RICARDO GASPAR
ESTRUTURAS METÁLICAS
São Paulo 2008
SUMÁRIO
1. AÇO ESTRUTURAL................................................................. ESTRUTURAL ................................................................................................................ ............................................... 1 1.1. Estruturas metálicas..................................................................... metálicas ............................................................................................................. ........................................ 1 1.1.1. Vantagens............................................................................ Vantagens ......................................................................................................................... ............................................. 1 1.1.2. Desvantagens ................................................................................................................... ................................................................................................................... 2 1.1.3. Normas ........................................................................ ............................................................................................................................. ..................................................... 2 1.1.4. Aplicações......................................................................................................................... Aplicações...................................................................................... ................................... 3 1.2. Formas usuais de metais ferrosos ........................................................ ....................................................................................... ............................... 3 1.2.1. Etapas de fabricação do aço................................................................. aço ............................................................................................ ........................... 3 1.3. Tipos de aços estruturais...................................................................................................... 4 1.3.1. Aço carbono ...................................................................................................... ..................................................................................................................... ............... 4 1.3.2. Aços de baixa liga e alta resistência................................................................ resistência ................................................................................ ................ 5 1.3.3. Nomenclatura da ABNT ................................................................. .................................................................................................. ................................. 5 1.3.4. Espessura mínima para peças estruturais....................................................................... 5 1.3.5. Propriedades dos aços estruturais ................................................................ ................................................................................... ................... 6 1.4. Tensões e deformações ............................................................. ......................................................................................................... ............................................ 6 1.5. Ensaios.................................................................................................... Ensaios.................................................................................................................................. .............................. 7 1.5.1. Ensaios de tração ................................................................ ............................................................................................................. ............................................. 8 1.5.2. Diagrama tensão - deformação .................................................................. ....................................................................................... ..................... 8 1.6. Lei de Hooke....................................................................................................................... Hooke....................................................................................................................... 11 1.6.1. Ensaios de compressão ......................................................... .................................................................................................. ......................................... 12 1.6.2. Coeficiente de Poisson ................................................................. ................................................................................................... .................................. 12 1.6.3. Forma geral da Lei de Hooke........................................................................................ 13 2. PRODUTOS SIDERÚRGICOS ................................................................. ............................................................................................. ............................ 16 16 2.1. Perfis laminados ......................................................................... ................................................................................................................. ........................................ 16 2.2. Perfis Soldados ............................................................ ................................................................................................................... ....................................................... 18 2.3. Perfis conformados a frio ou de chapas dobradas............................................................ dobradas ............................................................ 19 2.4. Tubos ....................................................................... .................................................................................................................................. ........................................................... 20 2.5. Tabelas de perfis............................................................... perfis ................................................................................................................. .................................................. 20 2.6. Principais tipos de concepções estruturais .................................................................... ........................................................................ .... 22 2.6.1. Treliças isostáticas ................................................................ ......................................................................................................... ......................................... 22 2.6.2. Tesouras isostáticas i sostáticas ....................................................................................................... ....................................................................................................... 23 3. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO ........................................................ ............................................................................ .................... 24 3.1. Método das tensões admissíveis .............................................................. ......................................................................................... ........................... 24 24 3.2. Método dos Estados Limites............................................................................................... 25 3.2.1. Carregamentos............................................................................................................... 27 3.2.2. Coeficientes de majoração das ações ............................................................................ 27 4. PEÇAS TRACIONADAS ............................................................... ....................................................................................................... ........................................ 30 4.1. Dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) ......................................................... 30 4.1.1. Peças tracionadas com furos ......................................................... ......................................................................................... ................................ 30 4.1.2. Peças com extremidades rosqueadas............................................................................. 31 4.1.3. Peças ligadas por pinos.................................................................................................. 31 4.1.4. Limitação de esbeltez das peças tracionadas ................................................................ ................................................................ 31 4.1.5. Diâmetro dos furos......................................................................................................... 32 4.1.6. Exemplos .................................................................... ........................................................................................................................ .................................................... 35 5. TRELIÇAS.............................................................................................................................. TRELIÇAS.............................................................................................................................. 40 Definição.......................................................................................................................................... Definição................................................................................. ......................................................... 40 Apoios .............................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................ 41 41 Método do equilíbrio dos nós ................................................................ .......................................................................................................... .......................................... 42 Dimensionamento............................................................................................................................ Dimensionamento............................................................................................................................ 49
6. LIGAÇÕES .................................................................... ............................................................................................................................. ......................................................... 50 6.1. Ligações com conectores.................................................................................................... 50 6.1.1. Rebites ....................................................................................................... ............................................................................................................................ ..................... 50 6.1.2. Parafusos........................................................................................................................ 50 6.2. Espaçamento entre conectores........................................................................................... 52 6.3. Dimensionamento............................................................................................................... Dimensionamento............................................................................................................... 53 6.3.1. Dimensionamento ao corte ................................................................... ............................................................................................ ......................... 54 6.3.2. Dimensionamento ao esmagamento da chapa (pressão de apoio)............................... 54 6.3.3. Dimensionamento ao rasgamento da chapa ................................................................. 55 6.3.4. Dimensionamento à tração da chapa................................................................ chapa ............................................................................ ............ 55 6.3.5. Ruptura por cisalhamento de bloco............................................................................... bloco............................................................................... 56 6.3.6. Combinação de conectores ................................................................... ............................................................................................ ......................... 56 6.3.7. Dimensionamento à tração e a corte simultâneos – fórmulas de interação ................ 57 6.3.8. Resistência ao deslizamento em ligações por atrito ..................................................... ....................................................... 57 6.4. Ligações soldadas.................................................................. soldadas ............................................................................................................... ............................................. 63 6.4.1. Tipos, qualidade e simbologia de soldas ....................................................................... 63 63 6.4.2. Elementos construtivos para projeto .............................................................. ............................................................................. ............... 65 6.4.3. Resistência das soldas .............................................................................. .................................................................................................... ...................... 67 7. PEÇAS COMPRIMIDAS........................................................................... COMPRIMIDAS ....................................................................................................... ............................ 69 7.1. Introdução ...................................................................... .......................................................................................................................... .................................................... 69 7.1.1. Flambagem elástica ................................................................... ....................................................................................................... .................................... 70 7.1.2. Flambagem inelástica ................................................................ .................................................................................................... .................................... 73 7.2. Dimensionamento............................................................................................................... Dimensionamento............................................................................................................... 77 7.3. Flambagem local .................................................................... ................................................................................................................ ............................................ 80 7.3.1. Parâmetros de flambagem local ....................................................... .................................................................................... ............................. 81 81 8. PEÇAS FLETIDAS...................................................................... FLETIDAS ................................................................................................................ .......................................... 88 8.1. Introdução ...................................................................... .......................................................................................................................... .................................................... 88 8.2. Dimensionamento à flexão ................................................................................................ ................................................................................................ 89 8.2.1. Momento de início de plastificação e momento de plastificação ................................. 89 8.2.2. Resistência à flexão de vigas com contenção lateral .................................................... 90 8.2.3. Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua ..................................... 96 8.3. Dimensionamento da alma das vigas .............................................................................. .............................................................................. 103 103 8.3.1. Conceitos ...................................................................... ...................................................................................................................... ................................................ 103 8.3.2. Tensão de cisalhamento............................................................................................... 103 8.3.3. Vigas I com um ou dois eixos de simetria sem enrijecedores..................................... 104 APÊNDICE ....................................................................................... ................................................................................................................................... ............................................ 108 BIBLIOGRAFIA ................................................................. ........................................................................................................................... .......................................................... 111
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
1
ESTRUTURAS METÁLICAS1 1. AÇO ESTRUTURAL O aço é uma liga li ga formada basicamente dos elementos ferro (Fe) e carbono (C), com teor máximo de 1,7%. Outros elementos químicos são adicionados para modificar as características mecânicas do aço, de acordo com sua utilização. Estas adições também são feitas em baixas porcentagens, por exemplo: manganês 1,65%, cobre 0,60%, etc. Na natureza, o elemento ferro é encontrado na hematita, minério de ferro em abundância no Brasil. O carbono acha-se na composição do carvão mineral. A fabricação do aço é iniciada num forno especial, chamado “alto forno”, onde o minério de ferro e o carvão mineral são levados a temperaturas bem elevadas (1500ºC). Aí, inicia-se o processo de fabricação que dará origem ao aço, naturalmente, após uma seqüência de operações siderúrgicas. A primeira usina siderúrgica de porte construída no Brasil, foi a Companhia Siderúrgica Nacional (CSN), situada na cidade de Volta Redonda, inaugurada em 1946. Até então, a produção de aço do país era insignificante. Nossas construções em Estruturas Metálicas dependiam quase que totalmente, da importação de perfis. As poucas obras metálicas existentes na época podiam ser resumidas em pontes ferroviárias, feitas pelos ingleses, coberturas de pequeno porte e construções especiais, pouco freqüentes, como o viaduto Santa Efigênia em São Paulo. A CSN foi construída com assistência técnica da “United States Steel”, na época da Segunda Guerra Mundial. O programa da empresa visava à fabricação de diversos produtos siderúrgicos, em especial, os perfis metálicos. Assim, foi introduzido no Brasil o “padrão americano” de perfis. Isto acarretou a adoção de normas normas de fabricação de aço de origem americana, unidades inglesas para as dimensões dos perfis, etc. As principais Usinas Siderúrgicas brasileiras são a CSN, Cosipa, Usiminas, BelgoMineira, Cofavi (Companhia Ferro e Aço Vitória), Açominas, etc. A produção das siderúrgicas visa atender toda a demanda nacional nas diferentes áreas de consumo. Assim, algumas siderúrgicas atendem por exemplo, a indústria naval, a indústria automobilística, outras atendem a construção civil, etc.
1.1. Estruturas metálicas 1.1.1. Vantagens
• construção estruturas com boa precisão, possibilitando alto controle de qualidade; • garantia de dimensões de propriedades dos materiais; 1
Este trabalho é uma compilação de vários textos sobre Estruturas Metálicas de autores consagrados, indicados na Bibliografia, feito unicamente para Notas de Aulas, com finalidade didática.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
• • • •
Ricardo Gaspar
2
material resistente a choques e vibrações; possibilidade de execução execução de obras obras mais rápidas e limpas; possibilidade de desmontagens desmontagens e de reaproveitamento reaproveitamento das peças estruturais; alta resistência, o que implica em estruturas mais leves, vencendo grandes vãos.
1.1.2. Desvantagens
• • • • •
limitação da fabricação das peças em fábricas; f ábricas; limitação do comprimento das peças devido aos meios de transportes; necessidade de tratamento anticorrosivo; necessidade de mão de obra e equipamentos especializados; limitação de dimensões dos perfis estruturais.
Um valor econômico para vigas em concreto armado é 6m, ou 1/10 do vão. Para estruturas metálicas o vão econômico é de 13m a 25m ou aproximadamente 1/20 do vão. O valor de um projeto de estruturas metálicas é geralmente cobrado 10% do custo do peso da estrutura.
1.1.3. Normas As Normas que tratam de estruturas metálicas são as seguintes: ABNT – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios: método dos estados limites – NBR-8800 (NB14). Rio de de Janeiro, ABNT, 1986. ASTM – American Society for Testing and Materials: especificações para fabricação do aço, acabamento dos perfis, etc. AISC – American Institute of Steel Construction: especificações para projetos de prédios industriais ou residenciais em estruturas metálicas. AASHO – American Association of State Highway Offcials: especificações para projeto de pontes rodoviárias metálicas. Além das normas de aço, outras normas devem ser consultadas para a elaboração de projetos em estruturas metálicas: metálicas: NBR 6123 (NB599) Forças devidas ao vento em edificações, edificações, 1988. 1988. NBR 6120 (NB5)
Cargas para o cálculo cálculo de estruturas estruturas de edificações, edificações, 1980.
NBR 9763 (EB1742) Aços para perfis laminados, chapas grossas e barras, usados em estruturas fixas, 1987 NBR 7188 (NB6). Carga móvel em ponte rodoviária e passarela passarela de pedestre, pedestre, 1984. NBR 7189 (NB7).
Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias, 1989. 1989.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
3
Ricardo Gaspar
1.1.4. Aplicações As aplicações do aço em Engenharia Civil são muitas como: telhados; pontes e viadutos; postes; edifícios comerciais; pontes rolantes; passarelas; edifícios industriais; residências;
reservatórios; torres;
indústria naval; escadas;
hangares;
guindastes;
mezaninos.
1.2. Formas usuais de metais ferrosos As formas usuais de metais ferrosos são: ferro fundido, aço e ferro laminado, os quais são produzidos em três etapas de fabricação.
1.2.1. Etapas de fabricação do aço O processo industrial de obtenção do aço compreende o aproveitamento do ferro contido no minério de ferro e pela eliminação progressiva de impurezas. Na forma líquida, já isento das impurezas do minério, recebe adições adições que lhe dão as características características desejadas, sendo solidificado e preparado para a forma requerida. O processo de fabricação do aço pode ser definido em em três etapas:
• 1a. fase: produção do ferro gusa (alto forno): o minério de ferro (hematita) é submetido a um forno de alta temperatura, cerca de 1500 ºC, juntamente com carvão mineral, resultando um produto denominado ferro gusa, também conhecido como ferro fundido. O ferro gusa não tem aplicação em estruturas metálicas por apresentar grande porcentagem de carbono, sendo por isto, quebradiço. As características do ferro fundido são as seguintes: teor de carbono: 3% a 4,5%; ferro: 96%, mais impurezas;
• 2a. fase: aciaria : o aço é obtido pela diminuição dos teores de carbono, silício e enxofre (refino), em equipamentos apropriados. O ferro gusa é depositado em fornos que os transforma em lingotes, além de reduzir seu teor de carbono, conforme as especificações. As características aço produzido são: teor de carbono: aproximadamente aproximadamente < 0,7% a 1,7% (pode (pode variar de 0% a 1,7%); 1,7%);
• 3a. fase: laminação : fabricação dos perfis em laminadores padronizados (rolled beam) em medidas americanas e européias. Depois da fase de aciaria (refino do ferro gusa) passa-se à produção de lingotes contínuos, na qual se inicia a solidificação do aço no molde, que é retirado continuamente por rolos extratores. O teor de carbono para os aços laminados é < 0,2%. Na laminação, os lingotes são pré-aquecidos e deformados deformados pela passagem passagem sobre pressão pressão em laminadores laminadores cilindros, reduzindo sua espessura até a medida desejada para comercialização. As chapas sofrem também redução de espessura por laminação. O carbono aumenta a resistência do aço porém, o torna mais duro e quebradiço. Contudo, o aumento do teor de carbono produz redução na ductilidade do aço, o que acarreta problemas com solda.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
4
Os aços carbonos podem ser soldados sem precauções especiais, somente até o teor de carbono de 0,30%. Os aços de baixa liga são aços carbonos acrescidos de elementos de liga (cromo, colúmbio, cobre, manganês, molibdênio, níquel, fósforo, vanádio, zircônio), os quais melhoram algumas de suas propriedades mecânicas. As ligas aumentam a resistência do aço devido à modificação da micro-estrutura dos grãos finos. É possível atingir resistência elevada com 0,20% de carbono e permitir soldagens sem precauções.
1.3. Tipos de aços estruturais Os aços estruturais para Construção Civil são basicamente: aço carbono e aço de baixa liga.
1.3.1. Aço carbono É o aço mais indicado para estruturas metálicas, pois é fácil de ser encontrado em todas as bitolas. Como exemplo de aço carbono fabricado no Brasil, o ASTM A-36 ou simplesmente A-36. Numa terminologia menos técnica pode-se interpretar o aço A-36 como aço comum. Os aços carbono apresentam taxas que variam aproximadamente de 0,15% a 1,7% de carbono. Tabela 1.1 Tipos de aço carbono A36 (ASTM)
Usado em perfis, chapas e barras para a construção de edifícios, pontes e estruturas pesadas C = 0,25% a 0,29% f y = 36 ksi ≈ 250 MPa f u = 400 a 550 MPa
A307 (ASTM)
Aço de baixo teor de carbono para fabricação de parafusos comuns (C < 0,15%) f u = 415 MPa
A325 (ASTM)
Aço de médio teor de carbono para fabricação de parafusos de alta resistência (0,30% < C < 0,59%) f y = 550 MPa f u = 750 MPa
Empregado para perfis de chapas dobradas devido a sua maleabilidade A570 Grau 33: f y = 230 MPa f u = 360 MPa (ASTM) Grau 40: f y = 280 MPa f u = 380 MPa Grau 45: f y = 310 MPa f u = 410 MPa 2 1 ksi = 70,3 kgf/cm . (kilo-libra por polegada quadrada)
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
5
Ricardo Gaspar
Em função do teor de carbono, os aços distinguem-se em quatro categorias:
• • • •
baixo carbono
C < 0,15%
moderado
0,15% < C < 0,29%
médio carbono
0,30% < C < 0,59%
alto carbono
0,60% < C < 1,70%
1.3.2. Aços de baixa liga e alta resistência São aços de resistência mecânica mais elevadas, possibilitando, assim, redução do peso próprio da estrutura. Devem ser utilizados em obras especiais tais como viadutos ou estruturas de grandes vãos, onde a redução do peso é importante. Evidentemente, são perfis de custo mais elevado que os comuns. Exemplo de aço de alta resistência: ASTM A-242, fabricado pela CSN, sob o nome comercial de aço COR-TEN. Este tipo de aço tem também elevada resistência à oxidação, não necessitando qualquer pintura de proteção. O aço de alta resistência, do tipo CORTEN (ou similar) possui tensão de escoamento de 350 MPa. Tabela 1.2 Aços de baixa liga e alta resistência mecânica e à corrosão.
A242 (ASTM)
f y = 290 MPa a 350 MPa Perfis: Grupo 1 e 2: f y = 345 MPa Grupo 3 f y = 315 MPa Chapas e barras: t ≤ 19 : f y = 345 MPa 19 < t ≤ 38 : f y = 315 MPa 38 < t ≤ 100 : f y = 290 MPa t = = espessura
f u = 480 MPa f u = 460 MPa f u = 480 MPa f u = 460 MPa f u = 435 MPa
1.3.3. Nomenclatura da ABNT A ABNT prescreve a seguinte nomenclatura para os aços estruturais: MR 250 f y = 250 MPa AR 290 f y = 290 MPa AR 345 f y = 345 MPa Módulo de Elasticidade: E = 205 GPa E=205000 MPa
f u = 400 MPa f u = 415 MPa f u = 485 MPa 20500 kN/cm 2.
1.3.4. Espessura mínima para peças estruturais A espessura mínima das peças metálicas está ligada à sua proteção contra a corrosão. • sem necessidade de proteção contra corrosão: 3mm • com necessidade de proteção contra corrosão: 5mm
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
6
Ricardo Gaspar
1.3.5. Propriedades dos aços estruturais
• Ductilidade: é a capacidade do material de se deformar sob a ação de cargas sem se romper. Quanto mais dúctil o aço, maior será a redução de área ou o alongamento antes da ruptura. A ductilidade tem grande importância nas estruturas metálicas, pois permite a redistribuição de tensões locais elevadas. As barras de aço sofrem grandes deformações antes de se romper, o que na prática constitui um aviso da presença de tensões elevadas;
• Fragilidade: é o oposto da ductilidade. Os aços podem ter características de elementos frágeis em baixas temperaturas;
• Resiliência: é a capacidade do material de absorver energia mecânica em regime elástico;
• Tenacidade: é a capacidade do material de absorver energia mecânica com deformações elásticas e plásticas;
• Dureza : é a resistência ao risco ou abrasão. A dureza pode ser medida pela resistência que sua superfície se opõe à introdução de uma peça de maior dureza;
• Resistência à Fadiga : é a capacidade do material suportar aplicações repetidas de carga ou tensões. É usualmente expressa como um limite de tensão que causa a falha sob condições de esforços repetidos. Esta tensão pode ocorrer em regime elástico.
1.4. Tensões e deformações Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção constante em todo o comprimento). Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P (forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a seu eixo. Removendo-se, por exemplo, a parte direita do corpo, os esforços internos na seção considerada ( m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.
P
P
m m L
δ
P σ
Figura 1.1 barra prismática submetida a esforços de tração
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
7
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, de intensidade i ntensidade P . Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, recebem o nome de tensão normal , sendo comumente designada pela letra grega σ (sigma). (sigma). Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal é obtida dividindo-se o valor da força P pela pela área da seção transversal, ou seja, σ =
P A
(1)
A tensão possui a mesma unidade de pressão que, no Sistema Internacional de Unidades, é o Pascal (Pa), o qual corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2, ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode ser expressa em quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in 2 ou psi), etc. Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura acima, a tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, tem-se tensão de compressão. A condição necessária para validar a equação (1) é que a tensão σ seja uniforme em toda a seção transversal da barra. O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representada pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte equação: ε =
δ L
(2)
onde: ε = = deformação específica δ = = alongamento ou encurtamento L = comprimento total da barra. Note-se que a deformação ε é é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o valor da deformação específica por 10 2 ou mesmo até por mil (‰) multiplicando-se por 103.
