Introducción:
La vida está llena de conflictos y competencias. Los numerosos ejemplos que involucran adversarios en conflicto incluyen juegos de mesa, combates militares, campañas políticas, competencias deportivas, campañas de publicidad y comercialización entre empresas de negoci negocios os que compit compiten, en, entre entre otros otros.. Una carac caracter teríst ística ica básica básica en muchas muchas de estas estas situaciones es que el resultado final depende en primer lugar, de la combinación de estr estrat ateg egia iass sele selecc ccio iona nada dass por por los los adve advers rsar ario ios. s. La teor teoría ía de jueg juegos os es una una teor teoría ía matemática que estudia las características generales de las situaciones competitivas de tipo complicado. La teor teoría ía de jueg juegos os ma mane neja ja situ situac acio ione ness de deci decisi sión ón en las las que que hay hay dos dos opon oponen ente tess inteligen inteligentes tes que tienen tienen objetivos objetivos contrari contrarios. os. Entre Entre los ejemplos ejemplos caracter característic ísticos os están están lanzamientos de campañas de publicidad para productos que compiten, y la planeación de estrategias bélicas de los ejércitos. La Teoría de Juegos Juegos se desarrol desarrollo lo con el simple simple hecho de que un individuo individuo se relacion relacione e con otro otro u otros. otros. Hoy en día día se enfrent enfrenta a cotidi cotidiana anamen mente te a esta esta teoría teoría,, en cualqu cualquier ier momento. Para el hombre hombre la importancia importancia que representa la Teoría de de Juegos es evidente, pues a diario se enfrenta a múltiples situaciones situaciones que son juegos. Actualmente la Teoría Teoría de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre ocurre cuando los hombres se rel relac acion ionan an de forma forma racio racional nal,, es decir, decir, cuando cuando los individ individuos uos se interr interrela elacio cionan nan utilizando el raciocinio. raciocinio. Sin embargo, embargo, la Teoría de Juegos tiene todas las respuestas a los todos problemas del mundo. En el siguiente trabajo se define en qué consiste la teoría de juegos, sus teoremas, aplicaciones y finalmente se desarrolla un ejemplo del dilema del prisionero aplicado a un caso de un crimen.
A.- Definición Teoría de Juegos:
Disciplina matemática que analiza el comportamiento de individuos o grupos en situaciones de interacción estratégica. El objetivo de la Teoría de Juegos es determinar patrones de comportamiento racional en situaciones en las que los resultados dependen de las acciones de “jugadores” interdependientes. La Teoría de Juegos estudia las situaciones de interdependencia: Situaciones en las que tanto las acciones que realicen los individuos como los resultados que se esperen de ellas, dependen de las acciones que otros puedan llevar a cabo. Dado que esas situaciones de interdependencia están tan relacionadas con lo que los otros puedan hacer, darán lugar a que se adopten diferentes “Estrategias”, y que se pueda intentar determinar cuáles son las acciones que los distintos individuos o “Jugadores” llevarán a cabo en la búsqueda de los mejores resultados, o “Pagos” posibles, la teoría de juegos estudia las situaciones de interdependencia estratégica. En este entorno, el estudio se centra en los posibles resultados que el individuo pueda obtener en función de sus acciones y de lo que ocurra por fuerzas sobre las que él no tiene ningún control o influencia. Existen muy diversos tipos diferentes de juegos. En sus orígenes, la literatura sobre el tema analizó los juegos de suma cero, esto consiste en que cuando uno gana ha de ser necesariamente a costa de que el otro pierda. Posteriormente se estudiaron otros juegos Cooperativos, los que consisten en que los “Jugadores” eligen y llevan a cabo sus acciones de manera coordinada. Luego, el análisis se centró en los juegos “No Cooperativos”, que son aquellos en que los jugadores adoptan sus decisiones de forma individual, pero su relación con las decisiones de otros incorpora elementos de cooperación y de rivalidad. Finalmente, en la actualidad se presta gran atención a los juegos “Evolutivos”, en los que se supone que la información es imperfecta y un determinado juego se lleva a cabo repetidas veces. Elementos de los que se compone un Juego:
Los elementos que necesariamente están presentes en cada planteamiento en el ámbito de la teoría de juegos son: 1.- Jugadores: Son los individuos que han de tomar decisiones, suponiendo siempre que
buscan obtener los mejores pagos posibles, es decir, buscan maximizar su utilidad. Cuando existen circunstancias en las cuales los jugadores no tienen ningún poder de influencia o de determinación, se suele decir que quién juega es la naturaleza. Si se puede asignar probabilidades a cada uno de los posibles estados de la naturaleza nos encontraremos en presencia de juegos de información completa. En caso contrario, lógicamente, se tendrá información incompleta. 2.- Acciones: Son cada una de las posibles alternativas que un jugador puede adoptar en
cada momento en los que le toca decidir. Lógicamente, optará por una u otra buscando maximizar su utilidad, y teniendo en cuenta tanto los posibles estados de la naturaleza que puedan ocurrir, como las posibles acciones que el resto de jugadores puedan realizar.
3.- Estrategias: Especificación completa de las acciones que ejecutará un jugador en
cualquier contingencia que pueda presentarse en el desarrollo del juego. Es cada uno de los cursos de acción de cada jugador. Estrategia Dominante: Estrategia que genera en un juego los mejores resultados, independientemente de la estrategia que elija el adversario. 4.- Información: Es el grado de conocimiento del que se dispone en cada momento
acerca de los valores de las distintas variables.
5.- Pagos o Recompensas: Representan la utilidad que reciben los jugadores al finalizar
el juego, cuya valoración no ha de ser necesariamente llevada a cabo en términos monetarios. 6.- Equilibrio: Es el conjunto de estrategias que los jugadores llevan a cabo al participar
el juego.
B.- Principales Exponentes:
La teoría de juegos comenzó analizando juegos de cartas como el póker. El término juego se conservó incluso después de que la teoría abandonara el estudio de los auténticos juegos y pasase a considerar situaciones estratégicas en general. Un juego, en este sentido, es cualquier situación estratégica. James Waldegrave:
En 1713 analizó un juego de cartas denominado “Le Her”, cuyo objetivo es obtener una carta mayor que el adversario. Los jugadores tienen posibilidad de intercambiar cartas, salvo cuando uno de ellos (quien reparte) tiene la carta más grande (rey). El problema es encontrar la estrategia ganadora que maximice la probabilidad de ganar sin importar la elección del rival. La solución de Waldegrave es una solución mínimax que no fue generalizada, y por diversas razones fue hasta fines de la década de 1950 cuando se reconsideró su trabajo. Antoine Augustin Cournot:
Realizó un estudio sobre un duopolio en el que se llega a una versión reducida del equilibrio de Nash, ya que, se alcanza poco a poco el nivel de precios y producción adecuado. John Von Neumann y Oskar Morgenstern:
El primer trabajo importante en este campo fue Theory of Games and Economic Behavior, publicado en 1944. Los autores John Von Neumann un físico y matemático y Oskar Morgenstern, un economista, proponían, entre otras cosas, una nueva teoría de la utilidad y una solución algorítmica para los juegos de suma cero, juegos en que uno gana lo que el otro pierde. Demostraron que estos juegos, aunque poco frecuentes en la realidad, tienen una solución sencilla y elegante desde el punto de vista matemático. Albert W. Tucker:
En 1950 Albert W. Tucker planteó formalmente las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se emprendió un experimento acerca de este juego en la corporación RAND. John Nash:
Los aportes principales se producen con la publicación de varios trabajos sobre teoría de juegos a cargo del matemático John Nash (1996) en los años 1950-1953. Nash propuso una noción general y simple de equilibrio (el llamado Equilibrio de Nash), entendiendo por equilibrio una situación en la que ninguno de los jugadores tiene incentivos para cambiar su elección. Esta noción se aplica por igual a juegos de suma cero, en los que tal divergencia es parcial. En un equilibrio de Nash, los jugadores actúan racionalmente (intentan maximizar su utilidad), y no pueden llegar a acuerdos entre sí que no se sostengan sobre los propios intereses de los jugadores. Cuando sucede que no hay posibilidad de establecer acuerdos cuyo cumplimiento sea garantizado por una tercera parte, se habla de juegos cooperativos. Durante los años ochenta se avanzó en lo que se conoce como refinamientos del equilibrio de Nash, estableciendo por ejemplo los primeros modelos de negociación basados en teoría de juegos no cooperativos. John Harsanyi y Richard Selten:
Las aplicaciones y desarrollos de la teoría de juegos tardaron tiempo en hacerse notar. Hasta bien entrados los años sesenta del siglo pasado no se realizaron avances teóricos de importancia. John Harsanyi propuso entonces su teoría de los juegos de información incompleta y Richard Selten, en los setenta, ofreció nuevas nociones más refinadas de equilibrio, teniendo en cuenta los problemas de credibilidad de las promesas y amenazas que pueden intervenir en los juegos. Harsanyi y Selten colaboraron además en un ambicioso proyecto destinado a proponer una teoría del equilibrio válido para cualquier tipo de juego que culminó con la publicación del libro A General Theory Of Equilibrium Selection in Games en 1988.
John Maynard Smith:
En los últimos veinte años, los avances más relevantes desde el punto de vista teórico han sido dos. Por un lado, el desarrollo de los modelos evolutivos, inspirados en el trabajo pionero de John Maynard Smith (1982), en los que no se supone racionalidad a los agentes. El mecanismo de la selección natural. Sin embrago, produce resultados equivalentes. Sus aplicaciones no se limitan sólo a la biología: pueden encontrarse también en economía, psicología, e incluso filosofía moral. Tienen la ventaja de que pueden explicar fenómenos muy generales, desde una perspectiva macro, sin necesidad de realizar supuestos exigentes sobre la racionalidad de los agentes. Por otro lado ha sido fundamental también la aparición de lo que suele llamarse economía del comportamiento (Behavioral Economics). Esta teoría, motivada sobre todo por los resultados de múltiples experimentos de laboratorio, intenta adoptar el instrumental de la teoría de juegos a la clase de comportamientos que los seres humanos llevan a cabo en la realidad y que se desvía, en ocasiones de forma muy pronunciada, de lo que postulan los modelos más abstractos de teorías de juegos. C.- Principales Teoremas: I.- Tipos de Juegos 1.- Juegos de dos personas con suma cero:
El póker o el ajedrez son ejemplos de juegos de suma cero, porque un jugador gana exactamente la cantidad que pierde su oponente. En un conflicto de juegos hay dos oponentes, llamados jugadores, y cada uno tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias. Asociadas con cada par de estrategias hay una recompensa que paga un jugador al otro. A esos juegos se les llama
juegos entre dos personas con suma cero. Por que las ganancias de un jugador son igual a la pérdida del otro. Si se representan los dos jugadores con A y B, con m y n estrategias, respectivamente, el juego se suele representar con la matriz de recompensa para el jugador A que es la siguiente:
La representación indica que si A usa la estrategia i y B usa la estrategia j, la recompensa para a es aij y entonces la recompensa para B es –aij. Como sus juegos tienen su base en el conflicto de intereses, la solución óptima escoge una o más estrategias para cada jugador, de tal modo que cualquier cambio en las estrategias elegidas no mejore la recompensa para cualquiera de los jugadores. Esas soluciones pueden tener la forma de una sola estrategia pura, o varias estrategias mezcladas de acuerdo con probabilidades predeterminadas. 2.- Juegos de Suma No Cero:
En un juego de suma no nula las ganancias de un jugador difieren de las pérdidas del otro (pueden ser mayores, o menores, pero no iguales). Esto significaría que otras partes pueden participar en las pérdidas o las ganancias. Así pues, este tipo de juegos no son estrictamente competitivos, y algunas veces hay posibilidad de cooperación. En los juegos de suma "no cero" o colaborativos, por el contrario, el resultado es más abierto y puede ocurrir que todos pierdan o todos ganen. El "dilema del prisionero" en el que un preso se plantea si delatar a un cómplice o colaborar y que la pena sea menor para los dos, es el ejemplo que se suele poner. Y los juegos de rol son un caso más claro todavía. La mayoría de ejemplos reales en negocios y política corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor a la que tendría si no se hubiera dado el negocio. 3.- Juegos con Transferencia de Utilidad (Juegos Cooperativos):
Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad. Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo antes de los pagos, la problemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea
estable y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté interesado en romper la coalición. 4.- Juegos No Cooperativos:
Analizan situaciones en las que las ganancias (niveles de utilidad) de los agentes (económicos) dependen de las acciones de otros jugadores y en las que los agentes o jugadores no pueden, en un principio, firmar acuerdos vinculantes acerca del curso de acción a seguir, cuyo cumplimiento pueda ser exigido por terceras partes. En la mayoría de situaciones que aparecen en entornos de competencia económica rara vez es posible implementar acuerdos vinculantes, de manera que proporciona las herramientas adecuadas para el análisis. 5.- Juegos Simétricos:
Un juego es simétrico si todos los jugadores lo ven de la misma forma. Esto se concreta en dos consideraciones importantes. Primero, cada jugador i tiene el mismo conjunto de estrategias X (i); un jugador no tiene más estrategias diferentes que otro. En segundo lugar, cada par de jugadores i y j tienen la misma función de utilidad en el sentido que, dadas las estrategias del resto de jugadores, intercambiar las estrategias de los jugadores intercambia sus ganancias: ui (xi, xj, resto de las estrategias) = uj (xj, xi, resto de las estrategias). En particular, cuando dos jugadores eligen la misma estrategia xi = xj, entonces: ui (xi, xi, resto de las estrategias) = uj (xi, xi, resto de las estrategias). En un juego simétrico, cuando los jugadores escogen la misma estrategia, obtienen las mismas ganancias. Los juegos simétricos son importantes por dos razones. En primer lugar, proporcionan aproximaciones buenas a juegos complicados cuando los jugadores no son muy diferentes, y son más fáciles de resolver. En segundo lugar, los juegos simétricos sirven de inspiración de una condición suficiente de la solución. Como un juego simétrico es visto de la misma forma por todos los jugadores, no hay razón para creer que un jugador tiene ventaja sobre otro. Todos los jugadores tienen las mismas oportunidades. La solución de un juego simétrico debe reflejar esta igualdad de oportunidades. 6.- Juegos Asimétricos:
Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. 7.- Juegos Simultáneos y Secuenciales:
Los juegos simultáneos son juegos en los que los jugadores mueven simultáneamente o en los que éstos desconocen los movimientos anteriores de otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en los que los jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas. Este conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en algo de información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no realizó una acción determinada, pero no saber cuál de las otras acciones disponibles eligió.
