kafes sistemleri

BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

BÖLÜM 3 3.1. KAFES VE EĞİLMEYE ÇALIŞAN SİSTEMLERDE MESNET ÇEŞİTLERİ Mesnet; bir sistemde elemanın/elemanların taşıdığı yükleri belli noktalara ve oradan da zemine aktarıldığı noktalara denir. Örneğin bir otomobilin mesnedi lastikleri iken bir yapınınki ise kolonlar ve temeldir. Bir sistemin, mesnet reaksiyonları dahil bütün kesit tesirlerinin belirlenmesi için ΣFx=0, ΣFy=0 ve ΣM=0 denge denklemleri belirlenebiliyor ise sistem izostatiktir. Mesnet şekli ve tepki kuvvetleri Tip Konum

Menet şekli

Reaksiyonlar

Kayıcı

Kenar Ry

Rx=0 Ry≠0

R

Ry=R cosα α α Rx=R sinα

Rx Ry

Rx≠0 Ry≠0

Orta Eğik

α

α

Sabit

Kenar Orta Eğik

α

Ry

Ankastre

Rx

Tam

M Ry

Rx

Kayıcı

Bilinmeyenler Moment Dönüş

M

M=0

ϕ≠0

M≠ ≠0

ϕ=0

Ry=R cosα α α Rx=R sinα Rx≠0 Ry≠0 Rx≠0 Ry=0

Labil

Labil

Labil

Şekil 3.1. Taşıyıcı sistemlerin analizi

70

ÇOĞALTILAMAZ İSTEYİN GÖNDERELİM

BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Şekil 3.2. Bazı mesnetler ve tepki kuvvetleri

pin

sabit

Deprem yükü hasarı

Şekil 3.3. Kafes sistem hasarları Yukarıdaki resimlerin incelenmesiyle kafes sistemler, taşıdıkları yükler ve hasar şekli ve nedenleri daha iyi anlaşılacaktır.

71


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

3.2. KAFES SİSTEMLERİN GENEL KRİTERLERİ Kafes sistem, sanayi, özel mühendislik [otogar, hangar, depo] yapıları ve köprü gibi geniş açıklı yapıların betonarme ve dolu gövdeli çelik sistemlerle yapmak teknik ve ekonomik bakımdan uygun olmaması sonucu hazır ve yapma profil şekilleri ile belli kurallar içinde oluşturulan sistemdir. Bu sistemin en az iki çubuğunun veya bir çubuk ile mesnedin birleştiği noktaya düğüm noktası denir. Kafeslerin tertip şekilleri esas alınacak olursa; üçe ayrılırlar 1. Basit Kafesler sistemler 2. Kompoze Kafesler sistemler 3. Kompleks Kafesler sistemler Bu kafes sistemlerin yapıların, a. b. c. d. e.

Yapıların çatı kaplama Köprü Vinç gövdesi Kuleler (Elektrik direkleri, baz istasyonu) Viyadük ayakları

Şekil 3.4. Kafes sistem kullanım alanı örnekleri

72


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Yapımında kullanılan, a. Kaynak b. Bulon c. Perçin

ile birleştirilerek, a. Yüklemeler tekil olarak düğüm noktalarına yapılan

aa. Ancak yayılı yük olduğu zaman bu yük düğümlere yapılan aşıklara oradan düğümlere aktarılır. Yapıların çatıları bu şekilde düzenlenir. Çatı kaplama yükleri [kremit, ondilin] düğüm noktalarına uygulanan aşıklara aktarılır oradan düğüm noktalarına ve mesnetlere uygulandığı kabul edilerek boyutlandırılır.

q kN/m B

A

Ay

By

aşık

b. Düğün noktaları mafsallı M=0 ΣFx≠0 ΣFy≠0

73


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

c. Elemanları sadece eksenel yük taşıyan basınç

çekme

І kesit

dairesel kesit

basınç

çekme І kesit

basınç basınç

çekme

dairesel kesit

çekme

Eleman boyunca eksenel kuvvet sabittir değişmez. P

P

P

Basınç

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Çekme

d. Elemanları doğru eksenli olan

basınç

çekme

dairesel kesit

basınç

çekme OLMAZ

Çubuk Kuvvetleri; A: Düğüm Dengesi P

P

FA

FB F

FA

A

B

FB

F

AX A AY

FA

FA

FB

B

FB BY

AA. Düğüm dengesiyle bulunan çubuk kuvvetleri ve/veya çubuk kuvvetleri ile mesnet tepki kuvvetleri açıları ile birlikte ölçekli bir şekilde çizildiğinde poligon kapanmalıdır. Aksi halde bulunan değerler doğru değildir. [Bu örnek 2.2’den alınmıştır]

74


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

FB=-1.49 kN FA=1.87 kN 3.0 kN

BY=1.125 kN

FB=1.87 kN

FB=1.87 kN F A

F

FB

3 kN

FB2 = 1.492 + 1.1252 = 1.87

B: Grafik Yöntemi Düğüm dengesi yönteminde çizilen kuvvet çokgenlerinin (kuvvet üçgenlerinin) bazı kurallara uyarak bir arada çizimini veren diyagrama Cremona diyagramı adı verilir. Bu diyagramı çizmek için kuvvetlerle tepkileri gösteren kuvvet çokgeninde sıralanış yönü ne alındı ise düğüm noktalarındaki kuvvetlerin sıralanış yönü de aynı alınarak cremona diyagramı çizilir. Sonuç olarak tepkilerle kuvvetler için bir yön seçilir bu takip edilerek çizim yapılır. Bir noktada birleşen kuvvetler cremona diyagramında kapalı bir çokgen meydana getirirler. Cremona diyagramını kolayca çizebilmek için Bow notasyonlarından yararlanılır. Bow notasyonlarının esası cremona diyagramını bir harfleme yönteminden yararlanarak çizmektir. Bunun için önce tepkiler hesap edilir. Tepkilerin ve kuvvetlerin arasındaki bölgeler alfabedeki harf sırasıyla harflenir. Bu harfleme sırasında şekilde görüldüğü gibi bir sıralama yönü seçilir. Bu sıralama yönüne göre kuvvetler iki tarafında bulunan bölgelerin küçük harfleriyle adlandırılır. İlk harf dönüş yönü esasına göre alınan bölgedir ve buna göre kuvvet çokgeni çizilir. Daha sonra aynı sıraya uyarak kafesin içindeki bölgeler de harflenir. Bundan sonra düğüm dengesi göz önüne alınır. Cremona diyagramının çizilmesinde veya Bow notasyonlarının kullanılmasında bazı problemlerde düğüm noktalarını sırayla almak mümkün olmaz. Bu gibi hallerde bir düğüm noktasından uygun diğer bir düğüm noktasına sıçramak gerekir. Bazen de noktalar çakışık çıkabilir. Luigi Cremona, 1830-1903, İtalyan Matematik, Statik Kafes sistemlerin grafik çözümü: Cremona metodu.

C: Ritter Kesim Metodu Karl Wilhelm Ritter, 1847-1906, İsviçreli Statik Kafes sistemlerde Ritter kesim metodu.

75


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Verilen sistemde - çubuk kuvvetinin kesim metoduyla bulmak için, a. Mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır b. Düğüm dengeleri yazılarak istenilen çubuk kuvveti bulunur. P

P

FA FA P A

B

FB

F

AX A

FB F

FA

AY

P

FB

FA

FB

BY

VEYA istenilen çubuğu içine alacak şekilde kesim yapılarak istenilen çubuk kuvveti hesaplanır. Buna KESİM METODU denir. Ancak düğümünde P kuvveti gibi bir kuvvet yoksa istenilen çubuk kuvveti bulunamaz. P

F P P

FB

A

B

bulunabilen yapı sistemlerine [KAFES] denir. Kafes sistemin çözümünde izlenen yol, a. Mesnet tepki kuvvetleri b. Düğüm dengesi yazılarak çubuk kuvvetleri c. Veya kesim metodu [Ritter] uygulanarak çubuk kuvvetleri Hesaplanır. P

Kafes sistemler,

1. Düzlem kafes sistemler a. Dolu gövdeli b. Basit c. Çıkmalı d. Konsol e. Kafes çerçeve f.

Üç mafsallı

g. Gerber kafes kiriş

76


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

2. Uzay kafes sistemler

olmak üzere ikiye ayrılır. Yani iki ve üç boyutlu olarak ikiye ayrılır. Kafes sistemlerin düzenlenişlerine göre, A. Basit kafes sistemler B. Birleşik kafes sistemler C. Karışık kafes sistemler

olmak üzere de üçe ayrılır. 3.3. DÜZLEM KAFES SİSTEMLER Çubukları ve yükleri düzlemde olan kafes sistemlerdir. Kafes sistemin en basiti üç elemanlı olup aşağıda verilmektedir. P P

LABİL TAŞIYICI OLAMAZ TAŞIYICI OLABİLİR

Düzlem kafes sistem ilk önce üç çubuklu eleman olarak basit bir şekilde oluşturularak başlanır. Daha sonra bu elemanlara iki çubuklu elemanlar ek bir düğüm noktası oluşturacak şekilde eklenerek istenilen kafes sistem elde edilir. Bu eklemeler bir önceki çubuklarla aynı doğrultuda olmamalıdır.

OLMAZ

ÖZET: Genel olarak Kafes sistem, 1. 2. 3. 4. 5.

6.

Yüklemesi düğüm noktasına yapılan Düğümlerli mafsallı [M=0] Elemanları doğru eksenli olan Elemanları sadece eksenel yük alan [Çekme [+], Basınç [-]] Çubuk kuvvetleri, 5a. Düğüm dengesi 5b. Kesim metodu ile hesaplanan En az üç ve daha fazla elamanın birleşmesi sonucu teşkil edilebilen

yapı sistemlerine denir.

77


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

3.4. ÇUBUK KUVVETLERİNİN DÜĞÜM DENGESİ İLE BULUNMASI

Örnek: Şekilde verilen kafes sisteminde çubuk kuvvetlerinin bulunması 3 kN

3 kN

3m

A

3m

B

4m

A

AX

4m

B m

m

4

AY

4

BY

Çözüm: Önce sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır. 3 kN 3m

A

∑Fx = 0

Ax − 3 = 0

Ax = 3kN

∑Fy = 0

Ay + By = 0

B

4m

∑ Fy = 0

∑MA = 0

4m

3x3 +8xBy = 0

By = −1.125kN Ay = 1.125kN

A Y + FA1 sin37 = 0

FA1

FA1 = [ − A Y / sin37] = [ −1.125 / sin37] = −1.87kN

37o

AX=3 kN

A

FAB

A

∑ Fx = 0 A x + FAB cos37 + FA1 = 0

AY=1.125 kN

FAB = −[A x + FA1 cos37] = −[3 − 1.87x0.8] = −1.51kN

∑ Fy = 0

− B Y + FB1 sin37 = 0 FB1

FB1 = [B Y / sin37] = [1.125 / sin37] = 1.87kN B

FBA

∑ Fx = 0 FB1 cos37 + FAB = 0

B BY=1.125 kN

FAB = −FB1 cos 37 = −1.49kN 3 kN 1.87 N

1.87 N

FA1

1.87 N AX=3 kN

1.87 N

FAB

A 1.51 N

1.49 N

AY=1.125 kN

B BY=1.125 kN

78


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.1: Kafes sistemde çubuk kuvvetlerinin düğüm dengesi yazarak bulunması.

