Kelas 11 Matriks Kurikulum 2013

Matematika15.wordpress.com

LEMBAR AKTIVITAS SISWA – MATRIKS 

Nama Siswa

: ___________________ ___________________

Kelas

: ___________________ ___________________

Notasi dan Ordo Matriks

Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya:

A. PENGERTIAN MATRIKS

1) Tabel berikut menyatakan menyatakan nilai yang di peroleh peroleh oleh 3 tim bola basket dari SMU yang berbeda dari 5 pertandingan bola basket yang diikuti.

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut.

Jika data pada tabel di atas hanya dituliskan bilangan saja, kemudian susunan bilangan diberi tanda kurung, maka akan diperoleh

Dengan demikian matriks m x n adalah sebagai berikut.

………. Bentuk (1)

2) Lihat tabel tabel berikut berikut dan lengkapi.



Jenis-jenis Matriks

1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris,

sehingga berordo 1 x n. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. JIka hanya koefisien peubahnya saja yang dituliskan, kemudian

A=

B=

diberi tanda kurung maka diperoleh

C=

……………… Bentuk (2)

Bentuk (1) dan (2) merupakan sebuah matriks, maka dapat disimpulkan

2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu

kolom, sehingga berordo m x 1. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. P=

Q=

R=

Matriks adalah …………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

1

King’s Learning Be Smart Without Limits


3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan

kolomnya sama, sehingga berordo m x m. berikan 3 contoh

3.

matriks baris dengan ordo yang berlainan. D=

E=

F=

4. Matriks transpose t

Transpose dari suatu matriks A ditulis dengan A atau A’ adalah

4.

suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris matriks A menjadi kolom pada matriks A’ a tau seballiknya.

Contoh:

5.

Jawab:



Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika

6.

ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang seletak juga sama. Contoh:

 

a b a=p

matriks A =

 

p c , matriks B = q d

r s , jika A = B maka:

Jawab:

b=q c=r d=s Latihan 1

7.

1.

Jawab:

2.

2



8.

B. OPERASI MATRIKS 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks “Jumlah atau selisih dua matriks yang sama ukurannya (ordo

sama) sama dengan matriks baru dengan menjumlahkan atau Jawab:

mengurangkan elemen-elemen seletaknya ” Contoh:

(Penjumlahan) p a c a. + q b d

  

r a+p s = b + d

c+r d+s



b. 9. c. (pengurangan) d. Jawab:

e. 

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Latihan 2

10.

1. Tentukan nilai a dan b. Jawab:

Jawab:

2. 11. Tentukan nilai a + b + y . Jawab: Jawab:

3



3.

6.

Jawab: Jawab:

7.

4.

Jawab:

Jawab:

5. 8.

Jawab: Jawab:

4



9.

12.

Jawab:

Jawab:

13. 10.

Jawab:

Jawab:

14.

 −− 2x

1

1

 −

3 + y+2

Tentukan Nilai y –x. 11.

y 2

 

1 t 2 1 = . 0 4 x+1

Jawab:

Jawab:

5



2. Perkalian Matriks

2.

Perkalian matriks ada dua jenis, yaitu perkalian matriks dengan skalar dan perkalian antarmatriks. a) Perkalian Matriks Dengan Skalar

Perkalian matriks dengan real k hasilnya matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan k.

Jawab:

Contoh:

Jawab:

a. 3.

b.

Jawab:

c.

4. Latihan 3

1.

Jawab:

Jawab:

6



8. 5.

Jawab: Jawab:

6.

9.

Jawab: Jawab:

10.

7.

Jawab:

Jawab:

7


11. Dik: A =

−  −  − − 1 1 4

2 3 ,B= 2

1 1 2

5 3 , dan C = 2

4 3 3

2 1 1

− − 

=

Jika 3A – 5B + D = 2C, tentukan D. Jawab:


…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 

b.



Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks n

persegi, maka A = A x A x A x …… A (sebanyak n faktor) atau n

dapat juga dituliskan A = A X A



n-1

n

n-1

atau A = A x A.

Sifat-sifat perkalian dua matriks

jika matriks A, B, dan C serta k berikut: a. anti komutatif: A.B

≠

∈

Bil. Real, berlaku sifat-sifat

B.A

b. distributif kiri: A (B ± C) = (AB ± AC) b) Perkalian Dua Matriks

Metode menggabungkan dua matriks ini disebut Perkalian

c. distributif kanan: (B ± C) A = (BA ± CA) d. asosiatif: (i) A(BC) = (AB)C

Matriks. Aturannya adalah “kalikan matriks baris dengan kolom

(ii) k (AB) = (kA).B = A.(kB) e. I.A = A.I = A , dimana I adalah matriks Identitas

dan jumlahkan hasilnya”

f. Jika A.B = O, belum tentu A = O atau B = O, dimana O = matriks nol g. Jika AB = AC, belum tentu B = C T

T T

h. ((AB) = B A Latihan 4

1.

Catatan: Jawab:

Contoh:

a.

