Introduccion a La Teoria de Grupos

Introducción a la Teoría de Grupos Daniel Buitrago [email protected]

Introducción a la Teoría de Grupos Daniel Buitrago [email protected]

Índice general 1. Preeliminares de Estructuras Algebraicas

1

1.1.  Propiedades en una Operación Binaria   . . . . . . . . . . 4 1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Grupos 2.1. 2.1. De…ni e…nici cion ones es y Prop Propie ieda dade dess Gene Genera rale les. s. . 2.2. De…nición Formal . . . . . . . . . . . . 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades Básicas . . . . . . . . . . 2.5. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Subgrupos Normales . . . . . . 2.5.2. Otros tipos pos de subgrupos pos . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

15 15 16 23 25 29 31 34

2.6. .6. Homomor…smos e Isomor…smos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7. .7. Produ oducto cto Cartesia esianno de Grupos pos . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Grupos Finitos 55 3.1. 3.1. Repre eprese senntaci tacion ones es de Grup Grupos os Finit initos os . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. 3.2. Princ Principa ipales les teore teorema mass de la teor teoría ía de grupo gruposs …nito …nitoss . . . . . . . 60 3.2.1. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.2. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.3. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 v

ÍNDICE GENERAL GENERAL

vi

3.3. Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4. 3.4. Apli Aplica caci cion ones es de los los teor teorem emas as de grupo gruposs …nit …nitos os . . . . . . . . . 89 3.4.1. Grupos pos Abel belianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2. El Teorema Teorema Fundamental undamental de los Grupos Grupos Abelianos Abelianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. Grupos Especiales

95

4.1. El Grupo de Permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2. El Grupo Diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 103 4.3. El Grupo Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 105 4.4. El Grupo Solucionable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 106 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 107

Algunas notas …nales

109

Prólogo La Teoría de Grupos es un área de la Matemática que cobra cada vez más relevancia en el quehacer cientí…co actual. Sus aplicaciones a la Física Cuántica, a la Cristalografía, Cristalografía, a la Química, a la Biología y a la misma Matemática, Matemática, la convierten en una esencial herramienta de investigación. Una de las más importantes y hermosas características de la Teoría de Grupos es que, como teoría, es autocontenida. De esta manera, para la demostración de las proposiciones y teoremas no se necesitan argumentos  ad hoc, construcciones "intuitivas" ni acudir a supuestos o resultados de otras áreas o teorías. Todos los resultados se desprenden completamente de las de…niciones iniciales o de proposiciones que se deducen de éstas. Convirtiéndola en uno de los cuerpos lógicos más robustos y sólidos de la Matemática. De ahí el papel fundamental fundamental que ocupa en el Álgebra Abstracta, y en la Matemática moderna, donde ha demostrado ser un área de investigación aún activa. La presente obra es una propuesta para exponer la Teoría de Grupos. Se ha organizado de forma deductiva, partiendo de los resultados generales, válidos para todos los tipos de grupos y llegando a aquellos resultados especí…cos básicos de cada tipo de grupo particular. Aunque no se alcanzan a abarcar todos los tipos de grupos, se tocan aquellos cuyo uso es más común con breves introducciones introducciones que pretenden estimular la consulta independiente independiente del lector interesado. El aporte más novedoso de esta propuesta es el énfasis en la claridad de la explicación de los distintos conceptos. A tal punto, que en ciertas ocasiones se utilizó una simbología inédita que facilitara el proceso de abstracción y la asimilación de propiedades sin riesgo a caer en analogías inconscientes que pudieran llevar a deducciones equivocadas. Algunas demostraciones demostraciones inclusive inclusive se han reconstruído reconstruído paso a paso con el objeto de ejercitar al lector, por medio de la ejempli…cación, en el rigor y en el esquema de razonamiento utilizado en las demostraciones del Álgebra Abstracta con la meta de que así se disponga de una plataforma idónea para que éste pueda dar, si así lo desea, sus primeros pasos hacia los desarrollos teóricos de la materia.

Capítulo 1 Preeliminares de Estructuras Algebraicas El estudio de la Teoría de Grupos inicia de la forma más elemental posible: Con un conjunto de elementos cualquiera que, eso sí, supondremos que no es vacío. Debido a la generalidad de esta premisa inicial, podemos imaginar un conjunto de árboles, personas, genes, células, partículas subatómicas, o cualquier tipo de objetos. Acto seguido, hay que pensar en una forma de relacionar los elementos de ese conjunto y darle un nombre al resultado de esa relación. En el colegio por ejemplo, se habla de relacionar los números 3  y 5 con el símbolo + y al resultado se le denomina  8. Pero ese no es el único tipo de relación existente en la naturaleza. Si nuestro conjunto es una colección de perros de raza pura  Golden Retriever  y de…nimos la relación entre un perro macho y una hembra como un apareamiento efectivo, podemos decir que el resultado de la misma será un cachorro que además, será también un  Golden  Retriever.  Este es un tipo de relación especí…ca en la que tenemos la fortuna de que su resultado nuevamente es un elemento del conjunto, ya que nuestro cachorro puede considerarse de la misma raza. Sin embargo también pueden existir relaciones cuyo resultado no pertenezca al conjunto. Si se tiene como conjunto, digamos vasos de jugos de frutas y nuestra relación entre dos jugos dados es preparar en un nuevo vaso una mezcla de ambos, no se podrá admitir que la nueva bebida sea el jugo de alguna fruta. De esta manera, la forma en que se de…na la relación entre los elementos de un conjunto debe considerar esta posibilidad y hablar de un segundo conjunto a donde pertenecerán los 1

2CAPíTULO 1 PREELIMINARES DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS resultados de dichas relaciones. El término con el que fácilmente se puede asociar al proceso bajo el cual dos elementos mediante una transformación se convierten en un tercer elemento, es el de  operación binaria , que se de…nirá formalmente a continuación.

De…nición 1 (Operación Binaria)   Sean  A y  B  dos conjuntos no vacíos. Una operación binaria es cualquier función   : A  A ! B.

Notación 1  Supongamos que  a; b 2 A y supongamos además que la función     le asigna al par  (a; b)   el elemento c 2 B. Para expresar el valor de la   función evaluada en el par  (a; b), en vez de   (a; b) = c, se escribe  a  b = c.

Este tipo de notación sirve para asociar la de…nición de operación con la idea intuitiva que se tiene de operación de dos elementos (como por ejemplo la suma de dos números). Precisamente por estar operando un par de elementos se le denomina  binaria .

Ejemplo 1   Consideremos los conjuntos  N  de los números naturales,

Z de 

los números enteros y la operación   : N  N ! Z  de…nida por   : (a; b) ! (a  b) Es decir, la diferencia usual en los números enteros. Podemos observar  que para cualesquiera  a; b 2 N  se tendrá que  (a  b) 2 Z.

Se presenta a continuación un caso particular de operación que es de especial interés en el Álgebra Abstracta y que se usará en muchos objetos de importancia que se verán posteriormente.

De…nición 2 (Operación binaria en un conjunto) Sea  A   un conjunto no vacío. Una operación binaria en  A es una función   : A  A ! A

3 Hay que resaltar que ya se habla especí…camente de una operación en  un conjunto  y que esto se re‡eja en el hecho de que para todo a; b 2 A, se debe tener que (a  b) 2 A. Esto se conoce también como  clausuratividad  o cerradura   bajo . Esta es la situación particular en la que el resultado es nuevamente un elemento del mismo conjunto de los elementos que se operaron.

Ejemplo 2  Sea el conjunto N  con la operación   de…nida por   : (a; b) ! (a + b) En otras palabras, la suma usual de números naturales. En efecto se puede  observar que para cualesquiera  a; b 2 N  se tiene que  (a + b) 2 N. Es decir, la suma de dos números naturales da como resultado siempre un número natural. Luego   es una operación binaria en  N.

Ejemplo 3  Sea el conjunto N  con la operación   de…nida por   : (a; b) ! (a  b) Aquí se encuentra que     no es una operación binaria en  N  porque por  ejemplo, 3 y  5 pertenecen a  N, pero al restarlos, (3  5) = 2 y  2 no está  en  N.

Ejemplo 4  Sea el conjunto S  = f3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g   con la operación   de…nida por   : (a; b) ! (a + b) Que es la operación usual de suma de números enteros. Entonces   no es  una operación binaria en  S , porque por ejemplo, 3 y  2 son elementos de  S , pero al operarlos resulta  (3 + (2)) = 5 y  5 no pertenece a  S .

Ejemplo 5  Sea el conjunto Z  con la operación   de…nida por   : (a; b) ! ab Esto es, la multiplicación usual de números enteros. Se puede observar que   es una operación binaria en  Z  porque el producto de dos números enteros  cualesquiera da como resultado otro número entero.

4CAPíTULO 1 PREELIMINARES DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Ahora que se ha establecido claramente los tipos de operaciones que se pueden encontrar y la operación que se estudiará, se podrá dar un nombre al objeto matemático desde donde se va a partir. A saber, nuestro conjunto inicial y una operación que nos garantice que sus resultados serán parte nuevamente del conjunto.

De…nición 3 (Estructura algebraica binaria) Sea  A un conjunto no vacío y   una operación binaria en  A. La pareja ordenada  (A; ) se denomina estructura algebraica binaria.

Ejemplo 6   Notemos que de acuerdo con los ejemplos anteriores, (N; +) y  (Z; ) son estructuras algebraicas. También  (Z; +), es una estructura algebraica.

1.1. Propiedades en una Operación Binaria Conmutatividad: Algunas operaciones binarias en un conjunto tienen ciertas características de interés. Observemos por ejemplo que en el conjunto R de los números reales se cumple que para cualesquiera  x; y  números reales, x + y = y + x

Esto es cierto también por ejemplo, en el conjunto Z  y la multiplicación usual de enteros. Es decir, para cualesquiera números enteros  a; b  se cumple ab = ba

Vemos pues que esta característica común puede aparecer en conjuntos distintos con operaciones distintas. Nos interesa entonces estudiar estas propiedades comunes a ciertas operaciones binarias.

1.1 PROPIEDADES EN UNA OPERACIÓN BINARIA

5

De…nición 4 (Operación conmutativa) Sea  A un conjunto no vacío. Una  operación binaria   en  A se denomina conmutativa si se cumple que  a  b = b  a Para todo a; b 2 A.

Ejemplo 7  Ya se mostró el caso del conjunto R  con la suma y el conjunto Z con el producto. Veamos ahora una operación binaria que no es conmutativa. Sea  M 22  el conjunto de todas las matrices de orden  2  2   con elementos  enteros y sea la operación    la multiplicación usual de matrices cuando ésta  esté de…nida. Observemos por ejemplo que las matrices  pertenecen al conjunto M 22 . Sin embargo,

2 3 2 3 2 4 5 4 5 4 1 3 5 9



4 7

11 13

=

29 32

2 32 3 4 54 5 1 3 5 9

y 

4 7

11 13

3 5

119 152

Al intercambiar las matrices,

2 3 2 3 2 3 4 5 4 5 4 5 4 7

11 13



1 3 5 9

=

31 75

54 150

Arrojan resultados completamente distintos. En este caso el orden de los   factores sí afecta el producto.

Asociatividad: Otra propiedad interesante aparece cuando tenemos la operación de tres o más elementos. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos:  X [ Y  [ Z . Debido a que una operación binaria sólo puede  operar de a dos   elementos a la vez, esta unión se puede hacer de dos formas distintas. La primera de ellas es haciendo la unión entre X  y  Y  , y luego, a este resultado hacerle la unión con Z . Esto es, (X [ Y ) [ Z  = U 1

6CAPíTULO 1 PREELIMINARES DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS La segunda forma es hacer primero la unión entre  Y  y Z   y posteriormente hacer la unión con  X . Es decir, X [ (Y  [ Z ) = U 2

Recuérdese que la operación entre paréntesis es la que tiene siempre la prioridad. Con respecto a esta operación de unión de conjuntos se puede a…rmar que, independientemente de la opción que se escoja para hacer la operación de estos tres conjuntos, el resultado es el mismo. Con lo que se tiene que (X  [ Y ) [ Z  = X  [ (Y  [ Z )

Los números reales son otro ejemplo de esta propiedad con la operación   de multiplicación usual. Dados  x; y;z 2 R  se cumple que (xy) z = x (yz)

En general podríamos enunciar esta propiedad como una operación   tal que, dados unos elementos  a; b; c  de un conjunto se cumple que (a  b)  c = a  (b  c)

Que lo dice la siguiente de…nición.

De…nición 5 (Operación asociativa) Sea  A  un conjunto no vacío. Una  operación binaria   en  A se denomina asociativa si se cumple que  (a  b)  c = a  (b  c) Para todo a; b; c 2 S .

Ejemplo 8  De algunos resultados en Teoría de Números se conoce que en  el conjunto Z  la operación de suma usual  + es asociativa.

Ejemplo 9  Probar que en el conjunto M 22  de matrices de orden  2  2 de  elementos enteros, la operación de suma de matrices  + es asociativa.

1.1 PROPIEDADES EN UNA OPERACIÓN BINARIA

7

Solución 1   Hay que veri…car que para cualesquiera matrices   A;B;C  en  M 22  se cumple que  (A + B) + C  = A + (B + C ) Sea: A =

2 3 4 5 a11 a12

a21 a22 i; j = 1; 2.

, B =

2 3 4 5 b11 b12 b21 b22

, C  =

2 3 4 5 c11 c12 c21 c22

con  aij ; bij ; cij 2 Z, para 

Observemos que,

02 3 2 31 2 3 2 @4 5 4 5A 4 5 4 2 4 a11 a12 a21 a22

+

b11 b12 b21 b22

+

c11 c12 c21 c22

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22

32 3 54 5 +

c11 c12 c21 c22

(a11 + b11 ) + c11 (a12 + b12 ) + c12 (a21 + b21 ) + c21 (a22 + b22 ) + c22

Pero como se mencionó en el ejemplo anterior, la suma de números enteros es asociativa, luego =

=

=

2 4 2 4 2 4

a11  + (b11 + c11 ) a12 + (b12 + c12 ) a21  + (b21 + c21 ) a22 + (b22 + c22 ) a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22

3 5 3 5

Lo que concluye la prueba.

+

+

2 4 02 3 2 @4 5 4

b11 + c11 b12 + c12 b21 + c21 b22 + c22 b11 b12 b21 b22

+

3 5

3 5

c11 c12 c21 c22

31 5A

3 5

8CAPíTULO 1 PREELIMINARES DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Elemento neutro: En la mayoría de conjuntos numéricos con los que se trabaja comúnmente existe un elemento bastante particular. Veamos por ejemplo el caso de los enteros positivos con la operación  +, su suma usual. Intuitivamente sabemos que al sumar dos cantidades cualesquiera, el resultado será una tercera cantidad mayor que las otras dos: a + b = c  donde  c > a  y  c > b.

Sin embargo, si consideramos ahora el conjunto de enteros no negativos (esto es el conjunto de enteros positivos junto con el elemento 0), entra en juego un elemento que nos permite a…rmar lo siguiente: a + 0 = a = 0 + a

Lo importante aquí es observar que esta operación no tiene ningún  efecto sobre el elemento a, no lo   transforma   en otra cantidad distinta. Podemos decir informalmente entonces que esta es una operación  neutra  o, más aún, que el 0 es un elemento neutro con respecto a la operación  + en el conjunto de los enteros no negativos. En ejemplos que se verán más adelante se mostrará que en otros conjuntos, el elemento que hace posible esta operación neutra no es necesariamente el número 0, así que lo denotaremos por  e  y lo llamaremos elemento neutro.

De…nición 6 (Elemento neutro) Sea  A   un conjunto no vacío y   una  operación binaria en  A. Un elemento e en  A   se denomina  neutro bajo la operación *  si para todo elemento a en  A  se cumple que  a  e = e  a = a

Ejemplo 10   Consideremos la estructura algebraica binaria  (M 22 ; +) del  conjunto de matrices de orden 2x2 de números enteros y la operación + de  suma usual entre matrices. Entonces la matriz  e =

2 3 4 5 0 0 0 0

1.1 PROPIEDADES EN UNA OPERACIÓN BINARIA es el elemento neutro de  M 22   bajo + ya que dada cualquier matriz  en  M 22 , se tiene que 

2 3 4 5 a b

c d

+ e =

=

=

=

=

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

9

2 3 4 5 a b

c d

32 3 54 5 3 5 3 5 3 5 32 3 54 5 2 3 4 5

a b

c d

+

0 0 0 0

a + 0 b + 0

c + 0 d + 0

a b

c d

0+a 0+b

0+c 0+d

0 0 0 0

= e+

+

a b

c d

a b

c d

Es necesario siempre tener en cuenta bajo cuál operación un elemento del conjunto actúa como neutro, ya que bajo otra operación distinta, puede ya no serlo, como se evidencia en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 11 Sea  ( R; +) el conjunto de los números reales bajo la operación  de suma usual. Es sencillo ver que el número 0 es el elemento neutro bajo esta operación. Sin embargo, en la estructura  (R; ) del mismo conjunto de  números reales pero bajo la operación de multiplicación usual entre números  reales, el número 0 NO es elemento neutro, ya que dado  r 6 = 0 en  R  se tiene  que  r0=0 que invalida la propiedad de neutralidad.

10CAPíTULO 1 PREELIMINARES DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Existencia de elementos inversos Ahora estudiaremos otro tipo de elementos que encontramos en los con juntos numéricos cuya propiedad les ha valido el nombre de  elementos inversos   y guarda relación con el elemento neutro. Miremos el caso de los números enteros. Desde su mismo origen a partir de los números naturales, se buscó un conjunto en el que para cada número, por ejemplo el 2, existiera un elemento x que cumpliera con 2 + x = 0

y la respuesta fue un elemento  opuesto  al 2 que denotaron  (2). De manera más general, se quiere que para todo número natural n  exista un elemento denotado  (n)  que cumpla con n + (n) = 0 = (n) + n

Así pues que el signo   en el elemento (n)  NO indica una resta, sino que hace parte de la  notación  del elemento  (n). Esta característica no es única de los números enteros, y la podemos escribir de la siguiente manera.

De…nición 7 (Existencia de inversos) Sea  (A; ) una estructura algebraica  binaria con elemento neutro e  bajo . Si para todo elemento a  de  A  existe un  elemento a1 en  A con la propiedad de que  a  a1 = e = a1  a se dice que en  (A; ) existen   elementos inversos  o simplemente   inversos.

Ejemplo 12 Sea  Qx =

2 Q j ab 6 = 0   i.e, el conjunto de los números  racionales sin el cero junto con la operación  de multiplicación usual. Podemos  ver que dada una fracción cualquiera  pq en  Qx , podemos encontrar otra   pq   también en  Qx de tal forma que 



a b



 p  q  q   p  = 1 =   q   p  p q 

1.1 PROPIEDADES EN UNA OPERACIÓN BINARIA

11

que, escribiéndolo en el contexto de la de…nición anterior se tiene que la   fracción   pq  hace el papel de elemento inverso correspondiente a la fracción  pq . q  p

1



Esto es, =  pq . Y teniendo en cuenta que el racional 1 hace el papel de  elemento neutro, se concluye que en  ( Qx ; ) existen inversos.

Ejemplo 13  Supongamos que en el plano cartesiano hay un triángulo equilátero con ortocentro sobre el origen y con una de sus alturas sobre el eje  y. El triángulo se puede rotar 90 grados en dirección de las manecillas del  reloj o en dirección contraria. A una rotación en dirección de las manecillas  del reloj la denotaremos por  r  y a una en dirección contraria por  l, mientras  que a la rotación nula (i.e, no rotarlo en ninguna dirección) por  e. Cuando se rote más de una vez lo expresaremos con coe…cientes enteros positivos; De esta manera, si queremos rotarlo 3 veces en dirección de las manecillas  del reloj (i.e, 270 grados) lo escribimos  3r. Llamemos al conjunto de estas  rotaciones  T . Es decir, T  = f: : : ; 3l; 2l;l;e;r; 2r; 3r ; : : :g. Ahora de…namos la  operación   : T   T  ! T   como  : (a; b) ! a  b Es decir, al triángulo aplicarle la rotación  a  y posteriormente la rotación  b. Bajo estas condiciones podemos observar que si al triángulo lo rotamos, digamos, 180 grados en dirección de las manecillas del reloj y posteriormente  lo rotamos los mismos 180 grados en dirección contraria a las manecillas del  reloj, el triángulo volverá a su posición original. Es decir, será como si nunca  se hubiera rotado en ninguna dirección. Este proceso lo podemos escribir como 2r  2l = e Además, hubiera ocurrido lo mismo si lo hubieramos rotado primero 180  grados en dirección contraria a las manecillas y luego en dirección de las  manecillas los mismos 180 grados. Esto es, 2l  2r = e De donde se concluye que  2r  2l = e = 2l  2r Es sencillo ver que esto se cumple para cualquier rotación del conjunto T . En otras palabras, para toda rotación   2 T , existe una rotación   1 2 T  tal  que    1 = e = 1  

12CAPíTULO 1 PREELIMINARES DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se deduce entonces que  (T; ) tiene inversos.

