Cap´ıtulo 5
An´ alis alisis is de imp imp ortan ortanci cia a 5.1. 5.1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
Un arbol a´rbol de falla cualitativo cualitativo provee provee al analista analista con informaci´ on on acerca de como la falla del sistema puede ocurrir o como puede asegurarse asegurarse la operaci´ operaci´on on del sistema •
•
que combinaci´on on de fallas de componentes -eventos terminales- puede provocar la falla del sistema -evento terminal-, o que combinaci´on on de eventos exitosos asegura la operaci´on on exitosa del sistema
Un ´arbol arbol de fallas provee la probabilidad de falla del sistema -evento principal-, lo que puede ser usado para decidir si la performance performance del sistema sistema (confiabilidad, (confiabilidad, disponibilidad, disponibilidad, seguridad) seguridad) es aceptable o si son necesarios algunos cambios. Un an´alisis alisis de importancia es ´util util para el dise˜ no de sistemas que deban alcanzar niveles pre-establecidos de confiabilidad, no desarrollar estrategias de mejoramiento de la confiabilidad desarrollar programas de mantenci´on on basada en la confiabilidad etc.
5.2. 5.2.
Medid Medidas as cuan cuantitati titativ vas de import importanc ancia ia
La importancia de un evento respectoo al even evento to princi principal pal puede puede ser definid definidaa sobre sobre evento terminal terminal con respect interv intervalos alos de tiempo tiempo dados. dados. Entre Entre las medidas medidas de importancia importancia m´as as conocidas se tiene: medida de Birnbaum medida de criticidad medida de la funci´on on de mejora (upgrading) medida de Vesely-Fusell medida de Barlow-Proschan medida secuencial contributiva 45
´ CAP ´ ITULO 5. AN ALISIS DE IMPORTANCIA
46
Observaci´ on 24 Para su calculo, estas medidas consideran que los eventos terminales son estad´ısticamente independientes y sus resultados no clasifican necesariamente los eventos o conjuntos en el mismo orden. Observaci´ on 25 Dependiendo del intervalo de tiempo considerado y la dependencia de probabilidades de los eventos b´ asicos en funci´ on del tiempo, el orden de importancia puede variar incluso para una misma medida si se consideran 2 o mas intervalos de an´ alisis.
La importancia de un conjunto m´ınimo puede ser medida con: Vesely-Fusell Barlow Proschan Las observaciones 24 y 25 tambi´en valen para conjuntos m´ınimos.
5.3.
Vesely-Fussell para conjuntos m´ınimos
La importancia del j -esimo conjunto m´ınimo en el instante t se define como P (conjunto m´ınimo j en t) P (evento principal en t)
Definamos la siguiente notaci´on: I A,j (t), medida de importancia de Vesely-Fussell del j -esimo conjunto m´ınimo con respecto a la disponibilidad del evento principal en el instante t. I R,j (t), medida de importancia de Vesely-Fussell del j -esimo conjunto m´ınimo con respecto a la confiabilidad del evento principal en el instante t. Seg´ un su definici´on, se calculan seg´ un: I A,j (t)
=
Qj (t) QS (t)
I R,j (t)
=
U j (t) U S (t)
(5.1)
donde Q indica no disponibilidad en t, U indica no confiabilidad en t.
Las ecuaciones 5.1 se basan en que lo conjuntos m´ınimos sean estad´ısticamente independientes. Se asume adem´as que la probabilidad de que mas de un conjunto m´ınimo est´e en estado de falla en el instante t es muy peque˜ na comparada a la probabilidad de solo un conjunto m´ınimo est´e en estado de falla en el instante t; lo que es razonable para la mayor´ıa de los sistemas. Una vez calculadas los indicadores de importancia, los eventos terminales pueden ser clasificados de acuerdo a su importancia, en orden descendente. Ejemplo 17 Consid´ erese un ´ arbol de falla cuyo evento principal es ’falla del sistema’. Los conjuntos m´ ınimos son M 1 M 2 M 3
= (E 1 , E 2 ) = (E 1 , E 3 ) = (E 3 , E 4 )
Los eventos terminales son estad´ısticamente independientes. La probabilidad acumulada de falla U i de cada evento terminal para t = 4000 horas se muestran en tabla 5.1.La probabilidad acumulada de falla del sistema es entonces U s = 3 ,7 · 10−2 . Calcule el indicador de importancia de Vesely-Fusell con respecto a la confiabilidad del sistema para t = 4000 horas.
