TRABAJO DE INVESTIGACION
LABORATORIO DE MATERIALES SONOROS
ACUSTICA DEL PIANO
Andrada Suarez Eduardo Ezequiel
Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano INDICE
INTRODUCCION.................................................................................................3 BREVE RESEÑA HISTÓRICA Y EVOLUCIÓN INTRUMENTAL.................................4 Origen.............................................................................................4 Desde el piano de Cristofori hasta el piano moderno.......................5 GENERALIDADES DEL PIANO.............................................................................6 PARTES DEL PIANO...........................................................................................7 Piano de cola..................................................................................7 Piano vertical................................................................................10 MECANISMO DEL PIANO..................................................................................11 Dinámica.......................................................................................13 Influencia de la articulación y el tacto en la calidad del sonido......14 INTERACCIÓN ENTRE EL MARTILLO Y LA CUERDA...........................................15 No-linealidad del martillo...............................................................15 Tiempo de contacto........................................................................15 Otros factores a considerar............................................................16 CUERDAS.........................................................................................................17 Disposición de las cuerdas.............................................................17 Factor de encordado......................................................................18 Inarmonía......................................................................................19 Doble caída....................................................................................21 Los pedales....................................................................................23 LA TABLA ARMÓNICA.......................................................................................24 BIBLIOGRAFIA................................................................................................27
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INTRODUCCION Las innovaciones tecnológicas introducidas en el piano a lo largo de su historia han sido, hasta inicios del siglo XX, fruto de la experimentación y la intuición, y no del estudio científico previo. El piano es uno de los instrumentos musicales más complejos que existen, y su estudio físico riguroso es muy complicado, hecho que recién pudo ser mejor abordado a partir de la teoría acústica desarrollada por Helmholtz a finales del siglo XIX. Cuestiones como la interacción entre el martillo y la cuerda, la comprensión mecánica completa del mecanismo de percusión o la explicación de algunas características tímbricas del piano no han sido aun resueltas de manera satisfactoria, y constituyen uno de los campos de investigación de mayor interés de la acústica musical. A continuación se va a desarrollar una descripción sobre los cuatro temas en los que se divide normalmente el estudio del piano: el mecanismo, la interacción martillo-cuerda, las cuerdas (con gran énfasis en la vibración de estas) y la tabla armónica. También se realizara una breve reseña histórica para comprender el origen y la evolución del instrumento. El abordaje al mecanismo de percusión será muy breve, debido a su gran complejidad y ya que no constituye un aspecto muy interesante desde el punto de vista acústico, pero inevitablemente necesario para una comprensión integral del instrumento.
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BREVE RESEÑA HISTÓRICA Y EVOLUCIÓN INTRUMENTAL Origen Para conocer el origen del Piano debemos remontarnos a la consideración de algunos otros instrumentos musicales más antiguos de los cuales el piano es, de alguna manera, una evolución. Hay una serie de elementos constitutivos de todos ellos que han ido variando de forma, tamaño y material de construcción y se hallan presentes en el piano. Estos elementos se hayan: un bastidor, esqueleto o estructura, un variado número de cuerdas tensadas a través de él que vibran a una determinada altura de una tabla o caja que se ocupa de amplificar su sonido. Los cordofonos
La Citara es el instrumento musical más antiguo que inicia la línea evolutiva y que culmina hoy en el piano. Originario de África y del sudeste de Asia y se remonta a la Edad de Bronce (alrededor del año 3000 a.C.). Consistía en un conjunto de cuerdas dispuestas a cierta altura sobre una pequeña tabla, que eran puestas a vibrar mediante las uñas de los dedos o algún otro elemento punzante. El Monocordio, su uso fue posterior. Su construcción se basaba en la colocación de una sola cuerda considerablemente más larga que las de la cítara, vibrando sobre una pequeña caja de resonancia de madera
El Salterio constituyo el siguiente paso evolutivo. Era un instrumento construido sobre los principios de la cítara pero con una forma trapezoidal en función de las distintas longitudes de sus cuerdas. Poseía una rudimentaria tabla armónica y pequeños puentes tonales.
El Dulcimer apareció luego, y siguiendo básicamente los mismos principios de construcción que el salterio, estaba pensado para que sus cuerdas no sean tocadas con las manos o con algún elemento punzante sino para que sean percutidas con martillos sujetados por el intérprete.
Los teclados Por otro lado, los teclados surgieron como solución lógica para accionar el mecanismo que dirigía las corrientes de aire a través de los tubos de los órganos. El arquitecto Vitruvio (S. I a.C.) escribió acerca de teclas rudimentarias usadas en los hydraulis, órganos de agua griegos de su época. En el siglo II d.C., Heron de Alejandría construyo un órgano con teclas provistas de muelles, que las devolvía a su posición inicial. Durante la edad media se doto al monocordio de Pitágoras de un teclado, de tal forma que cada tecla era en realidad una palanca en uno de cuyos extremos tenıa fijado un pequeño puente (llamado tangente), que al golpear la cuerda la dividía en la proporción adecuada y la hacıa sonar. El piano tal cual lo conocemos hoy en día se basa, entonces, en los principios de construcción de los instrumentos mencionados, cuyas cuerdas no son ya tocadas con las manos sino percutidas por martillos. A partir de lo analizado, deducimos que los cordofonos evolucionaron independientemente de los teclados. La idea de interponer algún tipo de mecanismo de acción indirecta entre las cuerdas y los dedos que culmina con la integración de ambos mecanismos, datan de alrededor de los siglos XV a partir de la invención de los siguientes instrumentos:
El Clavicordio fue uno de ellos, en el cual las cuerdas eran puestas a vibrar mediante el enganche de un pequeño clavo o aguja metálico puesto en movimiento desde un teclado accionado por los dedos. Dotaba de gran dinamismo al intérprete, pero tenia el gran inconveniente de que producía un sonido muy débil.
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El Clave: en el las cuerdas eran puestas a vibrar mediante un plectro o con la nervadura de plumas de aves, llamado cañón de plumas, incrementando el volumen del sonido obtenido en comparación a su antecesor. surge en el siglo XVI a partir del perfeccionamiento del mecanismo de pulsación y el uso de cuerdas mas largas. Pero este permite muy pocas alteraciones dinámicas al intérprete, el instrumento se desafinaba muy fácilmente y las notas no podían sostenerse por mucho tiempo.