1.2. Ejercicios 1. Dar tres ejemplos de operaciones binarias que NO sean cerradas. No olvide especi…car adecuadamente los conjuntos, de…nir la operación y describir las razones por las cuales considera que no son cerradas. 2. En Álgebra así como en otras áreas de la Matemática se usan operaciones que no son necesariamente binarias. A partir de la de…nición de operación binaria, de…nir y dar 3 ejemplos de operación trinaria, cuatrinaria y en general, n-aria. Observe y comente la relación y diferencia entre éstas y las funciones escalares en Cálculo. 3. Sea (Z; ) el conjunto de los números enteros bajo la operación de multiplicación usual. Investigar si la operación    es cerrada, conmutativa y/o asociativa. Veri…car si (Z; )  posee elemento neutro y elementos inversos. 4. Realizar el mismo análisis del ejercicio anterior para el conjunto C  de números complejos bajo la operación  de multiplicación entre números complejos. 5. Los cuaterniones de Hamilton son un conjunto numérico ideado por Sir. William Rowan Hamilton (1805-1865) en un intento por extender los números complejos a 3 componentes. Obtuvo en realidad un conjunto de 4 componentes, que se de…nen de la siguiente manera: H  = fa + bi + cj + dk j a;b;c;d 2 Rg

y cumplen con las siguientes propiedades: i2 = j 2 = k 2 = 1

ij = k ,  j k = i ,  ki = j ,  j i = k ,  kj = i,  ik  =  j

1.2 EJERCICIOS

13

La operación    de multiplicación entre cuaterniones se de…ne como: (a1  + b1 i + c1 j + d1 k)  (a2  + b2 i + c2 j + d2 k) = (a1  a2  b1  b2  c1  c2  d1  d2 ) + (a1  b2  + a2  b1  + c1  d2  d1  c2 ) i + (a1  c2  b1  d2  + c1  a2  + d1  b2 ) j + (a1  d2  + b1  c2  c1  b2  + d1  a2 ) k

donde  es la operación de multiplicación usual entre números reales. Averiguar si la operación    es cerrada y si es conmutativa.

6.  Responder las mismas preguntas del ejercicio 3 para la estructura  ( Z; ) de números enteros bajo la operación de división. 7. Sea (R2 ; )  la estructura conformada por el conjunto de vectores en el plano de componentes reales y la operación   de suma de vectores (componente a componente).Veri…car si la operación   es cerrada y si existen elementos inversos y/o elemento neutro en  ( R2; ).

Capítulo 2 Grupos 2.1. De…niciones y Propiedades Generales. En el capítulo anterior se estudiaron algunas propiedades que se pueden encontrar en un conjunto no vacío con una operación; a saber, la cerradura, la asociatividad, la existencia de elemento neutro, la existencia de elementos inversos y la conmutatividad.Las estructuras algebraicas se clasi…can de acuerdo al número de propiedades que cumple el conjunto no vacío en cuestión bajo la operación dada. En el capítulo anterior se estudiaron algunas propiedades que se pueden encontrar en un conjunto no vacío con una operación; a saber, la cerradura, la asociatividad, la existencia de elemento neutro y la existencia de elementos inversos. A lo largo del desarrollo del Álgebra, las estructuras algebraicas con dichas propiedades se han vuelto tan importantes, que han recibido un nombre propio: Grupos. El estudio de los Grupos empezó con los trabajos de Évariste Galois hacia 1830 y aún hoy continúa siendo un área activa de investigación. Sus aplicaciones a otras ciencias como la Física, la Química, la Biología o la Genética hacen de los Grupos un conocimiento elemental en la actualidad. 15

16

CAPíTULO 2 GRUPOS

2.2. De…nición Formal Veamos entonces la clasi…cación de las estructuras algebraicas conformadas por un conjunto no vacío  G  y una operación binaria    en  G .

De…nición 8 (Grupoide o Magma)  Una pareja ordenada  (G; ) conformada por un conjunto no vacío G   y una operación binaria     cerrada, se  denomina   grupoide o  magma.

De…nición 9 (Semigrupo)  Una pareja ordenada  (G; )   conformada por  un conjunto no vacío G y una operación binaria   cerrada que cumple con  G1: g1  (g2  g3 ) = (g1  g2 )  g3  Para cualesquiera  g1 ; g2 ; g3  2 G Se denomina   semigrupo.

De…nición 10 (Monoide)  Una pareja ordenada  (G; ) conformada por un  conjunto no vacío G y una operación binaria    cerrada que cumple con  G1: g1  (g2  g3 ) = (g1  g2 )  g3  Para cualesquiera  g1 ; g2 ; g3  2 G G2: Existe  e 2 G tal que para todo g 2 G se cumple que  g  e = g = g  e Se denomina   monoide.

De…nición 11 (Grupo) Un   Grupo  es una pareja ordenada  (G; ) conformada por un conjunto no vacío G  y una operación binaria cerrada   que  cumplen con las siguientes propiedades: G1: g1  (g2  g3 ) = (g1  g2 )  g3  Para cualesquiera  g1 ; g2 ; g3  2 G. G2: Existe  e 2 G tal que para todo g 2 G se cumple que  g  e = g = g  e. G3: Para todo g 2 G existe  g1 2 G tal que  g  g 1 = e = g 1  g.

De…nición 12 (Grupo Conmutativo o Abeliano) Un  Grupo Conmutativo  o  Abeliano  es una pareja ordenada  (G; ) conformada por un conjunto no vacío G y una operación binaria cerrada  que cumplen con las siguientes  propiedades:

2.2 DEFINICIÓN FORMAL

17

G1: g1  (g2  g3 ) = (g1  g2 )  g3  Para cualesquiera  g1 ; g2 ; g3  2 G. G2: Existe  e 2 G tal que para todo g 2 G se cumple que  g  e = g = g  e. G3: Para todo g  2 G existe  g 1 2 G tal que  g  g1 = e = g 1  g. G4: g1  g2  = g2  g1  para todos  g1 ; g2  2 G.

Debemos recordar que la idea de los Grupos es abarcar los conjuntos con operaciones que cumplen ciertas propiedades (a saber G1, G2 y G3 de la de…nición) bajo un mismo esquema y lenguaje. Así que cualquier pareja que cumpla con dichos axiomas es un Grupo sin importar si se trata de números enteros, reales, complejos, o ¡siquiera si se trata de números! Los Grupos que cumplen con la conmutatividad en su operación reciben un nombre especial en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel (18021829).

Ejemplo 14  La pareja  (Z; ) conformada por el conjunto de los números  enteros junto con la operación de multiplicación usual entre enteros cumple  con G1 y G2 haciendo e = 1 (veri…carlo). Luego es un grupoide, un semigrupo y un monoide.

Ejemplo 15   La pareja  (Z; +) conformada por el conjunto de los números  enteros junto con la operación de suma usual entre enteros es un Grupoide, Semigrupo, Monoide, Grupo y Grupo Conmutativo. (veri…carlo)

Ejemplo 16 Sea  Z = fx 2 Z j x 6 = 0g y    la operación de multiplicación  usual entre enteros. La pareja  (Z ; )   NO es un grupo, ya que cumple con  G1 y G2 haciendo e = 1. Sin embargo en  Zx no hay elementos que hagan el  papel de elementos inversos, lo que incumple con G3. Por lo que  (Z ; ) es  únicamente un monoide. (veri…carlo)

A continuación se muestra un procedimiento para comprobar que una pareja sea un Grupo. Simplemente se trata de veri…car que cumpla al pie de la letra con los axiomas.

Ejemplo 17  Probar que la pareja  ( Q; ) conformada por el conjunto de los  números racionales junto con la operación de suma usual entre racionales es  un Grupo.

CAPíTULO 2 GRUPOS

18

Nota 1   Recordemos que el conjunto de los números racionales puede verse  como un conjunto de clases de equivalencia dadas por la relación de equivalencia    de…nida por  a c  $ a  d = b  c b d donde    es la operación de multiplicación usual entre números enteros. Así  por ejemplo, la clase de equivalencia de  ab  se puede escribir como

hi  a = b

x x a con  x; y 2 Z, y 6 =0 j  y y b



y de esta forma trabajar con los elementos de  Q  como elementos de alguna  clase de equivalencia.

Solución 2  En este caso especí…co se utilizan las propiedades de las estructuras  (Z; +) y  (Zx ; )   enunciadas en los ejemplos anteriores. Tenemos que  el conjunto Q  es no vacío (ya que al menos  Z   está en  Q). Veamos que la  operación    es cerrada: Sean  ab ; dc  números racionales. Al sumarlos, a c a  d + b  c  = b d bd donde  +  y   representan la suma y la multiplicación usual entre números enteros que, como sabemos son operaciones cerradas en los enteros, por lo que  el numerador del resultado anterior es un número entero así como el denominador (este último distinto de cero porque tanto b como d  son distintos de  cero). Esto hace que la fracción como tal sea un número racional. Retomando, se concluye entonces que al sumar dos números racionales cualesquiera  se obtiene otro número racional, luego la operación    es cerrada. Debemos veri…car ahora que la operación esté bien de…nida (ver apéndice  1). Supongamos que  ab  ab y  dc  dc . Luego 0

0

0

0

a  b0 = b  a0

(2.1)

c  d0 = d  c0

(2.2)

y 

2.2 DEFINICIÓN FORMAL Ahora, a c a  d + b  c  = b d bd

y  a0 c0 a0  d0 + b0  c0  = b0 d0 b0  d0 Al realizar el producto

(a  d + b  c)  (b0  d0 ) = = = =

(a  d)  (b0  d0 ) + (b  c)  (b0  d0 ) (a  b0 )  d  d0 + b  (c  d0 )  b0 b  a0  d  d0 + b  d  c0  b0 usando (2.1) y (2.2) (b  d)  (a0  d0 + c0  b0 )

Es decir, (a  d + b  c)  (b0  d0 ) = (b  d)  (a0  d0 + c0  b0 )

o lo que es lo mismo, a  d + b  c a0  d0 + b0  c0  bd b0  d0

Pasemos a veri…car ahora los axiomas G1, G2 y G3.

19

CAPíTULO 2 GRUPOS

20

G1: Sean  ab ; dc ; f e  números racionales cualesquiera. Entonces,

a c e   = b d f 

 

= = = = = =





a  d + b  c e  bd f  (a  d + b  c)  f  + (b  d)  e (b  d)  f  (a  d)  f  + (b  c)  f  + (b  d)  e (b  d)  f  a  (d  f ) + b  (c  f ) + b  (d  e) b  (d  f ) a  (d  f ) + b  ((c  f ) + (d  e)) b  (d  f ) a (c  f ) + (d  e)  b d  f  a c e   b d f 

   

Se concluye entonces que 

a c e a   =  b d f  b

 

  c e  d f 

lo que comprueba la asociatividad. G2: Sea  e   = [0] =

n

x y

2Qj

x y



0 1

o

. Luego e 2 Q. Veamos entonces que 

2.2 DEFINICIÓN FORMAL

21

si elegimos a  dc  como representante de  [0],

a a c e =  b b d a  d + b  c = bd ad+0 = bd ad = bd a ad a =  (recordar que   pertenece a la misma clase que  ) b bd b da = db 0+da = db c  b + d  a = db c  a =  d b

  h  i n h  i

Comprobemos ahora G3. Dada  De esta manera se tiene que 

a b

2 Q  sea 

a 1 b

a 1 b

=

x y

2Qj

x y

 o

  ab

.

2 Q  y además, siendo dc   representante 

CAPíTULO 2 GRUPOS

22 de 

h  i a 1 b

, a a  b b



1

= = = = = = = = = =

a c  b d a  d + b  c bd b  c + b  c bd 0 bd e 0 db c  b + (c  b) db c  b + d  a db c  a  d b a 1  a  b b



Habiendo veri…cado G1, G2 y G3 para  (Q; ) se concluye que es un Grupo.

Ejemplo 18  El Grupo (Z; +) es conmutativo. (Comprobarlo) Ejemplo 19  El Grupo (Q; ) del ejemplo 17 es conmutativo. (Comprobarlo)

2.3 EJERCICIOS

23

2.3. Ejercicios 1. Comprobar que la pareja  (R; +) del conjunto de los números reales bajo la suma usual entre números reales es un Grupo Abeliano. 2. Utilizando los resultados vistos en la sección junto con el del ejercicio anterior, comprobar que la pareja (C; u)  del conjunto de los números complejos bajo la suma usual entre números complejos es un Grupo Abeliano. 3. Determinar si (Z+ ; )  donde Z+ = fx 2 Z j x > 0g y   es la multiplicación usual entre enteros es un Grupo. Si lo es, demostrarlo. Si no lo es, decir qué axioma (o axiomas) no cumple junto con su respectivo contraejemplo. 4. Determinar si (Q ; )  es un Grupo, donde Q =   es la multiplicación usual entre racionales. 



5. Determinar si (R ; )  es un Grupo, donde multiplicación usual entre reales.

n

x y

2Qj

x y

R = R   f0g

o

2 = [0]

y

y   es la

6. Determinar si (R+ ; )  es un Grupo, donde la multiplicación usual entre reales.

R+ = fr 2 R j r > 0g  y    es

7. Determinar si  ( C ; )  es un Grupo, donde multiplicación usual entre complejos.

C =  C  f0 + 0ig  y    es

la

8. Determinar cuáles de las siguientes estructuras son Grupoides, Semigrupos, Monoides, Grupos o Grupos Abelianos. Recuerde que debe dar una veri…cación detallada de los axiomas que se cumplan y los contrae jemplos de los que no se cumplan: a) (Z; ) donde  es la operación de resta usual entre números enteros. b) (R ; )  donde   es la operación de división usual entre números reales. c) (M 22 ; )  donde   es la operación de multiplicación usual entre matrices.

CAPíTULO 2 GRUPOS

24 d) (Q0 ; )   donde Q0 = eración    se de…ne como



a b

2 Q j a 2 Z+ [ f0g ^ b 2 Z+   y la op-



a c a + c  = b d b + d

siendo  +  la operación de suma usual entre números enteros. e) (R; )  donde la operación    se de…ne como a  b =

ab 2

donde    es la multiplicación usual entre reales. 9. Sea  P 2  = fax2 + bx + c j a;b;c 2 Z ^ a 6 = 0g  y la operación    de…nida como a1 x2 + b1 x + c1  a2 x2 + b2 x + c2 = (a1  + a2 ) x2 +(b1  + b2 ) x+(c1  + c2 )







donde +  es la suma usual entre enteros. Determinar si (P 2; )  es un Grupo. 10. ¿Qué sucedería en el caso en que se tomara una perspectiva de la Teoría de Grupos desde la  operación? Así pues, no sería necesario suponer la existencia de  elementos  inversos, sino de una  operación  inversa. Invito al lector a preguntarse cómo se reemplazaría entonces la de…nición de Grupo. ¿Qué axiomas cambiarían?, ¿Cómo cambiaría la teoría?, ¿Se deducirían resultados similares a los presentados aquí?

2.4 PROPIEDADES BÁSICAS

25

2.4. Propiedades Básicas A continuación se presentan las propiedades más elementales de los Grupos que se desprenden únicamente de los axiomas de su de…nición y que serán fundamentales para desarrollos posteriores. Como primera medida, hemos visto en el ejemplo 18 que la pareja (Z; +) es un Grupo, y de manera intuitiva se encuentra que su elemento neutro bajo  + es e = 0. Sin embargo, no hay nada que nos diga que no exista otro entero que haga el papel de elemento neutro y esto nos lleva a la pregunta ¿cuántos elementos neutros puede tener un grupo? La siguiente proposición nos da la respuesta:

Proposición 1 Sea  (G; ) un Grupo. Entonces su elemento neutro es único. Demostración. Supongamos con …nes de contradicción que no es único, es decir, que hay más de un elemento neutro. Sean entonces e1 y e2  elementos neutros distintos de  (G; ). Si se hace  g  = e 1, se tiene entonces por G2 que e1  e2 = g  e2 = g  (por la neutralidad de  e 2 ) = e1

Es decir, e1  e2  = e 1

 

(2.3)

Ahora, haciendo  g 0 = e2  y dando cumplimiento a G2, e1  e2 = e1  g 0 = g 0 (por la neutralidad de  e 1 ) = e2

Esto es, e1  e2  = e 2

luego de (2.3) y de (2.4) se deduce que e1  = e 2

 

(2.4)

CAPíTULO 2 GRUPOS

26

que nos indica que los elementos neutros son el mismo, que contradice la suposición de que había más de un elemento neutro distinto. Conociendo ahora que dicha suposición nos lleva a una contradicción, se concluye entonces que no puede haber más de un elemento neutro,  id est , el elemento neutro de un Grupo es único. Pasemos ahora a observar los elementos inversos donde nos podemos hacer una pregunta similar. Dado un elemento  g  de un Grupo  (G; ), por el axioma G3 existirá g1 también en (G; )  que cumple con  g  g 1 = e . Pero, ¿dicho elemento inverso g 1 será único? Como lo explica la siguiente proposición, en efecto lo es.

Proposición 2 Sea  (G; )   un Grupo y  g   un elemento de  G. Entonces el  elemento g1 de  G que cumple con el axioma G3 es único.

Demostración. Dado  g  2 G  supongamos con …nes de contradicción que su elemento inverso no es único. Es decir que hay más de un elemento inverso para el mismo  g , digamos  g 11 y  g 21  . Luego, g11 = = = = =

g11  e  (Por axioma G2.) g11  g  g21  (Ya que  g 21 es elemento inverso de g .) g11  g  g21 (Por la asociatividad dada por G1.) (e)  g21 (Ya que  g 11 es también elemento inverso de g .) g21 (Por la neutralidad de  e , axioma G2.)

   

Es decir que g11 = g21

lo que indica que los elementos inversos que se asumieron diferentes son el mismo, por lo que suponer que el elemento inverso de  g  no es único nos lleva a una contradicción. Se concluye entonces que es único. Veamos ahora otros resultados un poco más triviales pero no menos importantes.

2.4 PROPIEDADES BÁSICAS

27

Proposición 3 Sea  (G; )   un Grupo y  g   un elemento de  G. Entonces el  elemento inverso del elemento inverso de  g es el mismo g. En símbolos, g1

1

 

= g

Demostración. Sea  h = g 1 . Por el axioma G3 se tiene que gh = = = =

g  g 1 e g1  g hg

Es decir, h  g = e = g  h

por lo que existe un elemento  g en  G  que hace el papel de elemento inverso para  h  y por la proposición anterior, dicho inverso es único, por lo que g es el elemento inverso de  h . En símbolos, g = h1

o lo que es lo mismo,

= g 1

1

g = g 1

1

   

A continuación se presenta un resultado que describe la forma como se manejan las operaciones por un elemento a ambos lados de una igualdad. Esto también se conoce como las ’leyes de cancelación’ que guardan relación con aquellas que se estudian en el Álgebra elemental para la manipulación de expresiones con el objeto de despejar incógnitas y solucionar ecuaciones.

Proposición 4 Sea  (G; ) un Grupo y  g; g1 ; g2  elementos cualesquiera de  G. Entonces  g  g1 = g  g2   si y sólo si  g1 = g2 y  g1   g = g2   g   si y sólo si  g1  = g2 .

