Introdução à Análise Plástica de Estruturas PARTE 1

INTRODUÇÃO À ANÁLISE PLÁSTICA DE ESTRUTURAS 1ª parte adaptado das folhas do IST de INTRODUÇÃO À ANÁLISE PLÁSTICA DE ESTRUTURAS (ESTRUTURAS II)

INTRODUÇÃO À ANÁLISE PLÁSTICA DE ESTRUTURAS • •

INTRODUÇÃO MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO – –

ESTRUTURAS ISOSTÁTICA ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS • • •

•

INTRODUÇÃO ÀS RELAÇÕES DE PLASTICIDADE (FLEXÃO) –

• • •

•

FASES DO COMPORTAMENTO RÍGlDO‐PLÁSTlCO

ESCOLHA DAS SECÇÕES CRÍTICAS TIPOS DE MECANISMO DE COLAPSO ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA INCREMENTAL –

•

Modelo Elástico Modelo Elastoplático Modelo Plástico

ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA INCREMENTAL PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

EQUAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA – – – –

ENERGIA INTERNA DISSIPADA E TRABALHO EXTERNO REALIZADO POR UM MECANISMO MECANISMOS CINEMÁTICA MENTE ADMISSÍVEIS PARÂMETRO DE CARGA ASSOCIADO A UM MECANISMO DISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS ASSOCIADA A UM MECANISMO

INTRODUÇÃO À ANÁLISE PLÁSTICA DE ESTRUTURAS • •

INTRODUÇÃO MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO – –

ESTRUTURAS ISOSTÁTICA ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS • • •

•

INTRODUÇÃO ÀS RELAÇÕES DE PLASTICIDADE (FLEXÃO) –

• • •

•

FASES DO COMPORTAMENTO RÍGlDO‐PLÁSTlCO

ESCOLHA DAS SECÇÕES CRÍTICAS TIPOS DE MECANISMO DE COLAPSO ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA INCREMENTAL –

•

Modelo Elástico Modelo Elastoplático Modelo Plástico

ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA INCREMENTAL PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

EQUAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA – – – –

ENERGIA INTERNA DISSIPADA E TRABALHO EXTERNO REALIZADO POR UM MECANISMO MECANISMOS CINEMÁTICA MENTE ADMISSÍVEIS PARÂMETRO DE CARGA ASSOCIADO A UM MECANISMO DISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS ASSOCIADA A UM MECANISMO

INTRODUÇÃO O problema fundamental da análise plástica consiste em determinar o coeficiente de segurança ao colapso plástico de uma dada estrutura para uma determinada solicitação. 

Além dos coeficientes de segurança, a análise plástica fornece as distribuições de esforços possíveis no colapso, assim como os mecanismos que definem os modos de colapso da estrutura. 

São dados do problema a geometria da estrutura, as capacidades plásticas dos elementos estruturais e a solicitação de serviço. 

É incógnita do problema o coeficiente λ, que multiplicado pela solicitação de serviço define o nível de carga que provoca o colapso da estrutura. Se λ > 1 a estrutura é capaz de suportar solicitação de serviço Se λ < 1 a estrutura entra em colapso antes de se atingir o nível da carga de serviço, tornando ‐se necessário redimensionar os elementos estruturais. 

Os regulamentos de projecto de estruturas exigem coeficientes de segurança entre 1.0 e 1.6, consoante o tipo de solicitação de serviço. 

Ao projectar de uma estrutura aos estados limites, além de garantir a segurança ao colapso plástico, é necessário limitar os deslocamentos e as deformações que se desenvolvem na estrutura na fase de serviço, verificar a estabilidade da estrutura e dos elementos estruturais, o efeito da actuação de solicitações cíclicas, assim como outros condicionamentos específicos ao tipo, às funções e à localização da estrutura. 

A análise plástica permite apenas resolver o primeiro dos problemas acima mencionados, sendo incapaz de fornecer qualquer informação sobre as restantes verificações regulamentares, as quais têm de ser executadas recorrendo a modelos de cálculo específicos aos problemas em questão. 

MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO OBJECTIVO: comparar a resposta de uma mesma estrutura a uma determinada solicitação quando se admite para o material estrutural um comportamento elástico, elasto‐plástico e rígido‐plástico e analisar a dificuldade relativa dos cálculos necessários para a determinação das distribuições de esforços e de deslocamentos.