3 kN

3 kN

3.6m

3.6m

Ax A

∑Fx = 0

Ay

4.8m

A x −3 =0

∑M A = 0

∑Fy = 0

A x = 3kN

A

B

4.8m

By

4.8m

A y +B y =0

3x3.6 + 9.6xB y = 0 ise B y = −1.125kN

∑Fy = 0 A

B

4.8m

A y =1.125kN

A Y + FA 2 sin37 = 0

FA2

FA 2 = [ − A Y /sin37 ] = [ −1.125/sin37 ] =−1.87kN

o

37

AX=3 kN

∑Fx = 0 A x + FA 2 cos37 + FA 1 = 0

FA1 AY=1.125 kN

FA 1 =− [ A x + FA 2 cos37 ] = − [ 3 −1.87 x 0.8 ] =−1.51kN

∑Fy = 0 B

− B Y + FB 2 sin37 = 0

FB2

FB 2 = [B Y /sin37 ] = [1.125/sin37 ] =1.87kN

FB1

B

∑Fx = 0 FB 2 cos37 + FB 1 = 0

BY=1.125 kN

FB 1 = − FB 2 cos37 = −1.49kN Bir düğümde bulunan çubuk kuvvetleri şiddetleri ve yönlerine göre işaretlendiğinde poligonu kapatmalıdır.

FB=[ FB2+By2]0.5=1.87 kN

Yani, 2 ∑ Fy = 0

1

∑F

x

=0

FA 2 cos 53 + FB2 cos 53 + F21 = 0 [ −1.87] cos 53 + 1.87 cos 53 + F21 = 0

− FA1 + FB1 = 0

− [−1.51] + [ −1.49] = 0 F2A

FA=1.87

3.0 kN

F21

FB=1.87

F2B 3 kN

Ax=3 kN AY=1.125 kN

FB1=-1.49 kN

3 kN

FB1=-1.51 kN 1.87 N

1.87 N

BY=1.125 kN

0.00 FA1 = (3 − 1.51)2 + 1.125 2 = 1.87

FB2=1.87 kN

FB2 FA2

AX=3 kN

F21 = 0

1.87 N A 1.51 N

FB2 = 1.492 + 1.1252 = 1.87

1.87 N

0.00

FA1

1.51 N 1.49 N

AY=1.125 kN

FB1

1.49 N

B BY=1.125 kN

F12 F1A

F1B

79


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.2. Çubuk kuvvetlerinin [FAC=? FBC=?] ve mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı Bx

B

By m

4

Serbest cisim diyagramı

C

A

Ax Ay

40 N

m

6

C 40 N

m

6

Çözüm 1. Mesnet tepki kuvvetlerini hesaplamadan düğüm dengesi yazarak çubuk kuvvetleri hesaplanır.

∑F

y

=0

FBC sin 33.7 − 40 = 0

FBC = 72.10 N

C

FCB C

FCA

∑ Fx = 0 FBC cos 33.7 + FAC = 0

40 N

FAC = −60 N

Çözüm 2. Mesnet tepki kuvvetlerini hesapladıktan sonra çubuk kuvvetleri hesaplanır. Serbest cisim diyagramında yatay ve düşey denge yazılarak çözüm aranır.

∑ Fy = 0

A y + B y − 40 =0

A y + B y = 40

1 1 ve 2 ile çözüm olmaz.

∑ Fx = 0

A x + Bx = 0

A x + Bx = 0

2

O zaman herhangi bir noktaya göre moment alınır.

∑ MA = 0 4 x Bx + 40 x 6 = 0 Bx = −60 N

∑ MB = 0 4 x A x − 40 x 6 = 0 A x = 60 N A

A düğümünde denge yazıldığı zaman Ay=0 olur.

Ax Ay

Buna göre düşey dengenden,

FAC=60

By=40 N olarak bulunması gerekir. B düğümünde denge yazılarak hesaplanır.

B ∑ Fy = 0

B y − FBC cos 56.3 = 0

B y = 40 N Bx=60 By

56.3

o

FBC=72.11

NOT: Mesnet tepki kuvvetleri çözüm 1’den sonra hemen bulunabilirdi. Bunun gibi bazı sistemlerde önce çubuk kuvvetleri hesaplanır daha sonra mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.

80


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Uygulama: Şekilde verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması. 12 kN

12 kN E

E m

5

3

6

106o

5

3m

6

o

37 D

C

D

C 53o 6m

1

m

2 3

3

4

Ax

B m

2

4

A 4

6

1

4m

Ay

4m

4m

Bx By

Çözüm: Verilen kafes sistem mesnet tepkileri bakımından hiperstatiktir. Ancak kafes sistemlerin özelliği gereği çözüme istenilen düğümden başlanabilmesi sistemi çözümlü hale getirebilmektedir. Bu özelliğinden dolayı çözüme ilk önce düğüme birleşen çubuk sayısı en az olan E noktasından başlanarak sistem aşağıdaki şekilde çözülmüştür. Aksi halde sistem bilinen yöntemlerle çözülemez.

∑Fy = 0 F5 cos53 + F6 cos53 +12 = 0 F5 = −10 kN   E  ∑Fx = 0 − F5 sin53 + F6 sin53 = 0 F6 = −10 kN F5  

12 kN 5 E

6

F6

∑Fx = 0 F5 cos37 + F4 cos37 = 0 −10cos37 + F4 cos37 = 0 ⇒ F4 = 10 kN  C  ∑Fy = 0 F5 sin37 − F4 sin37 − F1 = 0 −10sin37 −10sin37 − F1 = 0 ⇒ F1 = −12 kN

F5 C

F5 C

F4

F4

F1

F1

F6=10

∑Fx = 0 F6 cos37 + F3 cos37 = 0 −10cos37 + F3 cos37 = 0 ⇒ F3 = 10 kN  D ∑Fy = 0 F6 sin37 − F3 sin37 − F2 = 0 −10sin37 −10sin37 − F2 = 0 ⇒ F2 = −12 kN 

A x +10 ⋅cos37 = 0 A x = −8 kN ∑Fx = 0 A x + F3 cos37 = 0  A ∑Fy = 0 A y + F3 sin37 + F1 = 0 A y +10 ⋅ sin37 −12 = 0 A y = 6 kN 

F1=-12 Ax

81

F3

F2

F3=10

Ay

F4=10

∑Fx = 0 Bx − F4 cos37 = 0 Bx −10 ⋅cos37 = 0 Bx = 8 kN  B ∑Fy = 0 By + F4 sin37 + F2 = 0 B y +10 ⋅ sin37 −12 = 0 B y = 6 kN 

D

By

F2=-12 Bx


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

SORU 1: Verilen çerçevenin çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması. 50 kN

100 kN

50 kN

24 kN D

C

B

B

A

-88

5m

E m

Ax=24 kN

m

5

53.75

A

F 5

50 kN

100 kN -62 C

-62

24

D

-112

50 kN

-100

24 kN

87.69

E

00

F

5m Ay=88 kN

m

5

5m

Ey= 112 kN

∑ MA = 0 24 ⋅ 5 + 100 ⋅ 5 + 50 ⋅ 10 − 10E y = 0

E y = 112 kN

∑Fx = 0 FAF − 24 = 0 FAF = 24 kN

∑ ME = 0 24 ⋅ 5 − 100 ⋅ 5 − 50 ⋅ 10 + 10A y = 0

A y = 88 kN

∑Fy = 0 FAB + 88 = 0 FAB = −88 kN

∑Fy = 0 − FAB − 50 − FBF sin45 = 0 FBF = 53.75 kN

24

FBC = −62kN

FAF

88

100 FCB

∑Fy = 0 −100 − FCF = 0

FBF

FCF = −100 kN

FCF

50 FDC 45

FEF E

∑Fx = 0 FDC + FDF cos45 = 0

FCD

C

∑Fy = 0 − FDE − 50 − FDF sin45 = 0 FDF = 87.69 kN

FED

∑Fy = 0 FED +112 = 0 FED = −112kN

A

O

FAB

∑Fx = 0 FEF = 0

24

∑Fx = 0 FCD − FCB = 0 FCD = −62kN

FBC 45

B

Ay=88 kN

∑Fx = 0 24 + FBC + FBF cos45 = 0

50

FAB

FDF = 87.69 kN

O

D

FDF

FDE

112

Örnek: Şekilde verilen kafes sistemde tüm çubuk boyları 4 m olduğuna göre çubuk kuvvetlerini bulunuz. 40 kN

40 kN

9

8

9

8

7

7

20 kN

20 kN

1

A

3

4

2

1

6

5

B

6

5

4

2

Ax

100 kN

3

B

100 kN Ay

∑Fx =0

By

A x = 40 + 20 =60kN

∑MA =0 100 4 + 20 3.464 + 40 6.928 −8By =0 ∑MB =0 ∑Fy = 0 A y + F1 sin60 = 0 ∑Fx = 0 − A x + F2 + F1 cos60 = 0 −60 + F2 + (−7.71 cos60) = 0

F1 = −7.74 kN Ax

By =93.33kN

−100 4 + 20 3.464 + 40 6.928 +8A y =0 A y = 6.70kN

F1

F6

∑Fy = 0 B y + F6 sin60 = 0

F1 = −107.77 kN

∑Fx = 0 F4 + F6 cos60 = 0

F4 = 53.89 kN

F2 F4

Ay

By

F2 = 63.855 kN

82


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

∑Fy = 0 F3 sin60 + F5 sin60 −100 = 0

F3  F3 = 47.75 kN   F2 ∑Fx = 0 − F3 cos60 + F5 cos60 − 63.855 + 53.89 = 0    F5 = 67.72 kN

∑Fy = 0 F8 sin60 + F9 sin60 −100 = 0  F8 = 40 kN   ∑Fx = 0 − F8 cos60 + F9 cos60 + 40 = 0  F9 = −40 kN

F5 F4 100 kN

40 kN F8

F9

∑Fx = 0 − F7 + 20 + F6 cos60 − F5 sin60 − F9 cos60 = 0  F9   F7 −F7 + 20 −107.77 cos60 − 67.72 sin60 + 40cos60 = 0   F5 F6 F7 = −47.74 kN 

20 kN

ÖRNEK 3.3. Şekilde verilen kafes sistemlerde çubuk kuvvetlerinin bulunması 40 kN Çubuk

L [m]

Çubuk kuvvetleri [kN]

1

3.0

-43.75

2

3.6

26.25

3

3.0

-6.25

4

3.6

-22.50

5

3.0

6.25

6

3.6

18.75

7

3.0

-31.25

20 kN

4 7 1

3 1

2.4 m

5 1 6

2

B

A 3.6 m

3.6 m


Çubuk

L [m]

1

3.0

-0.625

2

3.6

0.375

3

3.0

0.625

4

3.6

-0.750

5

3.0

0.625

6

3.6

0.375

7

3.0

-0.625

4

1

3

2

A

2.4 m

7

5

6 1 kN

3.6 m

B

3.6 m

3m

ÖRNEK 3.4. Şekilde verilen kafes kirişin çubuk kuvvetlerinin hesaplanması. 4

2

3m

5 6 A

Çözüm: Önce mesnet reaksiyonları bulunur.

7

C

60 kN

8 200 kN B

9 3m

83

1

3

6m


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ΣFx = 0 dan Ax = 60 kN

∑ M A = 0 dan

∑ MB = 0

4

− 3 A y − 60 x 3 − 200 x 6 = 0

2

5

C

1

6.708

447.210

2

6.000

-340.000

3

3.000

-600.000

4

4.240

565.766

5

3.000

-400.000

6

3.000

400.000

7

4.240

84.866

8

3.000

-660.000

9

3.000

0

60 kN

200 kN

60 kN

B 9 460 kN

A y = − 460kN

L (m)

8

7

B y = 660 kN

Çubuk 1

3

6

dan

3 B y − 60 x 3 − 200 x 9 = 0

Mesnet tepki kuvvetleri

660 kN


ÖRNEK 3.5. Şekilde verilen kafes kirişin çubuk kuvvetlerinin hesaplanması.

