INTRODUCCIÓN A L A TEORÍA INTRODUCCIÓN DE COLISIONES VEHICU VEHICUL L A RES
I.C. Luis Gonzalo Mejía C. U.N y U. de Karlsruhe Alemania
Diseño y Diagramación Carlos Federico Mejía V.
Medellín, Octub re del 2003 Revisión 1 Octubre 2003 Revisión 2 Octubre 2006
ÍNDICE INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................................................4 PRELIMINARES ..................................................................................................................................................................................5 CAPITULO 1. EL MÉTODO CIENTÍFICO EN LA TEORÍA DE COLISIONES .............................................................................6 .............................................................................6 CAPITULO 2. ASPECTOS HISTÓRICOS ........................................................................................................................................7 CAPITULO 3. TÉCNICAS DE ANÁLISIS ................ ................................ ................................ ................................ ................................ .................................... .................................... ................................ .....................9 .....9 CAPITULO4. INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA VEHICULAR ........................................... ............................................................ ................................. ............................. .....................10 ........10 CAPITULO 5. CONCEPTO DEL CENTRO DE MASA .......................................... ........................................................... ................................. ................................ ................................. ......................1 .....11 1 CAPITULO 6. MÉTODO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO .................................. ................................................ ........................... ........................... ........................ .......................14 .............14 CAPITULO 7. TIPOS DE COLISIONES ........................................................................................................................................16 CAPITULO 8. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN .................. .................................... .................................... .................................... .................................. ................................ ..............................18 ..............18 CAPITULO 9. ETAPAS DE UNA COLISIÓN ..................................................................................................................................21 CAPITULO 10. MODELO MATEMÁTICO Y EXACTITUD .............................................................................................................22 CAPITULO 11. SENTIDO COMÚN .................................................................................................................................................23 CAPITULO 12. INVESTIGACIÓN Y RECONSTRUCCIÓN .............. ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .......................... ......................24 .........24 CAPITULO 13. DIST DISTANCIA ANCIA DE VISIBILIDAD DE FRENADO ................................................. .................................................................. ............................... ................................ ....................30 ..30 CAPITULO 14. MOVIMIENTO DE UN VEHÍCULO EN UNA CURVA CIRCULAR A VELOCIDAD CONSTANTE ................37 CAPITULO 15. ECUACIONES PARA MODELAR UNA COLISIÓN CENTRAL OBLICUA EN DOS DIMENSIONES ....................40 ....................40 CAPITULO 16. GIROS ALREDEDOR DE LOS TRES EJES PRINCIPALES DE UN VEHÍCULO .......................................48 CAPITULO 17. ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO ...................................55 CAPITULO 18. ECUACIÓN DEL COHETE ............. .......................... ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... ........................ ........................ .......................... ................64 ...64 CAPITULO 19. ALETEO ...................................................................................................................................................................66 ANEXOS ANE XOS ..... ........ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...69 69 REFERENCIAS .................................................................................................................................................................................87
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INTRODUCCIÓN Estas notas tienen como fin dar un pri mer paso en el apasionante tema d e la Teoría de Colisiones Vehiculares. Este campo tiene una crucial importancia en el esclarecimiento de circunstancias que pueden conducir a serias repercusiones pen ales y civiles, lo cual me llevó a investiga r sobre el tema y a preparar esta publicación, que como ya se dijo, pretende ser sólo un comienzo y que ojalá otros, ya sean físicos o ingenieros civiles puedan continuar. Por último debo agradecer a mi hijo, Publicista Carlos Federico Mejía, por su dedicada labor en la preparación de figuras y diagramación y al I. C. Eddye Alejandro Bustamante, por su colaboración. En la revisión 1 se modificó la paginación, se corrigió la numeración de las ecuaciones y el título del capítulo 15. Finalmente se agregó el anexo 2 con las ecuaciones que relacionan las condiciones pre y postcolisión en un choque excéntrico bidimensional, y el anexo 3 con la determinación de los modos normales de vibración. Medellín, Octubre de 2003
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PRELIMINARES Como parte de la física, la mecánica trata de las fuerzas y sus efectos, y a su vez se divide en dinámica, que trata de los cuerpos en movimiento y estática de los cuerpos en equilibrio, es decir aquellos cuyo movimiento es cero y es por lo tanto que corresponde a un caso especial de la dinámica. La dinámica se divide en cinemática que se ocupa de la descripción espacio - temporal del movimiento de un cuerpo sin considerar las fuerzas que la producen y en cinética que estudia los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos. En estas notas se usará indistintamente el término dinámica pues la consideración de la clasificación indicada no tiene importancia en el estudio de las colisiones vehiculares. Es importante mencionar que las leyes físicas en su claridad y sencillez, representan una abstracción de la compleja naturaleza de las cosas, y es por esto, que cada sistema, cada fenómeno, debe reducirse a un modelo que permita la aplicación de dichas leyes. En cada problema puede refinarse el modelo de acuerdo con los requerimientos de la situación que se está estudiando, pero no debe olvidarse que es preferible un modelo sencillo acompañado de un buen juicio, que uno complejo unido a un desconocimiento total del fenómeno y a una falta absoluta de sentido común. Los fenómenos presentes en una colisión vehicular son extremadamente complejos a tal punto que los fabricantes de automóviles se ven obligados a efectuar ensayos a escala real, para poder obtener conclusiones acerca del comportamiento de los vehículos. Afortunadamente, para el caso de los cálculos de ingeniería requeridos en un análisis de colisiones, pueden plantearse ecuaciones, que con un desarrollo razonable, y como ya se dijo, con un buen juicio, conducen a resultados confiables.
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1. EL MÉTODO CIENTÍFICO EN LA TEORÍA DE COLISIONES Hasta el siglo XIII la doctrina filosófica del apriorismo era aplica da sin contemplaciones, y si el resultado de algún experimento u observación entraba en conflicto con la teoría aceptada, el experimento o la observación tenían que estar malos o era el producto de una influencia diabólica. Así, por ejemplo, se suponía, a priori, que el sol giraba al rededor de la tierra y que todos los planeta s se movían en órbitas circulares, pues era razonable y compatible con dogmas aceptados que esto sucediera, aunque así se encontraran muchas imprecisiones y dificultades con la determinación de las trayectorias y movimientos planetarios. Afortunadamente, en esta época, ya no se lleva a la hoguera a quien afirme que el sol es el centro de nuestro sistema solar y que los planetas recorren órbitas elípticas. Esto lo debemos al monje Francis Bacon quien dio las bases del sistema científico que pregona que el conocimiento se obtiene por medio de un trabajo conjunto de observaciones y experimentos. Hoy en día no se acepta el apriorismo en la investigación y se procede como se indica a continuación. Por su claridad, se transcribe la parte pertinente de la referencia 1: “Primero se efectúan cuidadosas y detalladas observaciones de los sucesos. Luego, basados en estas observaciones, se plantea una hipótesis de trabajo que permita explicar las observaciones. Posteriormente se efectúan experimentos o nuevas observaciones que permitan verificar la validez de la hipótesis de trabajo. A medida que se analicen los nuevos datos y observacion es puede ser necesario modificar, ampliar o aún desechar la hipótes is original y reemplazarla por otra que se acomode mejor con las observaciones y datos. Una hipótesis no se considera válida a menos que considere todos los datos y observaci ones relevantes, a no ser por supuesto, que éstas sean imprecisas. El método científico puede aplicarse directamente a la reconstrucción de accidentes vehiculares. Las conclusiones acerca de un accidente debe n ser consistentes en un todo, con la evidencia física, con observaciones verificables y además deben ser coherentes con los principios físicos. La doctrina del apriorismo desafortunadamente es aplicada muy a menudo en el trabajo de reconstrucción, por peritos sin conocimientos suficientes. Esto ocurre cuando el investigador ha decidido, de antemano, con muy poca información, que fue lo que ocurrió. Acerca de este punto, no debe olvidarse que quienes aseguran que la tierra es plana, pueden presentar no pocas razones para justificarlo”.
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2.
ASPECTOS HISTÓRICOS
El efecto de una colisión era conocido desde la antigüedad. Aristóteles (384 - 322 a.c.) en sus Questiones Mechanicae reconoció la diferencia entre la presión que se ejerce sobre un cuerpo inmóvil y el efecto de la colisión con un objeto moviéndose con mucha velocidad. Posteriormente Galileo (1564 - 1642) en sus Discorsi analizó en forma cuantitativa el problema de los choques, pero fue Marcus Marcis (1595 - 1667) quien abordó por primera vez en forma cuantitativa el problema de los choques elásticos y en 1639 publicó su obra "De Proportione Motus", ver Figura 1, ( Referencia 2) en el cual analizó diferentes aspectos del movimiento y del choque. La Figura 2, (Referencia 2) muestra alguno de los experimentos de Marcis, relacionados con éste tema.
MARCUS MARCIS: DE PROPORTIONE MOTUS
FIGURA 1
7
FIGURA 2. Experimentos de Marcus Marcis acerca de choques
Años más ta rde Descartes (1596 - 1 650) publicó en Ams terdam, su Principia Philosophiae en el cual estableció 7 reglas referentes al choque de dos cuerpos perfectamente duros (perfecte dura). Respondiendo a un llamado de la Real Sociedad Londinens e, en 1668 el matemático John Wallis, el maestro Christoper Wren y el físico Christian Huygens, presentaron diferentes soluciones a los problemas de choques entre cuerpos. Newton (1643 - 1727) avanzó en las investigaciones de Huygens encontrando que, para que la teoría y los experimentos coincidieran, era necesario considerar que los cuerpos no eran perfectamente elásticos y definió el llamado coeficiente de restitución que vale 0 para un choque inelástico y 1 para un choque elástico. La Figura 3 (Referencia 2) publicada en su Pilosophiae Naturalis Principia Mathematica, (1687) muestra el dispositivo usado por Newton para medir el coeficiente de restitución (Referencia 17). Este coeficiente adquiere una enorme importancia en el estudio de las colisiones como se verá mas adelante. Finalmente Leonhard Euler (1707 – 1783), extendió las investigaciones a las colisiones planas ya sean oblicuas o excéntricas (ver Capítulo 7).
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FIGURA3.DispositivousadoporNewtonparamedirel coeficientede restitución.
Esta breve reseña histórica permite concluir que las bases para el estudio de la teoría de colisiones están dadas desde hace cientos de años y que el advenimiento de los computadores ha facilitado el estudio de las múltiples situaciones que pueden presentarse en una colisión.
3.
TÉCNICAS DE ANÁLISIS
En el análisis de colisiones se utilizan fundamentalmente cuatro técnicas analíticas: el método de la energía, el método del momentum o cantidad de movimiento, el método dinámico y el método cinemático. De éstos, el método del momentum, basado en el principio de la conservación de la cantidad de movimiento es el más utilizado y será el que se considerará en el desarrollo de estas notas. Ocasionalmente puede ser conveniente utilizar dos o más técnicas para analizar la convergencia o no de los resultados.
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4.
