Ingenieria Sistema Wladimir Rios

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA OFICINA DE EDUCACION EN INGENIERIA

INGENIERÍA DE SISTEMAS

SERIE PUBLICACIONES DOCENTES 4708-01-002

WLADIMIR RIOS MARTINEZ

VALDIVIA-CHILE (2001)

2

Indice 1.

Introducción a la Teoría General de Sistemas (TGS) 1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

2.

Sistemas Discretos y Continuos 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

3.

Conceptos fundamentales de sistemas 1.1.1. Aspectos evolutivos históricos 1.1.2. Conjunto de variables externas 1.1.3. Nivel de resolución 1.1.4. Actividad 1.1.5. Comportamiento 1.1.6. Estados 1.1.7. Relaciones causales 1.1.8. Sistemas controlados Definición de sistemas 1.2.1. Definición 1 1.2.2. Definición 2 1.2.3. Definición 3 1.2.4. Definición 4 1.2.5. Definición 5 Clasificación de sistemas 1.3.1. Primer Nivel 1.3.2. Segundo Nivel 1.3.3. Tercer Nivel 1.3.4. Cuarto Nivel 1.3.5. Quinto Nivel Problemas fundamentales 1.4.1. Análisis de sistemas 1.4.2. Síntesis de sistemas 1.4.3. Caja negra Modelos de sistemas 1.5.1. Modelos de comportamiento. 1.5.2. Modelos de estructura ST 1.5.3. Modelos de estructuras UC Teoría general de sistemas Introducción Nivel de resolución Conceptos fundamentales de sistemas discretos Comportamiento Estructura ST para sistemas discretos. Estructuras UC para sistemas discretos Comparación de sistemas discretos y continuos Sistemas controlados

Análisis de Sistemas 3.1. 3.2.

Estructura UC Propiedades de la estructura UC para análisis sobre ella

4 4 4 5 6 7 8 10 13 16 17 19 19 21 22 24 25 25 25 26 27 28 28 29 29 30 31 32 34 36 38 44 44 44 45 46 47 48 49 50 57 57 58

3 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

4.

Eliminación de variables auxiliares. Determinación del control Funciones discretas y sus expresiones algebraicas. Determinación de la estructura ST.

Bibliografía

60 61 64 68 73

INTRODUCCIÓN A LA TEORIA GENERAL DE SISTEMAS

1.

4

Introducción a la Teoría General de Sistemas (TGS) 1.1.

Conceptos fundamentales de sistemas 1.1.1. Aspectos evolutivos históricos

En su libro Perspectivas en la Teoría General de Sistemas, von Bertalanffy argumenta que el concepto de enfoque sistémico es tan antiguo como la filosofía europea y lo sitúa en la edad presocrática jónica en el siglo VI a.C. En esa época, los griegos aprenden a encontrar en el mundo de la experiencia un orden o kosmos inteligible y, por tanto, controlable mediante el pensamiento y la acción racional. La cosmología aristotélica formuló este orden cósmico a través de sus nociones holísticas. El dictum aristitélico que el todo es más que la suma de sus partes es la definición aún válida del problema sistémico fundamental. La evolución científica del siglo XVI y XVII sustituyó la concepción descriptivo-metafísica del universo, sintetizada en la doctrina aristotélica, por una concepción matematicopositivista de Galileo, que describía los eventos mediante leyes matemáticas causales. Sin embargo esta nueva concepción reemplazó pero no eliminó el Dictun Aristotélico que se mantiene hasta hoy. La ciencia no estaba preparada para tratar este problema y lo propuesto en el Discours de la Methode cartesiano, que era descomponer cada cuestión en tantos elementos simples como fuera posible, que también lo formuló Galileo, forma parte del paradigma conceptual de la ciencia desde sus orígenes hasta el trabajo experimental que se realiza hoy en los laboratorios. Este método llamado resolutivo, consiste en resolver y reducir los fenómenos complejos en procesos y partes elementales. El paradigma funcionó muy bien mientras los eventos observados estaban sujetos a causas aisladas, esto es, las variables involucradas en los eventos eran muy pocas y por tanto, sus relaciones eran simples. Esto permitió una evolución muy grande de la física y la tecnología. Para resolver problemas más complejos, donde las variables eran muchas y por tanto, las interrelaciones entre las variables se hacía muy complejas, se concibieron dos ideas fundamentales: a) Establecer comparaciones con máquinas hechas por el hombre, sobre el concepto de la bête machine cartesiana y que después generalizara LaMettrie con su homme machine. Esta teoría veía a los organismos vivos con distintos disfraces, desde la máquina mecánica o de relojería hasta las concepciones de organismos como máquinas térmicas, quimico-dinámicas, celular y cibernética, explicando los fenómenos biológicos en sus distintos niveles b) Imaginar el orden como producto del azar, que encontraría sentido en el concepto darwiniano de selección natural, lo que dio lugar a la Teoría Sintética de la Evolución. La batalla librada en las primeras décadas del siglo XX, ponía de manifiesto crecientes dudas sobre la validez del paradigma de la ciencia clásica, esto es, la explicación de fenómenos complejos a partir de elementos aislados. Existía un factor organizativo detectado en todo ser viviente que establecía una forma de integración de sus elementos y proveía una orientación hacia metas.

W. Rios M.


5

A fines de los años 20, von Bertalanffy escribió: Puesto que el carácter fundamental de la cosa viviente es su organización, la investigación usual de procesos y elementos individuales es incapaz de ofrecer una explicación completa de los fenómenos vitales. Establecía además que la biología debería modificar sus métodos de investigación, haciendo hincapié en el descubrimiento de las leyes de los sistemas biológicos. A esta nueva visión, considerada como Método de Investigación, se le llamó Biología Organísmica y a su intento explicativo, Teoría de Sistemas del Organismo, que más tarde se denominó Teoría General de Sistemas. El Dictum Aristotélico tenía una respuesta trivial al enfoque mecanicista, pero que sin embargo planteaba bastantes inconvenientes: Las propiedades y modos de acción de los niveles superiores no pueden explicarse por la suma de las propiedades y modos de acción que corresponden a sus componentes consideradas aisladamente. No obstante, es posible llegar a los niveles más elevados partiendo de los componentes, si se conoce el conjunto de componentes y las relaciones que existen entre los mismos. Algunos de los inconvenientes son los siguientes: Cuando se investiga la naturaleza, se circunscribe a lo que interesa de ella para efectos del estudio , lo que se llama objeto, llamando a todo lo que queda externo a él ambiente. Al considerar objetos tan complejos como la Tierra por ejemplo, entonces el ambiente lo constituye todo lo que no está considerado en el objeto Tierra. ¿Es posible establecer los límites exactos entre el objeto y su ambiente? Tanto la paradoja aristotélica como el reduccionismo cartesiano se han mezclado en arduas discusiones, pero que sin embargo no han añadido nada nuevo al hecho que para comprender el todo organizado, se debe conocer previamente sus partes y las relaciones que existen entre ellas. Sin embargo, los medios actuales no permiten estudiar los objetos en toda su complejidad.

1.1.2 Conjunto de variables externas. De los objetos elegidos para estudiar, se observan o miden la apariencia de ciertos atributos, o dicho de otro modo, se observan o miden valores de ciertas variables. Por tanto, la elección dependerá de lo que se considere relevante para estudiar el objeto, eliminando del análisis otros atributos interrelacionados que pueden ser de gran interés para analizar el mismo objeto pero desde otra perspectiva científica. Cada variable mensurable bajo consideración debe estar determinada en el espacio. Por ejemplo, el potencial eléctrico, la corriente eléctrica y la carga eléctrica puede estar especificada en un punto, en un área y en un volumen en el espacio respectivamente. Del mismo modo, la velocidad y aceleración de un cuerpo se asocian con cierta posición del cuerpo en el espacio. Si la posición es relevante, entonces se debe considerar como una variable a medir. En este caso, no se requiere de la posición absoluta en el espacio, sino una posición relativa, con el fin de interrelacionarla con otras variables bajo consideración. W. Rios M.

6


A veces incluso la posición relativa es irrelevante y las variables se pueden especificar en el espacio en relación con otro objeto que le es propio. Por ejemplo, el potencial eléctrico está definido para un terminal, en cambio la corriente eléctrica está definida para una sección transversal de un conductor eléctrico y en tales casos, el potencial de la corriente eléctrica no depende de la posición del terminal o del conductor, o sea, su posición es irrelevante. Sin embargo, si la posición es una variable relevante (por ejemplo la posición de un conductor dentro del enducido de una dínamo), se debe especificar como una variable separada. Por otro lado, además de las especificaciones de espacio, las variables se deben especificar con relación al tiempo, es decir, se debe especificar el comienzo de las observaciones (habitualmente establecida como tiempo cero), así como las mediciones sucesivas. Pero del mismo modo que para la especificación de espacio, la medición del tiempo puede ser irrelevante. Las dos especificaciones mencionadas comúnmente se llaman especificación espaciotiempo.

1.1.3 Nivel de resolución Una vez que se han establecido las variables a ser observadas o medidas y después de definirse su especificación espacio-tiempo, se debe decidir la exactitud y frecuencia de las observaciones o mediciones, que se denomina nivel de resolución espacio -tiempo. El nivel de resolución que se utilice dependerá exclusivamente de la capacidad de resolver de nuestros sentidos o de los instrumentos de medida utilizados. A veces intencionalmente se utilizan niveles de resolución más bajos con el fin de desechar las fluctuaciones aleatorias (por ejemplo ruido térmico en dispositivos eléctricos, movimiento browniano en pequeñas partículas inmersas en un líquido, ruido ambiental en acústica, etc.). Ejemplo 1.1 Se puede medir la temperatura de un paciente con niveles de exactitud de 1º, 2º o 0,05º y registrarlos respecto del tiempo con una frecuencia diaria, horaria, cada minuto o cada segundo. Sin embargo, para efectos prácticos no se requiere una resolución alta, pues las variaciones que interesan son superiores a los dos grados y su frecuencia puede ser horaria o aún menos frecuente. Ejemplo 1.2 Supóngase que en una resistencia eléctrica se registran las variaciones en el tiempo del voltaje v(t) y flujo de corriente i(t). Si las medidas se hace discretamente en el tiempo, partiendo del tiempo t=ta o tiempo cero y terminando en el tiempo t=tb

t(segundos) v(volts) i(mA)

ta 0 0 0

t1 1 0,6 0,2

t2 2 1 0,33

t3 3 1,8 0,6

t4 4 3 1

t5 5 2 0,67

t6 6 2,5 0,83

t7 7 3,5 1,17

t8 8 4 1,33

Cuadro 1.1 Mediciones discretas de las variables v(t) e i(t)

W. Rios M.

t9 9 2 0,67

t10 10 1,5 0,5

tb 11 0 0

7


En la Figura 1.1, se muestra la misma medición pero realizada continuamente respecto del tiempo. Se puede observar que la medición discreta para este ejemplo, no permite visualizar el efecto del ruido térmico producido por el paso de la corriente, que sí se visualiza en una medición continua. Por tanto, la ley de Ohm (relación lineal) sirve para aquellos casos en donde el nivel de exactitud no es relevante.

v(volts); i(mA)

5 4 3

v(volts)

2

i(mA)

1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

t(segundos)

Figura 1.1 Medición continua de variables v(t) e i(t)

Las relaciones invariantes en el tiempo, se supone que son aquellas que se satisfacen en un cierto intervalo de tiempo. El conjunto de variables, nivel de resolución, las relaciones invariantes en el tiempo entre las variables y las propiedades que determinan esas relaciones, son los tratados fundamentales de los sistemas estudiados por las ramas experimentales de la ciencia. Para todos los efectos de las siguientes definiciones, se asume que el sistema está caracterizado por un conjunto de variables y por diferentes propiedades que determinan las relaciones invariantes en el tiempo (ya sea determinística o estadísticamente) entre esas variables a un nivel de resolución dado.

1.1.4 Actividad Se definen a continuación los siguientes conceptos: • •

•

Nivel de actividad. Conjunto de variaciones en el tiempo de todas las variables bajo consideración, a un nivel de resolución dado. Intervalo de tiempo de una actividad. Puede ser el espacio de tiempo completo en que se realiza la observación de las variables relevantes (en investigación experimental de sistemas), o bien el intervalo en el cuál las variaciones en el tiempo están dirigidas (en el caso de ingeniería en el diseño de sistemas). Sistema simple. Clase de objetos que difieren mutuamente en forma casi irrelevante en sus especificaciones de espacio-tiempo.

W. Rios M.

8


•

Relaciones absolutas. Aquellas que se satisfacen en un intervalo completo de tiempo para cualquier posible nivel de actividad que tengan las variables a un nivel de resolución. Relaciones relativas. Aquellas que se satisfacen siempre para un nivel particular de actividad a un nivel de resolución. Relaciones locales. Se aplican solo a intervalos muy cortos de tiempo de una actividad en particular.

• •

Ejemplo 1.3 Si el voltaje sobre una resistencia lineal se cambia dentro de ciertos límites, la corriente depende del voltaje aproximadamente de acuerdo a la ley de Ohm. Sin embargo, si se aplica un voltaje demasiado alto (un voltaje crítico Vcrit), se destruye la resistencia y desde ese momento la corriente es cero, independientemente del voltaje. Evidentemente se distinguen claramente dos relaciones en este caso: a) La primera relación local está representada por la Ley de Ohm y la segunda relación local por la corriente cero. b) Las relaciones relativas dependen de la actividad bajo consideración en una o ambas de las dos relaciones locales. c) Las relaciones absolutas contienen ambas relaciones locales.

Vcrit

Vcrit

Vcrit v(t) v(t) i(mA) v(V)

i(mA) v(V)

i(mA) v(V)

v(t)

i(t)

i(t) i(t) 0

ta

t(seg)

tb

0

ta

t(seg)

tb

0

ta

t(seg)

tb

Figura 1.2 Voltajes y corrientes en una resistencia eléctrica

1.1.5 Comportamiento El comportamiento del sistema es una relación invariante en el tiempo especificada para un conjunto de variables a un nivel de resolución y basados sobre muestras de un cierto modelo. Se distinguen tres clases de comportamiento: • Comportamiento permanente (real). Corresponde a la relación absoluta o, en otras palabras, al conjunto de todas las relaciones locales. • Comportamiento relativamente permanente (conocido). Corresponde al conjunto de todas las relaciones locales de una actividad en particular.