4

1

3 2

5 6

C

1 kN

8

7

B 9

Önce mesnet reaksiyonları; ΣFx = 0 dan Ax = 1 x cos 26.6= 0.894 kN

∑ M A = 0 dan

3 B y − 1x cos 26.6 x 3 − 1x sin 26.6 x 9 = 0

B y = 2.236 kN

∑ MB = 0 dan

3 A y − 1x cos 26.6 x 3 − 1x sin 26.6 x 6 = 0

A y = 1.789 kN

4

1

3 2

5 6

7

C

1 kN

8 Mesnet tepki kuvvetleri

0.894kN

B 9 1.789 kN

2.236 kN

ÖRNEK 3.6. Şekilde verilen kafes sisteminde,

Çubuk

L (m)


1 2 3 4 5 6 7 8 9

6.708 6.000 3.000 4.240 3.000 3.000 4.240

1.000 0.000 -1.342 1.265 -0.894 0.894 1.266

3.000

-2.236

3.000

0

a. Tüm çubuk kuvvetlerini b. Kesme metodu ile - çubuğun bulunarak kontrol edilmesi. 36 kN

63 kN

3.6m A

m

4.8

m

4.8

B

4.8m

m

4.8

84


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ΣMA=0 dan B mesnedinin düşey tepkisi,

Çözüm: Mesnet tepki kuvvetleri için

ΣMA=0

36 x 4.8 + 63 x 9.6 – 4 x 4.8 By = 0

By= 40.50 kN

ΣMB=0

36 x 3 x 4.8 + 63 x 9.6 – 4 x 4.8 Ay = 0

Ay= 58.50 kN

36 kN

63 kN

3.6m A

Ay

4.8m

4.8m

4.8m

4.8m

B

By

N12

∑Fy = 0 A Y + N12 sin37 = 0

o

A

37

AX=0 kN

N12 = [ − A Y / sin37 ] = [ −58.5/sin37 ] = −97.21kN

A

∑Fx = 0 A x +N12 cos37 + N18 = 0

N81

AY=58.5 kN

N18 = − [ A x +N12 cos37 ] = − [ 0 − 97.21x0.8 ] = 77.76kN

Düğüm dengeleri ile bulunan çubuk kuvvetleri Çubuk - - - - - - - - - - - - -

L (m) 4.8 6.0 3.6 6.0 4.8 4.8 6.0 3.6 6.0 4.8 4.8 3.6 4.8

A[alan] 2.0 2.5 1.3 2.5 2.6 2.6 2.5 1.3 2.5 2.0 2.0 1.3 2.0

N [Çubuk kuvveti kN] 78.00 -97.52 0.00 37.52 -108.00 -108.00 67.50 0.00 -67.50 54.00 54.00 -63.00 78.03

NOT: Verilen sistemlerde çubuk kuvvetleri sıfır “0” olan çubuklar [- ve -], 1. Sistem değiştiği zaman yük taşıyabilecek olması [elemanlardan birinin hasar görmesi veya sistemin göçme durumuna ulaşması durumunda]

2. Kafes sistemin kendi ağırlığını taşıyor olması 3. Kafes sisteme gerekli şekli-formu veriyor olması 4. Kafes sistemin statikçe belirli veya belirsiz olmasında etkisi olması 5. Kafes sistemde bir elemanın değiştirilmesinin gerektiği durumda ihtiyaç duyulur olması gibi sebeplerden dolayı gereksiz olduğu düşünülemez.

85


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

3.5. SİSTEMLERİN MESNET TEPKİLERİ HESABI [TESİR ÇİZGİSİ] Bunun için aranan mesnet tepkisi 1 birim ve diğer mesnet tepkisi ise sıfır olacak şekilde aşağıdaki gibi üçgen çizilir. Sistemdeki verilen dış yükler altında kalan ordinatların yük şiddetleri ile çarpımı mesnet tepkisini verir. Eğer sistemde (eğilmeye çalışan) yayılı yük var ise o zaman çizilen üçgenin yük altındaki alanı alınır. Bu çözüme TESİR çizgisi denir ve ilerideki dönemlerde görülecektir. 15 kN/m 1.8 m

30.94 kN

68.06 kN

3.6m

A

4.8m

4.8m

4.8m

3.6m

B

4.8m

Ay

m

4.8

m

4.8

m

4.8

m

4.8

B

By

1 0.75

0.50 1

0.25

0.50

Aşıklar üzerine gelen yayılı yüklerden aşık mesnet tepki kuvvetleri bulunarak düğüm noktalarına tekil kuvvet olarak uygulanır ve bu kuvvetlere göre sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır. Tesir çizgisinin eğilmeye çalışan elemanlar için kullanımı ilgili bölümde yine kullanılacaktır.

1.B y = 0.25 x 30.94 + 0.50 x 68.06

By = 41.76kN

1.A y = 0.75 x 30.94 + 0.50 x 68.06

A y = 57.24kN

3.6. ÇUBUK KUVVETLERİN KESİM METODU [RITTER] İLE BULUNMASI Kafes sistemi diğer yapı sistemlerine göre eleman sayısı daha fazla olabilmektedir. Yine kafes sistemlerin düğümlerinde mafsallı birleşimler olmasından dolayı elemanların gerekli bazı önlemle alınarak değiştirilebilme özelliği diğer eğilmeye çalışan sistemlere göre kolay olmaktadır. Bu nedenlerden dolayı kafes sistemde bir hasar görmüş veya değiştirilmek istenen bir elemanın sistemden aldığı eksenel yükün değerini bulmak için sistemin tamamının çözümüne gerek yoktur. Bu elemanın eksenel yükünü kesim metoduyla hesaplanabilir. Bir kafes sistemin kesilmesinde, • Kafes sistemlerin çözümünde ∑Fx=0, ∑Fy=0 ve ∑M=0 olmak üzere üç adet denge denklemi olmasından dolayı bir kafes sisteminde kesim metodu yaparken en fazla üç eleman kesilebilir. • • • •

Kesim kafes sistemi iki parçaya ayıracak şekilde yapılır Kesimle iki parçaya ayrılan sistemler her biri bir sistem olarak ele alınır. Kesim ile elde edilen sistemde kesilen çubuk kuvvetleri bulunarak diğer çubuk kuvvetleri bulunur. Kesim sonucu bulunan sistemde denge denklemlerinden moment yazılarak bulmak daha kolay olur.

86


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.7. Verilen sistemde F2-3 F2-7 ve F8-7 çubuk kuvvetinin kesim metoduyla hesabı. 36 kN

63 kN

3.6m

A

Ay

4.8

∑ MB = 0

4.8m

m

4.8m

63 ⋅ 9.6 + 36⋅14.4 −19.2 A y = 0

B

By

4.8m

A y = 58.50kN

∑ MA = 0

63 ⋅ 9.6 + 36 ⋅ 4.8 −19.2B y = 0

B y = 40.5kN

Bu çubuk kuvveti düğüm dengesi yöntemiyle - =-108 N olarak bulunmuştu. Burada aşağıdaki kesim yapılarak bulunacaktır. 36 kN

F23

36 kN F23

x=9.6sin37=5.78m

F27

F27 Ay

4.8

4.8

A

F87

m

90-37=530

m

Ay=58.5 kN

F8 − 7 x 3.6 − 58.5x 4.8 = 0

∑M=0

düğümde moment dengesi,

∑M

F2-7 için düğümde yatay dengeden

4.8

A

F87 4.8

F2 − 3 x 3.6 + 58.5x 9.6 − 36 x 4.8 = 0

∑M=0

düğümde moment dengesi,

m

m

F2 − 3 = −108N

ise

F8 − 7 = 78N

ise

= 5.78xF2 − 7 + 3.6xF2 −3 + 4.8x36 = 0

F2 −7 = 37.7N

ise

yukarıda bulunan sonuçla aynısı olduğu görülmektedir.

ÖRNEK 3.8. FDE FDG FDF FEG çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması. B

B

F

F D

D

E

A

G

20 kN

C 4m

4m

E

A

H

4

4

4m

m

G

4m

m

H

20 kN

20 kN

C

20 kN

4

4m

m

1

İlk önce sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.

0.25

0.50

1

∑ MA = 0

20 ⋅ 8 + 20 ⋅12 − 16B y = 0 B y = 25 kN

∑ MB = 0

20 ⋅ 4 + 20 ⋅ 8 − 16 A y = 0

0.75

0.50

A y = 15 kN

1.A y = 0.50 x 20 + 0.25 x 20

A y = 15kN

1.B y = 0.50 x 20 + 0.75 x 20

By = 25kN

Kesim yapılarak istenilen çubuk kuvvetleri aşağıdaki şekilde hesaplanır. FDF

B

B x=8sin37

D

FDF

FDG E

A

20 kN

C 4

m

4

m

D

FDG G

FEG

FDF

B

D

E A

20 kN

C 4m

4m

FDG G

FEG

E A 4m

87

β=37o

20 kN

C 4m

G FDGcosβ

FEG


FDGsinβ

BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

∑ MG = 0

3 xFDF + 12 x A y − 20 x 4 = 0

FDF = −33.33kN

∑ MD = 0

3 x FEG − 8 x A y = 0

∑ MC = 0

8 sin37 ⋅FDG + 4 ⋅ A y + 3 ⋅FDF + 20 ⋅ 4 = 0

FEG = 40kN [çekme] FDG = −8.31kN

VEYA [ FDG çubuğu G noktasında düşey ve yatay birleşenlerine ayrılarak A noktasına göre moment alınır.] ∑ MA = 0

12 sin37 ⋅FDG + 20 ⋅ 8 + 3 ⋅ [−FDF ] = 0

FDG = −8.31kN

VEYA [ FDG çubuğu G noktasında düşey ve yatay birleşenlerine ayrılarak C noktasına göre moment alınır.] ∑ ME = 0

4 sin37 ⋅FDG + 15 ⋅ 8 + 3 ⋅ [−FDF ] = 0

FDG = −8.31kN II-II

FDF

FFG çubuğu kuvveti diğer bir kesim yapılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır.

∑ FY = 0

25 − FFG = 0 FFG = 25 kN [çekme ]

FFG G

FBG By=25 kN

ÖRNEK 3.9. Şekilde verilen kafes sisteminde çubuk kuvvetlerinin bulunması. 2

2 kN

m

2

m

2

B

m

C

A

D

4 kN 3

G

m

F

E

Çubuk

FAB

FAG

FGC

FGF

FCF

Çubuk kuvveti [N]

8

-8.94

2.24

-11.18

-1

Uygulama: Verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması 30 kN 2.5m

20 kN

30 kN

2.5m C

B

2.5m

20 kN D 2.5

m

3.54

F 2.5

C

B 5.59

3.54

m

D 2.5

m

5.59m

26.5O A

m

m

63.4O 5.59m

m

2.5m

F 5.59m

2.5

m

E A 5

m

5

m

5 kN

E 5m

5m

88

25 kN


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

∑ MA = 0

20 ⋅ 5 + 30 ⋅ 5 − 10B y = 0 B y = 25 kN ⇑

Çözüm: Verilen kafes sistemin mesnet tepkileri bulunur. ∑ MB = 0

20 ⋅ 5 − 30 ⋅ 5 + 10 A y = 0

A y = 5 kN ⇑

A X = 20 kN ⇐

Mesnet tepki kuvvetleri bulunduktan sonra sistemin üzerinde düğüm dengeleri yazılarak çubuk kuvvetleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.