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA VEHICULAR
Aunque fue Gali leo quien efectuó las primeras contribuciones a la dinámica, fue Newton quien publicó en 1687, una de las obras cumbres del pensamiento humano, su Pilosophiae Naturalis Principia Mathematica en la cual estableció las bases de la mecánica clásica y enunció las leyes fundamentales del movimiento (Referencias 2, 3 y 4): Ley I: Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento unifo rme en línea recta a menos que sea forzado a cambiar ese estado por fuerzas que actúan sobre él. Ley II: El cambio de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza motriz que se le ha impreso y sigue la dirección de la línea recta en que se le imprimió la fuerza. Ley III: A toda acción se opone siempre una reacción igual; o las acciones recíprocas de dos cuerpos uno sobre otro, son siempre iguales y dirigidos a partes opuestas. En cuerpos que se muevan a velocidades de decenas (como es el caso de vehículos automotores) o inclusive centenas de metros por segundo, es completamente aplicable la mecánica clásica (Referencia 5), siendo las leyes mencionadas la base para desarrollar la teoría de colisiones vehiculares. Es importante anotar que las lesiones que reciben los pasajeros de un vehículo, con ayuda de la primera ley, permiten determinar en que dirección iban los vehículos antes de la colisión. Así por ejemplo, en un choque en una intersección en la cual el vehículo que vie ne por la derecha (#1) golpea lateralmente a otro vehículo (#2), es de esperarse que el conductor y pasajeros del vehículo colisionado sufran heridas severas en su lado izquierdo y a su vez, quienes ocasionaron la colisión, las reciban frontalmente. Las lesiones serían diferentes si fuera el vehículo 2 quien colisionara al vehículo 1, como se indica en la Figura 4.
FIGURA 4. Tipos de lesio nes según el tipo d e colisió n.
La segunda y tercera ley permiten plantear el método del momentum o de cantidad de movimiento, uno de los métodos de análisis mencionados en el Capítulo 3, el cual se desarrollará en el Capítulo 6.
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5.
CONCEPTO DEL CENTRO DE MASA
El centro de masa es el punto en el cual puede considerarse que está concentrada la totalidad de la masa en un cuerpo y por lo tanto las coordenadas x y y del centro de masa en un cuerpo con masas m 1, m 2, ... m i con coordenadas (x1, y1); (x2, y2);... (x i, yi) se define como:
m x m i
x
i
i
i
m y y m i
i
i
i
i
i
El centro de masa tiene la siguiente importantísima propiedad: “Cuando un cuerpo o un grupo de partículas son actuadas por fuerzas externas, el centro de masa se mueve justamente como si todas las masas estuvieran concentradas en ese punto y estuvieran actuadas por una fuerza resultante igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema” (Referencia 6) . Esta propiedad permite describir el movimiento de un cuerpo rígido como una combinación de la traslación de su centro de masa y un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, como se indica en las Figuras 5A y 5B (Ref erencia 7). Nótese que el centro de masa se mueve en línea recta, afirmación que es válida para los análisis de colisiones vehiculares.
Movimiento de un cuerpo que se traslada, y a la vez rota.
FIGURA 5A
FIGURA 5B
Sólo en casos en los cuales los tres momentos de inercia son diferentes, puede presentarse un acoplamiento de los movimientos rotacionales en los tres ejes principales, produciendo un desplazamiento no lineal (Referencia 1). A continuación se indica cómo a partir de la velocidad de traslación del centro de masa de un vehículo así como de su velocidad angular, es posible hallar la energía cinética del mismo. 11
5.1 ENERGÍA CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN ROTACIÓN Consideremos un cuerpo de masa m, que se mueve en línea recta y que a la vez gira con velocidad angular . La velocidad de un punto típico del cuerpo, con masa mi es el vector suma de la velocidad v cm del centro de masa y la velocidad v i ' del punto en cuestión, rel ativa al centro de masa , tal como se ilustra en la Figura 6 (Referencia 6).
Eje de Rotación
v ' y a la v ez gira v irecta FIGURA 6. Cuerpo rígido que se vmu eve en i cmlinea
De esta forma, la energía cinética de la partícula es: K i
1
K i
1
K i
1
K i
1
K i
1
2
2
2
2
2
mi vi 2
1 2
mi vi vi
mi vcm vi ' vcm vi '
mi vcm vcm 2 vcm vi ' vi ' vi '
mi vcm 2 vcm vi ' vi '2 2
mi vcm mi vcm vi ' 2
1 2
mi vi '2
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Y así, la energía cinética del cuerpo es: K
K
1
K i
2
1
2
m v i
2
cm
mi vcm 2
mi vcm vi '
1
2mv '
2
i i
1
vcm mi vi ' mi vi '2 2
Ahora, como: *
m
*
*
2m v '
i
es igual a la masa total del cuerpo.
mi v i ' es m veces la velocidad del centro de masa con respecto al centro de masa, es decir, cero. 1
i i
2
1 2
I cm 2
entonces: K
1 2
2
mvcm
1 2
I cm 2
(Ecuación 5.1)
Como puede apreciarse en la ecuación anterior, la energía cinética total de un cuerpo rígido que se desplaza en línea recta y a la vez gira tiene una componente masa y otra
1 2
1 2
mv cm
2
correspondiente a la traslación del centro de
I cm 2 que corresponde a la rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
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6.
MÉTODO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La segunda Ley de Newton se puede expresar en forma matemática como F= mdv/dt o, al permanecer constante la masa, como: F=d(mv)/dt Fdt=d(mv)
integrando entre dos tiempos t1 y t2 se tendría:
t 2
Fdt =mv2 – mv1
t 1
(Ecuación 6.1)
en la cual v1 y v2 son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2 respectivamente. A la integral se le conoce como impulso lineal y al producto mv como cantidad de movimiento lineal. Ambas cantidades son vectoriales. ( a) Esta ecuación es sumamente importante en la dinámica de colisiones y se le conoce como el “principio del impulso y la cantidad de movimiento”. En palabras, simplemente dice que el impulso de una fuerza es igual al cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo sobre el cual actúa. La Ecuación 6.1 se puede a su vez, reescribir de la siguiente forma:
t 2
mv 1 + Fdt = mv 2 t 1
(Ecuación 6.2).
La Figura 7 indica en forma gráfica el significado de esta importantísima ecuación:
FIGURA 7. Principio del impulso y la cantidad de movimiento.
Como se ve, si sobre un vehículo que viaja en una dirección, indicada por el ángulo α1, actúa una fuerza F en un intervalo de tiempo t2 - t1, el efecto que esta fuerza tiene sobre este vehículo es modificar su dirección, pasando α1 a α2 y su cantidad de movimiento, pasando de mv1 a mv2. Aunque esto parece evidente, tomó siglos a la humanidad encontrar la expresión matemática que describiera este fenómeno. Es importante anotar que el
t 2
impulso, Fdt , puede ser producido, por otro vehículo o por una barrera rígida o flexible. t 1
Una cantidad vectorial es aquel la que además de magnitud, como una cantida d escalar, tiene dirección.
(a)
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Antes de continuar, es conveniente analizar con un ejemplo, el concepto de impulso y cantidad de movimiento mv pudiendo llegarse a conclusiones que parecen ser sorprendentes: por ejemplo una persona de 70 kgf de peso que va en una bicicleta a 15m/s tiene más cantidad de movimiento (70x15=1050 kgfm/s) que un automóvil de 1 tonelada que viaja a 1m/s, pues su cantidad de movimiento es de 1000x1,0=1000kgfm/s. Como conclusió n práctica para el caso de colisiones vehiculares que nos ocupa, es que un vehículo de masa pequeña pero que viaja a una gran velocidad tiene más cantidad de movimiento que uno de mayor masa que viaja a poca velocidad, pudiendo, por lo tanto, el vehículo pequeño causar serios daños al más grande. Es igualmente interesante imaginar el siguiente experimento: un vehículo con masa m viaja a una velocidad v y choca contra una pared (Figura 8). Si la pared es rígida, el cambio en la cantidad de movimiento de mv a 0 ocurre en un tiempo muy pequeño t y por lo tanto la fuerza de impacto F es muy grande. Por el contrario, si en la pared se disponen unos resortes (que pueden ser unas llantas), el cambio en la cantidad de movimiento ocurre en un intervalo de tiempo muy grande T y por lo tanto la fuerza de impacto f es pequeña. En conclusión, el vehículo en el caso de barrera rígida recibe una fuerza mayor que en el caso de barrera flexible y por lo tanto sufrirá daños más severos.
mv
mv
FIGURA 8. Fuerza que recibe un vehículo al chocar contra una barrera rígida y contra una barrera flexible.
Antes de pasar a estudiar los tipos de colisiones, es importante averiguar lo que le sucede a un automovilista cuando colisiona con una barrera rígida, por ejemplo, la columna de un puente o un árbol corpulento. Considérese un automóvil que va a una velocidad de 60 km/h, es decir a 16,7 m/s (metros por segundo) y colisiona con una barrera rígida que detiene inmediatamente el vehículo. En términos matemáticos podríamos decir que el proceso tomó una centésima de segundo (0.01 s) y como resultado se produce una desaceleración(b) de 16.6/0.01 = 1660 m/s2, quedando el conductor sujeto a una fuerza equivalente 170 veces la fuerza de la gravedad!(c), siendo completamente despedazada, sin ninguna posibilidad de sobrevivir. Una vez estudiados estos conceptos, es posible comenzar con el estudio de las colisiones vehiculares.
(b)
Aceleración
v t
cambio de velocidad con respecto al tiempo.
La Fuerza de gravedad es igual a 9.8m / s 2
(c)
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t o a c t n c o e d a n e i L
L i n e a d e c h o q u e
FIGURA 10B
Colisión excéntrica Ocurre cuando la línea de choque no pasa por los centros de masa de l os vehículos (Indicados con un punto rojo en la figura 10C).
Línea de contacto
Línea de choque FIGURA 10C
Esta publicación no pretende ser exhaustiva en el desarrollo de fórmulas para todos los tipos de colisiones y nos limitaremos a desarrollar, para el caso de una colisión central oblicua, las ecuaciones que describen el movimiento lineal de los vehículos, utilizando para el efecto el “Principio del impulso y la cantidad de movimiento”. Inicialmente no se considerará la rotación de los vehículos, pues es ampliamente conocido que luego de una colisión excéntrica, es decir en la cual se producen rotaciones, el centro de masa se desplaza sobre una trayectoria recta como se indica en la Figura 5A, correspondiente al movimiento de “trompo” (spin). Esta notoria ley natural había sido descubierta por el físico Christian Huygens en el siglo XVII, quien notó, y lo probó para cuerpos esféricos, que en colisiones centrales u oblicuas de dos o más cuerpos, el centro de masa antes y después de la colisión se mueve en línea recta con igual velocidad (Referencia 2). Quien esté interesado en profundizar sobre el tema, puede consultar las Referenci as 8,9 y 10.
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8.
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN
Antes de comenzar con el desarrollo de las ecuaciones, es conveniente definir el concepto de “coeficiente de restitución”, el cual juega un papel fundamental en la teoría de colisiones. Como ya se mencionó en el Capítulo 2, fue Newton quien primero definió éste concepto. Se denomina coeficiente de restitución a la relación entre ∫ Rdt del impulso de la fuerza R (fuerza ejercida por un cuerpo al otro durante el período de recuperación de la colisión) y ∫ Pdt del impulso de la fuerza P (fuerza ejercida por un cuerpo al otro durante el período de la deformación de la colisión), y puede hallarse mediante la siguiente ecuación:
(Ecuación 8.1) Donde el eje x´ es la línea de choque, tal como se definió en el Capítulo 7. Debido a la definición anterior, el coeficiente de restitución, e, se aplica en la dirección de la línea de choque, pues es en ésta en la que se producen las fuerzas R y P. Para cualquier choque, ∫ Pdt ≥ ∫ Rdt , por tal motivo 0 ≤ e ≤ 1. Cuando e = 0 el choque se denomina plástico y cuando e = 1 se denomina elástico. Como el coeficiente de restitución sólo actúa en la dirección de la línea de choque, entonces, si éste es cero y además no hay componente de velocidad en la dirección tangente al choque (como en un choque central directo) los vehiculos continúan “pegados” después de la colisión. En cualquier otro caso los vehículos “rebotan”, siendo mayor la separación entre ellos en cuanto más cercano a 1 sea el coeficiente de restitución. Es importante anotar que este coeficiente depende de las velocidades de los vehículos, de los materiales y de su forma (Referencia 8) y su determinación para cada caso, debe hacerse experimentalmente. Los grandes fabricantes de automóviles, determinan, entre otros, este valor en las pruebas de colisiones con vehículos reales.