Alrededor del año 1695 el italiano Bartolomeo Cristofori construyó un instrumento en el cual, el elemento que ponía las cuerdas a vibrar era una pieza de madera con la forma de un martillo cuya punta estaba recubierta de cuero. Esto no producía un sonido metálico y estridente como en el Clavicordio y el Harpiscordio sino un sonido mucho más dulce y sostenido, por lo que logro solventar los problemas presentados en los mecanismos anteriores. Además, el mencionado martillo tenía un sistema de escape mediante el cual era posible variar tanto el volumen como así también el tono del sonido. En este instrumento estaba notablemente aumentada la capacidad expresiva musical ya que era posible producir una variación en la intensidad del sonido y mera variación tonal, todo comandado desde el teclado. Este instrumento se llamo "Forte-Piano".
Desde el piano de Cristofori hasta el piano moderno El piano de Cristofori fue el primero en poseer un sistema de mecanismo con martillo que podía lograr tanto sonidos fuertes como suaves. Hacia 1726 Cristofori introduce un nuevo elemento en sus pianos, el sistema "una corda" (pedal) que permanece hasta nuestros días. Se basaba en la posibilidad de permitir al ejecutante mediante un comando especial desplazar el mecanismo de tal modo que cada martillo golpee sobre una menor cantidad de cuerdas de lo que habitualmente hace para lograr un sonido muy suave. Los siguientes hechos tuvieron un papel importante en la evolución del instrumento hacia la modernidad:
Las primeras composiciones específicas para pianos hacen su aparición en 1732. Son las famosas 12 sonatas para piano de Giustini. Juan Sebastián Bach toma contacto por primera vez con un piano hacia el año 1750. El piano estaba construido por Gottfried Silbermann quien construía pianos desde 1725.
Desde el taller de Gottfried Silbermann se desarrollaron las famosas escuelas de construcción de pianos conocidas como la "Escuela alemana" y la "Escuela inglesa" a partir de las cuales sus discípulos darían origen a dos mecanismos distintos, el “mecanismo ingles” (percusión) y el “ mecanismo alemán o vienes” (rebote).
Entre los años 1760 a 1830 hubo una gran expansión en la construcción de pianos.
En 1762 se produce el primer concierto de piano en toda la historia realizado por Henry Walsh en Dublin.
En 1773 se publican las famosas sonatas para piano Opus 2 de Muzio Clementi que intentan utilizar al máximo los recursos del piano.
En 1775 se construye el primer piano en los Estados Unidos de América en una fábrica instalada en Filadelfia.
En 1795 se desarrolla en Londres en primer piano vertical. Su diseñador era William Stodart.
En 1808 Sebastián Erard, un diseñador de pianos Francés de origen alemán, patenta su famoso mecanismo de simple repetición y presenta el agrafe que permitía permanecer a las cuerdas en su exacto lugar luego del golpe de martillo.
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En 1810 Sebastián diseña el mecanismo de pedales tal como llega hasta nuestros días y Erard en 1822 introduce su mecanismo de doble repetición que permitía una gran velocidad de repetición entre sus teclas.
En el año 1828 Ignaz Bösendorfer funda su fábrica en Austria. Estos pianos se encuentran actualmente entre los más destacados del mundo.
El alemán Heinrich Steinweg emigra a los Estados Unidos de América y funda Steinway and Sons en New York. Julius Blüthner funda su fábrica en Leipzig y Carl Bechstein hace lo suyo en Berlín.
En 1863 Steinway diseña y construye el piano vertical moderno con cuerdas cruzadas y una sola tabla armónica. En 1874 perfecciona el pedal Sostenuto. En ese mismo año J. Blüthner patenta su famoso sistema aliquot que incrementa la resonancia de las cuerdas al introducir una cuarta cuerda adicional a cada grupo de tres, aunque más elevada. Esta cuerda no es percutida por el martillo sino que vibra en simpatía.
GENERALIDADES DEL PIANO El piano es un instrumento de cuerdas percutidas por martillos activados por teclas. La producción del sonido tiene lugar por medio del martillo que el mecanismo del teclado lanza contra las cuerdas. En la actualidad existen mecanismos muy diversos, para intensificar el sonido se utilizaron cuerdas más gruesas y una tensión mayor (hasta 18 toneladas), lo cual dio por resultado el procedimiento de construcción masiva de piano con marcos de hierros de fundición (EE.UU., 1824), posee además 2 pedales , el derecho para levantar los apagadores y el izquierdo para la ejecución en sordine, lo cual en el piano vertical se logra acortando el mecanismo percutor y en el piano de cola, desplazando los martillos hacia la derecha de modo que sólo golpeen una o dos cuerdas, dispuestas en números de dos o tres por nota, respectivamente. Además algunos pianos cuentan con un tercer pedal ubicado en el centro de dos habituales llamado "pedal sostenido", que opera para sostener únicamente aquellos tonos cuyos apagadores están ya elevados por el mecanismo de las teclas. Además, El teclado está compuesto de 52 teclas blancas y 36 negras, con un total de 88 teclas. Los pianos modernos Cuando hablamos del piano moderno nos referimos fundamentalmente a los pianos diseñados y construidos desde la última década del siglo pasado hasta el presente. Dentro de los pianos modernos encontramos los pianos verticales y los de cola. Los pianos verticales se caracterizan por poseer el arpa, las cuerdas y los martillos perpendiculares al piso, los cuales regresan por resortes luego de ser disparado. Como resultado de esto nos encontramos con un piano en el cual su apariencia exterior es la de un mueble "parado". Los pianos de cola se caracterizan por poseer el arpa, las cuerdas y los martillos paralelos al piso, los cuales regresan por gravedad al ser disparados. En este caso el tipo de mueble resultante esta "acostado" y el mueble en su parte posterior tiene forma de cola. Estos dos tipos de piano pueden variar en su tamaño.
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano Hay pianos de 85, 88 y 97 notas. Generalmente el número o cantidad de notas nos da solamente una referencia aproximada a la edad del piano. Sin generalizar se puede decir que la mayoría de los pianos construidos entre fines del siglo XIX y la primera década del siglo XX tenían 85 notas. Luego de ese período los pianos se construyeron y aún hoy se construyen con 88 notas. Sin embargo, encontramos algunos fabricantes de pianos como Steinway & Sons, que construían pianos de 88 notas ya desde los últimos años del siglo XIX.