5.3. VESELY-FUSSELL PARA CONJUNTOS M ´ INIMOS
Evento i 1 2 3 4
47
U i
10−2 7 · 10−3 2 · 10−2 3,7 · 10−2
Cuadro 5.1: Probabilidad acumulada de falla Soluci´ on 3 La importancia de cada conjunto m´ınimo es: I R,1
=
I R,2
=
I R,1
=
U 1 = 0,27 U s U 2 = 0,19 U s U 1 = 0,54 U s
Luego, los conjuntos m´ınimos se clasifican asi: M 3 , M 1 , M 2 La importancia de cada evento terminal con respecto a la confiabilidad del sistema para t = 4000 horas es: iR,1
=
iR,2
=
iR,3
=
iR,4
=
U 1 + U 2 = 0 ,46 U s U 1 = 0,27 U s U 2 + U 3 = 0 ,73 U s U 3 = 0,54 U s
y la importancia de los eventos terminales se ordena asi: E 3 , E 4 , E 1 , E 2 Ejemplo 18 El evento principal de un ´ arbol de falla es ’falla del sistema’. Los conjuntos m´ınimos del arbol son ´ M 1 M 2 M 3 M 4
= = = =
(E 1 ) (E 2 ) (E 2 , E 3 ) (E 3 , E 4 )
La no disponibilidad de los eventos terminales para t = 2400 horas son: q1 q2 q3 q4
= = = =
0,04 0,02 0,05 0,08
Los eventos terminales son estad´ısticamente independientes. Calcule los indicadores de importancia de Vesely-Fussell con respecto a la disponibilidad del sistema para t = 2400 horas. Soluci´ on 4 Primero calculamos la no disponibilidad de los conjuntos m´ınimos y del sistema: Q1 Q2 Q3 Q4
= = = =
q1 = 0 ,04 q2 = 0 ,02 q2 · q3 = 0 ,001 q3 · q4 = 0 ,004
´ CAP ´ ITULO 5. AN ALISIS DE IMPORTANCIA
48
y la no disponibilidad del sistema es:
Qs =
Qi = 0,065
i=1,4
y ahora podemos calcular los indicadores de importancia de los eventos terminales: I A,1
=
I A,2
=
I A,1
=
I A,4
=
Q1 = 0,62 Qs Q2 + Q3 = 0,32 Qs Q3 + Q4 = 0,077 Qs Q4 = 0,06 Qs
que se ordenan E 1, E 2 , E 3 , E 4 Ejemplo 19 Para el sistema descrito en el ejemplo anterior, disminuya la no disponibilidad (en t = 2400
horas) de cada evento terminal en 50 % y determine la reducci´ on en la no disponibilidad del sistema para ese instante. ınimos y del sistema en t´ erminos de Soluci´ on 5 Expresemos las no disponibilidades de los conjuntos m´ las no disponibilidades de los eventos terminales: Q1
=
q1
Q2
=
q2
Q3
=
q2 · q3
Q4
=
q3 · q4
Qs
=
Qi
i=1,4
1. En caso de que q1 se reduzca en 50 %, q1 = 0,02
se tiene que Qs = 0,045
luego la no disponibilidad del sistema se redujo seg´ un ∆Qs
Qs
=
0,065 − 0,045 0,065
= 30,8 %
2. En caso de que q2 se reduzca en 50 %, q2 = 0,01
se tiene que Qs = 0,0545
luego la no disponibilidad del sistema se redujo seg´ un ∆Qs
Qs
=
0,065 − 0,0545 0,065
= 16,28 %
49
5.4. VESELY-FUSSELL PARA COMPONENTES
Componente
Eventos terminales/Modos de falla
H 1 H 2 H 3
E 1 E 2 , E 3 , E 5 E 4
Cuadro 5.2: Relacin componente-evento terminal 3. En caso de que q3 se reduzca en 50 %, q3 = 0,025
se tiene que Qs = 0 ,0625
luego la no disponibilidad del sistema se redujo seg´ un ∆Qs Qs
=
0,065 − 0,0625 = 3 ,8 % 0,065
4. En caso de que q4 se reduzca en 50 %, q4 = 0 ,04
se tiene que Qs = 0,063
luego la no disponibilidad del sistema se redujo seg´ un ∆Qs Qs
=
0,065 − 0,063 = 3 ,1 % 0,065
Luego, los eventos terminales son ordenados seg´ un su importancia: E 1, E 2 , E 3 , E 4
lo que corresponde a la medida de importancia de Vesely-Fussell.
5.4.