63.4

O

63.4

26.5O

20 kN A

FABcos63.4

0.448FAB + 0.895FAF = 20 FAF = 33.48 kN 0.894FAB + 0.446FAF = −5 FAB = −22.24 kN

O

FAFsin26.5

FABsin63.4

∑ Fx = 0 − 20 + FAB cos 63.4 + FAF cos 26.5 = 0  A düğümü  ∑ Fy = 0 5 + FAB sin63.4 + FAF sin26.5 = 0

26.5O

FAFcos26.5

5 kN

20 + 22.24 sin26.5 + FBF sin 45 + FBC = 0

FBC = −49.83 kN = FCD

22.24cos 26.5 − FBF cos 45 = 0 B

22.24

FBC

20 26.5

FBF FBA=22.24

FBFcos45

FABcos26.5

∑ Fx = 0  B düğümü  ∑ Fy = 0

FBF = 28.15 kN

FBFsin45 45o

FABsin26.5

 ∑ Fx = 0  D düğümü   ∑ Fy = 0

49.83 − FDF sin 45 + FDE sin 26.5 = 0

− 0.707FDF + 0.446FDE = −49.83

FDE = −37.16 kN

− FDF cos 45 − FDE cos 26.5 = 0

− 0.707FDF − 0.895FDE = 0

FDF = 47.04 kN

FDE

{

E düğümü ∑ Fx = 0

49.83 FDF

FDE

FDEsin26.5 FDEcos26.5

45o

FDF

D

FDFcos45

FDFsin45

D

FCD

37.16 cos 63.5 − FEF cos 26.5 = 0

26.5

-49.83 -49.83 -30 +28.15 +47.04

FEF = 18.53 kN

-37.16

-22.24

FDEcos63.5

26.5O

FEFcos26.5

26.5

+33.48

O

+18.53

63.4

20 kN

E

37.16

FEFsin26.5

FDEsin63.5

63.5

37.16

o

O

5 kN

25 kN

25 kN

26.5O

28.15

E

25 kN

Çubuk kuvvetlerinin elemanlar üzerine işlenmiş hali aşağıda verilmiştir.

F düğümünde   ∑ Fx = 0   Kontrol (x,y)   ∑ Fy = 0

30 47.04

45O 26.5O

45O O 26.5

33.48

18.53

47.04 cos 45 − 28.15 cos 45 − 33.48 cos 26.5 + 18.53 cos 26.5 = 0 47.04 sin 45 − 30 + 28.15 sin 45 − 33.48 sin 26.5 − 18.53 sin 26.5 = 0

89


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Uygulama: Verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması 10 kN

20 kN C

B

D G

10 kN

F 3m

3m

∑ ME = 0

A

E

6m

HA

71.6

VA

HA + HB − Cos71.6 ⋅ (10 + 10 + 10) = 0

HA + HB = 9.47 2

∑ Fy = 0

VA + VB − 3 ⋅ 20 − 3 ⋅ 10 ⋅ sin 71.6 = 0

VA + VB = 88.47 3

VB = 0 ise 3. denklemden

2. denklemden HA + HB = 9.47

G

18.4

HB + FBC = 0

6m

12VA + 12VB + 3HB = 439.79 1

VA + VB = 88.47

VA = 88.47 ↑

HB

VB

FBC

HB = −207.28 kN

HA = 216.75 kN

FBC = 207.28 kN

HA

 ∑ Fy = 0 88.47 + FAC sin 45 = 0  A düğüm dengesi    ∑ Fx = 0 216.75 + FAC cos 45 + FAG = 0 G noktasında ∑ Fy = 0

10 kN

O

E

3m

FAC

FAC

∑ Fx = 0

20 kN

5.692m

F

12 ⋅ 88.47 + 12 ⋅ 0 + 3HB = 439.79

HA − 207.28 = 9.47

10 kN

D 1.8m

O

3m

∑ Fx = 0

1. denklemden 12VA + 12VB + 3HB = 439.79

10 kN

m

4.243m

o

0.6m

12VA + 12VB + 3HB − 20 ⋅ 9 − 10 ⋅ 9.487 − 20 ⋅ 5.4 − 10 ⋅ 5.692 = 0

B düğüm dengesi ∑ Fy = 0

m

71.6

20 kN

3.795 4.243

3m

20 kN

71.6O

C

HB V B B

10 kN

3m A

10 kN

20 kN 20 kN

FAG

VA

HA=197.81

45O FAG VA=88.47

FAC = −125.13 kN FAG = −128.30 kN = FGF

FGC = 0

∑ Fx = 0

− 207.28 − 10 cos71.6 + FCD sin71.6 + 125.13cos 45 + FCF sin 45 = 0 0.95FCD + 0.707FCF = 121.97

∑ Fy = 0

− 20 − 10 sin71.6 − FCD cos71.6 + 125.13 sin 45 − FCF cos 45 = 0 − 0.316FCD − 0.707FCF = −58.98

10 kN

20 kN FBC FAC

FCD = 99.46 kN 20 kN 207.28

FCD

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

FCD

45o

0.0 FCF

FCD

o 0.0 45

FCDsin71.6

71.6

71.6o

10 kN

o

− 38.88cos 45 + 128.3 + FDF cos 71.6 + FEF = 0 0.316FDF + FEF = −100.81 38.88 sin 45 + FDF sin71.6 = 0 20 kN

FDE

10 kN

FEF

∑ Fx = 0

125.13

FCF

FGC

10 kN

20 kN 207.28

10 kN

FCDcos71.6

FCF = 38.88 kN

18.4o

E

FDE 91.66

FDF = −28.97 kN

20 kN 10 kN 18.4o

E

71.6

FEF = −91.66 kN

FCF FGF

FDF F

FDF

38.82 FFE

45

128.3

o

10 kN

91.66 − FDE cos18.4 − 10 cos 71.6 = 0

FDE = 93.27 kN

90

71.6O

O


F

FFE

BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

FFG FGH FGI FHI çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması [Yükseklik eşit ve 8/3].

ÖRNEK 3.10.

100 N

100 N 100 N

100 N

100 N

F

H

100 N

G

A 500 N

100 N

8

Her açıklık 5

H

100 N

m

G

I B

500 N

500 N

100 N

F

500 N Ay=1250

m

100 N

I B By=750

500 N

500 N

Her açıklık 5

8m

m

Çözüm: İlk önce mesnet kuvvetleri hesaplanır. ∑ MA = 0

100 x [5 + 10 + 15 + 20 + 25] + 500 x [5 + 10 + 15] − 30B y = 0

B y = 750N

∑ MB = 0

100 x [5 + 10 + 15 + 20 + 25] + 500 x [15 + 20 + 25] − 30 A y = 0

A y = 1250N

FHFsinα 100 F Ncos HF

FHFsinα

FHF 100 N

F

500 N

∑M

500 N

α=28o

FHGsinα

B By=1250

FGI

500 N Ay=1250

Her açıklık 5m

G

100 N

G oI γ=47

α=28o

FGI

500 N

8m

β=43o

FHG

G oI γ=47

G

x=15sin47 H

100 N

8m

β=43o

FHG

Ay=1250

100 N

100 N

F

HF

H

100 N

FHF

100 F Ncos

B By=750

F cosα

HG Her açıklık 5m

= 0 8xFHF cos28 + 750x15 − 100x5 − 100 x10 = 0 FHF = −1380.32N

G

FHG ⇒

∑M

veya

B

= 0 15 xFHG cos 43 + 100 x5 + 100 x10 = 0 FHG = −136.73N

∑M

B

FGI ⇒

= 0 15sin47 xFHG + 100x 5 + 100x10 = 0 FHG = −136.73N

∑M

H

= 0 750x10 − 100x 5 − [2x8 / 3]xFGI = 0 FGI = 1312.5N FHF 100 N

100 N

α=28 FGI I

100

100 N

F H

100 N

FHI

100 N 100 N

F

o

FHG

100 N

8

m

100 N

FGF

H FGH

β=43o

100 N

8

By=750 N G 500 N Ay=1250

500 N

G oI γ=47

FGI

α=28o

A

B By=750

A

500 N

500 N

G I G 500 NFGI

Her açıklık 5m

Her açıklık 5m

B By=750 N

FHI çubuk kuvveti için bir kesim daha yapılır. ∑ MB = 0 10 x FHI − 100 x 5 = 0 FHI = 50 N FGF çubuk kuvveti ise aşağıdaki gibi kesim yaparak bulunur.

∑ M A = 0 15 x FGF − 15 x FGH sin 47 − 750 x 30 + 100 [15 + 20 + 25 ] = 0 FGF = 1200 N

91


m

BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.11. FBD FCD FCE çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması. 2000 N D

4000 N B

F

30

2000 N

O

A E

C 3m

G 2000 N

3m

3m

Mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı FG = 3 cos 30 = 2.6 m

DG = 4.5 / cos 30 = 5.2 m

2000 N D

4000 N B

F 2000 N

30O A E

C

Ay=2980 N

3

m

3

G 2000 N

m

3

By=750 N

m

∑ MB = 0 2000 x 3 + 4000 x 2.6 + 2000 x 5.2 − 9 A y = 0 A Y = 2980 N ∑ Fy = 0 B y + 2980 − 2000 − 8000 cos 30 = 0 B Y = 5950N ∑ Fx = 0 B x − 8000 sin30 = 0 B x = 4000N D

∑ MD = 0 2980 x 4.5 − 5.2sin30FCE = 0 FCE = 5157.69N

B

30O

∑ MC = 0 2980 x 3 + 3 sin30FBD = 0 FBD = −5960N

FBD FCD

C

FAC

x=5.2sin30

Ay=2980 N

∑ MA = 0 5.2 sin30FCE = 0 FCE = 0

veya

∑ Fy = 0 2980 + cos60FBD + cos30FCD = 0 FCE = 0 4 kN G

ÖRNEK 3.12. Şekilde verilen sistemde,

3

a. FEC FED FFD ve FDB çubuk kuvvetlerinin

m

2m

4 kN E

F

3m

4 kN

b. Mesnet tepki kuvvetlerinin hesaplanması.

D

C

3

m

3m 4 kN

Çözüm: Şekildeki gibi sistem kesilir ve FED çubuk kuvveti bulunur.

A

B 4m

92


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

tan α = [ 2 / 3]

α = 33.69o

4 kN

G x=6sin33.7

∑ MG = 0

4 x 3 + 6 xFED sin33.69 = 0

FED = −3.606 kN

2m

4 kN

∑ MG = 0

4 x 3 + FED [6 x sin33.69] = 0

2m

VEYA

F

4 kN

α

E

[B]

4 kN

G

[A]

FED = −3.606 kN

F

E FED

FEDsinα

D

D

FEDcosα

[C]

∑ MG = 0

4 x 3 + FED [3 x sin33.69 + 2 x cos33.69] = 0 FED = −3.606 kN

4 kN

tan β = [ 6 / 4 ]

∑ MD

o

α = 56.31

=0 2m

4 kN

[A] 4 x [3 + 6] − 4 xFEC sin56.31 = 0

FEC = 10.82 kN

∑ MD

∑ ME = 0

4 kN

F

2

FFD

β

FECcosβ

D FED

m

F

α

E

β

FECcosβ

G

α

E

FECsinβ

[B]

4 kN G

x=4sin56.31 D

FFD

FECsinβ

FED

[B]

=0

4 x [ 3 + 6 ] − FEC [4 x sin56.3] = 0 FEC = 10.82 kN

4 x 3 + 2 x FFD = 0

4 kN

FFD = −6 kN

G

4 kN

FDB çubuk kuvveti için aşağıdaki şekilde kesim yapılır.

