JALGB#01 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 01 A ARITMÉTICA: BASE PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Neste JALGBR mostramos que a inter-relação entre a Aritmética e a Álgebra, é muito estreita e treme remend ndam amen entte pode podero rosa sa,, poi pois é prat raticam icamen ente te impo imposs ssív ível el apre aprend nder er Álge Álgebr braa sem sem ter ter domi domina nado do perfeitamente as operações aritméticas e suas propriedades, bem como, saber aplicá-las a plicá-las na resolução de prob proble lema mass ma mate temá máti tico coss prop propos osto toss atra atravé véss de 1 enunciados linguísticos .
1.1.- A Resolução Resolução de Problemas na Matemática Creio, pela minha experiência, que a absoluta maioria dos professores de Matemática concorda unanimemente que a leitura e a interpretação dos enunciados de problemas aritméticos – mesmo os mais simples – nem sempre é uma tarefa das mais fáceis para maioria dos estudantes. Por isto vamos a seguir discutir discutir e propor uma série de procedimento procedimentoss e/ou atitudes atitudes ‘saudáveis’ a serem adotadas quando da resolução de problema que servem não somente para a Matemática, mas podem ser estendidos para as mais diversas ciências mediante pequenas adaptações.
1.1.1.- Problemas: Resolvendo e Descrevendo os Passos da Resolução Normalmente ao resolver um problema em Matemática, os seres humanos podem po dem até relatar os passos de resolução, mas geralmente o fazem de forma sucinta. Não envolvem nestes relatos todos os avanços e recuos, tais como a compreensão do enunciado, as hipóteses feitas e descartadas, as tentativas e os erros, eventos estes necessários para a consecução do objetivo que para ele parece ser o principal: a obtenção de uma resposta aceitável.
1.1.1.1.- Sobre a Resolução de Problemas: Procedimentos e Atitudes
1
A palavra ‘lingüístico’ é aqui utilizada no sentido ‘que tem por base a linguagem’, o que, no caso dos enunciados de problemas em matemática, matemática, implica implica no uso de uma linguagem especificamente especificamente clara clara e precisa. Em inglês inglês o nome adotado é simplesmente: ‘word problems’.
A tabela a seguir, apresenta cinco conjuntos de blocos que agrupam procedimentos e atitudes, sob a forma de passos, que poderiam ser adotados ou seguidos durante a resolução de problemas em geral. g eral. O uso destes passos tem como finalidade evitar a perda de informações muito importantes sobre as habilidades intelectuais e estratégias cognitivas ali aplicadas, bem como a perda de procedimentos e/ou atitudes que poderiam apontar para outros caminhos ou alternativas válidas de resolução, possíveis para aquele tipo de problema.
2
Blocos
Passos
Procedimentos/atitudes
I
1
Perceber o(s) assunto(s) envolvido(s) no problema
I
2
Perceber os conceitos e objetos envolvidos no problema
II
3
Identificar subproblemas familiares no problema principal
II
4
Resolver os subproblemas familiares
II
5
Verificar a correção destas soluções parciais
III
6
Identificar os subproblemas não familiares no problema principal
III
7
Verificar conceitos e objetos utilizados em contextos não-familiares ou de modo ou forma não usual (prevenir a fixação funcional 2 )
III
8
Estabelecer as possíveis ligações entre os subproblemas familiares e os não familiares
III
9
Tentar resolver os subproblemas não familiares
III
10
Verificar a correção destas soluções parciais
IV
11
Verif Verifica icarr compar comparati ativam vament ente e a correç correção ão das soluçõ soluções es parcia parciais is até aqui aqui encontradas tentando convergir para a solução final
IV
12
Tentar a eliminação das soluções parciais não convenientes, na tentativa de estabelecer um caminho mínimo de resolução para o problema principal
V
13
Adotar e descrever a melhor solução encontrada para o problema principal
V
14
Preservar todas as anotações realizadas durante a resolução do problema para uma análise posterior, se necessário
fixação funcional [Dunker funcional [Dunker 1972] é um fenômeno cognitivo; ocorre quando não se entende um conceito ou um objeto, ou até mesmo um princípio, que estejam sendo usados num contexto distinto do costumeiro ou usado de uma forma não familiar.
A tabela a seguir, apresenta cinco conjuntos de blocos que agrupam procedimentos e atitudes, sob a forma de passos, que poderiam ser adotados ou seguidos durante a resolução de problemas em geral. g eral. O uso destes passos tem como finalidade evitar a perda de informações muito importantes sobre as habilidades intelectuais e estratégias cognitivas ali aplicadas, bem como a perda de procedimentos e/ou atitudes que poderiam apontar para outros caminhos ou alternativas válidas de resolução, possíveis para aquele tipo de problema.
2
Blocos
Passos
Procedimentos/atitudes
I
1
Perceber o(s) assunto(s) envolvido(s) no problema
I
2
Perceber os conceitos e objetos envolvidos no problema
II
3
Identificar subproblemas familiares no problema principal
II
4
Resolver os subproblemas familiares
II
5
Verificar a correção destas soluções parciais
III
6
Identificar os subproblemas não familiares no problema principal
III
7
Verificar conceitos e objetos utilizados em contextos não-familiares ou de modo ou forma não usual (prevenir a fixação funcional 2 )
III
8
Estabelecer as possíveis ligações entre os subproblemas familiares e os não familiares
III
9
Tentar resolver os subproblemas não familiares
III
10
Verificar a correção destas soluções parciais
IV
11
Verif Verifica icarr compar comparati ativam vament ente e a correç correção ão das soluçõ soluções es parcia parciais is até aqui aqui encontradas tentando convergir para a solução final
IV
12
Tentar a eliminação das soluções parciais não convenientes, na tentativa de estabelecer um caminho mínimo de resolução para o problema principal
V
13
Adotar e descrever a melhor solução encontrada para o problema principal
V
14
Preservar todas as anotações realizadas durante a resolução do problema para uma análise posterior, se necessário
fixação funcional [Dunker funcional [Dunker 1972] é um fenômeno cognitivo; ocorre quando não se entende um conceito ou um objeto, ou até mesmo um princípio, que estejam sendo usados num contexto distinto do costumeiro ou usado de uma forma não familiar.
1.1.1.2.- Percorrendo os Blocos Tabela de Procedimentos e Atitudes Cada um dos blocos da tabela de Procedimentos e atitudes a serem observados durante a resolução de um problema se apresentam como interdependentes. Este é um fato que deve ser observado seriamente. Os possíveis caminhos que podem ser percorridos de um bloco para outro são mostrados abaixo num diagrama de fluxo, o que visa realçar, esta interdependência entre os blocos e os grupos de blocos.
I
II
I II
IV
V
1.2.- O Pensamento Algébrico: Algébrico: Histórico A palavra Álgebra palavra Álgebra aparece pela primeira vez como parte do título de um manuscrito árabe possivelmente datado de 800 a.C. que continha regras regra s para a resolução de certos tipos de equações. A palavra Álgebra, segundo a edição 2001 do Dicionário Houaiss, provém do árabe: ‘al djabr’ , o que pode ser traduzido como “a redução” por causa das simplificaç simplificações ões de escrita escrita que essa técnica matemática tornou possível. Até o início do século XIX, Álgebra era o nome dado à Teoria das Equações. A partir dos estudos mais aprofundados sobre as equações algébricas desenvolvidos por Lagrange, Vandermonde e Gauss − que irão envolver necessariamente operações sobre entes abstratos −, seguidos de estudos realizados por Abel, Cauchy e, sobretudo por Galois, chegar-se-á Teoria dos Grupos de Substituições com Serret e Jordan nos meados do século XIX.