Superficie de contacto
FIGURA 11. Línea de choq ue y l ínea tangente al ch oque
18
8.1.
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN PARA UNA COLISIÓN SEMIPLÁSTICA
Cuando dos cuerpos colisionan, parte de la energía cinética es disipada en deformación plástica. Esta energía está dada por la siguiente expresión (Referencia 1):
2
E dis
m1m2 V i1 V i 2 2m1 m2
1 e 2
(Ecuación 8.1.1)
De esta forma, cuando el choque es totalmente plástico, e=0: 2
E dis ( ch. plástico)
m1m2 V i1 V i 2
(Ecuación 8.1.2)
2m1 m2
y cuando el choque es totalmente elástico, e=1: E dis (ch. elástico ) 0
y entonces cuando el choque es semiplástico, la energía disipada es:
E dis ( plás.elás.)
2 m1m2 V i1 V i 2 2 m1m2 V i1 V i 2 0 2 2 m m 4m1 m2 1 2
(Ecuación 8.1.3)
y el coeficiente de restitución para este tipo de choque se halla reemplazando este último valor en la ecuación general para la disipación de energía (Ecuación 8.1.1): 2
m1m2 V i1 V i 2 4m1 m2 1 e2
e
1 2
1 2
2
m1m2 V i1 V i 2 2m1 m2
1 e , de donde 2
, y por lo tanto
0.707
En la figura 12 de la página siguiente se muestra gráficamente la relación entre la energía disipada en una colisión y el coeficiente de restitución
19
FIGURA 12. Relación entre la energía disipada en una colisión y el coeficiente de restitución.
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9. ETAPAS DE UNA COLISIÓN Una vez descritos los tipos de colisiones, es conveniente analiz ar lo que ocurre en el momento del impacto. En principio una colisión vehicular puede separarse en tres fases, las cuales se indican en las Figuras 13A y 13B, (Referencia 11), para el caso más simple de un vehículo chocando con una barrera rígida. La colisión empieza con un contacto inicial, luego viene el contacto máximo y posteriormente el contacto final. Nótese que el movimiento del vehículo es diferente si se trata de un impacto central o excéntrico, pues en este último caso y para el ejemplo, la esquina izquierda es frenada súbitamente por el obstáculo, pero el resto del vehículo continúa moviéndose hacia adelante, dando como resultado una rotación típica en ésta clase de colisiones.
FIGURA 13A. Fases de una col isión para un impacto c entral.
FIGURA 13B. Pasos de una colis ión para un impacto excéntrico
Cuando el choque es entre dos vehículos, ver Figura 14, (Referencia 11), la situación sería la siguiente: “Desde el primer contacto al contacto máximo, la esquina izquierda del vehículo A acelera en la dirección de movimiento del vehículo B. Al mismo tiempo, la esquina frontal derecha del vehículo B acelera en la dirección del movimiento del vehículo A, lo cual ocasiona que ambos vehículos roten, haciéndolo el A en dirección de las manecillas del reloj haci a el vehículo B y el vehículo B rotando en dirección contraria a las manecillas del reloj hacia el vehículo A. Esta rotación a menudo resulta en un impacto secundario entre los vehículos” (Referencia 11).
FIGURA 14
Finalmente, es importante mencionar que en promedio un impacto dura 0,12 segundos, correspondiendo 0,06 segundos al contacto máximo.
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10. MODELO MATEMÁTICO Y EXACTITUD El modelado preciso de un vehículo para un análisis “exacto” de una colisión, es una labor todavía no resuelta y que se halla aún en etapas iniciales de desarrollo. La Figura 15 (Referencia 13) indica el modelo básico para el análisis de los movimientos vehiculares. Para un análisis más cercano a la realidad, el uso de elementos finitos es necesario, y esta tarea sólo puede resolverse con programas avanzados de computación. Es de anotar que el comportamiento de los resortes es no lineal y por lo tanto para un análisis preciso, deben conocerse las curvas P(t) vs δ(t).
FIGURA 15. Modelo matemático básico p ara el análisis d e los movi mientos v ehiculares
El estado del vehículo, también juega un papel importante en la determinación de la respuesta. Nótese por ejemplo en la Figura 16 tomada de una información del fabricante Toyota, que la respuesta de un vehículo con amortiguadores es completamente diferente a la de uno sin éstos. Entre estos extremos, estaría la respuesta de un amortiguador defectuoso.
FIGURA 16. Vibración de la carrocería de un vehículo.
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La representación de una persona, para el estudio de su movimiento durante una colisión, representa una tarea todavía más compleja. La Figura 17 (Referencia 14) muestra el modelado reológico simple del cuerpo humano. A su vez la Figura18 muestra el sistema de coordenadas global de los ocupantes de un vehículo y el sistema de coordenadas para la colocación de 9 acelerómetros para estudios dinámicos del cuerpo humano (Referencia 12).
FIGURA 17. Modelo d el cuerpo h umano.
FIGURA 18. Sistema de coordenadas glo bal de los ocu pantes de un vehículo .
La industria automovilística avanza a paso s agigantados en la descripción más precisa del cuerpo humano, con el fin de construir cada vez vehícul os más seguros. A este respecto baste con mencionar, a manera de ejemplo, que los ingenieros de Toyota han desarrollado el modelo THUMS (Total Human Model For Safety) en el cual, con ayuda de 80.000 ciberpartes, tratan de determinar las lesiones que puede sufrir un pasajero en cualquier parte del cuerpo. De la discusión anterior, puede concluirse que buscar respuestas exactas en problemas de colisiones, con fórmulas de física elemental, es tarea vana e ingenua. Sólo personas inexpertas y ajenas a la práctica pretenden lograrlo, olvidándose que el análisis clásico de colisiones con cuerpos rígidos, representa sólo una primera aproximación al problema, la cual, sin embargo, con sentido común, sana intención en la búsqueda de la verdad y con la consideración de otras evidencias puede conducir a esclarecer la forma como ocurrió determinada colisión.
11. SENTIDO COMÚN Como en cualquier problema técnico, el sentido común juega un papel fundamental en la reconstrucción de los hechos, más aún, en problemas de colisiones, en los cuales usualmente se desconocen varias de las variables involucradas. Dos frases de Sherlock Holmes, citados en la Referencia 7, expresan en forma concisa y excepcional este camino de investigación y reconstrucción: “Cuando se ha eliminado lo imposible, en lo que permanece, aunque parezca improbable debe estar la verdad” y “Mi nombre es Sherlock Holmes. Mi oficio es saber lo que otros no conocen”. Se necesita grandeza y humildad para aceptar la complejidad de un problema de colisiones y ante todo es necesario tener la sana intención de buscar la verdad, pues de lo contrario, de nada sirve la recolección de evidencias, el planteamiento de ecuaciones y modelos físicos, si se tiene una idea preconcebida y se quiere, por
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ejemplo, condenar de antemano a una persona implicada en un accidente.
12. INVESTIGACIÓN Y RECONSTRUCCIÓN Como se mencionó anteriormente, el planteamiento de modelos y ecuaciones físicas debe ir acompañada de la búsqueda de evidencias que permitan plantear una primera hipótesis de cómo ocurrió determinada colisión. Esta hipótesis debe ser analizada sin apasionamientos y de acuerdo con el avance de las investigaciones, puede ser desechada o modificada hasta alcanzar la respuesta que mejor representa el caso bajo análisis. No es la intención de estas notas describir las múltiples técnicas de investigación y reconstrucción, sin embargo mencionaremos brevemente algunas herramientas que pueden ser de ayuda en la solución de casos de choques.
12.1 Programas de computadors Los computadores representan una ayuda valiosa en los estudios de colisiones. Existen muchos programas tridimensionales, pero el más conocido en el País es el 3DMax, el cual permite “visualizar” en tres dimensiones una “hipótesis” de trabajo, la cual debe corroborarse o desecharse de acuerdo con los análisis físicos y estudio de evidencias. De otra forma, programas de análisis bidimensionales desarrollados por ejemplo en Visual Basic son extremadamente útiles pues permiten analizar, en forma instantánea, múltiples situaciones lo cual es sumamente dispendioso hecho a mano. A manera de ejemplo, obsérvese en las Figuras 19A a 19D el caso de una colisión en un cruce en el cual se desconocen las velocidades iniciales y finales y sólo se conoce la posición final de los vehículos y su masa. De esta forma el investigador puede tratar con diferentes valores de velocidad, coeficiente de restitución y ángulo de la línea de choque (Figuras 19A a 19C), hasta encontrar alguna (Figura 19D) en la cual los vehículos quedan en las posiciones indicadas en el croquis del tránsito. Es importante mencionar que el análisis de colisiones con cuerpos rígidos, considerando únicamente su traslación, conduce a resultados aceptables, dentro del marco de exactitud que se tiene. Al respecto transcribimos textualmente la Referencia 7: “Es casi imposible determinar el número de rotaciones de un vehículo desde el punto de impacto hasta el punto de reposo, siendo por lo tanto imposible dibujar la rotación del vehículo y medir la distancia exacta que rotó el vehículo en la fase de postcolisión. Usando como medida la distancia del centro de gravedad del vehículo en el punto de impacto, al centro de gravedad del vehículo en el punto de reposo, puede obtenerse el valor mínimo de la cantidad de velocidad y/o energía perdida durante la fase del postimpacto hasta que se llega al reposo”. En las Figuras 20A a 20F se ilustra una hipótesis de trabajo (ver Capítulo 1), realizada con el programa de computador 3D Studio Max por Cinematica.
24
Análisis de una colisión mediante un modelo bidimensional en Visual Basic.
FIGURA 19A
FIGURA 19B
FIGURA 19C FIGURA 19C.
FIGURA 19D
25
HIPÓTESIS DE TRABAJO REALIZADA EN 3D MAX
FIGURA 20A
FIGURA 20B
26
FIGURA 20C
FIGURA 20D
27
FIGURA 20E
FIGURA 20F
28
12.2 Huellas
Corresponden a las marcas dejadas en el pavimento por los vehículos, las cuales pueden servir en algunos casos, para determinar sus velocidades y los ángulos de la velocidad. La longitud, forma, e intensidad de las huellas, están relacionados con la distancia de percepción-reacción y el tiempo de frenado los cuales se tratan en el Capítulo 13. Otras huellas de fundamental importancia, son las dejadas por los vehículos en la colisión misma, ya sean hundimientos, rayones, manchas de pintura, etc. (Las manchas de pintura que un vehículo puede dejar en el otro se deben al intenso calor que se produce en una colisión que derrite la pintura). Los hundimientos representan una de las fuentes más valiosas en el proceso de investigación y reconstrucción ya que son señales que aportan a una persona experimentada, indicios cruciales de aspectos fundamentales de la dinámica de la colisión, pudiéndose por ejemplo determinar qué vehículo inició la colisión. En colisiones complejas, con movimiento de bamboleo (roll over),el cual se describe en el capitulo 16, la interpretación de los daños en los vehículos requiere de extremo cuidado, pues la colisión no ocurre en un plano, es decir no es bidimensional sino tridimensional. En los Capítulos 16 y 17 se dan las expresiones que permiten estudiar estos procesos dinámicos tridimensionales. En esta etapa es muy útil tratar de encontrar vehículos iguales al accidentado como se indica en la Figura 21, (Referencia 11), y dibujar en planta ambos vehículos para determinar cuáles son los hundimientos iniciales y cuáles los reflejos o secundarios (Ver capitulo 9), lo cual podría dar indicios del proceso que se investiga.
