Wolf Elena MD Anul II Numărul i Descoperire, semnificaţie, importanţă Motto:
Cel mai fascinant lucru în
matematică este faptul că i i R .
Descoperirea numerelor imaginare
Cu ocazia primului contact la școală cu calculul rădăcinii pătratice se învață că nu se poate calcula radicalul unui număr negativ, deoarece orice număr real, indiferent dacă este negativ sau pozitiv, ridicat la pătrat este întotdeauna pozitiv. În liceu aflăm că totuși există și rădăcini pătratice a numerelor negative, pe care le numim numere imaginare sau numere complexe. Acestea sunt adesea . De fapt prezentate drept o consecință a necesității găsirii unei soluții pentru ecuația istoria matematicii relatează alte întâmplări. întâmplări. Cum au ajuns aceste numere preocuparea matematicienilor? Astăzi numerele imaginare sunt așa de răspândite – de – de la electroinginerie la aeronautică – încât – încât cu greu ne imaginăm descoperirea acestora pline de aventuri, enigme, așa cum este relatată istoria pe parcursul a 2000 de ani a unuia dintre cele mai iluzorii numere din matematică cunoscut și ca numărul i. În anul 1878 doi frați Ahmed și Mohammed Abd er - Rassul fură printre altele un papirus matematic dintr-un dintr-un străvechi mormânt egiptean din Valea Regilor . Papirusul îl vând unui egiptolog rus V.S. Goleniscev îm 1893. Care îl predă muzeului de arte frumoase din Moscova în 1912, unde a rămas un mister până la descifrarea sa în 1930astfel demonstrând gradul de avansare a cunoștințelor matematice a egiptenilor cunoștințe despre rădăcina pătratică a numerelor negative. Papirusul conținea un exemplu numeric pentru calculul volumului unui trunchi de piramidă pătratică . În secolul I matematicianul Heron din Alexandria în opera sa Stereometria ignoră numărul i într-un exemplu de calcul a volumului trunchiului de piramidă pătratică cu baza mare a=28, baza mică b=4 și lungimea muchiei laterale c=15.
√
√ √ nu √ . Astfel Heron pierde ocazia să devină primul învățat care să deducă √
rădăcina pătrată a unui număr negativ în analiza matematică a unei probleme. Mai trebuie să treacă încă 1000 de ani până un matematician să observe problema rădăcinii n pătratice a unui număr negativ. În evul mediu matematicienii întâlnesc noțiunea în timpul preocupărilor cu cu numere negative, dar renunță la idee, considerând-o considerând-o un nonsens. Mai trebuie să treacă încă 500 de ani până când rădăcina pătratică a unui număr negativ să fie luată în serios, dar cu toate acestea să fie în continuare considerată un mister. Introducerea rădăcinii pătrate a numerelor negative este legată de găsirea soluțiilor ecuației de gradul al III-lea III-lea și nu de rezolvarea ecuațiilor pătratice.
Wolf Elena MD Anul II În 1494 Luca Pacioli Pacioli declară în opera sa Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita în care însumează toate cunoștințele din acel timp în domeniul aritmeticii, algebrei și trigonometriei că aflarea soluției ecuației de gradul al treilea este la fel de posibilă ca și găsirea cvadraturii unui cerc. Pacioli greșește, deoarece în următorii zece zece ani matematicianul Scipione del Ferro de la Universitatea din Bologna descoperă soluțiile ecuației reduse de gradul al treilea (ecuația în care lipsește termenul de gradul al doilea). Del Ferro ține descoperirea sa secretă și o dezvăluie discipolului său, pe patul de moarte Antonio Maria Fior. Acesta îl provoacă îl provoacă la un duel matematic pe Niccolo Fontana numit și Tartaglia, care declarase că știe să găsească soluțiile ecuației de gradul al treilea din care lipseau termenii de gradul întâi. Tartaglia reușește să descopere înainte de duel și soluția ecuației din care lipsește termenul de gradul al doilea și câștigă concursul. Cardano află de cunoștințele lui Fontana și insistă pe lângă acesta până află soluțiile ecuațiilor de la