rješavanju zadataka. To znači, bez procesa mišljenja, bez misaonih operacija, ne može se ni zamisliti proces nastave matematike. Za razvoj matematičkog mišljenja kod učenika od izuzetnog značaja su misaone operacije, kako u formiranju matematičkih pojmova, operisanju njima, otkrivanju matematičkih relacija i zavisnosti, tako i u otkrivanju matematičkih istina a to i jest najvažniji zadatak nastavnika matematike. Analiza i sinteza se veoma uzajamno dopunjuju u nastavi matematike. Dakle, matematikom se razvija mišljenje, a tome umnogome doprinose misaone operacije-misaone radnje: (1) analiziranje i sintetiziranje-jedna misaona radnja, postoje dva procesa (raščlanjivanje i upoređivanje, koreliranje) (2) zaključivanje-na osnovu poznatih sudova izvodi se novi sud: -1.Indukcija: zaključivanje na osnovu konačnog broja posmatranih pojava, -2. Dedukcija; polazi se od opštih istina, što važi u opštem slučaju i u  pojedinačnom: -3. Analogija: iz zapažanja da se dva predmeta podudaraju u određenim svojstvima ili odnosima zaključujemo da se oni podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima koji nismo direkno uočili; (3) Upoređivanje – u međusobni odnos se stavi više predmeta, utvrđuje se što je zajedničko, a što je različito; -operacija poistovjećivanja (indetifikacija) i razlikovanja (diferencijacija). Prema tome učitelj treba da: - uzima u obzir prirodnu oštroumnost i matematičko predznanje učenika i ne ograničava se samo na mehaničke postupke i navike; poželjne su diskusije između nastavnika i učenika; - izaziva i podstiče intelektualnu aktivnost učenika; - koristi emocionalna svojstva i povećava zainteresovanost učenika u procesu nastave; - daje adekvatnu motivaciju za izučavanje novog gradiva; - razvija sposobnost učenika za vršenje apstrakcije, stvara pedagoške situacije koje doprinose samostalnom otkrivanju novih svojstava, 97

- koristi tablice, sheme, dijagrame, auido-vizuelna nastavna sredstva, specijalne matematičke igre; - razvija „matematičko“ mišljenje učenika (formira induktivni, analitički i sintetički način mišljenja); koristi heurističke metode u nastavi; - praktikuje rješavanje zadataka koji su povezani sa matematičkom teorijom i empiriskom praksom, zadataka problemskog karaktera, kao i tzv. Otvorenih zadataka (gde sam učenik bira podatke ili čak formuliše cio zadatak); - u nastavnom radu sa učenicima mlađeg uzrasta gradivo izlaže prvenstveno eksperimentalno-induktivnim putem, sa učenicima srednjeg uzrasta ( stariji razredi osnovne škole)-pretežno induktivnim putem, za učenike starijeg uzrasta (srednja škola)-akcenat pomjera formalno-logičkom putu, uspostavljajući veze među proučenim svojstvima i činjenicama, te od tih svojstava i veza izgrađuje deduktivni sistem izlaganja gradiva. 10. OBLICI I RAZVOJ MATEMATIČKOG MIŠLJENJA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE Matematički zadatak je skup odrđenih podataka stavljenih u određeni odnos. Taj skup sadrži podatke koji su poznati i koji su nepoznati. Iz osnovnih  podataka na osnovu odnosa među podacima treba da odredi nepoznatu vrijednost. Rješavanje matematičkih zadataka služi raznim konkretnim ciljevima nastave matematike, bez pretjerivanja može se tvrditi da se rješavanjem zadataka ostvaruju (postižu) gotovo svi didaktički ciljevi nastave matematike. Sticanjem određenog sistema matematičkih činjenica i ideja, kao ovladavanje određenim matematičkim potrebama i navikama, ne znači automatski i adekvatan razvoj matematičkog mišljenja .  Naime, u procesu nastave matematike, osim formiranja određene "tehnike" mišljenja (osposobljenost za ovladavanje fiksiranim operacijama i  postupcima), učenici treba da se osposobe da otkrivaju nove veze i opšte  postupke koji im omogućavaju rješavanje novih zadataka i sticanje novih znanja i umijeća. Kraće rečeno kod učenika treba formirati opšte postupke mišljenja, a ne samo postupke mišljenja u konkretnoj situaciji. Karakteristika matematičkog mišljenja može se posmatrati sa nekoliko aspekata, kao što su: - sadržaj ili tip mišljenja (konkretno, apstraktno, intuitivno, funkcionalno, 98

dijalektičko, strukturno, stvaralačko ili produktivno mišljenje, s tim što ovo  posljednje uključuje i sve predhodne komponente). - opšte metode saznanja i matematičkog istraživanja (posmatranje, indukcija, dedukcija, primjena analogije, matematičko modelovanje), - forma, tj. kvaliteti mišljenja koji određuju stil mišljenja (gipkost, aktivnost, usmjerenost, ekonomičnost, dubina, širina, kritičnost, originalnost, laonizam i dr.), subjektivna svojstva karaktera ličnosti (tačnost, upornost, konciznost, koncentracija, radoznalost, intelektualno poštenje, sklonost prema stvaralaštvu i dr.) Proces rješavanja matematičkog zadatka, uopšte uzevši, trebalo bi da ima: četriri osnovne etape (faze): (1) Analiza uslova i razumijevanje zadataka (uz shematski zapis zadatka); (2) Izvršavanje plana (glavni korak); (3) Izvršavanje plana ( u svim njegovim pojedinostima); (4) Osvrt na zadatak i njegovo rješenje (provjera rješenja i formulisanje odgovora, analiza i komentar rješenja, rezime). Opšte je poznata uloga zadataka u nastavi i učenju matematike. S jedne strane, ta uloga je određena time što se konačan cilj nastave matematike svodi uglavnom na to da učenici ovladaju metodama rješavanja sistema matematičkih zadataka; s druge strane, ona je određena i time što je cilj nastave matematike moguće postići prvenstveno rješavanjem sistema matematičkih zadataka: s druge strane, ona je određena i time što je cilj nastave matematike moguće  postići prvenstveno rješavanjem sistema zadataka. Na taj način, rješavanje zadataka u nastavi matematike javlja se i kao cilj i kao sredstvo te nastave. Ako se pojam matematičkog zadatka shvati dovoljno široko (posebno, ako se i dokaz svake teoreme smatra zadatkom), onda se može reći da se izučavanje matematike ostvaruje najvećim dijelom rješavanjem matematičkih zadataka. Rješavanje matematičkih zadataka služi raznim konkretnim ciljevima nastave matematike, bez preterivanja može se tvrditi da se rješavanjem zadataka ostvaruju (postižu) gotovo svi didaktički ciljevi nastave matematike: Obrazovni: -Sticanje novih matematičkih znanja (usvajanje pojmova, simbolike, dokaza, uočavanje ili ilustracija neke matematičke činjenice, formiranje umijeća i navika pomoću sistema vježbanja –zadataka, uvođenje u nove sadržaje i stvaranje odgovarajućih ’problemskih situacija’, utvrđivanje stečenih znanja, to 99

 jest ilustracije primjene izučavane „teorije“ i njeno dublje usvajanje, kontrola i samokontrola usvojenosti matematičkih znanja i dr.); Praktični: - Primjena matematičkih znanja u rješavanju raznih problema iz svakodnevne  prakse, srodnih disciplina i raznih drugih oblasti; Razvojno-vaspitni: - Formiranje i razvijanje specifičnog matematičkog stila mišljenja i osposobljavanje za aktivnosti matematičkog karaktera, vaspitanje niza  pozitivnih osobina ličnosti - fabulom, sadržinom i procesom rješavanja zadataka, ostvarivanje politehničko-informatičkog vaspitanja učenika.  Naročito je velika njihova uloga u razvijanju matematičkog mišljenja učenika (podsticanje i primena misaonih operacija, anliza situacije, osposobljavanje za pravilnu argumentaciju-dokazivanje ili opovrgavanje tvrdnji i pronalaženje grešaka, stvaranje matematičkih modela, samostalno sastavljanje i slično). Sticanjem određenog sistema matematičkih činjenica i ideja, kao ovladavanje određenim matematičkim umijećima i navikama , ne znači automatski i adekvatan razvoj matematičkog mišljenja. Naime, u procesu nastave matematike, osim formiranja određene „tehnike“ mišljenja (osposobljenost za ovladavanje fiksiranim operacijama i postupcima), učenici treba da se osposobe da otkrivaju nove veze i opšte postupke koji im omogavaju rješavanje novih zadataka i sticanje novih znanja i umijeća. Kraće rečeno, kod učenika treba formirati opšte postupke mišljenja , a ne samo postupke mišljenja u konkretnoj situaciji. Osnovno didaktičko sredstvo za razvijanje matematičkog mišljenja jest,  prije svega, rješavanje ovih ili onih matematičkih zadataka čiji sadržaj ili način rješavanja odgovara određenoj karakteristici mišljenja. Karakteristika matematičkog mišljenja može se posmatrati sa nekoliko aspekata, kao što su: - sadržaj ili tip mišljenja (konkretno, apstraktno, intuitivno, funkcionalno, dijalektičko, strukturno, stvaralačko ili produktivno mišljenje, s tim što ovo  posljednje uključuje i sve predhodne komponente). 100

- opšte metode saznanja i matematičkog istraživanja (posmatranje, indukcija, dedukcija, primena analogije, matematičko modelovanje), - forma, tj. kvaliteti mišljenja koji određuju stil mišljenja (gipkost, aktivnost, usmerenost, ekonomičnost, dubina, širina, kritičnost, originalnost, laonizam i dr.), - subjektivna svojstva karaktera ličnosti (tačnost, upornost, konciznost, koncentracija, radoznalost, intelektualno poštenje, sklonost prijema stvaralaštvu i dr.). U procesu nastave matematike adekvatnim didaktičkim putevima treba razvijati osnovne komponente matematičkog mišljenja (naprijed nabrojane), obraćajući posebnu pažnju na vaspitavanje tzv. matematičkog stila mišljenja.

10.1. Razvoj matematičkog mišljenja U nastavnom programu matematike za osnovnu školu su navedeni zadaci, koji ističu da nastava matematike treba : - da doprinese razvijanju dijalektičkog i logičkog mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja, kao i intuicije i mašte, - da razvija stvaralačko matematičko mišljenje za samostalno otkrivanje različitih načina u rješavanju problema iz prakse, nauke i tehnike. Za uspješno ostavrivanje ovih zadataka potrebno je poznavanje procesa mišljenja i najbitnih komponenata mišljenja pomoću kojih se ono razvija. U praksi, među obrazovno-vaspitnim ciljevima časa, nastavnici najčešće navode sljedeće formulacije; - razvijanje logičkog mišljenja i zaključivanja; - razvijanje matematičkog mišljenja i druge. To su, uglavnom uopštene formulacije. Ređe se konkretizuju komponente mišljenja koje dominiraju na času i koje bitno utiču na razvoj mišljenja kao što su određene misaone operacije, vrste zaključivanja, vrste dokaza i tako dalje. Sam pojam mišljenja je veoma složen pojam. Ovim pojmom se bavi  psihologija i logika, svaka sa svog stanovišta. Sama definicija mišljenja je veoma teška za definisanje zbog velikog broja definicija psihologa, pa u enciklopedijama i rječnicima nalazimo da je mišljenje: - najviši stepen svesti kao subjektivnog odraza objektivne realnosti; 101

- Tok predstava koji dovodi do stvaranja pojmova i njihovog povezivanja u sudove, zaključke, itd.; - Svaki proces ili aktivnost koja nije dominantno perceptivna a kojom čovjek shvata neki objekat ili neki aspekt objekata ili situacije. Savremena logika definiše mišljenje kao subjektivno stvaralačko odražavanje materijalne stvarnosti, psihe i društva. Dakle, logičko mišljenje predstavlja proces saznavanja objektivne istine. Taj proces se odvija preko osnovnih logičkih formi mišljenja: pojmova, sudova i zaključivanja, i osnovnih zakona istinitog mišljenja (identiteta, neprotivurječnosti, isključenja trećeg i dovoljnog razloga.). Proces mišljenja je u razvijanju jednoga u identifikaciji različitog, a to znači: Mišljenjem razlikujemo različite strane objekata, vršimo upoređivanje objekata po sličnim i različitim osobinama, uočavamo razne odnose između objekata, sjedinjujemo različito i jedinstveno, utvrđujemo ono u objektima što  je konstantno, opšte i nužno. Drugim riječima primjenjujemo misaone operacije, preko kojih se odvija proces mišljenja. Prema psiholozima, razvoj mišljenja kod djeteta odvija se po etapama. Od kraja 2-7. godine života dijete se nalazi u fazi takozvane intuitivne inteligencije. Ono misli intuitivno, te nije u stanju da vrši grupisanje mentalnih operacija i logičkih relacija. Tako svoje zaključke slaže jedne pored druge,  povezujući ih u logičku cjelinu. Od 7-11. ili 12. godine, tj. na uzrastu od I-V razreda osnovne škole, dijete može uspješno da vrši grupisanje operacija i relacija, pridržavajući se određenih zakonitosti. Na ovom stupnju razvoja djete je sposobno da istovremeno zamisli više materijalnih skupova, da razlikuje i odvaja zajedničke i različite njihove osobine. Dakle, razvoj logičkog mišljenja kod djeteta počinje od 7. godine (uz napomenu da ima izuzetaka), pojavom misaonih operacija, što znači da se u ovoj etapi mogu formirati neki jednostavniji matematički pojmovi.  Na uzrastu matematike od VI-VIII razreda osnovne škole, značajna je etapa razvoja djeteta od 11. ili 12. godine do 15. godine života. Već smo prethodno ukazali na razvoj mišljenja, pa treba naglasiti da se mišljenje razvija učenjem matematike i obratno, razvijeno mišljenje doprinosi uspješnom učenju matematike. 102

Kako se u ovom periodu nastave dograđuju i formiraju mnogi matematički pojmovi (skupovi, operacije sa skupovima, skupovi brojeva, funkcija i dr.) i dokazuju mnoga matematička tvrđenja, veoma je značajno da se  pri ovome pravilno primjenjuju sve misaone operacije, svi oblici zaključivanja i svi zakoni istinitog mišljenja-kako bi se kod učenika izgrađivalo matematičko mišljenje.

103

11. MATEMATIČKI POJMOVI, MATEMATIČKI SUDOVI I MATEMATIČKO ZAKLJUČIVANJE 11.1. Matematičko suđenje, matematički sud Ako napišemo, 4 + 3 = 7 ili 56 : 7 = 9, šta vidimo u ovim, simbolima ispisanim, rečenicama? U obje prepoznajemo pojmove, svojevrsne riječi. Dakle, vidimo matematičke rečenice.  Naprimjer, rečenice: 5 = 7- 4, 365 = 52∙7 + 1, (Iz pravougaonika ABCD) AB║CD, AB║BC, napisane su matematičkim simbolima, dok rečenice: svaki prirodni broj je sljedbenik, nula je prirodni broj, broj 13 je prost broj, neki prirodni brojevi manji su od 10, svaka tačka kružnice podjednako je udaljena od središta kružnice ... napisane su riječima. U svakom slučaju da se dođe do nekog matematičkog suda potreban je misaoni napor, misaona aktivnost o matematičkim pojmovima, o njihovom odnosu. Možemo reći da se matematičkim suženjem utvrđuje odnos između matematičkih pojmova. Rezultat tog suženja, dakako je, matematički sud. Ako  je misaona aktivnost korektno obavljena, ako je odnos tačno utvrđen, rezultat je tačan iskaz, a ako nije rezultat je netačan iskaz. Dakle, matematički sudovi mogu biti ili tačni ili netačni. Međutim, kao i matematički pojmovi, matematički sudovi mogu biti  pojedinačni, posebni i opšti. Naprimjer, sudom ”nula je prirodni broj” utvrđen 104

 je (netačan) odnos jednog pojma (nule) spram pojma prirodni broj i to je  pojedinačni sud. Sudom ”neki prirodni brojevi manji su od 10”, implicitno su utvrđeni odnosi brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i broja 10, i taj sud je partikularni (samo su u igri neki prirodni brojevi). Međutim, sud: ”Svaki prirodni broj ima sljedbenika”, očigledno je opšti sud i tačan je. U svakoj od njih iskazana je  jedna tvrdnja, jedan odnos između matematičkih pojmova. Utvrđen je dakle, odnos između matematičkih pojmova, kroz određeni misaoni, mentalni  postupak koji nazivamo matematičkim suđenjem. Ukratko, misaoni procese, postupak, kojim se utvrđuje odnos između matematičkih pojmova naziva se matematičko suženje, a produkt tog procesa, tih aktivnosti naziva se matematički sud ili iskaz. Kako naši iskazi mogu biti ili tačni ili netačni, to i matematički iskazi sudovi mogu biti ili tačni ili netačni. S obzirom na broj pojmova, općenitost našeg suđenja, iskaze možemo svrstati i  po obimu na: - pojedinačne (singularne), - posebne (partikularne) i - opše (univerzalne). Singularni, partikularni i univerzalni iskaz prepoznajemo upravo po riječima:  postoji tačno jedan,... postoji ( neki ), .....( za) svaki. Zadatak: Šest iskaza koji slijede klasificirajte s obzirom na općenitost i tačnost. Za prvi iskaz provjeri valjanost klasifikacije, a za preostalih pet primijeni sličan  postupak. 1. 1 < 2, (S, T) 2. Neki pravougaonici su kvadrati. ( , ). 3. Neki prirodni brojevi su manji od 1. ( , ). 4. Svaki prirodni broj ima svoga sljedbenika. ( , ). 5. Svaki prirodni broj ima svoga prethodnika. ( , ). 6. Postoji tačno jedan broj a koji dodavanjem bilo kojem prirodnom broju n daje zbir jednak upravo broju n. ( , ). 1) Osjet je najprostija forma odraza pojedinih svojstava realnih objekata ..., dobijenih preko čula u čovjekovoj svijesti. To je spoljašnja draž u činjenici svijesti koja daje sliku pojedinih svojstava realnih objekata. 2) Opažanje je cjelovita slika predmeta. Kompleks i jedinstvo osjeta. Ne prelazi granice predmeta. 105

3) Predstava je neposredna veza i prelaz od osjeta i opažanja ka apstraktnom mišljenju. To je reprodukovana realnost na osnovu čulnih iskustava. Međutim, u predstavi nisu još odvojena bitna od nebitnih svojstava  predmeta...iz predstave. Rezultat je matematički pojam na prvom stupnju apstrakcije, produkt misaonog poistovjećivanja svih realnih objekata prema istaknutim, suštinskim svojstvima. Podsjetimo se, na kraju, da smo u matematičkoj logici, za matematički sud, iskaz rekli da je suvisla (smislena ) rečenica koja je tačna ili (ekskluzivno) netačna.

11.2. Spoznajne osnove početne nastave matematike

Može se postaviti jedna, reklo bi se lijepa, analogija između matematike i jedne građevine, od opeka, kuća naprimjer. Kuća je sastavljena od opeka. Matematika je sastavljena od matematičkih pojmova. Prilikom gradnje kuće, zidar upotrebljava opeke, utvrđuje odnos između njih i na osnovu toga donosi sud o njihovoj poziciji u građevini. Matematičar utvrđuje odnose, veze, relacije između matematičkih pojmova. Zidar, na osnovu višestrukog ponavljanja upoređivanja opeka stvara neke zaključke koje koristi u zidanju. Matematičar  (ovdje mislimo i na onoga iz prvog razreda osnovne škole) na osnovu izgrađenih sudova donosi nove sudove, sudove zaključke, pri čemu se ne oslanja neposredno, na matematičke pojmove koji su u osnovi tih sudova.  Nećemo ovdje ulaziti u opšte probleme nauke logike, u njenom esencijelnom dijelu: sudovi i zaključci, ali uvijek moramo upravo te fenomene, prilikom izgrađivanja matematičkih sudova i zaključaka imati na umu. I ovdje se naslućuje značajna interdisciplinarnost metodike početne nastave matematike kao naučne discipline. Dakle, kratko rečeno: matematički pojam. matematički sud, matematički zaključak su u osnovi i matematike, pa moraju biti i predmet ozbiljne metodičke analize u početnoj nastavi matematike. 11.2.1. Izgradnja matematičkog pojma

Iz svega što je do sada izloženo, možemo reči da matematika proučava određena karakteristična, suštinska svojstva objekata, relacija i operacija realnog svijeta, koje posmatra stupnjevito apstraktno i uopćeno, kao i fenomene 106

 primjene dobivenih rezultata u praksi. U samoj osnovi tog proučavanja su matematički pojmovi, sudovi i zaključci. Poznavanje suštine, nastanka i razvoja matematičkih pojmova neophodan je uslov za uspješno vođenje učenika kroz izgradnju matematičkih pojmova u početnoj nastavi matematike. Prve  pojmove, u početnoj nastavi matematike, učenik izgrađuje polazeći od realnih objekata, procesa, zbivanja i pojava, od njihove suštine. Dalji tok izgradnje matematičkog pojma najbolje ilustruje konstatacija da matematički pojam nastaje u dijalektičkom jedinstvu čulnog iskustva i misaonih aktivnosti. Dakle, nakon čulnog iskustava, o realnim objektima i procesima, o njihovim svojstvima, koji su ”ispred učenika”, aktivnosti prelaze u svijet ”u učenika”, na plan misaonih aktivnosti. Kratko ćemo ovdje izložiti kako učitelj, metodičar matematičar, vidi proces formiranja matematičkog pojma. Od mnogobrojnih svojstava realnih objekata, procesa i pojava, prilikom izgradnje matematičkog pojma, izdvajaju se ona bitna, suštinska i ta se zadržavaju u matematičkom pojmu, a sva ostala svojstva misaono se odbacuju u procesu višestepene apstrakcije. Dakle, u formiranju matematičkog pojma u prvoj etapi učestvuje ono čulno: osjet, percepcija, predstava, a zatim, u drugoj etapi, misaono, putem misaone operacije: analiza, komparacija, diferencijacija, apstrakcija, sinteza, identifikacija, generalizacija. Potpunu zastupljenost svih navedenih operacija, posebno naglašenih iz domena čulnog, ključni je uslov za izgradnju matematičkog pojma na prvom stepenu apstrakcije, ili kako kažemo,  primarnog matematičkog pojma. Da se zaključiti iz navedenog, da je u suštini najvažnija misaona operacija u izgradnji matematičkog pojma matematička apstrakcija. Prema stepenu matematičke apstrakcije, prema ponovljenim apstrakcijama u procesu nastajanja matematičkog pojma, razlikujemo matematičke pojmove i to posmatrane u odnosu na apstrakciju: - prvom stepenu apstrakcije, primarne matematičke pojmove i - višem stepenu apstrakcije, sekundarne matematičke pojmove. 11.2.2. Matematički pojmovi prvog stepena apstrakcije, primarni matematički pojmovi

Odmah treba naglasiti, da ne bi bilo zabune, da se jedan isti pojam, može  posmatrati i shvatati i kao primarni i kao sekundarni matematički pojam. Svaki realni objekt, proces, pojava posjeduje niz karakterističnih svojstava po kojima ga prepoznajemo. Bilo koja dva predmeta (procesa, pojave) posjeduju neka zajednička svojstva (barem jedno) po kojima se mogu identifikovati i svojstva  po kojima se razlikuju (diferenciraju). 107

Ove konstatacije možemo shvatiti i kao tvrdnje koje su na neki način aksiomi za pravilno izvođenje (matematičkih) pojmova. Zanimljivo sintetičko tumačenje geneze primarnog matematičkog  pojma (u početnoj nastavi matematike) nudi poznata metodičarka Pamela Liebeck, sa univerziteta u Kielu (U. K.), u jednoj simboličkoj mnemoničkoj formi: IGSS ( zvuči sličnom u matematici legendarnom iks): I: iskustvo učenika sa realnim predmetima, procesima pojavama G: razgovor nastavnika i učenika o proživljenom iskustvu učenika, S: slika (analiza slike, stvaranje slike), o proživljenim iskustvima i S: simbolički zapis proživljenog iskustva, zapis suštine formiranog pojma. Ilustrujmo ovo na primjeru izgradnje pojma broja četiri. Svaki učenik ima relativno bogato iskustvo sa ovim pojmom: mama, tata, brat, sestra i ona, on, četiri noge stola, stolice; četiri noge psa, mačke, krave, itd. četiri ćoška sobe, četiri klikera, četiri bombone; olovka, gumica, teka i knjiga, četiri predmeta, itd. Učitelj će na času koji ima cilj izgradnju broja četiri osvježiti ova iskustva: postavljanjem četiri grupe učenika po četiri učenika, koji svaki stoji unutar jednog kvadrata, i svaki drži po jednu teku i jednu gumicu i svih četvero drže jedan papir na kojem je brojevna slika od krugova broja četiri. Sa učenicima se vodi ciljani razgovor kako bi shvatili vezu između svih skupova u čijoj je suštini broj četiri. Slijedi analiziranje slika i crteža iz udžbenika u kojima je broj četiri i kreacija vlastitih slika. Učitelj zahtijeva od učenika da zatvore oči i da pažljivo slušaju četiri udarca olovke po ploči stola. Nakon svega toga učenici će sami osjetiti da su doživjeli pojam broja četiri , a to im se i saopštava, čime smo već u četvrtoj fazi, fazi simboliziranja matematičkog  pojma. Govori im se zvučni simbol četiri, a nakon toga i pisani simbol četiri i konačno matematički simbol 4. Da li je učenik uspio shvatiti pojam broja četiri, odmah se može utvrditi igrom asocijacija: četiri? (razreda, teke, knjige, ... učenici govore i pokazuju); Dobra su pitanja kao naprimjer: šta povezuje konja i automobil? (mogući , poželjan odgovor ovdje je: četiri) Tako smo došli do pojma broja četiri koji je s obzirom da je polazište bilo  posmatranje različitih četveročlanih skupova, realnih predmeta, primarni matematički pojam. 11.2.3. Matematički pojmovi višeg stepena apstrakcije, sekundarni 108

matematički pojmovi

Vidjeli smo, kroz primjer izgradnje pojma broja četiri, kako se izgrađuju, kako nastaju primarni matematički pojmovi. Pojam zbira (prirodnih  brojeva) za polazište u izgradnji ima već izgrađene prirodne brojeve i, naravno, određene realne procese, pa pojam sabiranja i pojam zbira svrstavamo u sekundarne pojmove. Naprimjer, 4+3 je nešto složeniji pojam nego što su  pojmovi 4 i 3, zasebno. U pojmu 4+3 imamo zapravo tri pojma. Kad kažemo da  je pravougaonik četverougao kod koga su sva četiri ugaoa pravi, jasno je da su u osnovi, u definiciji ovog pojma ranije izgrađeni pojmovi: četiri, ugao, četverougao, pravi ugao. Dakle, ovako shvaćen pravougaonik sekundarni je matematički pojam. Međutim, ako učenici proučavaju realne predmete oblika kvadra i analiziraju površine tih predmeta, mogu doći do pojma pravougaonika kao primarnog matematičkog pojma: ”Pravougaonik je oblik na kutiji šibice ...” Sve zavisi od polazišta, pa je podjela matematičkih pojmova na one primarne i one sekundarne relativna. 11.2.4. Sadržaj i obim matematičkog pojma

Šta je sadržaj matematičkog pojma? Sjetimo se da, primarni, matematički pojam nastaje posmatranjem realnih objekata, procesa i pojava i analizom svojstava tih predmeta i pojava. Niz svojstava odbacuju se u procesu apstrakcije, a samo jedan broj svojstava, koji su suštinski, karakteristični, za  pojam koji izgrađujemo, zadrže se u pojmu i ta, zadržana, svojstva  predstavljaju sadržaj matematičkog pojma. Šta je sadržaj pojma broja četiri svaki učenik odlično intuitivno osjeća i prihvata, ali teško objašnjava, ali će za  pojam pravougaonika, bez teškoća, navesti dugačku listu svojstava koji  pravougaonik čine pravougaonikom: četiri stranice, četiri prava ugaoa, susjedne stranice (one koje imaju zajedničku tačku, baš kao i svi susjedi imaju zajedničku granicu), normalne, naspramne stranice paralelne i jednake itd. To je sadržaj pojma pravougaonik. Ako se ovoj listi svojstava doda još jedna karakteristika ušli smo u pojam kvadrat (preciznije pravougaonika koji je kvadrat). Razmotrimo sada šta podrazumijevamo pod obimom (matematičkog)  pojma. Riječ „matematičkog” iz prethodne rečenice stavljena je u zagradu upravo s namjerom da se istakne da je pojam obima pojam, baš kao što je i pojam sadržaja pojam imanentan ma kojem pojmu (koje sveobuhvatno problematizira naučna disciplina logika), pa i matematičkom pojmu. 109

Dakle, nakon misaone generalizacije, prenošenja zadržanih svojstava na sve predmete (dakle i na pojmove u užem smislu), pojave i procese, učenik naslućuje šta sve može podvesti pod formirani pojam, čemu može pripisati izgrađenu listu, sadržaja pojma. Svi ti predmeti (skupovi), procesi, pojave čine obim formiranog pojma. Naprimjer, i pojam trougla, geometrijske figure i  pojam našeg didaktičkog pojma, nakon uzastopnih apstrakcija, naći će se u sadržaju pojma „trougao” koji je apstraktniji od oba. Apstrakciju možemo shvatiti kao misaonu operaciju, ključnu u procesu formiranja pojmova, kao misaono odbacivanje određenih, nebitnih nekarakterističnih svojstava pojma, pa se može reći da apstrahovanjem siječemo, skraćujemo listu karakterističnih svojstava pojma, čime sužavamo sadržaj pojma. Šta se tada događa sa obimom  pojma? Nije teško zaključiti: obim pojma se proširuje, zahvata više predmeta (pojmova, pojava i procesa) koje su prije odbacivanja nekih karakterističnih svojstava bili spriječeni da uđu u pojam. Dakle, između obima matematičkog  pojma i njegovog sadržaja postoji neka vrsta obrnute „proporcionalnosti” ne one aritmetičke, matematičke (dva puta manji sadržaj ne znači dva puta širi obim). Između različitih pojmova postoje mnogi odnosi relacije.  Naprimjer, pojmove trougao i sabiranje ili naprimjer jednakostranični trougao i množenje (u skupu prirodnih brojeva) teško je dovesti u neposrednu vezu. Ali, pojmove trougao i jednakostranični trougao, odnosno množenje i sabiranje, možemo dovesti u neposrednu vezu. Ako shvatimo jednakostranični trougao kao trougao čije su stranice  jednake, a množenje kao sabiranje jednakih sabiraka, osjećamo da jedan pojam rađa drugi pojam, da je jedan pojam vrsta drugog pojma. Tu govorimo o rodnom pojmu i vrsnom pojmu, o konkretnijem i općenitijem pojmu u odnosu na pojam kao pojam. Da rezimiramo, baš kao i u logici sistematizovanja matematičkih pojma govorimo o, relativnim odnosima rodni, vrsni, a za neke (parove) pojmova ovakvi odnosi, bar za njihov bliži odnos, ne postoji. Kao što je rečeno, odnos vrsnosti i rodnosti leži u odnosu sadržaja (obim) matematičkih pojmova.

11.3. Matematičko zaključivanje

110

Vidjeli smo kako iz matematičkih pojmova, primjenom misaonih, na logici zasnovanih, operacija, nastaju matematički sudovi, iskazi. Učeniku, koji je savladao tablice sabiranja i oduzimanja nije teško izvesti sudove 3 + 2 = 2 + 3, 4 +3 = 3 + 4, 1 + 3 = 3 + 1, odnosno 3x2 = 2x3, 3x4 = 4x3, 3x1 = 1x3 ... Do ovih sudova učenik može doći i neposredno, bez računanja, bez tablica sabiranja i oduzimanja, na osnovu značenja sabiranja i oduzimanja. Dovoljno je naprimjer, na crtežu predstaviti dva skupa koji sugerišu zbir odnosno proizvod, a onda da zamijeni položaje slika tih skupova ili položaj posmatrača. Uzastopnim ponavljanjem ovakvih sudova, učenici će sami zaključiti, izvesti sugerirani opšti zaključak: zbir (od dva sabirka) je nepromjenljiv  prilikom promjene mjesta sabiraka u njemu. U ovom primjeru sadržana je suština zaključivanja nepotpuno indukcijom.  Nakon ovih primjera odgovorimo na pitanje: Šta, u početnoj nastavi matematike podrazumijevamo pod matematičkim zaključivanjem? Možemo reči da je matematičko zaključivanje mentalni misaoni  proces, kada iz jednog ili više matematičkih sudova (koji su uzeti kao  pretpostavke, premise) izvodimo nove sudove (sudove zaključke, sudove izvode). Ne treba posebno naglašavati da se i zaključivanje u početnoj nastavi matematike učenicima implicitno sugeriraju opšte logičke zakonitosti prilikom izvođenja zaključaka. Ponovimo, misaona operacija, mentalni proces, kojim iz  jednog ili nekoliko sudova formiramo nove sudove u početnoj nastavi matematike shvatamo kao matematičko zaključivanje. Polazne sudove nazivamo premise, pretpostavke, a formirane sudove nazivamo zaključci ili izvodi. S obzirom na obim sudova pretpostavki, zaključivanje može biti iz jedne ili iz nekoliko (više) pretpostavki. Kao što smo ranije naveli, sudovi (ovdje mislimo na sudove pretpostavke) mogu biti  pojedinačni i opšti, pa s obzirom na tu činjenicu razlikujemo zaključivanje iz  pojedinačnih pretpostavki i zaključivanja iz opših pretpostavki. Kompleksno gledajući, u početnoj nastavi matematike razlikovat ćemo  jedno, po svojoj suštini, posebno zaključivanje koje se, izdvaja iz navedenih. To je zaključivanje po intuiciji. Ono je blisko onom metodu (prilikom rješavanja zadataka, naprimjer) koje nazivamo heurističkim (otkrivačkim) zaključivanjem. Navest ćemo nekoliko primjera, koji će biti više od ilustracija navedenih načina, postupaka, zaključivanja. Očekujemo da će navedeni primjeri  pomoći transfer analogijom na mnoge slične slučajeve zaključivanja u početnoj nastavi matematike. 111

11.3.1. Zaključivanje iz nekoliko (pojedinačnih) pretpostavki

Kao što smo istakli, u početnoj nastavi matematike učenici zaključuju najčešće iz nekoliko pojedinačnih pretpostavki. Ukoliko do zaključka dođu koristeći samo neke primjere, sudove, na koje će se odnositi iskaz zaključak, onda je to zaključivanje nepotpunom indukcijom. Ukoliko zaključak izvode na osnovu provjeravanja svih iskaza, pretpostavki na koje se oslanja zaključak, onda za takvo zaključivanje, u početnoj nastavi matematike, kažemo da je zaključivanje potpunom indukcijom.Još jedanput ističemo da se ovdje ne radi o zaključivanju u matematici koje se naziva  potpuna matematička indukcija. 11.3.2. Zaključivanje nepotpunom indukcijom

U uvodnim napomenama u vezi sa zaključivanjem naveli smo neke najfrekventnije primjere dokazivanja nepotpunom indukcijom: dokazivanje komutativnosti za sabiranje i množenje prirodnih brojeva, dokazivanje distributivnosti množenja prema sabiranju i oduzimanju, dokazivanje distributivnosti dijeljenja prema sabiranju oduzimanju (u slučajevima kad se ne izlazi iz skupa prirodnih brojeva). Pored navedenih primjera dokazivanja invarijantnosti (vrijednosti) zbira i produkta u odnosu na redoslijed sabiraka, odnosno faktora, te invarijantnosti zbira odnosno proizvoda (tri i više) sabiraka, odnosno faktora, u odnosu na način združivanja, primjera koji su frekventni u nastavnoj praksi (udžbenicima) , ovdje ćemo navesti nekoliko primjera koji su izuzetno korisni i koji mogu, povući karakteristike nastavnog predmeta (početna nastava matematike) ka matematici nauci. Primjer 1.

Iz sudova 2 + 0 = 2, 3 + 0 = 3, 4 + 0 = 4, 7 + 0 = 7, 0 + 0 = 0 izvodi se zaključak: n + 0 = n. (n je prirodan broj ili 0) Slično se zaključuje: 0 + n = n. (n je prirodan broj ili 0) Primjer 2. Iz sudova: 2x1 = 1 + 1 = 2 , 3x1 = 1 + 1 + 1 =3, 4x1 =1 + 1 + 1 + 1 = 4, 7x1 = 7, izvodi se zaključak: nx1 = n, ( n je bilo koji prirodan broj). Primjer 3. 112

Iz sudova: 2x0 = 0 + 0 = 0 , 3x0 = 0 + 0 + 0 =0, 4x0 =0 + 0 + 0 + 0 = 0, 7x0 = 0, izvodi se zaključak: nx0 = 0, ( n je bilo koji prirodan broj). Primjer 4 .

Iz sudova : 2x (3 + 4) = 2x3 + 2x4, 4x (7 + 3) = 4x7 + 4x3, 10x (5 + 4) = 10x5 + 10x 4, izvodi se (opšti) zaključak: ax (b + c) = axb + axc (ako su a,b i c prirodni  brojevi ) Primjer 5.

Crtajući kvadratne mreže oblika pravougaonika, ili slažući od modela kvadrata modele pravougaonika, učenik dolazi do zaključka (algoritma za računanje  površine pravougaonika) P= axb (a je broj jediničnih kvadrata uz stranicu čija mjerna dužina a, a b je broj jediničnih kvadrata uz stranicu čija mjerna dužina b) P = 4x3cm2 1cm 2

P = 12cm2 1cm 2

1cm 2

Primjer 6.

Analogno izgradnji algoritma, pravila za izračunavanje površine pravougaonika, učenici slaganjem modela (jediničnih) kocki u forme kvadra i prebrojavajući utrošene modele kroz nekoliko pojedinačnih primjera izvode (opši) zaključak V = axbxc o algoritmu za izračunavanje zapremine kvadra. Primjer 7.

Formula za izračunavanje obima pravougaonika kome su dužine susjednih stranica a i b, znamo da je 2x(a+b). Međutim, analizom slike pravougaonika lako se uočava da je obim (kao zbir stranica, dakle, duži) sastavljen od po dvije (susjedne) duži koje na pravougaoniku čine forme:  b L = a + b, O = 2x(a + b) a 113

Iz nekoliko različitih (po položaju i po odnosu i veličini stranica) pravougaonika dolazi se jednostavno do algoritma ”do obima preko dva el-a” tj. O = 2x(a + b). Ovakav način izvođenja algoritma O = 2x(a + b) ne samo da je  jednostavniji, očigledniji, nego je pogodniji prilikom korištenja inverznog puta: traženja dužina stranica iz obima. Primjer 8:

”Obim pravougaonika je 60 cm, a razlika njegovih, susjednih, stranica je 6 cm. Izračunati površinu tog pravougaonika!”, rješava se u četiri koraka: prvo se izračuna L, 60cm:2 = 30cm, onda se ”kraci” L-a izjednače po dužini: 30cm 6cm (ili 30cm + 6 cm), a onda izračuna kraći krak tj. kraća stranica  pravougaonika 24cm:2 = 12cm, (ili duži krak L-a : 36:2 = 18cm) itd. Dobijamo P = 18x12cm2 = 2dm2 16cm2. U navedenim primjerima zaključivanja polazište za zaključivanje bilo je nekoliko pojedinačnih sudova a ishodište, zaključak, jedan opšti sud, opšte  pravilo. To je karakteristika zaključivanjem nepotpunom indukcijom. Da li je ovaj način dokazivanja (u matematici) pouzdan. Da li on uvijek dovodi do tačnog suda, zaključaka, ako smo krenuli, naravno, od tačnih pojedinačnih sudova, pretpostavki ? Odgovor na ovo pitanje nagovještava riječ nepotpuna. Dakle, nepotpuna indukcija nije pouzdan način zaključivanja.

Međutim, radi svoje primjerenosti djeci koja uče početnu nastavu matematike, on se dosta primjenjuje u početnoj nastavi matematike, i učenici ne trebaju, na ovoj stepenici učenja matematike, da sumnjaju u taj način dokazivanja.  Nastavnik, učitelj, će uvijek imati kritički odnos prema upotrebi nepotpune indukcije. Da je to neophodno ilustrirat ćemo jednim primjerom. (Kontra)primjer 8. Dokaži: ako je n prirodan broj , tada je i broj nx n+ n + 11 prost! Koristeći metodu nepotpune indukcije i tabelu lahko ”dokazujemo” tvrdnju.  N nxn + n + 11

1 3

2 17

3 23

4 31

5 41

6 53

7 67

8 83

9 101

Zaista, svi brojevi u drugom retku (3, 17,23, ... ) su prosti, što neopreznom učeniku sugerira pogrešan zaključak: ako je n prirodan broj , onda je broj nxn+ n + 11 prost broj. Naime, ako bismo za n uzeli 10 , pa izračunali nxn+ n + 11naišli bismo na razočarenje. 114

11.3.3. Zaključivanje potpunom indukcijom

Ovaj način zaključivati ne treba povezivati sa zaključivanjem potpunom matematičkom indukcijom, zaključivanjem koje je posljedica Peanovih aksioma, koje smo upoznali prilikom izgradnje skupa prirodnih brojeva, a koje, naravno, nije interesantno za početnu nastavu matematike. Ovaj način, zapravo,  je poseban slučaj zaključivanja nepotpunom indukcijom, slučaj kada se u  pretpostavke uključe svi mogući sudovi na koje se odnosi izvedeni zaključak.  Naprimjer, u osmom primjeru, zaključivanja nepotpunom indukcijom, ukoliko bismo mu uveli uvjet da se zaključak odnosi samo na prirodne brojeve n koji su manji od 10, zaključak bi postao valjan, korektan, ali bismo to dokazivanje shvatili kao dokazivanje potpunom indukcijom. U literaturi starijeg datuma, izvođenju pojma paralelograma uglavnom se pristupalo induktivno:  prvo se izgradio pojam kvadrata, pa onda pravougaonika, pa onda romba i konačno romboida, bez izvođenja, naprimjer, pojma kvadrata iz pojma  pravougaonika. Tako, odvojeno izgrađeni, pojmovi ove četiri figure skupljeni su pod  jedan pojam paralelogram. Za svaku od četiri figure provjeren je sud: naspramne stranice kvadrata paralelne su, naspramne stranice pravougaonika  paralelne su , ... pa se na osnovu potpune indukcije izvodi zaključak da su naspramne stranice (bilo kojeg) paralelograma paralelne. 11.3.4. Zaključivanje iz jedne pretpostavke

Vidjeli smo da se nepotpunom matematičkom indukcijom, na osnovu nekoliko pojedinačnih pretpostavki, izvode opši zaključci, zaključci koji vrijede, ukoliko je zaključivanje bilo valjano, i za one iskaze koji su korišteni u  procesu zaključivanja i na sve ostale sudove na koje se odnosi zaključak. Ovdje možemo iznova potvrditi ono poznato induktivno-deduktivno-induktivno ili od  pojedinačnog do opšteg pa opet ka pojedinačnom. U zaključivanje iz jedne (opšte) pretpostavke svrstavamo neposredno deduktivno zaključivanje. 11.3.5. Neposredno deduktivno zaključivanje

Krenimo od (tačnog, opšteg) iskaza: Svaki višekratnik broja 10 je višekratnik broja 5. 115

U ovom iskazu pojavljuju se pojmovi: B: višekratnici broja 10 (10,20,30, ...) i A: višekratnici broja 5 (5,10,15, 20, ...). Iskaz nam sugeriše odnos: B je vrsni pojam za pojam A, dakle

Ako uopštimo iskaz i formuliramo ga kao ”svaki b je a” onda iz njega možemo izvesti još dva iskaza: 1. Neki b su a 2. Neki a su b. U našem, konkretnom, primjeru možemo zaključiti i da je broj 19340 višekratnik broja 5. U ovom primjeru skiciran je jedan način (neposrednog) deduktivnog zaključivanja, koji lako prepoznajemo po” Iz svaki izvodi se neki”. Dakle, (neposredno) deduktivno zaključivanje je oblik zaključivanja iz jedne  pretpostavke kojom se iz jednog iskaza o pojmu u pretpostavci izvodi zaključak o pojmu u zaključku, pri čemu je pojam u zaključku vrsni pojam  pojma u pretpostavci. Zaključivanje po analogiji (sličnosti) je oblik zaključivanja kojim se iz  jednog tačnog tvrđenja o pojmu u pretpostavci izvođenja tvrđenja o drugom  pojmu (u zaključku) koji ima neku vezu, neka zajednička svojstva sa pojmom u  pretpostavci. Zaključak izveden analogijom nije pouzdan. On neće biti tačan ako se ne oslanja na pojam u zaključku, ne posjeduje karakteristično svojstvo na kojem je tvrdnja utemeljena.  Neposrednim deduktivnim zaključivanjem u početnoj nastavi matematike učenik opšti zaključak, koji je izveden induktivnim putem, koristi kao polazište i iz njega izvodi pojedinačne zaključke. Dakle, ovdje je  pretpostavka jedan opšti iskaz, a zaključak pojedinačni iskaz(i). Učenici,  ponekada nisu ni svjesni da prilikom izvođenja nekih pravila, prilikom rješavanja zadatka, koriste deduktivno zaključivanje, a vrlo ga umješno  primjenjuju. Nerijetko će učenici, u zadatku 1+2+3-4+5+ ... + 10 primijeniti, ono što je, kako se misli, primijenio Gaus učenik, u desetoj godini života, kada 116

 je za, minut-dva došao do zaključka da je zbir prirodnih brojeva, od 1 do 100  broj 5050. Naime, uz neznatnu pomoć nastavnika računat će, često napametno: 1+2+3+ ..+10 = 5x11 = 55. Zašto ovaj primjer ističemo ovdje, gdje govorimo o deduktivnom zaključivanju? Jednostavno, jer su zakonitosti sabiranja (komutativnost i asocijativnost) toliko uopšteni da ih učenik i shvata i prihvata kao opću zakonitost, koja važi u svim sabiranjima prirodnih brojeva, pa ih onda primjenjuje na konkretnim,  pojedinačnim slučajevima, kao što je izračunavanje zbira 1+2+3+ ... + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + .. . Još jednostavniji, očigledniji, primjer deduktivnog zaključivanja je  primjena suda o distributivnosti množenja prema sabiranju, naprimjer prilikom izgradnje algoritma za postupak (pismenog) množenja, odnosno distributivnost dijeljenja s obzirom na sabiranje prilikom izgradnje pravila, postupaka  pismenog dijeljenja, ali i prilikom usmenih množenja i dijeljenja. Naprimjer, računanje produkta brojeva 9999 i 3456 postaje mnogo jednostavnije ako se umjesto broja 9999 uzme razlika 10 000 - 1 i primijeni distributivnost množenja prema oduzimanju. U jednom primjeru kojim smo ilustrovali zaključivanje nepotpunom indukcijom izvedeno je to pravilo, zakonitost distributivnosti množenja prema sabiranju i to je jedan opšti zaključak, opšte  pravilo. Neposrednom primjenom tog pravila na konkretan slučaj, zaključivanje  je bilo neposredno deduktivno. Važno je ovdje naglasiti, da se u praksi susrećemo ne baš rijetko sa mehaničkim, pa i pogrešnim deduktivnim zaključivanjem, čak i u ponekom udžbeniku, možemo naći aplikaciju algoritma (opšteg zaključka) za izračunavanje površine pravougaonika P= axb, na ovakav način: P = 12cmx10cm= ... , umjesto korektnog zapisivanja P = 12x10cm 2, pri čemu se lako uviđa samo formalističko shvatanje i primjena pravila. Da zaključimo, kod neposrednog deduktivnog zaključivanja se iz tačnog opšteg tvrđenja o matematičkom pojmu u pretpostavci izvodi tačno tvrđenje o pojmu koji je manje opšti, dakle koji je vrsni, u odnosu na pojam u pretpostavci. 11.3.6. Matematičko zaključivanje po sličnosti (po analogiji)

Matematičko zaključivanje po sličnosti je takođe zaključivanje iz  jednog iskaza. Prilikom izgradnje algoritma pismenog sabiranja, za slučaj prijelaza desetica  preko devet, učenici mogu lahko (ako im to omogućimo!) izvesti zaključak o  postupku na osnovu onoga što su naučili prilikom razmatranja slučaja kada je  bilo u pitanja prelaženje broja jedinica preko devet. U oba ova slučaja, pravila 117

su zasnovana na činjenici da svaka dekadska jedinica ima deset jedinica koje su  prije nje. Ova navedena dva slučaja imaju zajedničko analoško jezgro: strukturu zapisivanja brojeva u dekadskom brojevnom sistemu. Za kvadrat kažemo da je tangentni četverougao (može mu se upisati kružnica). Primjeri: Iz svojstva jednakost stranica kvadrata i romba i opšteg tvrđenja kvadratu se može opisati kružnica, izvodimo zaključak rombu se može opisati kružnica. Međutim, iz iskaza, suda kvadratu se može opisati kružnica bio bi izveden pogrešan zaključak da se i rombu (koji je takođe jednakostranični četverougao) može opisati kružnica. Zašto je to tako? Jednostavno, ova analogija ne bi bila izvedena iz analoške jezgre (konstantnosti zbirova suprotnih uglova), osobine koju nema romb. Isto tako, iz činjenice da je broj desetičnog zapisa koji završava nulom ili peticom djeljiv sa pet prenijeti analogijom na,  primjer brojeve zapisane u sistemu baze 6 što bi bilo potpuno pogrešno, jer bi se sapleli već na prvom primjeru: broj 15 6 (= 11) očigledno nije djeljiv brojem 5 što je ovdje bilo pogrešno? Pogrešno je bilo shvatanje analoške jezgre. U suštini  broj 5 je djelitelj brojeva baze (10), pa bi se analogan zaključak izgledao ovako: u brojevnom sistemu baze 6 broje je djeljiv sa 3 (2) ako mu je zadnja cifra 0 ili 3 (2). Stvarno, 3 je djelitelj brojeva 13 6 (= 9), 3406 (= 132), 236 (= 15), itd. Dakle, kao što i nepotpuna indukcija nije pouzdan način zaključivanja tako ni zaključivanje analogijom, po sličnosti nije pouzdan način zaključivanja. Međutim, ipak je ovaj način zaključivanja izuzetno čest i važan u početnoj nastavi matematike. Navest ćemo jedan primjer primjene analognog zaključivanja u rješavanju zadataka. Prilično složen zadatak, za učenika trećeg razreda: „Na  brojevnoj osi odrediti broj koji ima četiri put veću udaljenost od broja 457 nego od broja 262”, analogijom se dosta uspješno rješava. Umjesto brojeva 457 i 262, uzimaju se brojevi, manji, naprimjer 12 i 2. Posmatranjem tih brojeva na  brojevnoj osi i rješavanjem analognog zadatke za te brojeve: 12 - 2 = 10, 10:5 = 2, 12 - 4∙2 = 4 (ili 2 + 1∙2 = 4) lako se, analogno rješava osnovni zadatak: 457 - 282 = 175, 175:5 = 35, 282 + 1∙35 = 317 (ili 457 - 4∙35 = 317). Lijepi primjeri analogije su i primjeri rješavanja nekoliko zadataka, koji na prvi  pogled, nemaju neposrednu vezu, međutim imaju zajedničko jezgro: 118

To su zadaci: 1. Na duži AB date su tačke C, D, E i F. Koliko je sa svih šest tačaka određeno duži? 2. U skupu od šest ljudi svako se rukovao sa svakim. Koliko je tu bilo rukovanja? 3. Šest poznanika sa ljetovanja , nakon povratka sa ljetovanja, napiše svaki svakom po jedno pismo. Cijena marke je 50 Pf. Koliko su ukupno novaca izdvojili za marke? 11.3.7. Zaključivanje intuicijom

Ovaj način ne može se svrstati niti u jedan vid zaključivanju koje smo generalno naveli, ali ipak je u tijesnoj vezi sa svim navedenim vidovima zaključivanja. Ovaj način u početnoj nastavi matematike nije čest, ali od ogromne je važnosti. Zašto? Učitelj mora biti sposoban da prepozna učenike koji pokazuju sposobnost intuitivnog rješavanja problema. Nerijetko se u takvim učenicima kriju budući matematički, odnosno intelektualni talenti. Iako  je put intuitivnog zaključivanja teško objašnjiv teško ga opisuje i onaj ko je intuitivno zaključivao, treba naglasiti da je u osnovi riječ o aktivnostima, misaonim koje su zasnovane na ranijim iskustvima. Iako nije bez osnova tvrdnja da je sposobnost ovakvog načina zaključivanja, jedna od urođenih sposobnosti, ne treba zanemariti ni prethodna iskustva ličnosti, osobe, učenika, koja pobuđuju te sposobnosti. U svakom slučaju, te napore i sposobnosti učenike treba i ohrabrivati i dalje razvijati. Intuitivno zaključivanje usko je vezano sa zaključivanjem analogijom. I intuitivno zaključivanje, zaključivanje ”ad hoc”, spada u ona koja nisu pouzdana. Valja ih uvijek provjeriti drugim načinima zaključivanja.

119

12. PRINCIPI, METODE I OBLICI RAD U SAVREMENOJ NASTAVI MATEMATIKE 12.1. Principi nastave matematike 12.1.1. Pojam i vrste didaktičkih principa U svakom ljudskom radu postoje određeni principi koji se moraju  poštovati da bi rad bio uspješan. Princip je riječ latinskog porijekla (principumnačelo, osnova, osnovno učenje, osnovna misao i osnovno pravilo od kojeg se  polazi u radu). Dr. Vladimir Poljak navodi da su „ ...didaktički principi određena načela kojima se rukovodi nastavnik u nastavnom radu da bi uspješno ostvario njegove zadatke“. Milan Bakovljev u didaktici navodi principe sa kojima se služi većina autora a to su: princip naučnosti, sistematičnosti, postupnosti, vođenja računa o uzrastu učenika, uvažavanja individualnih sposobnosti učenika, učeničke aktivnosti, princip očiglednosti, princip povezanosti teorije sa praksom, trajnost znanja, umijeća, navika i ekonomičnosti. 12.1.2. Princip primjerenosti Primjena ovog principa u nastavnom radu zahtjeva da izbori i način obrade sadržaja budu primjereni prema uzrasnim, psihičkim i fizičkim sposobnostima učenika, kao i njegovim interesovanjima. Da bi nastavno gradivo učenicima bilo dostupno, njegov obim i kvalitet moraju biti prilagođeni razvojnim karakteristikama i mogućnostima učenika. Ovaj princip odnosi se na sve aspekte nastavnog rada, npr.: za određivanje sedmičnog broja časova, na dnevno i sedmično opterećenje učenika, izbora adekvatnih izvora znanja, nastavnih metod, oblika rada itd. Ovaj princip odnosi se i na objektivne faktore kao što su pravilno dimenzioniranje školskog namještaja, nastavnih pomagala, udžbeničke 120

literature. Primjena principa primjerenosti nastave uzrastu učenika znači da nastava ne bude ni prelagana i preteška, da s proučavanjem pojedinih nastavnih sadržaja treba početi pravovremeno, ni prerano, ni prekasno da ne treba  potcjenjivati ni precjenjivati psihofizičke snage učenika, treba voditi računa o subjektivnim snagama učenika, a ne samo o objektivnim društvenim potrebama. Zadatak nastave je da potpomaže, unaprjeđuje i intenzivira razvoj učenika do najvišeg mogućeg nivoa. U početnoj nastavi matematike princip primjerenosti ostvaruje se na sljedeće načine: -

Osiguravanjem adekvatnog predznanja učenika, Adekvatnim izborom, rasporedom i interpretacijom gradiva, Izborom metoda, oblika rada, nastavnih sredstava itd. 12.1.3. Princip očiglednosti i apstraktnosti

Rekli smo da je znanje jedinstven sistem činjenica i generalizacija koje su učenici usvojili i zadržali u svijesti. Činjenice i generalizacije se razlikuju s obzirom na način usvajanja i kvalitetu znanja. Principom očiglednosti osigurava se usvajanje činjenica, a principom apstraktnosti usvajanje generalizacija. Držati se pricipa očiglednosti znači stjecati znanje putem čulnog doživljavanja. Pojedinac doživljava svijet koji ga okružuje i usvaja činjenice spoljinim  predmetima pomoću čula vida,sluha, mirisa, dodira i ukusa. Na taj način o njima izgrađuje predstave. U nastavi govorimo o očiglednosti, kad se učenicima omogući da putem opažanja primaju predmete i pojave koji se obrađuju tokom nastavnog procesa. Princip očiglednosti znači promatranje predmeta i pojava od strane učenika u izvornoj stvarnosti na različitom očiglednom materijalu uz angažovanje što više čula da bi stekla bogatija i adekvatnija čulna iskustva. Važnost očiglednosti je višestruka. Promatranjem interesantnog objekta kod učenika se pored osjetnih doživljaja, o njemu razvija pažnja , interes, objekt se doživljava emocionalno,  pamte se slike, objekti, itd... Promatranje je prisutno u svim etapama nastavnog  proces, ne svodi se samo na vizualno percepiranje već obuhvata i ostala osjetna  područja. Pored neposrednog promatranja u izvornoj, objketivnoj stvarnosti očiglednost je zastupljena i primjenom nastavnih sredstava pa i kad nastavnik, očigledno, slikovito pripovijeda. Očiglednost i promatranje nisu oprečni i međusobno se ne isključuju.To su dvije etape procesa saznavanja, promatranja  predmeta iz neposredne stvarnosti, ili nastavnih sredstava je početna , a apstraktno mišljenje , završna faza tog procesa.