La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales se recoge en las representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para representar juegos simultáneos, y la extensiva para representar juegos secuenciales. 8.- Juegos de Información Perfecta:
Un juego es de información perfecta si todos los jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los otros jugadores; así que sólo los juegos secuenciales pueden ser juegos de información perfecta, pues en los juegos simultáneos no todos los jugadores (a menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayoría de los juegos estudiados en la teoría de juegos son juegos de información imperfecta, aunque algunos juegos interesantes son de información perfecta, incluyendo el juego del ultimátum y el juego de los cien pies. También muchos juegos populares son de información perfecta, incluyendo el ajedrez. La información perfecta se confunde a menudo con la información completa, que es un concepto similar. La información completa requiere que cada jugador conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las acciones. En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma "información relevante al juego" que los demás jugadores. El ajedrez y el dilema del prisionero ejemplifican juegos de información completa. Los juegos de información completa ocurren raramente en el mundo real, y los teóricos de los juegos, usualmente los ven sólo como aproximaciones al juego realmente jugado. II.- Teoremas: 1.- Equilibrio de Nash:
Combinación de estrategias tal que la estrategia de cada jugador es la mejor que puede elegir, dada la que elige el otro. Se logra un equilibrio de Nash cuando ninguno de los jugadores tiene incentivos para alejarse de su estrategia actual. El equilibrio de Nash es un equilibrio no cooperativo, donde ninguna de las firmas tiene un incentivo para modificar su decisión de producción. Es decir, la estrategia elegida por cada firma maximiza sus utilidades, dadas las estrategias de sus competidores. Cuando existen estrategias dominantes, si cada jugador sigue su estrategia dominante se logra un equilibrio de Nash. Pero, se puede lograr un equilibrio de Nash aún cuando uno de los jugadores no tenga una estrategia dominante. En un juego puede no existir un equilibrio de Nash. 2.- Criterio Minimax:
La solución a los juegos de dos personas de suma nula se basa en el Teorema de Minimax, el cual establece que cada jugador debería jugar de tal forma que maximizara sus mínimas ganancias. Se espera que los jugadores sigan esta teoría debido a: 1.- Si el jugador A maximiza el mínimo resultado, significa que puede conseguir al menos un valor de V⁺ (V⁺ Significa V o más). 2.- Si el jugador B sigue el método Minimax, puede limitar a que la ganancia de A no sea más que V⁻, es decir, limita las pérdidas a V (V⁻ significa V o menos). El teorema Minimax de la teoría de juegos establece que si se pueden utilizar estrategias mixtas, entonces siempre hay un valor de juego V, de tal forma que: V⁺ = V⁻= V
El criterio Minimax define una solución para los juegos de dos personas de suma nula cuando se ha hecho un gran conjunto de simplificaciones. Así pues, como indica la experiencia, los jugadores a menudo no siguen el método Minimax, especialmente en los casos de estrategia mixta. 3.- Estrategia Maximin:
En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental es supuesto de racionalidad de los agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se comporta racionalmente, podría tener sentido que adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que puede obtenerse. Vamos a considerar un juego de suma cero. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos, en la que para cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez.
Por ejemplo, si Yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B, entonces yo recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos. Éste es por tanto un juego de suma cero. Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que indica mis pagos. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido una columna indicando mis resultados mínimos:
En efecto, • Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un resultado de 1. • Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré 4. • Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3.
