Introduccion a la Investigacion de Operaciones

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones

SESIÓN 01. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓ INVESTIGACIÓN N DE OPERACIONES

Contenidos: Contenido SESIÓN 01.1 s: 1.1 1.2 1.3

INTRODUCCIÓN ............................................ ...................... ........................................... ........................................... ............................................ ........................................... .................................... ............... 2 UN POCO DE HISTORIA............................................ ...................... ............................................ ............................................ ........................................... ........................................... ...................... 5 DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO). ........................................ ................... ........................................... ...................... 6

1.4 1.5 1.6 1.4 1.5 1.6 1.7 1.7

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. ........................................... ...................... .................................... ............... 7 ESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN.......................................... .................... ..................... 9 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................... ..................... ........................................... ........................................... .............................. ........ 11 MODELOS FÁCILES  ................................................................................................................................... 15 MODELOS CON POCO GRADO DE DIFICULTAD ........................................................................ 24 MODELOS CON RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD  ............................................................. 39 MODELOS DIFÍCILES  ................................................................................................................................ 46 SOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES CON SOLVER............................ ........................................... ...................... ......................... .... 53

1.8

HOJA DE TRABAJO 01 ............................................ ...................... ........................................... ........................................... ............................................ ........................................... ....................... 65

Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 1.1 INTRODUCCIÓN Una decisión puede ser clasificada en estructurada si envuelve una serie de factores que puedan ser cuantificados y luego formulados en términos matemáticos. La Investigación de Operaciones es una herramienta de apoyo a la decisión estructurada, y durante el presente curso vamos ver que algunos problemas pueden ser formulados matemáticamente. Para mostrar los factores que intervienen en la formulación de un problema de programación lineal, utilizaremos una situación problemática basada en el juego a doble mano. A este problema denominaremos El planeamiento de un jugador . Resulta que Paquito está saliendo con dos de sus vecinas, llamadas Katy y Fiorella. Por tal motivo debe tomar la decisión con quien de las vecinas debe salir. Obviamente, lo primero que pasa por su cabeza, es salir con las dos al mismo tiempo, cierto?, pero salir con las dos al mismo tiempo puede causar problemas dado que ellas no aceptarían salir juntas sobre todo porque se sabe que son muy celosas. Por otro lado, salir salir todo el día con una vecina no es muy bueno económicamente dado que Paquito no dispone del dinero suficiente, pero por encima de esta limitación Paquito está decidido disfrutar de su buena suerte al haber conquistado a sus dos vecinas; así que está pensando en alguna estrategia que le permita decidir cuantas veces al mes debe salir con cada una de sus vecinas. ¿Cuál es la decisión?. Paquito recordando las sabias enseñanzas de su profesor del curso de Investigación de Operaciones, curso que a propósito llevó por segunda matricula, decide elaborar un modelo matemático que le permita determinar cuántas veces al mes salir con cada una de sus vecinas. El primer paso que realiza es representar con letras y subíndices el número de salidas al mes con cada una de sus vecinas, de la siguiente forma: x1 :

Representa la cantidad de veces al mes, que debe salir con Katy.

x2 :

Representa la cantidad de veces al mes, que debe salir con Fiorella.

Estas expresiones son denominadas variables de decisión

x1

y

x2 ,

las cuales son la parte

más importante para la representación matemática de un problema, estás son escogidas libremente.


2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Podemos pensar que Paquito puede salir con sus vecinas cuantas veces quisiera, pero uno de sus principales problemas es la falta de dinero (problemas financieros), puesto que Paquito sabe que a Katy le gusta de frecuentar lugares caros y una salida le genera un gasto de 180 soles, sin embargo Fiorella es más sencilla y gusta frecuentar lugares más baratos, así ella le genera un gasto de 100 soles. Se sabe que Paquito recibe una mensualidad 800 soles por mes, dinero que a propósito le envían sus padres para sus estudios. Conociendo los gastos que generan sus vecinas, Paquito se pregunta pregunta cómo hacer para para no terminar endeudado. Por tanto comienza hacer sus cuentas del siguiente modo: Como una salida con Katy le cuesta 180 soles y como

x1

representa el número de veces al

mes que sale con Katy, entonces al mes terminaría gastando 180 x1 soles. Del mismo modo salir con Fiorella le cuesta 100 soles y como sale

x2

veces al mes con ella, entonces al mes

terminaría gastando 100 x2 soles. Paquito sabe que no puede gastar más de 800 soles mensuales, por tanto representa este inconveniente del siguiente modo: 180x1  100 100x2



800 800

Total disponible por mes

Gasto total del mes

Pero los inconvenientes para salir con ellas no quedan allí, porque la diferencia entre las dos no son sólo los gastos por salida, sino que también tiene problemas con el tiempo. Es decir, salir con Katy requiere en promedio 4 horas de su tiempo, mientras que una salida con Fiorella requiere en promedio 2 horas. El problema con el tiempo es porque Paquito tiene que estudiar, porque de no ser así sus calificaciones bajarían y sus padres dejarían de asignarles los 800 soles mensuales. Consideremos que Paquito sólo dispone de 20 horas libres por mes. Como podemos garantizar que él no empleará más tiempo del que dispone, así usando la notación anterior, tenemos: 4x1



2x2



20

Tiempo libre Total de horas


3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Paquito debe comenzar a unir todo lo pensado anteriormente 180x1  100x2 4x1



2x2

 

800 20

Para poder planear y decidir cuantas veces tendrá que salir con Katy ( x1 ) y cuantas con Fiorella ( x2 ), tomando en cuenta el dinero y tiempo disponible. A la vez podrá saber cuántas horas y cuanto de dinero consumirá, así como cuánto dinero y tiempo le sobrará.

1° Caso ¿Cuánto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 2 veces?, es decir

x1  3 y x2  2 ,

verificamos cuánto dinero y cuánto tiempo consume. 180(3)  100(2)  740 (dinero gastado)

4(3)



2(2)  16 (tiempo gastado)

¿Cuánto le sobra? Como podemos ver al salir tres veces con Katy y dos veces con Fiorella, Paquito consume 740 soles y 16 horas, sobrando al final del mes 60 soles y 4 horas.

2° Caso ¿Cuánto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 4 veces?, es decir

x1  3 y x2  4 ,

verificamos cuánto dinero y cuánto tiempo consume. 180(3)  100(4)  940 (dinero gastado)

4(3)

 2(4)  20 (tiempo gastado)

¿Cuánto le sobra? Como podemos ver al salir tres veces con Katy y cuatro veces con Fiorella, Paquito consume 940 soles y 20 horas, generándole una deuda de 140 soles dado que él dispone sólo de 800 soles, por otro lado consume todo el tiempo disponible del mes que son las 20 horas. Por lo tanto, Paquito no puede salir tres veces con Katy y cuatro veces con Fiorella, dado que está situación es imposible, dentro de las condiciones que fueron propuestas.

Pero nos falta un objetivo Podemos notar que nos falta un objetivo, es decir debemos pensar que es lo quiere Paquito para obtener el mayor beneficio al salir con sus vecinas. Una opción puede ser, salir la mayor cantidad de veces con las dos sin importar la preferencia por ellas; está situación queda expresada del siguiente modo: Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Maximizar x1  x2 Otro posible objetivo puede ser construido del siguiente hecho; a Paquito le gusta dos veces más Katy que Fiorella, entonces podemos crear un coeficiente que represente su preferencia; es decir un valor unitario para Fiorella y el doble para Katy. Obteniendo el siguiente objetivo Maximizar 2x1  x2 De esta forma se logra formalizar dos modelos diferentes: Max x1  x2 s.a :

Max 2 x1  x2 s.a :

180x1  100x2  800

180x1  100x2  800

4 x1  2 x2  20

4 x1  2 x2  20

x1 , x2  0

x1 , x2  0

OBJETIVO DEL CURSO: En el curso de Investigación de Operaciones trabajaremos con problemas de optimización lineal, veremos que en problemas reales de optimización siempre se busca maximizar o minimizar una cantidad específica, llamada objetivo, que depende de un número finito de variables de entrada, estas variables pueden ser independientes unas de las otras o relacionadas unas con las otras por medio de una o más restricciones. Para introducirnos a este inmenso campo de la optimización; en primer lugar hacemos un repaso de la historia de la Investigación de Operaciones.

1.2 UN POCO DE HISTORIA Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a principios de 1937, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. El inicio formal de la investigación de operaciones tuvo lugar en Inglaterra a finales de 1939, cuando la estación de investigación de Bawdsey, bajo la dirección de A. Rowe, fue encargada del desarrollo de políticas óptimas para el nuevo sistema de detección militar llamado radar. Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés, a través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte.

Tabla 1.1. Antecedentes de la Investigación de operaciones. AÑO

AUTOR

TÉCNICA DESARROLLADA Modelos primarios de programación

1759

Quesnay

1905

G.Jordan.

1874

Warlas.

1891

Minkousky.

Modelos lineales.

1903

Farkas.

Modelos lineales.

1897

Markov.

Modelos dinámicos probabilísticos.

1905

Erlang.

Líneas de espera.

1920-30

Konig Egervary

Asignación.

1937

Morgerstern.

Lógica estadística.

1937

Von Newman.

Teoría de juegos.

1939

Kantorovich.

Distribución.

1947

G.Dantzig.

Método SIMPLEX.

Bellman.

Programación dinámica.

Kun-Tucker.

Programación no lineal.

Gomory.

Programación entera.

1950’s

matemática. Modelos lineales. Modelos primarios de programación matemática.

Ford-Fulkerson. Redes de flujo. Markowitz.

Simulación.

Raifa.

Análisis de decisiones.

Arrow-Karli.

Inventarios.

1.3 DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO). No existe una definición exacta para La Investigación de Operaciones, de manera muy general decimos que la Investigación de Operaciones trata sobre la búsqueda de la mejor utilización (técnica, económica, social, política) de recursos (escasos) y procesos (diversos), a


6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones través de la aplicación de métodos científicos, buscando la mejor satisfacción (utilidad, placer) del cliente (usuario, público) definidos en un contexto (conjunto, totalidad). El desarrollo de un trabajo de IO envuelve equipos multidisciplinarios para la aplicación de los métodos científicos a problemas reales encontrados en los sistemas de producción de bienes y servicios, como herramienta auxiliar para la toma de decisiones en cualquier sector y nivel de economía. Según Churchman, Ackoff y Arnoff: “la investigación de operaciones es la aplicación, por

grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización ”. Por tal motivo, decimos que la investigación de operaciones utiliza los resultados de muchas áreas científicas aunque fundamentalmente se encuentra en la matemática, la economía, el cálculo de probabilidades y la estadística.

1.4 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Es posible de una forma bastante general resumir el proceso de modelado o de construcción de modelos bajo el punto de vista operacional, por los pasos sugeridos en el siguiente flujograma. Definición del problema

Formulación construcción del modelo

Simulación del modelo

Validación el modelo

Reformulación del modelo

Aplicación del modelo

Figura 1.1. Metodología de la Investigación de Operaciones


7

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Donde:

1. La definición del problema es una de las fases más importantes del proceso y comprende la clara percepción del desafío colocado. El problema debe ser traducido en elementos palpables englobando: 

Descripción exacta de los objetivos del estudio.



Identificación de las variables de decisión o control existentes.



Nivel de detalle (reconocimiento de las limitaciones, restricciones y exigencias del sistema).

La descripción de los objetivos es una de las actividades más importantes en todo el proceso de estudio pues a partir de ella es que el modelo es creado. De la misma forma es esencial que las alternativas de decisión y las limitaciones sean explicitadas, para que las soluciones obtenidas al final del proceso sean válidas y aceptables.

2. El secreto para construir un modelo de optimización depende de una adecuada traducción, también denominada

“formulación”.

El propio término formular largamente

empleada para explicar el proceso de construcción de modelos de optimización, trae consigo una enorme carga cuantitativa y matemática. Por otro lado, una adecuada formulación depende también de elementos que escapan al contenido estrictamente técnico, envolviendo la percepción del elaborador del modelo (o equipo de elaboración) y una facultad cognitiva de alto nivel. Las fórmulas o ecuaciones del modelo no se encuentran listas y acabadas de la naturaleza, ellas tienen que ser identificadas o creadas. Extrañamente, el rigor de la traducción es obtenido a través de procesos poco rigurosos o conocidos, envolviendo: 

La intuición.



La experiencia.



La creatividad.



El poder de síntesis, etc.

Esto nos trae dos consecuencias inmediatas para formulación de modelos: 

Existe una enorme dificultad en el proceso de formulación.



Existe una fuerte tendencia a considerar la actividad de formulación de un modelo como un arte.

En esta fase de formulación del modelo de optimización son definidos los tipos de variables a utilizar en la representación, así como el nivel apropiado de agregación de las variables. También deben ser representadas las restricciones del problema, tanto las cuantitativas como las de naturaleza lógica.


8

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones El modelo deberá ser adecuado a la naturaleza de los datos de entrada y de salida, así como ser capaz de expresar las funciones de desempeño que posiblemente serán exigidos en el proceso de optimización. (Función objetivo)

3. Validación del modelo, es necesario verificar la validez del modelo. Un modelo es válido si tomando en cuenta su inexactitud en representar el sistema, él es capaz de dar una predicción aceptable del comportamiento del sistema. Un método común para verificar la validez del modelo es analizar su desempeño con datos pasados del sistema y verificar si él logra reproducir el comportamiento que el sistema presentó. Es importante observar que este proceso de validación no se aplica a sistemas inexistentes, es decir en proyectos. En este caso la validación es hecha por la verificación de la correspondencia entre los resultados obtenidos y algún comportamiento esperado del nuevo sistema.

