Elemento Finito

M€todo de los elementos finitos

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M€todo de los elementos finitos El m€todo de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en ingl€s) es un m€todo num€rico general para la aproximaci•n de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingenier‚a y f‚sica. El MEF estƒ pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema f‚sico sobre geometr‚as complicadas. El MEF se usa en el dise„o y mejora de productos y aplicaciones industriales, as‚ como en la simulaci•n de sistemas f‚sicos y biol•gicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito bƒsico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evoluci•n temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.

Soluci•n de MEF en 2D para una configuraci•n de un magnetostato, (las l‚neas muestran la direcci•n de la densidad de flujo calculada, y el color, su magnitud).

Introducci•n El MEF permite obtener una soluci•n num€rica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) €sobre el que estƒn definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma d€bil o integral que caracterizan el comportamiento f‚sico del problema € dividi€ndolo en un n…mero elevado de subdominios no-intersectantes entre s‚ denominados †elementos finitos‡. El conjunto de elementos finitos forma una partici•n del dominio tambi€n denominada discretizaci•n. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados †nodos‡. Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; ademƒs, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama †malla‡. Los cƒlculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a su vez de base para discretizaci•n del dominio en elementos finitos. La generaci•n de la malla se realiza usualmente con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los cƒlculos que se denomina pre-proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables inc•gnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas). La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El n…mero de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al n…mero de nodos.

La malla 2D para la imagen superior (la malla es mƒs densa alrededor de nuestro objetivo, aquellas zonas de mayor inter€s, o de mayor complejidad en el cƒlculo).

Una funci•n en H 10, con valor cero en los puntos finales (azul), y una aproximaci•n lineal (rojo).

M€todo de los elementos finitos T‚picamente el anƒlisis de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a trav€s de relaciones cinemƒticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecƒnica de s•lidos deformables o mƒs generalmente un problema de mecƒnica de medios continuos. El m€todo de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cƒlculo complejos (en dos o tres dimensiones). Ademƒs el m€todo es fƒcilmente adaptable a problemas de transmisi•n de calor, de mecƒnica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (mecƒnica de fluidos computacional, CFD) o de campo electromagn€tico. Dada la imposibilidad prƒctica de Triangulaci•n. encontrar la soluci•n anal‚tica de estos problemas, con frecuencia en la prƒctica ingenieril los m€todos num€ricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la …nica alternativa prƒctica de cƒlculo. Una importante propiedad del m€todo es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente mƒs finas, la soluci•n num€rica calculada converge rƒpidamente hacia la soluci•n exacta del sistema de ecuaciones.

Breve rese‚a hist•rica El M€todo de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utiliz• el m€todo de Ritz de anƒlisis num€rico y minimizaci•n de las variables de cƒlculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibraci•n. Poco despu€s, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableci• una definici•n mƒs amplia del anƒlisis num€rico. [1] El documento se centr• en •la rigidez y deformaci•n de estructuras complejas ‚. Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el cƒlculo matricial de estructuras. ˆste parte de la discretizaci•n de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera: (*) Donde las inc•gnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector ) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez ). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La soluci•n obtenida es exacta. Uso prƒctico del m€todo hacia 1950 Cuando se produce la llegada de los primeros equipos de c•mputo en la d€cada de 1950, el cƒlculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los m€todos de cƒlculo predominantes consist‚an en m€todo iterativos (m€todos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y, por tanto, resultaban bastante tediosos. El cƒlculo de una estructura de edificaci•n de varios pisos, por ejemplo, pod‚a llevar varias semanas, lo cual supon‚a un coste sustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimizaci•n de la estructura. La llegada de la computadora permiti• el resurgimiento del m€todo de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran dif‚ciles de aplicar dado que al final conduc‚an a la resoluci•n de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.

