Jawaban Listrik Magnet Bab 8

-1Electromagnetic Fields-Roald K. Wangsness (Professor of Physics, University of Arizona)

ELECTROMAGNETIC FIELDS Roald K. Wangsness Exercises 8-1 1 1. Lakukan ekspansi untuk mendapatkan suku monopol, dipol, kuadropol dan oktapol Ri 1 1 potensial listrik, dimana  1/ 2 Ri   ri  2  2ri   r 1       cos  .i    r   r   Jawab: 1 Persamaan dapat ditulis sbb: Ri 2

1 1  r   2r  dengan t   i    i  cos  .i kita ekspansikan dulu persamaan  1/ 2 Ri r1  t r  r  1 1 3 2 5 3 1 / 2    1  t  1  t  t  t  ... 2 8 16 1  t 1 / 2

1 1 1 1 3 5  1 / 2  1  t   1  t  t 2  t 3  Ri r r 2 8 16  2  3  ri 2 2ri    2ri 1 5  ri 2 2ri  1  ri       1   2  cos  .i    2  cos  .i     cos  .i   r  2r r r r  8r  16  r     2 4 3 2  4ri 4ri 1 1 ri 1 2r i 3  ri 2      cos  . i   cos  . i  cos  . i  r 2r r 2 2r r 8r  r 4 r3 r2  2 4 3 2  r  2r 4r 4r 5  ri  2  i cos  .i  i 4  3i cos  .i  2i cos 2  .i    r  16r  r r r r   2 4 3 2 r 3r 3r 3r 1 r   i 3  i2 cos  .i  i 5  i 4 cos  .i  i 3 cos 2  .i r 2r r 8r 2r 2r 6 5 4 5  4ri 4ri 2ri 8ri 4 8ri3 5  ri 2 2 2     cos  . i  cos  . i  cos  . i  cos  . i  cos  . i  16r  r 6 r5 r4 r5 r4 r3  2

3

r 3r 4 3r 3 3r 2 5r 6 5r 5 1 1 ri 2   3  i2 cos  .i  i 5  i 4 cos  .i  i 3 cos 2  .i  i 7  i 6 cos  .i Ri r 2r r 8r 2r 2r 16r 4r 

5ri 4 5ri5 5ri 4 5ri3 2 2 cos  . i  cos  . i  cos  . i  cos 2  .i 4r 5 8r 6 2r 5 2r 4

Jika yang ditinjau adalah suku-suku yang berpangkat  3 dari menjadi:

ri3 maka persamaannya r3

Written and finished by Parman & S. Priyono (Fisika UGM’05)


r 3r 3 3r 2 5r 3 1 1 ri 2   3  i2 cos  .i  i 4 cos  .i  i 3 cos 2  .i  i 4 cos 2  .i Ri r 2r r 2r 2r 2r 3r 2 r2 5r 3 3r 3 1 ri  2 cos  .i  i 3 cos 2  .i  i 3  i 4 cos 2  .i  i 4 cos  .i r r 2r 2r 2r 2r 2 3 r r 1 r   i2 cos  .i  i 3 3 cos 2  .i  1  i 4 5 cos 2  .i  3 cos  .i r r 2r 2r 2 r r3 1 r   i2 cos  .i  i 3 3 cos 2  .i  1  i 4 cos  .i 5 cos  .i  3 r r 2r 2r Jika dimasukkan ke persamaan: N qi r    i 1 4 0 Ri 

r  





















qi ri 2  qi  q r cos  .i  3 cos 2  .i  1  2  i i 3  4 0 r i 4 0 r i 4 0 r i 2 1

1 4 0 r

1



4

i

1

qi cos  .i 5 cos 2  .i  3 2





Keterangan: N

r    i 1

4 0 r

1 4 0 r

4

Monopol

4 0 Ri

1

r   

qi

 i

 qi  i

1 4 0 r 2

 qi ri cos  .i  i

qi ri 2 3 cos 2  .i  1 3  4 0 r i 2 1

qi cos  .i 5 cos 2  .i  3 2



 Dipol

Oktapol

Kuadropol

Roald K. Wangsness Exercises 8-2 2.