PARTES DEL PIANO Piano de cola
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1. (Lado exterior) Anilla, aro 2. Fondo 3. Soporte pata 4. Pata 5. Zócalo 6. Soporte de lira 7. Base de lira 8. Puntales de lira 9. Pedal izquierdo 10. Pedal central 11. Pedal de resonancia 12. Varilla empujadora de pedal izquierdo 13. Varilla empujadora de pedal central 14. Sobre abatible delantero 15. Listón del sobre 16. Sobre 17. Roseta
18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.
Puntal largo de tapa Puntal corto de tapa Bisagra Atril Base atril Panel frontal Cilindro Marca de fábrica Fieltro de guarnición cilindro Mazas Listón frontal Teclas blancas Teclas negras Placa de hierro Banqueta
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1. (Lado exterior) Anilla, Aro 2. Tapa armónica 3. Placa de hierro 4. Bulones fijación de la placa de hierro 5. Tornillos fijación de la placa de hierro 6. Marca de fábrica 7. Guarnición de paño para las cuerdas 8. Listón tapa armónica (agudos) 9. Puntas de anclaje de cuerdas 10. Puente 11. Puente bajos 12. Suplemento puente bajos 13. Base suplemento puente bajo 14. Bordones 15. Clavijas 16. Barra cejilla 17. Fieltro apoyo cuerdas 18. Agrafes 19. Apagadores de los bajos 20. Apagadores de los agudos 21. Barra guía de apagadores 22. Número de fabricación 23. Maza agudos 24. Maza graves 25. Teclas blancas 26. Teclas negras (sostenidos) 27. Panel frontal 28. Guía del atril 29. Pernos guía tapa 30. Bisagra tapa 31. Guías desplazamiento de teclado 32. Cerradura 33. Bisagra barra soporte tapa 34. Tornillos del clavijero 35. Listón frontal
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1. Anilla-aro 2. Tabla armónica 3. Tabla armónica 4. Barras armónicas 5. Rosetas 6. Barraje 7. Contrafuerte del barraje 8. Refuerzo del fondo 9. Tornillos 10. Patas 11. Ruedas 12. Soportes patas 13. Tornillos patas 14. Eje de transmisión del pedal celeste 15. Palanca de transmisión del pedal celeste 16. Mecanismo del pedal de resonancia 17. Mecanismo del pedal de resonancia
18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
Varilla empujadora del pedal de resonancia Varilla empujadora del pedal tonal Palanca de transmisión del pedal tonal Varilla empujadora del pedal celeste Pedal de resonancia Pedal tonal Pedal celeste Base de lira Ejes de pedal Cuerpo de lira Puntales de lira Soporte de lira Fondo de teclado
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano Piano vertical
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1. Puerta 2. Traviesa 3. Consola 4. Pies 5. Zócalo 6. Fondo de teclado 7. Listón frontal 8. Barra de sostenidos, listón tope teclado 9. Cilindro (tapa del teclado) 10. Vidriera (panel superior) 11. Brazo de la lámpara 12. Pantalla de la lámpara 13. Sobre 14. Puntal sobre 15. Roseta del puntal, anclaje del puntal 16. Atril 17. Bisagra del atril 18. Orificio cerradura 19. Teclas blancas 20. Teclas sostenidos negras 21. Placa de hierro 22. Barra transmisión pedal 23. Barra soporte de fondo 24. Apoyo del fondo 25. (Pedal izquierdo) Celeste 26. (Pedal central) sordina, tonal o retención 27. (Pedal derecho) fuerte, resonancia 28. Espiga roscada p/regulación movimiento del pedal 29. Tornillo de regulación del movimiento del pedal
30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.
Tornillo de regulación del movimiento del pedal Balancín para el pedal fuerte, derecho Tirante para movimiento del pedal fuerte (Trengla) Balancín para el pedal izquierdo o piano Tirante para movimiento pedal izquierdo Cuerdas de acero (Puntas de enganche de cuerdas) Anclaje Puente Bordones Maza izquierda del teclado Báscula Martillos Barra-martillos Horquilla-barra-martillos Soporte lateral de la máquina (bajos) Soporte medio de la máquina Botón-tuerca soporte de la máquina Espiga tope de la vidriera Espiga para cilindro 49. Lado Clavijas Cejilla (agudos) Cejilla (graves) Placa con la marca Soporte polea transmisión para 55 Polea transmisión Cable de transmisión-pedal sordina
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano MECANISMO DEL PIANO En el mecanismo del piano de cola se percute la cuerda en dirección vertical y es básicamente el mecanismo de Cristofori. Se observa que el martillo no esta directamente fijado a la tecla. En primer lugar la tecla es pulsada, el martillo recibe el impulso de la tecla a través de la palanca de escape. Después, el martillo se separa de esta, sigue su curso libremente hasta alcanzar la cuerda, liberada de su apagador correspondiente en el momento justo antes de su percusión. Una vez producido el ataque del martillo en la cuerda se produce el sonido. De esto se concluye que el martillo no esta en contacto con la tecla en el momento en que golpea la cuerda, hecho crucial del que se derivan las características interpretativas del piano. El martillo, al rebotar tras percutir la cuerda, retrocede hasta una posición intermedia regulada por el soporte posterior, dejando a la cuerda vibrar libremente. Al soltar la tecla, tanto el soporte posterior como como el martillo, apoyado en él, así como el apagador, retroceden a su posición original por el solo efecto de la gravedad. En el caso del piano vertical, el retroceso solo puede ser conseguido con resortes, razón por la cual se considera este segundo mecanismo menos natural y de inferior calidad.
Mecanism o simplificado del piano de cola. El mecanismo de repetición no se incluye en el esquema.
Mecanismo simplificado del piano vertical. El mecanismo de repetición no se incluye en el esquema.