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M€todo de los elementos finitos De 1960 a 1970 Cuando las aplicaciones prƒcticas de elementos finitos crecieron en tama„o, los requerimientos de tiempo de cƒlculo y memoria de los ordenadores creci•. En ese punto el desarrollo de algoritmos mƒs eficientes se volvi• importante. Para la resoluci•n de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del m€todo matricial se extiende. Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificaci•n donde la discretizaci•n de los p•rticos en barras, es prƒcticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares. Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y vol…menes) y con geometr‚as complejas. De ah‚ que sea precisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas t€cnicas del MEF. Dada su generalidad el m€todo se ampli• a otros campos no estructurales como la conducci•n de calor, la mecƒnica de fluidos, etc. donde compiti• con otros m€todos num€ricos como el de m€todo de las diferencias finitas que a…n siendo mƒs intuitivos, ten‚an de nuevo dificultades de planteamiento para geometr‚as complejas. Con la llegada de los centros de cƒlculo y los primeros programas comerciales en los a„os 60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases te•ricas en los centros universitarios. En los a„os 70 se produce un gran crecimiento de la bibliograf‚a as‚ como la extensi•n del m€todo a otros problemas como los no lineales. En esta d€cada, el MEF estaba limitado a caros ordenadores centrales generalmente pose‚do por las industrias aeronƒuticas, de automoci•n, de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de elementos y se sientan las bases matemƒticas rigurosas del m€todo, que hab‚a aparecido antes mƒs como t€cnica de la ingenier‚a que como m€todo num€rico de la matemƒtica. A partir de 1980 Por …ltimo, a partir de la d€cada de los 80, con la generalizaci•n de los ordenadores personales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurƒndose el uso de pre y postprocesadores grƒficos que realizan el mallado y la representaci•n grƒfica de los resultados. Se contin…a en el estudio de la aplicaci•n del m€todo a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, da„o continuo, etc.) y en el anƒlisis de los errores. En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEF comparte protagonismo con el m€todo matricial, siendo muchos los programas que mezclan el anƒlisis por ambos m€todos, debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria que requiere el anƒlisis por elementos finitos. As‚ se ha dejado la aplicaci•n del MEF para el anƒlisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los p•rticos siguen todav‚a discretizƒndose en barras y utilizando el m€todo matricial. Y desde el rƒpido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de cƒlculo, el MEF ha desarrollado una incre‚ble precisi•n. A d‚a de hoy, los superordenadores son capaces de dar resultados exactos para todo tipo de parƒmetros.

Descripci•n matemƒtica del m€todo El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas: 1. El problema debe reformularse en forma variacional. 2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para problemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una partici•n en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partici•n anterior se construye un espacio vectorial de dimensi•n finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la soluci•n num€rica aproximada obtenida por elementos finitos una combinaci•n lineal en dicho espacio vectorial.

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3. Se obtiene la proyecci•n del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partici•n. Esto da lugar a un sistema con un n…mero de ecuaciones finito, aunque en general con un n…mero elevado de ecuaciones inc•gnitas. El n…mero de inc•gnitas serƒ igual a la dimensi•n del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensi•n tanto mejor serƒ la aproximaci•n num€rica obtenida. 4. El …ltimo paso es el cƒlculo num€rico de la soluci•n del sistema de ecuaciones. Los pasos anteriores permiten construir un problema de cƒlculo diferencial en un problema de ƒlgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensi•n no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyecci•n sobre un subespacio de dimensi•n finita, y por tanto con un n…mero finito de ecuaciones (aunque en general el n…mero de ecuaciones serƒ elevado t‚picamente de miles o incluso centenares de miles). La discretizaci•n en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyecci•n sencillo, logrando ademƒs que la soluci•n por el m€todo de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los v€rtices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resoluci•n concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los m€todos convencionales del ƒlgebra lineal en espacios de dimensi•n finita. En lo que sigue d es la dimensi•n del dominio, n el n…mero de elementos finitos y N el n…mero de nodos total. Formulaci•n d€bil La formulaci•n d€bil de una ecuaci•n diferencial permite convertir un problema de cƒlculo diferencial formulado en t€rmino de ecuaciones diferenciales en t€rminos de un problema de ƒlgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensi•n no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas. Dada una ecuaci•n diferencial lineal de la forma: (1) Donde la soluci•n es una cierta funci•n definida sobre un dominio d -dimensional , y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la funci•n buscada es un elemento de un espacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuaci•n (2) es equivalente a: (2a)

Donde V ' es el espacio dual de V , la forma variacional d€bil se obtiene buscando la …nica soluci•n

tal que:

(2b)

Cuando el operador lineal es un operador el‚ptico, el problema se puede plantear como un problema de minimizaci•n sobre el espacio de Banach.