2

m

F

E C

D FDB 4 kN G

∑ MC = 0

4 x [3 + 6 ] + 4 x FDB = 0

FDB = −9 kN

3m 4 kN E

∑ MA = 0

4 x [12 + 6 + 9] − 4 x B y = 0

B y = 27 kN

∑ MB = 0

4 x [12 + 6 + 9] + 4 x A y = 0

A y = −27 kN

∑ Fx = 0

4 x 4 − Ax = 0

F

3m

4 kN C

Mesnet kuvvetleri,

2m

D 3m

3m

A x = 16 kN

4 kN A 27

16

ÖRNEK 3.13. Şekilde verilen sistemde,

B 27

A

20 kN

5m B

a. FBD, FBE, FCE, FDE ve FEG çubuk kuvvetlerinin

C

20 kN

b. Mesnet tepki kuvvetlerinin hesaplanması.

J

5m

D E 20 kN

20 kN

5m F

4 kN

tan β = 2 / 5

β = 21.80o

tan γ = 5 / 4 γ = 51.34o

4

m

2

m

G 2m

4

m

H

∑ MB = 0

20 x 5 − 4FCE = 0 FCE = 25kN

∑ MH = 0

20 ⋅ [ 5 + 10] + 15FBE cos γ = 0 FBE = −32.02kN

∑ MC = 0

32.02 20 ⋅ 5 − 4FBD cos β + 5 ⋅ FBE cos γ = 0 FBD = 53.85 kN

β 20 kN

20 kN B FBD

γ

A

C FCE FBEcosγ FBE

93


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

∑ MI = 0

H

20 x [ 5 + 10 + 15] − 15FDE = 0 FDE = 40 kN β

∑ ME = 0

− 20 x [ 5 + 10 ] + 15FBD sin β = 0 FBD = 53.85 kN

∑ MD = 0

20 x [ 5 + 10 ] + 6FEG = 0

FEG = −50 kN

∑ Fx = 0

20 kN

∑ FY = 0 FEG + FBD cos β = 0

FEG = −50kN

20 kN B

A

C

γ

20 kN

FBD

20 + 4 + Fx = 0 Fx = 84 kN ⇐

FDE

Mesnet kuvvetleri

FGE

∑ MF = 0

20 ⋅ [ 5 + 5 + 10 + 15] − 8Gy = 0 Gy = 87.50 kN ⇑

Fy = −87.50kN ⇓

ÖRNEK 3.14. Şekilde verilen kafes sistemde FFG, FDG FDH ve FDE çubuk kuvvetlerinin hesabı. 3 kN

A

3 kN

C

FFGcosα

B

E

D

A m

4.04

F

FFGsinα α=30O

7 kN

H

3 kN

3 kN

C

F

4.04m m

m

7

4.04m G

m

7

7

4.04m

H

G m

B

E

D

7

7m

G

m

7

7m

m

7

8 kN

Çözüm: Sistem simetrik olmasından dolayı mesnet tepki kuvvetleri birbirine eşit olup düşey yüklerin yarısına eşit olur. Ay=(3+3+8)/2=7 kN By=(3+3+8)/2=7 kN

FEG çubuk kuvvetini bulmak için bu çubuk kuvveti bileşenlerine ayrılır ve A veya G noktasına taşınarak D noktasına göre moment alınarak bulunur.

A noktasında bileşenlerine ayrılırsa ∑MD = 0 14 ⋅FEG sin30 + 3 ⋅7 −14 ⋅7 = 0 FEG = 11.00 kN  D G noktasında bileşenlerine ayrılırsa ∑MD = 0 8.08 ⋅FEGcos30 + 3 ⋅7 −14 ⋅7 = 0 FEG = 11.00 kN  Sistemin simetrik olmasından dolayı simetrik olan çubukların kuvvetlerinin eşit olacağından FEG= FGH olur ve G düğümünde düşey denge yazılarak FDG dik çubuk kuvveti bulunur.

∑ Y = 0 2adet ⋅11⋅sin30 + FDG − 8 = 0 FDG = −3 kN

FDG

FEG=11 α=30O

FGH=11

G

α=30O

8 kN

( −3kN) ∑MA = 0 8.08 ⋅FDH cos30 + 3 ⋅7 +14 ⋅FDG = 0 FDH = 3.00 kN

FDHcosα FDHsinα FDHcosα FDHsinα

3 kN

A

C

7 kN

α=30O

3 kN

B

E

D

m

4.04

F

m

7

G

7 kN

m

7

α=30O

B

E

D

H

4.04m 7

3 kN

C

G m

3 kN

A

FDH

4.04m

FDH

F

H

m

4.04m

7

G

7m

∑MG = 0

(3kN) 8.08 ⋅FDE + 8.08 ⋅FDH cos30 − 3 ⋅7 + 7 ⋅14 = 0

94

m

7

G

7m

m

7

FDE = −12.13 kN


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.15. Şekilde verilen K kafes sistemde FDK FEI FDG FEG çubuk kuvvetlerinin kesim metodu ile bulunması [Yükseklik eşit ve 6/2]. K

H

K

H

D

D

A

20 kN

20 kN 4x4

I

A

B

m

E

C

E

C

6

G

F

6m

G

F

20 kN

Ay=25 kN

m

I

20 kN 4x4

B By=15 kN

m

Çözüm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.

∑ Fy = 0

∑ MA = 0

20 x [ 4 + 8 ] − 16 B y = 0

B y = 15 kN

∑ MB = 0

20 x [ 8 + 12 ] − 16 A y = 0

A y = 25 kN

A y + B y = 40

Buradaki kesimde 4 çubuk kesilmiştir.

H

D FDK

FDG

FDK ⇒ ∑ ME = 0

G

F

25 x 8 − 20 x 4 − 6 x FDK = 0 FDK = 20 kN

FEI ⇒ ∑ MD = 0

25 ⋅ 8 − 20 ⋅ 4 + 6 ⋅ FEI = 0 FEI = −20kN

FEG E

C 20 kN

20 kN

FEI

Ay=25 kN

NOT: Kesim sonucu FEG ve FDG çubuk kuvvetlerini bulmak için FEF ve FDF çubuk kuvvetlerinin hesaplanmış olması gerekir. Bunun için aşağıdaki şekilde kesim yapılır. F düğümünde yatay ve düşey dengenin olması koşulu yazılırsa,

∑ Fy

FD sin α − FE sin α − 20 + 25 = 0

∑ Fx

FD cos α + FE cos α = 0

FD sin 36.87 − FE sin 36.87 = −5 FDcos 36.87 + FE cos 36.87 = 0

H

FBD FFD

F

α = 36.87 için o

C

0.6FD − 0.6FE = −5

FFE FCE

FD = −4.17 kN FE = 4.17 kN

Ay=25 kN

20 kN

0.8FD + 0.8FE = 0

∑ Fy

FD sin α − FE sin α − 20 + 25 = 0

FD sin36.87 − FE sin 36.87 = −5

∑ Fx

FD cos α + FE cos α = 0

FD cos 36.87 + FE cos 36.87 = 0

0.6FD − 0.6FE = −5 FD = −4.17 kN FE = 4.17 kN 0.8FD + 0.8FE = 0

Örnek: Verilen kafes sistemde belirtilen çubuk kuvvetlerini hesaplayınız.

∑Fx =0 A x =100N ∑MA =0 80 (4 + 8)+ 200 12+ 60 (16 + 20 + 24)−100 3 −24By =0 By =277.5N ∑277.5 + 342.5 −3 80 −3 60 − 200 =0 ∑Mg =0 12A y −100 3 −80 (4 + 8 +12)+ 60 (4 +8 +12)−12By =0 A y =342.5N 

95


BÖLÜM3

80

KAFES SİSTEMLER

80

60

80 N c

3m

60

f

e

4m

4m

4m

Ax

100 g

Ay

4m

e

4m

4m

80

d g

∑Me =0 342.5 8 −80 (4 + 8)+ 6Fcf =0

Fcf =−296.67N

∑Mc =0 342.5 8 −80 (4 + 8)−100 6 −6Feg =0

Feg =196.67N

200 80

80 N

Fcf Ff df

c θ θ

d 3m

Fdg

∑Md =0 342.5 8 −80 (4 + 8)−100 3 −3Feg +3Fcf =0

Fcf =−296.67N

∑Md =0 342.5 8 −80 (4 + 8)−100 3 +3( −Fcf )−3Feg =0

Feg =196.67N

g

4m

80

Fcd=(42+32)0.5=5m sinθ=3/5=0.6 cosθ=4/5=0.8

Feg

e

4m

342.5

200 80 N Fcf

80

c

3m

f

g 4m

e

4m

342.5

Fdfcosθ

θ θ

d 3m 100

Feg

e

4m

3m

100

Feg 200 Fdgsin θ

Fdgcosθ

∑Mf =0 342.5 12−80 (4 + 8 +12)−100 6 −6Feg196.67 −6Fdg cosθ=0 ∑Mg =0 342.5 12−80 (4 +8 +12)+ 6( −Fcf 296.67 )+ 6Fdf cosθ=0 ∑Mh =0 6Faf = 60 4 + 60 8 −277.5 8 −100 3 ∑Mq =0 6Fhg + 60 4 + 60 8 − 277.5 8 +100 3 =0 85.41 196.67

By

f

3m

80

4m

Fcf

c

4m 342.5

4m

80 N

3m

100

4m 200

200 80

60

f

3m 4m

60

d

B

4m

60

80 N c

3m

g 4m

80

100

d 3m A

80

60

Ffg

Faf =−300N

Fdg =85.41N Fdf =−85.41N 60

60

Faf g 100

Fhg = 200N Fhg h 4m

Fgb

α F hg

60

4m By

200

∑X =0 200 −196.67 −85.41 0.8 +Fgb cosα=0

Fgb =81.25N

∑Y =0 85.41sinα+Ffg − 200 +Fgb sinα=0

Ffg =100N

96


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.16. Verilen kafes sistemde , ve çubuk kuvvetlerinin bulunması. 1.5m

1.5m

1.5m

A

B

20 kN 3

m

3

m

3

m

3

m

İlk önce mesnet tepki kuvvetleri Ay=5 kN By=15 kN olarak bulunur. İstenilen çubuklardan geçecek şekilde kesim uygulanarak çubuk kuvvetleri aşağıdaki şekilde bulunur.

N

N

N

N

N

1’

1 N

A

N

N1

1

A

N1

N

5 kN

5 kN

3m

3m

3m

1 düğümünde moment ve yatay denge yazılır. ΣM1=0 ΣFx1=0

-1

N = 5.59 kN

5 x 3 + 3 x cos (tan (1.5/3)) N =0 -1

cos (tan (1.5/3)) N +N = 0

N = -N

N = 5.00 kN

1’ sanal düğümünde moment dengesi yazılır. ΣM1’ =0 ΣM1’ =0

5 x 3 - 6 x N =0 N = 2.50 kN veya -1 2 2 0.5 5 x 3 – sin (tan (6/3)) x (6 +3 ) N =0

97

N = 2.50 kN


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.20. Şekilde verilen üç mafsallı kafes sisteminde FFH ve FDE çubuk kuvvetlerinin hesabı. [Not: 6 kN 5.5m nin ortasından ve 9 kN da BC boyunun düşey ve yatay boyların ¼’den etkiyor.] F

D

H

C

9 kN E

Mafsal M=0

4.0m

B

6 kN 1.5m A 3.5m

5.5m

Çözüm: Verilen sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.

ΣMB=0

9 x 3.81 / 4 + 6 x [3.5 + 2.75 ] + 1.5 A x − 9 A y = 0 F

1.5 A x − 9 A y = −46.07

1

D

H

C

E

Mafsal M=0

4.0m

9 kN

6 kN

B

Bx 1.5m

Ax

By A 5.5m

3.5m

Ay F

H

C

4.0m

6 kN Ax

A 5.5m

Ay

ΣMC=0

∑ MC = 0

6 x 2.75 + 4 A x − 5.5 A y = 0

1 ve 2 nolu denklemlerin ortak çözümünden Ax=3.78 kN

4 A x − 5.5 A y = −16.50 Ay=5.75 kN

olarak bulunur.