W. Rios M.


9

•

Comportamiento temporal. Corresponde a la relación local para una sección específica de una actividad particular. Si el sistema exhibe un comportamiento en particular, este debe poseer, como se mencionó anteriormente, ciertas propiedades que producen este comportamiento, que se denominan Organización del Sistema. Puesto que el comportamiento de un sistema puede cambiar, se asume que la organización de un sistema también puede cambiar. En este caso, será ventajoso definir la parte constante y la parte variable de la organización del sistema. Se definen por tanto, dos nuevos conceptos: • Estructura. Corresponde a la parte constante de la organización del sistema. § Estructura real. La que forma la base del comportamiento permanente. § Estructura hipotética. La que corresponde al comportamiento relativamente permanente. • Programa. Corresponde a la parte variable del sistema. • Elementos de un Sistema. Si el comportamiento de un sistema se puede descomponer en relaciones más simples, entonces se puede asumir que el sistema está compuesto de sistemas más simples o subsistemas a los que se les llama elementos del sistema original. Entonces, el comportamiento de un sistema en particular está determinado, por un lado, por el comportamiento de sus elementos y por otro lado por la composición de estos comportamientos. Es apropiado hablar sobre composición de comportamiento de dos elementos, solo si estos exhiben alguna variable externa común. • Variables externa. Valores instantáneos y/o pasados y/o futuros observados del comportamiento del sistema. • Variables internas. Variables que solo juegan un papel mediador en el comportamiento del sistema. • Acoplamiento. Conjunto de todas las variables externas comunes entre dos elementos de un sistema. § Acoplamiento real. Son aquellos válidos sobre todo el intervalo de tiempo para cualquier actividad del sistema. § Acoplamiento hipotético. Son válidos para un nivel particular de actividad del sistema. Se puede ver claramente que los acoplamientos reales, junto con los comportamientos permanentes de todos los elementos del universo que interesan, participan de la estructura real, mientras que los acoplamientos hipotéticos junto con los comportamientos relativos o permanentes del universo, participan de la estructura hipotética.

W. Rios M.


10

1.1.6 Estados Es el conjunto de valores instantáneos producto de la medición de todas las variables, tanto externas como internas, del sistema. Cuando las medidas se refieren solo al conjunto de medidas internas, entonces se denota como estado interno del sistema. Con la ayuda del concepto de estado, un programa para cualq uier instante de tiempo se puede definir como el estado instantáneo del sistema, un conjunto de otros estados no instantáneos y un conjunto de transiciones desde el estado instantáneo a los demás estados bajo consideración en el tiempo. De este modo, el programa es variable desde el punto de vista del estado instantáneo del sistema, y existen diferentes programas para diferentes subconjuntos del conjunto de todos los estados del sistema. • Programa completo. Es un estado instantáneo junto con un conjunto de todos los demás estados del sistema, y el conjunto de todas las transiciones desde el estado instantáneo a todos los otros estados del sistema en el tiempo. • Subprograma. Es un estado instantáneo, junto con un conjunto no vacío de un subconjunto de todos los demás estados del sistema, y un subconjunto no vacío del conjunto de todas las transiciones desde el estado instantáneo a todos los estados del subconjunto bajo consideración en el tiempo • Programa instantáneo. Es un estado instantáneo y las transiciones desde ese estado. Siendo generalmente variable, el programa completo contiene una parte constante, es decir, el conjunto completo de estados y el conjunto completo de transiciones entre los estados. Esta parte constante debería, de acuerdo con la clasificación anterior de la organización del sistema, ser incluido en la estructura. A esta parte de la estructura se le llamará Estructura de Transición de Estado o Estructura ST. De este modo, la estructura ST está definida como el conjunto completo de estados, junto con el conjunto completo de transiciones entre los estados. Nuevamente debemos distinguir entre la estructura real de transición del estado y la estructura hipotética de transición de estado. Si se examina el programa del sistema sobre un largo período de tiempo, se pueden encontrar probabilidades experimentales para diferentes transiciones para cada uno de los estados. Estas probabilidades se pueden considerar como el suplemento de la estructura de transición de estado. La Estructura de Universo y Acoplamiento o Estructura UC, junto a la estructura de transición de estado (estructura ST) forman la Estructura del Sistema, o simplemente la Estructura. Ejemplo 1.4 Suponiendo un voltaje eléctrico v y una corriente eléctrica i que se miden en una resistencia simple. Entonces, un estado instantáneo S es un par ordenado (v,i) y la estructura de transición de estado se representa por las características voltaje-corriente de la Figura 1.3. El programa instantáneo definido para el estado S=(v,i ) depende claramente del valor de v e i . En la figura se muestran estados típicos junto con las posibles transiciones de estado. Los estados S3 y S4 representan los valores positivos y negativos de voltajes críticos que destruyen la resistencia, de tal modo que existe una única transición desde cualquiera de esos estados (S 3 → S5 ,S4 → S6 ), durante el cuál la corriente cambia autónomamente de su valor crítico (i crit ) a cero sin ningún cambio de voltaje. Esta transición es irreversible. Cada

W. Rios M.


11

uno de los otros estados se asocia con dos transiciones que son provistas con un simple cambio de voltaje (o de corriente) que se aumenta o reduce en ∆ v (∆ i , respectivamente). a) (v,i) → (v + ∆ v, i + ∆ i ) y (v,i ) → (v - ∆v, i - ∆ i ) en caso de los estados S0, S1 y S2 (dos estados adyacentes que difieren por | ∆ v | y | ∆ i |), b) (v,0) → (v + ∆ v, 0 ) y (v,0) → (v - ∆v,0) en caso de todos los otros estados Todas las transiciones, excepto las que existen entre los estados S3 y S4 dependen de cambios externos ya sea de voltaje o corriente. Las transiciones desde los estados S3 y S4 son autónomas. Para estas transiciones el sistema procede de un conjunto típico de subprogramas (cualquier estado instantáneo entre S3 y S4 , junto con el conjunto de todos los estados entre S3 y S4 y sus transiciones) a otro conjunto típico de subprogramas (cualquiera de los otros estados, junto con el conjunto de todos los estados y sus transiciones).

Figura 1.3. Estados en una relación voltaje-corriente en una resistencia

Se debe notar que el estado S0 ´= S0 = (0,0) tienen diferentes transiciones en cada uno de los dos subprogramas. Esto significa que S0 y S0 ´ son, de hecho dos estados diferentes. Puesto que estos dos estados no se distinguen por v y i , entonces deben existir otras variables que los distingan. Aparentemente esta variable es la conductancia G o resistencia R del resistor. De esta forma, los estados del sistema son ordenados por la triada (v,i,G), G ≠ 0 que corresponde al primer conjunto típico de subprogramas; G=0 corresponde al segundo grupo típico de subprogramas. El voltaje y la corriente son variables externas y la conductancia es una variable interna para este ejemplo particular. Suponiendo que solo es posible distinguir los estados que se muestran en la figura, entonces este es un problema de nivel de resolución.

W. Rios M.

12


Parte del programa se muestra en la Figura 1.4 y que corresponde al estado instantáneo S0 . Para cada instante de tiempo bajo consideración se obtiene un conjunto de posibles estados. Para diferentes estados instantáneos se obtienen diferentes programas. Si un mismo par de estados ocurre para el mismo instante de tiempo, no se pueden distinguir y por tanto se pueden representar en un único par de estados. Si se consideran los estados y transiciones sin mirar el tiempo, entonces los mismos estados que solo se distinguen por el tiempo, se pueden unir para formar la estructura estadotransición (estructura ST), que se tratarán en mayor detalle mas adelante.

S5

S3

S1

S1

S0

S0

S2

S2

S4

S6

to

t1

t3

t2

Figura 1.4 Subprograma para el estado S0

Los factores que pueden afectar el comportamiento del sistema son los elementos del universo del sistema, el ambiente del sistema y algunos acoplamientos entre ellos. Desde este punto de vista, el experimentador forma parte, en muchos casos, del ambiente del sistema y podría por tanto, influir en su comportamiento. Ejemplo 1.5 Consideremos un circuito eléctrico como el descrito en la Figura 1.5, el que es operado por una fuente eléctrica y un switch que se activa manualmente. P Ambiente del Sistema

Relación invariante en el tiempo: P>=pc

Ampolleta

Luz

Fuente 220 volts

Figura 1.5 Estructura física del dispositivo de prueba

W. Rios M.

13


Sea la variable bajo consideración p aplicada sobre el botón del switch que enciende la luz de la ampolleta. Entonces la relación invariante en el tiempo entre estas variables determinada por el sistema es p≥ pc la luz se enciende; si p
1.1.7. Relaciones causales Existe una diferencia entre las variables producidas por el ambiente que causan un evento dentro del sistema y las producidas por el sistema que a su vez causan un evento en el ambiente. Las variables que son producidas por el ambiente y causan un evento en el sistema, son independientes de este último y por tal razón se denominan variables independientes. Por otro lado, las variables producidas por el sistema y que dependen de las propiedades de éste, se denominan variables dependientes o controlables. Si se supone que todos los eventos que ocurren en la naturaleza se pueden visualizar en la forma de pares ordenados (causa, efecto), sin embargo, en la realidad puede ocurrir que la actividad del sistema y la relación invariante en el tiempo entre las variables puede constituir, en el caso general, precisamente la parte que se desconoce del sistema. Por tanto, tiene sentido hablar de una relación causal (causa, efecto), cuando existe una clara separación entre las variables dependientes y las independientes y a su vez las variables dependientes se pueden expresar explícitamente como una función única de las variables independientes, y sin que exista ambigüedad en esta función. A continuación se presentan los tipos básicos de relaciones invariantes en el tiempo que no se pueden interpretar como relaciones causales. Primer Tipo: Relaciones en donde la separación en variables dependientes e independientes es no única. Ejemplo 1.6 Matriz de actividad t x y z

W. Rios M.

0 1 -1 0

1 0 4 -3

2 3 4 5 6 7 8 -1 2 3 -2 5 -3 0,5 9 -6 -11 14 -21 19 1,5 -6 3 6 -9 12 -12 -1,5 Cuadro 1.2 Matriz de actividad del Ejemplo 1.6

9 1,5 -3,5 1,5

10 3,5 -13,5 7,5


14

Esta matriz es equivalente a expresarla como una relación invariante en el tiempo. 2x+y+z-1=0 x-y-2z-2=0 De las relaciones presentadas, es fácil verificar que se pueden derivar algunas de las siguientes relaciones:

1 (4 − y ) 5 1 x = ( z − +3) 3 y = 4 − 5x 1 y = − (5 z + 3) 3 z = 3x − 3 1 z = (3 y − 3) 5 x=

Por lo tanto, como no existe una única relación para variables enteras, no existe razón para elegir una respecto de otra. Segundo Tipo: Tercer Tipo:

Ejemplo 1.7

Son relaciones que no se pueden transformar a ninguna forma para que exprese alguna dependencia para alguna de las variables. Son aquellas que dejan una forma ambigua de dependencia.

xi = f 1 (x j , x k )

xi = f 2 (x j , xk ) f1 ≠ f 2

Por tanto, se puede decir que existe una causalidad cuando ocurren simultáneamente estas tres propiedades: 1) Hay una clara separación entre variables dependientes e independientes. 2) Las variables dependientes deben ser capaces de ser expresadas explícita y únicamente como una función solamente de las variables independientes. 3) Las variables independientes no se pueden expresar como una función única de las otras variables bajo consideración. En la mayoría de las disciplinas de ingeniería, las variables independientes se suelen llamar variables de entrada (Inputs) y las variables dependientes se suelen llamar variables de salida (Outputs) y se conoce esta separación previamente.

W. Rios M.

15


Sin embargo, esta clasificación podría llevar a alguna confusión si se consideran estos dos casos particulares de sistemas: 1) Las variables de entrada podrían ser función de las variables de salida, como es el caso de los sistemas retroalimentados. 2) Las variables de salida no dependen únicamente de las variables de entrada, como es el caso de los sistemas probabilísticos. Por tanto, si es posible establecer una clasificación entre variables dependientes e independientes en un sistema, es posible decir que se conoce el control del sistema y por tanto, el sistema es controlado. En caso que no se pueda establecer el control del sistema, se dice que este es un sistema neutro. Los sistemas cuyos comportamientos son causales son a su vez sistemas controlados pero no al revés. Además los términos variables de entrada y de salida serán usados en sistemas controlados en general. Ejemplo 1.8 Determinar cual de las relaciones R 1 y R2 entre las variables X, Y y Z especificadas por la siguiente tabla se pueden considerar como causales.

R1

X 0 0 0 1

Y 0 0 1 0

Z 0 1 0 0

R2

X 0 1 0 1

Y 1 1 1 0

Z 0 0 1 1

Solución: Para R 1: ♦ Si Y=Z=0, entonces X=0 y X=1, luego, X ≠ f(Y, Z). ♦ Si X=Z=0, entonces Y=0 e Y=1 , luego, Y ≠ f(X, Z). ♦ Si X=Y=0, entonces Z=0 y Z=1, luego, Z ≠ f(X, Y). Por lo tanto R 1 no presenta evidencia de relación causal entre las variables. Para R 2: ♦ Si Y=1 y Z=0, entonces X=0 y X=1, luego , X ≠ f(Y, Z). ♦ Si X=0 y Y=1,entonces Z=0 y Z=1, luego, Z ≠ f(X, Y). Y es únicamente dependiente de X y Z, por tanto, es razonable considerar X y Z como variables independientes y Y como variable dependiente y R 2 como una relación causal. Ejemplo 1.9 Determinar cuál de estas relaciones son causales o no, asumiendo que las variables están definidas en R.