Fontana sub jurământul că le va ține secrete. Cardano rededuce găsirea soluțiilor ecuațiilor de gradul al treilea și le generalizează generalizează pentru orice ecuație de acest tip în cartea sa Ars magna în care recunoaște meritele predecesorilor săi. Soluțiile ecuațiilor de gradul al treilea nu sunt întotdeauna toate reale. Cardano observă cazurile cu rădăcini pătratice negative cum ar fi problema împărțirii numărului 10 în două părți a căror produs să fie 40. Gerolamo (Geronimo) Cardano (1501 -1576) este considerat în istoria matematicii drept creatorul numerelor complexe. Dar Bombelli este acela care va liniști spiritele legate de numerele imaginare, declarând corectitudinea soluțiilorcu rădăcini pătratice pătratice de numere negative găsite pentru ecuațiile ecuațiile de gradul al treilea. Bombelli folosește în cartea sa Algebra termenul supus regulilor obișnuite de calcul aritmetic și obține rezultate corecte, corecte, el demonstrează astfel cum se aplică formula lui Cardano în toate cazurile. Bombelli a denumit termenul „piu di meno” adică plus din minus și „meno di meno” adică minus din minus, stabilind reguli de calcul, pe care le/am nota astăzi după cum urmează +1·+i = +i -1·+i = -i +1·-i = -i -1·-i = +i +i·+i = -1 +i·-i = +1 -i·+i = +1 -i·-i = -1 Un secol mai târziu, Gottfried Leibniz (1646 – 1716), 1716), care a studiat cartea lui Bombelli Algebra, Cardano. El este impresionat și studiază intens consideră că ar mai fi ceva de completat la formula lui Cardano. cum operații cu numere complexe pot da rezultate reale,
√
√
√
Wolf Elena MD Anul II fapt relatat în scrisori prietenului său Huygens. François Viète (1540 - 1603) indică următoarea regulă de calcul al sinusului sau cosinusului multiplului unui unghi: Calculează (cos α + sin α)n după formula binomială. Distribuie termenii pe două rânduri și scrie primul termen pozitiv al doilea negativ șamd..În primul rând rezultă cos (nα), iar în al doilea sin (nα). De exemplu: (cos α + sin α)³ = cos³ α + 3 cos² α sin α + 3 cos α sin² α + sin³ α cos (3α) = cos³ α - 3 cos α sin² α sin (3α) = 3 cos² α sin α - sin³ α. descoperă că această relație poate fi exprimată mult mai ușor cu ajutorul numerelor imaginare, obținând relaația ce îi poartă numele:
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
cos (nα) (nα) + i sin (nα) = (cos α + i sin α)
n
Denumirea "i" pentru unitatea imaginară (rădăcina pătrată a lui minus unu) este introdusă de către Leonhard Euler Euler (1707 - 1783). El nu o folosește consecvent. Introducerea generală a acestei notații o face Gauß. Euler descoperă alte relații importante. Analizând dezvoltarea în șiruri de puteri a diferitelor funcții, folosind limite deja cunoscute a unor șiruri infinite precum
în dezvoltarea lui e x pe x cu ix și calculând termenii folosește (i² = -1, i³ = -i, ...) apoi grupând termenii reali cu cei imaginari obține relația ce îi poartă numele
Euler înlocuiește
eix = cos x + i sin x Euler renunță la rigurozitate
matematică (nu demonstrează că fiecare pas este permis ca de exemplu că nu se modifică limita șirului dacă se schimbă ordinea de scriere a termenilor) și se bazează ca de obicei pe instinct. Formula Formula aceasta poate fi demonstrată și pornind de la relația lui de Moivre scrisă sub forma α
α
n
cos α + i sin α = (cos / n + i sin / n)
⇒
considerându/l pe cos α / n 1 și sin α / n α / n. Limita expresiei obținute (1 + i α / n)n este tocmai definiția lui ei α. Înlocuind în formula lui Euler x = π se obține eiπ = -1 sau
Obținem ceea ce în 1933 celebrul fizician american Richard Feyman numește remarcabila formula sau cea mai frumoasă formulă din matematică, ce conține 5 dintre numerele numerele fundamentale din matematică: e, i, π, 1 și 0 stinge deja legătura numerelor complexe cu În formulele lui Moivre și ale lui Euler se di distinge trigonometria.