Vesely-Fussell para componentes
El concepto de importancia puede ser extendido a componentes. Si cada componente solo posee un evento terminal (modo de falla) asociado, entonces la importancia del componente ser´a id´entica a la del evento terminal. Sin embargo, hay componentes que tienen m´as de un modo de falla asociado. La medida de Vesely-Fussell para los componentes se define como: i∗A,j (t)
=
iA,k (t)
k
i∗R,j (t)
=
iR,k (t)
k
donde el ´ındice k corre sobre los eventos terminales del ´arbol. Estas ecuaciones son aplicables solo si los eventos terminales son estad´ısticamente independientes. Ejemplo 20 Un sistema consiste de 3 componentes H i , i = 1 , 3. Los eventos terminales (modo de falla) an asociados a los componentes H i seg´ un se indica en tabla 5.2 . E i est´ Soluci´ on 6 Las medidas de importancia de Vesely-Fussell para los componentes son: i∗A,1 (t)
= iA,2 (t) = iA,3 (t) =
iA,1 (t) = 0,46
∗
iA,2 (t) + iA,3 (t) + iA,5 (t) = 0,71
∗
iA,4 (t) = 0,74
luego, en orden decreciente de importancia: H 3 , H 2 , H 1
´ CAP ´ ITULO 5. AN ALISIS DE IMPORTANCIA
50
E i
Ai
1 2 3 4 5
0.46 0.07 0.53 0.74 0.11
Cuadro 5.3: Disponibilidad en t=1500 horas
H1
H2
H3
Figura 5.1: Sistema original a compuesto por 3 componentes dispuestos en serie (figura 5.1). Cada Ejemplo 21 Un sistema est´ componente tiene un solo modo de falla asociado. La disponibilidad de los componentes H 1 , H 2 , H 3 (para t = 8000 horas) son a1 = 0,999, a2 = 0,96, a3 = 0,97 respectivamente. Las fallas de cada componente son estad´ısticamente independientes. El costo de a˜ nadir cualquier componente redundante es similar. Se requiere una disponibilidad del sistema de 0,995 (en t = 8000 horas). Desarrolle una nueva configuraci´ on, a˜ nadiendo componentes redundantes a cualquiera de las etapas.
Soluci´ on 7 Se requiere una disponibilidad de 0.995. Cualquier configuraci´ on con redundancia es acept-
able. Primero, calculamos la disponibilidad del sistema original (figura 5.1). El ´ arbol de fallas para tal configuraci´ on se muestra en figura ??. Los conjuntos m´ınimos son: M 1 M 2 M 3
= E 1 = E 2 = E 3
La disponibilidad del sistema es As
= 1 − (1 − 0,999) − (1 − 0,96) − (1 − 0,97) = 0,929
lo que es inferior al nivel aceptable. Las medidas de importancia de Vesely-Fussell para cada componente con respecto a la disponibilidad,
S
E1
E2
E3
´ Figura 5.2: Arbol de fallas de la configuraci´on original
51
5.5. COMENTARIOS
H2
H1
H3
H2
H3
Figura 5.3: Sistema modificado para t = 8000 horas es: ∗
=
∗
=
∗
=
iA,1 iA,2 iA,3
Q1 q1 = = 0,014 Qs Qs Q2 q2 = = 0,56 Qs Qs Q3 q3 = = 0,42 Qs Qs
Luego la clasificaci´ on de los componentes es
H 2 , H 3 , H 1 Dado que el costo de a˜ nadir un componente redundante es similar para cualquier etapa
q2 = q2 · q2 = 0 ,042 = 0 ,0016 ∗
donde q2∗ es la no disponibilidad cuando hay un equipo redundante en la etapa 2. La disponibilidad del sistema modificado es:
As
∗
= (1 − q1 ) + (1 − q2 ) + (1 − q3 ) = 3 − (0,001 + 0,0016 + 0,03) = 0,9674
lo cual es aun inaceptable. Si a˜ nadimos otro componente redundante a la etapa 3,
As
∗
∗
= (1 − q1 ) + (1 − q2 ) + (1 − q3 ) = 3 − (0,001 + 0,0016 + 0,032 ) = 0,9965
lo que es aceptable. Se recomienda un sistema como el mostrado en la figura 5.3 .
5.5.
Comentarios
Notese que en el an´alisis de importancia no se toman en cuenta directamente los costos sino que la confiabilidad o disponibilidad de componentes. Luego, los resultados de un an´alisis de importancia sirven de complemento para un an´alisis de costos.