No iníc início io do sécu século lo XIX, XIX, a repr repres esen enta taçã çãoo do doss nú núme mero ross comp comple lexo xos, s, desc descob ober erta ta simultaneamente por Argand, Wessel, Cauchy e Gauss, abriram um novo campo de pesquisa algébrica através dos vetores, fazendo surgir a Álgebra Linear, com os matemáticos ingleses Hamilton, Cayley e Sylvester e com Möbius e Grassmann, matemáticos alemães. Em resumo: a partir dos meados do século XIX a Álgebra, que antes só se ocupava com o estudo das equações, passa a dizer respeito também ao estudo de sistemas formais abstratos, constituindo-se naquilo que passou a ser denominada: Álgebra denominada: Álgebra Moderna. Moderna. Os sistemas formais abstratos envolvem conjuntos de símbolos, numéricos ou não, bem como o estudo das propriedades e operações que possam ser realizadas com os mesmos, sobre os quais falaremos na segunda parte deste livro.
1.2.1.- A Passagem do Pensamento Aritmético Para o Algébrico A partir da 7ª série do Ensino Fundamental estes tipos de dificuldades – o da interpretação e resoluç resolução ão de proble problemas mas matemá matemátic ticos os propost propostos os atravé atravéss de enun enuncia ciados dos linguí linguísti sticos cos – irão se intensificar de maneira incontrolável. É a partir desta fase da Escolarização Fundamental que, devido à introdução dos conceitos, operações e propriedades dos polinômios e, a partir disto, da introdução do conceito de equações algébricas, que a situação passa a exigir por si mesma uma gama de conhecimentos bastante abstratos e/ou ‘técnicos’. Além disto, as coisas se agravam quando pensamos pensamos na execução daquela tarefa já difícil difícil no campo da Aritmética Aritmética – a da resolução de problemas matemáticos propostos através de enunciados linguístic linguísticos os – , somente que agora, por métodos algébricos. E pior, a resolução de problemas por métodos algébricos que é sem dúvida alguma, o ápice da aprendizagem neste campo, precisa de um grande cabedal de informações e aprendizagens bastante complexas por envolverem um vasto conjunto de propriedades, regras, procedimentos e atitudes, bem como a compreensão e aplicação de métodos bastante elaborados.
1.2.2.- A Resolução Algébrica de Problemas A efetiva resolução algébrica de um problema – que é de difícil execução pelos estudantes – requer , entre outras coisas, a leitura e interpretação linguística, a codificação aritmética e a transcodificação para o algébrico –, pelos seguintes motivos:
(a) O problema deve ser compreendido a partir da leitura e interpretação do enunciado , o que poderíamos denominar: decodificação linguística , ou seja, o estudante tem que perceber através de leitura o significado de um texto, muitas vezes bastante complexo e que normalmente envolvem situações forçadamente artificiais que o educador acha(!?) que deveriam ser tomadas como reais para aquele leitor; (b) Entendido o texto – se é que isto ocorreu de forma completa –, o estudante passa à fase da codificação aritmética,
ele deve ‘pensar’ o problema aritmeticamente, ou seja, em termos das
estruturas aditivas e/ou multiplicativas3 presentes no problema, sendo que para isto ele tem que recorrer; (c) Entendido os aspectos aritméticos envolvidos no problema, segue a parte bem mais difícil da transcodificação do-aritmético-para-o-algébrico,
ou seja, o estudante precisa ‘escrever o
problema’ sob a forma de uma ou mais equações algébricas – estabelecer a relação entre os valores numéricos e a incógnita ou incógnitas; (d) Estabelecidas as equações algébricas , deve-se efetuas as "devidas" ou necessárias manipulações algébricas ,
que levem o problema a uma resposta ou solução aceitável
algebricamente; (e) Deve-se então, finalmente testar a(s) resposta(s) no problema.
1.3.- Escrevendo Propriedades Aritméticas de Forma Algébrica Uma proposta pedagógica para se dar início na passagem do-aritmético-para-o-algébrico que muito irá ajudar na compreensão das transcodificações aritmético/algébricas será o estudo das propriedades da igualdade, da adição e da multiplicação escritas de forma algébrica, como serão mostradas a seguir para a igualdade, a adição e a multiplicação. O educador deve atentar para o uso dos símbolos da Lógica Matemática que deve ser revisado com os estudantes tais como:
3
•
Os símbolos de negação: ~ (não) ou ¬ (não)
•
Os conectivos ∧ (conjunção), ∨ ( disjunção), ⇒ (implicação) e ⇔ (equivalência)
A adição pode ser pensada como sendo uma adição algébrica envolvendo tanto números positivos como negativos e a multiplicação pode ser pensada como envolvendo números inteiros e fracionários, fatos que introduzem a possibilidade de realizar não somente adições e multiplicações num sentido estrito, mas subtrações e divisões.
Os quantificadores ∃, ∃|, ¬∃ (existenciais: existe, existe um único e não existe) e ∀ (universal)
•
1.3.1.- Propriedades da Igualdade Estas propriedades podem ser estudadas na sua forma algébrica e podem ou não ser acompanhadas na forma de grafos onde os arcos representam o sinal da igualdade. Veja a seguir as duas formas de representação. Utilizando os símbolos lógicos pode-se citar, se o educador achar necessário, que as variáveis a, b, c utilizadas nas propriedades a seguir – dependo do nível de escolarização dos estudantes –, são caracterizadas como sendo: •
∀a,b∈N
ou então ∀a,b,c∈N
•
∀a,b∈Z ou então ∀a,b,c∈Z
•
∀a,b∈R ou então ∀a,b,c∈R
•
∀a,b∈C ou então ∀a,b,c∈C
Observações:
= {0,1,2,3,4,5,...} é o conjunto dos números naturais
•
N
•
Z = {0,±1, ±2, ±3, ±4, ±5,...} é o conjunto dos números inteiros
•
R é o conjunto dos números reais e C
•
N⊂Z⊂R⊂C
é o dos números complexos.
1.3.1.1- Representação Algébrica Propriedades da Igualdade
Relação de Equivalência
•
Reflexiva: a = a
•
Reflexiva: a R a
•
Simétrica: a = b ⇒ b = a
•
Simétrica: a R b ⇒ b R a
•
Transitiva: a = b ∧ b = c ⇒ a = c
•
Transitiva: a R b ∧ b R c ⇒ a R c
A igualdade é uma relação de equivalência.