CAPíTULO 2 GRUPOS

28

Demostración. Si partimos de la igualdad g1  = g2

y operamos a izquierda por  g  en ambos lados de la igualdad, se obtiene g  g1  = g  g2

Si recíprocamente se parte de la igualdad g  g1  = g  g2

por el axioma G3 existirá el elemento inverso g 1 en G. Si operamos a izquierda por  g 1 en ambos lados de la igualdad, se obtiene g 1  (g  g1 ) = ! ! !

g 1  (g  g2 ) g1  g  g1  = g 1  g  g2  (Por axioma G1) e  g1  = e  g2  (Por axioma G3) g1  = g 2  (Por axioma G2)

 

 

Con un razonamiento simétrico se obtiene la segunda parte de la proposición.

Nota 2  Es necesario siempre hacer la distinción entre operar a izquierda y  operar a derecha por un elemento cuando se trata de Grupos. La única forma  de que dichas operaciones den resultados iguales es que se trate de un Grupo Conmutativo y mientras no se tenga certeza de que es así, debe asumirse que  la operación de dos elementos cualesquiera no es conmutativa.

Proposición 5 Sea  (G; ) un Grupo y  g1 ; g2   elementos cualesquiera de  G. Entonces  (g1  g2 )1 = g 21  g11 .

Demostración.  Por la cerradura de   tenemos que g1  g2 2 G  y por el axioma G3,  g 1  g2  tendrá su elemento inverso. Llamémolo  h . Es decir, h = (g1  g2 )1

(2.5)

2.5 SUBGRUPOS

29

Por lo tanto, (g1  g2 )  h = e ! g1  (g2  h) = e  (Por la asociatividad de   dada por G1)

Operando a izquierda por  g 11 en ambos lados de la igualdad se obtiene g11  g1  (g2  h) = ! ! ! !

g11  e g11  g1  g2  h = g11 (Por la neutralidad de  e ) e  g2  h = g11 (Por axioma G3) (e  g2 )  h = g11 (Por axioma G1) g2  h = g 11 (Por axioma G2)





Operando a izquierda por  g 21 en ambos lados de la igualdad se obtiene g21  g2  h = ! ! !

g21  g11 g21  g2  h = g21  g11 (Usando axioma G1) e  h = g21  g11 (Por axioma G3) h = g 21  g11 (Por axioma G2)





Finalmente, aplicando aquí la línea (2.5) se llega a (g1  g2 )1 = g21  g11

lo que concluye la prueba.

2.5. Subgrupos Ya conocemos algunas de las estructuras algebraicas más utilizadas y las propiedades que deben cumplir. Es hora de estudiar estructuras que se pueden encontrar  dentro  de dichas estructuras algebraicas. Éstas reciben el nombre de   subestructuras . Para el caso de los grupos, nos encontraremos con el importante papel que juegan sus respectivas subestructuras, que se conocen como  subgrupos . Veremos por ejemplo, que bajo ciertas condiciones nos proporcionan información esencial sobre el grupo al que pertenece y en algunos casos, hasta información necesaria para hacernos una idea completa de todo el grupo.

30

CAPíTULO 2 GRUPOS

De…nición 13 (Subgrupo) Sea  (G; )   un grupo y  H   un subconjunto no vacío de  G. Si  H  junto con la misma operación de  G restringida a  H   (esto es,  : H   H  ! H ) es a su vez un grupo, entonces  (H; )   se denomina  subgrupo de  (G; ).

Ejemplo 20   Observemos el caso del grupo de los números enteros bajo la  suma de enteros, (Z; +). Tomemos ahora el conjunto de los números enteros pares  P  (tanto positivos como negativos) junto con el 0 con la misma  operación de suma de enteros. Podemos ver que  P   es subconjunto de  Z y  además  (P; +) es un grupo, ya que la operación  +  es cerrada en  P  y cumple  los axiomas G1 a G3.

Ejemplo 21  Si tenemos el grupo (R; +) de los números reales junto con la  suma de reales, vemos que el grupo (Z; +) del ejemplo anterior es un subgrupo de  (R; +), ya que  Z es subconjunto de  R. A su vez, el grupo (P; +) del ejemplo anterior es subgrupo tanto de  (Z; +), como de  (R; +).

Ejemplo 22  Tomando de nuevo el grupo (R; +), encontramos que el grupo (Q ; ) de los racionales sin el cero junto con la operación de multiplicación  entre racionales NO es un subgrupo de  ( R; +), ya que aunque  Q es subcon junto de  R, las operaciones bajo las cuales son grupos, son distintas.

Todos los grupos poseen al menos dos grupos a saber: El grupo en sí  mismo y el formado únicamente por el elemento neutro (que por el axioma G2 está en todos los grupos) junto con la operación del grupo. Éste último se conoce como  subgrupo trivial . Aquellos subgrupos que tenga un grupo que no sean los anteriormente mencionados, se denominan  subgrupos propios . A la hora de comprobar si un subconjunto dado bajo cierta operación es un subgrupo, veri…car cada uno de los axiomas de la de…nición de grupo puede resultar un poco extenso. Sin embargo, existe un teorema que facilita enormemente el trabajo:

2.5 SUBGRUPOS

31

Teorema 1 (Criterio del subgrupo) Sea  (G; ) un grupo y  H  subconjunto de  G. (H; ) es subgrupo de  (G; ) si y sólo si cumple con: i) H  es no vacío. ii) Para cualesquiera  h1 ; h2   elementos de  H  se tiene que  h1  h1 2 2 H .

Demostración. Prueba directa: Si (H; )   es subgrupo de (G; ), se tiene por de…nición de subgrupo que (H; ) es a su vez un grupo y por lo tanto  H  es no vacío. Con esto se cumple i). La condición ii) se cumple gracias al axioma G3 que satisface (H; )  y al hecho de que    debe ser cerrada en  H . Prueba recíproca: Supongamos que (H; )  satisface i) y ii). Por la primera condición podemos tomar un elemento  h 1 en  H  y, por la segunda condición, (haciendo  h 1  = h 2 ) se tiene que  h 1  h1 1 = e 2 H . Por lo que  (H; )  cumple con G2. Ahora que sabemos que e y h1  pertenece a H , aplicamos la segunda condición nueva1 mente para poder a…rmar que  e  h1 1 = h 1 2 H . Por lo que se cumple G3. Ahora comprobemos la cerradura de la operación  sobre  H . Sean h1  y  h 2  en H . Debido a que se cumple G3 en  (H; ), se tiene que  h 1 2 2 H . Si aplicamos 1 la condición ii) a h 1 y a  h 2  , obtenemos que h1  h1 2

1

 

= h 1  h2  2 H 

(verifíquese con proposición 3). Finalmente, G1 se cumple porque lo satisfacen todos los elementos de G bajo la operación . En especial, los elementos de H . Por lo que se concluye que (H; ) es un grupo y por de…nición, subgrupo de  (G; ).

2.5.1. Subgrupos Normales Ahora trataremos con unos tipos de subgrupos que son de especial importancia para la Teoría de Grupos, llamados subgrupos normales. Pero para hablar de ellos es necesario primero estudiar el concepto de  operación de un 

CAPíTULO 2 GRUPOS

32

elemento por un conjunto  que, a grandes rasgos, se trata de tomar un elemento de un grupo  G  y operarlo con todos los elementos de un subconjunto de  G . Al conjunto de los resultados de estas operaciones lo llamaremos  clase  o co-conjunto.

De…nición 14 (Clase) Sea  (H; ) un subgrupo de  (G; ) y sea  g  2 G. Los  conjuntos  gH  = fg  h j h 2 H g y  Hg = fh  g j h 2 H g se denominan clase a izquierda y clase a derecha respectivamente.

Teniendo esto en cuenta, un subgrupo normal es aquel donde las clases a derecha y a izquierda son la misma.

De…nición 15 (Subgrupo normal)  Un subgrupo (H; ) de un grupo (G; ) se denomina normal si las clases a derecha y a izquierda coinciden. Esto es, gH  = H g Para todo g 2 G.

Proposición 6 Sea  (N; ) un subgrupo normal de  (G; ) y  (H; ) un subgrupo de  (N; ). Entonces  (H; ) es también subgrupo normal de  (G; ).

Demostración. (Se deja como ejercicio) Estudiemos ahora el conjunto de todas las clases de un subgrupo normal. Si lo dotamos de una operación especial, conocida como  operación entre  clases , se convertirá en un grupo de vital importancia para ciertos teoremas fundamentales de la Teoría de Grupos, llamado  grupo factor o cociente.

2.5 SUBGRUPOS

33

Proposición 7   Sea H subgrupo normal de  (G; ) y  G=H   el conjunto de  todas las clases de H (a derecha y a izquierda) y  la operación binaria entre  clases de…nida por   : G=H  G=H  ! G=H  : (aH;bH ) ! (a  b) H  Entonces  (G=H; ) es un grupo.

Demostración. Sean  a; b; c 2 G. Luego, (aH  bH )  cH  = = = = =

((a  b) H )  cH  ((a  b)  c) H  (a  (b  c)) H  aH  (b  c) H  aH  (bH  cH )

que comprueba G1. Veamos que la clase  eH  2 G=H   hace el papel de elemento neutro: aH  eH  = = = =

(a  e) H  aH  (e  a) H  eH  aH 

Lo que comprueba G2. Ahora para cada aH  2 G=H   se veri…cará que a1 H  2 G=H   cumple con G3: aH  a1 H  = = = =

a  a1 H  eH  a1  a H  a1 H  aH 

 

 

Lo que concluye la prueba.

De…nición 16 (Grupo factor)  El grupo (G=H; ) de la proposición anterior se denomina grupo factor o grupo cociente.

CAPíTULO 2 GRUPOS

34

2.5.2. Otros tipos de subgrupos Existen numerosos tipos de subgrupos importantes en la Teoría de Grupos. Algunos de ellos se estudiarán a lo largo de las distintas secciones, ya que hacen parte de un campo especí…co de estudio. Otros, como los que se verán a continuación, tienen la ventaja de ser protagonistas en numerosas aplicaciones en posteriores teoremas.

El Centralizador Cuando estudiamos un grupo  (G; ) y un subconjunto de  G, que llamaremos A , encontramos que existen diferentes formas en como los elementos de G   interactúan  con los elementos de A. Por ejemplo, si A = e, vemos que todos los elementos de G  conmutan  con A. Basándonos en esta idea, digamos ahora que A  es un subconjunto arbitrario de  G  y denotemos por  C  el conjunto de los elementos de G  que conmutan con los elementos de A. En símbolos se expresaría: C  (A) = fg 2 G j g  a = a  gg  para todo  a 2 A

A este nuevo subconjunto de  G  se le llama  centralizador de  A en  G. Puede veri…carse además que  (C; )  es un subgrupo de  (G; ).

Ejemplo 23  En el grupo ( Z; +) encontramos que el centralizador de  N  en  Z es el mismo Z. Esto es, C  (N) = Z, ya que todos los elementos de  Z conmutan  con los de  N.

El Centro Continuando con la búsqueda de aquellos elementos de  G  que conmutan con los elementos de un subconjunto dado de G, ahora queremos preguntarnos por los elementos de G  que conmutan con cualquier elemento de G. En otras palabras, encontrar el centralizador de  G  en  G . Dicho subconjunto recibe el nombre de  centro de  G  y se denota por  Z : Z  = fg 2 G j g  a = a  gg  para todo  a 2 G

2.5 SUBGRUPOS

35

Encontraremos también que  (Z; )  es subgrupo de  (G; ).

El Normalizador Recordemos que un subgrupo normal  (H; ) de  (G; ) es aquel en el que las clases a la derecha y las clases a la izquierda son iguales. Es decir, gH  = H g  para todo  g  2 G

Ahora, dado un subconjunto arbitrario A de G, queremos encontrar aquellos elementos que hacen que las clases a derecha y a izquierda de A  sean iguales. Al conjunto de estos elementos lo llamamos  normalizador de  G  y lo denotamos por  N : N  = fg 2 G j gA = Agg

Nuevamente, puede comprobarse que  (N; )  es un subgrupo de  (G; ).

El Estabilizador De esta manera podemos buscar elementos de  G  que al ser operados con elementos de un subconjunto  A  cumplan alguna propiedad. Esta es una forma bastante usual de construír subgrupos para grupos arbitrarios. Finalmente veremos un último caso de subgrupos de este estilo (aunque evidentemente pueden encontrarse muchos más), que ocurre cuando queremos encontrar elementos de  G  que hagan el papel de elemento neutro por izquierda del subconjunto  A. El conjunto que los contiene se denomina estabilizador  de  G  y se denota por  S : S  = fg 2 G j g  s = sg

Porsupuesto,  (S; )  es subgrupo de  (G; ). (Ver ejercicio 7)

El Conjugado Otra de las formas de construír un subgrupo es a través de un método conocido como la   conjugación  de los elementos, que es básicamente tomar los elementos de un subconjunto y operarlos por un elemento del conjunto por un lado y por su inverso por el otro. Supongamos que  (G; ) es un grupo y  (H; )  un subgrupo de éste. El  conjugado de  H  es el conjunto gH g1 = x 2 G j x = g  h  g1 con  h  en  H 





CAPíTULO 2 GRUPOS

36

Puede probarse entonces que  (gHg 1 ; )  es subgrupo de  (G; ). Ahora, dos subconjuntos  P  y Q  de G  se denominan   conjugados   si existe un elemento  g de  G  tal que P  = gQg 1

2.6. Homomor…smos e Isomor…smos Como es usual en las diferentes teorías en Matemáticas, una vez se de…ne el objeto matemático que se va a estudiar, (en este caso los grupos) se especi…can las  funciones  o  mapeos  entre ellos o la forma en que se pueden relacionar dos o más de éstos objetos. Para el caso de los grupos, las funciones se llaman  homomor…smos . Homo del griego oo  "mismo morfo del griego o'o "forma". 2

De…nición 17 (Homomor…smo entre grupos)   Sean  (G; ) y  (G0 ; ) grupos y  h : G ! G0 un mapeo tal que  h (a  b) = h (a)  h (b) Entonces h se denomina homomor…smo entre G y G’ y los grupos  (G; ) y  (G0 ; ) se denominan homomorfos.

Ejemplo 24 Sea  (Z; +) el grupo de los números enteros bajo la suma usual  y  (3Z; +) el grupo de los números enteros múltiplos de 3 bajo la suma usual  entre enteros. El mapa  h  : (Z; +) ! (3Z; +) de…nido por  h : n ! 3n es un homomor…smo.

Demostración. Sean  n; m  números enteros. Entonces, h (n + m) = 3 (n + m) = 3n + 3m = h (n) + h (m)

2.6 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS

37

Ejemplo 25 Sea  (C  [0; 1] ; ) el grupo de las funciones de variable real contínuas en el intervalo [0; 1]  bajo la operación   de suma usual (algebraica) de funciones y  (I  [0; 1] ; +) el grupo de las primitivas de funciones de variable  real evaluadas de 0 a 1 bajo la operación de suma de números reales usual. El mapa  h : (C  [0; 1] ; +) ! (I  [0; 1] ; +) de…nido por  1

h : f  (x) !

Z 

f  (x) dx

0

es un homomor…smo.

Demostración. Sean  f ; g 2 C  [0; 1]  luego se tiene que 1

h (f  (x)  g (x)) =

Z  Z 

(f  (x)  g (x)) dx

0

1

=

1

f  (x) dx +

0

Z 

g (x) dx

0

= h (f  (x)) + h (g (x))

Ejemplo 26 Sea  ( R; +) el grupo de los números enteros bajo la suma usual  y  (R+ ; ) el grupo de los números reales positivos bajo el producto usual. El  mapa  h : (R; +) ! (R+ ; ) de…nido por  h (r) = a r para algún real positivo a.

Demostración. Sean  r; s 2 R. Luego, h (r + s) = ar+s = ar  as = h (r)  h (s)

CAPíTULO 2 GRUPOS

38

lo que indica que  ( R; +)  y  ( R+ ; )  son homomorfos. En todo homomor…smo entre grupos, existe un conjunto de elementos del conjunto de salida que cumplen un papel relevante en este tema. Es por eso que reciben un nombre especí…co:

De…nición 18 (Kernel) Sea  h : (G; ) ! (G0 ; )   un homomor…smo. Se  denomina kernel de  h y se denota por   ker (h) al conjunto fg 2 G : h (g) = eg Donde  e  es el elemento neutro en  G 0 .

En otras palabras, el kernel de un homomor…smo h   es el conjunto de elementos de  G  cuya imágen bajo  h  corresponde al elemento neutro de  G 0 .

Ejemplo 27   Sea el homomor…smo h : (R; +) ! (R+ ; )   del ejemplo 26. Entonces su kernel esta conformado por el elemento 0 de  R, ya que  h (0) = a0 = 1 que es el elemento neutro del grupo (R+ ; ).

Ejemplo 28   Sea el mapeo d : (F; +) ! (F 0 ; +)  del grupo de las funciones  diferenciables en un intervalo (a; b) 2 R   al grupo de funciones de…nidas en  (a; b), ambos bajo la operación de suma de funciones usual. El mapeo se de…ne  como d (f ) = f 0 esto es, a cada función le asigna su derivada. Esto forma un homomor…smo (comprobarlo) y su kernel será el subconjunto de las funciones  f  en  (F; +) que sean constantes, debido a que su imágen bajo el homomor…smo  d  será el  elemento neutro de  (F 0 ; +). Esto es, la función constante 0.

Hay otro tipo de relación más fuerte que se puede presentar entre dos grupos, que indica una estructura completamente igual entre los dos objetos. Cuando ésta se presenta, hablamos de dos grupos  isomorfos . Iso del griego io  "igual morfo del griego  o'o  "forma". 2

2.6 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS

39

De…nición 19 (Isomor…smo)   Sean  (G; ) y  (G0 ; ) grupos y  h : (G; ) ! (G0 ; ) un homomor…smo entre grupos tal que  h  es inyectivo y sobreyectivo. Entonces  h   se denomina isomor…smo entre G y G’ y los grupos  (G; ) y  (G0 ; ) se denominan isomorfos.

Ejemplo 29 Sea  h : (Z; +)! (2Z; +) el mapeo entre el grupo de los enteros  bajo la suma usual y los enteros pares bajo la misma operación, de…nido por  h (n) = 2  n tendremos entonces que  h es un homomor…smo, ya que dados  a; b en  (Z; +) se tiene que  h (a + b) = 2  (a + b) = 2a+2b = h (a) + h (b) Además  h  es inyectivo, debido a que si existen  h (m) y  h (n) en  (2 Z; +) tales  que h (m) = h (n), entonces  2  m = 2  n ! m = n Y …nalmente observemos que  h   es sobreyectivo, porque dado p en  (2Z; +), por ser número par se tendrá que  p = 2  x para algún entero x, por lo que  existe un entero en  ( Z; +) (a saber x) tal que  h (x) = p Habiendo comprobado que existe un homomor…smo inyectivo y sobreyectivo entre los grupos  (Z; +) y  (2Z; +), podemos decir que los mismos son isomorfos  o, lo que es lo mismo, que  h es un isomor…smo.

CAPíTULO 2 GRUPOS

40

Notación 2   Dos grupos  (G; ) y  (H; )   que sean isomorfos se denotan  comúnmente como (G; )  =  (H; ).

Podemos decir que dos grupos isomorfos solo cambian en la escritura de sus elementos, ya que comparten exactamente la misma estructura y número de elementos. Ahora veremos algunos resultados que nos darán una idea del importante papel que juegan los homomor…smos en los grupos. Entre otras cosas, veremos que dichos mapeos nos brindarán información sobre los elementos y la estructura del grupo de llegada. Podremos conocer algunos de sus subgrupos, su elemento neutro, sus elementos inversos y demás únicamente partiendo de los correspondientes del grupo de salida. Otra forma de mencionar estas propiedades es diciendo que el elemento neutro, los elementos inversos y los subgrupos se  preservan   bajo el homomor…smo. Además de interesantes, nos servirán para el posterior desarrollo de la teoría.

Lema 1 Sea  h : (G; ) ! (H; ) un homomor…smo. Entonces  h (eG ) = e H  donde  e G  es el elemento neutro en  G y  eH  el respectivo en  H .