W. Rios M.

16


y = tanx 1 x y= + x y

y = 1 − x2 y =1− x y2 = 1− x2 y=e

−2 x

y = x2 + z 2 + 1

cos x

y = x + z2 + 1

Solución: Propuesto

Ejemplo 1.10 Sea la relación entre variables discretas. Determine cuál es causal o no. X 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2

X 0 2 0 1 2 1 1 0 2

X 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2

Z 0 2 1 2 1 0 1 0 2

X 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 1 1 1 1 1 1 0 0 0

Z 0 0 1 1 2 2 0 1 2

Cuadro 1.3. Relaciones discretas para variables X, Y y Z el Ejemplo 1.10

Solución: Propuesto

1.1.8. Sistemas controlados Los sistemas controlados son la clase de sistemas más importante, puesto que la clasificación entre variables de entrada y de salida generalmente se conoce y la gran mayoría de las teorías de sistemas asumen el control como un conocimiento a priori del sistema. Sin embargo, hay una considerable variedad de sistemas en donde el valor de algunas variables no es posible que sigan una secuencia conocida y por tanto la clasificación entre variables de entrada y de salida es imposible, tal es el caso de astronomía, meteorología, economía, ciencias sociales y biología entre otros. Si se desconoce el control de un sistema, entonces la primera tarea es determinarlo, asumiendo que es posible hacerlo, investigando el comportamiento del sistema (o el comportamiento de sus elementos) desde el punto de vista de las condiciones de las relaciones causales y de las condiciones establecidas en el apartado anterior. Si no se conoce el control del sistema y no es posible determinarlo en base al conocimiento que se tiene de éste, entonces no se puede separar el sistema del ambiente y no se puede obtener, por tanto, una conclusión adecuada del sistema.

W. Rios M.


1.2.

17

Definición de sistemas

Hay un conjunto de rasgos característicos en todo tipo de sistema y que posteriormente permitirá definir qué se entiende por sistema. Estos rasgos son: • • • • •

Un conjunto de variables externas junto con el nivel de resolución Una actividad dada Un comportamiento permanente Una estructura UC real Una estructura ST real

Cada una de estas características satisface todos los requerimientos impuestos por la definición básica de sistema. Sea:

X = {x1 , x2 , x 3 ,..., xn } xi (t ) X i = {xi } T = {0 ≤ t ≤ t max}

Conjunto de variables externas del sistema.

Valor de la variable externa xi en el instante de tiempo t. Conjunto de todos los posibles valores de la variable externa xi. Conjunto de todos los instantes de tiempo considerados en las observaciones. L = {X 1, X 2 , X 3 ,……Xn , T} Nivel de resolución. Para especificar la estructura ST

S = {s1 , s2 , s3 ,..., s h } R (S / S ) ⊆ S P (s j / s i ) :

Conjunto completo de estados.

2

Conjunto completo de transiciones entre los estados. Probabilidad de transición al estado j dado que el sistema se encuentra en el estado si . Para un largo periodo de tiempo ∑ P (s j / si ) = 1 ∀si j

La estructura ST es entonces un mapeo (si , s j ) → P(s j / s i ) donde (si , s j ) ∈ R(S , S ) Para especificar el comportamiento del sistema: pj(t) Pj

Luego

valor de la variable externa p j en el instante t. {pj} Conjunto de todos los posible valores de la variable externa pj en el instante t. 0 ≤ t ≤ max y (i,α ) ↔ j correspondencia 1 a 1 Pj(t) = xi(t+ α) ∈T y xi(t+ α), pj(t) ∈ Xi i=1.....n j=1....m

W. Rios M.


18

Sea: (i + α ) ↔ j , luego p j (t ) = xi (t + α ) donde pj(t) es el valor de la cantidad pj en el tiempo t, (t +α ) ∈ T y {xi (t + α ), p j ( x)}∈ xi , i:1...n, j:1...m.

 valor instantáneo de xi en t si (i ,0) ↔ j pj(t) =  valor pasado de xi en t si (i ,α ) ↔ j y α <0  valor futuro de xi en t si (i ,α ) ↔ j y α>0 Como P j = {p j} Entonces

P j = X i si (i, α) ↔ j ∀α

El comportamiento está representado por el subconjunto del producto cartesiano P1 X P2 X P3 X P 4 .......X Pm Esto se puede determinar a partir de otras características del sistema, en donde el comportamiento es permanente, relativamente permanente o temporal. Sea a : Elemento que agrupa el comportamiento de las variables principales. P(a) : Probabilidad de que el elemento tenga un cierto comportamiento instantáneo El comportamiento del sistema es entonces el mapeo a→P(a)

Σ P(a) = 1

Obviamente

a

Para especificar la Estructura UC Sea : a1 , a 2 , a3 ,..., au = a0

=

Elementos del universo de interés y que agrupa al comportamiento de las variables principales. Ambiente del sistema

Luego A = {a1 , a2 , a3 ,..., au , ao } Ai = {ai (i = 0,1,..., u} = Conjunto de las variables asociados al elemento ai bi = Comportamiento permanente del elemento ai. B = {b1 , b2 ,..., bn }

W. Rios M.


cij = cji = A i∩Aj i≠j c={ c ij }

19

= Acoplamiento entre un par de elementos (ai,aj) = Conjunto de todos los acoplamientos del conjunto B.

1.2.1 Definición 1. Definición de sistemas basado en su conjunto de variables externas y el nivel de resolución. El sistema controlado S es un conjunto dado que contiene tanto las variables externas {x1 , x2 , x 3 ,..., xn } de interés y el tiempo t∈ T a un nivel de resolución dado L = {X 1 , X2 , X 3,......Xn, T} donde Xi : valor que puede presentar la variable xi de entre un rango de valores, en un momento ti Por tanto, S = {x 1 , x2 , x 3, t, X1 , X 2 , X 3 ,......Xn, T} ∴

S = {X, t, L}

Ejemplo 1.11 El sistema climatológico para Valdivia, queda definido por las siguientes variables y sus niveles de resolución. Tiempo: mediciones hechas seis veces cada día. 12 PM, 4 AM, 8 AM, 4 PM, 8 PM. Temperatura en superficie: Rango –2ºC a 18ºC, medidas con exactitud 1ºC. Humedad relativa: Rango 0% a 100% con exactitud 1%. Precipitación entre mediciones: 0 a 100 mm. con exactitud de 1mm. Velocidad del viento: 0 a 150 Km/h con exactitud de 10 Km/h. Dirección del viento: 0 a 360º con exactitud de 5º. Presión barométrica: 28 m Hg a 32 m Hg con excatitud de 0.2 mmHg Visibilidad: 0 a 10 Km con exactitud de 0.5 Km.

1.2.2 Definición 2. Definición de sistemas por el nivel de actividad. El sistema S es un conjunto dado de variaciones en el tiempo de ciertas variables bajo consideración. El sistema S es un conjunto dado de valores xi(t) ∀ i=1,2,...,n y ∀ t ∈ T tal que: S = {x1 , x 2 ,... xn : t ∈ T , xi (t ) ∈ X i para i = 1,2...n}

W. Rios M.

20


Ejemplo 1.12 El sistema de semáforos en una intersección de calles está definida por la tabla de valores, en donde los semáforos pueden mostrar los siguientes valores: Tráfico Norte Sur Este Oeste

– Sur – Oeste – Oeste – Este

{rojo (R), verde (V), amarillo (A)}

Tráfico Norte – Este Sur – Este

{flecha prendida(F), flecha apagada(N)}

Los instantes de tiempo t1 ,t2,t3 ,t4 ,t5 y t6 son:

0 ≤ t1 ≤ 15 15 ≤ t 2 ≤ 20 20 ≤ t 3 ≤ 40 40 ≤ t 4 ≤ 45 45 ≤ t 5 ≤ 65 65 ≤ t 6 ≤ 70 Los valores de las variables observadas se muestran en el siguiente cuadro t NS NE SN SE OE EO

t1 V F R F R R

t2 V N R F R R

t3 V N V F R R

t4 A N A N R R

t5 R N R N V V

t6 R N R N A A

Cuadro 1.4 Valores de variables observadas para el Ejemplo 1.12

Respuesta: El diagrama del sistema, de acuerdo a la matriz de actividad es la siguiente:

t2

t1

Figura 1.6 Diagramas de tráfico del ejemplo 1.8

W. Rios M.

21


t3

t4

t5

t6

Figura 1.6 Diagramas de tráfico del ejemplo 1.8 (Continuación)

1.2.3 Definición 3. Definición mediante el comportamiento permanente. El sisema S es una relación dada, invariante en el tiempo entre valores instantáneos y/o pasados y/o futuros de las variables externas. Cada elemento de la relación puede pero no necesita estar asociado con una probabilidad de ocurrencia. m S es una relación R (XPj) de X j =1P j junto con una correspondencia 1 a 1 de (i ,α ) ↔ j

1 ≤ j ≤m

o

  S =  R( Xp j ), a → P( a) : a ∈ R, P( a) ≤ 1, ∑ P( a ) = 1 a   1 ≤ j ≤m

donde:

W. Rios M.

P j=X i si (i ,α ) ↔ j ∀ α.

22


Ejemplo 1.13 El sistema de fondos de pensiones usado por una persona de A años, que espera retirarse a la edad de B años y vive C años, se representa por:

12 p 2

(1 + p1 )B− A − 1 p1

1 − (1 + p1 ) p1

B −C

= 12 p 4

(a)

p 2 ≤ 0.1 p3

(b)

p 4 ≤ 0 .6 p 3

(c)

donde: p1 (t ) = x1 (t ) promedio de interés simple anual (en pesos) por peso de inversión en el tiempo (en años). p 2 ( t ) = x 2 ( t ) Depósito mensual (en pesos) en el tiempo t (en años). p3 (t ) = x3 (t ) Ingreso mensual (en pesos) en el tiempo t (en años) p 4 (t ) = x3 ( t + B − A) Ingreso mensual (en pesos) en el tiempo t+B-A

1.2.4 Definición 4. Definición mediante la estructura UC real. El sistema S es un conjunto de elementos junto con sus comportamientos permanentes y un conjunto de acoplamientos entre los elementos por un lado y entre los elementos y el ambiente por el otro. S = {b1 , b2 ,...., bu , cij ; i , j = 0,1,..., u : i ≠ j } = {B,C}

B = Conjunto de relaciones absolutas entre las principales variables de los elementos a1 , a2, ...,an C = Conjunto de acoplamientos entre los elementos de A.

Ejemplo 1.13 Sea un sistema usado para controlar la temperatura en una sala entre 18º y 20º según se muestra en la Figura 1.7. Los elementos están asociados con las siguientes variables y comportamientos permanentes que se muestran a continuación:

W. Rios M.

23


V2

Termómetro

P

Ventilador

V3

Switch

Calefactor

F T

V1

C

AMBIENTE

Figura 1.7 Diagrama UC de un sistema de control de temperatura

Termómetro:

Switch:

Temperatura T: con medición entre 0º y 40º. Presión P: continua, entre 0.03 Newton a 0.1 Newton. Comportamiento permanente: P=10 -3 T Se tienen tres voltajes diferentes V 1 , V 2 y V 3 que pueden tener solo dos valores posibles 0 o 220 volts. P Cualquier valor P < 0.062 0.062 ≤ P ≤ 0.07 P > 0.07

V1 0 220 220 220

V2 0 0 0 220

V3 0 220 0

Cuadro 1.5 Comportamiento permanente entre variables P,V 1,V 2 y V 3

Calefactor:

Potencial V 3, calor C producida por segundo pudiendo tomar valor 0 o 1 Kw. V3 0 220

M 0 1 Kw

Cuadro 1.6 Comportamiento permanente entre variables V3 y M

Ventilador:

Potencial V2 , enfriamiento F producido por segundo pudiendo tomar valor 0 o -1 Kw. V2 0 220

C 0 -1 Kw

Cuadro 1.7 Comportamiento p ermanente entre variables V2 y C

W. Rios M.

24


El ambiente del sistema contiene cuatro de estas variables asociadas con los elementos T, V1 , C, F. Entre Termómetro y swtich Termómetro y calefactor Termómetro y ventilador Termómetro y ambiente Swtich y calefactor Swtich y ventilador Swtich y ambiente Calefactor y ambiente Ventilador y ambiente

Contiene Presión P No hay No hay Temperatura T Potencial V3 Potencial V2 Potencial V1 Calefacción C Enfriamiento F

Cuadro 1.8 Acoplamiento entre los elementos de Ejemplo 1.13

El diagrama en bloques de la estructura UC se muestra en la Figura 1.7.

1.2.5 Definición 5. Definición mediante la estructura ST real. El sistema controlado S es un conjunto dado de estados junto con un conjunto de transiciones entre estos estados. Cada transición puede, pero no necesariamente estar asociado con la probabilidad de su ocurrencia. Generalmente un simple estímulo se asocia con una simple transición. Formalmente: El sistema controlado S es un conjunto dado de estados junto con una relación binaria R(S,S) definido sobre S y a veces con un mapeo (si,sj)→ P(si|sj) asignando probabilidades condicionales P(si|sj) de transiciones de si a sj para los elemento (si,sj)∈ R(S,S), es decir S = {S,R(S,S)} o bien, asignando probabilidades S = {S,R(S,S), (si,sj)-> P(si|sj): (si,sj) ∈ R(S,S), P(si|sj) ≤ 1,

Σ P(si|sj) = 1 para un valor fijo de si } j

Se debe notar que las probabilidades incluidas en las definiciones (3) y (5) tienen significado solo si las correspondientes relaciones no son mapeadas, es decir, si ellas son uno-a-muchos. Todas las probabilidades son igual a 1 si las relaciones son mapeadas.

W. Rios M.

25


1.3

Clasificación de sistemas

Los sistemas se pueden clasificar de diferentes puntos de vista, dependiendo de los objetivos que se deseen alcanzar con tal clasificación. La siguiente propuesta de George Klir [5.1] establece una clasificación que servirá a los objetivos de análisis, síntesis e investigación de sistemas mirándolos como una caja negra.

1.3.1 Primer nivel Los sistemas se pueden clasificar de acuerdo al tipo de variables asociadas, de tal modo que estos pueden ser: • Físicos, son aquellos cuyas variables son medibles. • Reales, las variables realmente existen. • Conceptuales, las variables sólo son asumidas. • Acotados, poseen un número de variables externas y estructura finita. • No acotados, tanto las variables externas como la estructura es indeterminada. • Sistemas abstractos, en donde las variables no son posibles de ser medidas. Gráficamente, esta primera clasificación se puede visualizar en la Figura 1.8 Real (1) Acotado (1)

Físico Conceptual

No Acotado (1)

Sistema Acotado (1) Abstracto No Acotado (1)

Figura 1.8 Clasificación del primer nivel de sistemas

(1) Clasificaciones que se desagregan en un segundo nivel 1.3.2 Segundo nivel Este nivel de clasificación se realiza desde el punto de vista de los valores de las variables internas y externas y de la distribución en el tiempo que éstas tengan • Sistemas continuos. Es posible expresar la relación entre las principales variables mediante ecuaciones diferenciales. Las variables externas junto con las derivadas de tiempo forman el conjunto de variables principales. • Sistemas discretos. Las relaciones entre las variables principales se pueden expresar por ecuaciones con una lógica algebraica particular.

