LAPORAN HASIL PERSENTASI ANAL I SI S VEKTOR VEKTOR, H UKUM COUL OM B, & M EDAN LISTRIK
KELOMPOK 1 FISIKA DASAR II (Tgl. 13-2-2013)
OLEH:
MUHAMMAD RIZKY HATSA FREZY SUSANTO MH MUH. IQBAL NUR MUH. NUZRAN RIKKI MURTIN TEKNIK ELEKTRO B
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HASANUDDIN TAHUN AJARAN 2012-2013
PEMBAHASAN
Analisis Vektor Vektoradalahbesaran yang mempunyaisatuandanarah mempunyaisatuandanarah
Besar vektorartinyapanjangvektor vektorartinyapanjangvektor
Arahvektorartinyasudu Arahvektorartinyasudutt yang dibentukdengansumbu dibentukdengansumbu X positif
Vektordisajikandalambentukruasgarisberarah Vektordisajikandalambentukruasgarisberarah
1. Vektor pada pada Ruang Ruang Dua Dua Dimensi Dimensi (R2) Vektor di R 2
adalahvektor yang terletak di satubidangatauVektor yang hanyamempunyaiduakomponeny hanyamempunyaiduakomponenyaitu aitu x dan y
Vektorsbgpasanganbilangan u = (a,b) a :komponenmendatar, b : komponenvertikal Vektorsbgkombinasivektorsatuaniidan j Vektorsbgkombinasivektorsatuan u = ai ai + b j Panjangvektor u ditentukanolehrumus
| u | a b 2
2
Perhitunganbesaranvektor
Penjum P enjumlah laha an
Peng P enguran uranga gan
a c Jika Jik a u dan v b d a c a c u v b d b d
a c Jik a u dan da n v b d a c a c u v b d b d
| u v | (a c) 2 (b d ) 2
| u v | (a c) 2 (b d ) 2
| u v | | u | | v | 2 | u || v | c os 2
2
| u v | | u | | v | 2 | u || v | c os 2
2
2. Vektor pada Ruang Ruang Tiga Tiga Dimensi (R3) Vektor pada pada ruang 3 adalah adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang yang mempunyai mempunyai tiga komponen komponen yaitu x, x, y dan z
Vektorsbgpasanganbilangan u = (x, y, z) Vektorsbgkombinasivektorsatuan i, j dan k
u = xi + yj + zk Panjangvektor u ditentukanolehrumus
| u |
x
2
y
2
2
z
Hukum Coulomb
Hukum
Coulomb Coulomb
adalah
hukum
yang
menjelaskan menjelaskan hubungan antara gaya yang timbul antar a dua titik muatan, muatan, yang terpisahkan jarak tertentu, tertentu, dengan nilai muatan dan jarak pisah keduanya.
Hukum ini menyatakan apabila terdapat dua buah titik muatan maka akan timbul gaya di antara keduanya, yang besarnya sebanding dengan perkalian nilai kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar keduanya
[1]
. Interaksi
antara benda-benda bermuatan (tidak hanya titik muatan) terjadi melalui gaya takkontak yang bekerja melampaui jarak separasi
[2]
. Adapun hal lain yang perlu
diperhatikan adalah bahwa arah gaya pada masing-masing muatan terletak selalu
sepanjang garis yang menghubungkan kedua muatan tersebut
[3]
. Gaya yang timbul
dapat membuat kedua titik muatan saling tarik-menarik atau saling tolak-menolak, tergantung nilai dari masing-masing muatan. Muatan sejenis (bertanda sama) akan saling tolak-menolak, sedangkan muatan berbeda jenis akan saling tarik-menarik [4]. Notasi vektor Dalam notasi vektor, hukum Coloumb dapat dituliskan sebagai
yang dibaca sebagai gaya yang dialami oleh muatan Untuk gaya yang dialami oleh muatan menukarkan indeks
akibat adanya muatan
akibat adanya muatan
.
dituliskan dengan
, atau melalui hukum ketiga Newton dapat dituliskan
hukum Coulomb ditemukan oleh Charles Coulomb seorang ilmuan Perancis (1736-1806). Pada tahun 1785, C. Coulomb menyelidiki hubungan antar besar muatan dan jarak antara muatan dengan besar gaya listrik yang dihasilkan
Medan listrik
Contoh medan listrik yang timbul dari muatan listrik dan Medan listrik listrik adalah efek yang ditimbulkan oleh keberadaan muatan listrik, listrik, seperti elektron, ion, ion, atau proton, proton, dalam ruangan yang ada di sekitarnya. Medan listrik memiliki satuan N/C atau dibaca Newton/coulomb. Newton/coulomb. Medan listrik umumnya dipelajari dalam bidang fisika bidang fisika dan bidang-bidang terkait, dan secara tak langsung juga di bidang elektronika yang telah memanfaatkan medan listrik ini dalam kawat konduktor (kabel). (kabel).