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Discretizaci•n del dominio Dado un dominio

con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una partici•n en n "elementos finitos", es una colecci•n de n subdominios que satisfece: 1. 2. Cada 3.

es un conjunto compacto con una frontera Lipschitz-continua.

Usualmente por conveniencia prƒctica y sencillez de anƒlisis, todos los "elementos finitos" tienen la misma "forma", es decir, existe un dominio de referencia y una colecci•n de funciones biyectivas: Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente tambi€n dominio isoparam€trico. En los anƒlisis 2D (d = 2) el dominio de referencia se suele tomar como un triƒngulo equilƒtero o un cuadrado, mientras que en los anƒlisis 3D ( d = 3), el dominio de referencia t‚picamente es un tetraedro o un hexaedro. Ademƒs sobre cada elemento se considerarƒn algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirƒn los v€rtices del elemento finito y se requerirƒ la condici•n adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre el subconjunto , es decir: Una vez definida la partici•n en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensi•n finito, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servirƒ para aproximar localmente la soluci•n del problema variacional. El problema variacional en su forma d€bil se plantea sobre un espacio de dimensi•n no-finita, y por tanto la funci•n buscada serƒ una funci•n de dicho espacio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, as‚ que en la prƒctica se considerarƒ un subespacio de dimensi•n finita del espacio vectorial original . Y en lugar de la soluci•n exacta de (2b) se calcula la proyecci•n de la soluci•n original sobre dicho subespacio vectorial de dimensi•n finita, es decir, se resolverƒ num€ricamente el siguiente problema: (2c) Donde: , es la soluci•n aproximada. es el proyector ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial asociado a la discretiaci•n. Si la discretizaci•n es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento estƒ bien escogido, la soluci•n num€rica obtenida aproximarƒ razonablemente bien la soluci•n original. Eso implicarƒ en general considerar un n…mero muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyecci•n de dimensi•n elevada. El error entre la soluci•n exacta y la soluci•n aproximada puede acotarse gracias al lema de Ceƒ, que en esencia afirma que la soluci•n exacta y la soluci•n aproximada satisfacen: (LC)

Es decir, el error dependerƒ ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado a la discretizaci•n en elementos fintios aproxime el espacio vectorial original .

M€todo de los elementos finitos Funciones de forma y espacio de la soluci•n Existen muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar la soluci•n exacta del problema. Desde un punto de vista prƒctico resulta …til definir un espacio vectorial de dimensi•n finita definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de grado igual o inferior a cierto grado: Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espacio vectorial que servirƒ para aproximar la soluci•n como: (3) Cuando es una funci•n lineal y el espacio estƒ formado por polinomios entonces la restricci•n de es tambi€n un polinomio. El espacio vectorial es un espacio polin•mico en que la base de dicho espacio estƒ formada por funciones de forma , que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:

Esto permite definir de manera un‚voca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema: Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una partici•n de todo el dominio: Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier funci•n definida sobre el dominio original mediante el proyector : (4)

Resoluci•n de las ecuaciones Fijada una base asociada a una determinada discretizaci•n del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones la forma d€bil del problema (, cuando la funci•n es bilineal) puede escribirse como una ecuaci•n matricial simple:

Donde N es el n…mero de nodos. Agrupando los t€rminos y teniendo en cuenta que v^h es arbitario y que por tanto la ecuaci•n anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario se tiene que: (5)

Este es la forma com…n del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuaci•n diferencial lineal, no dependiente del tiempo. Esta …ltima forma es precisamente la forma (*) de la rese„a hist•rica. Para resolver num€ricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles

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de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el n…mero de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria. En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resoluci•n num€rica son: 1. El cƒlculo de la matriz de coeficientes