4. Una vez evaluadas las ventajas y la validación de la solución obtenida, esta debe ser convertida en reglas operacionales. La implementación, por ser una actividad que altera una situación existente, es una de las etapas críticas del estudio. Es conveniente que sea controlada por el equipo responsable, pues eventualmente los valores de la nueva solución, cuando llevados a la práctica pueden demostrar la necesidad de corregir las relaciones funcionales del modelo conjunto de posibles cursos de acción exigiendo la reformulación del modelo en alguna de sus partes.

1.5 ESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN. Un modelo representa o describe los elementos relevantes de una situación y sus interacciones existentes entre ellos. La concepción de un modelo tiene por finalidad facilitar el entendimiento y la manipulación de las relaciones que ocurren entre los diversos parámetros que integran un sistema o proceso, abstraídas de una realidad. Como el proceso de modelado depende del espíritu creativo del hombre, tal vez no podemos definir claramente los límites de los modelos

de Programación Matemática y sus

aplicaciones. Generalmente podemos decir que su empleo clásico seria: “Utilizar

de forma eficiente recursos limitados y que pueden ser disputados por actividades alternativas”

En los modelos matemáticos, la representación de determinado sistema es generalmente realizada por tres conjuntos principales de elementos: 1. Variables de decisión y parámetros: las variables de decisión son las incógnitas a ser determinadas por la solución del modelo. Los parámetros son los valores fijos en el Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

9

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones problema. Simbólicamente, las variables de decisión son representadas por letras minúsculas con subíndices como:

xi

, i  1,2,3,...,n

2. Restricciones: de modo a llevar en cuenta las limitaciones físicas del sistema, el modelo debe incluir restricciones que limitan las variables de decisión a sus valores posibles (o viables). Estas restricciones pueden ser expresadas matemáticamente por medio de ecuaciones e inecuaciones. 3. Función objetivo: es una función matemática que define la calidad de la solución en función de las variables de decisión. En forma general es representada como una función de varias variables

z  f ( x1, x2 ,...,xn ) .

Podemos resumir de forma sucinta los pasos del proceso de análisis cuantitativo conforme se expresa en el siguiente flujo:

Formulación del problema.

Construcción del modelo.

Ejecución de los análisis

Implementación y actualización.

Figura 1.2. Proceso de análisis cuantitativo La etapa de formulación comprende: 

La definición de las variables controlables (de decisión o control) y las no controlables (externas o de estado).



La elaboración de la función objetivo y del criterio de optimización.



La formalización de las restricciones del modelo.

La etapa de construcción del modelo engloba: 

La elaboración de la estructura de entrada y salida de información.



Las formulas de interrelación.



Los horizontes de tiempo.

La etapa de ejecución de los análisis comprende: 

Análisis de sensibilidad de la solución.



Levantamiento de la precisión de los datos.



Estudio de la estabilidad computacional.



Levantamiento de las demás especificaciones del modelo.

La etapa de implementación de los resultados y la actualización del modelo comprende:


0 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 

Un gran proceso de feedback repasando las etapas anteriores, haciendo uso del modelo en el sistema de producción o prestación de servicios.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Deterministicos (MD) y Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Deterministas. Modelos de optimización

Estocástico

Determinístico

Lineal

Entero

No lineal

Continuo

Binario

Convexo

No convexo

Restricto

Irrestricto

Figura 1.3. Clasificación de los modelos de optimización 1.6 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente:

Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales. Así un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.


1 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones La formulación del problema a ser solucionado por programación lineal sigue algunos pasos básicos: 

Debe ser definido el objetivo básico del problema, es decir la optimización a ser alcanzada. Por ejemplo maximizar ganancias, desempeños o bienestar social; minimizar costos, perdidas, tiempo. Tal objetivo será representado por una función objetivo, a ser maximizada o minimizada.



Para que esta función objetivo sea matemáticamente especificada, deben ser definidas las variables de decisión involucradas. Por ejemplo, número de máquinas, área a ser explorada, etc. Normalmente se asume que todas estas variables poseen solamente valores positivos.



Estas variables están sujetas a una serie de restricciones, normalmente representadas por inecuaciones. Por ejemplo, cantidad de equipos disponibles, tamaño del área a ser explorada, etc.

Todas las expresiones, deben estar de acuerdo con la hipótesis principal de la programación lineal, es decir todas las relaciones entre las variables deben ser lineales. Esto implica proporcionalidad de las cantidades envueltas. A continuación desarrollamos algunos ejemplos que nos permitirá conocer un poco más acerca de los problemas de programación lineal.

Problema 1.1.

Yemito es un aficionado de los juguetes electrónicos y planea construir dos

tipos de juguetes electrónicos (Ben10 y DinoRey). Él sabe que para construir un juguete Ben10 debe necesitan 9 sensores electrónicos y 3 horas de trabajo. Mientras que para construir un DinoRey se necesitan 1 sensor electrónico y 1 hora de trabajo. Yemito pidió a su papá comprar los sensores electrónicos, pero éste sólo compro 18 sensores electrónicos. Por otro lado, Yemito tiene planeado trabajar en sus juguetes el día sábado de 8:00 am hasta las 8:00 pm, por tal motivo dispone de 12 horas para trabajar en la construcción de los juguetes. Yemito tiene planeado vender estos juguetes en su escuela, obteniendo una utilidad de 4 dólares por cada juguete Ben10 y un dólar por cada juguete DinoRey. Sabiendo que logra vender todos los juguetes construidos, se pide elaborar un modelo de programación lineal para optimizar sus utilidades.

Solución: Para elaborar el modelo de programación lineal seguimos los siguientes pasos: 1. Definición de las variables de decisión: En este caso estamos interesados en saber cuántos juguetes Ben10 y DinoRey debe construir, por tal motivo declaramos las variables de decisión de la siguiente forma: x1 :

Cantidad de juguetes Ben10 construidos

x2 :

Cantidad de juguetes DinoRey construidos Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

2 1


Una vez declaradas las variables de decisión, debemos expresar la función objetivo utilizando dichas variables. 2. Elaboración de la función objetivo: Dado que nuestro propósito es maximizar la utilidad total y sabemos que por la fabricación de un Ben10 tenemos una utilidad de 4 dólares, entonces la utilidad total generada por el modelo ben10 es de $ 4 x1 , de igual forma el modelo DinoRey genera una utilidad de $1 x2 . Por tanto si queremos obtener la utilidad total generada por la fabricación de los dos juguetes tendremos z  4x1  x2 . Como nuestro objetivo es maximizar la utilidad, tenemos la siguiente función objetivo: Max z  4x1  x2 . 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: Antes de construir las restricciones del problema, debemos tener presente las siguientes observaciones:





No se puede utilizar lo que no se tiene.



La cantidad utilizada debe ser menor o igual a la cantidad disponible

Restricción de sensores electrónicos

Sabemos que disponemos de 18 sensores electrónicos y que para fabricar un Ben10, se necesita de 9 sensores electrónicos y para un DinoRey se necesita 1 sensor electrónico. Por tanto podemos decir que 9x1  x2  18 . 

Restricción de horas de trabajo

De igual modo,

se dispone de 12 horas de trabajo, pero para fabricar un Ben10 se

necesita 3 horas de trabajo y para un DinoRey se necesita 1 hora de trabajo. Por tanto podemos decir que 3x1  x2  12 . 

Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, es decir, mayores o iguales a cero tenemos que x1  0 y

x2  0 .

4. Modelo final: Finalmente podemos expresar el modelo de programación lineal de la forma siguiente Max z  4 x1  x2 sujeto a :

9 x1  x2  18 3x1  x2  12 x1 , x2  0


3 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Observaciones: 

Para determinar la función objetivo debe tomarse en cuenta lo siguiente: a. Si tenemos como datos solo costos ya sean de materia prima, mano de obra, uso de máquina, transporte, depreciación, etc. Nos indica indudablemente que la Función Objetivo (F.O.) será de MINIMIZACIÓN. b. Si el enunciado solo tiene datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a recibir por unidad producida la F.O. será de MAXIMIZACIÓN. c. Si el enunciado tiene datos de costos y ganancias, entonces construimos la F.O. de la siguiente manera: GANANCIAS - COSTOS =UTILIDAD, la que tendrá como F.O. MAXIMIZAR. d. Si no se tiene ningún dato económico y solo se tienen tiempos, el tiempo se minimiza, si nos da solo producción, la producción se ha de maximizar, si el modelo corresponde a contratar personal, la función objetivo se debe minimizar.



Las restricciones o limitaciones en los modelos lineales se representan por desigualdades o igualdades:

,,

Muchos problemas tienen expresiones características que nos pueden anunciar que tipo de restricción debemos usar, por ejemplo:

Usar

Para expresiones como:



Cómo máximo, a lo más, disponibilidad, demanda máxima.



Cómo mínimo, por lo menos, al menos, demanda mínima.

 

Total, proporción

Las restricciones deben tener las mismas unidades en tanto en su lado izquierdo como derecho.



La no negatividad de algunas variables es muy importante para definir la solución de algunos modelos, por lo tanto se dice que todas las variables son  0 .

A partir de ahora mostraremos una gran variedad de aplicaciones de modelos lineales con la finalidad de que se familiarice con los modelos de programación lineal. Para este fin se ha etiquetado a los problemas según su nivel de dificultad, por tal motivo al lado derecho de cada problema colocamos un icono que identificará el nivel de dificultad En la siguiente tabla se muestran los niveles de los problemas y sus respectivos iconos de identificación.


4 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Tipo de problema

Icono de identificación

FÁCIL



POCO GRADO DE DIFICULTAD



RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD



DIFÍCIL



DESAFIO



1.4 MODELOS FÁCILES  

Problema 1.2.

Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada litro de vino deja un beneficio de 8 soles y cada litro de vinagre de 2 soles. Suponiendo que todo lo que se produce se vende.

Solución: En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla Vino

Vinagre

8

2

Beneficio (S/) 1. Definición de las variables de decisión: x1 :

Cantidad de litros de vino a producir.

x2 :

Cantidad de litros de vinagre a producir.

2. Elaboración de la función objetivo: El beneficio total que nos da el vino, lo obtenemos multiplicando el total de vino producido por su respectivo beneficio obteniendo 8

soles litro

beneficio total de la producción del vinagre

 x1 litro , de la misma forma determinamos el 2

soles litro

 x2 litro . Obteniendo un beneficio total

de 8x1  2x2 soles. Finalmente tenemos la siguiente función objetivo: Maximizar z  8x1  2x2 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

5 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 2x1  x2  4 

El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. 3x1  4x2  18



Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que x1  0 , x2  0 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  8x1  2 x2 sujeto a :

2 x1  x2  4 3x1  4 x2  18 x1  0 , x2  0

Problema 1.3.



PRODUCCIÓN

Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos departamentos. En el departamento A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En el departamento B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, el departamento A dispone de 300 días operario, y el departamento B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de $6000 y por cada automóvil $2000 ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? (Considere que para la producción se debe utilizar ambos departamentos).

Solución: En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla Camión

Automóvil

Disponibilidad

Departamento A (Días-operario)

7

2

300

Departamento B (Días-operario)

3

3

270

6000

2000

Beneficios ($) 1. Definición de las variables de decisión: xi

: Número de vehículos del tipo i  1(camión) ,2(automóvil) a producir.

2. Elaboración de la función objetivo: Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

6 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de vehículos producidos. Obteniendo así,

un beneficio total de 6000x1  2000x2 soles. Finalmente

tenemos la siguiente función objetivo: Maximizar z  6000x1  2000x 2 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Restricción de días-operario en el departamento A. Podemos ver que, sólo disponemos de 300 días-operario en el departamento A; pero para producir cada camión se necesita de 7 días-operario y para producir cada automóvil se necesita de 2 días-operario. Por tanto la restricción de días-operario en el departamento A, queda expresado como: 7 x1  2x2  300 .



Restricción de días-operario en el departamento B. Podemos ver que, sólo disponemos de 270 días-operario en el departamento B; pero para producir cada camión se necesita de 3 días-operario y para producir cada automóvil se necesita de 3 días-operario. Por tanto la restricción de días-operario en el departamento A, queda expresado como: 3x1  3x2  270 .




4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  6000 x1  2000 x 2 sujeto a :

7 x1  2 x 2  300 3x1  3x 2  270 x1  0 , x 2  0

Problema 1.4.

INVERSIÓN



Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero. La captación de depósitos lleva una hora para convencer al cliente y otra de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar


7 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones depósitos. ¿Cuántas operaciones de cada tipo le convienen realizar para obtener el máximo beneficio?.

Solución: En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla Depósitos

Préstamos

Disponibilidad

Trabajo para convencer al cliente (hora/operación)

1

1

40

Trabajo burocrático (hora/operación)

1

2

60

Beneficios ($/operación)

1

1+1/3

1. Definición de las variables de decisión: xi

: Número de operaciones del tipo i  1(depósitos) ,2( préstamos) a realizar.

2. Elaboración de la función objetivo: El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de depósitos y préstamos respectivamente. Obteniendo así,

un beneficio total de

x1 

4 3

x2

soles.