ESTRUTURAS ISOSTÁTICA Se as deformações e os deslocamentos forem infinitesimais os esforços em estruturas isostáticas podem ser determinados recorrendo apenas às, condições de equilíbrio as quais são implementadas sobre a estrutura indeformada. Por simplicidade, suponha‐se que a tensão de cedência é a mesma para os três materiais, tanto para esforços positivos como negativos, e idêntica para todos os elementos da estrutura. •

MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO •

ESTRUTURAS ISOSTÁTICA

Seja X0 vector dos esforços independentes na estrutura devidos à solicitação λ0 e σ0 o vector das tensões máximas nos elementos estruturais para a mesma solicitação. Se se aumentarem todas as cargas aplicadas proporcionalmente a um parâmetro λ, tal que

seja a nova solicitação, como o equilíbrio é imposto sobre a estrutura indeformada, os esforços e as tensões na estrutura aumentam na mesma proporção:

A constante de proporcionalidade depende apenas da geometria da estrutura. Exemplo: considere‐se a estrutura representada na Fig. 2.2 constituída por duas barras articuladas, com área e tensão de cedência idênticas.

MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO Os esforços nas barras são dados por equilíbrio do nó, ou seja:

nota: sinais coerentes com a orientação das barras e as tensões correspondentes por

A tensão máxima verifica‐se na barra 1, atingindo ‐se aí a tensão de cedência quando

verificando ‐se ser de cerca de 7 kN = 1.4∙5 kN a capacidade de carga da estrutura. Sendo isostática, a estrutura entra em colapso quando romper um dos seus elementos o que sucede assim que nesse elemento seja atingida a tensão de cedência. Assim sendo se σ0j for a tensão mais elevada (em valor absoluto) na estrutura, ou seja:

MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO a condição garante que a tensão de cedência não é excedida em nenhum dos elementos estruturais, tendo‐se no limite

sendo a solicitação e os esforços máximos admissíveis na estrutura

Das considerações acima interessa reter que: • Numa estrutura isostática a distribuição dos esforços é independente do material que a constitui. • Uma estrutura isostática atinge o estado limite de colapso quando a tensão mais elevada atinge a tensão limite do material que a constitui. • A carga de colapso é directamente proporcional ao esforço na secção em que se atinge a tensão limite.

MODELOS ELÁSTICO, ELASTO‐PLÁSTICO E RIGÍDO‐PLÁSTICO •ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Numa estrutura hiperestáticas mesmo que os deslocamentos e as deformações sejam infinitesimais, para determinar a distribuição dos esforços é necessário recorrer não só às condições de equilíbrio como também de compatibilidade e às relações que caracterizam comportamento do material estrutural. Exemplo: Para ilustrar o efeito do comportamento do material na resposta das estruturas hiperestáticas, analisa‐se em seguida a estrutura representada na fig. 2.3. para cada um dos modelos de cálculo em consideração


Exemplo:

Modelo Elástico

Escolhendo para força indeterminada o esforço na barra 2 vertical encontra‐se a seguinte definição para as condições de equilíbrio:

Depois de resolver a equação do método das forças

onde, no presente caso, a matriz de flexibilidade das duas barras da estrutura é dada por encontrando ‐se o seguinte valor para a força hiperestatica o que resulta em esforços nas barras da estrutura iguais

mas a tensão na barra 2 é dupla da tensão na barra 1 por ter metade da área desta: A deformação nas barras e o deslocamento sofrido pela carga aplicada têm os seguintes valores:


Exemplo:

Nível de carga 1: A carga máxima que a estrutura pode

suportar em regime elástico obtém‐se igualando a tensão máxima à tensão limite de elasticidade na barra 2

sendo os seguintes os valores dos esforços, das tensões, das deformações e do deslocamento para esse nível de carga:


Exemplo:

Modelo Elastoplástico

Suponha‐se agora que o material que constitui a estrutura era elástico linear‐plástico perfeito; ao atingir‐se a tensão de cedência, extensões plásticas irreversíveis, podem desenvolver ‐se na secção sem qualquer variação no estado de tensão, como se ilustra na fig. 2.5 a). Quando se atinge a tensão de cedência o esforço axial na secção toma o valor

o qual, por não pode ser excedido, se denomina capacidade plástica da secção; esgotada esta capacidade, o esforço na secção mantém‐se constante ( ) à medida que se desenvolvem deformações crescentes.


Exemplo: Para simular este comportamento introduz‐se na barra onde se atingiu a tensão de cedência uma libertação de esforço axial (para permitir um desenvolvimento de uma deformação axial livre up) à qual se aplica um esforço axial idêntico ao da capacidade plástica esgotada (para garantir um esforço constante nessa barra), como se ilustra na fig. 2.6 para o exemplo em questão.


