Ing. Rimachi Fernández M.
Parábola ecuaciones
Matemática Básica I
PARÁBOLA
Recta Di rectri rectri z y Su formación, analíticamente es a través de una recta estática llamada Recta un punto estático llamado Foco ; de manera que al tomar cualquier punto ( ) del espacio se cumpla:
( ) |̅ |
La distancia del punto a la recta es la misma que la distancia del punto al foco Todos los puntos que cumplan esta condición formaran formaran parte del trazo de la Parábola. Parábola. Recta Directriz ( L ) M
̅
Lado Recto
2P
Vértice
Vértice
Q
Foco
V P
F P
Recta Focal o Eje Focal
2P
Características principales:
N
1.- La recta directriz y el eje Focal son ortogonales. 2.- El lado recto igualmente es perpendicular al Eje Focal. 3.- La distancia del Vértice al Foco, es la misma que del Vértice a la recta directriz, de tal manera que el Vértice es el punto medio entre el Foco y la recta L. Esta distancia también se conoce como parámetro “P” de la Parábola.
|̅| |̅|
4.- Se conoce como la excentricidad de la Parábola, al cociente entre la distancia de M al foco y la distancia entre M y la recta L.
̅ | |̅ ||
En adelante cuando se refiera a los puntos característicos de la parábola, estos son: V = Vértice F = Foco P = parámetro e = Excentricidad * L = Recta Directriz (ecuación) L = Recta Recta o Eje Focal (ecuación) M, N= N= Coordenadas del Lado Recto * Q = Punto que indica ecuaciones generales de rectas L y L
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Parábola ecuaciones
Matemática Básica I
La ecuación General de toda cónica es:
Cuando aparezca el término (XY), debe aplicarse, transformación de coordenadas, que consiste en Trasladar el eje de coordenadas y luego rotarlas en sentido antihorario, cuando se hace esta transformación el término (XY) desaparece y podemos deducir el tipo de cónica. De ser este caso una parábola su representación grafica podría ser: Y
Recta Directriz
Recta focal F X
Es decir puede estar en cualquier cuadrante y en cualquier posición, son difíciles de trabajar, por lo cual se requiere de transformación de coordenadas. Solo vamos a tratar con ecuaciones que no tienen el término “xy” y tienen una característica que permite identificarlas. Cuando la ecuación de una Cónica ha sido transformada y resulta l a ecuación:
Fíjese que ya no está el término “xy”; y en cualquiera de las ecuaciones solo se encuentra una variable cuadrática o elevada al cuadrado y la otra variable es lineal; esta es la car acter ística de u na par ábol a. Por ejemplo tomemos la ecuación
①
Sea:
Reduciendo esta ecuación casi como se hace con una circunferencia; en este caso la variable cuadrática es “x” y la variable lineal es “y”
() () () ()
Ordenamos:
Ing. Rimachi Fernández M.
Parábola ecuaciones
Matemática Básica I
El modelo es el que se expresa a continuación:
() ()
Representa a una parábola con vértice de coordenadas (h,k); el término o variable lineal indica que el Eje Focal es paralelo al Eje Y. Solo observe el signo de (4p) si es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si es negativo la parábola se abre hacia abajo. Grafica: Y 4p>0
F V
X
4p < 0
V F
Para nuestro ejemplo
() ()
,
Resulta que el vértice es V= (-2,4) y el eje focal es paralelo al eje “y”. El término donde se encuentra el parámetro 4P = -3/2 , “es negativo”; luego P = - 3/8. Recuerde que el parámetro es una medida y el signo solo es un indicador para abrir la parábola en este caso hacia abajo. 1.- Ubique el vértice.
Grafiquemos:
2.- Trace el eje focal, en este
Y
caso “y”. V
4
3.- Grafique la parábola a partir del vértice, conociendo el signo del parámetro. X
-2
Recta Focal paralela al eje “y” El resto de elementos los puede colocar de manera intuitiva es decir el Foco que debe ir dentro de la curvatura, la recta Directriz ortogonal a la recta Focal y fuera de la curvatura, finalmente el Lado recto, que pasa por el Foco y ortogonal a la recta focal.
Ing. Rimachi Fernández M.