1.5. Ensaios Para se conhecer o comportamento estrutural do aço realizam-se ensaios em laboratório, utilizando-se corpos de prova normalizados, com o intuito de se obter as características mecânicas do material, tais como, módulo de elasticidade, tensão de ruptura, etc. Estas características mecânicas são utilizadas nos projetos estruturais.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
8
Ricardo Gaspar
1.5.1. Ensaios de tração Nos ensaios de tração do aço distinguem-se dois casos: aços que apresentam patamar de escoamento escoamento e os aços aços que não apresentam. apresentam. O ensaio de tração tem por objetivo o traçado da curva tensão-deformação e a obtenção das características mecânicas do material. Consiste em tracionar um corpo de prova em uma máquina de ensaio e registrar sucessivamente as tensões ( σ ) aplicadas e as correspondentes deformações unitárias ( ε ). ).
1.5.2. Diagrama tensão - deformação As relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ , correspondentes aos acréscimos de carga axial P , que se aplicam à barra, até a sua ruptura. Obtêm-se as tensões (σ ) dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas (ε ) dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo. Na Figura 1.2 ilustra-se o diagrama tensão-deformação típico do aço.
σ
D
f r
escoamento B
f e f p
σ =
P A
A
Deformação específica P
P
L
0
Tensão
E
C
δ ε r
εp região elástica
ε = =
ε
δ L
f r r = tensão de ruptura f e ou f y = tensão de escoamento f p = tensão limite de proporcionalidade
região plástica
Figura 1.2 Diagrama tensão-deformação do aço
Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às deformações; o material obedece a Lei de Hooke, mais à frente enunciada, e o diagrama é linear. 0 ponto A é chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a proporcionalidade. Nesta fase, as deformações desaparecem quando retiradas as cargas aplicadas. Portanto, não há deformação permanente nesta fase. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta O A , até que em B inicia-se o fenômeno do escoamento. Região plástica: é aquela situada após o ponto A até a ruptura. Nesta fase as deformações no material são permanentes.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
9
No ponto B inicia-se o escoamento, caracterizado por um aumento considerável da deformação com pequeno aumento da força de tração. A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações, antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, entre outros. O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D, denominado limite máximo de resistência. A partir do ponto C verifica-se outro fenômeno físico, chamado encruamento. O aumento de resistência das ligas metálicas ocorrida após o escoamento é chamado encruamento. A fase plástica caracteriza-se pelo endurecimento por deformação a frio, ou seja, pelo encruamento do material. Além deste ponto, maiores deformações são acompanhadas acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, fi nalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama. O limite de resistência corresponde ao valor máximo de tensão que o material pode suportar (ponto D). Depois de atingida esta carga máxima, inicia-se a fase de ruptura caracterizada pelo fenômeno da Estricção. A Estricção é uma diminuição acentuada da seção transversal do corpo de prova até a sua ruptura. No ponto E , verifica-se a ruptura da peça após a estricção, que teve início em D. Observa-se, também, queda no valor da tensão aparente entre D e E . Na Figura 1.3 são ilustrados diagramas tensão – deformação de vários tipos de aço, em escala real.
Figura 1.3 Diagramas tensão-deformação em escala real
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
10
Ricardo Gaspar
O limite de escoamento para o aço A-36 é f y= 250 MPa e o limite de proporcionalidade ou elasticidade (f p p) ocorre aproximadamente a 80% da tensão de escoamento, portanto, f p p = 200 MPa. O limite de elasticidade corresponde a uma deformação da ordem de 0,10% no corpo de prova, portanto, trabalhando-se na fase elástica as deformações sofridas são pequenas. O aumento de deformação no escoamento cresce aproximadamente de 1,5% a 2,0%. Apresenta-se a seguir uma tabela com os valores principais das tensões sofridas por um corpo de prova de aço A-36 de comprimento L= 20 cm, admitidas as deformações indicadas. O quadro abaixo não se prende a um ensaio específico, os seus números têm como objetivo fornecer somente uma ordem de grandeza desses valores. Tabela 1.3 Ensaio do aço A-36 Aço A-36 Limite de elasticidade Início do escoamento Fim do escoamento = início do encruamento Limite de resistência = tensão máxima Limite de ruptura = tensão de ruptura
Deformação Específica ( ) (%) 0,10 0,15 2,00 16 24
Tensão ( ) (MPa) 200 250 250 450 290
Deformação ( ) (cm) 0,02 0,03 0,4 3,2 4,8
Há outro tipo de aço que não apresenta patamar de escoamento. O aspecto da curva tensão-deformação para estes aços está indicado na Figura 1.4. Observa-se que a inclinação da reta referente à fase elástica dos aços é sempre a mesma porque o módulo de elasticidade apresenta valores idênticos para os diferentes tipos de aço.
σ
f r f e
f p
0
ε p= 0,2
ε r
ε (%)
Figura 1.4 Diagrama tensão-deformação de aços sem patamar de escoamento Nesta curva não existe um limite l imite ou tensão de escoamento definida claramente no gráfico. Entretanto, por analogia com os aços que apresentam patamar de escoamento, define-se um limite de escoamento convencional, como sendo aquela tensão que deixa uma deformação permanente de 0,2%, quando o corpo de prova é descarregado.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
11
1.6. Lei de Hooke Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o e lástico. Neste último caso, a deformação retorno não for total, o material é parcialmente elástico. que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação residual. A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE . Verifica-se que o trecho do diagrama da Figura 1.2, entre os pontos O e A é retilíneo, o que caracteriza a relação linear entre tensões e deformações. Daí, o conhecido enunciado da Lei de Hooke: “ Na fase elástica, as tensões são proporcionais às deformações ”, ou seja, σ = E ε
(3)
onde σ = = tensão normal E = = módulo de elasticidade do material ε = = deformação específica O Módulo de Elasticidade é o coeficiente angular da região linear do diagrama tensão-deformação, sendo diferente para cada material. O Módulo de Elasticidade representa fisicamente a força de ligação entre as moléculas do corpo em estudo. Mede a deformabilidade do material; quanto maior for o seu valor, menor será a deformação sofrida. O valor do módulo de elasticidade é constante para cada metal ou liga metálica. É uma característica física do material. A Lei de Hooke é válida somente para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois somá-los. Alguns valores de Módulo de Elasticidade ( E ) são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, o valor do Módulo de Elasticidade, sob compressão ou sob tração, são iguais. Tabela 1.4 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais Material Aço Alumínio Bronze Cobre Ferro fundido Madeira
Peso específico (kN/m3) 78,5 26,9 83,2 88,8 77,7 0,6 a 1,2
Módulo de Elasticidade (GPa) 200 a 210 70 a 80 98 120 100 8 a 12
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
12
Ricardo Gaspar
Deformações elásticas Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: δ =
PL
(4)
EA
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra.
1.6.1. Ensaios de compressão Na determinação das características mecânicas mecânicas dos aços estruturais, não é freqüente o emprego do ensaio de compressão, dando-se preferência ao ensaio de tração. Existem dificuldades neste tipo de ensaio, como a possibilidade de flambagem do corpo de prova e outros problemas práticos ligados li gados especificamente ao ensaio. Os ensaios de compressão são realizados quase sempre no campo da pesquisa, visando comparar seus resultados com os ensaios de tração. Quando se ensaia à compressão obtém-se também a curva tensão-deformação, os limites de proporcionalidade e de escoamento, módulos de elasticidade, etc. Os valores encontrados para estas propriedades são aproximadamente iguais aos obtidos num ensaio de tração. Nos estudos teóricos e cálculos, admitem-se que as propriedades mecânicas citadas são as mesmas, quando o material trabalha à tração ou à compressão. Na verdade, as diferenças ocasionalmente encontradas para certos tipos de aço são pequenas. Assim, a validade da Lei de Hooke ocorre tanto para peças comprimidas como para tracionadas, admitindo-se a mesma curva tensão – deformação, com os mesmos valores, nos dois casos. O módulo de elasticidade, limites de escoamento e de elasticidade, etc, apresentam conseqüentemente, conseqüentemente, os mesmos números para tração ou compressão.
1.6.2.
Coeficiente de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 1.4 ilustra essas deformações.
P
P
P
P
Figura 1.4 Deformações longitudinal e lateral nas barras
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
13
Ricardo Gaspar
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como: υ =
deformação lateral
(5)
deformação longitudinal
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente.
1.6.3.
Forma geral da Lei de Hooke
Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a exemplos simples de solicitação axial. Se forem consideradas as deformações longitudinal ( ε L) e transversal (ε t t), tem-se, respectivamente: ε L
=
σ E
ε t = νε L
e
=
υσ
(6)
E
No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões normais σ x , σ y e σ z , perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às deformações ε x , ε y e ε z , a Lei de HOOKE é definida como: σz
σy
σx
ε x
=
ε y
=
ε z =
1 E
1 E
1 E
[σ − υ (σ + σ )] x
y
z
[σ − υ (σ + σ )] y
z
x
(7)
[σ − υ (σ + σ )] z
x
y
A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas mesmas propriedades propriedades (mesmos E e e ν ) em todos os pontos.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
14
Ricardo Gaspar
Exemplos 1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de Elasticidade E=20.000 kN/cm 2 , submetida a uma força axial de tração tr ação P=30 kN. P=30 kN
P
L= 5 m πφ 2
A =
4
σ = δ = ε =
A =
P A PL EA δ
L
π × 52
= 19,6 cm2
4 30 σ = = 1,53 kN/cm2 ou 15,3 MPa 19,6 30 × 500 δ = = 0,0382 cm 20.000 ×19,6 0,0382 ε = = 0,0000764 ou × 1000 = 0,0764 (‰) 500
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm 2 e trecho CD=200cm e seção transversal com área A=18cm 2 é solicitada pelo sistema de forças indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm 2. 150kN
30kN
A
50kN
300 cm
170kN
D
C
B
200 cm
200 cm
Trecho A-B A
B
150kN
R=150kN
50kN
= 30kN 300 cm
σ = δ =
P A PL EA
150 = 15 kN/cm2 10 150 × 300 δ = = 0,214 cm 21.000 × 10
σ =
170kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
ε =
δ
ε =
L
15
Ricardo Gaspar
0,214 × 1000 = 0,713 (‰) 300
Trecho B-C C
B
R=120kN
50kN
30kN
R=120kN
=
= 150kN
170kN 200 cm
σ = δ = ε =
120 = 8 kN/cm2 15 120 × 200 δ = = 0,076 cm 21.000 ×15 0,076 ε = × 1000 = 0,38 (‰) 200
P
σ =
A PL EA δ
L
Trecho C-D R=170kN
D
C
30kN
= 150kN
50kN 200 cm
σ = δ = ε =
P A PL EA δ
L
170 = 9,44 kN/cm2 18 170 × 200 δ = = 0,0899 cm 21.000 ×18 0,0899 ε = × 1000 = 0,45 (‰) 200 σ =
Alongamento total δ = 0,214 + 0,076 + 0,0899 = 0,38 cm
170kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
16
Ricardo Gaspar
2. PRODUTOS SIDERÚRGICOS Os produtos laminados, os perfis soldados e os elementos de ligação são os principais materiais empregados empregados em Estruturas Metálicas. A indústria siderúrgica oferece ao projetista diversos produtos com aplicações nas construções civis e seus acabamentos, dos quais destacam-se:
• • • • • •
perfis laminados a quente; quente; perfis soldados; perfis conformados a frio (chapa dobrada); chapas laminadas a quente; chapas laminadas a frio; tubos de várias formas.
2.1. Perfis laminados Os perfis laminados recebem esta denominação porque no seu processo de fabricação, rolos especiais chamados laminadores, produzem as formas finais dos diferentes perfis. São os mais empregados na construção de estruturas metálicas e sua fabricação é feita em diversas dimensões e modelos padronizados. A tabela abaixo ilustra os produtos siderúrgicos mais utilizados. Tabela 2.1 Tipos de produtos siderúrgicos:
Cant Canton onei eira ra de abas abas igua iguais is
Cant Canton onei eirra de abas abas desi desigu guai aiss
C padr padrão ão
I padr padrão ão
Tê laminado
Tê cortado de I ou H
Tubo quadrado
Tubo circular
Perfil soldado
Perfil laminado a frio
Chapas e barras
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
17
1– Cantoneiras: são empregadas em treliças, contraventamentos, linhas de transmissão de energia elétrica e ligações. 2- Perfis T: têm aplicações em estruturas soldadas e podem ser fabricados por processos de laminação ou através do corte de perfis I ou H. 3- Perfis I e U: empregados principalmente como vigas. Suas abas não têm faces paralelas e as bordas são arredondadas. 4- Perfis H: são empregados em elementos sujeitos à carga axial de compressão. 5- Barras chatas e redondas: as barras chatas são utilizadas em ligações e as barras redondas, em elementos tracionados (tirantes). 6- Chapas laminadas (a quente): têm espessura compreendida entre 3mm e 50mm, pois, chapas mais espessas apresentam problemas de soldabilidade. As suas principais aplicações estão nas ligações, emendas de vigas e pilares, bases de colunas e na fabricação de perfis soldados. 7- Chapas laminadas (a frio): são fornecidas em bobinas, com espessura inferior a 3mm e largura em torno de 2,50m. São empregadas na obtenção de perfis conformados a frio, também chamados, perfis de chapa dobrada, usados em estruturas leves, tais como, coberturas industriais tipo arco, Shed, etc. Outras aplicações são: fôrmas para lajes de edifícios, materiais para revestimento de paredes externas, internas e de cobertura.
• Perfis laminados Perfil I ou perfil de aba estreita h = 3” a 20” h = 3” a 12” (comerciais) Inclinação da face interna da aba = 16,67%; São utilizadas como elementos resistentes à flexão (vigas).
T
T
Perfil H bf = = d (bf = = mesa ou flange) d = 4” a 6” Pouco uso em estruturas.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
18
Perfil C ou U ou perfil de aba estreita h = 3” a 15”
Peças submetidas à flexão, vigas, colunas de postos de gasolina, etc.
Cantoneiras: Fabricadas com abas iguais e desiguais: Abas iguais – (7/8” x 7/8”x 1/8)” → (8 x 8 x 1)” Abas desiguais – (1 3/4 x 11/4 x 1/8)” → (8 x 4 x 1)” Utilizadas em peças submetidas à tração ou compressão (treliças, tesouras).
• Combinações de perfis laminados É muito comum a combinação de perfis em estruturas metálicas. As figuras abaixo ilustram algumas das várias possibilidades de combinações de perfis metálicos.
2.2. Perfis Soldados Como o próprio nome sugere, são perfis fabricados de chapas planas soldadas. Correspondem, no Brasil, aos chamados perfis de abas largas (wide-flange) americanos. A sua seção transversal é semelhante a de um perfil I com abas mais alargadas e as faces das mesas paralelas. São fabricadas em grande variedade de dimensões de alma e mesa. A CSN padronizou as seguintes séries de perfis soldados: Colunas Soldadas • Perfil série CS – Colunas • Perfil série VS – Vigas Soldadas • Perfil série CVS – Colunas e Vigas Soldadas
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
19
Pode-se considerá-los como a continuação das séries I e H de perfis laminados em dimensões maiores. São utilizados também quando são necessários perfis de grandes dimensões ou seções especiais. As aplicações dos perfis soldados soldados são as mesmas dos perfis laminados, ou seja, vigas de pontes, galpões industriais (pilares e vigas), edifícios de grande altura, etc.
• Perfis de chapas soldadas Perfis I h > b VS (Viga Soldada):para peças submetidas à flexão: para vigas CVS (Coluna Viga Soldada): para peças submetidas à flexocompressão
Perfil H CS (Coluna Soldada): h=b para peças submetidas submetidas à compressão: compressão: colunas CS (altura em mm × massa em kg/m)
2.3. Perfis conformados conformados a frio ou de chapas dobradas As grandes siderúrgicas abastecem a indústria de menor porte com chapas finas para a obtenção de perfis de chapas dobradas. dobradas. Os perfis de chapas chapas dobradas são obtidos por meio do dobramento de chapas finas (3; 5; 6) mm a frio e, às vezes, também por meio de solda, embora a solda seja pouco utilizada, pois eleva o custo de fabricação do perfil. Os perfis de chapas dobradas são utilizados como elementos estruturais em estruturas pouco carregadas, como coberturas e esquadrias. Outra aplicação importante são as telhas auto-portantes de seção trapezoidal. São obedecidos raios mínimos para evitar a fissuração do aço durante o dobramento a frio.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
20
2.4. Tubos Na construção metálica utilizam-se tubos de seção circular, quadrada ou retangular e outros perfis tubulares t ubulares de formas especiais empregados em esquadrias metálicas. O tubo circular associa a máxima resistência r esistência com o menor peso, em peças sujeitas à compressão ou à flexão. Normalmente, são utilizados como barras comprimidas de estruturas leves e como treliças planas ou espaciais. Exemplos: andaimes tubulares para escoramento de pontes, coberturas espaciais, etc.
.o0o. Apresentam-se a seguir, algumas tabelas dos perfis mais utilizados em estruturas metálicas. 2.5. Tabelas de perfis As tabelas de perfis simples (laminados ou soldados) apresentam as características geométricas individuais de cada perfil.
Nomenclatura Chama-se alma de um perfil, a região hachurada da seção transversal, indicada na Figura abaixo. Denomina-se aba ou mesa de um perfil a região sem hachura. Geralmente, a alma é parte do perfil que serve de união entre suas abas, como ocorre no caso de perfis I, H e U. b
tf
h = altura do perfil b = largura da aba, aba, flange ou mesa mesa
h ALMA
tf = espessura da aba (thickness=espessura)
tw
tf
tw = espessura da alma
b
Características geométricas dos perfis simples: As características geométricas de cada perfil são indispensáveis ao projeto e dimensionamento de qualquer estrutura. Para facilitar o trabalho do engenheiro foram calculadas e tabeladas para todos os perfis fabricados no Brasil.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
21
Ricardo Gaspar
As Tabelas apresentam as seguintes características geométricas dos perfis simples, com o intuito de facilitar e agilizar os cálculos estruturais: • A: área da seção transversal do perfil (cm²) ( cm 4) • Ix: momento de inércia em relação ao eixo x (cm • Iy; momento de inércia em relação ao eixo y (cm ( cm 4) • r x: raio de giração em relação ao eixo x (cm) • r y: raio de giração em relação ao eixo y (cm) • wx: módulo de resistência em relação ao eixo x (cm³) • wy: módulo de resistência em relação ao eixo y (cm³) • bf : largura da aba do perfil • tf : espessura da aba do perfil • tw: espessura da alma do perfil • h:altura total do perfil • xg,yg : coordenadas do centro de gravidade Estão também tabelados os pesos de cada perfil por metro linear. É útil na avaliação do peso próprio das peças em estudo. Na prática, recomenda-se a utilização das tabelas, pois facilitam o trabalho de cálculo e diminuem a possibilidade de erro. Entretanto, há casos em que se deve recorrer à Resistência dos Materiais para a determinação destas características. São casos especiais, por exemplo, onde forem usados perfis não padronizados, padronizados, especialmente fabricados para um projeto, ou em perfis compostos não previstos nas tabelas, etc.
Coordenadas do Centro de Gravidade (CG) As características geométricas são fundamentais para a o dimensionamento. Notoriamente, aquelas calculadas em relação a eixos (x, y), passando pelo CG da seção do perfil. As figuras abaixo ilustram ilustram a posição do do CG de alguns tipos de perfis. Y
Y
b
Y
Y
Z
CG
X
X
CG
h
X
CG
h
CG
X
yg
yg
yg
yg xg
Perfil I
xg
Perfil C
xg
Cantoneira de abas iguais
xg
Cantoneira de abas desiguais
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
22
Ricardo Gaspar
2.6. Principais tipos de concepções estruturais
2.6.1. Treliças isostáticas Atingem vãos livres até 30 m. Acima de 30 m utilizar arcos treliçados. Genericamente h = 1/15 do vão.