Asal medan listrik Rumus matematika untuk medan listrik dapat diturunkan melalui Hukum Coulomb, yaitu gaya antara dua titik muatan:\
Menurut persamaan ini, gaya pada salah satu titik muatan berbanding lurus dengan besar muatannya. Medan listrik didefinisikan sebagai suatu konstan perbandingan antara muatan dan gaya[1]:
Maka, medan listrik bergantung pada posisi. Suatu medan, merupakan sebuah vektor yang bergantung pada vektor lainnya. Medan listrik dapat dianggap sebagai gradien dari potensial listrik. Jika listrik. Jika beberapa muatan yang disebarkan menghasiklan potensial listrik, gradien listrik, gradien potensial listrik dapat ditentukan. Konstanta k Dalam rumus listrik sering ditemui konstanta k sebagai ganti dari tulisan ini tetap digunakan digunakan yang terakhir), di mana konstanta
Nm2C-2 yang kerap disebut konstanta disebut konstanta kesetaraan gaya listrik.
(dalam
tersebut bernilai [2]:
Menghitung medan listrik
Untuk menghitung medan listrik di suatu titik akibat adanya sebuah titik muatan terletak di
yang
digunakan rumus [4]
Penyederhanaan
yang
kurang
tepat
Umumnya untuk melakukan penyederhanaan dipilih pusat koordinat berhimpit dengan titik muatan
yang terletak di
sehingga
diperoleh rumus seperti telah dituliskan pada permulaan artikel ini, atau bila dituliskan kembali dalam notasi vektornya:
dengan vektor satuan
Disarankan untuk menggunakan rumusan yang melibatkan
dan
karena lebih
umum, dan dapat diterapkan untuk kasus lebih dari satu muatan dan juga pada distribusi muatan, baik distribusi diskrit maupun kontinu. Penyederhanaan ini juga kadang membuat pemahaman dalam menghitung medan listrik menjadi agak sedikit kabur. Selain itu pula karena penyederhanaan ini hanya merupakan salah satu kasus khusus dalam perhitungan medan listrik (kasus oleh satu titik muatan di mana titik muatan diletakkan di pusat koordinat).
Tanda muatan listrik
Muatan listrik dapat bernilai negatif, nol (tidak terdapat muatan atau jumlah satuan muatan positif dan negatif sama) dan negatif. Nilai muatan ini akan memengaruhi perhitungan medan listrik dalam hal tandanya, yaitu positif atau negatif (atau nol). Apabila pada setiap titik di sekitar sebuah (atau beberapa) muatan dihitung medan listriknya dan digambarkan vektor-vektornya, akan terlihat garis-garis yang saling berhubungan, yang disebut sebagai garis-garis medan listrik. Tanda muatan menentukan apakah garis-garis medan listrik yang disebabkannya berasal darinya atau menuju darinya. Telah ditentukan (berdasarkan gaya yang dialami oleh muatan uji positif), bahwa
muatan positif (+) (+) akan menyebabkan garis-garis medan listrik berarah dari padanya menuju keluar,
muatan negatif (-) (-) akan menyebabkan garis-garis medan listrik berarah menuju masuk padanya.
muatan nol ( ) tidak ) tidak menyebabkan adanya garis-garis medan listrik.