Parábola ecuaciones
Ahora tomemos la ecuación ② Sea:
Matemática Básica I
Reduciendo esta ecuación; en este caso la variable cuadrática es “y” y la variable lineal es “x” Ordenamos:
() () () ( ) ( ) ()
El modelo es el que se expresa a continuación:
Representa a una parábola con vértice de coordenadas (h,k); el término o variable lineal indica que el Eje Focal es paralelo al Eje x. “en este caso nunca deje de observar que “h” se encuentra al lado de “x” y “k” se encuentra al lado de “y”. Observe el signo de (4p) si es positivo, la parábola se abre hacia la derecha; si es negativo la parábola se abre hacia la izquierda.
Y 4p>0 V
F
F
V
4p < 0
Para nuestro ejemplo
() ( )
,
Resulta que el vértice es V= (-12/5,-1) y el eje focal es paralelo al eje “x”. El término donde se encuentra el parámetro 4P = 5/3 , “ es positivo”; luego P = 5/12. Recuerde que el parámetro es una medida y el signo solo es un indicador para abrir la parábola en este caso hacia la derecha.
Ing. Rimachi Fernández M.
Parábola ecuaciones
Grafiquemos:
Matemática Básica I
1.- Ubique el vértice. 2.- Trace el eje focal, en este caso “ x”.
Y
3.- Grafique la parábola a partir del vértice, conociendo el signo del parámetro. -12/5
X
Recta Focal paralela al eje “ x”
-1 V
El resto de elementos los puede colocar de manera intuitiva es decir el Foco que debe ir dentro de la curvatura, la recta Directriz ortogonal a la recta Focal y fuera de la curvatura, finalmente el Lado recto, que pasa por el Foco y ortogonal a la recta focal. Puede suceder que el vértice de la parábola se encuentre justo en el eje de coordenadas, es decir (h,k) = (0,0) en ese caso la ecuación es más sencilla, manteniéndose todas las características. Ejemplo: Sea (h,k) = (0,0):
Y
( ℎ) ( )
4p>0
F
X F 4p < 0
La otra ecuación (2) Y
( ) ( ℎ)
4p>0 F
F
X 4p < 0
Ing. Rimachi Fernández M.
Parábola ecuaciones
Ejemplo: Sea la ecuación de la cónica:
Matemática Básica I
Hallar todos sus puntos característicos y su gráfica Solución:
Solo observando la ecuación, “una variable cuadrática y otra lineal” ; se deduce que es un Parábola con eje focal paralelo al eje Y.
() () () ()
Reacomodando la ecuación: Dividiendo todo entre 3:
Recuerde la solución de ecuaciones: Reacomodando:
Finalmente la variable lineal debe estar sola y positiva:
Donde: V= (2,2)
Como 4p = -3, entonces p = - ¾ “el signo solo i ndi ca el sentido de la concavidad, en este caso haci a abajo ”
Graficando: Y
Recta Focal Q
Recta Directriz
V
2 M
F
N
2
X
Recuerde que lo único exacto es la posición del vértice y la abertura de la Parábola, todos los demás datos son aproximaciones, sus datos exactos se muestran a continuación. F = (2,2-3/4) = (2,5/4) Q = (2,2+3/4) = (2,11/4) “este dato es muy impor tant e para las ecuaci ones de las rectas ”
( )} * ( ) Recta Directriz: y = 11/4
; Recta Focal: x = 2
ecuaciones generales de ambas rectas.
Ing. Rimachi Fernández M.
Parábola ecuaciones
2.- Ejemplo: Sea la ecuación de la cónica:
Matemática Básica I
Hallar todos sus puntos característicos y su gráfica.
Solo o bservando la ecuación, “una variable cuadrática y otra lineal”; se deduce que es un Parábola con eje focal paralelo al eje X.
( ) ( ) () ( )
Reacomodando la ecuación: Dividiendo todo entre 2:
Recuerde la solución de ecuaciones: Reacomodando:
Finalmente la variable lineal debe estar sola y positiva:
Donde: V= (2, ”
arriba
)
como 4p = 4, entonces p = 1 “el sentido de la concavi dad es
Graficando: Y Recta Focal
M
F
N
2
-11/16
X V
Q
Recta Directriz
Recuerde que lo único exacto es la posición del vértice y la abertura de la Parábola, todos los demás datos son aproximaciones, sus datos exactos se muestran a continuación.
( )}* ( ) F = (2,
) = (2,
Q = (2,
) = (2,
) M = (2-2,
) N = (2+2,
) = (0,
) = (4 ,
)
)
Recta Directriz: y =
; Recta Focal: x = 2
ecuaciones generales de ambas rectas.