Dinámica
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano La mecánica del piano es bastante particular ya que utiliza el peso del teclado para controlar la velocidad del macillo en el ataque contra la cuerda. El objetivo del conjunto de palancas del mecanismo es permitir una gran variedad de sonidos en función del control del impulso del macillo. La fuerza ejercida sobre la tecla y la velocidad con la que se pulsa la misma (momento) tiene una equivalencia directa en el otro extremo del mecanismo, donde un macillo relativamente ligero viaja con una gran aceleración. Es necesario tener en cuenta que el peso de un teclado no es independiente del sonido del instrumento ya que cuando se ejerce una fuerza concreta sobre el teclado, se espera también una respuesta concreta en el sonido. Si éste es demasiado duro y metálico, se tiene una sensación de poco peso. Por el contrario, un sonido demasiado débil, produce una sensación de cansancio. La energía aplicada a la tecla es transmitida de forma encadenada por todas las piezas del mecanismo hasta que el macillo realiza la percusión de la cuerda, la cual recoge dicha energía, convirtiéndola en sonido. Cuanto más eficaz sea esta transmisión, mayor es la sensación de control y de firmeza en el tacto del piano. Por esto, es preciso que todo el mecanismo esté bien calculado, ajustado y regulado. La fuerza ejercida y el resultado sonoro obtenido dependen de la eficacia del mecanismo del instrumento, y por tanto, de su diseño. El mecanismo del piano, como cualquier máquina, tiene un rendimiento. Éste es distinto según la región de volumen sonoro en la que se trabaja y se mide como relación entre el trabajo aplicado sobre el teclado y el trabajo realizado por el macillo. En términos generales, el rendimiento es bajo en la región de pianísimos, óptimo en la región de piano a mezzoforte y muy bajo en los fortísimos. Por tanto, hay un mayor control y variedad sonora en la región de sonidos medios. Al aumentar el peso del teclado, sitúa al instrumento en una zona de peor rendimiento y de más difícil control.
Influencia de la articulación y el tacto en la calidad del sonido
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano El hecho de que el martillo este desconectado del resto del mecanismo en el momento del impacto implica, en principio, que el sonido producido solo puede verse afectado por la velocidad con la que el martillo llega a la cuerda, o lo que es equivalente, por la mayor o menor fuerza con que se pulsa la tecla, cuya acción no solo modifica la potencia sonora, sino también el contenido tímbrico. Es en este punto donde se plantea una polémica relacionada con el estudio acústico del piano: además de la fuerza de pulsación, ¿influye la articulación de los dedos, el toque propio de cada interprete, u otros factores interpretativos como la posición del brazo, muñeca, etc. en el resultado sonoro? es decir, ¿una nota tocada por un pianista de prestigio sonaría igual que la misma nota tocada con la misma fuerza en el mismo piano por un principiante? (siempre refiriéndonos a notas sueltas). Desde el punto de vista de la fuerza, afirmamos que a mayor fuerza aplicada la velocidad del martillo hacia la cuerda es mayor, traduciéndose en un aumento de la intensidad del sonido. Así a partir de este ejemplo deducimos que este mecanismo permite la regulación de la intensidad del sonido lo que traducimos a música como pianos y fortes, interviniendo no solo la fuerza aplicada sino también la distancia del martillo a la cuerda, y la distancia de la tecla hasta su tope en el fondo (fondo de tecla). Desde el punto de vista del tacto, durante la búsqueda de esta respuesta, y a por medio de muchos cálculos, se descubrió la existencia de un factor que se pensaba podría estar relacionado con el tacto. Se trata del llamado retardo de fondo de tecla. El retardo de fondo de tecla es este intervalo entre el contacto de la tecla con el fondo y la percusión. La idea de que este retardo fuera de alguna manera consecuencia de la diferente manera de tocar una tecla (no ya de la diferente fuerza) se descarto al hacer una comparativa entre como tocaban diferentes teclas sueltas personas sin conocimientos musicales y pianistas profesionales. En cada Caso se midió el mencionado retardo, y el resultado fue que no existe una diferencia significativa entre pianistas y no-pianistas. El hecho comprobado experimentalmente es que las diferentes articulaciones (staccato, legato, etc.), sı influyen en el movimiento de la tecla y del mecanismo. Es mas, se constato que incluso los aspectos fisiológicos de la manera de tocar alteran la evolución del recorrido y la velocidad del mecanismo y, por ende, del martillo. Al realizar un estudio de diferentes maneras fisiológicas de tocar una tecla, aplicando la misma fuerza se observa, sin embargo, que el martillo tiene la misma velocidad en el momento en que llega a la cuerda, lo cual significa que el sonido producido será el mismo siempre. Todos los resultados anteriores permiten afirmar que, efectivamente, la calidad de notas sueltas tocadas por un virtuoso no difiere de la calidad que pueda producir alguien no experimentado. Esta afirmación no es valida para la gran mayoría de instrumentos musicales, en los que el sonido es producido por el intérprete de una manera más directa (violín, trompeta). Evidentemente, la enorme versatilidad y capacidad expresiva del piano tiene su origen en la manera de combinar varias notas. Un acorde sı puede sonar a concertista, o a principiante. La dificultad interpretativa reside en saber repartir adecuadamente las duraciones y volúmenes relativos de las notas simultáneas o sucesivas. Otros recursos que aportan al sonido son los apagadores, cuyo hábil manejo, bien sea por la manera en que se liberan las teclas, o por el uso del pedal derecho, multiplica las posibilidades interpretativas y los registros expresivos, a la vez que aumenta la dificultad. Tampoco se ha hablado hasta ahora de los llamados sonidos parásitos. Estos son: el ruido que produce el mecanismo al moverse y detenerse, el ruido que produce el dedo al golpear las teclas, llamado ruido de tecla superior, y el ruido que produce la tecla al impactar contra el fondo del teclado, llamado ruido de tecla inferior. Estos ruidos contribuyen al efecto sonoro final, y han de ser considerados dentro de las características tímbricas del piano. Con mucho, la contribución más importante es la del ruido de tecla superior. Es evidente que este es controlado directamente por el intérprete y depende totalmente de la articulación y de su forma de tocar.
INTERACCIÓN ENTRE EL MARTILLO Y LA CUERDA
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano La no-linealidad del sistema constituido por el martillo y la cuerda lo convierten en uno de los puntos más intrigantes y más complejos para el investigador. Queda aun por alcanzarse un modelo real y definitivo que proporcione una solución completa a este problema físico.