De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia me garantiza que, como mínimo, obtendré 4. D.- Aplicaciones de la Teoría de Juegos: 1.- Economía: Oligopolio de Cournot:
En el oligopolio, las empresas deben decidir si lanzarán costosas campañas de publicidad, si modificarán su producto, si lo harán más confiable o más durable, si realizarán discriminación de precios y, si lo hacen, entre qué grupos de clientes y hasta qué nivel; si efectuarán una gran labor de investigación y desarrollo destinada a disminuir los costos de producción, y si entrarán o saldrán de una industria. Todas estas elecciones pueden analizarse con la teoría de juegos. Una de las aplicaciones más fructíferas de la teoría de juegos es la relativa al estudio de la organización industrial en entornos con un número de agentes no muy grande, en particular el estudio de modelos de mercado con un número reducido de empresas. Los modelos de duopolio constituyen una aplicación pionera de este tipo. El modelo clásico de Cournot consiste en que un pequeño número de empresas compiten en el mercado de un producto homogéneo, decidiendo simultáneamente qué cantidades de producción van a aportar al mercado, y el precio de mercado queda determinado por la cantidad total aportada de acuerdo con la función demanda inversa. Aunque el mecanismo mediante el cual se vacía el mercado vendiendo toda la producción aportada no se especifica, es útil imaginar una subasta entre compradores de la producción total. Al equilibrio resultante de ese modelo se le ha llamado tradicionalmente el equilibrio de Cournot, y se llama a veces equilibrio de Cournot-Nash para indicar que se trata del equilibrio de Nash del juego definido por el modelo de Cournot. 2.- Política:
Con la teoría de juegos podemos estudiar las coaliciones que se forman antes de las elecciones, cuando un candidato se da cuenta que otro tiene mayor probabilidad de ganar, le dice “me retiraré para dejarte ganar, pero después quiero que tomes mis ideas y que me nombres en algún cargo”. Es altamente útil para explicar las preferencias de los grupos parlamentarios, sobre todo cuando existe disciplina de partido. En teoría de juegos los partidos políticos pueden ser considerados jugadores racionales, quienes aspiran a un juego racional. La teoría de juegos recomendaría a cada uno de los jugadores que van a empezar un juego G, estrictamente competitivo de información perfecta sin jugadas al azar, que si el juego tienen valor v, las alternativas son fáciles: Con seguridad cada jugador debería simplemente escoger estrategias puras que le aseguran un resultado no peor que v. Si un par así de estrategias puras (s, t) es utilizado, entonces el resultado del juego será v. Pero debemos llevar cuidado al aceptar el par (s, t) como una solución del juego. Los partidos políticos pueden ejecutar el Juego del Financiamiento. En este modelo los partidos políticos son los jugadores. Análisis político. Las reglas electorales alteran las plataformas electorales de los candidatos y se pueden estudiar las consecuencias de distintos tipos de reglas. 3.- Biología:
En Biología se ha utilizado ampliamente la teoría de juegos para comprender y predecir ciertos resultados de la evolución, como lo es el concepto de estrategia evolutiva estable
introducido por John Maynard Smith en su ensayo "Teoría de Juegos y la Evolución de la Lucha", así como en su libro "Evolución y Teoría de Juegos". Evolución de las especies biológicas. Las especies que conocemos son el producto de un largo proceso de interacciones con otras especies. Los genes y la influencia de estos sobre su comportamiento y características físicas hacen que individuos de una especie tengan distinta capacidad reproductora, con lo que los genes más exitosos en el juego reproductivo son los que sobreviven. 4.- Comportamiento Humano: Dilema del Prisionero:
Para el comportamiento humano, la teoría de juegos propone un caso muy representativo, el llamado dilema del preso, un juego cuyas reglas son las que siguen: Dos individuos han sido detenidos por cometer un crimen, y son interrogados por separado. Cada uno de ellos tiene dos opciones: declararse culpable o inocente. Entonces la combinación de las declaraciones de los dos detenidos puede ser de tres formas: 1.- Si ambos niegan haber cometido el delito, será muy difícil que se demuestre su culpabilidad, y por tanto, es fácil que salgan libres o sufran una pena mínima. 2.- Si los dos reconocen su culpa, recibirán la compensación por su arrepentimiento y cumplirán una pena corta, aunque mayor que la anterior. 3.