Wolf Elena MD Anul II
√
Semnificația geometrică a numărului ă î ă deschisă. Matematicienii din secolul XVI – XVII erau încă strâns legați de tradiția greacă a geometriei, și evident aveau o stare de disconfort față de concepte cărora nu le puteau atribui o semnificație geometrică. În timpul lui Descartes (1596 – 1650) se cunoștea interpretarea geometrică a rădăcinii pătratice a unui număr. Metodele de construire a rădăcinii pătratice a unui număr natural se cunoștea deja din secolul IV î.e.n.. Theodorus din Cyrene și Theaetetus sunt amintiți de către Platon ca fiind aceia care au efectuat constrtucțiile geometrice pentru calculul lui *unde n este număr natural.
√
Fig.1.Spirala triunghiurilor lui Theodorus.
amintește în opera sa La Geometrie (1637) despre construirea rădăcinii pătratice a unui număr oarecare arătând cum se cunoscând lungimea găsește segmentul de dreaptă de lungime segmentului AB. Rene Descartes (1596-1650)
√
Fig. 2. Construirea rădăcinii pătrate a segmentului de dreaptă ( IG=
√ ).
În aceiași lucrare Descartes prezintă metoda geometrică pentru găsirea
Wolf Elena MD Anul II soluției ecuației
cu rădăcinile
Wolf Elena MD Anul II
Fig. 3.Construirea geometrică a rădădcinii pozitive a ecuației
cu
cu rădăcinile . Construirea geometrică a rădăcinilor ecuației
a
și b2 pozitive.
și cea a ecuației
Fig. 4. segmentele MQ și MR
,reprezentate prin
Deoarece prima dintre cele două ecuații are o rădăcină negativă, Descartes o ignoră, considerând- o falsă, pe când la a doua ecuație prezintă metode de construire pentru ambele rădăcini, acestea fiind pozitive. Descartes observă că dacă cercul cu centrul în N ce trece prin L nu taie sau atinge dreapta MQR ecuația nu are rădăcini (reale) și construcția problemei este imposibilă. Astfel Descartes exclude și posibilitatea rădăcinii duble (atunci când cercul atinge dreapta MQR. În concluzie pentru Descartes partea imaginară este legată de imposibilitatea reprezentării geometrice. René Descartes (1667 - 1754) presupune, că o ecuație are un număr de rădăcini egal cu gradul ecuației. Totuți soluțiile nu sunt întotdeauna reale ci uneori "seulement imaginaires", de aici denumirea de numere imaginare. Teorema fundamentală a algebrei a fost demonstrată de către Gauß John Wallis este preocupat de semnificația numerelor complexe în geometrie. Întâi arată semnificația geometrică a numerelor negative pe axa numerelor reale, așezându-le la dreapta originii. Interpretarea geometrică a mediei geometrice a două numere este extrapolată și asupra numerelor imaginare: Fig. 5 Construcția lui Wallis pentru
Wolf Elena MD Anul II Folosind observația lui Wallis, conform căreia direcția contează avem B´C > 0 și AB´< 0, așa încât B´P este rădăcină pătrată a unui număr negativ. Nu este de mirare că în secolul XX un autor definește numărul i ca fiind media geometrică dintre +1 și – 1. Mai departe abordează problema construirii geometrice a unui triunghi cu două laturi cunoscute și a unui unghi, altul decât cel dintre cele două laturi (ca în figura de mai jos unde PA și PB respectiv PB΄ și unghiul PAB = α sunt date)- o problemă cu mai multe soluții posibile. Este evident că înălțimea triunghiului . este dată
Atâta timp cât este satisfăcută condiția Există două posibilități ca în figura de mai sus. Dacă atunci nu
există nici o soluție dacă insistăm ca punctul B să fie pe latura AD. Wallis însă le permite punctelor B să fie altuindeva decât pe latura AD. În stânga este reprezentată construcția propusă de Wallis pentru cazul
El merge mai departe indicând spre perpendicularitate dar nu ajunge la interpretarea geometrică în plan a numerelor complexe. Abia 100 de ani mai târziu problema este rezolvată în anul 1799 de cartograful norvegian Caspar Wessel (1745 – 1818). Pentru Wessel, ca și pentru noi în zilele noastre reprezentarea numerelor complexe este în plan complex un punct a+ib scris sub formă rectangulară sau carteziană. Wessel notea ză . Wessel arată înmulțirea, împărțirea și extragerea radicalului segmentelor de dreaptă în plan, demonstrând inclusiv formula lui Euler. Lucrarea lui Wessel eșuează la calculul înmulțirii segmentelor orientate în spațiu, lucru despre care știm că este imposibil.