121

Očiglednost treba da je najzastupljenija u etapi upoznavanja činjenica. Činjenice se početak, a ne krajnji cilj nastave. Konkretne pojedinačne činjenice su osnova za oupćavanje i saznavanje zakonitosti. Da bi očiglednost u nastavi ispunila svoju svrhu nužno je učenike osposobljavati da planski promatraju.Nastavnik treba voditi promatranje, usmjeriti pažnju učenika na ono što je bitno, provjeravati da li je to što su zapazili bitno i kako to objašnjavaju. Očiglednost je potrebna u tolikoj mjeri da učenici u svojoj svijesti akumuliraju dovoljno u kvantitetu činjenica, što je ustvari materijalna osnova na temelju koje se prelazi na apstrakcije osnosno generalizacije. Primijeniti princip očiglednosti znači dati znanja na tipičnim primjerima koji  pomažu formiranje određenih pojmova, pravila i zakona, a ne dati što više čulnog znanja. 12.1.4. Princip svjesnosti i aktivnosti Ovaj princip zahtijeva da učenici svjesnim naporom savladaju nastavne zadatke. Posebna pažnja pridaje se odnosu učenika prema učenju. Ovaj princip se ne ograničava samo na područje intelekta već i na druge dimenzije procesa učenja (motivaciju, pozitivne stavove prema učenju itd.). osnovna suština  pricipa svjesnoti i aktivnosti je u tome da se sagleda kako učenici usvajaju znanja, kakav je njihov odnos prema nastavi i kakav je i koliki stepen njihove vlastite aktivnsoti u procesu učenja nastavnog gradiva i u njegovoj primjeni. Ovaj princip ukazuje da je uloga učenika u nastavi aktivna i da je učenik u ulozi subjekta, a ne pasivan u nastavnom procesu. Uspješna primjena i realizacija ovog principa zavisi od mjesta i uloge nastavnika u odgojno-obrazovnom radu. Proces nastave razmatra se sa stanovišta aktivnosti nastavnika (poučavanje) i sa stanovišta učenika (učenje). Veoma je važno da učenici imaju prilike da formulišu probleme koji odgovaraju njihovim mogućnostima i da ih samostalno rješavaju. Na taj način učenici se uče da savlađuju teškoće i da stječu bogata, trajna i operativna znanja vlastitom aktivnošću. Ovaj princip u nastavi matematike primjenjuje se na svim etapama nastavnog procesa ( usvajanje nove nastavne građe, ponavljanje, uvježbavanje i  primjenjivanje u praksi). 12.1.5. Princip individualizacije 122

Svaki učenik se po nečemu razlikuje od ostalih učenika istog odjeljenja. Između učenika istog odjeljenja postoje razlike u hronološkoj, obrazovnoj i mentalnoj dobi, postoji različitost obiteljskih i društvenih sredina iz kojih potječu. Princip individualizacije podrazumijeva prilagođavanje didaktičke aktivnosti svakom učeniku vodeći računa o njegovim individualnim karakteristikama. Individualizacija nastave znači orijentaciju na realne tipove učenika, uzevši u obzir razlike među njima i usklađivanje metoda i postupaka pedagoškog djelovanja prema tim razlikama, pomoć učenicima da napreduju svojim vlastitim tempom u skladu sa mogućnostima. Individualizacijom se nastoji ostvariti maksimalne mogućnosti u razvoju svakog pojedinca. Glavni cilj individualizacije je naučiti učenike da uče, formirati kod njih pozitivnu motivaciju za učenje i osloboditi potencijalne sposobnosti svakog pojedinog učenika. Potencijalna sposobnost je složena sposobnost pojedinca koja se manifestuje u svakoj pozitivnoj reakciji za koju je on sposoban. Individualizacija nastave treba da obuhvati sve učenike u odjeljenju. Može se sprovoditi različitim načinima diferencijacije nastave. Najlakše se ostvaruje u dopunskoj, izbornoj i fakultativnoj nastavi. U redovnoj nastavi individualizacija se najlakse sprovodi individualnim radom učenika posebno na diferenciranim zadacima prema određenim individualnim razlikama. Individualnim radom učenici rade svojim vlastitim tempom. Individualizacija nastave postiže se diferencijacijom nastave u sadržaju i načinu rada u toj mjeri da se zadovolje indivudalne razlike među učenicima. Individualizacijom nastave teži se maksimalno iskoristiti psihofizičke snage učenika radi njihovog intenzivnijeg razvoja čime se u još većoj mjeri ostavruje princip adekvatnosti i anticipacije. 12.1.6. Princip sistematičnosti i postupnosti Sistematičnost znači obrađivanje nastavnih sadržaja u određenom logičkom pregledu, koji će dovesti učenike do stupnja naučnog sistema kao logičkog pregleda naučnih činjenica i generalizacija. Prema tome, primjenom sistematičnosti treba znati i umjeti logički struktuirati nastavne sadržaje, bez obzira na to je li to nastavni program u cjelini ili u pojedinim užim dijelovima. Sastavljači nastavnog programa sistematizirali su nastavne sadržaje po  predmetima i razredima, a nastavnik treba da logički struktuira uže dijelove nastavnih sadržaja prilikom obrade nastavnih tema i nastavnih jedinica. Rukovodeći se principom sistematičnosti, nastavnik vodi učenike do naučnog sistema koji predstavlja vrhovni domet ljudske spoznaje i formiranja naučnog  pogleda na svijet. Nastavnik učenike vodi do nastavnog sistema korak po korak vodeći računa o principu postupnosti. Učenike postepeno osposobljava da 123

novousvojena znanja povezuju sa prethodnim i uklapaju to u sistem znanja. Pravo znanje predstavlja sistem naučnih činjenica i generalizacija iz određene oblasti, a ne skup međusobno izolovanih naučnih fragmenata.

Postupnost u radu nastavnika izražava se pravilima: -

Od lakšeg ka težem, Od jednostavnog ka složenom, Od bližeg ka nepoznatom, Od konkretnog ka apstraktnom

Principom sistematičnosti zahtijeva se izlaganje nastavnih sadržaja u logičkom  pregledu koji odgovara naučnom sistemu, principom postupnosti zahtijeva se obrađivanje sadržaja u skaldu sa psihičkim mogućnostima učenika. 12.1.7. Princip objektivne realnosti Ovaj princip navodi J.Markovac, 1992. godine a ističe da je važan u  početnoj nastavi matematike, gdje se osnovni matematički pojmovi izvode iz kvantitativnih odnosa objektivne realnosti. Kvantitativni odnosi realnosti često se aktualiziraju učeničkim didaktičkim materijalom i tekstualnim zadacima u  početnoj nastavi matematike. Ovaj princip je uslovljen genezom spoznavanja kvantitativnih odnosa djeteta koje početak ima uvijek u realnosti. Primjena ovog  principa doprinosi stvaranju pretpostavke za primjenu stečenog znanja u praksi. Formirajući osnovne matenatičke pojmove na relanim kvantitativnim odnosima, stvaraju se uslovi za razumijevanje njihovog formaliziranog zapisa. 12.1.8. Princip motivisanosti  Najjaču pokretačku snagu nastave matematike čine motivi. Učenici se mogu motivisati za učenje matematike pravilnim izborom gradiva, nastavnih metoda, oblika rada, nastavnih sredstava, demokratskom komunikacijom sa učenicima i sl. Pravilno vrednovanje i ocjenjivanje učeničkog napretka u nastavi matematike takođe je snažan motivacioni faktor za učenje ovog nastavnog predmeta. 124

12.1.9. Princip racionalnosti Ovaj princip podrazumijeva racionalan, ekonomičan i logičan pristup  problemima koji se obrađuju kroz nastavu matematike i u svakodnevnoj praksi. S obzirom da u nastavi matematike dominiraju bitni aspekti realnog svijeta,  povezanost sadržaja podrazumijeva trajnost usvojenih znanja, što čini nastavu matematike posebno izuzetnom. 12.1.11. Princip naučnosti i savremenosti Poštovanje principa naučnosti u nastavi podrazumijeva zasnivanje ukupnog nastavnog rada na naučno-provjerenim sadržajima, oblicima i metodama. Suština ovog principa ogleda se u zahtjevu da učenici tokom svih godina učenja i školovanja usvajaju znanja koja su naučno provjerena, koja odgovaraju savremenom nivou nauke, tendencijama i perspektivama njenog razvoja. Kod učenika treba formirati potrebe i navike za samostalno stejcanje znanja, a treba ih upoznati sa metodama nauke i osnovnim naučnim metodama i tehnikama koje se primjenjuju u istraživanjima, naravno na učenicima dostupan način. Ovaj se zahtjev ostvaruje u zavisnosti od uzrasta i psiholoških mogućnosti učenika. Pored stjecanja naučno-provjerenih znanja bitan cilj nastave je i misaoni razvoj učenika. Naučno zasnovana znanja najviše pomažu razvoju logičkog mišljenja koje je u osnovi svakog naučnog rada. Primjena ovog  principa vodi formiranju naučnog pogleda na svijet što je jedan od važnih ciljeva obrazovanja. Princip naučnosti važi za sve predmete i podjele koje  postoje. Kad je u pitanju nastava matematike, ovaj princip podrazumijeva savremeno znanstveno tumačenje matematičkih pojmova u granicama učeničkih razvojnih mogućnosti. Savremenost i naučnost odnose se na nastavne sadržaje i na nastavni proces u nastavi matematike.

125

12.2. OBLICI RADA U NASTAVI MATEMATIKE 12.2.1.Vidovi oblika nastavnog rada u nastavi matematike

Pod oblikom nastavnog rada podrazumijeva se način aktivnosti nastavnika i učenika, a karakteriše ih odgovarajuća vrsta sociološke organiziranosti. Polazeći od organiziranosti, oblici nastavnog rada razvrstavaju se na frontalni, grupni, rad u parovima (tandem ) i individualni. Koji će se oblici nastavnog rada koristiti u nastavi matematike ovisi od didaktičkog trougaoa : od  pristupa nastavnika, od uzrasnih mogućnosti i sastava učenika i od vrste nastavne građe. U didaktici su često oblici nastavnog rada miješani sa nastavnim metodama. Oni predstavljaju širi organizaciono-radni okvir od nastavnih metoda jer se u jednom obliku nastavnog rada mogu primjenjivati različite metode (više njiih). Uzimajući kao kriterij strukturu i jasnost nastavnog sadržaja Herburger i Simonic razlikuju objašnajavajući i razvojni oblik nastave. Karl Šteker oblike nastavnog rada dijeli na neposrednu anstavu i posrednu. U neposredne oblike rada u nastavi ubrajaju se oni oblici u kojima nastavnik „prenosi“ znanja i direktno rukovodi nastavnim procesom na klasičan način.  Nastavnik je glavni i često jedini nosilac rada na času. On izlaže gradivo,  pokazuje predmete i slike, objašnjava ih. Nastavnik sam utvrđuje cilj i pravi  plan rada, bira nastavne metode i sredstva koja će koristiti, sam realizuje plan.  Neposredni oblici nastave su ekonomičniji od posrednih oblika. Njima se podstiče kod učenika razvoj takmičarskog duha i jednostavniji su za organizaciju. Nedostatak je što se nastava prilagođava prosječnom učeniku i što su zapostavljene individualne sposobnosti učenika. Posredni oblici nastavnog rada razvili su se iz „tihog rada“ koji se praktikovao u kombinovanim odjeljenjima malih škola. U posrednim oblicima nastave nastavnik radi, usmjerava i kontroliše obrazovni proces posrednim sredstvima u koja se ubraja: opća organizacija rada, pripremanje posebnih zadataka, radnih i kontrolnih listova, uputstava. Značaj ovog oblika rada je što se povećava samostalnost učenika u radu i što se uvode u samoučenje. 126

12.2.2. Uloga frontalnog oblika rada u nastavi matematike

U frontalnom obliku rada nastavnik istovremeno radi sa cijelim odjeljenjem. Ukoliko ulogu nastavnika preuzme učenik ili neko drugi u odjeljenju i tada govorimo o frontalnom obliku rada u nastavi.  Nastavno gradivo nastavnik izlaže, tumači, objašnjava, demonstrira cijelom odjeljenju istovremeno. Pitanja postavlja cijelom odjeljenju a učenik koji odgovara na pitanje radi to  pred cijelim odjeljenjem. Postoje dva načina frontalnog oblika rada : vezani i slobodni. U vezanom obliku rada nastavnik najveći dio časa koristi verbalnu aktivnost i njegova uloga je dominantna. Slobodni način frontalnog rada daje učenicima veću slobodu i insistira više na njihovoj aktivnosti. Učenici postavljaju cilj i zadatke časa, planiraju rad, realizuju ga i donose zaključke. Nastavnik ih u tome usmjerava i pomaže im. 12.2.3. Prednosti i nedostaci frontalnog rada

Prednosti frontalnog oblika rada prema Poljaku ogledaju se u sljedećem : „ ...frontalni rad je najekonomičniji jer nastavnik istovremeno radi sa velikim  brojem učenika, nadalje, nastavnik izravno komunicira sa svim učenicima i pri tome kontrolira da li ga svi učenici prate. Učenici usvajaju način izražavanja i ujedno i sami imaju prilike da se verbalno izražavaju. Nastavnik direktno rukovodi cijelim odjeljenjem, što pridonosi da se rad istovremeno zajednički započne i zavrsi. U zajedničkom radu slabiji učenici potiču se na intenzivniji tempo rada, a indiferentni na aktivnost, razvija se kolektivna radna disciplina i discipliniranost u radu i rad se pod rukovodstvom nastavnika vodi najsigurnijim  putem do cilja i sl.“  Nedostaci frontalnog oblika rada su: - Teškoće individualizacije gdje bi težina i tempo rada bili prilagođeni individualnim sposobnostima učenika, - Stepen usvojenosti nastavnih sadržaja može se provjeravati samo kod  jednog određenog broja učenika, radom, -  Nema direktne komunikacije između učenika zbog ometanja rada, - Istovremeno je teško i nemoguće aktivirati sve učenike, 127

-

Ovaj rad je uniformiran što izaziva monotoniju i dosadu, U učionici vlada atmosfera predavaonice i slušaonice, Odjeljenje je heterogeno po sastavu, a frontalnim radom stvara se vještačka homogenost, - Učenici su pasivni jer sve poslove radi nastavnik, -  Nastavnik se rado sa velikom grupom učenika brzo umara, - Frontalni oblik daje male mogućnosti za praktičnu primjenu stečenih znanja

12.2.4. Individualni oblik rada

Individualni oblik nastavnog rada je takav oblik rada u kome svaki učenik u odjeljenju radi smaostalno postavljeni zadatak. Dr. Mladen Vilotijević navodi tri vrste individualnog rada sa učenicima: -  Nastavnikov rad sa pojedincem - Svi učenici rade na istom zadatku - Rad učenika na različitim zadacima 12.2.5. Prednosti i nedostaci individualnog oblika rada

Individualni oblik rada osamostaljuje učenike tako što ih uči da uče. Ovo doprinosi razvoju samopouzdanja kod učenika. Pojedinac realno sagledava koliko je postigao i kakav je njegov rezultat u odnosu na postignuća drugih učenika. Nastavnik stiče realnu sliku o znanju svakog pojednica i odjeljenja kao cjeline. Uvažavaju se potrebe i mogućnosti svakog učenika. Učenici su u individualnom radu stavljeni u direktan odnos  prema određenim zadacima nastavnih sadržaja gdje se zahtijeva maksimalna aktivnost svakog pojedinca. Učenici su prepušteni vlastitom znanju i vlastitoj sposobnosti. Individualni rad učenika zahtijeva temeljitu pripremu nastavnika ( da uradi zadatke prilagođene psihofizičkim mogućnostima učenika, da pripremi i umnoži nastavne listiće, da ih temeljito pregleda). Primjenom individualnog oblika rada ne treba pretjerivati. Ma koliko dobro bio  pripremljen on traži povećan napor učenika pa ga treba umjereno koristiti. 12.2.6. Grupni oblik rada

Grupni oblik rada se veoma često koristi u nastavi matematike.Grupni rad učenika izvodi se tako da se unutar učeničkog kolektiva povremneo 128

formiraju manje skupine učenika koje samostalno rade na određenim zadacima i sa rezultatima svog rada upoznaju nastavnika, odnosno cijeli kolektiv. Grupnom obliku rada odjeljenje se dijeli na grupe, grupe svaka za sebe osvaruju postavljene zadatke, a o rezultatu svog rada nakon završetka obavještavaju odjeljenski kolektiv. Organizacija grupnog oblika rada provodi se na sljedeći način: najprije nastavnik upoznaje sve učenike sa programom rada, odnosno sa konkretnim zadacima koje će grupe rješavati. Programe rada nastavnik će unaprijed  pripremiti za svaku grupu. Upoznat će učenike sa programom rada, tehnikama rada, uputit će ih u upotrebu različitih izvora i ostalog materijala, u načine kako će evidentirati rad, upoznat će ih sa eventualnim opasnostima i sa svrhom rada.  Nakon završenog rada predstavnik grupe izvještava o rezultatima svog rada. Nakon izvještaja predstavnika grupa prelazi se na sintetiziranje rezultata svih grupa 12.2.6.1. Veličina grupe

-

Grupni oblik rada odvija se kroz četiri faze: Pripremna Operativna Verifikativna Aplikativna

U pripremnoj fazi vrši se podjela uloga u grupi, utvđuju se kriteriji za formiranje grupa i bira se vođa za svaku grupu. Uloge učenika u grupi su različite i brojne. Raznovrsnost uloga doprinosi modernijem, sveobuhvatnijem, raznovrsnijem i interesantnijem radu u grupi. Veoma je bitno voditi računa o načinu formiranja grupa. Operativna faza predstavlja centralnu aktivnost svake grupe i svih grupa u odjeljenju. Uloga nastavnika je da u ovoj fazi usmjerava grupe u radu kao i  pojedine članove grupa. Iloga nastavnika u ovoj fazi je višestruka, on se mora naći u ulozi organizatora, planera, stimulatora, emitora i modjelatora. U verifikativnoj fazi organizuju se različita vrijednovanja. M. Stevanović navodi da se organizuju sljedeće vrste vrednovanja: 1. 2. 3. 4.

Vrednovanje programskih sadržaja tj. zadataka za grupni oblik rada Vrednovanje primjenjenog organizacionog oblika rada Vrednovanje rada nastavnika i vođa grupa Vrednovanje rada učenika i odgojno obrazovnih efekata  primijenjenog grupnog oblika rada 129

5. 6.

Vrednovanje korištene literature sa aspekta primjene grupnog oblika rada Vrednovanje vrednovanja.

Postoje dvije vrste zadataka u grupnom obliku rada: istovrsni i diferencirani. Istovrsni zadaci jednaki su za sve grupe. Obično se daju učenicima kada treba ponoviti, uvježbati određene nastavne sadržaje. Diferencirani zadaci su kad svaka grupa, iz iste nastavne jedinice, dobije različite zadatke. M. Vilotijević govori o tri modela grupnog oblika rada: - diferencijacija zadataka po grupama - diferencijacija zadataka po grupama a da zadatke u pojedinim članovima grupe daje vođa - diferecijacija zadataka po grupama i u okviru grupa za svakog člana. 12.2.7. Prednosti i nedostaci grupnog oblika rada

Prednosti grupnog oblika rada ogledaju se u sljedećem: - nosioci glavnog dijela rada su učenici - učenici su stavljeni u direktan odnos prema nastavnom sadržaju i izvorima na kojima uče - u grupnom obliku rada postoji stalna direktna saradnja među učenicima - radeći neposredno učenici formiraju svoje radne sposobnosti s  posebnim obzirom na kolektivni rad - ovaj oblik rada omogućava veću fizičku pokretljivost učenika i time osvježava - grupni oblik rada odgovara učenicima i psihološki - omogućuje regulisanje tempa rada kod svakog učenika - kroz grupni oblik rada učenici se bolje upoznaju i grupni oblik rada ima svojih nedostataka. Treba ga primjenjivati zavisno od  prirode gradiva i nastavnih sadržaja. Za grupni oblik rada nisu pogodni mnogi sadržaji iz različitih nastavnih  predmeta. Nepogodno je isuviše teško nastavno gradivo koje prevazilazi individualne sposobnosti većeg broja učenika. 12.2.8. Rad u parovima

Rad u paru (tandemu) je takav oblik rada u kome dobiveni zadatak izvršavaju dvojica učenika. U paru se može ostvariti jedinstvo, ako su parovi po osobinama i stavovima komplementarni. Ukoliko jedan od partnera nije 130

spreman na saradnju par se rastura. Rad u paru ubraja se u inovirajuće oblike nastavnog rada. Predstavlja prelaz od individualnog ka grupnom i kolektivnom( frontalnom) i masovnom obliku rada. Rad u parovima odvija se i rpolazi kroz tri faze koje su logički povezane: -  pripremnu - fazu samostalnog istraživačkog rada - fazu prezentacije rezultata rada U pripremnoj fazi rada obavljaju se sljedeći zadaci: - definiraju se ciljevi i zadaci, kao i očekivani rezultati koje treba dobiti u radu u parovima, - određuju se kriteriji za formiranje parova i utvrđuje se broj parova u odjeljenju, - vrši se izbor sadržaja, tema i dijele se zadaci parovima -  pripremaju se različiti izvori znanja kojima će se par služiti u rješavanju zadatog problema. Zadaci se mogu zadati na različite načine: a) mogu se napisati na tabli, ili grafo – foliji  b) mogu se učenicima pustiti da slušaju magnetofonske ili gramofonske zapise c) može se napisati plakat ili nastavni listići, d) mogu im se dati novi udžbenici, priručnici e) mogu i sami smišljati zadatke. Kao instrumenti za dobivanje povratne informacije o radu mogu se koristiti:kontrolni zadaci, testovi znanja, zadaci za pet minuta ispitivanja, ankete i sl. U drugoj fazi samostalnog istarživačkog rada parova dolazi do neposredne realizacije aktivnosti učenika na rješavanju postavljenih zadataka. Parovi su obično motivirani za rad. U fazi samostalnog rada parovi prvenstveno planiraju aktivnost za izvršenje radnih naloga, zatim organiziraju način izvršavanja radnih zadataka i radnih naloga. U fazi prezentacije se objedinjuju i prezentiraju dobiveni rezultati. Rezultati se mogu prezentirati na više načina: - da svaki par prezentira rezultate, - da parovi međusobno prezentiraju i vrjednuju rezultate -  prezentiranje rezultata može se obaviti i tako da se rad parova transformira u kolektivni oblik rada.

131

Cilj ove faze rada u parovima je da se stekne uvid u jednistveni pregled sadržaja, da se pretresu dobiveni rezultati i da se ocijeni rad parova i pojedinaca.

12.2.9. Prednosti i nedostaci rada u parovima

Rad u parovima ima brojne prednosti koje se ogledaju u sljedećem: -  povoljno utiče na razvoj drugarskih odnosa i na socijalizaciju - omogućuje parovima da potpuno dođu do izražaja što je u frontalnom radu nemoguće - važan je i izvan nastave u okviru domaćeg rada učenika - nalazi svoj puni smisao u ispunjavanju školskih zadataka izvan nastave - nalazi svoju primjenu u svim anstavnim oblastima matematike, svim razredima i tipovima sati - vrlo uspješno se kombinira sa svim oblicima rada u nastavi Rad u parovima ima i svoje nedostatke kao i svi drugi oblici rada. Kod  primjene rada u parovima veoma je bitno da nastavnik dobro poznaje specifičnosti obog oblika rada, da poznaje dobro sposobnosti učenika i da osposobi učenike za uspješan rad u parovma. Sastavljenje parova je veoma osjetljivo pitanje. Nastavnik mora dobro poznavati učenike, mora voditi računa da li se oni međusobno slažu i dopunjuju, kakav je njihov uspjeh, da li su isključivi ili tolerantni, umiju li sarađivati. Rad u parovma najveće rezultate dat će u nastavi matematike u fazi vježbanja i ponavljanja gradiva. Rad u parovima u nastavi matematike provodi se nakon frontalnog oblika nastavnog rada, i njime završava. Za rad u parovma neophodno je obezbijediti potreban nastavni materijal (upute učenicima, zbirke zadataka, nastavne listiće, didaktički materijal i dr.).

132

133

12.3. METODE RADA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE Kao načini zajedničkog rada učenika i nastavnika, metode početne nastave matematike sredstvo su realizacije matematičkog odgajanja i obrazovanja učenika. To je njihova zajednička djelatnost na usvajanju znanja, razvijanju sposobnosti i odgajanju učenika. Osnovno obilježje metoda u početnoj nastavi matematike je aktivnost sudionika nastavnog procesa, dakle, učenika i nastavnika. Razlikujemo sljedeće metode: - metoda usmenog izlaganja - metoda razgovora - metoda rada sa tekstom - metoda demonstracije - metoda grafičkih radova. 12.3.1.Metoda usmenog izlaganja

Metoda usmenog izlaganja je način rada kojim nastavnik ( a ponekad i učenici) izlaže sardžaj onoga što se uči. Temelji se na usmenoj komunikaciji onih koji u radu sudjeluju i jedna je od najstarijih nastavnih metoda. U praksi se pojavljuje nekoliko oblika: pripovijedanje, opisivanje, objašnjavanje, predavanje.

S obzirom na prirodu matematičkih sadržaja u početnoj nastavi matematike najviše se koristi u obliku objašnjavanja. Njome se objašnjavaju sadržaji matematičkih pojmova, matematički znakovi i termini, postupci usmenog i pismenog računanja, procesi rješavanja zadataka, načini izvođenja geometrijskih crteža i sl. Objašnjavanje je komunikacija čiji je cilj osposobiti nekoga za razumijevanje onoga što prije nije razumio, znao. To je postupak kojim se učenici upoznaju sa novim gradivom, a glavna mu je svrha razumijevanje, otkrivanje i uočavanje pojmovnog sadržaja matematičkih znakova, termina,  procesa, operacija, stjecanja uvida u njihovo značenje. Metoda usmenog izlaganja odnosno objašnjavanja u početnoj nastavi matematike najčešće se koristi za upoznavanje novog gradiva, pa se najviše upotrebljava na časovima obrađivanja i usvajanja novog gradiva, a rjeđe na satima vježbanja i ponavljanja. Često se kombinira sa drugim metodama,  posebno sa metodom demonstracije i metodom rada na tekstu. 134

S obzirom na dob učenika razredne nastave objašnjavanje ne bi smjelo dugo trajati, a povremeno treba činiti kraće pauze kako bi ga učenici mogli  pratiti. Gradivo početne nastave matematike je takvo da ne traži duga i zamorna objašnjavanja. Dužinu objašnjavanja ne bi trebalo poistovjećivati sa brojem objašnjavanja. Ponekad se mora više puta ponoviti. Učenička objašnjavanja korisno je poticati tzv.verbalnim impulsima kao što su: obrazloži, objasni, uporedi, provjeri i sl. Usmjeravajući učeničku misao na određenu aktivnost takvi poticaji služe i kao svojevrsno potkrjepljenje učeničke djelatnosti. 12.3.2. Metoda razgovora

Metoda razgovora je zajednički rad učenika i nastvanika koji se odvija u obliku pitanja i odgovora. Formuliraju ih i učenici i nastavnik, ali tako da su nastavnikova pitanja uvijek usmjerena prema učenicima, dok učenici  postavljaju pitanja i međusobno, učenik učeniku. Metoda razgovora je dijaloška  jer se temelji na dijalogu sugovornika. Kao način rada, razgovor više nego izlaganje potiče učeničku misaonu aktivnost, aktivira pažnju. Razgovorom se može provjeriti kako su učenici shvatili i usvojili ono što se uči. Postavljajući učenicima pitanja nastavnik doznaje kakvo je učeničko znanje pojedinih nastavnih sadržaja, postoje li i kakve su eventualne praznine u njihovom znanju. U toku razgovora učenicima se postavljaju različita pitanja, a najbolja su ona koja potiču razmišljanje. Takva su primjerice tzv. razvojna pitanja. To je niz pitanja na osnovi kojih se formulira širi zaključak. Preciznost mišljenja, a potom i odgovora, zahtijevaju jednoznačna pitanja kojima se traži direktan odgovor, npr. Koliko je 7 * 6? U praksi početne nastave matematike česta su i tzv. pomoćna ili dopunska pitanja koja se postavljaju ako se ne zna odgovor na prvo pitanje. Kao metoda usmenog izlaganja i razgovora pojavljuje se u različitim oblicima od kojih je za potrebe početne natsave matematike najpodesniji tzv.heuristički, otkrivački razgovor. Takav oblik razgovora veoma je podesan  pri izvođenju generalizacije. Pitanjima heurističke naravi učenici se navode na uočavanje onoga što je u nizu primjera isto, a što bez takva razgovora sigurno ne bi otkrili. Primjena metode razgovora može imati karakterističan nedostatak, a to  je cjepkanje sadržaja razgovora na dugi niz pitanja i odgovora. To su situacije koje karakterizira pitanje – odgovor, pitanje odgovor i tako u beskraj. Posljedice su bezuspješnog nastojanja da se iz učenika izvuče ono što u njegovoj svijesti 135

ne postoji. Kada se to dogodi, objašnjavanjem gradiva treba obrazložiti, a razgovor o njemu upriličiti pri vježbanju i ponavljanju. Inače metoda razgovora spada u frontalnu nastavu, no ovdje je nastavnik više moderator: razmjenom pitanje – odgovor, postepeno se razvija tema, dokaz. Tu nastavnik mora biti dobro pripremljen, uključivši predviđanje  pitanja i odgovora; nije pogodno za sve teme. Pitanja ne smiju biti sugestivna, preduga, ili pak odgovoriva s da/ne. Ta  pitanja nisu dobra i treba ih izbjegavati u nastavi. To je npr. jel tako djeco, dva više dva jesu četiri, ili tri više tri jesu š, š, še, še, pa djeca kažu šest. Ne, nego ih treba pitati koliko je dva više dva, tri plus tri. Dijalog s cijelim razredom (to treba biti i vremenski i sadržajno ograničeno – ne previše informacija ovim putem!) ili s pojedinim učenicima (da  bi svi sudjelovali treba se koristiti i individualni rad). Razgovor među učenicima: u pravilu u grupnom radu. Važno: sažeti rezultat – koji mora biti takav da se koristi u daljnjoj nastavi (posebno bitno ako su ga oblikovali đaci!)

12.3.3. Metoda rada sa tekstom

To je način stjecanja znanja i razvijanja sposobnosti radeći sa tekstom. U početnoj nastavi matematike to su udžbenik, nastavni listići, zbirke zadataka ili kakvi drugi učenicima primjereni tekstovi matematičkog sadržaja. Radeći s njima učenici stječu novo znanje ili pak uvježbavaju pojedine računske operacije. Rad s tekstom univerzalan je postupak stjecanja informacija pa ga zato treba njegovati i u početnoj nastavi matematike. Rad sa tekstom matematičkog sadržaja može biti različit: prikupljanje brojčanih podataka, upoznavanje opisa izvođenja računskih operacija ili geometrijskih crteža, upoznavnje sadržaja i generalizacija, pravila, definicija, rješavanje različitih računskih zadataka koji se nalaze u tekstu i sl. Osim učenika, tekstom matematičkog sardžaja često se koristi i nastavnik u pripremanju nastavog sata, obrađivanju novog gradiva, vježbanju i  ponavljanju. U pripremi nastavnog sata udžbenik omogućuje da se pravilno dimenzionira sadržaj nastavne jedinice, da se uspostavi veza sa prethodnim i  budućim učenjem i da se upoznaju termini i formulacije koje učenici trebaju usvojiti. U toku obrade novog gradiva tekst udžbenika koristi se kao dopuna nastavnikovu izlaganju upučujući učenike na opise rješavanja pojedinih zadataka, na sadržaje generalizacija, grafičke prikaze i sl.  Naročito se mnogo tekst koristi u vježbanju i ponavljanju, pri čemu udžbenik služi kao izvor računskih zadataka i uputa za njihovo rješavanje. 136

Budući da tekstovi matematičkog sadržaja upućuju pretežno na samostalan i individualan rad, obaveza je nastavnika da učenike pripremi za rad s tekstom, a to uključuje nekoliko važnih elemenata. Učenici razredne nastave, s obzirom na svoju dob, ne mogu se uspješno koristiti tekstom bez odgovarajućih uputa. Zato prvi korak u radu s tekstom treba biti uputa o mjestu teksta u knjizi ( stranica) i o mjestu na stranici. Treba insistirati da na kraju rada još jednom  provjere tačnost rješenja svih zadataka. Time se privikavaju na pažljiv rad, što  je vrlo važno. 12.3.4. Metoda demonstracije

To je način rada koji se ostvaruje pokazivanjem i promatranjem. Uključuje dva aspekta: -  pokazivanje (najčešće aktivnost nastavnika) -  promatranje ( aktivnost učenika). Metoda se koristi u svim situacijama kada se upoznavaju različiti predmeti, aktivnosti, procesi i sl. Primjena te metode u početnoj nastavi matematike specifična je zato što predmet demonstriranja i promatranja nije uvijek i  predmet učenja kao što je slučaj u drugim nastavnim situacijama. Npr. kada se demonstriraju i promatraju ekvivalentni skupovi, predmet učenja nije sastavljanje takvih skupova, već prirodni brojevi. Zato predmeti koji se u  početnoj nastavi matematike demonstriraju i promatraju moraju biti „transparentni“, odnosno omogućavati da se „kroz njih“ ili „iza njih“ otkrije i shvati predmet učenja. U početnoj nastavi matematike demonstriraju se različita nastavna sredstva kao što su didaktički materijal ( plastične pločice, plodovi, kamenčići, štapići i sl.), modeli geometrijskih likova (kocka, kugla, valjak i sl.), pokazuju se različita mjerila za mjerenje dužina, površina, volumena, mase, vremena (metar od drva, kvadratni metar od papira, litra, vaga, sat). Demonstriraju se i različiti grafički  prikazi (slike, grafikoni, dijagrami). Osim nastavnih sredstava, u početnoj nastavi mat.demonstriraju se i različiti postupci, procesi usmenog i pismenog računanja, upotreba geometrijskog pripora, načini izvođenja geometrijskog crteža. Zapravo, sve što nastavnik objašnjava svojevrsno je demonstarcija bilo  proces bilo sadržaja koji se objašnjava. 12.3.5.Metoda pismenih i grafičkih radova

To je način rada koji se ostvaruje pisanjem i crtanjem. Stoga se javlja u dvije varijante: 137

-

u obliku pisanja i u oliku crtanja

Upotrebom te metode povećava se razumijevanje odnosa među  brojevima i veličinama, olakšava se zamisao i govorna formulacija odnosno, izgrađuje se tačnost, preglednost, urednost u radu, a u izvjesnoj mjeri razvija se i osjećaj ljepote grafičkih prikaza. Bit metode grafičkih radova je transponiranje odnosa među brojevima i veličinama u vizualni podatak koji tako postaje dostupan osjetilnom spoznavanju. U pismenim oblicima izražavanja, varijanta metode grafičkih radova upotrebljava se u svim onim situacijama gdje se nešto  piše odnosno pisanjem prikazuje. U početnoj nastavi matematike pišu se prvenstveno matematički znakovi, termini, sklopovi znakova, termini i sklopovi termina (pravila i definicije, generalizacije). Glavni sadržaji pismenih radova u toj nastavi su matematički znakovi i termini te njihove različite kombinacije. Grafička ( crtačka) varijanta nastavne metode također ima veliku primjenu u  početnoj nastavi matematike, a koristi se u situacijama kada treba upoznati ili shvatiti odnose među brojevima i veličinama. Grafički radovi koriste se već od  prvog razreda gdje učenici tim načinom rada prikazuju elemente skupova crtajući ih na različite načine: a) u obliku geometrijskih likova  b) u obliku različitih plodova c) u obliku štapića i sl. Takvi grafički prikazi dopuna su radu sa skupovima konkretnih  predmeta, što osvježava i dinamizira nastavni rad. Grafičko prikazivanje može  biti u obliku dijagrama i grafikona. Osim što olakšavaju razumijevnje odnosa među brojevima i veličinama, dijagrami i garfikoni se često koriste u dnevnom životu, pa ih i zbog toga učenici moraju upoznati.

138

139

13. EDUKATIVNE IGRE U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE Matematika je svuda oko nas. Ona nam služi u svakodnevnom životu,  jer matematika je sat koji nas ujutru budi u određeno vrijeme, broj stolica koje imamo u kući, količina mlijeka koju dijete treba popiti, broj dugmića na košulji, drvene kockice od kojih dijete gradi toranj i sl. Matematika je sredstvo komunikacije, objašnjavanja i procjene... Metodika početne nastave matematike predstavlja znanstveno istraživačku i razvojnu disciplinu čiji je cilj identificirati, okarakterizirati i razumjeti pojave i procese koji se javljaju ili bi se mogli javiti u učenju i  poučavanju matematike na bilo kojem stupnju obrazovanja. Ona razmatra sve  pretpostavke važne za poučavanje i učenje matematike, učenikov razvoj matematičkih koncepata, ulogu jezika i utjecaj učitelja na učenje matematike, kao i društvene aspekte poučavanja i učenja matematike, stavove prema matematici. Tri glavna područja istraživanja i razvoja su: • • •

razvoj i implementacija kurikuluma (eng. curriculum design) metode poučavanja i učenja matematike (eng. instruction) vrednovanje postignuća / rezultata učenja (eng.  Assessment )

Visok stupanj interdisciplinarnosti se ogleda u: • • •

čvrstoj utemeljenost u supstratnoj znanosti (matematika) u značajnoj mjeri oslanja se na metodologiju društvenih istraživanja (statističke metode, empirijska istraživanja...) neophodna je suradnja sa znanstvenicima iz društvenog i humanističkog područja (pedagozi, psiholozi, sociolozi...)

Savremena nastava matematike je obično opisana sintagmom: nastava orijentirana učenicima . To podrazumijeva metode aktivne nastave, tj: • 140

dominantnu učeničku (a ne nastavničku) aktivnost pri:

– –

formuliranju matematičkih koncepata (tzv. učenje otkrivanjem) uvježbavanju i sistematizaciji obrađenih matematičkih sadržaja (kreativno vježbanje i ponavljanje)

• razvijanje odgovornosti učenika za vlastiti uspjeh i napredovanje u matematici U obaveznom obrazovanju to znači: mnogo praktičnih učeničkih aktivnosti.Za sobom povlači: • izmijenjenu ulogu nastavnika-nastavnik kao organizator(menadžer)  procesa učenja i poučavanja , a ne kao (jedini) autoritet znanja. • upotrebu raznolikih i raznovrsnih nastavnih sredstava i izvora znanja, a ne više samo udžbenika i zbirki zadataka.  Nastava matematike treba svim učenicima omogućiti: • • • •

prepoznavanje logičkog zaključivanja i matematičkog dokaza kao ključnih matematičkih aspekata postavljanje za matematiku karakterističnih pitanja, te stvaranje i istraživanje na njima zasnovanih matematičkih pretpostavki razvijanje kulture matematičke argumentacije, tj. razvoj i vrednovanje matematičkih argumenata i dokaza odabir i upotrebu različitih oblika zaključivanja i metoda dokazivanja 13.1. Kako se razvija dječije učenje i razmišljanje

Djeca rastu i mijenjaju se na razne načine tokom osnovne škole. Tri osnovna aspekta njihovog razvoja su socijalni, emocionalni i kognitivni(učenje,razmišljanje) 13.2. Kako djeca uče

Iako se svi rađamo sa nekim nasljednim tendencijama, djeci je neophodno podsticajno okruženje da bi dosegli svoj puni potencijal u učenju. Odrasli igraju ključnu ulogu u provođenju stimulacije i podršci dječijem učenju. Roditelji i vaspitači mogu ispuniti njihov razvoj kroz razumijevanje važnosti iskustva u svijetu koji se nalazi oko njih i snabdjeti to iskustvo tako da razvijaju radoznalost i interesovanja. 141

Šansa za djecu da budu aktivnije uključeni u učenje iz iskustva je posebno važna za njihov razvoj. Kada dijete iskusi novi događaj, ono pokušava razumijeti novo iskustvo stavljajući ga u svoj već postojeći, poznat sistem ideja, ako, međutim, novo iskustvo ne može da se objasni onim što već zna, to ga podstiče da se uzdigne do novih ideja ili puteva razumijevanja. Dodavanjem novih ili adaptacijom starih ideja i udruživanje novih i starih ideja zajedno, djeca polako grade znanje.

13.3. Redoslijed razvoja

Većina djece pretenduje da razvija vještine razmišljanja i učenja  predviđenim redoslijedom (npr. počinju da pričaju priče gledajući slike u knjizi  prije nego nauče da prepoznaju riječi). Međutim , svako se dijete razvija različito, tako da su individualne razlike česte. Te razlike su rezultat naslijeđenih tendencija, različitog iskustva i prilika kojima su izloženi ili kombinacija i jednog i drugog. Jezik im pomaže da organizuju mišljenje . Isto onako kako uče da koriste jezik usložnjavajući ga, isto tako i njihovo razmišljanje postaje složenije potpomognuto rastućom logikom. Malo po malo, razvijaju se kapaciteti za razmišljanje kroz situacije rješavanja  problema i razvoj vlastitih ideja. Sljedeća tabela pokazuje kojim redoslijedom i na koji način se najčešće razvijaju mišljenje jezik,pažnja, memorija i sposobnost rješavanja problema:

142

Od 5 godina većina dece…

Od 8 godina većina dece…

Od 12 godina većina dece…

Razvojvještina

♥ Može zamišljati objekte i razmislišljati o njima. Na primjer, deca u ovim godinama koriste realistične objekte i/ili koriste razumnu zamjenu tokom igre (mogu da upotrijebe bananu umesto telefonske slušalice).

♥ Može misliti logički o nekim objektima i događajima koje može da vidi (na primjer, lako uči kako radi mašina za pranje kada  je gleda, ali to učenje ne ide dobro ukoliko im se samo priča o tome.

♥ Počinje da misli na više hipotetički, kreativan i apstraktan način.

R  a z m i

♥ Najbolje uče iz iskustva iz prve ruke

š lj a nj e

♥ Ima rječnik od 2000 riječi ili više. Uči otprilike 5-10 reči svaki dan.

♥ Razumije i provodi instrukcije koje se sastoje iz više koraka.

♥ Koristi duže i komplikovanije rečenice.

J

♥ Koristi razne riječi u rečenicama.

♥ Voli da opisuje lična iskustva u velikim detaljima.

♥ Razumije različite puteve korištenja jezika za komunikaciju s drugima.

z

e

i k 

♥ Ima kratak raspon pažnje, otprilike 15 minuta.

♥ Ima povećanu sposobnost da se fokusira na jednu stvar izvesno vrijeme. ♥ Bolje ignoriše ometanje. ♥ Osjećaju ponos kad završe zadatak.

♥ Ima veći raspon pažnje.

P a

♥ Može ostati fokusirano da kompletira zadatke (na primjer, školske zadatke).

ž nj a

Djetetovo doživljavanje broja počinje još u prvoj godini. Brzo nauči da ima  jedan nos, dvije cipele, tri dugmeta. Čuje slijed brojeva. Svaki broj treba čekati 143

dok broj prije njega nije izgovoren, a onda će ustupiti mjesto sljedećem. To iskustvo slijeda već počinje u igrama poput ubacivanja jednog po jednog kamenčića u kanticu. Različiti su načini kojima možemo navesti dijete na učenje o brojevima: možemo brojati hrpu oraha ili jabuka, možemo dijeliti slatkiše sa drugom djecom. Tada dijete počinje razumijevati šta brojevi znače u stvarnome životu a uzrastu od druge do treće godine, dijete može slikovito misliti o brojevima. Na  primjer, trebaju mu tri noža, viljuške i kašike da postavi stol. Djeca ne moraju znati sve brojeve prije nego što počnu brojati, ali ne mogu  početi brojati prije nego što nauče nekoliko brojeva. Djeca uživaju govoriti "jedan, dva, tri, četiri" i tako dalje, i treba ih poticati da taj slijed ponavljaju koliko god žele. Ima i rima koje mogu poslužiti za uvježbavanje, npr. "jedan, dva, brojim ja", "jedan, dva, tri, četiri, na moj papir brojevi sletjeli", "jedan, dva, tri, četiri, pet, brojni je splet".  Nema potrebe prekidati djecu dok ponavaljaju brojeve; neka izgovore sve  brojeve koje znaju. Iako možda nemaju praktičnu potrebu za brojem poput "devetnaest", jednom će im dobro doći to što znaju da dolazi poslije osamnaest. Kako osmisliti mogućnosti učinkovitog učenja? Zašto je učenje iz iskustva često učinkovitije od učenja kroz nastavu? Kako pružiti iskustva u učenju  potrebna za odgovaranje na suvremene izazove? Korištenje videoigara i igara općenito u obrazovne svrhe nudi raznolikost prezentacija znanja, te stvara mogućnost primjene znanja u virtualnom svijetu, na taj način podupirući i olakšavajući proces učenja. Igre imaju visoku prisutnost u neformalnim i informalnim segmentima učenja. Nažalost, u redovnom se obrazovanju igre još uvijek često promatraju kao neozbiljna aktivnost i potencijali igara za učenje ostaju neotkriveni. Promišljanje o tome zašto i kako odabrati primjerene igre za učenje moglo bi potaknuti nastavnike da ih uvedu u svoju učionicu. 13.4.

Predstavljanje učenja kroz igru

Iako su igre dio odrastanja i primarnog obrazovanja djece, učenje kroz digitalne igre nov je pristup na području učenja na sveučilištima i cjeloživotnog učenja. U potrazi za novim mjestom za sveučilišta u okruženju cjeloživotnog učenja s konstantnim promjenama, igranje je postalo novi oblik interaktivnog sadržaja, vrijedno istraživanja. 144

"Razlog zbog kojeg većina djece ne voli školu nije to što je rad pretežak, nego  jer je potpuno dosadan." 

(dr. Seymour Papert, prof. na Institutu tehnologije u Massachusettsu -Časopis Edupoint – broj 60 (decembar 2007)) Već 80-ih i 90-ih mnogi su znanstvenici izjavili da bi se računala i kasniji hipermediji mogli koristiti kao spoznajni alat za učenje, te u glavnim crtama  prikazali mnoštvo drugih potencijalnih koristi koje pruža učenje potpomognuto računalom. David navodi [David, 97] da raste potreba za sve većom interaktivnosti, ugrađenom u materijale za učenje. Postoji jasna potreba za  ponudom mnoštva različitih prezentacija znanja i stvaranjem mogućnosti  primjene tog znanja u virtualnom svijetu, na taj način podupirući i olakšavajući  proces učenja. Kako bi se to postiglo, neophodno je pružiti složenu razinu interaktivnosti, stimulirajući aktivnost korisnika, te primijeniti različite koncepte interaktivnosti kao na primjer interaktivnost preko objekata, linearnu interaktivnost, predodžbenu interaktivnost, interaktivnost preko hiperlinkova te kontekstualnu interaktivnost bez uranjanja u virtuelni svijet, kao i prividnu interaktivnost s uranjanjem u virtualni svijet. Učenje pomoću digitalnih igara može se primijeniti kao dodatna opcija uz  predavanje u učionici. Namjera je učenja kroz digitalne igre uzeti u obzir nove načine dizajna nastave pomoću informatičke i komunikacijske tehnologije i istovremeno pružiti učenicima mogućnost stjecanja vještina i sposobnosti, kasnije potrebnih u poslovnom svijetu. Pomoću digitalnih igara i posebice digitalnih obrazovnih igara, učenici bi trebali biti u mogućnosti primijeniti  poznavanje činjenica, učenje na zahtjev, steći iskustva u virtuelnom svijetu koji kasnije može oblikovati njihovo ponašanje i izravno utjecati na njihovo razmišljanje, itd. 13.5. Model učenja kroz igru

Glavna karakteristika obrazovne igre je činjenica da je obrazovni sadržaj isprepleten s karakteristikama igre. Igra bi trebala motivirati učenika da  ponavlja cikluse unutar konteksta igre. Za vrijeme ponavljanja, npr. igrajući igru, očekuje se da će učenik pokazati željeno ponašanje temeljeno na emocionalnim ili spoznajnim reakcijama koje proizilaze iz interakcije s igrom i  povratnom informacijom od igranja igre.  Na Slici br.1 može se vidjeti proces integracije iskustava (eng. debriefing ), između ciklusa igre i ostvarivanja rezultata učenja. Integracija iskustava  povezuje simulaciju i stvarni svijet, stvara odnos između događaja u igri i 145

stvarnih događaja, povezuje iskustvo stečeno u igri i učenje. Ovaj dio modela se  podudara, prema [Kobo i dr., 71], s procesom „postupka, razmišljanja, razumijevanja i primjene“ učenja u igri.

Slika br.1: Model učenja kroz igru [Garris et al.,02]

Razmotrimo model učenja temeljen na primjeru igre avanture. Svrha avanture je zabava ili obrazovanje i zabava. U avanturama postoje vrlo složena okruženja, tj. mikrosvjetovi, bez determinističkog prikaza problema. Primjer tipične obrazovne igre je Chemicus (izdao Heureka-Klett; ili TIVOLA za američko tržište), igra avanture i zagonetke za samousmjereno učenje hemije. Postoji i niz drugih igara, sličnih Chemicusu, kao npr. Physicus, Hystorion, Informaticus, itd. od istog izdavača, baziranih na istom konceptu igre. Avanture koriste unutarnju motivaciju igrača za istraživanje svijeta igre. Istinski motivirajuće igre sadrže aktivnosti učenja u tom svijetu igara. Kako bi se  povećala zadubljenost igrača, igra na početku nudi opširnu priču, koja se često odnosi na neko ubistvo ili tajnu. Likovi u igri moraju riješiti tajnu, rješavajući  brojne međusobno povezane probleme. U svakom slučaju, problemi su dio igre i igrači su motivirani tražiti znanje kako bi došli do rješenja i nastavili s igrom. U opisanoj je igri zabava čvrsto povezana s aktivnosti učenja, koju se može  promatrati kao željeni rezultat. 13.6. Zašto se odlučujemo za učenje kroz igre

Zašto uopće igramo igre? Da bismo zabavili, uronili u izmišljeni svijet, suočili se s izazovom i nadmudrili protivnike i/ili pobijedili, itd. Vjerojatno  postoji onoliko neznatno različitih razloga, koliko ima igrača.

146

Ako gledamo na igre u kontekstu učenja, za razliku od aktivnosti samo za slobodno vrijeme, razlikuje se učenička i nastavnička perspektiva korištenja igara za učenje. Sa stajališta učenika, korištenje igre za učenje može imati različita značenja, npr. učenje i zabava, suočavanje s izazovom i postizanje  boljih rezultata, isprobavanje različitih uloga, razvijanje sposobnosti eksperimentiranja i promatranja rezultata istog, sposobnost izražavanja osjećaja, razmišljanje o određenim konfliktnim situacijama, itd. Sa stajališta nastavnika, odabiremo primjenu igara za učenje, kako  bismo doprli do nove generacije učenika, s medijima komunikacije koje ti učenici koriste od svoga djetinjstva. Možemo ponuditi igru za uvod u novu temu učenja, kojom se povećava zanimanje učenika za tu temu, ili kao dodatnu aktivnost za mnoge druge svrhe, npr. za stvaranje složenih mogućnosti učenja,  povećanje motivacije učenika, ili kao drugi način interakcije i komunikacije. U nekim slučajevima, igre mogu potaknuti uspostavu dijaloga i ukidanje društvenih i kulturnih granica. Igre se mogu koristiti i za osobni razvoj, te za poboljšanje samopouzdanja igrača tj. učenika [Pivec i dr. 2005]. Ljudima s posebnim potrebama digitalne igre mogu pružiti priliku da iskuse svijet na način koji većina nas uzima zdravo za gotovo. U studiji učenika s cerebralnom paralizom, koju je proveo [Kearney 2005], utvrđeno je da intervjuirani sudionici nisu bili zainteresirani za igre za učenje, niti igre dizajnirane posebno kako bi im pomogle učiti ili prilagoditi se okruženju. Oni su željeli igrati videoigre koje su simulirale okruženje koji drugi uzimaju zdravo za gotovo. Većina istraživača ima ideju o učenju kao multidimenzionalnoj tvorevini umijeća učenja, rezultata spoznajnog učenja, kao na primjer   proceduralnog, deklaracijskog i strateškog znanja, te stavova. Model učenja kroz igru koristi se u nekim područjima redovnog školovanja, a posebice u vojnoj, medicinskoj, poslovnoj, fizičkoj i drugim obukama. U mnogim slučajevima primjena ozbiljnih igara i simulacija za učenje predstavlja priliku da učenici primjene stečeno znanje i eksperimentiraju, dobiju povratnu informaciju u obliku rezultata, te na taj način stječu iskustvo u „sigurnom virtualnom svijetu“. Razvijene su igre i okoline za učenje nalik igri, gdje nastavnici mogu odrediti vlastite zadatke i zahtjeve učenja, omogućavajući time prilagodbu igre različitim obrazovnim kontekstima. Predstavljena rješenja temelje se na konstruktivističkom pristupu učenju i suradničkom učenju. Glavne karakteristike konstruktivističkog pristupa su, između ostaloga, interakcija, 147

suočavanje s problemima, razumijevanje cjeline itd. S konstruktivističkog su stajališta učenici aktivni sudionici u stjecanju znanja, uključeni u restrukturiranje, manipuliranje, otkrivanje i eksperimentiranje sa znanjem, kako  bi ga učinili smislenim, organiziranim i trajnim. I u okolini za učenje nalik igri, na istaknuto mjesto dolazi učenje kroz praksu, aktivno učenje i iskustveno učenje. Razlikujemo igre za samo jednog igrača i igre za više igrača. Različite vrste igara imaju različite karakteristike koje je potrebno razmotriti s obzirom na njihovu primjenu u obrazovne svrhe. Za poboljšanje poznavanja činjenica značajna su svojstva, kao npr.pokretač (eng. engine) za sadržaj, pokretač za  procjenu, povećanje stupnja težine igre i vremenska ograničenja. Za stjecanje  preciznosti, igre se moraju bazirati na etapi gdje je velika pažnja posvećena grafičkim pojedinostima za omogućavanje virtualne simulacije. Na području stjecanja umijeća donošenja odluka i rješavanja problema, potrebna su sljedeća svojstva: igra koja se temelji na priči u kojoj je faktor šansa, igra u stvarnom vremenu, igra podijeljena na scenarije i/ili određene ciljeve koje je relativno  jednostavno postići, tačne probleme opisa, nadgledanje položaja i aktivnosti drugog igrača/protivnika u stvarnom vremenu, otvoreni kraj, a poznavanje  pozadine sadržaja ključno je za uspješan završetak ili pobjedu itd. Dio procesa biranja igri za učenje uključuje i razmatranje različitih ograničenja i mogućnosti u prihvaćanju učenja, npr. veličina grupe učenika, tehničke mogućnosti za učenike, vještine upotrebe informacijskokomunikacijskih tehnologija kod učenika (kao i vještine upotrebe informacijsko-komunikacijskih tehnologija kod nastavnika), politika licenciranja, održivost itd. Trebamo li se igrati na času matematike? I kako? Odgovor je naravno  potvrdan, jer kroz igru možemo prije svega naučiti, ponavljati i utvrđivati naučeno, a ujedno se i odmoriti od „ozbiljnijeg“ rada. Evo nekoliko primjera edukativnih igrica: 13.6.1. Memorija

Vjerujem da svi poznajte ovu igru za koju je potrebno veći broj sličica od kojih su po dvije jednake, a sve imaju jednaku pozadinu. Sličice su složene na stol, licima okrenutim prema dolje. Jedan igrač okreće dvije sličice i stavlja ih na ista mjesta na kojima su bile. Ukoliko nisu jednaka, lica tih sličica ponovo okrećemo prema dolje, a na redu je sljedeći igrač. Igra se nastavlja dok ne nestanu sve sličice na stolu. Pobjednik je igrač koji je skupio najviše sličica sa 148

stola... Kako ovu igru izvesti na matematički način? Potrebni su nam kartoni u dvije boje npr. crveni i žuti. Iz njih izrežemo jednak broj kartončića crvene i žute boje (npr.10 crvenih,10 žutih), svi u istoj veličini. Na crvene kartončiće napišemo zadatke npr. 5+3, a na žute rješenja, (u ovom slučaju 8). Dakle sparuju se zadaci i rješenja. Igra se može igrati u paru, ili jedan par protiv drugog, mašti na volju.

