INFORME DE ELEMENTOS FINITOS Luis Ortega, Jonathan Parra, Samuel Sánchez, Fabricio Vázquez Curso de Elementos Finitos Universidad de Cuenca Facultad de ingeniería civil Docente: PhD. Esteban Samaniego 9 de julio de 2015
INTRODUCCIÓN El siguiente informe trata sobre el uso e implementación del programa, basado en elementos finitos, para la resolución de ecuación de Laplace, que se puede encontrar como adjunto en el artículo científico Numerical Algorithms Algorithms 20 (1999) 117 – 137, 137, Remarks around 50 lines of Matlab: short finite element implementation. El artículo mencionado explica la implementación de un código de 50 líneas para encontrar la solución numérica a problemas de ecuaciones diferenciales con valores de contorno. Nosotros hemos utilizado este código para la resolución de dos ejemplos, el primero la superficie s uperficie de un rectángulo, y el segundo la superficie de un polígono en forma de L, ambas generadas con la herramienta Pdetool incluida incluida en la librería de Matlab; aplicando condiciones de contorno a estos ejemplos, obtenemos la representación gráfica de la solución numérica. Se realizó el refinamiento de las superficies y se comparó el resultado de cada refinamiento.
BREVE EXPLICACIÓN DEL MÉTODO
EXPERIMENTACIÓN NÚMERICA Primer ejemplo: Se generó la siguiente superficie en Pdetool:
Figura 1. Superficie generada con Pdetool
Al realizar el primer mallado se obtuvieron 94 elementos, luego 374 y en un refinamiento más riguroso 6016 elementos. La condición de Neumann se aplica sobre el contorno de la izquierda, y la condición de contorno de Diritchlet sobre el lado izquierdo de la superficie. En las siguientes imágenes vemos los resultados de la misma superficie con los 3 diferentes refinamientos:
Figura 2 Representación gráfica de la solución numérica con 94 elementos
Figura 3 Representación gráfica de la solución numérica con 374 elementos
Figura 4 Representación gráfica de la solución numérica con 6016 elementos
Como se puede observar en el caso de 94 y 374 no hay mucha variación entre la solución, solo se notan pequeños cambios en la graduación de colores; con el refinamiento a 6016 elementos ya vemos un cambio en la distribución de colores, en r elación a los dos mallados anteriores, estos pasan a desvanecerse de una manera menos brusca y vemos una mejor interpretación de la conducción de calor. SEGUNDO EJEMPLO En el segundo ejemplo utilizamos la siguiente superficie:
Figura 5 Superficie generada con Pdetool
Al igual que el ejemplo anterior, realizamos 3 refinamientos, el pri mero con 94 elementos, el se gundo con 376, y el tercero con 6016. Se muestran a continuación las imágenes de las representaciones gráficas de las soluciones numéricas.
Figura 6 Representación gráfica de la solución numérica con 94 elementos
Figura 7 Representación gráfica de la solución numérica con 94 elementos
Figura 8 Representación gráfica de la solución numérica con 94 elementos
En este ejemplo, a diferencia del anterior, se puede observar ya un cambio del primer al segundo mallado, se observa diferentes tonalidades en algunos lugares y se aprecia una mejor conducción del calor; en el paso del segundo al tercer mallado vemos un cambio más significativo, vemos como se difuminan los colores de una manera muy suave, lo cual indica que se tiene una muy buena representación de la distribución de la conducción del calor. En todo s los ejemplos vemos que la mayor concentración de calor se encuentra en el extremo izquierdo, y la menor cantidad en el otro extremo.
CONCLUSIONES Se pudo implementar diferentes ejemplos al código para la resolución de la ecuación de Laplace. En cada ejemplo se logró realizar 3 diferentes refinamientos, con los cuales se realizó una comparación y se observó que entre más elementos triangulares los que se utilicen, el resultado será mejor y más aproximado. En el caso del primer ejemplo vimos que no hubo mucho cambio, se podría concluir a que se debe a la simetría de la figura y las condiciones de Neumann y Diritchlet aplicadas a cada lado de la figura.
El uso de este código nos dio unos buenos resultados al momento que se realizó el refinamiento de las superficies, a pesar de tener 50 líneas de códigos resulta un excelente programa para la implementación del método de elementos finitos en la ecuación de la conducción de calor estacionario.
BIBLIOGRAFÍA Alberti, J., Carstensen, C. & Stefan, A. F., 1999. Remarks around 50 lines of Matlab: short finite element. Numerical Algorithms, Issue 20, pp. 117-137.