√
Wolf Elena MD Anul II Deși Gauss are aceleași preocupări deja din 1796 sau Truel – un discipol al lui Cauchy, Wessel este cel care publică interpretarea geometrică a numerelor imaginare înaintea lor. În anul 1806 apare la Paris lucrarea cu titlul "Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géometriques" autorul nu era indicat, ulterior se constată a fi Jean- Robert Argand (1768 - 1822). El constată că mărimile negative pot fi folosite doar în anumite situații și consider reprezentarea numerelor imaginare într-un plan cu axe perpendiculare. Jaques Legendre îl consideră (neștiindu-se nimic despre Wessel) descoperitorul interpretării geometrice a numerelor imaginare. Ambele lucrări trec aproape neobservate și sunt redescoperite la finele secolului 19. În spațiul anglo- și franco-fon se folosește termenul „diagrame Argand” Se consideră că descoperirea definitivă în ceea ce privește interpretatrea geometrică a numerelor complexe îi aparține lui Carl Friedrich Gauß (1777 1855). În anul 1801 Gauss demonstrează în "Disquisitiones Arithmeticae" posibilitatea construirii unui poligon regulat cu 17 laturi folosind linialul și compasul, Axa demonstrând că ecuația în reală numere complexe se poate rezolva cu ajutorul ecuațiilor pătratice indicând legătura numerelor complexe cu geometria. Această opinie o susține însă explicit abia în 1831 în lucrarea sa Theoria residuorum biquadraticorum, în care introduce notația și denumește numerele imaginare de forma ca numere complexe ce pot fi reprezentate în plan ca puncte de coordonate a și b, definește adunarea și scăderea numerelor și norma – modulul acestora. El consideră în final că dificultățile teoriei numerelor complexe provin de la denumirile necorespunzătoare folosite în legătură cu acestea. Dacă s-ar folosi în loc de @pozitiv, negativ, imaginar” termeni precum ”înainte, înapoi, sus jos, laterala” legați de cele două dimensiuni ale numerelor complexe probabil simplitatea ar fi luat locul înurcăturii și claritatea ar fi fost în locul întunricului. William Rowan Hamilton (1805-1865), matematician irlandez, definește numerele complexe, ca perechi de numere, definind regulile de calcul cu acestea (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) Axa Axaimaginară imaginară
√
(a, b)·(c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Wolf Elena MD Anul II Numerele de forma (a, 0) sunt numere reale; (0, 1) se notează cu i. Și se verifică ușor că (0, 1)·(0, 1) = (-1, 0); ceea ce corespunde lui i·i = -1. Hamilton încearcă să găsească regulile pentru tripletele de numere – nu reușește- însă are success cu cuaternionii – o generalizare a numerelor complexe în 4 dimensiuni. În 1829 William Rowan Hamilton considera ca , asa cum geometria este stiinta spatiului care si-a gasit expresia matematica în “Elementele lui Euclid”, si algebra trebuie sa fie stiinta a ceva, si inspirat de filosofia lui Kant , el decide ca acel ceva trebuie sa fie timpul. Matematicianul francez Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) are o contributie deosebita în începuturile teoriei functiilor complexe și Georg Riemann este initiatorul în 1851 a legaturii dintre functiile multivalente si topologie. Interpretarea geometrică a numerelor complexe este considerată un mare pas înainte î n cunoașterea umanității și începutul unor calcule elegante dar până aici s-au făcut mari și importanți pași în cadrul calculului cu numere complexe (imaginare). Numerele complexe au câștigat până astăzi un loc aparte în matematică și fizică. De mult nu mai este ținta găsirea numărului corect de rădăcini a unei ecuații. Multe teorii sunt mult simplificate dacă sunt abordate cu numere complexe.