1.3.1.2- Representação através de Grafos Propriedades da Igualdade 1º a a
1º b
a 2º
a
b
3º
2º c
Reflexividade
Simetria
Transitividade
1.3.2.- Propriedades da Adição Aqui está uma oportunidade para se introduzir de forma pedagógica perfeita o processo de transcodificação do-aritmético-para-o-algébrico :
Para cada uma das propriedades da adição e em seguida para cada uma das propriedades da multiplicação devem-se mostrar aos estudantes vários exemplos numéricos envolvendo números não somente positivos, mas também negativos quando conveniente, com o intento de que os estudantes possam fixar tanto as propriedades como os seus nomes. A partir disto, deve-se introduzir a notação algébrica daquela propriedade, testando-as agora, com vários números, além daqueles já utilizados nos exemplos numéricos anteriormente dados. Chama-se a atenção do educador para o seguinte: não se deve nem tocar na conceituação destas propriedades como: “Na Adição, a ordem das parcelas não altera a soma ou total” ou “Na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto”, somente para citar dois exemplos. O que se pretende aqui – e isto é o mais importante – é ligar fortemente o nome da propriedade à sua notação algébrica.
1.3.2.1.- Propriedade Comutativa da Adição Exemplos Numéricos: 2 + 3 = 3 + 2, 12 + 5 = 5 + 12 , etc.
Propriedade Comutativa da Adição a+b=b+a
Testar a propriedade para: a = 9 e b = 7; para a = 21 e b = 32, etc.
1.3.2.2.- Propriedade Associativa da Adição Exemplos Numéricos: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5), (12 + 5) + 7 =
12 + ( 5 + 7), etc.
Propriedade Associativa da Adição (a + b) + c = a + (b + c)
Testar a propriedade para: a = 5, b = 8 e c = 2; para a = 23 e b = 18 e c = 10, etc.
1.3.2.3.- Propriedade do Elemento Neutro da Adição Exemplos Numéricos: 2 + 0 = 2 ∧
0 + 2 = 2, 12 + 0 = 12 ∧ 0 + 12 = 12, etc.
Propriedade do Elemento Neutro da Adição a +0 = a
0+a=a
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc. Observação: Evidenciar
que poderemos operar com o elemento neutro tanto pela direita como pela
esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da adição: a + 0 = 0 + a.
1.3.2.4.- Propriedade do Elemento Oposto da Adição Exemplos Numéricos:
7 + (−7)= 0 e (−7) + 7 = 0, (−12) + 12 = 0 e 12 + (−12) = 0, etc.
Propriedade do Elemento Oposto da Adição a + ( a) = 0
( a) + a = 0
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc. Observações: •
Observar que: o oposto de ‘a’ é o ‘ a’ e que o elemento oposto de ‘ a’ é o ‘a’. O que pode ser mostrado numa reta numérica:
... 6 −
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
O simétrico de 4 é –4 e o simétrico de
•
5
−4
6
...
éo4
Evidenciar que poderemos operar com o elemento oposto aditivo tanto pela direita como pela esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da adição: a + ( a) = ( a) + a.
•
Alguns autores denominam o elemento oposto 4 como sendo: o elemento inverso aditivo .
1.3.3.- Propriedades da Multiplicação
1.3.3.1.- Propriedade Comutativa da Multiplicação Exemplos Numéricos: 2 × 3 = 3 × 2, 12 × 5 = 5 × 12, etc.
4
As expressões: ‘oposto aditivo’ e ‘oposto multiplicativo’, bem como ‘inverso aditivo’ e ‘inverso multiplicativo’, são normalmente encontrados na literatura. Seja qual for a escolha, é bom ressaltar sempre o uso dos adjetivos ‘aditivo’ ou ‘multiplicativo’, deixando de lado o uso simples das palavras: ‘oposto’ e ‘ inverso’, que podem causa confusão em alguns casos.
Propriedade Comutativa da Multiplicação a
b=b
a
Testar a propriedade para: a = 9 e b = 7; para a = 21 e b = 3, etc.
1.3.3.2- Propriedade Associativa da Multiplicação Exemplos Numéricos: (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5), (12 × 5) × 7
= 12 × ( 5 × 7), etc.
Propriedade Associativa da Multiplicação (a
b)
c=a
(b
c)
Testar a propriedade para: a = 5, b = 3 e c = 2; para a = 10 e b = 5 e c = 4, etc.
1.3.3.3.- Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação Exemplos Numéricos: 5 × 1 = 5 ∧
1 × 5 = 5, 12 ×1 = 12 ∧ 1 × 12 = 12, etc.
Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação a
1 =a
1
a=a
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc. Observação: Evidenciar
que poderemos operar com o elemento neutro tanto pela direita como pela
esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da multiplicação: a 1 = 1 a.
1.3.3.4.- Propriedade do Elemento Inverso da Multiplicação Exemplos Numéricos:
7×
1 7
=1 ∧
1 7
× 7 = 1, 12 ×
1 12
=1 ∧
1 12
× 12 = 1, etc.
Propriedade do Elemento Inverso da Multiplicação a
1 a
=1
1 a
a=1
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc.
Observações:
1. Evidenciar que poderemos operar com o elemento inverso multiplicativo oposto tanto pela direita como pela esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da multiplicação: a
1 a
1
=1
2. Observar que o inverso multiplicativo de −a é
a = 1.
a 1
e que o inverso multiplicativo de
−a
1 −a
é −a.
3. Mostrar com exemplos que o sinal de menos é flutuante quando trabalhamos com uma fração: −
8 2
=
8 2
−
=
8 −2
4
=−
ou algebricamente
−
1 a
=
1 a
−
=
1 −a
. Assim sendo −
multiplicativo de ‘–a’, e vice versa. 4. Lembrar que
1 −a
= a−1, assim: a × a−1 = a−1 × a = a0 = 1.
1.3.4.- Propriedades da Multiplicação com Relação à Adição Exemplo Numérico:
2 × (3 + 5) = 2 × 3 + 2 × 5 ∧ (3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2
1 a
é o inverso
Propriedade Distributiva da Multiplicação a
(b + c) = a
b+a
c
(b + c)
a= b
a+c a
Testar a propriedade para: a = 3; b= 5 e c = 4; a = −2, b = 3 e c = −1;
a = 5, b = −3 e c = −4, etc.
1.3.5.- Propriedade do Fechamento da Adição e da Multiplicação Pode-se deixar de mencionar, pelo menos num primeiro momento, a propriedade do fechamento tanto da adição como da multiplicação com relação aos conjuntos numéricos N, Z, Q ou R.
O que pode ser dito é que quando aplicamos estas propriedades da adição ou multiplicação a números naturais, por exemplo, os resultados sempre serão números deste mesmo tipo; o mesmo ocorre para os demais conjuntos numéricos. É evidente que esta propriedade - a do fechamento – também vale para os números reais e para os números complexos, mas isto não vem ao caso quando estamos trabalhando com uma 7ª série e queremos introduzir conceitos de operações algébricas. É evidente que em casos de estudantes mais interessados, nós poderíamos introduzir outras propriedades operatórias – inclusive formalmente –, como muitas daquelas estudada no JARIT#04 – A Axiomatização da Aritmética e os Conjuntos Numéricos – do volume desta coleção de Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático intitulado “60 Jogos Para o Pensamento Aritmético”.