Sebuah partikel titik bermuatan q diletakan di titik (a,b,c). Carilah Q, P dan seluruh komponen Qj,k untuk sistem ini. Bagaimana keadaannya jika muatan –q diletakan di titik asal pada sistem ini? Jawab: z

r  ai  bj  ck

(a,b,c)

r  a b c 2

r -q

2

2

Q (muatan) = q

p = momen dipol

2

y

x N

P   qi r i  qai  bj  ck 



Q jk  qi 3 ji k i  ri 2 jk



j,k = x, y, z

1


-3Electromagnetic Fields-Roald K. Wangsness (Professor of Physics, University of Arizona) Delta kronecker  jk bernilai 1 jika j = k, bernilai 0 jika j  k

  q 3  q 3

  a  a

      c    q 3 y  a  b  c   c    q 3 z  a  b  c 

Qxx  q 3 xx  a 2  b 2  c 2  xx  q 3 x 2  a 2  b 2  c 2 Q yy Qzz

yy

2

2

zz

b

2

2

2

2

2

2

yy

 b2

2

2

2

     3q

yz

2

2

zz

Qxy  Q yx  q3 xy  0   3q xy

   q 3 yz  a

Qxz  Qzx  q 3 xz  a 2  b 2  c 2  xz  3q xz Q yz  Qzy

b c

2

2

2

yz

Jika di titik asal terdapat muatan –q maka

r 2  a2  b2  c2

r  ai  bj  ck Q (muatan) = q + (-q) = 0 N

P   qi ri  qai  bj  ck   q0i  0 j  0k   qai  bj  ck  i



Q jk  qi 3 ji k i  ri 2 jk







 

 









Q xx  q 3x 2  a 2  b 2  c 2  xx  q3xx  0 xx   q 3x 2  a 2  b 2  c 2  q3x 2







 q3x  q a  b  c  3qx  q a  b  c 2

2

   q3  a

2

2

2

      q3z

2

2



2

 

Q yy  q 3 yy  a  b  c  yy  q 3 y 2  0 yy  3qy 2  q a 2  b 2  c 2  3qy 2  q a 2  b 2  c 2 Q zz

zz

2

2

2

2

 b2  c2

zz

2









 0 zz  3qz 2  q a 2  b 2  c 2  3qz 2  q a 2  b 2  c 2

Q xy  Q yx  q3xy   q3xy   0; Q xz  Q zx  q3xz   q3xz   0; Q yz  Q yz  q3 yz   q3 yz   0





Roald K. Wangsness Exercises 8-5 3. Muatan titik ditempatkan di sudut sebuah kubus dengan sisi a. Muatan-muatan dan posisi-posisinya berturut-turut adalah -3q pada (0,0,0) ; -2q pada (a,0,0) ; -q pada (a,a,0) ; q pada (0,a,0) ; 2q pada (0,a,a) ; 3q pada (a,a,a) ; 4q (a,0a) ; 5q pada (0,0,a)untuk distribusi ini carilah momen monopol, momen dipol, dan seluruk komponen tensor momen kuadropol, tunjukan bahwa hasilnya memenuhi persamaan Qxx+Qyy+Qzz = 0. Jika mungkin ditemukan titik asal koordinat yang berbeda agar momen dipol lenyap, dimanakah letak titik asal agar momen dipole sama dengan nol Jawab: z 5q

2q

4q

3q

a -3q -2q x

-q

q a

y

a


-4Electromagnetic Fields-Roald K. Wangsness (Professor of Physics, University of Arizona) N

Momen Monopol: Q   qi  3q  2q  q  q  4q  3q  2q  5q  9q i 1

Momen Dipol: N

P   qi r i  3q0  2qaxˆ  qaxˆ  ayˆ   qayˆ  4qaxˆ  azˆ   3qaxˆ  ayˆ  azˆ  i 1

 2qayˆ  azˆ   5qazˆ   2qaxˆ  qaxˆ  qayˆ  qayˆ  4qaxˆ  4qazˆ  3qaxˆ  3qayˆ  3qazˆ  2qayˆ  2qazˆ  5qazˆ  4qaxˆ  5qayˆ  14qazˆ P  qa4 xˆ  5 yˆ  14 zˆ  N

Momen Kuadropol : Q jk   qi 3 ji k i  ri 2 jk i 1

N







      5q3.0.0  a 



Q xx   qi 3 xi xi  ri 2  3q 3.0.0  0   2q 3a 2  a 2  q 3a 2  2a 2  q 3.0.0  a 2



i 1









 4q 3a 2  2a 2  3q 3a 2  3a 2  2q 3.0.0  2a 2

2

 4qa 2  qa 2  qa 2  4qa 2  4qa 2  5qa 2  11qa 2 N





     5q3.0  a 

 

Q yy   qi 3 y i y i  ri 2  3q3.0.0  0   2q 3.0.0  a 2  q 3a 2  2a 2  q 3a 2  a 2



i 1









 4q 3.0  2a 2  3q 3a 2  3a 2  2q 3a 2 2a 2



2

 2qa 2  qa 2  2qa 2  8qa 2  2qa 2  5qa 2  8qa 2 N







    5q3a  a 

 

