1. TEMA: “Resolución de la Ecuación de Oscilación por el Método Euler en el Programa Matlab.”
2. OBJETIVO GENERAL.
Estudiar el método de Euler en la resolución de los Sistemas Eléctricos de Potencia utilizando el Software de MA!A". MA!A".
3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Aplicar el método Euler a la ecuación de oscilación para un sistema con un generador con
barra infinita. Resol#er ecuaciones diferenciales mediante el método de E$!ER. Mediante la programación en MA! MA!A" A" implementar el método con el fin de #isualizar el
tiempo de recuperación del sistema propuesto.
4. MARCO TEÓRICO.
METODO EULER EULER !a solución de las ecuaciones diferenciales asociadas a la din%mica electromec%nica de las ma&uinas ma&uinas en los sistemas de potencia potencia permite establecer una serie de tiempo &ue corresponde corresponde a los #alores de las #ariables de interés en la función del tiempo. Adem%s las relaciones de las principales #ariables &ue pueden ser f%cilmente #isualizados por cur#as &ue dan la aceleración' #elocidad ( desplazamiento angular como una función del tiempo.
Fig.1 Curva ángulo tiempo. tiempo.
!as cur#as %ngulo)tiempo o cur#as de oscilación pueden ser calculados por medio de la solución por métodos numéricos de las ecuaciones &ue definen la din%mica. Estas cur#as muestran la posición angular del rotor trazado contra el tiempo medido desde la inserción de la falla.
Fig.2. curva de despeje de falla. !as cur#as %ngulo)tiempo o cur#as de oscilación también pro#ee las bases para estimar la magnitud del #olta*e' corriente' potencia ( otras cantidades la magnitud de+ #olta*e' corriente' potencia ( otras cantidades a tra#és de la perturbación' tal información es frecuentemente ( de gran #alor en aplicaciones de circuitos con interruptores temomagneticos ( relés. ECUACIÓN DE OSCILACIÓN !a ecuación &ue define la din%mica electromec%nica asociada a la ma&uina sincrónica es la denominada ecuación de oscilación+
H 2 ∗d δ ( t ) πf 2
d t
Pmec − Pelec
=
$sando el método de Euler' se procede a dar solución a la ecuación de oscilación. !as ecuaciones apro,imadas resultan+
Siendo' -' la #ariación absoluta de la #elocidad medida con respecto a la #elocidad sincrónica de la m%&uina. Estas ecuaciones apro,imadas son resultados por un paso de tiempo -t' desde t /
0 segundos 1asta el tiempo de despe*e de la falla tc. !uego la ecuación de potencia eléctrica cambia debido a &ue la l2nea fallada sale fuera de operación ( se procede a seguir apro,imando la solución 1asta alcanzar tf' el tiempo final de simulación. IMPLEMENTACION DEL METODO EULER EN UN SEP En el presente traba*o se presenta un e*emplo de la ecuación de oscilación' en un sistema de potencia t2pico con una m%&uina entregando potencia a una barra de potencia infinita la cual es sometida a una perturbación por cortocircuito trif%sico en una de las 3 l2neas de transmisión al 405. El método de solución para este caso es implementado en el programa MA!A" ( a su #ez mediante un modelo en S6M$!678' en ambos casos las cur#as de oscilaciones son obtenidas de las simulaciones para distintos tiempos de despe*e de falla' para e#idenciar el #alor del tiempo cr2tico de despe*e de la falla. 9amos a empezar a ilustrar la aplicación del método de Euler a ecuaciones &ue podemos resol#er teóricamente. Esto nos posibilitar% comparar con la solución e,acta. EJERCICIO: :onsidere el sistema de potencia mostrado en la ;ig. <. Se trata de un generador sincrónico de rotor liso' de =0 >z' > / 4M?@M9A ( reactancia transitoria de e*e directo Bd / 0.C por unidad' el cual est% conectado a una barra de potencia infinita a tra#és de dos l2neas de transmisión puramente reacti#as inducti#as en paralelo. !as reactancias mostradas en la ;ig. <. est%n dadas en la misma base. El generador entrega una potencia real de Pe / 0.D por unidad ( / 0.0FG por unidad a la barra de potencia infinita a un #olta*e de / <.0 H 9 por unidad.