Exemplo: A indeterminação estática da estrutura decresce de um grau, sendo ainda possível aumentar a carga aplicada à estrutura.

o aumento de carga produz a seguinte variação nos esforços e nas tensões

podendo a carga crescer até que à tensão total

na barra 1 atinja a tensão de cedência:


Exemplo: Neste instante ambas as barras estão plastificadas, sendo

a carga máxima que a estrutura pode suportar. No momento de colapso são os seguintes os valores dos esforços, das tensões e das deformações elásticas:

ou seja:


Exemplo: Neste instante ambas as barras estão plastificadas, sendo

a carga máxima que a estrutura pode suportar. No momento de colapso são os seguintes os valores dos esforços, das tensões e das deformações elásticas:

ou seja:


Exemplo: A componente plástica da deformação ocorrida nesta fase na barra 2 é calculada de modo a garantir a verificação da condição de compatibilidade

ou seja

encontrando ‐se

e o seguinte valor para o deslocamento sofrido pela carga:


Exemplo:

Os resultados obtidos permitem concluir que: • • • •

A indeterminação estática da estrutura decresce 1 grau por cada plastificação que ocorre. Verifica‐se uma redistribuição dos esforços na estrutura à medida que a plastificação progride. Verifica‐se uma redução de rigidez da estrutura à medida que a plastificação progride A carga limite do comportamento elástico subestima consideravelmente a capacidade real de carga da estrutura.


Modelo Plástico

Suponha‐se agora que o material que constitui a estrutura tem um comportamento rigido‐plástico perfeito, o qual pode ser caracterizado pelas seguintes condições, como ilustra na fig. 2.9:

as seguintes condições devem ser cumpridas: •

Condição de cedência:

•

Condição de escoamento:

•

Condição de paridade:


Modelo Plástico

Se a estrutura for α hiperestática, é suficiente a plastificação de α + 1 secções para que a estrutura se transforme num mecanismo. Para que esse mecanismo seja admissível, é necessário que as deformações plásticas que nele se desenvolvem satisfaçam a condição de compatibilidade

Mecanismo de Colapso

a qual para o presente caso toma a forma

A equação acima permite escrever a seguinte expressão geral para as deformações no mecanismo compatível

em que θ representa o grau de liberdade do movimento. A condição de compatibilidade permite calcular os deslocamentos sofridos pelas cargas aplicadas, tendo‐se para a estrutura em análise.

e a condição de paridade definir o esforço nas peças plastificadas,


Modelo Plástico

Quando o mecanismo se desloca, as carga aplicadas à estrutura realizam trabalho definido por sendo no presente caso

Mecanismo de Colapso

A energia de deformação plástica entretanto dissipada por uma estrutura é por definição aplicando ao caso da estrutura dada

como o trabalho realizado pelas forças externas tem que compensar o trabalho realizado pelas forças interiores conclui‐se que é o valor da carga que provoca o colapso da estrutura, confirmando o resultado fornecido pela análise plástica. No comportamento de estrutura de material rígido‐plástico pode distinguir‐se duas fases; Para valores do carregamento inferiores ao de colapso a estrutura permanece rígida, indeformada, podendo o carregamento ser equilibrado por qualquer distribuição de esforço que satisfaça as condições de equilíbrio e de cedência. Quando o carregamento atinge o valor de colapso


Modelo Plástico

No comportamento de estrutura de material rígido‐plástico pode distinguir‐se duas fases; • Para valores do carregamento inferiores ao de colapso a estrutura permanece rígida, indeformada, podendo o carregamento ser equilibrado por qualquer distribuição de esforço que satisfaça as condições de equilíbrio e de cedência. •

Quando o carregamento atinge o valor de colapso plastificam simultaneamente tantas secções quantas as necessárias para a formação do mecanismo

sendo nesse instante o carregamento equilibrado por qualquer distribuição de esforços que satisfaça condições de equilíbrio, cedência e paridade. Para uma estrutura e um dado carregamento, a carga de colapso é a mesma para todos os materiais que apresentem o mesmo patamar plástico (daí a carga de colapso dos modelos elastoplásticos e plástico ser exactamente a mesma) a carga de colapso também não é afectada por assentamentos de apoio, erros nos comprimentos da peça, descargas plásticas, etc. Estes factos aliados à extrema facilidade de realizar cálculos (bem mais simples do que a análise elasto‐plástica) tornam a análise plástica extremamente útil como método de avaliação da capacidada resistente de uma estrutura.