W. Rios M.


•

Sistemas de pulsos. Estos sistemas se basan en la teoría de muestreo de Whittaker que dice: Cada función contínua de tiempo que tiene un espectro de frecuencia con un límite superior de frecuencia fmax se puede sustituir adecuadamente por un número finito de sus valores registrados en intervalos de tiempo de t =

1 2f

•

26

max

Sistemas híbridos. Tienen elementos de sistemas discretos o de pulsos junto con elementos de sistemas continuos.

Gráficamente, este segundo nivel de clasificación se puede visualizar en la Figura 1.9 Continuo (2) Discreto (2) (1)

Pulso (2) Híbrido (2)

Figura 1.9 Clasificación del segundo nivel de sistemas

(2) Clasificaciones que se desagregan en un tercer nivel

1.3.3 Tercer nivel Este tercer nivel de clasificación de sistemas tiene que ver con la historia del sistema. •

•

•

•

Sistema único. Todo sistema que se analice desde el punto de vista de su comportamiento histórico es único, si el nivel de resolución es los suficientemente fino como para distinguir entre comportamientos aparentemente similares. Si se consideran dos estructuras UC que representan el mismo comportamiento pero al menos uno de los componentes difiere entre las dos estructuras, entonces existirá una diferencia en su nivel de resolución estructural. Un razonamiento similar se puede hacer desde el punto de vista de la estructura ST. Sistema repetido. A veces es necesario relajar el nivel de resolución de tal modo que el comportamiento entre los sistemas se haga indistinguible e incluso poder trabajar con valores medios. Sistema controlado. Es aquel donde es posible establecer una clara separación entre variables producidas por el ambiente (imputs) y las producidas por el sistema (outputs), además de poder establecer una clara relación de dependencia entre las variables producidas por el sistema respecto de las producidas por el ambiente. Sistema neutral. Es aquel donde no es posible establecer una clara relación de dependencia entre las variables más importantes y por tanto no es posible conocer el control.

W. Rios M.


27

Gráficamente, este tercer nivel de clasificación se puede visualizar a continuación: Controlado (3) Unico Neutral (2) Controlado (3) Repetido Neutral

Figura 1.10 Clasificación del tercer nivel de sistemas

(3) Clasificaciones que se desagregan en un cuarto nivel

1.3.4 Cuarto nivel Si los sistemas son controlados, entonces se puede hacer una subclasificación de estos desde el punto de vista del tipo de relaciones entre las principales variables de salida y las demás, o sea, desde el punto de vista de su comportamiento. Se pueden distinguir los siguientes tipos: • Sistemas deterministicos. Todas las relaciones se pueden representar por un mapeo (sean relaciones uno-a-uno o muchos a uno). O sea, las principales variables de salida son funciones de las otras variables principales, luego, no se puede asignar ninguna probabilidad a los elementos de las relaciones. Los sistemas determinísticos pueden subdividirse a su vez en: § Sistemas combinacionales (sin memoria). Todas las variables principales están definidas solo sobre la base de valores instantáneos de variables externas. § Sistemas secuenciales. Al menos una de las variables principales no está definida como valores instantáneos de una variable externa. • Sistemas probabilísticos (o estocásticos). Al menos una de las relaciones Rk no está representada por un mepeo (representada por una relación uno-a-uno). Cada elemento (a,b) de la relación está asociada con una probabilidad condicional P(b,a) de ocurrencia de b cuando ocurre a. Estos sistemas se pueden subdividir en: § Sistemas probabilísticos simples (sin memoria). Todas las variables principales están definidas sobre la base de valores instantáneos de variables externas. § Sistemas probabilísticos complejos (secuenciales). Al menos una de las variables principales no está definida como los valores instantáneos de una variable externa. Gráficamente, este cuarto nivel de clasificación se puede visualizar como sigue:

W. Rios M.


28

Combinacional (sin memoria) Determinístico Secuencial (4) (3) Simple Probabilístico (estocástico)

Complejo (4)

Figura 1.11 Clasificación del cuarto nivel de sistemas

(4) Clasificaciones que se desagregan en un quinto nivel

1.3.5 Quinto nivel Tanto los sistemas secuencial y complejo a su vez pueden subdividirse como sigue: • Sistemas anticipatorios (teleológicos). Al menos una de las variables principales está definida sobre la base de un valor futuro de una variable externa con respecto al tiempo de referencia de las variables externas. • Sistemas no anticipatorios (físicamente realizables). Ninguna variable principal está definida sobre la base de valores futuros de variables externas con respecto al tiempo de referencia de las variables externas. Gráficamente, este quinto nivel de clasificación se puede visualizar a continuación Anticipatorio (teleológico) (4) No anticipatorio (físicamente realizable) Figura 1.12 Clasificación del quinto nivel de sistemas

En cualquier problema que se trate con sistemas, siempre algunas de sus propiedades son conocidas y a partir de éstas se encuentran las demás. Evidentemente, el sistema se puede determinar solo por las propiedades que se den, las que por supuesto, deben ser consistentes y suficientemente completas para permitir el establecimiento de las demás propiedades. Por lo tanto, las distintas definiciones de sistemas que se han visto serán aplicables a diferentes problemas.

W. Rios M.

29


1.4.

Problemas fundamentales

Cuando se trabaja con sistemas, es frecuente encontrar problemas que se pueden clasificar en tres grandes grupos: 1. Análisis de sistemas 2. Síntesis de sistemas 3. Investigación del sistemas visualizando este como una caja negra. En cualquier problema que tenga que ver con sistemas, se parte de algunas propiedades conocidas y con la ayuda de estas se encuentran las demás. Por tal motivo, es posible establecer distintas definiciones de sistemas, dependiendo del problema que se enfrenta, pues en cada uno de estos se conocen propiedades distintas.

1.4.1. Análisis de sistemas. En este caso, se da la estructura UC por tanto, se utiliza la definición básica 4 de sistema. La tarea de análisis es eliminar de las relaciones y acoplamientos dados, todas las variables, excepto las principales. O sea, la tarea en análisis es encontrar el comportamiento y/o la estructura ST del sistema que corresponde a la estructura UC dada. Las variables principales y su significado deberían acompañar directamente a la estructura UC dada. El procedimiento esquemático se muestra en la Figura 1.13 Comportamiento (Definición 3)

Estructura UC (Definición 4)

Estructura ST (Definición 5)

Figura 1.13 Procedimiento de análisis

1.4.2. Síntesis de Sistemas. Corresponde al inverso de análisis de sistemas y se puede formular como sigue: Se da un comportamiento y/o una actividad y/o una estructura ST de un sistema y un conjunto de tipos de elementos (entendiéndose por tipo, elementos que poseen igual comportamiento permanente). Se debería encontrar una estructura del sistema que tenga un comportamiento dado y entonces se busca una estructura UC apropiada. Por tanto, la tarea de síntesis

W. Rios M.

30


consiste en encontrar qué estructura de entre todas las posibles, satisface los requerimientos en la mejor forma posible. Esquemáticamente se presenta en la Figura 1.14

Demandas hechas sobre la Estructura ST


Comportamiento permanente (Definición 3)

Actividad (Definición 2)

Demandas sobre la Estructura UC


Figura 1.14 Procedimiento de síntesis

1.4.3. Caja Negra Este término ha sido adoptado para cada sistema cuya organización y/o comportamiento es desconocido (o no completamente conocido) y se debe determinar su estructura. Por otro lado, las variables externas del sistema se supone que son observables o medibles a un determinado nivel de resolución y están disponibles para una experimentación. De este modo, cada problema de caja negra está basado en la Definición (1) al cuál se van agregando otros rasgos del sistema investigado. Los problemas de caja negra difieren de los anteriores principalmente en el conocimiento que se tiene de las variables sobre la organización y/o el comportamiento del sistema investigado. Si se tiene información sobre la organización de la caja negra (por ejemplo, se conoce el número de elementos y su tipo), se puede muchas veces, bajo ciertas suposiciones y con la ayuda de experimentos controlados, obtener un conocimiento total sobre su comportamiento permanente. Por tanto, los problemas de caja negra tienen la misma meta que el análisis de sistemas: determinar el comportamiento, el programa y/o la estructura del sistema. Mayores detalles sobre Caja Negra se darán mas adelante.

W. Rios M.

31


Esquemáticamente, el problema de Caja Negra se presenta a continuación:

Programa real completo

Estructura Hipotetica ST

Estructura real ST (Definición 5)

Información sobre la estructura ST

Caja Negra (Definición 1)

Actividad (Definición 2)

Comportamiento permanente (Definición 3)

Comportamiento relativamente permanente

Información sobre la estructura UC

Estructura Hipotética UC

Estructura real UC (Definición 4)

Figura 1.15 Procedimiento de caja negra

1.5.

Modelos de Sistemas

Utilizado la teoría de la similitud, un sistema real es reemplazado por un modelo que debería representar las características de éste (o las características más importantes de éste). La ventaja de experimentar con modelos es que es más rápido de implementar, más barato que hacer pruebas con un sistema real, sin peligro de las consecuencias producidas por errores, más cómoda de usar puesto que se pueden hacer abstracciones de elementos, pudiéndose concentrar el estudio en ciertos factores de interés y a veces más exacta, puesto que se puede considerar que el sistema está hecho de elementos ideales, asignándoles la eficiencia que se desee. Los tres modelos más importantes son: • • •

Modelos de comportamiento Modelos de estructura ST Modelos de estructura UC

W. Rios M.

32


1.5.1. Modelos de comportamiento Se requiere que tanto el sistema original como el modelo demuestren el mismo comportamiento, a pesar que las otras características podrían ser un poco diferentes. Sea un par de sistemas S1 y S2, cada uno de los cuales está definido por el comportamiento permanente. Para usar S2 como un modelo de comportamiento de S1, debe existir una asignación mutua única entre las componentes de los dos comportamientos, de tal modo que ambos sean iguales. Se asume que la asignación consiste de las siguientes correspondencias uno a uno. 1) La correspondencia uno a uno k1 entre las principales variables del sistema S1 y el sistema S2. 2) La correspondencia uno a uno k2 entre los valores de los pares de las principales variables que están representadas por k1. Suponiendo que las componentes del comportamiento de S2 se sustituyen de acuerdo a k1 y k2 por las componentes del comportamiento de S1. Si el comportamiento de S2 después de la sustitución es igual al comportamiento de S1, entonces el conjunto M1 = {R2, k1 , k 2 } representa el modelo de comportamiento de S1 M2 = {R1, k1 , k 2 } representa el modelo de comportamiento de S2 Ejemplo 1.14 Sean dos relaciones R 1 (relaciona los valores de las variables X e Y) y R 2 (relaciona los valores de las variables W y Z) y que representan el comportamiento de dos sistemas S1 y S2 respectivamente. X

Y

W

Z

1

a

A

I

2

b

B

II

3

c

C

III

4

d

D

IV

S1 R1(X X,Y)

S2 R2(X W,Z)

Figura 1.16 Comportamiento permanente de los sistemas S1 y S2

W. Rios M.

33


Usando correspondencias uno-a-uno X↔ Z y W↔ Y (que es k1) entre las variables de S1 y S2, e introduciendo una correspondencia uno-a-uno X↔ Z Y W↔ Y (que es k2 ) entre los valores de las variables. S1

S2

X

W

Y

W

Y

Z

X

A

a

I

1

B

b

II

2

C

c

III

3

D

d

IV

4

Z

k1

k2

Figura 1.17 Correspondencia k 1 entre variables de S1 y S2 y k 2 entre valores de las variables de S1 y S2

Se puede considerar S2 junto con las correspondecias uno-a-uno k1 y k2 como un modelo de comportamiento de S1 y viceversa.

Modelo de Comportamiento para sistemas controlados. Sea S1 y S2 dos sistemas controlados definidos por sus comportamientos respectivamente. Asumiendo:

R1

y

R2

a)

Existe un mapeo k1 de las variables de entrada de S1 a las variables de entrada de S2.

b)

Sea k2 el mapeo de valores de las variables de entrada S1 a valores de las variables de entrada de S2 de acuerdo a k1 .

c)

Existe un mapeo L 1 de las variables de salida de S2 a las variables de salida de S1

d)

Sea L 2 el mapeo de valores de las variables de salida de S2 a valores de las correspondientes variables de salida de S1 de acuerdo a L 1 .

El mapeo k1 y k2 se llaman mapeos de entrada. El mapeo L1 y L2 se llaman mapeos de salida.

W. Rios M.

34


S1

Estímulos del Ambiente

k1

Mapeos de Entrada

k2

L1

Mapeos de Salida

L2

S2

Figura 1.18 Modelo de comportamiento de un sistema controlado

Si el sistema S2 junto con los mapeos produce respuestas iguales al sistema S1 para cualquier estímulo equivalente que provenga del medio ambiente, entonces el conjunto: M1 = {R2 , k1 , k2 , L1 , L2} Representa el modelo de comportamiento del sistema controlado S1. M2 = {R1 , k1 , k2 , L1 , L2} Representa el modelo de comportamiento del sistema controlado S2.

1.5.2. Modelos de estructura ST Sea un par de sistemas S1 y S2 definidos por su estructura ST (Definición 5), S1 y S 2 respectivamente. El sistema S2 se puede usar como un modelo de S1 si existe una asignación única entre los componentes de las dos estructuras ST bajo la cual ambas estructuras ST son iguales. La asignación consiste de: 1) Una correspondencia uno a uno k1 entre los estados de S 1 y S 2. 2) Una correspondencia uno a uno k2 entre las transiciones entre estados de S 1 y S 2 tal que para cada transición entre dos estados de S 1 se asigne una transición entre los correspondientes dos estados de S 2 (asignados por k1 ) y viceversa. Por tanto M1 = {S2, k1 , k 2 } representa el modelo de estructura ST de S1 M2 = {S1, k1 , k 2 } representa el modelo de estructura ST de S2

W. Rios M.

35


Ejemplo 1.15 Sea los siguientes sistemas S1y S2 definidas por las estructuras ST respectivamente, mostradas en las figuras siguientes:

S1 y S 2

1 1 α1

α2

0,2

β1

0,5

1

β2

β3 0,2

0,5

0,5 1

0,3

0,3

α3

S2

S1

Figura 1.19 Modelo de estructura ST

Los estados se denotan por círculos, las transiciones por las flechas dirigidas y las probabilidades de transición por los números asociados a las líneas. Sean las siguientes correspondencias uno a uno:

k1=

β 1 ↔α 3 β 2 ↔α 1 β 3 ↔α 2

k2=

(β 1 , β 2 )↔ (α 3, α 1 ) (β 2 , β 3 )↔ (α 1, α 2 ) (β 3 , β 1 )↔ (α 2, α 3 ) (β 3 , β 2 )↔ (α 2, α 1 ) (β 3 , β 3 )↔ (α 2, α 2 )

Luego: M1 ={S2 , k1, k2 } M2 ={S1 , k1, k2 }

W. Rios M.

es un modelo de la estructura ST de S 1 . es un modelo de la estructura ST de S 2 .

