2 2 n derivate (x ! y) 2 = x2 ! 2xy + y2 primitive xy = n x $ n y Rad Grad Cos Sen Tan Cot cos a + sin a = 1 x a a-1 sin a x 2 x a n 0 0 1 0 0 inf tan a = cos a x " ax (x + y + z) = y = x " (a + 1 ) y 3 3 r 1 k a cos 1 2 30 3 cot a = tan a = sin a 2 2 3 6 1 x " sgn x + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz ^ n x h = n x k x 2 2 " log x r k 45 1 1 x 4 2 2 log x " 1x ^ x ! yh3 = x3 ! 3x2 y + 3xy2 ! y3 ^a n x h = a k $ n x k sin (a ! b) = 3 3 r 1 x x 60 3 e "e 2 3 2 3 1 3 3 3 3 21 12 15 log a x " (x log a) sin a cos b ! cos a sin b ^ x + y + zh = x + y + z a b = 5 a7 b4 r a x ! 90 0 1 inf 0 2 a " log a - 3 3 2r ex " ex + 3x2 y + 3x2 z + 3y2 x + 3y2 z a q n x = n a qn x cos (a ! b) = 120 - 12 2 - 3 3 3 sin cos x x " x x 2 2 - 2 2 n 3 r a " a log a a np b = a p n b - 1 - 1 cos a cos b " sin a sin b + 3z x + 3z y + 6xyz 135 4 2 2 3 3 tan a ! tan b 5 a b a r 1 3 3 2 2 b cos sin x" x - 3 tan (a ! b) = 1 " tan a tan b sin x " cos x 150 (x ! y ) = (x ! y) (x " xy + y ) a = ba $ a = a 2 6 2 3 b"1 na tan x " - log cos x r 180 - 1 0 0 ! inf cot (a ! b) = cotcotabcot log a (x $ y) = log a x + log a y cos x " - sin x =n a ! cot a a - 3 3 7r 1 x 2 210 3 b 6 2 2 3 cot x " - log sin x log tan x " 1 + (tan x) = a ( y ) = log a x - log a y sin 2 a 2 sin a cos a = ba $ aa = - 2 - 2 a 5r 225 1 1 k 4 2 2 1 = (cos x) Sh x " Ch x cos 2a = cos2 a - sin2 a log a (x ) = k log a x - 3 = b aa con n > m 3 4r 240 - 12 2 3 3 3 y 2 2 tan a c = = x a " y log a (x) ctg x " - 1 - (arctan x) Ch x " Sh x tan 2a = 1 - tan a 3r = a !c b $ aa "" bb = a! b - 1 ! inf 0 270 0 2 1 a cot 1 1 ( " c a - 3 5r log a a = 1, log m 1 = 0 =- (sin x) = a-b b) - 3 3 3 cot 2a = 2 cot a 300 12 (cos x) " tan x 3 2 log x x - 2 a 2 7r 1 a = log a a "3 Sh x " Ch x a0 = 1 - 1 - 1 sin2 a2 = 1 cos 315 2 2 - cot x 4 2 (sin x) " - 3 3 11r 1 1 n m n+m 1 - cos a 2 a - 3 cos 2 = 2 1 330 2 - 2 3 log n a =- log n a log x << x k << e x Ch x " Sh x a $a = a 6 (1 + x ) " arctan x log n 1 a n m a a cos 1 2 ! inf tan 2 = 1 + cos a 2r 360 1 0 0 log b n = log b x2 + x4 + x4 1 arcsin x " 1 - x a = a " arcsin x -x 1 1 1 2 2 " + 3 sin ( x ) . x | " 0 sin (x ) . x e x = 1 + x + 2x! + 3x! + ... + nx! + ... "0 arccos x " 1--1x (a n) m = a n $ m cos2 x " sin nx n 1 + = x x mx = m lim P P P n x arctan x " (1 + x ) a n $ b m = (a $ b) n x k " 0, e x " 1 sin x = x - 3! + 5! - ... + (- 1) (2n + 1)! + ... x"0 1 2 (x + sin x cos x) x a a n D + D = D cos x = 1 - x + x - ... + (- 1) n x + ... =0 x lim 1 - cos log x " - 3 arcctg x " (1-+1x ) b =^bh 2! 