Wolf Elena MD Anul II Corpul numerelor complexe
Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, , înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos: , . Prin definiție mulțimea numerelor complexe este mulțimea
Mulțimea numerelor complexe formează un corp comutativ, corpul numerelor complexe, . notat cu sau
Elementul neutru al operației de adunare este
iar numărul − z = ( − a, − b) este elementul
invers (opus) in
.
elementul neutru
al operației de înmulțire este iar elementul invers (reciproc) al lui față de operația de înmulțire este .
Deoarece
și , mulțimea numerelor reale, . identificînd numărul real cu
, poate fi privită ca submulțime a lui
,
Fie A multimea numerelor complexe de forma (x, 0), deci A={( x ,0), x R}. AC si A este un subcorp al lui C deoarece: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) A, si (x, 0)(y, 0) = (xy, 0) A . Sa definim aplicatia f : RA prin f(x) = (x, 0), xR. Aceasta aplicatie este o bijectie si conserva operatiile de adunare si înmultire : f(x+y) = f(x) + f(y) si f(xy)=f(x)f(y) . Rezulta ca f este un izomorfism de corpuri de la R pe A. Acest lucru permite identificarea multimii A cu R. Astfel vom nota numarul complex (x,0) cu x deci (x, 0) = x. În particular, zeroul (0,0) si unitatea (1,0) din corpul numerelor complexe se identifica cu numarul real 0 si unitatea reala 1. În consecinta putem scrie (0,0) = 0 si (1,0) = 1.
are proprietatea Numărul complex , adică . Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a identificat cu numărul real fost denumit "numărul " („i” de la „imaginar”). se numesc „numere imaginare”. Numerele complexe de forma
Fie B ={(0.y ), y R} C. Observam ca B se poate identifica cu punctele din R2 situate pe axa Oy. Observam ca : (0, y) + (0,y') = (0, y+y') B si (0,y) (0,y') = (-yy', 0) B. Aceasta arata ca B nu este un subcorp al corpului numerelor complexe C. În particular, (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1 . Vom nota i = (0,1) si astfel i2 = -1, xi = (0, x), x R. Numarul complex i se mai numeste si unitate imaginar a, iar numerele complexe de forma xi (xR), numere pur imaginare.
Wolf Elena MD Anul II Daca z = (x,y) este un numar complex oarecare, atunci : z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy, care reprezinta expresia algebrica a numerelor complexe. În aceasta scriere, x = Re z si y = Im z reprezinta respectiv partea reala si partea imaginara a numarului complex z. Proprietăți:
Corpul al numerelor complexe are ca subcorp pe cel al numerelor reale , pe de altă parte este un spațiu vectorial bidimensional al lui al lui Izomorfismul se mai numește identitate naturală. extinderea este de grad ; este izomorf cu inelul factor , unde X 2 + 1 este polinomul minimal al lui i peste .
Corpul numerelor complexe C este o extindere a corpului numerelor reale R, iar la rândul său R este o extindere a corpului numerelor raţionale Q. De unde rezultă că C / Q este de asemenea o extindere de corpuri. Avem [ C:R]=2 deoarece {1, i} este o bază, aşadar extinderea C / R este finită. Aceasta este o extindere simplă deoarece C=R(i). Pe de altă parte [ R:Q] = c (cardinalul continuului), aşa încât această extindere este infinită.
corpul numerelor complexe este algebric închis, corpul este o închidere algebrică a lui . este un spațiu Ca spațiu vectorial al lui , are baza {1,i}. pe lângă aceasta vectorial peste sine: spațiul vectorial cu baza {1}. i și − i sunt soluțiile ecuației pătratice x2 + 1 = 0. În acest sens i și − i pot fi considerate „radical din – 1”. este spre deosebire de un corp neordonat, adică nu există a relație liniară de ordine „<“ pe , compatibilă cu structura de corp . Drept urmare numerele complexe nu se pot compara, nu se poate distinge dintre două numere complexe unul care să fie mai mare
Forma algebrică
este notat cu și numit „numărul i”. Are proprietatea . Numărul complex poate fi scris Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex . Forma algebrică a unui număr complex este , unde a și b sunt numere reale. numit unitatea imaginară ; ; . , se numește partea reală a lui și se notează Pentru un număr complex , iar se numește partea imaginară a lui și se notează .