FIGURA 21. Comparación del v ehículo dañado con uno en buen estado .
En la base de datos Autostats (www.4n6xprt.com), se puede encontrar información sumamente útil sobre las dimensiones, masas, momentos de inercia, localización del centro de gravedad, relación de estabilidad, etc., de un sinnúmero de vehículos. Diferentes entidades e investigadores han tratado de definir un “índice de severidad” de una colisión, con el fin de poder clasificar, ordenar y comparar los daños ocurridos en diferentes choques. Mencionaremos a manera de ejemplo uno de los más usados (Referencia 7), llamado el Indice de Deformación Vehicular IDV que considera: la dirección de la fuerza principal en el punto de impacto, la localización de la deformación del vehícul o, el tipo general de colisión y una escala de daños. Para una colisión en particular de un automóvil con un poste el IDV podría expresarse, por ejemplo, como sería 12 FCEN6, donde el 12 indica la dirección, la F que el choque fue frontal, la C y la E a la zona específica del daño, tanto horizontal como vertical, la N que el choque fue contra un objeto delgado y el 6 se refiere a una escala de daños que va del 1 a 9. En la Referencia 7 puede encontrarse más información al respec to y en el anexo 4 un resumen de dicha información. 29
13. DISTANCIA DE VISIBILIDAD DE FRENADO 13.1 Distancia de percepcion-reaccion y distancia de frenado La distancia de visibilidad de frenado es la distancia mínima necesaria para que un vehículo se detenga antes de alcanzar un obstáculo fijo que aparece de improviso en la vía. Para calcularla es necesario distinguir dos fases en las cuales se desarrolla el proceso de frenado: La primera fase es aquella que transcurre desde que el obstáculo aparece en la vía hasta que el conductor aplica los frenos y a la distancia que alcanza a recorrer el vehículo en esta fase se l e denomina distancia percepciónreacción ya que ocurre en el tiempo de percepción y el tiempo de reacción, los cuales se explican a continuación: *
El tiempo de percepción es el transcurrido desde que el conductor ve el obstáculo hasta el instante que toma la decisión acerca si debe frenar o no, este tiempo depende de la forma del objeto, las condiciones visuales del conductor y la predisposición del conductor sobre la maniobra de frenado. El tiempo de percepción puede ser del orden de 0.5 segundos en vías urbanas hasta 2 segundos en zonas rurales, siendo mayor este último debido a la falta de disposición del conductor para ejecutar la maniobra de frenado.
*
El tiempo de reacción es el empleado por el conductor para aplicar los frenos una vez que decide hacerlo y depende de la velocidad de reacción del conductor. Este tiempo es del orden de 0.5 a 1 segundo.
A la suma del tiempo de percepción y el tiempo de reacción se le conoce como tiempo sicotécnico, el cual, en el mejor de los casos es de 1,5 segundos en vías urbanas. De esta forma, la distancia percepción-reacción, dPR , puede calcularse fácilmente: d PR v t sic (Ecuacion 13.0)
donde v es la velocidad a la cual transita el vehículo y tsic es el tiempo sicotécnico. La segunda fase que es necesario considerar es aquella que transcurre desde que el conductor aplica los frenos hasta que el vehículo se detiene completamente y a la distancia que al canza a recorrer el vehículo en ésta se le denomina distanci a de frenado, la cual depende del facto r de fricción de los neumáticos contra el pavimento (Ver tabla 1) y de la inclinación de la vía. Para hallar una expresión que permita determinar la distancia de frenado, dF, supóngase que el vehículo se desplaza sobre una vía que tiene una i nclinación de un ángulo β, como se muestra en la Figura 22A.
30
FIGURA 22A. Fuerzas que actú an sobr e el vehículo.
FIGURA 22B. Descomposició n de fuerzas en ejes perpendiculares
Se identifican tres fuerzas: * * *
La fuerza de fricción de los neumáticos contra el pavimento, FF La fuerza normal, F N y el peso del vehículo, mg
Para facilitar el desarrollo del problema, en la Figura 22B se muestran las componentes del peso en la dirección del movimiento y en la dirección normal al movimiento del vehículo. Como en la dirección normal al movimiento no hay aceleración, tomando sumatoria de fuerzas en esa dirección obtenemos:
F N mg (cos ) 0 F N mg (cos )
(Ecuación 13.1)
Ahora, tomando sumatoria de fuerzas en la dirección del movimiento del vehículo tenemos:
F F mg ( sen ) m
dv dt
31
y como F F = µ F N , donde µ es el factor de fricción de los neumáticos contra el pavimento, el cual toma los siguientes valores (extraidos de la Referencia 6): Tabla 1: Factores de Fricc ión µ
dx
F N mg ( sen ) mv
dv
además, como
dv dt
dv dx
dt
v
dv dx
entonces:
(Ecuación 13.2)
dx
Y reemplazando la ecuación 13.1 en la 13.2 se obtiene:
mg (cos ) mg ( sen ) mv
dv dx
mg cos sen dx mvdv Ahora, integrando desde el momento en que se aplican los frenos hasta que se detiene por completo el vehículo: d F
0
0
v
g cos sen dx vdv g cos sen d F d F
d F
v
2
2
2 g cos sen
v
2
sen
cos
2 g cos
d F
v2
v2 2 g cos tan 32
Si P es la pendiente de l a vía, como P = tan β entonces: d F
v
2
(Ecuación 13.3)
2 g cos P
Ahora, si tenemos en cuenta que para pendientes entre -10% y 10%, el valor de cos β está entre 0.995 y 1, es decir cos β ≈ 1, entonces es posible realizar la siguiente aproximación:
d F
v
2
(Ecuación 13.4)
2 g P
en la cual el error obtenido es despreciable para los fines del estudio de colisiones vehiculares. Entonces, la distancia de visibilidad de frenado, dVF se obtiene sumando las distancias d PR y dF :
d VF d PR d F v t sic
v
2
2 g P
(Ecuación 13.5)
13.2 Aplicaciones y Punto de no escape (PNE) Como aplicación del cálculo de la distancia de percepción - reacción y frenado, se analizará la situación indicada en la Figura 23A. El vehículo 1 viene por una glorieta, mientras el vehículo 2 viaja en dirección sur - norte por la vía recta. Si ambos vehículos fueran a 60 km/h, y el vehículo 1 no fuera a marcar parada en el cruce, el conductor del vehículo 2, debería empezar la maniobra de frenado estando a 42,7 m del cruce, a partir de un punto llamado en l a literatura técnica PNE (Punto de no escape), el cual se determina por física. Es decir, sin importar el estado anímico del conductor, si una vez se llega a este punto, no se comienza la fase de percepción - reacción y el frenado, entonces la colisión es inevitable. En las Figuras 23B y 23C se indica la situación en la que el vehículo 1 viaja a mayor velocidad que el vehiculo 2, siendo por ejemplo evidente que, yendo el vehículo 1 a 100 km/h, el conductor del vehículo 2, tendría que empezar a frenar para evitar la col isión con el otro vehículo que viene mucho más atrás, es decir, el cual ni siquiera ha visto. Si se aumenta la velocidad del vehículo 2, el punto de no escape (PNE) quedaría más lejos, pero el resto del análisis es igual. La programación en Visual Basic, de las ecuaciones de tiempos de percepción - reacción y frenado, permiten analizar en segundos, todas las situaciones que se requieran y por lo tanto, estos análisis, representan una valiosa herramienta para el investigador.
33
25.00
FIGURA 23A
34
25.00
FIGURA 23B 35
25.00
FIGURA 23C 36
FIGURA 12.Relación entr e la energía disipadaen una colisi ón y el coefici ente de restitución
14. MOVIMIENTO DE UN VEHÍCULO EN UNA CURVA CIRCULAR A VELOCIDAD CONSTANTE En este capítulo se obtendrá la velocidad máxima a la cual un vehículo puede desplazarse sobre una curva circular con y sin peralte, de tal forma que no haya deslizamiento de los neumátic os sobre el pavimento. En la Figura 24 se muestra un vehículo en movimiento sobre una curva circular. El eje N apunta hacia el centro de la curva y el eje T es tangencial a ésta; así, para cada posición en que se encuentre el vehículo, los ejes perpendiculares N y T serán distintos. FIGURA 24. Vehículo desplazándose en una curva de radio R
CONVENCIONES m: v: R: μ:
T: N:
masa del vehículo velocidad del vehículo radio de la curva coeficiente de fricción entre los neumáticos y el pavimento eje tangencial a la curva eje con dirección hacia el centro de la curva
14.1. CURVAS SIN PERALTE A continuación, en la Figura 25 (Referencia 6), se muestra el diagrama de cuerpo libre del vehículo cuando el vehículo se encuentra en la curva. En ésta se pueden identificar tres fuerzas: · · ·
La fuerza de fricción de los neumáticos contra el pavimento, FF La fuerza normal a la superficie, F p y el peso del vehículo, mg
N N
FIGURA 25. Curvas sin peralte EN UNA CURVA CIRCULAR
37
Como en sentido vertical no hay aceleración, F P mg y por lo tanto
.
Ahora, como horizontalmente, sólo está presente la fuerza de fricción, ésta es igual a la masa del vehículo por la aceleración radial(d) a R : F F ma R m
v2 R
Por lo tanto, (mg ) m
v2 R
entonces, despejando v: v
gR
(Ecuación 14.1.1)
Con esta ecuación, se puede hallar la velocidad máxima a la cuál el vehículo circula sobre la curva sin que se produzca deslizamiento lateral (derrape) de los neumáticos. Si un vehículo toma una curva sin peralte excediendo la velocidad v, no sólo se complica el maniobrar al dificultársele controlar el carro, sino que inclusive, puede llegar a perder el control, aumentándose además el tiempo de percepción - reacción con respecto a una situación en una vía recta, dificultando cualquier maniobra y facilitando por lo tanto, la ocurrencia de una colisión o accidente. Es importante resaltar que la anterior ecuación no depende de la masa del vehículo.
14.2. CURVAS CON PERALTE
F F (mg )
Supóngase ahora que la curva tiene peralte con un ángulo β. En la Figura 26 (Referencia 6), se muestra el diag rama de cuerpo libre del vehículo cuando éste se en cuentra en la curva. FIGURA 26. Curvas con p eralte (Referencia 6).