+
-
+
-
-
Sistema WARREN
Sistema FINK
Sistema HOWE
Sistema PRATT
+
-
+
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
2.6.2. Tesouras isostáticas
WARREN
HOWE
WARREN (com montante)
PRATT
23
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
24
3. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO As estruturas devem oferecer segurança a todas as ações, por mais desfavoráveis que sejam, ao longo de sua vida útil para o qual foi projetada. As estruturas não devem atingir um estado limite imediato ou em longo prazo, mesmo em condições precárias de funcionalidade. Além da previsão de todas as ações, do projeto adequado, é necessário também que a estrutura tenha uma reserva de resistência, garantida por coeficientes de segurança adequados. O Método das Tensões Admissíveis foi o primeiro método a ser utilizado para garantir a segurança. Até meados da década de 1980, o projeto de estruturas metálicas NBR 8800 utilizava o Método das Tensões Admissíveis. Com a revisão da norma de estruturas metálicas em 1986, começou-se a utilizar o Método dos Estados Limites. A NBR 8680:2003 Ações e Segurança nas Estruturas, define as condições e critérios do Método dos Estados Limites.
3.1. Método das tensões admissíveis Nas estruturas de aço, geralmente se considera o limite de escoamento como início de ruptura do material. Para se ter segurança contra ruptura por escoamento utilizam-se nos cálculos, tensões admissíveis que são obtidas dividindo-se o limite de escoamento por coeficientes de segurança adequados. Como as tensões admissíveis ficam dentro do regime elástico, esta teoria de dimensionamento chama-se chama-se elástica e os cálculos são efetuados com segundo a Resistência dos Materiais. A teoria elástica de dimensionamento é caracterizada por quatro pontos. a) o estado limite de resistência é o início de plastificação da seção, no ponto de maior tensão; b) o cálculo dos esforços solicitantes é feito em regime elástico, não sendo considerada a redistribuição de momentos fletores causadas pela plastificação de uma ou mais seções da estrutura; c) as cargas atuantes são consideradas com seus valores reais estimados (cargas em serviço); d) a margem de segurança da estruturas fica embutida na tensão admissível adotada para cada tipo de solicitação.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
25
O dimensionamento é considerado satisfatório quando a maior tensão solicitante em cada seção for inferior ao valor admissível correspondente, ou seja: σ < σ
A tensão admissível de tração ( σ t ) é relativa à área líquida é 0,6 f y, exceto em furos de conexões por pinos. σ
= 0,6 f y
A relação entre a tensão de escoamento e a tensão admissível à tração é γ =1,67, que é o coeficiente de segurança utilizado. f y σ
=
1 = 1,67 0,6
→
portanto, γ =1,67.
3.2. Método dos Estados Limites Um estado limite ocorre sempre que a estrutura deixa de satisfazer um de seus objetivos. Eles podem ser divididos em Estados limites últimos últi mos (ELU) e Estados limites de Utilização, ou de Serviço (ELS). Quando uma seção da estrutura entra em escoamento, duas coisas importantes acontecem: a) o escoamento começa no ponto de maior tensão e depois de se propaga a outros pontos da seção, aumentando sua resistência interna; b) em estruturas hiperestáticas, o escoamento de uma ou mais seções provoca redistribuição dos momentos fletores, aumentando a resistência da estrutura. Diz-se que uma estrutura é segura quando ela possui condições de suportar todas as ações ao longo de sua vida útil para a qual foi projetada. Por Ações entendem-se todas as causas que provocam tensões na estrutura. A estrutura atinge seu estado limite último quando perde a estabilidade ou quando em um de seus pontos o material atinge a tensão de ruptura ou uma deformação plástica excessiva. O conceito de segurança abrange o estado limite ao longo de sua vida útil e às condições de funcionabilidade. Portanto, existem dois tipos de estados limites: estados limites últimos e estados limites de utilização.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
26
O método dos estados limites utilizado para o dimensionamento dos componentes de uma estrutura (barras, elementos e meios de ligação) exige que nenhum estado limite aplicável seja excedido quando a estrutura for submetida a todas as combinações apropriadas de ações. Quando a estrutura não mais atende aos objetivos para os quais foi projetada, um ou mais estados limites foram excedidos. Os estados limites últimos estão relacionados com a segurança da estrutura sujeita às combinações mais desfavoráveis de ações previstas em toda a sua vida útil. Os estados limites de utilização estão relacionados com o desempenho da estrutura sob condições normais de serviço. A princípio fundamental deste método é que a resistência de cálculo ( Rd ) (o índice d provém da palavra inglesa design) de cada componente ou conjunto da estrutura deve ser igual ou superior à solicitação de cálculo ( S d d ). A resistência de cálculo é determinada para cada estado limite e é igual ao produto de um coeficiente de minoração ( φ ) pela resistência Rn), ou seja, ( R Rd = φ R Rn). nominal ( R
As condições analíticas de segurança estabelecem que as solicitações de cálculo não devem ser maiores que as resistências de cálculo e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo da construção considerada. São expressas por: S d ≤ φ Rn
onde: S d d
= solicitação de cálculo
Rn
= resistência nominal do material
φ
= coeficiente de minoração do material
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
27
3.2.1. Carregamentos As cargas que atuam nas estruturas são chamadas de Ações. A ações a serem adotadas no projeto das estruturas de aço e de seus componentes são as estipuladas pelas normas apropriadas e as decorrentes das condições a serem preenchidas pela estrutura. Essas ações devem ser tomadas como nominais, devendo ser consideradas como seguintes tipos de ações nominais:
• Ações permanentes (G), incluindo peso próprio da estrutura e peso de todos os elementos componentes da construção, tais como pisos, paredes permanentes, revestimentos, acabamentos, instalações e equipamentos fixos, etc.
• Ações variáveis (Q), incluindo as sobrecargas decorrentes do uso e ocupação da edificação, equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão hidrostática, empuxo de terra, vento, variação de temperatura, etc.
• Ações excepcionais (E), explosões, choques de veículos, efeitos sísmicos, etc. 3.2.2. Coeficientes de majoração das ações No método dos estados limites, as ações devem ser majoradas de um coeficiente de majoração das ações ( γ ) S d
= γ S
onde: S d d γ S
= solicitação de cálculo = coeficiente de majoração das ações = esforço nominal A combinação das ações no caso normal e durante a construção é dada por: n
S d
= ∑ γ g G +γ q1Q1 + ∑ (γ qjψ j Q j ) j = 2
Para as condições excepcionais, tem-se: S d
onde: G Q Q1 E ψ γ q1 q1 γ g
= ∑ γ g G + E + ∑ (γ qψ Q )
= ação permanente = ação variável = ação variável predominante = ação excepcional = fator de combinação: é um fator estatístico que leva em conta a freqüência da ocorrência simultânea das cargas = coeficiente de ponderação da ação variável predominante = coeficiente de ponderação da ação permanente
Estado limite Último Os Estados Limites Últimos (ELU) estão associados à ocorrência de cargas excessiva e conseqüentemente a colapsos das estruturas devido, por exemplo a: perda de equilíbrio como corpo rígido, ruptura de uma ligação ou seção ou instabilidade em regime elástico ou não.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
28
Ricardo Gaspar
Os coeficientes de majoração das ações indicados pela norma de Ações e Segurança nas estruturas, NBR 8681 são mostrados na Tabela abaixo. Tabela 3.1. Coeficientes de segurança de solicitações para o estado limite último Ações permanentes Ações
Normais Construção Excepcionais
Ações variáveis
Cargas variáveis Pequena Outras Variação de Grande Recalques variabilidade decorrentes do uso da ações temperatura variabilidade edificação (carga de diferenciais variáveis ambiental (*) utilização) (**) g
g
q
q
q
q
1,4 (0,9) 1,3 (0,9) 1,2 (0,9)
1,3 (1,0) 1,2 (1,0) 1,1 (1,0)
1,5 1,3 1,1
1,4 1,2 1,0
1,2 1,2 0
1,2 1,0 0
Os valores entre parênteses correspondem a ações permanentes favoráveis à segurança. (*) Peso próprio de elementos metálicos e de elementos pré-fabricados com controle rigoroso de peso. (**) Sobrecargas em pisos e coberturas, cargas em pontes rolantes ou outros equipamentos, variações de temperatura provocadas por equipamentos, etc.
São consideradas cargas permanentes de pequena variabilidade os pesos próprios de elementos metálicos e pré-fabricados, com controle rigoroso de peso. Excluem-se os revestimentos destes elementos feitos in loco. A variação de temperatura citada não inclui a gerada por equipamentos, a qual deve ser considerada como ação decorrente do uso da edificação. Ações decorrentes do uso da edificação incluem sobrecargas em pisos e em coberturas, cargas de pontes rolantes cargas de outros equipamentos. equipamentos. Os fatores de combinação ( ψ ) da NBR 8681 estão indicados na Tabela abaixo. Tabela 3.2 Fatores de combinação ψ d d no Estado Limite Último Ações Fatores de combinação ( ) Sobrecargas em pisos de bibliotecas, arquivos, oficinas e 0,75 garagens, conteúdo de silos e reservatórios. Cargas de equipamentos, incluindo pontes rolantes e 0,65 sobrecargas em pisos diferentes dos anteriores. Pressão dinâmica do vento 0,60 Variação de temperatura 0,60
Os coeficientes devem ser tomados iguais a 1,0 para ações variáveis não citadas nesta tabela e também para as ações variáveis nela citadas, quando forem de mesma natureza da ação variável predominante Q1; todas as ações variáveis decorrentes do uso de uma edificação (sobrecargas em piso e em coberturas, cargas de pontes rolantes e de outros equipamentos), por exemplo, são considerados de mesma natureza.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
29
Ricardo Gaspar
Estado Limite de Utilização Os Estados Limites de Utilização estão associados às cargas em serviço. Evita-se, assim, a sensação de insegurança dos usuários de uma obra na presença de deslocamentos ou vibrações excessivas, ou ainda, prejuízo de componentes não estruturais como alvenarias e esquadrias. No Estado Limite de Utilização, as cargas são combinadas como anteriormente explanado sem, entretanto, majorar seus valores, ou seja, utilizando( γ =1,0). =1,0). Os limites de deslocamentos máximos para o estado limite de utilização, fixados pela norma de estruturas estruturas metálicas NBR 8800, estão indicados indicados na Tabela Tabela abaixo. Tabela 3.3 Valores limites de deformações elásticas, segundo segundo a NBR 8800. Ações a considerar
s i a i r t s u d n i s o i c í f i d E
s i a c i t r e v s o t n e m a c o l s e D
o s t n i a e t n m a o z c i o r l o s e h D s
s o i c í f i d e s o r t u O
s n i e a c m a i t r c e o l v s s e o D t s i a t n o z i r o h s o t n e m a c o l s e D
Vigas de rolamento biapoiadas para pontes Cargas máximas por rolantes com capacidade de 200 kN ou roda (sem impacto) mais. Cargas máximas por Vigas de rolamento biapoiadas para pontes roda (sem impacto) rolantes com capacidade inferior a 200 kN.
Limite 1 do vão 240 1 do vão 180 1 do vão 360 1 do vão 800 1 do vão 600
Força transversal da Vigas de rolamento biapoiadas para pontes ponte rolantes.
1 do vão 600
Força transversal da Deslocamento horizontal da coluna relativo ponte, ou vento à base.
1 a 1 da altura 400 200
Sobrecarga Sobrecarga Sobrecarga
Elemento estrutural Barras biapoiadas suportando elementos de cobertura inelásticos. Barras biapoiadas suportando elementos de cobertura elásticos. Barras biapoiadas suportando pisos.
Sobrecarga
Barras biapoiadas de pisos e coberturas, suportando construções e acabamentos sujeitos à fissuração.
Sobrecarga
Idem, não sujeitos à fissuração.
Vento
Vento
Vento
1 do vão 240 1 do vão 360
Deslocamento horizontal do edifício, 1 da altura do edifício relativo à base, devido a todos os efeitos. 400 Deslocamento horizontal relativo entre dois pisos consecutivos, devido à força 1 da altura do andar horizontal total no andar entre os dois pisos considerados, quando fachadas e divisórias 500 (ou ligações com a estrutura) não absorverem as deformações da estrutura. 1 da altura do andar Idem, quando absorverem. 400
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
30
4. PEÇAS TRACIONADAS Peças tracionadas são aquelas sujeitas a solicitações axiais de tração, geralmente denominadas tração simples. As peças tracionadas podem ser empregadas em estruturas como tirantes, barras tracionadas de treliças, etc. As peças tracionadas são dimensionadas admitindo-se distribuição uniforme das tensões de tração na seção transversal considerada. Esta condição é obtida na maioria dos casos na prática, principalmente se a peça não apresentar mudanças bruscas na seção transversal. Admite-se que a carga de tração axial seja aplicada no centro de gravidade (CG) da seção. No dimensionamento analisam-se primeiramente as condições de resistência e, em seguida, as condições de estabilidade da barra. As seções transversais das barras tracionadas podem ser simples ou compostas como, por exemplo:
• • • •
barras redondas; barras chatas; perfis laminados (L, C, U, I); perfis compostos.
As ligações das extremidades das peças tracionadas com outras partes da estrutura são feitas por diversos meios como: soldagem, parafusos e rebites, rosca e porca para barras rosqueadas. rosqueadas.
4.1. Dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) A resistência de uma peça submetida a tração axial pode ser determinada pela ruptura da seção líquida (que provoca colapso), ou pelo escoamento generalizado da seção bruta (que provoca deformações excessivas). excessivas).
4.1.1. Peças tracionadas com furos Os furos diminuem a área da seção transversal da peça. Portanto, há um enfraquecimento na peça, que deve ser considerado no dimensionamento. dimensionamento. a) ruptura da seção líquida (condição de resistência): Rdt ≤ φ t Rn
= φ t An f uk ,
com φ t = 0,75
onde: An f uk uk
= área líquida de uma peça com furos ou entalhes = tensão de ruptura característica do aço
b) escoamento da da seção bruta (condição (condição de ductilidade): ductilidade): Rdt ≤ φ t Rn
= φ t A g f y ,
com φ t = 0,90
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
31
Ricardo Gaspar
4.1.2. Peças com extremidades rosqueadas As barras com extremidades rosqueadas, consideradas neste item, são aquelas com diâmetro igual ou superior a 12 mm (1/2”). Rdt ≤ φ t Rn
onde A g
= φ t 0,75 A g f uk ,
com φ t = 0,65
= área bruta da barra
4.1.3. Peças ligadas por pinos No caso de chapas ligadas por pinos, a resistência é determinada pela ruptura da seção líquida efetiva.
4.1.4. Limitação de esbeltez das peças tracionadas O índice de esbeltez ( λ ) é definido na Resistência dos Materiais como a relação entre o comprimento livre (não contraventado) (L) e o raio de giração mínimo ( imin) de sua seção transversal. λ =
L imin
(adimensional)
com
imin =
I min A
onde I é é o momento de inércia da seção transversal. O índice de esbeltez é muito importante no dimensionamento de peças comprimidas, nas quais pode ocorrer o fenômeno da flambagem. Nas peças tracionadas, o índice de esbeltez não tem importância fundamental, pois o esforço de tração tende a retificar a haste, reduzindo a excentricidade construtiva inicial. Contudo, as normas fixam valores mínimos de coeficiente de esbeltez, a fim de reduzir efeitos vibratórios provocados por impactos, vento, etc. O índice de esbeltez de barras tracionadas, excetuando-se tirantes de barras redondas pré-tensionadas, não pode, em princípio, exceder os seguintes limites: Tabela 4.1 Valores de esbeltez limites em peças tracionadas
Peças Vigamentos principais Contraventamentos e outros vigamentos secundários
AISC / NBR 240 300
AASHTO 200 240
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
32
Ricardo Gaspar
4.1.5. Diâmetro dos furos
Os furos enfraquecem a seção da peça. O diâmetro total a ser considerado é igual ao diâmetro nominal do conector ( d ), ), acrescido de 3,5mm. A Norma, o AISC recomenda considerar os furos com diâmetros 1/8” (3,2mm) maiores que o diâmetro nominal adotado. Este acréscimo de diâmetro é devido às imperfeições causadas na chapa durante a abertura do furo, especialmente se forem abertos por punção. É erro comum, principalmente para os que vêm o assunto pela primeira vez, pensar na área líquida como a área bruta, subtraída das áreas de todos os furos existentes na ligação. Isto é incorreto; a área líquida é estudada, pensando-se numa possível seção de ruptura, tendo-se em mente a transmissão de esforços (distribuição de tensões no interior da peça). Deve ser imaginada i maginada como a seção mais provável de ruína. Logo, os furos a serem considerados serão, somente aqueles contidos na seção de ruptura em estudo.
Seção transversal líquida dos furos f uros
Numa barra com furos, a área líquida lí quida ( An) é obtida subtraindo-se da área bruta ( A g ) as áreas dos furos contidos em uma mesma seção reta da peça. Área bruta (Ag) m 5 , m 3 d + m 5 , m 3 d +
rea líquid (An)
Figura 4.1 Área líquida e área bruta
No caso de furação em zig-zag, é necessário pesquisar diversos percursos para se encontrar o menor valor de seção líquida uma vez que a peça pode romper segundo qualquer um desses percursos.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
33
Ricardo Gaspar
p 1 2
b
1
g 3
b
2 1 furação reta
3
s
furação em zig zag
Figura 4.2 Tipos de furações Os segmentos zig-zag são computados com um comprimento reduzido, dado pela seguinte expressão empírica: s 2
4 g onde: g = espaçamento transversal entre duas filas de furos ( gage) s = espaçamento longitudinal entre furos de filas diferentes p= espaçamento espaçamento entre furos da mesma mesma fila ( pitch) A área líquida ( An) de barras com furos pode ser representada pela equação: An
s 2 = b − ∑ (d + 3,5 mm) + ∑ ⋅ t , 4 g
adotando-se o menor valor obtido nos diversos percursos pesquisados. pesquisados.
Seção transversal líquida efetiva Nas ligações li gações de barras tracionadas em que a solicitação for transmitida apenas em um dos elementos da seção, utiliza-se uma seção líquida efetiva ( An,ef ) para levar em conta que, na região da ligação, as tensões se concentram no elemento ligado e não mais se distribuem uniformemente em toda a seção. No caso de peças ligadas com conectores aplicam-se os seguintes coeficientes de redução C t t:
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
34
Ricardo Gaspar
Tabela: Coeficientes de redução da área liquida ( C t t) C t t
Perfis I ou H, cujas mesas tenham largura não inferior a 2/3 da altura e em perfis T cortados desses perfis, com ligações nas mesas, tendo no mínimo três conectores por linha de furação na direção do esforço. Demais perfis, tendo no mínimo três conectores por linha de furação na direção do esforço. Em todas as barras, cujas ligações tenham somente dois conectores por linha de furação na direção do esforço.
0,90 0,85 0,75
No caso de barras tracionadas com ligações soldadas apenas em alguns dos elementos da seção, o coeficiente de redução da área depende da relação entre o comprimento longitudinal l das das soldas e a largura b da chapa ligada.
Coef de redução C t t
Relação entre l e e b (l (l > > b)
1,0 0,87 0,75
l ≥ 2b
2b > l ≥ 1,5b 1,5b > l ≥ b b
N N
Ct = 0,90 0,90 se b > 2h/3 h
Ct = 0,85 0,85 se b < 2h/3
N
N
N Ct = 0,75
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
35
Ricardo Gaspar
4.1.6. Exemplos 1. Calcular a espessura necessária de uma chapa de 100mm de largura, sujeita a um esforço axial de tração de 100 kN. Resolver o problema utilizando o aço comercial (MR-250), com tensão admissível σ t = 0,6 f y . Solução: Para o aço MR 250, tem-se a seguinte tensão admissível referente à área bruta: σ t = 0,6 × 250 = 150 MPa = 15
Área bruta necessária:
A g =
Espessura necessária:
t =
N σ t
=
kN cm 2
100 = 6,67 cm 2 15
6,67 = 0,67 cm 10
→
adota-se 5/16” = 7,94 mm
2. Resolver o problema precedente para o dimensionamento no estado limite último. Solução: Admitindo-se que o esforço de tração seja provocado por uma carga variável de utilização, a solicitação de cálculo vale: N d = γ q N = 1,5 × 100 = 150 kN
a área bruta necessária é obtida pela expressão: espessura necessária: t =
6,67 = 0,67 cm 10
A g =
→
N d φ t f y
=
150 = 6,67 cm 2 0,9 × 25
adota-se 5/16” = 7,94 mm
No caso tração centrada devida a cargas variáveis, os métodos dos Estados Limites e o de Tensões Admissíveis fornecem o mesmo dimensionamento. dimensionamento.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
36
Ricardo Gaspar
3. Duas chapas 7/8” ×300mm são emendadas por traspasse com 8 parafusos φ 7/8”. Verificar se as dimensões das chapas são satisfatórias para uma carga axial de tração de 300 kN, admitindo-se aço MR 250 (ASTM A36).