Q zz   qi 3 z i z i  ri 2  3q 3.00  0   2q 3.0  a 2  q 3.0.0  2a 2  q 3.0.0  a 2



i 1









 4q 3a 2  2a 2  3q 3a 2  3a 2  2q 3a 2  2a 2

2



2

 2qa 2  2qa 2  qa 2  4qa 2  2qa 2  10qa 2  19qa 2 N



Q xy   qi 3 xi y i  ri 2 xy i 1

 q 3x y N

i 1

i

i

i

 3q 3.0.0   2q3.a.0   q3.a.a 

 q3.0.a   4q 3.a.0   3q3.a.a   2q3.0.a   5q3.0.0   3qa 2  9qa 2  6qa 2 N



Q yz   qi 3 y i z i  ri 2 yz i 1

 q 3 y z N

i 1

i

i

i

 3q 3.0.0   2q3.0.0   q3.a.0   q3.a.0 

 4q3.0.a   3q 3.a.a   2q3.a.a   5q3.0.a   9qa 2  6qa 2  15qa 2 N



Q zx   qi 3 xi z i  ri 2 xz i 1

 q 3x z N

i 1

i

i

i

 3q3.0.0   2q 3.a.0   q3.a.0   q3.0.0 

 4q3.a.a   3q3.0.a   2q3.a.0.a   5q3.0.a   12qa 2  9qa 2  21qa 2

Qxx  Qyy  Qzz  11qa 2  8qa 2  19qa 2  0 Letak titik pusat agar momen dipol nol P   qi ri qa4 xˆ  5 yˆ  14 zˆ   9q r

r

a 4 xˆ  5 yˆ  14 zˆ  9


-5Electromagnetic Fields-Roald K. Wangsness (Professor of Physics, University of Arizona) Roald K. Wangsness Exercises 8-7 4.

Muatan didistribusikan dengan muatan volum konstan  seperti gambar. Carilah Q,  dan seluruh komponen Q jk , kemudian anggaplah kasus-kasus dimana volumenya adalah kubus dengan sisi a dan ekspansikan potensial medan listrik yang terletak di luar kubus koordinat bola. Jawab:

Q    r d '   c

b

 

i

v'

a

dx' dy' dz '  abc

z 0 y 0 x 0

Momen asal:



P    r i r i d '  v'

c     z 0

b

c

b

a

    xx' yy ' zz'dx' dy' dz '

z 0 y 0 x 0

a

c

 

x' dx' dy ' dz ' xˆ 

y 0 x 0

b

a

  

c

y ' dx' dy ' dz ' yˆ 

z 0 y 0 x 0

b

a

  

z 0 y 0 x 0

 z ' dx' dy ' dz ' zˆ  

b c  a  1 1  1   bc  x' dx' xˆ  ac  y ' dy ' yˆ  ab  z ' dz ' zˆ   abc axˆ  byˆ  czˆ  2 2  2  x '0  y ' 0 z ' 0 1 1 Q 1  abcaxˆ  byˆ  czˆ   .abcaxˆ  byˆ  czˆ   Qaxˆ  byˆ  czˆ  2 2 abc 2 Momen Kuadropol:

 



Q jk    ri 3 j ' k ' r ' 2  jk d ' v'









Qxx    3 x' x' r ' 2 d '    3 x 2  r 2 d ' v

 c     z 0  c     z 0  c     z 0

  3x b

a

2

y 0 x 0 b



y 0 b



y 0

v'

  x 2  y 2  z 2 dxdydz  



a  c b 2 3   2 2  2 x  y  z dxdydz   x  y x  z x dydz         0  z 0 y 0  3  x 0  b  c 2 3   a 3 2 3 2 2  2  dz   a  y a  z a dydz       a y  y  az y  3 3   y 0    z 0  3 a



2

2

2



c  2  c 2 1 1 1          a 3b  ab 3  abz 2 dz     a 3bz  ab 3 z  abz 3   3 3 3    z 0   3  z 0  3 1 1 2  1    a 3bc  ab 3 c  abc 3   abc 2a 2  b 2  c 2 3 3 3  3 1 Qxx  Q 2a 2  b 2  c 2 3



















Q yy    3 y ' y 'r 2 d '   3 y  x 2  y 2  z 2 d ' v

v'

c     z 0

y 0 x 0

c     z 0

a   1 3 2 2   x  2 y x  z x dydz     3 0  y 0 

c     z 0

b c  1 3   2a 3  1 3 2 2  2   a  2 y a  z a dydz    a y  y  az y dz         3  3   y 0   z 0  3  y 0 

   x b

a

2

  2 y 2  z 2 dxdydz  



b

b

c  1 3  c  1 3  2 3 2 3 1 2 3       a b  ab  abz  dz      a bz  ab z  abz   3 3 3    z 0   3  z 0  3