13.6.2. Čovječe, ne ljuti se

149

Za ovu igru potreban je sto za običan Čovječe, ne ljuti se, s tim da  polja po kojima ce se kretati pijuni moraju biti takva da u njima možemo upisati zadatke. Pravila igre su također ista uz sljedeće zadatke, kada igrač baci kocku i  pomakne pijuna na odgovarajuće polje, naglas treba pročitati zadatak na tom  polju i reći rješenje. Ukoliko je tačan odgovor na redu je sljedeći igrač, a ukoliko je natačan za kaznu se vraća jedno polje unatrag, pročita zadatak na tom  polju itd. Ako se igrač vraća, polje unazad, a na tom polju se već nalazi pijun od drugog igrača, ne ruši ga,već ga preskače jedno mjesto unazad. 13.6.3. Geometrijski likovi

Trčimo do kruga ili trougla (kvadrata ili pravougaonika, kocke ili kvadra...) Na jedan zid učionice zalijepi se nacrtani trougao, a na drugi zid učionice krug. Učenici u koloni jedan za drugim, šetaju učionicom. Kada kažem KRUG, svi učenici dotrče i dotaknu zid na kojem je zalijepljen krug. Isto je i sa trouglom. Geometrija je važna – i ona se razvija kroz igru: napravite s djecom različite oblike od kartona, rastavljajte kutije različitih oblika, tražite geometrijske oblike svugdje po kući i na ulici. Koristite različite slagalice od bilo kojih materijala (nije neophodno da to budu kockice, poslužit će i prazna ambalaža, kutije od mlijeka i sl.). Prostorna orijentacija je također važna za razumijevanje geometrije. Ima dosta  pjesmica i igri koje zahtijevaju da dijete pronađe nešto što je "ispod ili iznad",  pokaže lijevu ili desnu ruku (npr. Hoki-poki), sakrije se "iza", daleko ili blizu ("toplo-hladno"), "karte blaga", "školice" i sl. Muzika je važna za razumijevanje matematike. Igrajte se ritmovima, plješćite rukama. Dok se bavite matematičkim aktivnostima dijete će naučiti:  prepoznavati brojeve i razumjeti pojam broja •

150

•

 prepoznavati različite geometrijske oblike

•

 brojati

•

sabirati i oduzimati

•

upoređivati visinu i težinu različitih predmeta

•

razvrstavati i grupirati predmete.

•

• •

formirati pojmove: više – manje - isto, gore – dolje - između, ispod iznad, lijevo - desno, dugačko - kratko, nisko - visoko, duboko - plitko.  povezivati brojeve s odgovarjućim brojem predmeta određivati koliko je sati. 13.6.4. Pjesmice i brojalice za "učenje" matematike

Pokažite djeci da matematiku mogu upoznati pjevajući određene  pjesme, pa će tako lakše naučiti brojanje, kao i druge matematičke pojmove. Kad pjevaju pjesmice s brojevima, koristite lutke ili neke druge konkretne materijale. To će pomoći djeci da razumiju o čemu govorite. Djeca nisu u stanju misliti apstraktno (zamišljati brojeve u glavi), njima treba konkretan materijal.

151

14. ORGANIZACIJA POČETNE NASTAVE MATEMATIKE 14.1. Organizacija i specifičnosti časa nastave matematike

 Nastavnik kod učenika treba da stalno razvija interes za matematiku. Samo razvijen interes za matematiku može da aktivira  psihološke procese kao što su percepcija, pažnja, pamćenje i mišljenje.Iako stroga i apstraktna matematika, ona možda više od bilo kog predmeta pruža mogućnost da se njeni sadržaji interpretiraju na interesantan način i da se na najbolji način iskoristi intelektualna radoznalost učenika. Obavezan dio časa je i samostalan rad učenika kojeg nastavnik ne smije zaobići. Ta samostalnost se može odraditi kako na pripremnom dijelu sata tako i na obradi nove nastavne jedinice. Tu je od strane učitelja  potrebna kontrola nad samostalnim radom tih učenika. Kako raditi na času: učitelji se koriste kako udžbenikom tako i  programom i metodičkim upustvom odnosno pripremom. Tu je učitelj nezamjenljiv faktor i on procjenjuje da li je učeniku potrebno da se dopunjava sa udžbenikom u procesu usvajanja gradiva. Na času učitelj treba da maksimalno radi na obradi novog gradiva tak da učenicima ostane samo mali dio za domaću zadaću. Ono što treba napomenuti da samo temeljna priprema učitelja za nastavu može da obezbijedi dobre rezultate kod učenika i njihovog savladavanja novog gradiva. To znači da dobro pripremljen nastavni sat  pretpostavlja kompletno sagledavanje sadržinske, materijalno-tehničke,  pedagoške, psihološke, didaktičko -metodičke i organizacione strane realizacije nastavne jedinke. 14.2. Metodičko oblikovanje sata početne nastave matematike

Metodički oblikovati sat početne nastave matematike, znači  podijeliti ga u manje vremenske jedinice sa precizno određenim ciljevima i zadacima. Kako se ovim satom ostvaruju različiti ciljevi, to se pojedini 152

nastavni satovi označavaju sa posebnim imenom, najčešće identičnim s djelatnošću koja na satu preovladava. Tako postoje sati: • • •

obrađivanja i usvajanja gradiva, vježbanja i ponavljanja provjeravanja znanja. 14.2.1. Čas obrađivanja i usvajanja novog gradiva

Obrađivanjem novoga gradiva nasatvni se sadržaji izlažu tako da ih učenici shvate i trajno usvoje, odnosno matematički se sadržaji transponiraju u oblik dostupan učeničkom sadržaju putem crteža, znakova, termina... Obrađivanje određuju dva fakora: 1) karakteristike gradiva i 2) spremnost učenika. U strukturi sata obrađivanja i usvajanja novoga gradiva javljaju se osnovne etape: • priprema ili uvod, • obrađivanje novog gradiva, • vježbanje i ponavljanje, te • provjeravanje učinka nastavnog sata 14.2.1.1. Priprema ili uvod

Svrha ove etape je pripremiti učenike za neposredno učenje,  ponavljanje što se čini obnavljanjem prethodno obrađivanih sadržaja, a obuhvaća spoznajni i psihološki aspekt. Relevantno predznanje potrebno za učenje najčešće se uspostavlja: • • • • •

pregledanjem domaće zadaće usmenim ponavljanjem pismenim ponavljanjem usmenim ponavljanjem uz zapisivanje rezultata riješenog zadatka ponavljanjem, rješavajući zadatke na ploči 153

14.2.1.2. Obrađivanje novog gradiva

Svrha obrađivanja je da se sadržaj učenja izloži tako da učenici na osnovu izloženih primjera shvate generalizaciju koja se usvaja.  Nastavnikovo objašnjenje mora posjedovati nekoliko kvaliteta te bi trebalo da bude: • • • • •

sadržajno korektno tj. matematički ispravno, bez netačnih informacija, koncizno, razgovjetno, izloženo kombiniranju više nastavnih metoda, sa pravilnom dikcijom, artikulacijom, tempom... Redoslijed etapa sata obrade novog gradiva:

• • • • • • • •

provjeravanje domaće zadaće, ponavljanje onog materijala na kojem će se razvijati obrađivanje nove građe, postavljanje problema – isticanje teme rada (najavljivanje cilja), rad na usvajanju novoga materijala, izvođenje zaključaka, pravila – formuliranja potrebnih generalizacija, vježbanje – utvrđivanje novog gradiva na primjerima, kontrolni rad, zadavanje domaće zadaće. 14.2.1.3. Vježbanje i ponavljanje

Obje ove djelatnosti imaju za cilj stjecanje i trajno usvajanje znanja. U metodičkom oblikovanju ove etape dva su bitna elementa: • •

sadržaj vježbanja i ponavljanja – bitno je određen prijašnjim radom načinom na koji će se ono provoditi – bez obzira da li je riječ o zadacima u udžbeniku, nastavnim listićima, zbirkama zadataka ili onima koje za pojedinu svrhu izrađuje nastavnik, ili sami učenici. • Provodi se da bi se postigla trajnost znanja i da bi se učenici osposobljavali u primjeni znanja, tj. provode se sati vježbanja i  ponavljanja. Oni slijede nakon sata obrađivanja novog gradiva. 154

•

Polazeći od cilja sata mogu se naznačiti sljedeći dijelovi: priprema ili uvod, vježbanje i ponavljanje, te provjera učinka nastavnog sata. • Vježbaju se različite operacije, ponavljaju činjenice i na njima utemeljene generalizacije. Pažnja se uglavnom usmjerava na oblike nastavnog rada, nastavne metode te nastavna sredstva i  pomagala. 14.2.1.4. Provjeravanje učinka nastavnog sata

Tim radom želi se ustanoviti konačan efekt učenja na satu. Može se provesti na dva načina: • •

usmenim ispitivanjem pismenim ispitivanjem – bolje, jer daje potpuniji uvid u učeničko znanje.

Provodi se sa svrhom da se ustanovi efekt učenja i to na isti način kao i na satu obrađivanja novog gradiva. „Prilagoditi nastavu matematike zahtjevima života znači da one  postupke i misaone puteve koji su povezani sa praktičnim životom unosimo u proces nastave uz uvazžvanje onih strukturalnih momenata u  procesu nastave:  – uočavanje kvantitativnih odnosa u jednoj životnoj sredini,  – samostalno formiranje i formulisanje zadataka,  – apstraktno procjenjivanje i rješavanje,  – rješavanje zadataka egzaktnim matematičkim postupcima,  – postavljanje normalnog postupka,  – uvježbavanje potrebnih navika i vještina“ (Popović, 2001:25). 14.3. Nastavni sat provjeravanja znanja

Tim se satom stječe uvid u to kako su učenici usvojili sadržaj veće nastavne cjeline. Budući da se provodi pismenim ispitivanjem ima ove strukturne dijelove: priprema, rješavanje zadataka ispitnog materijala (ispit znanja, kontrolni zadaci), te obrada i korištenje rezultata ispitivanja. 14.3.1. Priprema 155

Cilj je pripremiti učenike za neposredno ispitivanje, a sadržaj je materijalno-tehničke (upute i materijal za rad) i psihološke naravi (motivacija, stimulacija). Da bismo se pripremili za ispitivanje, učenike treba upoznati: • • • • •

s ciljem nastavnog sata s načinom na koji će se ispitivanje provesti s načinom na koji će se rješavati zadaci kako postupiti ako se zadatak ne može ili ne zna riješiti s uputom da svako radi sam, da ne prepisuje i zapitkuje druge učenike i nastavnike. 14.3.2. Rješavanje ispitnih zadataka

 Nakon uputa učenici rješavaju zadatke, što traje dok većina ne završi rad. Nastavnik prati rad učenika dajući eventualne tehničke upute. 14.3.3. Obrada i korištenje rezultata

 Nakon ispitivanja provodi se kvantitativna analiza (pokazuje koliko su usvojili gradivo)i kvalitativna analiza (pokazuje koje gradivo je usvojeno, a koje nije). Podaci se koriste za unaprjeđenje nastavnog  procesa, tj. treba li poduzimati korektivne mjere kao što su naknadna objašnjenja ili vježbanja i ponavljanja ako gradivo nije dovoljno usvojeno. 14.3.4. Analiza nastavnog sata

Analiza sata naknadna je kritička procjena rada na nastavnom satu. Obavlja se neposredno nakon održanog nastavnog sata, a provodi je: • • • • • •

156

nastavnik koji je sat održao drugi nastavnici koji su promatrali sat koji se procjenjuje učenici “vanjski promatrači” Svrha analize sata je dvojaka: procijeniti ga sa stajališta realizacije cilja sata procijeniti ga sa stajališta unapređivanja vlastitog nastavnog rada

157

15.. METODI 15 TODIČK ČKO O DIZAJN ZAJNIR IRA ANJE ČASA POČ POČETNE ETNE NASTAVE MATEMATIKE  Nastavu matematike i njene ciljeve i zadatke ostvarujemo u školi na nastavnim časovima i kroz vannastavni rad(domaći rad, dopunska i dodatna nastava, slobodne matematičke aktivnosti).  Nastavni čas predstavlja osnovni organizacioni oblik nastavnog rada ne samo matematike, nego i drugih nastavnih predmeta. Struktura časa nastave matematike u razrednoj nastavi i metode njegovog izvođenja u mnogome zavise od specifičnosti same matematike. Te specifičnosti se ogledaju u sljedećem: 1) Na jednom času matematike, često se istovremeno izučavaju različite oblasti matematike, kao što su aritmetika, algebra i geometrija. Te oblasti su na samom času ukomponovane u jednu cjelinu koja se naziva mate matema matitika ka.. Ipak Ipak,, svaka svaka za sebe sebe zaht zahtijijev evaa poseb poseban an na nači činn mišl mišlje jenj njaa i sposobnosti. 2) Na jednom času matematike istovremeno se ostvaruje više didaktičkih zadataka vrši se provjera znanja, umijeća i navika koje su stečene na prošlom ili tekućem času, upoznavanje sa novim pojmovima, zako zakoni nima ma ili ili prav pravililim ima, a, utvr utvrđi điva vanj njee ve većć steč stečen enog og zna nanj njaa u cilj ciljuu  ponavljanja i sistematizacije. sistematizacije. 3) Na svakom času matematike istovremeno sa sticanjem znanja vrši se sticanje umijeća i navika. 4) Na svak svakom om času asu mate matema mattike ike uč učen enic icii ko kori rist stee ne neko kolliko iko matematičkih pojmova koji su na različitom stepenu usvojenosti, vrši se  priprema za usvajanje novih pojmova, upoznaju se novi, utvrđuju se već stečeni, vrši se uopštavanje, provjerava usvojenost itd 5) Kako matematički matematički pojmovi nisu realni objekti, već apstraktni i idealizovana realnost, to za njihovo korišćenje i usvajanje treba koristiti mnogo konkretnih primjera, brižljivo odabrati nastavne metode, oblike 158

rada, koristiti specifičan način provjere i vrednovanja , adekvatna nastavna sredstva itd. 6) Jedan od najvažnijih zahtijeva nastavnog časa jesu nastavni ciljevi. Cilje iljevi vi se po post stav avljljaaju još u prip pripre remi mi na nast staavn vnog og časa časa.. Preth rethod odne ne specifičnosti ukazuju da na jednom času se ne ostavruje samo jedan cilj, već više njih. Ciljevi na jednom nastavnom satu ne ostvaruju se izolovano.  Najčešće se ovladavanje jednim matematičkim pojmom realizuje u nekoliko nastavnih časova koji čine sistem časova. Sistem Sistemom om časova časova realizu realizuju ju se nastavne nastavne teme u čije se ciljeve ciljeve uklapaju i ciljevi svakog nastavnog časa iz tog sistema. Ranije Ranije je iznijeto iznijeto da se na časovima časovima nastave matematike matematike realizuju realizuju obrazovn obrazovno-ra o-razvo zvojni jni,, vaspit vaspitni ni i prakti praktični čni cilje ciljevi. vi. Pored Pored stican sticanja ja znanja znanja,, umijeća umijeća i navika, navika, na časovima matematike matematike vrši se i razvijanje razvijanje sposobnosti sposobnosti svakog učenika, prije svega mentalnih. Zavisno od sadržaja i obrazovnorazvojnih ciljeva na časovima matematike realizuju se i nastavni ciljevi. Oni Oni se od odno nose se na uv uvje jere renj nja, a, stav stavov ove, e, na nači činn po pona naša šanj nja, a, njeg njegov ovan anje je humanosti, pogled na svijet, tačnost i urednost u računanju, mjerenju, crtanju itd. Prilikom određivanja cilja časa ne treba ostvariti samo glavni cilj, već i druge, koji su njemu podređeni. Npr., ako treba obraditi nastavnu  jedinicu „Nalaženje nepoznatog umanjioca, oblika 12-x“ , kao glavni cilj može se uzeti otkrivanje uzajamne veze između umanjenika i razlike (ako  se od umanjenika umanjenika oduzme razlika, razlika, dobija se umanjilac). umanjilac).

Ovom cilju podređeni su sljedeći ciljevi: provjeriti oduzimanje  brojeva u drugoj desetici sa i bez prelaza preko desetice, utvrđivanje na tekstualnim zadacima, utvrđivanje na zadacima tipa 6+x, radi pripreme za narednu nastavnu jedinicu:“Određivanje nepoznatog broja “ Da bi se postigli razvojni ciljevi, da bi se razvilo mišljenje učenika, na času treba dozvoliti da učenici što više rade samostalno. Najbolje je koristiti problemsku nastavu. Tako, recimo, za navedenu nastavnu jedinicu može se napraviti problemska situacija u vide priče: Mirna je imala 17 KM i izgubila nekoliko. Vidjela je da joj je ostalo 5. Koliko KM je izgubila? 159

Iz ove problem problemske ske situac situacije ije izvire izvire problem problem:: Kako Kako izraču izračunat natii nepoznatu vrijednost u jednačini 17-x=5? U nastavnoj jedinici „Zapisivanje i određivanje nepoznatog broja“ učenici su već upoznali označavanje nepoznatog broja sa x. Da bi se lakše došlo do rješenja , problem može da se razbije na potbrobleme, da se izvrši dekompozicija. Npr. učenici rješavaju zadatke: 12-5=7, 12-7= ,18-6=12, ,18-6=12, 18-12= . Poslije Poslije formiranja formiranja pravila pravila o tome da se umanjilac dobija ako se od umanjenika oduzme razlika, lahko se rješava zadatak 17-x=5. 7) Na časovima matematike učitelj kod učenika mora stalno da razvija interesovanje za matematiku. Samo razvijen interes za matematiku može može da ak aktitivi vira ra psih psihol ološ oške ke proc proces esee ka kaoo što što su pa pažn žnja ja,p ,per erce cepc pcijija, a,  pamćenje i mišljenje. Iako, naizgled stroga i hladna, matematika, možda više od bilo kog  predmeta, pruža mogućnost da se njeni sadržaji interpretiraju na interesantan način i na najbolji način iskoristi intelektualna racionalnost učenika. 8) Kao obavezan obavezan dio svakog časa nastave nastave matemati matematike ke mora da se  predvidi samostalni rad učenika. Samostalni rad može da se provodi bilo da se vrši priprema priprema za novu nastavnu nastavnu jedinicu jedinicu ili obrađuje obrađuje nova nastavna nastavna  jedinka ili utvrđuje gradivo. Može da se sprovede nekoliko puta na času. Kod samostalnog rada učenika veoma je važna kontrola od strane učitelja. Kont Kontro rolla mož ožee da se po post stig igne ne krat kratkkim he heur uris isttički ičkim m pitan itanjijima ma,,  pregledanjem školskog rada, nošenjem učenikovih svesaka kući, itd.

160

161

16. OBLIKOVANJA ČASOVA: OBRADE, VJEŽBANJA, PONAVLJANJA, PROVJERAVANJA

Svakii sat Svak sat mate matema matitike ke nužno nužno je meto metodič dički ki ob oblilikov kovat ati.i. Meto Metodi dičk čkoo oblikovanje sata nastave matematike podrazumijeva kritičko promišljanje i  procjenu funkcija svih relevantnih faktora faktor a i aktivnosti putem kojih se ostvaruje o stvaruje cilj sata. Tema našeg rada bila je: Oblikovanje časova:obrade, vježbanja i ponavljanja,  provjeravanja.  Naš rad se sastoji iz tri dijela. Prvi dio odnosi odno si se na metodičko oblikovanje sata obrade novog gradiva. Njegove etape su:   priprema ili uvod,  obrađivanje novog gradiva,  vježbanje i ponavljanje,   provjeravanje učinka nastavnog sata. Drugi dio se odnosi na vježbanje i ponavljanje. Strukturni elementi ovog sata su:  Uvod ili priprema učenika za rad  Etapa vježbanja i ponavljanja i  Provjeravanje efekata sata. Treći dio se odnosi na provjeravanje učeničkog znanja. Provjera znanja se može vršiti pismenim i usmenim putem. Metodički oblikovati sat početne nastave matematike znači s obzirom na cilj koji se njime ostvaruje podijeliti ga u manje jedinice s tačno određenom svrhom. Vremenske jedinice nazivaju se etapama nastavnog sata a uključuju specifične djelatnosti učenika i nastavnika.  Nastavnim satom se ostavaruju različiti ciljevi, kao npr. upoznaje se novo grad gradiv ivo, o, vjež vježba ba se i po pona navl vlja ja i sl. sl. U zavi zavisn snos ostiti od toga toga ko koja ja djel djelat atno nost st  preovladava, nastavni sati označavaju se posebnim imenima. Tako razlikujemo:  sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva,  sat vježbanja i ponavljanja i  sat provjeravanja znanja.

162

Osim dominirajuće djelatnosti po kojoj dobiva ime na svakom satu postoje i druge djelatnosti. Zbog toga se nastavni sat shvaća skupom različitih djelatnosti među kojima jedna ima naglašeniju ulogu i značenje. Glavni uvjet za uspješnost nastavnog sata jest njegovo pravilno metodičko oblikovanje. Cilj Cilj na nast stav avnog nog sata sata uklju uključuj čujee stje stjeca canje nje zn znan anja ja,, razv razvijijan anje je spos sposobn obnost ostii i izgr izgrađ ađiv ivan anje je od odre ređe đeni nihh svoj svojst stav avaa uč učen enik ikov ovee ličn ličnos ostiti.. Zato Zato meto metodi dičk čkoo oblikovanje nastavnog sata uključuje određivanje njegova opsega i sadržaja. Metodički oblikovati cilj sata početne nastave matematike znači precizirati sta će učenici na satu naučiti, koje će se njihove sposobnosti razvijati, razvijati, kao i koje će se kvalitete ličnosti izgrađivati. Da bismo to ostvarili potrebno je u metodičko oblikovanje sata izabrati i uključiti učeničke aktivnosti koje tome najbolje  pridonose. Organizacija sata nastave matematike ima dva dijela:  

vanjska - didaktičko usklađivanje vanjskih faktora – mjesto, oprema, sredstva i pomagala; unutarnja - organizacija toka obrazovanja, zbiva se u svijesti učenika i učitelja.

 Najmanja vremenska jedinica organizacijskog rada je nastavni sat . Vrijeme rada (nastavni sat) treba artikulirati, podijeliti na manje vremenske jedinice s tačno određenom svrhom (etape sata). Elementi sata nastave matematike koji se metodički oblikuju:      

cilj  – nacrt što se nastavnim radom na satu želi postići: stjecanje znanja,

razvijanje sposobnosti i osobnosti, određivanje opsega i dubine znanja; etape nastavnog sata – kojim etapama će se postići proces učenja, način na koji će se postići, trajanje etapa i njihov među odnos; nastavne metode – biraju se prema sadržaju; djelatnosti učitelja i učenika  – praktične, izražajne, percepcija, percepcija, misaone aktivnosti oblici nastavnog rada – frontalni, grupni, rad u parovima, individualni; nastav nastavna na sredstv sredstva a i pomagal pomagala a  – svrha, način, vrijeme i redoslijed upotrebe. 16.1. Sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva 163

U nastavi matematike, na časovima obrade učenici se upoznaju sa novim matematičkim pojmovima, pravilima, dokazima i postupcima za njihovu  primjenu. U stvari, matematika se sastoji od pojmova, stavova i primjene  pojmova i stavova u zadacima. Primjena pojmova i stavova u zadacima i  problemima predstavlja dosta široko polje, počev od neposredne najednostavnije, do veoma složene primjene pojmova. Ako se u primjeni  pojmova ne vodi dovoljno računa o postupnosti i sistematičnosti, mogu se javiti razne negativne posljedice, kako u radu tako i u znanjima učenika. „U nastavi matematike rijetko postoje sati koji su posvećeni samo obradi novog gradiva. Postoje sati čiji je osnovni metodički cilj upoznavanje gradiva. Ovoj etapi pripada veći dio sata, a ostali dijelovi sata se podređuju izučavanju novog gradiva.“ (Tomić, 2009:137) „Obrađivanjem novog gradiva nastavni se sadržaji izlažu (interpretiraju,  predočavaju), tako da učenici shvate i trajno usvoje činjenice, generalizacije (pojmovi, zakonitosti) i procese (algoritme, izvođenje geometrijskog crteža). To  je djelatnost kojom se matematički sadržaji transponiraju (preoblikuju, prenose) u oblik dostupan učeničkom shvaćanju.“ (Markovac, 1992:60) Predmet transponiranja tj. preoblikovanja jest vanjska forma sadržaja koji se uči. Tako npr. sabiranje brojeva 24+36 možemo sabirati u različitim oblicima kao što su: 24+36=24+30+6 ili 24+36=20+4+30+6=20+30+4+6 s ciljem  pronalaženja učenicima shvatljivog oblika kojim se matematički sadržaji  prikazuju. U samom transponiranju do izražaja dolazi metodička sposobnost nastavnika da sadržaje učenja prilagodi učeničkom shvaćanju, a da pri tome ne naruši njihovu znanstvenu vrijednost. Sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva određen je dvama faktorima: 1. karakteristikama gradiva, 2. spremnošću učenika. S tim da prvi faktor tj. gradivo svojim opsegom i dubinom mora biti usklađeno sa drugim faktorom, odnosno mora biti prilagođeno individualnom statusu učenika. Struktura ovog tipa – časa izgleda ovako: 1. „ponavljanje gradiva koje je neophodno za svjesno usvajanje novih matematičkih znanja, 2. upoznavane novog gradiva, 3. početno utvrđivanje gradiva koje se izučava i 4. domaći zadaci. “ (Pinter, Petrović, Sotirović, Lipovac, 1996. prema Tomić, 2009:138) 164

„Dr. Pero Šimleša (1969. str. 155.) navodi sljedeći redoslijed etapa sata obrade novog gradiva: 1. provjeravanje domaće zadaće, 2. ponavljanje onog materijala na kojem će se razvijati obrađivanje nove građe, 3. postavljanje problema – isticanje teme rada (najavljivanje cilja), 4. rad na usvajanju novoga materijala, 5. izvođenje zaključaka, pravila – formuliranja potrebnih generalizacija, 6. vježbanje – utvrđivanje novog gradiva na primjerima, 7. kontrolni rad, 8. zadavanje domaće zadaće. Osnovne etape sata obrađivanja i usvajanja novog gradiva su:   priprema ili uvod,  obrađivanje novog gradiva,  vježbanje i ponavljanje,   provjeravanje učinka. 16.1.1. Priprema ili uvod „U ovoj etapi nastavnik provjerava domaću zadaću, ponavlja s učenicima ranije obrađene činjenice potrebne za svladavanje novoga gradiva, postavlja cilj nastavnog sata i opisuje motivaciju potrebnu za njegovu obradu. “ (Kurnik, 2007:99) Ova etapa obavezna je za svaki ovakav nastavni sat.

Svrha pripreme ili uvoda je priprema učenika za neposredno učenje, a obuhvata saznajni i psihološki aspekt. Psihološka priprema učenika za učenje odnosi se na motivaciju učenika, poticanje interesa za učenje, stvaranje pozitivnog emocionalnog odnosa prema učenju, uspostavljanje ugodne atmosfere i sl. Kroz  psihološku pripremu se angažuje i usmjerava učenička pažnja, potiče interes i radoznalost, mobiliziraju učenički potencijali. Saznajni aspekt se odnosi na  poznavanje cilja neposrednog učenja i na osiguranje relevantnog predznanja učenika.Relevantno predznanje potrebno za učenje najčešće se uspostavlja na sljedeće načine:  

 pregledavanjem domaće zadaće komentirajući ispravna i neispravna rješenja; usmenim ponavljanjem - nastavnik usmeno postavlja zadatke a nekoliko učenika saopćava rezultate rješavanja: 165

 



 pismenim ponavljanjem – nastavnik daje učenicima zadatke u pisanoj formi a oni ih rješavaju samostalno; usmenim ponavljanjem uz zapisivanje rezultata riješenog zadatka –  nastavnik usmeno postavlja zadatke učenicima, oni ih rješavaju usmeno a rezultate zapisuju;  ponavljanje rješavajući zadatke na tabli – gdje postavljeni zadatak jedan učenik rješava na tabli a ostali zapisuju u sveske.

 Nakon pripreme učenici se upoznju s ciljem časa, najčešće kroz različita pitanja ili zadatke. Cilj časa zapisuje se na tabli riječima ili odgovarajućim matematičkim znakovima. 16.1.2. Obrada novoga gradiva „ Pri obradi nove nastavne jedinice važno je dati pregled te jedinice kao cjeline, istaknuti glavne ideje i probleme, ukazati na vezu s ranije naučenim gradivom. To je posebno važno za nastavu matematike, zbog logičke povezanosti pojedinih matematičkih sadržaja.“ (Kurnik, 2007:100)

Za obrađivanje novog gradiva učenicima je potrebno izložiti što više primjera tako da oni sami na osnovu izloženog shvate generalizaciju koja se usvaja. „Zato se prilikom obrađivanja novog gradiva zadaci biraju u skaldu sa stavom: valjan je samo onaj primjer odnosno zadatak koji sadrži generalizaciju koja se usvaja.“ (Markovac, 1992:62) Upoznavanje novog gradiva znatno olakšava dobro njegovo objašnjenje od strane nastavnika. Objašnjenje trebaju biti sadržajno korektno tj. matematički ispravno, učenicima se ne smiju iznositi netačne i krive informacije. Potrebno je izbjegavati duga, zamorna i monotona objašnjenja jer kao takva ne djeluju  poticajno na učenike. Za objašnjenje je potrebno koristiti različite nastavne metode, kao i uključiti sve učenike. Njihovo sudjelovanje ostvaruje se koncentriranim i pažljivim pripremanjem sadržaja koji se objašnjava. Etapa obrađivanja novog gradiva završava postupkom uopćavanja (generaliziranja). Uopćavanjem se proširuje područje spoznavanja a istovremeno se aktivira mišljenje, pažnja i pamćenje kod učenika. 16.1.3. Vježbanje i ponavljanje

166

Zbog svojih zajedničkih elemenata aktivnosti vježbanja i ponavljanja se  povezuju u cjelinu, sa zajedničkim ciljem stjecanja i trajnog usvajanja znanja. U ovoj etapi najvažniji elementi su: sadržaj vježbanja i ponavljanja i načini na koje se provode. Sadržaj ove etape određen je prethodnim radom, jer se ponavljaju i vježbaju radnje odnosno gradivo obrađivano u prethodnoj etapi. „Vježbanje i ponavljanje treba provoditi individualnim radom učenika, a frontalnim se koristiti samo radi eventualnih dopunskih objašnjenja. Da bi se to postiglo u pisanoj formi (ili kako drugačije), svaki učenik dobiva odgovarajuće zadatke koje samostalno rješava. Takvo vježbanje i ponavljanje znatno je efikasnije nego frontalno jer uključuje sve učenike. “ (Markovac, 1992:63) Pri kraju ove etape korisno je učeničku pažnju još jednom usmjeriti na općenitosti, generalizacije. 16.1.4. Provjeravanje učinka sata U ovoj etapi želi se ustanoviti konačan efekt učenja na satu. Kroz ovu etapu i nastavnici i učenici dobivaju povratnu informaciju o rezultatu izvedenog rada. Provjeravanje učinka sata može biti pismeno i usmeno. Zadaci koje nastavnici daju učenicima treba da po strukturi budu jednaki onima koji su rješavali na tom satu. Nakon što učenici riješe zadatke provjerava se koliko ih je učenika riješilo tačno a koliko netačno, a prema tome i da li je cilj časa potpuno ostvaren, djelimično ostvaren ili nije ostvaren. Trajanje pojedine etape ovisi od sadržaja i načina rada, što znači da nema tačne vremenske norme za pojedinu etapu

16.1.5. Nastavni sat vježbanja i ponavljanja Vježbanje i ponavljanje provodi se s ciljem da se učenici osposobe da  primjenjuju matematička znanja. Oni slijede nakon obrade novog gradiva, nakon nastavne jedinice i nakon obrade veće nastavne cjeline. Treba im dati  pravo mjesto pri organizaciji nastavnih sati jer doprinose trajnosti znanja. Metodičko oblikovanje teži za tačnim ograničenjem gradiva koje će se vježbati i  ponavljati. Mogu se izdvojiti sljedeći strukturni elementi sata:  Uvod ili priprema učenika za rad  Etapa vježbanja i ponavljanja i 167

Provjeravanje efekata sata. Cilj etape pripreme ili uvoda je pripremiti učenike za neposredno vježbanje i  ponavljanje što se čini obnavljanjem prethodno obrađivanih sadržaja. Obuhvata samo najvažnije, bitne elemente, kao što su generalizacije, algoritmi i sl. Učenici se upoznaju s ciljem neposrednog vježbanja i ponavljanja kako bi se  pažnja, motivacija i intelektualne aktivnosti usmjerile na ono što slijedi. U etapi vježbanja i ponavljanja se vježbaju različite operacije, ponavljaju činjenice i na njima utemeljene generalizacije. Pažnja se usmjerava na oblike nastavnog rada, nastavne metode i nastavna sredstva i pomagala. Tu je najpovoljniji individualni rad jer se svi učenici aktiviraju. Individualno vježbanje i ponavljanje povećava produktivnost, jer se u istoj jedinici vremena rješava više zadataka, dok se frontalni rad koristi pri dopunskim objašnjenjima i upućivanja učenika u individualni rad. Koriste se metode: pismenih radova, razgovora, izlaganja i demonstracije koristeći se njima simultano ili sukcesivno.  Nastavna sredstva i pomagala koriste se uz dopunska objašnjenja. Provjeravanje efekta sata provodi se sa svrhom da se ustanovi efekat učenja i to na isti način kao i na satu obrađivanja novog gradiva. 

Sat vježbanja i ponavljanja ima tri etape, a to su: uvodni, glavni i završni dio sata. J. Pinter, N. Petrović, V. Sotirović, D. Lipova Pinter, J. Petrović, N. Sotirović, V. Lipovac, D.(1996: Opšta metodika nastave matematike, Sambor), ,  preporučuju sljedeću strukturu sati vježbanja i ponavljanja: 1. Obnavljanje znanja, navika koje su potrebne za rješavanje zadataka 2. Samostalno obnavljanje vježbanja 3. Provjeravanje rješenja zadataka i izvođenje zaključka i 4. Domaći zadaci. Prema P. Šimleši satovi vježbanja mogu imati sljedeću artikulaciju: 1. Provjeravanje domaćeg rada. Isticanje teme, 2. Ponavljanje potrebnih pravila i rješavanje odabranih primjera, 3. Rješavanje može biti: rješavanje numeričkih zadataka i rješavanje zadataka riječima. 16.2. Nastavni sat provjeravanja znanja „ Pod provjeravanjem znanja podrazumijeva se sistemsko praćenje, ispitivanje i vrijednovanje učenikovih postignuća i uspjeha u ostvarivanju  zadaća nastavnog predmeta ili odgojno–obrazovnog područja tokom školske  godine (Kadum, 2004:56)“.

168

Provjeravanje znanja iz matematike je, dakle, postupak koji provodi učitelj tokom nastavnog rada u svrhu kontrole kvaliteta i količine razine do koje su učenici usvojili određena obrazovna dobra, tj. znanja, sposobnosti i vještine iz matematike. Provjeravanje znanja učenika treba provoditi tako da se: uvažava, tj. poštuje učenikova ličnost; učenikovo samopouzdanje i njegov osjećaj   podstiče napredovanja;   podstiče učenika na aktivno sudjelovanje u nastavnom procesu;  omogućava učeniku da se sam javlja za provjeru znanja;  osposobljava učenika za samoučenje, samoprocjenu vlastitog znanja i procjenu znanja drugih učenika iz razrednog odjeljenja. Provjeravanje znanja može se izvršiti na dva načina: 



 pismenim ispitivanjem i



usmenim ispitivanjem.

„ Pismenim provjeravanjem znanja utvrđuje se relativno postignuće pojedinca u odnosu prema učinku ostalih članova razrednog odjela (Kadum, 2004: 61)“.

Pismeno ispitivanje ima sljedeće strukturne dijelove: 

 priprema;



rješavanje zadataka ispitnog materijala (ispit znanja, kontrolni zadaci);



obrada i korištenje rezultata ispitivanja.

16.3. Priprema Cilj je pripremiti učenike za neposredno ispitivanje, a sadržaj je materijalno-tehničke (upute i materijal za rad) i psihološke naravi (motivacija, stimulacija). Da bi se pripremili za ispitivanje, učenike treba upoznati:

169

a) s ciljem sata- priopćava se da će se ispitivati ono što se prethodnih dana učilo da bi se vidjelo kako je naučeno. Ukratko treba naznačiti sadržaj ispitivanja kako bi se aktiviralo znanje;  b) s načinom na koji će se ispitivanje provesti- pokazuje se ispitni materijal, mjesto gdje će se zadaci rješavati, gdje će se zapisivati rezultati i sl. ; c) s načinom na koji će se rješavati zadaci- upućuju se na pažljivo čitanje zadatka (više puta) i razmišljanje o rješenju, a zatim ga rješavaju; d) kako postupiti ako se zadatak ne može ili ne zna riješiti- taj zadatak treba preskočiti i rješavati sljedeći, a kad se riješe ostali treba se vratitit neriješenom zadatku i pokušati ponovo; e) s uputom da svako radi sam, da ne prepisuje i zapitkuje druge učenike i nastavnika; Treba ih pozvati na maksimalno zalaganje kako bi ispravno riješili što više zadataka, a rezultate će doznati neposredno nakon ispitivanja ili najkasnije idući dan. 16.4. Rješavanje ispitnih zadataka  Nakon uputa učenici rješavaju zadatke, što traje dok većina ne završi rad. Nastavnik prati rad učenika dajući eventualne tehničke upute. O načinu rješavanja ne daju se nikakve upute, jer bi se time narušila objektivnost ispitivanja.

16.4.1. Obrada i korištenje rezultata  Nakon ispitivanja provodi se kvantitativna analiza ( pokazuje koliko su usvojili gradivo) i kvalitativna analiza (pokazuje koje gradivo je usvojeno, a koje nije). Podaci se koriste za unapređivanje nastavnog procesa, tj. treba li  preduzimati korektivne mjere kao što su naknadna objašnjavanja ili pak vježbanja i ponavljanja ako gradivo nije dovoljno usvojeno. S rezultatima se upoznaje svaki učenik, pa se može utvrditi napreduje li ili zaostaje u učenju. Podaci dobiveni ispitivanjem mogu poslužiti i za dugotrajnije praćenje 170

učeničkog napretka i za formiranje konačnog suda (na kraju školske godine) o učenikovu uspjehu u nastavi matematike (Markovac, 1992: 65-66) „. 16.4.2. Odabir zadataka     

Zadaci trebaju biti jasni, nedvosmisleni, gramatički i pravopisno ispravni, međusobno nezavisni ; Zadaci trebaju biti primjerene težine ( ne oni koje svi mogu riješiti ili niko); Zadaci trebaju biti složeni od jednostavnijih prema složenijima; Zadaci trebaju biti pregledno i sadržajno tačno napisani uz dovoljno mjesta za rješavanje; Definirati kriterij bodovanja i potrebno vrijeme za rješavanje.

 Prednosti pisanih ispitnih zadataka:       

 povećava se objektivnost ispitivanja; svi učenici pišu iste zadatke (tip i sadržaj) ; svi rade u istim uslovima i uz jednake upute; rezultati postaju uporedivi (isti kriterij vrijednovanja) ;  pisana dokumentacija omogućava provjeru; može se vršiti statistička obrada→ispitivanje postaje mjerenje; vremenski ekonomično itd.

 Nedostaci pisanih ispitnih zadataka:

nisu zadovoljene metrijske karakteristike;  nije kvalitetno obavljen odabir zadataka;  ne mjeri više (sve) razine znanja. Iako se danas u školi primjenjuju različiti oblici pismenog provjeravanja znanja, kao što su naprimjer testovi znanja, nizovi zadataka objektivnog tipa, kontrolne zadaće i drugi oblici, usmeno provjeravanje znanja je potrebno, jer se njime dobijaju mnogi važni podaci koji se ne mogu dobiti pismenim provjeravanjem ili drugim načinom ispitivanja. 

„ Usmenim provjeravanjem znanja učitelj saznaje, osim činjeničnog znanja, i to koliko je učenik u stanju da svoje misli izrazi i formuliše riječima, da li se izražava precizno, i to kako i koliko je shvatio gradivo i kako ga zna objasniti"  (Dravinac, 1970: 11)”.

171

Osobitost tog načina jest u tome što učitelj u direktnom odnosu s učenikom utvrđuje i ocjenjuje njegov napredak u učenju s obzirom na njegove sposobnosti, mogućnosti i motivaciju.S obzirom na to da u nastavi nema dovoljno vremena za duže ispitivanje učenika, dobrim planiranjem nastavnih sati mogu se prikupiti mnogi podaci o znanju učenika iz matematike. Prema tome, pod usmenim odgovorom ne podrazumijevaju se samo odgovori "pred tablom", već se jedinstvenom ocjenom iskazuje niz podataka do kojih učitelj dolazi praćenjem učenikovog rada. Usmeno provjeravanje znanja ima svojih nedostataka. Osim poznatih nedostataka – strah ispitanika, učiteljevo raspoloženje, simpatije prema učeniku i dr., nedostaci su i:  usmeno provjeravanje i ocjenjivanje znanja pripada subjektivnom obliku ocjenjivanja, jer procjena razine znanja ovisi isključivo od dojma učitelja;  učitelj može utjecati na odgovaranje učenika;  ispituju se manji dijelovi nastavnog sadržaja;  učenici odgovaraju na različita pitanja pa je teže odrediti objektivno mjerilo. 17. METODIČKO DIZAJNIRANJE GLOBALNIH (GODIŠJIH) PLANOVA RADA, MJESEČNIH I SEDMIČNIH. 17.1. OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM

(OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM,za devetogodišnju osnovnu školu u Federaciji Bosne Hercegovine Federalno ministarstvo obrazovanja i nauke Bosne i Hecegovine) za prvi razred devetogodišnje osnovne škole.

Matematika (2 časa sedmično, 68 časova godišnje)

ULOGA I ZNAČAJ  Nastavni predmet Matematika, posebno danas, u eri dinamičnog naučnog i tehničko tehnološkog razvoja, te opće kompjuterizacije, ima bitan značaj i ulogu

u odgoju i obrazovanju mlade generacije i njihovom pripremanju za budući život i rad. Nastava matematike predstavlja glavni segment cjelokupnog općeg obrazovanja i temelj razvoja cjelovite ličnosti učenika jer daje značajan doprinos u sveukupnim učeničkim postignućima (obrazovnim, odgojnim i funkcionalnim). Obrazovna uloga sastoji se u usvajanju programom propisanih 172

matematičkih sadržaja; funkcionalna se

ogleda u njenom velikom utjecaju na razvoj općih intelektualnih sposobnosti (pamćenja, pažnje, rasuńivanja,

logičko, stvaralačko i kreativno mišljenje...), a odgojna uloga se ogleda u njenom utjecaju na razvoj pozitivnih crta učeničke ličnosti (tačnost, preciznost, urednost, upornost). Matematički nastavni sadržaji zbog svoje egzaktnosti i logičke strukture upravo pogoduju razvoju intelektualnih i stvaralačkih sposobnosti učenika, kao i razvoju gore navedenih pozitivnih crta ličnosti, te pomažu pri izučavanju drugih nastavnih predmeta - moje okoline, likovne kulture, fizike, hemije, itd. CILJEVI I ZADACI

Cilj nastave matematike u prvom razredu devetogodišnje osnovne škole je odgajanje i obrazovanje učenika na temelju formiranja osnovnih matematičkih  pojmova i usvajanje sadržaja kao što su upoređivanje predmeta po osobinama i uzajamnom položaju (odnosu), mjerenje veličina, mjerne jedinice, prirodni  brojevi do 10, relacije među njima, te operacije sabiranja i oduzimanja. PROGRAMSKI SADRŽAJI 1. UPOREĐIVANJE, PROCJENJIVANJE I MJERENJE VELIČINE PREDMETA − Upoređivanje predmeta po boji, duljini, visini, širini, debljini; Blizu, daleko, lijevo, desno, ispred-između-iza, ispod-na-iznad, uspravno− koso-vodoravno; − Odnos među predmetima i veličina predmeta; − Mjerenje veličina - jedinice i mjere (kilogram, metar, litar, sat i KM). 2. PREDMETI OBLIKA LOPTE (KUGLE), KOCKE, VALJKA I PIRAMIDE Upoznavanje predmeta oblika lopte, kocke, valjka i piramide, imenovanje − oblika i uočavanje njihovih sličnosti i razlika. 3. RAVNE I ZAKRIVLJENE PLOHE (POVRŠI), LIKOVI I LINIJE (CRTE) − Likovi oblika kruga, trougla, pravougaonika i kvadrata; − Otvorene i zatvorene ravne i krive linije (crte); unutrašnjost i spoljašnjost (vanjština),unutra -na - izvan; − Tačke kao presjeci linija (sjecišta).

173

4. SKUPOVI, BROJEVI, RELACIJE I OPERACIJE

Primjeri skupova, označavanje Članovi skupa, pridruživanje elemenata dvaju skupova, brojnost; − Brojevi − od 1 do 3; − Upoređivanje brojeva (<, >, =, ≠); − Brojevi 4 i 5 ; Prethodnik i sljedbenik, opadajući i rastući brojni niz (predstavljanje na −  brojnoj liniji); − Redni brojevi od 1 do 5 ; − Sabiranje i oduzimanje; − Broj 0; −

−

Brojevi od 6 do 9;

−

Broj 10;

Redni brojevi od 1 do10. Napomena:  Nastavnik može sa djecom koja pokazuju interes i visoke sposobnosti za matematiku raditi i računske operacije u skupu brojeva do 20. −

OČEKIVANI REZULTATI (ISHODI) UČENJA

1. UPOREĐIVANJE, PROCJENJIVANJE I MJERENJE VELIČINE PREDMETA

Upoređivanjem otkriti sličnosti i razlike prema osobinama i uzajamnom  položaju predmeta; • Procjenjivanje veličine predmeta na temelju vizualne percepcije i odnosa među •

 predmetima; Upoznati čime mjerimo (pedalj, stopa, metar, linijar, štap, termometar, vaga, • sat) • Mjeriti to znači upoređivati; • Upoznati i imenovati jedinice za pojedine veličine; Procjenjivanje rezultata mjerenja, poređenje dobivenih rezultata sa •  predviđenim rezultatima. 2. PREDMETI OBLIKA LOPTE, KOCKE, VALJKA I PIRAMIDE 174

Promatranjem predmeta iz svoje okoline upoznati i imenovati oblike lopte, kocke, valjka i piramide; • Uočiti sličnosti i različitosti među njima; • Prepoznati da predmeti iz životnog okruženja imaju sličnosti i različitosti sa geometrijskim oblicima. •

3. RAVNE I ZAKRIVLJENE PLOHE (POVRŠI), LIKOVI I LINIJE (CRTE) Promatranjem prepoznati ravne i zakrivljene plohe (površi), likove, otvorene i • zatvorene linije (njihovu unutrašnjost i spoljašnjost); • Upoznati tačku kao presjek linija; • Grafičko predstavljanje tačke. 4. SKUPOVI, BROJEVI, RELACIJE I OPERACIJE Osposobiti učenike za promatranje skupova u neposrednoj okolini; • Upoznati • učenike sa postupkom pridruživanja; Usvojiti izraz «pripada» i «ne pripada» skupu , «element • skupa» i «nije element skupa»; • Zapažati i identificirati skupove iste i različite brojnosti; • Upoznati brojeve od 1 do 9; • Upoređivati brojeve (već od broja 3 ), upoznati i primijeniti izraze «manje», «veće» , «jednako» i «nejednako» i oznake <, >, =, ≠; Upoznati učenike sa pojmovima «prethodnik» i • «sljedbenik» (već od broja 5); • Identifikovati sabiranje kroz aktivnosti dodavanja, spajanja i grupiranja; • Usvajanje izraza «plus» i oznake «+»; Identifikovati oduzimanje kroz aktivnosti smanjenja, uzimanja i odvajanja; • • Usvajanje izraza «manje» i oznake «-»; • Preko konkretnih primjera navesti učenike da zaključe da se zbir neće promijeniti ako sabirci zamijene mjesta i da su sabiranje i oduzimanje suprotne računske operacije (radnje); •  Nula, veza sabirajanja i oduzimanja, brojnost praznog skupa; • Prepoznati da je desetica skup od 10 jedinica i upoznati učenika s načinom  bilježenja broja 10; • Osposobiti učenike da sabiraju i oduzimaju na različite načine (korištenjem tabela i  brojevnog pravca, pravilna interpretacija jednostavnijih grafikona) u okviru prve desetice; • Kroz primjere iz svakodnevnog života upoznati redne brojeve. 175

ODGOJNO-OBRAZOVNI CILJEVI I ZADACI SADRŽAJ

ZNANJE

SPOSOBNOS  TI

I-Upoređivanje Razlučivanje(razli Sposobnost Procjenivanjje kovanje) premta korišćenja i mjerenje veličine  po boji, duljina matematičkog  predmeta ,širina orijentacija  jezika i simbola Upoređivanje Samostalno i u prostoru(blizu predmeta po timsko  boji, duljini, visini, daleko,lijevoformulisanje širini, debljini,blizu, desno) Zaključaka daleko, lijevo razvijanje  procjenjivanje desno,ispred,izmeđ sposobnosti za međusobnog u,iza, ispod-na- odnosa Komunikaciju,r  iznad,uspravno predmeta i azmjenu kosoi njihove veličine- informcija vodoravno iskustava učenici se trebaju odnos među samo pojmovno Sposobnost  predmetima i upoznati sa Kritičkog veličina predmeta, vrednovanja mjerenjem mjerenje veličina, veličina, odnosno Vlastitih jedinice i sa jedinicama i  postignuča(isho mjere,kilogram, da znanja) i mjerama litar,metar,sat, KM upoređivanje sa (kilogram, rezultatima litar,metar,sat, drugih(par,tim,r  KM) azred) sposobnost da se greška doživljava kao stimulans za nove pokušaje iznalaženja rješenja, a ne kao kočnicu u daljem radu Imenovanje i razlikovanje  predmeta po Predmeti oblika lopte,kocke,valjka i obliku Zapažanje  piramide Upoznavanje ,prepoznavanje  predmeta oblika sličnosti i lopte, kocke, valjka različitosti i iz  piramideImenovanj  predmeta neposrednog e oblika okruženja sa geometijskim oblicima Prepoznavanje i razlikovanje III Ravne i likova datih zakrivljene plohe(površi) oblika; likovi i linije(crte) razlikovanje vrste likovi oblika linija, kruga,trougaoa, unutrašnjost i  pravougaonika, otvorene i zatvorene spoljašnjost zatvorene linije, ravne i krive II

176

VRIJEDNOSTI STAVOVI PONAŠANJA

AKTIVNOSTI UČENIKA

Razvijanje svijesti o  potrebi  procjenjivanja , mjerenja i računanja kao i njihovom značaju u svakodnevnom životu Razvijanje interesa i smisla za kolektivne igre i zajedništvo kao faktora koji utiču na formiranje  pozitivnih crta ličnosti Razvijanje  pozitivnog stava ponašanja i sklonosti za otkrivanje , istraživanje i rješavanje  problema kroz igru i zabavu

Kroz Planira i  jednostavnije i organizira, složenije koordinira, aktivnosti i igre  prati,reagira, učenici:učestvuj upućuje, pomaže i u u svim korigira etapama Tematski rada;Razlikuju  povezuje sadržaje  predmete po Uključuje  boji,duljini i roditelje i druge širini prostorno uposlene u školi u se orijentišu( u realizaciji otvorenom i  programskih zatvorenom sadržaja  prostoru ) Permanentno prati  procjenjuju napredovanje međusobne učenika odnose predmeta Postiče logički samostalna i zaključuju, timski istraživački mjere, i kreativan rad računaju,predviđ učenika  ju, izražavaju rezultate mjerenja

Razlikuju imeniju  predmete obliku samostalno uočavaju  prepoznaju definišu

AKTIVNOSTI NASTAVNIKA

i po

i

Uočavaju različite linije, unutrašnjost i spoljašnost zatvorenih linija,sjecišta linija

linije(crte); unutrašnjost i spoljašnjost(vanjšti na) unutra-na-izvan tačke kao presjeci linija(sjecišta)

identifikovanje i označavanje tačke gdje se linije  presjecaju

Imenuju različite skupove  predmeta i bića iz bliže i dalje okoline čitaju i zapisuju brojeve do 10  predstavljaju odnose među  brojevima identifikuju  prethodnika i sljedbenika sabiraju i oduzimaju do 10(rješavajući konkretne zadake)

IV Skupovi, brojevi,relacije i operacije  primjeri

skupova ,označavanje, članovi skupa,pridruživanje elemenata dvaju skupova brojnost  brojevi o 1 do 3 upoređivanje  brojeva(<,>,=,≠)  brojevi 4 i 5  prethodnik i sljedbenik opadajući i rastući brojni niz (predstavljanje na  brojnoj linij) redni  brojevi od 1 do 5 sabiranje i oduzimanje broj 0 brojevi od 6 do 9, cifre(cifre) od 0 do 9  broj 10 redni brojevi od 1 do 10

upoređivanje  brojeva od 0 do 10

GLAVNI ISHODI UČENJA Znanje i razumijevanje Učenici će znati koristiti matematički jezik, rješavati opće primjerene matematičke i logičke zadatke, prepoznati podatke (koji su poznati, a koji nepoznati), aritmetičke  probleme rješavati numeričkim operacijama, verbalizirati proces i tačno izražavati odgovor. Učenik treba postati svjestan da može koristiti matematiku za bolje upoznavanje stvarnosti i njenu primjenu u svakodnevnom životu. Sposobnosti Razvijat će logičke sposobnosti kroz igru, ulaganjem misaonih napora pri rješavanju određenih matematičkih situacija i njihovim povezivanjem sa iskustvima iz vlastitog života . Sve je slovo - sve je broj! Vrijednosti i stavovi: Dijete bi trebalo biti osposobljeno za samostalni rad, rad u parovima, manjim i većim grupama i da pri tome pokazuje odvažnost u otkrivanju i istraživanju novog i nepoznatog, da poštuje pravila, vrednuje lične i stavove drugih, da razvija sposobnost komunikacije i timskog rada. INDIKATORI USPJEŠNOSTI 177

- Znaju rješavati problemske zadatke koji se odnose na sabiranje i oduzimanje u okviru prve desetice; - Da znaju prepoznati i imenovati oblike u neposrednoj okolini; - Da s radošću rješavaju zadatke. Do indikatora uspješnosti dolazimo primjenom: - praktičnih radova, - zadataka objektivnog tipa i drugih oblika vrednovanja, -  portfolija kao pokazatelja aktivnosti u učenju i usvojenosti matematičkih

sadržaja. STRATEGIJE NASTAVE I UČENJA (DIDAKTIČKO METODIČKE NAPOMENE)

U nastavi matematike smatramo kao najidealniju kombinaciju tradicionalnih i savremenih metoda i oblika rada. Zagovaramo tzv. kognitivistički pristup koji  podrazumijeva razvijanje konceptualnih znanja i smisleno usvajanje kognitivnih shema (koncepata), umjesto dosadašnjeg asocijativnog pristupa koji insistira na vježbanju (usvajanju) postupaka. Sadržaje iz matematike treba tematski povezivati sa nastavom drugih predmeta. Uvažavajući individualne sposobnosti učenika, u nastavi matematike primjenjivati diferencirani pristup izboru sadržaja i načina rada. 17.2. OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM

(OKVIRNI

NASTAVNI PLAN I PROGRAM,za devetogodišnju osnovnu školu u Federaciji Bosne Hercegovine Federalno ministarstvo obrazovanja i nauke Bosne i Hecegovine) z a drugi razred devetogodišnje osnovne škole.

Matematika (3 časa sedmično, 105 časova godišnje)

PODRUČJA UČENJA

178

CILJEVI

OČEKIVANI REZULTATI/ISHODI UČENJA

Sticanje znanja:

ZNANJE

- Čitanje i pisanje brojeva do 20 i njihovo uporeń ivanje; - Upotreba simbola; - Predstavljanje prirodnih brojeva na  brojevnoj pravoj i razumijevanje da  postoje brojevi veći od 20; - Povezivanje broja i skupa; - Formiranje brojnog niza do 100; - Računanje sa deseticama; - Usvajanje osnovnih mjera i mjernih  jedinica; - O značaju praktične primjene mjerenja i  procjene količinskih odnosa.