â
FIGURA 26. Curvas c on p eralte
Las fuerzas presentes son las mismas que en el caso de curvas sin peralte, lo mismo que las conclusiones respecto a la pérdida de control del vehículo y el tiempo de percepción - reacción cuando se excede v para curvas con peralte. (d)
La aceleración radial en un movimiento circular uniforme es: a R
38
v2 R
15. ECUACIONES PARA MODELAR UNA COLISIÓN CENTRAL OBLICUA EN FIGURA 27. Posición de los v ehículos en el momento d e la colisión DOS DIMENSIONES A continuación se deducirán expresiones para el ángulo de la línea de choque, velocidades y ángulos pre y postcolisión a partir de la conservación de la cantidad de movimiento líneal. Es importante anotar que en la deducción de las si guientes ecuaciones se supondrá que la a ltura del centro de masa de los vehículos que colisionan es aproximadamente igual y por consiguiente, el análisis es bidimensional. Sin embargo, cuando existe una diferencia apreciable entre las alturas de los centros de masa, pueden ocurrir giros alreded or de los ejes x, y de los vehículos (ver Figura 38) y el análisis se vuelve sumamente complejo. En estos casos, deben aplicarse las ecuaci ones deducidas en el Capítulo 17, correspondientes al movimiento traslacional y rotacional en tres dimensiones de un cuerpo rígido.
Contacto
á Figura 27. Posición de los vehículos en el momento de la colisión.
CONVENCIONES F∆t: Vi1, Vf1: Vi2, Vf2: Vi1x’, Vi1y’, Vf1x’, Vf1y’: Vi2x’, Vi2y’, Vf2x’, Vf2y’:
α, α’: β, β’: φ:
Impulso que ejerce un vehículo al otro en el momento del impacto. Velocidades inicial y final del vehículo 1 Velocidades inicial y final del vehículo 2 Componentes en las direcciones x’ y y’ de las velocidades inicial y final del vehículo 1 Componentes en las direcciones x’ y y’ de las velocidades inicial y final del vehículo 2 Ángulos que forman las velocidades inicial y final del vehículo 1 con el eje x. Ángulos que forman las velocidades inicial y final del vehículo 2 con el eje x. Ángulo de la línea de choque.
40
Los ejes x y y son arbitrarios (pueden coincidir, por ejemplo, con los ejes geodésicos norte y sur) y los ejes x’ , y’ coinciden con la línea de choque y l a línea tangente al choque, respectivamente. Para expresar Vi1x’ en términos de Vi1 y Vi2x’ en términos de Vi2 es necesario tener en cuenta que los ángul os α y β están referenciados al eje x, por lo tanto, con respecto a la línea de choque (eje x’), los correspondientes ángulos serán ( α-φ) y ( β-φ). De esta forma,
V i1x’=V i1 cos ( α- φ) Vi2x’=Vi2 cos (β- φ).
Igualmente sucede con Vf1x’ y Vf2x’: Vf1x’=Vf1cos (α-φ) Vf2x’=Vf2 cos (β- φ).
ACLARACIÓN En un choque excéntrico el centro de masa de los vehículos que colisionan se desplaza en línea recta, por lo tanto es posible analizar el desplazamiento de éste mediante la conservación de la cantidad de movimiento lineal (ver Figuras 5A y 5B). A continuación se deducen las ecuaciones que describen tal desplazamien to. Para ver el análisis de un choque excéntrico considerando la cantidad de movimiento angular véase el Anexo 2.
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES Movimiento paralelo a la línea de choque (dirección x’): Según la tercera ley de Newton, los impulsos F∆t tienen igual magnitud y sentido contrario, por lo tanto se anulan. De esta forma se puede aplicar el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento lineal: m1Vi1x’+m2Vi2x’=m1Vf1x’+m2Vf2x’
(Ecuación 15.1)
Aplicando el concepto de coeficiente de restitución: Vf2x’ –Vf1x’=e(Vi1x’ –Vi2x’)
(Ecuación 15.2)
Movimiento perpendicular a la línea de choque (dirección y’): Debido a que el impulso en el momento de la colisión ocurren sólo en la dirección x’ , las respectivas componentes de las velocidades en la dirección y’ se conservan después de ocurrido el choque. Por tal motivo se puede afirmar: Vi1y’=Vf1y’
(Ecuación 15.3)
Vi2y’=Vf2y’
(Ecuación 15.4)
41
15.1. ÁNGULO DE LA LÍNEA DE CHOQUE φ EN FUNCIÓN DE LAS VELOCIDADES INICIALES Y FINALES DE LOS VEHÍCULOS Suponiendo que se conocen las velocidades y ángulos iniciales y finales, es posible hallar el valor del ángulo de la línea de choque de la siguiente forma: Reemplazando las velocidades inicial y final, por ejemplo del vehículo 2, en la Ecuación15.4 se obtiene: V i 2 sen( ) V f 2 sen( ' ) V i 2 ( sen cos sen cos ) V f 2 ( sen ' cos sen cos ' ) V i 2 sen cos V i 2 sen cos V f 2 sen ' cos V f 2 sen cos ' (V f 2 cos 'V i 2 cos ) sen (V f 2 sen 'V i 2 sen ) cos sen cos
tan
V f 2 sen 'V i 2 sen V f 2 cos 'V i 2 cos V f 2 sen 'V i 2 sen
V f 2 cos 'V i 2 cos
V f 2 sen 'V i 2 sen tan V f 2 cos 'V i 2 cos 1
(Ecuación 15.1.1)
Análogamente, el valor del ángulo de la línea de choque puede hallarse con las componentes en y’ de las velocidades inicial y final del vehículo 1, obteniendo:
V f 1 sen 'V i1 sen V f 1 cos 'V i1 cos
tan 1
(Ecuación 15.1.2)
El valor que se obtiene para el ángulo de la línea de choque ( φ) con la Ecuación 15.1.1, es el mismo que se obtiene con la Ecuación 15.1.2.
42
15.3.. CONDICIONES INICIALES 15.3 INICIALES EN FUNCIÓN DE LAS FINALES, DEL ÁNGULO DE LA LÍNEA DE CHOQUE Y DEL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN Suponiendo que se conocen las condiciones finales (velocidades y ángulos), el ángulo de la línea de choque, y el coeficiente de restitución, es posible hallar las condiciones iniciales: Despejando Vf2x’ de la ecuación 15.2: V i 2 x ' V i1 x '
V f 2 x ' V f 1x '
(Ecuación 15.3.1)
e
reemplazando la ecuación 15.3.1 en la ecuación 15.1:
m1V i1 x ' m 2V i1 x '
m 2V f 2 x ' e
m 2V f 1 x ' e
V i1 x ' (m1 m 2 ) m1V f 1 x ' m 2V f 2 x '
V f 1 x ' m1 V i1 x '
m 2V f 2 x ' e
m 2V f 1x ' e
m 2
m V f 2 x ' m 2 2 e e (m1 m 2 )
V f 1 cos( ' ) m1
V i1 x '
m1V f 1 x ' m 2V f 2 x '
m 2
m V f 2 cos( ' ) m 2 2 e e (m1 m 2 )
(Ecuación 15.3.2)
Reemplazando la ecuación 15.3.2 en la ecuación 15.3.1:
V f 1 x ' m1 V i 2 x '
V f 1 x ' m1 V i 2 x '
m 2
m V f 2 x ' m 2 2 e e V f 2 x ' V f 1x ' (m1 m 2 ) e
m 2
m m m m m V f 2 x ' m 2 2 V f 2 x ' 1 V f 2 x ' 2 V f 1 x ' 1 V f 1 x ' 2 e e e e e e (m1 m 2 ) (m1 m 2 )
45
V f 1 x ' m1 V i 2 x '
m1
m V f 2 x ' m 2 1 e e (m1 m 2 )
V f 1 cos( ' ) m1
V i 2
m1
m V f 2 cos( ' ) m 2 1 e e (m1 m 2 )
(Ecuación 15.3.3)
de la ecuación 15.3: V i1y’= Vf1y’ V i1y’= Vf1 sen ( α’- φ)
(Ecuación 15.3.4)
de la ecuación 15.4: V i2y’= Vf2y’ V i2y’= Vf2 sen (β’- φ)
(Ecuación 15.3.5)
Por lo tanto, la velocidad inicial del vehículo 1 será: 2
m 2 m 2 V f 1 cos( ' ) m1 e V f 2 cos( ' ) m 2 e V sen( ' )2 (Ecuación 15.3.6) V i1 f 1 (m1 m 2 ) y su ángulo inicial con respecto al eje x’ será:
( ) tan 1
V f 1 sen( ' )(m1 m 2 )
V f 1 cos( ' ) m1
m 2
m V f 2 cos( ' ) m 2 2 e e
46
por lo tanto, el ángulo inicial del vehículo 1 con respecto al eje x será: V f 1 sen( ' )(m1 m 2 )
tan 1
V f 1 cos( ' ) m1
m 2
m V f 2 cos( ' ) m 2 2 e e
(Ecuación 15.3.7)
Así mism mismo, o, la vel velocid ocidad ad ini inicia ciall del vehí vehículo culo 2 será será:: 2
m1 m1 V f 1 cos( ' ) m1 V f 2 cos( ' ) m 2 e e V f 2 sen( ' )2 (Ecuación 15.3.8) V i 2 (m1 m 2 ) y su ángulo inicial con respecto al eje x’ será:
( ) tan 1
V f 2 sen( ' )(m1 m 2 )
V f 1 cos( ' ) m1
m1
m V f 2 cos( ' ) m 2 1 e e
por lo tanto, el ángulo inicial del vehículo 1 con respecto al eje x será:
tan 1
V f 2 sen( ' )(m1 m 2 ) m m V f 1 cos( ' ) m1 1 V f 2 cos( ' ) m 2 1 e e
47
(Ecuación 15.3.9)
16. GIROS ALREDEDOR DE LOS TRES EJES PRINCIPALES DE UN VEHÍCULO A continuación se describen los posibles giros de un automóvil en la fase postcolisión que hacen necesaria la consideración de tres dimensiones para el desarrollo de las ecuaciones de movimiento.
16.1. BAMBOLEO O "ROLLOVER" Se denomina bamboleo o vuelta de campana o "rollover" a aquella que da un vehículo cuando por alguna circunstancia gira alrededor de su eje longitudinal (ver Figuras 28A y 28B).
FIGURA 28B. B amboleo
FIGURA 28A. B amboleo
Para su estudio, consideremos un vehículo, el cual visto frontalmente sea aproximadamente rectangular, como el que se muestra en la Figura 29.
FIGURA 29. Posición del centro de masa de un vehic ulo (vista fro ntal).
Donde: a : distancia desde el pavimento hasta el centro de masa del vehículo. b : distancia desde la parte exterior de las llantas hasta el centro de masa del vehículo. c : distancia desde el techo hasta el centro de masa del vehículo.