N=300 kN
m m 0 0 3
22mm
22mm
t=22mm
N=300 kN
t=22mm
Solução: O tipo de ligação adotado introduz excentricidade no esforço axial. Contudo, o problema será resolvido admitindo-se as chapas sujeitas a esforço axial. Área bruta:
7 × 2,54 = 2,22 cm 8 A g = 30 × 2,22 = 66,60 cm 2
A área líquida na seção furada é obtida deduzindo-se a área de quatro furos com diâmetro 7/8”+1/8”=2,54 cm. An
= (30 − 4 × 2,54) × 2,22 = 44,04
cm 2
Admitindo-se que a solicitação seja produzida por uma carga permanente de grande variabilidade, o esforço solicitante de cálculo vale: N d
= γ q N = 1,4 × 300 = 420
kN
cálculo dos esforços resistentes: área bruta:
N d ,res
= 0,9 × 66,60 × 25 = 1498,5
área líquida:
N d ,res
= 0,75 × 44,04 × 40 = 1391,2
kN kN
Os esforços resistentes são superiores aos esforços solicitantes, concluindo-se que as dimensões satisfazem com folga.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
37
Ricardo Gaspar
4. Duas chapas (280mm × 20mm) são emendadas por traspasse com furos d = 20mm, abertos por punção. Calcular o esforço resistente de projeto das chapas, admitindo-se submetidas à tração axial. Dado: Aço MR 250. Aço: MR 250:
f y = 250 MPa
f u = 400 MPa
1
0 4
2
3
0 5
3
m m 0 8 2
0 5
1
0 5
3
0 5
3
2
0 4
1 a N
75
75
75
75 0 2
0 2
N
Solução O efeito da excentricidade no esforço de tração é desprezado O diâmetro dos furos é: 20 + 3,5 = 23,5 mm Seção bruta das chapas: A g = 28 × 2 = 56 cm 2 Seção líquida: 1-1-1: An = (28 − 2 × 2,35) × 2 = 46,6 cm 2
7,52 2-2-2: An = 28 + 2 × − 4 × 2,35 × 2 = 48,45 cm 2 4×5 7,52 3-3-3: An = 28 + 4 × − 5 × 2,35 × 2 = 55,0 cm 2 4×5 A menor seção líquida correspondente à reta 1-1-1. Esforços resistentes Área bruta:
N d ,res
= 0,9 × 56 × 25 = 1260 kN
(126 tf )
Área liquida: N d ,res = 0,75 × 46,6 × 40 = 1398 kN (139,8 tf ) Resposta:
N d,res d,res = 1260 kN
Note-se que neste exemplo, o escoamento da seção bruta ocorrerá antes da ruptura da seção líquida.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
5.
86.4
Para o perfil [U381×50,4 kg/m] (15”), em aço MR250 da figura, calcular o esforço resistente de tração. O diâmetro dos conectores é d = 22mm.
38
Ricardo Gaspar
150
1
10.2
5 8
m m 1 8 3
Área da seção transversal do perfil A g = 64,2 cm 2
N
5 8
5 8
1
Solução Aço: MR 250:
f y = 250 MPa
f u = 400 MPa
a) escoamento da seção bruta N d ,res
= 0,9 A g f y
N d ,res
= 0,9 × 64,2 × 25 = 1444 kN
b) ruptura da seção seção líquida diâmetro do furo considerado: 22 + 3,5 = 25,5 mm Área líquida: An = 64,2 − (4 × 2,55) × 1,02 = 53,8 cm 2 Área líquida da seção 1-1 = An = 0,75 × 53,8 = 40,3 cm 2 N d ,res
= 0,75 An f u
N d ,res
= 0,75 × 40,3 × 40 = 1210 kN
6. Calcular o diâmetro do tirante em aço ASTM A36 (MR250), capaz de suportar uma carga axial de 150kN (15tf), sabendo-se que a transmissão da carga será feita por um sistema de rosca e porca. Admite-se que a carga seja do tipo permanente, com grande variabilidade (γ f = 1,4). Solução: Barras rosqueadas: A g =
γ f N φ t × 0,75 f u
A g =
1,4 × 150 = 10,77 cm 2 0,65 × 0,75 × 40
Adota-se parafuso com diâmetro d = 3,81mm (1½”), cuja área é A g = 11,40 cm 2.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
39
Ricardo Gaspar
7. Para a cantoneira [L 178 ×102×12,7] (7”×4”×½”) indicada na Figura, determinar: a) a área líquida, sendo os conectores de diâmetro d = 22 mm ( 7/8”); b) o maior comprimento comprimento admissível, para esbeltez esbeltez máxima λ=240. 12.7
1 2
8 3
8 3
2
m 6 m 7 8 7 1
1
7 . 2 1
4 6
6 7
64
76
5 1 1
2
76
102
medidas em milímetros
(a)
8 3
1 2
(b)
(c)
O cálculo pode ser feito rebatendo-se a cantoneira segundo seu eixo (Figura c). Comprimentos líquidos dos percursos: Diâmetro dos furos d = 22 + 3,5 = 25,5 mm. Percurso 1-1-1:
178 + 102 − 12,7 − 2 × 25,5 = 216,5 mm
76 2 762 Percurso 2-2-2: 178 + 102 − 12,7 + + − 3 × 25,5 = 222,6 mm 4 × 76 4 × 115 O percurso percurso 1-1-1 1-1-1 é crítico. a) seção líquida: An = 21,6 × 1,27 = 27,4 cm 2 b) o maior comprimento comprimento desta cantoneira trabalhando trabalhando como tirante será: será: Para cantoneira [L 178 × 102 × 12,7], tem-se raio de giração mínimo: imin = 2,21 cm. Índice de esbeltez máximo para peças tracionadas: Logo
l max
= 240 × imin
l max
λ =
l imin
≤ 240
= 240 × 2,21 = 530 cm
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
40
5. TRELIÇAS
Definição Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados unicamente nos nós. Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo plano. Para se calcular uma treliça deve-se: a) determinar as reações de apoio; b) determinar as forças nas barras. A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 2n = b + v onde: b= número de barras n= número de nós v= número de reações de apoio
Adota-se como convenção de sinais: barras tracionadas: tracionadas:
positivo
barras comprimidas: negativo
setas tracionando o nó setas comprimindo o nó
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e analíticos. Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, abaixo exemplificado.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
41
Apoios Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado. Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação: Apoio móvel
•
Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio;
•
Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;
ou
•
Permite rotação.
•
Impede movimento na direção normal ao plano do
Apoio fixo
apoio;
•
Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
•
Permite rotação.
•
Impede movimento na direção normal ao plano do
Engastamento
apoio;
•
Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
•
Impede rotação.
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:
Σ F x = 0
Σ F y = 0
Σ M A= 0
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
42
Ricardo Gaspar
Método do equilíbrio dos nós 1.
Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio. 50 kN 100 kN 50 kN No caso da treliça da figura, no nó A tem-se um apoio móvel e no nó B C D B, um apoio fixo. Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os 2m perpendiculares ao plano do apoio, α tem-se uma reação vertical R A. HE Como os apoios fixos A E F restringem deslocamentos paralelos e 2m 2m perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical R B e uma RA RE reação horizontal H E. Verificar se a treliça é uma estrutura isostática i sostática barras nós reações
2n = b + v
b = 9 n = 6 v = 3
2×6 = 9+ 3
Conclusão: a treliça é uma estrutura isostática
2 Cálculo do ângulo de inclinação das barras α = arctg = 45º 2 a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
Σ F H = 0
conclusão:
H E = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
Σ F V = 0
R A + R E − 50 − 100 − 50 = 0
R A + R E = 200
kN
(1)
Equação de equilíbrio de momentos: Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve deve ser nula. Tomando-se Tomando-se por exemplo exemplo o nó A como referência, tem-se
Σ M A = 0
4 × R E − 50 × 4 − 100 × 2 = 0
R E =
400 4
R E = 100 kN
Substituindo o valor de R E na equação (1), tem-se: R A
+ 100 = 200 kN
logo
R A
= 100 kN
b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças devem estar tracionando o nó. Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
43
Ricardo Gaspar
Nó A
N1
Σ F H = 0 N2
A
N 2 = 0
→
N 1 = −100 kN
→
N 3 = −50 kN
→
N 4 = 70,7 kN
50 + N 5 = 0
→
N 5 = −50 kN
Σ F V = 0 − 100 − N 6 = 0
→
N 6 = −100 kN
50 − N 7 cos 45º = 0
→
N 7 = 70,7 kN
Σ F V = 0 − 50 − N 8 + 70,7 sen 45º = 0
→
Σ F V = 0 100 + N 1 = 0
RA
Nó B
Σ F H = 0
50
N 3 + N 4 cos 45º = 0
N3
B
45°
Nó C
→
N4
100
Σ F H = 0
100 50
Σ F V = 0 100 − 50 − N 4 sen 45º = 0
N5 C N6
Nó D
Σ F H = 0
50 50
D
45°
N7
N8
N 8 = −100 kN
Nó E
100 N9
E
Σ F H = 0
→
N 9 = 0
100
Σ F H = 0
Nó F Verificação
100 70,7 0,0
45°
45°
F
70,7 0,0
− 70,7 cos 45º +70,7 cos 45º = 0 0=0
(verificado)
Σ F V = 0 − 100 + 70,7 sen 45º +70,7 sen 45º = 0 0=0
(verificado)
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
44
Ricardo Gaspar
Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.
Resultados NAB= 100 kN NAF= 0 NBC= 50 kN NBF= 70,7 kN NCF= 100 kN NCD= 50 kN NDF= 70,7 kN NDE= 100 kN NFE= 0 kN
50 kN
compressão
100 kN
B
compressão tração compressão compressão tração compressão
50 kN
C
D
2m α
A
HE E
F 2m
2m
RA
RE
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.
RB B
HB m 0. 1
C
m 0. 1
HA
40 kN
20 kN
α θ
E
A
D
2.0 m
2.0 m
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras α = arctg =
2 = 63,43º 1
θ = arctg =
1 = 26,56º 2
a) Cálculo das reações de apoio
Σ F H = 0
H A − H B
− 40 = 0
Σ F V = 0
R B
Σ M B = 0
+ H A × 2 − 40 × 1 − 20 × 4 = 0
− 20 = 0
→
H A − H B
= 40 kN
→
R B
= 20 kN
→
H A
= 60 kN
H B
= 20 kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
b) Cálculo das forças nas barras Nó B
20 kN N2
63.4°
N1 Nó A
N3
10 60 A
Σ F H = 0 − 20 + N 2 senα = 0
B
20 kN
45
Ricardo Gaspar
26.6°
→
Σ F V = 0 20 − N 1 − N 2 cos α = 0
→
Σ F V = 0 10 + N 3 senθ = 0 Σ F H = 0 60 + N 4 + N 3 cos θ = 0 60 + N 4 − 22,4 cos θ = 0
→
→
N 2 = 22,4 kN
N 1 = 10 kN
N 3 = −22,4 kN
N 4 = −40 kN
N4 Nó E
Σ F H = 0
N5
40 − N 6 = 0
40
N 6 = 40 kN
→
N 5 = 0 kN
→
N 7 = 44,7 kN
→
0 = 0 (verificado)
N6 Σ F V = 0
E
Σ F V = 0 − 20 + N 7 senθ = 0
Nó D
20
N7 26.6°
D
40 Nó C
Σ F H = 0 40 − 44,7 cosθ = 0
Verificação
22,4 26.6°
C
26.6°
22,4
→
Σ F H = 0
40 26.6°
0,0
44,7
22,4 cos θ − 22,4 cos θ − 40 + 44,7 cos θ = 0 0=0 kN
Σ F V = 0
(verificado)
22,4 sen θ + 22,4 sen θ − 44,7 sen θ = 0 10 + 10 – 20 =0 (verificado)
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Resultados NAB= 10 kN NAC= 22,4 kN NAE= 40 kN NBC= 22,4 kN NCE= 0 NCD= 44,7 kN NED= 40 kN
46
Ricardo Gaspar
B
tração compressão compressão tração
2 2 ,4 k N T
T N k 0 1
tração compressão
C
C k N 4 4 , 2 2
A
0
40 kN α
20 kN
θ
E
40 kN C
4 4 , 7 k N T
D
40 kN C
3. Determinar os esforços nas barras da treliça da figura 70 kN
100 kN
B
A
70 kN
C
HE
E
D
α
RA
RE F 2m
G 2m
m 5 . 1
H 2m
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática i sostática b = 13 barras 2n = b + v n = 8 nós 2 × 8 = 13 + 3 v = 3 reações
2m
Conclusão: a treliça é uma estrutura isostática
1,5 Cálculo do ângulo de inclinação das barras α = arctg = 36,87º 2 α=36,87º
→
sen = 0,600
cos = 0,800
tg = 0,750
a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
Σ F H = 0
conclusão:
H E = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
Σ F V = 0
R A + R E − 70 − 100 − 70 = 0
R A + R E
= 240 kN
(1)
Equação de equilíbrio de momentos: Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve deve ser nula. Tomando-se Tomando-se por exemplo exemplo o nó A como referência, tem-se 960 Σ M A = 0 R E = R E = 120 kN 8 × R E − 70 × 2 − 100 × 4 − 70 × 6 = 0 8 Substituindo o valor de R E na equação (1), tem-se: R A + 120 = 240 kN R A = 120 kN logo
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
47
Ricardo Gaspar
b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças devem estar tracionando o nó. Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado. Nó A Σ F V = 0 A N AF = 200 kN 120 − N AF sen α = 0 N AB →
α
120
Σ F H = 0 N AB − N AF cos α = 0
N AF
Nó F
200 sen α + N FB = 0
N FG
α
→
N FB
= −120 kN
N FG
= 160 kN
N BG
= 83,33 kN
Σ F H = 0 →
Σ F V = 0 + 120 − 70 − N BG sen α = 0
70 160
= −160 kN
− 200 cos α + N FG = 0
F
Nó B
N AB
Σ F V = 0
N FB
200
→
B
NBC α
120
Σ F H = 0 160 + N BC + N BG cosα = 0
NBG
Nó C
→
N BC = −226,67 kN
→
Σ F H = 0
100
66,67 − N CD = 0
C 66,67
→
N CD
= 66,67 kN
→
N CG
= 100 kN
NCD Σ F V = 0 N CG − 100 = 0
NCG
Σ F V = 0 N GD + 83,33 sen α − 100 = 0
Nó G
100
→
N GD
= 83,33 kN
NGD
83,33
Σ F H = 0
160
α
α
G
NGH
N GH + 83,33 cos α − 83,33 cos α − 160 = 0 N GH
→
= 160 kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
48
Ricardo Gaspar
Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós D, H e E são iguais às dos nós B, F e A, respectivamente. Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D, H e E. 70 kN A
160kN C
B
α
RA
2 0 0 k N T
100 kN 266,67kN C C
C N k 0 2 1
8 3 ,3 k N T
C N k 0 0 1
160kN T
F 2m
70 kN
266,67kN C
T N k 3 , 8 3
Esforço compressão compressão compressão compressão tração tração tração tração tração tração compressão compressão compressão
T k N 0 2 0
H 2m
Resultados Barra NAB= 160 kN NBC= 266,67 kN NCD= 266,67 kN NDE= 160 kN NFG= 160 kN NGH= 160 kN NAF= 200 kN NBG= 83,33 kN NGD= 83,33 kN NHE= 200 kN NBF= 120 kN NCG= 100 kN NDH= 120 kN
C N k 0 2 1
160kN C
160kN T
G 2m
D
L (m) 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,92 2,92 2,92 2,92 1,5 1,5 1,5
2m
HE
E
RE
m 5 . 1
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
49
Ricardo Gaspar
Dimensionamento BARRAS TRACIONADAS Barra NFG= 160 kN NGH= 160 kN NAF= 200 kN NBG= 83,33 kN NGD= 83,33 kN NHE= 200 kN
Esforço tração tração tração tração tração tração
L (m) 2,0 2,0 2,5 2,5 2,5 2,5
N d (kN)
Perfil
N d (kN)
Perfil
Coeficiente de majoração das ações: γ f = 1,4
BARRAS COMPRIMIDAS Barra NAB= 160 kN NBC= 226,67 kN NCD= 226,67 kN NDE= 160 kN NCF= 120 kN NCG= 100 kN NDH= 120 kN
Esforço compressão compressão compressão compressão compressão compressão compressão
L (m) 2,0 2,0 2,0 2,0 1,5 1,5 1,5
Coeficiente de majoração das ações: γ f = 1,4
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
50
Ricardo Gaspar
6. LIGAÇÕES 6.1. Ligações com conectores As ligações em estruturas metálicas podem ser feitas por meio dos seguintes conectores: • Rebites • Parafusos comuns • Parafuso de alta resistência
6.1.1. Rebites Os rebites são conectores instalados a quente (~1000ºC). Após o resfriamento, o rebite se retrai e aperta as chapas entre si. O esforço do aperto é variável, não podendo garantir um valor mínimo para os cálculos. A partir de 1950 as ligações rebitadas foram substituídas por ligações parafusadas ou soldadas.
6.1.2. Parafusos Parafusos comuns Os parafusos são conectores com cabeça quadrada ou sextavada, possuindo rosca e porca. rosca fuste
porca
comprimento de aperto
cabeça arruela
arruela comprimento do parafuso
Figura __ Parafuso com porca e arruelas Os parafusos comuns são instalados com aperto, que mobiliza atrito entre as chapas. Entretanto, este aperto é muito variável, não podendo garantir um valor mínimo a se considerar nos cálculos. Devido a isto, os parafusos comuns são calculados de modo análogo aos rebites, por meio das tensões tensões de apoio e de corte. Ligações denominadas tipo apoio: transferência de tração entre as chapas ligadas
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
51
Ricardo Gaspar
F
t2
σ
2F
τ τ
t1
σ
τ σ
τ
F
t2 d
Figura Forças atuantes no parafuso A transmissão dos esforços se dá por apoio das chapas no fuste do parafuso e esforço de corte na seção transversal do parafuso. Tensões de corte:
τ = =
F
σ =
Tensões de apoio:
2
π d
F d ⋅ t
4
onde:
F = = esforço transmitido pelo conector no plano de corte t = =
espessura da da chapa considerada considerada
d = = diâmetro do conector
Parafusos de alta resistência Os parafusos de alta resistência são fabricados com aços tratados termicamente. O mais usual é o ASTM A325. As forças de atrito resultantes entre as chapas, devido ao aperto dos parafusos, podem ser levados levados em consideração consideração nos cálculos. cálculos. t2
F
2F
F 2F
t1
d
t2
F
Forças de compressão entre as chapas
Forças de atrito (Fat)
P
Figura Forças atuantes nas chapas
P = Força de protensão do parafuso
F
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
52
Ricardo Gaspar
6.2. Espaçamento entre conectores Espaçamentos máximos: Os espaçamentos máximos entre conectores são utilizados para impedir penetração de água e sujeita nas interfaces. Eles são da ordem de 15.t para peças comprimidas e 25.t para peças tracionadas, tracionadas, sendo t a a espessura da chapa. A distância máxima de um conector à borda da chapa deve ser 12.t, não superior a 150mm.
Espaçamentos mínimos: (ver p.56 do livro do PFEIL) A Figura abaixo resume as indicações da NBR 8800 para espaçamentos mínimos, no caso de furos padrão. d
a
Bordas cortadas ou serradas com tesoura
3d
a=1,75d a
3d
3d
Figura __ Espaçamentos Espaçamentos construtivos recomendados para conectores, com furos f uros padrão. Valores de a para bordos laminados ou cortados com maçarico.
d + 6mm (d ≤ 19mm) d + 7mm (19 < d < 26mm) a= d + 9mm (26 ≤ d ≤ 33mm) 1,25d (d ≥ 33mm )
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
53
Ricardo Gaspar
6.3. Dimensionamento Dimensionamento dos conectores e dos elementos de ligação (sem efeito de fadiga) Resistência dos aços utilizados nos conectores
Tipo de conector Grau 1 Rebites ASTM A502 ou EB-49 Grau 2 Parafusos comuns d ≤ 102mm (4”) ASTM A307 (12,7 ≤ d ≤ 25,4)mm (½” ≤ d ≤ 1”) Parafusos de alta resistência ASTM A325 (25,4 ≤ d ≤ 38,1)mm (1” ≤ d ≤ 1 ½”) Parafusos de alta (12,7 ≤ d ≤ 38,1)mm resistência ASTM A490 (½” ≤ d ≤ 1½”) ASTM A36 Barras rosqueadas r osqueadas ASTM A588
f y (MPa)
f u (MPa) 415 525 415
635
825
560
725
895
1035
250 345
400 455
O dimensionamento dos conectores no estado limite último é feito com base nas modalidades de ruptura da ligação, representadas na Figura abaixo.