INTRODUÇÃO ÀS RELAÇÕES DE PLASTICIDADE (FLEXÃO) •DEFINIÇÃO DE

RÓTULAS PLÁSTICAS EM FLEXÃO Considere‐se uma peça rígido‐plástica perfeito com tensões de cedência Seja a capacidade plástica de uma secção à flexão positiva (negativa); representa portanto o momento que equilibra um bloco de tensões em que todas as fibras acima da linha neutra estão à tensão de cedência plástica positiva, e todas as restantes fibras à tensão de cedência plástica negativa. Para uma peça de secção rectangular de um material que apresenta igual tensão de cedência à tracção e à compressão, , as capacidades plásticas à flexão positiva e negativa são idênticas e dadas por em que h e a altura da secção e as resultantes dos blocos de tensão positiva e negativa, b representando a largura da secção. Como o revela o diagrama tensões‐extensões representado na fig. 3.1, quando numa fibra se atinge a tensão de cedência, pode aí desenvolver ‐se uma extensão de sentido idêntico ao da tensão mas cujo valor absoluto é indeterminado; para uma mesma tensão podem existir infinitas extensões: Este facto, aliado à hipótese das secções planas se manterem planas após a deformação, traduz‐se numa secção plastificada por flexão pelo desenvolvimento de uma distribuição linear de extensões à qual está associada uma rotação de valor indeterminado mas cujo sentido é o do momento de plastificação; diz‐se então que se formou uma rótula plástica na secção:

INTRODUÇÃO ÀS RELAÇÕES DE PLASTICIDADE (FLEXÃO) •FASES DO COMPORTAMENTO RÍGlDO‐PLÁSTlCO

Como se indica nas figs. 3.3 e 3.4, no modelo rígido‐plástico perfeito para a relação momentos‐rotações podem distinguir‐se duas fases de resposta, nomeadamente as fases estática e cinemática:

Fase Estática

Enquanto o momento na secção não atinge o valor de qualquer das capacidades plásticas a secção permanece rígida, indeformada; a rotação é portanto nula, ou seja: a lei de distribuição de tensões na secção é indeterminada, no sentido de poder existir mais do que um bloco de tensões que equilibre o momento X. Nesta fase a energia de deformação plástica é nula:


Como se indica nas figs. 3.3 e 3.4, no modelo rígido‐plástico perfeito para a relação momentos‐rotações podem distinguir‐se duas fases de resposta, nomeadamente as fases estática e cinemática:

Fase Cinemática

A fase cinemática corresponde à formação de uma rótula plástica: Nesta fase todas as fibras estão à tensão de cedência, existindo uma única distribuição de tensões que equilibra o momento de plastificação o sentido do qual è determinado pelo da rotação: Como a relação acima demonstra, para um mesmo estado de tensão são possíveis infinitos estados de deformação. Nesta fase a energia de deformação é sempre positiva pois se:


As várias combinações esforço‐deformação possíveis e a correspondente forma da relações de plasticidade estão ilustradas nos quadros da seguintes.

ESCOLHA DAS SECÇÕES CRíTICAS Ao discretizar uma estrutura para uma dada solicitação pretende‐se definir na estrutura os pontos onde verifica uma alteração no andamento da distribuição de momentos flectores. Para isso colocam‐se nós rígidos onde: 1.as características mecânicas das peças se alteram, 2.ligam duas ou mais peças, 3.existem libertações internas, 4.estejam forças concentradas aplicadas, 5.estejam momentos concentradas aplicadas, 6.a estrutura se apoia na fundação Fica deste modo garantido que na ausência de solicitações de vão em cada barra da estrutura discretizada o momento máximo ocorre numa secções extermas, e não em secções do vão. Se a estrutura tiver sido discretizada em B barras fica assim reduzido a 2B o número de secções onde máximos relativos da distribuição de momentos se podem verificar. O problema que se põe em seguida é o de determinar em quais dessas secções o momento pode atingir a capacidade plástica da secção.

ESCOLHA DAS SECÇÕES CRíTICAS A escolha das secções críticas, como se denominam as secções da estrutura onde rótulas plásticas se podem formar, pode ser feita adoptando o seguinte procedimento; 1. Discretizar a estrutura, para o carregamento em análise, 2. Eliminar como secções críticas aquelas que ligam barras a nós por articulações. 3. Nos nós a que ligam uma barra; a) Se não tem momento aplicado não considerar secção crítica. b) Se tem momento aplicado, considerar secção crítica. 4. Nos nós que ligam duas barras: a) Se não tem momento aplicado, considerar secção critica na barra com menor capacidade plástica b) se tem momennto aplicado, considerar secções críticas em ambas as barras. 5. Nos nós que liguam três ou mais barras considerar secções críticas em todas as barras, qualquer que seja o carregamento.

ESCOLHA DAS SECÇÕES CRíTICAS Exemplo: Como exemplo de aplicação, considere ‐se a estrutura representada na Fig. 4.1 e já discretizada na Fig. 4.2.