Demostración. Se tiene que h (eG ) = h (eG  eG )

Debido a que  h  es homomor…smo, = h (eG )  h (eG )

Luego h (eG ) = h (eG )  h (eG )

Pero ya que  h (eG ) 2 H  y  (H; )  es un grupo, existe su inverso  (h (eG ))1 2 H . Operando este inverso por izquierda a ambos lados de la linea anterior: (h (eG ))1  h (eG ) = (h (eG ))1  (h (eG )  h (eG ))

Los elementos del miembro derecho pueden asociarse por pertenecer a H , por lo que ! eH  = (h (eG ))1  h (eG )  h (eG ) ! eH  = e H   h (eG ) ! eH  = h (eG )





2.6 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS

41

Lo que concluye la prueba.

Lema 2 Sea  h : (G; ) ! (H; )   un homomor…smo. Entonces  h (g 1 ) = (h (g))1 para todo g 2 G.

Demostración. Se tiene que h (eG ) = h g  g1



Aplicando la hipótesis de homomor…smo de  h ,



= h (g)  h g 1

     

Luego

h (eG ) = h (g)  h g 1

Aplicando el lema 1 al miembro izquierdo,

! eH  = h (g)  h g1

Operando por  (h (g))1 por izquierda a ambos lados de la igualdad, se tiene ! (h (g))1  eH  = (h (g))1  h (g)  h g1

Asociando en el miembro izquierdo se llega a



 

! (h (g))1 = (h (g))1  h (g)  h g1



! (h (g))1 = e H   h g 1

   

  

! (h (g))1 = h g 1

Lo que concluye la prueba.

Proposición 8 Sea  h : (G; ) ! (H; ) un homomor…smo. Entonces  (G0 ; ) es un subgrupo de  (G; ) si y sólo si  (h [G0 ] ; ) es un subgrupo de  (H; ).

CAPíTULO 2 GRUPOS

42

Demostración. La idea es aplicar el criterio del subgrupo en ambos casos. Parte directa: Sean  h (g10 ) ; h (g20 )  elementos de  h [G0 ]. Sabemos que dichos elementos deben existir porque al menos el elemento neutro estará en G0 y por lema 1, la imágen de éste bajo h  será el neutro en H , luego h [G0 ]6 = ?. Falta veri…car que h (g10 )  (h (g20 ))1 esta en  h [G0 ]. En efecto, debido a que  G 0 es un grupo, (g20 )1 estará en éste, y por tanto, por de…nicion de homomor…smo y por el

lema 2,

h



g10



1 (g20 )



=

h (g10 )

 

 h (g20 )

1

1

= h (g10 )  (h (g20 ))

lo que nos deja en posición de aplicar el criterio del subgrupo a  h [G0 ], con lo que concluye la prueba. Parte recíproca: Supongamos que g10 y g20  son elementos de G0 . Debido a que (h [G0 ] ; ) es un grupo, para h (g20 ), que es un elemento de h [G0 ]  existe su respectivo elemento inverso (h (g20 ))1 en h [G0 ]  que, por el lema 2 es igual a h (g20 )1 .

 

Además, por la propiedad de cerradura de la operación , se tiene que h (g10 )  h (g20 )1  es un elemento de  h [G0 ]  y por ser  h  un homomor…smo, se





tiene que

h (g10 )





1 h (g20 )

  = h

g10



1 (g20 )



Es decir,  h g10  (g20 )1 es un elemento de h [G0 ], por lo que  g10  (g20 )1 es un





elemento de G0 y por el criterio del subgrupo, esto quiere decir que (G0 ; ) es un subgrupo de  (G; ).

2.6 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS

43

Proposición 9 Sea  h : (G; ) ! (H; ) un homomor…smo. Entonces  (ker (h) ; ) es subgrupo de  (G; ).

Demostración. Por el lema 1 se tiene que eG 2 ker(h), luego  ker (h) 6 = ?. Sean a; b 2   ker(h). Debido a que   ker(h)  es un subconjunto de G, existe b1 2 G. Luego, h a  b1 = h (a)  h b1





Aplicando el lema 2 a  h (b1 )  se tiene que

 

= h (a)  (h (b))1

Pero observemos que debido a que tanto  a  como  b  pertenecen al kernel de  h , = eH   (eH )1 = eH   eH  = eH 

Luego, h a  b1 = e H 





Y por tanto dados a; b 2   ker(h)  se cumple que a  b1 2 ker(h)  y por la proposición 1,  (ker (h) ; )  es subgrupo de  (G; ).

Teorema 2 Sea H un subgrupo normal de G. Entonces el mapeo   : (G; ) ! (G=H; ) de…nido por   (g) = gH  es un homomor…smo con kernel H.

Demostración. Sean  g 1 ; g2  2 G. Entonces, por de…nición:  (g1  g2 ) = (g1  g2 ) H 

Debido a que H es subgrupo normal, = (g1 H )  (g2 H ) =  (g1 )   (g2 )

CAPíTULO 2 GRUPOS

44

Luego   es un homomor…smo. Veamos ahora que H es el kernel del homomor…smo: Sea  k  2 H  un elemento cualquiera. Luego,  (k) = (k) H  = H 

Por la clausura sobre el grupo H, pero precisamente la clase H es el elemento neutro del grupo  (G=H; ), luego en efecto H es el kernel de   .

De…nición 20 (homomor…smo canónico)  El homomor…smo   del teorema anterior se denomina natural o canónico.

Concluyamos ahora con algunos aspectos que ocurren al estudiar los homomor…smos entre grupos y su relación con el grupo cociente, llamados los Teoremas del Homomor…smo en grupos, aunque también se pueden presentar bajo ciertas condiciones, como isomor…smos, lo que les ha dado el nombre alternativo de Teoremas del Isomor…smo:

Teorema 3 (Fundamental del homomor…smo en grupos)   Sean  (G; ), (G0 ; ) grupos y   : (G; ) ! (G0 ; )   un homomor…smo sobreyectivo. Entonces existe un isomor…smo  : (G= ker() ; ) ! (G0 ; ) tal que      =  donde    es el homomor…smo canónico   : (G; ) ! (G= ker() ; ).

Demostración. Sea  K  = ker(). Se de…ne   (gK ) =  (g) para todo  g 2 G. Luego dados  g 1; g2  2 G,  ((g1 K )  (g2 K )) =  ((g1  g2 ) K ) =  (g1  g2 )

Pero    es un homomor…smo por hipótesis, luego =  (g1 )   (g2 ) =  (g1 K )   (g2 K )

2.6 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS

45

Luego    es un homomor…smo. Veamos ahora que    es sobreyectivo. sobreyectivo. Por hipótesis, dado  a 2 G0 existe  g 2  g  2 G tal que a  =   =   (g)

Y por de…nición, =  (gK )

Luego    es sobreyectivo. Comprobemos la inyectividad: Observemos que el kernel de   es el conjunto de elementos de la forma gK  tales que  (gK ) = eG =  (k ) 0

Para  k  2 K . Luego  (gK ) gK ) =   (k )

Lo que implica que g  = k  =  k

Recordemos que el homomor…smo canónico en grupos está dado por   (    (g) = gK . luego dado   (g ) 2  (G)  se tiene que  (g ) =  (gK ) =  ( (  (g))

Lo que concluye la prueba.

Teorema 4 (Segundo teorema del homomor…smo) Sea  Sea  H   H  un  un subgrupo de  G,  G, y  N   N  un  un subgrupo normal de  G.  G. Entonces el grupo cociente  ((H  ((H N ) =N; ) es isomorfo a  (H=  ( H= (H \ H  \ N ) ; ).

Demostración. Partimos del homomor…smo canónico   : : (G; ) ! (G=N; ), del cual sabemos que tiene kernel  N  por teorema 2. si tomamos únicamente valores h  de  H  para este mapeo,  (  (h) =  hN 

46

CAPíTULO 2 GRUPOS GRUPOS

para aquellos valores de  N  que  que estén en  H . Esto es,  H \  H \ N . Luego el conjunto de llegada de estas imágenes será  H=  H = (H \ H  \ N ). Es decir,  

 jH  : (H; ) ! (H= (H \ H  \ N ) ; )

(2.6)

es un homomor…smo y, apelando al homomor…smo sobreyectivo identidad  : (H; ) ! (H; )

 

(2.7)

vemos que (2.6) y (2.7) nos ponen en posición de aplicar el Teorema Fundamental del Homomor…smo, permitiéndonos concluír que existe un isomor…smo   : (H= (H \ H  \ N ) ; ) ! (H; )

Observemos ahora que a su vez  ((H  ((H N ) =N; ) es isomorfo a  (H;  (H; ). El mapeo  jHN  : (H N; ) ! ((H ((H N ) =N; )

 

(2.8)

es claramente un homomor…smo canónico, mientras que el mapeo '  : (H; ) ! (H N; )

de…nido por  ' (h) =  hN  es un homomor…smo, ya que ' (h1  h2 ) = (h1  h2) N  = h1 N     h2 N  = ' (h1 )  ' (h2 )

y su sobreyectividad es evidente. Por lo que existe un homomor…smo sobreyectivo   (2.9)   : (H N; ) ! (H; ) Aplicando nuevamente el teorema fundamental del homomor…smo contando con (2.8) y (2.9), se concluye que ((H ((H N ) N ) =N; )  es isomorfo a (H; ) al igual que (H= (H \ H  \ N ) ; ). Por lo que ((H ((H N ) =N; ) y (H= (H \ H  \ N ) N ) ; ) son isomorfos. isomorfos.

Teorema 5 (Tercer teorema del homomor…smo)   Sean  (M;  (M; ) y  (N;  (N; ) subgrupos normales de  (G; )  tales que  (M; )  sea subgrupo de  (N; ). Entonces el grupo cociente  (G=N;  (G=N; ) es isomorfo al grupo cociente  ((G=  ((G=N  N )) = (M=N ) ; ).

2.7 PRODUCTO CARTESIANO DE GRUPOS

47

Demostración.  Una vez más la idea es ubicarnos en las condiciones adecuadas para poder aplicar el Teorema Fundamental del Homomor…smo a los grupos involucrados. Empecemos por de…nir el mapeo h : (G; ) !  p or ((G= ((G=N  N )) = (M=N ) ; )  por h (g ) =  g (N= (M=N )) ))

Observemos que es un homomor…smo porque dados  g 1 ; g2  2 G  tenemos que h (g1  g2 ) = (g1  g2 ) (N= (M=N )) )) = (g1 N= (M=N )  g2 N= (M=N )) )) = h (g1 )  h (g2 )

y además es sobreyectivo porque tanto N   como M  son subconjuntos de G. Por otro lado, tenemos el homomor…smo canónico   : (G; ) ! (G=N; ), luego por el Teorema Fundamental del Homomor…smo,  (G=N;  (G=N; ) es isomorfo a  ((G=  (( G=N  N )) = (M=N ) ; ).

2.7. 2. 7. Produ Product ctoo Car Carte tesi sian anoo de de G Gru rupos pos En esta sección se verá una forma de construír nuevos grupos a partir de unos dados usando el producto cartesiano. En primer lugar observemos que si hablamos del producto cartesiano de dos grupos, digamos  (G  (G1 ; 1 ) y (G  (G2 ; 2 ) lo representa representamos mos escribiéndolo escribiéndolo como (G  ( G1 ; 1 )  (G2 ; 2 )  y sus elementos ya no serán unitarios, unitarios, sino parejas ordenadas  (g  ( g1; g2 ) donde cada elemento  g 1  se toma del conjunto  G1 y cada elemento  g2  de  G2 . Formalmente, esto se conoce como una   relación   entre los conjuntos G1 y G2. Si queremos añadir una operación entre los elementos del nuevo conjunto  (G  (G1; 1)  (G2 ; 2 ) debemos tener en cuenta de que estaremos operando parejas. Se podría pensar en seleccionar la operación 1  ó 2 . Sin embargo recordemos que, por ejemplo, la operación 1  está de…nida para elementos de  G 1  y puede no tener sentido al ser aplicada a los elementos de  G2 . De esta forma, lo más natural entonces es adoptar una operación que se ajuste a sus respectivas componentes. Así, para dos parejas  (g op eración  (g1; g2 ) y (g  (g10 ; g20 ) de (G  (G1 ; 1 )  (G2 ; 2 ) se de…ne la operación   como:  : ((G ((G1 ; 1 )  (G2 ; 2 ))  ((G ((G1; 1)  (G2 ; 2 )) ! (G1 ; 1 )  (G2 ; 2 )

48

CAPíTULO 2 GRUPOS (g1 ; g2 )  (g10 ; g20 ) = (g1 1  g10 ; g2 2  g20 )

Ahora se tienen los preparativos necesarios para ampliar la idea al producto de un número arbitrario de grupos:

De…nición 21 (Producto entre grupos) Sea  C  = f(G1 ; 1 ) ; (G2 ; 2 ) ; : : :g una colección arbitraria de grupos. El conjunto de elementos de la forma  (g1 ; g2 ; : : :) con  g1 2 G1 ; g2 2 G2 ; : : : se denomina producto y se representa  por  (G1 ; 1 )  (G2 ; 2 )     .

De…nición 22  Dado un producto (G1 ; 1 )  (G2 ; 2 )      entre una colección de grupos, se de…ne la operación     entre dos elementos  (g1 ; g2 ; : : :) y  (g10 ; g20 ; : : :) del producto como (g1 ; g2 ; : : :)  (g10 ; g20 ; : : :) = (g1 1  g10 ; g2 2  g20 ; : : :)

Proposición 10  La pareja  (((G1 ; 1 )  (G2 ; 2 )     ) ; ) donde  (G1 ; 1 ) (G2 ; 2 )      es el producto de una colección de grupos y    la operación entre elementos del producto anteriormente de…nida, es un grupo y se le llama  grupo producto.

Demostración. La prueba consiste en una veri…cación trivial de los axiomas de la de…nición de grupo. Los detalles de dejan al lector.

Notación 3  Cuando las operaciones 1; 2; : : : han sido especi…cadas claramente o son iguales, la escritura  (((G1 ; 1 )  (G2 2 )     ) ; ) puede simpli…carse usando ((G1  G2     ) ; ).

Proposición 11 Sea  (G; ) un grupo abeliano. El grupo producto (G1  G2      Gn ; ) (donde  Gi  = G  para todo i) es homomorfo a  (G; ).

2.7 PRODUCTO CARTESIANO DE GRUPOS

49

Demostración. Sea  '  el mapeo de…nido por ' (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) = g1  g2      gn

Para veri…car que es un homomor…smo veamos que ' ((g1 ; g2 ; : : : ; gn )  (g10 ; g20 ; : : : ; gn0 )) = = = =

' (g1  g10 ; g2  g20 ; : : : ; gn  gn0 ) (g1  g10 )  (g2  g20 )      (gn  gn0 ) (g1  g2      gn )  (g10  g20      gn0 ) ' (g1 ; g2 ; : : : ; gn )  ' (g10 ; g20 ; : : : ; gn0 )

Proposición 12 Sea  (G; ) un grupo. El grupo producto (e1  e2      G      en; ) (donde  G puede ocupar cualquier posición) es isomorfo a  (G; ).

Demostración.  Basta considerar el mapeo ' (e1 ; e2 ; : : : ; g ; : : : ; en) = g y comprobar que es un homomor…smo biyectivo. Los detalles se dejan al lector.

Proposición 13   Dados  (G1 ; 1 ) ; (G2 ; 2 ) ; : : : ; (Gn ; n ) n grupos, (G1  G2      Gn ; ) y  (Gi ; i ) son homomorfos para todo i = 1; 2; : : : ; n.

Demostración. Considérese el mapeo 'i  : (G1  G2      Gn ; ) ! (Gi ; i ) de…nido como: 'i (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) = gi

para todo  i = 1; 2; : : : ; n. Se puede veri…car que es un homomor…smo porque dados  (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) y  (g10 ; g20 ; : : : ; gn0 )  elementos de  G 1  G2      Gn  se tiene que 'i ((g1 ; g2 ; : : : ; gn )  (g10 ; g20 ; : : : ; gn0 )) = ' (g1 1  g10 ; g2 2  g20 ; : : : ; gi i  gi0 ; : : : ; gn n  gn0 ) = gi i  gi0 = 'i (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) i  'i (g10 ; g20 ; : : : ; gn0 )

Luego  (G1  G2      Gn ; )  y  (Gi ; i )  son homomorfos.

CAPíTULO 2 GRUPOS

50

Teorema 6 Sea  (G; )   un grupo y  (N 1 ; ) ; (N 2 ; ) ; : : : ; (N m ; )   m subgrupos normales de  (G; )   tales que  N i \ N  j = e   para  i 6 = j. Entonces   (N 1  N 2      N m; ) = (G; )   si y sólo si  G = N 1 N 2    N m   de forma  única.

Demostración. Parte directa: De que existe un isomor…smo '  entre (N 1  N 2      N m ; ) y (G; ) se deduce que dado un elemento cualquiera g de G   existe un elemento (n1 ; n2 ; : : : ; nm )  con  n i  2 N i  tal que g = ' (n1 ; n2 ; : : : ; nm ) = ' ((n1 ; e2 ; : : : ; em)  (e1 ; n2 ; : : : ; em )      (e1 ; e2 ; : : : ; nm )) = ' (n1 ; e2 ; : : : ; em )  ' (e1 ; n2 ; : : : ; em )      ' (e1 ; e2 ; : : : ; nm )

Sin embargo usando las proposiciones anteriores se tiene que ' (n1 ; e2 ; : : : ; em ) 2 N 1 ; ' (e1 ; n2 ; : : : ; em ) 2 N 2 ; : : : ; ' (e1 ; e2 ; : : : ; nm ) 2 N m . Por lo que G = N 1 N 2    N m

Parte recíproca: Sea  '  el mapeo de…nido por ' (n1 ; n2 ; : : : ; nm ) = n 1  n2      nm

Para veri…car que es un homomor…smo veamos que ' ((n1 ; n2 ; : : : ; nm )  (n01 ; n02 ; : : : ; n0m )) = = = =

' (n1  n01 ; n2  n02 ; : : : ; nm  n0m) (n1  n01 )  (n2  n02 )      (nm  n0m ) (n1  n2      nm )  (n01  n02      n0m ) ' (n1 ; n2 ; : : : ; nm )  ' (n01 ; n02 ; : : : ; n0m )

Ahora, el homomor…smo '  es sobreyectivo porque por hipótesis, dado un elemento  g en  G , se tiene que g = n1  n2      nm = ' (n1 ; n2 ; : : : ; nm )

Se veri…ca ahora la inyectividad.

2.7 PRODUCTO CARTESIANO DE GRUPOS

51

Sean  (n1 ; n2 ; : : : ; nm ) y  (n01 ; n02 ; : : : ; n0m )  elementos de  N 1  N 2      N m que cumplen con ' (n1 ; n2 ; : : : ; nm ) = ' (n01 ; n02 ; : : : ; n0m )

Esto último implica que n1  n2      nm  = n 01  n02      n0m g = g 0

Sin embargo, como la representación de  g  = n1  n2      nm  = n 01  n02      n0m  es única, debe tenerse entonces que  n 1  = n01 ; n2  = n02 ; : : : ; nm  = n0m . Es decir, (n1 ; n2 ; : : : ; nm ) = (n01 ; n02 ; : : : ; n0m )

Por lo que se concluye que  '  es un isomor…smo.

Orden de un grupo Al hablar del producto de dos o más conjuntos es inevitable hacer alusión a alguna idea de  tamaño  de los conjuntos involucrados y del conjunto resultante del producto. Para este propósito, al menos por el momento, se puede acudir al concepto de  orden  de un grupo, que parte de alguna forma de la idea de cardinal de un conjunto en Teoría de Conjuntos.

De…nición 23 (Orden) Sea  (G; ) un grupo. El orden de  (G; ) denotado por  jGj   se de…ne como jGj = n   donde  n   es el número de elementos que  contiene  G si  G   es un conjunto …nito, o como jGj = 1 si  G   no es un  conjunto …nito. En el primer caso se dice que  (G; ) es de orden …nito, y en  el segundo, que es de orden in…nito.

Proposición 14  El orden del grupo((G1 ; 1 )  (G2 2)     ; )  está dado por la multiplicación jG1 j  jG2 j      de los ordenes de cada grupo del producto si los mismos son …nitos. En caso de que alguno de ellos no sea …nito, el  orden será  1.

