INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL PROBLEMA DUAL Optimización en Ingeniería Ingeniería I Ing. Laura Bazán Díaz
PRECIOS DUALES
COSTOS REDUCIDOS
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Representan el valor por unidad de los recursos de programac prog ramación ión linea lineal.l. El incremento en la ganancia margina marginall o el decremento en el costo porr un po unid idaad de re recu curs rso os.
INTERPRETACIÓN 1. Proporcionan un entendimiento fundamental del modelo de (ASPECTOS programación lineal como un IMPORTANTES) sistema económico de entrada y salida. 2. Permiten una implementación eficiente del análisis de sensibilidad pos óptimo. •
La interpretación económica ilustra el significado exacto económico de los precios duales y de los costos reducidos.
PRIMAL
•
Máx Z= =
S.a. = ( 1,2,3, … ) Xj≥0
DUAL
•
Mín W= =
S.a. = 1 ≥ ( 1,2,3, … ) Yi irrestricta
INTERPRETACIÓN •
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El coeficiente Cj representa la ganancia marginal de las actividades j, cuyo nivel es igual a Xj unidades. La función objetivo Z= = representa la ganancia total de todas las actividades, donde el modelo tiene n recursos.
INTERPRETACIÓN •
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El recurso i tiene un nivel bi que se asigna a una tasa aij unidades por unidad de la actividad j. El primer miembro respecto a la restricción = representa el uso del recurso i por todas las actividades.
PRECIOS DUALES
Z=W o bien
=
= =
$(rendimiento)= = ($ )
Las variables duales Yi representan el valor por unidad del recurso i (precios duales).
PRECIOS DUALES •
Para las soluciones primal y dual factibles no óptimas se obtiene: Z
Ganancia < valor de los recursos •
La optimalidad o rendimiento máximo se alcanza solo cuando los recursos se han explotado completamente (Z=W).
INTERPRETACIÓN •
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Por cada incremento unitario del recurso i, el valor de la ganancia Z se incrementa en Yi. No conviene incrementar el recurso i cuando posee un valor negativo (Yi).
COSTOS REDUCIDOS
Zj-Cj=CB B-1 (Pj-Cj) Donde: Los valores duales Y=CB B-1
Podemos decir que: Zj-Cj = Y(Pj-Cj) = = −
COSTOS REDUCIDOS •
Se establece que el coeficiente en la función objetivo Zj-Cj de la variable Xj en la tabla del primal es igual a la diferencia entre el primer y segundo miembro de la j-ésima restricción dual.
EL PROBLEMA DUAL
Precios duales Costos reducidos Se aplica para mejorar la situación económica (incrementa su nivel de cero a un nivel positivo). 1. Incrementando el rendimiento marginal de la actividad Cj. 2. Disminuyendo el consumo por actividad de recursos limitados ( = ) •
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EL PROBLEMA DUAL Ejemplo: Un proceso de 3 productos consta de 3 operaciones distintas. Los límites de impuesto sobre el tiempo disponible para realizar las 3 operaciones son 430, 460 y 420 minutos diarios y las ganancias por unidad de los 3 productos son $3, $2 y $5. Los tiempos en minutos por unidad en las 3 operaciones están dados como sigue: •
EFECTUAR UN ANÁLISIS DEL COSTO REDUCIDO
Producto
Operación 1 2 3
1 1 3 1
2 2 0 4
3 1 2 0
FORMULACIÓN LINEAL
Max Z= 3X1+2X2+5X3 s.a. X1+2X2+X3 ≤430 Recursos 3X1+2X3 ≤460 disponibilidad De tiempo X1+4X2 ≤420 X1,X2,X3≥0
FORMA ESTÁNDAR
Max Z= 3X1+2X2+5X3+0x4+0x5+0x6 s.a. X1+2X2+X3+x4 =430 3X1+2X3 +x5 =460 X1+4X2 +x6 =420 X1,X2,X3, x4, x5, x6≥0
FORMULACIÓN DUAL
Mín W= 430Y1+460Y2+420Y3 s.a. Y1+3Y2+Y3 ≥3 2Y1+4Y3 ≥2 Y1+2Y2 ≥5 Y1 ≥0 Y2≥0 Y3≥0
SIMPLEX ITERACIÓN 0
Cj 3
2
5
0
0
0
CB VB X1 X2 X3 X4 X5 X6
XB
0 X4 1
2
1
1
0 0 430
0 X5 3
0
2
0
1
0 460
0 X6 1 4 0 0 0 1 420 Zj-Cj -3 -2 -5 0 0 0 0
SIMPLEX ITERACIÓN 1
Cj
3
2
5
0
0
0
CB VB
X1
X2 X3 X4 X5 X6
XB
0 X4 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200 5 X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 X6 1 4 0 0 0 1 420 Zj-Cj -3/2 -2 0 0 5/2 0 1150
SIMPLEX ITERACIÓN 2
Cj
3
2
5
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
XB
2
X2
-1/4
1
0
1/2 -1/4
0
100
5
X3
3/2
0
1
0
1/2
0
230
0
X6
2
0
0
-2
1
1
20
4
0
0
1
2
0
1350
Zj-Cj
X2*=100, X3*=230, X 6*=20, Z*=1350 X1*=0, X4*=0, X5*=0
Y=CB B-1
CB=(X2, X3, X6 )= (2,5, 0) 1/2 B−1= 0 −2
−1/4 1/2 1
1/2 Y=(2,5, 0) 0 −2 Y=1, 4/2, 0 Y1*=1 Y2*=2 Y3*=0
0 0 1 −1/4 1/2 1
0 0 1
ANÁLISIS
X1*=0, el producto 1 no es provechoso . Si Z1 >C1 los costos son mayores que las ganancias. Z1=1Y1+3Y2+1Y3≥3 Como Y1=1, Y2=2 y Y3=0
Reducir costos en Y3 es redundante, no altera la solución o no es efectiva.
ANÁLISIS
Producción=tiempo base/C Productividad=Producción/recurso C: Cuello de botella, estación donde más demora (se pone el tiempo).
Disponibilidad:
430
Operación 1
MP 1
MP 2
MP 3
1’
2’
1’
460 Operación 2 3’
0’
2’
420 Operación 3 1’
PT 1
4’
PT 2
0’
PT 3
ANÁLISIS
480=equivalente en minutos de 8 horas de trabajo Producción de 1=480/3=160 und por día Productividad de 1 =160/3 operarios= 50.3 und/operación por día =160/3(pago de los operarios: 30 soles) und/ día= 17,8 und/$ por día La productividad indica el desarrollo de una empresa.
ARTIFICIO
Sea Y2 la restricción en minutos por unidad del producto 1 en la operación 2 Z1=1Y1+3Y2+1Y3 ≥ 3 Z1=1(1)+(3-r 2 )(2)+1(0) Z1=1+6-2r 2 7-2r 2<3 -2r 2<-4 2r 2>4 r 2>2 La operación 2 debe reducirse en más de dos minutos para que el producto 1 sea provechoso.