ESCOLHA DAS SECÇÕES CRíTICAS Exemplo: Conforme se indica na Fig. 4.3 • a secção 12 foi considerada não‐crítica por a articulação impedir que se desenvolva aí um momento que atinja a capacidade plástica da secção (condição 2). • a secção 1 foi considerada não‐crítica por se saber ser aí nulo o momento flector (condição 3a). • a secção 10 foi considerada crítica por ser possível que o momento de encastramento atinja a capacidade plástica da peça (condição 3b). • a secção 7 foi considerada não‐crítica por ter uma capacidade plástica superior à da secção 6 e o mesmo momento • flector (condição 4a); o mesmo critério pode ser aplicado ao grupo de secções 8 e 9 sendo indiferente qual delas se adopta para critica por terem idêntica capacidade plástica. • as secções 2 e 3 foram consideradas criticas por não se saber à priori em qual delas vai ocorrer o maior momento (condição 4b); • as secções, 4, 5 e 11 foram consideradas críticas por não se conhecer o valor relativo dos momentos que ai se podem desenvolver (condição 5).

TIPOS DE MECANISMO DE COLAPSO Seja α o grau de indeterminação estático da estrutura, e c o número de secções críticas (e portanto também de deformações independentes), tal que: represente o grau de indeterminação cinemática da estrutura quando com o comportamento ríqido‐plástico. Denomina‐se mecanismo elementar qualquer mecanismo com 1 grau de liberdade, isto é, um mecanismo cujo movimento pode ser descrito por apenas 1 parâmetro; se o mecanismo tem n graus de liberdade é denominado mecanismo múltiplo de grau n. Um mecanismo elementar diz‐se ser global se envolve a plastificação de α+ 1 secções críticas; um mecanismo elementar diz‐se ser parcial se envolve a activação de, no máximo, α rótulas plásticas. Denomina‐se base de mecanismos elementares a qualquer conjunto de β mecanismos elementares (completos ou parciais) linearmente independentes; por combinação linear destes mecanismos pode‐se obter todos os mecanismos de colapso possíveis para a estrutura.

ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA INCREMENTAL •ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA INCREMENTAL

EXEMPLO:

PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS


EXEMPLO:



EXEMPLO:



EXEMPLO:




EXEMPLO: Configuração final de esforços quando se atinge o momento plástico na 1ª rótula.



EXEMPLO: Configuração final de esforços quando se atinge o momento plástico na 2ª rótula.



EXEMPLO: Configuração final de esforços antes quando se atinge o momento plástico na 3ª rótula.



EXEMPLO: Configuração final no momento em que se atinge a abertura da 4 rótula (qualquer acréscimo de carga ⇒ colapso neste caso completo r=α+1=4)



EXEMPLO: Mecanismo de colapso da estrutura após a abertura da 4 rótula (qualquer acréscimo de carga ⇒ colapso neste caso completo r=α+1=4)

TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS •EQUAÇÃO DO

TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Seja

X s = B ⋅ p + b0 ⋅ λ S

uma distribuição de esforços que equilibra a solicitação λ

s

Para que a distribuição de deformações uk correspondente aos esforços Xs (mas não necessariamente por eles causados) seja compatível tem de satisfazer a condição

v = 0 = ΒT ⋅ uk As deformações uk introduzem na estrutura deslocamentos δ dados por δ k

= bT 0 ⋅ uk

correspondentes à solicitação λ (mas não necessariamente por ela causados). s

Executando o produto interno da relação de equilíbrio por uk

X T S ⋅ uk = (B ⋅ p + b 0 ⋅ λ S ) ⋅ u k = (pT ⋅ BT + λ T S ⋅ bT 0 )⋅ u k = pT ⋅ (BT ⋅ uk ) + λ T S ⋅ (bT 0 ⋅ uk ) T

ou, segundo (2) e (3)

esforços internas equilibrados com forças externas

X S ⋅ u k = λ S ⋅ δ k T

T

deformações internas compatíveis com deslocamentos externos

TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS •EQUAÇÃO DO

TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS esforços internas equilibrados com forças externas

X T S ⋅ u k = λ T S ⋅ δ k deformações internas compatíveis com deslocamentos externos

O produto interno do termo no lado esquerdo da equação do teorema dos trabalhos virtuais representa a energia interna virtual de dissipação D, o termo no lado direito a energia de dissipação externa W. Ou seja:

D = W

D = X S ⋅ u k T

∧ W = λ T S ⋅ δk

A equação do teorema dos trabalhos virtuais podem dar‐se duas interpretações: • Teorema dos