CAPíTULO 2 GRUPOS

52

Demostración. Para la prueba consideremos el número de posibles elementos de la forma  (g1 ; g2 ; : : :) con g1 2 G 1 ; g2 2 G 2 ; : : :. El número de posibles elementos que podemos poner en la primera componente es  n 1  = jG1 j. En la segunda componente, n2 = jG2 j  y así sucesivamente. Como una aplicación del principio de multiplicación es sencillo deducir la conclusión. Los detalles se dejan al lector. Ejemplo 30  Como caso particular podemos mirar la adición de vectores en, digamos,  R 3 . Se trata del producto de tres grupos  ( R; +) y su operación entre  vectores se de…ne obedeciendo la forma en como se estableció la operación  para productos: (a;b;c) + (a0 ; b0 ; c0 ) = (a + a0 ; b + b0 ; c + c0 )

2.8. Ejercicios 1. Supongamos que (G; )  es un grupo y g1; g2 ; : : : ; gk  son elementos de G. Determinar a qué es igual  (g1 ; g2 ; : : : ; gk )1 . 2. Supongamos que (G; ) es un grupo. Sea Z  = fg 2 G j xg = gx  para cualquier  x 2 Gg. ¿Es (Z; )  subgrupo de  (G; )?. 3. Sea (G; ) un grupo y (H; ) y (K; ) subgrupos de (G; ). ¿Es (H [ K; ) subgrupo de  (G; )?, ¿Es  (H \ K; )  subgrupo de  (G; )? 4. Sea (R+ ; ) el grupo de los números reales positivos bajo la operación de multiplicación usual entre reales. ¿Es  ( Q+ ; )  un subgrupo de  ( R+ ; )? 5. Sea (F; +)  el conjunto de funciones reales de…nidas sobre el intervalo [0; 1]  bajo la operación +  de suma usual de funciones. ¿Es (F; +) un grupo? En caso de ser a…rmativa la respuesta, ¿se tendrá que el con junto de funciones reales continuas en el intevalo [0; 1]  bajo la misma operación de suma de funciones (esto es,  (C  [0; 1] ; +)) es subgrupo de (F; +)? ¿se tendrá que el conjunto de funciones reales diferenciables en el intevalo (0; 1)  bajo la misma operación de suma de funciones (esto es,  (F 0 (0; 1) ; +)) es subgrupo de  (F; +)?

2.8 EJERCICIOS

53

6. Supongamos que (K; )  es subgrupo de (H; ). ¿Qué diferencia hay entre los conjuntos  H K  y  H=K ? 7. Probar que el centralizador, el centro, el normalizador y el estabilizador de un grupo  (G; )  bajo la operación    son subgrupos de  (G; ).

Capítulo 3 Grupos Finitos Hasta este punto se ha trabajado con grupos de conjuntos …nitos e in…nitos de elementos indistintamente. Por ejemplo, el grupo  (R; +) esta conformado por el conjunto R que es in…nito, mientras que el grupo  (f0g ; +) presenta un conjunto con un único elemento. A partir de esta sección se hace necesario distinguir entre estos dos tipos de grupos, ya que existen propiedades que se cumplen en uno de ellos y no en el otro y viceversa. En este propósito, la noción que nos ayuda es la de  orden de un grupo,  a partir de la cual surge la idea de  grupo …nito.

De…nición 24 (Grupo …nito) Sea  (G; )   un grupo de orden …nito. Entonces se dice que  (G; ) es un grupo …nito.

Antes de dar algunos ejemplos relevantes, recordemos algunas cosas de las clases de Z  módulo  n . Dados  a; b  números enteros, se de…ne la relación de congruencia módulo  n  y denotada por    como a  b (mod n)  si y sólo si  n j a  b

Esta relación es de equivalencia, ya que es re‡exiva, simétrica y transitiva y formará una partición del conjunto Z  de la siguiente manera: 55

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

56

Sea  [a]  el conjunto de todos los números enteros que sean congruentes con  a módulo  n . Esto es,  [a] = fx 2 Z j a  x   (mod n)g  luego  [a]  es una partición de  Z  llamada clase de equivalencia módulo n.1

Notación 4  El conjunto de las clases de equivalencia módulo n se denota  por  Z=n.

Este conjunto ha sido objeto de amplio estudio, inclusive desde legendarios matemáticos como A. M. Legendre y K. F. Gauss. En el caso de la presente obra, nos limitaremos a observar lo que sucede con dicho conjunto al dotarlo de una operación de adición entre clases. Se de…ne la operación de adición entre clases    como [a]  [b] = [a + b]

donde  +  es la suma usual entre números enteros. Podemos ver que   es cerrada, ya que +  es cerrada para números enteros. Además, si se toma como elemento neutro a la clase del 0 y como elemento inverso de una clase, a la clase del inverso aditivo (en símbolos: e   = [0] y [a]1 = [a]) se veri…can los axiomas G1 a G4, con lo que podemos llamar a  ( Z=n; )  grupo abeliano. Sabemos que Z=n  consta de  n  elementos, por lo que  j Z=nj = n  y  ( Z=n; )  es además un grupo …nito.

Ejemplo 31  Veamos un caso un poco más concreto. Cuando dividimos un  número cualquiera entre 3, los posibles residuos son: 0, 1 ó 2. Así que podemos  clasi…car a TODOS los números enteros alguno de los siguientes tres con juntos: El conjunto [0] en donde estarán aquellos números que al dividirlos  entre 3, sobra 0. El conjunto [1] en donde estarán aquellos números que al dividirlos entre 3, sobra 1 y el conjunto  [2]  en donde estarán aquellos números  que al dividirlos entre 3, sobra 2. Observemos nuevamente que, de acuerdo a esta clasi…cación, todos los números enteros están repartidos en estos tres  conjuntos y además de manera única, esto es, que si un número a  está en  1 Esto

es sólo un repaso de las principales ideas de las clases módulo n. Para un trato más completo y riguroso de este tema, el lector puede consultar cualquier libro de Teoría de Números.

57 el conjunto [1], no puede estar ni en  [0] ni en  [2]. Al conjunto de estas tres  clases se le denota por  Z=3 y, por lo que hemos visto anteriormente, (Z=3; ) es un grupo abeliano …nito.

De…nición 25 (Orden de un elemento) Sea  (G; ) un grupo y  g  un elemento de  G. El orden de  g se denota por  jgj y representa el menor número de veces que debe operarse consígo mismo para obtener el elemento neutro  e. Cuando dicho número no existe, decimos que el orden de  g es  1.

Ejemplo 32   Supongamos que  (G; ) es un grupo y para cierto elemento g de  G  se tiene que  jgj = 4, luego g  g  g  g = e

Ejemplo 33  Para el grupo ( R; +) encontramos por ejemplo que  j4j = 1 ya  que no existe ningún entero positivo tal que el  4 sumado consígo mismo ese  número de veces dé como resultado 0.

Ejemplo 34  En el grupo ( Z=3; ) vemos que  j[1]j = 3 porque  [1]  [1]  [1] = [3] = [0] que es el elemento neutro de  (Z=3; ).

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

58

3.1. Representaciones de Grupos Finitos Para tener una ilustración completa de los elementos de un grupo y sus relaciones con los demás elementos bajo la operación binaria, utilizamos representaciones. Existen numerosas formas de representar Grupos. Describiremos acá las más comunes: Usando tablas y Diagramas de Hasse.

CONSTRUCCIÓN DE TABLAS La representación de grupos por medio de tablas es una de las más utilizadas para grupos …nitos. Consiste en escribir todos los elementos en la …la superior y en la primera columna (en el mismo orden) y en las casillas restantes, los resultados de operar (esto es, usando la operación binaria de…nida en el grupo) los elementos de cada …la con su respectivo elemento en cada columna.

Ejemplo 35   Representemos el grupo ( Z=3; ) del ejemplo anterior utilizando tablas. 

[0] [1] [2]

[0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] Aquí tenemos un mapa completo del grupo, donde se evidencian propiedades  básicas, como por ejemplo que el inverso de  [1] es  [2] y viceversa, ya que  [1]  [2] = [1 + 2] = [3] = [0]

Ejemplo 36   El grupo trivial  (e; )   es el grupo …nito de menor orden (de  orden 1) y está conformado únicamente por el elemento neutro y su operación  binaria cerrada defnida por  e  e = e. Es un procedimiento sencillo veri…car  que dicha pareja cumple con los axiomas G1 a G4.

3.1 REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS

59

Ejemplo 37  Si queremos construir un grupo de orden 2, al menos uno de  los elementos debe ser el elemento neutro. Con respecto al otro elemento, debe cumplirse que sea su mismo elemento inverso, o de lo contrario tendría  que existir un tercer elemento que fuera su inverso y el orden del grupo ya  no sería 2. Por tanto, la tabla que representa un grupo (fa; eg ; ) de orden  2 es  

e

a

e

e

a

a

a

e

Observemos que el grupo del ejemplo anterior es subgrupo de  (fa; eg ; ).

Ejemplo 38  Similarmente, para construír un grupo con tres elementos  a; b y  e  donde  e  es el elemento neutro, nos encontramos con dos posibilidades. La primera es que  a sea el elemento inverso de  b  y viceversa. La segunda es  que una vez más  a sea su mismo inverso y  b sea su mismo inverso. Pero esto implicaría que  ab = d es un cuarto elemento, diferente de  a; b y  e, por lo que   no sería cerrada y no tendríamos grupo alguno. Esto nos deja únicamente  con la primera posibilidad, por lo que su representación por medio de tabla  es   e a b e

e

a b

a

a b

e

b

b

a

e

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

60

3.2. Principales teoremas de la teoría de grupos …nitos 3.2.1. Teorema de Lagrange Existe un resultado fundamental en la teoría de grupos …nitos que es esencial para la gran mayoría de sus notables teoremas. Además de bello, ayuda a entender en gran medida la estructura de los grupos …nitos. Dicho resultado tiene que ver con la relación que guarda el órden de un grupo con el órden de sus subgrupos. Para poder establecerlo necesitamos algunas de…niciones.

De…nición 26 Sea  (G; ) un grupo y  (H; ) un subgrupo de éste. Se de…ne  la relación  x  g mod H si y sólo si  x  g 1 2 H 





Puede comprobarse que la anterior es una relación de equivalencia y por tanto puede construírse una partición de  G  a través de las clases de equivalencia [g] = fx 2 G j x  g   (mod H )g

Teorema 7 (de Lagrange) Sea  (G; )   un grupo …nito y  (H; )   un subgrupo de éste. Entonces el orden de  (H; ) divide al orden de  (G; ).

Demostración. Observemos que si tomamos las clases de equivalencia formadas bajo la relación de…nida anteriormente, tendremos que  H g = [g] para cualquier  g en  G , ya que si  x 2 [g]  entonces x  g 1 2 H 

o lo que es lo mismo, x  g 1 = h

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS61 para algún  h 2 H . Luego operando  a  por derecha a ambos lados de la igualdad, x = h  g

esto es, x 2 Hg

y por lo tanto [g]  Hg. Siguiendo un razonamiento simétrico se puede comprobar que Hg  [g]   y que por tanto Hg = [g]. Veamos ahora que el orden de cada clase de equivalencia es el mismo que el de H . En otras palabras, cada [gk ] tendrá el mismo número de elementos que  H . Si de…nimos el mapeo f  : H  ! Hgk

por  f  (h) = h  gk  podremos observar que es uno a uno porque dados  f  (h1 ) y  f  (h2 )  iguales, f  (h1 ) = f  (h2 ) $ h1  gk = h 2  gk $ h1  = h2

y además sobreyectivo porque dado x en Hgk  tendremos que x = h  gk = f  (h)  para algún  h 2 H . Finalmente retomemos. Tenemos una relación de equivalencia  mod H sobre G, lo que induce una partición de G. Esto quiere decir que cada [gk ]  para k = 1; 2; : : : ; n es disyuntiva, y que G = [g1 ] [ [g2 ] [    [ [gn ]. Es decir que en cuanto al orden de  G  respecta, jGj = j[g1 ] [ [g2 ] [    [ [gn ]j = jH [    [ H j = n jH j

Y la expresión  jGj = n jH j  nos indica que  jH j  divide a  jGj.

Corolario 1 Sea  (G; ) un grupo …nito y  (H; ) un subgrupo de éste. Entonces  jG=H j = jGj  jH j.

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

62

Demostración.  La prueba es consecuencia directa de los resultados de la demostración del Teorema de Lagrange y se dejan como ejercicio los detalles. Veamos ahora dos proposiciones relacionadas pero concernientes con el orden de un elemento del grupo.

Notación 5 Sea  (A; )   una estructura algebraica binaria. El conjunto de  elementos que resultan de operar un elemento  a 2 A consigo mismo se denota  por  hai.

Notación 6   La expresión 

k

L

x  representa la operación de  x por si misma 

i=1 0

k   veces. i.e,

L

1

x = e,

i=1

L

2

x = x,

i=1

L

3

x = x  x,

i=1

L

x = x  x  x, etc. Y 

i=1

a similarmente expresamos la operación entre inversos: 2

L  x

1

= (x1 )  (x1 ),

i=1

3

L 

1

L  x

1

= x1 ,

i=1

1

= (x1 )  (x1 )  (x1 ), etc. Bajo

x

i=1

esta nueva expresión podemos representar el orden de un elemento g   de la  siguiente forma: jgj = k  si y sólo si  k es el menor entero positivo tal que  k

M

g = e

i=1

Proposición 15 Sea  (A; ) una estructura algebraica binaria con elemento neutro. Entonces  jhaij = jaj.

Demostración. Caso …nito: Supongamos que  jaj = n. Luego 2

3

( M M a,

a,

i=1

i=1

n1

a, : : : ,

n

M M ) a,

i=1

a = e

i=1

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS63 es subconjunto de hai. Todos estos elementos son distintos, ya que si, por  p q ejemplo a = a  para p  distinto de q , se tendría por Ley de Tricotomía

L L L 

i=1

i=1

que p < q  o p > q . Podemos suponer sin pérdida de generalidad la primera y, operando por

1

p

por derecha, se llega a

a

i=1

q p

M

e =

 

a

(3.1)

i=1

y  q  p  es mayor que  0 , por lo que  q  p  constituye un entero positivo menor que  n  que cumple con (3.1), lo que contradice la minimalidad de  n . 2

3

 L L

El hecho de que todos los elementos del conjunto a,

a,

i=1

a, : : : ,

i=1

sean distintos implica que  hai  tiene al menos  n  elementos. Esto es,

n1

n

L L

i=1

a,

a

i=1

jhaij  n

Supongamos ahora con …nes de contradicción que tiene más de  n  elementos. Esto quiere decir que existe

k

L

k

a 2 hai tal que

i=1

a,

a2 =

i=1

Por el Algoritmo de la División,  k  = n  p + r . Luego, n p+r

k

M M M M M M ! M M M M M a =

i=1

a

i=1 n p

=

r

a

i=1  p

a

i=1

n

=

r

a

i=1  p

=



i=1

i=1

r

(e) 

i=1

= e

a

i=1

r

=

a

i=1

a

i=1

r

2

3

L  L L

a

i=1

a,

i=1

a, : : : ,

n1

n

L L

i=1

a,

i=1

a .

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

64 y

r

L

i=1

a  pertenece al conjunto

2

3

 L L a,

i=1

a,

a, : : : ,

i=1

r < n. Luego  hai  tiene exactamente  n  elementos.

n1

n

L L

i=1

a,

a  porque  0  

i=1

De ésta proposición podemos observar varios detalles interesantes. El primero de ellos es que dada una estructura algebraica binaria (A; ) con elemento neutro y un elemento a de A, la pareja (hai ; )   constituye un grupo abeliano (comprobarlo). Este tipo de grupo dará origen al concepto de grupo cíclico, del que se hablará en la siguiente sección. Así que si la estructura (A; )  resulta ser un grupo, (hai ; )  será un subgrupo de orden  n . De lo anterior se deduce la siguiente proposición:

Proposición 16 Sea  (G; )   un grupo y  g  un elemento de  G. Entonces el  orden de  g divide al orden de  G.

Demostración.  Caso …nito: Supongamos que jgj = n. Por la proposición anterior, jgj = jhgij. Y debido a que (hgi ; )  es subgrupo de (G; ), por el Teorema de Lagrange, el orden de  (hgi ; )  divide al orden de  (G; ), por lo que  n  divide al orden de  (G; ). Finalmente, cerramos este aparte con una versión del criterio del subgrupo para grupos …nitos:

Teorema 8 (Criterio del subgrupo caso …nito) Sea  (G; ) un grupo y  (H; ) tal que  H  es no vacío, jH j  es …nito y   es cerrada en  H . Entonces  (H; ) es subgrupo de  (G; ).

Demostración. Debido a que  H  es no vacío, debe tener algún elemento. Sea dicho elemento  h 2 H . Como    es cerrada en  H , tendremos que 2

hh =

M M M

h 2 H 

i=1 3

(h  h)  h =

h 2 H 

i=1 4

(h  h  h)  h =

i=1

h 2 H 

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS65 y en general, k

M

h 2 H   para todo entero positivo  k . (Esto puede demostrarse por inducción sobre  k )

i=1

Sin embargo, H  es …nito, por lo que el orden de h  debe ser …nito (de lo contrario entraría en contradicción con la proposición 16). Supongamos que jhj = m. En la demostración de la proposición 15 vimos que si p > m, entonces  p a

M M L  M M ! M M

h  para algún  a < m

h =

i=1

i=1

1

a

Operando a ambos lados por

obtenemos

h

i=1

 p

1

a

h

i=1

h

= e

i=1

 pa

m

h = e =

i=1

h

i=1

Operando a ambos lados por  h 1 obtenemos m1 1

h

=

M

h

i=1

Y dado que  m1 < m, tenemos que  h1 pertenece a H , luego dado cualquier otro elemento  x 2 H ,  x  h1 pertenece a  H  (por ser    cerrada en  H ). Luego por el criterio del subgrupo (Teorema 1) se concluye que  (H; )  es subgrupo de  (G; ).

3.2.2. Teorema de Cauchy Teorema 9 (de Cauchy) Sea  (G; )  un grupo …nito de orden  n, y  p un  número primo que divide a  n. Entonces existe un elemento de  G  de orden  p.

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

66

Demostración. Se presentará una prueba para el caso especial en que  (G; ) es abeliano. Para una prueba general puede consultarse la de McKay 2 . Se procederá usando el descenso in…nito. Sea g  un elemento de (G; )  de orden m 6 = 1. Se presentan dos alternativas: Que  p  divida a  m  o que no. Consideremos la primera, que implica que m = p  q   para algún entero positivo  q . Por el lema 5, q

M   

m M CD (m; q ) p  q  = M CD ( p  q; q ) p  q  = q  = p

g =

i=1

 

(3.2)

q

Por lo que el elemento

M

g de G  es de orden p, con lo que se cumple el

i=1

teorema. Estudiemos ahora la segunda alternativa suponiendo que  p no divide a m. Se tiene que la pareja  (hgi ; ) es un grupo abeliano que además es subgrupo de (G; ). (Recordar la discusión al …nal de la proposición 15). Pero es un subgrupo propio. Es decir, que no puede ser igual a (G; )  debido a que precisamente p  no divide a m y p   por hipótesis debe dividir al orden de (G; ). Esto implica que j(hgi ; )j < j(G; )j

Ahora, por el corolario 1 del Teorema de Lagrange, j(G= hgi ; )j = j(G; )j  j(hgi ; )j

O, lo que es lo mismo, j(hgi ; )j  j(G= hgi ; )j = j(G; )j

Es decir que  p  debe hacer parte de los divisores de alguno de los dos ordenes j(hgi ; )j  o  j(G= hgi ; )j. Pero vimos que esto no es posible para j(hgi ; )j, 2 MCKAY,

(1959) p.119

J. Another proof of Cauchy’s group theorem. Amer. Math. Monthly, 66

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS67 luego  p  debe ser divisor de  j(G= hgi ; )j. Sea  g 2  un elemento de  (G= hgi ; ) de orden m2 6 = 1. Se presentan de nuevo dos alternativas: que p  divida a m2  o que no. En el caso a…rmativo podemos repetir el proceso de la linea 3.2 para ver que se llega a la misma conclusión. Así que supongamos la segunda alternativa. Nos encontraremos con que  (hg2 i ; )  es nuevamente un subgrupo abeliano propio de  (G= hgi ; ) y aplicando nuevamente el corolario 1 tendremos que j((G= hgi) = hg2 i ; )j = j(G= hgi ; )j  (hg2 i ; )

O, lo que es lo mismo, j(hg2 i ; )j  j((G= hgi) = hg2 i ; )j = j(G= hgi ; )j

Es decir que  p  debe hacer parte de los divisores de alguno de los dos ordenes j(hg2 i ; )j o j((G= hgi) = hg2 i ; )j. Pero vimos que esto no es posible para j(hg2 i ; )j, luego  p  debe ser divisor de  j((G= hgi) = hg2 i ; )j. De esta manera podemos construír una sucesión in…nita de subgrupos abelianos distintos (G= hgi ; ) ; ((G= hgi) = hg2i ; ) ; : : : de tal forma que j(G= hgi ; )j > j((G= hgi) = hg2 i ; )j >   

Y tales que p  sea divisor de todos ellos, lo que es una contradicción. Por lo tanto, en todo grupo abeliano que tenga a un primo p  como divisor de su orden, debe existir siempre un elemento de orden  p . Observaremos ahora algunas consecuencias del Teorema de Cauchy sobre los grupos abelianos …nitos aplicando algunos resultados de los productos entre grupos.