Gradien potensial listrik Medan listrik dapat pula dihitung apabila suatu potensial listrik perhitungan gradiennya perhitungan gradiennya[5]:
dengan
diketahui, melalui
untuk sistem koordinat kartesian. Energi medan listrik Medan listrik menyimpan energi. Rapat energi suatu medan listrik diberikan oleh [6]
dengan adalah permittivitas medium di mana medan listrik terdapat, dalam vakum . adalah vektor medan listrik. Total energi yang tersimpan pada medan listrik dalam suatu volum
adalah
dengan adalah elemen diferensial volum. Distribusi muatan listrik Medan listrik tidak perlu hanya ditimbulkan oleh satu muatan listrik, melainkan dapat pula ditimbulkan oleh lebih dari satu muatan listrik, bahkan oleh distribusi muatan listrik baik yang diskrit maupun kontinu. Contoh-contoh distribusi muatan listrik misalnya:
kumpulan titik-titik muatan
kawat panjang lurus berhingga dan tak-berhingga
lingkaran kawat
pelat lebar berhingga atau tak-berhingga
cakram tipis dan cincin
bentuk-bentuk lain
Kumpulan titik-titik muatan Untuk titik-titik muatan yang tersebar dan berjumlah tidak terlalu banyak, medan listrik pada suatu titik (dan bukan pada salah satu titik muatan) dapat dihitung dengan menjumlahkan vektor medan listrik di titik tersebut akibat oleh masingmasing muatan. Dalam kasus ini lebih baik dituliskan
yang dibaca, medan listrik di titik
akibat adanya muatan
Dengan demikian medan listrik di titik
yang terletak di
.
akibat seluruh muatan yang tersebar
dituliskan sebagai
di mana
adalah jumlah titik muatan. Sebagai
ilustrasi, misalnya ingin ditentukan besarnya medan listrik pada titik diagonal suatu bujursangkar bersisi
yang merupakan perpotongan kedua
, di mana terdapat oleh empat buat muatan
titik yang terletak pada titik sudut-titik sudut bujursangkar tersebut. Untuk kasus ini misalkan bahwa titik
dan
dan ambil pusat koordinat di
untuk memudahkan. Untuk kasus dua dimensi seperti ini, bisa dituliskan
pula
yang akan memberikan
sehingga
yang menghasilkan bahwa medan listrik pada titik tersebut adalah nol. Kawat panjang lurus
Kawat panjang lurus merupakan salah satu bentuk distribusi muatan yang menarik karena bila panjangnya diambil tak-hingga, perhitungan muatan di suatu jarak dari kawat dan terletak di tengah-tengah panjangnya, menjadi amat mudah. Untuk suatu kawat yang merentang lurus pada sumbu dengan kawat merentang dari
sampai
, pada jarak
dari titik proyeksi
listrik di titik tersebut dapat dihitung besarnya, yaitu:
di atasnya,
pada kawat, medan
Seperti telah disebutkan di atas, apabila
dan
maka dengan
menggunakan dalil L'Hospital dalil L'Hospital diperoleh
Atau bila kawat diletakkan sejajar dengan sumbu-z dan bidang x-y ditembus kawat secara tegak lurus, maka maka medan medan listrik di suatu titik berjarak
dari kawat, kawat, dapat dapat
dituliskan medan listriknya adalah
dengan
di mana
adalah vektor satuan radial dalam koordinat silinder:
adalah sudut yang dibentuk dengan sumbu-x positif.
Fluks Medan Listrik
Fluks ( Φ ) adalah sebuah sifat dari semua medan Vektor. Fluks diturunkan dari kata latin ” Fluere ”(mengalir). Untuk permukaan tertutup didalam sebuah medan listrik, bahwa ΦE adalah Positif jika garis – garis gaya yanng menuju keluar dan negatif jika garis – garis gaya yang menuju ke dalam. Permukaan di bagi – bagi menjadi segi empat kuadratis ΔS yang masing – masing cukup kecil sehingga dapat di anggap sebagai bidang datar. Elemen luas
dapat dinyatakan sebagai sebuah vektor ΔS, yang besarnya menyatakan luas ΔS ; arah ΔS di ambil normal. Sebuah definisi setengah kuantitatip mengenai fluks adalah :
ΦE = Є t . ΔS Satuan SI yang sesuai untuk ΦE adalah Newton meter² atau Coloumb ( N.m²/c).
Definisi
fluks
listrik
yang
didapat
didalam
limit
diferensial.