Rigidez No-lineal del martillo En los primeros pianos, los martillos estaban recubiertos de cuero, normalmente de piel de ciervo. El cuero perdía muy pronto su elasticidad, por lo que alrededor de 1830 fue sustituido por fieltro, que es una mezcla de algodón, seda y pelo. El ajuste de la dureza, la textura y el espesor del fieltro, así como de la masa y el tamaño de los martillos, son parámetros que varían a lo largo de la tesitura, vital para un correcto balance sonoro entre diferentes notas. Todo ello influirá en mayor o menor grado en el sonido. Aproximadamente el tiempo de contacto entre el martillo y la cuerda duraba alrededor de 2 milisegundos. A lo largo de este tiempo, la fuerza que ejerce aquel sobre esta no es constante, sino que vendrá determinada por los procesos de deformación que tienen lugar, así como por la reacción de la cuerda. En general, podemos dividir el tiempo de contacto entre un primer perıodo de empuje, en el cual predomina la fuerza que el martillo ejerce sobre la cuerda, y un periodo de retroceso, en el cual la cuerda, que actúa como un muelle, reacciona y ejerce una fuerza sobre el martillo, que lo hará rebotar. Visto de otro modo, en el empuje, el martillo cederá energía cinética a la cuerda, y a la inversa en el retroceso. En el empuje, el fieltro se comprimirá, y en el retroceso, se expandirá.
Tiempo de contacto Hasta hoy no se sabe exactamente hasta que punto la perdida de contacto influye en el sonido. El tiempo de contacto es menor cuanto mayor es la fuerza con la que se pulsa la tecla. Por otro lado también será menor cuanto mas aguda sea la nota, es decir, cuanto menor sea la masa del martillo. Los tiempos de contacto para todas las teclas, supuestas tocadas con la misma fuerza entre un piano vertical y un piano de media cola son algo aproximados y su variación se de debe al complicado proceso de reflexión de las ondas en la cuerda. Generalmente se cumple en todos los pianos que el tiempo de contacto es aproximadamente igual a la mitad del perıodo de vibración de la cuerda para la nota DO4 (do central). La frecuencia de este es de unos 262 Hz, con lo que el perıodo será su inverso, 0.0038 s, y la mitad del perıodo, 0.0019, es decir, unos 2 milisegundos. ¿Que consecuencias tímbricas tiene la duración del contacto? Para ello, hay que considerar primero otro factor: la posición de contacto. Para ellos hay que considerar los modos de vibración de una cuerda de piano son armónicos. Tras numerosas pruebas a lo largo de la historia del piano, se ha determinado que la posición idónea para la percusión es entre un séptimo y un octavo de la longitud de la cuerda. En general se puede afirmar que si el punto en el que una cuerda es pulsada (no percutida) coincide con un punto nodal de un modo cualquiera de vibración de la cuerda, este modo no será excitado. El caso mas intuitivo es el del modo fundamental de vibración de una cuerda fija en ambos extremos. Sus nodos coinciden con los extremos, por lo que la máxima excitación de la frecuencia fundamental tendrá lugar si pulsamos la cuerda exactamente en su centro, es decir, en la posición antinodal. A medida que pulsemos mas lejos del centro, la cuerda vibrara menos, y será imposible hacerla vibrar pulsándola justo en los extremos. De la misma forma, si pulsamos una cuerda a un séptimo de su longitud, el modo séptimo no será excitado, como tampoco lo serán sus múltiplos enteros: el 14o, 21. En la música, esto podría suponer una ventaja, ya que el séptimo armónico de una nota se aleja bastante de la séptima menor temperada. Este hecho se ha utilizado como justificación para la elección del punto de contacto en el piano, y así sigue constando en algunos artículos y libros relativamente recientes. Sin embargo, se ha demostrado que este argumento no es del todo valido. En el piano, la cuerda no es pulsada, sino percutida, por lo que no podemos suponer que la interacción que origina la vibración sea instantánea. La percusión tiene lugar a lo largo del tiempo de contacto, breve pero lo suficientemente largo como para permitir la formación de ondas estacionarias armónicas en la
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano fracción mas corta de la cuerda. Suponiendo que el punto de contacto es exactamente un séptimo de la cuerda, las ondas estacionarias constituirán la serie armónica de una nota de frecuencia siete veces superior a la de la cuerda total, que son precisamente los armónicos supuestamente eliminados (7, 14,21). Al separarse el martillo, todos ellos se propagaran al resto de la cuerda, y el resultado final será que todos los modos de vibración estarán presentes en la cuerda. Es en este punto donde juega un papel importante el tiempo de contacto: cuanto mayor sea este, menor serán las amplitudes de los armónicos múltiplos de 7, ya que las ondas estacionarias en la parte corta de la cuerda habrán perdido más energía antes de propagarse. Es así como el tiempo de contacto influye en el timbre. También influye, de manera indirecta, la masa del martillo, ya que, cuanto mayor sea esta, mas durara el contacto.
Otros factores a considerar Otro parámetro importante a considerar es la longitud de la superficie del martillo que esta en contacto con la cuerda. Si esta es superior a la longitud de onda de un modo particular, este modo se vera fuertemente atenuado. Esto solo afecta a los parciales agudos, los de menor longitud de onda. Por tanto, los martillos pequeños y finos del registro agudo producirán un sonido más rico en parciales superiores que los martillos de los graves. De manera similar, los martillos de mayor dureza excitan en mayor medida los modos superiores que los más blandos. La compresión del fieltro durante el contacto hace que el martillo aumente momentáneamente en dureza. Como consecuencia, cuanta mas velocidad adquiera el martillo, mas se comprimirá y mayor será la excitación de los parciales superiores. Por esta razón, las notas fortísimo son mucho más ricas en la parte alta del espectro que las pianísimo.
CUERDAS
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano Disposición de las cuerdas Las cuerdas en el piano están tensadas en paralelo al cuerpo resonador. Por otro lado, el cuerpo resonador del piano no es una caja, sino una tabla de resonancia, o tabla armónica. La vibración de las cuerdas se transmite hacia ella a través del puente, situado cerca del extremo contrario a la parte de la percusión. La longitud efectiva de la cuerda, es decir, la que determina su frecuencia, se mide entre la llamada barra Capo d’astro y el puente. La cuerda continúa en ambos extremos hasta las clavijas de afinación y de sujeción, fuertemente ancladas en el marco de hierro.
En el piano moderno, las cuerdas son de acero al carbono templado, también conocido como "acero de resorte". Este material permitió, en la constante búsqueda histórica de potencia sonora, una mayor tensión, y por lo tanto, un mayor volumen. En conjunto, la tensión de las cuerdas de un piano de cola puede llegar a ser de 30 toneladas, y en uno vertical de 14 toneladas. Al aumentar el volumen contribuyen también las dobles y triples cuerdas aunque, como se vera, también tienen un efecto inesperado sobre el timbre. En general, las cuerdas simples y las dobles, que constituyen el registro grave, están envueltas en cobre. Este entorchado es tanto mas grueso cuanto mas grave es la cuerda, llegando incluso al doble entorchado en las notas mas bajas. Otra característica importante en la disposición de las cuerdas es el sobreencordado, que consiste en el cruce de las cuerdas mas graves por encima de las cuerdas del registro medio. Esto supone que las cuerdas graves, por un lado, y las medias y agudas por otro, tendrán puentes independientes.
