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CAPACITANCIA DEPENDIENTE DE SUS DIMENSIONES GEOMÉTRICAS 1. OBJETIVOS Verificación Verificaci ón del comportamiento comportamient o del modelo matemático que relaciona la capacitancia dependiente de la distancia de separación entre placas de un capacitor de placas plana y paralelas midiendo capacitancia y distancia. Determinación Determinaci ón de la constante de permisividad del vacío con un error del 1% de error probable
2. FUNDAMENTO TEÓRICO 2.1.CAPACIDAD Es la propiedad que poseen los circuitos eléctricos que tiende a evitar los cambios de tensión. Cuando se aplica una tensión continua a un circuito que contiene capacidad, la corriente empieza a circular, instantáneamente, con su intensidad máxima e/R (siendo R la resistencia del circuito) y a medida que pasa el tiempo va decreciendo hasta hacerse cero. Esto se debe a que la capacidad no ofrece oposición al cerrar el circuito, sino que va apareciendo progresivamente una fuerza contra electromotriz (f.c.e.m.) que va a hacerse igual a la tensión aplicada. Dicha f.c.e.m. queda almacenada en el circuito, anulando la tensión aplicada. La capacidad, en los sistemas eléctricos, es una propiedad similar a la elasticidad en los sistemas mecánicos. Esto, porque una fuerza aplicada sobre un cuerpo elástico (como un resorte) no encuentra oposición al principio, pero va apareciendo gradualmente a medida que el muelle se extiende o comprime. Por otra parte, si el resorte es o no estirado o comprimido completamente (máxima elongación, sin deformarlo) y se mantiene en dicha condición, el trabajo realizado para comprimirlo o estirarlo queda almacenado en la propia fuerza del muelle (energía potencial). 2.2. Condensadores o Capacitores Aunque la capacidad está siempre presente, distribuida distribuida en todos los tipos de circuitos, para hacer más acusados sus efectos se emplean ciertos elementos denominados condensadores o capacitores. Éstos están físicamente constituidos por dos superficies conductoras o placas, separadas por una distancia pequeña y entre las cuales existe un material llamado dieléctrico. El condensador tiene la propiedad de almacenar carga y, por tanto, energía. 2.3. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR Experimentalmente se ha determinado que la carga almacenada en un condensador es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada a sus extremos, es decir: Q µ VAB Þ Q = C VAB Donde C es una constante que mide la facultad que tiene el condensador para almacenar energía, o sea, la capacidad de éste para almacenar carga. Esta constante (capacidad) depende de las dimensiones geométricas del capacitor. La forma usual de presentar la relación entre C, Q y VAB es:
De aquí que la unidad de C vendría dada por la relación
, la cual recibe el nombre de faradio.
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Aunque esta unidad, unidad, a nivel práctico, práctico, no se utiliza (ya que no existe un condensad condensador or cuya capacidad capacidad esté en el orden de los faradios pues sus dimensiones serían inmensas), se emplean los submúltiplos para fines reales. Éstos son: mF =milifaradio (10 –3 –3 F) mF = microfaradio (10 –6 –6 F) pF = picofaradio (10 – (10 –12) 12) 2.4 CAPACIDAD EN FUNCIÓN DE LAS DIMENSIONES GEOMÉTRICAS DEL CONDENSADOR
Figura 1
En forma general, la capacidad de un condensador depende del arreglo geométrico de los conductores. Por ejemplo, para un capacitor de placas plano – plano –paralelas paralelas se tiene:
Por otra parte, se sabe que
Sustituyendo en la relación de C, se tiene:
Dónde:
S: Es el area de la seccion transversal de las placas (m 2) d: Es la distancia de separación entre placas (m) : La permitividad del vacio 8,85E-12 (F/m) C : La capacitancia (F)
Figura 2
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El comportamiento de la capacitancia en función de la distancia de separación es como se muestra en la figura 2. 3. HIPÓTESIS DEL EXPERIMENTO “La capacitancia de un capacitor de placas planas y paralelas es proporcional a su area trasversal e inversamente proporcional a la distancia de separación entre placas; donde la constante de proporcionalidad es la permisividad o permitividad del vacío” vacío ” 4. INSTALACIÓN DEL SISTEMA-.