Figura: Modalidades de ruptura em ligações l igações com conectores a) ruptura por corte do fuste do conector; b) ruptura por esmagamento esmagamento da chapa na superfície de apoio apoio do fuste do conector; conector; c) ruptura por rasgamento da chapa entre o furo e a borda ou entre dois furos consecutivos; d) ruptura por tração da chapa na seção transversal líquida.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
54
Ricardo Gaspar
6.3.1. Dimensionamento ao corte A resistência de cálculo de conectores ao corte é dada por 0,6 f u, onde f u é a tensão de ruptura à tração do aço do parafuso. Rdv
= φ v Rnv
Rnv
= A g (0,6 f u )
onde: φ v = 0,60 para
parafusos comuns e barras rosqueadas
φ v = 0,65 para parafusos de alta resistência e rebites Rnv = resistência nominal para um plano de corte f u = tensão de ruptura à tração do aço do
parafuso
Resistências nominais para um plano de corte Rebites
Rnv
Parafusos e barras rosqueadas:
Rnv
Parafusos de alta resistência (A325 ou A490), com rosca fora do plano de corte Parafusos de alta resistência em ligações por atrito
= A g (0,6 f u )
= 0,7 A g (0,6 f u )
Rnv
= A g (0,6 f u )
Verificar em adição a resistência ao deslizamento
A utilização do coeficiente 0,70 para parafusos comuns e barras rosqueadas admite a situação mais desfavorável de plano de corte passando pela rosca, considerando a área da seção efetiva da rosca igual a 0,7 da área da seção do fuste. No caso de parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, é necessário verificar adicionalmente a resistência ao deslizamento da ligação.
6.3.2. Dimensionamento ao esmagamento da chapa (pressão de apoio) No caso de furação padrão, a resistência Rd à pressão de apoio entre o fuste do conector e a parede do furo é dada pela seguinte expressão: Rd = φ (3 d t f u )
com
onde: d = diâmetro nominal do conector; t = espessura da chapa; f u = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.
φ = 0,75
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
55
Ricardo Gaspar
6.3.3. Dimensionamento ao rasgamento da chapa No caso de furação padrão, a resistência Rd ao rasgamento da chapa entre conectores ou entre um conector e uma borda, é dada por: Rd = φ (a t f u )
com
φ = 0,75
onde: a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa medida na direção da força solicitante para a resistência ao rasgamento entre um furo extremo e a borda da chapa; a = distância entre o centro do furo e a borda do furo consecutivo, medida na direção da força solicitante para a determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre furos, s – d / igual a ( s / 2), sendo s o espaçamento entre os centros de furos;
t = espessura da chapa; f u = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.
6.3.4. Dimensionamento à tração da chapa A resistência de cálculo de conectores a corte é dada por: Rdt = φ t Rnt
onde: φ v = 0,65 para
parafusos comuns e barras rosqueadas
φ v = 0,75 para parafusos de alta tensão e rebites Rnt = resistência nominal à tração
igual a 0,6 f u, onde f u é a tensão de ruptura à tração do aço do parafuso.
Rebites:
Rnt = A g f u
Parafusos e barras rosqueadas :
para parafusos e barras rosqueadas, com diâmetro
nominal igual ou superior a 12mm, Rnt pode ser expresso em função da área bruta ( A g ) do fuste: Rnt = 0,75 A g f u , onde, 0,75 representa a relação entre a área efetiva da parte rosqueada e a área bruta do fuste.
Parafusos de alta resistência em ligação por atrito: No caso de parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, é necessário verificar adicionalmente a resistência ao deslizamento da ligação.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
56
Ricardo Gaspar
6.3.5. Ruptura por cisalhamento de bloco Os elementos de ligação também devem ser dimensionados de forma a impedir a ruptura por cisalhamento de bloco em um perímetro definido pelos furos, envolvendo cisalhamento nos planos paralelos à força e tração em um plano normal a força. Conforme ilustrado na figura abaixo. lv
At = área tracionada
lt N
N
Av = área cisalhada
lv
At = área tracionada N
lt
N
Av = área cisalhada
Figura: Ruptura por cisalhamento de bloco de uma chapa de ligação. O esforço é transferido à chapa pelos conectores, ligados a outra chapa ou perfil.
A ruptura por cisalhamento de bloco pode ocorrer ao longo de uma linha de conectores Condições para o dimensionamento: dimensionamento:
Norma NBR 8800 ASIC/95 onde:
Condição l v ≥ 3l t quando
Resistência de cálculo ( Rd ) Rd = φ ( Av + At )(0,6 f u ) com φ = 0,75
se 0,6 Avn f u > Atn f u
Rd = φ 0,6 f u Avn
+ f y Atg com
se f u Atn > 0,6 f u Avn
Rd = φ 0,6 f y Avg + f u Atn
φ = 0,75
com φ = 0,75
Avg = área cisalhada bruta
Avn = área cisalhada líquida
Atg = área tracionada bruta
Atn = área tração líquida
6.3.6. Combinação de conectores O trabalho em conjunto de conectores diferentes depende da rigidez da ligação executada com cada tipo. Em construções novas ou existentes, os parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, podem ser considerados considerados trabalhando trabalhando em conjunto conjunto com rebites.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
57
Ricardo Gaspar
6.3.7. Dimensionamento à tração tração e a corte simultâneos – fórmulas fórmulas de interação No caso de incidência simultânea de tração e corte, verifica-se a interação das duas solicitações por meio de expressões empíricas que fornecem o limite superior da resistência de cálculo à tração.
• Barras rosqueadas ou parafusos comuns: φ t Rnt < 0,64 A g f u − 1,93V d • Parafusos de alta tensão ( d < < 38mm), com rosca no plano de corte: φ t Rnt < 0,69 A g f u − 1,93V d • Rebites e parafusos de alta tensão ( d < < 38mm), com rosca fora do plano de corte: φ t Rnt < 0,69 A g f u − 1,50V d onde V d d é o esforço cortante solicitante de projeto atuando na seção considerada.
6.3.8. Resistência ao deslizamento em ligações por atrito A resistência ao deslizamento deve ser mais que a força de corte transmita na ligação devida à combinação mais desfavorável de carga em um estado limite de utilização uti lização (sem majoração). Nos valores indicados para o coeficiente de atrito está incluído um coeficiente de segurança contra o deslizamento da ordem de 1,2.
Força máxima de atrito
F at ,max
= µ F c =
P
onde: P = = força de protensão inicial no parafuso µ = = coeficiente de atrito entre as superfícies
Se, além da força F de tração longitudinal, as chapas estiverem também sujeitas a uma força de tração perpendicular, T a a força de compressão F c entre as chapas é reduzida a: F at ,max
= ( P − T )
Segundo a NBR 8800, a resistência ao deslizamento pode ser calculada por: Rv
= µξ ( P − T )
onde: P = = força mínima de protensão dada nas Tabelas A-55 do Anexo A (Livro PFEIL p.290) ξ = fator de redução que dependo do furo, sendo igual a 1,0 para furo do µ = = 0,28, exceto
tipo padrão.
no caso de superfície com banho vinílico, quando µ = = 0,25.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
58
Ricardo Gaspar
Exemplos 1. Duas chapas de 204mm × 12,7mm (½”) em aço ASTM A36 são emendadas com chapas laterais de 9,5mm e parafusos comuns (A307) φ 22mm. As chapas estão sujeitas às forças N g =200kN, oriunda de carga permanente de grande variabilidade e N q=100kN, de carga variável de utilização. Verificar a segurança da emenda. Dados: coeficientes de majoração das ações γ g =1,4 e γ q=1,5. 51
70
51
51
70
51
8 3
4 6 m m 4 0 2 4 6
8 3
medidas em milímetros
t=9,5mm
t=12,7mm N
N
t=9,5mm
Solução
•
Esforço solicitante de projeto
N d = γ g N g + γ q N q N d = 1,4 × 200 + 1,5 × 100 = 430 kN
•
Esforço resistente de cálculo O esforço resistente de cálculo à tração ( Rdt ) será o menor dentre os encontrados nos seguintes casos: a) corte (corte duplo nos parafusos) Rdt = φ Rnv
com
φ v = 0,60 para
Chapa de aço A36 = MR250 → Parafuso comum A 307 A g =
π × 2,22 2
4
parafusos comuns e barras rosqueadas f y = 250 MPa
→
e
f u = 400 MPa f u = 415 MPa
= 3,88 cm 2
Rd
= φ 0,7 A g (0,6 f u )
Rd
= 0,60 × (0,7 × 3,88) × (0,6 × 41,5) × 2 × 6 = 487 kN
com φ = = 0,60
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
59
b) ruptura por pressão de apoio Rdt = φ 3 d t f u
com
φ = 0,75
Rdt = 0,75 × ( 3 × 2,22 × 1,27 × 40) × 6 = 1522 kN
onde: d = diâmetro do conector = 2,22 cm t = espessura da chapa = 1,27 cm (Notar que as espessuras das duas chapas de 9,5mm resultam em (9,5+9,5) 19mm, valor maior do que a espessura da chapa de 12,7mm). f u = tensão última do aço A36 da chapa = f u = 40 kN/cm 2.
nº de parafusos = 6 c) Ruptura por rasgamento da chapa Rdt = φ a t f u
com
φ = 0,75
Rdt = 0,75 × (5,1 × 1,27 × 40) × 6 = 1166 kN
o valor de a será o menor entre os seguintes valores: a=5,10
a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa, medida na direção do esforço para resistir ao rasgamento entre um furo e a borda da chapa.
a = distância entre centros de furos consecutivos, medida na direção da força solicitante para determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre a=5,89 furos; igual a a = ( s − d / 2) , sendo s o espaçamento entre centros de furos. a = (7,0 − 2,22 / 2) = 5,89 cm t = espessura da chapa = 1,27 cm f u = tensão última do aço A36 da chapa = f u = 40 kN/cm 2.
nº de parafusos = 6 d) tração na chapa (12,7mm) ( 12,7mm)
• ruptura da seção líquida Rdt = φ An f u com An
φ = 0,75
= [20,4 − 3 × (2,22 + 0,35)]× 1,27 = 16,12 cm 2
Rdt = 0,75 × 16,12 × 40 = 484 kN
• escoamento da seção bruta Rdt = φ b t f y com
φ = 0,90
Rdt = 0,90 × 20,4 × 1,27 × 25 = 583 kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
60
e) ruptura por cisalhamento de bloco como 0,6 Avn f u > Atn f u , tem-se: Avn
= [(7 + 5.1) − 1,5 × (2,22 + 0,35)]× 1,27 × 2 = 20,9 cm 2
Atn
= [7,6 − 1,0 × (2,22 + 0,35)]× 1,27 = 6,4 cm 2
Atg = 2 × 3,8 × 1,27 = 9,6 cm 2 Rd = φ 0,6 f u Avn
+ f y Atg
com
φ = 0,75
Rd = 0,75 × (0,6 × 40 × 20,9 + 25 × 9,6) = 556 kN
Conclusão Comparando os resultados, verifica-se que o esforço resistente de cálculo à tração da emenda é determinado pela ruptura da seção líquida da chapa ( Rdt =484 kN) e que o projeto da emenda é satisfatório para os esforços solicitantes.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
61
Ricardo Gaspar
2. O tirante de uma treliça de telhado é constituído por duas cantoneiras (2½” ×1/4”) com ligação a uma chapa de nó de treliça aço MR250, com espessura de 6,3mm, utilizando parafusos comuns φ 12,7mm. Determinar o esforço normal resistente do tirante, desprezando o pequeno efeito da excentricidade introduzida pela ligação. 6.3mm
m m 5 3
ø12.7 .7 2 1
N
N 25
40
40
40
40
m m 9 2
25
Solução: O esforço resistente de cálculo (R d) é o menor entre os valores encontrados nos seguintes casos: a) corte (corte duplo nos parafusos)
= φ 0,7 A g (0,6 f u )
com
Parafuso comum A 307
→
Rd
A g = Rd
π × 1,27 2
4
φ v = 0,60
para parafusos comuns f u = 415 MPa
= 1,27 cm 2
= φ 0,7 A g (0,6 f u )
com φ = = 0,60
Rd = 0,60 × (0,7 × 1,27 ) × (0,6 × 41,5) × 2 × 5 = 133 kN
Notar que são dois planos de cortes e cinco parafusos parafusos b) ruptura por pressão de apoio Chapa de aço A36 = MR250 → Rdt = φ 3 d t f u
com
f y = 250 MPa
e
f u = 400 MPa
φ = 0,75
Rdt = 0,75 × ( 3 × 1,27 × 0,63 × 40) × 5 = 360 kN
onde: d = diâmetro do conector = 1,27 cm t = espessura da chapa = 0,63 cm f u = tensão última do aço MR250 da chapa = f u = 40 kN/cm 2. nº de parafusos = 5 c) Ruptura por rasgamento da chapa Rdt = φ a t f u
com
φ = 0,75
Rdt = 0,75 × (2,5 × 0,63 × 40) × 5 = 236 kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
62
o valor de a será o menor entre os seguintes valores: a=2,50 a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa, medida na direção do esforço para resistir ao rasgamento entre um furo e a borda da chapa. cm a = distância entre centros de furos consecutivos, medida na direção da força solicitante para determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre a=3,36 furos; igual a a = ( s − d / 2) , sendo s o espaçamento entre centros de furos. cm a = (4,0 − 1,27 / 2) = 3,36 cm t = espessura da chapa = 0,63 cm nº de parafusos = 5 f u = tensão última do aço A36 da chapa = f u = 40 kN/cm 2. d) tração na chapa (6,3mm)
• ruptura da seção líquida Como o esforço de tração é transmitido apenas por uma aba do perfil, calcula-se a seção líquida efetiva aplicando-se um coeficiente redução C t=0,85. Diâmetro do furo: d+3,5mm
=
12,7+3,5=16,2mm 12,7+3,5=16,2mm
Área da cantoneira de abas iguais (2½” ×1/4”) An,ef
A=7,68 cm2.
= 0,85 × 2 × (7,68 − 0,63 × 1,62) = 11,32 cm 2
Rdt = φ An f u
φ = 0,75
com
Rdt = 0,75 × 11,32 × 40 = 339 kN
• escoamento da seção bruta Rdt = φ b t f y com
φ = 0,90
Rdt = 0,90 × (7,68 + 7,68) × 25 = 345 kN
e) ruptura por cisalhamento de bloco como 0,6 Avn f u > Atn f u , tem-se: Avn
= (4 × 4 + 2,5 − 4,5 × 1,62) × 0,63 × 2 = 14,2 cm2
Atn
= 2,9 − 0,5 × 1,62 × 0,63 = 2,39 cm 2
Rd = φ 0,6 f u Avn
+ f y Atg
com
Atg = 2,9 × 0,63 × 2 = 3,65 cm 2 φ = 0,75
Rd = 0,75 × (14,2 × 0,6 × 40 + 3,6 × 25) = 324 kN
Conclusão: Comparando os resultados, verifica-se que o esforço resistente de cálculo da ligação é determinado pela resistência ao corte dos parafusos: Rd =133 kN.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
63
6.4. Ligações soldadas 6.4.1. Tipos, qualidade e simbologia de soldas 6.4.1.1 Definição, processos construtivos A solda é um tipo de união obtida por fusão das partes adjacentes. A fusão pode ser obtida de forma elétrica, química e mecânica. A solda elétrica é a mais utilizada na indústria da construção. A fusão é produzida por um arco voltaico que se dá entre o eletrodo e o aço a soldar, havendo deposição do material do eletrodo. A ruptura de uma ligação soldada pode se dar na seção do material depositado (metal da solda), ou na interface entre o material depositado e a peça (metal-base). Cuidados especiais devem ser tomados para que não haja retração da solda após o seu resfriamento, o que pode causar distorção dos perfis. O aquecimento e o posterior resfriamento entre partes do perfil resultam tensões residuais internas nos perfis. 6.4.1.2 Tipos de eletrodo Os eletrodos geralmente são varas de aço-carbono ou aço de baixa liga. Os eletrodos podem ser revestidos ou não. Os eletrodos com revestimento são designados pela ASTM por expressões do tipo E70XX onde: E = eletrodo 70 = resistência à ruptura da solda em ksi 2 X = número que se refere refere à posição posição de soldagem soldagem satisfatória (1: qualquer posição; 2: somente na posição horizontal) Os principais tipos de eletrodo empregados na indústria são: E60 f w= 415 MPa e E70 f w= 485 MPa Eletrodo manual revestido: o revestimento é consumido juntamente com o eletrodo da solda, transformando-se parte em gases inertes, parte em escória. O eletrodo manual revestido é o mais utilizado na indústria. 6.4.1.3 Soldabilidade dos aços estruturais A soldabilidade dos aços reflete a maior ou menor facilidade de se obter uma solda resistente e sem trincas. Para o aço A-36 utilizam-se eletrodos E60XX e E70XX do tipo comum ou de baixo hidrogênio.
2
ksi = kip per square inches: 1ksi = 6,897 MPa
kip = kilo pound = 4,4497 kN.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
64
Para os aços de baixa liga (A242, A441, A572) recomendam-se eletrodos E70XX ou E80XX do tipo baixo hidrogênio. Deve-se evitar o resfriamento repentino da solda (p. ex. com água), pois nesse caso, se forma no local uma estrutura cristalina dura e quebradiça, com propensão à ruptura frágil, com aparecimento de trincas. 6.4.1.4 Defeitos na solda Os principais defeitos na solda são os seguintes:
• fusão incompleta e penetração inadequada decorrem em geral de insuficiência de corrente elétrica;
• porosidade: retenção de pequenas bolhas de ar durante o resfriamento; freqüentemente causada por excesso de corrente ou distância excessiva entre o eletrodo e a chapa;
• inclusão de escória: usual em soldas feitas em camadas, quando não se remove totalmente a escória em cada passe;
• fissuras causadas por resfriamento rápido do material 6.4.1.5 Controle e inspeção da solda A NBR 8800 indica as especificações e técnicas para execução de soldas estruturais, qualificação de soldadores e procedimentos de inspeção. Para as estruturas comuns basta inspeção visual. Nas indústrias de perfis e nas estruturas de grande responsabilidade utilizam-se ultra-som, radiografia ou líquido penetrante para as inspeções. 6.4.1.6 Classificação de soldas de eletrodo quanto à posição do material de solda em relação ao material-base
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
65
6.4.1.7 Classificação quanto à posição relativa das peças soldadas
Tipos de ligações soldadas segundo a posição relativa das peças
6.4.1.8 Simbologia de solda
6.4.2. Elementos construtivos para projeto 6.4.2.1 Soldas de entalhe As soldas de entalhe são previstas para total enchimento do espaço entre as peças ligadas. Utiliza-se a seção do metal-base de menor espessura nos cálculos. 6.4.2.2 Soldas de filete As soldas de filete são assimiladas, para efeito de cálculo, a triângulos retângulos. Os filetes são designados pelos comprimentos de seus lados.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
66
Ricardo Gaspar
Um filete 6mm ×10mm designa filete com lado de 6mm e outro de 10mm. Na maioria dos casos, os filetes são iguais. Denomina-se garganta do filete a espessura desfavorável (t); perna, o menor lado do filete e raiz, a interseção das faces de fusão. A área efetiva para o cálculo de um filete de solda de lados iguais (b) e comprimento (l) é dada por A = t .l = 0,7b.l .
b1
b
t
t
b2
b
t = 0,7b
t =
b1 ⋅ b2 b12
+ b22
Os filetes de solda devem ser tomados com certas dimensões mínimas para evitar o resfriamento brusco da solda e assim garantir a fusão dos materiais e minimizar distorções. A dimensão (lado) mínima do filete é determinada em função da chapa mais grossa, conforme indicado na Tabela abaixo. Entretanto, o lado do filete não precisa exceder a espessura da chapa mais fina, a não ser por necessidade de cálculo. Tabela: Dimensões mínimas de filetes de solda (AISC, NBR8800) Espessura da chapa mais grossa (mm) até 6,3 6,3 – 12,5 12,5 – 19 > 19
Lado do filete (b) (mm) 3 5 6 8
As dimensões máximas a adotar para os lados dos filetes são condicionadas pela espessura da chapa mais fina. Num filete de solda de comprimento l , em cada extremidade há um pequeno trecho em que a espessura da garganta cai até zero. A norma brasileira especifica que o comprimento mínimo construtivo do cordão de solda deve ser: l ≥ 4b ≤ 40 mm .