Uče nici bi tre bali znati: - Koristiti matematički jezik i simbole pri sabiranju ioduzimanju u skupu do 20; - Rješavati matematičke zadatke ; - sabirati i oduzimati u skupu  brojeva do 20; - Sabirati i oduzimati desetice u skupu brojeva do 100; - Uočiti vezu izmeńu sabiranja i oduzimanja i vršiti provjeru jedne operacije  pomoću druge; - Prepoznati i imenovati jedinice za mjerenje

R - Da uz pomoć nastavnika  procjenjuju,uporeńuju i u  jednostavnim situacijama donose - Kritičkog mišljenja; zaključke; -Izvođenja i mjerenja, - Koristiti kreativnost i maštu za rješavanje njima primjerenih I  procjenjivanja uporeńđivanja;  problema; - Sposobnosti logičkog - Koristiti jednostavni matematički razmišljanja i zaključivanja;  jezik za saopštavanje ideja. - Prenošenja informacije putem individualnog i timskog rada. Razvijanje

SPOSOBNOST VJEŠTINE

NASTAVNE TEME 1. BROJEVI

1.1. Sabiranje i oduzimanje u skupu brojeva do 20 - Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvoj desetici (Ponavljanje i produbljivanje znanja); - Izračunavanje zbirova od tri sabiraka; - Upotreba zagrada u sabiranju i oduzimanju ; - Sabiranje i oduzimanje brojeva u drugoj desetici (oblici kao: 10+4, 14-4 , 13+4, 174, 10+10); - Sabiranja i oduzimanja oblika: 6+4 = 10, 10-4 (Ponavljanje i produbljivanje); - Sabiranja kada su sabirci iz prve desetice, a zbir iz druge desetice i odgovarajuće oduzimanje; - Veza između sabiranja i oduzimanja; - I slovo nekada uzimamo da je broj. Nepoznati broj; - Svojstva zbira: Nula kao sabirak. Pravilo zamjene mjesta sabiraka; - Svojstva razlike: nula kao umanjitelj, umanjitelj jednak umanjeniku; - Rimski brojevi od I do X; 179

- Redni brojevi. 1.2. Skup brojeva do 100 - Formiranje pojmova višekratnika broja 10; - Brojevna linija (crta): 0, 10, 20, 30, ... ., 100; - Upoređivanje višekratnika broja 10 u prvoj stotini; - Sabiranje i oduzimanje višekratnika broja 10 u prvoj stotini; - Formiranje pojmova ostalih brojeva prve stotine; - Niz brojeva: 0, 1, 2 , 3, ... 9 9, 100. Brojanje (u oba smjera). Prethodnici i sljedbenici  brojeva iz prve stotice; - Brojevna linija (crta): 0-100; - Upoređivanje brojeva iz prve stotice. Znaci: =, ? , ,.

2. GEOMETRIJA 2.1. Predmeti oblika lopte, kocke, kvadra, valjka , piramide i kupe - Predmeti oblika valjka, lopte i kupe; - Predmeti oblika kocke, kvadra, piramide (strane, bridovi, vrhovi); - Površi-granice  predmeta. Ravne i zakrivljene površi. 2.2. Površi (površine) i linije (crte ) - Linija (crta) kao granica površi (površine); - Ravne i zakrivljene linije (crte). Tačke kao granice linije (crte); - Izlomljena linija (crta); - Duž kao dio izlomljene linije (crte). Uporeńivanje duži; - Pravougaonik, kvadrat i trougao kao zatvorene (proste) izlomljene linije; - Granica kruga kao zatvorena zakrivljena linija (crta).

3. MJERENJE I MJERE - Mjerenje dužine. Jedinice za dužinu (metar); - Mjerenje mase. Jedinice za masu (kilogram); - Jedinice za tečnost (litar); - Jedinice za vrijeme (sat, minuta); - Jedinice za novac (konvertibilna marka, konvertibilni fening). DIDAKTIČKO METODIČKE NAPOMENE Za uspješno savladavanje programskih sadržaja u nastavi matematike drugog razreda devetogodišnjeg osnovnog obrazovanja neophodno je napraviti uspješan spoj tradicionalnih i savremenih oblika i metoda rada. Pri tome je značajno da 180

se vodi računa o spoznajnim mogućnostima učenika, o sposobnosti shvatanja i razumijevanja matematičkih zakonitosti, te o interesima i optimalnim igrovnim metodama kojima će se apstraktni pojmovi i činjenice približiti učeničkim spoznajnim mogućnostima. Ravnopravno zastupiti tri pristupa: skupovni, brojevni i perceptivno-predodžbeni (korištenje brojevnih slika) kod predstavljanja brojeva; Približiti racionalizirani postupak tumačenja i objašnjavanja broja (10 +7 = 17 • nije produkt sabiranja već poimanje broja 17); • Primjena korelativnih odnosa među predmetima; • Kroz poučavanje i učenje brojeva, a naročito kod sabiranja i oduzimanja insistirati na razumijevanju, a tek kasnije na pamćenju; • Primjena didaktičkog materijala s ciljem boljeg razumijevanja određenih matematičkih radnji; • Unutarpredmetna korelacija (povezivanje sadržaja unutar predmeta); • Podsticanje kreativnosti istraživačkog rada i insistiranje na ravnopravnom učešću dječaka i djevojčica u fizičkom i slikovnom materijalu; • Podsticanje samostalnog (individualnog) i timskog rada; • Prikupljanje didaktičkog materijala iz okoline i njegova primjena u adekvatnim situacijama; •

•

Prikupljanje i ukazivanje na oblike i slike predmeta u bližoj okolini bez

obaveze crtanja pomenutih predmeta;

Taktivnim (dodirnim) efektima razumijevanje pojma površi i njihovo perceptivno (vizualno) prepoznavanje predmeta i slika, da na taj način razlikuju ravne i zakrivljene površi i linije; • Produbljivanje i proširivanje pojma brojeva do 20, te brojeva od 21 do 100. •

Pomenute programske zahtjeve realizirati kroz sva tri postupka: skupovni, brojevni i perceptivnopredodžbeni.

Korištenjem brojevne linije omogućiti očiglednost nizanja i niza brojeva prve stotine; •

•

Sabiranje i oduzimanje u skupu višekratnika broja 10 tumačiti analogno

sabiranju u prvoj desetici; Mjerenju i mjeri pristupiti isključivo praktičnim

aktivnostima učenika (vaganjem, pretakanjem, korištenjem sata i novca); • Geometrijska tijela u prostoru nisu cilj, već sredstvo da učenici pouzdanije modeliraju skupove, kao i osnov za formiranje pojmova brojeva. ODGOJNO-OBRAZOVNI CILJEVI I ZADACI 181

SADRŽAJ

ZNANJE

1. Brojevi

Prepoznati i koristiti simbole <,>,= -Znati odrediti nepoznatog sljedbenika i  prethodnika datog  broja -Predstavljati  prirodne brojeve na brojnoj pravoj -Prepoznati deseticu kao skup od 10 jedinica -Prepoznati stoticu kao skup od 10 desetica -Znati usmeno i  pismeno sabirati i oduzimati do 20 -Znati da su sabiranje i oduzimanje suprotne računske operacije -Vrši provjeru sabiranja pomoću oduzimanja i obrnuto -Koristi svojstvo operacije sabiranja(komutat ivnost i asocijativnost) -Uočava kako se mijenja zbir i razlika u zavisnosti od  promjene komponenti -Izračunava vrijednost izraza sa i bez zagrade -Zna rimske  brojeve od I do X -Korišćenje rednih brojeva

1.1. Sabiranje i oduzimanje u skupu brojeva do 20

-Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvoj desetici(ponavljanje i produbljivanje znanja) -Izračunavanje zbirova od tri sabirka -Upotreba zagrada u sabiranju i oduzimanju -Sabiranje brojeva i oduzimanje brojeva u drugoj desetici(oblici kao 10+4. 144,13+4,174,10+10); -Sabiranje i oduzimanje oblika 6+4=10 i 104(ponavljanje i  produbljivanje); -Sabiranje kada su sabirci iz prve desetice, a zbir iz druge desetice i odgovarajuće oduzimanje -Veza između sabiranja i oduzimanja -I slovo nekada uzmemo da je broj  Nepoznat broj -Svojstva zbira;  Nula kao sabirak -Pravilo promjene mjesta sabiraka -Svojstva razlike, nula kao umanjitelj,umanjitel  j jednak umanjeniku, -Rimske cifre od I do X -Redni brojevi

1.2. Skup brojeva do 100 - Formiranje

 pojmova

182

Sastavlja  jednostavne  brojne izraze koji odgovaraju tekstualnom

SPOSOBNO STI

VRIJEDNOS AKTIVNOSTI AKTIVNOSTI  TI UČENIKA NASTAVNIKA STAVOVI PONAŠANJA Korišćenje -Razvioj -Učestvuje u Planira nastavne matematičkog interes i smisla svim etapama sadržaje  jezika i za kolektivne rada na času -Prikuplja simbola didaktički igre i materijal za rad zajedništvo -Aktivno samostalno i sa -Samostalno i kao faktor koji učestvuje učenicima utiče na matematičkim timsko formiranje formiranje igrama -Podstiče kako stavova i  pozitivnih crta  primjenjujući samostalan rad zaključaka ličnosti ranije stečena učenika, tako i rad znanja u paru , manjim i -Razvoj smisla -Režira većim grupama -Razvijanje sposobnosti za za rad u paru, matematičke ili igre koristeći -Tematski komunikaciju, manjoj razmjenu većoj grupi sabiranje i  povezuje informacija i matematičke oduzimanje iskustava sa -Razvoj kroz društvene sadržaje interesa i igre (čovjeće ne sadržajima drugih smisla za ljuti se,  predmeta -Kritičko istraživanje , tombola,bacanj vrednovanje otkrivanje i e kockice, igra -Priprema zadatke vlastitih i zaduženja za  postignuća i rješavanje  parnih i svakog učenika u upoređivanje  problema kroz neparnih grupi sa rezultatima igru  brojeva, igre s -Kontinuirani drugih (Žpar, kartama,zapisiv  prati i opisno grupa, razred) -Razvoj anje rimskih vrednuje napore svijesti o  brojeva učenika i njihov  potrebi  pomoću šibica, rad -Razvija sposobnosti da računanja -Podstiče ,  pronalaženje grešku shvata mjerenja i , rednih i rimskih istraživački kao stimulans  procjenjivanja u kreativni rad svih za nove i predviđanja i novinama,časo učenika  pokušaje značaju tih  pisima i -vodi računa o -Razvija aktivnosti u svakodnevnom ravnopravnoj sposobnosti zastupljenosti svakodnevno životu) korišćenja spolova u igrama  jednostavnijeg m životu -Putem i zaduženjima, matematičkog matematičkih njeguje pozitivan  pribora igara odnos prema  primjenjuje okolini i prirodi -Procjenjuje stečeno znanje dužinu, masu, (igre vrijednost i vrijeme koncem,vunom ,pronalaženje najkraćeg puta)

Razvijanje -U bližem i  pozitivnog širem stava u okruženju  ponašanju i  pronalazi sklonosti za linije , tačke, otkrivanje i  površi i oblike

višekratnika broja 10- Brojevna linija (crta):0,10,20,30,..., 100 -Upoređivanje višekratnika broja 10 u prvoj stotini -Sabiranje i oduzimanje višekratnika broja 10 u prvoj stotini

zadatku; -Određuje nepoznatu komponentu u  jednostavnim tekstualnim zadacima -Rješava  jednostavne  problemske zadatke koje se svode na rješavanje  brojnog izraza

-Formiranje  pojmova ostalih  brojeva prve stotine

istraživanje -Pomoću -Vrednovanje različitih svojih i tuđih materijala stavova izrađuje oblike -Razvoj i površine ekološke -Koristi svijesti i svakodnevne  pozitivnog situacije za odnoa prema  primjenu spolovima stečenih matematičkih znanja (odlazak u trgovinu, na  pijacu itd.) -Pravi  jednostavne grafikone

-Niz brojeva 0,1,2,3,...,99,100 Brojanje(u oba smijera) Prethodnici i sljedbenici brojeva iza prve stotice -Brojevna linija (crta)0-100 Upoređivanje  brojeva iz prve stotice.Znaci =,<,>

Čita i piše brojeve do 100 2. GEOMETRIJAi -Reda prirodne  brojeve do 100 2.1. Predmeti -Imenuje i oblika lopte,kocke,kvad razlikuje ra,valjka,piramid  predmete po e i kupe veličini, boji i obliku -Prepoznaje -Predmeti oblika valjka, lopte i  predmete iz kupe životnog okruženja koji imaju sličnosti i -Predmeti oblika kocke,kvadra,pira različitosti sa mide(strane,bridov geometrijskim i,vrhovi) oblicima -Razlikuje vrste -Površi-granice linija  predmeta .Ravne i -Uočava i zakrivljene površi imenuje ravne i zakrivljene  površi(gleda,dodir  uje) -Poima duž kao kao najkraće 3. Mjerenja i rastojanje između mjere dvije tačke: -Mjerenje dužine; -Označava duž -Posmatranjem

Imenuju različite skupove  predmeta i bića iz bliže i dalje

183

Jedinica za dužinu(m) -Mjerenje mase. Jedinica za masu(kg) -Jedinica za tečnost(l) -Jedinica za vrijeme(h,min) -Jedinice za novac(KM,KF)

tijela prepoznaje i imenuje mnogouglove(tro ugao,kvadrat,prav ougaonik) i  precrtava  precrtava ih -Upoređuje i  procjenj  procjenjuje uje veličinu površi

-Pr -Prepo epoznaj znajee i imen imenuj ujee dota dotadd naučene jedinice za dužinu, vri vrijem jeme, masu masu,, zapreminu i novac -Može -Može imenovat imenovatii sprave kojima se vrše mjerenja -Zna -Zna rješ ješavati vati  jednostav  jednostavnije nije tekstualne zadatke u kojima se kori korist stee mjern jernee  jedinice  jedinice i operacije sa njima

okoline čitaju i zapisuju  brojeve  brojeve do 10  predstavlj  predstavljaju aju odno odnose se među među  brojevima  brojevima identifikuju  prethodnik  prethodnikaa i sljedbenika sabiraju i oduz oduzim imaj ajuu do 10(rješavajući konkretne zadake)

17.3. OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM

(OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM,za devetogodišnju osnovnu školu u Federaciji Bosne Hercegovine Federalno Federalno ministarstvo obrazovanja i nauke Bosne i Hecegovine) za treći razred devetogodišnje osnovne škole

184

Matematika (3 časa sedmično, 105 časova godišnje) Programski sadržaji

Programska struktura predmetnih područja

1. Sabiranje i oduzimanje do 100 2. Ravne i zakrivljene plohe (površine) likovi, linije 3. Množenje i dijeljenje do 100 4. Mjerenje, upoređivanje i procjenjivanje 1. Sabiranje i oduzimanje do 100 - Sabiranje i oduzimanje brojeva unutar desetica (oblici kao: 50+4 , 54 -4, 73+4, 77-4); - Upoznavanje relacija ≤ i ≥; - Određivanje nepoznatih brojeva (x<14, 40
2. Ravne i zakrivljene plohe (površine), likovi i linije

- Prava(pravac), poluprava(polupravac), duž(duljina), ugao(kut) - crtanje i obilježavanje; 185

- Crtanje paralelnih i okomitih pravaca; - Upoređivanje duži.

3. Množenje i dijeljenje do 100 - Množenje kao sabiranje jednakih sabiraka; - Znak «•» (puta). Množilac, množenik (množenje broja i množenje brojem) i produkt (umnožak); - Činitelj ili faktori; - Množenje brojeva (i množenje brojem) prve desetice; - Tablica množenja; - Broj 1 i broj 0 činitelj množenja; - Osobine proizvoda: zamjena mjesta činitelja (komutativnost i asocijativnost); Pisanje dvocifrenog broja u obliku a10+b; - Djeljenik (broj koji se dijeli), djelitelj (broj kojim se dijeli), količnik (ishod dijeljenja); - Dijeljenje brojevima prve desetice; - Količnik čiji je djeljenik broj 0; - Količnik čiji je djelitelj broj 1 (dijeljenje nulom nema smisla); - Tablica dijeljenja; - Veza množenja i dijeljenja; - Množenje i dijeljenje zbira ; - Osobine dijeljenja: distributivnost; - Izvantabelarna množenja i izvantabelarna dijeljenja (3 0:2 , 20 :10); - Rješavanje jednačina oblika 3X=18 , X4=24, 45:X=5, X:9 =8; - Računske operacije prvog i računske operacije drugog reda. Red računanja u izrazima s više računskih operacija. Upotreba zagrada. 4. Mjerenje, upoređivanje i procjenjivanje

- Mjerenje dužine. Jedinice Jedinice za dužinu. (1 m, 1 dm, 1 cm) - Mjerenje mase. Jedinice za masu (1 kg, 1 dag, 1 g) - Jedinice za tekućinu (1 l, 1 dl, 1 cl) - Jedinice za vrijeme (godina, mjesec, tjedan, dan , sat, minuta) - Jedinice za novac (KM, KF) MATEMATIKA PODRUČJA UČENJA

CILJEVI

Sticanje znanja:

-

186

Upotreba si simbola;

OČEKIVANI REZULTATI/ISHODI UČENJA Uče nici bi tre bali znati:

-

Kori oristiti matematički

Pre Predst dstavljanje pr prirodn odnih  brojeva  brojeva do 100 na brojevnom pravcu; Povez vezivanje nje broja i skupa; Formiranje br brojnog niza do 100; - Zna rims rimske ke broj brojev evee do do XX; XX; Osnovne računs unske oper peracije u skupu brojeva do 100; Usvaj vajanje nje os osnov novnih nih mj mjera i mjernih jedinica, upoznavanje njihovih meńusobnih odnosa; Crtanje i označavanje osnovnih geometrijskih figura (pravac,  polupravac,  polupravac, duž…). duž…). .

ZNANJE

SPOSOBNOST VJEŠTINE

I

VRIJEDNOSTI STAVOVI

I

 jezik  jezik i simbole simbole za osnovne matematičke operacije u skupu  brojeva  brojeva do 100; Rješavati složenije tekstualne zadatke ; Uoči očiti vez vezu i redosl oslijed izmeńu osnovnih računskih operacija i  provjerava  provjerava jedne operaciju s pomoću druge ;

Mjeriti, up uporeńivati i  procjenjiva  procjenjivatiti s  pomoću  pomoću jedinica jedinica za za dužinu, masu, vrijeme…

Da uz pomoć nastavnika  procjenjuje  procjenjuje,, uporeńuje i u  jednosta  jednostavnim vnim situaci situacijam jamaa donosi zaključke; Koristi kreativnost i maštu za rješavanje njima  primjereni  primjerenihh problema problema;; Koristiti je jednostavni matematički jezik za saopćavanje ideja.

Razvijanje : logičkog i kritičkog mišljenja; sposobnosti kkrritičkog vrednovanja vlastitih rezultata i njihovo  poreńenja  poreńenja sa sa rezultat rezultatima ima drugih; sposo osobno bnosti predviń vińanja , mjerenja, uporeńivanja i  procjenjiva  procjenjivanja. nja.

Razvijanje pozitivnih vrije dnosti i stavova: prema se sebi samome , prema drugima , prema okolini, prema učenju.

i

Poka Pokazi ziva vatti vi više samo samopo pouz uzda danj njaa

odgovornosti; Poš Poštovat ovatii razl različ ičit itee stavo tavove ve;; Prepozn oznati ulogu i znač načaj matematike u svakodnevnom životu.

ODGOJNO-OBRAZOVNI CILJEVI I ZADACI MATEMATIKA ZA III RAZRED DEVETOGODIŠNJEG OBRAZOVANJA SADRŽAJ

ZNANJE

1. Sabiranje i oduzimanje do 100

Prepoznaju , zapisuju , čitaju i upoređuju brojeve do 100 -Sabiraju i oduz oduzim imaj ajuu sa i  bez prelaza prelaza do 100 -Prepoznaju  podatke  podatke koji su

-Sa -Sabir biranj anje i oduzimanje  brojeva  brojeva unutar  unutar  desetic desetica(ob a(oblici lici kao 50+4,54-4,74+4,774) -Upoznavanje relacija i određivanje

SPOSOBNO STI

VRIJEDNOS AKTIVNOSTI  TI UČENIKA STAVOVI PONAŠANJA -Osposobljeni -Učestvuje u -Sposobnost upotrebe su za svim svim etapam etapamaa i matematičkog samostalan rad , oblicima  jezika  jezika i rad u parovima, rada(grupa,tim,p simbola malim i velikim ar); grupama; -Aktivno -Sposobnost -Pokazuju učestvuje u  primjene  primjene smisao,želju,za matematičkim matematičkih znanja u nimanje i igrama i vakodnevnom odva odvažn žnos ostt za  primjenj  primjenjuje uje

AKTIVNOSTI NASTAVNIKA -Sadržaje  Nastavn  Nastavnog og  programa  programa utvr utvrđu đuje je prem premaa interesima i sposobnostima učenika i  prilago  prilagođava đava zahtjeve  postavlj  postavljene ene

187

nepoznatih  brojeva(  brojeva(x<15 x<15,, 40
-Pravac polupravac, duž, ugao-crta ugao-crtanje nje i obilježavanje -Crtanje paralelnih paralelnih i okomitih pravaca -Upoređivanje duži

3. Množenje i dijeljenje do 100

188

 poznati  poznati i koji su nepoznati u  jednačina  jednačinama ma i nejednačinama -Rješavaju  jednostav  jednostavne ne  jednačine  jednačine i tekstualne zadatke do 100 -Rješavanje  jednostav  jednostavnije nije nejednačine -Upotrebljavaju redne brojeve do 100 -Zna simbole I,V,X kao simbo simbole le pomoću pomoću kojih pišemo sve rimske brojeve do XX -Upotrebljavaju  jednostav  jednostavne ne tabele Interpretiraju (pravilno)  jednostav  jednostavnije nije grafikone

životu -Samos -Samosta talno lno i timsko formuliranje zaključka -Razvijanje logičke sposobnosti kroz igru i rješavanje matematičkih  problema  problema -Sposobnost za razmjenu info inform rmac acijijaa , rezultata i iskus kustava tava sa drugarima i nastavnikom -Sposobnost kritičkog vrednovanja vlastitih ishoda i upoređivanje s ishodima drugih(par,grup a,razred) -Sposobnost uočavanja razlika razlika između između  paralelni  paralelnihh i okomitih  pravaca  pravaca -Uoćavanje liko likova va obli oblika ka trougla, kvadrata,  pravouga  pravougaonika onika i kruga u okružju.

-Upotrebljavaju matematički  jezik  jezik , rješavaju rješavaju mate matema mati tičk čkee i logičke zadatke -Čitaju ,zapisuju , upoređuju upoređuju stotice stotice  prve hiljade hiljade -Opažaju i imen imenuj ujuu ravn ravnee i -Sposobnost zakrivljene međusobnog  površine  površine i  povezivanja  povezivanja i klasificiraju ih upotreba -Prepznaju i osnovnih imenuju pojmove računskih oper operac acijijaa do  pravac,  pravac,  poluprava  polupravac, c, duž, nivoa ugao, ugao, kružn kružnica ica i automatizma krug -Sposobnost -Razlikuju razlikovanja kružnicu i krug značenja -Samstalno termina uočavaju , "jedn "jednakos akost" t" i definiraju "jednačina" razl razliikuj kuju crte crte i kao i konstruiraju ih "nejednakost" -Crtaju -Crtaju pravac pravac i -Sposobnost  poluprava  polupravacc samostalnog

otkrivanj vanjee i istraživanje novog i nepoznatog -Pokazuju zanimanje  priliko  prilikom m upoznavanja novih novih pojmova pojmova i proš prošir iriv ivan anja ja matematičkog znanja -Pokazuju zani zanima manj njee za učešće u matematički kolektivnim igrama : -Rješavaju  probleme  probleme kroz igru igru i zaba zabavu vu  poštujući  poštujući  pravila  pravila -Vrednuju lične i stavove drugih -Razvijaju  pozitiv  pozitivne ne stavove,ponaša nja za rad i igru -Uče -Učesstvuj tvujuu u satav atavlljanj janjuu i rješavanju matematičkih zadataka iz svakodnevnog života -Množe i dijele u skupu brojeva do 100

rani ranije je steče tečena na znanja i iskustva -Čitaju i zapisuju  brojeve  brojeve do 100 100 -Predstavljaju  pdnose  pdnose među  brojevim  brojevimaa upotrebljavajući matematičke znake -Identificiraju  prethodni  prethodnika ka i sljedbenika zadanog broja -U raču ačunanj nanjuu zbi zbira kor koriste zamjenu zamjenu mjesta mjesta sabiraka (osobina komutativnosti zbira) -Upotrebljavaju simboleza računske operacije -Sabiraju i oduzimaju u skupu brojeva do 100 -Predviđaju  približ  približan an ishod ishod operacija -Rješavaju  probleme  probleme sabir biranjem i oduzimanjem -Rač -Račun unaaju na različite načine,okomito i vodoravno,pomo ću brojne ose -Upotrebljavaju  jednosta  jednostavne vne grafikone i interpretiraju ih -Imenuju i zapi zapisu suju ju redn rednee  brojeve  brojeve do 100 100 -Čitaju ,zapisuju i upoređuju stotice prve hiljade -Procjenjuju vjerovatni rezultat u igrama na sreću -Put -Putem em dva dvaju čul čula osj osjećaj ećajuu odnose granic granica/ a/rub rubaa in

 programo  programom m kako  bi bio uspješn uspješnoo ostvaren -Stavlja -Stavlja naglasak naglasak na razumij razumijevanj evanjee osnovnih matematičkih  pojmova  pojmova -Pomaže djeci da  poboljša  poboljšaju ju izražavanje svojih matematičkih ideja i zapažanja -Prilagođava nastav nastavuu svak svakom om učeniku  pojedinač  pojedinačno no -Primjenjuje  pristupe  pristupe i  postupke  postupke kojima kojima se uvažava stepen razvoja djeteta -Pomaže djeci da kritički sagledaju sagledaju ono što se uči -Tematski  povezuje  povezuje nast nastavne avne sadr sadrža žaje je unut unutar  ar   Nastavn  Nastavnog og plana i  programa  programa -Uključuje matematiku u drug drugee nast nastav avne ne oblasti

-Pomaže uče učenici nicima ma da nauč naučee pravi praviln lnoo koristii geometrijski  pribor  pribor pri crtanju crtanju

-Rješavaju geometrijske zadatke -Vrednuju ishode cjelokupnog rada -Prepozna -Prepoznaju ju znak "." kao oznaku za množenje i znak":" kao znak za dijeljenje -Znaju -Znaju množi množititi i dije dijelilititi u skup skupuu  brojeva  brojeva do do 100 100 -Prepoznaju značenje značenje termina termina "dvostruko više(dvostruki  broj)"  broj)" i "polovin "polovinaa " broja -Usvojili su tablicu množenja i dijeljenja do nivoa automatizma -Rješavaju  jednostav  jednostavnije nije  jednačine  jednačine i nejednačine -Samostalno sastavljaju i rješavaju  jednostav  jednostavne ne matematičke  probleme  probleme putem putem  jednačina  jednačina i nejednačina -Osposobljavaju se za rješ rješava avanje nje matematičkih zadata zadataka ka sa više više računskih operacija, sa i bez upotrebe zagrada -Mjere uz korišćenje dogovorenih  jedinica  jedinica i sprava, sprava, tačno tačno izraža izražavaj vajuu rezultate mjerenja -Predviđaju ishode mjerenja i  provjerav  provjeravaju aju rješenja rješenja zadataka zadataka u kojima se kori korist stee mjern jernee  jedinice  jedinice -Koriste Mjerenje, standardne 4. upore poređi đivvanje anje i  jedinice  jedinice za dužinu dužinu procjenjivanje , masu,zapremina, masu,zapremina, -Mjerenje dužine

-Množe oženje kao kao sabiranj sabiranjee jednakih jednakih sabiraka -Znak nak "."(puta puta)) Množilac, množenik(množenj e broja i množenje  brojem)  brojem) i umnoža umnožakk -Činitelj ili faktor   _Množenj  _Množenjee brojevaI brojevaI i množenje brojem)  prve desetice desetice -Tablica množenja -Broj 1 i broj 0 kao činitelji množenja -Osobine umnoška umnoška ;zamjena ;zamjena mjesta činitelja(komutativn ost i asocijativnost) -Pisanje dvocifrenog broja u obliku a10+b -Djeljenik -Djeljenik (broj koji se dijeli) , djeljitelj(broj djeljitelj(broj kojim se dijeli), količnik(ishod dijeljenja) -Dijeljenje  brojevim  brojevimaa prve desetice -Kol -Količ ični nikk čiji čiji je dijeljenik broj 0 -Kol -Količ ični nikk čiji čiji je djeljenik broj 1 (dije (dijeljljenj enjee nulom nulom nema smisla) -Tablica dijeljenja -Veza -Veza množe množenja nja i dijeljenja Množ Množen enje je zbir zbiraa i dijeljenje zbira -Osobine dijeljenja,distributiv nost -Izvantablična množenja i izvantablična dijeljenja (30:2, 20:10) -Rješavanje  jednačin  jednačinaa oblika oblika 3X=18,X4=24, 45:X=5, X:9=8 -Računske operacije  prvog  prvog i računske računske opeara opearaci cije je drugog drugog reda Red računanja u izrazima sa više računskih operacija:Upotreba zagrade

mjerenja i zapisivanja rezultata

regije/područja, i kons konstr trui uita tanj njuu crte crte,p ,pov ovrš ršin inee i geometrijskih  prostora  prostora likov ikovaa obl oblika ika -Samostalno trougla,kvadrata, crtaju paralelne i  pravougaoni  pravougaonika ka i okomi oko mite te pravce pravce kruga upotrebljavajući geometrijski Mjerenje,upoređ  pribor   pribor  ivanje i -Obavljaju  procjenjivanje anje  priprem  pripremne ne radnje radnje  procjenjiv za osnovne objašnjavaju djec djecii kori korist steć ećii operacije -Sas -Sasta tavl vlja jaju ju i što više primjera i očiglednih rastavljaju  brojeva  brojeva sred sredst stav avaa iz -Dovode u vezu okruženja odnose odn ose izmeđ izmeđuu  brojeva  brojeva i operacija -Broj -Brojne ne nizove nizove izražavaju verbalno i simbolički -Interpretiraju oper operac acijijee kroz kroz transformacije -Koriste strelice ,grafikone,tablic e,simbole za operacije i  brojne  brojne rela relacije cije -Pravilno intrepretiraju grafikone i tabele -Koriste množenje i dijeljenje u svakodnevnim radnjama i situacijama -Istražuju razlićčite razlićčite načine množenja i dijeljenja -Dijele na  jednake  jednake dijel dijelove ove -Predviđaju  približ  približan an rezult rezultat at -Vrednuju ishode -Poduzimaju mjeranja i  predviđa  predviđaju ju ishode -Korist -Koristee mjerne mjerne istrumenta -Mjere

189

Jedinice za dužinu(1m,1dm,1c m) -Mjerenje mase Jedinice za masu(1 kg, 1dag, 1 g) dag je ooznaka za dekagram 1 dag=10grama -Jedinice za tečnost(1l, 1 dl, 1cl) -Jedinice za vrijeme (godina,mjesec,sed mica, dan,sat,minuta) -Jedinica za novac(KM,KF)

vrijeme i novac u svakodnevnom životu

upotrebljavajući mjerne jedinice -Izražavaju ishode mjerenja -Koriste standardne  jedinice za mjerenje dužine,mase,zap remine/zapremin e tekućine vremena i novca -Koriste mjerenja za rješavanje  problema -Logički zaključuju i računaju -Prikupljaju  podatke iz stvarnih situacija -Vrednuju ishode mjerenja -Upotrebljavaju kretivne  postupkeza rješavanje svakodnevnih  problema i objašnjavaju  poduzete  postupke -Pripremaju didaktički materijal -Samostalno smišljaju zadatke

DIDAKTIČKO METODIČKE NAPOMENE Za uspješno savladavanje programskih sadržaja u nastavi Matematike za III razred devetogodišnjeg osnovnog obrazovanja neophodno je načiniti uspješan spoj tradicionalnih i savremenih oblika i metoda rada. Pri tome, značajno je voditi računa o spoznajnim mogućnostima učenika, o sposobnosti shvatanja i razumijevanja matematičkih zakonitosti, te o interesima i optimalnim igrovnim metodama kojima će se apstraktni pojmovi i činjenice približiti učeničkim spoznajnim mogućnostima. Ravnopravno zastupiti tri pristupa: skupovni, brojevni i perceptivno-predodžbeni (korištenje brojevnih slika) kod predstavljanja brojeva; •

190

Približiti sabiranje brojeva prve stotice kada je zbir naznačenih jedinica pribrojaka manji od 10 (ab+cd, b+d<10 ); Na primjer 2 3+34 , 3+4<10 ; • Objasniti sabiranje i oduzimanje s prelazom različitim metodama; • Kroz poučavanje i učenje brojeva, a naročito množenja i dijeljenja, insistirati na razumijevanju, a tek kasnije na pamćenju; • Produbljivanje i proširivanje pojma brojeva do 100, te stotica do 1000; • U geometrijskim sadržajima učenika dovesti na nivo prepoznavanja, poimanja, imenovanja i označavanja (prava, duž, ugao, kružnica…); • U domeni mjera i mjerenja učenik treba da zna mjeriti, upoređivati, procjenjivati  jedinice; • Primjenjivati didaktički materijal s ciljem boljeg razumijevanja određenih matematičkih radnji; • Kroz različite oblike rada poticati i razvijati samostalnost, kooperativnost kreativnost i istraživački duh; • Sakupljanje didaktičkog materijala iz okolice i njegova primjena u odgovarajućim situacijama; • Ukazivati na oblike, slike i primjere predmeta u bližoj okolini; •  Nastojati uspostaviti što užu korelaciju unutar samog predmeta a i sa drugim  predmetima. •

Spomenute programske zahtjeve realizirati kroz sva tri postupka: skupovni,  brojevni i perceptivnopredodžbeni. • Uz pomoć brojevne linije omogućiti očiglednost nizanja i niza brojeva prve stotine i stotica prve hiljade; • U domeni mjera i mjerenja, osim praktičnih aktivnosti, učenik treba znati zapisati i  pretvarati mjere.

17.4. OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM

(OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM,za devetogodišnju osnov nu školu u Federaciji Bosne Hercegovine Federalno ministarstvo obrazovanja i nauke Bosne i Hecegovine) za četvrti razred devetogodišnje osnovne škole

191

Matematika (4 časa sedmično, 140 časova godišnje) CILJEVI I REZULTATI ODGOJNO-OBRAZOVNOG RADA MATEMATIKA PODRUČJA UČENJA

ZNANJE

SPOSOBNOST VJEŠTINE

I

CILJEVI

OČEKIVANI REZULTATI/ISHODI UČENJA

Sticanje znanja: − poznavanje i upotreba matematičkih simbola − formiranje pojmova hiljadice i  brojeva hiljadice − formiranje pojmova brojevne crte 0−1000 i njihovo predstavljanje na  brojevnoj liniji − formiranje pojmova, uočavanje zakonitosti i usvajanje postupaka četiri osnovne računske operacije − uočavanje strukture i zakonitosti  predstavljanja trocifrenih i četverocifrenih brojeva − eksperimentalno modeliranje prave i  poluprave i crtanje modela prave i  poluprave − o krugu i kružnici kao ravnim  površima valjka i kupe − crtanje i označavanje elemenata kružnice i kruga − o manjim jediničnim mjerama: 1 mm , 1 ml, 1 dg, 1 cg, 1 mg − o praktičnoj vrijednosti  jediničnih veličina − o višekratnicima brojeva 1000, 100 i 10 u prvoj desethiljadici

Dije te treba znati: − prepoznati, razumjeti i pravilno koristiti matematički jezik simbole u skupu brojeva do 1000 − prepoznati brojeve prve hiljadice , njihov položaj na brojevnoj crti 0−1000, njihovu strukturu, razlikovati brojeve iz različitih stotica − sa sigurnošću obavljati računanja u prvoj hiljadi − provjeravati jednu matematičku operaciju pomoću suprotne u skupu brojeva do 1000 − rješavati brojevne izraze − modelirati brojevne izraze prema datim (tekstualnim) uvjetima − prepoznati i rješavati zadatke date riječima (i problemske zadatke) − uočiti važnost procjene i provjere rezultata pomoću jedinica za duljinu, masu i zapreminu − izraditi modele 1 mm, 1 ml, 1 dg, 1 cg i 1 mg − pravilno i na  proizvodima čitati i mjere odgovarajućih veličina − izvoditi jednostavnija praktična mjerenja

Razvijanje vještina i sposobnosti: − razvrstavanja − uporeńivanja − nizanja − slijeńenja niza uputa − prostornog organiziranja i orijentiranja − vizualizacije i vizualnog grupiranja − procjenjivanja , kritičkog vrednovanja vlastitih rezultata i njihovo poreńenje s rezultatima drugih - sposobnosti prezentiranja podataka i  prenošenja informacija kroz različite oblike rada −  prepoznavanja obrasca − induktivnog mišljenja − induktivnog analognog zaključivanja − različitih načina matematičkog izražavanja i

Dije te treba moći: − sigurno razvrstavati brojeve i po različitim kriterijima − s lakoćom uporediti ma koja dva  broja prve hiljadice − izvoditi jednostavnije zaključke induktivnim mišljenjem i analogijom (a+ b = b+a , a⋅ b = b⋅ a , a ⋅ (b+c) =a ⋅  b + a ⋅ c) − koristiti pomagala za crtanje pravih i duži − mjeriti dužine uz prethodno  procjenjivanje i pravilan izbor   jedinične mjere - crtati kružnicu zadanog središta i  poluprečnika - koristiti kreativnost i maštu za rješavanje djeci primjerenih  problema, moći  primijeniti matematička znanja u svakodnevnom životu i radu

komuniciranja logičkog i kritičkog mišljenja

−

192

VRIJEDNOSTI STAVOVI

I

Dije te će :

Razvijanje pozitivnih vrije dnosti i stavova: uvažavanja argumentacije u branjenju ličnih stavova i poštivanje stavova drugih

prepoznati značaj i važnost  primjene matematike u svakodnevnom životu i radu − imati pozitivan stav prema novim saznanjima − pokazivati više zanimanja za timski rad i socijalizaciju − naučiti saslušati argumentaciju i kritički  preispitati lične stavove i stavove drugih − prepoznavati vrijednosti unutrašnjeg života i unutrašnje nagrade,  pokazati više samopouzdanja i vlastite odgovornosti i inicijative − poboljšati vlastitu „listu“ motiva , emocija i doživljaja - pokazati više samopouzdanja i odgovornosti −

MATEMATIKA ZA IV RAZRED DEVETOGODIŠNJEG OBRAZOVANJA SADRŽAJ

1. Brojevi prve hiljade

Zapisivanje i čitanje  brojeva prve hiljade Stotice prve hiljade(1100,101.200,...)

ZNANJE

SPOSOBNO STI

VRIJEDNO AKTIVNOSTI AKTIVNOSTI STI UČENIKA NASTAVNIKA STAVOVI PONAŠANJ A Prepoznaju , Razvrstavanja , Pokazuju Aktivno Operacionalizira zapisuju , čitaju i klasificiranja,u interes za učestvuje u svim nastavni program,  poređivanja upoređuju brojeve učenje o oblicima kreira i modlira  Nizanja,slijeđe do 1000  brojevima i nastavnog rada  planove rada nja niza uputa -Poznaju i Prostornog kvantitativni Pažljivo sluša i (mjesečne, upotrebljavaju i organizovanja , m odnosima  prati izlaganja sedmične

193

Položaji(redoslijed) matematičke  brojeva na simbole  brojevnoj liniji(1- -Razumiju strukturu 1000)  brojeva prve hiljade Redni brojevi prve -Znaju prvi i zadnji hiljade  broj stotina i hiljadu (zapisivanje -Zapisuju,čitaju i rimskim ciframa) Upoređivanje određuju položaj  brojeva prve hiljade (redoslijed) brija na Abakus(kineski  brojevnoj liniji 0SUANPAN) 1000 2. Prava u redne ravni(Prava,polup Koriste  brojeve do 1000 rava i duž) Tačke i prave,duž Prepoznaju,čitaju i kao dio prave  pišu rimske cifre do Prava koja prolazi M(pomoću  jednom tačkom I,V,X,L,C,D,M) Prava koja prolazi Zapisuju brojeve na dvjema tačkama Uzajamni položaj abakusu Prepoznaju(modele)  pravih,ukrštene ,okomite i paralelne  pravih u okruženju  prave Da prava nema 3. Sabiranje i granica oduzimanje u Crtaju i označavaju prvoj hiljadi i -Pravilo o duži ,prave nepromijenjljivosti  poluprave zbira i Jasan im je pojam  prave, poluprave i nepromjenljivosti razlike duži Promjene na Uočavaju da je duž abakusu koje ne dio prave i mijenjaju  poluprave, da je vrijednosti Usmeno sabiranje i  prava skup tačaka oduzimanje, sa i bez Uočavaju da se  jednom tačkom abakusa Pismeno može povući oduzimanje i  beskonačno mnogo sabiranje u prvoj  pravih hiljadi Zadaci zadani Usvajaju pravila i riječima i složeniji zakonitosti sabiranja  brojevni izrazi u i oduzimanja u prvoj hiljadi, o strukturi  prvoj hiljadi trocifrenog broja i 4. Krug i kružnic  predstavljanju  brojeva iz prve Uočavanje kruga i kružnice na valjku i hiljade na različite načine kupi Crtanje kružnice uz Primjenjuju svojstva i  pomoć kupe i valjka sabiranja Određivanje oduzimanja na elemenata kružnice  brojeve hiljadice na modelima Pouzdano i brzo , origami tehnikom i Crtanje kružnice  pismeno usmenosabiraju dva šestarom Elementi kruga i ili više brojeva prve kružnicei njihovo hiljadice označavanje Sastavljaju i rješavaju 5. Množenje i  jednostavnije dijeljenje u okviru zadatke prve hiljade

194

orijentiranja i vizuelnog grupirnja Procjenjivanja induktivnog mišljenja induktivnog analognog zaključivanja Različitih veličina matematičkog izražavanja i komuniciranja Korištenja matematičkog  jezika i simbolaPrimjen  jivanja matematičkih znanja u svakodnevnom životu Samostalnog i timskog formuliranja zaključaka Razmjene informacija,ish oda,zadataka i iskustava sa drugovima/dru garicama i nastavnikom/na stavnicom Kritičko vrednovanje vlastitih rezultata Korišćenje abakusa

Apstrahiranje i konkretiziranj a vizuelnog  pamćenja i uopćavanja,pr  epoznavanje i korišćenje obrazca Prostorne organizacije i orijentacije Slijeđenje niza uputa(algorita m) Međusobnog  povezivanja i uporabe  prethodno stečenih znanja o zakonitostima i pravilima sabiranja i oduzimanja (zakon asocijacije-

Pokazuju nastavnika i interes za neposredno rješavanje surađuje u  problema i i kreiranju zadataka edukativnih samostalno , situacija u u paru i timu razredu Procjenjuju i vrednuju Pomaže vlastite nastavniku kod stavove i izrade nastavnih stavove sredstava i drugih dizajniranja Pokazuju edukacijskih interes za situacija istraživački rad Učestvuje u Poštuju sastavljanju i  pravila rješavanju  pravla matematičkih edukativne zadataka iz igre svakodnevnog Zanimaju se života za složenije Koristi udžbenik matematičke i ostalu igre udžbeničku Pokazuju literaturu svijest o Dosljednjo značaju igre izvršava zahtjeve u učenju nastavnika(dovol Pokazuju  jno vremena upornost,  posvećuje  preciznost, vježbanju i dosljednost i rješavanju ostale zadataka)  pozitivne crte Redovito uči kod ličnosti kuće i izrađuje Pokazuju domaće zadatke inicijativu i Daje puni želju za doprinoskolektiv usvajanjem nom radu novih znanja ,posebno i grupnom  proširivanje Uredno, u svojoj m postojećih svesci, bilježi informacijekoje mu sugerira nastavnik Ulaže napore da ostvari minimalne  programske zahtjeve nastave matematike za IV razred zapisuje,čita, niže, upoređuje na brojevnoj crti  predsatvalja  brojeve hiljadice

dnevne) Priprema nastavnu tehniku i tehnologiju Uz pomoć djece izrađuje didaktički materijal Vodi evidenciju svojih zapažanja o napredovanju djece,identifikuje teškoće u njihovom radu Stara se da nastava poprimi forme interaktivne komunikacije Primjenjuje metode i strategije  poučavanja adekvatne stepenu  postignuća sposobnosti djeteta Redovito ocjnjuje rad djece i vodi uredne zabilješke o tome Bira zadatke i  postavlja zahtjeve koji su optimalno usaglašeni s mogućnostima djeteta

Ostvaruje  produktivnu stvaralačku atmosferu i  pozitivno ozračje u razredu Uključuje djecu u aktivan i stvaralački rad Ostvaruje saradnju s  porodicom djeteta prilikom identifikacije teškoća u učenju matematike kao i u otklanjanju identifikovanih teškoća Prilagođava

Osobine zadaneriječima, uz  produkta(komutativ  primjenu jednačina i nost,asocijativnost i nejednačina distributivnost) odgovarajućih Usmeno i pismeno množenje u prvoj oblika Koriste abakus pri hiljadi i Dijeljenje u prvoj sabiranju hiljadi oduzimanju Abakus-dijeljenje u Uočavaju oblike  prvoj hiljadi krugai kružnice u Zadaci zadani okruženju riječima i složeniji  brojevni izrazi u Crtaju kružnicu Crtaju,označavaju  prvoj hiljadi 6. Brojevi do 10 elemente kružnice i 000 kruga Struktura brojeva Određuju elemente do 10 000 krugai kružnice Brojevna linija 0-10 koristeći se origami 000, sa naznačenim sadržiocima broja tehnikom Ističu na kružnici 100(10) Sabiranje i središte ,prečnik i oduzimanje  poluprečnik sadržilaca broja10 u Sastavljaju brojevne skupu brojeva do 10 izrazepri zadanim 000 uvjetima 7. Mjerenje Rješavaju veličina  jednostavne Mjerenje dužine Jedinične mjere za  problemske zadatke za dužinu: Uočavaju da je 1m,1dm,1cm,1mm;  prvahiljada 1-1000, (-deci,cent,mili) adeseta 9001-10000 1m,1dam,1hm,1km Prepoznaju,čitaju i (-deka,hekto,kilo) zapisuju svaki broj Mjerenje mase Jedinične mjere za do 10 000 Povezuju i masu: 1g,1dg,1cg,1mg  primjenjuju 1g,1dag,1hg,1kg zakonitosti i pravila Mjerenje množenja i dijeljenja zapreminetekućine Jedinične mjere za u računanju zapreminu tekučine: Znaju sadržioce 1l,1dl,1cl,1ml,1l,1d  broja 100 u skupu al,1hl,1kl Zadaci s  brojeva do 10 000 mjerenjima i  povezati s brojevima  jedinicama mjerenja do 100, a sadržioce Problemski zadci  broja 10 s brojevima do hiljade Pismeno množe i dijele u prvoj hiljadi Rješavaju matematičke zadatke koristeći se  jednačinama i nejednačinama odgovarajućih oblika Koriste se abakusom  pri množenju i dijeljenju Prepoznaji i imenuju

komutacije itd. u bilo kojem  brojnom nizu  je isti)  posobnost upotrebe matematičkog  jezika i simbola -Sposobnost  primjene matematičkih znanja u vakodnevnom životu -Samostalno i timsko formuliranje zaključka -Razvijanje logičke sposobnosti kroz igru i rješavanje matematičkih  problema -Sposobnost za razmjenu informacija , rezultata i iskustava sa drugarima i nastavnikom -Sposobnost kritičkog vrednovanja vlastitih ishoda i upoređivanje s ishodima drugih(par,grup a,razred) -Sposobnost uočavanja razlika između  paralelnih i okomitih  pravaca -Uoćavanje likova oblika trougla, kvadrata,  pravougaonika i kruga u okružju.

-Sposobnost međusobnog  povezivanja i upotreba

Pouzdano obavlja četiri osnovne računske operacije u hiljadici i redovito  procjenjuje i  provjerava rezultate Posvećuje punu  pažnju  preciznosti "vodoravnog" i "uspravnog"raču nanja Računa sigurno uz korišćenje olakšica Analizira i sintetizira različite zapise  brojeva prve hiljade Strpljivo i  pažljivo obavlja složenije zadatke množenja i dijeljenja Redovito koristi abakus,računa na njemu i povezuje kretanje perlica i zapisivanje algoritamskog i nealgoritamskog računanja Uredno koristi geometrijski  pribor i precizno crta Prepoznaje veličine, zna mjeriti veličinama i koristi jednačine mjere Precizno mjeri ,prepoznaje i imenuje mjere narazličitim  predmetima iz okruženja Koriti naučena znanja iz rednih  brojeva(prepozn aje i tumači zapise rimskim

nastavu svakom djetetu  pojedinačno Primjenjuje različite oblike nastavnog rada u skladu s interesovanjima , iskustvima i sposobnostima djece Omogućava djeci da prije nego što budu  pitani i sami  pitaju Podstiče istraživački duh kod djece i samostalnost u radu Ostvaruje međupredmetnu korelaciju matematike i drugih predmeta Razvija kritički  pristup djeteta u rješavanju zadataka i  problema Poučavanjem i matematičkim sadržajima razvija kod djece Komunikacijske vještine i sposobnosti (korištenje matematičkog  jezika i vokabulara ,  preciznost u izražavanju itd.) Pomaže djeci da matematički izražavaju svoje idejei zapažanja Povezuje matematičke sadržaje s realnim životnim situacijama Tematski  povezuje sadržaje unutar 

195

(čitaju ) brojeve do 10 000 Uočavaju strukturu višecifrenih brojeva Prepoznaju, čitaju i zapisuju cifre na  brojevnoj liniji do 10 000 Sabiraju i oduzimaju sadržioce broja 10 u skupu brojeva do 10 000 Intuicijom i analogijom  povezuju decimetar,decigram, decilitar,mililitar,mil igram,mililitar  Spoznaju da jedan mililitar vode ima masu od jednog grama Sigurno  preračunavaju  jedinice mjerenja istovrsnih veličina Tačno izražavaju rezultate mjerenja Rješavaju  problemske zadatke sa mjernim  jedinicama Usvajaju znanja o manjim jedinicama mjerenja, uočavaju odnose među njima i kroz primjenu u svakodnevnom životu shvataju  praktičnu vrijednost mjera ijedinica mjerenja

osnovnih računskih operacija do nivoa automatizma -Sposobnost razlikovanja značenja termina "jednakost" i "jednačina" kao i "nejednakost" -Sposobnost samostalnog mjerenja i zapisivanja rezultata

 TEMATSKE CJELINE 1. Brojevi prve hiljade 2. Prava u ravni

3. 4. 5. 6. 7.

Sabiranje i oduzimanje do hiljadu Krug i kružnica Množenje i dijeljenje do hiljadu Brojevi do 10 000 Mjerenje veličina

196

ciframa) nastavnog Koristi  programa tablice,simbole i Pomaže djeci da grafove sigurno i kritički sagledaju svrsishodno, zna ono što su ih interpretirati naučili Učestvuje u Podstiče ih na edukativnim i igrama uz puno sarradnju razmjenu razumijevanje informacija njihove Kreira svrsishodnosti

saradničku i  pozitivnu atmosferu u razredu Prema svakom djetetu se odnosi s pažnjom  poštovanjem i uvažavanjem Svojim  ponašanjem otvorenošću  prema novim saznanjima i  pozitivnom stavu prema cjeloživotnom učenju daje dobar primjer  djeci Permanentno se usavršava u svim segmentima nastavno pedagoškog rada

1. Brojevi prve hiljade Modeliranje brojeva prve hiljadice izvan prve stotice (prebrojavanje skupova realnih objekata /zrnjevlja, šibica, papirića/ modeliranjem stotica i desetica) Zapisivanje brojeva hiljadice Čitanje brojeva hiljadice Struktura brojeva hiljadice: S×100 + D×10+ J×1 Stotice hiljadice Brojevna crta 0 -1000 Modeliranje brojevne crte 0-1000 iz (10) brojevnih crta stotica Položaji brojeva na brojevnoj crti 0 -1000 Redni brojevi prve hiljadice (zapisivanje rimskim ciframa) Upoređivanje brojeva prve hiljadice Abakus (kineski, Suan Pan) Pisanje i čitanje brojeva na abakusu 2. Prava u ravni Crte/linije, ravne linije, duži (sistematizacija) Prava/pravac i poluprava /polupravac (misaono modeliranje) Tačka i prave Prava koja prolazi dvjema tačkama Prava koja prolazi jednom tačkom 3. Sabiranje i oduzimanje do hiljadu

Pravila o nepromjenljivosti zbira i nepromjenljivosti razlike Promjene na abakusu koje ne mijenjaju vrijednosti  Nealgoritamsko (usmeno) sabiranje i oduzimanje. Sabiranje i oduzimanje na abakusu kao primjer nealgoritamskog sabiranja (sabiranja i oduzimanja) Proširivanje naučenih svojstava sabiranja i oduzimanja na brojeve hiljadice Algoritamsko (pismeno) sabiranje i algoritamsko (pismeno ) oduzimanje u hiljadici Zadaci zadani riječima i složeniji brojevni izrazi u prvoj hiljadici (u rješavanju koriste se jednačine i nejednačine odgovarajućih oblika) 4. Krug i kružnica Uočavanje kruga i kružnice na valjku i kupi Precrtavanje kružnice sa kupe i valjka Modeliranje krugova od papira Određivanje elemenata kružnice na modelima origami-tehnikama, ispitivanje položaja središta i crtanje kružnice šestarom Elementi kruga i kružnice 197

5. Množenje i dijeljenje do hiljadu Osobine produkta (komutativnost i asocijativnost) Množenje brojem zbira i razlike (zakon distributivnosti)  Nealgoritamsko množenje u prvoj hiljadici (množenje višekratnika broja 10, broja 100 i ma kojeg(broja) Algoritamsko množenje u prvoj hiljadici Dijeljenje u prvoj hiljadici Abakus - dijeljenje u prvoj hiljadici Zadaci zadani riječima i složeniji brojevni izrazi u prvoj hiljadici (u rješavanju koriste se jednačine i nejednačine odgovarajućih oblika) 6. Brojevi do 10 000 Hiljadice i stotice desethiljadice Struktura brojeva hiljadice (višecifreni brojevi) Brojevna linija 0-10000, sa naznačenim višekratnicima broja 100 (10) Sabiranje i oduzimanje višekratnika broja 10 u desethiljadici 7. Mjerenje veličina Mjerenje dužine. Jedinične mjere za dužinu: 1 m, 1 dm, 1 cm, 1 mm (-, deci, centi, mili) 1 m, 1 dam, 1 hm, 1 km (-, deka, hekto, kilo ) Mjerenje mase. Jedinične mjere za masu: 1 g, 1 dg, 1 cg, 1 mg 1 g, 1 dag, 1 hg, 1 kg Mjerenje zapremine tekućine. Jedinične mjere za zapremine tekućine: 1 l, 1 dl, 1 cl, 1 ml 1 l, 1 dal, 1 hl, 1 kl Zadaci o mjerama i mjerenjima Problemski zadaci DIDAKTIČKO - METODIČKE NAPOMENE 1. Brojevi prve hiljade U odnosu na dosadašnje programske sadržaje koji se situiraju pod tematskom cjelinom brojevi prve hiljade,  pojavljuju se dva nova momenta. Prvo, umjesto formulacije brojevi do 1000 uvodi se formulacija kao u nazivu. Drugo , brojevi prve hiljadice predstavljaju se i na kineskom (Suan Pan) abakusu . Iskustva koja imamo u svijetu i kod nas, pokazuju višestruke efekte korištenja abakusa na znanjima, sposobnostima, vještinama, pa i motivaciono-emocionalne efekte. 198

O kineskom abakusu možemo naći mnogo podataka na internetu , ali i u printanim informacijama (knjigama, časopisima, itd.). Modeli kineskog abakusa mogu se izuzetno lako izraditi jednostavnom prepravkom običnih računaljki (tzv. školskih abakusa). Upotreba abakusa, kasnije, bitno će doprinijeti boljem razumijevanju dekadskog  brojevnog sistema i posebno računskih operacija. 2. Prava u ravni Geometrijske sadržaje početne nastave matematike treba prezentirati djeci imajući u  potpunosti na umu da smo ovdje u neformalnoj (intuitivnoj) geometriji (tijelo −

 površ− linija − tačaka), a ne u formalnoj geometriji (tačka

−

linija − površ −

tijelo). Dakle, do pojma prave (i poluprave) dijete dolazi misaonimproduživanjem duži preko njenih granica. Treba biti oprezan u upotrebi pojma beskonačno

(dobra je zamjena: preko svakog broja). Djeci su od naročitog značaja zadaci da prepoznaju i imenuju sve geometrijske oblike na pravoj i na njoj dviju naznačenih tačaka (prava, dvije tačke, duž, četiri poluprave). 3. Sabiranje i oduzimanje u prvoj hiljadi Ovdje je predviđeno postepeno uvođenje pojmova usmeno, odnosno pismeno računanje. Abakus−računanje je izuzetno lijep i očigledan primjer sabiranja i oduzimanja među  brojevima prve hiljade. Rad na abakusu snažno podstiče razvoj različitih učenikovih sposobnosti (pamćenje, naročito vizuelno, prostornu organizaciju i orijentaciju, prepoznavanje ideje zamjene itd.). 4. Krug i kružnica Već i sama struktura teksta koji je naveden, daje niz jasnih metodičkih uputa i učitelju i autoru udžbenika. Međutim, podcrtavamo da smo u intuitivnoj geometriji. Redoslijed: djeca na  predmetima prvo uočavaju krug, pa onda kružnicu . Precrtavaju kružnicu i

isijecaju model kruga. Presavijanjem modela kruga uočavaju središte i intuicijom naslućuju uzajamni položaj tačaka kružnice i središta kružnice. Kružnica ne sadrži (svoj) centar ali ga ima. Elemente kružnice, nakon ovakvog pristupa, lako je objasniti. 5. Množenje i dijeljenje u okviru prve hiljade Gledano s aspekta pojmova množenja i dijeljenja, u prvoj hiljadi proširuju se i 199

 produbljuju sadržaji iz prve stotine. Ovdje predviđamo izvjesno proširivanje dosadašnjeg zahtjeva „množenje i dijeljenje jednocifrenim brojem“, time što će se govoriti o množenju i dijeljenju u okviru prve hiljade, bez limitiranja veličine množitelja („jednocifrenim brojem“). Težište će se dati na uočavanje, razumijevanje i primjenu zakona distributivnosti množenja prema sabiranju i na  pravilo „svaki sa svakim“. 6. Brojevi do 10 000 Proširivanje skupa brojeva hiljadica na skup brojeva desethiljadice treba realizirati postupno: upoznavanjem svih višekratnika broja hiljade, pa višekratnika broja 1000 i konačno broja 10 u prvoj hiljadici. Ovo treba uraditi uz korištenje brojevnih linija. 7. Mjerenje veličina Usvajanjem brojeva prve hiljadice stvorene su osnove za zaokruživanje svih standardnih (za osnovno obrazovanje) jediničnih veličina i njihovih odnosa. U suštini ova tematska cjelina ima za cilj da se prošire i prodube znanja o mjerenju i mjerama ranije upoznatih veličina. U programu smo , kada su u pitanju mjere za masu, odstupili od uobičajenog, iz fizike izvučenog sistema (metar, kilogram, sekunda). Naime, iz više razloga smatramo da je uputno (ali, predloženim metodičkim rješenjima, i moguće) u četvrtom razredu operirati pojmovima: decigram, centigram i miligram.  Naime, petina jednog standardnog (80 gramskog) copy-papira, ima masu približno 1 g. Dijeljenjem ovog modela na 10 jednakih dijelova u dječijim je rukama model mase od 1 dg, a nakon toga, radeći na sličan način i modeli mase 1 cg i 1 mg. Slično se može dijeliti sadržaj vrećica šećera od 1 g na 10 dg, zatim 1 dg na 1 0 cg, i konačno 1 cg na 10 mg. Model miligrama od copy− papira djeca mogu sama isjeći. Dimenzije su mu približno: 4 mm x 3 mm, (a oznaka miligrama su pune ladice za lijekove u djetetovom domu ).  Nadamo se da će djeca koja prođu ovu školu mjera moći utjecati da na bocama Koka-kole nađu i oznake 33 cl umjesto, za njih nerazgovjetne oznake 0 ,33 L (Šta je

ovdje zarez, zašto je L umjesto l?). Puno značenje mase od jednog grama dijete stvara nakon spoznaje da je masa  jednog mililitra vode jedan gram. Koristeći se različitim pomagalima dijete može postići takva znanja i sposobnosti da procjenjuje masu jedne kapi vode ili masu suze.