−   − 2 1 1

=

1 1 0 . 2 2

1 1

0 2



1 0

2.

 ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………  + + +

8

+ + +

+ + +

+ + +

Jawab:



3.

7.

Jawab: Jawab:

4.

Jawab:

8.

5.

Jawab:

Jawab:

9.

6. Jawab:

Jawab:

9



10.

13.

Jawab: Jawab:

11.

14.

Jawab: Jawab:

12. 15.

Jawab:

10

Jawab:



16.

19.

Jawab: Jawab:

20.

17.

Jawab:

Jawab:

21.

18.

Jawab:

11

Jawab:


−  − −

22. diketahui A = C =

4 2

1 1

2 2

1 3



0 , B = 2

− −  3 1

0 3

0 , dan 4

1 , bila F(x,y,z) = 2x – 3y + z. Tentukan 3

f(A-2B, 3C, B+A –2C) ?


C. DETERMINAN MATRIKS

Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan |A|.

1. Matriks Berordo 2x2

Jawab:

Contoh:

  −−  3 5

4 = (…... x ……) – (…… x …...) = ….. – …… = …….. 7

2 3

4 = (…... x ……) – (…… x …...) = ….. – …… = …….. 6

2. Matriks berordo 3x3

−− 

5 3 Jawab:

23. A =

7 2 3 45 46 47 , tentukan hasil A + A + A + … + A + A + A ? 4



Aturan Sarrus

Contoh: 2 3 4 1 5 7 = ( …… + …… + …… ) – (…… – …… – ……) 6 8 9





= ……......... – ……………… = ………….

12


Matematika15.wordpress.com 

Metode Ekspansi Kofaktor



Sifat-sifat determinan matriks T

a. Ekspansi Baris

a. |A| = |A | n

b. |kA| = k |A|, Matriks A berordo (n x n) c. |AB| = |A|. |B| n

d. |A | = (|A|)

n

e. Jika salah satu baris atau kolom dari matriks A dikalikan k maka determinannya menjadi: k.|A| f. Jika baris ke-i ditukarkan dengan baris ke-j atau kolom-m ditukarkan dengan kolom ke-n, maka determinannya menjadi: (-1) x determinan semula. g. apabila baris ke-i ditambah k dikali baris ke-j atau kolom ke-n ditambah k kali kolom ke-n, maka tidak mengubah determinan matriks Contoh: (Baris 1) 2 3 4 1 5 7 = …. 6 8 9



(operasi

baris/kolom

tidak

mengubah

determinan).

  …… ……   …… ……  – ….

+ ….

 …… …… 

h. apabila ada dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka determinannya sama dengan nol. i.

= ………… – ………….. + ……………

apabila ada baris atau kolom yang semua nilai elemennya nol, maka determinannya sama dengan nol

= ……………

Latihan 5

b. Ekspansi Kolom

1.

Jawab

2.

Jawab:

Contoh: (kolom 3) 2 3 4 1 5 7 = …. 6 8 9



  …… ……   …… ……  – ….

+ ….

 …… …… 

3.

= ………… – ………….. + …………… = ……………

Jawab:

Catatan: Matriks Singular adalah matriks yang determinannya adalah 0.

13

nilai



4.

8.

Jawab:

Jawab:

5. 9. Jawab:

Jawab:

6.

Jawab:

10.

7.

Jawab:

Jawab:

14



0 14. Jika A = 15 21 A. 9

0 5 8

0 8 , maka nilai |-3A| = … 31 D. 0

 −− 

11.

B.

3

C.

1

E. -3

Jawab:

Jawab:

 

2 7 2016 | = …. maka |A 3 10 Jawab:

15. A =

12.

    sin cos 0 1 1 cos 2 A. cos x 2

B. - sin x

1 0 sin

= …. 2

D. sin x 2

E. - cos x

C. 1 Jawab:

−−   − 

12 2 1 8 24 4 25 25 T maka nilai |3.A | - 3 .|B |= ….

16. Jika A =

2 1

5 ,B= 3

5 3 , 10

Jawab:

A.

-9

D. 0

B.

-3

E. 3

C.

-1

13. Matriks A berordo 3x3 dan mempunyai determinan 2, maka determinan dari matriks (2A) adalah …

A. 16

C. 18

B. 12

D. 36

Jawab:

E. 5 17. Jika |A| =

1 2

, |B|= -3 , dan matriks A dan B berordo 2x2

tentukan: 2

a. 2 .|A|. |B | Jawab:

15



b. |2A|.|B.A|

D. INVERS MATRIKS

Jawab:

Pengertian Invers Matriks 3 7 5 7 1 Jika A = , B = , dan I = 2 5 0 2 3 

A.I = 3

T

c. |A | . |12.B | B.I =

Jawab:

d.

  − −   …… ……   …… ……   …… ……   …… ……   …… ……   …… ……   …… ……   …… ……  .

=

.

=

A.B =

.

=

B.A =

.