48
16.1.1. VUELTA DE CAMPANA DE 90º Para que haya una vuelta de campana de 90º y el vehículo quede sobre uno de sus costados, es necesario que, mientras el vehículo gira sobre una de las llantas, su centro de masa se eleve y supere una altura h1 (ver Figura 30) que es aproximadamente igual a: h1
a2 b2
(Ecuación 16.1.1.1)
FIGURA 30. Máximo po tencial para qu e ocurra u na vuelta de c ampana de 90º
A medida que las llantas se despegan del pavimento y el automóvil empieza a rotar, la altura del centro de masa empieza a aumentar, al igual que la energía potencial local del vehículo; de esta forma, para que haya una vuelta de campana de 90º es necesario que la conversión de energía cinética en trabajo sea suficiente para levantar el centro de masa por encima de una altura h1. Si esto sucede, el vehículo continuará girando y la altura del centro de masa empezará a disminuir hasta un valor de b, para el cual estará apoyado sobre uno de sus costados. Así, h1 es la altura del centro de masa para la cual el vehículo alcanza un punto de máxima energía potencial y se produce una vuelta de campana de 90º. Además es equivalente a un giro de un ángulo igual a:
b 1 tan 1 a
(Ecuación 16.1.1.2)
16.1.2. VUELTA DE CAMPANA DE 180º Si después de producirse una vuelta de campana de 90º aún queda energía suficiente para que el automóvil siga girando, es posible que éste quede sobre su techo completando un giro de 180º. Para que esto suceda, es necesario que la altura del centro de masa empiece nuevamente a aumentar desde b y supere una altura h2 (ver Figura 31) dada por la siguiente expresión: h2 b 2 c 2
(Ecuación 16.1.2.1)
FIGURA 31. Máximo p otencial para qu e ocurra un a vuelta de campana de 180º
49
Así, el ángulo tota l de rotación que debe superar el vehículo para que se de una vuelta de campana de 180º es:
c 2 90º tan 1 b
(Ecuación 16.1.2.2)
h2 es entonces, un segundo máximo de energía potencial, y cuando esta altura es superada por el centro de masa, éste empieza a bajar hasta quedar a una altura c desde el piso (el vehículo está sobre su techo).
16.1.3. VUELTA DE CAMPANA DE 270º Para que ocurra una vuelta de campana de 270º, es necesari o que la altura del centro de masa del vehículo empiece a aumentar desde c hasta un tercer máximo potencial h3 (ver Figura 32) y lo supere. El valor de h3 se puede calcular mediante la siguiente expresión:
h3 b c 2
2
(Ecuación 16.1.3.1)
FIGURA 32. Máximo po tencial para que o curra un a vuelta de campana de 270º
Y el ángulo total de rotación que debe superar el vehículo para que se de una vuelta de campana de 270º es:
c 3 180 º tan 1 b
(Ecuación 16.1.3.2)
Después de superado el terce r máximo de energía potencial, la altu ra del centro de masa empieza a disminuir hasta quedar a una altura b desde el piso (el vehículo está sobre su otro costado).
50
16.1.4. VUELTA DE CAMPANA DE 360º Para que ocurra una vuelta de campana de 360º, es necesario que la altura del centro de masa del vehículo empiece a aumentar desde b hasta un cuarto máximo potencial h4 (ver Figura 33) y lo supere. El valor de h4 se puede calcular mediante la siguiente expresión: h4 a 2 b 2
(Ecuación 16.1.4.1)
FIGURA 33. Máximo potencial para que ocur ra una vuelta d e campana de 360º
El ángulo total de rotación que debe superar el vehículo para que se de una vuelta de campana de 360º es: 1 b 4 270º tan a
(Ecuación 16.1.4.2)
Después de superado el cuarto máximo de energía potencial, la altura del centro de masa empieza a disminuir hasta quedar a una altura a desde el piso (el vehículo vuelve a su posición inicial). En la Figura 34 se muestra un resumen de la energía potencial mientras un vehículo gira dando vueltas de campana.
FIGURA 34. Máximos potenciales para vu eltas de campana
51
16.1.5. TRABAJO REALIZADO POR UN VEHÍCULO QUE GIRA EN VUELTAS DE CAMPANA Para el desarrollo de las siguientes expresiones se supondrá un vehículo que visto frontalmente es aproximadamente rectangular y que no sufre deformaciones significativas durante los giros en vuelta campana. Sean: g m U
: Aceleración de la gravedad. : Masa del vehículo. : Trabajo realizado por el vehículo al dar vueltas de campana.
Considérense los siguientes casos: I.
El vehículo se levanta del piso pero no alcanza a dar una vuelta de campana de 90º y vuelve a la posición inicial:
U mg h1 a U mg a 2 b 2 a
II.
(Ecuación 16.1.5.1)
El vehículo da una vuelta de campana de 90º:
U mg h1 a U mg a 2 b 2 a
III.
(Ecuación 16.1.5.2)
El vehículo da una vuelta de campana de 180º:
U mg h1 a h2 b U mg a 2 b 2 a b 2 c 2 b
IV.
(Ecuación 16.1.5.3)
El vehículo da una vuelta de campana de 270º:
U mg h1 a h2 b h3 c
U mg a 2 b 2 a b 2 c 2 b b 2 c 2 c U mg a 2 b 2 2 b 2 c 2 a b c
(Ecuación 16.1.5.4)
52
V.
El vehículo da una vuelta de campana de 360º:
U mg h1 a h2 b h3 c h4 b
U mg a 2 b 2 a b 2 c 2 b b 2 c 2 c a 2 b 2 b U mg 2 a 2 b 2 2 b 2 c 2 a 2b c
(Ecuación 16.1.5.5)
De esta forma, por ejemplo, si el volcamiento del vehículo se produce únicamente por la acción de la energía cinética, la mínima velocidad a la cual se puede producir vuelta de campana de 90º se puede calcular de la siguiente forma, utilizando la ecuación 16.1.5.2: 1 2
mv 2 mg a 2 b 2 a
v 2 g a 2 b 2 a
(Ecuación 16.1.5.6)
16.2. CABECEO O "FLIP" Cuando el vehículo gira al rededor de su eje lateral, debido a qu e sus ruedas delanteras por algún motivo se bloqueen, se dice que ocurre un movimiento de cabeceo o "flip" (ver Figura 35).
FIGURA 35. Flip (cabeceo)
53
Para estudiar este movimiento consideremos la Figura 36.
FIGURA 36. Posición del centro d e masa de un vehículo (vis ta lateral)
Donde: a c d e
: : : :
distancia desde el pavimento hasta el centro de masa del vehículo. distancia desde el techo hasta el centro de masa del vehículo. distancia desde el frente hasta el centro de masa del vehículo. distancia desde la parte de atrás hasta el centro de masa del vehículo.
Como primera medida es necesario mencionar que para que ocurra el cabeceo es necesario que la fuerza que bloquee los neumáticos esté ubicada por debajo del centro de masa. El caso del cabeceo es mucho más fácil de estudiar que el del bamboleo ya que sólo existen dos puntos de inestabilidad, que son cuando el vehículo se encuentra parado en su parte frontal (para el cual el máximo potencial a vencer será d) y cuando se encuentra parado en su parte posterior (para el cual el máximo potencial a vencer será e). Debido a que la mayoría de los vehículos tienen el centro de masa más cercano al frente que a la parte posterior, es mucho más fácil que el vehículo gire alrededor de su parte frontal a que gire alrededor de su parte posterior ya que la energía necesaria para este último movimiento es mucho mayor.
16.3. TROMPO O "SPIN" Se denomina movimiento en trompo o "spin" a aquel que se produce cuando un vehículo gira alrededor de su eje vertical (ver Figura 37). Normalmente, un auto que gira en trompo, no presenta cabeceo o bamboleo debido a que el suelo no lo permite. ( La energía cinética de un cuerpo en rotación ya fue tratada en el numeral 5).
FIGURA 37. Spin (trompo )
54
Sin embargo, si se escogen los ejes xyz de manera que coincidan con los ejes principales de inercia del cuerpo rígido, entonces: I xy I yx 0 , I xz I zx 0 , I yz I zy 0
y por lo tanto:
( I ) i x ( M c ) x i xx i j k Ω y Ω z ( M c ) y j ( I yy y ) j Ω x ( M c ) z k ( I zz z )k (H c ) x (H c ) y (H c ) z
(Ecuación 17.5)
Y escribiendo estarelación vectorial en términos de sus componentes escalares: (
M )
c x
(
M )
(
c y
I xx x I yy z y I zz y z
I yy y I zz x z I xx z x
M c ) x I xx x I yy z y I zz y z
Ahora, con el fin de obtener una mayor simplificación, se escogerá un marco de referencia xyz girando a la misma velocidad angular que el cuerpo rígido (es decir ), entonces:
( ( (
M c ) x I xx x I yy z y I zz y z
M )
c y
M )
c z
I yy y I zz x z I xx z x
I zz z I xx y x I yy x y
Finalmente, agrupando términos y complementando con las componentes escalares de la Ecuación 17.1, se obtiene: Ecuaciones de Euler (e) ( (
M )
c y
M )
(
c z
I yy y ( I zz I xx ) z x
F
x
I zz z ( I xx I yy ) x y
M c ) x I xx x ( I yy I zz ) y z
m (a c ) x
F m(a ) F m(a )
(Ecuación 17.6)
y
c y
z
c
z
Las 6 ecuaciones anteriores se con ocen como ecuaciones del movimiento de Euler, en honor al matemático suizo del siglo XVIII, L eonhard Euler (1707-1783).
(e)
57
17.2. ÁNGULOS DE ORIENTACIÓN Hasta el momento, con las tres primeras ecuaciones de Euler (las correspondientes a la rotación) es posible encontrar las componentes de la velocidad angular del cuerpo con respecto a los ejes xyz (ejes principales de inercia del cuerpo rígido). Estas son:
, y y z .
Ahora, con el fin de determinar la orientación del cuerpo, se plantearán tres ecuaciones más que expresen a x , y y z en términos de los ángulos de Euler, los cuales se explican a continuación: Como primera medida, se partirá de una posición de referencia en la cual los ejes xyz y XYZ coincidan, ver Figura 38.
x FIGURA 38
A continuación, se giran los ejes un ángulo (ángulo de precesión) sobre el eje Z como se indica en las Figuras 39A y 39B, apareciendo unos nuevos ejes que se denotarán por x’, y’, z’.
FIGURA 39B. Giro so bre el eje Z
FIGURA 39A. Giro sob re el eje Z
58
Por lo tanto el vector que representa la razón de cambio del ángulo de precesión tiene la misma dirección que el eje z’ (que es el mismo eje Z).
con respecto al tiempo
El siguiente paso es rotar los ejes x’, y’, z’ un ángulo (ángulo de nutación) sobre el eje x’ , generando los ejes x”, y”, z” tal como se muestra en las Figuras 40A y 40B.
FIGURA 40B. Giro so bre el eje x´
FIGURA 40A. Giro sob re el eje x´
De esta forma, el vector que representa la razón de cambio del ángulo de nutación con respecto al tiempo tiene la misma dirección que el eje x ” (que es el mismo eje x’). Además, teniendo en cuenta la
geometría de la Figura 40B, es fácil ver que el vector
se puede descomponer como cos sobre el eje
z”
y sen sobre el eje y”.
59
Por último, se giran los ejes x”, y”, z” un ángulo (ángulo de giro) sobre el eje z” (ver Figuras 41A y 41B) obteniéndose finalmente los ejes xyz (ejes principales de inercia del cuerpo). Así, el vector
que representa la
razón de cambio del ángulo de giro con respecto al tiempo tiene la misma dirección que el eje z (que es el mismo eje z”).
FIGURA 41A. Giro sobre el eje z´´
FIGURA 41B. Giro so bre el eje z´´
sen
De la Figura 41B, puede verse que sólo resta descomponer los vectores
y sobre los ejes
principales de inercia ( xyz ). Sin embargo, como sen y están en el plano x”y” que es el mismo plano xy , entonces no habrá componente de estos sobre el eje z (solamente existirán componentes sobre el eje x y sobre el eje y ).
A continuación, en l a Figura 42, se muestra el vector sen sobre el plano xy (el eje z está apuntan
do hacia fuera de la página) y fácilmente se ve que la componente sobre el eje x es sen sen y
que la componente sobre el eje y es sen cos .