Finalmente tenemos la siguiente función objetivo: Maximizar

z  x1 

4 3

x2

3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Restricción de horas para convencer al cliente. Podemos ver que, sólo disponemos de 40 horas, para convencer al cliente, de los cuales se necesita de una hora para convencer al cliente de realizar un depósito y un préstamo respectivamente. Por tanto la restricción queda expresado como:



x1  x2  40 .

Restricción de horas de trabajo burocrático. Podemos ver que, sólo disponemos de 60 horas, para realizar el trabajo burocrático, de los cuales se necesita de 1 y 2 horas para realizar un depósito y un préstamo respectivamente. Por tanto la restricción queda expresado como:



x1  2x2  60 .


4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:


8 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Max z  x1 

4 3

x2

sujeto a : x1  x 2  40 x1  2 x 2  60 x1  0 , x 2  0



Problema 1.5. MEZCLAS

Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor. Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. Pearce está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la Tabla 1.2 se muestra la información dietética importante por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elabore un modelo de PL para determinar la mezcla dietética que satisfaga los requisitos diarios a un costo mínimo.

Tabla 1.2. Nutrientes por libra de grano Nutriente (mg)

Maíz

Soya

Avena

Alfalfa

Necesidades (mg)

Proteína Calcio Grasas Calorías Costo por libra

15 40 20 850 70

30 10 50 1500 45

15 40 8 1200 40

7 45 25 4000 90

Mínimo 50 Mínimo 150 Máximo 120 y Mínimo 25 Mínimo 5000

Solución: 1. Definición de las variables de decisión: xi

: Número de libras de i  1, 2, 3, 4 (maíz, soya, avena y alfalfa respectivamente) a comprar.

2. Elaboración de la función objetivo: El costo total se obtiene multiplicando el costo de cada libra con la cantidad de libras compradas. Obteniendo así, un costo total de 70x1  45x2  40x3  90x4 . Finalmente tenemos la siguiente función objetivo: Minimizar z  70x1  45x2  40x3  90x4 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Restricción de proteínas. 15x1  30x2  15x3  7 x4  50 .



Restricción de calcio. 40x1  10x2  40x3  45x4  150 .



Restricción de grasas. 20x1  50x2  8x3  25x4  25 .


9 1

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 20x1  50x2  8x3  25x4  120 . 

Restricción de calorías. 850x1  1500x2  1200x3  4000x4  5000 .



Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que

x1 , x2 , x3 , x4  0 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Min z  70x1  45x 2  40x3  90x 4 sujeto a :

15x1  30x2  15x3  7 x4  50 40x1  10x2  40x3  45x 4  150 20x1  50x2  8x3  25x4  25 20x1  50x2  8x3  25x4  120 850x1  1500x2  1200x3  4000x4  5000 x1 , x 2 , x3 , x 4  0

Problema 1.6.



ENCUESTA

Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita comunicar por lo menos a 150 esposas, 120 maridos, 100 varones adultos solteros y 110 mujeres adultas solteras. Cuesta $2 realizar una llamada telefónica durante el día, y $5 realizar una llamada telefónica durante la noche (debido a mayores costos laborales). Estos datos se muestran en la Tabla 1.3. Se pueden realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche, por disponer de un número limitado de empleados. Formule un PL que minimice los costos para completar la encuesta.

Tabla 1.3. Porcentaje de personas que contestan las llamadas Persona que contesta

% de llamadas diurnas

% de llamadas nocturnas

Esposa

30

30

Marido

10

30

Soltero

10

15

Soltera

10

20

No contestan

40

5


: Número de llamadas realizadas en horario i  1, 2 (diurno y noche respectivamente). Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

0 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 2. Elaboración de la función objetivo: El costo total por las llamadas realizadas se obtiene multiplicando el costo de cada llamada según el horario por la cantidad de llamadas realizadas. Obteniendo así, un costo total de 2 x1  5x2 . Finalmente tenemos la siguiente función objetivo: Minimizar z  2 x1  5x2 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Restricción de esposas encuestadas. 0.3x1  0.3x2  150 .



Restricción de maridos encuestados. 0.1x1  0.3x2  120 .



Restricción de varones solteros encuestados. 0.1x1  0.15x2  100 .



Restricción de mujeres solteras encuestadas. 0.1x1  0.2x2  110 .



Restricción realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche. x  x2 x2  1

2



.


x1 , x2  0 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Min z  2 x1  5x 2 sujeto a :

0.3x1  0.3x 2  150 0.1x1  0.3x 2  120 0.1x1  0.15x 2  100 0.1x1  0.2 x 2  110 x 2  x1  0 x1 , x 2  0

Problema 1.7.

PESCA



Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de


1 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 10 soles el kilo y el precio del rape es de 15 soles el kilo, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?


: Número de toneladas de peces del tipo i  1, 2 (merluza y rape respectivamente) a pescar.

2. Elaboración de la función objetivo: Para obtener el beneficio total multiplicamos el valor de un kilo de merluza y rape por la cantidad vendida de cada uno de ellos, para esto, debemos transformar la unidad de medida de nuestra variable dado que está en toneladas. Obteniendo así, un beneficio total de 10

soles kg

1000

kg tn

x1  15

soles kg

1000

kg tn

x2 .

Finalmente tenemos la siguiente función objetivo: Minimizar z  10000x1  15000x2 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Restricción de pesca de merluza. x1  2000 .



Restricción de pesca de rape. x2  2000 .



Restricción de pesca máxima. x1  x2  3000 .




x1 , x2  0 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Min z  10000x1  15000x 2 sujeto a : x1  2000 x 2  2000 x1  x2  3000 x1 , x 2  0



Problema 1.8.

Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la Tabla 1.4.

Tabla 1.4. Materia prima y mano de obra Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

2 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Materia Prima

Mano de obra

200 150 10 80 000

18 20 70 9 000

Compacto Subcompacto Costo unitario ($) Total disponible

La división de comercialización ha estimado que a los más 1500 compactos pueden venderse a $10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos).


: Cantidad de unidades de carros

i  1,2

(compactos y subcompactos, respectivamente) a

producir. 2. Elaboración de la función objetivo: Dado que se desea maximizar la ganancia, debemos saber que: Ganancia=Precio de venta-Costos de producción Como la materia prima tiene un costo de $10 y para la elaboración de un compacto se utiliza 200 unidades de materia prima, se tiene un costo de total de $2000 por cada compacto producido y $ 1500 por cada subcompacto. Del mismo modo, la mano de obra tiene un costo de $70 y para la elaboración de un compacto se utiliza 18 unidades de mano de obra, se tiene un costo total de $1260 por cada compacto producido y $1400 por cada subcompacto. Finalmente obtenemos la siguiente función objetivo: Maximizar

z  10000x1  8000x2  2000x1 1500x2 1260x1 1400x2


Restricción de materia prima. 200x1  150x2  80000 .



Restricción de mano de obra. 18x1  20x2  9000 .



Restricción de número máximo de compactos. x1  1500 .



Restricción de número máximo de subcompactos. x 2  200 .



Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que x1 , x2  0 . Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

3 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  6740 x1  5100 x 2 sujeto a :

9200 x1  150x 2  80000 18x1  20x 2  9000 x1  1500 x 2  200 x1 , x 2  0

1.5 MODELOS CON POCO GRADO DE DIFICULTAD 

Problema 1.9.



MEZCLA

Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: Easy Out Candy y Slugger Candy, que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 onzas de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. La mezcla para producir Easy Out Candy tiene que contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla para producir Slugger Candy tiene que contener por lo menos 10% de nueces y por lo menos 10% de chocolate. Cada onza de Easy Out Candy se vende a 25 centavos (de dólar), y una onza de Slugger Candy a 20 centavos. Formule un PL que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces.

Solución: En primer lugar ordenamos un poco la información dada en la siguiente tabla Easy Out Candy Azúcar Nueces

Slugger Candy

Disponible

Por lo menos 20%

Por lo menos 10%

100 onzas 20 onzas

$0,25

Por lo menos 10% $0.20

Chocolate Precio de Venta

30 onzas

1. Definición de las variables de decisión: xij :

Cantidad de onzas usadas del ingrediente

i  1,2,3

respectivamente) para elaborar el tipo de dulce

(azúcar, nueces y chocolate

j  1,2 (Easy Out Candy y Slugger

Candy respectivamente). 2. Elaboración de la función objetivo: Maximizar

z  0.25( x11  x21  x31)  0.2( x12  x22  x32)


Restricción de la disponibilidad del azúcar.


4 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones x11  x12  100 . 

Restricción de la disponibilidad de las nueces. x21  x22  20 .



Restricción de la disponibilidad de chocolates. x31  x32  30 .



Porcentaje de nueces en Easy Out Candy: x21  0.2( x11  x21  x31)



Porcentaje de nueces en Slugger Candy: x22  0.1( x12  x22  x32)



Porcentaje de chocolate en Slugger Candy: x32  0.1( x12  x22  x32)



Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que xij  0 ; i  1,2,3 , j  1,2 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  0.25( x11  x 21  x31 )  0.2( x12  x 22  x32 ) sujeto a : x11  x12  100 x 21  x 22  20 x31  x32  30 x 21  0.2( x11  x 21  x31 ) x 22  0.1( x12  x 22  x32 ) x32  0.1( x12  x 22  x32 ) xij  0 ; i  1,2,3 , j  1,2

Problema 1.10.



PRODUCCIÓN

Sunco produce dos tipos de acero en tres diferentes acerías. Durante un mes dado, cada acería dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y costo de producción de una tonelada (ton) de acero, difiere de una fábrica a otra, debido a las diferencias en los hornos de cada fábrica En la Tabla 1.5, se muestran el tiempo y costo de producción para cada fábrica. Cada mes. Sunco tiene que producir por lo menos 500 ton de acero 1 y 600 ton de acero 2. Formule un PL para minimizar los costos para producir el acero deseado.

Tabla 1.5. Producir una tonelada de acero Acero 1 Acería 1

Costo $10


Acero 2 tiempo 20 min

Costo $11

Tiempo 22 min

5 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Acería 2 Acería 3

$12 $14

24 min 28 min

$9 $10

18 min 30 min

Solución: 1. Definición de las variables de decisión: xij :

Toneladas que la acería i  1,2,3 produce del acero j  1,2 .

2. Elaboración de la función objetivo: Minimizar

z  10x11  11x12  12x21  9x22  14x31  10x32


Restricción de tiempo de producción acería 1: 20

min ton

x11 ton  22

min ton

x12 ton  200h  60

min h

.

20x11  22x12  200  60 

Restricción de tiempo de producción acería 2: 24x21  18x22  200  60 .



Restricción de tiempo de producción acería 3: 28x31  30x32  200  60 .



Producción de acero1: x11  x21  x31  500



Producción de acero2: x12  x22  x32  600



Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que xij  0 ; i  1,2,3 , j  1,2 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Min z  10x11  11x12  12x21  9 x22  14x31  10x32 sujeto a :

20x11  22x12  12000 24x21  18x22  12000 28x31  30x32  12000 x11  x21  x31  500 x12  x22  x32  600 xij  0 ; i  1,2,3 , j  1,2

Problema 1.11.

PRODUCCIÓN


 6 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Funco fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de roble o de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla de roble y de 210 pies de tabla de pino. Una mesa requiere 17 pie de roble, o bien 30 pies de pino y una silla necesita 5 pies de roble, o bien, 13 pies de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dólares y cada silla a 15 dólares. Formule un PL que se puede usar para maximizar los ingresos.

Solución: En primer lugar ordenamos la información dada en la siguiente tabla

Roble Pino Precio de Venta

Mesa

Silla

Disponible

17 30 $40

5 13 $15

150 210


Número de unidades de tipo i  1,2 (mesa y silla respectivamente), elaborado a base de j  1,2 (roble y pino, respectivamente)

2. Elaboración de la función objetivo: Maximizar

z  40( x11  x12 )  15( x21  x22 )


Restricción de disponibilidad de roble: 17x11  5x21  150



Restricción de disponibilidad de pino: 30x12  13x22  210



Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que xij  0 ; i  1,2 , j  1,2 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  40( x11  x12 )  15( x 21  x 22 ) sujeto a :

17x11  5x21  150 30x12  13x22  210 xij  0 ; i  1,2 , j  1,2

Problema 1.12.

PRODUCCIÓN


 7 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Se va a elaborar un producto a base de tres componentes que se producen en tres diferentes departamentos, disponiendo de los datos mostrados en la Tabla 1.6. El objetivo es determinar el número de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maximizar el número de unidades completas del producto final. Formule como un modelo de Programación lineal.

Tabla 1.6.

Capacidad y tasa de producción de las componentes

Departamento

Capacidad (horas)

1 2 3

250 300 360

Tasa de Producción (unid/h) C1 12 9 10

C2 10 12 5

C3 18 11 12


Número de horas a laborar para la producción del componente

i  1,2,3

en el

departamento j  1,2,3 . 2. Elaboración de la función objetivo: Maximizar z  P 3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Restricción de número de unidades del componente 1: 12x11  9x12  10x13  P









Capacidad de horas del departamento 1: x11  x21  x31  250









Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que xij  0 ; i  1,2,3 , j  1,2,3 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

8 2


Max z  P sujeto a :

12x11  9 x12  10x13  P 10x21  12x22  5x23  P 18x31  11x32  12x33  P x11  x 21  x31  250 x12  x 22  x32  300 x13  x 23  x33  360 xij  0 ; i  1,2 , j  1,2

Problema 1.13.