4! (2n)! D^ f $ gh = f l $ g + f $ gl x " 0 1 - cos x 1 = x x P $ P P n-1 x l l f g f g $ $ f x2 + x4 + x2 Teorema della media lim x = 2 n + ... log (1 + x) = x - 2! + 3! - ... + (- 1) D^ g h = g x"0 = S . a term . non negativi x D $ D P n x tan x arctan x = x - 3! + ... + (- 1) 2n + 1 + ... Per f (x) continua in 6 a, b @ 7x0 D^ f (g)h = f l (g) $ gl lim x = 1 x"0 1 2 Confronto P $ D = D f (x0) + f l (x0) (x - x0) + 2! f m (x0) (x - x0) vale anche con d ^a, bh tale che D^ f (g (h))h = arcsin e arctan b Siano / an e/ bn serie Serie geometrica Pl = d a se a $ 0 log (1 + x) a =' lim x = 1 1 1 f l (g (h)) $ gl (h) $ hl x"0 1 - q se q < 1 conv a term. non negativi e (b - a) # f (x) dx = f (x0) l = D p - a se a 1 0 3 a D (e f ) = e f $ f l lim e -x 1 = 1 / qn = *+ 3 se q $ 1 div an # bn definitivamente. a $ 3 = 3 ^a= 0h x"0 l f n=0 f (x0) è il valore medio a bx ab = D (log f ) f lim (1 + x ) = e 0a = 3 ^a= 0h b se q # - 1 irreg b x"3 " */ bn conv " / an conv g 2 = @ 6 D ( f ) Serie armonica a Vx = r # g (x) dx + = / an div " / bn div 1 x e ( ) lim = P f ( x ) f ( x ) 3 = 0 3 g$f l a 6 f @g $ " gl log f + f , x " 0 n 1 Confronto asintotico =+ / n 3 =f (x) D f ( x) b lim n = 1 n=1 n"3 Se an + bn allora / an Vy = 2r # x $ g (x) dx f (x) =- f (- x) Serie di mengoli n
a+ 1
n
x
n
n
m
n
m
n
n-m
n
n-m
n-m
2
2
2
2
2
a
2
2
2
a
n
a
m
2
2
2
n
3
2
2
3
2n + 1
5
2
2
n
2n
4
n
2
2
n
3
2
2
2n + 1
3
x
1 x
A sin toto orizzontale Hopital lim f (x) = l 1) lim f (x) = lim g (x) = 0 oppure ! 3
e / bn hanno stesso carattere Armonica generalizzata Sx = 2r # f (x) 1 + (f l (x)) dx f l ( x) 1 3 lim f (x) = l = = ( ) telescopica 1 L 2) lim + a n 1 l g ( x ) x "-3 / n1 " )conv se a > 1 x"a 3 b div se a # 1 A sin toto verticale Allora lim f(x) = L f ( x + h) - f (x ) an converga il n = 1 = f l (x0) Perche / lim g ( x) Sy = 2r # x 1 + (f l (x)) 2 dx h n=1 Criterio della radice x"a h"0 lim f (x) = !3 a termine gen. an deve " 0. x"c div l > 1 derivata prima b 1 2 2 n A toto obliquo sin fourier sin x + x ,1 cos x + x 2 lim an = l " *conv l < 1 l = # 1 + (f l (x)) dx f l (x) > 0 funzione cr. r n "+3 f (x) x a lim x = m= 0 1 + e 1 + x , log (1 x ) + x nulla l = 1 = an r # f (x) cos (nx) b x "+3 f l (x) < 0 funzione decr. a -r Criterio del rapporto + @ 6 x + a x (1 ) 1 = = # f (x) dx G (b) G (a) q derivata seconda lim f (x) mx x "+3 div l > 1 taylor a (per x " 0) (x può essere b f (x ) y = mx + q a ll f ( x ) > 0 conc . verso alt . lim a = l " *conv l < 1 an = n! 1 n "+3 b - a # f (x) dx = f (c) f ll (x) < 0 conc. verso bas.una f (x) che " a 0) nulla l = 1 serie geometrica a n b b Serie a term segno variabile x -x k / x = 1-x # f (x) gl (x) dx = 6 f (x) g (x) @ba - # f l (x) g (x) dx Disequazioni irrazionali k=m / a e assolut conv ' . .se la n a a B (x) > 0 serie / an converge. # 6af (x) + bg (x) @dx = a # f (x) dx + b # g (x) dx n A (x) < B (x) A (x) $ 0 { ( b) b Criterio di Leibniz n