PLACAS PARALELAS
CAPACIMETRO
Figura 3 5. REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla Nº 1
INSTRUMENTO
CLASE
ESC. MÁXIMA
CAPACIMETRO
1.25
200
ERROR ABSOLUTO 2.5E-12
NONIUS
-
-
0.1
MAGNITUDES
MEDIDAS
DIAMETRO
25.5 ± 0.1 [cm]
Error absoluto del capacimetro:
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Tabla Nº 3 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d ± δd
(mm) 3,0± 0,1 4,0± 0,1 5,0± 0,1 6,0± 0,1 7,0± 0,1 8,0± 0,1 9,0± 0,1 10,0± 0,1 11,0± 0,1 12,0± 0,1 13,0± 0,1
C ± δc (pf)
149.9± 10 112.7± 10 90.5± 10 75.4± 10 64.7± 10 56.7± 10 50.4± 10 45.3± 10 40.7± 10 37.2± 10 34.2± 10
6. RESULTADOS DEL EXPERIMENTO 6.1 VERIFICACION DEL MODELO MATEMAT M ATEMATICO ICO El area:
La expresión de la capacitancia:
=
Dibujando el comportamiento del modelo sobre los datos experimentales se tiene: 1.80E-10 1.60E-10
PRUEBA DEL MODELO MATEMATICO y = 4E-13x -1.006 R² = 0.9998
1.40E-10 1.20E-10 P 1.00E-10 A C 8.00E-11
6.00E-11 4.00E-11 2.00E-11 0.00E+00 0.0E+00 2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
8.0E-03
1.0E-02
1.2E-02 1.4E-02 distancia
1.6E-02
Figura 4
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En esta grafica , se puede ver de que el modelo es bastante bueno: el grado de correspondencia entre las propiedades del experimento y el teorema son suficientemente buenos. 6.2 Modelo matemático ajustado a los datos experimentales El ajuste de una función a los datos experimentales es del tipo curvilíneo correspondiente a una función lineal del tipo Y=a+bX, además es capaz de predecir valores intermedios interme dios entre las medidas y mas allá de los medidos. Esta función ajustada es: Ecuación ajustada: Ŷ= -8,48E-13 + 8,8136E-12 x Grafico de la línea ajustada: FIGURA 8
LINEA AJUSTADA AJUSTADA A LOS DATOS DATOS TRANFORMADOS
5.00E-10 4.50E-10 4.00E-10 3.50E-10 3.00E-10 2.50E-10 2.00E-10 1.50E-10 1.00E-10 5.00E-11 0.00E+00 0.00E+00
Y
1.00E+01
2.00E+01
3.00E+01
4.00E+01
y = 9E-12x - 8E-13 R² = 1
5.00E+01
6.00E+01 X
MODELO MATEMATICO AJUSTADO A LOS DATOS EXPERIMENTALES Y SU COMPORTAMIENTO: C =a + bx =-8,48E-13 + 8,8136E-12 C
5E-10 4.5E-10 4E-10 3.5E-10
()
MODELO AJUST A JUSTADO ADO A LOS DATOS DATOS EXPERIMENTALES
y = 4E-13x -1.009 R² = 1
3E-10 2.5E-10 2E-10 1.5E-10 1E-10 5E-11 0 0.0E+00
2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
8.0E-03
1.0E-02
1.2E-02
1.4E-02 d
Figura 9
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6.3. Modelo matemático y su comportamiento Según los resultados de las pruebas de hipótesis se tiene que el modelo es: C=bx=8,85
C= C
5.0E-10 4.5E-10 4.0E-10
COMPORTAMIENTO DEL MODELO MATEMATICO
3.5E-10 3.0E-10 2.5E-10 2.0E-10 1.5E-10 1.0E-10 5.0E-11 0.0E+00 0.0E+00 2.0E-03 4.0E-03 6.0E-03 8.0E-03 1.0E-02 1.2E-02 1.4E-02 d
FIGURA 5
6.4. PERMITIVIDAD DEL VACIO
La permisividad del vacio determinado experimentalmente es ,13) , con un error relativo porcentual del 1,5%. Según los resultados de las pruebas de hipótesis estadísticas , se muestra que el valor verdadero esta en ese intervalo de confianza, además, la diferencia entre el valor determinado y el valor verdadero no son significativos y se deben a la presencia de errores del tipo aleatorio. El modelo matematicoesta comprobado. El erro absoluto es de 0,04
en defecto, y representa el 0,45%.