Lema 3 Sea  (G; ) un grupo abeliano de orden …nito. Si  jgj = n entonces  jg 1 j = n  para todo elemento g de  G.

Demostración. Se tiene que g  g1 = e

Luego

n

M

g  g1 = e

i=1



CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

68 n

!

n

M M M M g

i=1

g 1 = e

i=1

n

g1 = e

!e

i=1

n

g 1 = e

!

i=1

Por lo que el orden de  g 1 es divisor del orden de  g . Supongamos que jg1 j = m  y  m  q  = n  para algún entero positivo  q . Luego, m

M  M M M M

g  g1 = e

i=1 m

!

m

g 1 = e

g

i=1

i=1

m

!

g  e = e

i=1

m

!

g = e

i=1

Por lo que existe un entero m < n = jgj  tal que la minimalidad de  n . Por tanto  jg j = n. 1

m

M

g = e  lo que contradice

i=1

Proposición 17 Sea  (G; ) un grupo abeliano …nito de orden  m  n donde  M CD (m; n) = 1  y sea  M  el conjunto de elementos de  G que tengan orden  m y  N  el conjunto de elementos de  G que tengan orden  n. Entonces  (G; )  = (M   N; ).

Demostración. Se veri…cará primero que M \N  = e. En efecto supongamos que existe un elemento común en ambos conjuntos x 6 = e  (nótese que esto

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS69 implica que el orden de M  y de N  es mayor que uno). Debido a que x pertenece a  M , por de…nición se tiene m

M

x = e

i=1

y debido a que también pertenece a  N , se cumplirá lo propio: n

M

x = e

i=1

Lo que nos lleva (debido a la minimalidad) necesariamente a que  m = n, que contradice la hipótesis sobre su  M CD. Veamos ahora que G = M N 

Sea  g  un elemento cualquiera de  g . Si el orden de  g es k, por la proposición 16  k  debe dividir a  m  n, por lo que kr n

m =

O n =

kr para algún entero positivo  r m

Ahora,

m

m

M M M M M M M ! M M M g =

g

i=1

i=1

kr

m

n

!

g =

i=1

i=1

r

m

!

g

k

n

g =

i=1

g

i=1

r

m

!

i=1

n

g =

i=1

(e)

i=1

m

!

g = e

i=1

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

70

m

!

M

g = e

i=1

Lo que quiere decir que k  es divisor de m. Realizando un procedimiento n

similar usando

M

g   llegamos a que k   también es divisor de n, luego es

i=1

divisor común de m  y n, pero de acuerdo con la hipótesis el máximo de los divisores comunes de  m  y  n  es  1 , por lo que necesariamente  k  sólo puede ser 1  ó  m  ó  n  ó  m  n. Esto quiere decir que si  g  = a  b, jgj = ja  bj = 1

en cuyo caso  g  2 M N . O jgj = ja  bj = m

en cuyo caso  g  2 M . O jgj = ja  bj = n

en cuyo caso  g  2 N . O jgj = ja  bj = m  n = M CM  (m; n)

en cuyo caso  a; b 2 M N . En cualquier caso, para cualquier  g; g = a  b

Con  a 2 M  y  b 2 N . Es decir, G = M N 

La unicidad se sigue de suponer que existen a; a0 2 M  y b; b0 2 N  con a6 =  a0 y  b 6 = b 0 tales que a  b = g = a 0  b0 Para algún  g de  G .

Luego a  b = a 0  b0 ! a = a0  b0  b1 ! a = a0  c  Para algún  c  de  N  (obsérvese que   es cerrada en  N )

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS71 ! (a0 )

1

 a = c

Sin embargo (a0 )1  a  es un elemento de M  y teniendo en cuenta que M  \ N  = e , necesariamente debe cumplirse que





c = b 0  b1 = (a0 )

1

 a = e

Esto es, a = a0 y  b = b 0

Aplicando …nalmente el teorema 6 se obtiene la conclusión pretendida.

Proposición 18 Sea  (G; )   un grupo abeliano …nito y sea  p   un número

primo que divide a  j(G; )j. Entonces  (G; )   = (P   Q; ). Donde  P   es tal  a que jP j = p con  a > 0 y  p no divide a  jQj.

Demostración. Sea n  el orden de (G; ). Por hipótesis, n = pa  m  para algún entero positivo  m , con la propiedad además de que  M CD (m; pa ) = 1 (¿por qué?). Si se de…ne al conjunto P  como aquel que contiene los elementos de G  con orden pa y a Q  como aquel que contiene los elementos de G con orden  m , nos encontramos bajo las hipótesis de la proposición 17 a partir de la cual podemos concluír que (G; )  =  (P   Q; )

Corolario 2 (P; ) es un subgrupo de  (G; ). Demostración.  Usando el Teorema de Cauchy se puede deducir que P  es no vacío. Además la operación  en P  es cerrada porque dados x; y en P , el orden de  (x  y)  es  p a, por lo que se cumplen las condiciones del Teorema del Criterio del Subgrupo (8). Los detalles se dejan al lector. Fueron estas proposiciones las que impulsaron un profundo estudio sobre este tipo de grupos, culminando en los resultados conocidos como Teoremas de Sylow.

72

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

3.2.3. Teoremas de Sylow Se ha mostrado un resultado bastante útil, que es el Teorema de Lagrange, a partir del cual podemos decir que el orden de un subgrupo divide al orden del grupo. Un resultado que nos permitiera hallar subgrupos a partir del orden de un grupo sería también muy apreciable. En este sentido las proposiciones anteriores utilizando el Teorema de Cauchy representaron un gran avance. Finalmente se obtuvieron una serie de enunciados conocidos como Teoremas de Sylow, en honor al matemático noruego Peter Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918) que caracteriza completamente este tipo importante de grupos …nitos. En un primer momento enfocaremos nuestra atención a algunas importantes consecuencias de estos teoremas. Más adelante, observaremos que estas grandiosas herramientas, combinadas con los resultados hallados en los grupos cíclicos, desembocarán en resultados de gran magnitud, como el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos.

De…nición 27 (p-subgrupo de Sylow) Sea  (G; ) un grupo de orden  p a  m donde  p  es un número primo,  m  es un entero positivo no divisible por  p y  a es un número entero mayor que cero. A los subgrupos de  (G; ) de orden   pa se les denomina p-subgrupos de Sylow.

Notación 7   Dado un grupo (G; ), al conjunto de p-subgrupos de Sylow  de  (G; ) se le denota por  Syl p (G; ) y al cardinal de dicho conjunto se le  denota por  n p (G; ).

3.2 PRINCIPALES TEOREMAS DE LA TEORíA DE GRUPOS FINITOS73 Teorema 10 (De Sylow) 3 Sea  (G; )   un grupo de orden  pa  m   donde  p es un número primo, m   es un entero positivo no divisible por  p y  a   es un  número entero mayor que cero. Entonces: 1) (G; ) contiene al menos un p-subgrupo de Sylow. En símbolos, Sy l p (G; ) 6 = ?. 2) Sean  (P; ) y  (P 0 ; ) p-subgrupos de Sylow de  (G; ). Entonces existe  un elemento g de  G tal que  P 0 = gP g 1 (i. e, cualesquiera dos p-subgrupos  de Sylow son conjugados). 3) El número de p-subgrupos de Sylow de  (G; )  es de la forma  1 + kp donde  k   es un número entero. En símbolos, n p    1 (mod p). Además, n p divide a  m.

Veamos algunas de sus consecuencias y algunas de sus esenciales aplicaciones.

Corolario 3 Sea  (P; )  un p-subgrupo de Sylow de un grupo (G; ). Entonces  (P; ) es el único p-subgrupo de Sylow de  (G; ) si y sólo si  (P; ) es  normal en  (G; ).

Demostración. Prueba directa: Supongamos que (P; ) es el único p-subgrupo de Sylow de  (G; ). Dado g en  G , sabemos que (gP g 1 ; )  es subgrupo de (G; ). Por el Teorema de Lagrange,  jgP g 1 j  debe dividir a  jGj, lo que nos deja con dos opciones: gP g1 = p a  m  ó gP g 1 = p a

 

 

(Descartamos las otras posibilidades recordando que  P   gP g1 y jP j = pa ). En el primer caso tendríamos que jgP g 1 j = jGj y por tanto  (gP g1 ; ) = (G; ). En consecuencia, gP g1 = G

Esto es, g  P   g 1 = G 3 Para la demostración del teorema de Sylow se requieren algunos resultados adicionales

que no han sido incluidos en esta exposición introductoria. El lector interesado puede remitirse a [3] o a [4].

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

74

! g  P  = G  g ! g  P  = G ! P  = G

que es una contradicción teniendo en cuenta el orden de éstos establecido en la hipótesis. Lo que nos deja con la segunda alternativa, jgP g1j = pa , lo que implica que (gP g 1 ; )  es un p-subgrupo de Sylow de  (G; )  para todo  g  de G. Sin embargo, en la hipótesis se a…rmó que sólo existe UN p-subgrupo de Sylow de (G; ), que es (P; ), por lo que (gP g 1 ; ) = (P; )  para todo g 2 G. Podemos a…rmar entonces que P  = gP g1

para todo  g  2 G. O, lo que es lo mismo, P  = g  P   g 1 ! P   g = g  P  P g = gP 

Por lo que  (P; )  es normal en  (G; ). Prueba recíproca: Supongamos que (P; )  es normal en (G; ). De existir un p-subgrupo de Sylow (Q; ) de (G; ), por el Teorema de Sylow parte 2) existe un elemento  g de G  tal que  Q = gP g1 , pero debido a la normalidad de  (P; ), gP g 1 = P  para cualquier g . Por tanto, Q =  P  y se concluye entonces que (P; ) = (Q; ).

3.3. Grupos Cíclicos Estudiando conjuntos …nitos surgen casos interesantes. Por ejemplo, podemos encontrar que para ciertos conjuntos basta un elemento con una operación

3.3 GRUPOS CíCLICOS

75

para construír todo el conjunto. Se puede decir entonces que el elemento  genera   al conjunto. Para citar un ejemplo, observemos el conjunto N  de los números naturales. Si tomamos el elemento  1  junto con la operación  +  de adición usual, encontramos que (f1g ; +) genera a N, ya que todo elemento de N puede expresarse como la adición del elemento  1  cierto número de veces: 1 2 3 4

= = = =

1 1+1 1+1+1 1 +1 +1 +1

.. .

Cuando encontramos este comportamiento en los grupos, reciben un nombre especial:

De…nición 28 Sea  (G; )  un grupo. Si existe un elemento x en  G tal que  G =



g 2 G j g =

k

L



x para algún  k entero positivo   entonces se dice que 

i=1

(G; ) es cíclico y al elemento x se le denomina generador de  G.

Ejemplo 39  Observemos el caso del grupo (Z=3; ). Si tomamos el elemento [1] 2 Z=3 vemos que todos los elementos de  Z=3 pueden expresarse como [1] operado consigo mismo cierto número de veces: 1

[1] =

M M M

[1] = [1]

i=1 2

[2] =

[1] = [1]  [1]

i=1 3

[3] =

[1] = [1]  [1]  [1]

i=1

por lo que  (Z=3; ) es un grupo cíclico con  [1] como generador.

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

76

Pasemos ahora a mirar las principales propiedades de los grupos cíclicos: La primera de ellas es que son grupos abelianos.

Teorema 11  Todo grupo cíclico es abeliano Demostración. Sea  (G; )  un grupo cíclico con generador  g 2 G. Sean  x; y dos elementos cualesquiera de  G . Luego podemos expresarlos como m

x =

M M

g

i=1 n

y =

g

i=1

para algunos  m  y  n  números enteros positivos. Veamos ahora que si operamos  x  y  y  obtenemos: m

xy =

M ! M M M ! g

n



i=1 m+n

=

M ! g

i=1

g

i=1 n+m

=

g

i=1 n

=

g

i=1

= yx

m



M ! g

i=1

y debido a que los elementos x  y  y  se tomaron arbitrarios, se deduce que lo anterior se cumple para todos los elementos de  G. Esto es, (G; ) es abeliano. Sigue ahora un resultado importante concerniente a los subgrupos de un grupo cíclico.

Teorema 12  Todo subgrupo de un grupo cíclico es a su vez cíclico.

3.3 GRUPOS CíCLICOS

77

Demostración. Sea  (G; )  un grupo cíclico con generador  g  y supongamos que (H; )  es subgrupo de (G; ). Es claro que todos los elementos de H  son generados por g . Sin embargo, no tenemos ninguna garantía de que g pertenezca a H . Así que la idea es comenzar del otro lado. Es decir, encontrar un elemento en  H  que sea generador de  (H; ). Debido a que H  es no vacío, tenemos dos opciones mutuamente excluyentes:  (H; ) es el subgrupo trivial (feg ; )  en cuyo caso (H; )  es cíclico con generador e  y no hay nada más que demostrar, o (H; )  no es el subgrupo trivial. Para ésta alternativa se tendría entonces que existe un elemento h en H   tal que h  es distinto del elemento neutro  e . Ahora, h  es también elemento de  G  por lo que existe un entero positivo  n  tal que n

h =

M

g

i=1

Denotemos por N  el conjunto de los enteros positivos k  tales que un elemento de  H . En símbolos, N  =

k

L

g sea

i=1

k

(

+

k 2 Z j

M ) g 2 H 

i=1

podemos ver entonces que N  es no vacío, porque al menos tenemos que n es un elemento de éste. Por el Principio de Buena Ordenación, N  tiene un m elemento mínimo. Llamémolo m . Sea ahora  h 0 = g. Se comprobará a con-

L

i=1

tinuación que  h es un generador de  (H; ). 0

En efecto, dado  h 2 H   vemos que n

h =

M

g

i=1

por el Algoritmo de la División nos encontramos con que  n = q  m + r  para enteros positivos  q  y  r  con  0  r < m . Supongamos  r 6 = 0 . Luego, qm+r

h =

M

g

i=1

! h =

qm

r

M M g

i=1

i=1

g

 

(3.3)

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

78 Operando por

1

qm

L 

por izquierda tenemos

g

i=1

1

qm

M ! g

r

 h =

i=1

Pero observemos que de la operación ,

qm

L L

M

g

i=1

g = h0 h0     h0 q veces, y por la clausuratividad

i=1 qm

g  es también elemento de H , por lo que su inverso

i=1

también estará en H  (axioma G3). Es decir, por la cerradura de ,

1

g

2 H . Nuevamente

i=1

1

qm

L 

qm

L 

 h  pertenece a H . Esto hace que

g

i=1

sea un elemento de  H . Sin embargo, se estableció que si

r

L

r

L

g

i=1

g 2 H , entonces

i=1

r > m, que contradice la suposición de que  0  < r < m. Luego  r  = 0  y de la

linea (3.3) se obtiene qm

h =

M

ge

i=1

! h =

qm

M M

g

i=1 q

! h =

h0

i=1

Es decir, los elementos de H   pueden generarse por  h 0 y por tanto  (H; )  es cíclico. Ahora nos centraremos en estudiar la estructura de los grupos cíclicos como tal y mostrar la elegante forma en que pueden ser completamente determinados junto con todos sus subgrupos. Para esto necesitaremos de algunos resultados preliminares:

3.3 GRUPOS CíCLICOS

79

Lema 4 Sea  (G; )   un grupo, g   un elemento de  G y  n   número entero. Si  n

L

g = e, entonces  jgj divide a  n.

i=1

Demostración. (Se deja como ejercicio) Lema 5 Sea  (G; ) un grupo, x 2  G  y sea  a un entero distinto de cero. Si 

L  a

jxj = n, entonces 

x =

i=1

n M CD(n;a) .

a

Demostración.  Supongamos que x = y y MCD (n; a) = d. Debido a i=1 que  d  divide tanto a  n  como a  a , tenemos que

L

n = d  s  y  a = d  t

 

(3.4)

para algunos s; t 2 Z. Además M CD (s; t) = 1  (¿por qué?). Aplicando el lema anterior, tenemos que si  m  es el orden de  y , entonces  n  divide a  a  m, que por (3.4) equivale a decir que d  s  divide a d  t  m. Ahora, s  no puede ser divisor de  t , luego necesariamente s  divide a m . Pero a su vez  m  divide a s  (¿por qué?), luego  m = s. Aplicando esto a (3.4) tenemos: n = dm ! n = d  jyj

M     M  M    a

! n = d 

x

i=1

!

n = d

a

x

i=1

n ! = M CD (n; a)

a

x

i=1

A continuación veremos un resultado que nos permite determinar cuántos generadores tiene un grupo cíclico para, posteriormente, averiguar con ayuda

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

80

de otro teorema, cuáles son. Para el primer objetivo, nos encontraremos con la función  '  de Euler que, recordemos que se de…ne como  ' :  N ! N  donde ' (n) = k y k   es el número de primos relativos menores que n. Así por ejemplo, ' (4) = 2  ya que los primos relativos de 4 son 1 y 3. Esta función  juega un papel esencial en la Teoría de Números y en la divisibilidad. Ver por ejemplo Niven (1991).

Teorema 13 Sea  (G; ) un grupo cíclico con generador  g y supongamos que  jgj = n. Entonces el número de generadores de  (G; ) es  ' (n) donde  '  es la   función de Euler.

Demostración. Sea H   el conjunto de generadores de (G; ). Tenemos que H   es no vacío porque  g 2 H . Sea  h  un elemento cualquiera de  H . Luego por

proposición 15,   (3.5) Por otro lado, debido a que  h  también pertenece a  G  y  (G; )  es cíclico con generador  g , se puede escribir  h  como jhj = jhhij = jGj = jhgij = jgj = n

k

h =

M

g

i=1

para algún  k  entero positivo. Por el lema 5 tendremos que

M    k

jhj =

g =

i=1

n MCD (n; k)

Sin embargo, para que se cumpla (3.5), debe tenerse en la linea anterior que M CD (n; k) = 1. En otras palabras, n y k  deben ser primos relativos. De esto podemos deducir que m

H  =

(M

g j M CD (m; n) = 1

i=1

)

Por lo que el orden de H  está dado por el número de enteros positivos que sean primos relativos con  n , que en símbolos es jH j = ' (n)

3.3 GRUPOS CíCLICOS

81

donde  '  es la función de Euler.

El siguiente es uno de los resultados esenciales de los grupos cíclicos, y es que todos los grupos cíclicos del mismo orden son esencialmente el mismo (i.e, isomorfos). Esta observación jugará un papel fundamental en la caracterización de los grupos cíclicos.

