Aroni Rojas Klinton Mario
20163504B
FÍSICA I G´´ Pachas Salhuana José Teodoro
Experimento N°5 – Facultad de Ingeniería Mecánica
INDICE
Página
1. OBJETIVOS.
4
2. REPRESENTACIÓN ESQUEMATICA.
4
3. FUNDAMENTO TEORICO.
6
4. HOJA DE DATOS.
15
5. CALCULOS Y RESULTADOS.
16
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
31
7. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.
31
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INDICE
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1. OBJETIVOS.
4
2. REPRESENTACIÓN ESQUEMATICA.
4
3. FUNDAMENTO TEORICO.
6
4. HOJA DE DATOS.
15
5. CALCULOS Y RESULTADOS.
16
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
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7. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.
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PRÓLOGO Un cuerpo rígido en un caso c aso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, este es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes que pertenecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento. Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede pu ede estar cambiando su dirección d irección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento. El movimiento más general de un cuerpo cu erpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotando en el cual eell movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación. En el siguiente informe trataremos los conceptos de momen to de inercia y energía, además verificaremos el teorema de la conservación de energía, teniendo todos los equipos a la disposición y haciendo los cálculos adecuados para evitar que se pueda cometer un error apreciable en la experiencia, dicho error puede estar sujeto a varios factores, como por ejemplo la nivelación incorrecta y las imperfecciones de los materiales usados. A continuación, damos a conocer el trabajo realizado, dando a conocer todos los resultados pedidos y necesarios para verificar el momento de inercia.
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1. OBJETIVOS -
Entender el concepto de inercia rotacional.
-
Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de su gravedad.
-
Observar que, para el caso de un cuerpo rígido, al querer analizar su movimiento de traslación solo se considera el movimiento del cuerpo del centro de masa. Entender la dinámica de los cuerpos en movimiento rotacional.
-
Analizar dicho sistema mecánico a partir del Princ ipio de Conservación de la Energía Mecánica.
2. REPRESENTACIÓN ESQUEMATICA
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3. FUNDAMENTO TEÓRICO Pasaremos a dar los fundamentos teóricos siguientes: 1. Ecuaciones de la dinámica. Examinaremos el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado. Haciendo el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:
el peso la reacción del plano inclinado la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la rueda y el plano.
Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:
Movimiento de traslación del c.m. mg·senq -F r= mac
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. F R=I r ca
Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar) ac=a R
Si conocemos el ángulo de inclinación y el momento de inercia I c del cuerpo que rueda, calculamos ac y el valor de la fuerza de rozamiento F r.
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A. MOMENTO DE INERCIA Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depend e de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cua drado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
∑
Figura 1. El trompo cumple el momento de inercia.
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Para un cuerpo de masa continua se generaliza como:
∫ ∫ El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: a=
F tiene como equivalente para la rotación:
τ = I Dónde:
“τ” es el momento aplicado al cuerpo. “I” es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
α t es la aceleración angular.
mv, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es Iω , donde I es el La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
momento de inercia con respecto al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :
⃗L I⃗
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
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TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
Ieje Ieje(C) + Mh dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el cen tro de masa; M Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes p aralelos considerados.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES Tenemos que calcular la cantidad
I ∑x m Donde xi es la distancia de la partícula de masa mí al eje de rotación.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
I ∫x dm dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.
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B. ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes. Para cada una de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.
.( + ) .( + )
Figura 2. Fuerzas resultantes sobre partículas
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Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que:
( + ) . + . + ( − ). Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vecto rial es cero. Por lo que nos queda:
La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema. Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·ω, la ecuación anterior la escribimos
()
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C. TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula. Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica u na fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdt en el tiempo dt es:
. sin.
Figura 3. Trabajo realizado sobre un cuerpo rígido
θ
F·sen es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.
θ
El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo es:
∫. ∫. ∫ ∫
∫ . 12 − 12
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En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=Iα, y la definición de velocidad angular y aceleración angular. Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.