, esto generalmente requiere integraci•n num€rica aproximada

lo cual es una nueva fuente de errores en el cƒlculo por el MEF. 2. El uso de un m€todo eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por ejemplo el m€todo de Cramer es totalmente impracticable para , un ordenador de unos 10 GFlops tardar‚a mƒs de 2 a„os en resolver el sistema por dicho m€todo, mientras que si se usa el m€todo de eliminaci•n gaussiana tardar‚a menos de una diez mil€sima de segundo. Para entender la necesidad de la integraci•n num€rica necesitamos ver qu€ forma tiene t‚picamente la forma d€bil del problema, expresada en t€rminos de los subdominios o elementos finitos. Esa forma d€bil involucra integrales de la forma:

Donde: son el domino sobre el que se plantea el problema. , representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio isoparam€trico que da la forma de los elementos finitos. , representan la funci•n que debe integrarse y su expresi•n sobre el dominio isoparam€trico. , la aplicaci•n que relaciona el dominio isoparam€trico con cada elemento finito. , son los pesos y los puntos de integraci•n usados para integraci•n gaussiana. , son el n…mero total de elementos y el n…mero de puntos de integraci•n por elemento. Aproximaci•n del error De acuerdo con el lema de Ceƒ (LC) el error cometido en la aproximaci•n de una soluci•n exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de aproximaci•n, es decir, la soluci•n obtenida mediante el MEF es, tanto mƒs buena cuanto mejor sea la aproximaci•n . Dado que el error de aproximaci•n depende crucialmente del tama„o de los elementos, cuanto mayor sea su n…mero a igualdad de otros factores tanto menor serƒ el error de aproximaci•n. A continuaci•n acotamos este error de aproximaci•n que acotarƒ el error de la soluci•n de elementos finitos. Para ello necesitamos definir el diƒmetro de cada subdominio o elemento finito:

es un medida de la finura de la discretizaci•n es el mƒximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que el error de aproximaci•n (y por tanto el error de la soluci•n mediante elementos finitos) viene acotada por: h

(AE) Donde: , son respectivamente la soluci•n exacta y la soluci•n obtenida mediante elementos finitos. , es un n…mero real que depende de la forma del dominio, entre otros factores. , es el k +1-€simo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio , es la seminorma dada por:

.


siendo

un multi‚ndice y

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la derivada parcial de u asociada al mismo. La norma del espacio L 2(‰).

„C•mo trabaja el MEF en la prƒctica? El MEF es un m€todo num€rico de resoluci•n de ecuaciones diferenciales. La soluci•n obtenida por MEF es s•lo aproximada, coincidiendo con la soluci•n exacta s•lo en un n…mero finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la soluci•n aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la soluci•n sea s•lo aproximada debido a ese …ltimo paso. El MEF convierte un problema definido en t€rminos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un n…mero de finito de puntos e interpola posteriormente la soluci•n al resto del dominio, resultando finalmente s•lo una soluci•n aproximada. El conjunto de puntos donde la soluci•n es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por ret‚culos. Cada uno de los ret‚culos contenidos en dicha malla es un "elemento finito". El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, vol…menes y barras). Desde el punto de vista de la programaci•n algor‚tmica modular las tareas necearias para llevar a cabo un cƒlculo mediante un programa MEF se dividen en: Š Preproceso, que consiste en la definici•n de geometr‚a, generaci•n de la malla, las condiciones de contorno y asignaci•n de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosm€ticas de regularizaci•n de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximaci•n o una mejor convergencia del cƒlculo. Š Cƒlculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N inc•gnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resoluci•n de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cƒlculo consiste en una sucesi•n finita de sistemas de N ecuaciones y N inc•gnitas que deben resolverse uno a continuaci•n de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior. Š Postproceso, el cƒlculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretizaci•n, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolaci•n e incluso determinaci•n de errores de aproximaci•n. Preproceso y generaci•n de la malla La malla se genera y €sta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de puntos. La informaci•n sobre las propiedades del material y otras caracter‚sticas del problema se almacena junto con la informaci•n que describe la malla. Por otro lado las fuerzas, los flujos t€rmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensi•n mecƒnica u otra propiedad. Las regiones que recibirƒn gran cantidad de tensi•n tienen normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de inter€s consisten en: puntos de fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y ƒreas de elevada tensi•n. La malla act…a como la red de una ara„a en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios elementos. Las tareas asignadas al preproceso son: 1. El continuo se divide, mediante l‚neas o superficies imaginarias en un n…mero de elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informƒticos de mallado durante la etapa de preproceso.