Wolf Elena MD Anul II
Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma: ) se mai numește „număr imaginar”. Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d . Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d). Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad) . Forma matriceală z = (a,b) = a + bi
este zw =
( )
Mulțimea matricilor de dimensiune 2x2 de forma
cu este tot o reprezentare a numerelor complexe unde E este matricea unitate și I matricea identității imaginare. Atunci avem: Re( Z ) = a Im( Z ) = b 2 2 I = − E (analog cu i = − 1) Această mulțime este un subspațiu al spațiului vectorial al matricilor pătratice de ordinal 2 Numerele reale corespund matricilor diagonal de forma: Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern a und b nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum . Es handelt sich genau um dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl a + bi in der gaußschen Zahlenebene.
Forma trigonometrică
Orice număr complex a cărui formă algebrică este z = a + bi poate fi scris și sub formă , trigonometrică, adică sub forma este modulul numărului complex z, unde iar este argumentul acestui număr complex .
, k={0,1,2,... n-1}
Wolf Elena MD Anul II Forma exponențială
poate fi scris Numărul complex a cărui formă trigonometrică este sub forma exponențială . Această posibilitate se datorează valabilității formulei lui Euler . Alte modalități de scriere a numerelor complexe sunt: unde
= și forma ce conține operatorul unghiular
∠
este reprezentarea fazorială
Conjugatul unui număr complex
Pentru detalii, vezi: Conjugată complexă. Conjugatul complex al unui numar este numărul complex . Proprietățile conjugatului complex : o o o
o
Pentru z≠0
avem
o
este un automorfism de corpuri. De unde rezultă că conjugarea Conjugata este simetrica (reflexia) unui număr complex față de axa numerelor reale. Au loc proprietățile:
Deci Modulul unui număr complex
Modulul numărului complex Proprietățile modulului:
este numărul real
o o o o
o
(inegalitatea triunghiului)
.
Wolf Elena MD Anul II o
o
o
o o
Are loc identitatea . |z 1|
−
|z 2|
≤
și deci
, dacă
|z 1 − z 2| ≤ |z 1| + |z 2|.
Puterile lui i
Generalizare:
cu de forma cu de forma cu de forma cu de forma Reprezentarea grafică a numerelor complexe
Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat întrun plan. Lui i se asociază punctul M(a,b).
Reprezentarea cromatică a numerelor complexe Nuanța de culoare indică poziția orientarea numărului complex și intensitatea culorii indică valoarea absolută a acestuia
Wolf Elena MD Anul II
Formula lui Euler și identitatea lui Euler eiφ = cos φ + isin φ
numită și "Identitatea lui L. Euler".[1] Puteri Exponenți naturali
la puterea n se calculează
Sau sub forma algebrică z = a + bi la puterea n se calculează cu forula binomială
Exponenți complecși
Definiția generală a puterii complexe a unui număr complex
ca fiind
unde ln( z) este valoarea principală a logaritmului numărului complex,
sau
Rădăcini din numere complexe
La calculul rădădcinilor numerelor complexe trebuie atenţie deoarece regulile numerelor pozitive nu se mai aplică
Unde k ia valorile
Wolf Elena MD Anul II Un număr are decin rădăcini complexe de ordinul n. Prin aceasta rădăcina în
are sensuri multiple.
Logaritmi
Logaritmul din numere complexe nu este unic determinat, se lucrează cu valori principale Logaritmul z = rei
ϕ cu
ϕ
este ln z = ln r + i . Înmulțirea cu este de fapt o rotire cu 90° în sens opus acelor ceasornicului. Datorită acestei proprietăți numărul imaginar este adesea numit
√ √
operator de rotație.
Wolf Elena MD Anul II
1.2. Funcţii complexe de variabilă reală
Funcţia f : A R C se numeşte funcţie complexă de variabilă reală. Dacă A este un interval şi f este o funcţie continuă atunci funcţia se numeşte curbă. Notăm variabile cu t. Cum f (t ) C vom folosi pe ntru f(t) notaţia: z(t) = x(t) +
iy(t).