PERSONAL

Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la Tabla 1.7 se presentan las necesidades de contratación. Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mínimo. Formule este problema como un programa lineal.

Tabla 1.7.

Necesidades de contratación de camareras Día

Camareras necesarias Lunes 150 Martes 200 Miércoles 400 Jueves 300 Viernes 700 Sábado 800 Domingo 300


: Camareras que ingresan a trabajar el día

i  L, M , Mi; J ,V , S, D

(lunes, martes, miércoles,

jueves, viernes, sábado y domingo) 2. Elaboración de la función objetivo: Minimizar z  x L  x M  x Mi  x J  xV  xS  x D 3. Formulación de las restricciones tecnológicas:


9 2

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Para construir las restricciones del problema, utilizamos la siguiente tabla, en la cual se muestra los días en las que están presentes los trabajadores según el día que comienzan a trabajar. (Por ejemplo; los trabajadores que inician sus labores el día viernes trabajan hasta el martes) LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO xL

xL

xL

xL

xL

x M

x M

x M

x M

x M

x Mi

x Mi

x Mi

x Mi

x Mi

x J

x J

x J

x J

xV

xV

xV

xS

xS

x J



xV

xV

xS

xS

xS

xD

xD

xD

xD

xD

Restricción del día lunes: 6xL  x J  xV  xS  xD   150



Restricción del día martes: 6x L  xM  xV  xS  xD   200



Restricción del día miércoles: 6xL  xM  xMi  xS  xD   400



Restricción del día jueves: 6xL  xM  xMi  x J  xD   300



Restricción del día viernes: 6xL  xM  xMi  x J  xV   700



Restricción del día sábado: 6xM  xMi  x J  xV  xS   800



Restricción del día domingo: 6xMi  x J  xV  xS  xD   300




xi  0 ; i  L, M , Mi, J ,V , S, D .



0 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Min z  x L  x M  x Mi  x J  xV  x S  x D sujeto a :

6x L  x J  xV  x S  x D   150 6x L  x M  xV  x S  x D   200 6x L  x M  x Mi  x S  x D   400 6x L  x M  x Mi  x J  x D   300 6x L  x M  x Mi  x J  xV   700 6x M  x Mi  x J  xV  x S   800 6x Mi  x J  xV  x S  x D   300 xi  0 ; i  L, M , Mi , J , V , S , D

Problema 1.14.



MEZCLA

Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para producir tres tipos de vino mezclado. Se establecen restricciones al porcentaje de la composición de las mezclas. Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y de la mezcla C pero a la mezcla A se le considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones. Elabore un modelo de PL que hará el mejor uso de las cosechas con que se cuenta.

Tabla 1.8.

Composición de las mezclas Precio de

Vendimia

Mezcla 1

2

venta (gal)

3

4

A

Por lo menos 75% de 1 y 2

*

Cuando más 50%

70

B

Por lo menos 35% de 1 y 2

*

*

40 30

C

*

*

*

Cuando más 40%

Oferta (gal)

180

250

200

400

(*) Señala que no existe restricción.

Solución: Mezcla A Mezcla B Mezcla C

Vendimia 1

Vendimia 2

Vendimia 3

Vendimia 4

x1A

x2 A

x3 A

x4 A

x1B

x2 B

x3 B

x4B

x1C

x2C

x3C

x 4C


Número de galones a utilizar de la vendimia

i  1,2,3,4

para la elaboración de la mezcla

j  A, B, C

2. Elaboración de la función objetivo:


1 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Maximizar z 

$70 gal

x1A  x2 A  x3A  x4 A gal 

$40 gal

x1B  x2B  x3B  x4B gal 

$30 gal

x1C  x2C  x3C  x4C gal


Mezcla A: en la expresión por lo menos 75% de 1 y 2, se tiene que ver quiénes son la que componen la mezcla A para ubicarlas como denominador, en el numerador se tiene a las vendimias 1 y 2 , obteniéndose la siguiente expresión:

x1A  x 2 A gal x1A  x2 A  x3 A  x4 A gal

 0.75

Por otro lado, en la expresión cuando más 50%, el denominador es igual a la restricción anterior por que se refiere a la misma mezcla pero el numerador es solo con respecto a la vendimia 4, la expresión queda: x 4 A gal

x1A  x2 A  x3 A  x4 A gal 

 0.50

Mezcla B: En la expresión por lo menos 35% , el denominador esta formado por todas la vendimias pero el numerador se refiere sólo a las vendimias 1 y 2, la expresión es:

x1B  x 2B gal x1B  x2 B  x3B  x4 B gal 

 0.35

Mezcla C: En la expresión cuando más 40%, el denominador esta formado por todas la vendimias pero el numerador se refiere sólo a la vendimia 4, la expresión es: x 4C gal

x1C  x 2C  x3C  x4C gal 

 0.40

Oferta de la vendimia 1: se tiene en oferta 180 galones, como esto es lo máximo que se dispone entonces la restricción queda:

x1A  x1B  x1C gal  180 gal 


x2A  x2B  x2C gal  250 gal 


x3 A  x3B  x3C gal  200 gal 


x4A  x4B  x4C gal  400 gal


2 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 

Restricciones de no negatividad Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que xij  0 ; i  1,2,3,4 , j  A, B, C .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  70x1A  x 2 A  x3 A  x 4 A   40 x1B  x 2 B  x3B  x 4B   30 x1C  x 2C  x3C  x 4C  sujeto a :

 0.25x1A  0.25x2 A  0.75x3 A  0.75x 4 A  0  0.5x1A  0.5x 2 A  0.5x3 A  0.5x 4 A  0  0.65x1B  0.65x 2 B  0.35x3B  0.35x4 B  0  0.4 x1C  0.4 x 2C  0.4 x3C  0.6 x4C  0

x1A  x1B  x1C   180 x 2 A  x2B  x 2C   250 x3 A  x3B  x3C   200 x 4 A  x4B  x 4C   400 xij  0 ; i  1,2,3,4 , j  A, B, C

Problema 1.15.



PRODUCCIÓN

Química S.A. diluye cada litro de ácido sulfúrico concentrado con 20 litros de agua destilada para producir H2SO4. De manera similar, cada litro de ácido clorhídrico concentrado se diluye con 30 litros de agua destilada para producir HCL. Estos dos productos son vendidos a escuelas de segunda enseñanza a $0.10 por botella de 100 mililitros (esto es, 0.1 litros). La compañía actualmente tiene 50000 botellas vacías en inventario. Suponga que existe una cantidad virtualmente ilimitada de agua destilada que cuesta $0.15 por litro.

Tabla 1.9.

Costo ($/litro) Suministro(litros)

Costos y suministros Acido Sulfúrico 12 200

Acido Clorhídrico 18 150

Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ácido concentrado por diluir para maximizar las ganancias totales.

Solución: 1. Definición de las variables de decisión: x1 :

Número de litros de H2SO4 concentrado

x2 :

Número de litros de HCL concentrado

y1 :

Número de litros de agua para concentrado de H2SO4


3 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones y2 :

Número de litros de agua para concentrado de HCL

p1 :

Número de litros de H2SO4 para venta

p2 :

Número de litros de HCL para venta


z

$0.10

p1 litros 

0.10 litros

$0.10 0.10 litros

p2 litros 

$0.15 litros

 y1  y2 litros 

$12 litros

x1 litros 

$18 litros

x2litros


Cantidad de H2SO4: x1  200



Cantidad de HCL: x2  150



Cantidad de botellas: 1botella 0.1litro



1botella 0.1litro

x2  y2  litro  50000 botellas

Proporción: x1 y1 x2 y2



x1  y1 litro 

 

1 20 1 30

Producción: p1  x1  y1 p2  x2  y2




x1, x2, y1, y2, p1, p2  0 .

4. Modelo Lineal: Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera: Max z  0.1 p1  0.1 p 2  0.15 y1  y 2   12 x1  18 x 2 sujeto a : x1  200 x 2  150

10x1  y1   10 x 2  y 2   50000 20 x1  y1  0 30 x 2  y 2  0 p1  x1  y1 p2  x2  y2 x1 , x 2 , y1 , y 2 , p1 , p 2  0


4 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Problema 1.16.

JUEGOS



Un matemático desea distribuir fichas de valor entre 1 y 6 en un tablero de 3 filas y 3 columnas, con tal que la suma de este de 6, ¿Cuál debe ser el valor de cada ficha a colocar con tal que se cumpla el objetivo propuesto?


Valor de la ficha de la fila i  1,2,3 y la columna j  1,2,3 .


z  x11  x12  x13  x21  x22  x23  x31  x32  x33


Filas: x11  x12  x13  6 x 21  x 22  x 23  6 x31  x32  x33  6



Columnas: x11  x 21  x31  6 x12  x 22  x32  6 x13  x 23  x33  6



Valores: 1  x11  6 1  x12  6 1  x13  6 1  x 21  6 1  x 22  6 1  x 23  6 1  x 31  6 1  x 32  6 1  x 33  6



No negatividad: xij  0



5 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Min z  x11  x12  x13  x 21  x 22  x 23  x31  x32  x33 sujeto a : x11  x12  x13  6 x 21  x22  x23  6 x31  x32  x33  6 x11  x21  x31  6 x12  x22  x32  6 x13  x23  x33  6

1  x11  6 1  x12  6 1  x13  6 1  x21  6 1  x22  6 1  x23  6 1  x31  6 1  x32  6 1  x33  6 xij  0 ; i  1,2,3 , j  1,2,3

Problema 1.17.



AGRICULTURA

Una cooperativa agrícola grande del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la Tabla 1.10 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la Tabla 1.11 reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200, respectivamente. Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL para el problema que permita la cooperativa a determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximice la utilidad total esperada para la cooperativa.

Tabla 1.10. Granja 1

Disponibilidad de agua y tierras

Disponibilidad de agua

Disponibilidad de tierra

(pies cúbicos)

(acres)

480000

450


6 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 2

1320000

650

3

370000

350

4

890000

500

Tabla 1.11. Cantidades máximas de acres Cultivo

Granja 1

Granja 2

Granja 3 Granja 4

A

200

300

100

250

B

150

200

150

100

C

200

350

200

300


Número de acres a sembrar en la granja

i  1,2,3,4

con el cultivo j  1,2,3 .


z

$500 500 acre

x11  x21  x31  x41 acres 

$350 350 acres

x12  x22  x32  x42 acres 

$200 200 acres

x13  x23  x33  x43 


Cantidad máxima de acre en cada granja para cada cultivo: x11 acres  200 acres x12 acres  150 acres x13 acres  200 acres x 21 acres  300 acres x 22 acres  200 acres x 23 acres  350 acres x31 acres  100 acres x32 acres  150 acres x33 acres  200 acres x 41 acres  250 acres x 42 acres  100 acres x 43 acres  300 acres



Agua Disponible para la granja 1: 6000 pies cúbi cos cos acre



x11 acres 

5000 pies cúbi cos cos acre

x12 acres 

4000 pies cúbi cos cos acre

x13 acres  480000 pies cúbi cos cos

Agua Disponible para la granja 2:

6000 pies cúbi cos acre

x21 acres 



x22 acres 


x23 acres  1320000 pies cúbi cos

7 3


Agua Disponible para la granja 3:

6000 pies cúbi cos acre 

x31 acres 

acre

x32 acres 



Agua Disponible para la granja 4: 6000 pies cúbi cos acre



5000 pies cúbi cos

x41 acres 


x42 acres 



Cantidad de Acres por Granja 1:

x11  x12  x13 acres  450 450acres 


x21  x22  x23 acres  650 650acres 


x31  x32  x33 acres  350 350acres 


x41  x42  x43acres  500 500acres 

Proporción de acres a cultivar

x11  x12  x13 acres x21  x22  x23  acres 450 450acres



650acres

x21  x22  x23  acres x31  x32  x33 acres 650 650 acres



350acres

x31  x32  x33 acres x41  x42  x43  acres 350acres 



500 acres

No negatividad: xij  0



8 3

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Max z  500x11  x 21  x31  x 41   350x12  x 22  x32  x 42   200 x13  x 23  x33  x 43  sujeto a : x11  200 x12  150 x13  200 x 21  300 x 22  200 x 23  350 x31  100 x32  150 x33  200 x 41  250 x 42  100 x 43  300

6000x11  5000x12  4000 x13  480000 6000x21  5000x22  4000 x23  1320000 6000x31  5000x32  4000 x33  370000 6000x41  5000x42  4000 x43  890000 x11  x12  x13  450 x 21  x 22  x 23  650 x31  x32  x33  350 x 41  x 42  x 43  500

650x11  x12  x13   450 x21  x22  x 23   0 350x 21  x22  x23   650x31  x32  x33   0 500x31  x32  x33   350x 41  x 42  x 43   0 xij  0 ; i  1,2,3,4 , j  1,2,3

1.6 MODELOS CON RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD DI FICULTAD  Problema 1.18.



Se está diseñando un vehículo espacial para llevar astronautas a Marte y traerlos de regreso. Este vehículo tendrá tres compartimentos, cada uno con su propio sistema de mantenimiento de la vida independiente. El elemento clave en cada uno de estos sistemas es una pequeña unidad oxidante que provoca un proceso químico para producir oxigeno. Sin embargo, no pueden probarse con anticipación y solo se logra algo en provocar este proceso químico. Por lo tanto, es importante tener unidades de apoyo para cada sistema. En virtud de la diferencia en los requerimientos para los tres compartimentos, las unidades que se necesitan para cada uno tienen características un tanto diferentes. Ahora debe tomarse una decisión sobre cuantas unidades proporcionar a cada compartimento, tomando en cuenta las limitaciones de diseño sobre la cantidad total de espacio, peso y costo que pueden ser asignadas a estas unidades en relación con la nave completa. La Tabla 1.12 se resume estas limitaciones así como las características de las unidades individuales por cada compartimento. Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

9 3


Tabla 1.12. Espacio, peso y probabilidades de fallas en los compartimientos Compartimento 1 2 3 Disponibilidad

Espacio (pulg3) 40 50 30 500

Peso (lb)

Costo ($)

15 20 10 200

30000 35000 25000 400000

Probabilidad de falla 0.3 0.4 0.2

Si todas las unidades fallan en solo uno o dos de los compartimentos, los astronautas pueden ocupar el compartimento, o los compartimentos restantes y continuar su viaje espacial pero con cierta perdida en la cantidad de información científica que puede ser obtenida. Sin embargo, si todas las unidades fallan en los tres compartimentos, entonces los astronautas todavía pueden regresar la nave con seguridad, pero el viaje en conjunto debe ser completamente abortado a gran costo. Por lo tanto, el objetivo es minimizar la probabilidad de que esto ocurra, sujeto a las limitaciones antes mencionadas y a la restricción adicional de que cada compartimento tenga una probabilidad de no más del 0.05 de que todas sus unidades fallen. Plantéese el modelo de programación lineal para este problema. (Sugerencia: úsense logaritmos)

Solución: 1. Definición de las variables de decisión: xi :

Número de unidades de apoyo en el compartimento

i  1,2,3 .