DESCOMOPOSICON DE LA ENERGIA CINETICA EN ENERGIA DE TRASLACION Y ENERGIA DE ROTACION La rueda de maxwell consta de un aro de radio R y de un eje cilíndrico concéntrico de radio r(r
Figura 4. Eje sobre el cual se desplaza la rueda de Maxwell Por el principio de conservación de la energía:
+ + + Si en G0 la rueda parte del reposo Mgh0=mgh4 + Fricción
ℎ ℎ + ó Las pérdidas de fricción, Fricción, se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies de contacto). Las pérdidas por rodadura son despreciables en el caso de los cuerpos rígidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes.
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El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de rotaciones sucesivas con velocidad angular wA alrededor de un eje de giro móvil que pasa por los puntos de contacto entre el eje cilíndrico y los rieles (Ai). Se cumple que la relación VG=wA.r, donde VG es la velocidad del centro de gravedad, wA es la velocidad angular alrededor de Ai y r es la distancia de G a Ai (radio del eje cilíndrico). Otra manera de visualizar el movimiento de rodadura, quizás más natural, es considerando que la composición de una traslación de d el centro de masa G, más una rotación simultánea, con velocidad angular Wg alrededor de G. Se debe demostrar que wA =wG (verifíquelo) Tomando un segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:
+ Donde ECT significa que la energía cinética de traslación y ECR energía cinética de rotación
12 + 12 Donde VG es la velocidad del centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría). Pero VG=VA=wr, entonces:
ℎ ℎ + ½ + ½ .2/2
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4. HOJA DE DATOS
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5. CALCULOS Y RESULTADOS TABLAS DE R ESULTADOS Masa de la Rueda de Maxwell = 348.5 gramos
Primera Inclinación G0= 10 cm
G4= 3.95 cm
∆G = 6.05 cm
1 A0A1 A0A2 A0A3 A0A4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t prom
t1 5.68 6.17 6.06 t2 9.34 8.72 9.22 t3 10.39 11.45 11.62 t4 13.42 13.43 13.50 13.82 14.19 14.10 12.85 12.76 14.11 12.94
5.97 9.09 11.15 13.51
Segunda Inclinación G0= 8.9 cm
G4= 3.6 cm
∆G = 5.3 cm
tprom A0A4
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t4
13.11
12.89
13.15
13.05
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Medidas de la Rueda de Maxwell
Grosor
12.468 cm
10.06 cm
2.36 cm
Grosor 2.635 cm
2.40 cm 1.12 cm
0.62 cm 3.10 cm
0.59 cm 15.240 cm
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1) Considerando los tiempos promedios pata t1, t2, t3, y t4, grafique los puntos (0,0), (t1,A0A1),… (t4,A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado? Los valores hallados para formar la curva de x vs. tm, son los siguientes: t promedio (s) 0 5.97 9.09 11.15 13.51
Posición X (m) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
A0 A0A1 A0A2 A0A3 A0A4
Ajuste de la Curva xi
yi
xiyi
xi2
5.97 9.09 11.15 13.51 ∑=39.72
10 20 30 40 ∑=100
59.7 181.8 334.5 540.4 ∑=1116.4
35.6409 82.6281 124.3225 182.5201 ∑=425.1116
n=4
=
=
∑ + ∑
=
=
=
∑ ∑ + ∑ Reemplazando los valores y resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: a0 = -14.924 a1 = 4.0206
() (4.0206 −14.924 )
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Pasamos a verificar con el graficador del programa Microsoft Excel:
t vs d 45 40
y = 4.0206x - 14.924
35
) m30 c ( A I 25 C N20 A T S 15 I D
10 5 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
TIEMPO (s)
2) Grafique también d vs. t2 t promedio (s) 0 5.97 9.09 11.15 13.51
Posición X (m) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
A0 A0A1 A0A2 A0A3 A0A4
Ajuste de la Curva
xi
yi
xiyi
xi2
xi2yi
xi3
xi 4
5.97
10 20
59.7 181.8
35.6409 82.6281
356.409 1652.562
212.776173 751.089429
1270.273753 6827.40291
9.09
30 334.5 124.3225 3729.675 1386.195875 15456.08401 11.15 40 540.4 182.5201 7300.804 2465.846551 33313.5869 13.51 ∑=39.72 ∑=100 ∑=1116.4 ∑=425.1116 ∑=13039.45 ∑=4815.908028 ∑=56867.34757
n=4
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Pasamos a resolver con cuadráticas:
=
=
=
∑ + ∑ + ∑
=
=
=
=
=
=
=
=
∑ ∑ + ∑ + ∑ ∑ ∑ + ∑ + ∑ Reemplazando y resolviendo el sistema de ecuaciones obtendremos los siguientes valores:
a0 = -4.1845 a1 = 1.6037 a2 = 0.1248
() (0.1248 + 1.6037 −4.1845) Pasamos a verificar con el graficador del programa Microsoft Excel:
t vs d 45 y = 0.1248x2 + 1.6037x - 4.1845
40 35
) m30 c ( A I 25 C N20 A T S I 15 D
10 5 0 0
2
4
6
8
10
12
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TIEMPO (s)
Se observa que los resultados son muy aproximados, por lo que se puede decir que nuestros cálculos fueron hechos correctamente. Por otro lado, al momento de analizar ambas gráficas, se logra observar que existe un movimiento acelerado el cual se manifiesta por medio del incremento de la aceleración con respecto que el tiempo sigue avanzando, debido a la fórmula hallada anteriormente. Experimento N°5
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3) Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación Standard y propagación de errores, calcular: a) La aceleración del centro de masa aG. Se conoce que la aceleración es la segunda derivada de la trayectoria, por lo tanto, al momento de efectuar la derivada de la fórmula hallada al momento de ajustar la curva, se puede fácilmente demostrar cual es la aceleración del centro de masa AG. Esta es la expresión representada por medio de la derivada:
() Al momento de analizar este resultado, se halla lo siguiente:
(0.1248 + 1.6037 −4.1845) () Por lo tanto, la aceleración será igual a: () 0.2496 b) La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4. Se conoce que la velocidad es la primera derivada de la trayectoria, por lo tanto, al momento de derivar la fórmula hallada en la expresión se encuentra la velocidad del centro de masa en la posición V4. La expresión representada por medio de la derivada es:
() Al momento de analizar este resultado, se halla lo siguiente:
+ 1.6037 − 4.1845) (0. 1 248 () Por lo tanto, la velocidad será igual a:
() (0.2496 +1.6037) El valor de t4 es de 13.51 s →
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c) La velocidad angular de la rueda en el instante t4. Se conoce que vG = ωG•r ± ∆ vG Por lo tanto, de los datos encontrados previamente hallados, se conoce que el radio de la varilla es:
r = 0.295 cm Además se conoce de la parte (b), de esta pregunta, que la velocidad de VG4 es:
VG4 =
. cm/s
Al momento de acomodar la fórmula previamente establecida, se encuentra que la velocidad angular (ω), es igual a:
4.0.92757 95 . d) El momento de inercia de la volante, usando la ecuación 5.