M€todo de los elementos finitos 2. Se supone que los elementos estƒn conectados entre s‚ mediante un n…mero discreto de puntos o •nodos‚, situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serƒn las inc•gnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el anƒlisis simple de estructuras por el m€todo matricial. 3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera …nica el campo de desplazamientos dentro de cada •elemento finito‚ en funci•n de los desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podr‚a venir definido por: u = N 1u1 + N 2u2, siendo N 1 y N 2 las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2. 4. Estas funciones de desplazamientos definirƒn entonces de manera …nica el estado de deformaci•n del elemento en funci•n de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirƒn a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos. 5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando as‚ una relaci•n entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = K€u, que como vemos es similar a la del cƒlculo matricial. Cƒlculo y resoluci•n de sistemas de ecuaciones En un problema mecƒnico lineal no-dependientes del tiempo, como un problema de anƒlisis estructural estƒtico o un problema elƒstico, el cƒlculo generalmente se reduce a obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito. Cuando el problema es no-lineal en general la aplicaci•n de las fuerzas requiere la aplicaci•n incremental de las fuerzas y considerar incrementos num€ricos, y calcular en cada incremento algunas magnitudes referidas a los nodos. Algo similar sucede con los problemas dependientes del tiempo, para los que se considera una sucesi•n de instantes, en general bastante cercanos en el tiempo, y se considera el equilibrio instantƒneo en cada instante. En general estos dos …ltimos tipos de problemas requieren un tiempo de cƒlculo subtancialmente mƒs elevado que en un problema estacionario y lineal. Postproceso Actualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos mƒs comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultados obtenidos del la resoluci•n del sistema son tratados, para obtener representaci•n grƒficas y obtener magnitudes derivadas, que permitan extraer conclusiones del problema. El post-proceso del MEF generalmente requiere software adicional para organizar los datos de salida, de tal manera que sea mƒs fƒcilmente comprensible el resultado y permita decidir si ciertas consecuencias del problema son o no aceptables. En el cƒlculo de estructuras por ejemplo, el post-proceso puede incluir comprobaciones adicionales de si una estructura cumple los requisitos de las normas pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, o existe la posibilidad de pandeo en la estructura.

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M€todo de los elementos finitos Problemas termomecƒnicos Un amplio rango de funciones objetivo (variables con el sistema) estƒn disponibles para la minimizaci•n • la maximizaci•n: Š Š Š Š

Masa, volumen, temperatura Energ‚a tensional, esfuerzo tensional Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleraci•n Sint€tica (definidas por el usuario)

Hay m…ltiples condiciones de carga que se pueden aplicar al sistema. Algunos ejemplos son: Š Š Š Š Š

Puntuales, presi•n, t€rmicas, gravedad, y cargas centr‚fugas estƒticas Cargas t€rmicas de soluciones del anƒlisis de transmisi•n de calor Desplazamientos forzados Flujo de calor y convenci•n Puntuales, de presi•n, y cargas de gravedad dinƒmicas

Cada programa MEF puede venir con una biblioteca de elementos, o una que es constru‚da con el tiempo. Algunos ejemplos de elementos son: Š Š Š Š Š Š Š Š Š

Elementos tipo barra Elementos tipo viga Placa/Cƒscara/Elementos compuestos Panel de sƒndwich Elementos s•lidos Elementos tipo muelle Elementos de masa Elementos r‚gidos Elementos amortiguadores viscosos

Muchos programas MEF tambi€n estƒn equipados con la capacidad de usar m…ltiples materiales en la estructura, como: Š Š Š Š