Encordado del piano de cola.
Factor de encordado
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano Conviene aquí recordar la formula que da la frecuencia de una cuerda sujeta entre dos extremos fijos, en función de su tensión, su masa y su longitud:
Donde l es la longitud de la cuerda, T la tensión y λ la densidad lineal de la cuerda (masa por unidad de longitud). De esta formula se deduce que, si queremos obtener una cuerda que, con la misma tensión y con la misma densidad (mismo material), vibre a la mitad de frecuencia, es decir, una octava mas grave, tendremos que tomar el doble de longitud. En ningún instrumento de cuerda se mantiene la misma tensión y la misma densidad en toda la tesitura, sino que se varían de forma que no haya que doblar la longitud en cada octava. En el arpa o el piano, las cuerdas sı tienen un aumento gradual de la longitud, pero no en un factor dos, que haría que las cuerdas mas graves alcanzaran los casi cinco metros en el caso del piano. El factor de encordado es la proporción entre las longitudes de las cuerdas de las octavas sucesivas. Esta proporción dependerá a su vez de la proporción entre las densidades y las tensiones entre octavas sucesivas. Si f2 es la frecuencia de una nota una octava más alta que una nota de frecuencia f1, entonces,
Luego de varias ecuaciones llegamos a una relación
Donde el factor de encordado FE = l1/l2 El factor de tensión FT= t1/t2 El factor de diámetro FD =d1/d2 A partir de esta relación entendemos que se calculan las longitudes de las cuerdas del piano, en relación a sus octavas, evitando llegar a extremadas longitudes aumentando gradualmente el factor de diámetro, ya que FE es inversamente proporcional a FD. Este aumento de diámetro se lleva a cabo mediante el entorchado en cobre.
Inarmonía
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano En la mayoría de los cordofonos, los parciales producidos en las cuerdas son armónicos, como corresponde al caso de una cuerda ideal, es decir, de elasticidad infinita, fija en ambos extremos. En realidad, toda cuerda posee un cierto grado de rigidez, pero en estos casos la desviación respecto al caso ideal es despreciable. En el piano, la enorme tensión a la que son sometidas las cuerdas las hace altamente rígidas, lo que obliga a enfocar el problema desde un punto de vista no ideal. Se comprobó experimentalmente que el efecto de la rigidez es que la cuerda se comporte como un medio dispersivo. Esto quiere decir que, en ella, las ondas sonoras no se propagan todas a la misma velocidad, como es habitual, sino que la velocidad de propagación depende de su frecuencia. A mayor frecuencia, mayor velocidad de propagación. Por tanto, en el caso de un sonido musical compuesto, los parciales superiores se propagaran a mayor velocidad que el modo fundamental y los parciales inferiores. Se puede demostrar matemáticamente que este efecto tiene como resultado la inarmonía de los parciales es decir los modos ya no serán exactamente múltiplos enteros de la fundamental. En el caso del piano, la inarmonía tiene como resultado la cada vez mayor desviación hacia frecuencias más altas de los parciales. La frecuencia del parcial n-esimo para una cuerda rígida viene dada por la siguiente formula:
Donde el coeficiente de inarmonía B representa el grado de inarmonía, y es directamente proporcional a la tensión aplicada y a la proporción diámetro/longitud de la cuerda. La inarmonía variara, pues, a lo largo de la tesitura. Se observa que la inarmonía es mínima en el registro central del piano y crece hacia los extremos. En los graves en primer lugar, las cuerdas tienen una mayor relación diámetro/longitud, ya que se va acortando cada vez mas el factor de encordado y aumentando el diámetro, por lo que B ira aumentando. En segundo lugar, el entorchado de cobre provoca reflexiones adicionales de la onda en los puntos donde este acaba que contribuyen a la inarmonía. En los graves, todos los parciales relevantes son audibles. El espectro de las notas graves del piano tiene la característica de que la amplitud del modo fundamental de vibración es muy inferior a la de los armónicos medios. El oído, a falta de una fundamental clara, intenta “reconstruir” la altura del sonido basándose en las diferencias entre los sucesivos parciales. Si estos son muy inarmónicos, la altura de la nota quedara confusa, y el sonido se considerara más desagradable. Por este motivo conviene reducir la inarmonía en las notas graves del piano. Esto se consigue alargando en lo posible las cuerdas. Esta es una de las razones por las que el piano de cola, con cuerdas graves mas largas, se considera de mejor calidad que el vertical. En los agudos, B crece debido a que la corta longitud y la alta tensión hacen que las cuerdas se comporten casi como barras. En esta zona la inarmonía es mucho mayor que en la zona grave, hecho que podría empeorar el sonido muchísimo, pero que no ocurre ya que los parciales superiores que tienden a desviarse, se adentran en una región de la frecuencia inaudible. Una leve inarmonía no solo era deseable, sino que era una de las características que aportaba mayor riqueza y calidez al sonido del piano, y donde la generalidad del público describe un sonido perfectamente armónico como frio, y uno con una leve inarmonía como cálido. Por ultimo, cabe destacar un interesante efecto que la inarmonía tiene sobre la afinación del piano. El proceso de afinación consiste en eliminar en lo posible los batidos que se producen entre determinados parciales al comparar una serie de intervalos. Se comienza afinando una de las octavas centrales y, basándose en los componentes de sus notas, se va saltando hacia las demás. Dado que estos componentes son inarmónicos, el resultado de la comparación es que las octavas más agudas se irán afinando alejándose cada vez mas hacia arriba de la afinación temperada, y las graves alejándose hacia abajo. Este fenómeno se conoce como afinación estirada. Ni siquiera
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano la octava, que es el único intervalo teóricamente justo de la afinación temperada, es exacta en el caso del piano. Sin embargo, la afinación estirada es necesaria para que el piano este afinado consigo mismo. El fenómeno de afinación estirada es representado por la curva de Ralisback, que muestra como la escala temperada se va modificando hacia sus extremos por efecto de la inarmonía.