2. Elaboración de la función objetivo: Prob (compart. 1) Prob (compart. 2) Prob (compart. 3) Minimizar z  0.3x1  0.4x2  0.2x3 Dado que dicho objetivo no es lineal, debemos linealizar dicha función objetivo, para esto utilizamos las propiedades de los logaritmos, tomando Z  ln z , obtenemos Minimizar

Z  x1 ln(0.3)  x2 ln(0.4)  x3 ln(0.2)


Espacio: 40x1  50x2  30x3  500



Peso: 15x1  20x2  10x3  200



Costo: 30000x1  35000x2  25000x3  400000



Probabilidad de falla en el compartimiento 1:


0 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones x 0.3 1  0.05

 x1 

ln(0.05) ln(0.3)

Si existe una unidad en el compartimiento 1, la probabilidad de falla seria de 0.3, si hubieran dos unidades, la probabilidad seria (0.3) (0.3) = (0.09), y de modo general, si hubieran x1 unidades, la probabilidad seria 0.3 x1 

Probabilidad de falla en el compartimiento 2: x 0.4 2  0.05



ln(0.05) ln(0.4)

Probabilidad de falla en el compartimiento 3: 0.2



 x2 

x3

 0.05

 x3 

ln(0.05) ln(0.2)

No negatividad: x1 , x2 , x3  0

4. Modelo Lineal: Min Z  x1 ln(0.3)  x 2 ln(0.4)  x3 ln(0.2) sujeto a :

40x1  50x 2  30x3  500 15x1  20x 2  10x3  200 30000x1  35000x 2  25000x3  400000 x1  x2  x3 

ln(0.05) ln(0.3) ln(0.05) ln(0.4) ln(0.05) ln(0.2)

x1 , x 2 , x3  0

Problema 1.19.



Una familia de granjeros posee 100 acres de tierra y tiene $30000 en fondos disponibles para inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (de mediados de septiembre a mediados de mayo), 4000 horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan cualesquiera de estas horas-hombre, los miembros más jóvenes de la familia usarán para trabajar en una granja vecina por $4.00/hora, durante los meses de invierno, y $4.50/hora, durante el verano. El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de tres cultivos y dos tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir en los cultivos. Sin embargo, cada vaca requerirá un desembolso de $900 y cada gallina requerirá de $7. Cada vaca requerirá 1.5 acres de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno, y otras 50 horas-hombre durante el verano. Cada vaca producirá un ingreso anual neto en efectivo de Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

1 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones $800 para la familia. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0,6 horas hombre durante el verano y un ingreso anual neto en efectivo de $5. El gallinero puede acomodar un máximo de 300 gallinas y el tamaño del granero limita el rebaño a un máximo de 32 vacas. Las horas hombres y los ingresos estimados por acre plantado en cada uno de los tres cultivos se muestran en Tabla 1.13

Tabla 1.13.

Distribución de horas hombre e ingresos estimados

Horas hombre en invierno Horas hombre en verano Horas anual neto en efectivo($)

Frijol de soya

Maíz

Avena

20 50 375

35 75 550

10 40 250

La familia desea saber cuántos acres deben plantarse en cada uno de cultivos y cuántas vacas y gallinas deben tener para maximizar su ingreso neto de efectivo. Plantéese el modelo de programación lineal para este problema.

Solución: 1. Definición de las variables de decisión: x1 : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya. x2 : Número de acres de tierra asignados para el maíz. x3 : Número de acres de tierra asignados para la avena. x4 : Número de vacas. x5 : Número de gallinas. x6 : Horas-hombre ociosas en invierno. x7 : Horas-hombre ociosas en verano.


z  375x1  550x2  250x3  800x4  5x5  4x6  4.5x7


Acres:

x1  x2  x3  1.5x4 acres  100 acres 

Tamaño del gallinero: x5 gallinas  300 gallinas



Tamaño del rebaño: x4 vacas  32vacas



Horas-hombre en invierno:

20x1  35x2  10x3  100x4  x6 horas / hom bre  3500 horas / hom bre Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

2 4


Horas-hombre en verano:

50x1  75x2  40x3  50x4  0.6x5  x7 horas / hom bre  4000 horas / hom bre 

Fondos: $900 vaca



x4 vacas 

$7 gallinas

x5 gallinas  $30000

No negatividad: xi  0

4. Modelo Lineal: Min z  375x1  550x 2  250x3  800x 4  5 x5  4 x6  4.5 x7 sujeto a : x1  x 2  x3  1.5 x 4  100 x5  300 x 4  32

20x1  35x 2  10x3  100x 4  x6  3500 50x1  75x 2  40x3  50x 4  0.6 x5  x7  4000 900x 4  7 x5  30000 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7  0

Problema 1.20.



La corporación Brady produce armarios. Necesitan semanalmente 90 000 pies cúbicos de madera procesada. Puede conseguir madera procesada de dos maneras. Primero, puede comprar madera de un proveedor eterno, y después secarla en su propio horno. Segundo, puede cortar troncos en sus propios terrenos, convertidos en madera en su propio aserradero y, finalmente, secar la madera en su propio horno. Brady puede comprar madera clase 1 o clase 2. La madera clase 1 cuesta 3 dólares/pie cúbico y produce 0.7 pie cúbico de manera útil luego de secarla. La madera clase 2 cuesta 7 dólares/pie cúbico y produce 0.9 pie cúbico de madera útil ya seca. Le cuesta 3 dólares a la compañía cortar un tronco. Después de cortarlo y secarlo, un tronco produce 0.8 pie cúbico de madera. Brady incurre en un costo de 4 dólares/pie cúbico de madera seca. Cuesta 2.50 dólares/pie cúbico procesar troncos en el aserradero. El aserradero puede procesar semanalmente hasta 35 000 pie cúbico de madera. Se puede comprar cada semana hasta 40 000 pies cúbicos de madera de clase 1, y hasta 60 000 pies cúbicos de madera de clase 2. Semanalmente, se disponen de 40 horas para secar madera de clase 1, madera clase 2, o troncos, es el siguiente. Clase 1, 2 segundos, clase 2, 8 segundos, troncos, 1.3 segundos. Formule un PL para ayudar a Brady a minimizar los costos semanales para satisfacer las demandas de madera procesada.

Solución: 1. Definición de las variables de decisión: T : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya. PCL1 : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 1 semanalmente.


3 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones PCL2 : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 2 semanalmente.

2. Elaboración de la función objetivo: Minimizar z



3 pie3

pie3

PCL1

semana



7 pie3

PCL2

pie3 tronco

T

tronco semana



4 pie3

PCL1

pie3 semana



4 pie3

PCL2

pie3 semana

3  3 3     4   0.8 pie  T tronco   2.5  0.7 pie util  PCL1 pie    semana  semana  pie3 util  semana  pie3  pie3 

3   3  2.5  0.19 pie3 util    PCL2 pie    2.5  0.8 pie T tronco   3  pie3 util   semana   pie3  tronco  semana pie   


Compra: 3

PCL1

PCL2 

pie

semana pie

3

 40000

3

semana

 60000

pie

semana pie

3

semana

Tiempo de secado: 3 3  2 seg    seg   seg  h   PCL1 pie   0.8 seg PCL2 pie  T tronco 1.3    40  3600   3  pie3  semana  semana tronco   semana  h   pie    



Capacidad de aserradero: 3 3 3  pie 3 util       0.7 PCL1 pie 3   0.9 pie util  PCL2 pie 3   0.8 pie util T tronco  3500 pie    tronco  semana pie 3  pie 3     



Pedido: 3 3 3 3 3 3        0.7 pie util  PCL1 pie   0.9 pie util PCL2 pie   0.8 pie util  T tronco  90000 pie util 3  3  semana  semana  tronco  semana pie pie   



No negatividad: T , PCL1, PCL2  0

4. Modelo Lineal: Min z  3PCL1  7 PCL2  T  4PCL1  4PCL2  4  0.8 T  2.5  0.7 PCL1  2.5  0.19PCL2  2.5  0.8T sujeto a : PCL1  40000 PCL2  60000

2PCL1  0.8PCL2  1.3T  40  3600 0.7 PCL1  0.9PCL2  0.8T  3500 0.7 PCL1  0.9PCL2  0.8 T  90000 T , PCL1, PCL2  0


4 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 

Problema 1.21.

Un consumidor requiere, durante los próximos cuatro meses, 50, 65, 100 y 70 unidades, respectivamente, de cierto artículo (no se permiten demandas pendientes). Los costos de producción son 5 dólares, 8 dólares, 4 dólares y 7 dólares por unidad, durante estos meses. El costo de almacenaje de un mes al siguiente, es de 2 dólares por unidad (aplicado al terminar el inventario). Se estima que cada unidad sobrante al final del cuarto mes, tendrá que venderse a 6 dólares. Formule un PL que minimice los costos netos para cumplir con las demandas durante los próximos cuatro meses.

Solución: Mes Demanda Costo de producción

1

2

3

4

50

65

100

70

$5/unid

$8/unid

$4/unid

$7/unid

1. Definición de las variables de decisión: I i : Número de unidades en el mes i  1,2,3,4 .

Pi : Número de unidades producidas en el mes i  1,2 . Di : Número de unidades demandadas en el mes i  1,2,3,4 .


z

$5 unid

P1unid 

$8 unid

P2 unid 

$4 unid

P3 unid 

$7 unid

P4 unid 

42 unid

I 1  I 2  I 3 unid 

$6 unid

I 4 unid


Inventario y demanda en el mes 1: I 1  I 0  P1  D1 D1  50



Inventario y demanda en el mes 2: I 2  I 1  P2.  D2 D2  65



Inventario y demanda en el mes 3: I 3  I 2  P3  D3 D3  100



Inventario y demanda del mes 4: I 4  I 3  P4  D4 D4  70



No hay nada guardado I 0  0



No negatividad: Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

5 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , D1 , D2 , D3 , P1 , P2 , P3 , P4  0

4. Modelo Lineal: Min z  5P1  8P2  4P3  7 P4  42I 1  I 2  I 3   6I 4 sujeto a : I 1  I 0  P1  D1 D1  50 I 2  I 1  P2 .  D2 D2  65 I 3  I 2  P3  D3 D3  100 I 4  I 3  P4  D4 D4  70 I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , D1 , D2 , D3 , P1 , P2 , P3 , P4  0

1.7 MODELOS DIFÍCILES  

Problema 1.22.

Gracias a una adecuada estrategia de marketing y a la calidad del producto, cierta pequeña fábrica de canastos de mimbre ha recibido pedidos que superan su actual capacidad de producción. Durante las próximas cuatro semanas debe entregar 52, 65, 70 y 85 canastos, respectivamente. Actualmente cuenta con seis artesanos. La gerencia general de la fábrica ha decidido contratar personal nuevo para poder cumplir sus compromisos comerciales. Dada la escasez de artesanos, se deberá contratar personal sin experiencia. Un novato puede ser entrenado para llegar a ser aprendiz durante una semana. La segunda semana trabaja como aprendiz para ganar experiencia. Comenzando la tercera semana (después de dos semanas de trabajo) se transforma en artesano. La producción estimada y sueldos de los empleados es la siguiente: PRODUCCIÖN Canastos/semana 10

SALARIOS $/semana 30

Artesano dedicado a producción y entrenamiento

5

40

Aprendiz Novato

5 1

15 5

Artesano dedicado sólo a la producción

Cada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana (el entrenamiento de un novato sólo dura una semana). Todo excedente de producción semanal puede ser guardado para cumplir los siguientes compromisos comerciales.