Modelos elƒsticos isotr•picos / ortotr•picos / anis•tropicos generales Materiales homog€neos / heterog€neos Modelos de plasticidad Modelos viscosos

Tipos de anƒlisis ingenieriles El programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones plƒsticas. Los sistemas no lineales toman en cuenta las deformaciones plƒsticas, y algunos incluso son capaces de verificar si se presentar‚a fractura en el material. Algunos tipos de anƒlisis ingenieriles comunes que usan el m€todo de los elementos finitos son: Š Anƒlisis estƒtico se emplea cuando la estructura estƒ sometida a acciones estƒticas, es decir, no dependientes del tiempo. Š Anƒlisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo. Š Anƒlisis de fatiga ayuda a los dise„adores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el especimen. Este anƒlisis puede mostrar las ƒreas donde es mƒs probable que se presente una grieta. El anƒlisis por fatiga puede tambi€n predecir la tolerancia al fallo del material.

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M€todo de los elementos finitos Los modelos de anƒlisis de transferencia de calor por conductividad o por dinƒmicas t€rmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades t€rmicas en el material que tiene una difusi•n lineal de calor. Resultados del MEF El MEF se ha vuelto una soluci•n para la tarea de predecir los fallos debidos a tensiones desconocidas ense„ando los problemas de la distribuci•n de tensiones en el material y permitiendo a los dise„adores ver todas las tensiones involucradas. Este m€todo de dise„o y prueba del producto es mejor al ensayo y error en donde hay que mantener costos de manufactura asociados a la construcci•n de cada ejemplar para las pruebas. Las grandes ventajas del cƒlculo por ordenador se pueden resumir en: Š Hace posible el cƒlculo de estructuras que, bien por el gran n…mero de operaciones que su resoluci•n presenta (entramados de muchos pisos, por ejemplo) o por lo tedioso de las mismas (entramados espaciales, por ejemplo) las cuales eran, en la prƒctica, inabordables mediante el cƒlculo manual. Š En la mayor‚a de los casos reduce a l‚mites despreciables el riesgo de errores operativos. MEF de Orden Superior Los …ltimos avances en este campo indican que su futuro estƒ en m€todos de adaptaci•n de orden superior, que responde satisfactoriamente a la creciente complejidad de las simulaciones de ingenier‚a y satisface la tendencia general la resoluci•n simultƒnea de los fen•menos con m…ltiples escalas. Entre las diversas estrategias de adaptaci•n para los elementos finitos, los mejores resultados se pueden lograr con la hp-adaptabilidad . La adaptatividad orientada a un objetivo esta basada en la adaptaci•n de la malla de elementos finitos, con el objetivo de mejorar la resoluci•n en una cantidad espec‚fica de inter€s (en lugar de reducir al m‚nimo el error de la aproximaci•n en alguna norma global), y la hp-adaptabilidad se basa en la combinaci•n de refinamientos espaciales ( h-adaptabilidad ), con una variaci•n simultƒnea del orden del polinomio de aproximaci•n ( p-adaptabilidad ). Existen ejemplos donde la 'hp-adaptabilidad' result• ser la …nica manera de resolver el problema en un nivel requerido de exactitud. Limitaciones En general el MEF tal como se usa actualmente tiene algunas limitaciones: Š El MEF calcula soluciones num€ricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de entrada, no puede hacerse un anƒlisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como variarƒ la soluci•n si alguno de los parƒmetros se altera ligeramente. Es decir, proporciona s•lo respuestas num€ricas cuantitativas concretas no relaciones cualitativas generales. Š El MEF proporciona una soluci•n aproximada cuyo margen de error en general es desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error de la soluci•n, debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el m€todo, los problemas no-lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error. Š En el MEF la mayor‚a de aplicaciones prƒcticas requiere mucho tiempo para ajustar detalles de la geometr‚a, existiendo frecuentemente problemas de mal condicionamiento de las mallas, desigual grado de convergencia de la soluci•n aproximada hacia la soluci•n exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulaci•n requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometr‚as simplificadas o casos menos generales que el que finalmente pretende simularse, antes de empezar a lograr resultados satisfactorios.