1.4.- A Ordem das Operações Aritméticas Fundamentais São consideradas operações aritméticas toda e qualquer das operações: adição, subtração, multiplicação, potenciação e radiciação quando envolvem apenas, como operandos, valores numéricos (números reais em geral). No caso de envolverem além de números, símbolos que possam substituir alguns destes valores numéricos, aquelas operações passam a ser denominadas operações algébricas. Dominadas as propriedades das quatro operações fundamentais da aritmética (adição, subtração, multiplicação e Divisão) no conjunto N, deve-se introduzir a o conceito de ordem de prioridade de realização de cada uma das operações. Para se calcular o valor de uma expressão aritmética as operações devem ser realizadas em uma ordem bem estabelecida: as multiplicações e as divisões devem ter precedência sobre as adições e subtrações. Assim numa expressão aritmética deve-se
1. Resolver as multiplicações e divisões, ordenadamente, da esquerda para a direita; 2. Resolver restantes as adições e subtrações, ordenadamente, da esquerda para a direita.
1.4.1.- Vejamos Alguns Exemplos Cabe ao educador apresentar aos estudantes expressões como as mostradas abaixo e treinálos na resolução das mesmas mostrando, sobretudo que a ordem das operações aritméticas deve efetivamente ser estabelecida para que se evite o caos: •
4 7 + 1= 29 ou 4 7 + 1= 32 ?
•
8 + 12 4 = 5 ou 8 + 12 4 = 11?
•
16 – 4 3 + 12 3 + 1 =______ ?
1.4.1.1.- Adotando a Técnica de Sublinhar as Operações Prioritárias Nos exemplos a seguir nós sublinhamos as operações a serem realizadas em primeiro lugar para mostrar ao leitor o que significa obedecer à ordem das operações conforme definida acima. a) 7 + 5 × 4 − 2 + 12 ÷ 3 = 7 + 20 − 2 + 4 agora temos que entender que as operações por serem binárias, devem ser realizadas passo-a-passo envolvendo apenas dois operandos (dois valores) a cada passo: 1º passo: 7 + 20 = 27, 2º passo: 27 −2
= 25
e finalmente: 3º passo: 25 + 4 = 29.
b) 4 + 4 × 9 ÷ 2 × 3 = 4 + 36 ÷ 2 × 3 = 4 + 18 × 3 = 4 + 39 = 43. Note que as operações de multiplicação e divisão foram sendo realizadas à medida que elas apareceram, rigorosamente da esquerda para a direita, levando-se em conta que estas operações são binárias, isto é, envolvem apenas dois operandos a cada vez.
c) Adotando um algoritmo para resolver este tipo de avaliação: Dispor os resultados de cada uma das operações binárias (passo-a-passo) em linhas abaixo da expressão dada.
Vamos aplicar este algoritmo para resolver os exemplos anteriores: (a) 7 + 5 × 4 − 2 + 12 ÷ 3 =
(b) 4 + 4 × 9 ÷ 2 × 3 =
7 + 20 − 2 + 4 =
4 + 36 ÷ 2 × 3 =
27 – 2 + 4 =
4 + 18 × 3 =
25 + 4 = 29
4 + 54 = 58
1.5.- A Ordem das Operações Aritméticas Parentetizadas As expressões aritméticas podem ser apresentadas com parênteses (cuja operação ‘colocação de parênteses’ pode ser denominada parentesiação ou parentetização). A ordem de resolução dos
cálculos deve agora se ater primeiramente aos parênteses indo-se dos mais internos para os externos, observando-se a ordem das operações aritméticas já discutidas anteriormente.
1.5.1.- Vejamos Alguns Exemplos a) 3(4 – 2) + 12 ÷ (7 – 4) × (5 – 3) =
b) ( 6 × (10 – ( 17 – 4 × 3) ) + (2 + 3) × 5 =
Vamos utilizar o algoritmo que usamos nos casos anteriores, somente que agora, atentando para os parêntesis: a) 3(4 – 2) + 12 ÷ (7 – 4) × (5 – 3) =
b) ( 6 × (10 – ( 17 – 4 × 3) ) + (2 + 3) × 5 =
3 × 2 + 12 ÷3 × 2 =
( 6 × (10 – ( 17 – 12) ) + 5 × 5 =
6+4×2=
( 6 × (10 – 5 ) )+ 25 =
6 + 8 = 14
( 6 × 5 ) + 25 = 30 + 25 = 55
1.5.- A Ordem das Operações Potenciação e Radiciação
No caso de expressões aritméticas contendo potenciações e radiciações, elas têm precedência sobre os parênteses, as multiplicações e divisões e sobre as adições e subtrações, que devem ser resolvidas ordenadamente, da esquerda para a direita. Estudemos os exemplos a seguir: a) 5 × 23 + 4 − 32 = 5 × 8 + 4 − 9 = 40 + 4 – 9 = 44 – 9 = 35 b) (2 + 32)(52 – 23) = (2 + 9) × (25 – 8) = 11 × 17 = 187 c)
9
+ (23 −
3
8
) × 3 − 5 = 3 + (8 – 2) × 3 − 5 = 3 + 6 × 3 – 5 = 3 + 18 – 5 = 21 – 5 = 16
1.7.- Resolução de Problemas: Erros Possíveis Os erros ou equívocos, de acordo com a Psicologia Cognitivista, devem ser tomados como objetos provisórios, passíveis de análise e necessitados de remediação. Estas ocorrências não devem ser computadas ou punidas, mas remediadas, reencaminhadas racionalmente, analisadas pelo educador para serem tomadas como contra-exemplos desde o início de uma dada aprendizagem. Os erros e equívocos mais comuns e recorrentes devem ser estudados de forma diagnóstica sob a forma de pré-testes e/ou pós-testes, de forma a se evitar no início, as suas ocorrências e, no futuro, as suas repetições. Nas tabelas a seguir os tipos de erros mais comuns (categorias de erros e suas respectivas definições) cometidos durante a resolução de problemas (matemáticos) propostos através de enunciados linguísticos, ou seja, sob a forma de um texto estruturado. As tabelas a seguir foram baseadas no trabalho de Veillette & outros5, publicadas na revista Didaskalia, especializada em educação, datada de setembro de 1993, sob o título: La causalité dans les raisonnements des étudiants,
que em português seria : A casualidade nos raciocínios dos estudantes.
5
[Veillette et alii 1993] Veillette, Michel & alii Système tutoriel intelligent pour la résolution de problèmes en Didaskalia, N o 1, septembre,1993. Consultado em 15 de fevereiro de 2013, Internet: http://documents.irevues.inist.fr/handle/2042/20082 , thermodynamique.
A tabela existente no texto de Veillette, intitulado: “ Système tutoriel intelligent pour la résolution de problèmes en thermodynamique”, fazem parte do domínio de um STI - Sistema Tutorial Inteligente / ITS – Intelligent Tutorial Systems, tendo que ter sido muitíssimo adaptada e ampliadas ao serem trazidas para o nosso contexto. Os tipos de erros foram grupados segundo os seguintes estágios do desenvolvimento da abordagem da resolução de um problema, conforme mostraremos a seguir: 1. Erros cometidos durante a fase de leitura do texto (do enunciado lingüístico) 2. Erros cometidos durante a fase de resolução 3. Erros cometidos no momento de emitir a resposta 4.