2 1  1  1     a 3bc  ab 3 c  abc 3   abc  a 2  2b 2  c 2 3 3  3  3 1 Q yy  Q  a 2  2b 2  c 2 3 Q zz    ri 3z ' z 'r ' 2 d '







v'







Q zz    3 z 2  x 2  y 2  z 2 d ' v'

c     z 0

y 0 x 0

c     z 0

a   1 3 2 2   x  y x  2 z x dydz     3 0  y 0 

c     z 0

b c  1 3   a 3  1 3 2 2  2   a  y a  2 z a dydz    a y  y  2 az y dz        y 0  3  3   y 0   z 0  3 

   x b

a

2

  y 2  2 z 2 dxdydz  



b

b

c  1 3  c  1 3  1 3 1 3 2 2 3       a b  ab  2abz dz      a bz  ab z  abz   3 3 3    z 0   3  z 0  3



1 2  1  1     a 3bc  ab 3 c  abc 3   abc  a 2  b 2  2c 2 3 3  3  3 1 Q zz  Q  a 2  b 2  2c 2 3









Q jk 



v'



 ri 3 j ' k 'r ' 2  jk d '

 c Q xy    3 xy d '     v  z 0  c     z 0  c     z 0

b



y 0 b



y 0

b



a

  3xy dxdydz  

y 0 x 0

 3 2   x y  dydz  2 0  a

 c 3 2 2b   3 2  dz   a y dydz       a y  2   y 0   z 0  4 

 3 2 2  c   c 3 2 2       a b dz     a b z      z 0   4  z 0  4 3  3    a 2 b 2 c   abcab  4  4 3 Q xy  Qab 4  c b a  Q yz    3 yz d '       3 yz dxdydz  v  z 0 y 0 x 0   c     z 0

b



y 0

 c 3 2 b   3ayz dydz       ay z  dz   y 0   z 0  2 

c  3   c 3         ab 2 z dz     ab 2 z 2      z 0   4  z 0  2 3  3    ab 2 c 2   abcbc  4  4 3 Q xy  Qbc 4

c Qxz    3 xz d '     v  z 0 c     z 0

b



y 0

b



a

  3xz dxdydz  

y 0 x 0

a  c 3 2   x z  dydz      2  x 0  z 0 

b



y 0

 3 2   a z dydz  2  

c  3  c 3          a 2 bz dz     a 2 bz 2      z 0   4  z 0  2

3  3    a 2 bc 2   abcac  4  4 3 Qxz  Qac 4 Written and finished by Parman & S. Priyono (Fisika UGM’05)

-8Electromagnetic Fields-Roald K. Wangsness (Professor of Physics, University of Arizona) Jika bendanya berupa kubus bersisi a maka komponen Momen Kuadropolnya adalah 1 1 Qxx  Q 2a 2  a 2  c 2  0; Q yy  Q  a 2  2a 2  a 2  0 3 3 1 3 3 Qzz  Q  a 2  a 2  2a 2  0; Qxy  Qab  Qa 2 3 4 4 3 2 3 2 Qyz  Qa ; Qxz  Qa 4 4 Mencari Potensial 1 1 Q r     jkQ jk 4 0 r 5 2 j  x , y , z k  x , y , z









1 8 0 r 5

xxQ







xx

 xyQ xy  xzQxz  yxQ yx  yyQ yy  yzQyz  zxQzx  zyQzy  zzQzz 

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2    0  xy Qa  xz Qa  yx Qa  0  yz Qa  zx Qa  zy Qa  0  8 0 r  4 4 4 4 4 4  1  3 2 3 3   xy Qa  xz Qa 2  yz Qa 2  5  8 0 r  2 2 2  

1

5

3Qa 2 xy  xz  yz  Q r   16 0 r 5 Gunakan Rumus Tranformasi ke koordinat bola x  r sin  cos ; y  r sin  sin ; z  r cos  3Qa 2 r sin  cos  r sin  sin    r sin  cos  r cos    r sin  sin  r cos   Q r   16 0 r 5



3Qa 2 2 r sin  sin  sin  cos   cos  cos   sin   16 0 r 5

Q r  

3Qa 2 sin  sin  sin  cos   cos  cos   sin   16 0 r 3


Jawaban Listrik Magnet Bab 8

Recommend Documents