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M€todo impl…cito y m€todo expl…cito En problemas dinƒmicos, donde las magnitudes cambian a lo largo del tiempo, existen diversos m€todos para integrar en el tiempo. En ambos m€todos se discretiza el tiempo, por lo que se considera la soluci•n s•lo para un cierto n…mero de instantes (para el resto de valores del tiempo se pued interpolar la soluci•n por intervalos). La diferencia entre un instante en el que se busca la soluci•n y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dos principales variantes del cƒlculo por FEM son: Š M€todo impl‚cito, que requieren resolver a cada paso de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pueden usarse pasos de tiempo mƒs largos. Š M€todo expl‚ctio, que no requieren resolver un sistema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque debido a que la convergencia no siempre estƒ asegurada el paso de tiempo debe escogerse convenientemente peque„o. El m€todo impl…cito Estos cƒlculos suelen usarse para el cƒclulo de rigidez (aunque aveces tambi€n se pueden calcular en dinƒmico). Entre los m€todos impl‚citos algunos son incondicionalmente convergentes (no divergen exponencialmente de la soluci•n exacta) s•lo para cierta elecci•n fija de los parƒmetros del m€todo. Los cƒlculos por el m€todo impl‚cito (o semi-impl‚cito a la parte mƒs r‚gida del sistema) requieren mucho mƒs tiempo de computaci•n para dar un paso en el tiempo, ya que deben invertir una matriz de tama„o muy grande, por esto, se suelen emplear m€todos de intereaci•n, en vez de m€todos directos. En compensaci•n, se pueden usar pasos de tiempo mucho mƒs grandes ya que son estables. El m€todo expl…cito Un m€todo expl‚cito es el que no requiere la resoluci•n de un sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiempo. En estos cƒlculos se realiza una simulaci•n con modificaci•n de la malla a lo largo del tiempo. En general los m€todos expl‚citos requieren menor tiempo de computaci•n que los m€todos impl‚citos aunque frecuentemente presentan el problema de no ser incondicionalmente convergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempo mƒximo para que la computaci•n sea num€ricamente estable. Los m€todos expl‚citos suelen ser condicionalmente convergentes pero no incondicionalmente convergentes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema de diferencias finitas debe ser menor que cierto valor:

Siendo

las frecuencias propias del sistema.

Se estƒrealizando un cƒlculo expl‚cito, se estƒ realizando un anƒlisis dinƒmico del mecanismo u estructura, en el que suele haber pasos de tiempo muy cortos para que sea estable, aunue se puede lograr una alta precisi•n para sistemas dinƒmicos. En los elementos finitos expl‚citos es preferible el uso de elementos sencillos, como cuadrilƒteros con un punto de integraci•n y estabilizaci•n frente a modos de energ‚a nula, frente a elementos de orden superior. Los m€todos expl‚citos encuentran su campo de aplicaci•n •ptimo en problemas de dinƒmica rƒpida, en los que se producen fuertes no linealidades y el empleo de intervalos de tiempo peque„os pasa a ser una necesidad. Una ventaja importante del m€todo expl‚cito es la resoluci•n de las ecuaciones a nivel exclusivamente local, sin plantear en ning…n momento sistemas de ecuaciones globales acopladas. Esto permite el uso de algoritmos elemento por elemento, que facilitan el cƒlculo en paralelo. Planteados como m€todos de relajaci•n dinƒmica o relajaci•n viscosa, se enmarcan junto con m€todos iterativos de resoluci•n de ecuaciones no lineales, como los m€todos de relajaci•n de Gauss-Seidel, o gradiente conjugado precondicionado con t€cnicas de elemento por elemento. Siendo muy interesante para el cƒlculo en paralelo.

