Lorenzo Peña
INTRODUCCIÓN A LAS LÓGICAS NO CLÁSICAS México: UNAM, 1993 ISBN 968-36-3451-6.
A mi apreciado colega, el Profesor Emilio Emilio Terzaga, Terzaga, en testimonio de estima y amistad
A mi apreciado colega, el Profesor Emilio Emilio Terzaga, Terzaga, en testimonio de estima y amistad
Lorenzo Peña. Introducción a las lógicas no-clásicas. ISBN 968-36-3451-6
(9) p⊃r ∧(q⊃s)∧(p∨q)⊃.r ∨s (8), A157 A201 (9), A121 A201/2 p∨q∧(p⊃s∧.q⊃s)⊃s Prueba: A201, A112 A201/3 p∨q∧(p⊃r)⊃.r ∨q A201/4 p∨q∧(q⊃r)⊃.p∨r A202 p⊃q⊃.q⊃p⊃.p≡q Prueba: A135, df07 A203 pIq∧(qIr)⊃.pIr Prueba: (2) pIq⊃.pIrI.qIr A200 pIq⊃.qIr ⊃.pIr A10 A203 (2), A157 A204 pIq∧(pIr)⊃.qIr Prueba: A203, A103 A205 p→q∧(q→p)⊃.pIq Prueba: (2) p∧qIp∧(p∧qIq)⊃.pIq A204 A205 (2), A121, df04 A206 pIq⊃.p→q∧.q→p Prueba: (2) pIq⊃.p∧pI.p∧q A200 pIq⊃.pI.p∧q A03 pIq⊃.p∧qIp A103 (3) pIq⊃.q∧pIq similarmente 2∧3⊃]A206 A150, df04 A207 p→q∧(q→p)≡.pIq Prueba: A205, A206, A202 A208 p→q≡.p∨qIp Prueba: (2) p∧qIp⊃.p∧q∨qI.p∨q A200 p∧qIp⊃.qI.p∨q A134, A121 p∧qIp⊃.p∨qIq A103 (3) p∨qIq⊃.p∨q∧pI.q∧p A200 p∧qIq⊃.pI.q∧p A04 p∧qIq⊃.pI.p∧q A121 p∧qIq⊃.p∧qIp A103 2⊃.3⊃.]A208 A202, df04 A209 p→q≡.Nq→Np Prueba: (2) p∧qIp⊃.p∨qIq A208, A12, df07, df04 p∧qIp⊃.Np∧NqINq A108, A132 p∧qIp⊃.Nq∧NpINq A121 (3) Nq∧NpINq⊃.NNp∧NNqINNp similarmente Nq∧NpINq⊃.p∧qIp A102 2⊃.3⊃.]A209 A202, df04
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p→q : «Sucede que p a lo sumo en la medida en que sucede que q» ≈ «El hecho de que p implica el hecho de que q» ≈ «[Por lo menos] en tanto en cuanto es [o sea] verdad que p, q»; p\q : «Es menos cierto que p que (que) q» ≈ «Es más cierto que q que (que) p»; p⊃q :«psólosiq» ≈ «Sucede que p contal de que también suceda que q» ≈ «Si p, entonces q» ≈ «El hecho de que p entraña el hecho de que q»; p≡q : «p ssi q» ≈ «El hecho de que p y el hecho de que q se entrañan mutuamente; Hp : «Esenteramenteciertoque p» ≈ «Esciento por cientoverdadque p» ≈ «Es plenamente (cabalmente, completamente) cierto que p»; p&q : «Sucediendo que p, q» ≈ «p y, sobre todo, q»; p√q : «Es cabalmente cierto que p, a menos que q»; —p : «Es más o menos falso que p» ≈ «No es enteramente cierto que p»; ‘0’: ‘Lo absolutamente falso’ ≈ ‘Lo absolutamente irreal’; ‘1’: ‘Lo absolutamente verdadero’ ≈ ‘Lo absolutamente real’; ‘a’: ‘Lo innitesimalmentereal’ ≈ ‘Lo innitesimalmenteverdadero’ ≈ ‘Elgrado mínimo( ≈ínmo) de verdad (de realidad)’; ‘ ’: ‘Lo igualmente verdadero que falso’ ≈ ‘Lo tan real como irreal’.