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
67
Ricardo Gaspar
6.4.3. Resistência das soldas 6.4.3.1. Soldas de entalhe: As resistências de cálculo das soldas são dadas em função de uma área efetiva de solda: Aw
= t ⋅ l
onde: t = espessura efetiva l = comprimento efetivo Para soldas de entalhe de penetração total sujeitas a tensões de compressão ou tração, paralelas ou perpendiculares ao eixo da soldas, as resistências de cálculo são obtidas com base na tensão de escoamento ( f y) do metal-base. Metal base
Rd = φ Rn
= 0,90 Aw ⋅ f y
(a)
Para soldas de penetração total sob tração ou compressão, paralelas ou perpendiculares ao eixo da solda, a resistência é determinada com o menor valor entre as equações (a) e (b). Metal da solda
Rd = φ Rn
= 0,75 Aw (0,6 f w )
(b)
onde f w é a tensão resistente do metal da solda solda Para tensões de cisalhamento, as tensões atuantes em direções diferentes são combinadas vetorialmente. A resistência de projeto ( Rd ) é dada pelas seguintes expressões, adotando-se o menor valor: Metal-base:
Rd = φ Rn
= 0,90 Am 0,6 f y
Metal da solda
Rd = φ Rn
= 0,75 Aw (0,6 f w )
6.4.3.1. Soldas de filetes: As resistências de cálculo das soldas são dadas em função das áreas: Am = área do metal-base = b.l ;
onde: t é é a espessura da garganta
Aw = área da solda = t.l
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
68
Ricardo Gaspar
Para esforços solicitantes de tração ou compressão atuando na direção paralelas ao eixo longitudinal da solda, a resistência de cálculo do filete pode ser determinada com os parâmetros do metal-base. metal-base. Os esforços solicitantes em qualquer direção no plano perpendicular ao eixo longitudinal da solda são considerados, para efeitos de cálculo, como esforços cisalhantes. A resistência de cálculo pode ser obtida por meio das seguintes expressões, adotando-se o menor valor. Metal-base:
Rd = φ Rn
= 0,90 Am 0,6 f y
Metal da solda
Rd = φ Rn
= 0,75 Aw (0,6 f w )
Quando a solda estiver sujeita a tensões não uniformes, a resistência pode ser determinada em termos de esforço por unidade de comprimento, com o menor valor entre os dois seguintes: Metal-base:
Rd = φ Rn
= 0,90b 0,6 f y
Metal da solda
Rd = φ Rn
= 0,75t (0,6 f w )
Para um filete de lados iguais a×b, garganta t e e comprimento l tem-se, tem-se, na Tabela abaixo os valores da resistência (tensões em MPa), referidas à área de solda Aw = t ⋅ l (em mm2). Tabela: Tensões resistentes de cálculo
Aço
Eletrodo
φ Rn
= τ rest ⋅ l ,
τ res ( MPa)
MR250
E60
Metal-base 192,8 ⋅ tl
MR250
E70
192,8 ⋅ tl *
218,3 ⋅ tl
266,1 ⋅ tl
218,3 ⋅ tl *
AR345 E70 * determinante no dimensionamento
Metal da solda 186,8 ⋅ tl *
6.4.3.3 Combinação de soldas com conectores Em construções novas, os parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, podem ser considerados considerados trabalhando trabalhando em conjunto com com soldas. Nas combinações com parafusos comuns, as soldas devem ser dimensionadas para resistir ao total das solicitações de cálculo da ligação. Em construções existentes, reforçadas com soldas, os parafusos de alta resistência existentes podem ser considerados para resistir às solicitações da carga permanente já atuante. As solicitações devidas aos novos carregamentos devem ser resistidas pelas soldas de reforço que forem acrescentadas à ligação.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
69
Ricardo Gaspar
7. PEÇAS COMPRIMIDAS 7.1. Introdução Considerando
as
barras
retas
axialmente
comprimidas,
verifica-se
experimentalmente que, sob a ação de carregamentos crescentes, pode ser atingido um estado limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica P crit crit , ou carga de flambagem. Em regime elástico, para cargas maiores do que a crítica aplicada em barras, cujo material apresenta comportamento elástico linear, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida (Figura 1), ou seja, uma curva, denominada linha elástica.
y
x
P
y
P x
L Figura 1 Flambagem de Euler
A Figura 1 ilustra o Caso Fundamental da da flambagem apresentado pelo matemático suíço Leonhard EULER (1707-1783) para barras articuladas nas extremidades. A barra pode perder a sua estabilidade sem que o material tenha atingido seu limite de escoamento. O colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. Para materiais estruturais como, madeira, concreto e aço, o estado limite de flambagem é um estado limite último. De fato, para cargas pouco superiores à carga crítica, o deslocamento horizontal máximo corresponde a uma fração apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe por flambagem. Em certos materiais, principalmente nas chamadas matérias plásticas como, por exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores à carga crítica de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado limite último.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
70
As barras comprimidas devem ser verificadas tanto para a possibilidade de ruptura por compressão, compressão, como também por por flambagem.
7.1.1. Flambagem elástica ) foi deduzida por Euler a partir da equação A carga crítica de flambagem (P crit crit
diferencial da linha elástica de uma barra axialmente comprimida, considerando o comportamento de um pilar ideal, que se supõe perfeitamente reto, comprimido axialmente por uma carga centrada, e constituído de material isótropo e elástico linear. A determinação dos deslocamentos horizontais da barra da Figura 1 exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha elástica para barras fletidas: d 2 y
1 r
=
dx 2
3/ 2
dy 2 1 + dx
=
M EI
Contudo, é possível obter-se boa aproximação se, em lugar da equação exata, for empregada a equação aproximada da linha elástica: 1 r
≅
d 2 y dx
=
2
M EI
da Figura 1 verifica-se que o momento fletor produzido pela carga P é: é: M = Py , então: d 2 y dx 2
indicando
k 2
=
P EI
=
Py EI
, chega-se à seguinte equação diferencial: d 2 y dx
2
= k 2 y
A resolução da equação diferencial acima fornece o valor da carga crítica de ), embora fiquem indeterminados os deslocamentos da configuração flambagem (P crit crit
fletida. P crit =
π 2 EI L2
(1)
A carga crítica de flambagem, P crit crit é o valor da força de compressão capaz de provocar o início da flambagem. Este valor depende depende somente do módulo de elasticidade elasticidade do material (E) e da geometria da barra (momento de inércia I e e comprimento L).
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
71
Ricardo Gaspar
A fórmula da carga crítica de Euler foi deduzida considerando uma barra articulada nas extremidades. Entretanto, esta fórmula pode ser adaptada para outras condições de contorno tomando, em lugar do comprimento real L, um comprimento modificado (Le ), também chamado comprimento equivalente de flambagem, onde ( Le = k ⋅ L) . Assim, a fórmula de Euler pode ser reescrita: P crit =
π 2 EI Le
2
(2)
A Figura ao lado ilustra diversas formas de linhas elásticas, conforme o tipo de fixação de suas extremidades, ou seja, conforme as condições de contorno da barra, com seus
respectivos
coeficientes
L
de
flambagem
(k)
para
barras:
a)
articuladas
nas
extremidades;
b)
engastada e articulada; c) engastada nas extremidades e d) engastada em
k=1,0 a
k=0,7 b
k=0,5 c
uma extremidade e a outra livre.
Figura 2 Coeficientes de flambagem f lambagem
k=2,0 d
σcrit crit ) em peças comprimidas é obtida pela divisão da carga axial A tensão crítica ( σ
crítica pela área da seção comprimida. σ crit =
P cr A
Substituindo a formulação da carga crítica de Euler na expressão acima, obtém-se: σ crit =
π 2 EI AL2e
(3)
Do estudo das características geométricas de figuras planas, sabe-se que o raio de giração é definido pela expressão: i =
onde: i = raio de giração I = = momento de inércia A= área da seção transversal
I A
(4)
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
72
Relacionando o comprimento da barra com as dimensões da seção transversal, introduz-se o conceito de índice de esbeltez ( ), definido como a razão entre o comprimento da barra e seu raio de giração, ou seja: λ =
L
(adimensional)
i
(5)
onde: λ = índice de esbeltez L = comprimento da barra i = raio de giração da
seção transversal
Logo, a tensão crítica de flambagem de barras axialmente comprimidas pode ser expressa por: σ crit =
π 2 E λ 2
(6)
A equação acima só é válida no regime elástico, ou seja, enquanto a tensão crítica de compressão σ crit for inferior ao limite de proporcionalidade f p do material. Isolando-se o índice de esbeltez, obtém-se: λ = = π
E σ crit
Quando σ crit = f p , atingi-se um valor limite de esbeltez: λ = λ lim
= π
E f p
Portanto, a fórmula de Euler é válida para λ ≥ ≥ λ lim , pois nesse caso a flambagem ocorre em regime elástico. As normas de dimensionamento de estruturas metálicas estabelecem limites para o índice de esbeltez:
• Edifícios (AISC, NBR8800)
λ ≤ 200
• Pontes (AASHTO)
λ ≤ 120
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
73
Ricardo Gaspar
7.1.2. Flambagem inelástica Entre a tensão limite de proporcionalidade ( f p) e a tensão de escoamento ( f y) do material pode ocorrer a flambagem inelástica. O termo flambagem inelástica é usado pelo fato de, neste trecho, não ter mais validade a Lei de Hooke.
de flambagem com índice de esbeltez,
obtém-se
o
curva de Euler
σcr
Relacionando a tensão crítica
f y
gráfico
ilustrado ao lado.
f p
Neste gráfico, tem-se:
flambagem inelástica
f y = tensão de escoamento do aço
flambagem elástica
f p = tensão limite de proporcionalidade
λ lim
λ
Figura 3. Diagrama tensão–índice de esbeltez
Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do material, a fórmula de Euler perde a sua validade. Para estes casos, utilizam-se formulações apresentadas por algumas normas, como, por exemplo, a fornecida pela NBR8800 — Projeto e execução execução de estruturas de aço de edifícios, antiga NB-14: σ crit = 240 − 0,0046λ 2 σ crit =
π 2 E λ 2
para
λ < 105
para
λ > 105
Outra é a formulação para o cálculo de peças com índice de esbeltez menor do que o limite λ < < λ lim é aquela apresentada pelo AISC - American Institute of Steel Construction. σ crit = 1195 − 0,0341λ 2 (kgf/cm2)
aplicável para λ < 120 para peças principais. Para peças secundárias, com 120 < λ < 200 , a tensão crítica é dada por: σ crit =
1266 1+
2
λ
1266
(kgf/cm2)
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
74
Ricardo Gaspar
A fórmula do AISC fornece fornece a tensão admissível de flambagem, ou seja nela já está considerado um coeficiente de segurança. O valor da carga crítica ( P crit crit ) de Euler corresponde a uma carga de ruptura, conseqüentemente é necessário aplicar coeficientes de segurança apropriados para o dimensionamento.
Exemplos 1. Determinar o índice de esbeltez limite ( λ lim lim) para o aço com tensão limite de proporcionalidade f p=19 kN/cm2 e Módulo de Elasticidade E =21000 =21000 kN/cm2. λ lim
= π
E
λ lim
f p
= π
21000 ≅ 105 19
Portanto, para peças de aço, a fórmula de Euler é válida para índice de esbeltez λ >105 .
2. Determinar o índice de esbeltez de uma barra articulada nas extremidades, com 8m de comprimento e seção transversal retangular de a=20cm e b=25cm. Solução: Como a barra é articulada nas extremidades, o coeficiente de flambagem é k=1, logo o comprimento equivalente é o próprio comprimento da barra. Sendo a menor que b, o momento de inércia mínimo da seção transversal é: I min = e a área da seção transversal é e o raio de giração mínimo é: como, λ min = Resposta:
L imin
, tem-se:
λ min
= 138,4
b × a3
A = a ⋅ b
imin
=
I min A
L λ min = 3,46 a
imin
=
b ⋅ a3
12 ⋅ a ⋅ b λ min
=
= 3,46 ×
a
12
≅
a
3,46
800 = 138,4 20
12
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
75
Ricardo Gaspar
3. Uma barra prismática de aço de seção transversal retangular medindo (4 ×5)cm, é articulada nas extremidades e está submetida a uma carga axial de compressão. Sendo a tensão limite de proporcionalidade do aço f p=19 kN/cm2 e o Módulo de Elasticidade kN/cm2, determinar o comprimento mínimo L desta barra para não ocorrer o
E =21000 =21000
fenômeno da flambagem. λ lim
imin λ min
E
= π
= =
f p
I min A Le imin
λ lim
21000 = 104,4 19
5 × 43 = 12 = 1,15 cm 5× 4
imin Le
= π
= λ min ⋅ imin
Le
= 104,4 × 1,15 = 120
cm
Como a barra é articulada nas extremidades, o coeficiente de flambagem k=1. Logo, L = Le/k = = 120cm. Este é o comprimento mínimo da barra para não ocorrer flambagem. Se a barra fosse engastada na base e a outra extremidade livre, então k=2, logo, L = Le/2 = 60cm.
4. Uma barra de aço é articulada nas extremidades, com comprimento L=160cm e seção transversal quadrada, com lado igual a 22cm. Determinar a carga máxima de compressão pela formulação de Euler. Dado: E =21000 =21000 kN/cm2. A = 5 × 5 = 25 cm 2
Área:
Momento de Inércia: I = = Raio e giração:
i =
Índice de esbeltez:
λ =
a4
54 I = = 52,08 cm 4 12
12 I
i
A Le
λ =
i
=
52,08 = 1,44 cm 25
k ⋅ ⋅ L i
k = 1
λ =
160 = 111,1 > 105 1,44
Portanto, trata-se de flambagem elástica Tensão crítica: σ crit =
P crit A
σ crit =
π 2 E λ 2
P crit = σ crit × A
σ crit =
π 2 × 21000
111,12
= 16,79
P crit = 16,79 × 25 = 420 kN
kN cm 2
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
76
Ricardo Gaspar
5. Uma barra de aço, com comprimento L=135cm, articulada nas extremidades, possui seção transversal circular com diâmetro igual a 5cm. Determinar a carga máxima de compressão pela formulação do AISC . . A = I =
π ⋅ d 2
4
π ⋅ d 4
i = λ =
64 I
A = I =
i
A Le
π ⋅ 52
π × 5 4
=
λ =
i
4 64
= 19,63
cm 2
= 30,68
cm 4
30,68 = 1,25 cm 19,63 k ⋅ ⋅ L i
σ crit = 1195 − 0,0341λ 2 (kgf/cm2) σ crit = P crit
P crit A
P crit = σ crit A
k = 1
λ =
135 = 108 < 120 1,25
σ crit = 1195 − 0,0341×108 2
= 797,3 (kgf/cm2)
P crit = 797,3 × 19,63 = 15651 (kgf)
= 15,65 tf = 156,5 kN
Exercícios 1. Duas barras de mesmo comprimento e materiais iguais são submetidas à ação de uma carga axial P de compressão. Uma das barras possui seção transversal circular com diâmetro a e a outra possui seção transversal quadrada de lado a. Verificar qual das barras é a mais resistente, segundo a formulação de Euler. As barras possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades. Resposta: a barra de seção transversal quadrada é a mais mais resistente (Melconian, 2002).
2. Uma barra de aço com 1,2m de comprimento e diâmetro d=34mm, é articulada nas extremidades. Determinar a máxima carga de compressão axial que a barra suporta. Dado: E =21000kN/cm =21000kN/cm2.
Resposta: 94,42kN .
3. Determinar o diâmetro de uma barra de aço com 1,2 de comprimento, articulada nas extremidades e submetida a uma carga axial de compressão de 200kN. Dados: E =21000kN/cm =21000kN/cm2.
Resposta: d=41mm.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
77
Ricardo Gaspar
7.2. Dimensionamento A carga resistente de cálculo, para peças axialmente comprimidas, sem efeito de flambagem local é dada pela equação: N d = φ c ⋅ A g ⋅ f c
com
φ = 0,90
onde: A g = área da seção transversal bruta da seção f c = tensão resistente
à compressão simples com flambagem por flexão
A tensão f c considera o efeito de imperfeições geométricas e excentricidade de aplicação das cargas dentro das tolerâncias de norma, além das tensões residuais existentes nos diferentes tipos de perfis. As normas apresentam tabelas com valores da relação f c / f y em função do índice de esbeltez, apresentado mais à frente. A norma brasileira incluiu quatro curvas (a,b,c,d), aplicáveis a diversos tipos de perfis. Para usos correntes da prática, as curvas mais utilizadas são as curvas b e c, que servem para perfis laminados e soldados com espessuras de chapa inferiores a 40mm. Para os aços de uso corrente obtêm se com a expressão de λ. Aço
MR 250
λ = 0,0111 ⋅ kl / i
Aço
AR 345
λ = 0,0131 ⋅ kl / i
λ =
kl Q ⋅ f y i
π 2 ⋅ E
Peças de seções múltiplas: Denominam-se peças de seções múltiplas, as formadas pela associação de peças simples, com ligações descontínuas. Quando uma peça múltipla se deforma lateralmente, sob efeito de uma força de compressão axial, as ligações descontínuas não conseguem obrigar uma seção inicialmente plana a se manter plana.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
78
Ricardo Gaspar
Classificação das curvas de flambagem para diferentes tipos de seções
x–x y–y
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
Ábaco para cálculo de f de f c em função de .
79
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
80
Ricardo Gaspar
7.3. Flambagem local A flambagem local pode ocorrer em perfis que são constituídos de chapas. As chapas podem sofrer deslocamentos transversais que produzem empenamento. Pode ocorrer flambagem local na alma ou na mesa. A flambagem local depende da esbeltez da chapa, ou seja, a relação b/t. Se esta relação (b/t) for maior que (b/t)limite, então deve-se verificar a flambagem local. A tabela abaixo indica os valores adotados pela NBR 8800 e AISC para os valores limites da relação (b/t). Tabela: Valores limites de b/t em peças comprimidas para impedir flambagem local antes do escoamento do material (AISC e NBR8800).
b1/t Caso de ligação
0,44
E f y
b2/t 0,55
E f y
b3/t 0,74
E f y
b4/t 1,47
E f y
b5/t 1,85
E f y
Aço MR 250
13
16
21
42
53
Aço AR 345
11
13
18
36
45
onde: b1, b2, e b3 são para perfis não enrijecidos b4, e b5 são para perfis enrijecidos
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
81
Ricardo Gaspar
Dimensionamento de peças múltiplas 7.3.1. Parâmetros de flambagem local O parâmetro de flambagem local depende de dois parâmetros e é definido como: Q = Q s ⋅ Qa
onde: Qs é um parâmetro relacionado a elementos não enrijecidos
Qa é um parâmetro relacionado a elementos enrijecidos Parâmetro de flambagem local Qs: Este parâmetro é utilizado em elementos não enrijecidos (b1, b2 e b3), ou seja, elementos que possuem uma borda livre e outra borda apoiada, paralela às tensões de compressão. A flambagem local nestes elementos pode ocorrer na fase elástica ou na fase inelástica.
Flambagem local inelástica Os limites adotados na NBR8800 para a flambagem inelástica são: 0,55
≤ < 1,018 t
E
b
f y
E f y
Introduzindo as tensões de escoamento dos aços MR250 e AR345 na formulação acima, tem-se os seguintes limites: MR 250
16 ≤
b t
< 30
AR 345
13 ≤
e o parâmetro de flambagem local Q s é dado por: Q s
b
f y
t
E
= 1,415 − 0,755 × ×
≤1
Flambagem elástica O limite adotado na NBR8800 para a flambagem elástica é: b t
> 1,018
E f y
e o parâmetro de flambagem local Q s é dado por: Q s
=
0,670 ⋅ E
b f y ⋅ t
2
≤1
b t
< 25
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
82
Ricardo Gaspar
Parâmetro de flambagem local Qa: Este parâmetro é utilizado em elementos enrijecidos (b4 e b5), ou seja, elementos que possuem bordas apoiadas em toda a sua extensão, com a tensão de compressão atuando paralelamente à sua extensão. No elemento enrijecido, a distribuição de tensões não é uniformemente distribuída, ou seja, apresenta elevados valores nos bordos e valores bem reduzidos na região central, conforme apresentado na figura abaixo. Contudo, pode-se definir uma largura efetiva ( bef ) menor que a largura b do elemento, de maneira tal que, a distribuição de tensões seja considerada constante. Esta largura efetiva ( bef ) deve ser constituída por duas partes, localizando-se nas bordas enrijecidas do elemento.