7. Interpretaciones Físicas 7.1 La capacidad deun capacitor depende de: a) La tensión aplicada y la carga b) Del area y la distancia de separación c) De ninguno de ellos -Debido a que V es proporcional a Q, entonces se puede decir que la capacidad no depende ni de Q ni de V, solo depende de sus dimensiones geometricas 7.2 Se dice que la capacitancia aumenta por que: a) La tensión aplicada al capacitor aumenta y hace circular mayor carga eletrica. b) Por que el area del capacitor aumenta y acumula mayor carga eléctrica
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c) Por que la constante de la permisividad del vacio varia aumentando -Cuando aumenta el área la capacitancia aumenta, po que ela rea retien mas carga eléctrica, es decir la carga aumenta con el tamaño de la placa 7.3 Explicar por que la capacitancia del capacitor aumenta o disminuye cuando la distancia de separación disminuye o aumenta respectivamente` -Es porque a mayor distancia el campo eléctrico se debilita, y por tanto la carga se acumula, y sucede a lo invesrso si la distancia disminuye. 7.4 la constante dieléctrica del aire local determinado experimentalmente es ligeramente diferente que en el vacio, entonces: a) Se puede sustituir el valor determinado experimentalmente experimentalment e por el valor del vacio b) No se debe sustituir por que la influencia puede ser muy significativo c) Se debe determinar el valor de la misma para cada lugar -Si se puede sustituir el valor determinado experimentalmente, por el valor del vacio, debido a que se determino con una confianza del 99%, y se encuentra en los intervalos de error calculados. 7.5 Para determinar la expresión de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas aplicando la ley de gauss se hacen las siguiente consideraciones a) Que las placas del capacitor necesariamente deben ser paralelas y circulares b) Que las líneas marginales del capacitor sean despreciables y que el campo eléctrico entre las placas sean uniformes c) Que las líneas de campo eléctrico deben ser considerados en su integridad y que el campo eléctrico debe ser constante como vector. -Esto debido a que con la ley de gauss y a una distancia pequeña se puede considerar que el campo eléctrico es constante en cualquier punto, sin considerar los extremos de las placas 7.6 el valor de la capacitancia del capacitor determinado por medio de la tensión aplicada V y la medición de la carga Q (C=Q/V), y por otro lado, la determinada midiendo el area y su distancia de separación son: a) Exactamente iguales b) Son aproximados c) Son muy diferentes -Debido a que se hizo algunas suposiciones en la deducción de la formula de placas paralelas, y también a que el medio en el que se realizo el experimento no fue el vacio, sin embargo los resultados demuestran que si son muy aproximados 7.7 Explicar cual es el significado físico de la permisividad o permitividad del vacio. -Significa cuanta libertad tiene las cargas de interactuar con otras cargas, es decir describe como un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. 7.8 Utilizando la figura 9 determinar el valor de la capacitancia en forma de intervalo de confianza que se tendría al medir para una distancia de separación de 5 mm
7.10 Utilizando la figura con el modelo ajustado, determinar el valor de la carga eléctrica almacenada en el capacitor para una distancia de 0.06 cm