17.5. OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM

200

(OKVIRNI NASTAVNI PLAN I PROGRAM,za devetogodišnju osnov nu školu u Federaciji Bosne Hercegovine Federalno ministarstvo obrazovanja i nauke Bosne i Hecegovine) za petiti razred devetogodišnje osnovne škole

Matematika (4 časa sedmično, 140 časova godišnje) CILJEVI I REZULTATI ODGOJNO-OBRAZOVNOG RADA MATEMATIKA PODRUČJA UČENJA

CILJEVI

OČEKIVANI REZULTATI/ISHODI UČENJA

 poznavanje i upotreba matematičkih simbola formiranje pojmova brojeva  prvog miliona i skupa  brojeva N0 formiranje pojmova brojevne crte brojeva skupa N 0 formiranje pojmova i usvajanje  procedura četiri osnovne računske operacije u skupu  N 0 usvajanje znanja o višecifrenim  brojevima i njihovoj Strukturi o jednačinama i nejednačinama s nepoznatom „na  jednom mjestu“ o rješavanju aritmetičkih (brojevnih) izraza  prave i poluprave i crtanju (modela ) prave i poluprave upotrebe brojeva u različtim kontekstima, u drugim  predmetima i svakodnevnom životu o uglovima (prepoznavanje , elementi, obilježavanje, vrste), a naročito o pravom uglu i nekim njegovim dijelovima (polovini i trećini) o trouglovima (prepoznavanje , elementi, obilježavanje , vrste), a naročito o  pravouglom trouglu o jediničnim površinama , o  površini pravougaonika (mjerenje i izračunavanje) o izračunavanju površine kvadrata o jediničnim zapreminama, o zapremini kvadra (mjerenje i računanje) o izračunavanju zapremine kocke -

-

-

-

ZNANJE

-

-

-

Dije te treba znati:  prepoznati, razumjeti i pravilno koristiti matematičke simbole  prepoznati brojeve prvog miliona i brojeve skupa  N 0, njihov položaj na  brojevnoj polupravoj i njihovu strukturu sa sigurnošću obavljati računanja u N0 rješavati  brojevne izraze modelirati brojevne izraze  prema datim (tekstualnim) uvjetima  prepoznati i rješavati zadatke date riječima (i  problemske zadatake) uglove (crtati i klasifikovati), trouglove (crtati i -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

klasifikovati)  prepoznati i crtati  pravougonike (spec. kvadrate) važnost  procjene i provjere rezultata izraditi modele 1 mm2, 1 2 cm , 1 dm2 i 1 m2 izraditi modele kvadra (spec. kocke) iz modela njihovih mreža i na druge načine izraditi modele 1 cm3 i 1 dm3 izvesti jednostavnija  praktična mjerenja i računanja površina i zapremina -

-

-

-

-

-

-

Razvijanje vještina i sposobnosti:

Dije te treba moći: s lakoćom uporediti ma koja -

201

dva višecifrena broja izvoditi  jednostavnije zaključke (a+b =  b+a , a • b = b•a , a •(b+c ) = a • b + a•c i slične) sigurno izvoditi osnovne računske operacije u N 0  prepoznati i rješavati osnovne oblike jednačina i nejednačina u N 0 koristiti pomagala za crtanje uglova , trouglova i  pravougaonika mjeriti, jediničnim površinama ,  površine (pravougaonika ), jediničnim zapreminama, zapreminu (kvadara) uz prethodno rocjenjivanje i  pravilan izbor jedinične mjere koristiti se induktivnim i analognim mišljenjem u rješavanju različitih zadataka i  problema -

SPOSOBNOST VJEŠTINE

I

-

uporeńivanja nizanja slijeńenja niza uputa

 prostornog organiziranja i orijentiranja vizuelizacije i vizuelnog grupiranja -

-

-  procjenjivanja

 prepoznavanja obrasca induktivnog mišljenja induktivnog i analognog zaključivanja različitih načina matematičkog izražavanja i komuniciranja matematičkog jezika  prikupljanja, selekcije i korištenja informacija -

-

-

-

-

-

-

-

VRIJEDNOSTI STAVOVI

I

Dije te će :

Razvijanje spoznaja o društvenim vrijednostima:

uvažavanja argumentacije u  branjenju ličnih stavova i stavova drugih važnosti donošenja sudova na osnovu provjerenih činjenica i izgrańenih kriterija rada, posebno kolektivnog (timskog) rada -

-

-

 pozitivnim crtama ličnosti

važnosti radovanja ličnom uspjehu i uspjehu drugih ocjenjivanja i samoocjenjivanja na osnovu objektivnog i konstruktivnog vrednovanja samopouzdanja , samoaktualizacije uloge kritičkog mišljenja i zaključivanja u donošenju različitih odluka -

-

-

 pokazivati više zanimanja za timski rad i socijalizaciju naučiti da sasluša argumentaciju i kritički preispituje lične stavove i stavove drugih  prepoznavati vrijednosti unutrašnjeg (nehedonističkog) života i unutrašnje nagrade  poboljšati vlastitu „listu“ motiva, emocija i doživljaja  prepoznati važnost matematičkih znanja u rješavanju problema i sveprisutnost matematike u univerzumu - pokazati više samopouzdanja i odgovornosti -

-

-

-

-

NASTAVNI PROGRAM MATEMATIKE Programski sadržaji 1. BROJEVI PRVOG MILIONA Čitanje, pisanje i upoređivanje brojeva do 1000 - ponavljanje Zapisivanje brojeva u obliku zbira višekratnika dekadskih jedinica Čitanje, pisanje i uporeńivanje brojeva prvog miliona Klase i razredi. Mjesne vrijednosti cifara 202

Brojevna crta 1 000 000 2. SABIRANJE I ODUZIMANJE BROJEVA U PRVOM MILIONU Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvoj hiljadici - ponavljanje Povezanost sabiranja i oduzimanja - ponavljanje Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvom milionu (usmeni postupak) Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvom milionu Sabiranje i oduzimanje brojeva u prvom milionu (pismeni postupak) Osnovna svojstva sabiranja (komutativnost, asocijativnost, nula kao sabirak) Primjena osnovnih svojstava sabiranja u računanju Brojevni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem Zavisnost zbira od sabiraka. Nepromjenljivost zbira i primjena Zavisnost razlike od umanjenika i umanjioca. Nepromjenljivost razlike i primjena Oduzimanje zbira od broja Brojevni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem koji sadrže slovo (promjenljivu) Određivanje nepoznatog sabirka, umanjenika i umanjitelja Rješavanje jednačina oblika: x ± a = b, a ± x = b , (x ± a)± b = c  Nejednačine oblika: x ± a < b , a ± x < b, x ± a ≤ b , x ± a > b, a ± x > b, x ± a≥b 3. MNOŽENJE I DIJELJENJE U PRVOM MILIONU Množenje u prvom milionu kao sabiranje jednakih sabiraka. Množenje jednocifenim  brojem Nula i jedinica kao činioci/faktori Dijeljenje kao obrnuta operacija množenju . Jedinica i nula u dijeljenju Množenje broja dekadskom jedinicom i višekratnikom broja deset. Množenje dekadskom jedinicom Dijeljenje broja dekadskom jedinicom Množenje zbira i razlike brojem (Distributivnost množenja prema sabiranju i oduzimanju) Dijeljenje zbira i razlike brojem Pismeno množenje i dijeljenje jednocifrenim brojem Pismeno množenje i dijeljenje dvocifrenim brojem Pismeno množenje trocifrenim brojem Osnovna svojstva množenja i primjena (komutativnost i asocijativnost množenja) Zavisnost proizvoda od činilaca (faktora)  Nepromjenljivost proizvoda i primjena Zavisnost količnika od djeljenika i djelitelja  Nepromjenljivost količnika i primjena Množenje i dijeljenje proizvoda brojem Množenje i dijeljenje korištenjem olakšica Brojevni izrazi u prvom milionu s množenjem i dijeljenjem koji sadrže promjenljivu 203

(slovo) Jednačine oblika: a · x = b , x · a = b, x : a = b, a : x = b  Nejednačine oblika: a · x > b, a · x ≥ b, a · x < b , a · x ≤ b, x : a < b 4. BROJNI IZRAZI Brojni izrazi sa operacijama različitog reda (stepena), sa zagradama i bez zagrada Sastavljanje jednostavnijih brojnih izraza koji odgovaraju tekstualnim zadacima 5. BROJEVI VEĆI OD MILIONA. SKUP PRIRODNIH BROJEVA (N) I SKUP NO Primjeri brojeva koji su veći od miliona. Tablica sa razredima/klasama cifara. Upisivanje brojeva u tablice. Skup prirodnih brojeva (N) i skup N0. Brojna poluprava brojeva skupa N0. 6. UGAO Par polupravih sa zajedničkom početnom tačkom - ugao Kraci i vrh ugla. Obilježavanje uglova Upoređivanje uglova Pravi, oštri i tupi ugao Uglovi tangram figura Mjerenje uglova tangram figura polovinom pravog ugla 7. TROUGAO Stranice, vrhovi i uglovi trougla. Raznostraničan, jednakokraki i jednakostraničan trougao - crtanje. Pravougli trougao - crtanje Crtanje tangram-figura Izračunavanje obima trougla 8. POVRŠINA PRAVOUGAONIKA Modeliranje pravougaonika od kvadrata, rastavljanje pravougaonika na kvadrate Upoređivanje i mjerenje površine pravougaonika Jedinične mjere za površinu (1 m2. 1 dm2. 1 cm2. 1 mm2; 1 a, 1 ha, 1 km 2) Izračunavanje površine pravougaonika (spec. kvadrata) Mreža kvadra (spec. kocke). Izračunavanje površine kvadra (spec. kocke) Kvadratni oblici i kvadratni brojevi

204

9. ZAPREMINA KVADRA (SPECIJALNO KOCKE) Modeliranje kvadra od kocki, rastavljanje kvadra na kocke. Upoređivanje i mjerenje zapremine kvadara Jedinične mjere za zapreminu (1 m 3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3, 1 km3) Izračunavanje zapremine kvadra (specijalno kocke) Površina kvadra i kocke, zapremina kvadra (specijalno kocke) - zadaci iz prakse.

DIDAKTIČKO-METODIČKE NAPOMENE BROJEVI PRVOG MILIONA Sadržajima ove tematske cjeline prirodno se proširuju i produbljuju znanja koja su djeca stekla u okviru tematske cjeline hiljada. Sva pravila i zakonitosti o brojevima i računskim radnjama iz prve hiljade uvode se i provjeravaju i u skupu brojeva prvog miliona, odnosno u skupu  brojeva N0. I ovdje će se koristiti sva tri pristupa: skupovni, brojni i perceptivno  predodžbeni, ali sa dominacijom brojnog pristupa.

Posebnu pažnju potrebno je posvetiti poimanju skupa prirodnih brojeva i važnom svojstvu beskonačnosti. Pojam beskonačnosti treba kod djece razvijati samo intuitivno i uz izbjegavanje riječi beskonačno . Moguće je koristiti izraz preko svakog broja RAČUNSKE OPERACIJE U PRVOM MILIONU Svi metodički postupci koji su se koristili prilikom usvajanja računskih operacija u prvoj hiljadi koriste se i kod usvajanja računskih operacija u prvom milionu, kada su u pitanju usmena računanja.

Pismenom računanju dati adekvatan (ne prevelik) značaj, s obzirom na njegovu malu upotrebu u savremenom životu. Zadnjom konstatacijom ne misli se na umanjivanje značaja pismenog računanja na razvoj široke lepeze sposobnosti djeteta.

Kao i u matematičkim sadržajima prethodnih razreda, jednačine i nejednačine rješavati, isključivo , na osnovu definicija računskih operacija i komponenti koje ih čine. Rješavanje jednačina i nejednačina, u kojima je nepoznata „na jednom mjestu“, ne smije biti samo sebi svrha, nego te postupke treba vezivati za rješevanje različitih logičkih, problemskih, a posebno praktičnih zadataka.

205

UGAO I TROUGAO Imajući u vidu da djeca geometrijske sadržaje u početnoj nastavi matematike usvajaju polazeći od konkretnog, doživljajnog, poučavanje u znanjima o uglu i trouglu treba započeti od konkretnih rogljastih oblika (tijela) iz okruženja. Posebnu  pažnju treba obratiti kod formiranja pojma pravog ugla. Korištenje origami tehnika (tehnike presavijanja papira) pokazalo se kao izvanredna mogućnost u formiranju pojma pravog ugla i u uporeńivanju uglova. Jednakokrakom  posebnom pažnjom.

i

pravouglom

trouglu

treba

pristupiti

s

Izvanredno nastavno sredstvo za to je tangram - set figura. POVRŠINA PRAVOUGAONIH OBLIKA Dosadašnja iskustva i pokušaji (u četvrtom razredu osmogodišnje osnovne škole) u pomalo deduktivnom zasnivanju učenja površine pokazali su da je taj  pristup bio neshvatljiv za veći broj djece. Ovdje preporučujemo da se učenje o mjerenju površine isključivo veže za mjerenje površine pravougaonika. Bitno je da djeca praktičnim modeliranjem (isijecanjem u papiru) jediničnih površina (kvadrata) formiraju pravilne predodžbe o  površini kvadrata, a poslije toga i pravougaonika. Izračunavanje površine pravougaonika ne smije se pretvoriti u formalizam koji „ogoljava“ postupak izračunavanja površine do tabličnog množenja brojeva. Slično, površinu kvadra treba postaviti u kontekst učenja i vježbanja površine  pravougaonika.

MJERENJE I RAČUNANJE ZAPREMINE KVADRA I ovdje treba početi od modeliranja jediničnih zapremina(kocki). Koristeći prirodnu sklonost djeteta ka igri i istraživanju, može se dosta uspješno razviti pojam zapremine (kvadra).  Nastavnik treba biti duboko svjestan važnog zakona konzervacije zapremine koju dijete može doživjeti slaganjem različitih kvadara od jednakih kocki i oblikujući kvadre od plastelina MATEMATIKA ZA V RAZRED DEVETOGODIŠNJEG OBRAZOVANJA SADRŽAJ BROJEVI PRVOG MILIONA

206

ZNANJE

SPOSOBNOSTI

VRIJEDNOSTI STAVOVI PONAŠANJA Vezana za prvu Razumijevanje Samopouzdanje , materije i problema  jasan hiljadicu brojeva osjećaj Razvijanje Prepoznavanje vlastitih moći i  pamćenja, te ,čitanje i pisanje limita stvaralačko i  brojeva koji su logičko razmišljanje Adaptivnost i veći od hiljade fleksibilnost u

AKTIVNOSTI UČENIKA

AKTIVNOSTI NASTAVNIKA

Aktivno Izvodi sadržaje iz učestvuje u svim nastavnog plana i socijalnim  programa,kreira oblicima godišnji,mjesečne nastavnog rada i dnevne planoce Prate izlaganja rada

SABIRANJ E I ODUZIMA NJE BROJEVA

Povezanost Razvijanje mašte i  prihvatanju  percepcije  brojeva i skupova  promjena Dekadske jedinice Inovacije i i višekratnici Odvajanje bitnog od otvorenost za nebitnog dekadskih Vještina odabiranja nove ideje i  jedinica do inovacija informacije miliona Uvažavanje ,razvrstavanja Cifre , klasifikacije, različitosti , upoređivanja, osnovna(brojevna tolerancija ) i mjesna nizanja i slijeđenja Podrška drugima i niza uputa vrijednost cifre servilna Prostorno Veze brojeva i organiziranje i orijentacija tačaka poluprave Savjesno orijentiranje Uređenost skupa Vizuelno grupiranje  preuzimanje  brojeva skupa i procjenjivanje odgovornosti za Induktivno mišljenje ostvarenja  prvog miliona Razvijanje prostorne Optimizam Upoređivanje , organizacije i  brojeva prvog orijentacije unutrašnja miliona Različiti načini motivisanost, Brojevi volja za rad i matematičkog  polindromi izražavanja i kultura rada , komuniciranja  pozitivan odnos korištenjem  prema radu i matematičkog jezika rezultatima svog , prostorne rada i rada svojih organizacije i drugova orijentacije Konvergentna i Značaj ocjenjivanja divergentna  produkcija ideja rezultata rada i Pamćenje i odabir  važnost informacija koje je samokontroleZnač  potrebno upamtiti aj znanja o Evaluacija i efikasnosti učenja i  brojevima kvantitativnim rada odnosima Interes za rješavanje  problema i zadataka timskim radom Procjenjuju i vrednuju vlastite stavove i stavove drugih Poštivanje pravila obrazovne igre i aktivnosti uopšte

nastavnika Priprema Sarađuju u nastavnu tehniku i kreiranju tehnologiju obrazovnih Izrađuje situacija didaktički Pomažu materijal nastavniku u Primjenjuje izradi i kreiranju modele nastavnih interaktivne sredstav nastave Dosljedno Bira zadatke i izvršavaju sve  probleme zahtjeve usklađene u nastavnika u mogućnostima individualnom Ostvaruje ,grupnom i  produktivnu frontalnom radu stvaralačku Uredno pišu sve atmosferu i informacije koje  pozitivno ozračje im daje u odjelu nastavnik Vodi evidenciju Uče kod kuće i svojih zapažanja rade domaće o napredovanju zadatke djece Koristi različite metode i strategije u praćenju  postignuća i sposobnosti djece Redovito ocjenjuje rad djece i vodi uredno zabilješke

 Nealgoritamsko(u Razumijevanje Samopouzdanje , smeno)sabiranje i materije i problema  jasan osjećaj Razvijanje oduzimanje vlastitih moći i  pamćenja, te  brojeva u prvom limita stvaralačko i milionu i logičko razmišljanje Adaptivnost Sabiranje i fleksibilnost u oduzimanje Razvijanje mašte i  prihvatanju  brojeva u prvom  percepcije  promjena milionu Inovacije i Odvajanje bitnog od Algoritamsko(pis otvorenost za nebitnog meno) sabiranje i nove ideje i Vještina odabiranja oduzimanje informacije inovacija

Pomažu Izvodi sadržaje iz nastavniku u nastavnog plana i izradi i kreiranju  programa,kreira nastavnih godišnji,mjesečne sredstav i dnevne planoce Dosljedno rada izvršavaju sve Priprema zahtjeve nastavnu tehniku i nastavnika u tehnologiju individualnom Izrađuje ,grupnom i didaktički frontalnom radu materijal

207

 brijeva u prvom milionu  Nula kao sabirak MNOŽENJ E I DIJELJEN JE U PRVOM MILIONU

Uvažavanje različitosti , tolerancija Podrška drugima i servilna orijentacija Savjesno  preuzimanje odgovornosti za ostvarenja Optimizam , unutrašnja motivisanost, volja za rad i kultura rada ,  pozitivan odnos  prema radu i rezultatima svog rada i rada svojih drugova Značaj ocjenjivanja rezultata rada i važnost samokontroleZnač aj znanja o  brojevima i kvantitativnim odnosima Interes za rješavanje  problema i zadataka timskim radom Procjenjujun i vrednuju vlastite stavove i stavove drugih Poštivanje pravila obrazovne igre i aktivnosti uopšte

Uredno pišu sve Primjenjuje informacije koje modele im daje interaktivne nastavnik nastave Uče kod kuće i Bira zadatke i rade domaće  probleme zadatke usklađene u mogućnostima Ostvaruje  produktivnu stvaralačku atmosferu i  pozitivno ozračje u odjelu Vodi evidenciju svojih zapažanja o napredovanju djece Koristi različite metode i strategije u praćenju  postignuća i sposobnosti djece Redovito ocjenjuje rad djece i vodi uredno zabilješke

Prepoznavanje Razumijevanje , jasan osjećaj materije i problema ugla vlastitih moći i Razvijanje Označavanje ugla limita  pamćenja, te Prepoznavanje Adaptivnost i stvaralačko i  pravog,pštrog i logičko razmišljanje fleksibilnost u tupog ugla  prihvatanju Crtanje pravog, Razvijanje mašte i  promjena oštrog i tupog  percepcije Inovacije i ugla otvorenost za Odvajanje bitnog od nove ideje i nebitnog informacije Vještina odabiranja Označavanje Uvažavanje inovacija trougla različitosti , ,razvrstavanja Prepoznavanje tolerancija klasifikacije,

Aktivno Izvodi sadržaje iz učestvuje u svim nastavnog plana i socijalnim  programa,kreira oblicima godišnji,mjesečne nastavnog rada i dnevne planoce Prate izlaganja rada nastavnika Priprema Sarađuju u nastavnu tehniku i kreiranju tehnologiju obrazovnih Izrađuje situacija didaktički Pomažu materijal nastavniku u Primjenjuje izradi i kreiranju modele

Množenje u  prvom milionu kao sabiranje više  jednakih brojeva  Nealgoritamsko(u smeno)množenje Algoritamsko (pismeno) množenje brojeva Dijeljenje u  prvom milionu kao suprotna operacija množenju  Nealgoritamsko (usmeno) dijeljenje brojeva Algoritamsko(pis meno) množenje  brojeva Jedinica i nula u množenju i dijeljenju Svojstva računskih operacija

BROJNI IZRAZI

Prepoznavanje i računanje brojnih izraza

BROJEVI VEĆI OD MILION

Osnovne informacije o  prirodnim  brojevina i  brojevnoj  polupravoj  prirodnih brojeva

SKUP PRIRODNI H BROJEVA (N) I SKUP N0 UGAO

TROUGA O

208

,razvrstavanja klasifikacije, upoređivanja, nizanja i slijeđenja niza uputa Prostorno organiziranje i orijentiranje Vizuelno grupiranje i procjenjivanje Induktivno mišljenje Razvijanje prostorne organizacije i orijentacije Različiti načini matematičkog izražavanja i komuniciranja korištenjem matematičkog jezika , prostorne organizacije i orijentacije Konvergentna i divergentna  produkcija ideja Pamćenje i odabir  informacija koje je  potrebno upamtiti Evaluacija efikasnosti učenja i rada Apstrahiranje i konkretizacija vizuelnog pamćenja, uopćavanja Praćenje niza uputa (algoritam) Uopćavanje  prepoznavanje i korištenje obrazaca Induktivno analogno zaključivanje Praćenje niza uputa(algoritam)

POVRŠIN A PRAVOUG AONIKA

ZAPREMI NA KVADRA( SPECIJAL NO) KOCKE

 pravouglog trougla Prepoznavanje  jednakostraničnog , jednakokrakok trougla Crtanje trougla i (specijalnio)  pravouglog trougla Prepoznavanje i crtanje figura

upoređivanja, nizanja i slijeđenja niza uputa Prostorno organiziranje i orijentiranje Vizuelno grupiranje i procjenjivanje Induktivno mišljenje Razvijanje prostorne organizacije i orijentacije Različiti načini matematičkog izražavanja i Jednačine komuniciranja korištenjem  površine. Mjerenje površine matematičkog jezika , prostorne Pravougaonika organizacije i Izračunavanje orijentacije  površine Konvergentna i  pravougaonika(sp divergentna ecijalno  produkcija ideja kvadrata ) i Pamćenje i odabir  kvadra (specijalno informacija koje je  potrebno upamtiti kocke) Evaluacija Jednačina efikasnosti učenja i zapremine rada Mjerenje Apstrahiranje i zapremine kvadra konkretizacija vizuelnog pamćenja, Izračunavanje uopćavanja zapremine kvadra(specijalno Praćenje niza uputa (algoritam) kocke) Uopćavanje  prepoznavanje i korištenje obrazaca Induktivno analogno zaključivanje Praćenje niza uputa(algoritam))

Podrška drugima i servilna orijentacija Savjesno  preuzimanje odgovornosti za ostvarenja Optimizam , unutrašnja motivisanost, volja za rad i kultura rada ,  pozitivan odnos  prema radu i rezultatima svog rada i rada svojih drugova Značaj ocjenjivanja rezultata rada i važnost samokontroleZnač aj znanja o  brojevima i kvantitativnim odnosima Interes za rješavanje  problema i zadataka timskim radom Procjenjujun i vrednuju vlastite stavove i stavove drugih Poštivanje pravila obrazovne igre i aktivnosti uopšte

nastavnih interaktivne sredstav nastave Dosljedno Bira zadatke i izvršavaju sve  probleme zahtjeve usklađene u nastavnika u mogućnostima individualnom Ostvaruje ,grupnom i  produktivnu frontalnom radu stvaralačku Uredno pišu sve atmosferu i informacije koje  pozitivno ozračje im daje u odjelu nastavnik Vodi evidenciju Uče kod kuće i svojih zapažanja rade domaće o napredovanju zadatke djece Koristi različite metode i strategije u praćenju  postignuća i sposobnosti djece Redovito ocjenjuje rad djece i vodi uredno zabilješke U evaluaciji i ocjenjivanju koristi različite oblike i strategije uvažavajući i samoocjenjivanje djece zasnovano na utvrđenim kriterijima

209

210

18. PRAĆENJE, PROVJERAVANJE I OCJENJIVANJE UČENIKA U NASTAVI MATEMATIKE  Nije dovoljno pratiti i ocjenjivati samo usvajanje znanja, vještina i navika, već je potrebno kontrolirati i razvoj stavova, mogućnosti rasuđivanja, ličnog i društvenog prilagođavanja, razvoja interesa, subjektivnih i objektivnih mogućnosti razvoja učenika kao mnogostrano razvijene humane i sretne ličnosti. Vrednovanje učenika u nastavi je složen i kompleksan postupak i jedina mogućnost da učitelj sebi pomogne je da u okviru svog nastavnog predmeta ostvari djelotvoran sistem evidentiranja, praćenja i provjeravanja učenika. Pri tom taj sistem praćenja mora biti kompatibilan s opštim školskim sistemom. Savremena svjetska dokimološka dostignuća imaju svog odraza i u našoj (osnovnoj) školi. Bez obzira na sposobnosti, interes i raznolikost kasnije  profesionalne orijentacije, osnovna škola je obavezna za svu djecu od 6. do 15. godine. To je škola koja nije, niti može biti selektivna. Od osnovne škole društvo očekuje da je svi školarci završe na vrijeme i s uspjehom. Osnovnoj školi, kao dijelu odgojno–obrazovnog sistema, pripada najveći dioodgovornosti za podizanje opšte razine znanja i kulture. Iz toga  proizlaze obaveze da se djeci omogući postizanje optimalnog uspjeha, bez obzira na njihove materijalne, socijalne ili obiteljske prilike, koji bi u znatnoj mjeri mogle uticati na raslojavanje učenika prema sposobnosti. Stoga i sistem  praćenja, provjeravanja i ocjenjivanja učenika IZ MATEMATIKE mora voditi računa o njihovim mogućnostima i osobitostima njihovog psihofizičkog razvoja, te uvažavati objektivne prilike u kojim učenik živi. Gubljenje godine i ponavljanje razreda treba svesti na najmanju moguću mjeru, jer te mjere često imaju suprotan učinak od onoga koji se očekuje i želi postići primjenom tih mjera. Razlog gubljenja godine je upravo matematika. Pored činjenice da škola treba nadoknadi, ili barem ublažiti, nepovoljne uslove u kojima učenik eventualno živi, ona mora uvažavati i njegove individualne razlike. U tu svrhu u školi se provodi individualizacija nastave, uvodi se dopunska nastava iz matematike, organizuju vannastavne aktivnosti i –  gdje je to moguće – uvodi se produženi ili cjelodnevni boravak učenika u školi. Praćenje i provjeravanje učenikova razvoja nije više samo ocjenjivanje završnog rezultata, već je to proces tokom kojeg učenik sazrijeva. Prati se i tok i rezultat rada, nastoji se što bolje upoznati učenika, teži se da što više elemenata 211

utiče na konačnu ocjenu i da se ona formira na osnovu različitih načina i oblika  provjeravanja, usmenog i pismenog, primjenom što objektivnijih ispitnih  postupaka, testovima znanja, sistemskim posmatranjem i praćenjem učenika u svim nastavnim situacijama. Sva svoja zapažanja i primjedbe učitelji moraju unositi u imenik učenika radi definisanja konačne ocjene. Tako se evidentiraju odgovori učenika, učinci na pismenim ispitima, opis rada kao i reakcije i ponašanje učenika koja su relevantna za njegovo svestrano upoznavanje. Na taj način ocjenjivanje  postaje kontinuirano i mnogostrano, ako već ne sveobuhvatno, ali ipak u skladu s načelom ekonomičnosti.

18.1. Taksativan pristup nastavi

Zadaci nastave su u nastavnom planu i programu naznačeni s nekoliko redova za svaki nastavni predmet, dati su u deklarativnom obliku, što učitelju,  posebno učitelju– početniku, ne može poslužiti kao orijentacija i smjernice u radu. Posebno ne mogu ovako izraženi zadaci nastave poslužiti kao osnova za konkretiziranje zahtjeva koji se postavljaju pred nastavu. Zato te zadatke valja razraditi i konkretizirati kako bi se na osnovu tako definisanih zadataka mogla izraditi metodologija vrednovanja uspjeha učenika u nastavi.  Motivacijsko – emocionalni odnos prema nastavi ogleda se u interesu koji učenik pokazuje prema praćenju naučno popularne literature iz matematike,  prema skupljanju i sređivanju informacija i u aktivnom bavljenju nekom djelatnošću u slobodno, vannastavno vrijeme.  Njegov interes je izražen maksimalnim angažovanjem vlastitih sposobnosti i vještina na rješavanju problemskih zadataka, takmičarskim duhom i osjećajem zadovoljstva postignutog u nastavi i učenju. Ljubav prema matematici i učenju izražena je zadovoljstvom za vrijeme nastave i učenja, lakoćom prevladavanja poteškoća koje se tokom nastave i učenja javljaju i u  poštivanju svoga uspjeha, ali i uspjeha drugih iz razrednog odjeljenja. Stvaralačke sposobnosti razvijaju se kod učenika koji traži pokretačku snagu u nastavi i učenju, koji samostalno rješava problemske zadatke. Viša razina tih sposobnosti izražena je mogućnošću primjene usvojenih znanja, samoinicijativnošću u kreiranju novih ostvarenja i u sposobnosti organizovanja novih problemskih situacija i njihova rješavanja. Smisao za kolektivan rad  motiviše učenike da svoje lične ciljeve  podvrgnu zajedničkim ciljevima razrednog odjeljenja (ili neke druge radne grupe), da iskažu prijateljski stav prema ostalim članovima razrednog odjeljenja, da se rado podvrgnu radnoj disciplini, da prihvaćaju rezultate rada 212

razrednog odjeljenja kao zajednički uspjeh svih članova, te da pomažu ostalim članovima razrednog odjeljenjaa, ne zapostavljajući pritom svoje radne obveze.  Povjerenje u sebe samog  odnosno u vlastite snage ima učenik koji samome sebi zna odmjeriti optimalan broj radnih zadataka što ih može riješiti u zadatom/predviđenom vremenu. Samopouzdanje se ogleda u odvažnosti i energičnosti pri nailasku na probleme i nastojanju da se oni uspješno riješe, a u slučaju kada to nisu u stanju, tj. u slučaju neuspjeha da se kritički preispitaju vlastiti postupci. Smisao za lijepo ima učenik koji pazi na urednost svog školskog pribora, ali i pribora drugih članova razrednog odjeljenja, koji funkcionalnost urađenog zna uskladiti s postavljenim zahtjevima.

18.2. Nastava i problematika praćenja, provjeravanja i ocjenjivanja iz matematike

Savremena didaktika posvećuje danas veliku pažnju problematici  praćenja, provjeravanja i ocjenjivanja učenika i tom su pedagoškom fenomenu –  kako u svijetu tako i kod nas – posvećena mnoga naučna istraživanja. Mnogi istaknuti pedagozi, didaktičari i psiholozi ukazuju na potrebu svestranog sagledavanja razvoja učenikove osobnosti. Ističe se da nije dovoljno  pratiti i ocjenjivati samo usvajanje znanja, vještina i navika već je potrebno kontrolisati i razvoj stavova, mogućnosti rasuđivanja, ličnog i društvenog  prilagođavanja, razvoja interesa, subjektivnih i objektivnih mogućnosti (Furlan, 1966) i – najšire rečeno – potrebno je što opreznije sagledavanje razvoja učenika kao mnogostrano razvijanje humane i sretne ličnosti.  Ne radi se samo o opštim, deklarativnim odgojnim ciljevima neke zamišljene, imaginarne nastave već o konkretnim zahtjevima društva,  postavljeni vrlo ozbiljno pred školu, pred svaki nastavni predmet, pa tako i matematiku. To su obveze svakog učitelja bez obzira na to koji nastavni  predmet predaje. Osim tog složenog i zahtjevnog zadatka, svakog učitelja obvezuje i čitav niz specifičnih odgojnih i obrazovnih ciljeva pojedinog nastavnog predmeta, što se sve uklapa u svakodnevnu nastavnu djelatnost.  Nastava je "kao specifični bipolarni upravljiv proces " (Švajcer, 1987, 22) usmjerena prema jasno definisanom, tj. postavljenom cilju. Taj cilj nije lako ni jednostavno ostvariti. Učitelju su potrebne česte i jasne povratne informacije kako bi što uspješnije rukovodio procesom razvijanja učenikove osobnosti. No, složenost djelovanja, veliki broj učenika u razrednom odjeljenju, nerijetko s  jednim ili dvojicom učenika s posebnim potrebama(ometenost u razvoju), širokost nastavnih sadržaja, prisutnost raznih vanškolskih uticaja i zahtjeva na 213

učenike kao i niz drugih faktora, ometaju uspješno komuniciranje izmedu učitelja i učenika. Jedina mogućnost da učitelj sebi pomogne u toj složenoj, kompleksnoj situaciji jest da u okviru svoga nastavnog predmeta –matematike - ostvari djelotvoran sistem evidentiranja, praćenja i provjeravanja učenika. Dakako da taj sistem mora biti kompatibilan s opštim školskim sistemom; mora biti  jednostavan, racionalan i ekonomičan, didaktički opravdan i načelno ujednačen u okviru jednog nastavnog predmeta. Tokom nastave ima toliko aktivnosti koje treba intelektualno kontrolisati, neke od njih usvojiti kao znanja, druge kao vještine, pri čemu se manifestira motivacijsko – emocionalan stav prema nastavi i učenju, sposobnosti i mogućnosti učenika postaju mjerljive, učenici pokazuju veće ili manje sklonosti prema određenim aktivnostima, potvrđuju se u individualnom i skupnom radu i sl. Svi ti psihološko–tjelesni procesi imaju svoju kvantitativnu stranu. Oni se razlikuju međusobno po  stepenu kvaliteta, po intenzitetu ili trajanju, dakle imaju veličinu pa su, s obzirom na to, dostupni mjerenju.  Naravno, ta su mjerenja vrlo složena i u svakodnevnoj praksi svedena su na aproksimaciju (Lindquist, 1970), ali su korak bliže objektivnijem i sveobuhvatnijem vrijednovanju, ukoliko je razrađen sistem praćenja i evidentiranja prema ciljevima i zadacama nastave. Ideja o uvođenju ocjenjivanja razvijala se postepeno, vodeći računa  pritom, s jedne strane, o savremenim psihologijskim, didaktičkim, posebno dokimološkim načelima, dok su se s druge strane uvažavale primjedbe učitelja, što je ukazivalo na potrebu ujednačavanja ocjenjivanja komponenata u (osnovnoj) školi. Na taj je način analitički pristup vrijednovanju usklađen s  postojećim mogućnostima za racionalizaciju vrijednovanja u nastavi, a kao rezultat nastala je praksa ocjenjivanja –tabela- koju valja u praksi provjeravati i eventualno dalje usavršavati. 18.3. Praćenje, provjeravanje i ocjenjivanje učenika iz matematike

Praćenje, provjeravanje i ocjenjivanje učenika u nastavi matematike sastavni je dio nastave, bitan je to, vrlo odgovoran i vrlo osjetljiv zadatak kojeg obavlja učitelj. evidentiranje, tj.  Praćenje učenika pod razumijeva sistematsko  bilježenje zapažanja o razvoju učenikovih interesa, motivacije i sposobnosti, njegovih postignuća u usvajanju sadržaja nastavnog predmeta ili odgojno  –  214

obrazovnog područja, njegov odnos prema radu i postavljenim zadacima te odgojnim vrijednostima. " Pod provjeravanjem znanja podrazumijeva se sistemsko praćenje, ispitivanje i vrijednovanje učenikovih postignuća i uspjeha u ostvarivanju  zadaća nastavnog predmeta ili odgojno–obrazovnog područja tokom školske  godine" (Kadum, 2004, 56). Ocjenjivanje  je postupak vrednovanja svih relevantnih činjenica o

učenikovim postignućima tokom praćenja, provjeravanja i ispitivanja, a izražava se ocjenom. Mjerila i skale nisu strogo naučno utemeljene, već su dogovoreni način izražavanja uspjeha učenika. Tako se kod nas stepen usvojenosti znanja, sposobnosti i vještina izražava brojčanom ocjenom od 1 do 5. Ocjenjivanje u  prva tri razreda osnovne škole je opisno na 3 nivoa(Agencija za predškolsko, osnovno i srednje obrazovanje "Standardi učeničkih postignuća"). Pritom valja naglasiti da jednaka ocjena ne znači i jednako znanje jer su ocjene podložne različitim uvjetima u kojima nastaju, ali i subjektivnim osobinama ocjenjivača. Kako bismo se što više približili realnijoj, objektivnoj ocjeni potrebno  je prikupiti što više podataka o znanju i sposobnostima učenika. Pored toga, redovnim praćenjem rada i napredovanja učenika, provjeravanjem znanja i ocjenjivanjem motivišemo učenika na rad. S obzirom na razlike u ocjenjivanju, preporučljivo je da se u nastavi znanje i sposobnosti učenika, pored usmenog  provjeravanja, provodi i  pismeno  provjeravanje. Poželjno je da se svakog učenika usmeno i pismeno provjeri najmanje dva puta u jednom polugodištu. Osim toga, dobro je, posebno radi  pozitivne motivacije, da se koriste i sljedeće dvije komponente praćenja –  aktivnost (zalaganje) učenika i domaći zadatak . Tim komponentama (odrednicama) moguće je ocijeniti raznovrsne aktivnosti učenika, kao na primjer, redovitost pisanja domaćih zadaća, seminarski rad, praktičan rad, aktivnost u nastavi i sl. Ocjenjivanje pritom ne smije vremenski biti raspoređeno na kraj ocjenjivačkog razdoblja. Provjeravanje i ocjenjivanje učenika valja provoditi tako da se: 

uvažava, tj. poštuje učenikova ličnost;



podstiče učenikovo samopouzdanje i njegov osjećaj napredovanja;



podstiče učenika na aktivno sudjelovanje u nastavnom procesu;



omogućuje učeniku da se sam javlja za provjeru znanja;

215



osposobljava učenika za samoučenje, samoprocjenu vlastitog znanja i procjenu znanja drugih učenika iz razrednog odjeljenja.

18.3.1. Usmeno provjeravanje i ocjenjivanje učenikova uspjeha

Iako se danas u školi primjenjuju različiti oblici pismenog  provjeravanja znanja, kao što su naprimjer testovi znanja, nizovi zadataka objektivnog tipa, kontrolne zadaće i drugi oblici, usmeno provjeravanje znanja  je potrebno, jer se njime dobijaju mnogi važni podaci koji se ne mogu dobiti  pismenim provjeravanjem ili drugim načinom ispitivanja. Pod usmenim provjeravanjem znanja podrazumijevamo "ne samo odgovore koji se obično zovu 'odgovaranje za ocjenu′ "  već i sve one podatke koje učitelj prikuplja tokom rada s učenicima: kod izlaganja novog gradiva, kod uvježbavanja i u diskusijama koje se provode na satima. Usmenim provjeravanjem znanja učitelj saznaje, osim činjeničnog znanja, i to koliko je učenik u stanju da svoje misli izrazi i formuliše riječima, da li se izražava precizno, i to kako i koliko je shvatio gradivo i kako ga zna objasniti" (Dravinac, 1970, 11). Osobitost tog načina jest u tome što učitelj u direktnom odnosu s učenikom utvrđuje i ocjenjuje njegov napredak u učenju s obzirom na njegove sposobnosti, mogućnosti i motivaciju. S obzirom na to da u nastavi nema dovoljno vremena za duže ispitivanje učenika, dobrim planiranjem nastavnih sati mogu se prikupiti mnogi  podaci o znanju učenika iz matematike. Prema tome, pod usmenim odgovorom ne podrazumijevaju se samo odgovori "pred tablom", već se jedinstvenom ocjenom iskazuje niz podataka do kojih učitelj dolazi praćenjem učenikova rada. Obrada novih nastavnih sadržaja također je pogodna za ocjenjivanje. U raspravama vezanim uz reformu nastave u USA–a istaknuto je da učitelj ne bi smio govoriti duže od tri minute, a da pritom ne postavi neko pitanje. Stoga se tom prilikom mogu ocijeniti učenici koji se na osnovi prije usvojenog znanja uspješno snalaze u novim (problemskim) situacijama. U tom slučaju više dolazi do izražaja sposobnost snalaženja (darovitost) učenika, nego njihova marljivost i istrajnost u radu. "Sati vježbanja i ponavljanja poslužit će za ocjenjivanje većeg broja učenika. Pritom, naravno, nije potrebno da se svaki učenik izvodi 'pred tablu'" 

(Kadum, 2004, 59). Naime, zadavanjem zadataka različitih razina zahtjevanosti i složenosti (Kadum– Bošnjak i Kadum, 2006), koje učenici rješavaju "na mjestu", u svojim bilježnicama, praćenjem njihova rada obilaženjem učenika, 216

moguće je prikupiti podatke o razini usvojenosti određenog nastavnog gradiva za veći broj učenika. I domaći zadaci mogu poslužiti za provjeravanje znanja učenika tako da se utvrdi je li učenik sam izradio zadaću. Uz to, može se postaviti još koje  pitanje radi određivanja ocjene. Važno je da se ocjena daje javno, u razrednom odjeljenju, na nastavnom satu odmah nakon provjere . "Od posebne je važnosti ocjenu obrazložiti i pritom istaknuti šta je učenik znao, a šta nije " (Kadum, 2004, 60), kako bi učenik bio svjestan svojih nedostataka i koje će dopunskim radom prevladati, tj. nadoknaditi. Usmeno  provjeravanje znanja ima svojih nedostataka. Osim poznatih nedostataka – strah ispitanika, učiteljevo raspoloženje, simpatije prema učeniku i dr. Ovdje ukazujemo na neke od tih slabosti: 

usmeno provjeravanje i ocjenjivanje znanja pripada subjektivnom obliku ocjenjivanja jer procjena razine znanja ovisi isključivo od dojma učitelja;



učitelj može uticati na odgovaranje učenika;



ispituju se manji dijelovi nastavnog sadržaja;



učenici odgovaraju na različita pitanja pa je teže odrediti objektivno mjerilo.

Da bi se nedostaci usmenog ispitivanja kao subjektivnog načina  provjeravanja znanja – ako ne u cijelosti otklonili, onda barem u što većoj mjeri ublažili – korisno bi bilo da učitelj za svakog učenika pripremi sličnu kombinaciju pitanja i zadataka. Pritom valja istaknuti da se ovakav oblik  provjeravanja znanja neće primijeniti na sve učenike već samo na one za koje nije prikupljeno dovoljno podataka za davanje kvalitetne ocjene. "Kada se radi o kvaliteti ocjene u vezi s usmenim provjeravanjem, trebalo bi utvrditi koja su to osnovna znanja koja mora imati učenik za prolaznu ocjenu.“ (Dravinac, 1970, 11). Istraživanjima je utvrđeno da čovjek kao mjerilo može jasno razlikovati tri stupnja znanja. Kako se kod nas (ali i u još nekim zemljama Evrope i vanevropskim zemljama), u procjeni znanja služimo skalom s pet stepena,  pokušat ćemo opisati skalu ocjena od 1 do 5, uz pretpostavku da su pitanja realna i primjerena, i da provjeravamo ono što se najčešće provjerava: koliko je učenik shvatio gradivo i koliko ga zna primijeniti (tablica br.2).

217

U novije vrijeme, u skladu s novim pogledima na nastavu, pojavljuju se i drugačiji prijedlozi kriterija (zahtjeva) usmenog ocjenjivanja i ocjenjivanja uopšte. Predlaže se vrijednovanje različitih oblika znanja: koliko učenik razumije postavljeno pitanje, kako uspješno rješava problemske zadatke, kako obrazlaže svoje postupke i rješenje, kako primjenjuje usvojeno znanje i slično. U tablici br.3 navodimo prijedloge za ocjenjivanje po tim zahtjevima (Gusić i sur., 2003).

18.3.2. Pismena provjera znanja i ocjenjivanje učenikova uspjeha

U školama se, pored usmenog provjeravanja i ocjenjivanja učenikova znanja, provodi i  pismeno provjeravanje. " Pismenim provjeravanjem znanja utvrđuje se relativno postignuće pojedinca u odnosu prema učinku ostalih članova razrednog odjela ." (Kadum, 2004, 61).

Prednost pismenog načina provjeravanja i ocjenjivanja je u tome što se istovremno provjerava znanje svih učenika u razredu iz jednog dijela programa.  Pravilnikom o načinu praćenja i ocjenjivanja učenika u osnovnoj i srednjoj  školi utvrđeno je da se pismeno provjeravanje i ocjenjivanje provodi jednom, dva odnosno tri puta u polugodištu , u zavisnosti od godišnjeg fonda sati nastave

za pojedini nastavni predmet. Znanje učenika pismeno se može provjeravati školskim zadaćama, nizom zadataka objektivnog tipa i/ili testovima znanja. Pismeni ispit ocjenjuje se na osnovu postignutog broja bodova, odnosno tačno ponuđenih odgovora (rezultata). U sistemu ocjenjivanja valja istaknuti nedostatak zajedničkog, tj.  jedinstvenog mjerila za pojedine ocjene. Činitelji koji najčešće utiču na mjerila ocjenjivanja su: izbor (težina) zadatka, odnosno pitanja; strogost učitelja; razina znanja učenika. Razinu složenosti zadatka (pitanja) učitelj prema osobnom sudu izražava bodovima. Postignuti broj bodova osnovica je za odredivanje brojčane ocjene. Pokazat ćemo dva slučaja kada se mjerila za pretvaranje broja bodova u ocjene utvrđuju unaprijed i jedan od načina naknadnog utvrđivanja tih mjerila.  Kada učitelj, dosljednosti radi, unaprijed utvrđuje mjerila za pojedine ocjene, potrebno je da s njima upozna učenike.

Ako se pri ispravljanju pismenog ispita u zadacima (pitanjima) boduju "koraci", tj. da se za svaku važnu međuvrijednosti (važan međurezultat) dobija određeni broj bodova, najčešće se primjenjuje, koristi skala prikazana tablicom  br. 4. Analizom tablice 4 uočava se da je za ocjenu dovoljan (2) potrebno 218

ostvariti najmanje 50% bodova, dok je za ocjenu odličan (5) potrebno ostvariti 90% od svih mogućih bodova. Ako se boduju samo tačni odgovori, samo tačna rješenja, tj. ako zanemarujemo međurezultate (međuvrijednosti, međukorake), dakle, kada vrijednujemo "ili jeste ili nije ", upitno je primjenjivati blaži kriterij i pritom se najčešće koristi skala prikazana tablicom br.5. Uz ove dvije skale za pretvaranje postignutih bodova u ocjene dajemo sljedeću napomenu:  Navedene bodovne granice za pojedinu ocjenu samo su orijentacijske, jer davanje ocjena nije statistički postupak .  Najbolje je da svaki učitelj sačini svoju skalu za pretvaranje broja  bodova u ocjene, uvažavajući mnoge faktore, kao na primjer, složenost  programa, složenost zadatka, odnosno pitanja u ispitnom materijalu, osobitostima razrednog odjeljenja i sl. Tek ispravci pismenog rada i raščlanjivanje rezultata omogućuju provjeru njegove primjerenosti. Iz razdiobe rezultata možemo zaključiti je li ispitni materijal bio primjeren, "lagan" ili "težak". Ako smo dobili približno normalnu razdiobu, možemo zaključiti da je ispitni materijal bio primjeren. Pokazat ćemo sada jedan 1 od načina naknadnog utvrđivanja mjerila za skalu ocjena. Koristit ćemo se pritom aritmetičkom sredinom (u oznaci  X ) i  standardnom devijacijom (u oznaci s).  Najprije se izračuna aritmetička sredina, a zatim i standardna devijacija. Koristeći se izračunatim podacima, dolazimo da skale ocjena koja je prikazana u tablici 6. Jedan drugi način naknadnog određivanja mjerila za skalu ocjena sastoji se u tome da se odredi medijan (u oznaci  M ), donji ( prvi) i  gornji (treći) kvartil (u oznaci Q1 i Q3) i kvartilno odstupanje (u oznaci Q0). Zatim se sačini skala koja je slična onoj prikazanoj tablicom 6. Ta je skala sljedećeg oblika (Kadum, 2004, 64): “Redovnim praćenjem i provjeravanjem znanja različitim oblicima i načinima i na osnovi više elemenata (barem četiri: usmeno ispitivanje, pismeno ispitivanje, domaći rad  i aktivnost učenika ), dobit ćemo objektivniju konačnu ocjenu, koja će biti uskladu sa stvarnim učenikovim znanjem” .