Ecuaţia Z z( t )
(1)
reprezintă ecuaţia în complex a curbei. Ecuaţia (1) poate fi înlocuită de ecuaţiile x x (t ), y y(t )
(2)
numite ecuaţiile parametrice ale curbei (t se numeşte parametru). Diagrama unei funcţii complexe de variabilă reală z = z(t) este curba plană reprezentată grafic, însoţită de un procedeu grafic de corespondenţă între valorile parametrului t şi punctele de pe curbă. Curba se numeşte suportul diagramei . Diagramele rezolvă două probleme:
1.
Pentru momentul t se determină punctual pe curbă.
2.
Fiind dat punctual de curbă, determinăm momentul căruia îi corespunde acest punct.
1.3. Funcţii complexe de variabilă complexă
Dacă D este un domeniu din C, aplicaţia f : D C se numeşte funcţie complexă de variabilă complexă (numele funcţiei este dat de codomeniu ). Considerăm variabila complexă z = x + iy funcţia are forma
F(z) f (x iy) U(x, y) iV( x, y), U( x, y) Re f (z), V(x, y) Im f (z). Dacă z1
z2
implică f (z1 ) f (z 2 ) şi reciproc, pentru orice z1 şi z 2 D, atunci f(z) este univalentă pe D. Funcţia f(z)
este uniformă pe D dacă îşi conservă valoarea f (z 0 ) din punctul z 0 şi la revenirea variabilei z în z 0 după ce în prealabil a descris un contur din D pentru orice z 0 D. Dacă nu este uniformă atunci f(z) este multiformă. Vezi funcţia radical şi logaritmic. Funcţia f(z) derivabilă în z 0 se numeşte monogenă în z 0 . Funcţia f(z) monogenă în orice punct din D se numeşte olomorfă pe D.
Wolf Elena MD Anul II Teorema.
Funcţia f(z) = U (x,y) + iV(x,y) este monogenă în z 0
x 0 iy 0
din D dacă şi numai dacă sunt îndeplinite
condiţiile:
U x , y V x , y x 0 0 y 0 0 C R U x , y V x , y y 0 0 x 0 0 numite condiţiile Cauchy – Riemann f (z)
u v i x x
Tipuri de puncte Definiţie.
(a) Punctul a este punct ordinar al funcţiei f(z) dacă există un domeniu D de olomorfie a funcţiei f(z) care -l conţine pe a. (b) Punctele din C care nu sunt ordinare pentru f(z) se numesc puncte singulare pentru f(z). (c) Punctul z = a este pol de ordinul p pentru f(z) dacă este punct ordinar pentru funcţia
z z a p f (z); a 0. Natura punctului de la infinit pentru funcţia f(z) este dată de natura punctului
z = 0 pentru
1 . z
F(z) f
Funcţiile raţionale au numai singularităţi de tip poli. Funcţia radical
zn w
(3)
zn
(4)
Este inversa funcţiei putere w
Dacă w e i , atunci (3) are soluţii distincte z k
n e
i
2k n
Argumentele lui z k din (5) se scriu (pentru
, k 0, n 1
0
n
)
(5)
Wolf Elena MD Anul II 0 , 0
2 n
, 0
4 n
,..., 0
2( n 1)
(6)
n
Atunci, planul (z) va fi împărţit în sectoare prin semidreptele de ecuaţie arg z 0
2k n
, k 0, n 1
(7)
Toate semidreptele din (7) au ca imagine în planul (w) semidreapta arg w
n0
Funcţia (4) este univalentă în sectoarele
I k 0
2k n
, 0
2(k 1) , k 0, n 1. n
w 0 şi w sunt puncte critice algebrice . Funcţia exponenţială
este funcţia f (z) e z
e
x iy
e x cos y i sin y
Deoarece e x e x 2i rezultă că este periodică de perioadă 2i . Este definită în tot planul (z) exceptând punctul z . Observaţie: e z
e x şi
arg e z
y
Funcţii construite cu ajutorul funcţiei exponenţiale . Din relaţiile lui Euler cos u
e iu
e iu 2
; sinu
e iu
e iu 2i
se obţin extinderile în complex cos z
eiz
e iz 2
; sinz
eiz
e iz
(8)
2i
Funcţiile hiperbolice
cosh z
ez
e z 2
; sinhz
ez
ez 2
.