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7.11 Utilizando la figura con el modelo ajustado, determinar el valor de la capacitancia del capacitor para una distancia de 0.10 cm
8. ASERCION DEL CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO
La capacitancia es proporcional al area de las placas del capacitor e inversamente proporcional a la distancia que los separan. La capacitancia aumenta con el area, debido a que a masarea, por que el area retiene la carga eléctrica. La capacitancia no depende ni del voltaje ni carga eléctrica. Si la distancia entre las placas aumenta el campo eléctrico se debilita, y la capacitancia disminuye. 9.BIBLIOGRAFIA Serway-Beichener, FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA (TOMO II) Jaime Burgos Manrique, (Ultima (Ultim a Edición 2010) INTRODUCCION A LA FISICA EXPERIMENTAL Wapedia, Permitividad, wapedia.mobi.es\permitividad APENDICE.A.1.Comprobación del modelo.REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla Nº 1 Erros Probable
1%
Tabla Nº 2 Magnitud Diámetro
(D)
Distancia
(d)
Cantidad
Capacimetro Clase =0,5%
=10
Esc. Max. = 2000
Error absoluto del capacimetro:
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Tabla Nº 3 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d ± δd
(mm) 3,0± 0,1 4,0± 0,1 5,0± 0,1 6,0± 0,1 7,0± 0,1 8,0± 0,1 9,0± 0,1 10,0± 0,1 11,0± 0,1 12,0± 0,1 13,0± 0,1
C ± δc (pf)
149.9± 10 112.7± 10 90.5± 10 75.4± 10 64.7± 10 56.7± 10 50.4± 10 45.3± 10 40.7± 10 37.2± 10 34.2± 10
Procesamiento de los datos experimentales Distancia
Capacitancia
1
3,0
149,9
2
4,0
112,7
3
5,0
90,5
4
6,0
75,4
5
7,0
64,7
6
8,0
56,7
7
9,0
50,4
8
10,0
45,3
9
11,0
40,7
10
12,0
37,2
11
13,0
34,2
Nº
A.2DETERMINACION A.2DETERMINACION DE LA PERMITIVIDAD DEL VACIO Transformando variables para linealizar la función:
Distancia
Capacitancia
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y=C
;
x=
Los parámetros de la recta universal:
( )
;
β=
La recta verdadera o universal es: µ=α+βx La recta de estimación es : Ŷ=a+bx Tabla Auxiliar: Tabla Nº 4 No.
x= S/d
y= C
x^2
y^2
xy
1
1,7E+01
1,50E-10
2,9E+02
2,25E-20
2,6E-09
2
1,3E+01
1,13E-10
1,6E+02
1,27E-20
1,4E-09
3
1,0E+01
9,05E-11
1,0E+02
8,19E-21
9,2E-10
4
8,5E+00
7,54E-11
7,3E+01
5,69E-21
6,4E-10
5
7,3E+00
6,47E-11
5,3E+01
4,19E-21
4,7E-10
6
6,4E+00
5,67E-11
4,1E+01
3,21E-21
3,6E-10
7
5,7E+00
5,04E-11
3,2E+01
2,54E-21
2,9E-10
8
5,1E+00
4,53E-11
2,6E+01
2,05E-21
2,3E-10
9
4,6E+00
4,07E-11
2,2E+01
1,66E-21
1,9E-10
10
4,3E+00
3,72E-11
1,8E+01
1,38E-21
1,6E-10
11
3,9E+00
3,42E-11
1,5E+01
1,17E-21
1,3E-10
∑
8,6E+01
7,58E-10
8,4E+02
6,52E-20
7,4E-09
La pendiente :
[ ]
Intercepto con la ordenada al origen:
Ecuación ajustada:
Ŷ= 0,19251E-13 0,19251E-13 + 8,7937E-12 x
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Grafico de la línea ajustada: FIGURA 8 Y
5.00E-10 4.00E-10
LINEA AJUSTADA AJUSTADA A LOS DATOS DATOS TRANFORMADOS
3.00E-10
y = 9E-12x - 8E-13 R² = 1
2.00E-10 1.00E-10 0.00E+00 0.00E+00
1.00E+01
2.00E+01
3.00E+01
4.00E+01
5.00E+01
6.00E+01 X
MODELO MATEMATICO AJUSTADO A LOS DATOS EXPERIMENTALES Y SU COMPORTAMIENTO: C =a + bx =0,19251E-13 + 8,7937E-12 C
1.6E-10
()
MODELO AJUST A JUSTADO ADO A LOS DATOS DATOS y = 4E-13x R² = 1 EXPERIMENTALES
1.4E-10 1.2E-10
-1.013
1E-10 8E-11 6E-11 4E-11 2E-11 0 0.0E+00
2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
8.0E-03
1.0E-02
1.2E-02
1.4E-02 d
Figura 9 Desviación estándar de la línea recta estimada:
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Tabla Nº 5
No.
