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CIRC. ELÉCTRICOS ELÉCTRICOS I
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INFORME DE LABORATORIO Nº10 I NF ORM E PR PREVI O
CUESTIONARIO PREVIO 1. Explicar qué es un circuito eléctrico de 1º orden y 2º orden. La razón del nombre radica en que las ecuaciones integro-diferenciales de equilibrio del circuito se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de primer o de segundo segundo orden respectivamente. Para el análisis del tema veremos por separado cada tipo de circuito en su configuración más elemental. Estudiando la respuesta para excitación por energía almacenada, o comportamiento libre, para señal impulsiva, señal escalón y, como caso más general, la excitación por la señal senoidal.
a) Ci r cui cu i to elé el é ctr i co de 1ºor den: Denominaremos circuitos de primer orden a aquellos que, además de posibles resistencias y/o generadores, contienen elementos reactivos de un solo tipo; es decir un número cualquiera de capacitores pero ninguna inductancia, o un número cualquiera de inductores pero ninguna capacidad. Circuitos con un solo tipo de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de primer orden. Exigen conocer la energía inicial o el valor inicial de la variable, y la respuesta en el estado final, o de régimen, si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito.
b) Ci r cui cu i to elé el é ctr i co de 2ºor den: Denominaremos, por lo contrario, circuitos de segundo orden a aquellos que contengan ambos tipos de elementos, es decir que contengan por lo menos un capacitor y una inductancia. Circuitos con los dos tipos de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de segundo orden. La solución no es tan simple como en el caso anterior pero su forma es la misma. Una componente transitoria, llamada complementaria u homogénea, y otra permanente, estacionaria o integral particular. En estos casos requerimos dos constantes arbitrarias para evaluar las dos formas de almacenamiento de energía. Y para poder determinarlas exige conocer la energía inicial o el valor inicial de la variable, y la primera derivada de la variable en .
2. Definir los siguientes conceptos: función escalón, respuesta natural, respuesta forzada, carga y descarga del condensador y constante . a) F unción un ción es escalón: calón: En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o o no, no, o bien activo o inactivo. inactivo . Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión
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A eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario . La función escalón de Heaviside , también llamada función escalón unitario , debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:
Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.
Definición alternativa: La función escalón unitario o función de Heaviside
La función de Heaviside se definió sobre el intervalo transformada de Laplace. En un sentido más general
se define como:
, pues esto es suficiente para la para .
Ejemplo: Trazar la gráfica de la función La función
.
está dada por:
Y su gráfica se muestra:
b) Respuesta natur al: Corresponde a la respuesta del circuito cuando no hay fuentes de entrada, pero el circuito tiene energía almacenada en las capacitancias o inductancias, por lo cual las condiciones de voltajes y corrientes en las mismas pueden ser distintas de cero. Corresponde a la solución de la ecuación diferencial homogénea (sin entrada). El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistor – capacitor (RC) o resistor – inductor (RL) libre de fuentes. La respuesta sin fuentes dependerá únicamente de la energía inicial almacenada en el elemento de almacenamiento de energía. Puesto que la respuesta solo depende de la naturaleza del circuito RC y RL y no de fuentes externas, se le llama respuesta natural.
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A c) Respuesta forzada: Corresponde a la respuesta del circuito cuando hay condiciones iniciales nulas (voltajes y corrientes en inductancias y capacitancias iguales a cero). La respuesta depende entonces exclusivamente de las fuentes y la forma particular que tengan dichas fuentes. Corresponde a la solución la ecuación diferencial para la señal de entrada con condiciones iniciales en cero. En una sección de la solución a la ecuación diferencial, describimos la respuesta forzada a un función constante y asumimos que la respuesta también sería constante, ahora consideraremos circuitos en los cuales, la ecuación diferencial que define el circuito no es igual a cero, y vamos a considerar hasta ahora que es igual a una constante y entonces obtendremos la respuesta forzada completa de los circuitos de primer orden.
d) Carga y descarga del con densador: Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia. Al conectar un condensador en un circuito, la corriente empieza a circular por el mismo. A la vez, el condensador va acumulando carga entre sus placas. Cuando el condensador se encuentra totalmente cargado, deja de circular corriente por el circuito. Si se quita la fuente y se coloca el condensador y la resistencia en paralelo, la carga empieza a fluir de una de las placas del condensador a la otra a través de la resistencia, hasta que la carga es nula en las dos placas. En este caso, la corriente circulará en sentido contrario al que circulaba mientras el condensador se estaba cargando.
Carga
Descarga
Donde: : Es la tensión en el condensador. : Es la tensión o diferencia de potencial eléctrico inicial ( ) entre las placas del condensador. : Es la tensión o diferencia de potencial eléctrico final (a régimen estacionario ) entre las placas del condensador. : La intensidad de corriente que circula por el circuito. : Es la capacitancia del condensador en faradios multiplicada por la resistencia del circuito en Ohmios, llamada constante de tiempo. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero. La segunda regla de Kirchhoff dice:
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Donde
es la diferencia de potencial en el condensador.