6 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Los analistas de la empresa estiman que la demanda semanal de canastos difícilmente superará los noventa canastos, por lo que han decidido terminar el período sin novatos y aprendices, pero con al menos nueve artesanos. Los reglamentos sindicales de la empresa prohíben los despidos por reducción de personal. Formule un modelo de programación lineal que permita definir las contrataciones a realizar, de modo de cumplir los compromisos comerciales a costo mínimo.

Solución. Para resolver el problema se utilizarán las siguientes variables de decisión: 1. Variables de decisión : xij :

Personal de tipo i  1,2,3,4 (artesano productor, artesano instructor, aprendiz y novato respectivamente) trabajando en semana j  1,2,3,4 .

zj:

Sobreproducción de semana j  1,2,3,4 .

Variable secundaria: 

i

: Salario del empleado del tipo i  1,2,3,4 .

2. Función Objetivo: Se debe de cumplir con los compromisos a costo mínimo. Min

4

4

Z    i  xij j 1 i 1

3. Restricciones: 

Semana 1: x11  x 21  6 10 x11 5  x 21  x 41  52 x 41  2  x 21 z1  10 x11 5  x 21  x 41  52



Semana 2: x32  x41 x12  x22  x11  x21

10 x12 5  x22  x42  5  x32  z1  65 x42  2  x22 z 2  10 x12 5  x22  x42  5  x32  z1  65 

Semana 3:


7 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones x33  x42 x13  x23  x12  x22  x32 10 x13 5  x23  x43  5  x33  z 2  70 x43  2  x23 z3  10 x13 5  x23  x43  5  x33  z 2  70 

Semana 4: x34  x43 x14  x13  x23  x33

10 x14 5  x34  z3  85 x14  9 

Naturaleza de las variables: 

xij , z j  Z 0



Problema 1.23.

La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día y la ciudad 2 produce 400 toneladas por día. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 ó 2, y cada incinerador puede procesar hasta 500 toneladas de basura por día. El costo de incinerar la basura es US$ 40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos depósitos. Cada depósito puede recibir a lo más 200 toneladas de cenizas por día. El costo es de US$ 3/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las distancias en millas se muestran en la tabla. Formule el problema de programación lineal que se puede usar para minimizar los costos.

Incinerador 1

Incinerador 2

30 36

5 42

Botadero 1

Botadero 2

5 9

8 6

Ciudad 1 Ciudad 2 Incinerador 1 Incinerador 2

Solución. El objetivo del problema es minimizar los costos involucrados en el traslado e incineración de la basura. Este costo está asociado al costo de transporte (función de la distancia) y al costo de incinerar (función del incinerador y la cantidad). Para conseguir este objetivo se debe considerar las posibles decisiones que admite el problema: La cantidad de basura a trasladar desde cada ciudad (1 y 2) a cada uno de los incineradores (1 y 2). La cantidad de ceniza a trasladar desde cada incinerador (1 y 2) a cada uno de los botaderos (1 y 2). Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

8 4


Para esto, asumimos algunos supuestos y características: 

Toda la basura producida en un día debe ser incinerada durante ese mismo día.



Los botaderos no cobran por recibir las cenizas.



Existe indiferencia en escoger el incinerador 1 ó 2 con relación a cualquier variable que no sea el costo por tonelada incinerada. El costo de transporte es una función exclusiva de la distancia recorrida, dejando de



lado cualquier otro factor. 

La decisión se tomará exclusivamente desde el punto de vista de los costos.



El análisis se realizará en el período de un día, dado los datos entregados.

Formulación: 1. Variables de decisión : De acuerdo al objetivo y los supuestos planteados, determinamos las siguientes variables de decisión: X ij :

Cantidad de basura en toneladas transportada desde la ciudad

i  1,2

hasta el

i  1,2

hasta el

incinerador j  1,2 . Y ij

: Cantidad de ceniza en toneladas transportada desde el incinerador

botadero j  1,2 . 2. Función objetivo: Con la tabla de distancias dadas y los costos de incineración, se plantea la función objetivo: Z  330X 11  5 X 12  36X 21  42X 22  5Y 11  8Y 12  9Y 21  6Y 22   40 X 11  X 21   30X 12  X 22 

3. Restricciones: Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las

restricciones del

problema 

Capacidad máxima del incinerador 1: X 11  X 21  500



Capacidad máxima del incinerador 2: X 12  X 22  500



Producción de basura de la ciudad 1: X 11  X 12  500



Producción de basura de la ciudad 2: X 21  X 22  400



Recepción máxima del botadero 1:


9 4

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Y 11  Y 21  200 

Recepción máxima del botadero 2: Y 12  Y 22  200



No negatividad de las variables: Xij , Y ij  0

Cabe destacar que todas las variables deben ser positivas y no necesariamente enteras dado que representan peso de basura o de ceniza. Es importante agregar también dos condiciones relativas a que cada tonelada de basura que entra al incinerador es transformada en 0.2 toneladas de ceniza, luego: 

Relativo al incinerador 1: 0.2 X 11  X 21   Y 11  Y 12



Relativo al incinerador 2: 0.2 X 12  X 22   Y 21  Y 22

Las condiciones anteriores pueden ser agregadas al problema como dos restricciones más, o bien despejar dos de ellas en función de otras tres, de modo de reducir el problema a un total de seis variables.

Problema 1.24.

PLANEACION DE PRODUCCION DE CASSINELLI E HIJOS S.A.C

 La empresa de bebidas gaseosas Enrique Cassinelli e Hijos S.A. es de origen trujillano, se dedica a la producción y comercialización de bebidas gaseosas

Cassinelli, en diferentes

presentaciones y sabores. Su comercialización se realiza tanto en la ciudad de Trujillo como en la zona norte (Chiclayo, Piura, Talara) y nor Oriente (Bagua, Jaen, Tarapoto). Actualmente Cassinelli tiene una participación en el mercado de Trujillo de 10%, Concordia 14%, Kola Real 11%, Triple Kola 13.4%, Inka Kola 13.8%, Coca Cola 14.2%, y el 23.6% corresponde a otras marcas. Gaseosas Cassinelli posee un potencial para tener una importante participación en el mercado , ya que posee características que se ajustan a una bebida agradable y es percibida como una bebida regional ,sin embargo presenta una baja recordación por alojamiento de la marca del mercado, por lo que le hace perder preferencia ante otras marcas de gaseosas. Por lo tanto la Gerencia General ha encomendado al Departamento de Producción realizar un plan de Producción para maximizar sus ganancias mensuales.


0 5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Como se menciono, la empresa Enrique Cassinelli e hijos se dedica a la fabricación de bebidas gaseosas, siendo las presentaciones comercializadas las que se demuestran a continuación:

Tabla 1.14. Presentación de las bebidas gaseosas TIPO DE BEBIDA

PRESENTACION

Gaseosa NR de 2.65 Lt.

Caja x 12 unidades


Caja x 12 unidades


Caja x 12 unidades

Gaseosa NR de 0.296Lt.

Caja x 24 unidades

La empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 48 horas a la semana. Esta planta tiene una capacidad de producción de 160,000 caja/mes. El proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas (Áreas de trabajo) 1. En el Dpto. de Elaboración se realiza la preparación de jarabes el mismo que cuenta con 4 trabajadores permanentes. 2. En el Dpto. de Envasado se realiza trabajos inherentes al proceso de envasado y presentación final del producto. Este Dpto. cuenta con 15 trabajadores Las horas requeridas en ambos departamentos para producir 1000 cajas de cada uno de los productos mencionados en la Tabla 1.14, se muestran en la Tabla 1.15.

Tabla 1.15. Requerimientos horas/1000 cajas 2.65 lt.

1.75lt 0.60 lt

0.296 lt

Dpto. Elaboración

2.65

1.75

1.75

1.07

Dpto. Envasado

4.41

2.91

1.29

1.78

La demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002 se muestra en la siguiente Tabla 1.16

Tabla 1.16. Demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002 TIPO DE BEBIDA

DEMANDA


10,552 cajas/mes


40,556 cajas/mes


56,712 cajas/mes


56,880cajas/mes

TOTAL OCTUBRE 2002

164,700 cajas/mes

El Dpto. de Contabilidad de la empresa estima un margen de ganancia para cada producto, de: Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

1 5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Tabla 1.17. Margen de ganancia por producto MARGEN DE GANANCIA

TIPO DE BEBIDA

(soles/caja)


1.38


1.22


1.02


1.05

La Gerencia ha solicitado determinar el Plan de Producción semanal óptimo para el mes de octubre 2002. Para determinar el plan de producción óptimo, el objetivo general es elaborar un modelo lineal que permita hallar el plan de producción óptimo y como objetivos específicos tenemos que determinar la cantidad de cada tipo de gaseosa que se debe elaborar semanalmente y obtener la máxima utilidad en la producción de gaseosas Cassinelli. 1. Variables de decisión : X ij : Número de cajas a producir de gaseosa del tipo i  1,2,3,4 (NR de 2.65 lt, NR de 1.75 lt,

NR de 0.60 lt, VR de 0.296 lt) en la semana

j

 1,2,3,4

.

2. Función objetivo: Maximizar el precio de venta*producción Max Z 

S / 1.38 caja



 X 11  X 12  X 13  X 14 cajas 

S / 1.02 caja

S / 1.22 caja

 X 31  X 32  X 33  X 34 cajas 

 X 21  X 22  X 23  X 24 cajas

S / 1.05 caja

 X 41  X 42  X 43  X 44 cajas

3. Restricciones: Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las

restricciones del

problema 



Demanda de gaseosas:

X 11  X 12  X 13  X 14 cajas  10552 cajas

Gaseosas NR de 2.65 Lt.

X 21  X 22  X 23  X 24 cajas  40556 cajas


X 31  X 32  X 33  X 34 cajas  56712 cajas


 X 41  X 42  X 43  X 44 cajas  56880 cajas


Producción de gaseosas:

X 11  X 12  X 13  X 14 cajas  t 1 cajas X 21  X 22  X 23  X 24 cajas  t 2 cajas Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

Gaseosas NR de 2.65 Lt. Gaseosas NR de 1.75 Lt.

2 5


X 31  X 32  X 33  X 34 cajas  t 3 cajas


X 41  X 42  X 43  X 44 cajas  t 4 cajas 


Capacidad de producción:

t 1  t 2  t 3  t 4 cajas  160000 cajas 

Tiempo de producción en el departamento de elaboración: 2.65 h caja

2.65 h caja

2.65 h caja

2.65 h caja 

1.75 h

X 12 caja 

1.75 h

X 13 caja 

1.75 h

X 14 caja 

caja

caja

caja

1.75 h caja

X 21 caja 

1.17 h

X 22 caja 

1.17 h

X 23 caja 

1.17 h

X 24 caja 

caja

caja

caja

1.17 h caja

X 31 caja 

1.07 h

X 32 caja 

1.07 h

X 33 caja 

1.07 h

X 34 caja 

caja

caja

caja

1.07 h caja

X 41 caja  48  1000

(Semana 1)

X 42 caja  48  1000

(Semana 2)

X 43 caja  48  1000

(Semana 3)

X 44 caja  48  1000

(Semana 4)

Tiempo de producción en el departamento de envasado: 4.41h caja

4.41h

4.41h caja

4.41h caja

X 11 caja 

X 12 caja 

caja



X 11 caja 

X 13 caja 

X 14 caja 

2.91h caja

2.91h caja

2.91h caja

2.91h caja

X 21 caja 

X 22 caja 

X 23 caja 

X 24 caja 

1.29 h caja

1.29 h caja

1.29 h caja

1.29 h caja

X 31 caja 

X 32 caja 

X 33 caja 

X 34 caja 

1.78 h caja

1.78 h caja

1.78 h caja

1.78 h caja

X 41 caja  48  1000

(Semana 1)

X 42 caja  48  1000

(Semana 2)

X 43 caja  48  1000

(Semana 3)

X 44 caja  48  1000

(Semana 4)

No negatividad de las variables: X ij  0

1.7 SOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES CON SOLVER Solver es una herramienta para resolver problemas de programación lineal y no lineal, utilizando para este fin métodos numéricos. Solver se puede utilizar para optimizar funciones de una o más variables, sin o con restricciones. Microsoft Excel Solver utiliza diversos métodos de solución, dependiendo de las opciones que se seleccionen. Para los problemas de programación lineal utiliza el método Simples, para problemas lineales enteros utiliza “Branch and Bound y para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal

(GRG2). Solver, busca el valor óptimo para una celda, llamada celda objetivo, en esta celda escribimos la fórmula de la función objetivo

f ( x1, x2 ,..., xn ) .


3 5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Solver cambia los valores de un grupo de celdas, llamadas celdas variables o cambiantes. En estas celdas se localizan los valores de las variables de decisión

x1, x2 ,..., xn ,

que deben estar

relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. Para agregar las restricciones a Solver, escribimos en la celda seleccionada la fórmula gi ( x1, x2 ,..., xn )

correspondiente a cada restricción del problema a resolver, y tenemos que

especificar si la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda que contiene la constante

bi

(disponibilidad de los recursos). También, si fuese el caso, se puede

especificar que los valores sean enteros, para evitar resultados absurdos en algunos problemas de optimización. Solver es un complemento de Excel y como tal debemos instalar esta herramienta, para esto, primero hay que fijarse si en la barra de herramientas- Datos aparece el icono de Solver, si no se encuentra entonces tendremos que instalarlo.