9 cos 66.8 x [1.5 + 2.5 / 4 ] − 9 sin 66.8 x [5.5 + 3x3.5 / 4 ] − 6 x2.75 + 1.5B x + 9B y = 0

ΣMA=0 1.5B x + 9B y = 76.18

1

98


2

BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

F

D

H

23.2o

E

9cos66.8

4.0m

Bx

B

6 kN

9sin66.8 1.5m

By

Ax

A 5.5m

3.5m

Ay

−9 cos 66.8 x [3x2.5 / 4 ] − 9 sin 66.8 x [3x 3.5 / 4 ] − 2.5B x + 3.5B y = 0

ΣMC=0 − 2.5B x + 3.5B y = 28.36

2

1 ve 2 nolu denklemlerin ortak çözümünden Bx=0.41 kN

By=8.40 kN

olarak bulunur.

D C

23.2o

E

9cos66.8

Bx

B 9sin66.8 1.5m

By 3.5m

3.7. HİPERSTATİK KAFES SİSTENLER

Hiperstatik kafes sistemler aşağıda maddeler halinde açıklanmaktadır.

1.

Mesnet sayısı ikiden fazla olan kafes sistemlere bilinen üç denge denklemiyle çözülemeyeceğinden dıştan hiperstatik sistem denir.

P

2P

B

A

C

Verilen bu sistemde mesnet tepkileri [Ay, By ve Cy] bakımından sistem birinci dereceden hiperstatiktir.

2.

Bir kafes sistemde mesnet tepkileri 3 denge denklemleri ile bulunuyor iken çubuk kuvvetleri bulunamıyor ise böyle sistemlere içten hiperstatik denir. Bunun kontrolü aşağıdaki gibi yapılır.

i. ii. iii. iv. v. 3.

m: çubuk sayısı n: düğüm sayısı r: mesnet tepki sayısı q=2n-r Hiperstatiklik derecesi=m-q

1. ve 2. maddedeki durumların birlikte olması durumunda da sistem hem içten hem dıştan simetrik olur.

99


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ÖRNEK 3.17. Aşağıdaki kafes sisteme mesnet tepkilerinin bulunması.

3m

4m

4m

4m

30 kN ΣM=0 dan mesnedinin düşey tepkisi,

30 x 8 +– 12 Y = 0

Y= 20 kN

ΣM=0 dan mesnedinin düşey tepkisi,

30 x 4 – 12 Y = 0

Y= 10 kN

Ancak bu sisteme yukarıda verilen şartlar uygulanırsa

m=10, n=6, r=3, q=2n-r=2x6-3=9 ve

Hiperstatiklik derecesi=m-q=10-9=1

olduğu görülür. Yani bu sistem içten birinci dereceden hiperstatiktir. 1 ve 2’de açıklandığı gibi sistem

hem içten hem de dıştan hiperstatik olabilir. Bu hiperstatik kafes sistemlerin çözümü ileri dönemlerde Yapı Statiği derslerinde açıklanacaktır.

ÖRNEK 3.18. Verilen kafes sistemin hiperstatik olup olmadığının belirlenmesi.

10 kN 6m

6m

6m

m=8, n=5, r=4, q=2n-r=2x5-4=6 ve

Hiperstatiklik derecesi=m-q=8-6=2

Sistemde ikinci dereceden hiperstatiktir. Ancak sistem 3 mesnet olmasından dolayı sistem dıştan 1 ve içten 1 olmak üzere ikinci dereceden hiperstatiktir.

100


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

3.8. UZAY KAFES Yapı teknolojilerinde hafif, hızlı ve endüstrileşmiş çözümler arayışı uzay kafes sistemlerin doğmasına sebep olmuştur. Bu sistemler yapılarda büyük açıklıkların kolonsuz ve hafif bir yapı sistemi ile geçilmesini sağlayarak işlevsel olarak yapıların daha esnek ve kullanışlı olmasını sağlamaktadır. Uzay kafes sistemlerin tarihte ortaya çıkışı deniz kabuklusunun geometrik yapısına duyulan hayranlıkla başlar. Çubuk ve düğümlerden tasarlanarak geliştirilen sistem; Dr. Max Mengeringhausen’in deniz kabuklusunda hayran kaldığı logaritmik heliks büyümenin bir etkisi gibi yapılarda büyük açıklık geçebilen sistemlerdir [1].

Şekil 1. Dr. Max Mengeringhausen ve ilk uzay kafes sistem modeli (1903-1988) [1] İlk olarak Dr. Max Mengeringhausen uzay kafes sistemleri geliştirmiş ve 1940'lı yıllarda yapılarda kullanmıştır. Mengeringhausen "Bauhaus" ekolü ile ortaya çıkan mimaride berraklık, güzellik ve işlevselliğin en güzel örneğini uzay kafes sistemlerini geliştirerek ortaya koymuştur. Bauhaus’un kurucusu olan Gropius, Mengeringhausen’nin geliştirdiği çubuk/düğüm (uzay kafes) sistem ile ilk yapılar 1942 yılında yapılmıştır. Çubuk/düğüm sistemler kısa zamanda büyük programlar içinde endüstriyel şekilde üretilen sistemler olmuşlardır. Uzay kafes taşıyıcı sistemlerin birim elemanı, altı çubuk ve dört düğüm noktasından oluşan bir dörtyüzlüdür. Böyle bir dörtyüzlü her biri aynı düzlem içinde bulunmayan üç çubukla kolaylıkla büyütülebilmektedir. Çubuk birleşimleri, montajda çeşitli kolaylılar sağlayan patentli düğüm noktası elemanları ile yapılmaktadırlar. Statik yararları açısından, bu sistemler diğer bir çok taşıyıcı sistemlere oranla çok daha hafiftirler. Sabit yüklerin azlığı sadece çatıda değil, alt sistem öğeleri ile temellerde kendini göstermekte ve buna bağlı olarak maliyet önemli ölçüde azalmaktadır. Uzay kafes sistemler günümüzde büyük açıklıklı sanayi ve spor kompleksi yapıları ve uçak hangarlarının örtülmeleri konusunda oldukça fazla uygulama alanı bulmaktadır (Şekil 2). Teknolojinin ilerlemesiyle birlikte bu sistemlerle 150 m’ye kadar olan açıklıklar geçilmektedir. Bu strüktür sistemleriyle kare, dikdörtgen, poligon ve daire şeklindeki mekanlara uygun örtü biçimleri oluşturularak mimari görünüm kazandırmaktadır. Düzlem yüzeyler ve bunun katları geliştirilebileceği gibi, ayrıca kubbe ve tonozsal biçimler ve bunların tekrarı şeklinde de kurulabilmektedir. Ayrıca Uzay kafes sistemlerde elektrik, sıhhi tesisat, havalandırma kanalları klima, iklimlendirme sistemleri gibi donatılar, bu sistemlerin oluşum ilkesinden doğan boşluklarda kendilerine kolaylıkla yerleşim alanı bulabilmektedir. Uzay kafes sistemlerle geometrisi tanımlanan hemen her form çözülebilir. Bu da mimari isteklere statik olarak cevap verebilmek demektir.

Şekil 2. Çeşitli uzay kafes sistem örnekleri [2]

101


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Uzay kafes sistemleri gerekli tasarım ve mühendislik hesapları yapıldığında her yükü taşıyabilir. Şekil 3’de görüldüğü gibi sürekli ve hareketli yüklerin olduğu köprüde taşıyıcı sistem olarak uzay kafes seçilmiştir. Yukarıdaki şekillerin incelenmesinden de görülebileceği gibi geniş açıklıklı yapıların [otogar, alış veriş merkezleri, hangar, köprü gibi] çatılarının kapatılması ve mimari görünüm kazanılması için sık olarak kullanılır. Geniş açıklıkların betonarme ve iki boyutlu kafesler ile geçmek mümkün ve ekonomik olmayabilir. Bu amaçlarla kullanılan, 1. Bundan önce incelenen iki boyutlu kafes en az üç elemanlı ve üç düğüm noktalı olmak üzere elde edilmişti. y

x

2. Bu üç elemanlı sisteme, a. Yeni üç eleman ekleyerek

b. 4 düğüm noktası [üç düğüm ile aynı düzlemde olmayan ilave bir düğüm noktası yani üç boyutlu olacak şekilge]

c. 4 yüzlü bir sistem y

y

y

x z

z

x

x z

d. 6 bilinmeyenli olacak şekilde sabit ve kayıcı mesnet düzenlenmesiyle

[daha fazla

ΣFx=0

ΣFy=0

olması durumunda sistem hiperstatik olacağı için çözümü bu aşamada olmaz

ΣFz=0 ΣMx=0 ΣMy=0 ΣMz=0] y

y

x z

z

e.

x

x Küresel mesnet

z

Büyütmek için ilave bir düğüm teşkil edecek şekilde 3 eleman ekleyerek yapılan y

x z

102


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

f.

Elemanlar birbirine kaynak ve perçinle yapılan

g. Düğüm noktaları moment taşımayan yani mafsallı

taşıyıcı sistemlere UZAY KAFES sistem denir. Bu kafes sistemde,

h. m: çubuk sayısı i. n: düğüm sayısı j. r: mesnet tepki sayısı [6] olmak üzere,

1. 2. 3.

m+6=3n ise sistem izostatik m+6>3n ise sistem hiperstatik m+6<3n ise sistem labil

olur. Burada izostatik sistemler incelenecektir. Uzay kafes sistemlerin çözümünde, düzlem kafes sistemlerin düğüm noktalarında yazılan, ΣFx=0

ΣFy=0

ΣFz=0

ΣMx=0

ΣMy=0

ΣMz=0

denge denklemleri yazılır. Ayrıca kesim metodu uzay kafes sistemlerin çözümünde de uygulanabilir. Kesim metodunun uygulandığında kesim ile en fazla 6 çubuk kesilebilir.

ÖRNEK 3.19. Şekilde verilen uzay kafes sisteminde çubuk kuvvetlerinin hesaplanması [A mesnedi ve C mesnedi küresel mesnet B mesnedi ise kablo [Ax Ay Az Cx Cy Cz Bx]]. Bx x

y

x

B

B 5m

5m

8m

8m

Cz

C O

6m

A

z

5m

D

6m 5m

Cx 6m

A 5m

Ax

D

6m 5m

5 kN

Cy C

O Ay Az

z

y

x

5 kN

x

Çözüm: Serbest cisim diyagramı yandaki gibi elde edilir.