EL SISTEMA AT Reglas de formación 1.— Si p y q son fbfs, también lo son ¬p , Np , p∧q y pIq . 2.— ‘a’ es una fbf. Deniciones (Ya se sabe que una denición es una mera abreviación: la expresión que se halla entre esquinas a la izquierda abrevia a la que se halla —también entre esquinas— a la derecha, estando unidas ambas por el signo sintáctico o metalingüístico ‘abr’): df02 p∨q
abr
N(Np ∧Nq
df03 p⊃q abr
¬p∨q
df04 p→q
abr
p∧qIp
df05 0
¬a∧a
df06 1
abr
N0
df07 p ≡q abr
p⊃q∧.q⊃p
df08 Lp
abr ¬¬p
df09 Sp
p ∧Np
df10 Hp
abr ¬Np
df11 p&q abr
N(p ⊃Nq)
df12 p√q
abr
N (Np&Nq)
df14
aIa
df13 —p
abr
LNp
Esquemas axiomáticos de At A01 pIq⊃.¬pI¬q A02 pIq⊃.rIqI.pIr A03 p∧pIp A04 p∨q∧pIp
abr
abr
abr
A05 pIq⊃.p∧r ∧sI.q∧.r ∧s A06 q∨r ∧pI.p∧q∨.p∧r A07 ¬p∨¬qI¬(p∧q)
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(6) q∧r ∧1I.q∧r A118 (7) q∧(r ∧1)I.q∧r (5), (6), rinf15 p∧rI.q∧r (3), (7), rinf15 rinf17 pIq p∨rI.q∨r Derivación: hip: pIq (2) NpINq hip, A109, rinf13 (3) Np∧NrI.Nq∧Nr (2), rinf16 p∨rI.q∨r (3), A110, df02, rinf01 rinf18 pIq q∧rI.p∧r (Derivación: rinf11, rinf16) rinf19 pIq q∨rI.p∨r (Derivación: rinf11, rinf17) rinf20 pIq r∧ pI.r ∧q Derivación: hip: pIq (2) p∧rI.q∧r hip, rinf16 (3) q∧rI.p∧r hip, rinf18 (4) q∧rI.r ∧q A121 (5) r ∧pI.p∧r A121 (6) r ∧pI.q∧r (5), (2), rinf15 r ∧pI.r ∧q (6), (4), rinf15 rinf21 pIq r∨ pI.r ∨q (Derivación similar a la de rinf20, utilizando A122 en vez de A121, rinf17 en vez de rinf16, y rinf19 en vez de rinf18) rinf22 p , q p∧q Derivación: hip1ª p hip2ª q (2) q⊃.p∧q hip1ª, A135, rinf01 p∧q (2), hip2ª, rinf01 rinf23 pIq p⊃rI.q⊃r Derivación: hip. pIq (2) ¬pI¬q hip, A01, rinf01 (3) ¬p∨rI.¬q∨r (2), rinf17 p⊃rI.q⊃r (3), df03 rinf24 pIp , p Ip , p Ip , …, p - Ip pIp Derivación: hip1ª pIp hip2ª p Ip hip3ª p Ip .