(9)
Funcţiile (8) şi (9) sunt olomorfe în orice domeniu care conţine punctul de la infinit. Se folosesc aceleaşi reguli de derivare ca în cazul real. Funcţia logaritmică
este inversa exponenţialei. Ecuaţia e z w are soluţia z = ln w. Dacă z x iy; w e i
obţinem z ln(e i ) ln(e i ( 2k ) ) ln i( 2k ), k Z.
Pentru k întreg rezultă că funcţia logaritm este multiformă cu o infinitate de ramuri şi are ca puncte critice z = 0 şi z = , numite puncte critice logaritmice .
Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II Mulțimea Mandelbrot
Benoit Mandelbrot este descoperitorul mulțimii ce se bazaează pe mulțime anumerelor complexe Această mulțime este rezultatul iterației următoarei ecuații: Dacă se reprezintă mulțimea acestor numere într -un sistem de coordonate se pot obține următoarele imagini:
exemplu de prezentare a mulțimii de numere Mandelbrot Această imagine reprezintă omulețul măr .
Indiferent de secvența aleasă din imagine se obține, mărind aceeiași imagine. Interesantă este reprezentarea cu ajutorul mulțimii Mandelbrot a norilor, a munților și a altor formațiuni asemănătoare, fapt care nu este posibil în cadrul geometriei euclidiene. Imagini pentru seturi Julia fc(z) = z*z + c
c=-0.74543+0.11301*i
Wolf Elena MD Anul II c= -0.75+0.11*i
c=-0.1+0.651*i
Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II
Imaginile sunt preluate din 1. Paul J. Nahin: O poveste imaginara: Istoria numarului radical din -1 , editura Princeton University Press, 1998 titlu original: An imaginary tale : the story of [the square root of minus one] / Paul J. Nahin. (pdf)
Bibliografie: 1. Paul J. Nahin: O poveste imaginara: Istoria numarului radical din -1 , editura Princeton University Press, 1998 titlu original: An imaginary tale : the story of [the square root of minus 2.
one] / Paul J. Nahin. (pdf) Tristan Needham Anschauliche Funktionentheorie, Wien - Oldenburg Verlag, 2001, traducere din limba engleză în limba germană Visual Complex Analysis, Princeton Oxford Press, 1997
3. 4. 5. 6. 7.
http://ro.wikipedia.org/wiki/Număr_complex http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl http://www.komplexe-zahlen.de/ http://www.dimensions-math.org/Dim_reg_DE.htm http://www.lrz.de/~t1141av/webserver/webdata/Vorlesungen/ProjectiveGeometrie/Kapitel/S6. pdf 8. http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/imaginaer3.htm 9. http://www.math.uaic.ro/~leoreanu/depozit/Introducere%20in%20algebra%20comutativa.pdf 10. apollo.cmu-edu.eu/.../Tema%20II-Puscas%20Andrei-Nicolae%20EM... Wolf Elena MD Anul II
Wolf Elena MD Anul II
Pragmatische Rechenregeln [Bearbeiten]
Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt. Die Multiplikation komplexer Zahlen kann je nach Vorgabe vorteilhaft in algebraischer Form oder in Exponentialform (Multiplikation der Beträge und Addition de r Argumente (Winkel)) durchgeführt werden. Bei der Division komplexer Zahlen werden in Exponentialform ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert, oder in algebraischer Form der Quotient mit dem konjugierten Nenner erweitert. Beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag potenziert und ihr Argument (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert; die Benutzung der algebraischen Form (mit Newtons Binomialsatz) ist in den meisten Fällen umständlicher (insbesondere für höhere Potenzen). Beim Radizieren (Wurzelziehen) einer komplexen Zahl mit einem r eellen Exponenten wird ihr Betrag radiziert und ihr Argument (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer n-ten Wurzel entstehen n Lösungen, die im Winkel von 2 π / n um den Ursprung der gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik). Eine Quadratwurzel kann auch recht einfach in kartesischer Form berechnet werden.
Die komplexen Zahlen in der Physik [Bearbeiten]
Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. Sie finden dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-GordonGleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.
Wolf Elena MD Anul II Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind. In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, Wellenlängen-abhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder der komplexen Brechzahl zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird. In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Joukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus. Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik [Bearbeiten]
In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes, der Wirkund der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung. In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet. Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik [Bearbeiten]