Curva de Ralisback
Doble caída
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano El sonido del piano es producido por vibraciones libres. Esto significa que, una vez se ha aportado energía a la cuerda mediante el martillo, se deja vibrar libremente, Por lo tanto la envolvente, carecerá de zona de mantenimiento y vendrá determinada por la forma en que la cuerda va perdiendo esta energía. Siempre que se hable del tiempo de caída de una nota se sobreentenderá que se mantiene pulsada la tecla hasta que el sonido se hace inaudible. En la envolvente del sonido del piano, la fase de ataque es casi instantánea, como corresponde a un instrumento de percusión. Como era de esperar, no existe fase de mantenimiento. Los resultados interesantes son los que se observan en la caída: se distingue una primera fase en la que la atenuación es elevada, y una segunda en la que el sonido decae con más lentitud. La primera fase de la caída recibe el nombre de sonido inmediato, y la segunda, el de resonancia. Este fenómeno, conocido como doble caída o doble atenuación, es una característica acústica casi exclusiva del piano. La doble caída tiene su origen principal en la utilización de dobles y triples cuerdas. Esta es una estrategia empleada con el objetivo de aumentar el volumen. Es prácticamente imposible conseguir una afinación perfecta entre las cuerdas de un grupo unísono. Al igual que la inarmonía, pequeñas desafinaciones pueden parecer indeseables, pero, una vez mas, la practica musical demuestra lo contrario. Por un lado, la fase de resonancia contribuye enormemente a la capacidad que tiene el piano de sostener las notas durante un tiempo prolongado. Por otro, los batidos producidos por la desafinación enriquecen el sonido de forma similar a como lo hacıa la inarmonía concluyendo en que un piano perfectamente afinado suena muerto. Hoy en día, los buenos afinadores introducen desafinaciones voluntarias cuidadosamente calculadas entre las cuerdas unísonas. El simple hecho de utilizar cuerdas múltiples, aunque estén perfectamente afinadas, ya produce el efecto de la doble caída. La desafinación de las cuerdas también contribuye, de manera independiente.
Para el primer caso, suponiendo que las cuerdas están perfectamente afinadas y considerando solo dos cuerdas, sabemos que estarán acopladas al puente por lo que habrá una gran transmisión mutua de las vibraciones. La cantidad de energía que se transmite a través del puente depende de la diferencia de fase del movimiento de las cuerdas, siendo el movimiento del puente la suma de los movimientos de las cuerdas. Si las cuerdas vibran en oposición de fase, el puente no se moverá y la transmisión de energía será nula. Si las cuerdas vibran en fase, el movimiento del puente será el doble que si vibrase una sola cuerda, y la transmisión será máxima. El acoplamiento entre las cuerdas y el puente constituye lo que se llama un apoyo resistivo. El puente a su vez acopla a las cuerdas con la tabla armónica, trasmitiendo la energía hacia esta, desde donde es radiada al aire. A mayor transferencia de energía entre las cuerdas y la tabla, mas pronto se agotara el movimiento de la cuerda, el sonido será mas corto e intenso. Si la
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano transmisión es pequeña, como en el caso de la oposición de fase entre dos cuerdas, la energía se disipara lentamente, prolongando el sonido, que tendrá muy poco volumen. ¿Como se explica que dos cuerdas unísonas, que, se supone, vibraran en fase al ser golpeadas por el martillo, y por tanto, transferirán muy rápidamente su energía al puente, provoquen precisamente el efecto contrario, es decir, el aumento del tiempo de caída? La razón es que en una situación acústica real es imposible que dos cuerdas vibren exactamente en fase. Irregularidades aleatorias alteraran mínimamente el movimiento, y romperán la simetría. Por esa razón, en el impacto una de las dos cuerdas adquirirá una amplitud ligeramente superior a la otra. Al principio, las dos cuerdas vibran en fase y sus movimientos se sumaran en el puente. La transferencia de la energía a la tabla será rápida. Esta es la fase de sonido inmediato. Cuando la cuerda de menor amplitud inicial se atenúa por completo no se detiene su movimiento: el puente vibra todavía debido a la otra cuerda, y fuerza a la primera a seguir moviéndose. En un apoyo resistivo, siempre hay una diferencia de fase de un cuarto de ciclo entre el movimiento de una cuerda y el movimiento que esta induce sobre el puente. Del mismo modo, si un puente en movimiento empuja a una cuerda inicialmente en reposo, la diferencia será también de un cuarto del periodo. Por lo tanto, la diferencia de fase total entre las cuerdas será demedio ciclo, es decir: estarán en oposición de fase. A partir de ahora, el puente se moverá muy poco y la atenuación será mucho más larga: hemos entrado en la fase de resonancia.
También la desafinación contribuye a la doble caída. A grandes rasgos ocurre lo siguiente: inmediatamente después del impacto, las dos cuerdas vibran en fase, lo que da el sonido inmediato. Debido a la desafinación, las cuerdas variaran ligeramente en frecuencia, y poco a poco se irán desfasando entre sı. Cuando este desfase adquiere valores próximos al medio ciclo de una de las frecuencias, los movimientos prácticamente se anularan en el puente, y se producirá la doble caída. La doble caída también puede observarse en una sola cuerda debido al fenómeno de polarización. La doble caída es especialmente notable en el registro medio. Las pendientes de los dos tramos de envolvente tienden a igualarse cada vez más a medida que subimos hacia el agudo. En las notas más altas, la caída tiene una única pendiente y deja de ser doble. Además, cuanto mas aguda es la nota, más rápida es la atenuación, debido al mayor efecto del rozamiento del aire en altas frecuencias. En los graves, la incoherencia entre las cuerdas múltiples tarda más en alcanzarse por lo que la fase inmediata dominara buena parte de la caída.