!a corriente &ue flu(e a la barra de potencia infinita es+
!a reactancia de transferencia entre el #olta*e interno del generador ( la barra de potencia infinita' antes de cual&uier perturbación &ueda dado por+
El #olta*e interno del generador' detr%s de la reactancia transitoria resulta+
!a ecuación de potencia eléctrica antes de cual&uier perturbación' resulta+
Se conoce &ue antes de cual&uier perturbación' la m%&uina opera en estado estacionario' de modo &ue el %ngulo del punto de operación &ueda dado por+
En él una falla por cortocircuito trif%sico ocurre en la mitad de una de las l2neas de transmisión' ( esta la falla es retirada por la acción de los dispositi#os de protección' secando de operación al circuito falla' abriendo los interruptores simult%neamente en ambos e,tremos. En este caso la ecuación de potencia eléctrica durante esta perturbación resulta ser+
:uando las protecciones operan' la l2nea fallada sale de operación' siendo la ecuación de potencia transferida+
Iados estos datos se procede a la programación en MA!A" la cual se muestra a continuación+
clc;clear;
disp(' disp(' disp(' disp(' disp('
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI' ) CIENCIAS DE LA INGENIERA ! APLICADAS' ) INGENIERA ELÉCTRICA' ) S"E"P II') #ÉTODO DE EULER PARA SEP' )
$PARA#ETRO DE SI#ULACI%N& P ip*+('I,rese el -al.r de la P.+ecia #ec/ica 0p"*1& ' ); Pa23 ip*+('I,rese el -al.r de la P.+ecia d*ra+e la 4alla 0p"*1& ' ); Pa25 ip*+('I,rese el -al.r de la P.+ecia c. la 4alla despe6ada 0p"*1& '); 7 ip*+('I,rese el -al.r de la C.s+a+e de iercia 071& ' ); +c5 ip*+('I,rese el -al.r del +iep. de 4alla TC50se,1& ' ); +c3 ip*+('I,rese el -al.r del +iep. de 4alla TC30se,1& ' ); +c8 ip*+('I,rese el -al.r del +iep. de 4alla TC80se,1& ' ); +c9 ip*+('I,rese el -al.r del +iep. de 4alla TC90se,1& ' ); + 5; $+iep. 4ial de la si*laci. 4 :; $4rec*acia del sis+ea 7< + ; $+iep. iicial de la si*alci. D+ "=; $icree+. del +iep. > "9:== $ a,*l. iicial de .peraci. de la a?*ia 0radiaes1 2 ; $di4erecial del -el.cidad iicial& 0p*1 N(+@+)D+; $calc*la Ber. de p*+.s a si*lar 4.r I5&N +i(I)+ID+; $calc*la el +iep. +i ,ra4ic. >5(I)>D+(2); $a,*l. i5 i4 +iF+c5 Pa2Pa23; else Pa2Pa25; ed 25(I)2D+(pi47(P@Pa2si(>))); $-el.cidad i5 >>5(I); $ac+*ali
5"9:==; $a,*l. iicial de .peraci. de la a?*ia 0radiaes1 25; $di4erecial del -el.cidad iicial& 0p*1 N5(+@+5)D+5; $calc*lar *er. de p*+.s a si*lar 4.r I55&N5 +i5(I5)+5I5D+5; $calc*la el +iep. +i ,ra4ic. >8(I5)>5D+5(25); $a,*l. i5 i4 +i5F+c3 Pa2Pa23; else Pa2Pa25; ed 28(I5)25D+5(pi457(P@Pa2si(>5))); $-el.cidad i5 >5>8(I5); $ac+*ali
D+3"= ; $icree+. del +iep. >3"9:==; $a,*l. iicial de .peraci. de la a?*ia 0radiaes1 23; $di4erecial del -el.cidad iicial& 0p*1 N3(+@+3)D+3 ; $calc*lar *er. de p*+.s a si*lar 4.r I35&N3 +i3(I3)+3I3D+3; $calc*la el +iep. +i ,ra4ic. >9(I3)>3D+3(23); $a,*l. i5 i4 +i3F+c8 Pa2Pa23; else Pa2Pa25; ed 29(I3)23D+3(pi437(P@Pa2si(>3))); $-el.cidad i5 >3>9(I3); $ac+*ali8"9:==; $a,*l. iicial de .peraci. de la a?*ia 0radiaes1 28; $di4erecial del -el.cidad iicial& 0p*1 N8(+@+8)D+8 ; $calc*lar *er. de p*+.s a si*lar 4.r I85&N8 +i8(I8)+8I8D+8; $calc*la el +iep. +i ,ra4ic. >=(I8)>8D+8(28); $a,*l. i5 i4 +i8F+c9 Pa2Pa23; else Pa2Pa25; ed 2=(I8)28D+8(pi487(P@Pa2si(>8))); $-el.cidad i5 >8>=(I8); $ac+*ali55Hpi; +despe6e3>85Hpi; +despe6e8>95Hpi; +despe6e9>=5Hpi; pl.+(+i+despe6e5'r'+i+despe6e3''+i+despe6e8','+i+despe6e9'') le,ed('+c5 "8 se,''+c3 "9 se,''+c8 "9= se,''+c9 "= se,'3) +i+le('#ÉTODO DE EULER') ,rid .
$na #ez corrido el programa se procede a #isualizar los tiempos de despe*e de la falla+
Fig.3 Curva de oscilación del sistema para un tc: 0.3, 0.4, 0.4, 0. Se puede apreciar &ue 1asta en un tiempo tc/ 0.G el sistema si se puede recuperar pero cuando pasa de este tiempo el sistema no se recupera es decir &ue cae en inestabilidad. Para la modelación de la ecuación de oscilación en el S6M$!678 se presenta a continuación el diagrama de blo&ues+
Fig.4 diagrama de !lo"ues de la ecuación de oscilación.
5. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS.
!a ecuación de oscilación nos permite determinar el tiempo de despe*e de falla en un sistema' una #ez &ue pasa ese tiempo ( la falla no fue despe*ada el sistema no se puede
recuperar ( cae en inestabilidad pro#ocando &ue el sistema sufra perturbaciones. El método Euler resuel#e ecuaciones diferenciales ( puede resol#er de paso a paso en cual nos da #alores &ue componen la cur#a de oscilación ( nos da una solución
apro,imada a la cur#a caracter2stica. El traba*o se pudo notar mediante las cur#as de oscilación como el sistema se comporta cuando ocurre una falla ( en &ué tiempo se despe*a la falla as2 como se puede apreciar el
comportamiento después de la falla es decir si el sistema se recupera o no. Matlab es una 1erramienta indispensable para an%lisis de SEPJs (a &ue mediante lengua*e de programación se puede determinar el comportamiento del sistema.
6. BIBLIOGRAFÍA.
1ttps+@@es.wiKipedia.org@wiKi@M5:C5ALtododeEuler 1ttp+@@www.frsn.utn.edu.ar@gie@an@mnedo@C3Euler.1tml ;rancisco M. Nonzalez)!ongatt. Solución 7umérica de la Ecuación de Oscilación+ 6mplementación' E*emplo. . Allen Smit1. An%lisis 7uméricoJ. Prentice >all >ispanoamérica S.A.