En un tiempo igual a cero, la corriente será:
Cuando el condensador no se ha cargado. Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será igual a:
Carga de un condensador Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán y . Y la corriente por (variación de la carga dependiendo de la variación del tiempo):
Esta es una ecuación diferencial. Se pueden:
Separar variable:
Al integrar se tiene:
Despejando q:
El voltaje será:
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se sustituye
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Descarga de un condensador Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es , la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador:
Donde
es la carga máxima
La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo:
Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.
e) Constante :
Para circuitos RC El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica y la capacidad del condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llama constante de tiempo del circuito y tiene un papel muy importante en el desempeño de este. .
Teóricamente este proceso es infinitamente largo, hasta que . En la práctica se considera que el tiempo de carga se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensión a cargar (más del 99% de ésta), es decir, aproximadamente 5 veces su constante de tiempo.
La constante de tiempo τ marca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga marca en intersección con la línea de máxima tensión la constante de tiempo . Este tiempo sería el tiempo en el que el condensador alcanzaría su tensión máxima si es que la corriente entrante fuera constante. En la realidad, la corriente con una fuente de tensión constante tendrá un carácter exponencial, igual que la tensión en el condensador.
Para circuitos RL La constante de tiempo caracteriza la “duración” del régimen transitorio. Así, la corriente permanente del circuito se establece a 1% después de una duración de .
Cuando la corriente se convierte en permanente, la ecuación se simplifica en:
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Régimen de Funcionamiento La duración del régimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia, R, la capacidad, del condensador y de la autoinductancia, de la bobina. El valor de esta duración se suele tomar como , donde es la denominada constante de tiempo , siendo su valor en cada circuito:
Si
está en ohmios,
en faradios y
en henrios,
estará en segundos.
3. Explicar en forma detallada lo siguiente: filtro pasa bajo, filtro pasa alto, filtro pasa banda y aplicaciones de los filtros. a) F il tro pasa bajo: Un filtro paso bajo corresponde a un filtro electrónico caracterizado por permitir el paso de las frecuencias más bajas y atenuar las frecuencias más altas. El filtro requiere de dos terminales de entrada y dos de salida, de una caja negra, también denominada cuadripolo o bipuerto, así todas las frecuencias se pueden presentar a la entrada, pero a la salida solo estarán presentes las que permita pasar el filtro. De la teoría se obtiene que los filtros están caracterizados por sus funciones de transferencia, así cualquier configuración de elementos activos o pasivos que consigan cierta función de transferencia serán considerados un filtro de cierto tipo. En particular la función de transferencia de un filtro pasa bajo de primer orden corresponde a:
Donde la constante es sólo una ponderación correspondiente a la ganancia del filtro, y la real importancia reside en la forma de la función de transferencia:
La cual determina el comportamiento del filtro. En la función de transferencia anterior corresponde a la frecuencia de corte propia del filtro, aquel valor de frecuencia para el cual la amplitud de la señal de entrada se atenúa 3 dB. De forma análoga al caso de primer orden, los filtros de pasa bajo de mayor orden también se caracterizan por su función de transferencia, por ejemplo la función de transferencia de un filtro paso bajo de segundo orden corresponde a:
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A Donde: : es la frecuencia natural del filtro. : es el factor de amortiguamiento de este.
b) F il tro pasa alto: Un filtro paso alto (HPF) es un tipo de filtro electrónico en cuya respuesta en frecuencia se atenúan las componentes de baja frecuencia pero no las de alta frecuencia, éstas incluso pueden amplificarse en los filtros activos. La alta o baja frecuencia es un término relativo que dependerá del diseño y de la aplicación.
Implementación El fi ltr o paso alto es un cir cuito RC en serie en el cual l a salida es la caída de tensión en l a resistencia . Si se estudia este circuito con componentes ideales para frecuencias muy bajas -continua por ejemplo- se tiene que el condensador se comporta como un circuito abierto, por lo que no dejará pasar la corriente a la resistencia, y su diferencia de tensión será cero. Para una frecuencia muy alta, idealmente infinita, el condensador se comportará como un circuito cerrado, es decir, como si no estuviera, por lo que la caída de tensión de la resistencia será la misma tensión de entrada, lo que significa que dejaría pasar toda la señal. Por otra parte, el desfase entre la señal de entrada y la de salida si que varía, como puede verse en la imagen. El producto de resistencia por condensador ( ) es la constante de tiempo, cuyo recíproco es la frecuencia de corte, es decir, donde el módulo de la respuesta en frecuencia baja 3 dB respecto a la zona pasante:
Donde: : es la frecuencia de corte en hercios : es la resistencia de la aplicación en ohmios : es la capacidad en faradios. El desfase depende de la frecuencia f de la señal y sería:
c) F il tro pasa banda: Un filtro paso banda es un tipo de filtro electrónico que deja pasar un determinado rango de frecuencias de una señal y atenúa el paso del resto.