FIGURA 42. Descompo sició n de ψ senθ sobre los ejes x, y
60
En la Figura 43 se muestra el vector sobre el plano xy (el eje z está apuntando hacia fuera de la página) y
fácilmente se ve que la componente sobre el eje x es cos y que la componente sobre el eje y es sen .
FIGURA 43. Descomposi ción de φ sobre los ejes x , y
En la Figura 44 se muestran todas las componentes de las velocidades angulares en las tres direcciones coordenadas determinadas por los ángulos de Euler:
FIGURA 44. Componentes de las v elocidades angu lares en las direcciones de los ángulos de Euler
Luego, las tres ecuaciones que expresan a x , y y z en términos de los ángulos de Euler son: Angulos de Orientación
x sen sen cos y sen cos sen
(Ecuación 17.7)
z cos
61
Entonces, como los términos x , y y z son conocidos, se tienen tres ecuaciones en las cuales las tres incógnitas son los ángulos de Euler: , , los cuales pueden ser determinados y así conocer la orientación del cuerpo, ya sea una nave espacial o un automóvil. Sin embargo, cuando es cero pueden presentarse dificultades de tipo numérico en la solución de las ecuaciones y entonces es necesario emplear otros ángulos de orientación para la ubicación del cuerpo en el espacio. Tales ángulos son los empleados en la aerodinámica: “roll”, “pitch” y “yaw ” y se ilustran en la Figura 45, (Referencia 16).
FIGURA 45. Ángul os de orient ación empleados en la aerodin ámica
Primero se gira un ángulo ψ 1 (yaw) alrededor del eje vertical, luego un ángulo ψ 2 (pitch) alrededor del eje a lo largo del ala y por último un ángulo ψ 3 (roll) alrededor del eje longitudinal. Luego, realizando un procedimiento análogo al realizado con los ángulos de Euler se obtienen tres ecuaciones que reemplazan a las tres ecuaciones deducidas anteriormente. Ángulos de orientación us ados en la aerodinámica
x 3 1 sen 2
(Ecuación 17.8)
y 2 cos 3 1 cos 2 sen 3
z 2 sen 3 1 cos 2 cos 3 62
17.3. ECUACIONES DE EULER EN UN AUTOMÓVIL Si los ejes del vehículo se orientan de tal forma que “x-x” esté a lo largo de la línea de izquierda a derecha, “y-y” esté a lo largo de la línea desde la parte de atrás hasta el frente y “z-z” esté a lo largo de la línea desde la parte inferior hasta la superior del vehículo, (ver Figura 46) en general, se puede encontrar que “Ix-x” y “Iz-z” son aproximadamente iguales. Este hecho se debe a que la distribució n de masa desde los ejes de rotación es muy similar en ambos casos, para la mayoría de los vehículos. Además, se puede ver que para la mayoría de los vehículos , el momento de inercia en el eje “y-y” es mucho menor que los otros dos momentos de inercia en los ejes principales, por tal motivo, hay mayor rotación cuando se aplica un torque al término “I y-y ” que cuando se aplica a “ Ix-x ” o “I z-z ”. Ahora, teniendo en cuenta que: ·
Como Ixx ≈ Izz, entonces I xx - Izz ≈ 0
·
Como I yy << Ixx , entonces Ixx – I yy ≈ Ixx
·
Y como I yy<< Izz, entonces I zz – Iyy ≈ Izz
es posible simplificar las ecuaciones de Euler para los vehículos de l a siguiente forma:
Ecuaciones de Euler para automóviles
(
M )
(
c y
(
M )
c x
I xx x I zz y z
I yy y
M c ) z I zz z I xx x y
F m ( a ) F m(a ) F m(a ) x
c
y
c y
z
c
x
Figura 46. Sistema de ejes según Noo n (Referencia 1)
z
63
18. ECUACIÓN DEL COHETE Para tener en cuenta las pérdidas de masa, presentes en muchas colisiones, se introducirá la conocida “ ecuación del cohete” la cual expresa la velocidad de un cohete en función de la masa que pierde y la velocidad a la que ésta sale despedida. Luego, al final se hace una analogía entre las dos situaciones: la colisión vehicular y el movimiento del cohete. Supóngase que en el instante t se tiene un cohete de masa total m que se mueve con velocidad v, respecto a la tierra y además que en un intervalo de tiempo dt el cohete expulsa una masa de gases dmg con velocidad vs respecto al propio cohete (y, por lo tanto, con velocidad v-v s respecto a la tierra). Sean dv y dm los cambios de velocidad y de masa que sufre el cohete como consecuencia de haber arrojado esta masa de gases (ver Figura 47, Referencia 21).
FIGURA 47. El cohete cl ásico.
64
Por conservación de momento, el momento total antes de expulsar los gases y el momento total después de expulsarlos son iguales. El momento total antes de expulsar los gases es mv y el momento total después de expulsarlos es el momento del cohete (m+dm) (v+dv), más el momento de los gases expulsados, dmg (v-vs ) . Por lo tanto: mv ( m dm )(v dv) dm g (v v s )
(Ecuación 18.1)
Pero, como dm g = -dm, entonces: mv ( m dm )(v dv) dm (v v s ) mv mv mdv vdm dmdv vdm v s dm 0 mdv dmdv v s dm
(Ecuación 18.2)
Y como dmdv ≈ 0 se tiene que: mdv v s dm 0
dv
vs m
dm
Ahora, integrando durante el intervalo en el cual hay pérdida de masa: v
0
m
dv
v s
m dm
m0
v v s ln(m) ln( m 0 )
m v v s ln m 0
(Ecuación 18.3)
Donde m0 es la masa inicial total del cohete (la masa del cohete más la del combustible, en el momento en que arranca). Esta ecuación puede usarse análogamente en una colisión, donde m0 sería la masa de un vehículo antes de colisionar, m la masa después de la colisión, vs la velocidad a la que sale despedida la masa perdida y así v sería el cambio en la velocidad del veh ículo, debido a la pérdida de masa. El signo men os, indica que este cambio en la velocidad se presenta en sentido contrario al que sale la masa que se pierde. Con esto, puede verse la gran complejidad que se presenta si se tratan de analizar todos los factores presentes en una colisión.
65
68
Anexo 1
En muchos casos, en el proceso de investigación de las velocidades a las cuales circulaban los vehículos envueltos en una colisión, es importante determinar en que condiciones el vehículo se desliza o se vuelca. A continuación se tratará este asunto y se derivarán las expresiones y relaciones geométricas que permiten determinar estas velocidades para curvas con o sin peralte.
69
Anexo 2 A continuación se deducen las ecuaciones que re lacionan las condiciones pre y postcolisión en un choque excéntrico bidimensional.
75
ECUACIONES PARA MODELAR UNA COLISIÓN EXCÉNTRICA EN DOS DIMENSIONES
Contacto
á
Colisión Excéntrica CONVENCIONES P: F ∆ t : V i1 ,V f1: V i2 ,V f2: V i1x’ ,V i1y’ , V f1x’ , V f1y’ : V i2x’ ,V i2y’ , V f2x’ , V f2y’ : V Pi1 ,V Pf1: V Pi2 ,V Pf2: V Pi1x’ ,V Pi1y’ ,V Pf1x’ ,V Pf1y’ : V Pi2x’ ,V Pi2y’ ,V Pf2x’ ,V Pf2y’ :
ω f1 ,ω f2: r P1 , r P2: α ,α ’: β ,β ’: φ:
Punto de contacto entre los vehículos en el momento de la colisión. Impulso que ejerce un vehículo al otro en el momento del impacto. Velocidades inicial y final del centro de masa del vehículo 1. Velocidades inicial y final del centro de masa del vehículo 2. Componentes en las direcciones x’ y y’ de las velocidades inicial y final de masa del vehiculo 1. Componentes en las direcciones x’ y y’ de las velocidades inicial y final del centro de masa del vehículo 2. Velocidades inicial y final del punto de contacto P del vehículo 1. Velocidades inicial y final del punto de contacto P del vehículo 2. Componentes en las direcciones x’ y y’ de las velocidades inicial y final del punto de contacto P del vehículo 1. Componentes en las direcciones x’ y y’ de las velocidades inicial y final del punto de contacto P del vehículo 2. Velocidades angulares finales de los vehículos 1 y 2. Vectores desde el centro de masa hasta el punto de contacto P de los vehículos 1 y 2. Ángulos que forman las velocidades inicial y final del centro de masa del vehículo 1 con el eje x’. Ángulos que forman las velocidades inicial y final del centro de masa del vehículo 2 con el eje x’. Ángulo de la línea de choque.
76
MOVIMIENTO PERPENDICULAR A LA LÍNEA DE CHOQUE: En esta dirección, las componentes de la velocidad se conservan después de ocurrido el choque: V i 2 y ' V f 1 y ' V i 2 y ' V f 2 y '
MOVIMIENTO PARALELO A LA LÍNEA DE CHOQUE: Igualmente que en las colisiones centrales oblicuas, en la dirección paralela a la línea de choque aplicando la conservación de la cantidad de movimiento lineal, se tiene que: m1V i1 x ' m2V i 2 x ' m1V f 1 x ' m2V f 2 x '
(Ecuación A2.1)
Sin embargo, para aplicar el concepto de coeficie nte de restitución explicado en el Capítulo 8, es necesario tener en cuenta que las velocidades relativas de separación y aproximación se refieren, en este caso, al punto de contacto entre los vehículos: e
V Pf 2 x ' V Pf 1 x ' V Pi1 x ' V Pi 2 x '
Y suponiendo que los automóviles no giran antes de la colisión V Pi1 x ' V i1 x ' ; V Pi 2 x ' V i 2 x ' :
V i1 x ' V i 2 x ' e V Pf 2 x ' V Pf 1x '
(Ecuación A2.2)
VELOCIDAD FINAL DEL PUNTO P (PUNTO DE CONTACTO): Para el automóvil 1: V Pf 1 V f 1 f 1 r P 1
V Pf 1 x' ˆi V Pf 1 y ' jˆ V f 1 x' ˆi V f 1 y ' jˆ
ˆi
jˆ
ˆ k
0
0
f 1
r P 1 x '
r P 1 y '
0
donde ˆi , jˆ son vectores unitarios en l as direcciones x’, y’ respectivamente.