Los pedales
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano El pedal derecho, o pedal fuerte, no solo tiene el efecto de controlar el tiempo de caída manejando los apagadores, sino que tiene también consecuencias tímbricas. Al permitirse la vibración libre de todas las cuerdas, aquellas que se aproximen mas a los parciales de una determinada nota tocada vibraran por simpatía y alteraran el sonido total. La simpatía se produce en parte a través del aire y en parte a través del puente. Las cuerdas más agudas, al no tener apagadores debido a su corto tiempo de caída, siempre estarán expuestas a la vibración simpática producida por las otras notas, pero su efecto es casi inapreciable. Por otro lado, al tocar las notas sin apagadores, el efecto de pisar el pedal derecho es más que notable, ya que las vibraciones simpáticas de los parciales de las cuerdas mas largas son relativamente fuertes. Muchos compositores modernos han utilizado el fenómeno de la vibración por simpatía como recurso compositivo. El pedal izquierdo del piano de cola, o pedal una corda, desplaza todo el mecanismo de manera que el martillo solo golpea dos de las tres cuerdas en los grupos. Esto no tiene el comúnmente creído efecto de disminuir la potencia total del sonido. Si suponemos que tenemos un par de cuerdas, y percutimos una de ellas, la otra comenzara a vibrar en oposición de fase debido a la transmisión a través del puente. La potencia del sonido inmediato se vera, efectivamente, reducida, debido a que solo la primera cuerda participa en el. Sin embargo el nivel sonoro de la resonancia se vera notablemente incrementado con respecto al de una percusión normal. El verdadero efecto de este pedal es, pues, aumentar la proporción de resonancia con respecto al sonido inmediato, lo que produce un sonido más suave. En los pianos verticales se obtiene un efecto parecido acercando los martillos a las cuerdas.
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano LA TABLA ARMÓNICA Como en todo instrumento musical acústico, la función del cuerpo resonante del piano es la de amplificar el sonido, y la de radiarlo adecuadamente. Tras numerosas pruebas a lo largo de la evolución tecnológica del piano, se llego a la conclusión de que los mejores resultados para un instrumento de estas características los ofrecía una tabla armónica, en vez de una caja de resonancia. La caja del piano, es decir, la estructura que alberga el teclado, el marco y la tabla armónica, recibe muchas veces de manera incorrecta el nombre de caja de resonancia, a pesar de no tener funciones de amplificación. La tabla armónica se fabrica actualmente de picea laminada o de abeto. El abeto tiene el mejor coeficiente entre la resistencia mecánica para soportar las altas presiones de las cuerdas y la ligereza para absorber las vibraciones más sutiles de las cuerdas. Esta atravesada, en dirección perpendicular a la fibra de madera, por nervaduras o costillas del mismo material. Esto tiene como objetivo el igualar la rigidez de la tabla en ambas direcciones. Su anchura oscila en torno al centímetro. La amplia tesitura del piano requiere una tabla armónica que sea capaz de amplificar uniformemente un gran rango de frecuencias. Los avances industriales han permitido obtener tablas con respuestas en frecuencia relativamente planas. Para conseguir esto, es necesario que cada modo de vibración de la tabla pueda ser excitado por un amplio margen de frecuencias. En general, cuanto mas cerca este una cuerda del centro de la tabla, mejor se vera amplificada. Esto justifica en parte la disposición de las cuerdas en dos niveles (sobreencordado). Al separar el puente del registro grave y colocarlo en una posición mas central, se mejora notablemente la amplificación de los graves. Para la posición de los puentes,
vertical obtenidos experimentalmente.
Modos de vibración del piano
Modos de vibración piano de cola obtenidos por ordenador.
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Las cuerdas, por su gran tensión y rigidez, ejercen una gran presión sobre el puente, empujándolo hacia abajo. La fuerza total que tiene que soportar la tabla, que dependerá del ángulo entre la parte corta de la cuerda entre el puente y la clavija de sujeción, es enorme, y para soportarla mejor, la tabla no es completamente plana, sino que posee un cierto grado de convexidad. A la larga, este empuje reducirá la convexidad, lo que repercutirá en el deterioro de la elasticidad y de las características resonantes de la tabla. Por esta razón se puede afirmar que el piano es un instrumento cuyo sonido se deteriora con el paso de los años. La impedancia acústica de un cuerpo es una magnitud física que mide la resistencia que un cuerpo opone a las ondas sonoras. En general, para dos cuerpos en contacto, la energía de la onda se transmitirá tanto mas rápido cuanto mas parecidas sean las impedancias de ambos cuerpos. En términos ingenieriles, existe una desadaptación de impedancias entre la cuerda y la tabla. En el piano consideramos a la tabla junto con el puente y las nervaduras como un mismo cuerpo vibratorio, cuya impedancia es bastante elevada en relación con las cuerdas. La diferencia de impedancias se establece en el diseño de pianos de forma que proporcione un balance aceptable entre sostenimiento y potencia del sonido. Para alargar el de por sı pobre sostenimiento de las notas agudas, la parte de la tabla correspondiente a los agudos se hace gradualmente mas gruesa y se reduce la longitud de la porción de la cuerda entre el puente y la clavija de sujeción, incrementándose la impedancia en esta zona. Las cuerdas entorchadas en cobre tienen una impedancia considerablemente superior al resto, lo que podría acarrear un cambio repentino de calidad sonora respecto a la del resto de cuerdas. La solución a este problema la proporciona de nuevo el sobreencordado: obsérvese que son precisamente las cuerdas entorchadas las que se montan por encima. El puente bajo esta diseñado para compensar este cambio de impedancia.
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Laboratorio de materiales sonoros – Acústica del piano BIBLIOGRAFIA 1. J. J. Burred. La acústica del piano. Disponible en internet: http://www.jjburred.com/research/pdf/burred_acustica_piano.pdf, 2004. 2. L. S. Legrán. El piano: Análisis de sus elementos constitutivos y su funcionamiento. Disponible en internet: http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_29/LYDIA_SAG_LEGRAN_02.pdf 2010. 3. Sintesis digital de instrumentos musicales. Analisis del mecanismo del piano. Disponible en Internet: http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/11055/fichero/SINTESIS+DIGITAL+DE+INSTRUME NTOS+MUSICALES%252F2.+ANALISIS+DEL+MECANISMO+DEL+PIANO.pdf 4. M. Quintanilla. Pagina dedicada a la acústica musical. http://cpms-acusticamusical.blogspot.com.ar/, 2009. 5. Partes del piano. http://www.partspiano.com/ 6. Historia del piano. http://www.el-atril.com/orquesta/Instrumentos/Piano.htm 7. Partes del piano. http://www.entre88teclas.es/index.php/el-piano-partes-del-piano 8. Acústica del piano. http://es.wikipedia.org/wiki/Acustica_del_piano 9. Mecánica del piano. http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo_de_percusi %C3%B3n_del_piano 10. Piano. http://es.wikipedia.org/wiki/Piano#Materiales_de_construcci.C3.B3n 11. Cuerda de piano. http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_de_piano
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