36


1.5.3. Modelos de estructuras UC Sea S1 y S2 dos sistemas definidos por sus estructuras UC U1 y U2 respectivamente. Para poder usar S2 como modelo de S1, las componentes de la estructura UC deben estar dispuestas de tal forma que las estructuras UC se hagan iguales bajo una determinada asignación. Sean las siguientes correspondencias uno a uno: 1) Una correspondencia uno a uno k1 entre los elementos de U1 y U2. 2) Una correspondencia uno a uno k2 entre las variables de U1 y U2 (tanto internas como externas). 3) Una correspondencia k3 uno a uno entre los valores de los correspondientes pares de variables en U1 y U2 de acuerdo a k2 . El conjunto M1 ={U2 , k1 , k2, k3 } tiene la propiedad del modelo de estructura UC, si k1 , k2 y k3 son correspondencias tales que: a)

Cada elemento de U2 es, bajo k2 y k3 un modelo de comportamiento del correspondiente elemento de U1 (asignado por k1 ).

b)

Cada acoplamiento de U2 bajo k2 es igual al acoplamiento entre el correspondiente par de elementos de U1 (asignado por k1 ).

Ejemplo 1.16 Sea el sistema S1 que contiene tres elementos a1, a2, a3 cuyos comportamientos son α 1, α 2 y α 3: α1

α2

α3

x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

x3 x4 x5 x6 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

x6 x7 0 0 0 1 1 0

a1

a2

a3

Cuadro 1.9 Matrices de comportamiento para los elementos del sistema S1

Sea el sistema S2 que contiene tres elementos b1 , b2 , b3 cuyo comportamiento es β 1, β 2 y β 3

W. Rios M.

37


β1 y1 y2 1 0 0 0 1 1

β2

β3

y2 y3 y4 y5 0 d a b 0 c b a 1 d b a 1 c a a 1 c b b 1 c b a

b1

y4 y5 y6 y7 a b c 0 b b c 0 a a c 0 a b d 0 a b c 1 b a d 1

b2

b3

Cuadro 1.10 Matrices de comportamiento para los elementos del sistema S2

El sistema S2 se puede usar como un modelo de estructura UC de S1 (y viceversa), si se proveen las siguientes correspondencias:

k3 :

W. Rios M.

y1 ↔ y2 ↔ y3 ↔ y4 ↔ y5 ↔ y6 ↔ y7 ↔

x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1

k1 :

a1 ↔ b3 a2 ↔ b2 a3 ↔ b1

k2 :

y1 ↔ y2 ↔ y3 ↔ y4 ↔ y5 ↔ y6 ↔ y7 ↔

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1

0↔ 0↔ d↔ a↔ a↔ a↔ 0↔

1 0 0 0 1 1 0

1↔ 1↔ c↔ b↔ b↔ c↔ 1↔

0 1 1 1 0 0 1

38

INTRODUCCIÓN A LA TEORIA GENERAL DE SISTEMAS x1

x2

a1

x3

y6

y3

y1

x7

y7

x4

y4 x6

a2

y2 b1

a3

b2

b3 y5

x5

Figura 1.20 Modelos de estructura UC para el problema 1.16

1.6.

Teoría general de sistemas

Los modelos podrían, pero no necesariamente ser de la misma rama científica que el sistema original. Por ejemplo, un sistema de ingeniería se puede investigar usando un modelo cuyas propiedades cuantitativas simplemente se ajustan de acuerdo a un determinado factor para reflejar el sistema original. Esto se conoce como la teoría de la similaridad en donde fenómenos tales como las propiedades dinámicas de aeroplanos, barcos, etc. son investigadas mediante modelos a escala. Sin embargo, el mismo sistema de ingeniería se podría investigar utilizando un modelo cuyas propiedades físicas son esencialmente diferentes del sistema original. Por ejemplo, se podría usar un sistema eléctrico puro como modelo de un sistema mecánico puro, un sistema térmico, un sistema biológico, etc. Este es el principio básico de la computación analógica. Sistema 1

CLASES DE SISTEMAS

Sistema 2

Mapeo 1

Mapeo 2

Sistema General

Mapeo k

Sistema k

Figura 1.21 Uso de un sistema general para describir diferentes clases de sistemas

W. Rios M.

39


Se entiende como sistemas generales a un modelo abstracto de un sistema particular o clase de sistemas (sea físico o abstracto) que no tiene una interpretación concreta pero que satisface todos los requerimientos del modelo respectivo. Con diferentes mapeos (k1, k2 o k3 vistos en modelos de comportamiento, UC y ST), un sistema general particular (o un sistema general de una clase particular) se puede usar como modelo para una extensa clase de sistemas particulares diferentes, según se muestra en la Figura 1.21 Se puede ver que un sistema general no es único. Cada sistema desplegará las propiedades del sistema general, sin embargo los distintos sistemas tienen características fundamentales, por ejemplo, diferentes niveles de resolución, estructuras, etc.. Sin embargo hay una teoría única que trata con las clases de todos los sistemas generales y que se denomina Teoría General de Sistemas. Esta multiplicidad de sistemas generales y la universalidad de la teoría general de sistemas se muestra en la Figura 1.22. Cada una de las clases de sistemas puede contener diversos tipos de sistemas especiales, tales como mecánicos, eléctricos, químicos, biológicos, sicológicos, sociales, económicos, lingüísticos, matemáticos, etc. Se han elaborado teorías de sistemas particulares para diferentes tipos de sistemas, por ejemplo, las teoría de la relatividad de Einstein para sistemas mecánicos, la teoría de Maxwell de sistemas electromagnéticos, la teoría de lenguajes naturales, la teoría de álgebras booleanas, la teoría de los sistemas de información, etc.. Aún cuando una teoría particular trata con algún fenómeno en gran detalle, está desinteresado de aquellas propiedades generales de sistemas bajo consideración que están fuera del enfoque de la respectiva rama de la ciencia. Esta es la principal desventaja de las teorías especiales, causada por la tradicional clasificación de la ciencia. Ni siquiera un enfoque interdisciplinario particular podría ayudar significativamente en este aspecto, solo una completa unificación de la ciencia podría superar esta desventaja. Sin embargo estas desventajas de teorías especiales se pueden eliminar creando una nueva rama de la ciencia que considera solo rasgos generales de todos los sistemas. Esta nueva rama se llama Teoría General de Sistemas . Todos los posibles sistemas especiales

Sistema Clase I Sistema Clase II Sistema Clase III

Conjunto de mapeos

Todos los posibles sistemas generales

Conjunto I Sistema General I Conjunto II Sistema General II Conjunto III

Area de diferentes teorias de sistemas especiales

Sistema General III Area de la Teoría General de Sistemas

Figura 1.22 Esquema estructural de la Teoría General de Sistemas

W. Rios M.

40


La aplicación básica de la teoría general de sistemas para las soluciones de problemas fundamentales asociados con sistemas se muestra en la Figura 1.25. Sus etapas son: 1. El problema es formulado para un sistema en particular usando el lenguaje de la respectiva rama de la ciencia. 2. El problema es traducido mediante un mapeo a un lenguaje de la teoría general de sistemas. 3. Finalmente todos los resultados obtenidos se interpretan como una salida que se mapea al lenguaje del sistema original. Si ninguna de las preguntas han sido contestadas por la teoría general de sistemas, se debe trabajar adicionalmente sobre el sistema original. Se puede desarrollar una teoría de sistemas para una interpretación dada de la palabra sistemas. La aplicación de una teoría particular de sistemas es mas o menos general dependiendo del significado del concepto de sistemas en el cual se basa la teoría. Hay dos limitaciones para este punto de vista: 1. En el nivel mas bajo de generalización están las diferentes teorías de sistemas, cada una de las cuales se detalla para una clase particular de sistemas asociado con una cierta disciplina científica o de ingeniería. Algunos ejemplos son teoría de circuitos eléctricos, teoría de sistemas mecánicos, teoría de sistemas nerviosos, teoría de sistemas glandulares, etc.. 2. En el nivel mas alto de la generalización se encuentran las teorías de sistemas algebraicos abstractos. Un sistema algebraico abstracto particular esta definido por un conjunto de elementos abstractos y algunas relaciones definidas entre los elementos. Algunos ejemplos son teoría de grupos, teoría de álgebras booleanas, teoría de grafos, teoría de redes, etc. MAPEOS DE ENTRADA

Un problema formulado para un sistema

Sistema General

MAPEOS DE SALIDA

Aplicación de la Teoría de los Sistemas

Interpretación de los resultados generales

Elaboración adicional del problema para el sistema especial

Figura 1.23 Aplicación de la TGS a la solución de problemas

Muchas teorías de sistemas se localizan entre estos dos limites y son mas generales que las teorías específicas asociadas con disciplinas particulares científicas o de ingeniería pero son menos generales que la teoría de los sistemas algebraicos abstractos. Todas esas teorías tienen cierto derechos a llamarse teorías de los sistemas generales porque todas son generales respecto de la teoría de un sistema especial. Un ejemplo es la teoría general de circuitos que es aplicable no solo a circuitos eléctricos sino a sistemas mecánicos, acústicos, magnéticos, etc. Puesto que el nivel de generalización de esta teoría es relativamente baja, se prefiere llamarla teoría general de circuitos en vez de teoría general de sistemas. W. Rios M.


41

Según Klir, la teoría general de sistemas debería tener las siguientes características: 1. Ser aplicable a todos los sistemas o al menos a todos los sistemas limitados. 2. Reflejar los rasgos fundamentales de los sistemas, tal como comportamiento, organización, estructura, etc.. La idea de la teoría general de sistemas fue desarrollado por von Bertalanffy a fines de 1930, y la concibió a través de la biología y encontró que el concepto clásico de sistema cerrado (aislado completamente de su medio ambiente) usado por siglos en física, era insatisfactorio en biología y llevaba a conclusiones erradas. Argumentaba que en los sistemas biológicos se debería considerar el contacto con su medio ambiente y sugirió el concepto de sistemas abiertos, donde la estructura es mantenida por un flujo continuo energético e informacional entre el sistema y su ambiente. Posteriormente trato de extender el concepto de sistemas abiertos a otros campos además del biológico y esto le dio la idea de la teoría general de sistemas cuya tema principal es la formulación y derivación de aquellos principios que son validos para sistemas en general. Un sistema se considera como un objeto físico complejo que consiste de diferentes partes, cada una de las cuales esta asociado con algunas variables que están relacionadas con otras variables de otras partes. Aplicando este enfoque, los sistemas pertenecientes a diferentes disciplinas se investigan en sus formas naturales. Sobre la base de resultados experimentales, se estudian las relaciones de isomorfismos entre diferentes sistemas y finalmente se aplican algunos principios generales a todos los sistemas que pertenecen a una cierta clase. Una importante aproximación la ha sugerido Ashby bajo el nombre de sistema de estado determinado o máquina de estado determinado. Se definen primero un conjunto de condiciones externas y un conjunto de estados internos para una maquina de estado determinado. El sistema en sí esta definido como un mapeo de (a,b1) en b2 donde a es un elemento del conjunto de condiciones externas y b1 y b2 son del conjunto de estados internos. De este modo, el próximo estado interno b2 está definido por la condición externa a y el estado interno b1 . Además de este mapeo, se puede introducir un mapeo de entrada y estados internos en los estados de salida. El enfoque está elaborado particularmente para sistemas con variables continuas cuyo comportamiento se describe generalmente por ecuaciones diferenciales ordinarias. Se mostró que cada sistema de estado determinado con variables continuas se puede representar por la forma canónica dxi/dt = fi(x1 ,x2 ,x3,.........xn ,y1 ,y2 ,......ym ) ∀ i , i=1,2......n, donde xi son variables que representan el estado interno, y1 , y2 , y3 , ... ym son variables que representan las condiciones externas y f1 , f2 ,....fn son funciones mediante las cuales los valores de las derivadas son asignadas a los valores de las variables x1 , x2 , ....xn, y1 , y2 ,......ym. Obviamente los valores de las derivadas están asociadas con el próximo estado del sistema. Ashby desarrollo su Teoría de Sistemas de Estado Determinado, principalmente para aplicaciones científicas. Fue uno de los primeros científicos en investigar el Problema de la Caja Negra desde un punto de vista general. Como una aplicación particular de la teoría, elaboro una teoría formal de homeostasis. Últimamente ha estado interesado principalmente W. Rios M.