77
De esta forma:
V Pf 1 x ' ˆi V Pf 1 y ' jˆ V f 1 x ' ˆi V f 1 y ' jˆ - r P 1 y ' f 1 ˆi r P 1 x ' f 1 ˆj Y expresando la anterior ecuación por componentes se obtiene: V Pf 1 x ' V f 1 x ' - r P 1 y ' f 1
(Ecuación A2.3)
V Pf 1 y ' V f 1 y ' r P 1 x ' f 1
(Ecuación A2.4)
Para el automóvil 2: El procedimiento es análogo que para el caso del automóvil 1, obteniendo: V Pf 2 x ' V f 2 x ' - r P 2 y ' f 2
(Ecuación A2.5)
V Pf 2 y ' V f 2 y ' r P 2 x ' f 2
(Ecuación A2.6)
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR RESPECTO AL PUNTO P: Para el automóvil 1: ˆ I 1 i1 r ˆ r P 1 m1 V i1 k P 1 m1 V f 1 k I 1 f 1
Donde I 1 es el momento de inercia del automóvil 1 con respecto a un eje vertical que pasa por el punto P. Y como se está suponiendo que los automóviles no tienen velocidad angular inicial i1 0 : ˆ r ˆ r P 1 m1 V i1 k m V P 1 1 f 1 k I 1 f 1
ˆi
jˆ
ˆ k
ˆi
jˆ
ˆ k
m1 r P 1 x '
r P 1 y '
ˆ m1 r 0 k P 1 x '
r P 1 y '
ˆ I 1 f 1 0 k
V i1 x '
V i1 y '
0
V f 1 y '
0
V f 1 x '
ˆ ˆ ˆ ˆ m1 r P 1 x 'V i1 y ' r P 1 y 'V i1 x ' k k m1 r P 1 x 'V f 1 y ' r P 1 y 'V f 1 x ' k k I 1 f 1
78
m1r P 1 x 'V i1 y ' m1r P 1 y 'V i1 x ' m1r P 1 x 'V f 1 y ' m1r P 1 y 'V f 1 x ' I 1 f 1
(Ecuación A2.7)
Para el automóvil 2: El procedimiento es análogo que para el caso del automóvil 1, obteniendo: m2 r P 2 x 'V i 2 y ' m2 r P 2 y 'V i 2 x ' m2 r P 2 x 'V f 2 y ' m2 r P 2 y 'V f 2 x ' I 2 f 2
(Ecuación A2.8)
Como puede verse, en las Ecuaciones A2.1 a A2.8, si se consideran conocidas las cond iciones precolisión, las incógnitas son: V f 1 x ' ; V f 2 x ' ; V Pf 1 x ' ; V Pf 2 x ' ; V Pf 1 y ' ; V Pf 2 y ' ; f 1 ; f 2
Es decir, se tienen 8 ecuaciones con 8 incógnitas, conformando un sistema 8x8 de ecuaciones li neales, el cual no es fácil de resolver manualmente. Además se tiene la dificultad adicional de ser necesario conocer con exactitud el punto de contacto entre los vehículos, ubicado vectorialmente con respecto a los ejes x’ y y’. Teniendo en cuenta lo anterior, es razonable hacer la simpli ficación de no considerar la rotación y a plicar las expresiones presentadas en el Capítulo 15, ya que los errores obtenidos son del orden del 5% para las velocidades y del 4% para los ángulos.
79
80
Anexo 3 A continuación se presenta un ejemplo tomado de la Referen cia 22 en el cual se determinan los modos normales de vibración de un automóvil considerado como un sistema de dos grados de libertad.
81
SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Las ecuaciones de vibración de un cuerpo con dos grados de libertad sin amortiguamiento son:
(Ecuación A3.1)
m11 x 1 m12 x 2 k 11 x1 k 12 x 2 0
(Ecuación A3.2)
m 21 x 1 m 22 x 2 k 21 x1 k 22 x 2 0
O en forma matricial:
m11 m 21
m12 x 1
k 11 m 22 x k 21 2
k 12 x1
0 k 22 x 2 0
(Ecuación A3.3)
Donde:
x1 , x 2 :
Coordenadas del cuerpo.
m11 , m12 , m 21 , m 22 :
Coeficientes de la matriz de masa (los cuales varían según se elijan las coordenadas).
k 11 , k 12 , k 21 , k 22 :
Coeficientes de la matriz de rigidez (los cuales varían según se elijan las coordenadas).
Supóngase que se tiene una barra rígida cuyo centro de masa no coincide con su centro geométrico y que está apoyado en sus extremos por dos resortes (ver Figura A3.1).
FIGURA A3.1 Barra rígida soportada por resortes en sus extremos.
82
Ahora, escribiendo en forma matri cial el sistema de ecuaciones 2x2 conformado por las Ecuaciones A3.3 y A3.4 se obtiene: m 0 x k 1 k 2 0 J k l k l C 2 2 11
k 2 l 2 k 1l 1 x 0
k l
2
1 1
k 2 l 2 2 0
(Ecuación A3.6)
Y si se supone que el movimiento es armónico con frecuencia
:
2
Entonces las Ecuaciones A3.4 y A3.5 se convierten, respectivamente en:
k k m x k l k l 0
(Ecuación A3.7)
k 2 l 2 k 1l 1 x k 1l 1 2 k 2 l 2 2 2 J C 0
(Ecuación A3.8)
2
1
2
2 2
1 1
x 2 x
Y en forma matricial:
k 1 k 2 2 m x 0 k 2 l 2 k 1l 1 2 2 2 k l k l k l k l J 0 1 1 2 2 C 2 2 11
(Ecuación A3.9)
La Ecuación A3.9 sólo tiene solución no trivial si el determinante de la matriz de coeficientes es cero, por lo tanto, puede hallarse fácilme nte el valor de la frecuencia:
k k
2 m k 2 l 2 k 1l 1 0 2 k 2 l 2 k 1l 1 k 1l 1 k 2 l 2 2 2 J C 1
2
k k 1
2
2
2
2 m k 1l 1 2 k 2 l 2 2 2 J C k 2 l 2 k 1l 1 2 0 2
2
2
2
2
2
k 1 l 1 k 1 k 2 l 2 k 1 2 J C k 1 k 2 l 1 k 2 l 2 k 2 2 J C 2 mk 1l 1 2 mk 2 l 2 4 mJ C
k 2 2 l 2 2 2k 1 k 2 l 1l 2 k 1 2 l 1 2 0
84
mJ C 4 k 1 k 2 J C k 1l 1 2 k 2l 2 m 2 k 1k 2 l 1 l 2 0 k 1 k 2 J C k 1l 1 2 k 2 l 2 2 m k 1 k 2 J C k 1l 1 2 k 2 l 2 2 m 4mJ C k 1 k 2 l 1 l 2 2 2
2
2mJ C
k 1 k 2 J C k 1l 12 k 2l 2 2 m k 1 k 2 J C k 1l 12 k 2l 2 2 m 4mJ C k 1k 2 l 1 l 2 2 2
2mJ C
(Ecuación A3.10)
A continuación se supondrá que el caso estudiado hasta aquí se trata de un vehículo (ver Figura A3.3).
l 1 C 1.2232 4 m .6 kg m 2 J
FIGURA A3.3. Vibración de un automó vil com o un sístema de 2 grados de libertad
Se supondrá que el automóvil tiene los siguientes valores (Referencia 22): m 1500 kg l 2 1.7 m k 1 35 kN / m k 2 38 kN / m r 1.22 m
85
De esta forma, aplicando la Ecuación A3.10, se obtiene: 1 6.82 rad / s 65,13 rpm 2 9.06 rad / s 86,52 rpm
Y de la Ecuación A3.7, la amplitud es:
k k 1
2
2 m x k 2 l 2 k 1l 1 0
k k m x k l k l 2
1
x
2
11
2 2
k 1l 1 k 2l 2
(Ecuación A3.11)
k 1 k 2 m 2
Entonces para la frecuencia natural 1 se obtiene: 35000 1.4 38000 1.7 x 4.83m / rad 2 35000 38000 6 . 82 1500 1 Y para la frecuencia natural 2: 35000 1.4 38000 1.7 x 0.31m / rad 2 2 35000 38000 9.06 1500 A continuación, e n las Figuras A3.4, A3.5, A3.6 y A3.7 se il ustran, en u na representa ción s implificada los dos modos normales de vibración, con lo cual puede verse que el primer modo de vibración corresponde a un gran desplazamiento vertical con poca rotación, mientras que el segundo modo es prácticamente sólo rotación.
FIGURA A3.4 Primer modo norm al de vibració n del sistema mostrado en la figura A3.3
86
FIGURA A3.5 Primer modo normal de vibración del sistema mostrado en la figura A3.3
FIGURA A3.6 Segundo mod o normal de vib ració n del sistema mos trado en la figur a A3.3
FIGURA A3.7 Segundo mod o de vibració n del sistema mostr ado en la figura A3.3
87
Anexo 4
89
4.1 INTRODUCCIÓN Con el fin de poder describir la severidad de los daños en los vehículos que se ven envueltos en una colisión, es necesario definir un índice de deformación vehi cular, el cual ya se habia mencionado en el numeral 12.2. La información aquí descrita se basa en las recomendaciones dadas en la referencia 7.
4.2 DESCRIPCIÓN DEL ÍNDICE DE DEFORMACIÓN El índice de deformación compuesto por 7 cifras, incluye 4 datos, los cuales se describen brevemente y se ilustran por medio de figuras: 1. 2. 3. 4.
Dirección de la fuerza principal en el punto de impacto (Ver numeral 4.2.1) Localización de la deformación vehicular (Ver numeral 4.2.2) Tipo general de colisión (Ver numeral 4.2.3) Escala de daños (Ver numeral 4.2.4)
Figura A4.1 dirección de la fuerza de impacto (Ref. 7)
90
4.2.1 DIRECCIÓN DE LA FUERZA PRINCIPAL EN EL PUNTO DE IMPACTO La dirección de la fuerza se indica en un sistema similar al de un reloj de 01 a 12 (nótese que siempre se utilizan dos dígitos) el cual se coloca figuradamente en el punto de impacto, de tal forma que el eje longitud inal del vehículo coincida con la línea 06 - 12 del reloj (ver figura A4.1).
4.2.2 LOCALIZACIÓN DE LA DEFORMACIÓN VEHICULAR El tercer dígito del índice de severidad, describe en forma general la parte del veh ículo mas afectada por la colisión (ver figura A4.2), mientras que el cuarto y quinto dígitos describen la localización horizontal y vertical específica del daño respectivamente (figura A4.3). El significado de las letras es el siguiente:
a.
Para la figura A 4.2: T: U: F: B: R : L:
b.
Arriba Abajo Frente Atrás Derecho izquierdo
Para la figura A 4.3: daño en un plano horizontal D: L: C: R : F: P: B: Y: Z:
Daño distribuido Daño frontal izquierdo o trasero Daño central frontal o trasero Daño frontal derecho o trasero Daño frontal lateral izquierdo Daño en la zona del pasajero derecho o izquierdo Daño trasero lateral derecho o izquierdo Combinación de daños F y P ó L y C. Combinación de daños B y P ó R y C.
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c.
Para la figura A4.4: daño en un plano vertical A: H: E: G: M: L:
Daño vertical total Daño del chasis al capacete Todo daño inferior Todo daño por encima de los paneles de vidrio Daño intermedio Daño inferior
4.2.3 TIPO GENERAL DE COLISIÓN El sexto digito indica el tipo general de colisión. En general se utilizan los siguientes códigos:
W: N: S: O: F: Y: Z:
Impacto con un objeto ancho (mayor de 40,0 cm) Impacto con un objeto estrecho (menor de 40,0 cm) Golpe lateral Bamboleo Fuego Fuego con impacto Sumersión (cuando el agua representa un peligro para los pasaj eros)
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FIGURA A4.2 (Ref. 7)
FIGURA A4.3 (Ref. 7)
FIGURA A4.4 (Ref. 7)
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4.2.4
ESCALA DE DAÑOS
El séptimo dígito describe la escala de daños que va de 1 a 9 (ver figura A4.5)
FIGURA A4.5 (Ref. 7)
4.3 EJEMPLO (Ref. 7) Para un choque de un vehículo con un poste de teléfonos de menos de 40,0 cm, se tendría que el índice de deformación es 12FCEN6 en el cual el 12 se refiere al sistema horario, F a que la colisión fue frontal, C y E a la localización específica horizontal y vertical, N denota que el objeto contra el que colisionó es menor de 40,0 cm y 6 se refiere a la escala de daños.
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