797t 140 1 be = 1− ⋅
Determinação da largura efetiva da alma ( be)
σ cd
b
t
σ cd
com: b e t em centímetros centímetros e a tensão σ cd em MPa. deve-se adotar uma tensão inicial e conferir se é menor do que a tensão resultante, mais abaixo definida. Por definição, o coeficiente Qa é a relação entre a área efetiva e a área bruta da seção. Qa
=
Aef A g
Índice de esbeltez ( ): o parâmetro de flambagem local ( Q) interfere também na determinação do índice de esbeltez da peça: λ =
k ⋅ l Q ⋅ f y i
π 2 ⋅ E
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
83
Ricardo Gaspar
Definido o índice de esbeltez para elementos sujeitos à flambagem local e o tipo de curva (a,b,c,d), determina-se a relação ρ =
f cr f y
por meio do Ábaco para cálculo de f c em
função de . Em seguida, determina-se a tensão de compressão: f c
= ρ ⋅ f y
Tensões resistentes O valor da tensão resistente calculada deve ser menor do que a tensão admitida inicialmente. A tensão resistente na chapa em elementos não-enrijecidos é dada por: σ cd
=
N d Aef
=
σ cd
= φ c ⋅ Q s ⋅ f c
com
φ c
= 0,9
onde Q s é o menor coeficiente dos diversos elementos não-enrijecidos da seção. O cálculo é iterativo já que o esforço normal resistente N d d depende da largura efetiva que, por sua vez, dependa da tensão σ cd cd , função de N d d.
Carga axial de cálculo Finalmente, a carga axial resistente de cálculo é dada por: N d
= φ c ⋅ Q ⋅ A g ⋅ f c
onde: Q = parâmetro de flambagem local
com
φ c
= 0,9
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
84
Ricardo Gaspar
Exemplos 1. Uma coluna tem seção transversal em forma de perfil H, fabricado com duas chapas 8mm×300mm para os flanges e uma chapa 8mm ×400mm para a alma, todos em aço ASTM A-36. O comprimento de flambagem é k.l = 9,84m. Calcular a resistência de cálculo à compressão axial, considerando a flambagem em torno do eixo mais resistente (x-x). Admite-se que a peça tenha contenção lateral impedindo flambagem em torno do eixo de menor resistência (y-y).
Solução:
b2=150mm
y m m 8
a) valores de b/t
8mm
alma: 400 = = 50 > 42 → pode ocorrer flambagem fl ambagem local t 8
m m 0 0 4 = 4 b
b4
x
x
flange: b2 t
=
150 = 18,75 > 16 → pode ocorrer flambagem local 8
m m 8
y
b) coeficiente Qs b
16 < < 30
flange:
Q s
chapa não enrijecida
t
= 1,415 − 0,755 ×
então
150 250 = 0,92 < 1 8 205000
Q s
= 1,415 − 0,755
Q s
= 0,92
b
f y
t E
c) largura efetiva da alma: admitindo-se inicialmente σ cd = 180 MPa , obtém-se: 797t 140 1 be = 1− ⋅
b
t
σ cd
onde: b=cm;
t=(cm);
σcd=MPa
797 × 0,8 140 be = × 1 − = 37,6 cm < 40 cm 40 180 × 180 0,8 adota-se be =37,6 cm a ser verificado posteriormente com o valor calculado para σcd.
≤1
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
A g = 2 × (0,8 × 30) + (0,8 × 40) = 80 cm 2 Qa Aef
85
Ricardo Gaspar
= 2 × (0,8 × 30) + (0,8 × 37,6) = 78 cm 2
=
Aef A g
=
78 = 0,98 80
d) parâmetro de flambagem local Q = Qa ⋅ Q s
Q = 0,98 × 0,92 = 0,90
e) Propriedades geométricas da seção 403 Momento de inércia I x = 2 × 0,8 × 30 × 20,4 + 0,8 × = 24242 cm 4 12 2
Raio de giração:
i x
=
I x A g
=
24242 = 17,4 cm 80
f) parâmetro de esbeltez λ = =
kl Qf y i
π 2 E
λ =
984 0,9 × 250 × 2 = 0,60 17,4 π × 205000
g) tensão resistente (curva b da norma brasileira) e tensão de cálculo σ cd f c
= ρ . f y
f c
= 0,838 × 250 = 210 MPa
σ cd
= φ c ⋅ Q s ⋅ f c
ρ = 0,838
com
φ c = 0,90
σ cd = 0,9 × 0,92 × 210 = 174 MPa
Como a largura efetiva da alma foi calculada para a tensão σ cd cd = 180 MPa, não há necessidade de repetir esse cálculo com σ cd cd = 174 MPa. Se σ cd cd fosse maior que 180 MPa, seria necessário fazer um novo cálculo de largura efetiva.
h) carga axial resistente de projeto N d = φ c ⋅ Q ⋅ A g ⋅ f c
N d = 0,90 × 0,90 × 80 × 21 = 1361 kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
86
Ricardo Gaspar
2. Uma coluna tem seção transversal em forma de perfil H, fabricado com duas chapas 6mm×240mm para os flanges e uma chapa 6mm ×280mm para a alma, todos em aço ASTM A-36. O comprimento de flambagem é k.l = = 6,5m. Calcular a resistência de cálculo para compressão axial, considerando a flambagem em torno do eixo mais resistente (x-x). Admite-se que a peça tenha contenção lateral impedindo flambagem em torno do eixo de menor resistência (y-y).
Solução:
y
a) valores de b/t
b2=120mm
m m 6
alma: b4
=
t
6mm
m m 0 8 2 = 4 b
280 = 46,7 > 42 → pode ocorrer flambagem local 6
x
x
flange: m m 6
120 = = 20 > 16 → pode ocorrer flambagem local t 6
b2
y
b) coeficiente Qs b
16 < < 30
flange: Q s
t
= 1,415 − 0,755 ×
120 = 20 t 6
b
então
=
120 250 = 0,89 ≤ 1 6 205000 Como
b t
< 1,018
205000 = 29,15 250
Q s
= 1,415 − 0,755
Q s
= 0,89
b
f y
t E
≤1
tem-se flambagem inelástica
c) largura efetiva da alma: admitindo-se inicialmente σ cd = 180 MPa , obtém-se: 797t 140 1 be = 1− ⋅
be
b
t
σ cd
onde: b=cm;
t=(cm);
σcd=MPa
797 × 0,6 140 = × 1 − = 27,67 cm < 28 cm 28 180 × 180 0,6
adota-se be =27,67cm a ser verificado posteriormente com o valor calculado para σcd.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
A g
= 2 × (0,6 × 24) + (0,6 × 28) = 45,6 cm 2
Qa
=
Aef A g
=
87
Ricardo Gaspar
Aef
= 2 × (0,6 × 24) + (0,6 × 27,67) = 45,4 cm 2
45,4 = 0,996 45,6
d) parâmetro de flambagem local Q = Qa ⋅ Q s
Q = 0,996 × 0,89 = 0,886
e) Propriedades geométricas da seção Momento de inércia: I x =
ah 3
12
+
B
12
( H 3 − h3 )
a=0,6cm,
B=24cm,
h=28cm,
H=29,2cm 0,6 × 283 24 I x = + × (29,23 − 283 ) = 6978,78 cm4 12 12 raio de giração:
i x
I x
=
A
=
6978,78 = 12,38 cm 45,6
f) parâmetro de esbeltez λ = =
kl Qf y i
λ =
π 2 E
650 0,886 × 250 × 2 = 0,55 12,38 π × 205000
g) tensão resistente (curva b da norma brasileira) e tensão de cálculo σ cd
λ = 0,55 f c
→
tabela, curva b
= 0,86 × 250 = 215 MPa
σ cd
= φ c ⋅ Q s ⋅ f c
com
→
ρ = 0,86
ρ = 0,838 φ c = 0,90
σ cd = 0,9 × 0,89 × 215 = 172,3 MPa
Como a largura efetiva da alma foi calculada para a tensão σ cd cd = 180 MPa, não há necessidade de repetir esse cálculo com σ cd cd = 172,3 MPa. Se σ cd cd fosse maior que 180 MPa, seria necessário fazer um novo cálculo de largura efetiva.
h) carga axial resistente de projeto N d = φ c ⋅ Q ⋅ A g ⋅ f c
N d = 0,90 × 0,886 × 45,6 × 21,5 = 781,8 kN
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
88
8. PEÇAS FLETIDAS
8.1. Introdução Os conceitos fundamentais da flexão normal de barras prismáticas são aqui apresentados para os perfis de aço correntemente utilizados para resistir à flexão normal: as vigas. São consideradas as seguintes hipóteses: a. cargas aplicadas aplicadas ao longo de um dos planos principais de inércia de modo que não há flexão oblíqua; b. a viga não é solicitada solicitada à torção; c. a viga está devidamente devidamente protegida protegida contra qualquer tipo de instabilidade; instabilidade; d. a viga é considerada homogênea, isto é, constituída constituída de um só tipo de material.
Conceitos gerais No projeto no estado limite l imite ultimo de vigas sujeitas à flexão simples, calculam-se para as seções críticas, o momento fletor e o esforço cortante resistentes r esistentes para compará-los aos respectivos esforços solicitantes de projeto. Além disso, devem-se verificar os deslocamentos no estado limite de utilização. A resistência à flexão das vigas pode ser afetada pela flambagem local e pela flambagem lateral. A flambagem local é a perda da estabilidade das partes comprimidas do perfil, a qual reduz o momento resistente da seção. Na flambagem lateral a viga perde seu equilíbrio no plano principal de flexão (em geral vertical) e passa a apresentar deslocamentos laterais e rotações de torção. Para se evitar a flambagem lateral de vigas I, cuja rigidez à torção é muito pequena, é preciso prever contenção lateral à viga. As vigas I são as mais indicadas para resistir à flexão, devendo, entretanto, seu emprego obedecer às limitações de flambagem.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
89
Ricardo Gaspar
8.2. Dimensionamento à flexão 8.2.1. Momento de início de plastificação e momento de plastificação Considere-se o diagrama de momento × curvatura de uma viga simplesmente apoiada sob carregamento crescente, como indicado na Figura abaixo.
M Mp
f y f y
My
L
σ < f y
k = dθ dx
Diagrama momento × curvatura
Hipóteses
• Admite-se que não há flambagem local ou lateral da viga; • M y é o momento de início de plastificação; • M p é o momento resistente igual ao momento de plastificação total da seção. fy
fy
dy
h
M
CG
My
Mp
b
= M / W . A equação tensões normais na flexão normal é dada por: σ =
onde W é é o módulo resistente da seção transversal. Para seções transversais retangulares, o módulo resistente é: W=bh2 /6 . Para as peças metálicas, a tensão limite do regime elástico, ou seja, a tensão de início de plastificação é f y. Assim, o momento de início de plastificação M y é definido por: M y
= f y .W O momento de plastificação total M p é o esforço total resultante do diagrama de
tensões e é definido por: M p
= f y Z .
onde Z=bh2 /4 é o módulo plástico da seção retangular.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
90
Ricardo Gaspar
Coeficiente de forma A relação entre momentos de plastificação total e momento de início de plastificação denomina-se denomina-se coeficiente de forma da seção. Coeficiente de forma:
M p M y
=
Z W
Tabela 1: Módulo plástico (Z) e coeficiente de forma (Z/W) de seções de vigas
Seção
Módulo plástico (Z)
(Z/W)
bh 2
h
1,5
4 b
bt f (h − t f ) +
x-x) ( x-x h
t0
b 2t f
t f
y-y) ( y-y
b
2
t 0
4
(h − 2t )2 f
1 + (h − 2t f )t 02 4
h3
h
6
≈ 1,55 1,7
2t 3 1 − 1 − 6 h
2t 3 1 − 1 − 16 h 3π 2t 4 1 − 1 − h
th 2 (t << h )
1,27 (t << << h)
2t 0 2t f 2 1 − 1 − 1 − h 4 b
≈ 1,12
h3 t
h
≈ 1,12
t f
t0
h
bh 2
b
bh 2
h
12
2
b
8.2.2. Resistência à flexão de vigas com contenção lateral Disposições construtivas de contenção lateral de vigas a) contenção lateral contínua: embebimento da mesa comprimida em laje de concreto ou ligação mesa-laje por meio de conectores;
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
91
Ricardo Gaspar
b) contenção lateral discreta: apoios laterais discretos, formados por quadros transversais, treliças de contraventamento, etc. Nos pontos de apoio vertical das vigas, admite-se sempre a existência de contenção lateral que impede o tombamento do perfil.
Flambagem local A resistência de vigas metálicas à flexão pode ser reduzida por efeito de flambagem local das chapas que constituem o perfil. perfil .
Classificação das seções quanto à ocorrência de flambagem local. Na Tabela abaixo são apresentados os comportamentos das vigas sujeitas a carregamento crescente, mostrando a influência da flambagem local sobre o momento resistente das vigas e sobre as suas deformações. Tabela 2 Resistência à flexão de vigas com contenção lateral Classe
Designação
Comportamento M Mp
1
Seção supercompacta
My
φ
M Mp
2
Seção compacta
My
φ
M Mp
3
Seção não compacta
flambagem local
My
φ
M Mp
4
Seção esbelta
My flambagem local φ
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
92
Ricardo Gaspar
Exemplo: Para o perfil da figura, calcular o coeficiente de forma para flexão em torno do eixo x-x. A = 45cm2. Momento de inércia ( I x) 88,13 2 I x = 2 × (20 × 0,95 × 44,52 ) + 0,8 × = 120903 cm 4 12 120903 W x = Módulo elástico: = 2686,7 cm3 45 Momento plástico: 44,052 = 3244 cm3 Z x = 2 × (20 × 0,95 × 44,52) + 2 × 0,8 × 2 Z x 3244 Coeficiente de forma: = = 1,21 W x 2686,7
200mm
8mm m m 0 0 9
m m 5 . 9
Tabela 3 Valores limites da relação largura-espessura de seções I ou H com um ou dois eixos de simetria fletidas no plano da alma
MR250 AR350
Super compacta classe 1 8,5 7
Compacta classe 2 ( bp) 11 9
Não compacta classe 3 ( br ) 39k * 30k *
MR250 AR350
67 57
100 85
160 136
Local da Flambagem local Mesa:
λ b
=
1 b f 2 t f
Alma λ b = h0
t
Aço
* Valores de k: k = 0,82 para perfis laminados k = 0,62 para perfis soldados
Exemplo: Verificar a classe dos perfis laminados a seguir: Perfil
λ b
I (254 × 37,7) I (508 × 121,2) U (254 × 22,7) U (381 × 50,4)
=
1 b f 2 t f
λ b
4,7 3,8 6,0 5,2
OBS: para a mesa do perfil U adota-se:
=
h0 t
29 30 38 38 λ b
=
classe 1 1 1 1
b f t f
Exemplo: Verificar a classe dos perfis soldados a seguir: Perfil CS (250 × 52) CS (650 × 305) VS (400 × 49) VS (1400 × 260)
λ b
=
1 b f 2 t f
13 14,5 10,5 15,6
λ b
=
h0
29 38 61 109
t
classe 3 3 2 3
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
93
Ricardo Gaspar
Momento resistente de projeto O momento resistente de projeto de vigas metálicas simplesmente apoiadas com momento fletor constante é dado por: M dres dres = φ b.M n
com φ b = 0,90
onde: M n = momento resistente nominal, obtido por análise, sendo seu valor determinado pelo limite de escoamento do aço, ou por flambagem, conforme a tabela abaixo. Tabela 4 Momento nominal M n: Classe 1 2 3 4
Designação Seção supercompacta Seção compacta Seção não compacta Seção esbelta
Momento nominal ( M M n) M p = Z.f y M p = Z.f y Interpolar entre M p e M r r M r r = W.f cr cr
onde: f cr cr = tensão resistente à flexão determinada pela flambagem local elástica, tomado como f cr cr =115MPa M r r = momento resistente nominal para a situação limite entre as classes 3 e 4, isto é, para λ b = λ br br
M seção compacta
seção não compacta
seção esbelta
Mp M r
M cr
λ λ bp
λ br
Figura Variação do momento resistente nominal de vigas I ou H, carregadas no plano da alma com efeito de flambagem local da mesa ou da alma (admite-se contenção de flambagem lateral).
Na situação limite entre seções não compactas (classe 3) seções esbeltas (classe4). isto é, para λ b = λ br , o momento resistente nominal denomina-se M r r. Para perfis I ou H com um ou mais eixos de simetria, M r r é dado pelas expressões:
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
94
Flambagem local da mesa M r = W c f y
− f c < W t f y
onde: f cr cr = tensão W c
residual em perfis laminados ou soldados, considerada como f cr cr =115MPa
, W t t = módulos elásticos da seção, referidos às fibras mais comprimidas e mais tracionadas, respectivamente r espectivamente..
Flambagem local da alma M r = Wf y
onde: W é é o menor módulo resistente da seção Para seções não compactas (classe 3), os momentos nominais podem ser interpolados linearmente entre os valores limites das classes 2 e 3. M n = M p
−
− λ bp ( M p − M r ) λ br − λ bp λ b
Limitação do momento resistente Quando a determinação dos esforços solicitantes, deslocamentos, flechas, etc, é feita com base no comportamento elástico, o momento resistente de projeto fica limitado a: M dres
= 1,25.φ b .W . f y
com φ b = 0,90
Influência dos furos na resistência da seção Na determinação das propriedades geométricas de vigas laminadas ou soldadas, com ou sem reforço de mesa, podem ser desprezados furos para parafusos de montagem em qualquer das mesas, exceto quando a redução da área devida a esses furos, em qualquer das mesas, exceder 15% da área bruta da mesa, caso em que se desconta a área excedente de 15%.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
95
Exemplos: 1. Calcular o momento resistente de projeto de um perfil I (305 × 60,6) (12”) em aço MR250, com contenção lateral contínua. O perfil é super compacto. ho=271,4mm; to=11,7mm; bf =133,4mm; =133,4mm; tf =16,7mm; =16,7mm; Wx=870cm3. Flambagem local Mesa: λ b = Alma: λ b = M dres
b f
2t f h0 t 0
= φ b Zf y
λ b
=
133,4 = 4 < 8,5 2 ×16,7
→
perfil classe 1 super compacto
λ b
=
271,4 = 23,2 < 67 11,7
→
perfil classe 1 super compacto
= 0,9 × 870 × 25 = 19575 kN .cm = 195,75 kN.m
M dres
2. Calcular o momento resistente de projeto de um perfil soldado VS (400 × 49) em aço MR250, com contenção lateral contínua. O perfil é compacto. Não havendo valores tabelados de Z, pode adotar-se em perfis I a relação aproximada (Z ≈ 1,12W). ho=381mm; to=6,3mm; bf =200mm; =200mm; tf =9,5mm; =9,5mm; Wx=870cm3. Flambagem local Mesa: λ b = Alma: λ b =
b f
2t f h0 t 0
λ b
=
200 = 10,5 < 11 2 × 9,5
→
λ b
=
381 = 61 < 67 6,3
perfil classe 1 super compacto
→
perfil classe 2 compacto
Conclusão: o perfil é compacto, classe 2 M dres
= φ b Zf y ≅ φ b (1,12W ) f y
M dres
= 0,9 ×1,12 × 870 × 25 = 21924 kN .cm = 219,24 kN.m
3. Calcular o momento resistente de projeto de um perfil soldado VS (1400 × 260) em aço MR250, com contenção lateral contínua. O perfil é não compacto (classe 3) devido aa dimensões da mesa. ho=1368mm; to=12,5mm; bf =500mm; =500mm; tf =16mm; =16mm; Wx=14756cm3.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
96
Ricardo Gaspar
Flambagem local Mesa: λ b =
b f
2t f
λ b
=
500 = 15,6 < 39k 2 ×16
então 39k = 39 × 0,62 = 24 Alma: λ b = M p
h0 t 0
λ b
=
1368 = 109,4 < 160 12,5
onde k=0,62 para perfil soldado
→
perfil classe 3 não compacto
→
perfil classe 3 não compacto
= 1,12 ×14756 × 25 = 413168 kN .cm = 4131,7 kN.m
M r = 14756 × (25 − 11,5) = 199206 kN .cm = 1992,1 kN.m λ b
= 15,6
M n
= 4131,7 −
M dres
λ br = 24
λ bp
= 11
15,6 − 11 × (4131,7 − 1992,1) = 3374,6 kN .m 24 − 11
= φ b M n = 0,9 × 3374,6 = 3037,1 kN .m
8.2.3. Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua Flambagem lateral de viga simplesmente apoiada com momento fletor constante
• Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua
O fenômeno da flambagem lateral pode ser entendido a partir da flambagem por flexão de uma coluna. Em uma viga, o momento fletor que causa flambagem lateral depende da esbeltez da mesa comprimida no seu próprio plano. A flambagem da mesa no plano da alma é impedida pela própria alma.
flambagem lateral Figura: Flambagem lateral de viga com contenção lateral que impede o tombamento do perfil.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
97
Ricardo Gaspar
Categorias de vigas sem contenção lateral a) vigas curtas: o efeito da flambagem lateral pode ser desprezado. A viga atinge o momento defino por escoamento ou flambagem local; b) vigas longas: atingem o estado limite de flambagem lateral em regime elástico, com momento crítico M cr cr . c) vigas intermediárias: as vigas intermediárias apresentam estado limite de flambagem lateral inelástica, a qual é muito influenciada por imperfeições geométricas da peça e pelas tensões residuais embutidas durante o processo processo de fabricação da viga.