Dengan
menggantikan penjumlahan terhadap permukaan dengan sebuah integral terhadap permukaan akan menghasilkan :
ΦE = ф E . dS
Hukum Gauss Hukum Gauss dikembangkandarikonsepflukssebua dikembangkandarikonsepflukssebuahmedanvektor. hmedanvektor. Hukum Gauss dinyatakan sebagai berikut :
” Jumlah garis medan yang menembus suatau permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut” Fluksadalahsebuahsifatdarisemuamedanvektor. Dalammedanlistrikfluksmerupakanjumlahsemuamedanlistrik
yang
terdapatpadasuatuluastertentu. terdapatpadasuatuluas tertentu. Definisisetengahkuantitatifmeng Definisisetengahkuantitatifmengenaifluks enaifluks :
= E .S atau = E dS Hukum gauss adalah fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah muatan tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu dibagi dengan permitivitas udara. Persamaan Hukum Gauss
Φ net = Є E A cos θ = q / Єo Untukkuatmedanliastrik
Φ net = Є E A cos θ = 4π r² E → E = q / 4π r² = K. q/ r²
Analogi antara medan gravitasi gravitasi dan medan gravitasi gravitasi listrik
Fluks listrik didefinisikan sebagai jumlah/banyaknya garis-garis medan listrik yang menembus tegak lurus suatu bidang.
Pernyataan hukum Gauss, ”Fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu
dibagi dengan permitivitas udara” Potensial listrik adalah perubahan energi potensial per satuan muatan yang terjadi ketika sebuah muatan uji dipindahkan dari suatu titik yang tak berhingga jauhnya ke titik yang ditanyakan. Energi potensial listrik adalah usaha yang dibutuhkan sebuah muatan listrik untuk dipindahkan dari sebuah titik. Kuat medan listrik dan potensial listrik saling berhubungan.
CONTOH SOAL 1. Berapakahresultanvektordarigambardibawahini
2. PerhatikanGambardibaw PerhatikanGambardibawah ah !BerapaBesarresultanketig !BerapaBesarresultanketiga a vector vector tersebut tersebut
μCdipisahkanpadajarak 10 cm. 3. Duamuatantitikmasing-masingsebesar Duamuatantitikmasing-masingsebesar 0,05 μCdipisahkanpadajarak Tentukanbesarnyagaya Tentukanbesarnyagaya yang dilakukanolehsatumuatanpadamuatanlainn dilakukanolehsatumuatanpadamuatanlainnya ya 4. Duabuahmuatanmasing-masing Duabuahmuatanmasing-masing + 2µ C dan + 3µ C, C, terpisahsejauh 2 cm. Jika k = 9.109 N m2/C2, berapabesargayatolak-menolaknya berapabesargayatolak-menolaknya 5. Carilahresultangayapa Carilahresultangayapadamuatan damuatan 20mC dalamsoalGambarberikut :
6. Hitungmedanlistrik di M(3, - 4, 2) dalamruanghampa yang disebabkanolehmuatan disebabkanolehmuatan Q1 = 2 n C di P1(0, 0, 0) dan Q 2 = 3 n C di P2 (- 1, 2, 3).
7. Sebuahmuatanpositif q1=+8nC beradapadatitikasaldanmuatankeduapositif q2 =+12nC =+12nC beradapadasumbu x = 4m darititikasal. Carilahmedanlisriknya di sumbu x untuk P yang berjarak x=7m darititikasal.
JAWABAN
1.
Penyelesaian vector secara analitis
R = F1 +F2
Ingat : Perhitungan sudut diukur terhadap
= (56,6 i + 56,6 j) + (25 i + 43,3 j)
sumbu X
= (31,6 i + 99,9 j)
Fx = F. Cos θ
Besar gaya Resultan :
Fy = F. Sin θ
R =√(〖Rx〗^2+〖Ry〗^2 )
Gaya Resultan :
=√(〖31,6〗^2+〖99,9〗^2 )
2.
Jadi, resultan gayanya : FR = √(〖Fx〗^2+〖Fy〗^2 ) = (1/2√2)2 + (-
3/2√2)2 = √5 N
3. Kedua muatan dan gambar gaya yang bekerja seperti berikut.
Gambar 4.1.3
(a)
F = = k
= 9× 10
9
-3
= 2,25×10 N.