A (x) < 6 B (x) @ 3 # f ({ (t)) {l (t) dt = # f (x) dx con ({ (t) = x) n / (- 1) an se la succ. "an , B (x) < 0 , B (x) $ 0 n { ( a) a A (x) > B (x) Equaz. complessi n=0 ) ) g (x) n A (x) $ 0 A (x) > 6 B (x) @ decr. e an " 0 per n " 3 Eguagli a 0 F (x) = # f (t) dt h (x) allora converge. Raccogli la i F l (x) = f (g (x)) gl (x) - f (h (x)) hl (x) z = x + iy Poiche' ho eguagliato Dis tan za origine - punto funzioni non lim itate a 0, sia Re che Im devono b b-f e'il mod ulo essere = 0. # f (x) dx = lim # f (x) dx Valori assoluti z = t = x2 + y2 f"0 a a Metto a sistema 2 b b Coniugato di z # (x - 1)(x + 3) dx e lim inando la i Int. su int ervalli il lim itati # f (x) dx = lim # f (x) dx 0 z = x - iy f"0 +3 ~ ter min i con i a a+f ' + = ( x 1 )( x 3 ) z - a W z - b " semipiano # f (x) = ~lim # f (x) dx Integrabilità al finito ter min i senza i "+3 (x - 1)(x + 3) se x d 61, 2 @ risolvo il sistema a a = parte esclusa 2 parte compresa lim f (x) = lim g (x) =+ 3 Se il lim esiste finito f è int egrabile )(1 - x)(x + 3) se x d 60, 1 @ f"b f"b trovando x e y raccogli sempre z - (centro) 2 Confronto: Se 0 # f (x) # g (x) e l' int egrale è convergente. 4 z - a W b " circonferenza 4 - 4i # (x - 1)(x + 3) dx = g int " f int a
b
2
x "+3
+
+
x"a
x"a
3
/ n=1
= / 6 1k 3
1 n (n + 1 )
k=1
+
1 k+1
@=
a
0
0
+
(n)
0
n+1 n
m
n+1
*
+
+
-
-
allora )
Se il lim è ! 3 l' int è divergente f non int " g non int Se lim b " l' int egrale b Confronto a sin totico: +3 # x1 dx è )div a + 31 se a # 1 Se f > 0, g > 0 e f + g per 1 conv = a - 1 se a > 1 x " b- allora f int g int a
0 1
# (x - 1)(x + 3) dx + 0 2
# (x - 1)(x + 3) dx = ... 1
(4 + 4i) 3
Separazione delle variabili dy P.C. ) yl (x) = f (x) g (y) " dx = f (x) g (y) y (x0) = y0 Controllare se: Esiste y : g (y) = 0 perche in tal caso se y = y0 ho una soluzione del P.C dy Altrimenti se: g (y) ! 0 # g(y) = f (x) dx + C poi risolvo il P.C. Lineare non omogenea P.C. ) yl (x) + p (x) y (x) = q (x) y (x0) = y0 La soluzione e' data da:
# q (s) e
P (s)
Trova retta tan gente a funzione inversa f (x) = 2 x + x2 tan a g (x) = f-1 in (3; 1) y = gl (x0)(x - x0) + g^ x0h = = gl^3 h (x - 3) + g (3) g (3) " f (x) = 3 " 2 x + x2 = 3 se x = 1, quindi g^3 h = 1 gl^3 h = f l (g1(3)) = f l1(1) = 13
+3
#
dx x + 1 (x - 1) 2a
1
In intorno di 1 +3
#
dx 2 (x - 1) 2a
si comporta come
1
che e' integrabile per a < 1 " 2a < 1 " a < 12 In intorno di + 3 1 xa
f l (x) = 1x + 2x, f l (1) = 3 y = 13 (x - 3) + 1 = 3x
+3
#
dx
1
x2
+ 2a
questo int.converge
Trova retta tan gente al grafico nel punto (a, f (a)) y = f (a) + f l (a) (x - a) Trova retta perpendicolare grafico nel punto (a, f (a)) y = f (a) - f l1(a) (x - a)
1
x
y (x) = y0 e-P(x) + e-P(x)
Per quali a l'int.converge?