103


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

ΣFx=0

Ax - Bx+ Cx=0

ΣFy=0

Ay+ Cy – 5 =0

ΣFz=0

Az + Cz =0 r r r r r rAD x 750 + rAB x B + rAC x C = 0

∑ MA

=0

r rAD = [6 i − 5 k ] m

r rAB = [8 j − 5 k ] m

r rAC = [ −10 k ] m

j k  i j k  i j k  i       = − + − + − M 6 0 5 0 8 5 0 0 10 ∑ A  =0       0 − 5 0   −B x 0 0  Cx C y Cz  ∑ MA = [ −25 ri − 30kr ] + [5B x rj + 8B xkr ] + [10C y ri − 10C xyr ] = 0

r i

− 25 + 10C y = 0

Cy = 2.5 kN

r j

5B x − 10C x = 0

C x = 1.875 kN

r k

8B x − 30 = 0

B x = 3.75 kN

∑ Fx

=0

A x + Cx − Bx = 0

A x + 1.875 − 3.75 = 0 A x = 1.875 kN

∑ Fy

=0

A y + C y − −5 = 0

A y + 2.5 − 5 = 0

A y = 2.5 kN

z ekseni yönündeki mesnet tepki kuvvetleri olan Az ve Cz bulmak için aşağıdaki yol izlenir. r rAB = [8 j − 5k ]m

rAB = 82 + 52 = 9.434m

r [8 j ] r r [5 ] u AB = AB = − k = 0.848 rj − 0.530kr rAB 9.434 9.434

A düğümünde denge r rAD = [6 ri − 5kr ]m

rAD = 62 + 52 = 7.810m

r [6 ri ] [5 r ] r r u AD = AD = − k = 0.768 ri − 0.640kr rAD 7.810 7.810 ∑F = 0

r r [A x A y A z ] + TABuAB + TADuAD

∑ Fx = 0

r r A x + TABuAB + TADuAD = 0

1.875 + TAB [0] + TAD [0.768] = 0

∑ Fy = 0

r r A y + TABuAB + TADuAD = 0

2.5 + TAB [0.848] + TAD [0] = 0

∑ Fz = 0

r r A z + TABuAB + TADuAD = 0

A z + TAB [ −0.530] + TAD [ −0.640] = 0

104

TAD = −2.441 kN TAB = −2.948 kN A z = −3.125 kN


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

r rCB = [8 j + 5 k ] m

rAB = 8 2 + 5 2 = 9.434 m

r [8 j ] r rCB [5 k ] u CB = = 0.848 rj + 0.530 kr = + rCB 9.434 9.434

C düğümünde denge r rCD = [6 ri + 5 kr ] m

rCD = 6 2 + 5 2 = 7.810 m

r [6 ri ] [5 kr ] r rCD u AD = = 0.768 ri + 0.640 kr = + rCD 7.810 7.810

r r [C x C y C z ] + TCBu CB + TCDu CD = 0

∑F = 0 ∑ Fx = 0

r r C x + TCBu CB + TCDu CD = 0

1.875 + TCB [0 ] + TC CD [0.768 ] = 0

∑ Fy = 0

r r C y + TCBu CB + TCDu CD = 0

2.5 + TCB [0.848 ] + TCD [0 ] = 0

∑ Fz = 0

r r C z + TCBu CB + TCDu CD = 0

C z + TCB [0.530 ] + TCD [0.640 ] = 0

r rDB = [ −6 İ + 8 j ] m

TAD = −2.441 kN

TAB = −2.948 kN C z = 3.125 kN

rDB = 8 2 + 6 2 = 10.000 m

B düğümünde denge r r rDB [6 ] [8 j ] uDB = =− i + = −0.600 ri + 0.800 rj rDB 10 10

∑ Fy = 0

r − 5 + TDBuDB = 0

− 5 + TDB [0.800 ] = 0

TDB = 6.250 kN x

Bx x

y B

y B

5m

5m

8m C

Cy

8m

C Cx

Cz

6m 6m A

Ay A z

Az

z

Ax

5m

5m

D

6m D

6m

5m x

5m

5 kN

5 kN

105

x


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

.9. UZAY KAFES SİSTEMİN BİLEŞENLERİ Uzay kafes sistemler geniş açıklıkların geçilmesi için en uygun sistemdir. Uzay kafes sistemler ile kazanılacak hacim ve tüketilen yapı malzemesi arasındaki oran diğer yapı malzemelerinin tüketim oranına göre oldukça uygundur. Oluşturulacak hacim büyüklüğü ile yapı maliyeti ve geniş açıklıkların geçilmesinde diğer yapı elemanlarının ağırlığı ve maliyeti ile ters orantılıdır. Bu sistemler, iskele gereksinimini ortadan kaldırmak için genellikle zemin kotunda kurulmakta ve çeşitli yöntemler ile yerlerine monte edilmektedirler. Bu nitelikler uzay kafes sistemler ile oluşan yapıların maliyetini ve yapım sürecini azaltmaktadır. Uzay kafes sistemleri diğer yapı sistemlerinden ayıran en büyük özellik montaj edilen yapı bileşenlerinin sökülerek başka bir yerde tekrar uygulanmaya imkan vermesidir. Böyle bir şey betonarme için söz konusu değildir. Uzay kafes sistemler ise modüler olan yapı bileşenleri ile rahatlıkla sökülüp taşınmakta ve başka bir yerde yeniden kurulabilmektedir (Şekil 7). Bu nedenle kalıp ve iskele masrafı ortadan kalkmakta, inşaatın süratle bitirilmesi de ekonomi sağlamaktadır. Küreler

Düğüm

Konik

Somun Pim

Şekil 7. Uzay kafes sistem düğümünde kullanılan elemanlar [2]

Çelikte de en hafif ve hiperstatik çözümü olan uzay kafes sistemlerdir. Uzay kafes sistemler yüksek derecede hiperstatik sistemlerdir. Sistem elemanlarını eğilmeye zorlamadığı için büyük açıklıkların geçilmesinde yapısal güven sağlanmaktadır. Uzay kafes sistemler diğer yapı sistemlerine oranla daha hafiftir. Yapı sisteminden gelen sabit ve hareketli yüklerin zemine ileten temel sistemleri de yapının hafif olması sebebi ile daha az yük taşıyacak şekilde ebatları küçük olmaktadır. Depremin etkisi yapının ağırlığı ile doğrusal orantılı olarak arttığı için uzay kafes sistemleri depremden daha az etkilenir. Betonarme yapı sistemlerine göre daha elastik ve sünektir [3]. Çelik yapı malzemeleri; üretimi, dağıtımı ve yapı sistemlerinde kullanımı yaygınlaştıkça ucuzlamış ve günümüzde diğer yapı malzemelerine göre daha ekonomik olarak kullanılabildiği alanlar bulmuştur. Yapı için gerekli açıklığın büyüklüğü arttıkça çelik kullanmak daha ekonomik bir hale gelmektedir. Uzay kafes sistemleri yapının olduğu yerde değil endüstriyel olarak projesine göre fabrikada üretilmektedir. Bu da yapı bileşenlerinin endüstrileşmiş bir seri üretim ile hızlı ve ekonomik olarak elde edilmesi demektir. Uzun süre şantiye kurma ve sabit giderlerin ortaya çıkmasını bu endüstrileşmiş yapım engellemektedir. Yapım yerinde sadece montaj yapılmaktadır. Hızlı yapılan montaj çok kısa sürer, şantiye ve şantiyenin sabit giderleri gibi masrafları ortadan kaldırır. Kurulum parçaların birbirine bağlanması ve bir somun anahtarı ile sıkıştırılmasından ibarettir. Sanayi tesislerindeki üretimin sürekliliği ve sürdürülebilirliği önemlidir. Kısa sürede inşaatı bitirilebilen uzay kafes sistemler üretime uzun süre ara vermeden tesisini yenilemek zorunda olan işletmeler içinde hızlı bir inşaat yöntemi olarak seçilebilir.

3.9.1. Uzay Kafes Sistemlerin Projelendirme Esasları Uzay kafes sistemler, düğüm noktaları mafsal bağlantılı kabulü ile tasarlanmış, narin kesitli boru elemanlardan teşkil edilmiş yüksek dereceden hiperstatik sistemlerdir. Uzay kafes çatıların hesaplarında yükler düğüm noktalarından aktarılır. Sadece eksenel yük alacak şekilde kesitler boyutlandırılır. Bu yüzden imalat ve montaj sonrası da bu koşul sağlanmalı, gerek kaplama detayları gerekse aksesuar bağlantıları elemanlara doğrudan veya kelepçeler ile bağlanmalı, tüm bu yükler küre elemanlar üzerinde bırakılmış ve diş çekilmiş delikler yardımı ile sisteme aktarılmalıdır. Statik hesaplar yapılırken, projenin uygulanacağı ülkenin ve bölgenin koşulları esas alınmalıdır. Seçilecek standart, uluslararası alanda kabul gören ve yaygın olarak kullanılan bir standart olmalıdır. Bu durumda hesaplarda bir standart bütünlüğü olmalı, bir kaç ülke normu bir arada kullanılmamalıdır. Uzay kafes sistem elemanlarına gelecek kuvvetleri taşıyabilecek nitelikte seçilmelidir. Her elemana gelen çekme ve basınç yüklerinin mutlak değerce en büyük olanı boyutlamada esas alınmalıdır (Şekil

106


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

8). Bir elemanın çekme taşıma kapasitesi, boru galvaniz deliği en kesiti, kaynak, konik ve cıvata çekme kapasitesinin en küçüğü olarak seçilmelidir. Benzer şekilde bir borunun basınç taşıma kapasitesi, boru ortasında burkulmalı basınç, galvaniz deliği en kesitine basınç, kaynak, konik ve somun basınç kapasitesinin en küçüğü olarak seçilmelidir. 1 2

3 4 5

6

7

1-1.Cıvata diş dibi en kesitine göre çekme kapasitesi;

Çekme

2-2.Cıvata pim deliği en kesitine göre çekme kapasitesi; 3-3.Cıvata kafası, konik kalınlığından zımbalama tesiri ve kapasitesi; 4-4.Konik en kesitine, konik et kalınlığı için çekme taşıma kapasitesi; 5-5.Konik boru kaynağı en kesitinde, kaynak taşıma kapasitesi;

1 2

3 4 5

13

12

7

6 11 10

9 8

6-6.Galvaniz deliği en kesitinde, net en kesit alanı gerilme yığılmalı çekme kapasitesi; 7-7.Boru ortasında boru en kesit için boru çekme kapasitesi. 8-8.Somun oturma yüzeyinde basınç ve ezilme taşıma kapasitesi;

Basınç

9-9.Somun pim deliği en kesitinde basınç taşıma kapasitesi; 10-10.Konik en kesitinde, konik et kalınlığı için basınç taşıma kapasitesi; 11-11.Konik-boru kaynağı en kesitinde, kaynak taşıma kapasitesi; 12-12.Galvaniz deliği en kesitinde net en kesit alanı gerilme yığılmalı basınç

13

12

11 10

9 8

Şekil 8. Çekme ve basınç çubuk bağlantı detayları Statik hesaplar yapılırken, çözüme dahil edilen dış yüklerin toplamı, mesnet reaksiyonların toplamını verir. Sıcak daldırma galvaniz işlerde, boru çekme ve basınç taşıma kapasiteleri hesabında, galvaniz deliği nedeniyle olan kayıplar hesaba dahil edilmelidir. Bu kısımlar, gerilme yığılması yaratan bölgelerdir. Net alan kullanılarak azaltılan en kesitler dahi büyük delik çaplarında problem yaratabilir. Konik et kalınlığında cıvata kafasının zımbalama tesiri önemlidir. Bu tesirin oluşmaması için hem konik et kalınlığı yeterli olmalı, hem de cıvata kafası yeterli çapta ve standartlara uygun seçilmelidir. Sıcak daldırma galvanizli işlerde, cıvata sonradan boru içine atıldığından, galvaniz delikleri çapı, cıvatanın sonradan içeri girmesine izin verecek büyüklükte olmalıdır. Galvaniz delikleri küçük yapılan borularda muhtemelen bu delik cıvata atımı için değil başka amaçlara yönelik olabilir. Bu tür projelerde, hazır galvanizli boru kullanmak gibi hatalı uygulama şekilleri kullanılmış olabilir. Statik hesaplarda proje ve sözleşme şartlarına bağlı olarak göz önüne alınabilecek başlıca yük kriterleri, zati ağırlıklar, servis yükleri (aydınlatma, havalandırma, temizlik teçhizatı[), deprem yükleri, rüzgar yükleri ve sıcaklık tesirleridir. Kaynakların emniyet gerilmeleri şartnamelerde verilen limitlere uygun seçilmelidir. Kaynak kalınlığı boru kalınlığından fazla olamaz. Kaynak kalınlığının üst siniri boru et kalınlığını geçmeyecek şekilde standartlarda yer alan koşullar ile sınırlı tutulmalıdır (Örneğin max. a<=0,7t min. ) (Şekil 9). Farklı malzeme kalitesinde olan çelik elemanların kaynaklanması halinde kaynak emniyet gerilmesi, düşük kalitedeki malzeme esas alınarak hesaplanmalıdır. Örneğin St52 boru kullanılarak yapılmış uzay çatılarda koniklerin St37 olması halinde, kaynak emniyet gerilmesi St37 için verilen değere göre seçilmelidir. Uzay kafes sistemlerde çubuk olarak kullanılan boru elemanlar kesinlikle bir bütün olmalı yani kaynaklı birleşimle çubuk yapılmamalıdır. Aksi halde bu tür çubuk elemanlarda hasar kaçınılmaz olmaktadır (Şekil 9)