X
Y
(y - ŷ)^2
ŷ=a + bx
1
5,10E+01
1,50E-10
4,49E-10 8,9461E-20
2
2,60E+01
1,13E-10
2,28E-10 1,3294E-20
3
1,70E+01
9,05E-11
1,49E-10 3,4223E-21
4
1,30E+01
7,54E-11
1,14E-10
5
1,00E+01
6,47E-11
8,73E-11 5,1076E-22
6
8,50E+00
5,67E-11
7,41E-11 3,0276E-22
7
7,30E+00
5,04E-11
6,35E-11 1,7161E-22
8
6,40E+00
4,53E-11
5,56E-11 1,0609E-22
9
5,70E+00
4,07E-11
4,94E-11
7,569E-23
10
5,10E+00
3,72E-11
4,41E-11
4,761E-23
11
4,60E+00
3,42E-11
3,97E-11
3,025E-23
1,49E-21
1,0891E-19
̂ Desviación Estándar de
Desviación Estándar de a y la pendiente b
√
Coeficiente de confianza o valor critico t α/2 :
Grados libertad
̅ Error
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De tablas El coeficiente de confianza
Incertidumbre estadística de la pendiente b y el intercepto a:
α/2
=3,169 *
=1,3364E-13
α/2
= 3,169 *
=2,4702E-12 (F)
Intervalos de confianza:
1,3364
ó
Valor de la constante de la permisividad del vacio:
La permisividad del vacio probable:
Propagando la incertidumbre :
,13
La permisividad es:
Error relativo porcentual:
Error respecto al valor verdadero:
,13)
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e=
(8,79- 8,85)
= -0,06
Error absoluto respecto al valor verdadero: e =8,79
e = |8,79
| |*100 = *100 =0,67 %
e% =
Prueba de hipótesis para el intercepto α :
H0 : α = 0 H1 : α ≠ 0
ta =
El intervalo es -3,169 < -1,09 <3,169 y aceptable la hipótesis H 0=0 : e indica que el verdadero α es cero. Por tanto también se puede inferir que el valor de a=0 con un error probable del 1% o una confianza del 99% . Prueba de hipótesis para la pendiente β :
⁄ ⁄
H0 :β :β = 8,85 H1 :β :β ≠ 8,85
⁄
Este resultado -3,169 < -0,95 < 3,169 sugiere que el valor de t esta en la región de aceptación de la H por tanto las diferencias entre 8,79 y 8,85 no son significativos y , además hay mucha evidencia a
tb=
b
0
favor de la hipótesis H 0. El modelo matemático teórico es suficientemente bueno como para representar las 85 propiedades del capacitor. S e h a c o m p r o b a d o q u e e l v a l o r d e l a p e r m i s i v i d a d d e l v a c i o e s 8 , 85
⁄
.
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INFORME DE LABORATORIO DE LABORATORIO Nº FIS 1200
5
“A”
TEMA:CAPACITANCIA DEPENDIENTE DE SUS DIMENSIONES
NOMBRE: MONTAÑO LOVERA MARCELO ELISEO QUISBERT CACERES EDWIN ISRAEL
RIOS COPA EVER EDSON YUCRA SANTOS CRISTHIAN EDDY
DOCENTE DE TEORIA: ING. JAIME BURGOS MANRIQUE FECHA DE REALIZACION: 11 DEOCTUBRE DE 2013
ORURO - BOLIVIA
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