1 1 ℎ ℎ + 2 + 2 Como se desea hallar el momento de inercia de la volante, se debe poner a toda la ecuación en términos de IG. Por lo tanto, la fórmula se halla así: M 1 2 I G 2 2 r 2 ( g h0 g h4 V G ) 2 V G
Los valores conocidos previamente, son los siguientes: g = 9.81 m/s2 M = 0.3485 kg V4 = 0.049757 m/s r = 0.00295 m h0 = 0.0605 m h4 = 0 m Resolviendo con los datos obtenidos, se llega a lo siguiente:
3485) × 0.00295(9.81×0.0605−0− 1 0.049757) 0.2(0.049757 2 ≈ (0.00145106)
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e) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia? Algunos de los factores que introducen mayor número de incertidumbre en las mediciones son: la desigualdad de los rieles sobre las cuales la rueda de Maxwell se desliza, creando un cambio en los diferentes tramos. Además, las medidas tomadas con el pie de rey, a pesar de ser un instrumento de gran exactitud, se pueden co meter errores. Por otro lado, las mediciones que se pueden dar son la medición del tiempo con el cronometro el cual nunca es exacto pues depende de la reacción humana. Al momento de efectuar los cálculos del centro de masa, el medidor se puede equivocar porque las medidas son muy pequeñas. Por más que los investigadores deseen aproximar las condiciones lo mayormente posible a condiciones perfectas, la fricción es una fuerza que no se puede menospreciar en experimentos de laboratorio. Por lo tanto, se pierde energía a través del deslizamiento de la rueda de Maxwell. Obviamente, se asume como despreciable, pero como se menciona, esto es tan solo en un caso ideal, el cual no se da en la realidad. Es más, la fuerza de gravedad y la resistencia del aire, pueden ser minúsculos, p ero también tendrán un efecto en la rueda. Otro de las causas de incertidumbre sería el error observado al medir la masa de la rueda de Maxwell.
f) ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I? Para responder a esta pregunta, compare el valor de I obtenido de las mediciones en los puntos G1, G2, G3, y G4. Las alturas en los diferentes tramos son las siguientes: h0 = 10 cm h1 = 8.51 cm h2 = 7.3 cm h3 = 5.6 cm h4 = 3.95 cm Al conocer que la fórmula de la velocidad es:
() (0.2496 +1.6037)
Se puede calcular la velocidad en los diferentes tramos:
V 1 t 1
V 2
(0.2496t 1.6037 )
cm s
V 1 3.0938
cm s
5.97 s
(0.2496t 1.6037 )
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cm s
V 2 3.8725
cm s
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t 2
9.09 s
V 3 t 3
(0.2496t 1.6037)
cm
V 3
s
4.3867
cm
s
11.15 s
Conociendo las velocidades en esos tramos, se calcula rápidamente la velocidad angular:
1
2
3
V 1 r
V 2
r
V 3 r
3.0938 0.295
10.4874
3.8725
rad s
13.1271
14.8701
rad s
0.295
4.3867 0.295
rad s
Por lo tanto, se puede generalizar la siguiente fórmula para poder encontrar los momentos de inercia en los diferentes instantes: 1
Mg h0
Mg h Ai
Mg h0
Mg h Ai
I Ai
2
1
M g
2
2
2
(h0
M V Ai
M V Ai
h Ai )
2
2
1
I Ai
1
2
I Ai
M V Ai
2
r 2
Ai
2
2
Ai
2
V Ai
2
Ai
1er Tramo: A0 – A1 Remplazando =
I 1
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h0 – h1 = 1.025 cm = 0.01025 m ω1 = 8.00428 rad/s V 1 = 2.54136 cm/s = 0.00254136 m/s M = 0.4784 kg g = 9.81 m/s 0.00149683kg m
2
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2do Tramo: A0 – A2 Remplazando =
I 2
h0 – h2 = 0.0205 m ω2 = 11.81858 rad/s V 2 = 0.037524 m/s M = 0.4784 kg g = 9.81 m/s 0.001372747 kg m
3er Tramo: A0 – A3 Remplazando =
I 3
2
h0 – h3 = 0.03075m ω3 = 14.55824 rad/s V 3 = 0.046224 m/s M = 0.4784 kg g = 9.81 m/s 0.001356991kg m
2
4to Tramo: A0 – A4
Hallado en la parte (d) de esta pregunta:
I 4
0.001416377kg m
2
Al momento de comparar los valores obtenidos, se observa que la variación entre estos no es mucho, puesto que todos yacen en un valor más o menos parecido. Esto comprueba que el momento de inercia no tiene efecto alguno debido a la inclinación observada por la trayectoria, ni la longitud dl recorrido. Los efectos de estas diferencias vienen a ser factores externos, mas no diferencias en el momento de inercia.