Şekil 9. Kılıçoğlu Anadolu Lisesi uzay kafes sistem hasarları [4]

107


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

2

Yukarıdaki şekilde çatı hasarı görülen spor salonu çatısı 28.8x43.68 m ’dir. Çatı elemanları farklı boyutlarda olabilen borular, konikler, cıvatalar, somunlar ve kürelerden oluşmaktadır. Boru uçları koniktir. Konik ucunda yer alan cıvataya somun pim ile çakılmıştır. Etrafı açık yapılarda rüzgar basınç faktörleri, kapalı alanlara göre 3 kat daha fazla olmaktadır. Örneğin açık bir uzay etkileyen rüzgar yükü emme katsayısı C=l,2, kapalı bir uzayı etkileyen rüzgar yükü emme kat sayısı C=0,4 olmaktadır [7]. Bu durum hesaplarda ve imalatta mutlaka göz önüne alınmış olmalıdır. Uzay çatı boru elemanlarının narinlik hesabında burkulma boyu hesaplanırken, küre aksından küre aksına olan boy esas alınmalıdır. Ayrıca çubukların maksimum olarak seçilen narinlik oranı standartlarda belirtilen orandan fazla olmamalıdır. Çubuklara gelen maksimum çekme ve basınç kuvvetlerine göre, eleman üzerinde teşkil edilen boru, cıvata, konik ve küre çapları uyumlu olmalıdır (Şekil 10). Bu homojenliğin sistemin tamamında sağlanmış olmasına dikkat edilmelidir.

Şekil 10. Kurtuluş pazarı uzay kafes sistem hasarları Uzay model geometrisi tasarlanırken modül genişliğinin yüksekliğe oranı 0,8 sabitiyle pratik olarak hesaplanabilir [5]. Bu şekilde düğüm detaylarında minimum ölçülerle geçilmiş olunur. Bunun dışında boru akslarında dar açılar bırakmaktan kaçınılmalıdır. Aksi durumda somun yada cıvata çakışması sebebiyle büyük çapta küreler sistemde belirir. Montaj her zaman statik hesapların bir parçasıdır. Montaj tasarımın en başında dikkate alınmalı ve alınması gereken önlemler tespit edilmelidir. Örneğin dört açıklıklı bir uzayın ilk açıklığı komşu açıklıkların yardımıyla hafifletilse bile, montaj aşamasında bu dengeleyici yerleşimin olmaması ilk açıklıkta sorun yaratabilir. Benzer bir şekilde vinç ile kaldırılan uzayların kaldırma noktalarına yakın yerlerde veya farklı diğer bilgilerde, dikkate alınmaması halinde elemanlar tehlike yaratabilir. Bu yüzden montaj yöntemi, mutlaka analizin bir parçası olarak düşünülmeli ve paralel hazırlanmalıdır. Uzay kafes sistemlerde mesnet bağlantıları sistemin sıcak ve soğuktan dolayı hareketine imkan verecek şekilde düzenlenmesi sistemin sağlıklı işlevini yapması bakımından önemlidir. Ayrıca sistemin mesnetleri bağlantı noktalarına tam aksında yapılmalıdır. Aksi halde çeşitli sebeplerden dolayı hasarlar kaçınılmaz olmaktadır (Şekil 11).

Kurtuluş Pazarı

Kılıçoğlu Anadolu Lisesi

Şekil 11. Mesnet bağlantı hasarları

108


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Uzay kafes sistemlerin kar yükünün diğer düşey yüklerden daha fazla etkili olduğu görülmüştür. Dünyada her kış birçok çatı kar yükü altında çökmekte can ve mal kaybına neden olmaktadır (Şekil 12). Özellikle büyük alanları kaplayan spor, sergi, kongre salonu, süper market, pazaryeri ve hangar türü yapıların çelik yada ahşap taşıyıcılı çatıları çökmektedir. Çökme nedeni ilk bakışta kar yükü gibi görünmekle birlikte bu doğru değildir. Çöken çatıların hemen hepside proje, inşaat ve bakım hataları içermektedir. Kar yükü sadece çökmeyi tetiklemektedir. Basmanny kapalı pazaryeri çatısı Çelik kafes (2000 m2)/ Moskova-2006

Hartford Civic Center (Hartford belediye spor salonu) çatısı uzay kafes (91.44x109.73=10034 m2) /ABD1978

Şekil 12. Kar yükünden dolay hasar gören uzay ve kafes yapıları [4] Bad Reichenhall/Almanya spor salonunun çökmesi sonrası Alman Teknik Denetim Kurumu (TÜV) geniş kapsamlı bir incele başlatmış, 200 den çok spor salonunda yaptığı incelemede çatıların %24'ünde proje ve hesap hatası, %29'ünde malzeme ve inşaat hatası ve %37'sine bakım hataları belirlemiştir. Kar yükü nedeniyle çöken çatı sadece %16 dır [4]. Doğu Karadeniz bölgesinde yapılan araştırmada kar verilerinin yük değerleri istatiksel olarak incelenmiş günümüz şartlarındaki değerlerin zamanın imkanlarıyla hazırlanmış TS498’deki değerlerden daha büyük olduğu görülmektedir.

3.9.2. Üç Değişik Çatı Tipine Göre Çözülen Model Burada uzay çatı konusunda genel bilgi vermek için bu çözüm yapılmıştır. Artık statik dersi alan bir öğrenci mühendisliğin büyük bir kısmını tamamlamış sayılır. Çelik yapılarda çatının şekli ve eğimi yapının ağırlığında ve dolaysıyla maliyetinde çok etkili bir parametredir. Bu nedenle bu bölümde 3 değişik çatı şekli için aynı yapı çözülerek değişim bir grafikte gösterilmiştir. Özel ilavelerin haricinde standart modüle sahip ana bölüm uzay çatının çözümü aşağıda başlıklar halinde verilmiştir. 2

Betonarme kolon sistemi üzerine oturtulan 43,2x43,2 m kare geometriye sahip olup 7,2 m kolon aralıklarına sahiptir. Yapı yüksekliği 15 m ve kaplama açısı 8° uzay diyagonal açısı 63° ‘dir. Mesnetler ısı yüklerini sistem dışına atacak şekilde mesnet düzenlemesi yapılmıştır. Isı, yükleme durumları (zati, hareketli..), yükleme kombinasyonları mesnet şartları yönetmelik kriterlerince alınmıştır. Bu çözümde 42 adet kombinasyon bulunmaktadır. Burada bazı kombinasyonlar devre dışı kalmaktadır. Hangi kombinasyonun nerde lüzumlu nerde lüzumsuz muhakemesini yapmak tamamen zaman kaybıdır. Sistem otomatik olarak devre dışı bırakır. Çözülen sistemde 761 adet düğüm noktası, 2888 adet 2 2 2 2 çubuk, 10 çeşit yük, E=21000000 kg/m , 22.3 kg/m zati yük, 105 kg/m ölü yük ve 80 kg/m rüzgar yükü bulunmaktadır (Şekil 13) [6].

109


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

y -y ö n ü n d e k a y ıc ı m esnet

x ve y -y ö n ü n d e k a y ıc ı m esnet

ISI GENLEŞME YÖNÜ

S a b it m esnet

x -y ö n ü n d e k a y ıc ı m esnet

y x

% 1 4 E ğ im

Ç a tı k a p la m a s ı+ A ş ık

A

B

C

y x z

Şekil 13. Çözülen çatı tipleri

110


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Alınan model üç değişik durum için çözülmüştür. Birinci durum çatı düzlem olarak ve mesnet düzenlerinin ısı yüklerini sönümleyici şekilde açık mesnet tipinde çözümüdür. Çatı kaplaması eğimi aşık sistemiyle %14 eğim verilerek yapılmıştır (Şekil 13A). Bu çözüm sonucu bulunan kafes sistem eleman ağırlıkları Tablo 1’de verilmiştir. Tablo 1. Çözüm-1 Uzay Kafes Sistem Özet Değerleri Toplam yapı ağırlığı [kg]

55723,9

Uzay kafes sistemin ağırlığı [kg]

45723,9

Aşık sistem ağırlığı [kg]

10000

En büyük boru çapı [inc]

6”

En büyük küre çapı [cm]

160

En büyük mesnet kuvveti [kg]

X=4,559 Y= 0,000 Z=19,451

Düşey yönde max. deplasman [m]

-0,102077

İmalat boru tip sayısı [adet]

109

İmalat kre tip sayısı [adet]

155

İkinci durumda çatı ortadan iki yöne %14 eğimle kırılma açısı verilerek, kırık çatı tipinde çözümü yapılmıştır (Şekil 13B). Bu durumda mesnet düzenlemesi birinci durumdaki gibi alınmıştır. Üçüncü durumda ise ikinci durumdan farklı olarak mesnetler x-yönünde kapalı, y-yönünde açık olarak çözülmüştür (Şekil 13C). Bu da ısı farkı yükünün y-yönünde dışarı atılması, x-yönünde sistem içinde sönümlenmesidir. Bu üç durumda yapılan çözümler sonucunda çatı ağırlığı değişimi Şekil 14’de verilmiştir. 60000

55723,9 50824

50000

45301,1

40000 30000 20000 10000 0 Çözüm 1

Çözüm 2

Çözüm 3

Şekil 14. Sistem Ağırlığı Değişim Grafiği Şekil 14’ün incelenmesinden de görülebileceği gibi tüm yapılarda özellikle de uzay kafes sistem ile yapılan yapılarda sistem seçimi çok önemlidir. Günümüzde tüm hesaplamaların bilgisayarla yapıldığı düşünülürse mühendisliğin işin içine girdiği tek yer sistem seçimi olduğunu söylemek hiç de zor değildir.

3.9.3. Farklı Bölge Koşullarında Çözüm Ve Değerlendirme Burada uzay kafes sistemlerde etkin olan yüklerden birinin kar yükü olduğu vurgulanması için bu açıklamalar yapılmaktadır. Uzay kafes sistemlerde etkin olan diğer bir yük ise ısıdır. Bu konu ilerdeki derslerde açıklanacaktır. Bu kısımda kar yükünün bölgelere göre değişiminin etkisinin uzay kafes sistemler üzerindeki etkisinin incelenmesi yapılmıştır. Şekil 13’deki B modeli çatı sistemi model kabul edilerek Türkiye’nin farklı bölgelerindeki davranışı kar yükü ve deprem kuvvetleri altında incelenmiştir (Şekil 15).

111


BÖLÜM3

KAFES SİSTEMLER

Şekil 15. Türkiye kar yağış yüksekliği haritası [7] Burada esas olan yükler kar yükleri TS498 [5], deprem yükleri de deprem yönetmeliği kriterlerine göre belirlenmiştir (Tablo 2) [8].

112


kafes sistemleri

Recommend Documents