- Sin embargo. Si uno se declara inocente y el otro confiesa, la pena para el primero será mucho mayor que para el segundo. Es decir, lo más cómodo para cada uno de ellos individualmente sería declararse culpable, porque al no saber lo que dirá el otro, la pena será menor que si se declara inocente y el amigo hace lo contrario, es lo que se llama desertar, y no conseguirá tan buen resultado como si ambos se declaran inocentes, lo que se llamaría cooperar, pero la pena será aceptable. Por el contrario, si uno coopera y el otro deserta, la pena será la mayor para el primero. Por tanto, parece claro que lo mejor en este caso es desertar, sin embargo, podemos imaginarnos que ambos jugadores pasan por una serie de partidas consecutivas, de forma que cada uno sabe lo que ha hecho el otro en las anteriores y basa su comportamiento en ello. Además a cada uno de los resultados posibles se le asigna una puntuación que se va acumulando. Estas puntuaciones podrían ser: Si ambos cooperan cada uno recibe 3 puntos. Si ambos desertan cada uno recibe 1 punto. Si uno deserta y el otro coopera, el primero se lleva 5 puntos y el segundo ninguno. Suponemos que estos puntos se traducen en dinero, y cabe preguntarse cuál es la estrategia adecuada para ganar más en este juego del “dilema del preso repetido”. Cooperar a menudo puede provocar que el rival deserte a menudo y obtenga mucho dinero a nuestra costa. Desertar a menudo causa que el competidor también lo haga y el beneficio para ambos sea muy inferior a la colaboración continuada. Es claro que la cooperación encadenada entre ambos es lo mejor para los dos, pero el peligro de traición es evidente. 5.- Filosofía:
Los especialistas en Teoría de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qué incluso el individuo más egoísta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus vecinos en una relación a largo plazo redundará en su propio interés ilustrado. Con este fin estudian los equilibrios de juegos con repetición (juegos que los mismos jugadores juegan una y otra vez). Pocas cosas han descubierto en esta área hasta el presente que hubieran sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos años articuló los mecanismos esenciales. Estas ideas, sin embargo, están ahora firmemente
basadas en modelos formales. Para avanzar más, habrá que esperar progresos en el problema de la selección de equilibrios en juegos con múltiples equilibrios. Cuando estos progresos se den, sospecho que la filosofía social sin Teoría de Juegos será algo inconcebible y que David Hume será universalmente considerado como su verdadero fundador. E.- Ejercicio de Aplicación: El dilema del Prisionero:
Dos sospechosos de un crimen son capturados y retenidos en celdas separadas. Hay suficiente evidencia como para inculparlos de una parte del crimen, pero no suficiente evidencia como para inculparlos del crimen total, a menos que haya un testigo que confiese (en este caso, los únicos testigos son los dos sospechosos detenidos). Si ambos no confiesan, solo se los procesará por la fracción del crimen cometido, equivalente a 1 año de prisión. Ahora bien, si uno confiesa y el otro no, al que confesó se le usara como testigo y además será liberado, dándole al otro 4 años de prisión. Si ambos confiesan, se les dará una condena de 3 años a cada uno (obviamente menor que 4 años porque es el incentivo para que confiesen). Suposición: Ambos jugadores (sospechosos) se preocupan solo, única y exclusivamente de su bienestar personal, es decir, harían todo lo posible para que la policía los deje en libertad, incluso si eso implica traicionar al cómplice. Ambos jugadores son interrogados de forma privada, cosa que no pueden influir en la respuesta del otro.
Por lo tanto, el juego será una matriz de 2x2, y además es un juego simétrico. Es simétrico el juego en el cual las ganancias de cada jugador, solo dependen de la estrategia utilizada, y no de quién esté jugando el juego. En este caso, no importa a quien se interrogue primero, o bien a quien se quiere interrogar.
Ambos sospechosos prefieren obviamente quedar en libertad, pero a la vez prefieren recibir 1 año a que 3, y 3 años a que 4.
Definición del Juego: Jugadores: Delincuente 1 (Alejandro) y Delincuente 2 (Andrea). Acciones: {Cooperar (confesar el crimen), Negar (No Confesar)} = {c, n}. Ganancias: En este caso, las ganancias están dadas por una matriz 2x2.
Alejandro n c
ANDREA n c 2,2 3
0,3 1,1
Explicación de la Matriz de Ganancias:
Quedar libre es la ganancia más alta, por lo tanto se le adjudica el valor 3, luego, 3 años equivalen a una ganancia 1, y 1 año equivale a una ganancia de 2. Por ende, 4 años equivale a una ganancia de 0.