Deslocamentos Virtuais: Dada uma estrutura sujeita a um carregamento real λ em equilbrio com os esforços reais Xs, quando nela se introduzem deslocamentos e deformações virtuais compatíveis uk e δk , o trabalho realizado pelas forças exteriores compensa a energia de deformação entretanto dissipada. s

• Teorema das Forças

Virtuais: Dada uma estrutura com uma deformação real uk associada a deslocamentos δk quando nela se aplicam as forças virtuais λ , (correspondentes aos deslocamentos δk ) gera‐se nela uma distribuição de esforços equilibrados virtuais Xs que provoca uma dissipação de energia de deformação interna que compensa o trabalho realizados pelas forças exteriores. s

ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA •MECANISMOS CINEMÁTICAMENTE

ADMISSÍVEIS Considere‐se uma estrutura de hiperestaticidade α sujeita a um determinado carregamento; seja B e b0 as matrizes que estabelecem as condições de equilíbrio entre as forças hiperstáticas p e o carregamento λ, respectivamente, e os momentos flectores nas secções criticas da estrutura; ⎡− 100 ⎤ ⎡ ⋅ 1 1⎤

⎢ − 40 ⎥ ⎢1 1 ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b0 = ⎢ ⋅ ⎥ B = ⎢ 1 ⋅ ⋅ ⎥ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢− 1 1 ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ ⎢⎣ ⋅ 1 − 1⎥⎦

Se a estrutura for de material rígido‐plástico, as únicas deformações que nela surgem são as rotações desenvolvidas nas rótulas plásticas criadas ao formar‐se um mecanismo. Independentemente do carregamento que actue sobre a estrutura, qualquer distribuição de rotações plásticas up T que satisfaça as condições de compatibilidade;

0 = Β ⋅ u p

diz‐se ser cinematicamente admissivel , ou definir um mecanismo cinematicamente admissivel .

ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA •DETERMINAÇÃO DE

MECANISMOS CINEMATICAMENTE ADMISSíVEIS A determinação das rotações que se desenvolvem num mecanismo cinematicamente admissível pode ser realizada por inspecção do mecanismo ou recorrendo à condição de com compatibilidade Neste último caso os passos a seguir são os sequintes, 1. Discretizar e orientar a estrutura. 2. Seleccionar as secções críticas e numerá‐las. 3. Determinar a matriz B (cuja coluna i representa os momentos flectores nas secções críticas provocadas pela força hiperstática pi aplicada no sistema base mais apropriado). 4.

Para um mecanismo que envolva r rótulas plásticas as rotações são: a.

nulas: uip = 0 se na secção crítica i não existe uma rótula plástica formada

b.

não nulas: uip = θ j se na secção crítica i existe a rótula plástica j formada (1 < j < r )

5. Introduzir u p os valores encontrados em 4 e executar resolver o sistema de equações de compatibilidade BT∙u p= 0; se o mecanismo tiver g graus obtém‐se assim r ‐ g equações a relacionar as r rotações θ j.

ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA •DETERMINAÇÃO DA ENERGIA INTERNA DISSIPADA

A dissipação interna de energia é dada por

D=

E DO TRABALHO EXTERNO REALIZADO POR UM MECANISMO c

∑= X ⋅ u i

= XT ⋅ u p

ip

i 1

em que c representa o número de rótulas plásticas A condição de paridade permite determinar o momento flector nas secções plastificadas; de facto

> 0 ⇒ X i = + X i + uip < 0 ⇒ X i = ‐ X i uip = 0 ⇒ X i = ? uip

‐

A indeterminação dos momentos nas secções onde não existem rótulas plásticas é irrelevante para o cálculo de energia interna dissipada por virem sempre multiplicadas por rotações nulas. O trabalho realizado pelas forças exteriores aplicadas a estrutura é, por definição, W =

f

∑= λ ⋅δ = λ i

i

T

⋅δ

i 1

onde δi representa o deslocamento sofrido pela carga λi para o mecanismo em análise, f representa o número de forças. Quando as cargas são paramétricas, como sempre sucede na análise plástica, é mais fácil calcular o trabalho externo a partir de T W = λ ⋅ W onde

W = bT 0 ⋅ u p


MECANISMOS CINEMATICAMENTE ADMISSíVEIS Como exemplos de aplicação. considerem ‐se os seguintes casos relativos à estrutura representada anterior: 10kN∙λ 15kN∙

Mecanismo K1: rótulas nas secções 1, 2, 4 e 5

ou u

T p

= θ ⋅ [− 1

1

⎡θ 1 ⎤ ⎢θ ⎥ ⎢ 2⎥ u p = ⎢ ⋅ ⎥ ⎢θ ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢⎣θ 4 ⎥⎦ 0 1 − 1]