Teorema 14  Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. Demostración.  Sean (G; ) y (H; )  dos grupos cíclicos de orden n con generadores g y  h  respectivamente. Se de…ne el mapeo ' : (G; ) ! (H; ) por k

' :

k

M O g !

i=1

h

i=1

Debe veri…carse ahora que dicho mapeo se trata de un isomor…smo. Observemos primero que p

'

q

 p+q

M ! M !! M ! O O ! O ! g



g

i=1

= '

g

i=1

i=1

 p+q

=

h

i=1

p

=

p

h 

i=1

h

i=1

luego  '  es un homomor…smo. Ahora, dado un elemento x  en  H , debido a que h  es generador, se tiene que a

x =

O i=1

h  para algún entero  a .

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

82

m

ya que (G; ) es cíclico, existirá un elemento  y =

M

g  para cualquier entero

i=1

a

m, en particular cuando se trate de a, por lo que a x =

sponderá siempre un elemento

h  le corre-

i=1

a

M

O

g en (G; ). Con esto se comprueba la

i=1

sobreyectividad. Con respecto a la inyectividad hay que notar que el mapeo a

' conserva el superíndice, por lo que, dados

b

M M g y

i=1

a

que

b

M M O O

i=1

g  es porque  b  es distinto de  a  y además no es múltiplo de  a ,

g 6 =

i=1

g en  (G; ), si resulta

i=1

por lo que necesariamente sus correspondientes elementos bajo el mapeo ', a

que son

b

h  y

i=1

h  serán también diferentes. Es decir,

i=1

a

'

b

M ! M ! g

i=1

=  ' 6

g

i=1

con esto se concluye que  '  es biyectivo y en consecuencia, es un isomor…smo. Debido a lo anterior, se puede pensar en una relación de equivalencia  de…nida por (G; )  (H; )  si y sólo si j(G; )j = j(H; )j

Se deja al lector la sencilla comprobación de que ésta constituye una relación de equivalencia. A partir de la cual podemos formar las clases de equivalencia: [(G; )] = f(H; )  grupo cíclico j (H; )  (G; )g

Si el orden de  (G; )  es  n , podemos escribir lo anterior como (C n ; ) = f(H; )  grupo cíclico j j(H; )j = ng

De esta manera, todos los grupos cíclicos quedan completamente determinados e identi…cados unívocamente por su orden, independientemente de sus elementos o su operación.

3.3 GRUPOS CíCLICOS

83

Notación 8  El grupo cíclico de orden  n se denota por  (C n; ). El principal resultado sobre los grupos cíclicos es que pueden hallarse todos los subgrupos no triviales, ya que corresponden de manera biunívoca con los divisores del orden del grupo, como se establece en el siguiente teorema.

Teorema 15 Sea  (G; ) un grupo cíclico de orden  n con generador  g. Entonces para todo entero positivo m que divida a  n, existe un único subgrupo  p

de  (G; ) de orden  m cuyo generador es  x =

L

g, donde  p = n  m.

i=1

Demostración. Sea  m  un entero positivo que divide a  n  y supongamos que  p = n  m. Si el orden de  x  es  k , tenemos que 1

hxi =

2

x;

x;:::;

i=1

o, lo que es lo mismo,

k

(M M M )

p

i=1

p

x = e

i=1

kp

2 p

*M + (M M M ) g

=

g;

i=1

i=1

g;:::;

i=1

g = e

i=1

En cuanto al orden de este conjunto, invocando el lema 5 podemos observar que p

*M +   g

i=1

 p

=

M   

g =

i=1

n n pm = = = m M CD (n; p)  p  p

Veri…quemos ahora que  (hxi ; )  es un subgrupo de  (G; ). Es claro que  hxi es no vacío, ya que m 6 = 0. Sean  g 1  y  g2  elementos cualesquiera de hxi. Luego g1  =

a

b

M

M

x  y  g 2  =

i=1

x

i=1

para algunos enteros positivos  a  y  b . Si los operamos, a

g1  g2 =

b

M M M x

i=1 a+b

=

i=1

x

i=1

x

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

84

Supongamos que  a + b = c, por lo que c

g1  g2  =

M

x

i=1

Por el Algoritmo de la División,  c = p  m + r  para algún entero positivo  p  y con  0  r < m . Es decir,  pm+r

g1  g2 =

M M M M M ! M M M M M x

i=1  pm

=

r

x

i=1  p

=

i=1

m

r

x 

i=1  p

=

x

i=1

x

i=1

r

x  (no olvidar que el orden de  x  es  m )

e

i=1

i=1

r

= e

x

i=1

r

=

x

i=1

Luego

r

L

x = g 1 g2  pertenece a hxi, ya que r < m . Por tanto, por el criterio

i=1

del subgrupo caso …nito (teorema 8),  (hxi ; )  es un subgrupo de  (G; ). Debemos ahora veri…car la unicidad. Esto es, que si existe otro subgrupo de  (G; ) de orden  m, necesariamente debe ser el mismo (hxi ; ). En efecto, supongamos que (H; )  es dicho subgrupo. Como (G; )  es cíclico, (H; ) también lo es (Teorema 12). Sea  h  su generador, que, escrito en términos del generador  g de  (G; )  es a

*M + *M +  

g  para algún  a  entero positivo

(H; ) = hhi =

i=1

Ahora, en cuanto al orden,

a

g

i=1

=

n = m MCD (n; a)

3.3 GRUPOS CíCLICOS

85

Sea  D  = M CD (n; a). Luego, a

Dx

*M + *M + g

g  para algún entero positivo  x .

=

i=1

i=1

n

x

*M + *M +  L  L  L  L  L  *M + *M + *M + m

=

g

i=1  px

=

g

i=1

Por lo que que

g

p

a

g

i=1

p

i=1

 px

=

 px



g

g . Sin embargo, también encontramos



i=1

i=1

g  (veri…carlo). Luego,

i=1

 px

H  =

p

a

g

=

i=1

g

=

i=1

g

= hxi

i=1

Es decir, (H; ) = (hxi ; )

Corolario 4 Sea  (G; )   un grupo …nito y  g   un elemento de  G. Entonces  (hgi ; ) es un subgrupo de  (G; ).

Demostración. (Se deja como ejercicio: Consiste en la sola veri…cación de las condiciones del criterio del subgrupo para grupos …nitos). Se puede además probar que para cada subgrupo del grupo cíclico  (G; ) existe un entero que divide a n  que es generador de éste (comprobarlo). En otras palabras, los divisores de n  corresponden de forma biyectiva a los subgrupos de (G; ). Por lo que sus subgrupos estan completamente determinados por los divisores positivos de su orden.

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

86

Ejemplo 40  Determinar por completo la estructura del grupo (Z=12; ).

Solución 3  Recordemos que  ( Z=12; ) es un grupo cíclico con generador  [1]. El orden del grupo (Z=12; ) es 12. Por lo que los enteros  m que dividen a  12 son  m = 1; 2; 3; 4; 6 y  12. Así que, aplicando el teorema 15 los subgrupos  12=1

de  (Z=12; )  son:

[1] ,

i=1

12=12

y 

*M +

12=2

12=3

12=4

12=6

*M + *M + *M + *M + *M + [1] ,

i=1

[1] ,

i=1

[1] ,

i=1

[1]

i=1

[1] . Es decir,

i=1

12

*M + *M + *M + *M + *M + *M + [1]

= h[12]i = h[0]i  (subgrupo de orden 1)

i=1

6

[1]

= h[6]i = ( Z=2; )  (subgrupo de orden 2)

[1]

= h[4]i = ( Z=3; )  (subgrupo de orden 3)

[1]

= h[3]i = ( Z=4; )  (subgrupo de orden 4)

[1]

= h[2]i = ( Z=6; )  (subgrupo de orden 6)

i=1 4

i=1 3

i=1 2

i=1

1

[1]

= h[1]i = ( Z=12; )  (subgrupo de orden 12)

i=1

Más aún. Si aplicamos nuevamente el teorema 15 a cada uno de estos subgrupos, se observará que  (Z=2; ) es subgrupo de  (Z=4; ) y de  (Z=6; ), y  (Z=3; ) es a su vez subgrupo de  (Z=6; ). Las anteriores inclusiones junto con las triviales pueden ilustrarse mediante un método llamado diagrama de  Hasse de la siguiente forma:

3.3 GRUPOS CíCLICOS

87

Diagrama de Hasse del grupo cíclico (Z=12; ).

Es tiempo de ocuparnos ahora del producto de grupos cíclicos y averiguar si su resultado es otro grupo cíclico. Tenemos la siguiente proposición.

Proposición 19 ((C n; )  (C m ; ) ; )  =  (C nm; ) si y sólo si  M CD (n; m) = 1.

Demostración. Para esta prueba se tendrá en cuenta la relación que existe entre el MCM y el MCD de dos enteros positivos cualesquiera  a  y  b . A saber: M CM  (a; b) =

ab M CD (a; b)

 

(3.6)

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

88

Parte recíproca: Supongamos ahora que  M CD (n; m) = 1 . Luego por 3.6,  

M CM  (n; m) = n  m

(3.7)

Por otro lado, sean respectivamente  g 1 y  g 2  los generadores de los grupos cíclicos (C n; ) y (C m ; ). Se estudiará el orden del elemento (g1 ; g2) de (C n ; )  (C m; ). Por de…nición, j(g1 ; g2 )j es aquel entero positivo  x  tal que x

M

(g1 ; g2 ) = (en ; em )  donde en  es el elemento neutro de (C n ; ) y em el

i=1

propio de (C m ; ). Sin embargo, se sabe por la proposición 15 que el orden de  g 1 es  n  y el de  g 2 es  m . En símbolos, n

m

M

M

g1  = e n y

i=1

g2  = e m

i=1

Que ocurrirá también para cualquier múltiplo de  n  y para cualquier múltiplo x

de m  por ser cíclico. Luego

M

(g1 ; g2 ) = (en ; em )  cuando x  sea múltiplo

i=1

común a ambos. El mínimo de estos múltiplos es porsupuesto  M CM  (n; m) = n  m  (línea 3.7). Usando la proposición 14 tenemos que j(C n ; )  (C m ; )j = n  m = j(C nm; )j

Se ha entonces comprobado con esto que  ((C n; )  (C m ; ) ; ) es un grupo cíclico de orden  n  m con generador  (g1 ; g2 ). Por lo que se está en posición de aplicar el teorema 14 para concluír que ((C n ; )  (C m ; ) ; ) y (C nm ; ) son isomorfos. Parte directa: Sea '  un isomor…smo entre  ((C n; )  (C m ; ) ; ) y  (C nm ; ) y además, con …nes de contradicción supongamos que MCD (n; m) = d  pero siendo d distinto de  1 . Usando 3.6 se tendrá entonces que M CM  (n; m) < n  m

0M @

M CM (n;m)

De esta manera,  '

i=1

1 M A

M CM (n;m)

(g1 ; g2 ) = (en ; em )

=

' ((g1 ; g2 ))  no

i=1

puede dar como resultado el elemento neutro de  (C nm; ). Debido a que '  no

3.4 APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE GRUPOS FINITOS89 mapea elemento neutro en elemento neutro de acuerdo con el lema 1, ' no es un isomor…smo, lo que contradice la hipótesis. Por tanto, debe cumplirse necesariamente que  M CD (n; m) = 1. ejercicios: 1. generalizar la anterior proposicion para el producto de n grupos ciclicos. 2. probar el caso in…nito para la proposicion p1 y p2. 3. como podria de…nirse el orden de un elemento de un producto de grupos?

3.4. Aplicaciones de los teoremas de grupos …nitos Proposición 20 Sea  (G; ) un grupo de orden primo p. Entonces  (G; ) es  cíclico.

Demostración.  Supongamos que (G; )  es de orden p  donde p  es un número primo. Sea g  un elemento de G  distinto del elemento neutro. Por la proposición 16, el orden de g  divide al orden de  (G; )  y por la proposición 15, jgj = jhgij. Por lo tanto, el orden de (hgi ; )  divide al orden de (G; ). Esto implica que jhgij = 1  ó jhgij = p Sin embargo la primera alternativa es insostenible, ya que g  es distinto del elemento neutro, luego su orden no puede ser 1. De esta forma, el orden de (hgi ; )  es el mismo de (G; ). Esto es, hgi =  G . Se concluye entonces que (G; )  es un grupo cíclico. Problema 1  Demostrar que todo grupo de orden 15 es cíclico. Solución 4  La estrategia que se seguirá es mostrar que dicho grupo está con formado por dos subgrupos de Sylow que además son cíclicos y por tanto, el  grupo será cíclico. Sea  (G; ) un grupo cualquiera de orden 15. Luego jGj = 15 = 3  5. Por el  Teorema de Sylow parte 1), existe un 3-subgrupo de Sylow  (P; ) de  (G; ). Debido a que el orden de  (G; ) es  3   5 y  5   es también primo, podemos 

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

90

aplicar nuevamente el Teorema de Sylow parte 1) para concluír que existe  también un 5-subgrupo (Q; ) de Sylow de  (G; ). De esta manera tenemos  el 3-subgrupo de Sylow  (P; ) de orden  3  y el 5-subgrupo de Sylow  (Q; ) de  orden  5. Observemos ahora que estos subgrupos son únicos. Para calcular el número de 3-subgrupos de Sylow que tiene  (G; ) utilizamos  el Teorema de Sylow parte 3) que afrima que  n3   1 (mod 3) y además  n3  divide a  5 Mediante una corta re‡exión puede verse que el único valor de  n3  que puede  cumplir al mismo tiempo estas dos condiciones es  n3 = 1. De esta manera, el número de 3-subgrupos de Sylow de  (G; ) es  1. Siguiendo un razonamiento similar se puede encontrar que el número de 5subgrupos de Sylow es también  n5  = 1.

3.4.1. Grupos Abelianos Finitos Veamos ahora cómo los desarrollos sobre grupos cíclicos enriquecen los resultados anteriores, particularmente aquellos sobre grupos abelianos …nitos de los que se habló en la sección 3.2.

Lema 6 Sea  p  un número primo y  (G; ) un grupo abeliano …nito de orden   pa . Supongamos que  g0 2 G es tal que  jg 0 j = max fjxj con  x 2 Gg. Si  Q = fx 2 G j x 2 = hg 0 ig entonces   es cerrada en  hg 0 i y en  Q.

Demostración.  En el caso de hg 0 i   se puede observar que si x; x0 2 hg 0 i m

entonces  x =

M i=1

n

g y  x = 0

0

M i=1

g0 para ciertos enteros positivos  m  y  n . Por lo

3.4 APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE GRUPOS FINITOS91 que m

x  x0 =

n

M M M g0 

i=1 m+n

=

g0

i=1

g0

i=1

m+n

Y

M

g0 es un elemento de  hg 0 i  por lo que    es cerrada en  hg 0 i.

i=1

Por otro lado, dados y; y0 2 Q sea pb = max fjyj ; jy0 jg. Dicho máximo debe existir recordando que el orden de cada elemento debe dividir al orden del grupo, que es de orden …nito pa. Ahora, pb < jg0 j. De lo contrario, se tendría que y o y 0 serían elementos de hg0 i, que es una contradicción. Se realiza ahora la siguiente operación:  pb

M

 pb

(y  y 0 ) =

i=1

 pb

M M y

i=1

y0

i=1

= ee

Ya que si pb no es el orden de y  (o no es el orden de y0 ), lo será alguno de sus divisores, y por tanto también dará  e . (Ver lema 4) Luego,  pb

M

(y  y0 ) = e

i=1

Es decir que el orden de (y  y0 ) es o pb o alguno de sus divisores. En todo caso menor que  jg0 j  y en consecuencia  (y  y0 )  es un elemento de  Q .

Teorema 16 Sea  p un número primo y  (G; ) un grupo abeliano …nito de  orden  pa . Supongamos que  g 2 G   es tal que  jgj = max fjxj con  x 2 Gg. Entonces  (G; )  =  (hgi  Q; ).

Demostración. Sea Q  el conjunto de elementos de G  que no estén en hgi a excepción de e. Dado un elemento cualquiera x 6 = e de G, se tiene que x

CAPíTULO 3 GRUPOS FINITOS

92

pertenece a  hgi  ó pertenece a  Q  debido a que su orden debe ser de la forma  pb para algún  b  a. Por lo que podemos a…rmar que x = a  b

Para  a 2 hgi  y  b 2 Q. Se veri…ca ahora que dichos  a  y  b  son únicos, ya que si existieran  a0 2 hgi y  b 0 2 Q  con la misma propiedad, se tendría entonces que x = a  b = a0  b0 ! (a0 )

1

 a = b 0  b1

 

Pero (a0 )1  a  es un elemento de hgi y (b0  (b1)) de Q  (ver lemas 3 y 6). Por lo que necesariamente,





1

(a0 )

De donde se deduce que

 a = b0  b1 = e

 

a = a0 y  b = b0

Aplicando la proposición 6 se obtiene la conclusión a…rmada.

3.4.2. El Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos Hasta el momento hemos podido observar el protagónico papel que juegan los grupos abelianos en los grupos cíclicos y en general, en los grupos …nitos. Ahora se mostrará un enunciado que los caracteriza por completo utilizando los resultados de los grupos cíclicos.

Teorema 17 (Fundamental de los grupos abelianos …nitos)  Todo grupo abeliano …nito es isomorfo a un producto de grupos cíclicos.

3.4 APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE GRUPOS FINITOS93 Demostración. Sea (G; )   un grupo abeliano …nito de orden n. Si p es un número primo que divide a n   entonces por proposición 18 (G; )  = a (P   Q; ). Donde P  es tal que jP j = p con a > 0. Por el corolario 2 se sabe que (P; )  es nuevamente un grupo abeliano. Aplicándole el teorema 16 obtenemos que éste será isomorfo al producto de un grupo cíclico y otro. Aplicando este procedimiento a todos los primos que dividen a n  se llega al resultado a…rmado (usar el Teorema Fundamental de la Aritmética). Los detalles se dejan al lector.

Capítulo 4 Grupos Especiales Existen ciertos tipos de grupos con características especiales que han llegado a tener importancia por sí mismos, ya que han sido objeto de estudio independiente y exhiben propiedades bastante interesantes, con aplicaciones a la Geometría, Topología, Solución de ecuaciones y hasta la Física y la Química.

4.1. El Grupo de Permutación Recordemos que una permutación es simplemente una reordenación de los elementos de un conjunto, que podemos notarla como una función. De esta manera la podemos de…nir así:

De…nición 29 Sea  G   un conjunto. Una función   : G ! G   biyectiva se  denomina  permutación del conjunto G. De lo anterior se in…ere que pueden existir más de una función biyectiva (permutación) sobre un conjunto. Esto nos plantea una situación. Si tenemos un conjunto G y, digamos, dos permutaciones  y  sobre G, el conjunto resultante de aplicarle la primera permutación   y luego   no necesariamente será 95

CAPíTULO 4 GRUPOS ESPECIALES

96

el mismo que si lo hacemos en el orden contrario. Es necesaria una notación que nos especi…que el orden en que se están aplicando ciertas permutaciones sobre un conjunto.

Notación 9 Sea  G   un conjunto y   y     dos permutaciones de  G. Dado g 2 G se escribe  (  ) (g) para indicar que se está aplicando la permutación   al elemento g  y, posteriormente, la permutación  . En este orden de ideas, (  ) (g) =  ( (g)).

En este escenario ya podemos hablar de dos permutaciones que encontraremos frecuentemente. Una de ellas es la permutación idéntica   de…nida como aquella que asigna a cada elemento  g  el mismo elemento  g :  (g) = g  para todo elemento  g

La otra es la permutación inversa. Dada una permutación    de una función G, se de…ne la permutación inversa   1 :  (G) ! G  como 1 ( (g)) =  g  para todo elemento  g

Su existencia está garantizada, ya que   es biyectiva. Así, podemos de…nir una permutación  n para cualquier entero  n  teniendo en cuenta que: n (g) = (        ) (g) , n veces, si  n > 0 n (g) =  (g) = g si  n = 0 n (g) = 1  1      1 (g) , jnj  veces, si  n < 0





Con lo anterior podremos ver que el conjunto de permutaciones de un conjunto bajo la operación    es un grupo.

Teorema 18 Sea  G un conjunto y  P G  el conjunto de permutaciones de  G. Entonces  (P G ; ) es un grupo.