42

en encontrar una elaboración de métodos por los cuales relaciones extremadamente complicadas asociadas con sistemas que son totalmente inmanejables y van mas allá de los limites de Bremermann se pueden reducir a relaciones mas simples que de todas formas preservan la esencia de las relaciones originales pero son manejables con equipos computacionales de capacidad media. Brenermann determinó por simples consideraciones físicas que ningún computador puede, bajo ninguna circunstancia procesar mas de 1.4 x 1047 bits per gram per segundo, de tal modo que 10100 bits se acepta como un limite superior absoluto que es prácticamente alcanzable. Otro enfoque conocido como Enfoque Estado-espacio fue desarrollado por Zadeh, Desoer y otros. El significado de sistemas en este enfoque es aproximadamente igual al significado de Sistema de Estado Determinado desarrollado por Ashby. La principal diferencia está en su elaboración. Ashby desarrolló su teoría esencialmente sobre la base de su aplicación en biología, en cambio el enfoque Estado-espacio se trabajó desde una perspectiva de una generalización de la llamada Teoría General de Circuitos, basada sobre la teoría de circuitos eléctricos. Por lo tanto, muchos conceptos, principios y procedimientos así como el simbolismo del enfoque estado-espacio se tomó de la teoría de circuitos y generalizada según las necesidades. El Enfoque Estado-espacio originalmente se aplicó principalmente a sistemas cuyas variables eran continuas y posteriormente se extendió a sistemas discretos. Otra extensión del Enfoque Estado-espacio fue el enfoque de los llamados Sistemas Difusos, que fue sugerido y parcialmente desarrollado por Zadeh. Los Sistemas Difusos están definidos como sistemas cuyas variables pueden tomar valores desde un conjunto difuso, es decir, un conjunto que no esta precisamente especificado. Una de las contribuciones mas significativas a la teoría general de sistemas es sin duda la Teoría Finita de Autómatas o en otra terminología la Teoría de Maquinas Finitas o Máquinas Secuenciales. Esta teoría se ha venido desarrollando desde los años 1950, existiendo en la actualidad una considerable literatura al respecto. Hay dos enfoques parciales que se pueden distinguir en la teoría finita de autómatas: la Teoría de Autómata de Estado Finito y la Teoría de Autómata de Memoria Finita, siendo el primero más general que el segundo. Un autómata de estado finito es un sistema discreto con un conjunto especificado finito de estímulos y respuestas llamado alfabetos de input y output, un conjunto especificado finito de estados internos y un par de funciones dadas yi = fi(xi,zi) zi+1 = gi(xi, zi) donde xi, yi y zi son respectivamente los estímulos, respuestas y estado interno del autómata en un instante de tiempo ti (i=1,2,3,....). De este modo, tanto la respuesta yi en el tiempo ti y el estado interno zi en el tiempo ti+1 están únicamente determinadas por el estimulo xi y el estado interno zi en el tiempo ti. Las funciones f y g representan de hecho las mismas clases de dependencias que las funciones especificadas para los sistemas de estado determinada, sugerida y elaborada por Ashby o aquellas usadas en el enfoque estado-espacio. la diferencia principal entre la teoría de autómata finito y las otras dos teorías es que el primero trata con sistemas discretos solamente y debido a esta limitación puede ser descrito en mas detalle. W. Rios M.


43

Un autómata de memoria finita es un sistema discreto con un conjunto finito especificado de estímulos y respuestas y una función dada yi = hi(xi, xi-1 ,xi-2 ,......xi-a,yi,yi-1,yi-2 ,.....yi-b) donde xi, xi-1,.......xi-a son estímulos a un instante de tiempo ti,ti-1 ,....ti-a respectivamente y yi,yi-1 ,......yi-b son respuestas a un instante de tiempo ti,ti-1 ,ti-2 ,.....ti-b (i=0,1,2,3,.....). De este modo la respuesta yi en el tiempo ti está únicamente determinado por los estímulos xi al mismo tiempo y por algún estimulo y respuesta pasado. La necesidad de un método formal eficiente para un diseño detallado de sistemas complejos de procesamiento digital de datos fue la principal motivación para los avances de la teoría finita de autómatas. Se pueden distinguir dos niveles los que son generalmente la Teoría Abstracta de Autómatas y la Teoría de Estructura de Autómatas. La Teoría Abstracta de Autómatas está orientada a problemas en los cuales, de acuerdo a nuestra terminología no se considera la estructura UC. Tales problemas son, por ejemplo, la determinación de las funciones fi y gi, o en nuestra terminología, la estructura ST para un comportamiento dado, la especificación de estados internos equivalentes, la elaboración de problemas asociados con la identificación de estados y la experimentación de caja negra, etc.. La Teoría de Estructura de Autómata, cuyos principios generales han sido desarrollados desde 1960, tiene que ver con problemas asociados con la estructura UC. Como se puede describir formalmente la estructura UC, cómo un autómata se puede realizar (compuesto) por un conjunto dado de autómatas simples, cómo una estructura UC puede ser simplificada, etc. En el presente, la mayor atención ha sido dada a esa clase especial de autómata cuyas variables son dos-evaluada. La clase de autómata se referencia usualmente como un circuito switch y su teoría se llama Teoría de Switching. Además de la Teoría de Autómata Finito Determinístico, se ha desarrollado recientemente la Teoría de Autómata Finito Probabilística y se define asignando diferentes valores de yi y zi+1 con diferentes probabilidades para un simple par de valores de xi y zi.

W. Rios M.

44

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

2.

Sistemas Discretos y Continuos 2.1.

Introducción

Sistemas discretos son aquellos cuyas variables adquieren un número finito de valores discretos y se conocen solo en instantes discretos de tiempo. Se supone que un conjunto finito de valores exactamente especificados de una variable (llamados valores ideales) no se puede alcanzar en la práctica con un sistema físico, puesto que cada variable depende de múltiples factores (por ejemplo temperatura, humedad, campo magnético, etc.), cuya influencia nunca se eliminará totalmente, pero que sin embargo se deben incluir en el sistema. Los valores reales de las variables por tanto, fluctuarán en las vecindades de los valores ideales, por lo tanto, los valores más cercanos a los valores ideales deberían ocurrir más frecuentemente. Los valores de una variable asociada a un sistema discreto se dividen en muchos conjuntos disjuntos. En sistemas físicos, uno de los valores de cada conjunto, y generalmente el más frecuente, es el valor ideal y en este caso, el valor ideal representa al conjunto completo. En sistemas abstractos, el valor ideal se puede especificar por definición.

2.2.

Nivel de resolución

El nivel de resolución de variables discretas se define especificando conjuntos mutuamente disjuntos de valores para cada variable. Cada conjunto está representado por un valor, generalmente el más común que se llama valor ideal. Sea k conjuntos disjuntos de valores para la variable x. Se denota al conjunto por Ij = (j=0,1,2,3,4....k-1) y los correspondientes valores ideales por ij (j=0,1,2,3,4...k-1). Si m0
I0 = {x : m0 < x < m1 } I1 = {x : m1 < x < m2 } Ik-1 = {x : mk-1 < x < mk }

I2 = {x : m2 < x < m3 }

…….

(2)

I0 = {x : m0 < x ≤ m1 } I1 = {x : m1 < x ≤ m2 } Ik-1 = {x : mk-1 < x ≤ mk }

I2 = {x : m2 < x ≤ m3 }

…….

(3)

I0 = {x : m0 < x < m1 } I1 = {x : m2 < x < m3 } Ik-1 = {x : m2k-2 < x ≤ m2k-1}

I2 = {x : m4 < x ≤ m5 }

…….

(4)

I0 = {x : m0 < x ≤ m1 } I1 = {x : m2 < x ≤ m3 } Ik-1 = {x : m2k-2 < x ≤ m2k-1}

I2 = {x : m4 < x ≤ m5 }

…….

W. Rios M.


45

Cada conjunto de valores especificados por una de las cuatro definiciones está asociada con un valor ideal de una variable en particular. El conjunto de todos los valores ideales de las variables determinan su nivel de resolución. Si alguna variable llegara a tomar algún valor no definido en los conjuntos disjuntos, estos no tienen significado en los sistemas discretos y se denominan valores indefinidos y si el sistema toma al menos un valor indefinido, se dirá que el sistema está en estado transiente. Por tanto, el nivel de resolución de un sistema discreto se determina: 1) Especificando un conjunto de valores ideales para cada variable bajo consideración por cada una de las cuatro definiciones indicadas anteriormente. 2) Especificando una secuencia de tiempos de muestreo, utilizando cualquiera de los siguientes métodos: a. Utilizando un reloj central para determinar el momento preciso en que se deben medir todas las variables definidas. Este método se denomina sincrónico. b. En aquellos intervalos de tiempo durante el cuál los valores de todas las variables bajo consideración están definidas y no cambian.

Ejemplo 2.1: Suponga que las variables observadas son temperatura (T), humedad relativa (H) y presión barométrica (P) en un cierto lugar de la tierra. Suponga que las variables medidas una vez al dia a las 3 PM por un período de tres años. T se mide entre cierto límites T1 y T2, con exactitud de 1ºC, H se mide entre ciertos intervalos H1 y H2 con exactitud de 1% y P se mide en el intervalo P1 y P2 con exactitud de 1mB. ¿Cómo se define la resolución espacio tiempo? Solución: (En clases)

2.3.

Conceptos fundamentales de sistemas discretos

Los conceptos fundamentales de sistemas vistos en el Capítulo 1, serán redefinidos para sistemas discretos. La actividad de sistemas discretos generales son matrices (xit ) cuyos elementos xit son enteros naturales 0,1,2,3,..... El sufijo i=1,2,3,....,n distingue las variables bajo consideración y el superindice t=0,1,2,3,.... tmax determina los instantes de tiempo para los cuales se especifica los valores xit de la respectiva variable xi. El subindice i y el superindice t se suelen llamar identificadores de espacio y tiempo respectivamente. Por ejemplo x3 5 es el valor de la variable x3 en el instante de tiempo t=5. Sea un par ordenado de enteros (r,i), donde i ≥ 1, el elemento de muestreo. Entonces

xir = xit+r

W. Rios M.

variable de muestreo

46


Donde el par (r,i) definen el elemento de muestreo. Por lo tanto, en un instante t, la variable xi tiene un valor xit pero la variable de muestreo tiene un valor xit+r . Considerando variables de muestreo xi0 , xi1 ,.... xik (k ≤ m-1). Obviamente las variables xi0 , xi1 ,.... xik-1 representa valores pasados de xik para cualquier instante de tiempo t. Un conjunto fijo de elementos de muestreo se llama máscara. Para una matriz de actividad particular (xit ) para una máscara dada y para un instante específico de tiempo, la muestra de actividad está definida como el conjunto de valores xit+r para todos los elementos muestreados (r,i) de una máscara dada. Por lo tanto, cada muestra de actividad está exactamente determinada por la matriz de actividad (xit ), por la máscara elegida {(r,i)} y por un instante específico de tiempo t. Ejemplo 2.2. Sea la máscara definida por el siguiente conjunto {(0,2), (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}. La matriz de actividad dada por:

t i

1 2 3

0 0 0 0

1 0 1 0

2 1 1 0

3 1 0 1

4 2 2 1

Matriz de Actividad 5 6 7 8 2 2 0 0 2 3 0 0 1 2 3 2

9 1 0 3

10 1 4 3

11 3 4 3

12 3 4 4

13 3 0 4

14 3 0 4

15 3 0 0

Cuadro 2.1 Matriz de actividad del Ejemplo 2.2

a) Determinar la máscara. b) Determinar los elementos de la muestra para t=0,5,11 Solución (En clases) La diferencia entre los valores máximos y el mínimos de r de los elementos de la muestra incluidos en una máscara se denomina profundidad de la memoria de la máscara.

2.4.

Comportamiento

Las variables de muestreo tienen el mismo significado que las variables principales del sistema, por tanto, las variables de muestreo son aquellas que participan en una relación invariante en el tiempo de sistemas discretos, o de otro modo, participan en el comportamiento de sistemas discretos. Si no se da el comportamiento anticipadamente, como en el caso de la síntesis de sistemas, la máscara no representa una propiedad intrínseca del sistema bajo consideración. Esta solo representa una vista que se aplica sobre la actividad a ser procesada con el fin de obtener su comportamiento. Por tanto, diferentes máscaras pueden mostrar diferentes comportamientos para el mismo sistema. Por tanto, el comportamiento del mismo sistema

W. Rios M.

47


es, ya sea probabilístico o determinístico, dependiendo de la máscara a través de la cuál se examina la actividad.

Ejemplo 2.4. Se tiene un candado de combinación mostrado en la figura. Este se abre o no, dependiendo no solo de números seleccionados instantaneamente sino de números que hayan sido seleccionado previamente. Suponiendo que la respuesta del candado depende de tres posiciones consecutivas del puntero. Una de las posibles actividades que contiene el comportamiento permanente del sistema se muestra en el Cuadro 2.2, donde x denota la posición del puntero e y denota la respuesta del candado. Se superponen tres máscaras típicas. Aplicando ya sea la máscara M1 o M2 se encuentra que la dependencia de la respuesta sobre las otras variables de muestreo es ambigua y podría ser expresada solo en forma estadística si se dispusiera de un número de muestras suficiente. La máscara M3, por otro lado, representa una única dependencia de la respuesta respecto de las otras variables de muestreo de la máscara. t x y

0 0 0

1 3 0

2 7 0

3 2 0

4 5 0

5 3 0

6 0 0

7 2 0

8 9 0 M1

Matriz de Actividad 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6 4 7 2 9 8 1 7 9 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 M3

19 20 21 22 23 7 2 9 6 4 0 0 1 0 0

M2

Cuadro 2.2. Matriz de actividad del Ejemplo 2.4

Solución: (En clases) Por lo tanto, el candado solo se abre para una secuencia de la posición del puntero, entonces representa el comportamiento permanente del sistema.

2.5.

Estructura ST para sistemas discretos

Similarmente al caso de sistemas generales, la estructura ST para sistemas discretos se puede especificar a partir del mismo conjunto de muestras de actividad que representan el comportamiento del sistema y por una relación binaria definida sobre este conjunto que es consistente con la actividad considerada. Las muestras de la actividad tienen, en este caso, el significado de estados del sistema. La relación binaria (el conjunto de transiciones entre los estados) consiste del conjunto de todos los pares de muestras consecutivas que aparecen en la actividad. Evidentemente una sola actividad puede estar representada por diferentes estructuras ST, dependiendo de la máscara elegida.

Ejemplo 2.5. Sea la siguiente matriz de actividad. Todas las posibles muestras de actividad (estados) se obtienen a partir de esta matriz de actividad mediante la máscara que se

W. Rios M.

48


muestra en la figura, junto con la correspondiente posición de la máscara (índices de tiempo). Encontrar la estructura ST. Matriz de Actividad

t i

1

0 0

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

7 1

8 1

9 1

10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 0 0

2 3

0 0

1 0

1 1

0 0

0 1

0 0

1 1

1 1

0 0

0 1

0 0

0 0

0 1

0 1

0 0

0 0

Cuadro 2.3. Matriz de actividad del Ejemplo 2.5

Solución: (En clases)

Sea el número de muestras Si de la actividad denotada por (Si) y sea el número de transiciones de Si a Sj denotada por N(Si,Sj). Si N(Si) y N(Si,Sj) son números estadísticamente significativos (grandes números), transiciones (Si,Sj) se pueden calcular por la fórmula:

las

probabilidades

P(Si,Sj)

de

Donde obviamente

P(Si,Sj) = N(Si,Sj) N(Si) Obviamente

Σi N(Si,Sj) =

N(Sj) Para cada j

Σj N(Si,Sj) =

N(Si) Para cada i

y

Excepto para la primera y última muestra completa en la actividad

2.6.