18.4. Vrednovanje kao savremeni dokimološki zahtjev

Pod vrednovanjem podrazumijevamo pristup učeniku s različitih stanovišta, interpretirajući razne indikatore ponašanja učenika, pri čemu se ne ocjenjuje samo znanje kao rezultat intelektualne aktivnosti. S utvrđenih četiri 219

(odnosno pet) komponenata vrednovanja, tj. praćenja i ocjenjivanja, predvidjeli smo mjerenju dostupnu spoznajno–verbalnu komponentu, tj. poznavanje činjenica i pojmova, te praktičnu primjenu znanja. Praktičnu komponentu tretiramo s kvalitativne i kvantitativne strane, vrednujući usvojenost vještina i navika. Ocjenskom rešetkom samo je djelomično obuhvaćeno evidentiranje interesa učenika i stava prema radu (aktivnost) i njegove subjektivne mogućnosti (što i nije tako dostupno mjerenju). Želimo li uzeti u obzir sve raznovrsne činioce koji sudjeluju u mijenjanju učenika tokom nastavnog procesa, onda je potrebno koristiti se raznovrsnim postupcima i tehnikama praćenja i evidentiranja svih aktivnosti, uočenih ponašanja i reakcije učenika. Takav pristup učeniku je zapravo vrednovanje. Ocjena donijeta na osnovu takvog vrijednovanja mnogo svestranije i temeljitije odražava napredak učenika i njegova nastojanja. Vrednovanje, osim toga, polazi od detaljnije formulacije zadataka i šireg opsega postavljenih ciljeva, a definisanje tih zadataka i ciljeva usklađuje se s očekivanim ponašanjem učenika u konkretnim  problemskim nastavnim situacijama. Vrednovanje zahtjeva kontinuiran nadzor nad svim aktivnostima učenika, pa se na osnovu dobijenih pokazatelja sagledava njegov cjelokupan napredak. Opredijelivši se za četiri (odnosno pet) komponenti za praćenje učenikova razvoja, ne opterećuje učitelja previše, a dobijeni rezultati ukazuju na ozbiljnije vrednovanje, dobijena ocjena je preciznija i odražava šire angažiranje učenikovih nastojanja i, što je jednako tako značajno, ovakvo analitičko vrednovanje učenika u nastavi daje bolje prognostičke pokazatelje za  profesionalno usmjeravanje učenika.  Naime, ocjene iz pojedinih komponenata imaju i za učenika veću informativnu vrijednost od zajedničke globalne ocjene jer mu ukazuje na one djelatnosti kojima ne posvećuje dovoljno pažnje. Pored toga, ako učenik ne zadovoljava na jednom području matematike, postoji mogućnost kompenzacije na drugom, što djeluje motivacijski i ne obeshrabruje učenika. 18.5. Definisanje konačne (zaključne) ocjene

Konačna ocjena – polugodišnja ili na ona kraju školske godine – može se definirati kao  srednja ocjena svih komponenata praćenja. Svaka od komponenti praćenja trebala bi da na jednak način opterećuje konačnu ocjenu, tj. da na jednak način sudjeluje u definiranju (odredivanju) konačne, zaključne ocjene (pod uvjetom da ocjena po svakoj komponenti bude jednak broj). Budući da se usmeno i pismeno provjeravanje evidentira s tri komponente, to ove aktivnosti najviše utiču na konačnu ocjenu, što je i u redu. Preostale dvije 220

komponente praćenja osiguravaju nam dovoljno prostora da slabijih sposobnosti i mogućnosti izvedemo pozitivnu ocjenu. Kao srednja ocjena obično se uzima aritmetička sredina, što osigurava učitelja od raznih intervencija, utjecaja i prigovora sa strane. Slabost je srednje ocjene što ne dopušta individualni pristup učeniku. Zato je mnogo bolje da se konačna ocjena definira kao " pedagoška sredina". Vrlo često se " pedagoška sredina" ne poklapa s aritmetičkom sredinom, što učitelja može dovesti u neželjenu, tj. neugodnu situaciju. To ukazuje na delikatnost ocjenjivanja, čak i kada se učitelji služe objektivnim postupcima mjerenja postignuća učenika. Stoga se ocjenjivanju iz matematike mora  pristupati s mnogo pažnje, ozbiljnosti, pedagoškog takta i razumijevanja učenikovih poteškoća. Zato se prema dobijenoj srednjoj ocjeni valja uvijek odnositi kao prema mogućoj hipotezi, a ne kao egzaktnom rezultatu. Što se tiče čestog, tj. učestalosti ocjenjivanja realno je i moguće da se u svakom polugodištu sve komponente praćenja ocijene dva, tri puta, što može  biti već dovoljno za donošenje tačnije slike o učeniku i preciznije definisanje konačne ocjene.  Na osnovu svega izloženoga možemo zaključiti sljedeće: 1. S obzirom na postojeće stanje u nastavi, problematici vrijednovanja treba pristupati u nastojanju da se pracenje učenika i postojeće ocjenjivanje iz matematike postepeno unaprijedi. Sistemski treba usavršavati ispitne postupke i tehnike, a učitelje motivirati za što objektivnije i svestranije vrijednovanje  postignuća u nastavi. 2. Pored zahtjeva da praćenje i evidentiranje postignuća u nastavi bude sveobuhvatno, neophodno je da vrijednovanje bude i ekonomično, tj. da ne iziskuje previše vremena. Potrebno je, dakle, uskladiti zahtjeve za što raznovrsnijim praćenjem koje pokriva što širi raspon reakcija i aktivnosti učenika, sa zahtjevom da se nastavno vrijeme što racionalnije iskoristi. 3. U nastojanju da ocjenjivanje bude što objektivnije ne znači da će se neki oblici subjektivnog ocjenjivanja napustiti. U svim ispitnim situacijama treba unaprijed normirati zahtjeve koji se postavljaju pred učenicima, a učenicima treba objasniti unaprijed i ispitne postupke, te ih tako motivirati za maksimalno zalaganje. 4. Ako su strogo odredene norme izvršavanja rada, učenici će se s vremenom priviknuti da prate i kontroliraju ocjenjivanje učitelja. Načelo samoocjenjivanje se može ostvariti kao sabiranje bodova ili ocjena na osnovi 221

unaprijed utvrđenih zahtjeva, ali ocjena koju izriče učenik ostaje samo prijedlog koji učitelj korigira ili potvrđuje. 5. Kao osnova za svako praćenje napretka i ocjenjivanje treba da  posluži ciljevima i zadacama nastave, koje treba razraditi za svako razredno odjeljenje posebno, za svaku nastavnu cjelinu, pa i za konkretne problemske situacije. Tek kada su ciljevi i zadaće dobro poznati mogu se tražiti mjerne metode i instrumenti za mjerenje postignuća, tj. ostvarivanja tih ciljeva i zadataka. 6. Ocjenjujući rad učenika moramo biti svjesni činjenice da svako mjerenje znanja, vještina i navika, a naročito sposobnosti, interesa i stavova učenika ima relativno nisku razinu preciznosti, čak kada se i koriste najbolji mjerni instrumenti. Prema dobijenim vrijednostima moramo se odnositi kao  prema mogućoj hipotezi, a ne kao prema definitivnoj konstataciji. 7. Da bi ocjenjivanje bilo što realnije, objektivnije, moramo se služiti što većim brojem različitih postupaka, kako bi se dobijeni rezultati međusobno dopunjavali. Tako će, na primjer, testovi znanja kao relativno  precizniji instrument dopunjavati grublje metode klasificiranja, rangiranja i neformalnog promatranja učenika tokom rada. 8. Interpretacija dobijenih rezultata najdelikatniji je problem koji se  pojavljuje prilikom provjeravanja i ocjenjivanja. Upisivanje ocjena ili tekstualnih primjedbi u imenik učenika trebalo bi da uvijek bude rezultat  pedagoškog pristupa učeniku. Sve norme i utvrđeni postupci vrijednovanja moraju proći kroz "filter" pedagoškog takta, uviđajnosti i umješnosti, a to svakako ovisi o ličnosti učitelja. Što su ispitne situacija raznovrsnije, to je odgovornija uloga učitelja pri donošenju konačne ocjene. 9. Od predloženih četiri (odnosno pet) komponenti za vrijednovanje u nastavi, dvije (odnosno, tri) je moguće provjeravati objektivnim mjernim instrumentima. Međutim, "usmeno ispitivanje" i "aktivnost učenika" nije moguće obuhvatiti objektivnim mjerilima. Stoga će se te komponente i dalje ocjenjivati subjektivnom procjenom učitelja na temelju promatranja i praćenja učenika. Pritom je potrebno obratiti posebnu pažnju na vođenje evidencije o pojedinim reakcijama učenika. Svoje primjedbe o pojedinim reakcijama učenika, učitelj će jasno formulisati, tek nakon dužeg posmatranja učenika, te izbjegavati unošenje bilješki o učeniku u afektu. 10. Iako će konačna ocjena iz pojedinog nastavnog predmeta biti  brojčana, učitelji bi pisane primjedbe trebali češće unositi u imenik učenika u za to predvideni prostor. Te pisane primjedbe bit će učitelju od koristi kod 222

definisanja konačne ocjene učeniku, ali će od velike pomoći biti i razredniku  prilikom davanja informacija roditelju o napredovanju njegova djeteta iz matematike. 19. VANNASTAVNI RAD U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE (DODATNA I DOPUNSKA NASTAVA, MATEMATIČKA SEKCIJA)

Pored nastave za učenike se organiziraju u školi i vannastavne, vanučioničke i vanškolske aktivnosti. Putem njih škola proširuje svoje djelovanje van učionice i škole. U školi, i van škole, učenici se uključuju u različite vidove slobodnih aktivnosti: sekcije, interesne grupe, klubove i udruženja. Slobodne aktivnosti doprinose zadovoljavanju interesa,  proširivanju znanja, interesa i sklonosti. Podstiče se inicijativnost i samostalnost učenika. Učenici sami biraju forme okupljanja, utvrđuju sadržaje, vode računa o disciplini i realizaciji  planom predviđenih sadržaja. Jedan od osnovnih principa organizacije i rada slobodnih aktivnosti jeste slobodan izbor aktivnosti. Osnovni zadatak im je  poštovanje individualnih sposobnosti i stvaralaštva. Vannastavne aktivnosti su važan segment života i rada u školi. Osnovno su obilježje savremene škole. U vannastavnim aktivnostima moguće je prepoznati sklonosti djeteta prije nego na nastavnom času. Dijete nam već svojim opredjeljenjem za određene sadržaje nagovještava i nešto o svojoj jačoj strani. Mogućnost izbora je korak ka slobodi i izražavanju u skladu s mogućnostima i afinitetima. Zadaci: 

Povezivanje, proširivanje i produbljivanje znanja, vještina i navika stečenih u nastavi i vannastavnim aktivnostima;



Usvajanje novih znanja, vještina i navika;



Razvijanje interesovanja za društveno koristan rad;



Osposobljavanje za aktivnosti u slobodnom vremenu koje će biti u funkciji razvoja odgoja i obrazovanja, prevencije svih vrsta ovisnosti, zaštite i unapređivanja zdravlja;

223



Osposobljavanje za aktivno učešće u društvenom životu i njegovom demokratskom razvoju;



Podsticanje dječijeg stvaralaštva – kreativnosti



Osposobljavanje za komunikaciju, interakciju i kooperaciju sa drugima.



Omogućavanje učenja fleksibilnosti i tolerancije.

Principi na kojima bi trebao da počiva Plan i program vannastavnih aktivnosti su: 

Slobodne aktivnosti su integralni dio odgojno-obrazovnog rada u osnovnoj školi i u funkciji su ostvarivanja globalnog cilja odgoja i obrazovanja.



One se organizuju u skladu sa interesovanjima, mogućnostima i dobrovoljnim opredjeljenjem učenika.



Planiranje, programiranje, pripremanje, organizacija i realizacija vannastavnih aktivnosti podrazumijevaju aktivno učešće učenika.



Vannastavne aktivnosti ne bi smjele ni sadržajem, ni trajanjem  preopteretiti učenike.



One se ne bi smjele pretvoriti u bilo koju vrstu nastavka nastavnog rada.



Trajanje vannastavnih aktivnosti, njihovi sadržaji i koordinatori voditelji, utvrđuju se planom i programom koji se donosi na početku školske godine, a verifikuje ga Nastavničko vijeće.

Ako se u okviru nekih vannastavnih aktivnosti ostvaruje i dobit, pravo  je učenika da učestvuju u odlučivanju o njenoj namjeni i raspodjeli, pri čemu se isključuje novčano nagrađivanje učenika. U skladu s odgovarajućim propisima, škola je dužna da način korištenja tako ostvarenih sredstava reguliše posebnim aktima.



Plan vannastavnih aktivnosti trebalo bi da obuhvati: 224



Koliko će časova biti realizovano u okviru vannastavnih aktivnosti u toku školske godine?



Koje oblasti vannastavnih aktivnosti će biti zastupljene u osnovnoj školi?



Dan, sat i mjesto realizacije vannastavnih aktivnosti.



Imena koordinatora – voditelja vannastavnih aktivnosti.

S obzirom na činjenicu da je u jednoj školi nerealno očekivati da se  jednaka pažnja posveti svim oblastima, potrebno je na početku školske godine detaljno razmotriti u kojoj mjeri će pojedine oblasti biti zastupljene. Od  posebnog značaja je da se u Planu vannastavnih aktivnosti odredi dan, sat i mjesto gdje će se one odvijati. Kada učenici koordinatori-voditelji znaju da će se aktivnosti odvijati sedmično ili petnaestodnevno, i koliko će one trajati, onda se oni mogu adekvatno pripremiti, bit će motivisani za aktivnost, što će značajno uticati na efekte u njihovom ostvarivanju. Blagovremeno i tačno određenje vremena, mjesta i trajanja aktivnosti ima svoju  pedagošku vrijednost i zato ga treba obezbijediti već u Planu na početku školske godine. Imenovanje koordinatora – voditelja vannastavnih aktivnosti vrši  Nastavničko vijeće na početku školske godine i ono ne može biti rezultat licitiranja i dobrovoljnog opredjeljivanja nastavnika, nego izbora na osnovu unaprijed utvrđenih kriterija od strane najvišeg stručnog organa u osnovnoj školi. 19.1. Vidovi vannastavnih aktivnosti u nastavi matematike

Poznato je da sadržaje nastave matematike teže usvaja veliki broj učenika. U tim situacijama velika je uloga nastavnika da pruži pomoć i spriječi zaostajanje diferenciranim, individualiziranim pristupom. Kao vidovi vannastavnih aktivnosti u matematici mogu se organizirati: 

dopunska nastava



dodatna nastava 225



slobodne matematičke aktivnosti,

19.1.1. Dopunska nastava

Ovaj oblik nastave organizira se prema potrebi i traje dok se ne  popune praznine u znanju učenika. Izvodi se prema utvrđenom rasporedu za učenike s kojima je potrebno raditi intenzivno duži vremenski period, sa učenicima koji nisu shvatili određene sadržaje ili kao povremene instrukcije za  bolesne učenike ili učenike koji su došli iz drugih škola i sl. Problemi učenika koji trebaju dopunsku nastavu veoma su različiti: psiho-motoričke smetnje, dulji izostanci s nastave, problemi emotivne prirode, neadekvatni uvjeti učenja kod kuće. Dopunska je nastava potrebna i učenicima koji nemaju potrebno samopouzdanje ili nisu dovoljno motivirani za rad na matematici. Organizira se prema potrebi, a koliko će trajati i koji će učenici biti uključeni varira tokom godine. Učenik može biti uključen u dopunsku nastavu jednokratno, kroz duži vremenski period ili povremeno. Identifikacija učenika za dopunsku nastavu iz matematike je prvi zadatak nastavnika matematike. Na početku školske godine na nekom od prvih časova matematike, može se organizovati provjeravanje znanja učenika pomoću testova  predznanja (inventarni testovi) i na osnovu dobijenih rezultata izdvojiti učenike za dopunsku nastavu iz matematike. U toku školske godine učenike za dopunsku nastavu treba odabrati na osnovu angažovanja i rezultata koje učenici pokazuju na časovima redovne nastave, rezultata pismenih zadataka, kontrolnih vježbi koje se organizuju radi  provjeravanja znanja iz sadržaja određene nastavne teme, ili ipak na osnovu rezultata testiranja testovima znanja. To čine nastavnici i profesori u osnovnoj i srednjoj školi u saradnji sa školskim  psihologom i pedagogom, uz kordinaciju sa ostalim članovima odjeljenskog vijeća. Sam nastavnik, pri tome uzima u obzir mnoge elemente u pogledu identifikacije takvih učenika: - uspjeh (ocjena) učenika u redovnoj nastavi i na takmičenjima, važan indikator, ali ne i najvažniji; -

226

da li učenik pri rješavanju zadataka pronalazi i originalne postupke, tj. može li da riješi zadatak na još neki način;

-

da li je u stanju da samostalno riješi zadatak nove vrste (kakav dotle nije rješavan), odnosno pokazuje li dosjetljivost i snalažljivost pri tome;

-

Da li pokazuje dovoljno strpljenja i istrajnost u rješavanju složenih zadataka;

-

Da li učenik misli matematički (umije da klasifikuje i apstrahuje, vrši analizu i sintezu, specijalizacije i generalizacije, uočava relacije i otkriva određene nove činjenice, uočava suštinu rješavanja problesmkih i logičko-kombinatornih zadataka iz života, kao i ne standardnih zadataka;

-

kako i na koji način uočava problemske situacije u životu, koliko je osposbljen da se koristi matematičkom literaturom i sarađuje u matematičkim časopisima (listovima) za svoj uzrast.

U pedagoškoj praksi u nastavi matematike u osmogodišnjim i srednjim školama nastavnici-profesori imaju velikih problema oko načina utvrđivanja liste učenika po odjeljenjima-predmetima, načinu izvođenja(organizaciji časa) dopunske i dodatne nastave. Veliki je problem u nerazvijenoj sredini, nepostojanje pedagoško psihološke službe, pa je teško nastavnicima i profesorima da samostalno  pedagoško didaktički se na pravi način bave problematikom organizacije časova dopunske nastave u školi iz matematike.

19.1.1.1. Priprema i organizacija dopunske nastave

Sam nastavnik matematike poslije identifikacije učenika, pristupa pripremi i organizaciji časova dopunske nastave po razredima. U pedagoškoj praksi se takvi časovi počinju da odražavaju početkom oktobra mjeseca, poslije obrade nastavnih tema, sa izuzetkom ako se osjeti neki nedostatak znanja kod učenika iz prethodnog razreda. Treba voditi računa da takvi časovi ne budu održavani poslije časova redovne nastave zbog zamora učenika. Polazna osnova u radu sa učenicima koji doživljavaju neuspjeh u školskom radu i učenju matematike, jeste blagovremeno utvrđivanje uzroka njihovog zaostajanja. Uzroci mogu biti: školske prirode (odsustvovanje sa nastave zbog  bolesti ili drugih razloga, prelazak iz druge škole, neadekvatna i nezanimljiva nastava, slabo predznanje, slabo poznavanje ličnosti i sposobnosti učenika od 227

strane nastavnika, određeni nedostaci udžbenika, velika opterećenost učenika i nastavnika) ili vanškolske prirode (biofiziološki: zdravstveno stanje učenika i slično; psihičko smanjenje intelektualne sposobnosti, nezainteresovanost za učenje i bježanje sa časova, socio-ekonomski: loše porodične i stambene prilike, mijenjanje sredine, loši uticaji sredine. Za svako odjeljenje nastavnik treba da sačini spisak učenika i za svakog da naznači „dijagnozu“ neuspjeha i koje su vrste njegovi propusti: da li učenik slabo zna samo početne nastavne jedinice ili ima veće praznine u poznavanju sadržaja iz predhodnih razreda i zbog čega (zbog nezainteresovanosti za učenje ili drugi razlog). Časovi dopunske nastave (jedan ili dva nedjeljno) drže se za svaku grupu učenika posebno, s tim što se po pravilu, grupa formira od svih učenika istog razreda (iz paralelnih odjeljenja kojima predaje isti nastavnik) koji imaju iste  propuste u znanju. Ako je takvih učenika više, obrazuje se više grupa. U grupi ne bi trebalo da  bude više od 15 učenika, jer rad sa manjom grupom učenika je efikasniji. Sastav pojedine grupe nije stalan u toku školske godine, jer neki učenici izlaze iz grupe a novi se uključuju.  Nastavnik ne treba da čeka da učenik dobije negativnu ocjenu pa da sa njim drži čas dopunske nastave. Naprotiv, čim se primijeti da učenik zaostaje u učenju onda se organizuje takva vrsta časa. 19.1.1.2. Oblici i metode rada

Proces nastave i učenja uopšte može se prilagoditi svim učenicima, pa i onima koji imaju teškoće u učenju, primjenom raznih oblika individualizovanog rada, kao i diferenciranog grupnog rada. Takav način rada pruža mogućnost slabim učenicima da već na časovima redovne nastave stiču osnovna i neophodna znanja, kao i da popunjavaju  praznine u znanju do kojih je došlo usljed izostajanja s časova zbog bolesti,  povremenog nerazumijevanja gradiva (u udžbeniku ili pri tumačenju nastavnika) i slično. I domaći zadaci koji se daju učenicima treba da budu diferencirani i prilagođeni mogućnostima i prethodnim znanjima učenika, s tim što je neophodna njihova  blagovremena i adekvatna provjera.  Nastavnik treba da prati i u posebnoj bilježnici fiksira propuste i tipične greške svakog učenika, uključujući i one na pismenim zadacima, kako bi što efikasnije 228

mogao pomoći učenicima da ih likvidiraju. Blagovremena i adekvatna  provjera. Učenicima se mogu davati individualni zadaci (obično na kraći rok), s obaveznom provjerom i analizom izrade (na dopunskoj nastavi časa, konsultaciji, na redovnom času i slično). Samostalnost rada učenika u grupi na času dopunske nastave matematike, uz neposrednu pomoć nastavnika može se postići na više načina. Navodimo dva osnovna. Pošto nastavnik postavi zadatak (izdiktira ili napiše na tabli i da eventualno uputstvo, svi učenici ga rješavaju samostalno. Za to vrijeme nastavnik obilazi učenike, posmatra njihov rad, ukazuje neophodnu pomoć svakome koji nije u stanju da samostalno riješi zadatak: ponekad se ( ako je potrebno) uradi na tabli dio zadatka, a izuzetno i cio zadatak. Takav način je dobar kada je grupa učenika dosta homogena u pogledu teškoća (isti programski sadržaji), ali mu je nedostatak u tome što se tempo mora podešavati prema najslabijim (najsporijim) učenicima.  Navedeni nedostatak prethodnog načina eliminisaće se upotrebom nastavnih listića. Naime, ako svaki učenik dobije nastavni listić sa nekoliko sličnih zadataka, onda on mora raditi samostalno i svojim tempom, nezavisno od tempa ostalih učenika u grupi (odjeljenju).  Naravno i prilikom upotrebe nastavnih listića nastavnik mora obilaziti sve učenike i ukazivati svakom od njih potrebnu pomoć, uz eventualna i dopunska objašnjenja na tabli. Pored samostalnog rada i individualnog tempa, upotrebom nastavnih listića postižu se, takođe individualizacija i ekonomičnost u pogledu sadržaja učenja, jer se s obzirom na raznovrsne nedostatke u znanju učenika, mogu istog časa svakom od njih dati oni nastavni listići čiji sadržaj odgovara uočenom nedostatku dotičnog učenika. 19.1.1.3. Praćenje rada učenika

Kao i u drugim vidovima nastavnoga rada, neophodno je obezbijediti stalno praćenje rada i napredovanje učenika na časovima dopunske nastave matematike. To se ostvaruje putem evidentiranja neophodnih podataka usmenih i  pismenih provjeravanja. 229

 Na časovima dopunske nastave, efikasnost učenja može se provjeriti i  pomoću tzv. kontrolnog nastavnog listića koji sadrži izbor važnijih zadataka iz  jedne nastavne jedinice ili teme, odnosno uobičajenom kontrolnom pismenom vježbom. Učenik treba da bude redovno informisan o svom radu. Neophodno je da se individualizacijom zahtjeva stvore takvi uslovi da svaki učenik postigne makar i mali uspjeh i da o tome dobije povratnu informaciju (pa i pohvalu,  poslije koje mu se može postaviti i nešto teži zahtjev). Ukoliko učenik nije savladao gradivo, u razgovoru s njim treba mu ukazati na to u čemu je napredovao, u čemu nije i da je potrebno da se s njim radi još izvjesno vrijeme. Učenika treba pratiti u svim aspektima njegovog rada i ponašanja; pri tome je značajno uspostaviti s njim prisnu saradnju a, takođe i s njegovim roditeljima.  Naročito su važni prvi časovi dopunske nastave. Od početka treba eliminisati izostajanje učenika (blagovremeno i odgovarajućim reagovanjem u svakom konkretnom slučaju). Pedagoškim djelovanjem učenik se mora „ubijediti“ da  prihvati pomoć koja mu se nudi kroz časove dopunske nastave; mora se motivisati za savlađivanje vlastitih teškoća (motivacija je neophodna za učenje) i uvjeriti da je to ostvario; on treba da osjeti nastavnikovu iskrenu želju da mu  pomogne.  Na časovima dopunske nastave iz matematike, takođe mora biti naglašena i vaspitna komponenta (izgrađivanje radnih navika i razvijanje osećaja odgovornosti u radu, motivacija za rad, socijalno prilagođavanje itd.). Što se tiče evidencije o dopunskoj nastavi iz matematike, najbolje je da se ona vodi u odeljenjskom dnevniku rada (to omogućava bolji uvid u rad i napredovanje učenika), a nastavnik treba da ima svesku (bilježnicu) u kojoj evidentira cjelokupan rad učenika. U okviru praćenja rada i uspjeha učenika na časovima dopunske nastave iz matematike; treba registrovati ime i prezime svakog učenika, najvažnije uzroke zaostajanja, sadržaje o radu učenika, važnije mjere koje su preduzete, održane časove dopunske nastave i njihov sadržaj, postignute rezultate. Kako se dopunska nastava organizuje s ciljem da učenici usvoje minimalna znanja iz odgovarajućih programskih sadržaja, postavlja se pitanje: šta je minimalni programski zahtjev, odnosno minimalno znanje. Možemo reći da je to znanje za prvu pozitivnu. 230

Koliko će dopunska nastava biti efikasna, najviše zavisi od nastavnika, njegovog stava i zainteresovanosti za svakog učenika, od pripremanja,  planiranja i uspješne realizacije svakog časa ove nastave. 19.2. Dodatna nastava

Ovo je poseban oblik nastave organiziran za učenike koji su savladali  program matematike u redovnoj nastavi i pokazuju izričite sklonosti i interese za matematiku, realizira se jedan sat sedmično i omogućuva svakom učeniku da se potpunije razvije prema individualnim sklonostima i interesima. Često takvi učenici žele nastaviti školovanje u školama i na fakultetima sa zahtjevnijim  programom ili smatraju da će im znanje iz matematike koristiti u drugim  područjima interesa (fizika, hemija, informatika). Takve učenike vodi i želja za osobnim dokazivanjem. Ovaj oblik nastave omogućuje svakom učeniku da se  potpunije razvije prema individualnim sklonostima i interesima. Osnovna škola dužna je organizirati uočavanje, školovanje, praćenje i poticanje darovitih učenika, te organizirati dodatni rad prema njihovim sklonostima, sposobnostima i interesima. Dodatnom nastavom produbljuju se i proširuju matematička znanja i podstiču

se daroviti učenici da maksimalno ispolje i razvijaju svoje matematičke sposobnosti. Za rad na dodatnoj nastavi neophodno je izvršiti organizaciono -tehničke i stručno - pedagoške pripreme. Identifikaciju učenika trebaju izvršiti nastavnici matematike u suradnji sa školskim pedagogom i psihologom. Dodatna nastava iz matematike može se organizirati i u kombinovanim grupama ili za učenike iz više škola. Sadržaje dodatne nastave treba temeljiti na sadržajima redovne nastave, što znači da će učenici proširiti i produbiti sadržaje iz svog okruženja. Ta će nastava omogućiti darovitim učenicima brže i temeljitije uvođenje u svijet znanosti. To će se postići ako učitelj pažljivo odabere sadržaje rada i predložiti ih učenicima. Samo sadržaji koje učenici prihvate, potaknut će ih na aktivnost. Dodatnu nastavu u osnovnoj školi možemo ustrojiti kao cjelodnevni boravak, na  posebnim satima redovne i dodatne nastave, izvannastavnim i izvanškolskim aktivnostima. U dodatnoj nastavi najčešće prevladava rad u skupinama, rad u  paru i individualni rad, dok je frontalni oblik rada vrlo rijedak. Diferencijacija zadataka uglavnom se provodi na tri razine:  iznadprosječne   prosječne 231



ispodprosječne učenike.

Dodatna nastava mora učenike zainteresirati i dodatno motivirati za učenje matematike. Jako je važno da se u dodatnu nastavu matematike, uz darovite učenike uključe i svi učenici koji su za nju zainteresirani, bez obzira na njihove objektivne (trenutne) mogućnosti. U dodatnu nastavu su često uključeni učenici koji iskazuju poseban talenat za matematiku – daroviti učenici. Oni se najčešće razlikuju prema brzini kojom uče, dubini razumijevanja i primjene te zanimanjem za matematiku. 19.2.1. Ciljevi i zadaci dodatne nastave matematike

Motiviranje učenika da se bave matematikom, da razvijaju matematičko mišljenje (prostorno predočavanje, logičko zaključivanje, uočavanje veza) i da uoče upotrebu matematike u svakodnevnom životu. Stjecanje šire obrazovne osnove potrebne za lakše razumijevanje i • usvajanje drugih sadržaja prirodnih i društvenih znanosti. Razvijanje smisla i potrebe za samostalnim radom, razvijanje • odgovornosti za rad, tačnosti, urednosti, sustavnosti, preciznosti, izgrađivanja znanstvenog stava. Omogućavanje pristupa različitim izvorima znanja. • Priprema za matematička natjecanja (intenzivan i ustrajan rad –  • rješavanje zadataka sa takmičenja.) Rješavanje težih, složenijih, pomno odabranih zadataka iz raznih zbirki namijenjenih talentiranim učenicima, zadataka iz časopisa te zadataka s prošlih općinskih, kantonalnih i državnih takmičenja. Rješavanje težih, složenijih, pomno odabranih zadataka iz raznih zbirki • namijenjenih darovitim učenicima, zadataka iz časopisa te zadataka s  prošlih gradskih, kantonalnih i državnih natjecanja. Rješavanje zadataka iz zabavne matematike (matematičke križaljke, • matematičke mozgalice ...). Za izvođenje dodatnog rada iz matematike  postoje propisani orijentacioni programi. S ciljem popularizacije matematike organiziraju se slobodne matematičke aktivnosti. •

U njih se uključuju svi učenici koji to žele, bez obzira na sposobnost i  postignuti uspjeh u nastavi matematike. Nastavnik daje učenicima sugestije za rad i pruža stručnu pomoć, a učenici sami određuju oblike, metode i sadržaje rada. Mogu se održavati različita interesantna predavanja, 232

razgovori, rješavanja zadataka, igre, praktični radovi, matematičke zanimljivosti i sl. kao i masovne manifestacije kao što su: kvizovi, izložbe, ekskurzije, učešće u izdavanju matematičke periodike, štampe i sl. Zadaća učitelja na dodatnoj nastavi je izmijeniti uobičajenu razrednu situaciju, u kojoj su sadržaji, metode i oblici rada prilagođeni prosječnoj većini u razredu. Učitelji i učenici očekuju da će im ti satovi biti najugodniji i najzanimljiviji jer:   Na dodatnoj nastavi su učenici prisutni dobrovoljno.  Broj učenika je manji nego na redovnoj nastavi pa je atmosfera opuštenija i komunikacija otvorenija.  Program dodatne nastave nije strogo propisan pa učitelj može nastavu  prilagoditi onome što učenike više zanima. 19.2.2. Matematička sekcija

Matematičke sekcije u školi su veoma korisne aktivnosti za razvijanje i održavanje interesovanja za učenje matematike. U pogledu slobodne matematičke aktivnosti učenika, može se naglasiti da se one organizuju prema mogućnostima škole, u vidu sekcije ili kluba. U takvoj sekciji ili klubu učestvuju svi učenici koji to žele , bez obzira na uspjeh i sposobnosti. Može se organizovati jedna sekcija u školi (za učenike iz svih razreda) ili nekoliko sekcija (po razredima ili drugim kombinacijama).  Najcjelishodnije je da na nivou škole postoji „učeničko društvo“ („Matematički klub“), koje će nositi ime nekog slavnog matematičara, s tim što će imati nekoliko sekcija (po razredima ili prema tematici rada). Mogu se osnivati i takvi klubovi koji objedinjavaju rad matematičkih sekcija iz više škola na nekom području. U sekciji , odnosno klubu sami učenici određuju oblike , metode rada i sadržaj na svojim sastancima (tematika u okviru date programske orijentacije),  pri čemu nastavnik, daje stručnu pomoć i sugestije za rad. Oblici rada , odnosno aktivnosti matematičkih sekcija (klubova) mogu  biti vrlo različiti. Pored redovnih sastanaka sa odgovarajućom tematikom (zanimljiva predavanja, razgovori - rasprave, rješavanje zadataka, matematičkih zanimljivosti, igara, praktičkih razgovora i dr.), mogu se organizovati i razne masovne manifestacije (matematičke večeri srazličitom tematikom, matematički kvizovi, matematičke konferencije i zborovi, izložbe o radu sekcije-kluba, matematičke eskurzije i sl.), izdavanje zidnih matematičnih novina i slično. O radu sekcije (kluba) treba voditi odgovarajuću dokumentaciju (planovi rada, zapisnici o sastancima sekcija, pravilnik o radu sekcije i dr.). 233

U nekim metodskim priručnicima stoji da ako u školi ima veći broj učenika za članstvo u matematičkoj sekciji, rad se može organizovati po aktivima, pri čemu aktiv čine učenici jednog ili dva razreda. U tom slučaju, dio programa matematičke sekcije može biti prilagođen aktivima. Sekcijom treba da rukovode učenici izabrani na prvom radnom sastanku na  početku školske godine, a nastavnik zadužen za rad sekcije pruža pomoć i  pravilno usmjerava aktivnosti oko ostvarivanja programa. Jednostavna pitanja (teme) iz programa rada sekcije treba da obrade i izlažu učenici-članovi sekcije. 19.3. Slobodne matematičke aktivnosti

U pogledu slobodne matematičke aktivnosti učenika, može se naglasiti da se one organizuju prema mogućnostima škole, u vidu sekcije ili kluba.  Navest ćemo izbor tema za sadržaj rada u matematičkim sekcijama (klubovima) u višim razredima: -sve o nuli, -sve o jedinici, -brojevni sistemi (pisanje brojeva i operacije). -Arhimedovo stvaralaštvo i anegdote, -neka značajna drevna otkrića u matematici -izdavanje matematičkih zidnih novina koje mogu sadržavati: matematičke rebuse, magične kvadrate, rješenja nekog problema, članke. -veliki i mali brojevi, -pogađanje zamišljenog broja, -racionalni postupci u računanju, - neke geometrijske zanimljivosti, - sabiranje neparnih i uzastopnih brojeva uz ilustraciju slikama, - matematički kviz znanja. Savremna iskustva su pokazala da u nastavi matematike postoji još mnogo oblika rada koji podstiču učenike na intenzivnije učenje. Isto tako značajno je da se izvan toga učenici zainteresuju za matematiku u slobodnom vremenu. Naime, postoje mogućnosti za organizovanje niza zanimljivih matematičkih aktivnosti u kojima se učenici angažuju. U nekim stranim zemljama u tom smislu vrlo su popularne matematičke večeri. One se obično održavaju dva do tri puta godišnje. 234

Matematičke večeri može prirediti jedna škola, a mogu se organizovati i pri školskim centrima. Na njima se održavaju izvjesna zanimljiva predavanja iz historije matematikekako je postala neka teorija, ili se daje biografija nekog velikog matematičra, fizičara itd.  Na tim večerima se organizuje i zabavni dio sa matematičkom materijom u kojem se izrađuju zanimljivi zadaci iz matematike. Prema tome možemo reći da: -Slobdne aktivnosti učenika preko matematičke sekcije(kluba) imaju veliki

obrazovno-vaspitni i društveni značaj za razvoj učenove ličnosti u školi. -Velika je potreba učenika i nastavnika da se u svim sredinama organizuju matematički klubovi (sekcije), preko kojih će da se na jedan zabavan način vršiti popularizacija matematike kao predmeta kod učenika u školi, - Svaki vid okupljanja djece u sekcijama (klubu) treba podržavati i podsticati od strane škola, roditelja i sredine - naročito njihova zabavno šaljiva takmičenja  preko matematičkih kvizova u školama i matematičkih „večeri“ u samoj društvenoj sredini, -  Nastavnicima matematike i učenicima treba obezbijediti dovoljno literature, matematičko popularnih i zabavnih časopisa za organizaciju svih oblika rada mladih matematičara i učenika koji vole matematiku. - U školama i društvenoj sredini učenicima i nastavnicima treba obezbijediti i adekvatne nagrade za njihov trud i zalaganje da se djeca u školi druže i tako opredijele kroz matematičke igre za jedan zdrav oblik odrastanja i života. Matematika je svuda oko nas, i roditelj može to isticati djetetu kad god  je moguće. Neki članci iz novina u kojima se pojavljuju aritmetički ili geometrijski pojmovi također mogu biti sredstvo poticanja matematičke radoznalosti i razgovora s djetetom.Roditelj se može igrati s djetetom matematičkih igara. Danas postoje i razni softweri za učenje matematike koji mogu djetetu pomoći. Vannastavne aktivnosti su važan segment života i rada u školi. Osnovno su obilježje savremene škole. U vannastavnim aktivnostima moguće  je prepoznati sklonosti djeteta prije nego na nastavnom času. 20. NASTAVNA TEHNOLOGIJA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE  Nedavno sam od jedne učiteljice slušao predavanje o učionici s računarom, moji učenici su navikli na okruženje u kojem je JEDAN računar?! 235

To je daleko od filozofije web 2.0 alata, to je tačnije prapočetak….i još uvijek nisam ni u tom filmu. Tako izgleda i naša nastavna tehnologija u razredima. Teško je  pokrenuti dvd film na računaru, ako ne znamo spojiti projektor i računar, pa još i zvučnike… Vraćam se na 3.dio ovih mojih razmišljanja. Igra je ona koja djecu dovodi do automatizacije sadržaja. Flash igrice, igre izrađene u hot potatosu ili igre natjecanja u power pointu sasvim je svejedno, igramo do pobjednika, igramo računajući, brzo i točno. Programi matematike oskudni su s igrom. Za ostale predmete i sami uočavate koliko ima mogućnosti. Za sve ovo potrebno nam je nužno bolja opremljenost i bolja edukacija. I ne samo na papiru, ne samo teorijska, već stvarna, ne staro donirano računalo bez veze na Internet na kojem se jedino soliter može igrati. Opremiti u svakoj školi  barem 4-5 učionica s projektorom na plafonu, računalom sa stalnom vezom i dopustiti školi da imaju vlastiti prostor za pohranu dokumenata, za dijeljenje i suradnju (vlastita mrežna suradnja).  Naravno da će biti učitelja koji to neće koristiti, koji će odbiti, ali i njih će vrijeme natjerati da svakim danom korak po korak nauče nešto. Okruženi ljudima koji tako rade i sami će nešto naučiti (ja se uvijek nadam), prisilom nećemo dobiti ništa jedino možda pasivne učitelje koji će samo mrgoditi se i ljutiti na cijeli svijet, a posebno na nemirne i žive generacije. 20.1. Nastavne metode

Odlazi u istoriju predavanje, frontalna nastava cijeli sat i nastava gdje je sve usmjereno nekom idealnom učeniku. Ideala nema. Moramo biti usmjereni svim učenicima. Činjenica je da industrijalizacija dovela do nedostatka vremena i smanjenog uticaja obitelji i obiteljskog odgoja. Sada učenik traži interakciju, u dijalogu sa učiteljem, traži hipervezu, traži poveznice, traži da se obratimo samo njemu. U nastavne metode ulaze nove metode istraživanja, povezivanja, dijeljenja i suradnje na online način. Prije nego krenemo tako prema učenicima trebalo bi te metode razvijati i među učiteljima. Sve više ćemo imati učenika koji iz nekog razloge ne mogu pohađati nastavu. Morat ćemo naučiti održati sat ili temu pred kamerama, istovremeno koristeći neku prezentaciju ili pomičnu sliku. Morat ćemo poslati zadatke na otok, pa nakon toga tražiti povratnu informaciju i vrednovati to, a za to zastarjele metode odavno nemaju smisla. 236

Znate li da je jedno od najvećih novih tržišta APP edukativni programi za mobitele? Što je to….to su edukativni programi predškole i škole koji se nalaze na „pametnim“ telefonima. Imamo li uopće metode kako to iskoristiti u radu i može li jedan pametan telefon za cijeli razred biti od koristi? Tako npr. u jednom razredu se pokazalo da može (umanjeni prikaz, koristili google maps na androidu, povezali s likovnim, povezali s matematikom (umanjeno mjerilo)), ali nastavni sat je trajao skoro 3 sata jer je učitelj tražio da svaki učenik vidi. I tokom cijelog dana učitelj se pitao koje su to nastavne metode…dodirni, raširi, uoči, poveži…znate li im ime ? Savremena nastava matematike prati razvoj tehnologije, te nastoji da u obrazovni proces uvede nova nastavna sredstva kako bi se učenicima približila matematika. Upotreba računara u nastavi bez sumnje predstavlja novinu u učenju i kreativno se upotrebljava u kontekstu učenja na različite načine, za motivaciju učenika, da bi se poboljšalo razumijevanje, otkrivanje i usvajanje matematičkih pojmova, pojava i zakonitosti. U vrijeme velikih kurikulumskih promjena, ne samo u Bosni i Hercegovini, nego i u svijetu, kada se pišu novi standardi i mijenjaju programi stari decenijama, treba dobro razmisliti kakva bi trebala biti nastava matematike u današnjem vremenu. Svjetska istraživanja i studije iz područja metodike nastave matematike donose važne zaključke o tom pitanju. Ti zaključci utječu na promjene kurikuluma u zemljama u kojima ti stručnjaci djeluju. Uz promjene u društvu u kojem živimo mijenja se i sistem obrazovanja, a u promjenama sistema obrazovanja, naravno, nije pošteđena ni nastava matematike. Zapravo, ne samo da svjedočimo novim situacijama u nastavi matematike, već se i sama matematika kao znanstvena disciplina uveliko razvila od svojih početaka. Iako začeci današnje matematike sežu još u stari Egipat i Babilon, tada  je matematika uglavnom bila shvaćena kao isključivo primijenjena disciplina,  primjerice, kroz korisne formule za volumene poznatih tijela i sl.. Nastavna tehnologija je tehnika s ugrađenim sadržajem obrazovanja i specifičnom didaktičkom funkcijom poučavanja i učenja (npr. računar opremljen  programskom potporom za učenje). 20. 2.

Računar u nastavi matematike

Eksperimentalan rad u nastavi matematike posebno može doći do izražaja prilikom upotrebe računara u nastavi matematike. Mnogo je mogućnosti za eksperimentalnu primjenu računara u nastavi matematike. Za modele i simulacije često se koriste razni interaktivni alati (Flash, web alati i sl.), ali i softveri dinamične geometrije. 237

Eksperimentalan rad se, primjerice, može provoditi za ispitivanje svojstava funkcija kroz promjene raznih parametara, pri čemu se promatraju  promjene na grafu i donose zaključci. Tako se mogu istraživati karakteristike  poput monotonosti funkcija, zatim simetričnosti, karakterističnih tačaka i sl.  Naprimjer, učenik može uspješno eksperimentirati s interaktivnim materijalom o jednačini pravca i grafu linearne funkcije. Razmatrajući medijumsku pomoć u nastavnom procesu koji je  potpomognut računarom, uočavamo da taj medium nije prvenstveno sam računar, već obrazovni računarski softver. U okviru informatičkih tehnologija u obrazovanju, jedan od trenutno najznačajnijih, ali i najkompleksnijih puteva, koji bi mogli da ostvare naprednije, željene ciljeve u nastavi, vodi linijom  primjene obrazovnih računarskih softvera. Pod primjenom računara u nastavi matematike podrazumijeva se edukativno korištenje računara sa specijaliziranom matematičkom računarskom  podrškom u nastavi. Spomenuta specijalizirana softverska podrška odnosi se na one programe koji podržavaju jedan ili više matematičkih prikaza (grafičkih, simboličkih, tabelarnih). To su npr.razni programi dinamične geometrije, tablični kalkulatori, grafički alati te sistemi računarske algebre (eng. Computer  Algebra System, skraćeno CAS). Uz spomenute postoji još niz raznih programa koji se koriste u nastavi matematike, nazovimo ih uopšte interaktivnim alatima. Computer algebra system (CAS) je program koji podržava prikaz i manipulaciju sa simboličkim matematičkim izrazima. Najčešće takvi sistemi, uz simbolički, imaju i mogućnost grafičkog i tabličnog prikaza te je lako prebacivati iz jednog u drugi prikaz. Grafički alati su specijalizirani programi za dvodimenzionalne i trodimenzionalne prikaze funkcija i geometrijskih objekata. Tablični kalkulatori su programi koji računaju i prikazuju rezultate u obliku tablice. U interaktivne alate spada niz međusobno različitih programa, a zajednička karakteristika im je svima da su to programi široke namjene kojima se mogu izraditi sadržaji za učenje bilo koje tematike, pa tako i matematike. Računar  daje matematici jednu posebnu dimenziju ljepote zbog koje nam matematika može biti još draža. Interaktivni obrazovni materijali daju šansu nastavi matematike da bude daleko više istraživačka. Nastavna tehnologija obuhvata teoriju i praksu  planiranja, realiziranja, vođenja, vrednovanja i usavršavanja procesa učenja i resursa za učenje. 20.3. Resursi za učenje: Medij

238

Medij (lat. medium) je kanal komunikacije između izvora informacije i  prijemnika (učenika). Informacija je pohranjena na različitim formatima medija.  Nastavnik je personalni medij. Medij: -Mediji bez projiciranja; (Realni objekti, modeli, stručne ekskurzije, štampani materijali, školske table, flip-karte) -Mediji za projiciranje; (projekcija grafofolija, slajdova, filmske trake, digitalne slike) -Audio; (audio kasete, kompakt-diskovi, audio plejeri) -Video; (videokaseta, video disk, digitalni video, video projektori) -Računari; (alat u nastavi, nastavno sredstvo, sredstvo za razvijanje logičkog mišljenja) -Multimediji bazirani na računaru; -Računarske mreže; -Učenje na daljinu; 20.4. Potencijali računara u nastavi matematike

Koje su to posebne mogućnosti i potencijali primjene računara u nastavi matematike? U kojim je to trenucima i aspektima posebno važno korisno koristiti računar u nastavi matematike, a u kojima je bolje primijeniti nastavu s tradicionalnim sredstvima? Odgovori na ova pitanja su sljedeći koje nudi upotreba CAS-a u nastavi matematike: -Različiti oblici prikazivanja (tj.direktna dostupnost različitih oblika  prikazivanja matematičkih sadržaja, te lagano prebacivanje iz jednog oblika u drugi, npr.iz simboličkog u grafički i sl.); -Eksperimentalni rad (tj. mogućnost da učenici samostalno kroz eksperimentiranje dođu do novih spoznaja, ideja i rješenja problema); -Elementariziranje matematičkih postupaka (tj. upotreba računara omogućuje korištenje elementarnih metoda koje su bile napuštene zbog zahtjevnih računanja); -Modularitet (tj. sposobnost direktnog pozivanja naredbi, bez zamaranja s koracima algoritma i postupcima izračuna)

20.5. Kako koristiti računar u nastavi matematike

239

U interakciji na relaciji učenik-sadržaj-nastavnik treba uključiti i računar  uz odgovarajuću softversku podršku. Kredu i ploču, bilježnicu i olovku, udžbenik i zbirku, kalkulator i lenijar učenici mogu imati na jednom mjestu - u računaru. Promišljena upotreba računara može dati kvalitetan skok u učenju i  podučavanju matematike. Ovdje prvenstveno mislimo na iskustveno učenje, otkrivanje odnosa između objekata, te za rješavanje problema kojima su u središtu zanimanja matematičke ideje, a ne računanje. 20.6. Kada, kako i koliko koristiti računar u nastavi?

-Nastavnik može koristiti kratke dinamičke demonstracije u frontalnoj nastavi; -U informatičkoj učionici učenici, svaki za svojim računarom ili u paru, rade na interaktivnim zapletima, a nastavnik prati i diskretno usmjerava njihov rad; - Učenici potpuno samostalno rade na online sadržajima i pri tome su vremenski neograničeni. Ciljevi korištenja računara u nastavi matematike: -osposobljavanje učenika za samostalan rad; -eksperimentiranje; -razvijanje logičkog i kritičkog mišljenja; -uvježbavanje matematičkih vještina. 20.7. Štetna strana tehnologije

Na Internetu se nalaze sadržaji za različite vrste korisnika, a neki mogu  biti štetni za djecu i mlade. Osim stranica neprimjerenog sadržaja i ekstremno agresivnih igara, problem su i virusi, „spam“, krađa identiteta i dr. Također, sve veći problem je upotreba tehnologije, posebno mobilnih telefona i Interneta, za zlostavljanje drugih, tzv. cyberbulling. Profesor mora zaštiti svoje učenike  pravilnim odabirom sadržaja, ali isto tako ih i naučiti da sami budu svjesni novih opasnosti. Teme sigurnog korištenja Interneta su izvrsno obrađene na više mrežnih stranica koje obiluju savjetima u atraktivnim formatima: kvizovima, lekcijama, interaktivnim sadržajima raznih vrsta za učenike, profesore i roditelje.

240

21.

NASTAVNA SREDSTVA I NASTAVNA POMAGALA

241

 Nastavna sredstva – didaktički oblikovana izvorna stvarnost koja omogućuje pristupačnije učenikovo spoznavanje tokom nastavnog  procesa.  Nastavna pomagala – pomažu u korištenju, predstavljanju nastavnih sredstava u nastavnom procesu. 21.1. Podjela nastavnih sredstava

Prema značajkama rada u nastavi:  demonstracijska – slike, karte, crteži, sheme, grafikoni, dijagrami, reljefi, modeli, dijapozitivi, dijafilmovi, filmovi, kompjutori; 

nastavno-radna – udžbenici, priručnici, rječnici, radne mape, radne bilježnice, dnevnici rada, enciklopedije;



laboratrijsko-eksperimentalna – odnose se na različite aparate i uređaje pomoću kojih se proučavaju prirodne zakonitosti, svojstva materijala, provode mjerenja i dr.

 

manipulativna – alati, pribor  operativna – strojevi i aparati za proučavanje procesa  proizvodnje;



 proizvodna – strojevi i alati za proizvodni rad.

Prema načinu kako učenici percipiraju stvarnost : auditivna vizuelna audiovizuelna S obzirom na dimenzije nastavnih sredstava : dvodimenzionalna trodimenzionalna S obzirom na način prikazivanja pojava : statična o o o

o o

o o

dinamična

21.2. Vizuelna nastavna sredstva 242

U najčešće korištena vizuelna nastavna sredstva ubrajamo: uzorke iz okoliša, zbirke, preparate, fosile, modele, makete, reljefe, crteže, slike (nastavne, umjetničke, fotografije, aplikacije), dijapozitive, dijafilomove, element-filmove, grafička sredstva (skice, planove, zemljovide, kalendare  prirode, tablice, vremenske trake, sheme, dijagrame, grafikone), prozirnice, knjige, raznovrsne materijale za didaktičke igre, itd.  Nastavnikova zadaća je da osigura što bogatiji izvor neposrednih iskustava, koja su temelj svakog spoznavanja, mišljenja i zauzimanja stavova. Upotreba vizuelnih nastavnih sredstava temelji se na činjenici da su ona manje apstraktna od riječi. Pravilna upotreba vizuelnih sredstva pozitivno utječe na kvantitetu, kvalitetu, trajnost znanja i razvitak učeničkih sposobnosti.  Nastavnik će u svojoj pripremi za neposredno izvođenje nastave, među ostalim,  predvidjeti kojim će se vizuelnim nastavnim sredstvima koristiti, kada će ih upotrijebiti i kako će ih pokazati. Temeljno je pravilo u upotrebi vizuelnih nastavnih sredstava da se pokažu tako da ih svi učenici dobro vide, kako bi ih mogli detaljno posmatrati i iskoristiti u procesu spoznavanja. 21.3. Trodimenzionalna vizuelna nastavna sredstva

 Najčešća su: uzorci iz učenikova okruženja – su predmeti i prirodnine ili njihovi dijelovi tipični za određenu skupinu predmeta ili prirodnina. Uzorci iz okoliša: stijene, vrste tla, rude, goriva, minerali; biljke u herbariju ili njihovi dijelovi, suhi i mokri preparati životinja (kukci, ribe, mali sisavci, ptice...) ili njihovi dijelovi. Modeli, makete i reljefi su vjerne kopije objekata iz stvarnosti i ujedno vrijedni izvori znanja u nastavi. Oni su trodimenzionalni prikazi prirodnina koji se mogu lako prepoznati. Mogu biti manji ili veći od prirodnina, izrađeni su u veličini  pogodnoj za promatranje, često prikazuju unutrašnjost koje se obično ne mogu vidjeti. S njih su nevažni dijelovi uklonjeni, tako da se najvažniji mogu lakše uočiti. Pritom se koriste boja i tekstura radi isticanja pojedinih značajki. Razlikujemo: obične modele (uvećane ili umanjene imitacije prirodnina), montažne (mogu se rasklopiti i opet sklopiti) i presječne modele (prikazuju presjeke prirodnina).  Najkorisniji su montažni modeli; makete možemo koristiti u početnim razredima osnovne škole, ali i kasnije u zemljopisu, povijesti, fizici, kemiji; reljefi – zavičaja, kantona. Vizuelna trodimenzionalna nastavna sredstva upotrebljavamo u nastavi uvijek kad njihova upotreba osigurava najbolje usvajanje gradiva. 243

Pri upotrebi u nastavnom procesu trebamo nastavno sredstvo pokazati u vrijeme obrađivanja, a ne prije ili kasnije; model uz razne druge materijale trebaju vidjeti svi učenici te njima neposredno rukovati kad god je to moguće. 21.4. Dvodimenzionalna vizuelna nastavna sredstva sredstva

Slik Slikaa – na najč jčeš ešćće dv dvod odim imen enzziona ionaln lnoo sre sredstv dstvoo u na nasstavi tavi ali i u svakodnevnom životu: dnevni tisak, učenički časopisi, knjige, propagandne  poruke, ilustracije. Slika ima nekoliko komunikativnih značajki: ona je «mirno» vizualno sredstvo koje ko je može nagovijestiti pokret, istaknuti glavnu ideju i impresiju, može se koristiti za spoznavanje pojedinosti ili cjelovitog prikaza nastavne građe. 21.4.1. Neka didaktička pravila prilikom odabira i pokazivanja slika

Sliku treba pokazati kako bi je svi učenici dobro vidjeli, dovoljno dugo izložiti da bi je učenici mogli pozorno promotriti i na njoj bitno uočiti, polazeći od cjelovitog prikaza na slici, ide se prema detaljima, da bi se ponovno završilo s cjelovitim prikazom. Voditi računa o važnosti umjetničke i didaktičke slike kvalitete, boje, jasnoće, veličine i zanimljivosti slike. 1. Fotografije - česta česta upotreba upotreba u nastavi; nastavi; tematski albumi (spomenici kulture u zavičaju i/ili BIH, prirodne zanimljivosti zavičaja i/ili BIH, izleti, ekskurzije itd.). Aplikacije - vrlo važno nastavno sredstvo. Izrađuju se kao male sličice ali se kao aplikacije mogu koristiti i pojedine prirodnine, kao i fotografije. Na školsku  ploču pričvršćuju se pomoću magneta čime se cjelina postupno popunjava, što  privlači pozornost učenika jer se prikaz postupno razvija. 2. Mirn Mirnaa proj projek ekci cija ja omog omoguć ućav avaa zaje zajedn dnič ičko ko prom promat atra ranj njee po poje jedi dina načn čnog og ilustrativnog materijala onoliko dugo koliko to zadaci nastave zahtijevaju. Postoj Pos tojee različ različite ite mirne mirne projekc projekcije ije:: epiproj epiprojekc ekcije ije,, projek projekcij cijee dijafi dijafilmo lmova va i dijapozitiva, grafoprojekcije, powerpoint projekcije itd. 3. Graf Grafič ička ka sred sredst stva va - mate materi rija jalili ko kojiji pren prenos osee činj činjen enic icee i idej idejee po pomo moću ću kombinacija crteža, riječi i slika. Ona su posebice pogodna za prikaz poruka u skraćenom, preglednom obliku, za prikazivanje brojčanih podataka i određenih 244

apstra apst rakc kcijijaa, (she (sheme me,, dija dijagr gram ami,i, graf grafik ikon oni,i, skic skice, e, plan planov ovi,i, zemlj emljov ovid idi,i, zemljopisne karte, tablice, vremenske trake itd.) te za ilustraciju odnosa. 4. Dinamička Dinamička projekcija omogućava učenicima zajedničko zajedničko promatranje promatranje slika u kretanju. Nastavno sredstvo kojim uspješno koristimo dinamičnu projekciju u nastavi je element - film. Element film obično sadrži samo jedan dio sadržaja, a rjeđe sažetak bitnih činjenica jedne nastavne jedinice ili teme te se obično ugrađuje u strukturu sata kao jedan element te strukture. Element film je kratak i obično traje od tri do četiri minute. On je nijem tako da nastavnik na temelju  popratnog štampanog uputstva osmišljava i stvara svoj komentar,  prilagođavajući ga svojim učenicima. Element film se temelji na slici u pokretu (vizuelnoj komponenti). 21.5. Tekstualna nastavna sredstva

Tekstu Tekstualn alnaa nastav nastavna na sredst sredstva va obuhvać obuhvaćaju aju tiskan tiskanee materi materijal jale, e, a to su: udžben udžbenic ici,i, priru priručn čnic ici,i, član članci ci,, atla atlasi si,, čita čitanke nke,, zb zbir irke ke zadat zadatak aka, a, leks leksik ikoni oni,, enciklopedije, i dr. Udžbenik je jedan od najraširenijih izvora znanja u školi. Možemo ga najjednosta najjednostavnije vnije odrediti odrediti kao knji knjigu gu u kojo kojojj je na pose posebn bnaa nači načinn prem premaa  pedagoškim, psihološkim, didaktičkim i metodičkim načelima prerađena  pojedina znanost ili struka i prilagođena izobrazbi svih subjekata u Suvremeni udžbenik bi trebao trebao voditi učenike do otkrivanja otkrivanja novih obrazovanju. Suvremeni spoznaja i prestao biti samo «knjiga za učenje» i postati «knjiga koja uči učiti».