Figura 1.4. Ubicación del icono Solver Para instalar este complemento vamos al botón oficce y selecionamos opciones de Excel

Figura 1.5. Opciones en botón office Al hacer click en opciones de Excel, se muestra el siguiente cuadro de dialogo. Activamos

complementos, seleccionamos Solver, y hacemos clik en ir


4 5


Figura 1.6. Opciones de Excel Aparecerá el siguiente cuadro de dialogo, del cual debemos activar la casilla Solver y finalmente damos aceptar.

Figura 1.7. Complementos disponibles Utilizaremos el Problema 1.1 como modelo para explicar de una manera clara el uso de Solver. Max z  4 x1  x2 sujeto a :

9 x1  x2  18 3x1  x2  12 x1 , x2  0


5 5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Escribiremos la función objetivo en una celda (celda objetivo) cambiando el valor de otras celdas (celdas variables). La celda donde se encuentra la función objetivo debe contener la formula que dependa de las celdas variables. Porque de no ser así, al cambiar el valor de una celda no cambiará el valor de la celda objetivo. En primer lugar escribimos la formula de la función objetivo =4*C7+D7 en la celda D4, utilizando como celdas variables la celda C7 y D7, para las variables x1 y x2 respectivamente.

Figura 1.8. Declaración de celda objetivo A continuación ingresamos las restricciones del problema. Para la restricción correspondiente a los sensores electrónicos, escribimos en la celda B12 la siguiente expresión =9*C7+D7 y para la restricción de mano de obra escribimos en la celda B13 la siguiente expresión

=3*C7+D7. La disponibilidad de sensores electrónicos la escribimos en la celda D12 y la disponibilidad de mano de obra es ingresada en la celda D13.

Figura 1.9. Declaración de restricciones Una vez ingresado los datos del problema enseguida utilizamos el complemento Solver ubicado en la barra de herramientas -> Datos Al hacer click en la opción Solver aparecerá el siguiente cuadro de dialogo,


6 5


Figura 1.10. Ejecución de Solver Ahora explicaremos cada una de las opciones que aparecen en este cuadro de dialogo

1

5

2

6 3

8 4 7 Figura 1.11. Parámetros de Solver Parámetros de Solver 1. Celda objetivo. Específica la celda objetivo que se desea maximizar o minimizar. Esta celda debe contener la fórmula que representa a la función objetivo.

2. Valor de la celda objetivo. Especificamos si se desea maximizar o minimizar la celda objetivo, o bien definirla con un valor específico. Si desea un valor específico, introdúzcalo en el cuadro.

3. Cambiando las celdas. Se especifican las celdas correspondientes a las variables del problema, estas pueden ajustarse hasta que se satisfagan las restricciones en el problema Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

7 5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones y la celda objetivo alcance su valor. Las celdas variables deben estar directa o indirectamente relacionadas con las celdas objetivo.

Estimar Estima todas las celdas que no contienen ninguna fórmula a las que se hace referencia en la fórmula la celda objetivo y coloca sus referencias en el cuadro

Cambiando las celdas. 4. Sujeto a las siguientes restricciones. Muestra una lista de las restricciones actuales en el problema. 

Agregar Muestra el cuadro de diálogo Agregar restricción. 4.2 4.3 4.1

Figura 1.12. Agregar las restricciones 4.1 Referencia de celda. Especifica las celdas que serán consideradas como las restricciones del problema. Las celdas variables deben estar directa o indirectamente relacionadas con estas celdas.

4.2 Referencia de la desigualdad. Especifica el tipo de desigualdad correspondiente a la restricción.

4.3 Restricción. Especifica las celdas que serán consideradas como la disponibilidad de los recursos del problema. 

Cambiar Muestra el cuadro de diálogo Cambiar restricción.



Eliminar Elimina la restricción seleccionada.

5. Resolver Inicia el proceso de solución del problema definido. 6. Cerrar Cierra el cuadro de diálogo sin resolver el problema. Retiene todos los cambios que se hayan realizado mediante los botones Opciones, Agregar, Cambiar o Borrar.

7. Restablecer todo Borra los valores actuales del problema y restablece todos los valores a sus valores originales.

8. Opciones Muestra el cuadro de diálogo Opciones de Solver , donde pueden cargarse y guardarse los modelos de problema y las características de control avanzado del proceso de solución.


8 5


Figura 1.13. Opciones de Solver Aquí pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución, cargarse o guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no lineales. Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los problemas.

8.1 Tiempo máximo Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Puede especificarse un valor tan grande como 32.367, pero el valor predeterminado 100 (segundos) es adecuado para la mayor parte de los pequeños problemas.

8.2 Iteraciones Limita el tiempo que tarda el proceso de solución mediante la limitación del número de cálculos provisionales. Aunque puede especificarse un valor tan grande como 32.767, el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los pequeños problemas.

8.3 Precisión Controla la precisión de las soluciones mediante el número que se especifica para determinar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite inferior o superior. Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantas más posiciones decimales tenga el número que se escriba, mayor será la precisión; por ejemplo, 0,0001 indica una precisión mayor que 0,01.

8.4 Tolerancia El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y seguir considerándose aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tienen restricciones enteras. Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución.

8.5 Convergencia Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que el número del cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones, Solver se detendrá. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantas más posiciones decimales Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

9 5

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones tenga el número que se escriba, menor será la convergencia; por ejemplo, 0,0001 indica un cambio relativo menor que 0,01. Cuanto menor sea el valor de convergencia, más tiempo se tardará en encontrar una solución.

8.6 Adoptar un modelo lineal Seleccione esta opción para acelerar el proceso de solución cuando todas las relaciones del modelo sean lineales y desee resolver un problema de optimización lineal.

8.7 Adoptar no-negativo Hace que Solver presuponga un límite de 0 (cero) para todas las celdas ajustables en las que no se haya establecido un límite inferior en el cuadro

Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción. 8.8 Usar escala automática Seleccione esta opción para utilizar la escala automática cuando haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados; por ejemplo, cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en inversiones de millones de dólares.

8.9 Mostrar resultado de iteraciones Seleccione esta opción para hacer que Solver deje de mostrar temporalmente los resultados de cada iteración.

8.10 Estimación Especifica el enfoque que se utiliza para obtener los cálculos iniciales de las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales.

Tangente Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente. Cuadrática Utiliza la extrapolación cuadrática, que puede mejorar en gran medida los resultados de problemas no lineales.

8.11 Derivadas Especifica la diferencia que se utiliza para calcular las derivadas parciales del objetivo y las funciones de la restricción.

Progresiva Se utilizan para la mayor parte de los problemas, en los que los valores de restricción cambian relativamente poco.

Central Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian rápidamente, en especial cerca de los límites. Aunque esta opción necesita más cálculos, puede ser útil cuando Solver devuelve un mensaje que indica que no puede mejorarse la solución.

8.12 Buscar Especifica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar la dirección en que se hace la búsqueda.

Newton Utiliza un método quasi-Newton que normalmente necesita más memoria pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugada.


0 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Gradiente Conjugado Necesita menos memoria que el método Newton, pero normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un nivel de exactitud concreto. Use esta opción cuando se trate de un problema grande y la utilización de memoria deba tenerse en cuenta, o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se descubra un progreso lento.

8.13 Cargar modelo Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede especificar la referencia del modelo que desee cargar.

8.14 Guardar modelo Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede especificar la ubicación en la que desee guardar el modelo. Haga clic únicamente cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo se guardará de forma automática. Una vez que todos estos parámetros fueron ingresados, finalmente hacemos click en resolver

Figura 1.14. Resolver con Solver Y aparecerá el siguiente cuadro de dialogo que muestra un mensaje de finalización y los valores resultantes más próximos a la solución que se desee.

Figura 1.15. Resultados de Solver


1 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 

Utilizar solución de Solver Haga clic para aceptar la solución y colocar los valores resultantes en las celdas ajustables.



Restaurar valores originales Haga clic para restaurar los valores originales en las celdas ajustables.



Informes Genera el tipo de informe que especifique y lo coloca en una hoja independiente del libro. Elija un tipo de informe y, a continuación, haga clic en Aceptar.

Respuesta Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores originales y sus valores finales, las restricciones y la información acerca de éstas.

Sensibilidad Proporciona información acerca de la sensibilidad de la solución a que se realicen pequeños cambios en la fórmula definida en el cuadro Definir celda objetivo del cuadro de diálogo Parámetros de Solver o de las restricciones. No se genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. En modelos no lineales, el informe facilita los valores para las gradientes y los multiplicadores de Lagrange. En los modelos lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha.

Límites Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores correspondientes, los límites inferior y superior, así como los valores del objetivo. No se genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. El límite inferior es el valor mínimo que puede tomar la celda ajustable mientras se mantienen todas las demás celdas ajustables fijas y se continúa satisfaciendo las restricciones. El límite superior es el valor máximo. 

Guardar escenario Abre el cuadro de diálogo Guardar escenario, donde puede guardar los valores de celda para su uso con el Administrador de escenarios de Microsoft Office Excel.

Al seleccionar las opciones indicadas y haciendo click en resolver, obtenemos tres hojas en las cuales se muestran los resultados obtenidos. Empezaremos por analizar el informe de respuestas


2 6


Figura 1.16. Informe de respuestas de Solver En la celda D8 se ubica el valor original de la función objetivo, en este caso inicialmente los valores ubicados en las celdas C7 y D7 correspondientes a la variables de decisión eran cero, generando inicialmente el valor de cero en la celda objetivo. En la celda E8 aparece el valor óptimo final obtenido por Solver y en las celdas E13 y E14 aparecen los valores óptimos para las variables de decisión. Con respecto a la saturación de las restricciones o limitaciones la celda D19 indica que se utilizaron 18 sensores electrónicos y la celda D20 indica que se utilizaron 12 horas de mano de obra. Esto quiere decir que todos los recursos fueron utilizados. La celda correspondiente al estado F19 y F20 indican este hecho. Las siguientes figuras serán analizadas en la Sesión 03 cuando se trate del tema de sensibilidad de los modelos lineales

Figura 1.17. Informe de sensibilidad de Solver


3 6


Figura 1.18. Informe de límites de Solver


4 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 1.8

HOJA DE TRABAJO 01

Formular y resolver con Solver cada uno de los problemas enunciados.

Ejercicio 1.1.  Una persona tiene S/500 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo S/300 en A y como mínimo S/100 en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus S/500 para maximizar sus intereses anuales?

Ejercicio 1.2. 

1 0 O J A B A R T E D A J O H

Alice, gerente de la Food Fast, proporciona albergues para cachorros. El alimento para perros Kennel se hace mezclando dos productos de soya para obtener una "dieta para perros bien balanceada". En la Tabla 1.18 se dan los datos para los dos productos. Si Alice quiere asegurarse de que sus perros reciban al menos 8 onzas de proteínas y 1 onza de grasa diariamente, ¿cuál sería la mezcla del costo mínimo de los dos alimentos para perro?

Tabla 1.18. Costo y porcentaje de proteínas y grasas por producto Producto de soya 1 2

Costo por onza $0,60 $0,15

Proteína (%) 50 20

Grasas (%) 10 20

Ejercicio 1.3.  Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta S/210, mientras que los del mayorista B cuestan S/300 cada uno. ¿Cuántos contenedores deben pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?

Ejercicio 1.4.  Una planta produce dos tipos de productos, en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres departamentos. Los tiempos de ensamblaje en los departamentos son dados en la Tabla 1.19.

Tabla 1.19. Departamento 1 2

Tiempos de ensamblaje

Producto 1 (unidades/minuto) 8 5


Producto 2 (unidades/minuto) 9 6

5 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 3

5

3

Cada departamento tiene disponible las 8 horas de trabajo diario. Sin embargo los departamentos requieren mantenimiento diario, que utilizan el 5%, 8% y 6% del tiempo disponible para cada departamento diariamente. La planta desea saber las unidades semanales (se trabaja 6 días a la semana) que se ensamblaran a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (ociosos) en los tres departamentos.


Ejercicio 1.5.  Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a uno o más de tres productos, llamémoslos los productos1, 2 y 3. La capacidad disponible de la máquina que podría limitar la producción se resume en la Tabla 1.20

Tabla 1.20.

Tiempos disponibles de por tipo de máquina

TIPO DE MAQUINA FRESADORA

TIEMPO DISPONIBLE (horas/semana) 500

TORNO

350

RECTIFICADORA

150

El número de horas de máquina requerida por cada unidad de los productos respectivos es muestran en la Tabla 1.21.

Tabla 1.21.

Coeficiente de Productividad (en horas máquina por unidad)

TIPO DE MAQUINA

PRODUCTO 1

PRODUCTO 2

PRODUCTO 3

FRESADORA

9

3

5

TORNO RECTIFICADORA

5 3

4 0

0 2

El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unidades por semana. La utilidad unitaria será de $30, $12 y $15, para los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Formúlese un modelo PL para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto para maximizar la utilidad. Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

6 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Ejercicio 1.6.  La empresa Elit elabora yogurt y jugos a base de mango y durazno, esta empresa compra su materia prima al precio de $0,50 por kilogramo de mango y $0,30 por kilogramo de durazno, las cantidades máximas que puede comprar es de 1600 kilogramos de mango y 2100 kilogramos de durazno. El mercado de venta de yogurt es de 9000 botellas como máximo y para jugo no hay límite, el precio de venta del yogurt y de jugo es de $5 y $3 por cada botella respectivamente; estos datos y otros se dan en la Tabla 1.22

Tabla 1.22.