se a > 1 " 12 + 2a > 1 " a > 1 1 4 < a < 2
ds
x0
1 4
x
dove: P (x) =
# p (t) dt x0
Se p (x) = q (x) " risolvi con S.D.V Omogenea ym (x) + ayl (x) + by (x) = 0 Pr ima risolvo l'eq.caratteristica k2 + ak + b = 0 (D = a2 - 4b) D > 0 (k1 e k2) yomo (x) = c1 e k x + c2 e k x *D = 0 (k =- 2a ) yomo (x) = ekx (c1 + c2 x) D < 0 (a ! ib) yomo (x) = e ax 6c1 cos (bx) + c2 sin (bx) @ Completa ym (x) + ayl (x) + by (x) = q (x) q (x) = poli di grado n b ! 0 y p (x) e' polinomio di grado n *b = 0 e a ! 0 y p (x) e' polinomio di grado (n + 1) b = 0 e a = 0 y p (x) e' polinomio di grado (n + 2) q (x) = Ae ax a non e' radice dell' eq. caratt. y p (x) = Be ax *a e' radice semplice dell' eq. caratt. y p (x) = Bxeax a e' radice doppia dell' eq. caratt. y p (x) = Bx2 e ax q (x) = C sin (bx) + D cos (bx) ib non e' rad dell' eq. caratt. y p (x) = A sin (bx) + B cos (bx) ) ib e' radice dell' eq. caratt. y p (x) = x 6 A sin (bx) + B cos (bx) @ Pr ima risolvo l'equazione omogenea Yomo (x) poi vado alla ricerca dell'eq particolare Yp (x) La sol finale e' data da: y (x) = Yomo (x) + Yp (x) Studio del grafico 1) Determinare l'insieme su cui f è definita, ossia il dominio 2) Quindi, calcolare i limiti alla frontiera di tale insieme. 1
la serie di Taylor di una funzione pari contiene solo potenze pari la serie di Taylor di una funzione dispari contiene solo potenze dispari
2
Si determinano gli eventuali asintoti orizzontali e verticali e i punti di discontinuità 3) Se per x "! 3 la funzione tende a ! 3, occorre chiedersi se la f presenta un asintintoto obliquo. Può essere utile una stima asintotica che ci dica se la f tende a 3 in modo sopra o sottolineare (in tal caso non ha asintoto obliquo) o in modo lineare (in tal caso puo' avere a.o.) La stima asintotica dà normalmente anche un info sulla concavita' all'inf. 4) Calcolare f l (x), nei punti in cui esiste. Studiare accuratamente i punti in cui f è continua ma non derivabile e stabilirne la natura (punti angolosi, di flesso, di cuspide) . In punti angolosi o agli estremi del dominio è utile
la serie di Fourier di una funzione periodica pari contiene solo termini coseno la serie di Fourier di una funzione periodica dispari contiene solo termini seno
#
#
Pn (x) Qm (x)
dx $ Se n > m si dividono i polinimi $ Se il den è di primo grado
2x2 + 5x + 1 2x + 1 - 2x 2 - x x+2 + 4x + 1 - 4x + 2 -1
calcolo immediatamente con log . Se il den è di sec ondo grado (num # 1) ho 3 casi: A) den ha 2 radici dist int e
=
Scompongo in fratti semplici # (x -x2+)(x2+ 3) " x -a 2 + x +b 3 x (a + b) + (3a - 2b) (x - 2)(x + 3)
=
x+2 (x - 2)(x + 3)
a + b = 1 " a = 54 ' ) b = 15 3a - 2b = 2 B) den è quadrato perfetto # (3xx ++ 21) dx = 63x + 2 = t, 3dx = dt, x = 2
# 2
#
il calcolo di derivate destre o sinistre che determinano la pendenza del grafico in quei punti. 5) Studiare il segno di f l (sul suo insieme di definizione), per ottenere le informazioni sulla monotonia di f e sui punti di massimo e minimo relativi. 6) Osservare un eventuale simmetria di f e restringere quindi lo studio a x $ 0 7) Osservare un eventuale periodicità di f e restringere quindi lo studio ad un periodo. 8) Determianre gli zeri della funzione e studiarne il segno. 9) Calcolare la derivata seconda e studiarne il segno, per dedurne informazioni sulla concavità e i flessi di f. Se f ll e' troppo complessa procedere con studio dei limiti.
1 x2 + a2
+ 1 dt 3 t2
=
1 9
x 2 3
#
t-2 3
dt = # ( + ) dt C) den non si annulla mai # x dx+ 3 = 13 # ( dx) + 1 = 33 arctan ^ x3 h + c
=
t-2 3
t+1 t2
1 9
dx = 1a arctan ^ ax h + c
1 t
1 t2
2x2 + 5x + 1 2x + 1
@
#x+2-
1 2x + 1