Estructuras UC para sistemas discretos

En el caso de estructuras UC de sistemas discretos, estos se representan mediante una descomposición de su comportamiento y sus propiedades pueden descubrirse haciendo uso de álgebra discreta, dependiendo de los tipos de elementos usados en la estructura UC. Debe haber una correspondencia uno-a-uno entre las operaciones básicas del álgebra y los tipos de elementos usados en la estructura UC.

W. Rios M.

49


ENTRADA

UNIDAD DE CONTROL

MEMORIA

UNIDAD ARITMETICO-LOGICA

SALIDA

Figura 2.1 Ejemplo de estructura UC para sistemas discretos

2.7.

Comparación de sistemas discretos y continuos

Por definición, los sistemas discretos difieren de sistemas continuos en el nivel de resolución espacio-tiempo. Sistemas Discretos: Todos los instantes de tiempo considerados se representa por el conjunto T={0,1,2,...tmax }. Todos los valores de las variables consideradas Xi (i=1,2,... n) se representa por conjunto Xi={0,1,2, ...ki}. Sistemas Continuos: Todos los instantes de tiempo se representan por el conjunto {T=t: t es un número real 0 ≤ t ≤ tmax }. Todos los valores considerados de variables Xi (i=1,2,...n) representada por el conjunto Xi={φ i: φi es un número real 0 ≤φ i ≤ ki} 1 Sistemas Continuos: Xi(t) es un número real para cualquier instante de tiempo t que está representado por números reales (0 ≤ t ≤ tmax , 0 ≤φ i ≤ ki , i= 1, 2, ...n) Sistemas Discretos: Xi(t) es un entero para cualquier instante t que se representa por enteros (0 ≤ t ≤ tmax , 0 ≤ Xi (t) ≤ ki , i= 1, 2, ...n) 2 Sistemas Continuos: El intervalo de tiempo entre dos instantes de tiempo inmediatamente consecutivos es igual a dt, una magnitud infinitamente pequeña que no se puede usar sola en la practica. Sistemas Discretos: El intervalo de tiempo entre dos instantes de tiempo inmediatamente consecutivos es igual a 1.

W. Rios M.


50

3 Sistemas Continuos: Las variables de muestreo Xirdt de la variable Xi se definen para múltiplos enteros de dt como: Xirdt (t) = xi(t + rdt) Sistemas Discretos: Las variables de muestreo Xir de las variables xi se definen para enteros r por la ecuación : Xir =xit + r Xir es siempre aplicable. 4 Sistemas Continuos: Un conjunto fijo de elementos de muestreo (i, rdt) representa la máscara. La máscara no tiene aplicación práctica. Sistemas Discretos: Un conjunto fijo de elementos de muestreo (i,r) representa la máscara. La máscara es la base para el procedimiento de muestreo definido de una actividad. 5 Sistemas Continuos: El conjunto de valores Xir dt para todos los elementos de muestreo de una máscara dada, representa la muestra de una actividad en el tiempo t. Los valores Xir dt (t) no son distinguibles para diferentes r finitos, de tal modo que la muestra de actividad no tiene sentido. Sistemas Discretos: El conjunto de valores Xir (t) para todos los elementos de muestreo de una máscara dada representa la muestra de actividad de una actividad en tiempo t. Xir (t). Los valores son claramente distinguibles para diferentes enteros r de tal modo que la muestra de actividad es significativa. 6 Sistemas Continuos: La derivada de orden k-ésimo Dik depende de valores de Xi en el intervalo de tiempo infinitesimal kdt. D i k tiene un significado práctico para la representación de valores pasados y/o futuros de Xi para cada particular t. D i k no siempre existe para algún t aún si Xi es continuo. Sistemas Discretos: La diferencia de orden k-ésimo Ei+ k y Ei-k depende de valores consecutivos de Xi. Tanto Ei+ k y Ei-k son aplicables prácticamente. Sin embargo, la aplicación de variables de muestreo generalmente es más simple y se prefiere en la mayoría de los casos. 7 Sistemas Continuos: El comportamiento de un sistema continuo se expresa generalmente por un conjunto de ecuaciones diferenciales. Sistemas Discretos: El comportamiento de un sistema discreto se representa ya sea por un conjunto de muestras de actividad o por un conjunto de ecuaciones en diferencia, siendo el primero preferido al segundo.

2.8.

Sistemas controlados

Un sistema se dice controlado si se conocen cuales de sus variables externas son producidas por el ambiente y cuales son producidas por el sistema mismo. Si el sistema está definido por una estructura UC, todos los elementos del sistema se consideran como sistemas controlables y los acoplamientos entre los elementos son dirigidos.

W. Rios M.

51


y1

y2

yp

Y

S

z1

z2

S

zq

Z

Figura 2.2 Ejemplo de un sistema controlado

El comportamiento del sistema está representado por

z1 = f1 (y1, y2, .......,yp ) z2 = f2 (y1, y2, .......,yp ) . . . zq = fq (y1, y2, .......,yp ) O bien Z = F(Y) Cada elemento de un sistema controlado se considera como un subsistema indivisible cuya estructura no se desea o no se puede resolver. Los acoplamientos dirigidos obedecen a la regla: una salida parcial de un elemento puede estar conectada a cualquier número de entradas parciales, pero una entrada parcial de un elemento puede estar conectada a una única salida parcial.

Ejemplo 2.6: X2

Y3 Y4

a1 X1

Y2

a2

Y1

Figura 2.3 Ejemplo de una estructura UC de sistema controlado

W. Rios M.

Z2 Z1

52


Acoplamientos:

d01 ={X1 } d02 ={Y4 } d12 ={Y2 , Y1 }

d10 ={Y3 } d20 ={Z2 , Z1} d21 ={X2 }

Tipos de Acoplamientos:

ai

ak

aj

ai

aj

Figura 2.4 Acoplamientos serial y paralelo

1. Acoplamiento serial entre a1 y aj : si dij ≠ {φ} 2. Acoplamiento paralelo de ak a ai y aj . Si dki ∩ dkj ≠ {φ } 3. Acoplamiento de realimentación de ai si dii ≠ {φ}

ai

Figura 2.5 Acoplamiento de realimentación

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

Figura 2.6 Posibles acoplamientos entre pares de elementos

W. Rios M.

53


a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

Figura 2.7 Posibles acoplamientos entre pares de elementos (continuación)

Es posible aplicar diferentes niveles de resolución en las estructuras UC

a1

a1

a2

a1

a4

a2

a3

a3

Figura 2.8. Ejemplo de niveles de resolución de estructuras UC

W. Rios M.

a4

54


Sea I i y Oi el conjunto de variables de entrada y salida del elemento ai respectivamente, y sea I j y Oj el conjunto de variables de entrada y salida del elemento a j . Sea d ij un acoplamiento serial de ai y aj , entonces puede ocurrir cualquiera de los cuatro casos: 1) Acoplamiento directo dij = O i = I j 2) Acoplamiento con pérdida de entrada

3) Acoplamiento con pérdida de salida 4) Acoplamiento con pérdida

dij = O i dij ⊂ Ij dij ⊂ dij = dij ⊂ dij ⊂

Oi Ij Oi Ij

Se pueden distinguir además dos tipos de acoplamientos en acoplamiento paralelo: 1. Acoplamiento balanceado 2. Acoplamiento desbalanceado

W. Rios M.

dki = dkj dki ≠ dkj

57

ANÁLISIS DE SISTEMAS

3. Análisis de sistemas La tarea del análisis es encontrar el comportamiento y la estructura ST del sistema que corresponde a la estructura UC dadas. Si el sistema dado es neutral, se debe encontrar su control. Comportamiento (Definición 3)



Figura 3.1 Análisis de Sistemas

3.1.

Estructura UC

Definición: Conjunto de elementos y un conjunto de acoplamientos entre estos elementos. Para un sistema discreto, los elementos se especifican por un conjunto de variables externas v1 ,v2 ,….,vu y una relación invariante en el tiempo entre ciertas variables de muestreo Vir asociada con las variables vi (i=1,2,3.....u). Los elementos del sistema se denotan por círculos en el diagrama de bloques de la estructura UC que se llamará bloques. Variables internas y externas (incluyendo las variables de retroalimentación del elemento) se denotan por puntos que se llamarán nodos de la estructura UC. Un nodo debe estar descrito por su correspondiente variable y conectado con aquellos bloques para los cuales la variable tiene sentido. Un nodo asociado con más de dos conexiones se llamará unión.

Propiedades de los diagramas de bloques de las estructuras UC. 1.- Contiene un conjunto de nodos, un conjunto de bloques y conjunto de conexiones solo entre los nodos y los bloques. 2.- Cada nodo representa una variable del sistema, sea interna o externa. 3.- Cada bloque representa una relación invariante en el tiempo, entre las variables que están conectadas con el bloque y generalmente algunas variables internas del elemento. 4.- No debe haber ninguna conexión directa entre dos nodos o dos bloques en el diagrama. 5.- Cuando se considera el control, cada variable debe estar controlada únicamente por uno de los bloques o solo por el ambiente.

W. Rios M.

58


Ejemplo 3.1 V2

V2

R2

R1

R2 V3

V1

V3

V1

R3

V6

V4

R1

R3

V6

V7

V5

V7

V5 R4

V4

R4

Figura 3.2 Estructura UC (a) sin elementos controlados; (b) con elementos controlados

En el Cuadro 3.1 se muestran las alternativas de control que pueden tener las variables, sean esta definidas como internas o externas.

3.2

Propiedades de estructuras UC para análisis sobre ellas.

Para que se pueda hacer análisis sobre las estructuras UC, estas deben cumplir algunos requisitos o tener ciertas propiedades. Estas son: 1.- Se dan los controles de todos los elementos, es decir, todos los acoplamientos del sistema están dirigidos. a) Todos los elementos de los sistemas son determinísticos. b) Algunos o todos los elementos del sistema son probabilísticos. 2.- Podría ser que no se dieron el control algunos o todos los elementos o sea, algunos o todos los acoplamientos del sistema no está dirigido. a) Se supone que todos los elementos del sistema son determinísticos. b) Se supone que algunos o todos los elementos del sistema son probabilísticos. Donde no se puede hacer análisis 1. Cuando existen loop de variables. 2. Variables controladas por dos o más elementos 3. Cuando el sistema es neutral y su control no se puede encontrar debido a que hay elementos probabilísticos.

W. Rios M.

59


Conexiones dadas para un nodo v

Todos los posibles controles si la variable es externa interna v

R

v

R

R

v R1

v R2

R1

v R2

R1

R2

v

del Ambiente R1

v

v

R2

R1

R2

R1 R3

R2

v

R2

R1

del Ambiente

R3

R3

v

R2

R1 R3

v

R2

R1 R3

R2

R2

R2 R3

R1

R1

R1

v

Rk

R3

R3

v

v

Rk

Rk

del Ambiente

R2 R3

R1

v

Cuadro 3.1 Controles para los elementos de una estructura UC

W. Rios M.

Rk

60


3.3.

Eliminación de variables auxiliares.

Se debe comenzar el análisis desde la salida hacia la entrada, haciendo que cada variable de salida de un elemento sea sustituida por las respectivas funciones de las variables de entrada. Este proceso se repite hasta alcanzar las variables de entrada del sistema. Ejemplo 3.2. Sea la estructura UC. V2

V1

V3 = f1(V 1, V2) a1

a2

V4 = f2(V 1, V2) V5 = f3(V 3) a3

V6 = f4(V 4, V5)

Figura 3.3 Estructura UC del ejemplo 3.2

V6=f4(f2(V1 ,V2), f3(V3)) V6=f4(f2(V1 ,V2), f3(f1(V1,V2))

Comportamiento del sistema sólo en función de las variables externas V1,V2.

Ejemplo 3.3. Dado un sistema cuya estructura UC se muestra en la Figura 3.4, encontrar su comportamiento.

R1

=

x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

z 0 1 1 0

R2

=

z 0 0 1 1

v 0 1 0 1

w 0 1 1 1

Cuadro 3.2 Relaciones de comportamiento de los elementos para el Ejemplo 3.3

La siguiente es la estructura UC para el problema. x

R1

y

a1

v

a2

w Figura 3.4 Estructura UC del ejemplo 3.3

W. Rios M.

R2

61


Para obtener el comportamiento del sistema, se debe eliminar la variable interna z. Mediante la composición R1 ((x,y),z) * R2(z,(v,w)) (1) O la composición

R2 -1((v,w),z) * R1 -1(z,(x,y))

(2)

En la Figura 3.5, se representa gráficamente el procedimiento de composición de funciones utilizando (1) o (2), con el fin de generar las matrices de comportamiento del sistema, dependiente solo de las variables externas. X

Y

Z

0

0

0

1

1

0

1

1

V

W

0

0

0

1

1

1

0 1

R1

R2

Figura 3.5 Procedimiento visual para eliminar variables internas

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

v 0 1 0 1 0 0 0 1

w 0 1 1 1 1 1 0 1

v 0 0 0 0 1 1 1 1

w 0 0 1 1 1 1 1 1

x 0 1 0 1 0 1 0 1

y 0 1 1 0 0 1 1 0

Cuadro 3.3 Matrices de comportamiento permanente para la estructura UC

3.4.

Determinación del control

Si no se da el control del sistema que se analizará, se puede obtener de cualquiera de las siguientes formas: a) Investigando el comportamiento del sistema (encontrado por la eliminación de las variables internas) desde el punto de vista de las relaciones causales. b) Encontrando los controles de los elementos del sistema.

W. Rios M.

62


Los controles de los elementos dados se puede buscar sobre la base tanto de los comportamientos de los elementos y de la forma de la estructura UC. Si el comportamiento se representa por una relación causal y se sabe que el elemento es determinístico, el control se obtiene de la misma relación. Si la relación no es causal o el elemento es no determinístico, su control podría a veces obtenerse del control de otros elementos y con la ayuda de la estructura UC. Ejemplo 3.4. Considere las siguientes relaciones R1, R2 y R3

R1=

V1

V2

V3

V1

V2

V3

V1

V2

V3

0 1 1 0 2 1 1 2

2 2 2 0 1 0 1 2

1 1 1 1 2 0 2 2

0 0 0 2 1 2 1 2

0 1 2 2 0 0 2 1

0 1 2 0 1 2 0 0

0 1 2 2 2 1 0 0

0 0 0 1 2 1 2 1

0 0 1 2 0 1 1 2

R2=

R3=

Cuadro 3.4 Comportamiento permanente de los elementos del Ejemplo 3.4

De V1 V1 V1 V2 V2 V2 V3 V3 V3

Es (U)nica o (A)ambigua R1 R2 R3 A A A A A A A A A A A A A A A A A U A A A A A A A U U

en V2 V3 V2-V3 V1 V3 V1-V3 V1 V2 V1-V2

Cuadro 3.5 Tipos de dependencia pare el Ejemplo 3.4

V1

R1

V2

V1

V3

R2

V1

V3

R3

V2

V3

V2

Figura 3.6 Visualización de las relaciones para el Ejemplo 3.4

El número de posibles dependencias para variables es: n(2n-1 -1) W. Rios M.