É evidente que alguns destes tipos de erros levam as respostas erradas, mas podem também interromper o fluxo do raciocínio, não nos levando nenhuma conclusão.
Erros cometidos durante a fase de leitura do texto Categoria
Definição
1
Leitura errada
Adoção de um dado ou de uma hipótese a partir da leitura incompleta ou falha do texto do problema.
2
Leitura desatenta
Entendimento errôneo devido à desatenção, não sendo considerada uma leitura errada.
3
Interpretação errada do problema
4
Uso de subproblemas estranhos ao contexto
Erro devido a uma interpretação errada do enunciado do problema, motivada por palavras, dados, símbolos, sentido, significado etc., não compreendidos. Erro ao dividir o problema principal em subproblemas não pertinentes ao contexto
Erros (equívocos) cometidos durante a fase de resolução Categoria
Definição
Erro cometido ao copiar (ou considerar) os dados durante a resolução do problema
1
Erro de transcrição de dados
2
Erro de formulação
3
Erro de cálculo
4
Uso de unidades de medida erradas ou Erro devido à desconsideração ou ao uso de unidades de indevidas medida indevidas ou erradas (mistura de unidades)
5
Erro de arredondamento
6
Aplicação de um conceito de forma Erro devido a um conceito comum, aplicado de forma incompleta incompleta, por ter sido mal assimilado
7
Conceito mal aplicado
Erro devido a um conceito comum, bem assimilado, mas aplicado de forma incorreta por erro de interpretação
8
Conceito desconhecido
Erro motivado pela ignorância de um conceito
9
Aplicação de uma regra de forma incompleta
Erro devido a uma regra, uma fórmula, ou teorema aplicado de forma incompleta, por terem sido mal assimilados
10
Regra mal aplicada
11
Regra desconhecida
Erro motivado pela ignorância de uma definição, uma regra, uma fórmula ou, de um teorema.
12
Utilização de regra falsa
Erro devido a uma definição, uma regra, uma fórmula, ou teorema, deformados ou inventados
Erro cometido ao tentar estabelecer a relação entre as variáveis e constantes do problema (formulações aritméticas, algébricas, trigonométricas, logarítmicas, etc.) Erro cometido ao efetuar cálculos (aritméticos, algébricos, trigonométricos, logarítmicos, etc.)
Arredondamento indevido de dados memorizados ou obtidos por cálculo, ao longo da resolução do problema
Erro devido a uma definição, uma regra, uma fórmula, ou teorema, bem assimilados, porém aplicados de forma indevida – um equívoco
Propagação de erros devido à utilização negligente de uma regra, provocando, por exemplo, a adoção de dados incompletos, truncados ou inexatos.
13
Utilização negligente de regra
14
Domínio mal assimilado
Erro motivado pela compreensão limitada ou incompleta do domínio de conhecimento
15
Domínio conhecido, mas mal delimitado
Erro motivado por aplicação de elementos que extrapolam o domínio de conhecimento
16
Desconhecimento do domínio
Erro motivado pela ignorância do domínio de conhecimento
17
Adoção de hipóteses erradas
Erro cometido a partir da adoção de raciocínios não pertinentes que levem a hipóteses errôneas
18
Utilização de estratégia não permitida
Erro devido à utilização de uma estratégia ou de uma ferramenta cognitiva não permitida naquele contexto
19
Utilização de estratégia ineficaz
Erro devido à utilização de uma estratégia válida, mas não eficaz para a resolução do problema ou subproblema
20
Utilização de estratégia incompleta
Erro devido à utilização de uma estratégia eficaz para a resolução do problema, mas não conduzida a termo
Erros cometidos no momento de emitir a resposta Categoria
Definição
Escolha de resposta errada motivada por confusão envolvendo: datas, nomes, arredondamento, escolha de unidades; confusão sintática ou semântica ocorrida na escolha de respostas escritas ou ao redigi-las
1
Erro de distração
2
Erro voluntário
Resposta intermediária ou final voluntariamente modificada para se obter um resultado possível
3
Reposta absurda
Resposta intermediária, ou resposta final, escolhida de forma errada ou fora do contexto daquele problema
1.8.- Erros Cometidos Durante a Fase de Leitura do Texto A leitura do enunciado de um problema e a sua correta interpretação linguística é a fonte principal de erros que se propagam por todo processo de resolução do problema, podendo invalidar completamente o raciocínio ou até mesmo resultar na interrupção do mesmo, bem como invalidar completamente ou tornar inviável a emissão de uma resposta. Por isto cabe recomendar ao educador, pelo menos num primeiro momento – aquele da fixação de novos conteúdos –, que ele: 1. Escolha um vocabulário condizente com o nível de escolarização daquele a quem se esteja propondo o problema; 2. Evite uma linguagem por demais complexa, circunvolutiva ou cifrada ao redigir o enunciado; 3. Não misture unidades distintas de medida que exijam conversões complicadas para adaptá-las ao raciocínio envolvido no problema, principalmente quando isto não for o principal foco do que se propõe no enunciado; 4. Não tente mesclar no problema vários conteúdos de difícil identificação e processamento naquela oportunidade. Observamos que todas estas recomendações devem ser analisadas atentamente pelos educadores, pois há casos dos mais desagradáveis que podem ocorre, como por exemplo: um professor que acaba de introduzir o conceito de equações do segundo grau e que propõe a resolução deste tipo de equações envolvendo o uso de operações com frações, radicais, bem antes da fixação do conceito principal. A impressão que ficará nos estudantes ao não conseguirem obter as respostas corretas é de que, eles não aprenderam a resolver as equações do segundo grau. Estes tipos de exercícios devem ser aplicados com muitíssimo cuidado e geralmente devem ser mostrados pelo próprio professor como outras possibilidades ou tipos de ocorrência de respostas.
1.9.- Erros Cometidos Durante a Fase de Resolução
Nos próximos itens iremos estudar alguns dos possíveis tipos de equívocos e/ou erros que normalmente ocorrem devido a erros de fixação tanto dos conceitos como das regras algébricas. Conceitos e regras da Álgebra, quando mal fixados, podem se perpetuar por toda vida escolar dos estudantes, podendo ser levados por eles até mesmo à universidade. São equívocos de difícil remediação depois que eles mal se fixam ou se fixam de forma errada, por isto, o educador deve estar atento a cada passo do processo de aprendizagem da Álgebra por seus alunos.
1.9.1.- O Papel das Variáveis nas Expressões Algébricas O papel das variáveis envolvidas no corpo das expressões algébricas – a em particular nas equações e inequações – nem sempre é entendido de forma clara por muitos estudantes. Com o objetivo de ampliar a visão dos educadores sobre o como os estudantes pensam sobre as ocorrências das variáveis algébricas, vamos a seguir sugerir formas de explorar e testar a percepção dos estudantes sobre o papel das variáveis nas equações algébricas em cada momento exato da aprendizagem.