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A177 p⊃q⊃.r ∨p⊃.r ∨q A178 p∨q⊃.r ⊃.r ∧p∨.r ∧q Prueba: p∨q⊃.r ⊃.p∨q p∨q⊃.r ⊃.r ∧.p∨q p∨q⊃.r ⊃.r ∧p∨.r ∧q A179 p⊃q⊃.r ⊃s⊃.p∧r ⊃.q∧s Prueba: (2) ¬¬p∨¬p∨.¬¬r ∧¬s∨¬r ∨.q∧s (3) ¬q∨q∨.¬¬r ∧¬s∨¬p∨¬r (4) ¬¬r ∨¬r ∨.¬p∨s∨¬q (5) ¬s∨s∨.¬q∨¬p∨¬r (6) ¬q∨(¬¬r ∧¬s)∨¬p∨¬r ∨s (7) ¬q∨(¬¬r ∧¬s)∨¬p∨¬r ∨.q∧s (8) ¬¬p∧¬q∨.¬¬r ∧¬s∨.¬p∨¬r ∨.q∧s (9) ¬(¬p∨q)∨.¬(¬r ∨s)∨.¬(p∧r)∨.q∧s A179 A180 Lp⊃p Prueba: (2) NN¬p∨p (3) N¬¬p∨p (4) ¬¬¬p∨p Lp⊃p A181 r ⊃s⊃.p⊃(s⊃q)⊃.p⊃.r ⊃q Prueba: r ⊃s⊃.s⊃q⊃.r ⊃q r ⊃s⊃.p⊃(s⊃q)⊃.p⊃.r ⊃q A182 p⊃¬q⊃.q⊃¬p Prueba: p⊃¬q⊃.¬¬q⊃¬p p⊃¬q⊃.q⊃¬p A183 p⊃(q∧r)⊃.p⊃q Prueba: (2) q∧r ⊃q p⊃(q∧r)⊃.p⊃q A184 p⊃(q∧r)⊃.p⊃r A185 p⊃(p∧q)⊃.p⊃q
Prueba: A176, A122
A144 A167 A136
A143 A143 A143 A143 (4), (5), A122, A133, A137 (3), (6), id. (2), (7), id. (8), A07, A08 (9), df03
A114, A102 (2). A09 (3), A09 (4), df03, df08
A152 A153
A172 A174, A153, df08
A12 A153, (2) A186 p⊃(q∧p)⊃.p⊃q
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Lore Lo renz nzo o Pe Peña ña.. In Intr trod oduc ucci ción ón a la lass ló lógi gica cass no no-c -clá lási sica cas. s. IS ISBN BN 96 9688-36 36-3 -345 4511-6 6
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De ahor ahora a en ade adelant lante, e, haciendo endo un uso usoimp implícit lícito o de rinf rinf27, 27,pod podrem remos os escr escribir ibir,, si son sonteor teorema emass ya demostrado demostradoss las fórmula fórmulass q⊃r , r ⊃s , s⊃s , s ⊃s , s ⊃s , …, s - ⊃s , y si si,, en en una línea línea,, se ha probad probado o p ⊃q , lo siguiente: (m) p⊃q p⊃r p⊃s p⊃s p⊃s p⊃s . . . p⊃s Y en lo suce sucesiv sivo, o, (m (m)) ser será á un no nomb mbre re de de p ⊃s . Otro procedimiento procedimiento que utilizaremos utilizaremos será el siguiente. siguiente. Si tenemos un teorema p ⊃q y si se dem demues uestraen traen unalínea p , ent entonc onces es escr escribir ibiremo emoss —ha —hacie ciendoun ndoun usoimplíc usoimplícitode itode rin rinf01 f01—: —: (m) p⊃]q Y, en adelant adelante, e, (m) será un un nombre nombre de la fórmula fórmula q . Generalizand Generalizando o el proced procedimiento, imiento, supo su pong ngam amos os qu que e se ha pr prob obad ado: o: p , p , p … p - ; y supongamos también que se prueba: p⊃.p ⊃.p ⊃. … ⊃.p - 1⊃p Haciendo n pasos del procedim procedimiento iento abreviatorio susodicho, tendríamos: tendríamos: p⊃.]p ⊃ .]p ⊃.]p ⊃.] … ⊃.]p - ⊃]p Pues bien, abreviaremos la sucesión de esos n pasos, escribiendo: p⊃.p ⊃.p ⊃.p ⊃. … p - ⊃]p Y, en en lo lo suces sucesivo, ivo, (m) ser será á el el nomb nombre re de la fórm fórmula ula p . Estoss pro Esto proced cedimie imiento ntoss se comb combina inarán rán con el ant anterio erior, r, fund fundién iéndose doseen en uno solo cuan cuando do sea conveniente. A154 p⊃.q⊃r ⊃.q⊃.r ∧p Prueba: (2) ¬p∨p∨.¬q∨¬r A143 (3) ¬r ∨r ∨.¬p∨¬q A143 (4) ¬¬q∨¬q∨.¬p∨.r ∧p A143 (5)) 3∧2 (5 (3), (2) ∨¬p∨¬q∧.¬p∨p∨¬q∨¬r (6) ¬r ∨r ∨¬ (5), A133 (7) ¬p∨¬q∨¬r ∨r ∧.¬p∨¬q∨¬r ∨p (6), A122, A133 (8) ¬p∨¬q∨¬r ∨.r ∧p (7), A137 (9) ¬p∨¬q∨(r ∧p)∨¬r (8), A122, A133 (22) ¬p∨¬q∨(r ∧p)∨¬¬q (4), A122, A133 (23) (2 3) 9∧22 (9), (22) (24) ¬p∨.¬¬q∧¬r ∨.¬q∨.r ∧p (23), A137, A122, A133
Lore Lo renz nzo o Pe Peña ña.. In Intr trod oduc ucci ción ón a la lass ló lógi gica cass no no-c -clá lási sica cas. s. IS ISBN BN 96 9688-36 36-3 -345 4511-6 6
A102 pINNp Prueba: (2) pINN pINNpI.N pI.NpINp pINp A11 A1 1 (3) NpIN NpINpC.p pC.pINNp INNp (2), A10, rinf01 (4)) NpI (4 NpINp Np A101 pINNp (3), (4), rinf01 A103 pIqI.qIp Prueba: (2)) qIq⊃.pIqI.qIp (2 A02 (3)) qIq (3 A101 A103 (2), (3), rinf01 A104 pIq⊃.qIp Prueba: (2) qIpI qIpI.pIq .pIq A103 (3) qIpI qIpI(pI (pIq) q)⊃.pIq⊃.qIp A10 A104 (2), (3), rinf01 A105 pIqI.NNqIp Prueba: (2)) NNq (2 NNqIq Iq A104, rinf01, A102 A105 A02, rinf01, (2) A106 pIqI.pINNq Prueba: (2) NNqI NNqIpI.p pI.pINNq INNq A103 A106 A105, (2), rinf15 A107 pINNqI.pIq Prueba: A106, rinf11 A108 NpINqI.pIq Prueba: (2) pINN pINNqI(p qI(pIq) Iq)⊃.NpINqI(pIq)I.pINNqI.NpINq A02 (3) δ2 (2), A107, rinf01 (4) pINNqI(NpI pINNqI(NpINq) Nq)⊃.NpINqI.pIq (3), A10 rinf01, A11, (4) δ4 A109 A10 9 pIqI pIqI.NpIN .NpINq q Prueba Pru eba:: A108 A108,, rin rinf1 f11 1 A110 pIq⊃.NpI .NpINq Nq Pru Prueba eba:: A109 A109,, rin rinf12 f12 A111 A1 11 NpINq⊃.pIq Pru Prueba eba:: A109 A109,, A10 A10,, rin rinf01 f01 A112 p∨pIp Prueba: (2)) Np∧NpINp (2 A03 (3)) N(N (3 N(Np p∧Np)INNp A110, (2), rinf01 (4)) p∨pINNp (4 (3), df02 A112 (4), A107, rinf13