Priručnik za nastavnike zaokružuje tekstualna nastavna sredstva za nastavu bilo kojeg predmeta. Prvenstveno je namijenjen nastavnicima, koji mu pomaže u godišnjem planiranju rada, iako ga često koriste i mnogi roditelji. On najčešće sadrži: -

određivanje zadaća nastave pojedinog predmeta (povijesti, bosanskog, talijanskog itd.) u pojedinom razredu; sadržaje nastavnih cjelina, tema i jedinica; temeljne pojmove koje učenici trebaju spoznati; dodatne poruke nastavnicima. 21.6. Auditivna nastavna sredstva

245

U nastavi auditivna nastavna sredstva nemaju tako važno mjesto kao vizu vizuel elna na.. Izuz Izuzme memo mo li nastavni adaa u tu sku kupi pinu nu ub ubra raja jamo mo nastavnikovu kovu riječ  tad radioemisije, kasete, CD itd. Audiozapis omogućava reproduciranje tonova iz prirodnog i društvenog učenikovog okruženja pomoću kasetofona i/li kompjutera. Zbog jednostavnosti rukovanja ti se zapisi često koriste uz istodobno pokazivanje nekoga vizuelnog nastavnog sredstva. 21.7. Živa riječ

Živa riječ bila je temeljni izvor znanja u tradicionalnoj školi. Nastavnik je najče najčešće šće usmeni usmenim m izlaga izlaganje njem, m, predava predavanje njem, m, preprič prepričava avaoo svoja svoja iskust iskustva va i odgovarajuće sadržaje koje su učenici trebali usvojiti. Živa riječ učenika u nastavi zauzima istaknuto mjesto. Smisao učenikova izlaganja izlaganja ne sastoji se od toga da pokažu nastavniku koliko znaju, već da svoje iskustvo i spoznaje ispričaju drugima. Na taj način učenici vježbaju u izlaganju svog iskustva, ali i u slušanju i razumijevanju svojih vršnjaka. Učenici će slobodnije i sigurnije nastupiti u svom izlaganju ako nastavnik: - izbjegne ispitno ozračje tokom izlaganja učenika - najavi učenika kao dobrog poznavatelja p oznavatelja teme - zamoli učenike da se kod kuće pripreme za izlaganje - ustroji stalne mjesečne izvještaje učenika o malim zanimljivostima koje su učenici spoznali u posljednje vrijeme. Živa Živa riječ riječ drugih drugih ljudi ljudi je povreme povremeni ni izvor izvor znanja znanja (povjes (povjesnič ničar, ar, glumac glumac,, književnik, glazbenik, operni pjevač i sl.). Također, treba još pomenuti i ljude koji koji učenic učenicima ima govore govore za njihov njihovaa posjet posjetaa u ustanov ustanovama ama kao u muzeji muzejima, ma, izložbama, pozorištima, itd. 21.8. Audiovizuelna nastavna sredstva

Sam naziv audiovizuelna nastavna sredstva govori da se za njihovo percipiranje istodob istodobno no koriste koriste osjet osjetila ila za vid i sluh, te osigura osigurava va bogatij bogatijaa i učinkov učinkoviti itija ja komunikacija od upotrebe samo jednog osjetila. Savremena audiovizuelna nastavna sredstva jesu: nastavni film, obrazovna televizija, videokasete i CD.  Nastavnim ili školskim filmom smatramo film specijalno izrađen za nastavu i usklađen s nastavnim programom, osobinama učenika s obzirom na dob i općim didaktičkim i metodičkim zahtjevima. Prednosti filma su: 246

dinamičan je, poistovjećuje učenika sa stvarnom situacijom na filmu, dokument  je događaja ili pojave; može pokazati prošlost, sadašnjost i budućnost; povećava ili smanjuje veličinu predmeta itd. Za njeg njegov ovoo uspj uspješ ešno no prez prezen entitira ranj njee u na nast stav avii va važn žnoo je vo vodi dititi raču računa na o meto metodič dički kim m upu uputa tama ma.. Nasta Nastavn vnik ik mora mora prije prije sveg svegaa sam sam vidj vidjet etii film film.. Prij Prijee gledanja u razredu učenicima dati osnovne informacije o filmu: naslov filma, vrijeme trajanja, obraditi nepoznate riječi itd. Također, učenike treba upozoriti na što valja obratiti pozornost na filmu.  Nakon projekcije filma, vodi se rasprava, a ukoliko je potrebno mogu se  prikazati pojedini dijelovi filma, posebno one dijelove koji su ostavili poseban dojam na učenika ili koji su ostali nejasni i nerazumljivi. Isti metodički postupak vrijedi i za videokasete i CD. 21.8.1. Obrazovna televizija – televizijske emisije

Mogućnosti televizije kao audiovizuelnog nastavnog sredstva vrlo su velike. Važna Važna je njen njenaa uloga uloga ka kaoo sred sredst stva va za pribl približ ižav avan anje je stva stvarno rnost stii koja koja nije nije dostupna. Danas se televizijske emisije isto mogu snimiti na videokasete te se u nastavnom procesu mogu projicirati prema potrebi. Pri primjeni obrazovnih emisija u nastavi zapažene su ove etape:  pripremanje učenika – nastavnik usmjerava pozornost učenika na najvažnije dijelove, objašnjava pojedine pojmove vodeći računa o predznanju predzn anju učenika;  praćenje emisije – učenici pažljivo prate emisiju; raščlanjivanje emisije – nastavnik provjerava koliko su razumjeli emisiju i zadaje im pojedine zadatke; uopćavanje gradiva – odnosi se na sažimanju, smišljenom spajanju i sređivanju  pojedinih podataka u skladnu cjelinu; samostalni rad učenika – ogleda se u rješavanju pojedinih zadanih zadataka u nastavi ali i za domaću zadaću. 21.9. Nastavna pomagala

U nastavna nastavna pomagala pomagala ubrajamo ubrajamo materijal materijale, e, oruđa, uređaje, uređaje, aparate aparate i drugo, što  pomažu upotrebu nastavnih sredstava. sredstava . Nastavna pomagala p omagala kojima se služimo u školi možemo prema složenosti podijeliti na: pribor za pisanje, pribor za crtanje, eksp ek speerime riment ntaalna lna po poma maga gala la,, inst instru rume ment nti,i, ap apar arat ate, e, elek elektr tron onsk skee uređ uređaaje, je, demonstracijska pomagala.

9.1. Koja je razlika između nastavnih sredstava i pomagala? 247

 Nastavna sredstva su izvori znanja, objekt spoznavanja, sadržaj poruke koju  posredujemo učenicima pomoću nastavnih pomagala. 21.10. Obrazovna tehnologija

Obrazovna tehnologija umrežava najmanje tri sastavnice:  nastavna sredstva,  nastavna pomagala i postupke,  načine ustrojavanja nastave.  Nastavna tehnologija nastoji odgovoriti na pitanja kako primjenjujemo nastavna sredstva i pomagala u procesu učenja i razvitka učeničkih sposobnosti. Savr Sa vrem emen enaa obraz obrazovn ovnaa tehno tehnolo logi gija ja inte integri grira ra savr savrem emeno eno kon konci cipi pira rann  program učenja (softwer) i tehniku (hardwer) putem koje program postaje dostupan učeniku. Progr Program am inte integri grira ra na nast stavn avnoo gradi gradivo, vo, izvor izvoree zn znan anja ja – medi medije je,, ko kojiji omogućavaju dvosmjernost komunikacije, sustav zadataka kojima potičemo aktitivno ak vnost stii uč učeni enika ka i tok tok uč učen enja ja,, te inst instrum rumen entt po pomoć moćuu ko koje jegg vred vrednuj nujem emoo ostvarivanje programa. Elek Elektr tron onsk skaa uč učio ioni nica ca je po pose sebn bnaa uč učio ioni nicca na ko koju ju se tehn tehnič ički kim m uređajima pokušavaju prenijeti neki nastavnikovi zadaci, kao: o o o o

obrađivanje (izlaganje, informiranje), informiranje),  ponavljanje,  ponavljanje, vježbanje, i  provjeravanje  provjeravanje nastavnog gradiva. gradiva.

 Na žalost, elektronska učionica nije naišla na široku primjenu u našim školama jer je dosta skupa, zahtijeva izradu kvalitetnog programa i dodatno tehničko osposobljavanje nastavnika, a pojavila su se i nova jeftinija rješenja  poput kompjuterske tehnologije.  Nastavna sredstva su didaktički oblikovana izvorna stvarnost. Nastavna  pomagala su oruđa za rad u nastavi matematike. Terminom nastavna sredstva i  pomagala označavaju se najrazličitiji materijalni objekti koji se koriste pri učenju i poučavanju u pojedinom nastavnom predmetu. Upotreba nastavnih sredstava ovisi od stepena i kvaliteta intelektualne razvijenosti učenika kojima su namijenjena. Učenje je uspješnije ako se ostvaruje s više komponenata za  primanje informacija. Psihološka istraživanja pokazuju da se najveći broj informacija prima vizuelnom komponentom, približno 80%, te da d a su za učenje u školi najvažnije dvije komponente: vizuelna i auditivna. To je osobito važno za PNM čije gradivo ne obiluje vizuelnim obilježijima. Vizuelna komponenta se 248

ostva ostvaruj rujee upo upotr treb ebom om na nast stav avnih nih sreds sredsta tava va i pomaga pomagala la,, au audi dititivna vna na najč jčeš ešće će izla izlaga ganj njem em na nast stav avni nika ka,, učeni učenika ka ili ili na nast stav avni nihh pomag pomagal ala. a. Kada Kada je rije riječč o vizuelnom predočavanju u PNM treba razlikovati sadržaj vizuelnog prikaza od sadržaja učenja.  Npr. Sadržaj vizuelnog prikazivanja su npr. jednakobrojni skupovi (sastavljeni od različitih predmeta), a sadržaj učenja su prirodni brojevi. Sadržaji vizuelnog  prikazivanja usvajaju se osjetilnim (promatranje), a sadržaji pojmova racionalnim spoznavanjem (mišljenje). Nastavna sredstva i pomagala moraju  poticati i unaprjeđivati učenikovo mišljenje; perceptivni podaci stečeni  promatranjem podloga su učenikovom mišljenju. Ona su samo nužna pomoć koja se koristi dok je potrebna. Za potrebe PNM postoje različita nastavna sredstva i pomagala koja se obično dijele na: 1) prirod prirodna na – sreds sredstv tvaa i pomaga pomagala la iz neposr neposred edne ne okoline okoline ili ili ona koja koja se neznatnim preoblikovanjem podešavaju nastavnim potrebama;  Npr. Predmeti iz neposredne okoline (klupe, stolice, kreda i sl. - sredstva),  predmeti koje učenici posjeduju (kuglice, sličice, štapići, plodovi iz okoline, knjige, olovke, gumice i sl. - pomagala) 2) umjetna – sredstva i po poma maga galla ko kojja su u svrhu uč učeenja nja pose osebn bnoo konstruirana i proizvedena;  Npr. sredstva: plastične pločice (trouglovi, kvadrati, kvadr ati, krugovi), žetoni (različitih  boja i oblika), modeli geometrijskih likova, razna mjerila (za mjerenje dužine,  površine, mase, volumena, vremena), grafička sredstva (crteži, slike, brojne slik slike) e),, ge geop opla lan, n, štap štapić ićii u boji boji („bro („broje jevi vi u boji“ boji“), ), razl različ ičititee ap aplilika kaci cije je za magnetograf, logički blokovi. U tu skupinu mogu se ubrojiti i ona nastavna sredstva kojima se u učenje unose elementi igre, a koja se pretežno koriste u vježbanju i ponavljanju. Iako su ta sredstva namijenjena učenju u PNM, mnoge škole raspolažu njihovim malim  brojem. Ono što se većinom koristi, naročito u prvom razredu je: didaktički materijal. - skup predmeta kojima učenici mogu lako manipulirati. Npr. kocke, krugovi, kamenčići, plodovi, štapići,trouglovi (od drveta ili plastike). Različite su podjele nastavnih sredstava i pomagala: - auditivna, -

vizue uellna-ma -manipulativn vnaa,

-

tehnička,

-

kvalitativna, 249

-

kvantitativna,

-

kombinirana.

A nastavna sredstva dijelimo na: - modeli geometrijskih tijela i likova; -

kartice dekadskih jedinica;

-

kuglice;

-

kockice;

-

predmeti iz okoline s određenim svojstvima;

-

udžbenici i nastavni listići;

-

crteži slike;

-

tablice;

 Nastavna pomagala dijelimo: - geometrijski pribor (može biti i sredstvo); -

ploča i krede;

-

računar;

-

grafoskop;

-

pano;

-

TV; mjerni instrumenti (može biti i sredstvo);

-

kalkulator;

Glavni metodički zahtjevi u služenju didaktičkim materijalima: mora biti kvalitativno neutralan, sa što manje kvalitativnih obilježja (boja, oblik, veličina,materija) kako ne bi odvraćali pažnju učenika od kvantitativnih odnosa. Za PNM najprimjereniji su međusobno slični predmeti.  Npr. kamenčići, štapići, kocke, kvadrati i sl. mora biti manipulativan, da učenici njime mogu lako i pregledno rukovati 250

ni preveliki ni premali, nego prilagođeni uzrastu,

-

ni pretanki, ni okrugli i sl.

-

manja količina

-

upotreba se ne smije svesti na puko fizičko manipuliranje, fizička aktivnost s tim materijalom postaje sredstvom učenja, tek kada ju prati intelektualna aktivnost.

Svaka aktivnost s didaktičkim materijalom mora biti praćena govornom reprodukcijom, a više je razloga koji upućuju na takvu upotrebu didaktičkog materijala:Prvi je razlog psihološke naravi, govornom reprodukcijom materijalna radnja se transformira u misaonu, postajući tako unutrašnjom, mentalnom radnjom. Drugi je razlog činjenica da se na taj način intenzivira djelatnost učenikova mišljenja. UVIJEK IMATI U VIDU: nastavna sredstva i pomagala nisu sama po sebi dovoljna da bi se stvorio odgovarajući metodički model. Pitanje koje se nameće  je kako ih ispravno i efikasno upotrijebiti: učitelj treba pamtiti da upotrebom raznovrsnih nastavnih sredstava i pomagala može i treba pružiti učenicima  potreban dinamizam u radu. 21.11. Specijalizirana učionica i školska medijateka

Specijalizirana učionica za matematiku je adekvatno uređena prostorija za sve predmete razredne nastave. U njoj su smještena sredstva za korištenje za nastavu matematike. Školska medijateka povezana je sa svim učionicama. U njoj se nalaze uređena sredstva koja koriste sva odjeljenja, svih razreda u školi. Dr.M.Stevanović (1998) o multimedijskom paketu navodi: „Multimedijski  paketi su pripremljeni nastavni materijali s odgovarajućim programskim sadržajima koji sjedinjuju raznovrsne izvore znanja-medije na primjenu savremenih socioloških oblika rada, aktivnih nastavnih metoda, uz izmjenjenu funkciju nastavnika i subjektnu poziciju učenika u odgojno-obrazovnom radu na satu.“ U multimedijskom pokretu se nalazi: -nastavno gradivo usklađeno sa programskim zahtjevima; -različiti izvori znanja; -različiti savremeni oblici rada; -aktivne nastavne metode; -izmijenjena uloga nastavnika; -učenici su subjekti nastavnog rada. Multimedijski paketi imaju veliku pedagošku vrijednost. 251

22. PRIMJENA RAČUNARA U NASTAVI MATEMATKE  Nastava matematike zahtijeva od učitelja opsežne i ozbiljne pripreme.  Ne možemo se u vrijeme napredovanja ICT, više osloniti samo na osnovna sredstva za rad u nastavi – tablu i kredu. Svako nastavnik koji u školi ima mogućnosti koristiti modernu tehnologiju, bi trebao što više učenika osposobiti za primjenu računara u nastavi matematike. To se može postići i dogovorom sa kolegema koji predaju informatiku, te ugovoriti posjete kabinetu informatike s ciljem upoznavanja učenika sa mogućnostima koje pruža računar i njegova primjena u matematici. Učitelji su kreativni u svojim idejama i rješenjima problema, pa se mnogi na različite načine snalaze da dođu do računara u učionici. Jedan od načina je i uspješnom saradnjom roditelja i škole. Učionica može biti opremljena i nešto starijim računarom koji je možda poklon nekog roditelja koji  je svoj kućni računar zamijenio naprednijim modelom. Za rad u nastavi matematike u nižim razredima dovoljno je nekoliko  jednostavnijih programa. Važno je da sama mogućnost pristupa tom računaru daje učenicima poticaj zasavremen način učenja i izučavanja osnovnih matematičkih pojmova. Dakle, računar je dodatno pomagalo u nastavi matematike koje može dati izuzetno dobre rezltate u ostvarivaju nastavnih ciljeva i ishoda učenja . Upotreba računara u nastavi za vrijeme učenja kod učenika utječe na: - motivaciju za učenje, - sposobnost logičkog mišljenja, - uspjeh u školovanju, - sposobnost samoizražavanja, - metakognitivne sposobnosti, 252

- razvija stavove za otkrivanje grešaka, - razvija kooperativnost, - razvija osjećaj odgovornosti, - daje učeniku neposrednu povratnu informaciju.

22.1. Primjena računara u radu s nadarenom djecom U školama se danas učitelji susreću sa različitim situacijama kada je u  pitanju razvijenost i mentalna zrelost učenika. Kako rade sa djecom prosječne inetligencije, nadarenom djecom, tako se uvođenjem inkluzije moraju  prilagođavati i radu sa dejcom koja imaju stanovite smetnje u razvoju. „U razvoju čovjeka može doći do vidljivog odstupanja koje nije podjednako u svim područjima, a javlja se u obliku natprosječnog ili ubrzanog razvoja, ispodprosječnog ili usporenog, nepravilnog ili čak ograničenog razvoja. Ako se radi o prvoj grupi razvoja, onda se govori o natprosječno darovitoj i talentiranoj djeci, a ako se radi o drugoj grupi onda se govori o djeci sa smetnjama u razvoju. U stranoj literaturi obje grupe razvoja nazivaju se izuzetna djeca. Darovita djeca imaju slijedeće kognitivne, afektivne, fizičke, intuitivne i socijalne karakteristike: - izuzetna količina informacija i neobično pamćenje, -

izrazita (dobra) sposobnost shvaćanja,

-

raznolikost interesa i velika znatiželja,

-

izrazita verbalna sposobnost i bogat vokabular,

-

visoka sposobnost izražavanja,

-

fleksibilan proces razmišljanja,

-

sposobnost uočavanja različitih i neobičnih odnosa,

-

velika očekivanja od sebe i dosljednost,

-

kreativnost u svim poljima djelovanja,

-

snažna motivacija."

( Lj. Bakić-Tomić, M. Dumančić ODABRANA POGLAVLJA IZ METODIKE  NASTAVE INFORMATIKE)

253

Preporučuje se unutar odjeljenja organizirati posebne grupe koje bi za cilj imale potencirati sposobnosti darovite djece. Također, organiziranje sekcija po nastavnim predmetima omogućilo bi toj djeci više prostora za njihovo kreativno izražavanje i rad. Sve navedene karakteristike nadarene djece se mogu maksimalno iskoristiti u nastavi matematike i njenom realizacijom uz pomoć računara. U tu svrhu se mogu koristiti programi instalirani na računar, a u slučaju mogućnosti pristupa internetu, postoji mnogo stranica na kojima nadarena djeca mogu pokazati, dokazati i usavršavati svoju nadarenost. Naročito bi svoje ideje i kreativnost u rješavanju problemskih i drugih zadataka kao i prezetiranju svoga rada nadareni učenici mogli pokazati na tzv. „pametnoj ploči“.

Slika 1.3. „Pametna ploča“ na satu matematike Ovo tehnološko dostignuće jedva da je zakoračilo u naše škole, ali se u zemljama sa naprednijim obrazovnim sistemom uveliko koristi, kako u  predmetnoj tako i u razrednoj nastavi.Mnogo je načina na koje pametna ploča može poboljšati i osvježiti nastavu matematike u nižim razredima. Osnovni aritmetički i geometrijski pojmovi, slikovito prikazani u krupnom planu na  pametnoj ploči bude kod učenika radoznalost i želju za manipulacijom na velikom monitoru (ploči).

Slika 2.3. Učenik rješava zadatak na „pametnoj ploči 254

Problem pametnih ploča je taj što su veoma skupe i zahtijevaju dodatnu edukaciju učitelja.Pitanje je koliko su učitelji „stare“ škole spremni uhvatiti se u koštac sa modernom tehnologijom ovog tipa. Prema nekim saznanjima se  pametna ploča i u školama koje je imaju, ne koristi dovoljno ili ne koristi uopšte, upravo zbog neobučenosti nastavnika. U ovom slučaju su sigrno svi na gubitku u vrijeme kada ICT u svijetu najnormalnije koriste još u vrtićima.

Slika 3.3. Mjere i mjerenja te geometrija na „pametnoj ploči“

22.2. Primjena računara u radu s djecom sa posebnim potrebama

„Djeca sa smetnjama u razvoju u svojem fizičkom, intelektualnom, emocionalnom, govornom, socijalnom ili nekom drugom razvojnom području izrazito odstupaju od onoga što se smatra "standardnim" rastom i razvojem. Takvoj je djeci u procesu odgoja i obrazovanja neophodna specifična stručna  pomoć radi maksimalnog razvoja njihovih potencijala. Kod djece osnovnoškolskog uzrasta sa smetnjama u razvoju razlikuju se njihove opće, zajedničke i specifične karakteristike. Opće karakteristike su one koje su uglavnom identične ili slične karakteristikama vršnjaka bez smetnji u razvoju. Kod djece s općim karakteristikama dominiraju karakteristike djece bez smetnji u razvoju pa se i na njih također odnose opće zakonitosti odgoja. Prema tome, učenici sa smetnjama u razvoju imaju potrebe identične ostalim vršnjacima te specifične potrebe koje su posljedica njihove smetnje. ( prof. dr. sc. Ljubica BakićTomić, doc. dr. sc. Mario Dumančić INFORMATIKE)

ODABRANA POGLAVLJA IZ METODIKE NASTAVE

U radu ( Marta Čop, Velimir Topolovec, Informatologia 42, 2009., 4, 304–313) 255

"UPOTREBA INFORMACIJSKE I KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE (ICT) U OBRAZOVANJU DJECE S POSEBNIM POTREBAMA") se navodi da se barijera tehnologije polako ruši i

 primiče osobama s posebnim potrebama. Tehnologija se više ne nalazi u oblasti „ostalih“ ljudi, već je svoj doseg proširila i na služenje onima kojima je to od životne važnosti. Sama činjenica da učenik može koristiti računalo u bilo kojem drugom nastavnom predmetu te da mu omogućuje smirenje, koncentraciju, raznoliko učenje, otvaranje svih mapa znanja, kao i samostalno unaprjeđenje i samopoštovanje, čini svijet ICT tehnologije beskrajnim i gotovo svemogućim asistentom. Također, postupno se razvija i metoda e-učenja koja otvara brojne mogućnosti kako učenicima, tako i odraslima s posebnim potrebama. Iz  priloženog se može zaključiti da je uloga tehnologije, računala, posebnih  programa, dodataka za invalide postala gotovo neophodna u svakoj školi, bilo specijalnoj ili redovnoj. Iako toliko neophodna i potrebna, često ne nalazi svoju  punu primjenu u školama. Krivac za to može biti neinformiranost, ali u većem dijelu to je financijska strana koja ne može poduprijeti brz razvoj tehnologije koja sa sobom nosi „skupi danak“ visokih cijena. Jedna od ideja koja se nameće nakon proučavanja ove tematike novih tehnologija jest da se u budućnosti  pozabavimo stvarnim stanjem adaptivne tehnologije u školstvu te informiranošću kako predavača, tako i stručnog osoblja o mogućnosti ma  primjene nove tehnologije u obrazovanju djece s posebnim potrebama. (Lj. BakićTomić, M. Dumančić INFORMATIKE)

ODABRANA

POGLAVLJA

IZ

METODIKE

NASTAVE

Primjena računara u nastavi matematike bi umnogome olakšala posao učiteljima u tzv. inkluzivnim učionicama, a učenicima sa smetnjama u razvoju  bi dalo sigurnost i podiglo svijest o njima samima. Sa učenicima se može raditi na različitim matematičkim oblastima. Učenicima sa motoričkim smetnjama šake, u prvom razredu može se pružiti mnoštvo zadtaka za bojenjek ili memori igre. Beskrajne su mogućnosti izbora aktivnosti i načina da se i ovi učenici uključe u sve matematičke aktivnosti.

256

Slika 1.3.2. Primjer online bojanke Primjeri zadataka i Powerpoint prezentacije za učenike u nižim razredima  pokazuju sa koliko lakoće se djeca sa smetnjama u razvoju mogu uključiti u redovan nastavni proces na satu matematike.

Slika 2.3.2. Zadaci za rad na računaru Jedan od načina obrade dijeljenja brojem 10 odrađenog u Powerpoint-u.

Slika 3.2.3. Učenje tablice dijeljenja na računaru 257

22.3. Zanimljivosti u svijetu računara – buđenje kreativnosti u radu s djecom 3D grafika i općenito vizualizacija je jako privlačna djeci. Uočeno je da darovita djeca spontano teže takvom načinu izražavanja svoje kreativnosti. Na internetu se mogu naći 3D igre primjerene učenicima u razrednoj nastavi. Igra zmije je pogodna za savladavanje vještine snalaženja u prostoru što je inače  problem uzrasta učenika u prvom razredu devetogodišnje škole. Uz glasno davanje uputa za kretanje: lijevo – desno – gore – dolje, sigurno će se poboljšati učenička percepcija prostora i njihovog odnosa u njemu. Kao što je objašnjeno u izvoru [6] ovo je kategorija igre: Igre za djecu, 3D igre. Opis igre: Sigurno najbolja igra zmija koju smo isprobali. Igra ima fenomelanu 3D grafiku u četiri okruženja poput: biljarski stol, ispod vode, svemir i vrt. Igra se može igrati i sa dva igrača na podijeljenom ekranu.

Slika 1.3.3. Prikaz tipova 3D igre za djecu „Zmija“ 22.4. Primjena računara u redovnoj nastavi matematike U nastavi matematike se danas, kada je u pitanju računar, najviše koriste radni listovi koji se printaju i daju učenicima na rješavanje u okviru nastavnih  jedinica koje podrazmijevaju vježbanje i utvrđivanje ili provjeru stečenih znanja. Skoro da je nestala klasična pismena provejra znanja (pismena zadaća) kada je matematika u pitanju. Ovim se postiže da učenici ne gube vrijeme na  prepisivanje zadataka sa ploče ili projekcije sa grafoskopa, svi segmenti sata ostaju isti a učenici dobiju na vremenu za rješavanje zadataka. Također se koriste evaluacioni nastavni listići nakon usvajanja novih znanja.

258

Slika 1.3.4. Radni list za 3. razred

259

23. RAD SA DJECOM SA POSEBNIM POTREBAMA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE

Razvoj savremenog društva usko je povezan sa razvojem prirodnih znanosti, tehnike i tehnologije kao i ekonomije. U tom razvoju matematici  pripada posebno mjesto. Naime, sve znanosti su u svom razvoju u većoj ili manjoj mjeri prožete matematičkim načinom mišljenja i uopće matematikom, koja ih može povezati u jedinstvenu cjelinu, formirati njihova načela i utjecati na njihov napredak. 260

Matematika razvija navike pravilnog mišljenja, samostalnosti, logičke analize, sinteze i rasuđivanja. Prodrla je u sve ili gotovo sve pore ljudske djelatnosti, tako da ni individua ni društvena zajednica neće moći opstati ako nismo matematički obrazovani. Matematičko odgajanje i obrazovanje je nužno i značajno i od posebnog je uticaja na razvoj ljudskog bića. Vrijednost učenja matematike očituje se kako u shvaćanju njene funkcije i njenih načela, usvajanju metoda i rezultata tako i u razvijanju logičkog i racionlanog načina mišljenja i zaključivanja. „Obrazovni značaj nastave matematike u razvijanju svih psihičkih  procesa polazeći od pažnje do apstrakcije i generalizacije, pravilnog mišljenja i zaključivanja, a posebno u razvijanju intelektualnih sposobnosti učenika. Odgojni značaj očituje se pak u navikavanju učenika na napor i teškoće.“  Napori i teškoće na koje učenik nailazi pri rješavanju problemskih matematičkih zadataka, razvijaju kod njega odlučnost i upornost, ustrajnost i hrabar prilaz svim teškoćama. Zadatak nastave matematike nije gomilanje znanja već razvijanje sposobnosti mišljenja i rasuđivanja, osposobljavanje učenika ne da rješava ovaj ili onaj problem već da se može hvatati u koštac sa svakim problemom sa kojim se bude susretao tokom svog življenja. Osvajajući matematičke sadržaje učenik se osposobljava za upotrebu i razumijevanje matematičke terminologije i matematičkih simbola izražavajući njima misli o kvalitativnim i prostornim aspektima objektivne stvarnosti. Matematika, kao nastavni predmet, je područje u kojem se odgoj i obrazovanje ostvaruju na odgovarajućim matematičkim sadržajima. Iz ukupnosti matematičke nauke biraju se sadržaji koji se konstituiraju u nastavni  predmet matematike. Na taj način matematički sadržaji postaju materijalnom osnovom nastavnog procesa, a matematika substrantom znanosti nastave matematike. Sadržaji nastave matematike su apstraktni objekti, učenicima teško razumljivi. Upravo zato, prilikom utvrđivanja sadržaja nastave matematike,  potrebno je „voditi računa da učenik ne shvaća matematiku samo kao formalnologički sustav već da je shvati kao sredstvo spoznavanja prirode i svijeta, kao metodu rješavanja cijelog niza problema drugih znanosti u kojih se matamatika  javlja kao temeljna disciplina.( Vladimir Kadum, „Zaostajanje učenika u matematici uzroci i mogućnosti otklanjanja“, Pedagoški fakultet Pula, 1997. Godina str 443)

Mnoga djeca ispoljavaju teškoće u učenju, mnoga od njih su i djeca sa  posebnim potrebama. Teškoće u učenju matematike prisutne su na različitim nivoima. Pošto su djeca sa posebnim potrebama jedinstvena od slučaja do slučaja svako od njih zahtjeva analizu prirode teškoće i njihovih mogućnosti. 23.1. Učenici sa posebnim potrebama 261

Učenici posebnih potreba su sve one osobe koje imaju teškoće integracije usljed nekih psihičkih ili tjelesnih oštećenja kao što su: mentalna retardacija, autizam, specifične teškoće učenja, oštećenja vida, oštećenja sluha, motorička oštećenja, zvanična bolest i višestruka oštećenja. Upotrebom termina, posebne potrebe stavlja se akcenat na zadovoljenje onih  potreba koje proizilaze iz teškoća u razvoju, a značajne su u svakodnevnom životu osobe.Svako kategoriziranje mora polaziti od određenih psiholoških oznaka tj. treba polaziti od određenih kriterija. Da bi se došlo do naučno zasnovane kategorizacije treba obuhvatiti sve kategorije djece sa posebnim  potrebama.Jedna od takvih klasifikacija je navedene učenike podijelila na: djecu oštećenog vida • •

djecu oštećenog sluha

•

djecu sa poremećajima u govoru i glasu

•

tjelesno invalidna djeca

•

mentalno zaostala djeca

•

epileptična djeca

•

djeca sa psihoneurotičnim smetnjama

•

 psihopatsku djecu

•

 psihotičnu djecu

•

djecu sa kombiniranim smetnjama 23.1.1 Kompetentni učitelji i rad sa djecom posebnih potreba

Kompetentni učitelji 21. stoljeća – ISSA-ina definicija kvalitetne pedagoške  prakse sadržava sedam područja: a) Interakcije  b) Obitelj i zajednica c) Inkluzija, različitost i demokratske vrijednosti d) Procjenjivanje i planiranje 262

e) Strategije i proučavanja f) Okruženje za učenje g) Profesionalni razvoj Ova područja su odabrana zato što je upravo u njima potrebno osigurati visoku kvalitetu rada kako bi se održao dječiji razvoj i učenje.Učenje se odvija kroz interakciju i u dijalogu između djece i odraslih kao i djece međusobno u duhu uvažavanja, poticanja i autonomije onog ko uči. Pri tome se polazi od uvjerenja da je dijete sposobno i cjelovito biće iako treba pomoći potporu odraslih. (Kompetentni učitelji 21.stoljeća.ISSA, korak po korak, 2001-2008).U izvođenju početne nastave matematike navedene kompetencije posebno su važne. a) Interakcija

Interakcija između odraslih i djece, kao i djece međusobno, od ključnog je značaja za razvoj sveukupnog razvoja djece. Kroz interakciju dijeca razvijaju  pojam o sebi, osjećaj pripadnosti zajednici i svijetu u kojem žive. Uloga učitelja  je na brižan i podržavajući način omogućiti sudjelovanje u različitim interakcijama i procesima konstrukcije novih znanja i vještina. b) Obitelj i zajednica

Snažno partnerstvo između učitelja, obitelji i ostalih članova zajednice izuzetno  je važno za dječiji razvoj i učenje. Osjetljivost i spremnost da se pomogne obiteljima ogleda se u različitim načinima da učitelji uključuju obitelji u  procese učenja i razvoja njihove djece. c) Inkluzija, različitosti i demokratske vrijednosti

Promicanjem prava djeteta i obitelji da budu uključeni, poštovani i cijenjeni, da rade na ostvarenju zajedničkih ciljeva i da dosegnu svoje pune potencijale sastavni je dio kvalitetne pedagogije. Učitelj je model ponašanja i omogućava djeci da kroz svakodnevna iskustva uče poštovati i cijeniti različitosti, te razvijati vještine sudjelovanja. d) Praćenje, procjenjivanje i planiranje

U kvalitetnoj se pedagogiji prepoznaju dovoljno primjerena očekivanja  praćenje, procjenjivanje i planiranje, važni za rast i učenje svakog djeteta. Prilikom planiranja učitelj integrira razvojno - primjerena očekivanja,zahtjeve  NPP, mogućnosti za kreativnost i istraživanje te interese svakog djeteta i grupe.

263

e) Strategije poučavanja

Kvalitetan pedagoški proces se temelji na uvjerenju da skrb, odgoj i obrazovanje čine povezanu cjelinu te da su dobrobit i uključenost svakog djeteta  preduvjeti uspješnog učenja. Iako se učenje događa na različite načine i u različitim situacijama krajnji cilj pedagoškog procesa jest postavljanje visokih, ali dostižnih očekivanja za svako dijete, poticanje znatiželje, istraživanja, kritičkog mišljenja i suradnje kako bi svako dijete razvilo preduvjete za cjeloživotno učenje. f) Okruženje za učenje

Okruženje za učenje u velikoj mjeri utiče na kognitivni,socijalni, emocionalni i tjelesni razvoj djece. Kreirajući tjelesno i psihološki sigurno i poticajno okruženje u kojem djeci nudi različite razvojno-primjerene materijale, zadatke i situacije učitelj potiče učenje kroz samostalnno i grupno istraživanje, igru, raznovrsne informacije i interakcije s drugom djecom i odraslima. g) Profesionalni razvoj

Kvalitetnu pedagošku praksu implementiraju učitelji koji su kontinuirano uključeni u proces profesionalnog i osobnog razvoja, surađuju s kolegama i na njih prenose svoj entuzijazam za cjeloživotno učenje.Aktivnim sudjelovanjem, kritičkim promišljanjem i partnerstvom s drugima učitelj unapređuje kvalitet svog profesionalnog rada. Djeca sa posebnim potrebama ne mogu dugo zadržati pažnju što direkto utiče na njihovu sposobnost da uče nove vještine.Oni mogu naučiti nove vještine samo ako im se one lično objasne. Pored navedenih kompetencija jedna od osnovnih pretpostavki stvaranja sigurne i poticajne atmosfere u radu sa djecom posebnih potreba jeste emocionalna kompetencija. Pod emocionalnom kompetencijom učitelja podrazumijeva se  profesionalna djelotvornost nastavnika u socijalnim transakcijama odgojnoobrazovnog procesa koji izazivaju emocije (P.Salovey, D.Sluyter 1999). Profesoinalna i emocionalna djelotvornost učitelja podrazumijeva vještine i sposobnost upravljanja transakcijama koje izazivaju emocije kojima učitelj raspolaže u postizanju odgojno-obrazovnog cilja. Emocionalno nepismena osoba ne može biti učitelj. 23.2. Rad sa djecom posebnih potreba u nastavi matematike

Termin “posebne potrebe” podrazumijeva faktore ili uvjete koji sprječavaju normalno učenje i razvoj osoba. “Sprječavajući faktori” mogu biti  privremeni ili takvi da traju cijeli život i ne dozvoljavaju adekvatan progres 264

osoba zbog faktora kao što su socijalni, emocionalni, ekonomski, zdravstveni ili  politički uvjeti. U području obrazovanja, kao i na svim drugim područjima, osobe imaju različite sposobnosti i mogućnosti. Djeca koja nemaju uspjeha kao većina druge djece susreću se sa teškoćama u usvajanju i produciranju znanja, što ne bi  postojalo ili bi bilo manje naglašeno, ukoliko bi ta djeca dobila na vrijeme odgovarajuću pomoć odnosno podršku. Ističući značaj i važnost izvođenja početne nastave matematike uvidjeli smo na koje teškoće nailaze „tipični“đaci. U radu sa djecom posebnih potreba u nastavi matematike potrebno je, kao i u svim drugim predmetima i oblastima,  postupno prilaziti planiranju i izvođenju nastave. Postupnost se ogleda u niz koraka koji prethode jedan drugome i nisu izvodivi ukoliko prethodni nije u  potpunosti ispunjen. Pedagoška opservacija je prvi korak.

23.2.1. Pedagoška opservacija

•

• • • •

 Nastavnici u školi od prvog dana opserviraju djecu. Opservacija  – metoda posmatranja, u ovom slučaju učenika sa  posebnim potrebama, za vrijeme rada na času, na odmoru, za vrijeme komunikacije sa drugim učenicima, za vrijeme slobodnih aktivnosti i igre... U čemu se mogu vidjeti razlike među učenicima? Šta želimo postići pedagoškom opservacijom? Ko provodi pedagošku opservaciju? Evo nekih smjernica prilikom opserviranja učenika:  – ispoljavanje emocija i raspoloženja djeteta  – odnos djeteta prema odraslima i autoritetu  – odnos djeteta prema ostaloj djeci  – angažiranost djeteta u učenju, nivo znanja  – kako dijete koristi igru i maštu  – stav djeteta prema svijetu...

Primjer iz prakse: Opservacija za dječaka M.A.  Hiperaktivnost: Kratkotrajna pažnja, na času ne radi zadatke, naročito kada treba pisati, izaziva pažnju vršnjaka na negativan način, napušta radno mesto... Oblasti podrške:

− Zadržavanje pažnje na zadacima − Poštovanje pravila ponašanja u učionici − Uzdržavanje od ometanja vršnjaka.

265

Ciljevi: − produžiti pažnju da bi izvršavao zadatke do 80%

− smanjiti nepoželjno ponašanje na ispod 5 opomena u toku jednog  časa Tipovi podrške:

Ograničiti vrijeme za izvršavanje zadataka, npr. dobiće 5 minuta za 1. zadatak. Ako završi ranije može da pređe na drugi zadatak, a ako ne, učiteljica precrtava 1. zadatak i prelazi na 2. Ako završi2. zadatak   prije vremena, može da se vrati na prvi. Svo vrijeme je sat pored njega. 1.

 Nagrada: Može da ode na mjesto za odmor i igru. 2. Nagrađivati produženu pažnju, za svaku opomenu

za nepoželjno  ponašanje dobiće oznaku u za to određenu svesku. Ako broj oznaka  premaši broj 5, učiteljica piše poruku roditeljima. Ako ne, M.A. dobija “SMJEŠKA” za taj čas. 3. Roditelji će svaki dan pratiti - čitati kratak izvještaj učitelja, nagrađivati/uskraćivati nagradu za poželjna/nepoželjna ponašanja u učionici.

 Nakon pedagoške opservacije, upoznavanja učenika, njegovih mogućnosti i sposobnosti učenik se upoznaje sa kolektivom (drugim učenicima i nastavnicima),učionicom. Kada se obezbijedi jedna sigurna i topla atmosfera za dijete posebnih potreba, pristupa se izradi prilagođenog plana i programa za učenika,odabiru nastavnih sredstava i izradi didaktičkog materijala. 23.2.2. Izrada Prilagođenog edukativnog programa

• • • •

Inicijalna procjena znanja iz pojedinih predmeta, Izrada okvirnog plana rada sa programskim sadržajima, Izrada mjesečnog plana rada, Portfolij sa učeničkim radovima Zahtjevi za izradu prilagođenog edukativnog programa

a) Evidentirati u kojim je oblastima dijete najuspješnije. Ovaj podatak nam omogućava da:  – izradimo pozitivnu sliku o djetetu, kako kod učitelja tako i kod vršnjaka, 266

 – pomogne svakom članu tima, posebno roditelju da osvijesti dječije mogućnosti i sposobnosti, a ne samo teškoće koje treba rješavati,  – razviti strategiju podrške - sastavljanje liste dječjih mogućnosti (evidentirati sve što dijete može uraditi ).  b) Odrediti prioritete kojima treba ostvariti postavljene ciljeve. c) Precizno definisati i vremenski odrediti ciljeve koje treba ostvariti na osnovu dotadašnjeg napredovanja d) Realno postaviti ciljeve u odnosu na funkcionisanje djeteta u oblasti za koju je definisan cilj. Nerealno postavljeni ciljevi mogu dovesti do regresije u razvoju djeteta, do demotivisanja kroz doživljavanje neuspjeha. e) Ostvarivanje ciljeva zavisi i od stavova nastavnika, učenika i roditelja  prema uključivanju djece s posebnim potrebama u redovnu školu, organizacije škole, opremljenosti škole nastavnim sredstvima i  pomagalima, društvene zajednice. Prilagođeni edukativni program podrazumijeva prilagođavanje: • dubine (inteziteta) nastavnog programa, određuje se kvalitet, odnosno nivo zahtjeva u savlađivanju nastavnih sadržaja, • širine (ekstenziteta) znanja i različitost sposobnosti koje se stiču u okviru nastavnih sadržaja u odnosu na nastavni predmet i na vremensku dimenziju - kratkoročno (sedmično, mjesečno) i dugoročno (polugodište, školska godina), • oblika i sredstava rada Podsjetnik za učitelje koji imaju u razredu dijete sa posebnim potrebama

• •

• • • • • •

Detaljno se upoznati s dokumentacijom učenika, odnosno sa teškoćama u razvoju, Tokom opservacije treba dobro upoznati učenika, procijeniti njegove sposobnosti, mogućnosti i reakcije, kako bi stvorili cjelovitu sliku o djetetu, voditi zabilješke i ostvariti čvrstu saradnju sa pedagogom i drugim saradnicima. Pripremiti učenički kolektiv na dijete sa teškoćom, Ukjučiti roditelje/staratelje u postupke dijagnostike i pedagoške opservacije, Saradnja sa roditeljima drugih učenika u razredu, Smještaj učenika u učionici, Izrada posebnih nastavnih sredstava i didaktičkih materijala. Koristiti jake strane djeteta.

267

23.3. Izrada didaktičkog materijala

Izrada didaktičkog materijala u izvođenju početne nastave matematike i to u radu sa djecom posebnih potreba je jako važna.Didaktički materijal pomaže  bržem i lakšem usvajanju obrađenog gradiva,snalaženju i osposobljavanju za dalje usvajanje i nadogradnju znanja. Polazište za izradu didaktičkog materijala je učenik , odnosno poznavanje njegovih: • Sposobnosti (što može uraditi i što bi za neko vrijeme mogao naučiti  bolje raditi), • Interesovanja (kojim aktivnostima se voli baviti, kakav materijal mu je  posebno interesantan...), • Potreba (na koja područja njegovog razvoja se treba usmjeriti) • Ciljevi postavljeni u individualiziranom prilagođenom programu Didaktički materijal se može izrađivati zajedno sa učenicima i mogu ga koristiti svi učenici. U izradu didaktičkog materijala mogu se uključiti i roditelji. Prikazani didaktički materijal mogu koristiti svi učenici u odjeljenju (ne samo djeca sa posebnim potrebama) čime se izbjegava segregacija i podstiče socijalizacija. Pomoću ovog materijala možemo utvrditi stepen razvijenosti različitih sposobnosti kod učenika. U radu se najprije koristi didaktički materijal za koji smo sigurni da će dijete uspješno riješiti zadatak predviđen tim materijalom. Ovim se podstiče osjećaj uspjeha, sigurnosti, samopouzdanja Didaktički materijal, upotrebljiv za matematiku, izrađen je od povoljnih i  pristupačnih sredstava (radi trajnosti nekih od materijala poželjno bi bilo koristiti aparat za plastificiranje pri izradi). Većina didaktičkog materijala može se koristiti:  – na više različitih nivoa – dopunjavati i proširivati zadatke,  – za različite ciljeve i svrhe,  – u različitim situacijama,  – koji je za matematičku upotrebu. Svako dijete koje je dijete posebnih potreba na prvom mjestu je ljudsko  biće, ličnost. Posebna potreba koju posjeduju je nešto sekundarno, zato treba više govoriti o sličnostima, a ne razlikama tipične djece i djece posebnih  potreba . Većina učitelja susretala se ili radila sa djecom posebnih potreba. Identifikacija takvih učenika je zahtjevan posao. Učitelji smatraju da ne mogu adekvatno odgovoriti na zahtjev e učenika posebnih potreba u izvođenju nastave matematike. NPP iz predmeta matematika nije prilagođen radu sa djecom posebnih potreba. Mišljenja nastavnika o uključivanju ovakve djece u 268

redovnu nastavu su podjeljena. Jedni smatraju da treba da pohađaju redovnu nastavu, dok su drugi mišljenja da takva djeca treba da pohađaju specijalne ustanove za njih. Škole organizuju povremene edukacije za rad sa djecom posebnih  potreba. Uglavnom su to predavanja kroz Nastavnička vijeća i Stručne aktive. Svaki učitelj može dobiti dijete posebnih potreba u svom odjeljenju. Ono što je njegov zadatak jeste da ga prihvati kao i svako drugo dijete bez obzira na posebnu potrebu. U početnoj nastavi matematike treba da pratimo  proceduru od pedagoške opservacije, procjene inicijalnih znanja do izrade individualnih okvirnih planova za rad. Veliki značaj u izvođenju nastave matematike jeste izrada didaktičkih materijala koji će učeniku omogućiti brže i  potpunije usvajanje gradiva. Didaktičkim materijalom učit ćemo djecu pojam broja, boje, prostornih odnosa, tablicu množenja, geometrijska tijela... Često i sve odjednom. Ono što  je značajno navedeni didaktički materijal koristiće svi učenici, a ne samo učenici posebnih potreba. To će im omogućiti prihvatanje od strane kolektiva,  bolju socijalizaciju i komunikaciju sa drugim učenicima. Uloga učitelja je da prihvati i razumije djecu posebnih potreba i da im nastavu matematike učini zanimljivom i zabavnom.

269

24. PRILOZI (Pismene pripreme za nastavni sat) 24.1. I RAZRED ŠKOLA:

RAZRED:

UČITELJICA:

ODJELJENJE:

TEMA:

SREDINA U KOJOJ ŽIVIM

DATUM:

PODTEMA:

JA NA PUTU OD KUĆE DO ŠKOLE

SEDMICA:

NASTAVNA KRUG I TROKUT JEDINICA KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :   :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-opisati verbalno izgled trougla i kruga -razlikovati geometrijske likove od geometrijskih tijela -povezati sliku geometrijskog tijela sa geomerijskim likom -prepoznati, imenovati i razlikovati krug i trokut

I

AFEKTIVNI (razumjeti):

-upoređivati geometrijske likove -pokazati različite vrste trokuta i veličine -koristiti geometrijski pribor - trokut

-izdvojiti međusobno geometrijske likove -procijeniti veličine trokuta i kruga -proširiti ranije stečena znanja

AKTIVNOSTI :

MATEMATIKA EVOKACIJA -vodim razgovor s učenicima: Šta će se dogoditi kad s crteža piramide izrežem  jednu njenu stranu? Kako se zove lik koji čini gornju i donju stranu valjka? –objašnjavam učenicima da i piramida i valjak imju svoje strane Strana piramide je trokut, a donja i gornja strana valjka su krugovi.  Trokut i krug su geometrijski likovi. Igra „Kojeg je oblika i boje?“ U čarobnoj matematičkoj vrećici (napravljenoj od materijala iz didaktičke kutije) stavljeni su crveni, plavi, žuti i zeleni trokutovi i krugovi. Učenici treba da izvuku  jedan lik, imenuju ga i kažu kakve je boje.

270

RAZUMIJEVANJE KRUG I TROKUT -razvrstavam skupove oblika krug i trokut (iz didaktičke kutije) i lijepim ih na tablu pomoću magnetizirane naljepnice -uočavam njihove osnovne osobine -učenici u sveske crtaju likove koji su zalijepljeni na tabli

 TROUGAO(TROKUT) KRUG -posmatramo modele piramide i valjka i uočavamo krug i trokut na njima -rješavamo zadataka iz udžbenika Moja matematika na str. 24. i 25.

REFLEKSIJA Igra „Trčimo do kruga ili trokuta“ Na jedan zid učionice zalijepimo trokut, a na drugi zid učionice krug. Učenici u koloni jedan za drugim, šetaju učionicom. Kada kažem KRUG, svi učenici dotrče i dotaknu zid na kojem je zalijepljen krug. Isto je i sa trokutom. -učenici samostalno rade zadatak iz Radne sveske na str.10 -vršim provjeru urađenog DZ: Uraditi zadatke koje nisu stigli uraditi na času.

PRIJEDLOG PRIČE ZA MOTIVACIJU NESTAŠNI TROKUT U AMAREVOJ BILJEŽNICI ŽIVI PLAVI TROKUT. VRLO JE ZAIGRAN I NESTAŠAN. ČESTO IZNENADI AMARA SVOJIM NESTAŠLUCIMA. JEDNOG JUTRA ŠETAO TROKUT BILJEŽNICOM I RAZGOVARAO S OSTALIM GEOMETRIJSKIM LIKOVIMA. VEOMA MU SE SVIDIO ZELENI KVADRAT.- KAKO SI TI LIJEP! I JA BIH ŽELIO IZGLEDATI KAO TI. - NEMA PROBLEMA - REKAO JE KVADRAT I JAKO GA POVUKAO ZA LIJEVO UHO. - EVO, MALO BOLI, ALI SADA IZGLEDAŠ BAŠ KAO JA! I ZAISTA, TROKUT SE PRETVORIO U KVADRAT. TAKO PRETVOREN BIO JE SRETAN SAMO NEKOLIKO MINUTA. NA LIJEVOJ STRANI BILJEŽNICE UGLEDAO JE CRVENI KRUG. - TI SI LJEPŠI OD KVADRATA. ŽELIM BITI KAO TI! - TO JE BAR JEDNOSTAVNO. TREBAŠ SE SAMO JAKO, JAKO ZAVRTJETI OBJASNIO MU JE KRUG. I ZAISTA. ZA NEKOLIKO TRENUTAKA POSTAO JE PRAVI PRAVCATI KRUG. U TOM OBLIKU SREO SE S TRI DUŽINE. SVAKA DUŽINA ŽELJELA GA JE SAMO ZA SEBE. KAKO SE NISU MOGLE DOGOVORITI ČIJI ĆE BITI, POČELE SU GA NAVLAČITI. SVAKA NA SVOJU STRANU. I TAKO JE KVADRAT-KRUG PONOVNO POSTAO TROKUT. - ŠTO MI JE TO TREBALO? - PITAO SE TROKUT. - VRTI MI SE U GLAVI, BOLI ME UHO I NOGE NE OSJEĆAM. DUŽINE SU ME POŠTENO NAVUKLE. - TAKO TI I TREBA KADA ŽELIŠ BITI ONO ŠTO NISI - REKAO JE AMAR I ZATVORIO SVOJU GEOMETRIJSKU BILJEŽNICU.

271

ŠKOLA:

RAZRED:

UČITELJICA:

ODJELJENJE:

TEMA:

SREDINA U KOJOJ ŽIVIM

DATUM:

PODTEMA:

MOJA PORODICA

SEDMICA:

NASTAVNA SKUPOVI JEDINICA: KOGNITIVNI (znati):   :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-usvojiti riječ skup, član skupa, pripadnost i nepripadnost skupu -govorom obrazlagati pripadnost i nepripadnost skupu

KONATIVNI (moći) :

AFEKTIVNI (razumjeti):

-razvijati mišljenje, pažnju, pamćenje, promatranje i zaključivanje

-razvijati urednost, tačnost, upornost u rješavanju zadataka

AKTIVNOSTI : MATEMATIKA

EVOKACIJA -razgovoram s učenicima i navodim ih da kažu šta su vidjeli na putu od kuće do škole -igra ( u funkciji učenja) i različiti predmeti (igračke) kojima učenici uz igre ukazuju na njihova različita obilježja -učenici obrazlažu različite karakteristike predmeta i istovremeno ih razvrstavaju u skupove (crveni autići, velike lopte, male knjige)

272

I

RAZUMIJEVANJE -uz demonstraciju učenike navodim na povezivanje stvari koje možemo svrstati u isti skup - pokazujem im skup učenika, stolica, slika… i povezujem ih u skupove sa ciljem promatranja i govornog izražavanja, usvajajući pojam skup; npr. skup knjiga, skup učenika… -riječ skup i njezino značenje postepeno će se usvajati imenujući njom skupove iz bliže i dalje okoline -riječ član spominjem u primjerima gdje doista označava člana skupa: član porodice/obitelji, član skupa učenika prvog razreda i sl. -uz riječ član postepeno uvodim i riječ element koja je prikladnija kada se govori o skupovima predmeta: stolica je element (član) skupa stolica, knjiga je element (član) skupa knjiga itd. -pripadnost, odnosno nepripadnost skupu učenici će upoznati otkrivanjem (uočavanjem, razumijevanjem) zajedničkih obilježja predmeta kao što su boja, oblik, veličina i dr. -shvatit će šta je kod svih predmeta isto, zajedničko obilježje i na osnovu toga zaključiti: predmeti koji imaju isto obilježje pripadaju skupu, oni koji to obilježje nemaju ne pripadaju promatranom skupu -tako npr., knjigama ne pripada lopta (lopta nije knjiga), skupu svesaka ne pripada pernica itd. -nizom prikladnih primjera učenike postepeno osposobljavam da znaju reći šta skupu pripada, a šta mu ne pripada (to je nastavak IGRE iz pripremnog dijela časa) -grafičkim prikazom poboljšavam nivo  jasnoće -pripadnost i nepripadnost člana skupu objašnjavat ću i crtanjem, što učenici rado čine -nacrtat ću skup npr., jabuka (jaja, šljiva i sl.), nekoliko jabuka zatvorim unutar crte tako da izvan ostane koja jabuka -uz crtež slijedi objašnjenje:  jabuke (šljive, jaja...) unutar zatvorene crte pripadaju skupu, a one izvan zatvorene crte ne pripadaju nacrtanom skupu

REFLEKSIJA -igrom u razredu dijelim učenike u grupe, izdvajajući pojedince koji tada ne pripadaju skupu (npr.,,Roda i žabe'') -učenici samostalno rade 3.i 4.zadatak u Mojoj matematici na str.33.i 34. -prvo učenicima opisujem sve zadatke obrazlažući šta skupu pripada, a šta mu ne pripada -nakon toga učenici će rješavati zadatke u udžbeniku -učenička rješenja potom provjeravam, a netačna ispravljam i objašnjavam DZ: Uraditi zadatke iz Radne sveske na str.16.

-učenicima postavljam zadatke: nacrtaj krugove (štapiće i sl.) i zatvorenom crtom pokaži koji krugovi pripadaju, a koji ne pripadaju nacrtanom skupu -učenici će potom i govorom obrazlagati crtež -rješavamo 1.i 2.zadatak u Mojoj matematici na str. 33.