1.9.1.1.- Um Modelo de Teste-Diagnóstico Sobre o Uso das Variáveis Este é um modelo de teste-diagnóstico de resposta aberta que aparece em várias publicações constantes da literatura em língua inglesa sobre a verificação de concepções erradas de conceitos algébricos (em inglês: ‘algebraic misconceptions’ ): "Escreva uma equação usando as variáveis A e P para representar a afirmação: ‘Há seis vezes mais alunos do que professores nesta universidade’, usando as variáveis A para o número de alunos e P para o de professores." 6
Em todas as suas ocorrências na literatura, este teste é apresentado normalmente seguido de um índice percentual de respostas certas e/ou erradas, podendo ter sido aplicados a diferentes níveis de escolarização, como no caso do anuário do NCTM de 1988 – página 128 (1988 Yearbook – National Council of Teachers of Mathematic – page 128) aplicado em universitários. Ele é um tipo de teste que permite aos educadores encontrarem os índices de acerto de suas próprias turmas de estudantes, sendo que ao ser aplicado pelo autor do artigo da NCTM, obteve-se como resultado: 63% de acertos/37% de erros. 6
“Write an equation using the variables S and P to represent this statement: "There are six times as many students as professors at this university." Use S for the number of students and P for the number of professors”.
O resultado deste teste, bastante inesperado e até mesmo constrangedor, diga-se de passagem, por se tratar de uma resposta dada por universitários, foi o seguinte: os 37% (trinta e sete por cento) dos estudantes universitários optaram pela alternativa "6A = P", não constatando que esta resposta seria absurda, pois se teria “seis professores para cada aluno” ou, apenas como um exemplo: "sessenta professores para cada dez alunos", o que seria o inverso do que solicitava o enunciado do problema, isto é, seis vezes mais professores do que alunos. A resposta correta seria: “A = 6P”.
1.9.1.2.- Repensando a Aplicação do Modelo de Teste-Diagnóstico O teste-diagnóstico apresentado acima pode ser adaptado para a sua apresentação em sala de aula, ou seja, pode ser apresentado sobre a forma um enunciado seguido de diversas alternativas de respostas. Note que não se trata de transformá-lo em um teste de múltipla escolha – onde se espera que apenas uma das alternativas seja verdadeira –, pois várias alternativas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. O que se pretende com estes tipos de testes é buscar, entre as respostas possíveis, qual delas se constitui a melhor das alternativas. Este é um tipo de ‘Jogo Para o Pensamento Algébrico’ que nos permitirá vasculhar várias possibilidades de respostas todas verdadeiras. Estes ‘jogos’ podem ser aplicados de acordo com a conveniência do momento, no conjunto todo dos alunos de uma sala de aula sob a forma de pré-teste ou pós-teste. O educador verificará os erros ou e tentará corrigi-los ou remediá-los, fixando os conceitos de forma correta através de exaustivos exercícios de fixação quando necessário. A melhor forma de aplicação, salvo melhor juízo do educador, é fazê-lo sob a forma de uma discussão com todos os alunos, ou em grupos, usando apenas um teste e as suas alternativas. No caso de salas de aula com sistema de projeção multimídia, devem-se projetar o teste ou os testes, discutindo-os um-a-um, e as alternativas, também uma-a-uma, confrontando-as até esgotarem-se todas as dúvidas dos alunos.
1.9.1.3.- O Modelo de Teste-Diagnóstico Adaptado ao Trabalho em Grupo O teste-diagnóstico foi adaptado para apontar várias possibilidades de resposta, no entanto cabe ao educador adequar o conjunto das respostas àquilo que ele pretende em termos de diagnóstico.
Qual ou quais das alternativas de resposta abaixo é a melhor para representar a afirmação: “Há seis vezes mais alunos do que professores na nossa escola’, usando as variáveis A para o número de alunos e P para o de professores".
a) P = 6 + A
e) A > P
b) A = P + 6
f) P > A
c) P = 6 × A
g) P = A ÷ 6
d) A = 6 × P
h) Todas estão erradas
1.9.1.4.- O que se espera dos educadores e dos educandos: •
O educador não deve interferir nas discussões, deve estimular os alunos a pensarem por si mesmos, interferindo somente quando for estritamente necessário.
•
Espera-se que os estudantes devam chegar a conclusões do tipo:
As respostas corretas que atendem ao enunciado são: (d) A = 6 × P e (g) P = A ÷ 6
A resposta (e) A > P é também verdadeira, porém não atende ao enunciado do teste.
As demais respostas estão erradas, cabendo ao educador perguntar: O porquê de cada uma destas demais respostas estarem erradas, e qual o significado algébrico de cada uma delas.
1.9.1.5.- Um Conjunto de Testes-Diagnósticos Sobre o Uso das Variáveis Os testes a seguir mantêm as mesmas características do Modelo de Teste-Diagnóstico Sobre o Uso das Variáveis estudado anteriormente, ou seja: •
Este é um tipo de ‘Jogo Para o Pensamento Algébrico’ que nos permitirá vasculhar várias possibilidades de respostas verdadeiras e possíveis;
•
Eles não são testes múltipla escolha – onde se espera que apenas uma das alternativas seja verdadeira; várias alternativas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo;
•
A melhor forma de aplicação deste tipo de Jogo Para o Pensamento Algébrico, salvo melhor juízo do educador, é fazê-lo sob a forma de uma discussão em conjunto, com todos os alunos;
•
Não é necessária a utilização de todas as alternativas, cabe ao educador escolher aquelas que realmente interessam naquele instante pedagógico;
•
No caso de salas de aula com sistema de projeção multimídia, deve-se discutir um-aum tanto os testes como as alternativas (verdadeiras e/ou falsas), até esgotarem-se as dúvidas dos alunos;
•
O educador não deve participar das discussões a não ser quando solicitado, ou quando extremamente necessário para esclarecer as dúvidas mais contundentes.
Teste #01 Qual ou quais os valores de x satisfazem à equação: x + x + x = 12?
a) 3 + 4 + 5 b) 2 + 5 + 5 c) 4 + 4 + 4 d) 0 + 6 + 6 e) 0 + 0 + 12
Comentários:
Dependendo do nível de escolarização, muitos alunos apontarão que todas as alternativas como sendo verdadeiras, no entanto, a única verdadeira é a (c), pois a variável x que aparece nas três parcelas daquela alternativa deve assumir um valor único: x = 4, ou seja, cada uma das três parcelas da expressão vale x.
Teste #02 O binômio 4x + 4 é igual a:
a) 4(x+1) b) x + x + x +x + 4 c) 2x + 2(x+2) d) 4(x+2) – 4 e) 4x + 1 f) 6(x −2) + 2(−x + 16)
Comentário:
A única errada é a alternativa: (e). As demais alternativas são verdadeiras: em (a) basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição; em (b) basta agrupar os termos semelhantes; em (c), (d) e (f) basta realizar as operações indicadas e agrupar (adicionar) os termos semelhantes.
Teste #03 Analise a equação: x + y = x + m e diga em que condições ela é válida ou não válida?
a) Para x = y = m b) Para x ≠ m e y = m c) Para y = m e x qualquer d) Para x ≠ m e y ≠ m e) Para x = y = m = k, ∀k ∈R
Comentários:
Aqui está um teste dos mais notáveis, pois requer um senso de observação bastante agudo. Aqui está um exemplo em que há várias respostas corretas, mas existem aquelas que denominamos ‘melhor resposta’. A alternativa (a), (b), (c) e (e) são verdadeiras, pois satisfazem à igualdade, no entanto a melhor das quatro respostas é a (c) por ser a mais genérica, podendo até mesmo ocorrer que x = m. A alternativa restante, (d), é falsa, não por causa do x ≠ m, mas por causa do e y ≠ m.