θ2

θ3 4m

⎡ θ 2 − θ 3 ⎤ ⎡0 ⎤ T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Β ⋅ up = θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 = 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ θ 1 − θ 4 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦

4m

θ4

θ1

4θ

4θ

-θ

-θ

com θ como gdl

⎡− θ ⎤ ⎢ θ ⎥ a energia interna dissipada ⎢ ⎥ 4 T D = ∑ X i ⋅ uip = X ⋅ u p ⇒ D = [− X * X * ? X * − X * ] ⎢ ⋅ ⎥ ⇒ D = 4θ ⋅ X * i =1 ⎢ θ ⎥ ⎡− θ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ θ ⎥ ⎢⎣− θ ⎥⎦ ⎢ ⎥ o trabalho realizado por forças externas W = λ ⋅ b 0T ⋅ u p ⇒ W = λ [− 100 − 40 ⋅ ⋅ ⋅] ⎢ ⋅ ⎥ ⇒ W = 60θ ⋅ λ (kNm) ⎢ θ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎡ ⎤ ⎢⎣− θ ⎥⎦ ou W = λ T ⋅ δ ⇒ W = λ [10 15] ⎢ ⎥ ⇒ W = 60θ ⋅ λ (kNm) ⎣4θ ⎦ θ

Aplicando o PTV W = D ⇒ 60θ ⋅ λ K

= 4θ ⋅ X ⇒ λ K = 2

−1

30 ⋅ X (kNm)

para X =25kNm ter‐se‐á λ K

θ

=5

3


MECANISMOS CINEMATICAMENTE ADMISSíVEIS Como exemplos de aplicação. considerem ‐se os seguintes casos relativos à estrutura representada anterior: 10kN∙λ

15kN∙λ

Mecanismo K2: rótulas nas secções 2, 3 e 4

ou u pT

= θ ⋅ [0 − 1

⎡⋅⎤ ⎢θ ⎥ ⎢ 1⎥ u p = ⎢θ 2 ⎥ ⎢θ ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ 2 1 0]

θ1

θ2

θ3

4m

4m

⎡θ 1 + θ 2 − θ 3 ⎤ ⎡0 ⎤ T ⎢ θ + θ ⎥ = ⎢0 ⎥ Β ⋅ up = ⎢ 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ 0 com θ como gdl

2θ

⎡ ⋅ ⎤ ⎢− θ ⎥ a energia interna dissipada ⎢ ⎥ 3 T D = ∑ X i ⋅ uip = X ⋅ u p ⇒ D = [? − X * X * X * ?] ⎢ 2θ ⎥ ⇒ D = 4θ ⋅ X * i =1 ⎢ θ ⎥ ⎡ ⋅ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢− θ ⎥ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ ⎢ ⎥ o trabalho realizado por forças externas W = λ ⋅ b 0T ⋅ u p ⇒ W = λ [− 100 − 40 ⋅ ⋅ ⋅] ⎢ 4θ ⎥ ⇒ W = 40θ ⋅ λ (kNm) ⎢ θ ⎥ ⎢ ⎥ θ 4 ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ ou W = λ T ⋅ δ ⇒ W = λ [10 15] ⎢ ⎥ ⇒ W = 40θ ⋅ λ (kNm) ⎣0⎦ -θ

Aplicando o PTV W = D ⇒ 40θ ⋅ λ K = 4θ ⋅ X

⇒ λ K = 1 10 ⋅ X (kNm)−1 para X =25kNm ter‐se‐á

θ

K

λ

=25


MECANISMOS CINEMATICAMENTE ADMISSíVEIS Como exemplos de aplicação. considerem ‐se os seguintes casos relativos à estrutura representada anterior: 10kN∙λ


ou u

T p

= θ ⋅ [− 1

0

θ2

⎡θ 1 ⎤ ⎢⋅⎥ ⎡ θ 2 − θ 3 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u p = ⎢θ 2 ⎥ Β ⋅ up = θ 1 + θ 3 + θ 4 = 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢θ ⎥ ⎢⎣ θ 1 − θ 4 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢ 3⎥ ⎢⎣θ 4 ⎥⎦ 2 2 − 1] com θ como gdl ⎡− θ ⎤