Disponibilidad y costo de las frutas

Yogurt

Jugos

Disponible

Costo

Mango

2 kg/botella

3 kg/botella

1600 kg

$0.50/kg

Durazno

3 kg/botella

1 kg/botella

2100 kg

$0.30/kg

Venta máxima P. Venta

9000 botellas $5/botella

$3/botella


Elabore un modelo lineal para la empresa Elit.

Ejercicio 1.7.  El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de cinco fuentes. Carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de generación medidas en Megawatthoras (MW-hr), y los costos unitarios de generación se dan en la Tabla 1.23. Lilliput necesita 50 000 MW-hr de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso para producir 10 000MW-hr para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones. 1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía total generada por Lilliput. 2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón. 3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la Tabla 1.24 4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir del petróleo. Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo.

Tabla 1.23. Capacidades de generación y costos


7 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Capacidad Total (MW-hr)

Costo de Generación ($/MW-hr)

Carbón

45000

6

Gas Natural

15000

5,5

Nuclear

45000

4,5

Hidroeléctrica

24000

5

Petróleo

48000

7

Fuente de Energía


Tabla 1.24. Datos de polución en la generación de energía Contaminante (gm/MW-hr) Fuente de Energía Carbón Gas Natural Nuclear Hidroeléctrica Petróleo Kg máximos permitidos

Dióxido de azufre

Monóxido de Carbono

Partículas de Polvo

Desechos Sólidos

1,5 0,2

1,2 0,5 0,1

0,7

0,4

0,2

0,7

0,8 60

0,5 30

0,1 25

0,4 75

Ejercicio 1.8.  Cada semana Florida Citrus, Inc., usa una sola máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados, estos jugos están almacenados en dos tanques separados de 1000 galones cada uno antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6 por galón, cada galón de jugo de toronja cuesta $2 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8 por galón. Formule un modelo de PL para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana.

Ejercicio 1.9.  La Fargo Water Co. tiene tres depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25 millones de litros de agua fresca, respectivamente. Diariamente tiene que abastecer cuatro áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de litros, respectivamente.

Tabla 1.25. Costo de bombeo por millón de litros AREA Deposito Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

A

B

C

D

8 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones 1 2 3

2 3 4

3 2 1

4 5 2

5 3 3

Formule el problema de la Fargo Water Co. como un modelo de programación lineal. Asuma que el exceso de agua no representa un costo para la compañía.

Ejercicio 1.10.



La Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas


que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra, y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son: Maní: $0.90 por libra Pasas: $1.60 por libra Algarrobo: $1.50 por libra Los requerimientos de las mezclas son: Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente. Especial: cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos. Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní. Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana un máximo de 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades.

Ejercicio 1.11.



Una compañía de seguros cree que necesitarán las siguientes cantidades de computadoras personales durante los próximos seis meses: enero, 9; febrero, 5; marzo, 7; abril, 9; mayo,10; junio,5. Se pueden rentar computadoras por un período de uno, dos o tres meses, a las rentas unitarias siguientes: renta por un mes, 200 dólares; renta por dos meses, 350 dólares; renta por tres meses, 450 dólares. Formule un PL que permita minimizar los costos de renta de computadoras requeridas. Puede suponer que si se renta una máquina por un período que se prolongue más allá de junio, habrá que promediar el costo de la renta. Por ejemplo, si se renta una computadora por tres meses, a principios de mayo, entonces se tendrá que aplicar una cuota por la renta 2/3(450)=300 dólares, y no 450 dólares, a la función objetivo.

Ejercicio 1.12.




9 6

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?

Bebida A Bebida B Bebida C Bebida D Bebida E

1 0 O J A B A R T E D

Jugo de Naranja

Jugo de Toronja

Jugo de Arándano

40 5 100 0 0

40 10 0 100 0

0 20 0 0 0

Existencia [gal] 200 400 100 50 800

Costo [$/gal] 1,50 0,75 2,00 1,75 0,25

A J O H

Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.

Ejercicio 1.13.



Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades?


0 7

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Ejercicio 1.14.



Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio


de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

Ejercicio 1.15.



Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvataje). Vehículo

Costo [US$]

Ingresos primer año [US$]

Ingresos segundo año [US$]

Automóvil Camioneta Jeep

7000 6500 5800

3000 2300 2100

5400 5300 5000

Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000 para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en pagos futuros. Formule un modelo de programación lineal para el problema. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones.


1 7


1 0



Ejercicio 1.16.

LSDC está desarrollando una comunidad de casas y condominios en los alrededores del lago Saddleback, Texas. La idea es utilizar 300 acres de tierra de tal forma de maximizar sus ganancias ofreciendo una apropiada variedad de diferentes alternativas de casas constituyendo diferentes productos. Además, la corporación desea analizar la factibilidad de desarrollar 10 acres para un complejo deportivo y de recreación. LSDC está ofreciendo 4 productos: (1) La serie Gran Estado (2) La colección Glen Wood (3) Casas con vista al lago y (4) casas en Condominio. Cada uno de estos productos tiene 4 planos con diferentes estilos, tal como se describe en la siguiente lista: Plano

Precio venta (US$)

Tamaño (ft2)

Dormitorios

Baños

Pisos

Tamaño Garage (autos)

700 680 650 590

4000 3600 3000 2600

5+manzarda 4+manzarda 4 3

4 3 3 3

2 2 1 1

3 3 3 3

420 380 320 280

2800 2400 2200 1800

4+manzarda 4 3 3

3 3 3 2½

2 2 2 1

3 2 2 2

300 270 240 200

2000 1800 1500 1200

4 3+manzarda 3 2

2½ 2½ 2½ 2

2 2 1 1

2 2 2 2

220 160 140

1600 1200 1000

3 2 2

2 2 1½

2 1 1

-

Gran Estado Trump Vanderbilt Hughes Jackson Glen Wood Gran Ciprés Lazy Oak Wind Row Orangewood Vista al lago Bayview Shoreline Docks Edge Golden Pier Condomio Stream Weeping Wilow Picket Fence

O J A B A R T E D A J O H

Tamaño de los lotes. Todos los lotes incluyen el terreno donde se instalará la casa, el garage (el cual no está considerado dentro de los metros cuadrados de la casa) y espacio para jardín. Este no incluye el parking ni el espacio para parques, carreteras, etc. Todos los modelos de la serie Gran Estado se construyen sobre lotes de 1 media-acre, y 50 medias-acre se usan exclusivamente por las casas Gran Estado. El precio de venta de estas casas tendrá un 30% adicional más US$50.000 que los modelos que no están en el lago. (Por ejemplo, el modelo Trump a US$700.000 se vendería en US$960.000 si se situara en el lago). Cada una de la serie Gran Estado debe tener al menos ocho unidades en el lago. Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

2 7


Algunos modelos Gran Ciprés (de la serie Glen Wood) podrían construirse sobre lotes “premiados” de un-cuarto-acre. Estas casas se venden en US$40.000 más que los modelos

similares sobre lotes standards. Además, algunos de los modelos Bayview (en la serie vista al lago) pueden construirse sobre lotes “premiados” de un -sexto-acre, los cuales se venden en US$30.000 más del precio de los modelos construidos en terrenos standards. No más del 25% del total de los modelos Ciprés y 25% del total de los modelos Bayview se pueden construir en lotes “premiados”.

Los tamaños de los lotes en el condominio son fijos y son de 1500 pie-cuadrados.


El lote mínimo standard para casas de la serie Glen Wood y con vista al lago (excepto los modelos “premiados”) es de un -décimo-acre. Los tamaños de los lotes para ciertos modelos

pueden ser mayores si el siguiente cálculo excede a 1/10 acre.

Tamaño Lote= (Área de la Casa)+(Tamaño del Jardín)+(Tamaño del Garage).

Área de la Casa. El área de la casa de cualquier casa de un piso es el metraje cuadrado del aviso de la casa. El área de la casa para casas de dos-pisos es de 75% del metraje cuadrado del aviso de la casa.

Área para Jardín. Para casas de la serie Glen Wood, el jardín es de 1200 pies cuadrados para casas de un-piso y lo mismo que el área de la casa para casas con dos-pisos. Para casas con vista al lago el tamaño del jardín es 900 pies cuadrados para casas de un-piso. Para casas de dos-pisos de esta misma serie de casas el tamaño de jardín será de 600 pies cuadrados más 50% del área de la casa.

Tamaño del Garage. Garage para dos autos ocupan 500 pies cuadrados de área y para tres autos ocupa 750 pies cuadrados. Note que los modelos en el condominio no tienen terreno para garage.

Parking. La ley exige tener un espacio de parking por dormitorio para cada unidad construida. Por ejemplo, un espacio exterior de parking para dos autos es necesario para una casa de 4 dormitorios que posee un garage para dos autos. Cada parking exterior ocupará 200 pies cuadrados de espacio. Hasta un máximo de 15 acres del proyecto podrán utilizarse para parking exterior. Todos los parking del condominio son exteriores.

Carreteras, Parques...etc


3 7

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Un total de 1000 pies cuadrados por casa se está pensando para la construcción de carreteras y pequeños parques para hacer el proyecto más agradable estéticamente hablando.

Variedad. Como parte del proyecto se han definido ciertos requerimientos máximos y mínimos arrojados por el departamento de estudios de mercado (Condominio está incluido). Casas con

Máximo

Mínimo

2-dormitorios 3-dormitorios 4-dormitorios 5-dormitorios

25% 40% 40% 15%

15% 25% 25% 5%


Además, ninguno de los cuatro productos (Gran Estado, Glen Wood, Vista al lago, y Condominio) pueden ser más que el 35% ni menos que el 15% de las unidades construidas en el desarrollo. Más aún, dentro de cada producto, cada plano debe ocupar entre 20% y 35% del total de unidades de ese producto. Por razones de estética hasta un máximo del 70% de las casas de un-piso (salvo las de condominio) pueden ser casas de dos-pisos.

Abordables. En el área del lago cualquier casa avaluada en US$200.000 o menos es considerada “abordable”. El gobierno exige al menos 15% del proyecto pueda ser considerado como

abordable.

Ganancias. LSDC ha determinado los siguientes porcentajes de los precios de ventas como ganancias netas:

Gran Estado

22%

Glen Wood Vista al lago Condominio

18% 20% 25%

Objetivos. LSDC necesita determinar el número de unidades de cada plano de cada producto a construir, de tal manera de maximizar sus ganancias. Si LSDC construye un complejo de recreación y deportivo en 10-acres, esto podría reducir el área utilizable en 10-acres y a un costo de alrededor US$8 millones. Sin embargo, LSDC cree que esto puede cargarse al costo de las casas como sigue:

Gran Estado Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

5%

4 7

FACULTAD DE INGENIERÍA Investigación de Operaciones Glen Wood Vista al lago Condominio

3% 2% 5%

*Excepto para el modelo Golden Pier, es decir todavía puede ser catalogada como abordable.

1 0 O J A B A R T E D

Informe: Prepare un informe detallado analizando este proyecto y haga sugerencias para la construcción. De recomendaciones si conviene o no construir el complejo deportivo. Haga un

A J O H

análisis apropiado de “qué sucede si..” (Análisis de sensibilidad) y haga un resumen de sus

recomendaciones finales.

Consideraciones y supuestos. Antes de resolver el problema es importante especificar la interpretación dada a algunas frases del enunciado del problema:



Se entiende que cuando se habla de “1 media -acre” se está hablando de la mitad de un acre, es decir ½ acre. Es decir “50 medias-acre”, en términos de superficie son 25

acres. 

Cuando se dice que “50 medias-acres se usan exclusivamente por las casas Gran Estado”, se dice que sólo se destinarán 25 acres al total de casas de la serie Gran

Estado, ni una acre más ni uno de menos. Esto se reflejará como una igualdad en una de las restricciones. 

La frase “el lote mínimo standard para casa de la serie Glen Wood y con vista al mar...”, suponemos que con “vista al mar” es en realidad con “vista al lago” y que se

refiere al producto Vista al Lago, y no a que algunas casas de la serie Glen Wood tienen como propiedad tener vista al lago. Luego se entiende que la frase se refiere al tamaño del lote mínimo para casas de las series Glen Wood y Vista al Lago. 

Se supondrá también que cuando se habla del “aviso de la casa” se refiere a la

información del primer cuadro del enunciado. 

Las manzardas no se considerarán como dormitorios (para el cálculo del parking).



Los porcentajes que aparecen asociados a la variedad se trabajarán sobre el total de todas las casas.



Para la condición asociada a la proporción de las casas de dos pisos frente a las de un piso, no se considerarán las casas del condominio de un piso, es decir sólo se considerarán las casas del condominio de dos pisos para esta restricción.



Para la segunda parte, se considerará que los porcentajes que aparecen en la última tabla se refieren al valor (precio de venta) de las casas y no a un aumento porcentual exclusivamente de las utilidades de cada casa. Francisco Ismael Pinillos Nieto Santos Santiago Javez Valladares

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Introduccion a la Investigacion de Operaciones

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