4.1 EL GRUPO DE PERMUTACIÓN

97

Demostración. Se veri…ca primero que  es una operación cerrada. En efecto, dadas dos permutaciones  ;  en  P G ,    p  es la composición de dos funciones biyectivas, por lo que  (  p)  es nuevamente una función biyectiva en G  y por tanto, una permutación. Así que por de…nición,  (  p)  debe ser un elemento de  P G . Se veri…can ahora los axiomas de grupo: G1: Sean ; ;    elementos de P G  y  g  un elemento cualquiera de G. Luego, ((  )   ) (g) = = = =

(  ) (  (g))  ( (  (g)))  ((   ) (g)) (  (   )) (g)

G2: Sea e =    la permutación idéntica. Por ser una función biyectiva de G,  2 P G . Luego dado   2 P G y  g  2 G, (  ) (g) = = = =

 ( (g))  (g)  ( (g)) (  ) (g)

G3: Dada una permutación  2 P G sea   1 su permutación inversa. Por ser una permutación, necesariamente   1 2 P G y 1   (g) = = = =

 

1 ( (g)) g  1 (g)   1 (g)

  

De…nición 30  El grupo (P G ; ) del teorema anterior se denomina  grupo de permutación de G. El grupo de permutación es uno de los más importantes en toda la Teoría de Grupos. Además de las aplicaciones a la solución de problemas matemáticos y de sus relevantes consecuencias, ha ayudado, por ejemplo, a encontrar algoritmos para resolver el famoso cubo de Rubik.

98

CAPíTULO 4 GRUPOS ESPECIALES

Ejemplo 41 (El Grupo Simétrico)  Si el conjunto G es un subconjunto de  los números naturales  G = f1; 2; : : : ; ng, entonces su correspondiente grupo de permutación  (P G ; )  recibe el nombre de   grupo simétrico  y se denota  usualmente como (S n ; ). Obsérvese que el orden de  (S n ; ) es  n!  (comprobarlo).

Teorema 19 (de Cayley)   Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de su  grupo de permutación.

Demostración. Sea (G; )  un grupo y (P G ; )  su grupo de permutación. Sea el mapeo ' : (G; ) ! (P G ; )  de…nido por ' (g) = g (g  )  para todo elemento g  de G, donde la permutación g (g  )  intercambia el elemento g  por  (g  g )  para algún elemento  g de  G . Esto es, g (g  ) = (g  g )

Se veri…ca ahora que  '  es un isomor…smo: Sean  g 1 ; g2  elementos cualesquiera de  G . Luego, ' (g1  g2 ) = = = = =

g g  (g ) (g1  g2 )  g g1  (g2  g  ) g  g (g  ) ' (g1 )  ' (g2 ) 1



2

1

2

Por tanto  '  es un homomor…smo. Se veri…ca la inyectividad: Sean  g 1 ; g2  tales que ' (g1 ) = ' (g2 )

Luego, g  (g ) = g  (g ) 1

2

g1  g = g2  g

Operando  (g )1 por derecha se obtiene g1  = g2

Se veri…ca ahora la sobreyectividad:



4.1 EL GRUPO DE PERMUTACIÓN

99

Sea  g  un elemento cualquiera de  G . Luego, g = eg = e (g) = ' (e)

Por lo que  '  es un isomor…smo. Debido a la proposición 8, (' (G) ; )  es un subgrupo de  (P G ; ). Se ha visto que una permutación   relaciona dos elementos, a saber, el elemento que se está permutando y el elemento resultante de la permutación. Si nos ocupamos ahora de encontrar todos los elementos que, a través de la permutación   dan como resultado un elemento …jo, digamos g, se podrán relacionar todos estos elementos con  g  por medio de   . Se denotará  O (g)  al conjunto de estos elementos y se llamará  órbita  de . De manera formal se tiene:

De…nición 31 (Órbita) Sea  G   un conjunto y     una permutación de  G. Al conjunto O (g) = fx 2 G j n (x) = g  para algún entero ng   se denomina  órbita de  .

Como se mencionó antes, esto quiere decir que   de…ne una relación entre x  y  g . Más aún, una relación de equivalencia:

Proposición 21 Sea  G un conjunto con  x; g 2 G. La relación  x  g si y  sólo si  n (x) = g  para algún entero n, es una relación de equivalencia.

Demostración. La relación es re‡exiva porque   0 (g) = g , por lo que  g   g para todo g 2 G. Ahora, es también simétrica porque dados h; g 2 G, si h  g es porque existe un entero  k  tal que   k (h) = g . Debido a que el conjunto de permutaciones forma un grupo, existe la permutación inversa   k tal que k k (h) = k (g)

 

! h =  k (g)

100

CAPíTULO 4 GRUPOS ESPECIALES

Luego  g   h. Además, dados  f ; g; h 2 G, si  f   g y  g   h, se encuentra que deben existir enteros m  y  n  tales que m (f ) = g  y  n (g) = h . Nuevamente la estructura de grupo del conjunto de permutaciones nos permite a…rmar que la composición de las permutaciones   n y   m sobre cualquier elemento de  G será nuevamente una permutación. Aplicando esto a  f  se obtiene: n+m (f ) = ( pn  m ) (f ) =  n (m (f )) = n (g) = h

Por lo que  f   h. Se concluye entonces que    es re‡exiva, simétrica y transitiva. Es decir, de equivalencia. Esto convierte a las órbitas de    en clases de equivalencia del conjunto G.

De…nición 32 (G-conjunto) Sea  (G; ) un grupo y  A un conjunto. Se dice  que  A es un   G-conjunto  si existe una función  ' : G  A ! A llamada   acción de G sobre A, tal que: i) ' (e; a) = a ii) ' ((g1  g2 ) ; a) = ' (g1 ; ' (g2 ; a))

Proposición 22 Sea  A un conjunto y  (P A; ) su grupo de permutación. Entonces  '   es una acción de algún grupo (G; ) en  A   si y sólo si existe un  homomor…smo de  (G; ) en  (P A ; ). Demostración.  Parte directa: Supongamos que  '  es una acción de algún grupo (G; ) en  A. Se de…ne el  mapeo h : (G; ) ! (P A ; ) por  h (g) = ' (g; a) En efecto, ' (g; a) es una permutación de los elementos de  A. (Comprobarlo) Ahora, dados  g1 y  g2 en  G, se tiene que  h (g1  g2 ) = ' ((g1  g2 ) ; a) = ' (g1 ; ' (g2 ; a)) = h (g1 )  h (g2 )

4.1 EL GRUPO DE PERMUTACIÓN

101

Parte recíproca: Supongamos que  h : (G; ) ! (P A ; ) es un homomor…smo. Por el lema 1 se sabe que el elemento neutro e de  (G; ) evaluado en el homomor…smo h dará como resultado el elemento neutro de  (P A ; ). Esto es, la permutación  idéntica   (a) = a. Si se de…ne la función  ' : GA ! A como ' (g; a) = h (g) donde  h (g) es una permutación del elemento a, se cumple el numeral i) en  tanto que  ' (e; a) = h (e) =  (a) = a Y si  g1 y  g2  son elementos de  G, se tiene que  ' (g1  g2 ; a) = h (g1  g2 ) = h (g1 )  h (g2 ) = ' (g1 ; ' (g2 ; a)) Que cumple con ii), lo que concluye la demostración.

Proposición 23 Sea  A   un G-conjunto. Entonces el número de elementos  de  A   es la suma del número de elementos de cada una de sus órbitas. En  símbolos:   (4.1) jAj = jOi j

X i

Demostración.  Por la proposición 21, la relación   al ser de equivalencia, parte al conjunto A  en subconjuntos Oi  disyuntos de tal manera que Oi = A, por lo que el número de elementos del conjunto A  puede calcu-

[ i

larse sumando el número de elementos que hay en cada una de sus órbitas. Los detalles se dejan al lector. La ecuación 4.1 es utilizada en numerosas ocasiones en apartes de los desarrollos de la teoría de p-grupos y grupos de Sylow. En ciertas situaciones,

CAPíTULO 4 GRUPOS ESPECIALES

102

conviene por ejemplo reexpresarla separando de la sumatoria aquellas órbitas que contienen sólo un elemento, es decir, aquellas que son de la forma: O0 = fx 2 A j ' (g; x) = x  para cualquier  g  2 Gg

Para así escribir 4.1 como: k

jAj =

X

X

jOi0 j +

i

jO j j

 

(4.2)

 j=k+1

Una de las aplicaciones más comunes de estas ecuaciones es suponiendo que el G-conjunto es nuevamente G. Esto es, tomamos A = G  y la acción ' : G  G ! G  se de…ne como ' (g; x) = g  x  g 1 . De esta forma cumple con los requisitos i) y ii) de la de…nición de G-conjunto (comprobarlo) y por tanto es posible usar en él la ecuación 4.2, que quedaría como k

jGj =

X

jOi0 j

+

i

X

jO j j

 j=k+1

Observemos ahora que cada  O i0  en este caso, es de la forma Oi0  = x 2 G j g  x  g 1 = x  para cualquier  g  2 G





O, lo que es lo mismo,

Oi0  = fx 2 G j g  x = x  g  para cualquier  g  2 Gg

La reunión de los elementos que cumplen con esto no es más que el centralizador de G, C  (G). Es decir, Oi0 = C  (G). Usando estos términos, la

[ i

ecuación 4.2 puede ahora escribirse como jGj = jC  (G)j +

X

jO j j

 

 j

Esta ecuación es conocida como la  Ecuación de Clase   de un grupo.

(4.3)

4.2 EL GRUPO DIÉDRICO

103

4.2. El Grupo Diédrico Veamos ahora el papel que juegan los grupos en los movimientos de …guras en el plano cartesiano. Si consideramos una …gura  F  cualquiera sobre el plano, y llamamos T  al conjunto de traslaciones de la …gura F , encontraremos que la pareja (T; )  de traslaciones de la …gura F  junto con la operación  de composición de traslaciones, es un grupo abeliano. De la misma manera, la pareja (Rc; )  conformada por el conjunto de rotaciones de la …gura F  con respecto a un centro de rotación c  …jo y la operación   de composición de rotaciones, es nuevamente un grupo abeliano. Sin embargo, no todos los movimientos en el plano forman grupos. La re‡exión de una …gura F   bajo la composición de re‡exiones   NO es un grupo, ya que la composición de re‡exiones    no es cerrada. (Dar un ejemplo) Existe otro movimiento, que es el de simetría. Recordemos que este movimiento intercambia los vértices que se encuentren a la misma distancia de una recta interior a la …gura llamada eje de simetría. Por ejemplo, para un triángulo equilátero de vértices A, B y C con eje de simetría AD (ver Figura 4.2) al aplicarle el movimiento de simetría con respecto a AD resultaría intercambiando los vértices B y C (como muestra la Figura 4.2 ).

Figura 4.2: Triángulo equilátero de vértices A, B y C, con eje de simetría AD.

CAPíTULO 4 GRUPOS ESPECIALES

104

Figura 4.2: El triángulo ABC después de aplicar el movimiento de simetría con respecto a AD.

Hay una característica especial de este tipo de movimiento, y es que sólo involucra cambios en los vértices de la …gura (los intercambia), mas no en la posición de ésta en relación con los ejes ni en el tamaño de la misma, por lo que podemos prescindir del plano cartesiano. Este tipo de movimientos se denominan  Movimientos Rígidos . Otro movimiento con esta característica es el de rotación considerando como centro de rotación el centro de la …gura. Sin embargo, con el objeto de no cambiar de posición relativa a los vértices, sólo deben considerarse las rotaciones de magnitud    = 360 (o de sus múltiplos) n donde n  es el número de lados (o de vértices) de la …gura. Para el ejemplo en cuestión, sólo se tomarían rotaciones cuyo ángulo sea múltiplo positivo o negativo de  = 3603 = 120o . Al aplicarle esta rotación al triángulo ABC inicial (Figura 4.2) resultaría en un intercambio de vértices en el sentido contrario a las manecillas del reloj (porque el ángulo es positivo), como se muestra en la Figura 4.2 . o

o

Figura 4.2: Triángulo resultante al aplicar una rotación de 120 o con respecto al centro de la …gura al triángulo ABC.

Es importante ahora observar que si quisiéramos simplemente intercambiar (o permutar) de cualquier forma los vértices del triángulo ABC, estaríamos aplicando alguno de los dos movimientos anteriormente mencionados: o rotación sobre el centro o simetría con respecto a un eje de simetría. Esto nos lleva a identi…car dichos movimientos con   permutaciones  de los vértices. Esto funciona con cualquier polígono regular de  n  lados. Así que, si denotamos con  a las rotaciones de magnitud    = 360   y con   k  a la simetría con respecto al n eje de simetría  k , tendremos que la pareja  (P; )  conformada por el conjunto P   de movimientos  y  k  y la composición de movimientos   es un grupo, denominado  Grupo Diédrico o Diedral . o

4.3 EL GRUPO SIMPLE

105

4.3. El Grupo Simple Los grupos simples juegan un rol importante en teoremas de clasi…cación de grupos por las propiedades con las que cuentan. Básicamente son grupos que no contienen subgrupos (aparte de los triviales).

De…nición 33 (Grupo Simple)  Un grupo (G; ) con  G 6 = feg se denomina simple si no contiene subgrupos además de los triviales.

Una de las propiedades está relacionada con los subgrupos normales de un grupo arbitrario. Para esto, recordemos que un conjunto A  que cumpla con ciertas condiciones se llama  maximal  si no existe ningún otro conjunto A0 que cumpla la misma condición y que contenga a A .

Teorema 20 Sea  (G; ) un grupo. (N; ) es un subgrupo normal maximal  de  (G; ) si y sólo si  (G=N; ) es un grupo simple.

Demostración. Sea   : (G; ) ! (G=N; ) el homomor…smo canónico dado por  (g) = gN . Supongamos que (G=N; )  no es simple y por tanto existe un subgrupo  (H=N; ) de  (G=N; ) no trivial. Debido a que los elementos de H=N   son de la forma  h  N , puede verse que  N   H=N . Se veri…ca también que (H=N; )  es subgrupo normal de (G=N; )   porque (G=N; )  en sí es normal. Ahora, esto quiere decir que existe un subgrupo normal no trivial (J; )  de  (G; )  que contiene a  (N; )  tal que  (J; ) = (H=N; )

Ya que los homomor…smos conservan subgrupos normales (¿por qué?). La existencia del subgrupo normal (J; ) indica pues que (N; ) no es subgrupo normal maximal de  (G; ). Para probar la parte recíproca, al suponer que (N; )  no es un subgrupo normal maximal de (G; ), implica que existe un subgrupo normal (M; ) de (G; )  tal que N   M . Por tanto,  (N; )  será subgrupo no trivial de  (M; )  y como consecuencia,  (G=N; )  no es un grupo simple.

106

CAPíTULO 4 GRUPOS ESPECIALES

Existe una similitud entre el papel de los grupos simples en la Teoría de Grupos Finitos y el de los números primos en los números naturales, ya que todo grupo …nito puede expresarse de forma única en términos de grupos simples y, más aún, el Teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo simple de orden impar es isomorfo a un grupo cíclico de orden primo. Esto hace parte de un proyecto que se llevó a cabo entre 1950 y 1980 para la caracterización de todos los grupos …nitos utilizando la clasi…cación de los grupos simples, concluyendo al encontrar 18 tipos distintos de familias de grupos simples y 26 tipos de grupos simples  esporádicos  (es decir, que no pertenecían a ninguna familia). Con esto, cualquier grupo …nito puede clasi…carse por completo a través de los grupos simples que lo conforman y las familias a las que pertenecen.

4.4. El Grupo Solucionable Las investigaciones de Evariste Galois (1811-1832) acerca de las soluciones de polinomios lo llevaron a diferenciar aquellos que podían resolverse por radicales de aquellos que no. Encontró además relación entre las soluciones de polinomios y estructuras algebraicas parecidas a los grupos, a las que eventualmente se les acuñó el término de  solucionables .

De…nición 34 (Grupo Solucionable)  Un grupo (G; ) es solucionable si  existe una sucesión de subgrupos  (feg ; ) ; (G1 ; ) ; : : : ; (Gn1 ; ) ; (G; ) tales  que  (Gi ; )   es subgrupo normal de  (Gi+1 ; ) y  (Gi+1 =Gi ; )   es un grupo abeliano para todo i = 1; : : : ; n  1.

Veamos algunas de las propiedades de los grupos solucionables:

Teorema 21 Sea  (G; ) un grupo …nito solucionable. Entonces el orden de  (Gi+1 =Gi ; ) es un número primo para todo i = 1; : : : ; n  1.

Se tiene además un resultado relacionado con el Teorema de Sylow.

4.5 EJERCICIOS

107

Teorema 22 (de Hall)   Un grupo (G; ) …nito es solucionable si y sólo si  para todo n que divida al orden de  (G; )   que sea primo relativo de  existe un subgrupo de  (G; ) de orden  n.

j(G;)j n

4.5. Ejercicios 1. ¿En qué situaciones de la vida real cree que se podrían evidenciar las propiedades del grupo de permutación? (Puede referir por ejemplo situaciones en genética, biología, sociología, etc.) 2. Demostrar que el grupo de movimientos rígidos de un cubo es isomorfo a  (S 4 ; ). 3. Demostrar que el grupo de movimientos rígidos de un tetraedro es isomorfo a un subgrupo de  (S 4 ; ). 4. ¿Qué resultado general puede deducir que relacione el grupo de movimientos rígidos de un poliedro y el grupo simétrico? (Basándose en los dos ejercicios anteriores). Plantearlo y demostrarlo. 5. ¿Podría encontrar todos los diferentes grupos abelianos (bajo isomor…smo) de orden 28? (Nota: Utilizar el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos).

Apéndice Algunas notas …nales Se ha mostrado un panorama introductorio a la Teoría de Grupos que, como habrá podido haber notado el lector, se extiende hacia toda dirección posible al punto de que algunas de sus áreas, como se mencionó al inicio, continúan siendo objeto de investigación actual. El grupo de permutación por ejemplo, le ayudó a Galois a formalizar las propiedades de simetría que se exhibían las soluciones de ecuaciones polinómicas. Esta idea se ha llevado al escenario de las Ecuaciones Diferenciales conociéndose como Teoría de Galois Diferencial. Si en cambio no consideramos elementos discretos en nuestros grupos, sino continuos, estamos hablando de Grupos de Lie. Al estudiar invariantes en espacios topológicos (esto es, cuándo puedo considerar que dos espacios topológicos son esencialmente el mismo), herramientas como el Grupo Fundamental han dado pie a la formación de la Topología Algebraica. Otra forma de extender la Teoría de Grupos es admitiendo más operaciones. Si, bajo las mismas condiciones, se agrega otra operación que cumpla ciertas propiedades, entramos en el área de la Teoría de Anillos y Campos. Si no sólo consideramos dos operaciones, sino  n  de ellas, entramos en el campo del Álgebra Universal, que estudia las propiedades comunes a todas estas estructuras algebraicas. Pero, si lo que nos interesa es estudiar las simetrías que presentan las soluciones de ecuaciones polinómicas con coe…cientes en un campo algebraico dado, se está pisando en los terrenos de la Geometría Algebraica. Una de las ramas más importantes y hermosas de la Matemática contemporánea, que ha demostrado el gran alcance y poder de sus resultados dando respuesta a legendarios enigmas como el Último Teorema de Fermat. 109

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APÉNDICE ALGUNAS NOTAS FINALES

Espero estas últimas palabras hayan invitado al lector a hacerse algunas preguntas y a continuar con su expedición por el Álgebra. De ser así, la recomendación es continuar con libros con mayor profundización teórica como los descritos en la bibliografía.

Bibliografía [1] BIRKHOFF, G. y MACLANE, S. Survey Of Modern Algebra. MacMillan, 1940. [2] BIRKHOFF, G. On The Structure Of Abstract Algebras. Proceedings of  The Cambridge Philosophical Society. Vol. 31, 1935. [3] DUMMIT, D. y FOOTE, R. Abstract Algebra, 3ra Ed. John Wiley & Sons, Inc. 2004. [4] FRALEIGH, J. A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley, séptima edición, 2002. [5] HERSTEIN, I. Abstract Algebra. Wiley; tercera edición, 1996. [6] KLEINER, I. A History of Abstract Algebra. Birkhäuser, 2007. [7] ROTMAN, J. A First Course in Abstract Algebra. Prentice Hall, tercera edición, 2005.

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