Cuando Alejandro elige c (Cooperar) y Andrea elige n (No Cooperar), la ganancia de Alejandro será de 3 y la de Andrea será de cero (el par (3,0)) = Alejandro queda libre y Andrea es encarcelada con 4 años. También, cuando ambos delincuentes eligen cooperar “c”, las ganancias de ambos es de (1,1) = ambos obtienen 3 años de condena. A la vez, si ambos eligen No Cooperar, la ganancia es de (2,2)= ambos obtienen 1 año de condena. Al contrario, cuando Alejandro elige “n” y Andrea elige “c” ( par (0,3)) Alejandro es encarcelado y Andrea queda libre. Los números 0, 1, 2 y 3, son totalmente arbitrarios. Lo único importante es que esos valores representan las preferencias de los jugadores. Como se observa, las ganancias de Alejandro están dadas por el primer componente del par {x, y} y las de Andrea por el segundo. No es importante quien actué primero. Obviamente Alejandro y Andrea, ambos quieren tener 3, pero eso es imposible. Lograr el par (3,3) no es posible según las reglas del juego. Ahora bien, podría ser (3,0) y Alejandro obtendría 3 (Libertad), pero, por qué Andrea querría elegir 0? Por qué Andrea se iría a sacrificar? En otras palabras, sea lo que sea que haya elegido Alejandro, Andrea no elegirá “No Confesar”, porque así corre el riesgo de obtener 0. Equilibrio:
Se pensará desde el punto de vista de Alejandro. Si elige c (Cooperar) obtendría 3 o 1 dependiendo de lo que Andrea haga. Si elige n (No Cooperar), obtiene 2 o 0, dependiendo de lo que Andrea elija. Lo mismo se podría decir de Andrea (por simetría). Por ende, elegir siempre c (Cooperar) es lo más seguro, porque así no se corre el riesgo de ganar 0, que es lo que más buscan evitar estos delincuentes. Obtener (3,0) o (0,3) es imposible porque siempre sale alguien perjudicado, y ese alguien siempre actuará para evitar tener 0, así que cualquiera de esos pares es una situación imposible. Luego, 2,2, donde ambos obtienen lo mismo, es la situación mas óptima al parecer, pero no es así, porque Alejandro o Andrea obteniendo "2" cada uno, depende exclusivamente de que si el otro actúa coordinadamente con el otro, o sea, si se ponen de acuerdo o bien si hay extrema confianza. Pero esto no es así, ya que si Alejandro elige no confesar para así obtener 2, Andrea podría elegir confesar y obtener más y perjudicar a Alejandro, por ende Alejandro debe eliminar esa posibilidad. Y lo mismo para Andrea (por Simetría). Por consiguiente, la única forma de eliminar la posibilidad de obtener 0 es eligiendo siempre Cooperar. Dicho esto, la acción Cooperar "c" es la que domina a "d". A la vez, este es el equilibrio de Nash que tanto se esperaba. Equilibrio en donde estando ahí, nadie se va a querer mover a otra posición tomando en cuenta que el otro tampoco se mueve. (3,3) es imposible según las reglas del juego. (0,3) o (3,0) es imposible, porque cada jugador se protegerá a sí mismo. Los jugadores ambos quieren (2,2), pero el juego los forzará a elegir (1,1), porque es lo más seguro. Por ende, aunque no quieran, los sospechosos tendrán que elegir confesar, ambos, y ambos confesarán y serán procesados por el crimen total.
Bibliografía:
Teoría de la decisión y de los juegos, Juan Carlos Aguado Franco Teoría de juegos, Ignacio Sánchez-Cuenca Juegos para empresarios y economistas, Roy Gardner Métodos cuantitativos, E. Vicens Salort La economía. Virtudes e inconvenientes: manual básico para no economistas, Claudio Flores