273

ŠKOLA:

RAZRED:

UČITELJICA:

ODJELJENJE:

TEMA:

PRIRODA

DATUM:

PODTEMA:

 NAŠE TIJELO

SEDMICA:

NASTAVNA JEDINICA:

SABIRANJE I ODUZIMANJE BROJEVA DO DESET-ZADACI ZA ISPITIVANJE ZNANJA

  :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

I

KOGNITIVNI (znati):

KONATIVNI (moći) :

AFEKTIVNI (razumjeti):

-uputiti učenike u način rješavanja zadataka

-potaknuti, motivirati učenike za uspješno rješavanje 1. zadatka ispita -osposobljavati učenike za praktično primjenjivanje usvojenih postupaka i znanja

-tačnost rješavanja zadataka -važnost preciznosti i urednost pri izvođenju odgovarajućih grafičkih postupaka

AKTIVNOSTI :

274

MATEMATIKA EVOKACIJA -pripremam učenike za neposredno ispitivanje, a sadržaj pripreme je materijalno-tehničke (upute i materijal za rad) i psihološke naravi (motivacija, stimulacija) -da bi se pripremili za ispitivanje, učenike trebam upoznati: a) s ciljem časa – saopštavam im se da ću ispitivati ono što smo učili prethodnih dana da bi saznala kako je naučeno -ukratko, reći ću im sadržaj ispitivanja da bi aktivirala učeničko znanje; b) s načinom na koji ću ispitivanje provesti – pokazujem ispitni materijal, mjesto gdje će se zadaci rješavati, gdje će se zapisivati rezultati i sl. c) s načinom na koji će rješavati zadatke – učenike upućujem da pažljivo čitaju zadatak (više puta), da razmisle o rješenju, te da zadatak potom riješe; d) kako postupiti ako učenici zadatak ne mogu ili ne znaju riješiti -takav zadatak treba preskočiti i rješavati sljedeći, a kad se riješe ostali, treba se vratiti neriješenom zadatku i pokušati ga ponovo riješiti; e) s uputom da svatko radi sam, da ne prepisuje i da ne zapitkuje druge učenike i učitelja -treba ih pozvati da nastoje riješiti što više zadataka, a rezultate će doznati nakon ispitivanja ili najkasnije idući čas

RAZUMIJEVANJE -učenici rješavaju 7. zadatke za ispitivanje znanja iz matematike u prvom razredu, što traje dok većina ne završi rad -pratim učenički rad dajući eventualno samo tehničke upute -o načinu rješavanja ne dajem nikakve upute  jer bi se time narušila objektivnost ispitivanja

REFLEKSIJA -nakon ispitivanja provodim kvantitativnu analizu (koja pokazuje koliko su učenici usvojili gradivo) i kvalitativnu analizu (koja pokazuje koje je gradivo usvojeno, a koje nije). -podaci služe za unapređivanje nastavnog procesa, tj. treba li poduzimati korektivne mjere kao što su naknadna objašnjenja ili pak uvježbavanja i ponavljanja -s rezultatima se upoznaje svaki učenik pa se može utvrditi napreduje li ili zaostaje u učenju -podaci dobiveni ispitivanjem mogu poslužiti i za dugotrajno praćenje učeničkog napretka i za formiranje konačne prosudbe (na kraju školske godine) o učenikovu uspjehu u nastavi matematike

ŠKOLA:

RAZRED:

UČITELJICA:

ODJELJENJE:

TEMA:

PRIRODA

DATUM:

PODTEMA:

VRIJEME-ZIMA

SEDMICA:

NASTAVNA BROJ TRI JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :

I

AFEKTIVNI (razumjeti):

275

  :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-broj 3 shvatiti kao oznaku količine skupova s jednako mnogo elemenata -naučiti pravilno pisati cifru 3 i pravilno izgovarati brojevne riječi -upoznati nastajanje broja 3 -znati mjesto broja u nizu

-razvijati mišljenje, pažnju, pamćenje, promatranje i zaključivanje

-razvijati urednost, tačnost, upornost u rješavanju zadataka

AKTIVNOSTI : MATEMATIKA

EVOKACIJA -ponavljamo nastavno gradivo o brojevima putem matematičke igre: -pokazujem jednočlani (i dvočlani) skup, a učenici pridružuju broj 1 ( ili broj 2)

276

RAZUMIJEVANJE -obradu novog gradiva započinjem demonstracijom rada sa skupovima od 3 člana -svrha ove aktivnosti je izgraditi spoznaju o broju 3 kao oznaci količine tročlanih skupova -aktivnost se može se izvoditi u tri varijante: 1.Sastavljamo tročlane skupove od didaktičkog materijala (iz didaktičke kutije) ili drugih predmeta kao što su štapići, plodovi i sl. (npr. stavite na klupu nekoliko skupova koji imaju 3 člana). 2. Pronalazimo i imenujemo tročlane skupove u bližoj i daljoj okolini - učionici, školi, kući, ulici, trgovini (npr. pronađi i imenuj nekoliko tročlanih skupova u učionici, u školskom dvorištu, kući i sl.). 3. Crtamo tročlane skupove - grafičkim prikazom doprinosimo još boljem razumijevanju; (npr. nacrtajte u svesku nekoliko skupova od tri člana). -izvodimo po nekoliko radnji iz svake varijante uz napomenu da svaki taj rad završava govornim obrazloženjem koje glasi: skupovima koji imaju tri člana pridružuje se broj 3. -važno je da što više učenika izrekne tu činjenicu -nastajanje niza brojeva do 3 objašnjavam uz pomoć očitih sredstava i govornim obrazlaganjem na sljedeći

REFLEKSIJA -učenici samostalno rješavaju ostale zadatke na način kako je naznačeno, a onda slijedi provjera učeničkih zadataka i popravak eventualno netačnih rješenja -od učenika tražim da nacrtaju u svesku tri skupa s 3 člana (elementa) u svakom skupu -analizu provodim uvidom u uspješnost rješenja i realizacije cilja časa DZ: Uraditi zadatke na str.20 u Radnoj svesci.

način: uz jedan predmet (štapić, kamenčić, kocku i sl.) stavlja se još jedan i govori: jedan i jedan su dva; zatim se uz dva predmeta stavlja još jedan i govori: dva i jedan su tri -nakon toga isto će činiti i učenici sa svojim didaktičkim materijalom uz obavezno govorno obrazlaganje -pisanje broja detaljno objašnjavam, jer dio učenika griješi u pisanju tog broja -redoslijed poteza prikazan je u udžbeniku Moja matematika na str. 45. - opisujemo sliku u 1. zadatku Moje matematike na str. 45., a zatim u 3. zadatku -objašnjavam tročlane skupove i ističem da se svim tim skupovima pridružuje broj 3

277

ŠKOLA:

RAZRED:

UČITELJICA:

ODJELJENJE:

TEMA:

PRIRODA

DATUM:

PODTEMA:

 NAŠE TIJELO

SEDMICA:

NASTAVNA JEDINICA:

ZAPREMINA

  :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

KOGNITIVNI (znati):

KONATIVNI (moći) :

AFEKTIVNI (razumjeti):

- znati čime se mjeri tečnost, da se tečnost mjeri u litrima

- moći računati do 10 upotrebljavajući oznaku za litar

- razumjeti značaj matematike u svakodnevnom životu

AKTIVNOSTI : MATEMATIKA

EVOKACIJA -ponavljamo o učenim mjerama kilogram i metar -posmatramo posude i boce za tečnost koje sam poredala na klupu -prelijevam tečnost iz  jedne posude u drugu -uočavamo gdje ima više tečnosti i koliko litara ima u kojoj posudi ili boci

RAZUMIJEVANJE -pišem na tabli:  Jedan litar- 1 l -posmatramo uvodni zadatak u udžbeniku Moja matematika str.85. -rješavamo naredna dva zadataka -zatim, na tabli pišem nekoliko zadataka koje će riješiti učenici i prepisati u svoje sveske: 1 l +5 l=___l 4 l + 2 l =__l 7 l + 2 l = __l 3 l + 2 l= __l 9 l – 3 l = __l 10 l – 3 l = __l 8 l – 5 l = __l 4 l – 1 l = __l - U jednoj posudi je bilo 6 l vode. Elma je slučajno prosula 2 l. Koliko je vode ostalo u posudi? -Dino je kupio 2 l soka , a Edin 3 l. Koliko su ukupno soka kupili?

278

I

REFLEKSIJA -učenici samostalno rade 3.zadatak u Mojoj matematici na str.85. -ocjenjujem učenike

279

24.2. II RAZRED ŠKOLA: UČITELJ/ICA:

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

II

SAT BROJ:

17

TEMA: PODTEMA: NASTAVNA Upoređivanje brojeva do 20  JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :   :    I -upoređivati brojeve do -predvidjet    C 20 tačnost rješenja    A    D -primijeniti matematička kroz igru    A -povezati ranije    Z znanja u svakodnevnom    I životu stečena znanja    I -glasovno    V -primijeniti matematičke    E    J simbole <,> obrazlagati način    L    I rješavanja    C zadatka

AFEKTIVNI (razumjeti):

- razvoj interesa i smisla za istraživanje, -otkrivati i rješavati probleme kroz igru i i rješavati konkretne zadatke -zaključiti u kakvom su međusobnom odnosu brojevi do 20

AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Pregled i analiza domaće zadaće.

Nakon analize motivacionog zadatka u Udžbeniku na 19. strani, učenici naizmjenično izlaze pred tablu i rješavaju 2. zadatak. Učenici prepisuju zapis sa table.

Učenici samostalno rješavaju u Radnoj svesci zadatke na 11. strani. Pratim rad učenika, dajem upute i vršim korekcije ako je potrebno.

Upoređivanje brojeva

Izgovaram brojeve od 0 do 20. Ako izgovorim broj koji je manji od 10, učenici čučnu, ako izgovorim broj veći od 10 učenici ustanu (ili ostanu stajati), a ako izgovorim 10, učenici 10 puta pljesnu rukama. Iz igre ispada učenik koji je  pogriješio. Igra se prekida kad ostane oko polovine učenika iz razreda u igri i ti su učenici  pobjednici.  Najavljujem cilj sata.

280

Tačno –Netačno

Govorim upoređivanja brojeva do 20. Ako je tvrdnja koju kažem tačna, učenici dižu palac prema gore. Ako tvrdnja nije tačna, okreću palac prema dolje.

Domaća zadaća, Udžbenik 19. str./ 3.,4.,5. i 6. zadatak

ŠKOLA:

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

UČITELJ/IC A: TEMA:

II

PODTEMA: NASTAVN Slovo kao oznaka za nepoznati broj A  JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :   :    I -demonstrirati pisanje -identificirati slovo x    C slova x kao oznaku za    A    D nepoznati broj -zapisivati slovo x    A -označiti nepoznati broj -povezati oznaku    Z    I nepoznatog broja sa slovom iks    I

vrijednošću -predvdjeti rezultat računanja kroz igru

   V    E    J    L    I    C

SAT BROJ: AFEKTIVNI (razumjeti):

-procijeniti vrijednost računanja -dati primjer -generalizrati znanja o slovu kao oznaci

AKTIVNOSTI :

EVOK 

Sat započinjem dramatizacijom aktivnosti koja  je prikazana u udžbeniku na 42. strani (1,2,3 slika)  Najavljujem cilj sata.

CIJA RAZUMIJEVANJE Objašnjavam da umjesto linije, kvadratića ili kržića možemo pisati i slovo koje je oznaka za nepoznati broj, te da često koristimo slovo iks (x). Učenici u udžbeniku uočavaju 2. zadatak koji zajednički analiziramo. Iks (x ) Učenici se podijele u 3 grupe (najviše njih 9 u grupi) i stanu u kolonu. Na tabli je tri puta napisan izraz:

REFLEKSIJ Upućujem učenike na samostalno rješavanje 1. Zadatka iz radne sveske na 26. strani. Pratim rad učenika.

x + 1 =

Prvi učenik iz kolone izlazi i u zadatku za tu kolonu umjesto slova stavlja broj 10 i izračunava izraz, predaje kredu drugom učeniku i on upisuje broj 11, itd. do devetog učenika. Pobjedila je kolona koja ima najviše tačnih rješenja. U slučaju da dvije ili sve tri kolone imaju isti broj tačnih rješenja pobjednik je ona kolona koja  je bila brža.

281

Učenici prepisuju zapis svoje grupa sa table.

Učenici prepisuju zapis sa table

ŠKOLA: UČITELJ/ICA:

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

II

SAT BROJ:

73

TEMA: PODTEMA: NASTAVNA Mjesne vrijednosti cifara  JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :   :    I -nabrajati brojeve do -povezati ranije    C 100 stečena znanja    A    D -samostalno čitati i -predvidjeti rješenje    A zapisivati brojeve prema zadatka    Z    I - koristiti udžbenik i uputama    I radnu svesku - provjeriti svoja    V    E    J -prepričati aktivnosti rješenja    L    I -prepoznati brojeve od 1 -imenovati i pisati    C dvocifrene brojeve do 100 -primijeniti stečena -identificirati mjesnu znanja na konkretnim vrijednost cifre.

AFEKTIVNI (razumjeti):

-rezimirati rezultate igre - generalizirati znanje o pisanju dvocifrenih brojeva i mjesnim vrijednostima cifara -razlikovati desetice i jedinice u  broju zavisno od pozicije cifara

zadacima -demonstrirati učeno gradivo -otkriti i riješiti problem kroz igru i rješavati konkretne zadatake AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

U vrećici imam jednocifrene  brojeve. Izvlačim dva broja i  pokazujem ih učenicima. Učenici čitaju novonastali  broj. Mijenjam ''mjesta'' ciframa, a učenici opet

Pred tablu izvodim 10 učenika i svakom od njih dijelim papir sa  brojevima od 0 do 9. Dajem upute: -Neka ispred ostalih izađu učenik sa brojem 1 i brojem 6. Ako

Nakon uputa za rad, učenici prelaze na samostaalno rješavanje zadataka u Radnoj svesci na 39. Strani.

282

čitaju. Ponavljam situaciju dva-tri puta na isti način.  Najavljujem cilj sata.

učenik sa cifom 1 stane s desne strane, učeniku sa cifrom 6, dobili smo broj 16. -Koja cifra ima veću vrijednost? Zašto? -Ako je na prvom mjestu cifra 1 (ona ima veću vrijednost jer se nalazi na mjestu desetica, i vrijedi deset jedinica). Cifra 6 je na mjestu jedinica i vrijedi 6  jedinica. Potičem učenike da oni prozivaju brojeve i objašnjavaju njihovu vrijednost. Prelazimo na rad u udžbeniku na 73. strani.Jedan od učenika čita uvodni tekst.Objašnjavam poziciju pisanja cifre desetica i  jedinica i zapis pišem na tabli. Usmenim putem, zajedno sa učenicima, rješavam 1. i 2. zadatak u Udžbeniku. Učenici prepisuju zapis sa table.

Pratim rad učenika, dajem upute i vršim korekcije gdje je potrebno. Nivo usvojenosti znanja ću saznati nakon pregleda učeničkih radova.

Domaća zadaća: Udžbenik, 73.str/3. i 4. zadatak

ŠKOLA: UČITELJ/ICA: TEMA: PODTEMA: NASTAVNA Piramida i kupa (strane, bridovi i vrhovi)  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (moći) : (znati):   :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-imenovati i identificirati geometrijska tijela prema njihovim osobinama -prepoznati ravne i zakrivljene površi -opisati razliku između kupe i piramide

- uočavati i razlikovati geometrijska tijela po izgledu i njihovim osobinama - razlikovati pojedina geometrijska tijela -razvijati sposobnost uočavanja, upoređivanja, opisivanja - razvijati sposobnost praćenja i posmatranja, prepoznavanja

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

II

SAT BROJ:

8 3

AFEKTIVNI (razumjeti):

-objasniti razlike između geometrijskih tijela - uvažavati pojedine razlike i posebnosti -zaključiti u čemu se ogleda razlika između kupe i piramide

AKTIVNOSTI :

283

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

Kupa ili piramida Na dvije suprotne strane u učionici stavljam modele kupe i piramide na vidno mjesto. Učenici stoje i čekaju upute. Kada kažem kupa, učenici se okreću prema kupi i pokazuju na nju rukom, a na riječ piramida, okreću se  prema piramidi i pokazuju u njenom pravcu.  Najavljujem cilj sata.

 Napravio/la sam lutku, koja Učenici samostalno će se predstaviti. Osnovni rješavaju preostale  podaci o piramidi su zadatke u radnoj  prikazani u udžbeniku na svesci. 84. strani. Ponavljam  postupak i sa kupom. Kroz Domaća u zadaća:  priču između piramide i Pripremiti i donijeti 12 kupe upućujem na  jednakih kartonskih uočavanje razlika između kartica. ova dva geometrijska tijela. Započinjemo rad u Radnoj svesci na 48. strani i zajedničko rješavanje 1. zadatka. Učenike navodim na opis kupe i piramide te zapisivanje njihovih elemenata (strane, ivice, vrhovi).

ŠKOLA:

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

UČITELJ/ICA: TEMA: PODTEMA: NASTAVNA Mjerenje zapremine tečnosti  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (moći) : (znati):    I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

-provjeriti rješenja zadataka u kojima se koriste mjerne jedinice -mjeriti uz korištenje dogovorenih jedinica i sprava -izražavati tačne rezultate mjerenja -samostalno izvesti mjerenje i zapisivanje rezultata

SAT BROJ:

II

98/9 9

AFEKTIVNI (razumjeti):

-predvidjeti ishode mjerenja -pripremiti didaktički -izražavati ishode mjerenja materijal -koristiti standardne - proširiti matematička  jedinice za mjere i mjerenja znanja upoznavanjem novih -primijeniti jedinice za  pojmova mjere prilikom mjerenja -objasniti način mjerenja i -prikupljati podatke iz računanja stvarnih situacija -procijeniti vjerovatni -vršiti samostalna mjerenja rezultat mjerenja -generalizirati znanja o mjerenju zapremine tečnosti AKTIVNOSTI :

284

REFLEKSIJA

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE 1.

RAZUMIJEVANJE 2.

Pregled i .analiza domaće zadaće. Analiza motivacionog zadatka na 98. strani

Objašnjavam i zapisujem na tabli jedinice za mjerenje tečnosti kao u Udžbeniku na 98. strani (litar, decilitar). Kada učenike upoznam sa  jedinicama za mjerenje tečnosti, izvodim nekoliko mjerenja sa različitim  posudama i na taj način objašnjavam učenicima da i onaj koji nije vidio našu čašu ili neku drugu posudu u toku sata može zamisliti šta smo radili ukoliko mu saopštimo mjerne jedinice. To je neophodno da bismo mogli lakše da se sporazumijevamo sa ljudima. Učenici prepisuju zapis sa table. Analiziram sa učenicima 1. zadatak iz Udžbenika na strani 99., a onda samostalno rješavaju 2. zadatak. Domaća zadaća: - Riješiti zadatke iz Udžbenika, 99. strana/5. zadatak/ prva i druga kolona.

Nakon ponavljanja  jedinica za mjerenje zapremine tečnosti, učenici rješavaju zadatke u Udžbeniku, 99. strana/3.i 4. zadatak, a zatim u radnoj svesci na 56. strana

 Najavljujem cilj sata.

Domaća zadaća: - Riješiti zadatke iz Udžbenika, 99. strana/3. zadatak/ treća i četvrta kolona.

24.3. III RAZRED ŠKOLA: UČITELJ/ICA: TEMA: PODTEMA:

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

III

NASTAVNA BROJ SATA: Brojevi do 100 3 JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) : AFEKTIVNI (razumjeti):

285

  :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-identificirati brojeve u nizu do 100 , -nabrojati desetice prve stotice, -povezati pisanje broja sa cifrom, -čitati brojeve do 100 -upoređivati brojeve do 100 -uočiti brojevni niz do 100

-promijeniti kroz igru izgovor zadatog broja dogovorenim zvukom -izračunati zadate zadatke, -predvidjeti rezultat igre, -riješiti date zadatke, - koristiti udžbenik

- procijeniti udaljenost -objasniti rješenje zadatka -predvidjeti krajnji rezultat zadatka -prepričati aktivnosti

AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA S učenicima se dogovorim da sa svoje dvije ruke na kojima je 10 prstiju – 1 desetica, pljesnu toliko puta da se dođe do zadanog broja. Uz pljeskanje učenici i broje po 10. Npr. kažem 30, a učenici pljesnu 3 puta glasno brojeći: deset, dvadeset, trideset.

RAZUMIJEVANJE -Igra brojimo do 100 je opisana u Udžbeniku (str.9). -Slijedi rješavaje zadataka iz Udžbenika. Upućujem na pravilno čitanje, razmišljanje i pronalaženje puteva do rješenja.

ŠKOLA: UČITELJ/ICA:

REFLEKSIJA Igra Meta  Na tabli crtam metu u obliku koncentričnih krugova. Učenici su  podijeljeni u jednake grupe od kojih svaka u  jednom krugu po  jednom gađa metu. U tabelu pored mete upisujem broj  postignutih bodova. Pobjednik je grupa koja je sakupila najviše  bodova.

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

III

TEMA: PODTEMA:

Oduzimanje više brojeva, zagrade NASTAVNA JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :

286

SAT BROJ:

23

AFEKTIVNI (razumjeti):

  :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

- interpretirati motivacioni zadatak -uočiti faze zadatka - samostalno riješiti zadatke -povezati ranije stečena znanja -odrediti redoslijed pri rješavanju zadataka

-upotrijebiti matematički jezik i simbole - rješavati numeričke zadatke -izračunavati vrijednost brojnog izraza -razvijati radne navike -koristiti zagrade -zaključiti da zagrade olakšavaju oduzimanje

-objasniti način računanja -izdvojiti poznato i nepoznato u zadatku -dati primjer zadatka -generalizirati znanja o oduzimanju više brojeva

AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Zajednička analiza domaće zadaće. Ističem crtež motivacionog zadatka. Nakon analize zadatka i zapisa matematičkog izraza, slijedi najava cilja sata.

Učenicima objašnjavam postupak oduzimanja više brojeva i korištenje zagrada. Objašnjavam da je prilikom oduzimanja više brojeva važno paziti na redoslijed oduzimanja, te da zbog lakšeg oduzimanja koristimo zagrade. Nakon objašnjenja rješavam brojni izraz zapisan na tabli.

Učenici samostalno rješavaju zadatke u Radnoj svesci na 19. strani. Nivo usvojenosti znanja ću dobiti pregledom učeničkih radova. Domaća zadaća: Udžbenik, 27. strana / 3.,4. i 5. zadatak

U ranije pripremljenim plastikama od čokoladnih  jaja (Kinder jaja) nalaze se računi iz 2. i 3. zadatka iz Udžbenika na 27. strani. U svakom  jajetu se nalazi jedna ceduljica, za svakog učenika, učenog oblika oduzimanja. Učenici iz vrećice izvlače jaje i idu na mjesto. Izvučeni zadatak rade u svoju svesku. Ponavljam postupak nekoliko puta.

ŠKOLA:

RAZRED I ODJELJENJE:

III

287

UČITELJ/ICA:

DATUM:

TEMA: PODTEMA: NASTAVNA BROJ SATA: Dijeljenjem brojem 7 JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) : AFEKTIVNI (razumjeti):   :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-intrepretirati tablicu dijeljenja jednocifrenim  brojem -upoznati način pisanja tablice dijeljenja -ovladati postupkom dijeljenja brojem 7 -opisati motivacionu sliku -provjeriti dijeljenje pomoću množenja

-usvojiti do nivoa automatizacije tablicu dijeljenja jednocifrenim  brojem -predvidjeti količnike dijeljenja brojem 7 -riješiti zadatke sa dijeljenjem  brojeva -koristiti stečena znanja o dijeljenju brojeva

76

-proširiti matematička znanja učenjem novih  pojmova -objasniti način računanja -izdvojiti poznato i nepoznato u zadatku -prepričati tekstualni zadatak -dati primjer zadatka

AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

Usmenim putem zajedno sa učenicima vršim detaljnu analizu 2. z. U Pregled i analiza Udžbeniku. domaće zadaće. Naizmjeničnim javljanjem Učenici iz vrećice učenici čitaju dijeljenja brojem izvlače kartice 7 i njegovu vezu sa trokutastog množenja množenjem, a ja to zapisujem i dijeljenja sa ranije na tabli. Na kraju dobijamo tablicu dijeljenja brojem 7. učenim brojevima. Usmenim putem zajedno sa Nakon čitanja izraza, učenicima vršim analizu 3. učenik /ca govori zadatka u Udžbeniku rezultat. uočavajući vezu oduzimanja Učenici uz moju broja 7 i dijeljenja brojem 7. pomoć analiziraju Učenici prepisuju zapis u svoje motivacionu sliku u sveske. Udžbeniku na 108. Pripremio/la sam četiri slike gradova u Bosni i Hercegovini i četiri papira strani./2z. iste veličine. Svaku sliku sam Najavljujem cilj sata. isjekao/la na jednak broj kvadratića.  Na poleđini svakog kvadratića nalaze se zadaci dijeljenja. Rezultat računanja se vizuelno treba poklopiti sa poljem koje je označeno na papiru. Ako su rješenja tačna, dobijaju dijelove puzzle, a na kraju cijelu sliku. Povesti kraći razgovor o slikama svih grupa. Ovisno o okruženju u učionici, dijelovi puzzli se mogu slagati na tabli, panou, podu, klupi, prozoru itd

ŠKOLA:

288

REFLEKSIJA Učenici samostalno rješavaju u Radnoj svesci zadatke na 60. strani. Pratim rad učenika, dajem upute i vršim korekcije ako je potrebno. Domaća zadaća, Udžbenik 108. str./4.,5., 6. i 7.zadatak

RAZRED I ODJELJENJE:

III

UČITELJ/ICA:

DATUM:

TEMA: PODTEMA: NASTAVNA SAT BROJ: Mjerenje dužine, Jedinice za dužinu JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) : AFEKTIVNI (razumjeti):   :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-provjeriti rješenja zadataka u kojima se koriste mjerne  jedinice -mjeriti uz korištenje dogovrenih jedinica i sprava -izražavati tačne rezultate mjerenja -samostalno izvesti mjerenje i zapisivanje rezultata

-predvidjeti ishode mjerenja -izražavati ishode mjerenja -koristiti standardne  jedinice za mjere i mjerenja -primijeniti jedinice za mjere prilikom mjerenja -prikupljati podatke iz stvarnih situacija -vršiti samostalna mjerenja

98

-pripremiti didaktički materijal - proširiti matematička znanja upoznavanjem novih pojmova -objasniti način mjerenja i računanja -procijeniti vjerovatni rezultat mjerenja

AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Pregled i analiza domaće zadaće. Najavljujem cilj sata. Učenici uočavaju nastavnu jedinicu u Udžbeniku na 128 strani. Na motivacionij slici ponavljamo redne brojeve i procjenjuju koliko centimetara na crtežu je atletičarima ostalo do cilja, pa tu procjenu upisuju u ranije pripremljenu tabelu (prilog1).

Kako su učenici jedinice za mjerenje dužine (metar, decimetar i centimetar) upoznali u ranijim razredima, generalizaciju gradiva koje je  predviđeno za učenje  provodim kao ponavljanje i  produbljivanje ranije stečenih znanja.  Na tabli zapisujem jedinice za mjerenje dužine, demonstrirajući ih i na modelu metra iz Didaktičke kutije3. Učenici svojim linijarima mjere udaljenosti svakog atletičara od cilja, također  upisuju u tabelu i upoređuju sa svojom procjenom. Uz pomoć modela metra koji su učenici donijeli u školu nakon procjene, vrše mjerenja koja su zadana u 3. zadatku i upisuju u drugu tabelu (prilog2).

Učenici samostalno rješavaju zadatke u Radnoj svesci na 77. strani. Nivo usvojenosti znanja ću dobiti pregledom učeničkih radova. Domaća zadaća; Udžbenik, 128. strana, 2. z

289

ATLETIČAR PROCJENA STVARNA UDALJENOST 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

LINIJAR  DUŽINA ŠKOLSKE KLUPE ŠIRINA ŠKOLSKE KLUPE VISINA PRIJATELJA/ICE IZ KLUPE MOJA VISINA

ŠKOLA:

290

PROCJENA

STVARNA DUŽINA

RAZRED I ODJELJENJE:

III

UČITELJ/ICA:

DATUM:

TEMA: PODTEMA: NASTAVNA Godina, mjesec, sedmica, dan JEDINICA: KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :   :    I    C    A    D    A    Z    I    I    V    E    J    L    I    C

-provjeriti rješenja zadataka u kojima se koriste mjerne jedinice -mjeriti uz korištenje dogovrenih jedinica i sprava -izražavati tačne rezultate mjerenja -samostalno izvesti mjerenje i zapisivanje rezultata

EVOKACIJA

-predvidjeti ishode mjerenja -izražavati ishode mjerenja -koristiti standardne  jedinice za mjere i mjerenja -primijeniti jedinice za mjere prilikom mjerenja -prikupljati podatke iz stvarnih situacija -vršiti samostalna mjerenja

BROJ SATA:

102

AFEKTIVNI (razumjeti):

- proširiti matematička znanja upoznavanjem novih pojmova - izdvojiti poznato i nepoznato u zadatku -objasniti način mjerenja i računanja -procijeniti vjerovatni rezultat mjerenja

AKTIVNOSTI :

RAZUMIJEVANJE

Pregled i analiza Objašnjavam i zapisujem na domaće zadaće. tabli jedinice za mjerenje Najavljujem cilj sata. vremena (sat i minuta, te Ponavljam sa njihovo trajanje) kao u učenicima na osnovu Udžbeniku na 133. strani njihovog ranijeg Učenici prepisuju zapis sa iskustva osnovna table. znanja o mjerenju Kada učenike upoznam sa vremena koja oni  jedinicama za mjerenje posjeduju. vremena vježbamo mjerenje Razgovor će biti vremena pomoću modela pokazatelj koji nivo znanja učenici imaju od sata.  Naizmjeničnim izlaskom ranije.  pred tablu, učenici rješavaju Učenici uočavaju nastavnu  jedinicu u Udžbeniku na 131  prvi dio 1. zadatka. strani.Na kalendaru u motivacionom zadatku učenici uočavaju mjesece u godini, sedmice u godini, dane te broj dana u svakom mjesecu i sedmici. Jedan od učenika/ca čita generalizaciju gradiva o godini. Naizmjeničnim izlaženjem na razrednom kalendaru učenici pronalaze svoj datum rođenja.

REFLEKSIJA Učenici samostalno rješavaju Radni list , 80. Strana. Nivo usvojenosti znanja ću dobiti pregledom učeničkih radova. Domaća zadaća; Udžbenik, 131., 132. i 133. str./ po izboru učitelja/ice

291

24.4. IV RAZRED ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/IC A: TEMA:

FAHIR TERZIĆ

IV

SAT BROJ:

29

PRAVA U RAVNI

PODTEMA: PRAVA U RAVNI NASTAVN Duž kao dio prave A  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (znati): (moći) :    I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

da učenici ponove pojam prave i poluprave -da tačka dijeli pravu na dvije poluprave -samostalno uočavanje ravni između dvije tačke

-samostalno uočavati različite duži i  poluprave -precrtavati crteže sa  pravima i polupravima sa školske table -provjeriti i govorom obrazlagati nacrtano

AFEKTIVNI (razumjeti):

-način i postupak crtanja prave,duži i poluprave -generalizirati znanja o crtanju pravih,duži i polupravih -procijeniti tačnost nacrtanih pravi,duži i  polupravi

AKTIVNOSTI : EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

 Nakon analize i provjere domaće zadaće, učiteljica/učitelj na pod spušta konopac. Ponavlja se pojam  prave, zatim se proziva jedan učenik koji će stati na konopac i označiti tačku na njemu. Uočava kako se prava  podijelila na dva dijela i kako  je ta tačka početna tačka oba ta dijela (poluprave). Dakle, uočava se da jedna tačka dijeli  pravu na dvije poluprave i  pripada i toj pravoj i objema  polupravima. Proziva se drugo dijete koje također stane na konopac i označava drugu tačku te prave. Učenici moraju vidjeti i uočiti kako je ravan konopac između učenika A i  B najkraći put između tih dva učenika i kako tu najkraću crtu između dvije tačke nazivamo duž. Uočava se kako obje tačke pripadaju pravoj i duži i

Prelazi se na rad u  Nakon uputa, učenici udžbeniku.Nakon čitanja naslova, samostalno rješavaju 3. analiziraju se uvodne slike i zadatak na 29. stranici.  prepričavaju radnje koje se na Učenici nacrtaju određenu njima događaju. Važno je da duži. Analiziraju se 2., 3. i 4. učenici uoče kako su određena zadatak na 29. stranici, te mjesta na predmetima zapravo daju upute za izradu domaće tačke i mogu se uočiti različite zadaće duži, ali i poluprave. Nakon toga,  prelazi se na obradu duži i  poluprave kao dijelova prave, uočava i usvaja da je svaka duži dio prave i da na pravoj može biti  beskonačno mnogo duži, te da je  poluprava također dio prave i da  jedna tačka prave tu pravu dijeli na dvije poluprave. Na tabli se crta prava p i na njoj označe dvije  pripadajuće tačke  A i  B. Zatim se crta druga prava r i na njoj ističe tačka  A koja tu pravu dijeli na dvije poluprave. Učenici  precrtavaju crtež s table i  prepisuju tekst o duži i polupravoj iz udžbenika. Također zapisuju da

292

REFLEKSIJA

da su one krajnje tačke te duži.  jedna tačka pravu dijeli pravac na Ujedno se uočavaju i dvije dvije poluprave. Nakon nove poluprave nastale  precrtavanja i prepisivanja označivanjem druge tačke učenici samostalno rješavaju 2.  prave. Osim tačaka polupravih zadatak na 29. stranici, a provjera i duži koje pripadaju toj pravi, se može obaviti u paru budući da ujedno se uočava kako svi oni nema crtanja geometrijskim  pripadaju istoj ravni koje je  priborom.  pod samo dio. Najavljuje se današnji obrazovni zadatak.

293

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/I CA: TEMA:

FAHIR TERZIĆ

- ponoviti o trouglu; stranicama i tjemenu trougla, tačke trouglova -o jednakokrakim trou-glovima -usvojiti crtanje  jedna-kokrakog trougla

- crtati jednakokraki trougao - pravilno koristili  pribor za crtanje  jednakokrakog trougla -provjeriti i govorom obrazlagati crtanje i obilježavanje jednakokrakog trougla

SAT BROJ: AFEKTIVNI (razumjeti):

- Rzumjevanje i primjena crtanja  jednakokrakog trougla -generalizirati znanja o  jednakokra-kom trouglu - Primjena stečenog znanja kroz odgovarajuće primjere

AKTIVNOSTI :

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Ponovimo šta je trougao? Šta su stranice, a šte tjemena trougla? Unutrašnje i vanjske tačke trougla? Najava cilja časa.

Zapisujem naslov na tabli. Jednakokraki trougao ( trokut). Učenicima objašnjavam šta je  jednakokraki trougao. Učenici pronalaze u učionici gdje imamo trouglove. Objašnjavam im da trougao ima osnovicu i dva kraka iste dužine. Objašnjavam kako šta označavamo.

Ukratko ponovimo sadržaj časa. Pohvalim i ocjenim učenike koji su bili najaktivniji, kao motivaciju onima koji su bili manje aktivni na času Za DZ: uraditi zadatke u radnom listu.

JEDNAKOKRAKI TROUGAO Trougao ( trokut) koji ima dvije stranice jednake 294

V

GEOMETRIJA

PODTEMA GEOMETRIJA : NASTAVN  Jednakokraki trougao A  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (znati): (moći) :    I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

dužine je jedna- kokraki trokut. Jednake stranice nazivaju se kraci trokuta, a treće stranica je osnovica. Objašnjavam im kako crtaju  jedna-kokraki trougao. 1.Nacrtaj jednakokraki trugao ABD čiji su kraci b = 25 mm, a osnovica a = 35 mm Kada urade primjere na tabli riješavaju zadatke u udžbeniku str. 120. Ukoliko nekom nije jasno objašnjavam ponovo da bi uspješno riješili zadatke.  Naglašavam da moraju biti  jako uredni prilikom crtanja sa geometrijskim priborom. Prepisuju zapis sa table.

.

295

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/IC A: TEMA:

FAHIR TERZIĆ

RAZRED I ODJELJENJE : DATUM:

IV

SAT BROJ:

1 5

MJERENJE I MJERE

PODTEMA: MJERENJE I MJERE NASTAVN Mjerenje i mjere-ponav. A  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (znati): (moći) :    I  jedinice mjere za    V masu,    E    J    L    I dužinu,vrijeme i    C   : zapremi-ne    I    C tečnosti    A -ponoviti i naučiti    D    A  jedinice za    Z mjerenje mjera    I

-riješiti zadatke s mjerama -samostalno riješiti zadatke

samostalno određivati  jedinice za mjerenje -pretvarati veće  jedinice u manje i obratno,manje u veće -primijeniti matematička znanja u svakodnevnom životu

AFEKTIVNI (razumjeti):

-način i postupak pretvaranja -generalizirati znanja  jedinicama za mjerenje -procijeniti tačnost mjerenja

AKTIVNOSTI :

296

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Kratko  podsjećanje na  jedinice mjere koje su učene na rethodnim časovima (jedinice za dužinu i masu), kao i na jedinice koje su učene u  prethdnim razredima (vrijeme i zapreminu).

Jedinice za mjerenje dužine su: mm, cm, dm, m, km, Jedinice za mjerenje mase su: g, kg, t Rješavamo zadatke koji se nalaze u udžbeni-ku. Zadatak broj 1., 2. i 3. Objašnjavamo,  ponavljamo i utvrđujemo znanje iz oblasti mjerenja i jedinica za mjerenje. Prva tri zadatka učenici rješavaju sami. Zajednički provjeravamo rezultate rada. Četvrti zadatak rješavamo zajednički i postepeno utvrđujemo tražena odstupanja od normi u zadatku. Zadatak: Jedna grupa učenika skakala je u dalj. Postavljena je norma od 4 m i 50 cm za uspješan skok. U tablici su zabilježeni svi skokovi. Ko od učenika nije ispunio normu i ko je najdalje skočio?

Evaluacija nastavne jedinice i zadavanje domaćeg zadatka (zadaci sa NL koji nisu završeni,  prepisati u sveske i riješiti.

 Najavljujem cilj sata.

Ime

Omer Rajko Ivan Vahid Suad

Postignut skok 

5 m 17 cm 5 m 12 cm 6 m 45 cm 6 m 65 cm 4 m 8 cm

Odstupanje od norme

67 cm 62 cm 1 m 95 cm 2 m 15 cm 42 cm (manje)

Rješavanje zadataka iz RL Po analogiji sa prethodnim zadacima. I zadaci pripremljeni na nastavnim listićima.

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/ICA : TEMA:

FAHIR TERZIĆ

RAZRED I ODJELJENJ E: DATUM:

IV

SAT BROJ:

15

BROJEVI DO 100

BROJEVI DO 100 PODTEMA: NASTAVNA Prikazivanje brojeva na brojnoj liniji  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (znati): (moći) :    I -o brojnoj liniji -brojati pomoću brojne    V linije unaprijed i ,stoticama i    E    J    L unatrag na razne načine    I deseticama    C -demonstrirati na   : -uočavanje    I    C stotica,desetica i  brojevnoj pravoj    A  jedinica  pozicije brojeva    D desetice i stotice    A -višekratnike    Z broja 10 i broja -primijeniti    I matematička znanja u 100 svakodnevnom životu -samostalno riješiti zadatke AKTIVNOSTI :

AFEKTIVNI (razumjeti) -postupak i način brojanjauz pomoć brojne linije -generalizirati znanja o brojanju desetica i stotica -procijeniti tačnost brojanja

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Analizirati i provjeriti domaću zadaću. Provodi se igra brojenja zvijezda. Vrlo  je važno paziti da učenici  pri brojanju pravilno  prelaze desetice unutar  stotica i stotice unutar  hiljade. Još jednom se  pomoću razrednih simbola  ponavlja pojam jedinice, desetice, stotice i hiljadice.

Rad u udžbeniku na 19.  Nakon izrade zadatka i stranici. Nakon čitanja naslova,  provjere u paru, provodi analizira se slika i brojevna crta se igra u paru: reci, moj ispod . Pri analizi je važno  prethodnik ili moj uočiti da je sto jedinica jedna sljedbenik. Krajem sata stotica, da je deset jedinica daju se upute za izradu  jedna desetica i da je deset 3. zadatka na 19. desetica jedna stotica. Pomoću stranici za domaću te četiri brojevne linije organizujem brojanje unaprijed zadaću. i unatrag po 100, po 200, po 50,  po 150, po 10, po 20, 30, po 1,  po 2, po 3, po 5... Iako učenici od prvog razreda znaju što je

297

 brojevna linija, važno je obnoviti to znanje i uočiti kako su tačke koje su pridružene  brojevima jednako udaljene  jedna od druge. Nakon analize zadatka u udžbeniku i davanja uputa, učenici samostalno rješavaju 1. i 2. zadatak na 19. stranici. I tu je vrlo važno usmjeriti pažnju na prelazak desetica odnosno stotica. Rad se može provjeriti u paru ili individualno.

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „GRIVICE“

UČITELJ/ICA:

FAHIR TERZIĆ

TEMA:

SABIRANJE I ODUZIMANJE DO 1000

PODTEMA:

SABIRANJE I ODUZIMANJE DO 1000

NASTAVNA  JEDINICA:

Veza sabiranja i oduzimanja

   I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

IV

SAT BROJ:

5 8

KOGNITIVNI (znati):

KONATIVNI (moći) :

AFEKTIVNI (razumjeti):

da učenici uoče i nauče vezu saabiranja i oduzimanja u zadacima -riješiti zadatke s sabiranjem i oduzimanjem -samostalno riješiti zadatke

-samostalno kroz igru zapisuju na tabli brojne izraze -pisati koristiti i služiti se u radu sa razrednim simbolima -dokazati tačnost zapisa  brojnog izraza na tabli

-način i postupak rješavanja zadataka kroz igru u razredu -generalizirati znanja o sabiranju i oduzimanju brojeva -procijeniti tačnost  brojnog izraza

AKTIVNOSTI :

298

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Analizirati i provjeriti domaću zadaću. Prelazi se na rad u udžbeniku.  Nakon čitanja naslova  provodi se analiza uvodne slike i primjera i čita veza sabirajanja i oduzimanja.  Najavljujem cilj sata.

 Nakon uputa za rad, učenici samostalno rješavaju 1, 2. i 3. zadatak na 55. stranici. Provjera se obavlja u paru. Provodi se igra tajna veza. Uz  pomoć razre-dnih simbola za dekadske jedinice učenici formirani u trojke izračunavaju zadatke. Prvi učenik uz  pomoć simbola pokazuje računsku radnju oduzimanja,  primjerice, 800 – 500. Drugi

Analiziraju se 1, 2. i 3. zadatak u radnoj svesci i daju upute za izradu domaće zadaće.

učenik zapisuje brojni izraz na tablu i rezultat. Treći učenik također uz pomoć razrednih simbola, vezom sabirajanja i oduzimanja, dokazuje tačnost zapisa na tabli i zapisuje svoj brojni izraz na tablu. Bilo bi dobro kad bi neko od učenika iz razreda uz te zadatke sastavio i brojnu priču. Igra završava nakon što su svi učenici iz razreda bili sudionici igre.

24.5. V RAZRED ŠKOLA: UČITELJ/IC A: TEMA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“ FAHIR TERZIĆ

V

BROJEVI PRVE HILJADE

PODTEMA: BROJEVI PRVE HILJADE NASTAVN Sabiranje i oduzimanje u prvoj hiljadici A  JEDINICA: KOGNITIVNI KONATIVNI (znati): (moći) :    I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

-da učenici ponove brojevima do 1000 -da usvoje sabiranje i oduzimanje u prvoj hiljadici -samostalno rješavaju zadatake sa sabiranjem i oduzimanjem brojeva

-samostalno uočavati usmeno i pismeno sabiranje brojeva -rješavati tekstaualne zadatke sa sabiranjem  brojeva -provjeriti i govorom obrazlagati urađeno

SAT BROJ: AFEKTIVNI (razumjeti): -način i postupak sabiranja i oduziamnja brojeva -generalizirati znanja o sabiranju i oduzimanju brojeva -procijeniti tačnost urađenih zadataka sa sabiranjem i oduzimanjem

AKTIVNOSTI :

299

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Pponoviti o brojevima do hiljadu. Koje mjesne vrijednosti imaju broje-vi? Kako se nazivaju brojevi u sabiranju, a kako u oduzimanju?  Najava cilja časa.

Zapisujem naslov na tabli. Sabiranje i oduzimanje u prvoj hiljadici ( tisućici) Kroz nekoliko primjera ponovimo kako se sabira i oduzima usmeno i  pismeno? Zapis na tabli Sabiranje i oduzimanje u prvoj hiljadici ( tisućici) 1. 869 + 122 = 2. 637 – 128 =

Ukratko ponovimo sadržaj časa. Za DZ: uraditi zadatke u radnom listu

869 +122  ____

639 - 128 ____ 

Učenici samostalno rješavju odgovarajuće primjere. 1.

458 + 256 = 345 + 147 = 856  – 756 = 963 – 456 =

4. U voćnjaku je zasađeno 386 stabala šljiva i 275 stabala krušaka. Koliko je ukupno zasađeno stabala? R: O: Prepisuju zapis sa table.

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/ICA:

FAHIR TERZIĆ

TEMA:

BROJEVI DO MILION

PODTEMA:

BROJEVI DO MILION

NASTAVNA  JEDINICA:

   I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

300

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

V

Osobine sabiranjakomutativnost i asocijativnost KOGNITIVNI KONATIVNI (znati): (moći) :

SAT BROJ:

- ponoviti o brojevima do milion - o mjesnim vrijednostima brojeva;brojevima koji se sabiraju -usvojiti osobine sabiranja

- Rzumjevanje i primjena oso-bina komutativnosti i asocijati-vnosti -generalizirati znanja o komutati-vnosti i asocijativnosti sabiranja - Primjena stečenog znanja kroz odgovarajuće primjere

- koristiti osobine sabiranja kroz rad zadataka - rješavati brojevne izraze -provjeriti i govorom obrazlagati komutativnost i asocijativnost sabiranja

AFEKTIVNI (razumjeti):

AKTIVNOSTI : EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Ponoviti o brojevima do milion. Koje mjesne vri jednosti imaju brojevi? Kako se nazivaju brojevi u sabiranju, a kako u oduzimanju?  Najava cilja časa

Zapisujem naslov na tabli. Osobine

Ukratko ponovimo sadržaj časa. Za DZ: uraditi zadatke u radnom listu.

(svojstva) sabiranje- komutativnost i asocijativnost

 Na odgovarajućim primjerima učenicima objašnjavam ove osobine. Zapis na tabli: Osobine (svojstva) sabiranje- komutativnost i asocijativnost

1. 245+ 132= 132+245 Za bilo koja dva prirodna broja a i b, zbir a+b jednak je 377=377 jednak zbiru b+a ova osobina se zove zamjena mjeata sabiraka ili zakon komutacije. 2.

(308+107)+255= 308+(107+255) Za bilo koja tri prirodna broja a,b, c zbir (a+b) +c 670= 670  jednak je zbiru a+( b+c) ova osobina se zove združivanje sabiraka ili asocijativnost Učenici rade odgovarajuće primjere. Kada urade primjere na tabli riješavaju zadatke

u udžbeniku str. 30. i 31. Ukoliko nekom nije jasno  pokušavam im objasniti da bi uspješno rješili zadatke.

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/ICA:

FAHIR TERZIĆ

TEMA:

BROJEVI DO MILION

PODTEMA:

BROJEVI DO MILION

NASTAVNA Usmeno sabiranje brojeva do  JEDINICA: milion KOGNITIVNI (znati): KONATIVNI (moći) :    I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

- Usvojiti način usme-nog sabiranja brojeva do milion - modelirati brojevne izraze  prema datim (tekstualnim)uvjetima -samostalno rješavaju zadatake sa sabiranjem brojeva

- prepoznati i riješavati zadatke date riječima - rješavati brojevne izraze -provjeriti i govorom obrazlagati urađeno

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

V

SAT BROJ: AFEKTIVNI (razumjeti):

-način i postupak usmenog sabiranja brojeva do milion -generalizirati znanja o sabiranju brojeva do milion - Primjena stečenog znanja kroz odgovarajuće primjere

AKTIVNOSTI :

301

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Ponoviti o brojevima do milion. Koje mjesne vri-jednosti imaju  brojevi? Kako se nazivaju  brojevi u sabiranju, a kako u oduzimanju? Ponovimo na  jednom primjeru kako sabiramo  brojeve do hiljadu.  Najava cilja časa

Zapisujem naslov na tabli. Usmeno ( nealgoritamsko) sabiranje brojeva do milion Kroz nekoliko primjera  ponovimo kako se sabira i oduzima usmeno i pismeno. Zapis na tabli Usmeno ( nealgoritamsko) sabiranje  brojeva do milion Učenicima objašnjavam kako možemo na duži, akako na kraći način sabirati brojeve do milion.

Ukratko ponovimo sadržaj časa. Za DZ: uraditi zadatke u radnom listu.

1. 520 000 + 30 000 = 500 000 + 20 000 + 30 000 ili kraće 520 000 + 30 000 = 500 000 + 50 000 = 550 000 = 550 000 Učenici na tabli samostalno rješavju odgovarajuće primjere. 2.

840 000 + 3000= 530 000 + 20 000 = 450 000 + 40 000 =

Kada urade primjere na tabli riješavaju zadatke u udžbeniku str. 19 Ukoliko nekom nije jasno  pokušavam im objasniti da bi uspješno rješili zadatke.

ŠKOLA:

OSNOVNA ŠKOLA „ GRIVICE“

UČITELJ/ICA:

FAHIR TERZIĆ

TEMA:

GEOMETRIJA

PODTEMA:

GEOMETRIJA

NASTAVNA  JEDINICA:    I    V    E    J    L    I    C   :    I    C    A    D    A    Z    I

Pravi, oštri i tupi ugao; Crtanje pravog, oštrog i tupog ugla

V

SAT BROJ:

KOGNITIVNI (znati):

KONATIVNI (moći) :

AFEKTIVNI (razumjeti):

- ponoviti o uglu;šta je ugao;elementi uglova, tačke uglova -o vrstama uglova; pravi,oštri i tupi ugao -usvojiti crtanje uglova

- crtati pravi,oštri i tupi ugao - pravilno koristili pribor za crtanje u geometriji -provjeriti i govorom obrazlagati crtanje i obilježavanje uglova

- Rzumjevanje i primjena crtanja pravog,tupog i oštrog ugla -generalizirati znanja o pravom,oštrom i tupom uglu i crtanju tih uglova - Primjena stečenog znanja kroz odgovarajuće primjere

AKTIVNOSTI :

302

RAZRED I ODJELJENJE: DATUM:

EVOKACIJA

RAZUMIJEVANJE

REFLEKSIJA

Ponovimo šta je ugao? Šta su kraci, a šte tjeme ugla? Unutrašnje i vanjske tačke ugla?  Najava cilja časa.

Zapisujem naslov na tabli. Pravi, oštri i tupi

Ukratko ponovimo sadržaj časa. Pohvalim i ocjenim učenike koji su bili najaktivniji, kao motivaciju onima koji su bili manje aktivni na času Za DZ: uraditi zadatke u radnom listu

ugao; Crtanje pravog, oštrog i tupog ugla

Učenicima objašnjavam šta je pravi ugao  pomoću presavijanja papire. Učenici  pronalaze u učionici gdje imamo prave uglove. Na osnovu pravog ugla učenicima objašnjavam šta je oštri, a šte tupi ugao. Pronalaze i njih u učionici. Na satu govore kada kazaljke prave pravi ugao, kada oštri i tupi ugao.  Nacrtam uglove i objašnjavam im kako crtaju ove uglove. PRAVI UGAO OŠTRI UGAO

TUPI UGAO

Kraci pravog ugla su međusobno okomiti. Ugao koji je manji od pravog ugla je oštri ugao. Ugao koji veći od pravog ugla, a manji od dva  prava ugla je tupi ugao. Učenicima pomoću geometrijskog pribora objašnjavam kako crtaju pravi, oštri i tupi ugao. 1.Nacrtaj te pravi ugao ASD 2. Nacrtaj oštri ugao FRO 3. Nacrtaj tupi ugao EOP Kada urade primjere na tabli riješavaju zadatke u udžbeniku str. 113.114. i 115. Ukoliko nekom nije jasno objašnjavam  ponovo da bi uspješno riješili zadatke.  Naglašavam da moraju biti jako uredni  prilikom crtanja sa geometrijskim priborom. Prepisuju zapis sa table.

25. LITERATURA 25.1. Knjige:

1. Braš Roth, M., Gregurović, M., Markočić Dekanić, V., Markuš, M. (2008.): "PISA 2006. Prirodoslovne kompetencije za život", Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja – PISA centar. Zagreb. 2. Ćatić Refik, „Pedagogija“, Pedagoški fakultet Zenica, Zenica 2003. godine 3. Darvinac, N. (1970): "Provjeravanje i ocjenjivanje učenika iz matematike u osnovnim školama", Zagreb, Zavod za unapređivanje osnovnog obrazovanja. 4. Dekić. M. (2000): "Metodika nastave matematike", Jagodina , Univerzitet u Jagodini. 303

5. Furlan, I. (1966), "Upoznavanje, ispitivanje i ocjenjivanje učenika", Zagreb: Pedagoško– književni zbor  6. Glasnović Gracin, D.: "Matematička pismenost (1. dio)", Matematika i škola 39 (2007). 155-163. Element. Zagreb. 2007. 7. Glasnović Gracin, D: "Matematička pismenost (2. dio), Matematika i škola 40 (2007). 202-210. Element. Zagreb. 2007. 8. Glasnović Gracin, D.: "Računalo u nastavi matematike. Teorijska  podloga i metodičke smjernice",(1. dio: Potencijali primjene računala u nastavi). Matematika i škola 46 (2008). 10-15. Element. Zagreb. 2008. 9. Glasnović Gracin, D.: "Računalo u nastavi matematike. Teorijska  podloga i metodičke smjernice", (2. dio: Promjene u nastavi matematike). Matematika i škola 47 (2008). 81-84. Element. Zagreb. 2008. 10. Gusić, I. (1995.): "Matematički rječnik2, Element. Zagreb. 11. Gušić, I – Gušić J. – Mrkonjić, I. (2003), "Matematika 6" – priručnik za nastavnike. Zagreb: Školska knjiga. 12. Horvatek , A.: Poznate igre začinjene matematikom, Ivanic Grad, 2003. 13. Irena Mišurec-Zorica,"Standardi matematičkih kompetencija u početnoj nastavi matematike", Doktorska disertacija, Sarajevo, 2010. godina. 14. Ivančić Đ., Stančić Z., „Inkluzija“, Odsjek za pedagogiju Filozofskog fakulteta Sarajevo, Sarajevo 2005. godine. 15. Kadum, V. (2004): "Matematika za ekonomske škole (I,II i III razred)", Priručnik za nastavnike, Pula, IGSA. 16. Kadum V, „Zaostajanje učenika u matematici - uzroci i mogućnosti otklanjanja“, Pedagoški fakultet Pula, 1997. godina. 17. Kadum–Bošnjak, S. – Kadum, V. (2006), "Nastava različitih razina zahtjevanosti", U: Metodički obzori, časopis za odgojno–obrazovnu teoriju i praksu. Pula: Visoka učiteljska škola u Puli, str. 26 – 36 18. Kurnik, Z. (2007): "Natavni sat matematike", Zagreb, MiŠ. 19. Kurnik. Z. (2009): "Znanstveni okviri nastave matemtike2, Element Zagreb. 20. Libek Pamela, „Kako djeca uče matematiku“, Educa, Zagreb 1995. godine 21. Lindquist, E. F. (1970), Pripremanje testa i priroda mjerenja u  pedagogiji. Beograd: Jugoslavenski zavod za proučavanje školskih i  prosvetnih pitanja 22. Ljubica Bakić-Tomić, Mario Dumančić "ODABRANA POGLAVLJA IZ METODIKE NASTAVE INFORMATIKE" Drugo dopunjeno izdanje, Zagreb, travanj 2012. godine

304

23. Markovac Josip, „Metodika početne nastave matematike“, Školska knjiga, Zagreb 1992. godine 24. Marta Čop, Velimir Topolovec, Informatologia 42, (2009)., 4, 304–313 "UPOTREBA INFORMACIJSKE I KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE (ICT) U OBRAZOVANJU DJECE S POSEBNIM POTREBAMA" 25. MATKA-časopis iz matematike za osnovne škole, [email protected] Hrvatsko matematičko društvo 2009. godine 26. Mathematical Literacy. The PISA 2003 Assessment Framework –  Mathematics, Reading and Problem Solving Knowledge and Skills. OECD, 2003 27. Milenko M. Nikolić:-Vaspitanje u nastavi matematike u osnovnoj školi,  Naučna knjiga, Beograd 1969. godine, strana 57-72. 28. Mustać Vinka i Vicić Miroslav, „Rad sa učenicima sa teškoćama u razvoju“, Školska knjiga, Zagreb 1996. godine 29. Nedim Delić,prof. „Informaciono – komunikacione tehnologije u obrazovanju“, Banja Luka, decembar 2008. 30. Popović, B.: (2001) Priručnik za izvodjenje nastave matematike u 1 i 2 razredu osnovne skole, Sarajevo, Svjetlost. 31. Mr Stanoje Petrović, Jovan Martić, Milan Petković:-Didaktičko Metodički Priručnik, za nastavu matematike(V-VIII razred osnovne škole), Zavod za izdavanje udžbenika , Beograd,1983. godine,strana 1418,strana 84. 32. Dr. Velimir Penavin:-Struktura i kvalifikacija metoda u nastavi matematike i algebre, Zavod za izdavanje udžbenika Srbije, Beograd 1966. godine, strana 115.125. 33. Radomir Radovanović:-Učenje otkrivanjem br. 2, biblioteka "Učitelj" Prosvetni pregled-Dečje Novine Beograd i Gornji Milanovac, 1983. godine, strana 97-101 34. Subašić Kemal, „Matematika sa zbirkom zadataka za studente razredne nastave“, Pedagoška akademija, Zenica 2000. godine. 35. Schneider, E.(2002): Computeralgebrasysteme in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht. Didaktische Orientierungen  – Praktische Erfahrungen. Profil Verlag. München-Wien. 36. Standardi učeničkih postignuća,Matematika treći razred, Agencija za  predškolsko, osnovno i srednje obrazovanje, Sarajevo,2012.godine 37. Standardi učeničkih postignuća,Matematika šesti razred, Aagencija za  predškolsko,osnovno i srednje obrazovanje, Sarajevo,2012.godine 38. Šuljić, Š. (2005): Geogebra (2) – Prvi softver dinamične geometrije na hrvatskom jeziku. Matematika i škola, br. 29, Element. Zagreb. 305

39. Šuljić, Š. (2006): Geogebra (6) – S dinamičnim crtežom na Internet. Matematika i škola, br. 33. Element. Zagreb. 40. Švajcer,V. (1987), Didaktika. Rijeka: Pedagoški fakultet Sveučilišta u Rijeci 41. Tomić, R. (2009): Metodika nastave matematike, Tuzla, OFF-SET 42. Uputstvo za realizaciju nastavnog programa MATEMATIKE (za osnovnu školu u republici Srbiji):-"Arhimedes", 1995. godina Beograd,strana 18-24 43. Dž. Zečić, Fragmenti iz povijesti matematike, Zenica,2004. godine

25.2. Internetske stranice:

1. http://www.scribd.com/doc/106459092/METODSKO-POIMANJE NASTAVNOG-%C4%8CASA-U-MATEMATICI 2. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/planiranje.pd f  3. HYPERLINK  "http://www.math.uniri.hr/~ajurasic/index_files/Page314.htm" http://www.math.uniri.hr/~ajurasic/index_files/Page314.htm 4. http://www.mycity.rs/Matematika/Dopunska-nastava-u-skoli-izmatematike.html 5. http://www.matka.gradnet.hr/matematika.htm 6. razredna.wordpress.com/.../nastavna-tehnologija-i-nastavne-metode7. http://pogledkrozprozor.wordpress.com/2009/03/31/nove-tendencije-unastavi-matematike/ 8. http://www.pjesmicezadjecu.com/mamin-ugaoak/matematika-krozigru.html 9. http://zlatna-djeca.blogspot.com/2012/10/kreativni-radovi-djecedjecjeg-vrtica.html 10. www. Korakpokorak.hr (oktobar 2012. godine) ISSA-„Korak po korak“, „Kompetentni učitelji 21. Stoljeća“, 11. www:http://scindeks-clanci.nb.rs/data/pdf/0031-3807/2002/003138070201093d.pdf. 12. www:http:// scindeks-clanci.nb.rs/internet 13. http://bs.scribd.com/doc/86073392/METODIKA-PO%C4%8CETNE NASTAVE-MATEMATIKE 14. http://www.cool-school.net/index.php?ucitelj=zeljkon&view=58 15. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/nastavnisat.p df  306