Teste #04 Analise a equação: x + y + z = x + m + z e diga em que condições ela é válida ou não válida?
a) Para x = y e y = m b) Para x ≠ m e y = m c) Para y = m e x qualquer d) Para x ≠ m, y ≠ m e z ≠ m e) Para x = y = z = m = k, ∀k ∈R
Comentários:
A melhor forma de verificar a validade desta igualdade é substituir as variáveis por valores numéricos baseados em cada uma das alternativas, ou seja: em (a) adotar, por exemplo, x = y = 4 e m = 4. Como z pode assumir qualquer valor poderemos, sem perda de generalidade, adotar z = 7. Isto deve ser feito também com diversos valores numéricos para as demais alternativas.
Teste #05 Analise a equação: x + y + z = x + m + n e diga em que condições ela é válida ou não válida?
a) Para x = y e y = m b) Para x ≠ m e y = m c) Para y = m e x qualquer d) Para x ≠ m, y ≠ m e z ≠ m e) Para x = y = z = m = k, ∀k ∈R
Comentários:
Recorra ao comentário da questão anterior para entender o mecanismo de teste para as alternativas.
Teste #06 Os valores que satisfazem à equação x + y = 12 são:
a) 8 e 4 ou 4 e 8 b) 5 e 7 ou 7 e 5 c) 2 e 10 ou 10 e 2 d) 6 e 6 e) 8 ou 4 f) Todas menos a alternativa (d) g) Todas menos a alternativa (e)
Comentários:
Deve-se destacar aqui o uso do ‘ou’ (um conectivo lógico denominado disjunção) e o conectivo ‘e’ (denominado conjunção), no caso de alunos do Ensino Médio , deve-se analisar as tabelas verdades relativas a estes dois tipos de conectivos. As únicas erradas são as alternativas (e) e (f). A alternativa (e) afirma que podem satisfazer à equação tanto o x = y = 8 ou então o x = y = 4, observe que é isto que significa ‘8 ou 4’. No caso, seria correta então a alternativa ‘8 e 4’ que seria exatamente equivalente à alternativa (a). No final da análise das alternativas de (a) até (e) deve-se analisar as alternativas (f) e (g) quanto à validade.
Teste #07
Para que valores naturais as expressões algébricas a seguir produzem números naturais pares (ou ímpares). a) x −3 b) x/3 c) 2x – 1 d) 2x + 1 e) 2x f) 2x + 4
Comentários: Lembrar antes que o conjunto dos números naturais é: N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Este teste pode ser abordado de duas formas distintas: buscando-se as alternativas que gerem números ímpares ou aquelas que gerem números pares. A solução é encontrada por testes exaustivos envolvendo números naturais. As expressões (a) e (b) podem produzir números pares ou números ímpares dependendo do valor de x. A expressão (c) pode produzir o número ímpar –1 que não é natural, mas produzirá certamente todos os números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, .... Já a expressão (d) produzirá todos os números ímpares naturais a partir do 1 (quando x = 0), enquanto as expressões (e) e (f) produzirão os números pares, sendo que (e) produzirá todos os números naturais pares e a (f) produzirá os números pares a partir do 4, quando x ∈N.
Teste #08
Quais das expressões algébricas abaixo produzem somente números pares inteiros e quais delas produzem somente números ímpares inteiros. a) x −3 b) x/3 c) 2x – 1 d) 2x + 1 e) 2x f) 2x + 4
Comentários: Lembrar antes que o conjunto dos números inteiros é: Z = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Aqui o foco do problema muda dos números naturais para os números inteiros. Assim sendo, as fórmulas (c) e (d) indiferentemente, produzirão números ímpares, enquanto as fórmulas (e) e (f) dependendo da escolha adequada do x ∈ Z. É bom verificar isto com os alunos de forma exaustiva para outros exemplos como: 2x – 7 ou 2x + 10, somente para citar alguns exemplos.
Teste #09
Verifique quais das igualdades a seguir são algum tipo de transformação obtido a partir da equação 6 – 3x = 0 e justifique-as: a) −6 + 3x = 0 b) 12 – 6x = 0 c) 3 – x = 0 d) 3x – 6 = 0 e) 3x = 6 f) 3x = −6
Comentários:
As alternativas deverão ser justificadas quanto a serem verdadeiras ou não, e por que.
Teste #10
Numa lanchonete enquanto 4 clientes preferem ‘milkshake de morango’ = ‘M’, 5 deles preferem ‘milkshake de chocolate’ = ‘C’. A expressão algébrica que representa isto é: a) 4M = 5C b) 4C = 5M c) 8M = 10C d) 8C = 10M e) 4M – 5C = 0
Comentários:
Vamos analisar numericamente as alternativas (a) e (b): • Em (a) fazendo M = 10 temos (a) 4 × 10 = 5C ⇒ 40 = 5C ⇒ C = 8, ou seja, para cada 10 milkshakes de morango são consumidos 8 milkshakes de chocolate. • Em (b) para M = 8 temos (b) 4C = 5 × 8 ⇒ 4C = 40⇒ C = 10 , ou seja, para cada 8 milkshakes de morango são consumidos 10 milkshakes de chocolate. • Apelando para as proporções de M para C e de C para M obteremos as seguintes relações: (a) 4M = 5C ⇒
M C
5 =
4
e em (b) 4C = 5M ⇒
C M
5 =
4
.
É verdadeira a alternativa (b). Quanto às demais alternativas, (c) é verdadeira, (d) é falsa e (e) é verdadeira. •
Teste #11
Numa lanchonete de cada 10 clientes, 6 pedem lanches acompanhados de batatas fritas. Adotando-se C = lanche com batatas fritas e S = lanche sem batatas fritas, Isto pode ser expresso algebricamente como: a) 10 S = 6 C b) 2C = 3S c) 4S = 6C d) 4C = 6S e) 4S − 6C = 0 f) 4C − 6S = 0 g) 4C + 6C = 0
Comentários:
Deve-se utilizar a mesma forma de raciocínio adotado no teste #10. São verdadeiras as alternativas: (b), (d) e (f).
Teste #12
O vigia de um estacionamento anota a quantidade veículos estacionados durante um certo dia de como: M para motos e A para automóveis, como sendo que A = 7M. Isto significa que a) Há mais automóveis que motos estacionados b) Há menos automóveis que motos estacionados c) Se M =10 então A = 70 d) Se A = 25 então M = 3 e) Se A = 77 então M = 11 f) Se M = 4 então A < 32 g) Se M = 4 então A > 32 h) Se M = 5 então A ≤ 35
Comentários:
Pode-se pensar a equação A = 7M como sendo, ou seja, é fácil ver deste modo que se deve dividir a quantidade de automóveis por 7 para se obter a quantidade de motos, ou seja, A > M. A alternativa (a) é verdadeira. São verdadeiras ainda as alternativas: (c), (e), (f) e (h).