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Referencia [1] Turner, M., R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp, "Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structuures", J. Aeronautical Science 23 (9), pp. 805-823, Septiembre de 1956

Bibliograf…a Š K. J. Bathe (1995): "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 2nd edition. Š P. G. Ciarlet (1978): The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, ‹msterdam, 1978. Š P. G. Ciarlet (1991): "Basic error estimates for elliptic problems" en Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions y P. G. Ciarlet (ed.), North-Holland, ‹msterdam, 1991, p. 17-351. Enlaces externos Š A 3D-Model for Computer Simulation of Atrial Electrophysiology (http:/ / www.stormingmedia.us/ 65/ 6599/ A659904.html?categoryID=187&categoryPageCount=&addToCart=1) Š M€todo elementos finitos, cap‚tulo de un libro (http:/ / matematicas.uclm.es/ ind-cr/ metnum/ files/ efinitos.pdf) Š PETSc-FEM: A General Purpose, Parallel, Multi-Physics FEM Program (http:/ / www.cimec.org.ar/ petscfem) Š Se pueden encontrar algunos ejemplos de post-procesado en MEF en AeroMech (http:/ / www.aeromechsupport. nl) Š Elementos Finitos programados en Matlab alto orden Dimensi•n 1 (http:/ / math.uprm.edu/ ~isnar_an/ 01-05-2010/ pde_nume/ hw1.pdf) Š Elementos Finitos programados en C++ orden 1 Dimensi•n 2 (http:/ / math.uprm.edu/ ~isnar_an/ 01-05-2010/ pde_nume/ hw2.pdf) Programas para elementos finitos Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š

Abaqus Flux Cosmos Staad.pro Catia v5 Cype Dlubal RFEM (http:/ / www.dlubal.com/ es) Sap2000 Algor HKS/Abaqus/Simulia ANSYS CAELinux Elmer FEAP Phase2 Nastran Stampack I-deas Femap Pro/ENGINEER Mechanica Elas2D Comsol (http:/ / en.wikipedia.org/ wiki/ COMSOL_Multiphysics) Castem

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M€todo de los elementos finitos Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š

SolidWorks SOFiSTiK (http:/ / www.sofistik.com/ ) FreeFem OpenFEM OpenFlower OpenFOAM Calculix Tochnog Gmsh-GetDP Z88 CYMECAP Architrave

Enlaces externos Š Analisis de un desv‚o de Ferrocarril por el M€todo de los Elementos Finitos (Proyecto fin de carrera de Ingenier‚a Mecƒnica de la Universidad de Oviedo) (http:/ / www.docstoc.com/ docs/ 104986585/ Analisis-de-un-desvio-de-ferrocaril-FEM), Portada (http:/ / www.docstoc.com/ docs/ 104988070/ portada-proyecto-def), Anexo (http:/ / www.docstoc.com/ docs/ 104998809/ Anexo). Š Principales programas de FEM: Ansys (http:/ / www.ansys.com/ ) y Abaqus (http:/ / www.cecalc.ula.ve/ documentacion/ tutoriales/ abaqus/ introduccion_abaqus.pdf).

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Fuentes y contribuyentes del art‚culo

Fuentes y contribuyentes del art…culo M€todo de los elementos finitos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=61376256 Contribuyentes: A martindiaz, Ascƒnder,

Boatbadly, Cuat, Cucharro, Danit, Davius, DoN vErDuGo, Egaida, Felipe Raimann, Felipebm, GermanX, Il f oco, Ingenioso Hidalgo, Integral triple, Isnardo.arenas, Juanjo.it.ab, Mel 23, Nicoguaro, Oxilium, Paintman, P•lux, Rafael.heras, Ricar256, SPQRes, SchmidtCristian, Sim•nK, Tabeissan, Tano4595, Technopat, Tehelado, Tortillovsky, 121 ediciones an•nimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:FEM example of 2D solution.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FEM_example_of_2D_solution.png Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Zureks Archivo:Example of 2D mesh.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Example_of_2D_mesh.png Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Zureks Archivo:Finite element method 1D illustration1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Finite_element_method_1D_illustration1.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Adam majewski, Christian1985, Jahobr, Joelholdsworth, Krishnavedala, Maksim, WikipediaMaster Archivo:Piecewise linear function2D.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Piecewise_linear_function2D.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Oleg

Alexandrov

Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

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Elemento Finito

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