=

|6.A T |

 

0 , tentukanlah: 1

Matriks A disebut invers dari matriks B jika AxB=BxA=I,

|B|

dengan I adalah matriks identitas

Jawab:

-1

Invers dari matriks B ditulis B , sedangkan invers matriks A -1

dituliskan dengan A . Invers Matriks Berordo 2x2



a 18. Jika d g

b e h



a.



d a g

e b h

c f = 6, tentukan nilai: i



f c =… i



Contoh: 3 A= 15 -1

  … … … … … −…  … …   … … 

A = b.



2a d g

2b e h

6c 3f = … 3i





1 6

1

.

x

=

.

Sifatsifat invers matriks: -1

-1

-1

a. (A.B) = B .A -1

-1

b. A.A = A .A = I: matriks identitas -1

-1

c. Jika A.B = I maka A = B atau B = A -1

d. |A | =

a

c.

−

d 2a g+a

b

c

− − 

e 2b h+b

f 2c = … i+c

t -1

1 |A| -1 t

e. (A ) = (A ) -1 -1

f. (A ) = A Latihan 6

1.

d.



a + 3c d + 3f g + 3i

16

b e h

−−− 

c 2b f 2e = … i 2h

Jawab:



2.

6.

Jawab: Jawab:

7. 3.

Jawab: Jawab:

4.

8.

Jawab:

Jawab:

5.

Jawab:

17


− 

a 1 9. A = a+b A. -2 B. -1 C. 0

2 dan B = c

− − 


-1 t 2 1 , Jika A = B , nilai b+c adalah …. 4 3 D. 1 E. 2

Invers Matriks Berorodo 3x3



Jawab:

Jika

 −− 2a



1 b+2 dan B = 4 3a + b Tentukan nilai b? Jawab:

10. A =

− −  3 1

maka:

4 -1 t , Jika A = B , 1 Contoh:

1 Jika matriks A = 1 1 Jawab:



2 3 2

3 -1 3 , maka A = ……. 4



|A| = …………………………………………………………………… = …………………………………………………………………… -1

A =

T

11. Jika |A | = -3, |B| =

1 2

, dan matriks A dan B berordo 2x2.

Tentukanlah: T -1 a. |2A |. |B | = …

-1

b. 3|A.B | = …

-1

c. |-2.A .B| = …

d.

−

12 |A 1 |

− B 1

18

=…



Latihan 7

1.

1 3 1 2. Matriks A = 0 3 1 jumlah elemen-elemen baris pertama 1 2 1 dari invers matriks A adalah…





A. -2

D. 1

B. -1

E. 2

C. 0 Jawab:

Jawab:

19


1 3. Matriks A = 1 1 6 2 A. 1 1 1 0 6 2 B. 2 2 2 0 12 4 C. 1 1 1 0 Jawab:

−− −− −−

20

 − − −

2 3 -1 3 3 , maka 2.A adalah… 2 4 3 12 4 6 D. 0 2 2 0 . 1 2 0 2 3 6 2 3 E. 0 2 2 0 2 1 0 1 6 0 1



−  − − −  −  −− − −  − −

− − −− 


6 2 3 4. Matriks A = 1 1 0 , maka jumlah kuadrat unsur 1 0 1 pada baris ketiga dari invers matriks A adalah… A. 21

D. 49

B. 14

E. 34

C. 7 Jawab:



E. PERSAMAAN MATRIKS BENTUK AX = B dan XA = B

Jawab:

-1

Penyelesaiaan persamaan matriks AX = B adalah X = A .B Penyelesaiaan persamaan matriks XA = B adalah X = B.A Contoh:

Tentukan X supaya: Misal A =

  2 3

   2 3

-1

3 6 X = . 5 4

… …  ………… − ………… … …   …… ……   …… ……     …… 

3 -1 , maka A = 5

1

.

=

-1

.

AX = B maka: X = A .B =

4.

6 . = 4

Contoh:

Tentukan X supaya: X Misal A =

  3 4

   1 5 = 2 7

3 4

4 . 5

… ………… − …………  …  …… ……     …… ……   ……

5 -1 , maka A = 7

1

.

…… 

Jawab:

=

XA = B maka: X =B. A

-1

=

1 2

4 . 5

=

…… 

Latihan 8

1. 5.

2. Jawab:

Jawab:

6. 3.

21



Jawab:

9.

Jawab:

7.

10. Jawab:

Jawab:

8. A, B, dan C adalah matriks bukan nol. Jika ACB = B – A, maka C = … -1 -1 -1 -1 A. A + B D. A – B -1 -1 B. (AB) E. (A+B) T C. (A+B) Jawab:

11.

Jawab:

22



12.

2.

Jawab: Jawab:

F. MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN

3.

LINEAR 1) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Jawab:

SPLDV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:

4. Latihan 4

1. Jawab:

Jawab:

23



5.

2) Sistem

Persamaan

Linear

Tiga

Variabel

(PENGAYAAN)

Jawab:

SPLTV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:

Dapat diselesaikan dengan:

6.

Jawab:

Latihan 5

7.

Jawab:

24


(SPLTV)


25


Kelas 11 Matriks Kurikulum 2013

Recommend Documents