Teste #13
A medida de um pedaço P de uma corrente com 6 elos vale 30 cm, então podemos afirmar que um pedaço X de uma corrente com 30 elos, quando comparada à medida de P, satisfaz às seguintes equações e/ou inequações: a) X = 6P b) X = P c) 5X = P d) X = 5P e) X > P f) X < P
Comentários:
O raciocínio aqui é o seguinte: X >P e X é 5 vezes maior que P, ou seja: X = 5P. A alternativa e satisfaz à relação existente entre os valores X e Y
Teste #14 Das desigualdades a seguir: (1) 5
5
(3) 5
x para
(5) x + 5
(2) x x
0 para
{5, 6, 7, 8, 9} x
N
(4) 5 (6) x + 5
5 para
x
x para 0 para
{5, 6, 7, 8, 9} x
x
a) todas as desigualdades são verdadeiras b) a desigualdade (1) é falsa c) são falsas as afirmativas (1) e (6) d) a afirmativa (3) é falsa e) são verdadeiras (1), (2), (4) e (5) f) são falsas (3) e (6) g) há somente uma desigualdade falsa
{5, 6, 7, 8, 9} {5, 6, 7, 8, 9}
Comentários:
São verdadeiras as desigualdades (1), (2), (4) e (5). A verificação da validade destas desigualdades pode ser testada para cada um dos valores possíveis de x.
Teste #15 Das desigualdades a seguir: (1) x
3 e x < 10, x N
(2) y <7 e y < 14, y N então, sendo os valores da soma dos valores de x: x (ler: x como ‘somatório dos valores de x’), e a soma dos valores de y: y (ler y como ‘somatório dos valores de y’), podemos afirmar que:
a) ∑x < ∑y
b) ∑x = 42
c) ∑x < ∑y
d) ∑x + ∑y = 105
g) a quantidade de ‘valores de x’ ≥ quantidade de ‘valores de y’ h) a quantidade de ‘valores de y ‘ ≥ quantidade de ‘valores de x’
e) ∑y – ∑x = 21
Comentários:
Em (1) x∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} logo ∑ x = 3+4+5+6+7+8+9 = 42. Em (2) y∈ {8, 9, 10, 11, 12, 13} logo ∑ y =8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13= 63.
1.9.2.- Sobre os Erros na Aplicação de ‘Regras’ Algébricas No JALGBR#06 iremos estudar a resolução de problemas através de métodos algébricos. Ali nos parece um bom momento para apresentar uma lista dos erros mais comuns na aplicação de regras algébricas, sejam eles cometidos por distração ou por falha na fixação dos conceitos.
1.9.3.- As Soluções da Equação e a Resposta do Problema Os estudantes ao interpretarem um problema quantitativamente, ou seja, ao tentarem interconectar estes valores numéricos de alguma forma que lhes pareça lógica ou cabível, precisam de alguma maneira, recorrer ao seu cabedal de conhecimentos operacionais lógico-aritméticos. Este é o instante em que ele testa de forma intuitiva a "aritmética do problema", que denominamos codificação aritmética
para, somente então, tentar transpor aquilo que percebeu ou intuiu, para a
notação algébrica, processo bastante complexo que denominamos acima transcodificação doaritmético-para-o-algébrico .
Agora o que poderá ocorrer é o seguinte: se ele cometer um erro ou omissão, por menor que seja, na codificação algébrica daquele problema, toda a manipulação algébrica que ele levar a cabo a partir dali, mesmo com eficiência e correção, restará inútil. É exatamente no passo final da resolução de um problema por métodos algébricos, em que se devem testar os valores encontrados como resposta, que aparece um dos maiores de nossos problemas, que é o seguinte: aonde realizar este(s) teste(s), no conjunto das equações algébricas ou no enunciado do problema? É aqui que se devem prever os seguintes tropeços: •
Pode ocorrer particularmente, que as expressões algébricas – propostas pelo estudante para a resolução daquele problema –, não estejam em conformidade com o enunciado do mesmo. As soluções satisfazem às equações, mas não resolvem o problema proposto, pois as equações foram formuladas de maneira errada.
•
Pode ocorrer que entre as soluções encontradas uma ou mais delas sejam não pertinentes – denominadas raízes estranhas –, isto é, há a possibilidade de se encontrar valores que resolvem a equação, mas não o problema. Vamos exemplificara seguir.
•
A distinção entre o conjunto solução da equação relativamente ao conjunto solução do problema nos mostra a necessidade bastante saudável – que deve se tornar um hábito – de se buscar sempre a verificação da ‘qualidade’ e da conveniência das raízes encontradas seja algebricamente, seja com relação ao enunciado do problema . Veja os exemplos a seguir.
1º Problema-exemplo: Se a medida de um pedaço P de uma corrente com 6 elos vale 30 cm, queremos saber então o seguinte: podemos afirmar que um pedaço X de deste mesmo tipo de corrente, mas com 30 elos, mede :
a) X = 6P b) X = P c) 5X = P d) X = 5P e) X > P f) X < P
Comentário:
Note que as alternativas (a), (b), (c) e (f) são falsas, mas as alternativas (d) e (e) são
válidas, mas somente a alternativa (d), X = 5P, resolve o problema.
2º Problema-exemplo: Este ano a temperatura mínima no inverno, em uma cidade cujo termômetro sempre marca temperaturas abaixo de zero, pôde ser obtida pela equação: 40 − Qual foi esta temperatura?
490 ( x + 3) 2
=
30 .
Comentário:
dúvida: -10.
Note que a solução da equação é S={-10, 4}, mas a solução do problema será sem
3º Problema-exemplo: “Sabe-se que a temperatura de objeto resfriado abaixo de zero graus satisfaz à seguinte equação x 2
9x 36 = 0. Qual a temperatura deste objeto?”
Comentário:
Já sabemos que o conjunto solução da equação é Sequação = {12, −3}, mas a raiz 12 é
uma raiz estranha ao problema, ou seja, é uma raiz imprópria como solução do problema, pois o objeto objeto está resfriado resfriado abaixo abaixo de zero, e portant portanto, o, deve estar estar com uma temperat temperatura ura negativa. negativa. O conjunto solução para o problema será o seguinte S problema = {−3}.
4º Problema-exemplo: A temperatura temperatura mínima em uma uma cidade do do sul do Brasil Brasil é dada pela pela equação equação irracional: irracional: x + 6 = x
Qual é esta temperatura?
Comentário:
Vejamos a resolução da equação:
x + 6 = x ⇒
6=
x
+
9
=3
x
2
⇒
x
2
− x−
6=0
⇒
x= 3 ou x= −2.
Vamos testar as raízes na equação dada: x=3 x = −2
⇒
− 2 + 6 = −2
⇒
⇒
3 +6
4
=3
= −2
⇒
(V) é raiz da equação
(F) é uma raiz estranha ou raiz imprópria à equação
Logo o conjunto solução será: S={3}
No 3º problema-exemplo nós tivemos o caso de uma raiz estranha ao problema, neste 4º problema-exemplo, nós temos uma raiz estranha à equação, ou seja, uma raiz imprópria.