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A113 p⊃p Prueba: A101, rinf12 A114 ¬p∨p Prueba: A113, df03 A115 ¬0 Prueba: (2) ¬¬a∨¬a A114 (2), A07, rinf13, df05 ¬0 A116 ¬p⊃.q→Np Prueba: A14, df08, df03 A117 ¬p⊃.q∧NpIq Prueba: A116, df04 A118 p∧1Ip Prueba: A117, A115, df06, rinf01 A119 p∨0Ip Prueba: (2) Np∧1INp A118 (3) Np∧N0INp (2), df06 (4) N(Np∧N0)INNp (3), A110, rinf01 p∨0Ip (4), df02, A107, rinf13 A120 q∨q∧pI.q∧p Prueba: (2) q∨qIq A112 q∨q∧pI.q∧p (2), rinf16 A121 q∧pI.p∧q Prueba: (2) q∧pI.q∨q∧p A120, rinf11 (3) q∨q∧pI.p∧q∨.p∧q A06 (4) p∧q∨(p∧q)I.p∧q A112 (5) q∨q∧pI.p∧q (3), (4), rinf15 A121 (2), (5), rinf15 A122 q∨pI.p∨q Prueba: (2) Nq∧.NpI.Np∧Nq A121 A122 (2), A110, rinf01, df02 A123 pIq⊃.p∧rI.q∧r Prueba: (2) r ∧1Ir A118 (3) q∧(r ∧)I.q∧r (2), rinf20 (4) q∧rI.q∧.r ∧1 (3), rinf11 (5) p∧r ∧1I(q∧.r ∧1)I.q∧rI.p∧r ∧1 (4), A02, rinf01
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(3) ¬p∧¬q∨rI.r ∨.¬p∧¬q A122 A137 ¬p∧¬q∨r I.r ∨¬p∧.r ∨¬q A122, rinf20, rinf16 ¬p∧¬q∨r I.¬p∨r ∧.¬q∨r A149 (2), (3), rinf24 A150 p⊃(q∧r)I.p⊃q∧.p⊃r Prueba: (2) ¬p∨(q∧r)I.¬p∨q∧.¬p∨r A137 A150 (2), df03 A151 p⊃(q∨r)I.p⊃q∨.p⊃r Prueba: (2) ¬p∨(q∨r)I.¬p∨¬p∨.q∨r A112, rinf19 A133 ¬p∨(q∨r)I.¬p∨.¬p∨.q∨r A133, rinf21 ¬p∨(q∨r)I.¬p∨.¬p∨q∨r A122, rinf21 ¬p∨(q∨r)I.¬p∨.r ∨.¬p∨q A133 ¬p∨(q∨r)I.¬p∨r ∨.¬p∨q A122 ¬p∨(q∨r)I.¬p∨q∨.¬p∨r A151 (2), df03 En la demostración de los siguientes teoremas, ya no haremos, en la justicación de cada prueba, mención de las reglas de inferencia siguientes: rinf01, rinf11, rinf12, rinf13, rinf14, rinf22, rinf24, rinf25. Con ello quedará más despejado —menos sobrecargado— el conjunto de referencias que justican cada prueba y, así, quedará más claramente puesto de relieve el neruus probandi de la misma. A152 p⊃q⊃.q⊃r ⊃.p⊃r Prueba: (2) ¬¬p∨¬p∨.r ∨.¬¬q∧¬r A143 (3) ¬¬q∨¬q∨.¬p∨r id. (4) ¬r ∨r ∨.¬p∨¬q id. (5) ¬¬p∨.(¬¬q∧¬r)∨.¬p∨r (2), A133, A122 (6) ¬p∨r ∨.¬q∨¬¬q (3), A122 (7) ¬p∨r ∨.¬q∨¬r (4), A133, A122 (8) 6∧7 (6), (7) (9) ¬q∨(¬¬q∧¬r)∨.¬p∨r A122, (8), A133, A137 (22) ¬¬p∨(¬¬q∧¬r ∨.¬p∨r)∧.¬q∨.¬¬q∧¬r ∨.¬p∨r (5), (9) (23) ¬¬p∧¬q∨.¬¬q∧¬r ∨.¬p∨r (22), A137, A122, A121 (24) ¬(¬p∨q)∨.¬¬q∧¬r ∨.¬p∨r (23), A08 (25) ¬(¬p∨q)∨.¬(¬q∨r)∨.¬p∨r (24), A08 A152 (25), df03 A153 p⊃q⊃.r ⊃p⊃.r ⊃p Prueba: (2) r ⊃p⊃.p⊃q⊃.r ⊃q A152 A153 (2), A147