I 1
I PROM
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0.00149683kg m
I 2
I 3
I 4
I 1 I 2
2
0.001372747 kg m
0.001356991kg m
2
0.001416377kg m
4
I 3
I 4
2
2
0.001410736 kg m 2
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El mayor porcentaje de error observado se calcula de la siguiente manera:
( I PROM
I 3 ) x100%
0.00537%
0.0054%
El porcentaje de error es tan pequeño que se puede decir que tiende a cero, por lo tanto se demuestra que hay conservación en el momento de inercia.
g) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I? De la siguiente definición: I = r 2 dm Se observa que no se muestra en ningún momento que la inclinación tendrá efecto alguno en la medición del momento de inercia. Esto demuestra entonces que la inclinación en los cuales se encuentren los rieles no afectará de ninguna manera a los resultados obtenidos por medio de los cálculos.
h) Calcule el momento de inercia a partir de la definición: I = (dm) r2 y las mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico. Compare con (d). Primero, debe hallarse la densidad de la rueda de Maxwell, mediante la siguiente ecuación: masa
volumen
Los resultados, son los siguientes:
ℎ ×0.295 ×15.24 4.166 ( − )ℎ ×(1.02 − 0.295)×2.635 7.892 ..ℎ 1.12×3.10×0.62 2.1526 ( − )ℎ × (6.234 −5.03) ×2.36 100.554 4.166+7.892+6×2.1526+100.554 125.5276 Luego:
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348.5 2.776 125.5276 Página 26
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Ahora, para calcular el momento de independientemente: -
inercia total, se necesita tomar cada cuerpo
Para A (Eje cilíndrico): 2
V r h V 2 r h r
Si: I A
r 2 m( ) m V
Se sabe que:
m 2 h r V
En (α) r
I A
r 2 2 h r r 0
r
I A
r
2 h r r I A 2 h r 3 r 3
0
0
r 2 h 4 4
I A
r
0
Datos: r = 0.295 cm h = 15.24 cm ρ = 2.776 g/cm3
Reemplazando se obtiene:
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0.5032
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-
Para B (Cilindro del medio):
Si: I B
r m 2
m V
Se sabe que:
m 2 h r V
R1
I A
r
2
2 h r r
r R1
I B
2 h r 3 r r
I B
R1
r 2 h 4 4
r
Datos: r = 0.295 cm R1= 1.2 cm h = 2.635 cm ρ = 2.776 g/cm3 Reemplazando, se obtiene:
23.73
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-
Para C (Barrita de la Rueda): V b r h V b r h r m V
Si: I C
r m
I C
r b h r
2
2
r 2
I C
b h r r 2
R1
r b h 3 3
I A
r 2
R1
R1 = 1.2 cm r 2 = 5.03 cm b = 0.62 cm h = 2.635 cm ρ = 2.776 g/cm3
189.774 -
Para D (Rueda Exterior): 2
V r h V 2 r h r V
I D
r m
I D
r 2 h r r
2
2
R2
I D
2 h r r 3
r 2
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I D
R2
r 4 4
2 h
r 2
r 2 = 5.03 cm R2 = 6.234 cm h = 2.36 cm ρ = 3.211 Reemplazando, se obtiene:
10352.85643
Ahora se debe hallar el momento de inercia total, el cual es:
+ + 6 + 11515.73363 Se DIVIDE esta suma por 10,000 para convertirla en m2, y luego por 1000 para convertirla en kg. El resultado final es:
0.001151573363
Al momento de analizar esta información, y compararla con el momento de inercia experimental hallado en la parte (d) de esta pregunta, se puede observar que existe un error, sin embargo, este es casi despreciable, algunos de los factores que pueden haber hecho que esto sea posible son las fuerzas externas actuantes en el proceso del cálculo del momento de inercia experimental.
% (0.00145106 − 0.00115157336) × 100 % 0.0299 %
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