Implementación Un circuito simple de este tipo de filtros es un circuito RLC ( resistor , bobina y condensador ) en el que se deja pasar la frecuencia de resonancia, que sería la frecuencia central (fc) y las
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A componentes frecuenciales próximas a ésta, en el diagrama hasta f1 y f2. No obstante, bastaría con una simple red resonante LC.
Respuesta f recuencial de un f iltr o paso banda. Otra forma de construir un filtro paso banda puede ser usar un filtro paso bajo en serie con un filtro paso alto entre los que hay un rango de frecuencias que ambos dejan pasar. Para ello, es importante tener en cuenta que la frecuencia de corte del paso bajo sea mayor que la del paso alto, a fin de que la respuesta global sea paso banda (esto es, que haya solapamiento entre ambas respuestas en frecuencia). Un filtro ideal sería el que tiene unas bandas pasante y de corte totalmente planas y unas zonas de transición entre ambas nulas, pero en la práctica esto nunca se consigue, siendo normalmente más parecido al ideal cuando mayor sea el orden del filtro, para medir cuanto de "bueno" es un filtro se puede emplear el denominado factor Q. En filtros de órdenes altos suele aparecer un rizado en las zonas de transición conocido como efecto Gibbs. Un filtro paso banda más avanzado sería los de frecuencia móvil, en los que se pueden variar algunos parámetros frecuenciales, un ejemplo es el circuito anterior RLC en el que se sustituye el condensador por un diodo varicap o varactor , que actúa como condensador variable y, por lo tanto, puede variar su frecuencia central. Realmente resulta complicado construir un filtro paso banda ideal (y, en general, filtros de respuesta ideal) en el mundo analógico, esto es, a base de componentes pasivos como inductancias, condensadores o resistores, y activos como operacionales o simples transistores. Sin embargo, si nos trasladamos al procesado digital de señales, resulta sorprendente ver cómo podemos construir respuestas en frecuencia prácticamente ideales, ya que en procesado digital de señal manejamos realmente vectores con valores numéricos (que son señales discretas en el tiempo), en lugar de señales continuas en el tiempo. Todo ello, no obstante, tiene una limitación importante: cuanto mayor precisión se requiera, mayor frecuencia de muestreo necesitaremos, y ello directamente implica un consumo de RAM y CPU superiores. Por ello, al menos con la tecnología de la que hoy día disponemos, resultaría inviable implementar filtros digitales ideales para radiofrecuencia, aunque en procesado de audio digital sí es posible, dado que el rango de frecuencias que ocupa no supera los 20 kHz.
d) Apl icaciones de los fi ltr os: Una posible aplicación de este del filtro pasa alto sería la de hacer que las altas frecuencias de una señal de audio fuesen a un altavoz para sonidos agudos mientras que un filtro paso bajo haría lo propio con los graves. Otra aplicación sería la de eliminar los ruidos que provienen de la red eléctrica (50 o 60Hz) en un circuito cuyas señales fueran más altas. Los filtros pasa banda tienen aplicación en ecualizadores de audio, haciendo que unas frecuencias se amplifiquen más que otras. Otra aplicación es la de eliminar ruidos que aparecen junto a una señal, siempre que la frecuencia de ésta sea fija o conocida.
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A Fuera de la electrónica y del procesado de señal, un ejemplo puede ser dentro del campo de las ciencias atmosféricas, donde son usados para manejar los datos dentro de un rango de 3 a 10 días.
4. Analizar en forma teórica, las curvas de carga y descarga del condensador. a) Carga del con densador (Respuesta de estado cero o f orzada):
El circuito de la figura muestra un condensador y una resistencia óhmica conectados en serie con un generador de señales. Suponiendo que la corriente I circula en la dirección indicada, la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff establece que:
Ecuación en la cual
. La solución de esta ecuación diferencial es:
Teniendo en cuenta que , se puede calcular la caída de potencial en la resistencia en el condensador utilizando la ecuación :
Cuya gráfica será:
b) Descarga del condensador ( Respuesta de entrada cero o natur al):
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y
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A
De la figura anterior:
Que describe el comportamiento de la carga del condensador en el tiempo. Puesto que la corriente en el circuito es , es fácil obtener a partir de la ecuación el comportamiento de en función del tiempo:
Teniendo en cuenta que , se puede calcular la caída de potencial en la resistencia el condensador utilizando la ecuación :
y en
Cuya gráfica es:
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