Flambagem lateral de viga simplesmente apoiada com momento fletor constante Para a solução da flambagem lateral de vigas simplesmente apoiadas com momento fletor constante, admite-se contenção lateral nos extremos. M cr =
π L
EI y GJ +
π 2 L2
EI y EC w
onde: L = comprimento da viga I y = momento de inércia em torno do eixo y J = = constante de torção pura (Saint-Venant) C w = constante de
empenamento empenamento
Para perfil I ou H duplamente simétrico, tem-se: J =
1 (2b f t f 3 + h0t 03 ) 3
C w
= (h − t f )2
I y
4
Resistência à flexão de vigas I com dois eixos de simetria no plano da alma. O momento resistente nominal depende do comprimento sem contenção lateral ( l b)
a) viga curta : M r = M p
condições para se ter viga curta:
l b
= Zf y
≤ l bp = 1,75 i y
E f y
onde i y é o raio de giração em torno do eixo de menor inércia para: aço MR250: l bp bp = 50i y;
aço AR350: l bp bp = 43i y;
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
98
Ricardo Gaspar
b) viga longa O momento resistente nominal é próprio momento crítico M cr cr . M n = M cr = C b
onde: β 1 = π EAGJ C b =
β 2
=
β 1 l b i y
1+
π 2 EA
4 GJ
β 2
l b i y
2
(h − t )2 f
é o coeficiente que leva em conta o efeito favorável de o momento não ser uniforme no segmento l b, dado por: 2
M M C b = 1,75 + 1,05 1 + 0,3 1 ≤ 2,3 M 2 M 2 sendo M 1 e M 2 os momentos nas extremidades do trecho sem contenção lateral,
M 1< M 2. Os momentos M 1 e M 2 têm o mesmo sinal. Quando produzem curvatura reversa na viga e sinais opostos em caso de curvatura simples. C b= 1 M1
M
M1 = 0
M2
M2 = M
M1
M2
Figura: condições para determinação do coeficiente C b. Adota-se C b = 1 nas vigas em balanço e quando o momento num trecho intermediário do trecho l b é maior que M 1 e M 2. Além disso, C b deve ser igual a 1 quando há carregamento aplicado ao longo do trecho não contraventado. Em qualquer caso, podese tomar C b = 1, que estará correto ou a favor da segurança.
Mn Mp
viga curta
viga intermediária
viga longa
escoamento ou flambagem local
flambagem inelástica
flambagem elástica
M r
M cr M1
M2 l b
M1
M2 l b
l bp bp
l br
l b
Figura: Momento nominal de ruptura de vigas por flambagem lateral
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
99
Ricardo Gaspar
Expressão aproximada para obtenção de M n = M cr = C bW x
M cr cr segundo a NBR 8800
2 0,69 E E 9 , 7 + l h b l b 2 i b f t f T
2
onde: iT é o raio de giração da seção formada pela mesa t f b f 3
comprimida mais 1/3 da região comprimida da alma (aproximadamente igual a 1/6 da área total da alma), calculado em relação ao eixo situado no plano médio da alma. Condição para se ter viga longa:
iT =
12 t f b f +
h0t 0
6
l b > l br br
l br =
i y C b β 1
2 M r
1+ 1+
4 β 2 2
C b β 12
M r 2
Com o momento crítico calculado pela expressão simplificada acima, chega-se à: l br =
2
19,9 iT h 1 b f t f
X
1 + 1 + X 2
40,75 ( f y − f r ) iT h X = C b E b f t f
com
2
b) viga intermediária Neste caso M n é obtido por interpolação linear entre M p e M r r. M n = M p
− ( M p − M r )
− l bp l br − l bp l b
com: M r = W x f y − f r
onde: f r r = tensão residual considerada igual a 115 MPa. Condição para se ter viga intermediária:
l bp bp < l b < l br br
Exemplos: 1. Comparar os momentos resistente de projeto de uma viga I (457 × 89,3) (18”) com uma viga soldada VS (500 × 86), de mesmo peso próprio aproximadamente, supondo as vigas contidas lateralmente. Aço MR250.
Solução: a) viga laminada I (457 89,3) (18”) b f =154,6 mm; t f =17,6 mm; h0 =422 mm; t 0 =13,9 mm;
flambagem local da mesa: λ b =
b f
2t f
=
154,6 = 4,4 < 8,5 → 2 × 17,6
super-compacto: classe 1
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
flambagem local da alma: λ b =
h0 t 0
422 = 30,3 < 67 13,9
=
100
Ricardo Gaspar
→
super-compacto: classe 1
O perfil é supercompacto (classe 1) Módulo resistente
W x = 1541 cm 3
Momento resistente de projeto: M dres
M dres
= 0,9 × 1,12 × 1541 cm3 × 25
kN
Z ≅ 1,12 × W x
Módulo plástico:
= φ b Z f y
com
φ b = 0,90
→
supercompacto: supercompacto: classe 1
= 38833 kN .cm
cm 2
b) viga soldada VS (500 86) flambagem local da mesa: λ b = flambagem local da alma: λ b =
b f
2t f h0 t 0
=
250 = 7,8 < 8,5 2 × 16
468 = 74 < 100 6,3
=
→
compacto: classe
2 O perfil é compacto (classe 2) Módulo resistente
W x = 2090 cm 3
Momento resistente de projeto: M dres
= 0,9 × 1,12 × 2090 cm3 × 25
M dres kN cm
2
Z ≅ 1,12 × W x
Módulo plástico:
= φ b Z f y
com
φ b = 0,90
= 52668 kN .cm
Conclusão: O perfil soldado tem altura maior que o perfil laminado de peso equivalente e, sendo compacto, possui maior eficiência à flexão.
2. Um perfil VS (400 × 49) foi selecionado para uma viga contínua de quatro vãos de 8m, conforme ilustrado na figura. A viga é de aço MR250 e só possui contenção
P
P B
A 4
C 4
8m
8m M = 0,161PL
aplicada nos vãos da viga ( γ f =1,3).
M = 0,107PL M = 0,17PL
P D
4
lateral nos apoios. Calcular a máxima carga P permanen-te a ser
P
E 4
8m
8m
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
101
Ricardo Gaspar
Solução: ho=381mm; to=6,3mm; bf =200mm; =200mm; tf =9,5mm; =9,5mm; Wx=870cm3. t f b f 3
0,95 × 203 12 iT = = 5,25 cm 0,63 × 38,1 0,95 × 20 + 6
12
iT =
t f b f +
h0t 0
6
Classificação quanto a flambagem lateral: l b = 800cm C b = 1 (o
momento máximo ocorre em seção não contraventada lateralmente) lateralmente)
( f y − f r ) iT h X = C b E b f t f 40,75
l br =
19,9 iT 2 h 1 b f t f
X
2
2
40,75 5,25 × 40 X = × (25 − 11,5) × = 3,28 × 1,0 × 20500 0 , 95 20 19,9 × 5,252 × 40 1 l br = 1 + 1 + 3,28 2 = 741 cm 0,95 × 20 3,28
1 + 1 + X
2
Como l b > l br br , a viga é longa, portanto, o momento resistente de projeto é:
M dres
= φ vC bW x
2 0,69 E E 9 , 7 + l h b l b 2 i b f t f T
2
0,69 × 20500 M dres = 0,9 ×1,0 × 870 × 800 × 40 20 × 0,95
2
2
9,7 × 20500 = 9393 kN .cm + 2 800 5,25
M máx = 0,17×800 = 136 P máx = 0,17 Pl = γ f =1,3. Admitindo-se carga do tipo permanente, calcula-se M d d com M d Assim, ×136 P =176,8 P d =1,3 Igualando-se os momentos solicitante e resistente de projeto, obtém-se o máximo valor de P . M d = 9393 d = M dres dres =176,8 P =
→
P = = 53,1 kN
Estado Limite de Utilização: Util ização: flecha máxima: PL3
δ = 0,012
EI
53,1× 83 δ = 0,012 × = 0,009 m = 9 mm 2,05 × 108 × 17393 × 10 −8
Limite de flecha pela NBR 8800 – barra suportando piso: δ max
=
L
360
=
800 = 2,2 cm = 22 mm > δ portanto, portanto, atende. 360
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
102
Ricardo Gaspar
3. Admitindo-se que na viga do problema anterior as cargas concentradas P sejam aplicadas por vigas transversais apoiadas nos centros dos vãos, calcular o momento fletor resistente na região do momento máximo solicitante.
Solução: com contraventamento lateral nos apoios e nos pontos de aplicação das cargas concentradas, tem-se l b = 400 cm e C b > 1. Cálculo de C b.
Trecho AB: Trecho BC:
M 1
=0
M 2 M 1 M 2
=
0,161 = 0,95 0,170
→
C b = 1,75
→
C b = 30 > 2,3
→ C b=2,3
Cálculo dos comprimentos limites l bp bp e l br br . l bp
= 1,75 i y
E
l bp
f y
= 1,75 × 4,52 ×
20500 = 226 cm 250
3,28 X = = = 1,87 C b 1,0
19,9 × 5,252 × 40 1 l br = 1 + 1 + 1,87 2 = 1089 cm 0,95 × 20 1,87
A viga é do tipo intermediária: i ntermediária:
l bp bp < l b < l br br
3,28
226cm < 400cm < 1089cm
O momento resistente no vão lateral é obtido por interpolação entre M r r e M p. M r = W x f y
M r = 870 × (25 − 11,5) = 11745 kN .cm
− f r
f r r = tensão residual considerada igual a M p = Z . f y M n = M p
M n
M p
− ( M p − M r )
= φ b M . n
= 1,12 × 870 × 25 = 24265 kN .cm
− l bp l br − l bp l b
= 24265 − (24265 − 11745) ×
M dres
115 MPa.
M dres
400 − 226 = 21741 kN .cm 1089 − 226
= 0,9 × 21741 = 19567 kN .cm = 195,7 kN.m.
Conclusão: com as novas condições de contenção lateral, a viga do problema anterior teve um grande acréscimo de momento resistente: (195,7 > 93,9) kN.m.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
103
8.3. Dimensionamento da alma das vigas 8.3.1. Conceitos As almas das vigas servem principalmente para ligar as mesas e absorver os esforços cortantes. Nos perfis laminados, as almas são pouco esbeltas (h 0/t0 moderado), tendo geralmente resistência à flambagem suficiente para atender aos esforços solicitantes, de modo que a resistência é determinada pelo escoamento ao cisalhamento do material ( f v ≈ 0,6 f y). Nos perfis fabricados, as almas são geralmente mais esbeltas (h 0/t0 elevado), de modo que a resistência da viga limitada pela flambagem alma. Nestes casos, para aumentar a resistência à flambagem, utilizam-se enrijecedores transversais.
8.3.2. Tensão de cisalhamento As tensões de cisalhamento ( τ ) em peças de altura constante, solicitadas por esforço cortante (V ), ), são dadas pela conhecida fórmula da Resistência dos Materiais: τ =
VS tI
onde: t = = espessura da chapa no ponde onde se mede a tensão S = =
momento estático referido ao centro de gravidade da seção bruta, da parte da área da seção entre a borda e o ponto onde se mede a tensão
I = = momento de
inércia da seção bruta, referido ao centro de gravidade respectivo
Para o cálculo das tensões solicitantes de cisalhamento utiliza-se a relação: τ d =
V d Aw
onde: V d d = esforço de cisalhamento solicitante de cálculo Aw = área efetiva de cisalhamento dada por: ht 0 em perfis laminados h0t 0 em perfis soldados 2/3 A g em perfis de seção retangular cheia ¾ A g em perfis de seção circular cheia ½ A g em perfis tubulares de seção circular
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
104
Ricardo Gaspar
τmax
τ
τ max =
τ max
3 τ 2 méd
τ max =
4 τ 3 méd
8.3.3. Vigas I com com um ou dois eixos eixos de de simetria simetria sem sem enrijecedores enrijecedores Vigas I com valores moderados de h 0/t0. Para vigas I com alma pouco esbelta (valores baixos de h 0/t0), a flambagem da alma por cisalhamento não é determinante (o material entra em escoamento para cargas inferiores à carga crítica de flambagem). Os valores limites de h 0/t0 para esta categoria de almas são dados pela expressão. h0 t 0
para aço MR250 = 71
≤ 2,5
E f y
aço AR345 = 60
Esforço cortante resistente de cálculo é dado por: V dres
= φ v Aw 0,6 f y com
φ v = 0,9
Vigas I com valores elevados de h 0/t0. Em vigas I com valores h 0/t0 superiores elevados, a resistência ao cisalhamento é reduzida por efeito da flambagem da alma. Esforço cortante resistente de cálculo é dado por: V dres
= φ v Aw 0,6 f y
C v
flambagem elástica: para
h0 t 0
> 3,23
para aço MR250 = 92
E
C v
f y
aço AR345 = 79
=
7,97 E h f y 0 t 0
2
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
105
Ricardo Gaspar
flambagem inelástica: para
2,5
E f y
<
h0 t 0
≤ 3,23
E f y
C v
=
2,5
E
h0
f y
t 0
O limite superior de h0/t0 é dado pela seguinte equação com tensões em MPa:
h0 = t 0 max para aço MR250 = 326
0,48 E f y ( f y + 115)
aço AR345 = 247
Na prática, as relações r elações h 0/t0 de vigas sem enrijecedores transversais intermediários são limitados aos seguintes valores: edifícios (AISC) h0/t0 ≤ 260
pontes (AASHTO) h0/t0 ≤ 150
Exemplo: Calcular a carga máxima permanente q (kN/) que pode ser aplicada na viga da figura, com vão de 6m, contida lateralmente. Dados: aço MR250; perfil soldado VS (500 ×86). A seção da viga é compacta; classe 2. VS (500 x 86)
q (kN/m) 6.3mm m m 0 0 5
L (m) m m 6 1
250mm
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
Solução: a) Flexão – Estado Limite de Último Momento fletor resistente: seção compacta, viga contida lateralmente. W x = 2090 cm 3
I x = 52250 cm 4
Z x = 1,12 W x
M dres
= φ b Zf y
M dres
= 0,9 × 1,12 × 2090 × 25 = 52668 kN .cm = 526,7 kN.m
com
φ b = 0,9
Momento fletor solicitante de projeto M d
=
qd L2
M d
8
=
qd 6 2
8
= 4,5qd
Igualando M dres dres = M d d, determina-se o valor de qd : 4,5qd = 526,7
qd =
kN 526,7 = 117 m 4,5
b) Cisalhamento – Estado Estado Limite de Último Esforço cortante resistente de cálculo (viga sem enrijecedores intermediários) E
2,5
C v
<
f y
=
h0 t 0
≤ 3,23
2,5
E
h0
f y
t 0
h0 = 74 < 92 t 0
E
71 <
f y
área da alma Aw = h0 × t f V dres
= φ v Aw 0,6 f y
C v
2,5 205000 = 0,97 74 250
C v
=
Aw
= 46,8 × 0,63 = 29,48 cm 2
V dres
= 0,9 × 29,48 × 0,6 × 25 × 0,97 = 386 kN
Esforço cortante solicitante de cálculo V d
=
qd L
V d
2
=
qd × 6
2
= 3qd
Igualando V dres dres = V d d, determina-se o valor de qd : 3qd = 386 kN
qd =
kN 386 = 128,7 m 3
106
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
107
c) Deslocamento – Estado Limite de Utilização Deslocamento máximo permitido pela NBR 8800 δ max
=
L
300
δ max
=
6 = 0,02 m 300
Deslocamento no meio do vão 5qd L4 δ = 384 EI
5qd 6 4 −4 δ = −8 = 1,58 × 10 q d 8 384 × 2,05 × 10 × 52250 × 10
Igualando δ max max = δ , determina-se o valor de qd : 1,58 × 10 −4 qd = 0,02
qd
=
kN 0,02 −4 = 126,6 m 1,58 × 10
Conclusão: a carga permanente máxima qd = 117 kN/m foi determinada pela flexão, no estado limite de último.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
108
Ricardo Gaspar
APÊNDICE Momento fletor máximo de vigas Viga
Força Cortante
Momento fletor
P
= P
V max
= − PL
M max
L q (kN/m)
V max
= qL
V max
=
M max
=−
L
qL2
2
P
L/2
P
2
M max
=
M max
=
PL
4
L/2
P A
B b
a
=
V A
=
V B
L
Pb L
Pba
Pa
L
L
q (kN/m)
V max
=
qL
V max
=
M
2
L
qL2
M max
=
M max
= − M
M max
= − M
8
M L
L
M A
V A
M
=−
B L
V B
L
M
=+
L
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
109
Ricardo Gaspar
Deslocamentos máximos em vigas Viga
Deslocamento vertical máximo P
v max
vmax
L
=
PL3
3 EI
q (kN/m)
v max
vmax
L
qL4
=
8 EI
P
v max =
vmax L/2
L/2
a>b
P x
v max
vmax
=
2
Pb( L
48 EI
3 2 2 b
− )
9 3 EI
b
a
PL3
=
x
− b2
L2
3
q (kN/m)
v max
vmax
L
5qL4 = 384 EI
M
v max
v
=
max
L
ML2
2 EI
M
x
v max L
=
ML2
9 3 EI
x =
L
3
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
110
Ricardo Gaspar
Características geométricas de figuras planas Figura
Área
CG
Momento de Inércia
Módulo Resistente
y
CG
h
h
x
2
xCG
= yCG
=
h
I x
2
h4
= I y =
W x
12
h3
= W y =
6
h y
=
yCG
=
h
π ⋅ D 2
D
4
2
= r
b⋅h
CG
h
xCG
b
x
=
I x
2
I y
2
b ⋅ h3
=
h ⋅ b3
=
W y
12
b
=
W x
12
b ⋅ h2
6 h ⋅ b2
6
y
D CG x
= I y =
I x
π ⋅ D 4
= W y
W x
64
=
π ⋅ D 3
32
y
π ( D 2 CG
d
D
x
− d 2 )
D
4
I x
2
y
h
x
h/3 b/3
y CG =
h
xCG
b⋅h
CG
=
b
2
b
= I y =
3 3
y
H h
ah + B( H − h)
CG
x CG =
B
y CG =
H
=
I y
=
2
I x
=
I y
=
ah3
12
+
− d 4 )
64
W x
= W y =
b ⋅ h3
36 h ⋅ b3
36 B
12
( H 3 − h3 )
W x
=
[ H − h]
W y
=
W x
=
W y
=
ah 3
+
π ( D 3
− d 3 )
32 b ⋅ h2
12 h ⋅ b2
12 B
6 H 6 H
( H 3 − h 3 )
x
a
2
B B
xCG
y
y´1
I x
π ( D 4
c CG
( B − b )c + bH
x
H y1
y1′ =
=
B
2
1 ( B − b )c + bH 2 ( B − b )c + bH 2
y1 = H − y1′
2
I x
ah 3
12
+
B 3
12
1 = [( B − b )c 3 + bh 3 ] − y12 A
3 1 3 [ B c + b 3 ( H − c )] I y = 12
W x ,sup W y
=
a 3h
6 B
=
I x
y1′
+
B 2
6
( H − h )
W x ,inf
y
CG x
b B
− bh BH −
y CG =
H
2
I y
=
BH 3 − bh 3
12
I x y1
1 3 [ B c + b 3 ( H + c )] 6 B
b
H h
=
W x
=
BH 3 − bh3
6 H
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
111
BIBLIOGRAFIA
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – (ABNT). Projeto e
execução de estruturas de aço de edifícios: método dos estados limites - NBR 8800. Rio de Janeiro: 1986. (NB14). PFEIL W., PFEIL M. Estruturas de aço: dimensionamento dimensionamento prático. 7ed. Rio de Janeiro, LTC, 2000. PINHEIRO, A. C. F B. Estruturas metálicas: detalhes, exercícios e projetos. 2ed. São Paulo, Edgard Blücher, 2005.
Estruturas Metálicas, de Madeiras Madeiras e Especiais
Ricardo Gaspar
TABELAS
112