63


Ejemplo 3.5 Considerando la estructura UC de la figura. Suponiendo que el control del bloque R3 se ha encontrado antes, el procedimiento para encontrar los controles de los siguientes bloques se realiza simulando un fluido a través de una red de cañerías: V4

V1

R2

V5

R1

R3

V2

V6

V3

V4

V1

R2

V5

R1

R3

V2

V6

V3

V4

V1

R2

V5

R1

R3

V2

V6

V3

V4

V1

R2

R1

V5

R3

V2

V6

V3

Figura 3.7 Determinación gráfica del control de elementos del Ejemplo 3.5

W. Rios M.

64


3.5.

Funciones discretas y sus expresiones algebraicas.

Una asignación de valores de una variable discreta sobre valores de otras variables discretas representa una función discreta. El análisis de un sistema consiste en la composición de funciones simples que corresponden a elementos particulares, de acuerdo a los acoplamientos dados entre los elementos para obtener el comportamiento del sistema. Si las variables no tienen más de k diferentes valores cada una (k≥ 2) en cierto momento, y a lo menos una de ellas toma exactamente k valores diferentes, la función discreta se llama k-evaluada. Se denota: w = f (v1 , v 2 ,...vn ) Donde: w: representa la variable dependiente. f: representa las funciones que asocian los valores de la variable w a los valores de las variables v1, v2 , ...,vn v1, v2 , ...,vn : variables independientes. Se puede derivar que n variables discretas independientes, cada una de las cuales adquieren k diferentes valores, demuestran kn estados distinguibles. Puesto que hay k diferentes asignaciones de valores de una variable dependiente en cada uno de los estados de las variables independientes, el número total de funciones discretas k-evaluadas de n variables kn independientes es igual a k n\k 1 2 3

2 4 16 256

3 27 19.683 7.6*1012

4 256 4.3*109 3.4*1038

5 3125 3*10 17 2.4*10 87

Cuadro 3.6. Número de funciones discretas para n\k

Ejemplo 3.6. Sea las funciones discretas 2-evaluadas de 2 variables independientes (k=2, n=2). En Cuadro 3.7 se muestran todas las funciones definidas en estas condiciones. Los nombres de las funciones describen brevemente sus propiedades fundamentales. Se observa una no linealidad en las funciones discretas que dependen de ambas variables. Esta es una propiedad de funciones discretas (para todo k) de mas de una variable independiente (n ≥ 2). Cada función discreta posee su propio símbolo formal, sin embargo, esta puede ser expresada como una composición de otras funciones.

W. Rios M.

65


x y f0 f1

1 1 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 Función 0 Función cero 1 Función NOR

f2 f3

0 0

0 0

1 1

0 Inhibición por y 1 Negación de y

f2 = y a x

f4 f5

0 0

1 1

0 0

0 Inhibición por x 1 Negación de x

f4 = x a y

f6

0

1

1

0 No equivalencia

f6 = x ≠ y

f7

0

1

1

1 Función NAND

f 7 = x y

f8 F9

1 1

0 0

0 0

0 Función AND 1 Equivalencia

f 8 = xy f9 = x ≡ y

f 8 = xy

f 10 f 11 f 12 f 13

1 1 1 1

0 0 1 1

1 1 0 0

0 1 0 1

f 10 = x

f 10 = x

f 11 = y → x f12 = y f 13 = x → y

f 11 = 1 − y + xy f12 = y f 13 = 1 − x + x y

f 14 f 15

1 1

1 1

1 1

0 Función OR 1 Función UNO

f 14 = x + y f 15 = 1

f 14 = x + y − xy f 15 = 1

Aserción de x Implicación de y Aserción de y Implicación de x

Símbolo f0 = 0 f1 = x ↓ y _

f3 = y _

f5 = x

Expresión algebraica f0 = 0 f1 = (1 − x )(1 − y )

f 2 = x − xy f3 = 1 − y f 4 = y − xy f 5 = 1− x

f 6 = (x − y) f 7 = 1 − xy

2

f 9 = 1 − (x − y)

2

Cuadro 3.7 Funciones discretas para k=2 \n=2

Ejemplo 3.7. Cada función discreta puede ser expresada en función de la combinación de otras funciones. f9 = x ≡ y = f8 * f1 = (x ↓ y) + ( xy ) _

_

f 9 = ( xy) + (( x)( y ))

= ( x / y) ( ( x / x) ( y / y )) _

= ( x ≠ y) etc. Cada una de las expresiones pueden ser evaluadas paso a paso. Por ejemplo, se puede evaluar la siguiente expresión: _

_

f 9 = ( xy) + (( x)( y ))

W. Rios M.

66


x

y

0 0 1 1

0 1 0 1

_

_

y 1 1 0 0

x 1 0 1 0

xy 0 0 0 1

_

_

( x)( y) 1 0 0 0

_

_

xy + (( x)( y)) 1 0 0 1

Cuadro 3.8. Matriz para el Ejemplo 3.7

Id. al caso (x y) ((x x) (yy)) Las combinaciones son múltiples para describir una misma función. Una expresión formal algebraica discreta es: a) Cualquier constante 0, 1, ….k-1 b) Símbolo de una variable discreta junto _ con el símbolo de una función lógica aplicada a la variable. (Ej. negación de x es x ) . c) AfB donde A y B son expresiones algebraicas formales discretas y f es el símbolo de una función discreta. Cada expresión formal algebraica discreta representa una única función discreta, lo que implica que una función puede ser descompuesta en otras funciones (generalmente más simples). Esta composición o descomposición adecuada para una expresión se puede ilustrar en un diagrama de bloques que tiene todas las propiedades de una estructura UC. Cada bloque en el diagrama corresponde a una de las funciones usadas en la expresión. La expresión algebraica formal discreta representa no solo uan función discreta sino además es un medio de descomponer en forma única esta función en base a otras funciones. Por tanto, la expresión algebraica se puede usar como una descripción formal satisfactoria de la estructura UC de un sistema general discreto

Ejemplo 3.8. Considerando la siguiente estructura UC, en donde cada elemento representa una función lógica definida en k2/n2, es posible determinar la función de transformación final para el sistema.

De la Figura 3.8 se desprende que una expresión algebraica se puede usar como una descripción formal de la estructura UC de los sistemas generales discretos. Una expresión algebraica corresponde a cada variable de salida en una estructura UC. Es importante establecer un orden de precedencia o jerarquía en la composición de las funciones.

W. Rios M.

67


x

y

NOT

AND

NOT

AND

OR

xy + (x) (y) Figura 3.8 Estructura UC para el Ejemplo 3.8

Ejemplo 3.9. La función representada por una expresión algebraica depende generalmente del orden de composición de las funciones parciales incluidas en la expresión y los paréntesis. Suponiendo la función implicación: x→ y→ z→ x ↓ ↓ ↓ a b c Orden de Aplicación a a c b b b c

b a a c b

c c a b c a a

Expresión única Correspondientes

y

símbolos

de

las

((x→ y) → z) → x = g1 (x→ y) → (z → x) = g2 (x→ (y → z)) → x = g3 x→ ((y → z) → x) = g4 x→ (y → (z → x) = g5

Cuadro 3.8. Orden de aplicación de expresiones algebraicas para el Ejemplo 3.9

W. Rios M.

funciones

68


La siguiente tabla muestra paso a paso, la valorización de la función correspondiente x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

a 1 1 1 1 0 0 1 1

b 1 1 0 1 1 1 0 1

c a→ b 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

b→ a a→ c 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

c→ a 1 1 1 1 0 0 1 1

b→ c 1 0 1 0 1 1 1 1

c→ b 1 1 0 1 1 1 0 1

Cuadro 3.9. Matriz de valorización de expresiones algebraicas del Ejempo 3.9

La siguiente tabla muestra la valorización de las funciones finales, g1 a g5 g1 g2 g3 g4 g5 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Cuadro 3.10. Matriz de valorización final de función g del Ejemplo 3.9

3.6.

Determinación de la estructura ST.

Cuando se conoce el control y el comportamiento de un sistema, es muy fácil determinar su estructura ST. Los estados del sistema se conocen porque cada componente del comportamiento representa un estado del sistema. Queda por determinar la transición entre los estados. Para el caso de sistemas determinísticos, se puede obtener con la ayuda de la estructura UC. El procedimiento es el siguiente: Se considera un estado Si. El próximo estado se determina únicamente por la estructura UC cuando el correspondiente estímulo (una parte de Si) no cambia. El próximo estado se registra aún si es idéntico a Si.

W. Rios M.

69


Ejemplo 3.10. Suponiendo la siguiente estructura UC, junto a su equivalente, en donde se identifican los elementos de las funciones algebraicas equivalencia y no-equivalencia, además de un elemento adicional (triángulo invertido) que actúa como un retardador de la señal V3. V1

V1

V3-1

S

V2

V3

V2

Figura 3.9 Estructura UN del Ejemplo 3.10

Estado S1 S2 S3 S4

V1 0 0 1 1

V3 -1 0 1 0 1

V2 1 0 0 1

V3 0 1 1 0

Cuadro 3.11. Matriz de comportamiento permanente de la estructura UC

La estructura ST para el circuito del ejemplo es la siguiente: V1 = 0 V1 = 0 S1

S2

V1 = 1

V1 = 1 V1 = 0

V1 = 0 V1 = 1 S4

S3 V1 = 1

Figura 3.10 Estructura ST para el Ejemplo 3.10

W. Rios M.

70


La estructura ST se puede redibujar como:

V1 = 0

V1 = 1

V1 = 0

S 1 ,S4

S 2 ,S 3 V1 = 1

Figura 3.11 Estructura ST reorganizada, para el Ejemplo 3.11

El análisis de sistema obedece a un procedimiento sistematizado que puede expresarse algorítmicamente, por tanto, se puede diseñar un programa computacional para realizar este procedimienrto. El diagrama de flujo para el análisis se muestra en la Figura 3.10.

Ejemplo 3.11. La estructura Uc de un sistema y su comportamiento se dan a continuación: Y1

Y2

Y3

Y4 y

g

x1 a1

x2 a2

R1

a3 R2

R3

Figura 3.13 Estructura UC para el Ejemplo 3.11

R1 ≡

y1 0 0 1 1

y2 0 1 0 1

y3 0 1 1 0

y3 0 0 1 1

x1 0 1 0 1

x2 0 1 1 1

≡ R2

R3≡

x2 0 1

y4 1 0

Cuadro 3.12. Matrices de comportamiento para elementos del Ejemplo 3.11

y1 , y2 , y3 , y4 variables externas x1, x2 variables auxiliares internas Todos los elementos determinísticos. Realizar un procedimiento de análisis del sistema.

W. Rios M.

71


INICIO

Estructura UC dada

Solo elementos determinísticos

si

FIN

FIN

si

Eliminar variables auxiliares

Determinación del control

Está dado el control ?

Está dado el control ?

Eliminar variables auxiliares

Cálculo de probabilidades

si Se puede determinar?

FIN

si Comportamiento Se requiere estructura ST?

Control si

FIN

Determinación de estructura ST

Estructura ST FIN

Figura 3.12 Diagrama de flujo para análisis de sistemas

Ejemplo 3.12. Sea un sistema que contiene cuatro elementos a1 , a2 componentes están dados por: R1≡

R3≡

W. Rios M.

v1 0 0 1 1 v2 0 0 1 1

v2 1 0 0 1 v6 0 1 1 0

v3 0 1 0 1 v 6 -1 0 1 0 1

R2≡

R4≡

v2 0 0 1 1 v6 0 0 1 1

v4 0 1 0 1 v7 1 1 1 0

v5 0 1 1 1 v8 0 1 0 1

,

a3 , a4 cuyos

Cuadro 3.13. Matrices de comportamiento para elementos del Ejemplo 3.12

72


La estructura UC es: V1

V4

V2

V3 a1

V5

a2

V7 a3

a4 V6 V8

Figura 3.13 Estructura UC para el Ejemplo 3.12

Hacer el análisis del sistema.

Ejemplo 3.13. Sea un sistema especificado por la estructura UC. El universo del sistema consiste de dos elementos a1 y a2 cuyo comportamiento permanente está dado por: a1 : x 0 0 1 1

y v 0 1 1 0 2 0 0 1

a2 : z 0 0 1 1

u 0 0 1 0

w 0 1 0 1

Cuadro 3.13. Marices de comportamiento para los elementos del Ejemplo 3.13

Determine (si es posible) a) Variables externas b) Control c) Comportamiento del sistema d) Estructura ST.

W. Rios M.

73

4.

Bibliografía 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Brookshear, J. Glenn. Teoría de la Computación, lenguajes formales y autómatas. Edit. Addison Wesley Iberoamérica. Willmington. 1993. Churchman, C. W. El Enfoque de Sistemas. Editorial Diana. 1981. Etter, Delores. Solución de Problemas de Ingeniería con Matlab. Mc Graw Hill. 1997 Klir George. An Approach to General System Theory. Van Nostrand Reinhold Company. 1969 Martinez, Silvio & Requena Alberto. Dinámica de Sistemas, Modelos y Simulación.. Editorial Alianza, 1986. Von Bertalanffy, Ludwig. Perspectivas en la Teoría General de Sistemas. Editorial Alianza Universidad, 1975.

AUTOR

WLADIMIR RIOS MARTINEZ

TITULO:

INGENIERÍA DE SISTEMAS

EDICION:

PRIMERA

EJEMPLARES:

15

EDITADO POR:

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA OFICINA DE EDUCACION EN INGENIERIA

FECHA:

(AGOSTO - 2001)

SERIE:

4708 - 01 - 02

Ingenieria Sistema Wladimir Rios

Recommend Documents