4. Diketahui : 9
Ditanya : F ? 2
2
k = = 9.10 N m /C
Jawab :
6
Q1 = + 2µ C = 2.10 C 6
Q2 = + 3µ C = 3.10 C -2
r = 2 cm = 2.10 m
=
= 13,5. 10 = 135 N
= = 13,5. 10
9-6-6-(-4)
5. 9
=2N
9
= 1,8 N
F 23 23 = 9×10
F 13 13 = 9×10
o
F 13x = (1,8) (1,8) cos 37 = 1,4 N 13x = o
F 13y = (1,8) (1,8) sin 37 = 1,1 N 13y =
F x = = 1,4 1,4 N dan F y y = 2 N+ 1,1 N F=
= 3,4 N
dan θ = arctan(3,1/1,4) = 66o.
1
6. R 2
4 a x
6 a y
E E 1 E 2
7.
a z
k Q1 R1
R1
9 x109 (2 x10
9
3
R 2
(345,8 a x
625,7 a x
R2
)(3 a x
461,1 a y
881 a y
Di titik P1, E = k
( 1) 2
7,280
k Q2 R 2
3
4 a y
(5,385) 3
(4 2 ) ( 6) 2
2 a z )
9 x109 (3 x10
230,5 a z ) (279,9 a x
9
)(4 a x
6 a y
a z )
(7,280) 3
419,9 a y
70 a z )
160,5 a z
+ k
= (9,0 × 109 Nm2 /C2) = 13,5 N/C (arah ke ke kanan) kanan)
+ (9,0 × 109 Nm2 /C2)
LATIHAN SOAL 1. Duabuahvektorsebidangberturut-tur Duabuahvektorsebidangberturut-turutbesarnya utbesarnya 4 satuan dan 6 satuan, bertitiktangkapsamadanmengapitsudut bertitiktangkapsamad anmengapitsudut 60º. Tentukanbesardanarahresultanvektortersebut
2. Duamuatanmasing-masing + 2Q dan + Q terpisahsejauh terpisahsejauh d mengalamigayalistriksebesar mengalamigayalistrikse besar F. Berapabesargayany Berapabesargayanyajikamuatanmasingajikamuatanmasingmasingmenjadi +3Q dan +4Q 3. Duabuahmuatantitik q 1 = +1,5μC, dan q 2 = +2,3 μCberadapadajarak r =13 cm. Tentukanlahletaktitik yang medanlistriknya nol. JAWABAN
1. Diketahui :Misalkan vektor pertama V1dan vektor kedua V2 .V1= 4 satuan V2= 6 satuan α = 60o Ditanya :Besar dan arah resultan vektor? Jawab : V1= 4 satuan V2= 6 satuan α = 60o cos α = cos 60o= ½Besar resultan :
2. Dari soal di atas dapat dibuat diagram sebagai berikut.
Karena besarnya gaya Coulomb F sebanding dengan muatan-muatannya maka dapat dituliskan
Perhatikan diagram berikut.
Nampak bahwa, ketika muatan-muatannya menjadi lebih besar maka besar gaya Coulomb-nya juga lebih besar.
3. Misalkan titik P terletak pada jarak x dari q1 (lihat gambar).
Gambar 4.1.13 Medan listrik di titik P oleh q1 dan q2 masing-masing adalah E1 dan E2. Karena medan di P adalah nol, maka E1 = E2. Dengan memasukkan persamaan
, maka diperoleh :
= x =
(r – x)
x= Dengan memasukkan kuantitas yang diketahui, diperoleh x = 5,8 cm.
DISKUSI Pertanyaan: 1. (Tomy Parandangi)
Tolong jelaskan materi tentang Hukum Gauss? 2. (Muh.Yusuf)
Kenapa pada gambar di bawah ini ditarik sebuah resultan (Bola yang bermuatan 20uC)?
Jawaban: 1. Hukum Gauss Hukum Gauss dikembangkandarikonsepflukssebu dikembangkandarikonsepflukssebuahmedanvektor. ahmedanvektor. Hukum Gauss dinyatakan sebagai berikut :
” Jumlah garis medan yang menembus suatau permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut” tersebut” Persamaan Hukum Gauss
Φ net = Є E A cos θ = q / Є o Untukkuatmedanliastrik
Φ net = Є E A cos θ = 4π r² E → E = q / 4π r² = K. q/ r²
2. Karena pada bola bermuatan 10uC dan 4uC memberikan efek pada bola 20uC, sehingga bola tersebut membentuk resultan dari efek bola 10uC dan bola 4uC (seperti gambar di atas).