4m

θ3

15kN∙

4m

θ1

θ4

4θ

4θ

-θ

-θ

2θ

⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ 4 T D = ∑ X i ⋅ uip = X ⋅ u p ⇒ D = [− X * ? X * X * − X * ] ⎢ 2θ ⎥ ⇒ D = 6θ ⋅ X * i =1 ⎢ 2θ ⎥ ⎡− θ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢⎣− θ ⎥⎦ ⎢ ⎥ o trabalho realizado por forças externas W = λ ⋅ b 0T ⋅ u p ⇒ W = λ [− 100 − 40 ⋅ ⋅ ⋅] ⎢ 2θ ⎥ ⇒ W = 100θ ⋅ λ (kNm) ⎢ 2θ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡4θ ⎤ T ⎢⎣− θ ⎥⎦ ou W = λ ⋅ δ ⇒ W = λ [10 15] ⎢ ⎥ ⇒ W = 100θ ⋅ λ (kNm) ⎣4θ ⎦ a energia interna dissipada

2θ

Aplicando o PTV W = D ⇒ 100θ ⋅ λ K = 6θ ⋅ X

⇒ λ K = 6

−1

100 ⋅ X (kNm )

para X =25kNm ter‐se‐á λ K

=15

ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA •DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE

ESFORÇOS ASSOCIADOS A UM MECANISMO A determinação do diagrama de momentos flectores associados a um mecanismo cinematicamente admissível com um parâmetro de carga λk pode ser feita da seguinte maneira: 1.

Determinar os momentos nas secções onde se formaram rótulas plásticas recorrendo à condição de paridade.

2.

Introduzir os valores assim determinados no vector dos esforços nas secções críticas X .

3.

Determinar as forças hiperestáticas que equilibram o carregamento para o parâmetro de carga λk e para os esforços definidos nas secções plastificadas recorrendo à condição de equilíbrio; X s

4.

= B ⋅ p + b 0 ⋅ λ k

Determinar, utilizando a mesma equação, os momentos nas secções críticas não plastificadas.

Para os mecanismos em análise tem‐se: Mecanismo K1: rótulas nas secções 1, 2, 4 e 5

⎡− 25⎤ ⎡ ⋅ 1 1 ⎤ ⎡− 100⎤ ⎢ 25 ⎥ ⎢ 1 1 ⋅ ⎥ ⎡ p ⎤ ⎢ − 40 ⎥ ⎡ p1 ⎤ ⎡100 kNm⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ 5 1 ⎢ p ⎥ = ⎢ 175 kN ⎥ ∧ X s = B ⋅ p + b 0 ⋅ λ k ⇒ ⎢ X 3 ⎥ = ⎢ 1 ⋅ ⋅ ⎥ ⋅ p2 + ⎢ ⋅ ⎥ ⋅ ⇒ ⎢ 2⎥ 3⎢ ⎥ ⎢ 25 ⎥ ⎢− 1 1 ⋅ ⎥ ⎢⎢ p ⎥⎥ ⎢ ⋅ ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ p3 ⎦ ⎣ 250 kN ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 25⎥⎦ ⎢⎣ ⋅ 1 − 1⎥⎦ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

1

X 3

=

100 3

kNm > 25 kNm

O diagrama de esforços, representado equilibra as cargas aplicadas mas não satisfaz a condição de cedência dado que o momento na secção 3 excede a capacidade plástica dessa secção.

ADMISSIBILIDADE CINEMÁTICA •DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE

ESFORÇOS ASSOCIADOS A UM MECANISMO


⎡ X 21 ⎤ ⎡ ⋅ 1 1 ⎤ ⎡− 100⎤ ⎢− 25⎥ ⎢ 1 1 ⋅ ⎥ ⎡ p ⎤ ⎢ − 40 ⎥ ⎡ p1 ⎤ ⎡25 kNm⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ 5 X s = B ⋅ p + b 0 ⋅ λ k ⇒ ⎢ 25 ⎥ = ⎢ 1 ⋅ ⋅ ⎥ ⋅ p2 + ⎢ ⋅ ⎥ ⋅ ⇒ ⎢⎢ p2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 50 kN ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ ⋅ ⎥ 2 ⎢⎣ p3 ⎥⎦ ⎢⎣ ? ⎥⎦ ⋅ 1 1 − 25 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ X 25 ⎥⎦ ⎢⎣ ⋅ 1 − 1⎥⎦ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ a distribuição de esforços é indeterminada por se tratar de um mecanismo parcial; existem α+1=4 incógnitas, p e λ , conhecem‐se apenas os esforços em três secções. Qualquer distribuição de esforços que satisfaça o sistema

⎧ X 21 = −200 + p3 1 5 ou a condição equivalente X 2 + X 2 = −175 kNm ⎨ 5 ⎩ X 2 = 25 − p3 equilibra o carregamento; a condição acima mostra que a condição de cedência é sempre violada pois:

( X ) = −25 kNm ∧ ( X ) = −25 kNm 1

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Introdução à Análise Plástica de Estruturas PARTE 1

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